資源簡介

4.5 函數的應用（二）12 題型分類
1、函數零點的概念
對于一般函數 y＝f(x)，我們把使 f(x)＝0 的實數 x 叫做函數 y＝f(x)的零點．
函數 y＝f(x)的零點就是方程 f(x)＝0 的實數解，也就是函數 y＝f(x)的圖象與 x 軸的公共點
的橫坐標.
2、方程的解與函數零點的關系
方程 f(x)＝0 有實數解 函數 y＝f(x)有零點 函數 y＝f(x)的圖象與 x 軸有公共點.
3、函數零點存在定理
如果函數 y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有 f(a)f(b)＜0，那么，
函數 y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，這個 c 也就是
方程 f(x)＝0 的解．
(1)一個函數 y＝f(x)在區間(a，b)內有零點必須同時滿足：①函數 f(x)在區間[a，b]上的圖
1
象是一條連續不斷的曲線；②f(a)f(b)<0.這兩個條件缺一不可．可從函數 y＝ 來理解，易知 f(－
x
1
1)f(1)＝－1×1<0，但顯然 y＝ 在(－1,1)內沒有零點．
x
(2)若函數 f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的，且在兩端點處的函數值 f(a)，f(b)異號，
則函數 y＝f(x)在(a，b)上的圖象至少穿過 x 軸一次，即方程 f(x)＝0 在區間(a，b)內至少有一個
實數解 c.
(3)函數零點存在定理只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出零點的個數．如圖①②，
雖然都有 f(a)f(b)<0，但圖①中函數在區間(a，b)內有 4 個零點，圖②中函數在區間(a，b)內僅
有 1 個零點．
(4)函數零點存在定理是不可逆的，由 f(a)f(b)<0 可以推出函數 y＝f(x)在區間(a，b)內存在
零點．但是，已知函數 y＝f(x)在區間(a，b)內存在零點，不一定推出 f(a)f(b)<0.如圖③，雖然
在區間(a，b)內函數有零點，但 f(a)f(b)>0.
(5)如果單調函數 y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有 f(a)f(b)<0，那
么函數 y＝f(x)在區間(a，b)內有唯一的零點，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，這個 c
也就是方程 f(x)＝0 的實數解．
4、二分法的概念
對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且 f(a)f(b)＜0 的函數 y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所
在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分
法．
5、用二分法求函數零點近似值的步驟
給定精確度 ε，用二分法求函數 y＝f(x)零點 x0的近似值的一般步驟如下：
(1)確定零點 x0的初始區間[a，b]，驗證 f(a)f(b)＜0.
(2)求區間(a，b)的中點 c.
(3)計算 f(c)，并進一步確定零點所在的區間：
①若 f(c)＝0(此時 x0＝c)，則 c 就是函數的零點；
②若 f(a)f(c)＜0(此時 x0∈(a，c))，則令 b＝c；
③若 f(c)f(b)＜0(此時 x0∈(c，b))，則令 a＝c.
(4)判斷是否達到精確度 ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值 a(或 b)；否則重復步驟(2)～
(4)．
注：（1）用二分法求函數零點近似值的方法僅適用于函數的變號零點(曲線通過零點時，
函數值的符號變號)，對函數的不變號零點(曲線通過零點時，函數值的符號不變號)不適用．如
求函數 f(x)＝(x－1)2的零點近似值就不能用二分法．
（2）用二分法求函數零點的近似值時，要根據函數的性質盡可能地找到含有零點的更小
的區間，這樣可以減少用二分法的次數，減少計算量．
（3）二分法采用逐步逼近的思想，使區間逐步縮小，使函數零點所在的范圍逐步縮小，
也就是逐漸逼近函數的零點．當區間長度小到一定程度時，就得到近似值．
（4）由|a－b|<ε，可知區間[a，b]中任意一個值都是零點 x0 的滿足精確度 ε 的近似值．為
了方便，常取區間端點 a(或 b)作為零點的近似值．精確度與精確到是不一樣的概念．比如得
數是 1.25 或 1.34，精確到 0.1 都是通過四舍五入后保留一位小數得 1.3.而“精確度為 0.1”指零
點近似值所在區間[a，b]滿足|a－b|<0.1，比如零點近似值所在區間為[1.25,1.34]，若精確度為
0.1，則近似值可以是 1.25，也可以是 1.34.
（5）在第一步中要使區間[a，b]的長度盡量小，且 f(a)f(b)<0.
（6）由函數的零點與相應方程根的關系，我們可用二分法來求方程的近似解．對于求形
如 f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，
然后按照用二分法求函數 F(x)零點近似值的步驟求解．
6、函數模型的應用
幾種常見函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝kx＋b(k，b 為常數，k≠0)
k
反比例函數模型 f(x)＝ ＋b(k，b 為常數且 k≠0)
x
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 為常數，a≠0)
指數型函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 為常數，b≠0，a>0 且 a≠1)
對數型函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 為常數，b≠0，a>0 且 a≠1)
冪函數型模型 f(x)＝axn＋b(a，b 為常數，a≠0)
7．在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數函數模型
表示．通常可以表示為 y＝N(1＋p)x(其中 N 為基礎數，p 為增長率，x 為時間)的形式．解題時，
往往用到對數運算，要注意與已知表格中給定的值對應求解．
8．有關對數型函數的應用題，一般都會給出函數解析式，要求根據實際情況求出函數解
析式中的參數，或給出具體情境，從中提煉出數據，代入解析式求值，然后根據求出的值回答
其實際意義．
9．數據擬合
(1)定義：通過一些數據尋求事物規律，往往是通過繪出這些數據在直角坐標系中的點，
觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數圖象，選定函數形式后，將一些數
據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就
可以確定這個函數基本反映了事物規律，這種方法稱為數據擬合．
(2)數據擬合的步驟
①以所給數據作為點的坐標，在平面直角坐標系中繪出各點；
②依據點的整體特征，猜測這些點所滿足的函數形式，設其一般形式；
③取特殊數據代入，求出函數的具體解析式；
④做必要的檢驗．
（一）
求函數的零點
求函數零點的方法
函數的零點就是對應方程的解，求函數的零點常用以下兩種方法：
(1)代數法：根據零點的定義，解方程 f(x)＝0，它的實數解就是函數 y＝f(x)的零點．
(2)幾何法：若方程 f(x)＝0 無法求解，可以根據函數 y＝f(x)的性質及圖象求出零點．例如，求
定義在 R 上的減函數 f(x)(f(x)為奇函數)的零點．因為奇函數 y＝f(x)是定義在 R 上的減函數，那
么由奇函數的性質可知 f(0)＝0.因為 y＝f(x)是定義在 R 上的減函數，所以不存在其他的 x 使 f(x)
＝0，從而 y＝f(x)的零點是 0.　　　
題型 1：求函數的零點
1-1．（2024 高一上·全國·課后作業）判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出．
(1) f x x + 3= ；
x
(2) f x = x2 + 2x + 4；
(3) f x = 2x - 3；
(4) f x =1- log3 x .
【答案】(1)零點是-3
(2)不存在
(3)零點是 log2 3
(4)零點是 3
【分析】根據函數零點的概念結合條件即得.
x + 3
【詳解】（1）令 = 0 ，解得 x = -3，
x
x + 3
所以函數 f x = 的零點是-3；
x
2 f x = x2（ ）令 + 2x + 4＝0，
由于D = 22 - 4 4 = -12 < 0 ，
所以方程 x2 + 2x + 4 = 0 無解，
所以函數 f x = x2 + 2x + 4不存在零點；
（3）令 2x - 3 = 0，解得 x = log2 3，
所以函數 f x = 2x - 3的零點是 log2 3；
（4）令 f x =1- log3 x = 0，解得 x = 3，
所以函數 f x =1- log3 x的零點是 3.
1-2．（2024·陜西西安·模擬預測）函數 f x =1- lg 3x + 2 的零點為（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
【答案】A
【分析】根據零點的定義即可求解.
【詳解】令 f x =1- lg 3x + 2 = 0，得3x + 2 =10 ，則 x = log3 8．
故選：A
1-3．（2024 高一·江蘇·假期作業）求下列函數的零點．
(1) y = x - 2 x - 3；
(2) y = x2 - 3a -1 x + 2a2 - 2 .
【答案】(1)9
(2)答案見解析
【分析】根據零點的定義，建立方程，利用十字相乘法解方程，結合解的性質，可得答案.
【詳解】（1）由 x - 2 x - 3 = 0，得 x +1 x - 3 = 0，
又 x 0 ，所以 x = 3，
即 x = 9 ，所以函數 y = x - 2 x - 3的零點為9 .
（2 2）由 x - 3a -1 x + 2a2 - 2 = 0，得 éx - a +1 ù éx - 2 a -1 ù = 0，
①當 a +1 = 2 a -1 ， a = 3時，函數有唯一零點 4；
②當 a +1 2 a -1 ，即 a 3時，函數有兩個零點 a +1和 2 a -1 .
ì
1-4．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x 1- x , x 0= í ，則函數 y = f x - 3的零點為 .
x + log2 x, x > 0
【答案】-8和 2
【分析】分 x 0 和 x > 0兩種情況討論，通過解方程或結合函數單調性處理零點問題.
【詳解】當 x 0 時，令 y = f x - 3 = 1- x - 3 = 0，解得 x = -8；
當 x > 0時，則 y = f x - 3 = x + log2 x - 3在 0, + 上單調遞增，且 y |x=2 = 0，
故 y = f x - 3在 0, + 內有且僅有一個零點 2；
綜上所述：函數 y = f x - 3的零點為-8和 2 .
故答案為：-8和 2 .
ì x +1, x 0
1-5．（2024 高三上·福建莆田·開學考試）設函數 f x = í 2 ，則方程 f f x = 0的解集為 .
x -1 , x > 0
【答案】{-2,0,2}
【分析】根據給定條件，利用換元法求出方程的解集作答.
ìx +1, x 0
【詳解】函數 f x = í 2 ，令 f (x) = t ，則方程 f f x = 0化為 f (t) = 0，
x -1 , x > 0
當 t 0時， t +1 = 0，解得 t = -1，當 t > 0時， (t -1)2 = 0，解得 t =1，因此 t = -1或 t =1，
當 t = -1時， f (x) = -1，顯然 x 0 ，即 x +1 = -1，解得 x = -2，
當 t =1時， f (x) = 1，若 x 0 ，則 x +1 = 0，解得 x = 0，若 x > 0，則 (x -1)2 =1，解得 x = 2，因此 x = 0或
x = 2，
所以方程 f f x = 0的解集為{-2,0,2} .
故答案為：{-2,0,2}
（二）
判斷函數零點的個數
判斷函數 y＝f(x)的零點的個數的方法
(1)解方程法：方程 f(x)＝0 的實數根的個數就是函數 f(x)的零點的個數．
(2)定理法：借助函數的單調性及函數零點存在定理進行判斷．
(3)圖象法：如果函數圖象易畫出，則可依據圖象與 x 軸的交點的個數來判斷．特別地，對于形
如 y＝h(x)－g(x)的函數，可通過函數 h(x)與 g(x)的圖象的交點的個數來判斷函數 y＝h(x)－g(x)
的零點的個數．　
題型 2：判斷函數零點的個數
2-1．（2024 高一·全國·課后作業）方程 loga x = x - 2(0 < a <1)的實數解的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根據函數圖象的交點個數即可求解.
【詳解】在同一直角坐標系中畫出函數 y = loga x, 0 < a <1 和 y = x - 2的圖象，
由圖象可知：兩個函數圖象只有一個交點，故方程 loga x = x - 2(0 < a <1) 的實數解的個數為 1，
故選：B
1
2-2．（2024 2高一下·江蘇南通·階段練習）函數 f x = x + x - 3的零點個數為 .2
【答案】 2
y 1【分析】將問題轉化為函數 = x 與 y = 3 - x
2 的交點個數，作出函數圖象即可得到結果.
2
f x = x2 1 1 2【詳解】函數 + x - 3的零點個數等價于方程2 2x
= 3 - x 的解得個數，
1
即函數 y = 與 y = 3- x2x 的交點個數，2
1
作出函數 y = 2
2x
與 y = 3- x 的圖象如下圖所示，
1
由圖象可知：函數 y = x 與 y = 3- x
2 有且僅有兩個不同交點，
2
\函數 f x = x2 1+ x - 3的零點個數為 2 .2
故答案為： 2 .
2-3．（2024 高三·全國· 2對口高考）函數 f x = 2ln x 的圖象與函數 g x = x - 4x + 5的圖象的交點個數為
個．
【答案】2
【分析】在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，由圖象觀察其交點個數．
【詳解】在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，如圖，它們交點個數為 2．
故答案為：2.
1
2-4 2024 · · a = a |x|．（ 高三 全國 對口高考）已知 ，方程 = loga x 的實根個數為 ．2
【答案】2
|x|
f x = 1 【分析】分別作出 ÷ 和 g x = log 1 x 的圖象，結合圖象即可得到答案．
è 2 2
1 1 x
【詳解】由 a = ，則 = log x ，
2 è 2 ÷ 1 2
|x|
則令 f x 1= ， g x = log x ，
è 2 ÷
1
2
分別作出它們的圖象如下圖所示，
|x|
由圖可知，有兩個交點，所以方程a = loga x 的實根個數為 2．
故答案為：2．
（三）
判斷零點所在的區間
確定函數 f(x)零點所在區間的常用方法
(1)解方程法：當對應方程 f(x)＝0 易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區間上．
(2)利用函數零點存在定理：首先看函數 y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有
f(a)f(b)<0.若有，則函數 y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．
(3)數形結合法：通過觀察函數圖象與 x 軸在給定區間上是否有交點來判斷．
注：函數零點存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0 函數 y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，但是函數 y
＝f(x)在(a，b)內有零點，不一定能推出 f(a)f(b)<0.
題型 3：判斷零點所在的區間
x 1
3-1 2024 1 ．（ 高一·全國·課堂例題）方程 ÷ = x3 的根所在區間是（ ）
è 2
2 1 2 1 1 1
A ． ,13 ÷
B． , ÷ C． , ÷ D． 0, ÷
è è 2 3 è 3 2 è 3
【答案】C
x 1
【分析】構造函數 f x 1= ÷ - x3 ，判斷函數的單調性，然后根據零點存在性定理分析判斷即可
è 2
x 1
【詳解】構造函數 f x 1= ÷ - x3 ，
è 2
1 x 1
因為 y = ÷ 和 y = -x3 在R 上單調遞減，所以函數 f x 在R 上單調遞減，è 2
且函數 f x 的圖象是一條連續不斷的曲線，
0 1 1 1 1
因為 f 0 1 3 3 2 3= ÷ - 0 =1 > 0， f 1 = 1 12 ÷ ÷ -

÷ > 0， f
1 1 1=
è 3 2 3 2 ÷ 2 ÷
- 2 ÷
< 0 ，
è è è è è è
由 f x f 2 1 1 的單調性可知 < 0， f 1 < 0，則 f f < 0，
è 3 ÷ 3 ÷ ÷ è è 2
f x 1 , 1 故函數 的零點所在的區間為 3 2 ÷，è
1 x 1 1 1
即方程 = x3 的根 x 屬于區間 , ．
è 2 ÷
0 3 2 ÷ è
故選：C
3-2．（2024 x高一上·重慶長壽·期末）函數 f x = log2x + 2 - 2π的零點所在區間是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
【答案】D
【分析】
利用零點存在定理代入區間端點處的值判斷即可得出結果.
【詳解】易知函數定義域為 0, + ，且函數 f x = log2x + 2x - 2π單調遞增，
又 f 1 = log21+ 21 - 2π<0 ，所以 0,1 上沒有零點；
f 2 = log2 2 + 22 - 2π = 5 - 2π<0，
f 3 = log 323+ 2 - 2π>8 - 2π>0，由零點存在定理可知 f 2 × f 3 < 0 ，
所以零點所在區間是 2,3 .
故選：D
3-3．（2024 高一下·甘肅·期末）若 x0 是方程 2x =12 - 3x 的解，則 x0 （ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 4)
【答案】C
【分析】先判斷函數 f (x) 的單調性，再利用零點存在性原理即可求出解的區間.
【詳解】因為函數 f (x) = 2x + 3x -12 在定義上單調遞增，
又 f (2) = 22 + 6 -12 = -2 < 0 ， f (3) = 23 + 9 -12 = 5 > 0，
所以函數 f (x) 的零點所在區間是 (2,3) ，即 x0 (2, 3)．
故選：C.
3-4．（2024 高一下·湖南·階段練習）函數 f (x) = x - log 1 x +1的零點所在的區間為（ ）
2
0, 1 1 1 A． ÷ B． ,
è 4 è 4 3 ÷
1 1 1
C． , ÷ D． ,1
è 3 2 ÷ è 2
【答案】C
【分析】根據題意得函數在 0, + 上單調遞增，然后根據零點存在性定理分析判斷即可解出.
【詳解】Q y = x +1在 0, + 上單調遞增， y = - log 1 x在 0, + 上單調遞增，
2
\函數 f (x) = x - log 1 x +1在 0, + 上單調遞增，
2
f 1 1∵ ÷ = - log
1
1 +1
3
= - < 0，
è 4 4 2 4 4
1 1
f 1 1 1 4 3 ÷
= - log +1 = - log 3 = log 163 - log 273 < 0，
è 3 1 2 2 22 3 3
f 1 1 1 1 = - log2 ÷ 1
+1 = > 0，
è 2 2 2 2
\函數 f (x) = x - log 1 x +1
1 , 1 的零點所在的區間為 .
2 è 3 2 ÷
故選：C
x
1
3-5．（2024 1 高一下·海南省直轄縣級單位·期中）若 x0 是函數 f x = - x 2 的零點，則 x 屬于區間
è 3 ÷
0

（ ）.
1 1 1
A． 0, ÷ B． ,
è 3 è 3 2 ÷
1 2 2 C． , ÷ D．2 3
,1
3 ÷è è
【答案】B
x
1 1
【分析】由題意 x0 是函數 f x = ÷ - x 2 = 0的解，根據指數函數和冪函數的增減性進行解答即可.
è 3
1 1 1 1
3 2 2 2
【詳解】由題意，根據指數函數和冪函數的性質，可得 1 1 1 1 3 ÷
> 3 ÷
, 3 ÷
< ÷ ，
è è è è 2
1 1 1 1
3 2 2 2 1 1
所以 f 1 = 1 - 1 > 0, f 1 = 1 1 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ - ÷ < 0，即 f ÷ × f ÷ < 0 .
è 3 è 3 è 3 è 2 è 3 è 2 è 3 è 2
x
f x = 1 1又 ÷ - x 2 為R 上的減函數，
è 3
x
1 1 1
由零點存在定理，可得函數 f x 1= ÷ - x 2 有且只有一個零點且零點 x0 , ÷ .
è 3 è 3 2
故選：B．
（四）
函數零點性質的應用
1、已知函數有零點(方程有根)，求參數值常用的方法和思路
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數取值范圍;
(2)分離參數法:將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決;
(3)數形結合:先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后觀察求解.
2、一元二次方程根的分布問題關注三個方面：①判別式；②對稱軸的范圍；③區間端點的函數值
的正負.　
題型 4：已知零點個數求參數的取值范圍
4-1．（2024 2高一·全國·課后作業）若函數 f (x) = 4x - x - a 有 2 個零點，求實數 a 的取值范圍．
【答案】 (4,+ ) U{0}
2
【分析】令 g x = 4x - x ，畫出 g x 的圖象，由圖象知直線 y = a 與 g x 的圖象有兩個交點即可.
【詳解】令 f (x) = 4x - x2 - a=0 a = 4x - x2 ，
2
令 g x = 4x - x2 ，則 g x 2
ì4x - x ,0 < x < 4
= 4x - x = íx2
，
- 4x, x > 4或x < 0
畫出 g x 的大致圖象如下：
由圖象可知：當 a < 4或 a = 0時，直線 y = a 與 g x 的圖象有兩個交點，符合題意，
故 a 的取值范圍為 (4,+ ) U{0}，
x - c, x 0,
4-2．（2024·北京西城·一模）設 c R ，函數 f (x)
ì
= í2x 2c, x 0. 若
f (x) 恰有一個零點，則 c的取值范圍是
- <
（ ）
A． (0,1) B．{ 0 }U [1,+ )
1
C． (0, ) D．{ 0 }U [
1 ,+ )
2 2
【答案】D
ìx, x 0
【分析】根據題意利用函數與方程的思想，可將 g x = í c
2
x , x 0 圖象平移對參數 進行分類討論即可得出<
其取值范圍.
ìx, x 0【詳解】畫出函數 g x = í2x , x 0 的圖象如下圖所示： <
ìx - c, x 0, x, x 0,
函數 f (x) = í x 可由 g(x)
ì
=
2 - 2c, x < 0. í x 分段平移得到， 2 , x < 0.
易知當 c = 0時，函數 f (x) 恰有一個零點，滿足題意；
當 c < 0時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；
當 c > 0時，圖象往下平移，當0 < 2c <1時，函數有兩個零點；
當 2c 1時， f (x)
1
恰有一個零點，滿足題意，即c ；
2
綜上可得 c
1
的取值范圍是 0 [ , + ) .
2
故選：D
4-3．（2024·湖北·模擬預測）設min{m,n} 2表示 m，n 中的較小數．若函數 f (x) = min | x | -1,2x - ax + a + 6
至少有 3 個零點，則實數 a的取值范圍是（ ）
A．[12,+ ) B． (- , -4] (12, + )
C． (- , -4) [12, + ) D． (- , -4)
【答案】A
【分析】分析可知函數 g(x) = 2x2 - ax + a + 6至少有一個零點，可得出D 0，求出 a的取值范圍，然后對實
數 a的取值范圍進行分類討論，即可得出實數 a的取值范圍.
2
【詳解】由題意可得 g(x) =2x -ax+a+6=0有解，
所以D=a2 -8(a+6) 0，解得 a -4或 a 12，
ìa >1
當 a 12

時，必有 í 4 ，解得 a 12；
g(1) = 2 - a + a + 6 0
ìa
< -1
當 a -4時，必有 í 4 ，不等式組無解，
g(-1) = 2a + 8 0
綜上所述， a 12，∴ a的取值范圍為[12,+ ) .
故選：A
4-4．（2024 高一下·湖北荊州·階段練習）若方程 ex -1 = m有兩個不同的實數根，則實數m 的取值范圍為
（ ）
A． 0, + B． 0,1 C． 0,1 D． 1, +
【答案】C
【分析】把方程根的問題轉化為兩個函數圖象交點的問題，畫出函數圖象，利用數形結合的思想即可求解．
f x = ex【詳解】令 -1 ，
由于當 x < 0 時，-1 < ex -1 < 0 ，\ f x =1- ex ，且 f x 0,1 ；
當 x 0 時， ex -1 0，\ f x = ex -1，且 f x 0, + ，
作出函數 f x 的圖象如圖所示，
則當0 < m <1時，函數 f x = ex -1 x與 y = m的圖象有兩個交點，即方程 e -1 = m有兩個不同的實數根，
\m的取值范圍是 0,1 ．
故選：C．
題型 5：已知零點所在區間求參數的取值范圍
5-1．（2024 x 2高一上·江蘇南通·期末）設 k 為實數，函數 f x = 2 + x - k 在 0,1 上有零點，則實數 k 的取值范
圍為 ．
【答案】 1,3
【分析】由零點的存在性定理求解即可
x 2
【詳解】因為 f x = 2 + x - k 在 0,1 單調遞增，且有零點，
ì f 0 =1- k 0
所以 í f 1 ，解得1 k 3， = 2 +1- k 0
故答案為： 1,3
5-2 2．（寧夏回族自治區銀川一中 2023 屆高三三模數學（理）試題）函數 f (x) = log2 x + x + m在區間 2,4 上
存在零點，則實數m 的取值范圍是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
【答案】D
【分析】根據零點存在定理即可得 f (2) × f (4)<0，解出實數m 的取值范圍為 -18, -5 .
2
【詳解】由零點存在定理可知，若函數 f (x) = log2 x + x + m在區間 2,4 上存在零點，
顯然函數為增函數，只需滿足 f (2) × f (4)<0，即 m + 5 m +18 <0，
解得-18所以實數m 的取值范圍是 -18, -5 .
故選：D
題型 6：比較零點的大小
6-1．（2024 高一上·湖北鄂州·期末）已知方程 2x + 2x = 0、 log2 x + 2x = 0、 x3 + 2x = 0的根分別為 a，b，c，
則 a，b，c 的大小順序為（ ）．
A． a > b > c B．b > c > a C． c > a > b D．b > a > c
【答案】B
【分析】首先求出 c = 0，再由 f (x) = 0 得 2x = -2x ，由 g(x) = 0 得 log2 x = -2x ，將其轉化為 y = 2x 、y = log2 x
與 y = -2x 的交點，數形結合即可判斷結果.
【詳解】由 h(x) = x3 + x = 0得 x = 0，\c = 0 ，
由方程 2x + 2x = 0得 2x = -2x 的根為 a，由方程 log2 x + 2x = 0得 log2 x = -2x 的根為 b.
在同一平面直角坐標系中畫出 y = 2x 、 y = log2 x 、 y = -2x 的圖象，
由圖象知， a < 0，b > 0，\a < c < b .
故選：B
6-2 3 x．（2024 高一下·河南洛陽·期末）已知函數 f x = x + x ， g x = x + 3 ， h x = x + log3 x的零點分別為
x1， x2， x3 ，則x1， x2， x3 的大小順序為（ ）
A． x2 > x3 > x1 B． x3 > x2 > x1
C． x1 > x2 > x3 D． x3 > x1 > x2
【答案】D
【分析】依題意可將函數的零點轉化為函數 y = x3、 y = 3x 、 y = log3 x與 y = -x 的交點的橫坐標，畫出函數
圖象，結合圖象即可判斷；
【詳解】解：依題意令 f x = x + x3 = 0 ，即 x3 = -x ，
同理可得3x = -x， log3 x = -x ，
則函數的零點轉化為 y = x3、 y = 3x 、 y = log3 x與 y = -x 的交點的橫坐標，
在平面直角坐標系上畫出函數圖象如下：
由圖可得 x1 = 0 ， x2 < 0， x3 > 0，即 x3 > x1 > x2 .
故選：D
6-3 a．（2024 高一上·福建泉州·階段練習）設正實數 a,b,c分別滿足 a ×2 = b × log3 b = c × log2 c =1，則 a,b,c的大
小關系為（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D． a > c > b
【答案】B
x
【分析】作出 y = 2 , y = log2 x, y = log
1
3 x的圖像，利用圖像和 y = x 圖像交點的橫坐標比較大小即可.
1
= 2a 1 1【詳解】由已知可得 ， = log b ， = log c，
a b 3 c 2
y = 2x作出 , y = log2 x, y = log3 x的圖像如圖所示：
1
它們與 y = x 交點的橫坐標分別為
a,b,c，
由圖像可得b > c > a，
故選：B
題型 7：求零點之和
7-1．（2024 高一上·全國·單元測試） y = f x 是R 上的偶函數，若方程 2 f x =1有五個不同的實數根，則
這些根之和為（ ）
1
A．2 B．1 C．0 D．
2
【答案】C
【分析】根據偶函數的對稱性，即可判斷.
1
【詳解】因為函數 f x 是R 上的偶函數，所以函數圖象關于 y 軸對稱，那么 2 f x =1，即 f x = 有 5 個
2
實數根，可知其中 4 個實數根，有兩對關于 y 軸對稱，另外一個為 x = 0，所以這些根的和為 0.
故選：C
7-2．（2024 高三上· x-1四川成都·開學考試）已知函數 f x = e - e1-x + 4 ，若方程 f x = kx + 4 - k(k > 0)有三
個不同的根 x1, x2 , x3，則 x1 + x2 + x3 = （ ）
A．4 B．3 C．2 D． k
【答案】B
【分析】由題意，易知 y = ex - e- x為奇函數， f x 由函數 y = ex - e- x向右平移一個單位長度，再向上平移 4
個單位長度而得到的，所以 f x 的圖象關于點 1,4 對稱，再根據直線也關于點 1,4 對稱，即可得答案.
【詳解】由題意，因為 e- x - ex = - ex - e- x ，所以 y = ex - e- x為奇函數，
f x 由函數 y = ex - e- x向右平移一個單位長度，再向上平移 4 個單位長度而得到的，
所以 f x 的圖象關于點 1,4 對稱.
而 f x = kx + 4 - k = k x -1 + 4 所表示的直線也關于點 1,4 對稱，
所以方程 f x = kx + 4 - k 的三個實根 x1, x2 , x3中必有一個為 1，另外兩個關于 x =1對稱，所以
x1 + x2 + x3 = 3 .
故選：B.
ì
2x + 2, x 0
7-3．（2024 高一上·貴州畢節·期末）已知函數 f x = í ，則函數 y = f é f x ùlog x, x 0 的所有零點之和 4 >
為 ．
9
【答案】
4
【分析】利用分段函數，分類討論，即可求出函數 y = f é f x ù 的所有零點，從而得解．
【詳解】設m = f x ，則 f m = 0，
①當m 0時， 2m + 2 = 0，得m = -1；
②當m > 0時， log4 m = 0，得m =1；
綜上所述：若 f m = 0，則m = -1或m =1.
故 f x = -1或 f x =1，則有：
x 0 ìx > 0
①由 f x ì= -1 3 1，可得 í 或 í ，解得 x = - x =
2x + 2 = -1 log4 x
或 ；
= -1 2 4
f x 1 ì
x 0 ìx > 0 1
②由 = ，可得 í 或 í ，解得 x = - 或 x = 4
2x
；
+ 2 =1 log4 x =1 2
3 1 1
綜上所述：函數 y = f f x 的所有零點為- ， ，-4 ，4.2 2
3 1 1 9
故所有零點的和為 - ÷ + + - ÷ + 4 = ．
è 2 4 è 2 4
9
故答案為： .
4
【點睛】關鍵點點睛：根據題意分 x 0 和 x > 0兩種情況討論，運算求解,
（五）
二分法的概念
1、二分法的概念
判斷一個函數能用二分法求其零點近似值的依據：其圖象在零點附近是連續不斷的且該零點為
變號零點．因此，用二分法求函數零點近似值的方法僅對函數的變號零點適用，對函數的不變
號零點不適用．
2、二分法的適用條件
判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是：其圖象在零點附近是連續不斷的，且該零點為
變號零點．因此，用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適用，對函數的不
變號零點不適用．　
題型 8：二分法的概念的應用
8-1（2024 高一·全國·課后作業）以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據零點的存在定理可知，函數的零點是變號零點，才能將區間[a，b]一分為二，逐步得到零點的
近似值，分析個圖象，即可求解，得到答案．
【詳解】根據二分法的思想，函數 f(x)在區間[a，b]上的圖象連續不斷，且 f(a)·f(b)<0，即函數的零點是變
號零點，才能將區間[a，b]一分為二，逐步得到零點的近似值，對各圖象分析可知，A，B，D 都符合條件，
而選項 C 不符合，因為圖象經過零點時函數值不變號，因此不能用二分法求函數零點．
故選 C
【點睛】本題主要考查了二分法的概念及其應用，其中解答中熟記二分法的思想和零點的存在定理是解答
的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．
8-2．（2024 高一·全國· x課后作業）用二分法求函數 f x = 2 - 3的零點時，初始區間可選為（ ）
A．[-1,0] B．[0,1]
C． 1,2 D．[2,3]
【答案】C
【分析】結合零點存在性定理及二分法即可求解.
5
【詳解】 f -1 = - < 0, f 0 = -2 < 0, f 1 = -1 < 0, f 2 =1 > 0, f 3 = 5 > 0，
2
則 f 1 × f 2 < 0，即初始區間可選[1, 2]．
故選：C.
8-3．（2024 高一·江蘇·單元測試）下列函數一定能用“二分法”求其零點的是（ ）
A． y = kx + b（k，b 為常數，且 k 0）
B． y = ax2 + bx + c（a，b，c 為常數，且 a 0）
C． y = 2x
D． y
k
= （ k 0，k 為常數）
x
【答案】A
【分析】根據二分法的概念，結合一次函數，二次函數，指數函數，反比例函數的性質依次討論求解即可.
【詳解】解：由指數函數與反比例函數的性質可知其沒有函數零點，故 C，D 不能用“二分法”求其零點，
故 CD 錯誤；
對于二次函數 y = ax2 + bx + c（a，b，c 為常數，且 a 0），當D = b2 - 4ac 0時，不能用二分法，故 B 錯誤；
由于一次函數一定是單調函數，且存在函數零點，故可以用“二分法”求其零點，故 A 選項正確.
故選：A
（六）
用二分法求方程的近似解(或函數零點的近似值)
1、利用二分法求方程近似解的步驟
(1)構造函數，利用圖象確定方程的根所在的大致區間，通常限制在區間(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出滿足精確度的方程的根所在的區間 M.
(3)區間 M 內的任一實數均是方程的近似解，通常取區間 M 的一個端點．
2、用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則
(1)需依據圖象估計零點所在的初始區間[m，n](一般采用估計值的方法完成)．
(2)取區間端點的中點 c，計算 f(c)，確定有解區間是(m，c)還是(c，n)，逐步縮小區間的“長
度”，直到區間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數零點的近似值．　
題型 9：用二分法求方程的近似解(或函數零點的近似值)
9-1．（2024 高一上·全國·課后作業）用二分法求方程的近似解，精確度為e ，則終止條件為（　　）
A． x1 - x2 > e B． x1 - x2 < e
C． x1 【答案】B
【分析】由“用二分法求方程的近似解”的步驟即可得出答案.
【詳解】根據題意，用二分法求方程的近似解，若要求的精確度為e ，
當 x1 - x2 < e 時，即表示滿足精度要求，可以確定近似解．
故選：B
9-2．（2024 高一上·全國·課后作業）用二分法可以求得方程 x3 + 5 = 0 的近似解(精確度為 0.1)為（ ）
A．-1.5 B．-1.8
C．-1.6 D．-1.7
【答案】D
【分析】根據二分法逐步計算求解即可.
【詳解】令 f (x) = x3 + 5，記其零點為 x0 ，
易知 f (-2) = -3 0, f (-1) = 4 0，所以 x0 -2, -1 ，
又 f (
3
- ) =1.625 > 0，所以 x -2, -1.5 ，
2 0
因為 f (-1.75) -0.35 < 0，所以 x0 -1.75, -1.5 ，
因為 f (-1.625) 0.71 > 0 ，所以 x0 -1.75, -1.625 ，
因為 f (-1.6875) 0.19 > 0 ，所以 x0 -1.75, -1.6875 ，
又-1.6875 - (-1.75) = 0.0625 < 0.1，
所以區間 -1.75, -1.6875 內的實數均可作為方程 x3 + 5 = 0 的近似解.
故選：D
9-3．（2024 高一上·江蘇淮安·期末）已知函數 f x 在( 0, 1)內有一個零點，且求得 f (x) 的部分函數值數據如
下表所示：
x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
f (x) -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使 f (x) 零點的近似值精確到 0.1，則對區間( 0, 1)的最少等分次數和近似解分別為（ ）
A．6 次 0.7 B．6 次 0.6
C．5 次 0.7 D．5 次 0.6
【答案】C
【分析】根據題意，結合二分法代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意可知，對區間 0,1 內，需要求解 f 0.5 , f 0.75 , f 0.625 , f 0.6875 ,
f 0.65625 的值，然后達到 f x 零點的近似值精確到0.1，所以零點的近似解為0.7 ，
共計算5次.
故選：C
（七）
指數型模型的應用
指數函數模型的應用
1．在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常可以用指數函數模型
表示．通常可以表示為 y＝N(1＋p)x(其中 N 為基礎數，p 為增長率，x 為時間)的形式．
2．解答數學應用題應過的三關
(1)理解關：數學應用題的文字閱讀量較大，需要通過閱讀找出關鍵詞、句，確定已知條件是
什么，要解決的問題是什么．
(2)建模關：將實際問題的文字語言轉化成數學符號語言，用數學式子表達文字關系，進而建
立實際問題的數學模型，將其轉化成數學問題．
(3)數理關：建立實際問題的數學模型時，要運用恰當的數學方法．
注；函數 y＝c·akx(a，c，k 為常數)是一個應用廣泛的函數模型，它在電學、生物學、人口學、
氣象學等方面都有廣泛的應用，解決這類給出的指數函數模型的應用題的基本方法是待定系數
法，即根據題意確定相關的系數．
題型 10：指數型模型的應用
10-1．（2024 高一上·江蘇揚州·階段練習）著名數學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物
-kt
體的初始溫度為 1 ℃，空氣溫度為 0 ℃，則 t分鐘后物體的溫度 （單位：℃，滿足： = 0 + ( 1 - 0 )e )
若常數 k = 0.05，空氣溫度為30 ℃，某物體的溫度從110 ℃下降到 40 ℃，大約需要的時間為（ ）（參考數
據： ln 2 0.69 ）
A．39 分鐘 B．41 分鐘 C．43 分鐘 D．45 分鐘
【答案】B
【分析】將已知數據代入模型，解之可得答案.
【詳解】由題知 0 = 30， 1 =110 ， = 40，
\40 = 30 + (110 - 30)e-0.05t ，
\e-0.05t 1= ，
8
\-0.05t ln 1= ，
8
\0.05t = ln8 = 3ln 2，
t 3ln 2\ = = 60 ln 2 60 0.69 41 .
0.05
故選：B.
10-2．（2024 高一·全國·課后作業）從盛滿10L純酒精的容器里到倒出1L酒精，然后用水充滿，再倒出1L混
合溶液，再用水充滿，這樣繼續下去，若第 x x N+ 次倒出純酒精為 f (x) （單位：L），則函數 f (x) 的表
達式為 ．（假設酒精與水混合后相對體積不變）
x-1
【答案】 f (x) = 0.9 x N+
【分析】根據題意寫出酒精殘留量，再求出倒出純酒精即可得到答案．
9
【詳解】第 1 次酒精殘留量 y =10 ，
10
9 2
第 2 次酒精殘留量 y =10 ÷ ，
è10
x-1
9
即第 x -1次酒精殘留量 y =10 ÷ , x N10 +
.
è
9 x-1 1 9 x-1
則第 x x N+ 次倒出純酒精為 f (x) = 10 =10 ÷ 10 ÷è è10
x-1
故答案為： f (x) = 0.9 x N+ .
10-3．（2024 高一下·湖南岳陽·期末）著名田園詩人陶淵明也是一個大思想家，他曾言：勤學如春起之苗，
不見其增，日有所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧.今天，我們可以用數學觀點來對這句話重新
詮釋，我們可以把“不見其增”量化為每天的“進步率”都是1% ，一年后是1.01365 ；而把“不見其損”量化為每
365
天的“落后率”都是1% 1.01，一年后是0.99365 .可以計算得到，一年后的“進步”是“落后”的
0.99365
1481倍.那么，
如果每天的“進步率”和“落后率”都是 20%，要使“進步”是“落后”的10000倍，大約需要經過（ lg 2 0.301，
lg3 0.477 ）（ ）
A．17 天 B．19 天 C．23 天 D．25 天
【答案】C
3 x
【分析】根據題意得 ÷ 10000，根據對數的運算性質即可求解.
è 2
x
【詳解】經過 x 天后，“進步”與“落后” 1.2的比 x 10000，0.8
3 x
所以 ÷ 10000，
è 2
3
兩邊取以10為底的對數得 x × lg 4，又 lg 2 0.301， lg3 0.477 ，
2
所以 x × lg3- lg 2 = x 0.477 - 0.301 = 0.176x 4 ，
x 4解得 22.73，
0.176
所以大約經過 23天后，“進步”是“落后”的10000倍.
故選：C.
（八）
對數函數模型的應用
(1)形如 y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特點為當 a>1，m>0 時，y 隨自變量 x 的增大而增
大，且函數值增大的速度越來越慢．
(2)對于對數型函數模型問題，關鍵在于熟練掌握對數函數的性質，在認真審題的基礎上，分
析清楚底數 a 與 1 的大小關系，要關注自變量的取值范圍．
借助于數學模型解決數學問題的同時，實際問題也得以順利解決，這就是函數模型的作用．
注：對數函數應用題的基本類型和求解策略：
(1)基本類型：有關對數函數的應用題一般都會給出函數的解析式，然后根據實際問題求解；
(2)求解策略：首先根據實際情況求出函數解析式中的參數，或根據給出的具體情境，從中提
煉出數據，代入解析式求值，然后根據數值回答其實際意義．　　　
題型 11：對數函數模型的應用
11-1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）陜西榆林神木石峁遺址發現于 1976，經過數十年的發掘研究，已證實是
中國已發現的龍山晚期到夏早期規模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼
等遺跡，2019 年科技人員對遺跡中發現的某具人婁骨骼化石進行碳 14 測定年代，公式為：
t A= 5730ln 0 ÷ 0.693（其中 t為樣本距今年代， A0 為現代活體中碳 14 放射性豐度，A 為測定樣本中碳 14
è A
放射性豐度），已知現代活體中碳 14 放射性豐度 A0 =1.2 10
-12
，該人類骨骼碳 14 放射性豐度
A = 7.4 10-13 ，則該骨骼化石距今的年份大約為（ ）（附： ln1.6216 0.4834， ln1.7 0.5306，
ln1.5 0.4055）
A．3353 B．3997 C．4125 D．4387
【答案】B
A
【分析】首先求出 0 再代入公式，利用參考數據計算可得.
A
A 1.2 10-12
【詳解】由題知， 0 = -13 1.6216，A 7.4 10
∴ t = 5730ln1.6216 0.693 5730 0.4834 0.693 3997 .
故選：B.
11-2．（2024 高二下·云南昆明·期末）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，洄游到產卵地產卵.科學家發現鮭魚的
1 P
游速 v（單位：m / s）與鮭魚的耗氧量的單位數 P 的關系為 v = log3 ，則鮭魚靜止時耗氧量的單位數為2 100
（ ）
A．1 B．100 C．200 D．300
【答案】B
1 P
【分析】根據 v = log3 和 v的值，求出 P 的值.2 100
1 P 1 P
【詳解】因為 v = log3 ，所以當鮭魚靜止時， v = 0m / s，即 log = 0，2 100 1 2 3 100
P
化簡得 =1，所以P =100；
100
故選:B.
11-3．（2024 高三下·湖南·階段練習）住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣
體，對人體健康有著極大的危害.新房入住時，空氣中甲醛濃度不能超過 0.08 mg/m3，否則，該新房達不到
安全入住的標準.若某套住房自裝修完成后，通風 x x =1,2,3,L,50 周與室內甲醛濃度 y（單位：mg/m3）之
間近似滿足函數關系式 y = 0.48 - 0.1 f x x N* ，其中 f x = log éa k x2 + 2x +1 ù k > 0, x =1,2,3,L,50 ，
且 f 2 = 2， f 8 = 3，則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，至少需要通風（ ）
A．17 周 B．24 周 C．28 周 D．26 周
【答案】D
【分析】由已知數據求得參數 a, k ，然后解不等式 f (x) 4 即可得．
【詳解】 f x = log éa k x +1
2 ù
= loga k + 2loga x +1 ，由 f 2 = 2， f 8 = 3，得 loga k + 2loga 2 +1 = 2，
loga k + 2loga 8 +1 = 3，
兩式相減得 loga 9 =1，則 a = 9，所以 loga k + 2 = 3， k = 9 .
該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，則0.48 - 0.1 f x 0.08，
則 f x 4，即1+ 2log9 x +1 4，解得 x 26，
故至少需要通風 26 周.
故選：D．
（九）
建立擬合函數模型解決實際問題
對于此類實際應用問題，關鍵是建立適當的函數關系式，再解決數學問題，最后驗證并結合問
的實際意義作出回答，這個過程就是先擬合函數再利用函數解題．函數擬合與預測的一般步驟
如下：
(1)能夠根據原始數據、表格，繪出散點圖．
(2)通過考察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線．如果所有實際點都
落到了擬合直線或曲線上，滴“點”不漏，那么這將是個十分完美的事情，但在實際應用中，這
種情況一般不會發生．因此，使實際點盡可能均勻分布在直線或曲線兩側，使兩側的點數大體
相等，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了．
(3)根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式．
(4)利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據．
題型 12：建立擬合函數模型解決實際問題
12-1．（2024 高三下·全國·階段練習）某地自 2014 年至 2019 年每年年初統計所得的人口數量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人數（單位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385
（1）根據表中的數據判斷從 2014 年到 2019 年哪個跨年度的人口增長數量最大？并描述該地人口數量的變
化趨勢；
450
（2）研究人員用函數P t = 2000 + t-0.6544t 擬合該地的人口數量，其中 的單位是年，2014 年年初4.4878e +1
對應時刻 t = 0，P t 的單位是千人，經計算可得P 6.5 2450，請解釋P 6.5 2450的實際意義.
【答案】（1）2016 年到 2017 年的人口的增長數量最大，2014 年到 2019 年該地每年人口的增長數量呈先遞
增后遞減的趨勢（或 2014 年到 2019 年該地每年人口總數呈逐漸遞增的趨勢）；（2）到 2020 年中，該地的
總人數大約可增長到 2450 千人（或到 2020 年 6 月末或 7 月初，該地的總人數大約可增長到 2450 千人）
【解析】（1）根據表中的數據，逐年作差，可得從 2014 年到 2019 年每年增加的數量，逐年增多，從 2017
后，增加的人數逐年減少；
（2）根據函數的表達式及題意，可得P t 表示 2014+t 年的人口數量，不難得到P 6.5 2450的實際意義．
【詳解】（1）從 2014 年到 2015 年該地的人口增長數量： 2135 - 2082 = 53；
從 2015 年到 2016 年該地的人口增長數量： 2203- 2135 = 68；
從 2016 年到 2017 年該地的人口增長數量： 2276 - 2203 = 73；
從 2017 年到 2018 年該地的人口增長數量： 2339 - 2276 = 63；
從 2018 年到 2019 年該地的人口增長數量： 2385 - 2339 = 46；
故 2016 年到 2017 年的人口的增長數量最大.
2014 年到 2019 年該地每年人口的增長數量呈先遞增后遞減的趨勢.
（或 2014 年到 2019 年該地每年人口總數呈逐漸遞增的趨勢）.
（2）由題意，2014 年年初對應時刻 t = 0，P t 表示 2014+t 年的人口數量，
t = 6.5，P t 表示 2014+6.5=2020.5 年的人口數量，
故P 6.5 2450其實際意義為：到 2020 年中，該地的總人數大約可增長到 2450 千人.
或到 2020 年 6 月末或 7 月初，該地的總人數大約可增長到 2450 千人.
【點睛】本題考查統計表及函數模型的應用，考查運算求解及數學分析能力，屬于簡單題.
12-2．（2024 高一上·江蘇鎮江·階段練習）汽車“定速巡航”技術是用于控制汽車的定速行駛，當汽車被設定
為定速巡航狀態時，電腦根據道路狀況和汽車的行駛阻力自動控制供油量，使汽車始終保持在所設定的車
速行駛，而無需司機操縱油門，從而減輕疲勞，促進安全，節省燃料.某汽車公司為測量某型號汽車定速巡
航狀態下的油耗情況，選擇一段長度為240km的平坦高速路段進行測試，經多次測試得到一輛汽車每小時
耗油量 F（單位：L）與速度 v（單位： km/h ） (0 v 120) 的下列數據：
v 0 40 60 80 12
20 65
F 0 10 20
3 8
為了描述汽車每小時耗油量與速度的關系，經計算機擬合，選用函數模型F = av3 + bv2 +cv .
（1）求函數解析式；
（2）這輛車在該測試路段上以什么速度行駛才能使總耗油量最少？
1 3 1 2 7
【答案】（1） F = v - v + v, (0 v 120)；（2）以80km / h的速度行駛時總耗油量最少.
38400 240 24
【解析】（1）代入數據解方程即可得 a、b 、 c，即可得解；
（2）表示出總耗油量的函數，由二次函數的性質即可得解.
ì40 402 a 40b c 20 1 + + = ìa =
3

38400

【詳解】（1）由已知數據得 í60 602 a 60b 65 1+ + c = ，解得8 íb = - ， 240
80 802 a + 80b + c =10 c 7 = 24
1 3 1 2 7
所以 F = v - v + v, (0 v 120)；
38400 240 24
（2）設這輛車在該測試路段的總耗油量為 y，行駛時間為 t，
由題意得 y = F
1
× t = v3 1 - v
2 7 v 240+ ÷ ×
è 38400 240 24 v
1
= v 2 - v 1+ 70 = (v - 80)2 + 30，
160 160
因為0 v 120，所以當 v = 80 時，y 有最小值 30.
答：這輛車在該測試路段上以80km / h的速度行駛時總耗油量最少，最少為30L .
【點睛】本題考查了函數的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.
12-3．（2024 高三上·甘肅定西·階段練習）某皮鞋廠從今年 1 月份開始投產，并且前 4 個月的產量分別如下
表所示.
月份 1 2 3 4
產量（萬雙） 1.02 1.10 1.16 1.18
由于產品質量好，款式新穎，前幾個月的產品銷售情況良好.為了推銷員在推銷產品時，接受訂單不至于過
多或過少，需要估測以后幾個月的產量.廠里分析，產量的增加是由于工人生產熟練和理順了生產流程.廠里
也暫時不準備增加設備和工人.如果用 x 表示月份，用 y 表示產量，試比較 y = a x + b 和 y = abx + c哪一個更
好一些？（函數模型 y = a x + b ，要求用第 1，4 月份的數據確定 a，b ；函數模型 y = abx + c，要求用第 1，
2，3 月份的數據確定 a，b ， c，精確到 0.01， 2 1.414 ， 3 1.732）
【答案】 y = -0.43 0.75x +1.34更好些
【分析】通過計算可知：采取模型 y = a x + b 可知有兩個數據有誤差，采取模型 y = abx + c可知只有一個數
據有誤差，由此即可得解.
【詳解】（函數 y = a x + b 模擬）設 y = a x + b ，
ìa + b =1.02
將 1，4 月份的數據代入，則 í
2a + b =1.18
，
ìa = 0.16
解得 íb 0.86 ，所以 y = 0.16 x + 0.86 . =
把 x = 2和 3 代入，分別得到 y =1.09和 1.14，
又1.10 -1.09 = 0.01，1.16 -1.14 = 0.02 .
（函數 y = abx + c模擬）設 y = abx + c，將 1，2，3 月份的數據代入，
ìab + c =1.02 ìa = -0.43

得 íab2 + c =1.10

，解得 íb = 0.75 ，所以 y = -0.43 0.75x +1.34 .
ab3 + c =1.16 c =1.34
把 x = 4代入，得 y = -0.43 0.754 +1.34 =1.20，
又1.20 -1.18 = 0.02 .
相比兩個函數的模擬結果，可知由模型 y = abx + c計算得 y = -0.43 0.75x +1.34更好些.
一、單選題
1．（2024 高一上·全國·課后作業）用二分法求函數 f x = ln x +1 + x -1在區間 0,2 上的零點，要求誤差不
超過 0.01 時，計算中點函數值的次數最少為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根據二分法分析運算.
【詳解】根據題意，原來區間 0,2 的長度等于 2，每經過二分法的一次操作，區間長度變為原來的一半，
1
則經過 n 次操作后，區間的長度為 2n-1 ，
1 1 1
令 n-1 = n 0.01，即 n 7 ，計算中點函數值的次數最少為 7.2 2 2
故選：B．
1
2．（2024 高一上·全國·課后作業）用二分法求方程 ln x - = 0在 1,2 上的解時，取中點 c =1.5，則下一個有
x
解區間為（　　）
A． 1,1.25 B． 1,1.5
C． 1.25,1.5 D． 1.5,2
【答案】D
【分析】通過計算 f (1) < 0, f (1.5) < 0, f (2) > 0 ,可得答案.
【詳解】令 f (x) = ln x
1
- ，易得 f (x) 為增函數，又因為 f (1) = -1 < 0 ，
x
1 1
f 2 = ln 2 1- = ln 2 - lne2 > ln 2 - ln 42 = ln 2 - ln 2 = 0，
2
f (1.5) ln 3 2 ln 3 2 ln e 1 ln(3 3 1 2
1 27 1
= - = - = ) - ln e = ln - ln e
2
÷ < ln 4 - 2 < 0 ，2 3 2 3 3 2 3 3 è 8 3
所以下一個有根區間為 1.5,2
故選：D
3．（2024 高一上·全國·課后作業）若函數 （f x）= x3 + x2 - 2x - 2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，
其參考數據如下:
f 1 = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 （f x）= x3 + x2 - 2x - 2的一個近似解（誤差不超過 0.025）可以是（ ）
A．1.25 B．1.39 C．1.42 D．1.5
【答案】C
【分析】根據二分法及函數零點的判定定理判斷即可；
【詳解】依據題意， f (1.4375) = 0.162， f (1.40625) = -0.054 ，
所以方程的一個近似解為 1.42，滿足誤差不超過 0.025，
故選：C.
4．（2024 高一上·江西上饒·期末）若函數 f (x) = x3 + x2 - 2x - 2的一個正零點附近的函數值用二分法計算，
其參考數據如下：
f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一個近似根（精確度 0.1）為（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
【答案】B
【分析】根據二分法求零點的步驟以及精確度可求得結果.
【詳解】因為 f (1) < 0, f (1.5) > 0，所以 f (1) f (1.5) < 0 ，所以函數在 (1,1.5) 內有零點，
因為1.5 -1 = 0.5 > 0.1，所以不滿足精確度0.1；
因為 f (1.25) < 0，所以 f (1.25) f (1.5) < 0，所以函數在 (1.25,1.5)內有零點，
因為1.5 -1.25 = 0.25 > 0.1，所以不滿足精確度0.1；
因為 f (1.375) < 0，所以 f (1.375) f (1.5) < 0，所以函數在 (1.375,1.5)內有零點，
因為1.5 -1.375 = 0.125 > 0.1，所以不滿足精確度0.1；
因為 f (1.4375) > 0，所以 f (1.4375) f (1.375) < 0，所以函數在 (1.375,1.4375) 內有零點，
因為1.4375 -1.375 = 0.0625 < 0.1，所以滿足精確度0.1；
所以方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一個近似根（精確度0.1）是區間 (1.375,1.4375) 內的任意一個值（包括端點值），
根據四個選項可知選 B .
故選：B
5．（2024 高一上·吉林長春·期末）函數 f (x) = ex + x + 2零點所在的區間是（ ）
A． (1, 2) B． (-1,0)
C． -3, -2 D． (-2,-1)
【答案】C
【分析】利用函數的單調性及零點存在性定理即可得解.
【詳解】由單調性的性質易得 f (x) = ex + x + 2在R 上單調遞增，
又 f -3 = e-3 - 3 + 2 < 0， f -2 = e-2 - 2 + 2 > 0 ，
所以 f (x) 的零點所在的區間是 -3, -2 .
故選：C.
6 2024 · · f x 1
x

．（ 高一上 廣東江門 期末）已知 = - x - 2，g x = log x - x - 2 ÷ 1 ，h x = x
3 - x - 2的零點分
è 2 2
別是 a，b ， c，則 a，b ， c的大小順序是（ ）
A． a > b > c B． c > b > a C．b > c > a D．b > a > c
【答案】B
1 x
【分析】將函數的零點，轉化為函數 y = x + 2 的圖象分別與函數 y = 、 y = log ÷ 1
x 、 y = x3的圖象交點的
è 2 2
橫坐標，利用數形結合法求解．
x
【詳解】解：函數 f x 1= ÷ - x - 2， g x = log 1 x - x - 2
3
， h x = x - x - 2的零點，
è 2 2
x
1
即為函數 y = x + 2 分別與函數 y = y = log x 3 2 ÷
、 1 、 y = x 的圖象交點的橫坐標，
è 2
如圖所示：
由圖可得a < b < c .
故選：B
x
7．（2024 高一上· 1 全國·課后作業）若關于 x 的方程 ÷ = a +1有解，則 a的取值范圍是（ ）
è 2
A．0 < a 1 B．-1 < a 0 C．a 1 D． a > 0
【答案】B
1 x xy = 1 【分析】將題意轉化為 ÷ 與 y = a +1的圖象有交點，畫出 y = ÷ 與 y = a +1的圖象即可得出答案.
è 2 è 2
1 x x 1
【詳解】關于 x 的方程 ÷ = a +1有解，即 y = 與 y = a +1的圖象有交點，
è 2 è 2 ÷
x
y = 1 畫出 ÷ 與 y = a +1的圖象如下圖，
è 2
則 a +1 0,1 ，則 a -1,0 .
故選：B.
x 28．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f (x) = 2 - - a的一個零點在區間 (1,2) 內，則實數 a 的取值范圍是
x
（ ）
A． 0 < a < 3 B．1 < a < 3
C．1< a < 2 D． a 2
【答案】A
【分析】判斷函數單調性，根據零點所在區間，列出相應不等式，即可求得答案.
x y 2【詳解】因為函數 y = 2 ， = - 在 (0, + )上單調遞增，
x
x 2
所以函數 f (x) = 2 - - a在 (0, + )上單調遞增，
x
x 2
由函數 f (x) = 2 - - a的一個零點在區間 (1,2) 內得 f 1 = -a 0, f 2 = 3- a 0，
x
解得 0 < a < 3，
故選：A
9．（2024 高三·全國·專題練習）用二分法求函數 f x = ln x +1 + x -1在區間 0,1 上的零點，要求精確度為
0.01時，所需二分區間的次數最少為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由于長度等于 1 *區間，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，那么經過 n n N 次操作后，
1 1
區間長度變為 n ，若要求精確度為0.01時則 n < 0.01，解不等式即可求出所需二分區間的最少次數.2 2
【詳解】因為開區間 0,1 的長度等于 1，每經這一次操作，區間長度變為原來的一半，
* 1
所以經過 n n N 次操作后，區間長度變為
2n
，
1
令 n < 0.01，解得 n 7 ，且2 n N
*，
故所需二分區間的次數最少為 7.
故選：C.
10 3．（2024 高一上·全國·課后作業）已知函數 f x = x + 2x - 9在區間 1,2 內有一個零點，且 f x 的部分函
數值數據如下： f 1 = -6， f 1.5 = -2.625， f 1.75 -0.1406， f 1.7578 -0.0530，
f 1.7617 0.0090 ， f 1.7656 0.0352， f 2 = 3，要使 f x 零點的近似值精確度為0.01，則對區間 1,2
的最少等分次數和近似解分別為（ ）
A．6 次，1.75 B．6 次，1.76
C．7 次，1.75 D．7 次，1.76
【答案】D
【分析】根據題目條件結合二分法得到最少等分了 7 次，并求出近似解.
【詳解】由題中數據知，零點區間變化如下：
1,2 1.5,2 1.75,2 1.75,1.875 1.75,1.8125 1.75,1.78125 1.75,1.7656 1.7578,1.7656 ，
此時區間長度小于0.01，在區間 1.7578,1.7656 內取近似值，最少等分了 7 次，近似解取1.76 .
故選：D.
11．（2024 高一上·浙江溫州·階段練習）已知 y = -(x - a)(x - b) + 2，且a , b 是方程 y = 0 的兩根，則 a,b,a , b
大小關系可能是（ ）
A． a < a < b < b B．a < a < b < b
C． a < a < b < b D．a < a < b < b
【答案】D
【分析】根據題意畫出函數圖象，根據函數圖象即可得答案.
【詳解】 f (x) = -(x - a)(x - b) + 2，由題意得， f (a) = f (b) = 2 > 0，而 f (a ) = f (b ) = 0，借助圖象可知，
a,b,a , b 的大小關系可能是a < a < b < b ，
故選：D.
12 2024 · · log x + 4 = 3x．（ 高一 全國 課堂例題）方程 2 的實根的個數為 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
x
【分析】求方程 log2 x + 4 = 3 的實根個數，等價于函數 y = log2 x + 4 與 y = 3x 圖像的交點個數，在同一坐
標系中作出它們的圖像，即可求解.
【詳解】在同一平面直角坐標系中，作出函數 y = log2 x + 4 與 y = 3x 的大致圖像，如圖由圖像，可觀察出
x
兩個函數圖像共有兩個不同的交點，故方程 log2 x + 4 = 3 有兩個根．
故選：C.
2
13．（2024 x高三上·內蒙古呼和浩特·開學考試）若函數 f x = 2 - - a 存在 1 個零點位于 1,2 內，則 a 的
x
取值范圍是（ ）
A． 0,3 B． -3,3 C． -3,3 D． -3,0
【答案】A
【分析】應用零點存在定理結合函數單調性列不等式求解即可.
f x = 2x 2【詳解】若函數 - - a 存在 1 個零點位于 1,2 內，
x
f x 2x 2= - - a 單調遞增,又因為零點存在定理，
x
f 1 21 2 a 0, f 2 22 2\ = - - < = - - a > 0,
1 2
\0 < a < 3 .
故選：A.
ì x +1 , x 1
14．（2024 高一上·河北邢臺·期末）已知函數 f (x) = í ，若方程 f x = a a R | log (x 1) , x 1 有四個不同的 2 -
解 x1, x2 , x3 , x4 ,且 x1 < x2 < x3 < x4 ，則 x1 + x2 + x3 + x4的取值范圍是（ ）
é
A． ê2,
17 ù 17
ú B
2, ù．
4 è 4 ú
2,17C é
17
． ÷ D．
è 4 ê
2, ÷
4
【答案】B
ì x +1 , x 1
【分析】由題意作函數 f (x) =

í 與 y = a 的圖象，從而可得 x1 + x2 = -2，2 < x4 5| log (x 1) , x 1 ，從而得到 2 -
結果.
ì x +1 , x 1
【詳解】由題意作函數 f (x) = í y = a
| log (x 1) , x 1
與 的圖象，
2 -
∵方程 f x = a有四個不同的解 x1, x2 , x3 , x4 ,且 x1 < x2 < x3 < x4 ，
∴ x1, x2 關于 x=-1對稱，即 x1 + x2 = -2，
5
當 log2 x -1 = 2得 x = 5或 ，則 2 < x 5，4 4
由題知， log2 x3 -1 + log2 x4 -1 = 0，故 x3 -1 x4 -1 =1，
1
所以 x3 = +1x4 -1
，
1 1
故 x1 + x2 + x3 + x4 = -2 + +1+ x4 = + x -1 x4 -1 x4 -1 4
，
因為1< x4 -1 4，
設 t = x4 -1，則由對勾函數的性質可知，
y 1 t 1,4 y 1 t 2,17= + = + ù在 單調遞增，所以
t t
，
è 4 ú
x1 + x2 + x x
2,173 +
ù
4的取值范圍是
è 4 ú
故選：B.
a c
15 1
b 1
．（2024 高二上·貴州黔東南·階段練習）設 = log a， 2 = log b ÷ 12 ， ÷ = 5，則 a、b 、 c的大小關
è 3 3 è 4
系是（ ）
A．b < a < c B． c < b < a
C．a < b < c D．b < c < a
【答案】B
【分析】利用零點存在定理計算出 a、b 的取值范圍，利用對數函數的單調性可得出 c < 0，即可得出 a、
b 、 c的大小關系.
x x
【詳解】構造函數 f x 1 1= log2 x -

÷ ，因為函數 y = log3 2
x 、 y = - ÷ 在 0, + 上均為增函數，
è è 3
所以，函數 f x 為 0, + 上的增函數，且 f 1 1 0 f 2 8= - < ， = > 0，
3 9
因為 f a = 0，由零點存在定理可知1< a < 2；
x
構造函數 g x = 2 - log1 x ，因為函數 y = 2x 、 y = - log1 x 在 0, + 上均為增函數，
3 3
1 1 1 1
所以，函數 g x 為 0, + 上的增函數，且 g ÷ = 29 - 2 < 0， g ÷ = 23 -1 > 0，
è 9 è 3
因為 g b = 0 1 1，由零點存在定理可知 < b < .
9 3
1
c

因為 = 5，則 c = log 1 5 < log 1 1 = 0 ÷ ，因此， c < b < a .
è 4 4 4
故選：B.
x x x 1
16．（2024 · · 1 1 1 高一上 山東濱州 期末）已知函數 f (x) = ÷ - log2 x, g(x) = - x
2
÷ , h(x) =2 2 ÷
- x 2 在區間
è è è 2
(0, + )內的零點分別是 a，b，c，則 a，b，c 的大小關系為（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > a > b D．b > a > c
【答案】A
【分析】根據給定條件，利用函數的單調性結合零點存在性定理判斷 a，b，c 所在區間作答.
1
【詳解】函數 y
1
= ( )x 在 (0, + )上單調遞減，函數 y = log x, y = x2 , y = x 2 在 (0, + )上都單調遞增，2 2
f (x) (1
1
因此函數 = )x - log2 x, g(x)
1
= ( )x - x2 ,h(x) (1= )x - x 2 在 (0, + )上都單調遞減，
2 2 2
f ( x ), g ( x ), h ( x ) 在 (0, + )上最多一個零點， f (1)
1
= > 0, f (2) 3= - < 0，即有1< a < 2，
2 4
1 1 1 1g( ) 2 1= - > 0, g(1) 1= - < 0，則 < b <1，而 h( ) = 0，即 c = ，
2 2 4 2 2 2 2
所以 a > b > c .
故選：A
ìln -x , x < 0
17．（2024 高一下·云南紅河·階段練習）已知 f x = í - x ，則函數 y = 3 f 2 (x) - 2 f (x)的零點個數為
2 , x > 0
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由 f (x) 解析式及指對數的性質分析分段函數的性質，求函數 y = 0 時對應 f (x) 值，應用數形結合法
判斷零點個數.
【詳解】由題設，當 x < 0 時 f (x) R 且遞減，當 x > 0時 f (x) (0,1)且遞減，
2
令 t = f (x) ，則 y = 3t 2 - 2t = 0，可得 t = 0或 t = ，如下圖示：
3
2
由圖知： t = 0時有一個零點， t = 時有兩個零點，故共有 3 個零點.
3
故選：C
1
18．（2024 高二下·河北邯鄲·期末）函數 f x = ex - + 2的零點所在的一個區間是
x
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
【答案】B
【詳解】分析：計算區間端點處值（在端點不存在時研究函數的變化趨勢）．
詳解： f (1) = e +1 > 0， f (x) 在(0, + ∞)和 (- ,0)上是增函數， x < 0 時， f (x) > 0 ， x +0時，
f (x) - ，因此存在零點的一個區間是( 0, 1)．
故選 B．
點睛：本題考查零點存在定理：在區間[a,b]上連續的函數 f (x) 滿足 f (a) f (b) < 0，則 f (x) 在 (a , b ) 上存在零
點．另外如果 f (x) 還是單調的，則只有一個零點．
19 5．（2024 高一上·吉林長春·期末）函數 f x = x - x -1在下列區間一定有零點的是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】由題意知， f 1 < 0， f 2 > 0 ，即 f 1 × f 2 < 0，可以知道函數 f x 在區間 1,2 上一定有零點．
5 5
【詳解】由題意知， f 1 =1 -1-1 = -1 < 0， f 2 = 2 - 2 -1 = 29 > 0，
所以 f 1 × f 2 < 0，
故函數 f x 在 1,2 上一定有零點．
故答案為 B.
【點睛】本題考查了函數零點存在性定理的應用，屬于基礎題．
20．（2024 高一上·遼寧大連·階段練習）為了給地球減負，提高資源利用率，2020 年全國掀起了垃圾分類的
熱潮，垃圾分類已經成為新時尚，假設某市 2020 年全年用于垃圾分類的資金為 5000 萬元，在此基礎上，
每年投入的資金比上一年增長 20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過 1.28 億元的年份是（參考數
據： lg1.2 0.079， lg 2.56 0.408）（ ）
A．2024 年 B．2025 年 C．2026 年 D．2027 年
【答案】C
【分析】
根據指數增長模型列式求解.
【詳解】設 2020 后第 x 年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過 1.28 億元，
則5000 1+ 20% x >12800，即1.2x > 2.56 ，
x log 2.56 lg 2.56解得 > 1.2 = 5.16lg1.2 ，
則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過 1.28 億元的年份是 2026．
故選：C．
ì x +1 , x 0
21．（2024 高一上·河北保定·期末）已知函數 f (x) = í ，若方程 f x = a a R 有四個不同的解
log2 x , x > 0
x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，則 x1 + x2 x4的取值范圍是（ ）
A．[-4,-2) B．[-4,-2] C． (-4,-2) D． (-4,-2]
【答案】A
ì x +1 , x 0
【分析】由題意作函數 f (x) =

í 與 y = alog x , x 0 的圖象，從而可得
x
> 1
+ x2 = -2，1< x4 2，從而得到結
2
果．
ì x +1 , x 0
【詳解】由題意作函數 f (x) =

í y = alog x , x 0與 的圖象如下， 2 >
∵方程 f (x) = a有四個不同的解 x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，
∴ x1, x2 關于 x = -1對稱，即 x1 + x2 = -2，
當 log2 x =1
1
得 x = 2或 ，則1< x4 2，故 -4 (x + x )x < -2，2 1 2 4
故選：A.
- x
22．（2024 1 3高一上·重慶九龍坡·期末）函數 f x = ÷ - + a的一個零點在區間 1,2 內，則實數 a的取值
è 2 x
范圍是（ ）
A． 1, 5+ B ． - ,1
5 5
2 ÷
C． - ,- ÷ 1, + D． - ,- ÷
è è 2 è 2
【答案】B
1 - x 3
【分析】先判斷出 f x = ÷ - + a在 (0, + )上是增函數，利用零點存在定理列不等式可求 a 的范圍.
è 2 x
3
【詳解】Q y = 2x 和 y = - 在 0, + 上是增函數，
x
\ f x = 2x 3- + a 在 0, + 上是增函數，
x
\只需 f 1 × f 2 < 0 -1+ a × 5 + a 5即可，即 < 0 - < a <1
è 2 ÷
，解得 ．
2
故選：B.
x1 x2 +1 x3
23．（2024
1 1 1
高一上·北京·期末）已知x1， x2， x3 滿足 ÷ = log 1 x1，2 ÷
= log 1 x2 ， ÷ = log 1 x3 ，則
è 2 è 2 2 è 3 2
x1， x2， x3 的大小關系為（ ）
A． x1 < x2 < x3 B． x2 < x3 < x1 C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
【答案】C
【分析】利用指數對數函數圖像數形結合即可得到x1， x2， x3 的大小關系.
【詳解】在同一平面直角坐標系內作出
1 x 1 x x+1y = log x y = y = 1 1 、 ÷ 、 ÷ 、y = ÷ 的圖像
2 è 2 è 3 è 2
x
y = log 1 x 過點 (
1 ,1)、(1,0) y = 1 ； ÷ 過點 (0,1)、(1,
1)；
2 2 è 2 2
x x+1
y = 1
1 1 1 1
÷ 過點 (0,1)、(1, )； y = 過點 (0, )、(1, )，
è 3 ÷ 3 è 2 2 4
1 x 1 xy 1
x+1
則 = y = y = log x ÷ 、 ÷ 、y = ÷ 與 1 圖像交點橫坐標依次增大，
è 2 è 3 è 2 2
1 x x x+1y = 又 ÷ 、y
1 1
= y = log x
2 ÷
、y =
3 ÷
與 1 圖像
è è è 2 2
交點橫坐標分別為 x1、x3、x2 ，則 x1 < x3 < x2 .
故選：C
二、多選題
24．（2024 高一上·全國·課后作業）（多選）以下每個圖象表示的函數都有零點，其中能用二分法求函數零點
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據二分法的要求，即能用二分法求近似值的零點需滿足為變號零點，由此一一判斷各選項，即
得答案.
【詳解】根據二分法的思想，函數 f (x) 在區間[a,b]上的圖象連續不斷，且 f (a) f (b) < 0，
即函數的零點是變號零點，才能將區間 (a,b)一分為二或多個小區間，
然后采用二分法逐步得到零點的近似值，
對各圖象分析可知，A、B、D 都符合條件，
而選項 C 不符合，因為圖象經過零點時，零點兩側函數值的符號沒有發生變化，
因此不能用二分法求函數零點，
故選：ABD
25．（2024 高一上·全國·課后作業）（多選）下列圖象表示的函數有零點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根據零點定義，數形結合即可容易判斷.
【詳解】函數 y = f (x) 的零點就是函數圖象與 x 軸交點的橫坐標.
A 項中函數圖象與 x 軸沒有交點，所以該函數沒有零點；
B 項中函數圖象與 x 軸有一個交點，所以該函數有一個零點；
C，D 兩項中的函數圖象與 x 軸有兩個交點，所以該函數有兩個零點.
故選：BCD
ì-x2 - 4x, x 0
26．（2024 高一上·山西呂梁·期末）已知函數 f (x) = í ，若 x1 < x < x < x
log
2 3 4 ，且
2 x , x > 0
f x1 = f x2 = f x3 = f x4 ，則下列結論正確的是（ ）
A． x1 + x2 = -4 B． x3 × x4 =1 C．1< x4 < 4 D．0 < x1x2x3x4 4
【答案】AB
【分析】作出函數 f x 的圖象，設 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = t ，則直線 y = t 與函數 y = f x 的圖象 4
個交點橫坐標分別為 x1, x2 , x3 , x4 ，可得出0 < t < 4，再結合對稱性與對數運算即可得正確選項.
ì-x2 - 4x, x 0
【詳解】函數 f (x) = í
log
的圖象如圖所示，
2 x , x > 0
設 f x1 = f x2 = f x3 = f x4 = t ，則0 < t < 4，
則直線 y = t 與函數 y = f x 的圖象 4個交點橫坐標分別為 x1, x2 , x3 , x4 ，
對于 A：函數 y = -x2 - 4x 的圖象關于直線 x = -2對稱，則 x1 + x2 = -4，故 A 正確；
對于 B：由圖象可知 log2 x3 = log2 x4 ，且0 < x3 <1 < x4，
∴ - log2 x3 = log2 x4 ，即 log2 x3x4 = 0，所以 x3x4 =1，故 B 正確；
當 x 0 時， f (x) = -x2 - 4x = -(x + 2)2 + 4 4 ，
由圖象可知 log2 x4 0,4 ，則1 < x4 <16，故 C 錯誤；
由圖象可知 -4 < x1 < -2，
x x x x = x × -4 - x = -x2 - 4x = -(x + 2)2所以 1 2 3 4 1 1 1 1 1 + 4 (0, 4)，故 D 錯誤.
故選：AB.
x
27．（2024 1高一上·四川成都·階段練習）已知函數 y = ÷ - lnx 的兩個零點分別為 xe 1
, x2 ，且 x1 > x2 ，則
è
（ ）
1 x 1 1 x 1A． < 1 < < B．
2 x
2
1 x2
x 1 1 1 1C． 2 < < < < xx1 x
D．
2 x1 x
2
2
【答案】AC
【分析】根據零點的性質，將問題轉化為兩函數求交點問題，利用指數函數單調性以及對數運算以及單調
性，可得答案.
x
y 1 ln x y 1
x
= 【詳解】函數 ÷ - 的兩個零點即函數 =e e ÷
與 y = ln x 的圖象的兩個交點的橫坐標，作出兩個
è è
函數的圖象，如下圖：
1
則0 < x2 <1， x1 >1，即0 < <1
1
， >1x x ，故 D 錯誤；1 2
x
1 1 1
x
2 1
x
1
x
<
1 2
由圖可知 ÷ ÷ ，且e e e ÷
= ln x1 ， ÷ = ln x2 ，則 ln x1 < ln x2 ，
è è è è e
由0 < x2 <1， x1 >1，則 ln x1 < - ln x2 ，即 ln x1 < ln
1 x 1 1< > x
x ，可得 1 x ，即 x 2 ，2 2 1
故 A、C 正確，B 錯誤.
故選：AC.
ìx2 - 4x + 3, x 0

28．（2024 高三上·福建三明·期中）已知函數 f x = í1 ．若存在 x < x < x ，使得
+ 2, x < 0
1 2 3
x
f x1 = f x2 = f x3 = t ，則下列結論正確的有（ ）
A． x2 + x3 = 4 B． x2x3 的最大值為 4
11
C ．t 的取值范圍是 -1,3 D． x1 + x2 + x3的取值范圍是 - ， ÷
è 3
【答案】AD
【分析】首先作出函數 f x 的圖象，根據圖象的對稱性，判斷 A；
根據基本不等式判斷 B；
根據圖象，以及 y = t 與函數 f x 的圖象有 3 個交點，判斷 C；
求出x1的范圍，即可求解 x1 + x2 + x3的取值范圍，判斷 D.
【詳解】如圖，作出函數 f x 的圖象，根據 x1 < x2 < x3，可知， x2 , x3 是 y = t 與 y = x2 - 4x + 3, x 0的兩個
交點，
x + x = 4 x x x + x
2
根據對稱性可知 ，則 2 3

2 3 2 3 ÷ = 4，
è 2
因為 x2 x3 ，所以 x2x3 < 4 ，故 A 正確，B 錯誤；
y = x2
1
- 4x + 3 = x - 2 2 -1 -1, x 0 ， y = + 2 < 2, x < 0
x
由圖可知 t 的取值范圍是 -1,2 ，故 C 錯誤；
1
因為 + 2 > -1
1
，所以 x1 < - ，又 x
11
2 + x3 = 4 x + x

x ，則 1 2
+ x3的取值范圍是 - ，3 3 ÷
，故 D 正確．
1 è
故選：AD
x
29．（2024 x高三下·湖南·階段練習）已知函數 f x = -10 (x >1)， g x x= - lgx(x >1)的零點分別為
x -1 x -1
x1， x2，則（ ）
1 1
A． x1 = lgx2 B． + =1 x + x < 4x x C． 1 2 D．
10 < x1x2 < 200
1 2
【答案】ABD
x x
【分析】由指數函數與對數函數、 y = (x >1) 的對稱性知 A x1,10 1 與B x2 , lgxx -1 2 關于直線 y = x 對稱，
利用指數冪、對數運算的性質計算依次判斷選項即可.
x
【詳解】因為函數 y =10x與 y = lgx的圖象關于直線 y = x 對稱， y = (x >1) 圖象也關于直線 y = x 對稱，
x -1
設 y
x
= (x >1) 與 y =10x圖象的交點為 A，
x -1
y x= (x >1) 與 y = lgx圖象的交點為 B ，
x -1
則 A x1,10x1 與B x2 , lgx2 關于直線 y = x x對稱，則 x 11 = lgx2 ， x2 =10 ．
x1 10x 0 x1 1 1因為 - 1 =x -1 ，所以
= x2 ，則 x1 + x2 = x1xx -1 2，即
+ =1
x x ，1 1 1 2
x
因為 y = (x >1) 的圖象與直線 y = x 的交點為 2,2 ，
x -1
所以 x1 + x2 > 4， x1x2 = x1 ×10
x1 ， x1 1,2 ，則10 < x1x2 < 200．
故選：ABD.
30．（2024 高一上·山東煙臺·期中）某打車平臺欲對收費標準進行改革，現制定了甲 乙兩種方案供乘客選擇，
其支付費用與打車里程數的函數關系大致如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．當打車距離為8km 時，乘客選擇乙方案省錢
B．當打車距離為10km時，乘客選擇甲 乙方案均可
C．打車3km 以上時，每公里增加的費用甲方案比乙方案多
D．甲方案3km 內（含3km ）付費 5 元，行程大于3km 每增加 1 公里費用增加 0.7 元
【答案】BC
【分析】根據函數圖象可知當打車距離為8km 時，乘客選擇甲方案省錢；打車距離為10km時，甲 乙方案
費用相等；由圖象可知打車3km 以上時，每公里增加的費用甲方案比乙方案多，且甲方案行程大于3km 每
增加 1 公里費用增加 1 元.
【詳解】對于 A，當打車距離為3 < x <10時，甲對應的函數圖象在乙圖象的下方，
即甲對應的函數值小于乙對應的函數值，故當打車距離為8km 時，乘客選擇甲方案省錢，即 A 錯誤；
對于 B，當打車距離為10km時，由圖可知，甲、乙均為 12 元，因此乘客選擇甲 乙方案均可，即 B 正確；
12 - 5
對于 C，打車3km 以上時，甲方案每公里增加的費用為 =1（元），
10 - 3
12 - 7 5
乙方案每公里增加的費用為 = （元），故每公里增加的費用甲方案比乙方案多，即 C 正確；
10 - 3 7
對于 D，由圖可知，甲方案3km 內（含3km ）付費 5 元，行程大于3km 每增加 1 公里費用增加 1 元，故 D
錯誤；
故選：BC
三、填空題
1- x
31．（四川省射洪中學校 2023-2024 學年高一（強基班）上學期期中數學試題）函數 f x = 2 - m有零點1+ x
時，m 的范圍是 .
é1- 2 1+ 2 ù
【答案】 ê ，2 2 ú
1- x
【分析】利用換元法求出 y = 2 的范圍可得答案.1+ x
f x m 1- x【詳解】 有零點，等價于 = 2 有解，1+ x
1- x t t
令 t =1- x ，得 x =1- t ， y = = =1+ x2 1+ 1- t 2 t 2 - 2t + 2 ；
當 t = 0，即 x =1時， y = 0 ；
y 1=
當 t 0，即 x 1時， t 2+ - 2 ；
t
t 2若 > 0，則 t + 2 2 1 1+ 2，當且僅當 t = 2 時取等號，所以0 < y = ；t 2 2 - 2 2
2 1
t < 0 t + -2 2 y < 0 1- 2若 ，則 ，當且僅當 t = - 2 時取等號，所以 ，即t 2 2 2 y < 0
；
- - 2
é
y 1- 2
ù
綜上可得 ê ,
1+ 2
ú .
2 2
é
m 1- 2 ,1+ 2
ù
所以 的范圍是 ê 2 2 ú
.

é1- 2 1+ 2 ù
故答案為： ê ,2 2 ú
32．（2024 高一上·全國·課后作業）音量大小的單位是分貝 (dB) ，對于一個強度為 I 的聲波，其音量的大小h
可由公式h =10 × lg
I
(其中 II 0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強度)計算得到，設
h1 = 70 dB 的聲音的聲波強
0
度為 I1，h2 = 60dB 的聲音的聲波強度為 I2，則 I1是 I2的 倍.
【答案】10
【分析】根據公式，代入求h1和h2 ，再結合對數運算，即可求解.
h 10 lg I1 h 10 lg I2 I1 I2【詳解】由題意得 1 = × ， 2 = ×I I ，所以
h1 -h2 =10lg -10lg =10
0 0 I0 I
，
0
1 I= lg 1 I1則 I ，所以
=10 .
2 I2
故答案為：10
33．（2024 高一上·全國·課后作業）下列是函數 f x 在區間[1, 2]上一些點的函數值. 由此可判斷：方程
f x = 0的一個近似解為 (精確度 0.1)．
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438
f x -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
f x 0.625 1.982 2.645 4.35 6
【答案】1.4(答案不唯一)
【分析】根據零點存在定理及二分法求解即可.
【詳解】由題設有 f 1 = -2 < 0, f 2 = 6 > 0，于是 f 1 × f 2 < 0，
所以，函數 f x 在區間 1,2 內有零點 x0 ，此時 |1- 2 |=1 > 0.1，
取區間 1,2 的中點 x1 =1.5，又 f 1.5 = 0.625，
因為 f 1 × f 1.5 < 0 ，所以 x0 1,1.5 ，此時 |1-1.5 |= 0.5 > 0.1，
再取 1,1.5 的中點 x2 =1.25，又 f 1.25 = -0.984，
因為 f 1.25 × f 1.5 < 0，所以 x0 1.25,1.5 ，此時 |1.25 -1.5 |= 0.25 > 0.1，
再取 1.25,1.5 的中點 x3 =1.375，又 f 1.375 = -0.260，
因為 f 1.375 × f 1.5 < 0，所以 x0 1.375,1.5 ，此時 |1.375 -1.5 |= 0.125 > 0.1，
再取 1.375,1.5 的中點 x4 1.438，又 f 1.438 = 0.165，
因為 f 1.375 × f 1.438 < 0，所以 x0 1.375,1.438 ，此時 |1.375 -1.438 |= 0.063 < 0.1，
再取 1.375,1.438 的中點 x5 =1.4065，又 f 1.4065 = -0.052，
因為 f 1.4065 × f 1.438 < 0，所以 x0 1.4065,1.438 ，
所以，當精確度為 0.1 時，方程 f x = 0的一個近似解為 1.438．
故答案為：1.4．
34．（2024 高一上·全國·課后作業）方程 x＋lg x＝3 解的個數為 ．
【答案】1
【分析】解法一，將方程的解轉化為兩個函數的交點個數；解法二，構造函數 f x = x - 3 + ln x ，利用零點
存在性定理，結合函數的單調性，即可判斷方程的個數.
【詳解】解法一　令 f x = x - 3 + ln x ，令 f x = 0，
則 ln x = 3- x ，
在同一平面直角坐標系中分別畫出函數 y＝ln x 與 y＝－x＋3 的圖象，如圖所示．
由圖可知函數 y＝ln x 與 y＝－x＋3 的圖象只有一個交點，
即函數 f x = x - 3 + ln x 只有一個零點．故原方程只有 1 個解．
解法二　設 f x = x - 3 + ln x ，因為 f 3 = ln 3 > 0 2， f 2 = -1+ ln 2 = ln < 0，
e
所以 f 3 f 2 < 0，說明函數 f x = x - 3 + ln x 在區間 2,3 內有零點．
又 f x = x - 3 + ln x 在區間 0, + 上是增函數，所以原方程只有一個解．
故答案為：1
35．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 f (x) = x2 - 2x + a 有兩個不同零點，則實數 a 的取值范圍是 .
【答案】 (- ,1)
【分析】利用判別式法即可得到答案.
【詳解】由題意可知，方程 x2 - 2x + a = 0有兩個不同解，故D = 4 - 4a > 0，即 a <1 .
故答案為： (- ,1) .
ìx2 + x - 2, x 0,
36．（2024 高三上·北京東城·開學考試）已知函數 f (x) = í 則函數 f (x) 的零點為
-1+ ln x, x > 0,
【答案】-2,e
【分析】結合函數的解析式分類討論求解即可．
【詳解】當 x 0 時，由 f (x) = x2 + x - 2 = 0，即 (x -1)(x + 2) = 0，解得 x = -2或 x =1（舍），
當 x > 0時，由 f (x) = -1+ ln x = 0，解得 x=e，
綜上可得，函數 f (x) 的零點為-2,e．
故答案為：-2,e．
37．（2024 高一上·全國·課后作業）若 x , x 是二次函數 y = x21 2 + x - 2的兩個零點，則 x1 + x2 + x1x2 = .
【答案】-3
【分析】根據根與系數的關系即可得出答案.
【詳解】因為 x1, x2 是二次函數 y = x2 + x - 2的兩個零點，
所以 x2 + x - 2 = 0的兩根為 x1, x2 ，
所以 x1 + x2 = -1, x1x2 = -2，
所以 x1 + x2 + x1x2 = -3 .
故答案為：-3
ì 2- x , x 1
38．（2024 高一上·陜西渭南·期末）已知函數 f x = í ，若函數 g x = f x - a恰有兩個零點，則
log8x, x >1
實數 a 的取值范圍是 .
[1【答案】 , + )
2
【分析】將問題化為 y = a 與 f (x) 有兩個交點，數形結合判斷參數范圍.
【詳解】由題設 y = a 與 f (x) 有兩個交點，
根據 f (x) 的解析式，可得其圖象如下：
1
當 x 1時， f (x) [ , + ) ；當 x >1時， f (x) (0, + )；
2
要使 y = a 與 f (x)
1
有兩個交點，則 a .
2
1
故答案為：[ , + )
2
39．（2024 高一上·全國·課后作業）方程 x + ln x = 3解的個數為 .
【答案】1
【分析】根據函數零點存在定理，或者函數與方程的思想判斷函數圖象交點個數即可得出答案.
【詳解】解法一：令 f x = x - 3 + ln x = 0，則 ln x = 3- x ；
在同一平面直角坐標系中分別畫出函數 y = ln x 與 y = -x + 3的圖象，如圖所示.
由圖可知函數 y = ln x 與 y = -x + 3的圖象只有一個交點，
即函數 f x = x - 3 + ln x 只有一個零點.
故原方程只有 1 個解.
解法二：因為 f 3 = ln 3 > 0， f 2 2= -1+ ln 2 = ln <0，
e
所以 f 3 × f 2 < 0 ，說明函數 f x = x - 3 + ln x 在區間 2,3 內有零點.
又 f x 在區間 0, + 上是增函數，所以原方程只有一個解.
故答案為：1
40．（2024 高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數 f x = lnx + 3x - 7的零點位于區間 n,n +1 n N 內，則
n = .
【答案】2
【分析】利用函數單調性和零點存在性定理可知，函數 f x 在區間 2,3 內存在零點即可得出結果.
【詳解】由題意可知函數 f x = lnx + 3x - 7在定義域 0, + 內單調遞增，
易知 f 2 = ln2 + 3 2 - 7 = ln 2 -1<0，
而 f 3 = ln3+ 3 3- 7 = ln 3+ 2>0 ，所以 f 2 × f 3 < 0 ,
根據零點存在定理可知，函數 f x 在區間 2,3 內存在零點，
所以可得 n = 2 .
故答案為： 2
ì x2 + 2x , x 0

41．（2024 高一下·廣東廣州·期中）已知函數 f (x) = í1 ，若關于 x 的方程 f (x) = a(x + 3) 有四個
, x > 0
x
不同的實數根，則實數 a 的取值范圍是 ．
【答案】 (0,4 - 2 3)
【分析】依題意，關于 x 的方程 f (x) = a(x + 3) 有四個不同的實數根轉化為兩函數圖象有四個不同的交點，
結合圖象再轉化為二次函數零點的分步問題進行求解.
【詳解】設 y = a(x + 3) ，該直線恒過點 (-3,0)，方程 f (x) = a(x + 3) 有四個不同的實數根，
如圖作出函數 y = f (x) 的圖象，結合函數圖象，則 a > 0，
所以直線 y = a(x + 3) 與曲線 y = -x2 - 2x, x (-2,0) 有兩個不同的公共點，
所以 x2 + (2 + a)x + 3a = 0在 (-2,0) 有兩個不等實根，
令 g(x) = x2 + (2 + a)x + 3a ，
ìΔ = (2 + a)2 -12a > 0

2 2 + a - < - < 0
實數 a 滿足 í 2 ，
g(0) = 3a > 0

g(-2) = a > 0
解得0 < a < 4 - 2 3 ．
故答案為： (0,4 - 2 3)
42．（2024 · · f x = 2ax2高一上 全國 課后作業）若函數 - x -1在區間 0,1 上恰有一個零點，則實數 a的取值
范圍是 ．
【答案】 1, +
【分析】將函數零點轉化為方程實數根，討論 a = 0和 a 0兩大類情況，結合根的分布，列式求解.
【詳解】若函數 f x = 2ax2 - x -1在區間 0,1 內恰有一個零點，
則方程 2ax2 - x -1 = 0在區間 0,1 內恰有一個根，
若 a = 0，則方程 2ax2 - x -1 = 0可化為：-x -1 = 0，得 x = -1 0,1 ，不成立；
1
若 a 0時，設方程的兩根為 x1, x2 ，且D = -1 2 + 8a =1+ 8a 0，得 a - ，且 a 0，8
ì 1
x1 + x2 = < 01
- a < 0 2a當 時，有
8 í x 11 × x2 = - > 0 2a
故 x1 < 0 ， x2 < 0，不符合題意；
若 a > 0時，則函數圖象開口向上，又 f 0 = -1< 0，
若函數在 0,1 上恰有一個零點，則 f 1 = 2a -1-1 > 0，所以 a >1 .
綜上： a >1 .
故答案為： 1, +
ì lg -x -1 , x < -1
43．（2024 高一上·河南南陽·期末）已知函數 f x = í ，若函數 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5有
x
2 - 6x + 5, x 0
7 個零點，則實數b 的取值范圍是 ．
【答案】 (6, + )
【分析】根據函數零點定義，結合換元法、數形結合思想進行求解即可.
【詳解】函數 f x 的圖象如下圖所示：
令 f x = t ，函數 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5可化為 y = t 2 - bt + 5，
函數 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5有 7 個零點，等價于方程 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5 = 0 有 7 個不相等的實根，
當 t = 0時，[ f (x)]2 - bf (x) + 5 = 0 可有三個不相等的實根，
當 t (0,5]時，[ f (x)]2 - bf (x) + 5 = 0 可有四個不相等的實根，
當 t (5,+ )時，[ f (x)]2 - bf (x) + 5 = 0 可有三個不相等的實根，
設 t 2 - bt + 5 = 0的兩根為 t1, t2 ，且 t1 < t2 ，
若 t = 0, t (0,5]，方程 t 21 2 - bt + 5 = 0無零根，不符合題意，
若 t1 (0,5), t2 (5, + )， y = g t = t 2 - bt + 5，由題意可知：
ìΔ = -b 2 - 20 > 0

íg 0 = 5 > 0 b > 6 ，

g 5 = 25 - 5b + 5 < 0
若 t1 = 5, t2 (5, + )，則有52 - 5b + 5 = 0 b = 6 ，此時 t 2 - 6t + 5 = 0，
這時 t4.5 函數的應用（二）12 題型分類
1、函數零點的概念
對于一般函數 y＝f(x)，我們把使 f(x)＝0 的實數 x 叫做函數 y＝f(x)的零點．
函數 y＝f(x)的零點就是方程 f(x)＝0 的實數解，也就是函數 y＝f(x)的圖象與 x 軸的公共點
的橫坐標.
2、方程的解與函數零點的關系
方程 f(x)＝0 有實數解 函數 y＝f(x)有零點 函數 y＝f(x)的圖象與 x 軸有公共點.
3、函數零點存在定理
如果函數 y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有 f(a)f(b)＜0，那么，
函數 y＝f(x)在區間(a，b)內至少有一個零點，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，這個 c 也就是
方程 f(x)＝0 的解．
(1)一個函數 y＝f(x)在區間(a，b)內有零點必須同時滿足：①函數 f(x)在區間[a，b]上的圖
1
象是一條連續不斷的曲線；②f(a)f(b)<0.這兩個條件缺一不可．可從函數 y＝ 來理解，易知 f(－
x
1
1)f(1)＝－1×1<0，但顯然 y＝ 在(－1,1)內沒有零點．
x
(2)若函數 f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的，且在兩端點處的函數值 f(a)，f(b)異號，
則函數 y＝f(x)在(a，b)上的圖象至少穿過 x 軸一次，即方程 f(x)＝0 在區間(a，b)內至少有一個
實數解 c.
(3)函數零點存在定理只能判斷出零點的存在性，而不能判斷出零點的個數．如圖①②，
雖然都有 f(a)f(b)<0，但圖①中函數在區間(a，b)內有 4 個零點，圖②中函數在區間(a，b)內僅
有 1 個零點．
(4)函數零點存在定理是不可逆的，由 f(a)f(b)<0 可以推出函數 y＝f(x)在區間(a，b)內存在
零點．但是，已知函數 y＝f(x)在區間(a，b)內存在零點，不一定推出 f(a)f(b)<0.如圖③，雖然
在區間(a，b)內函數有零點，但 f(a)f(b)>0.
(5)如果單調函數 y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有 f(a)f(b)<0，那
么函數 y＝f(x)在區間(a，b)內有唯一的零點，即存在唯一的 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，這個 c
也就是方程 f(x)＝0 的實數解．
4、二分法的概念
對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且 f(a)f(b)＜0 的函數 y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所
在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分
法．
5、用二分法求函數零點近似值的步驟
給定精確度 ε，用二分法求函數 y＝f(x)零點 x0的近似值的一般步驟如下：
(1)確定零點 x0的初始區間[a，b]，驗證 f(a)f(b)＜0.
(2)求區間(a，b)的中點 c.
(3)計算 f(c)，并進一步確定零點所在的區間：
①若 f(c)＝0(此時 x0＝c)，則 c 就是函數的零點；
②若 f(a)f(c)＜0(此時 x0∈(a，c))，則令 b＝c；
③若 f(c)f(b)＜0(此時 x0∈(c，b))，則令 a＝c.
(4)判斷是否達到精確度 ε：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值 a(或 b)；否則重復步驟(2)～
(4)．
注：（1）用二分法求函數零點近似值的方法僅適用于函數的變號零點(曲線通過零點時，
函數值的符號變號)，對函數的不變號零點(曲線通過零點時，函數值的符號不變號)不適用．如
求函數 f(x)＝(x－1)2的零點近似值就不能用二分法．
（2）用二分法求函數零點的近似值時，要根據函數的性質盡可能地找到含有零點的更小
的區間，這樣可以減少用二分法的次數，減少計算量．
（3）二分法采用逐步逼近的思想，使區間逐步縮小，使函數零點所在的范圍逐步縮小，
也就是逐漸逼近函數的零點．當區間長度小到一定程度時，就得到近似值．
（4）由|a－b|<ε，可知區間[a，b]中任意一個值都是零點 x0 的滿足精確度 ε 的近似值．為
了方便，常取區間端點 a(或 b)作為零點的近似值．精確度與精確到是不一樣的概念．比如得
數是 1.25 或 1.34，精確到 0.1 都是通過四舍五入后保留一位小數得 1.3.而“精確度為 0.1”指零
點近似值所在區間[a，b]滿足|a－b|<0.1，比如零點近似值所在區間為[1.25,1.34]，若精確度為
0.1，則近似值可以是 1.25，也可以是 1.34.
（5）在第一步中要使區間[a，b]的長度盡量小，且 f(a)f(b)<0.
（6）由函數的零點與相應方程根的關系，我們可用二分法來求方程的近似解．對于求形
如 f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，
然后按照用二分法求函數 F(x)零點近似值的步驟求解．
6、函數模型的應用
幾種常見函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝kx＋b(k，b 為常數，k≠0)
k
反比例函數模型 f(x)＝ ＋b(k，b 為常數且 k≠0)
x
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 為常數，a≠0)
指數型函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 為常數，b≠0，a>0 且 a≠1)
對數型函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 為常數，b≠0，a>0 且 a≠1)
冪函數型模型 f(x)＝axn＋b(a，b 為常數，a≠0)
7．在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數函數模型
表示．通常可以表示為 y＝N(1＋p)x(其中 N 為基礎數，p 為增長率，x 為時間)的形式．解題時，
往往用到對數運算，要注意與已知表格中給定的值對應求解．
8．有關對數型函數的應用題，一般都會給出函數解析式，要求根據實際情況求出函數解
析式中的參數，或給出具體情境，從中提煉出數據，代入解析式求值，然后根據求出的值回答
其實際意義．
9．數據擬合
(1)定義：通過一些數據尋求事物規律，往往是通過繪出這些數據在直角坐標系中的點，
觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數圖象，選定函數形式后，將一些數
據代入這個函數的一般表達式，求出具體的函數表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就
可以確定這個函數基本反映了事物規律，這種方法稱為數據擬合．
(2)數據擬合的步驟
①以所給數據作為點的坐標，在平面直角坐標系中繪出各點；
②依據點的整體特征，猜測這些點所滿足的函數形式，設其一般形式；
③取特殊數據代入，求出函數的具體解析式；
④做必要的檢驗．
（一）
求函數的零點
求函數零點的方法
函數的零點就是對應方程的解，求函數的零點常用以下兩種方法：
(1)代數法：根據零點的定義，解方程 f(x)＝0，它的實數解就是函數 y＝f(x)的零點．
(2)幾何法：若方程 f(x)＝0 無法求解，可以根據函數 y＝f(x)的性質及圖象求出零點．例如，求
定義在 R 上的減函數 f(x)(f(x)為奇函數)的零點．因為奇函數 y＝f(x)是定義在 R 上的減函數，那
么由奇函數的性質可知 f(0)＝0.因為 y＝f(x)是定義在 R 上的減函數，所以不存在其他的 x 使 f(x)
＝0，從而 y＝f(x)的零點是 0.　　　
題型 1：求函數的零點
1-1．（2024 高一上·全國·課后作業）判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出．
(1) f x x + 3= ；
x
(2) f x = x2 + 2x + 4；
(3) f x = 2x - 3；
(4) f x =1- log3 x .
1-2 x．（2024·陜西西安·模擬預測）函數 f x =1- lg 3 + 2 的零點為（ ）
A． log3 8 B．2 C． log3 7 D． log2 5
1-3．（2024 高一·江蘇·假期作業）求下列函數的零點．
(1) y = x - 2 x - 3；
(2) y = x2 - 3a -1 x + 2a2 - 2 .
ì 1- x , x 0
1-4．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = í ，則函數 y = f x - 3的零點為 .
x + log2 x, x > 0
ìx +1, x 0
1-5．（2024 高三上·福建莆田·開學考試）設函數 f x = í 2 ，則方程 f f x = 0的解集為 .
x -1 , x > 0
（二）
判斷函數零點的個數
判斷函數 y＝f(x)的零點的個數的方法
(1)解方程法：方程 f(x)＝0 的實數根的個數就是函數 f(x)的零點的個數．
(2)定理法：借助函數的單調性及函數零點存在定理進行判斷．
(3)圖象法：如果函數圖象易畫出，則可依據圖象與 x 軸的交點的個數來判斷．特別地，對于形
如 y＝h(x)－g(x)的函數，可通過函數 h(x)與 g(x)的圖象的交點的個數來判斷函數 y＝h(x)－g(x)
的零點的個數．　
題型 2：判斷函數零點的個數
2-1．（2024 高一·全國·課后作業）方程 loga x = x - 2(0 < a <1)的實數解的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1
2-2．（2024 高一下·江蘇南通·階段練習）函數 f x = x2 + x - 3的零點個數為 .2
2-3．（2024 高三·全國·對口高考）函數 f x = 2ln x 的圖象與函數 g x = x2 - 4x + 5的圖象的交點個數為
個．
1
2-4．（2024 · |x|高三 全國·對口高考）已知 a = ，方程a = loga x 的實根個數為 ．2
（三）
判斷零點所在的區間
確定函數 f(x)零點所在區間的常用方法
(1)解方程法：當對應方程 f(x)＝0 易解時，可先解方程，再看求得的根是否落在給定區間上．
(2)利用函數零點存在定理：首先看函數 y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是否連續，再看是否有
f(a)f(b)<0.若有，則函數 y＝f(x)在區間(a，b)內必有零點．
(3)數形結合法：通過觀察函數圖象與 x 軸在給定區間上是否有交點來判斷．
注：函數零點存在定理是不可逆的，f(a)f(b)<0 函數 y＝f(x)在區間(a，b)內有零點，但是函數 y
＝f(x)在(a，b)內有零點，不一定能推出 f(a)f(b)<0.
題型 3：判斷零點所在的區間
x 1
3-1．（2024 1 高一·全國·課堂例題）方程 ÷ = x3 的根所在區間是（ ）
è 2
2 1 2 1 1 1 A． ,13 ÷
B． , C． , D． 0,
è è 2 3 ÷ ÷ ÷ è 3 2 è 3
3-2 x．（2024 高一上·重慶長壽·期末）函數 f x = log2x + 2 - 2π的零點所在區間是（ ）
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
3-3．（2024 高一下·甘肅·期末）若 x0 是方程 2x =12 - 3x 的解，則 x0 （ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． (2,3) D． (3, 4)
3-4．（2024 高一下·湖南·階段練習）函數 f (x) = x - log 1 x +1的零點所在的區間為（ ）
2
0, 1 1 , 1 A． 4 ÷
B．
è è 4 3 ÷
1 1 1
C． , ÷ D． ,1
è 3 2 2 ÷ è
1 x 13-5．（2024 高一下·海南省直轄縣級單位·期中）若 x0 是函數 f x = ÷ - x 2 的零點，則 x0 屬于區間
è 3
（ ）.
0, 1 1 , 1 A． B．3 ÷ 3 2 ÷è è
1 2 2 C． , D． ,12 3 ÷ 3 ÷è è
（四）
函數零點性質的應用
1、已知函數有零點(方程有根)，求參數值常用的方法和思路
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數取值范圍;
(2)分離參數法:將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決;
(3)數形結合:先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，然后觀察求解.
2、一元二次方程根的分布問題關注三個方面：①判別式；②對稱軸的范圍；③區間端點的函數值
的正負.　
題型 4：已知零點個數求參數的取值范圍
4-1．（2024 高一· 2全國·課后作業）若函數 f (x) = 4x - x - a 有 2 個零點，求實數 a 的取值范圍．
ìx - c, x 0,
4-2．（2024·北京西城·一模）設 c R ，函數 f (x) = í x 若 f (x)2 2c, x 0. 恰有一個零點，則
c的取值范圍是
- <
（ ）
A． (0,1) B．{ 0 }U [1,+ )
C． (0,
1 ) 1
2 D．
{ 0 }U [ ,+ )
2
4-3．（2024·湖北·模擬預測）設min{m,n}表示 m，n 中的較小數．若函數 f (x) = min | x | -1,2x2 - ax + a + 6
至少有 3 個零點，則實數 a的取值范圍是（ ）
A．[12,+ ) B． (- , -4] (12, + )
C． (- , -4) [12, + ) D． (- , -4)
4-4．（2024 x高一下·湖北荊州·階段練習）若方程 e -1 = m有兩個不同的實數根，則實數m 的取值范圍為
（ ）
A． 0, + B． 0,1 C． 0,1 D． 1, +
題型 5：已知零點所在區間求參數的取值范圍
5-1 x 2．（2024 高一上·江蘇南通·期末）設 k 為實數，函數 f x = 2 + x - k 在 0,1 上有零點，則實數 k 的取值范
圍為 ．
5-2 2．（寧夏回族自治區銀川一中 2023 屆高三三模數學（理）試題）函數 f (x) = log2 x + x + m在區間 2,4 上
存在零點，則實數m 的取值范圍是（ ）
A． - , -18 B． (5,+ )
C． (5,18) D． -18, -5
題型 6：比較零點的大小
6-1．（2024 高一上·湖北鄂州·期末）已知方程 2x + 2x = 0、 log2 x + 2x = 0、 x3 + 2x = 0的根分別為 a，b，c，
則 a，b，c 的大小順序為（ ）．
A． a > b > c B．b > c > a C． c > a > b D．b > a > c
6-2．（2024 高一下·河南洛陽· 3 x期末）已知函數 f x = x + x ， g x = x + 3 ， h x = x + log3 x的零點分別為
x1， x2， x3 ，則x1， x2， x3 的大小順序為（ ）
A． x2 > x3 > x1 B． x3 > x2 > x1
C． x1 > x2 > x3 D． x3 > x1 > x2
6-3 a．（2024 高一上·福建泉州·階段練習）設正實數 a,b,c分別滿足 a ×2 = b × log3 b = c × log2 c =1，則 a,b,c的大
小關系為（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > b > a D． a > c > b
題型 7：求零點之和
7-1．（2024 高一上·全國·單元測試） y = f x 是R 上的偶函數，若方程 2 f x =1有五個不同的實數根，則
這些根之和為（ ）
1
A．2 B．1 C．0 D．
2
7-2 2024 x-1 1-x．（ 高三上·四川成都·開學考試）已知函數 f x = e - e + 4 ，若方程 f x = kx + 4 - k(k > 0)有三
個不同的根 x1, x2 , x3，則 x1 + x2 + x3 = （ ）
A．4 B．3 C．2 D． k
ì2x + 2, x 0
7-3．（2024 高一上·貴州畢節·期末）已知函數 f x = í ，則函數 y = f é f x ùlog x, x 0 的所有零點之和 4 >
為 ．
（五）
二分法的概念
1、二分法的概念
判斷一個函數能用二分法求其零點近似值的依據：其圖象在零點附近是連續不斷的且該零點為
變號零點．因此，用二分法求函數零點近似值的方法僅對函數的變號零點適用，對函數的不變
號零點不適用．
2、二分法的適用條件
判斷一個函數能否用二分法求其零點的依據是：其圖象在零點附近是連續不斷的，且該零點為
變號零點．因此，用二分法求函數的零點近似值的方法僅對函數的變號零點適用，對函數的不
變號零點不適用．　
題型 8：二分法的概念的應用
8-1（2024 高一·全國·課后作業）以下每個圖象表示的函數都有零點，但不能用二分法求函數零點的是(　　)
A． B． C． D．
8-2．（2024 x高一·全國·課后作業）用二分法求函數 f x = 2 - 3的零點時，初始區間可選為（ ）
A．[-1,0] B．[0,1]
C． 1,2 D．[2,3]
8-3．（2024 高一·江蘇·單元測試）下列函數一定能用“二分法”求其零點的是（ ）
A． y = kx + b（k，b 為常數，且 k 0）
B． y = ax2 + bx + c（a，b，c 為常數，且 a 0）
C． y = 2x
k
D． y = （ k 0，k 為常數）
x
（六）
用二分法求方程的近似解(或函數零點的近似值)
1、利用二分法求方程近似解的步驟
(1)構造函數，利用圖象確定方程的根所在的大致區間，通常限制在區間(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出滿足精確度的方程的根所在的區間 M.
(3)區間 M 內的任一實數均是方程的近似解，通常取區間 M 的一個端點．
2、用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則
(1)需依據圖象估計零點所在的初始區間[m，n](一般采用估計值的方法完成)．
(2)取區間端點的中點 c，計算 f(c)，確定有解區間是(m，c)還是(c，n)，逐步縮小區間的“長
度”，直到區間的兩個端點符合精確度要求，終止計算，得到函數零點的近似值．　
題型 9：用二分法求方程的近似解(或函數零點的近似值)
9-1．（2024 高一上·全國·課后作業）用二分法求方程的近似解，精確度為e ，則終止條件為（　　）
A． x1 - x2 > e B． x1 - x2 < e
C． x1 9-2．（2024 高一上·全國·課后作業）用二分法可以求得方程 x3 + 5 = 0 的近似解(精確度為 0.1)為（ ）
A．-1.5 B．-1.8
C．-1.6 D．-1.7
9-3．（2024 高一上·江蘇淮安·期末）已知函數 f x 在( 0, 1)內有一個零點，且求得 f (x) 的部分函數值數據如
下表所示：
x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
f (x) -1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使 f (x) 零點的近似值精確到 0.1，則對區間( 0, 1)的最少等分次數和近似解分別為（ ）
A．6 次 0.7 B．6 次 0.6
C．5 次 0.7 D．5 次 0.6
（七）
指數型模型的應用
指數函數模型的應用
1．在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常可以用指數函數模型
表示．通常可以表示為 y＝N(1＋p)x(其中 N 為基礎數，p 為增長率，x 為時間)的形式．
2．解答數學應用題應過的三關
(1)理解關：數學應用題的文字閱讀量較大，需要通過閱讀找出關鍵詞、句，確定已知條件是
什么，要解決的問題是什么．
(2)建模關：將實際問題的文字語言轉化成數學符號語言，用數學式子表達文字關系，進而建
立實際問題的數學模型，將其轉化成數學問題．
(3)數理關：建立實際問題的數學模型時，要運用恰當的數學方法．
注；函數 y＝c·akx(a，c，k 為常數)是一個應用廣泛的函數模型，它在電學、生物學、人口學、
氣象學等方面都有廣泛的應用，解決這類給出的指數函數模型的應用題的基本方法是待定系數
法，即根據題意確定相關的系數．
題型 10：指數型模型的應用
10-1．（2024 高一上·江蘇揚州·階段練習）著名數學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物
-kt
體的初始溫度為 1 ℃，空氣溫度為 0 ℃，則 t分鐘后物體的溫度 （單位：℃，滿足： = 0 + ( 1 - 0 )e )
若常數 k = 0.05，空氣溫度為30 ℃，某物體的溫度從110 ℃下降到 40 ℃，大約需要的時間為（ ）（參考數
據： ln 2 0.69 ）
A．39 分鐘 B．41 分鐘 C．43 分鐘 D．45 分鐘
10-2．（2024 高一·全國·課后作業）從盛滿10L純酒精的容器里到倒出1L酒精，然后用水充滿，再倒出1L混
合溶液，再用水充滿，這樣繼續下去，若第 x x N+ 次倒出純酒精為 f (x) （單位：L），則函數 f (x) 的表
達式為 ．（假設酒精與水混合后相對體積不變）
10-3．（2024 高一下·湖南岳陽·期末）著名田園詩人陶淵明也是一個大思想家，他曾言：勤學如春起之苗，
不見其增，日有所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧.今天，我們可以用數學觀點來對這句話重新
詮釋，我們可以把“不見其增”量化為每天的“進步率”都是1% ，一年后是1.01365 ；而把“不見其損”量化為每
365
天的“ 1.01落后率”都是1% ，一年后是0.99365 .可以計算得到，一年后的“進步”是“落后”的 1481倍.那么，
0.99365
如果每天的“進步率”和“落后率”都是 20%，要使“進步”是“落后”的10000倍，大約需要經過（ lg 2 0.301，
lg3 0.477 ）（ ）
A．17 天 B．19 天 C．23 天 D．25 天
（八）
對數函數模型的應用
(1)形如 y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0)，其特點為當 a>1，m>0 時，y 隨自變量 x 的增大而增
大，且函數值增大的速度越來越慢．
(2)對于對數型函數模型問題，關鍵在于熟練掌握對數函數的性質，在認真審題的基礎上，分
析清楚底數 a 與 1 的大小關系，要關注自變量的取值范圍．
借助于數學模型解決數學問題的同時，實際問題也得以順利解決，這就是函數模型的作用．
注：對數函數應用題的基本類型和求解策略：
(1)基本類型：有關對數函數的應用題一般都會給出函數的解析式，然后根據實際問題求解；
(2)求解策略：首先根據實際情況求出函數解析式中的參數，或根據給出的具體情境，從中提
煉出數據，代入解析式求值，然后根據數值回答其實際意義．　　　
題型 11：對數函數模型的應用
11-1．（2024·陜西咸陽·模擬預測）陜西榆林神木石峁遺址發現于 1976，經過數十年的發掘研究，已證實是
中國已發現的龍山晚期到夏早期規模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁畫、房屋、城池、人體骨骼
等遺跡，2019 年科技人員對遺跡中發現的某具人婁骨骼化石進行碳 14 測定年代，公式為：
t = 5730ln A0 ÷ 0.693（其中 t為樣本距今年代， A0 為現代活體中碳 14 放射性豐度，A 為測定樣本中碳 14
è A
-12
放射性豐度），已知現代活體中碳 14 放射性豐度 A0 =1.2 10 ，該人類骨骼碳 14 放射性豐度
A = 7.4 10-13 ，則該骨骼化石距今的年份大約為（ ）（附： ln1.6216 0.4834， ln1.7 0.5306，
ln1.5 0.4055）
A．3353 B．3997 C．4125 D．4387
11-2．（2024 高二下·云南昆明·期末）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，洄游到產卵地產卵.科學家發現鮭魚的
1 P
游速 v（單位：m / s）與鮭魚的耗氧量的單位數 P 的關系為 v = log3 ，則鮭魚靜止時耗氧量的單位數為2 100
（ ）
A．1 B．100 C．200 D．300
11-3．（2024 高三下·湖南·階段練習）住房的許多建材都會釋放甲醛.甲醛是一種無色、有著刺激性氣味的氣
體，對人體健康有著極大的危害.新房入住時，空氣中甲醛濃度不能超過 0.08 mg/m3，否則，該新房達不到
安全入住的標準.若某套住房自裝修完成后，通風 x x =1,2,3,L,50 周與室內甲醛濃度 y（單位：mg/m3）之
* 2
間近似滿足函數關系式 y = 0.48 - 0.1 f x x N ，其中 f x = log éa k x + 2x +1 ù k > 0, x =1,2,3,L,50 ，
且 f 2 = 2， f 8 = 3，則該住房裝修完成后要達到安全入住的標準，至少需要通風（ ）
A．17 周 B．24 周 C．28 周 D．26 周
（九）
建立擬合函數模型解決實際問題
對于此類實際應用問題，關鍵是建立適當的函數關系式，再解決數學問題，最后驗證并結合問
的實際意義作出回答，這個過程就是先擬合函數再利用函數解題．函數擬合與預測的一般步驟
如下：
(1)能夠根據原始數據、表格，繪出散點圖．
(2)通過考察散點圖，畫出“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線．如果所有實際點都
落到了擬合直線或曲線上，滴“點”不漏，那么這將是個十分完美的事情，但在實際應用中，這
種情況一般不會發生．因此，使實際點盡可能均勻分布在直線或曲線兩側，使兩側的點數大體
相等，得出的擬合直線或擬合曲線就是“最貼近”的了．
(3)根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式．
(4)利用函數關系式，根據條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據．
題型 12：建立擬合函數模型解決實際問題
12-1．（2024 高三下·全國·階段練習）某地自 2014 年至 2019 年每年年初統計所得的人口數量如表所示：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019
人數（單位：千人） 2082 2135 2203 2276 2339 2385
（1）根據表中的數據判斷從 2014 年到 2019 年哪個跨年度的人口增長數量最大？并描述該地人口數量的變
化趨勢；
（2）研究人員用函數P t = 2000 450+ -0.6544t 擬合該地的人口數量，其中 t的單位是年，2014 年年初4.4878e +1
對應時刻 t = 0，P t 的單位是千人，經計算可得P 6.5 2450，請解釋P 6.5 2450的實際意義.
12-2．（2024 高一上·江蘇鎮江·階段練習）汽車“定速巡航”技術是用于控制汽車的定速行駛，當汽車被設定
為定速巡航狀態時，電腦根據道路狀況和汽車的行駛阻力自動控制供油量，使汽車始終保持在所設定的車
速行駛，而無需司機操縱油門，從而減輕疲勞，促進安全，節省燃料.某汽車公司為測量某型號汽車定速巡
航狀態下的油耗情況，選擇一段長度為240km的平坦高速路段進行測試，經多次測試得到一輛汽車每小時
耗油量 F（單位：L）與速度 v（單位： km/h ） (0 v 120) 的下列數據：
v 0 40 60 80 12
20 65
F 0 10 20
3 8
為了描述汽車每小時耗油量與速度的關系，經計算機擬合，選用函數模型F = av3 + bv2 +cv .
（1）求函數解析式；
（2）這輛車在該測試路段上以什么速度行駛才能使總耗油量最少？
12-3．（2024 高三上·甘肅定西·階段練習）某皮鞋廠從今年 1 月份開始投產，并且前 4 個月的產量分別如下
表所示.
月份 1 2 3 4
產量（萬雙） 1.02 1.10 1.16 1.18
由于產品質量好，款式新穎，前幾個月的產品銷售情況良好.為了推銷員在推銷產品時，接受訂單不至于過
多或過少，需要估測以后幾個月的產量.廠里分析，產量的增加是由于工人生產熟練和理順了生產流程.廠里
也暫時不準備增加設備和工人.如果用 x 表示月份，用 y 表示產量，試比較 y = a x + b 和 y = abx + c哪一個更
好一些？（函數模型 y = a x + b ，要求用第 1，4 月份的數據確定 a，b ；函數模型 y = abx + c，要求用第 1，
2，3 月份的數據確定 a，b ， c，精確到 0.01， 2 1.414 ， 3 1.732）
一、單選題
1．（2024 高一上·全國·課后作業）用二分法求函數 f x = ln x +1 + x -1在區間 0,2 上的零點，要求誤差不
超過 0.01 時，計算中點函數值的次數最少為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
1
2．（2024 高一上·全國·課后作業）用二分法求方程 ln x - = 0在 1,2 上的解時，取中點 c =1.5，則下一個有
x
解區間為（　　）
A． 1,1.25 B． 1,1.5
C． 1.25,1.5 D． 1.5,2
3．（2024 高一上·全國·課后作業）若函數 （f x）= x3 + x2 - 2x - 2的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，
其參考數據如下:
f 1 = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 （f x）= x3 + x2 - 2x - 2的一個近似解（誤差不超過 0.025）可以是（ ）
A．1.25 B．1.39 C．1.42 D．1.5
4．（2024 高一上·江西上饒·期末）若函數 f (x) = x3 + x2 - 2x - 2的一個正零點附近的函數值用二分法計算，
其參考數據如下：
f (1) = -2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = -0.984
f (1.375) = -0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = -0.054
那么方程 x3 + x2 - 2x - 2 = 0的一個近似根（精確度 0.1）為（ ）
A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5
5．（2024 高一上·吉林長春·期末）函數 f (x) = ex + x + 2零點所在的區間是（ ）
A． (1, 2) B． (-1,0)
C． -3, -2 D． (-2,-1)
x
6 1 3．（2024 高一上·廣東江門·期末）已知 f x = - x - 2，g x = log 1 x - x - 2 ÷ ，h x = x - x - 2的零點分
è 2 2
別是 a，b ， c，則 a，b ， c的大小順序是（ ）
A． a > b > c B． c > b > a C．b > c > a D．b > a > c
x
7 2024 · · x 1 ．（ 高一上 全國 課后作業）若關于 的方程 ÷ = a +1有解，則 a的取值范圍是（ ）
è 2
A．0 < a 1 B．-1 < a 0 C．a 1 D． a > 0
2
8 x．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f (x) = 2 - - a的一個零點在區間 (1,2) 內，則實數 a 的取值范圍是
x
（ ）
A． 0 < a < 3 B．1 < a < 3
C．1< a < 2 D． a 2
9．（2024 高三·全國·專題練習）用二分法求函數 f x = ln x +1 + x -1在區間 0,1 上的零點，要求精確度為
0.01時，所需二分區間的次數最少為（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（2024 高一上·全國· 3課后作業）已知函數 f x = x + 2x - 9在區間 1,2 內有一個零點，且 f x 的部分函
數值數據如下： f 1 = -6， f 1.5 = -2.625， f 1.75 -0.1406， f 1.7578 -0.0530，
f 1.7617 0.0090 ， f 1.7656 0.0352， f 2 = 3，要使 f x 零點的近似值精確度為0.01，則對區間 1,2
的最少等分次數和近似解分別為（ ）
A．6 次，1.75 B．6 次，1.76
C．7 次，1.75 D．7 次，1.76
11．（2024 高一上·浙江溫州·階段練習）已知 y = -(x - a)(x - b) + 2，且a , b 是方程 y = 0 的兩根，則 a,b,a , b
大小關系可能是（ ）
A． a < a < b < b B．a < a < b < b
C． a < a < b < b D．a < a < b < b
12．（2024 高一·全國·課堂例題）方程 log2 x + 4 = 3x 的實根的個數為 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2
13．（2024 高三上· x內蒙古呼和浩特·開學考試）若函數 f x = 2 - - a 存在 1 個零點位于 1,2 內，則 a 的
x
取值范圍是（ ）
A． 0,3 B． -3,3 C． -3,3 D． -3,0
ì x +1 , x 1
14．（2024 高一上·河北邢臺·期末）已知函數 f (x) = í f x = a a R | log (x 1) , x 1，若方程 有四個不同的 2 -
解 x1, x2 , x3 , x4 ,且 x1 < x2 < x3 < x4 ，則 x1 + x2 + x3 + x4的取值范圍是（ ）
é2,17 ù 2,17A． ê B
ù
．
4 ú è 4 ú
2,17 é2,17C ． D．
è 4 ÷ ê 4 ÷
a b c
15．（2024 高二上· · 1 貴州黔東南 階段練習）設 = log a， 2 = log b 1 ÷ 1 a2 ， ÷ = 5，則 、b 、 c的大小關
è 3 3 è 4
系是（ ）
A．b < a < c B． c < b < a
C．a < b < c D．b < c < a
16 1
x x x
1
．（2024 高一上·山東濱州·期末）已知函數 f (x) = ÷ - log x, g(x)
1= ÷ - x
2 , h(x) 1= ÷ - x 22 在區間
è 2 è 2 è 2
(0, + )內的零點分別是 a，b，c，則 a，b，c 的大小關系為（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． c > a > b D．b > a > c
ìln -x , x < 017．（2024 高一下·云南紅河·階段練習）已知 f x = í - x ，則函數 y = 3 f 2 (x) - 2 f (x)的零點個數為
2 , x > 0
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
18．（2024 x高二下·河北邯鄲·期末）函數 f x = e - + 2的零點所在的一個區間是
x
A． -1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2,3
19．（2024 高一上· 5吉林長春·期末）函數 f x = x - x -1在下列區間一定有零點的是（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
20．（2024 高一上·遼寧大連·階段練習）為了給地球減負，提高資源利用率，2020 年全國掀起了垃圾分類的
熱潮，垃圾分類已經成為新時尚，假設某市 2020 年全年用于垃圾分類的資金為 5000 萬元，在此基礎上，
每年投入的資金比上一年增長 20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過 1.28 億元的年份是（參考數
據： lg1.2 0.079， lg 2.56 0.408）（ ）
A．2024 年 B．2025 年 C．2026 年 D．2027 年
ì x +1 , x 0
21．（2024 高一上·河北保定·期末）已知函數 f (x) =

í ，若方程 f x = a a R 有四個不同的解
log2 x , x > 0
x1, x2 , x3 , x4 ，且 x1 < x2 < x3 < x4 ，則 x1 + x2 x4的取值范圍是（ ）
A．[-4,-2) B．[-4,-2] C． (-4,-2) D． (-4,-2]
- x
22．（2024 高一上·重慶九龍坡·期末）函數 f x 1 3= ÷ - + a的一個零點在區間 1,2 內，則實數 a的取值
è 2 x
范圍是（ ）
1, 5A + B - ,1 5 5 ． ． ÷ C． - ,- ÷ 1, + D - ,-
è 2
． ÷
è 2 è 2
x1 x2 +1 x3
23．（2024
1
高一上·北京·期末）已知x1， x2， x3 滿足 ÷ = log 1 x
1 = log x 1 1， ÷ 1 2 ， ÷ = log2 1
x3 ，則
è 2 è 2 2 è 3 2
x1， x2， x3 的大小關系為（ ）
A． x1 < x2 < x3 B． x2 < x3 < x1 C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
二、多選題
24．（2024 高一上·全國·課后作業）（多選）以下每個圖象表示的函數都有零點，其中能用二分法求函數零點
的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024 高一上·全國·課后作業）（多選）下列圖象表示的函數有零點的是（ ）
A． B． C． D．
ì-x2 - 4x, x 0
26．（2024 高一上·山西呂梁·期末）已知函數 f (x) = í ，若 x1 < x2 < x3 < xlog x , x 0 4 ，且 2 >
f x1 = f x2 = f x3 = f x4 ，則下列結論正確的是（ ）
A． x1 + x2 = -4 B． x3 × x4 =1 C．1< x4 < 4 D．0 < x1x2x3x4 4
x
27．（2024 1 高一上·四川成都·階段練習）已知函數 y = ÷ - lnx 的兩個零點分別為 x1, x2 ，且 x1 > x ，則
è e
2

（ ）
1 x 1 1 x 1A． < 1 < 2 <
1 x2 x1 x2
1 1 1 1
C． x2 < < < x2
1 2 x1 x2
ìx2 - 4x + 3, x 0

28．（2024 高三上·福建三明·期中）已知函數 f x = í1 ．若存在 x < x < x ，使得
+ 2, x < 0
1 2 3
x
f x1 = f x2 = f x3 = t ，則下列結論正確的有（ ）
A． x2 + x3 = 4 B． x2x3 的最大值為 4
C．t 的取值范圍是 -1,3 D． x1 + x x
11
2 + 3的取值范圍是 - ， ÷
è 3
x
29．（2024 高三下· x湖南·階段練習）已知函數 f x = -10 (x >1)， g x x= - lgx(x >1)的零點分別為
x -1 x -1
x1， x2，則（ ）
1 1
A． x1 = lgx2 B． + =1 x + x < 4x x C． 1 2 D．
10 < x1x2 < 200
1 2
30．（2024 高一上·山東煙臺·期中）某打車平臺欲對收費標準進行改革，現制定了甲 乙兩種方案供乘客選擇，
其支付費用與打車里程數的函數關系大致如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．當打車距離為8km 時，乘客選擇乙方案省錢
B．當打車距離為10km時，乘客選擇甲 乙方案均可
C．打車3km 以上時，每公里增加的費用甲方案比乙方案多
D．甲方案3km 內（含3km ）付費 5 元，行程大于3km 每增加 1 公里費用增加 0.7 元
三、填空題
1- x
31．（四川省射洪中學校 2023-2024 學年高一（強基班）上學期期中數學試題）函數 f x = 2 - m有零點1+ x
時，m 的范圍是 .
32．（2024 高一上·全國·課后作業）音量大小的單位是分貝 (dB) ，對于一個強度為 I 的聲波，其音量的大小h
I
可由公式h =10 × lg I (其中
I0是人耳能聽到的聲音的最低聲波強度)計算得到，設h1 = 70 dB 的聲音的聲波強
0
度為 I1，h2 = 60dB 的聲音的聲波強度為 I2，則 I1是 I2的 倍.
33．（2024 高一上·全國·課后作業）下列是函數 f x 在區間[1, 2]上一些點的函數值. 由此可判斷：方程
f x = 0的一個近似解為 (精確度 0.1)．
x 1 1.25 1.375 1.4065 1.438
f x -2 -0.984 -0.260 -0.052 0.165
x 1.5 1.625 1.75 1.875 2
f x 0.625 1.982 2.645 4.35 6
34．（2024 高一上·全國·課后作業）方程 x＋lg x＝3 解的個數為 ．
35．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 f (x) = x2 - 2x + a 有兩個不同零點，則實數 a 的取值范圍是 .
ìx2 + x - 2, x 0,
36．（2024 高三上·北京東城·開學考試）已知函數 f (x) = í 則函數 f (x) 的零點為
-1+ ln x, x > 0,
37．（2024 高一上·全國·課后作業）若 x1, x2 是二次函數 y = x2 + x - 2的兩個零點，則 x1 + x2 + x1x2 = .
ì 2- x , x 1
38．（2024 高一上·陜西渭南·期末）已知函數 f x = í ，若函數 g x = f x - a恰有兩個零點，則
log8x, x >1
實數 a 的取值范圍是 .
39．（2024 高一上·全國·課后作業）方程 x + ln x = 3解的個數為 .
40．（2024 高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數 f x = lnx + 3x - 7的零點位于區間 n,n +1 n N 內，則
n = .
ì x2 + 2x , x 0
41．（2024 高一下·廣東廣州·期中）已知函數 f (x) =

í1 ，若關于 x 的方程 f (x) = a(x + 3) 有四個
, x > 0
x
不同的實數根，則實數 a 的取值范圍是 ．
42．（2024 2高一上·全國·課后作業）若函數 f x = 2ax - x -1在區間 0,1 上恰有一個零點，則實數 a的取值
范圍是 ．
ì lg -x -1 , x < -1
43．（2024 高一上·河南南陽·期末）已知函數 f x = í ，若函數 g(x) = [ f (x)]2 - bf (x) + 5有
x
2 - 6x + 5, x 0
7 個零點，則實數b 的取值范圍是 ．
44．（2024 高一上·全國·專題練習）設函數 f (x) 是定義在R 上的奇函數，當 x > 0時，f (x) = 2x + x - 3，則 f (x)
的零點個數為 .
ì
2x -1, x < 0

45．（2024 高一上·全國·課后作業）已知函數 f (x) = í x - 2 ,0 x 3 ， g(x) = f (x) - k ，且 g(x)有三個

1 x2 17- 4x + , x > 3
2 2
零點，則實數 k 的取值范圍是 ．
46．（2024 x高一·全國·課堂例題）若方程 3 -1 = k 有一解，則 k 的取值范圍為 ．
ì lg -x , x < 0
47．（2024 高一上·廣西百色·期末）已知函數 f x = í ，若關于 x 的方程 f 2 (x) + mf (x) - 4 = 0
x
2 - 6x + 4, x 0
有6 個不同根，則實數m 的取值范圍是 .
四、解答題
48．（2024 高一上·江蘇淮安·期末）2022 年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，目前的新冠病毒是奧密克
戎變異株，其特點是：毒力顯著減弱，但傳染性很強，絕大多數人感染后表現為無癥狀或輕癥，重癥病例
很少，長期一段時間以來全國沒有一例死亡病例．某科研機構對奧密克戎變異株在特定環境下進行觀測，
每隔單位時間 T 進行一次記錄，用 x 表示經過的單位時間數，用 y 表示奧密克戎變異株感染人數，得到如
下觀測數據：
x(T ) 1 2 3 4 5 6 …
y (人數) … 6 … 36 … 216 …
若奧密克戎變異株的感染人數 y 與經過 x(x N *)個單位時間 T 的關系有兩個函數模型 y = mx2 + n 與
y = k ×a x (k > 0, a >1) 可供選擇．
（參考數據： 2 =1.414， 3 =1.732， lg 2 = 0.301， lg3 = 0.477 ）
(1)判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的解析式；
(2)求至少經過多少個單位時間該病毒的感染人數不少于 1 萬人．
49．（2024 高一上·山東濟寧·期末）某學校決定對教室采用藥熏消毒法進行消毒，藥熏開始前要求學生全部
離開教室.已知在藥熏過程中，教室內每立方米空氣中的藥物含量 y（毫克）與藥熏時間 t（小時）成正比；
當藥熏過程結束，藥物即釋放完畢，教室內每立方米空氣中的藥物含量 y（毫克）達到最大值.此后，教室
1 t-a
內每立方米空氣中的藥物含量 y（毫克）與時間 t（小時）的函數關系式為 y = ÷ (a 為常數).已知從藥熏
è 32
開始，教室內每立方米空氣中的藥物含量 y（毫克）關于時間 t（小時）的變化曲線如圖所示.
(1)從藥熏開始，求每立方米空氣中的藥物含量 y（毫克）與時間 t（小時）之間的函數關系式；
(2)據測定，當空氣中每立方米的藥物含量不高于 0.125 毫克時，學生方可進入教室，那么從藥熏開始，至少
需要經過多少小時后，學生才能回到教室
50．（2024 高一上·新疆塔城·期末）《濕地公約》第十四屆締約方大會部級高級別會議 11 月 6 日在湖北武漢
閉幕，會議正式通過“武漢宣言”，呼吁各方采取行動，遏制和扭轉全球濕地退化引發的系統性風險.武漢市
某企業生產某種環保型產品的年固定成本為 2000 萬元，每生產 x 千件，需另投入成本C x （萬元）．經計
算若年產量 x 千件低于 100 千件，則這 x 千件產品成本C x 1= x2 +10x +1100；若年產量 x 千件不低于 100
2
C x 120x 4500千件時，則這 x 千件產品成本 = + - 5400．每千件產品售價為 100 萬元，設該企業生產的產
x - 90
品能全部售完．
(1)寫出年利潤 L（萬元）關于年產量 x（千件）的函數解析式；
(2)當年產量為多少千件時，企業所獲得利潤最大？最大利潤是多少？
51．（2024 高三上·廣東茂名·期中）某蔬菜基地種黃瓜，從歷年市場行情可知，從二月一日起的300天內，
黃瓜市場售價 P （單位：元/千克）與上市時間（第 t天）的關系可用如圖所示的一條折線表示，黃瓜的種植
成本Q（單位：元/千克）與上市時間的關系可用如圖所示的拋物線表示．
(1)寫出圖表示的市場售價與上市時間的函數關系式P = f t 及圖表示的種植成本與上市時間的函數關系式
Q = g t ；
(2)若認定市場售價減去種植成本為純收益，則何時上市能使黃瓜純收益最大？
52．（2024 高一上·四川遂寧·期中）在扶貧活動中，為了盡快脫貧（無債務）致富，企業甲將經營情況良好
的某種消費品專賣店以5.8萬元的優惠價轉讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業乙，并約定從該
店經營的利潤中，首先保證企業乙的全體職工每月最低生活費的開支3600元后，逐步償還轉讓費（不計
息）.在甲提供的資料中有：①這種消費品的進價為每件14元；②該店月銷量Q（百件）與銷售價格 P （元）
的關系如圖所示；③每月需各種開支 2000元.當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的
余額最大？并求最大余額.
53．（2024 高一上·全國·課后作業）判斷下列函數是否存在零點，如果存在，請求出零點.
(1) f (x) = -8x2 + 7x +1；
(2) f (x) =1+ log3 x ；
(3) f (x) = 4x -16；
ìx2 + 3x - 4, x 0
(4) f (x) = í
-1+ ln x, x > 0
54．（2024 高一·廣東佛山·期末）某醫學專家為研究傳染病傳播中病毒細胞的發展規律，將病毒細胞注入一
只小白鼠體內進行試驗，經檢測，病毒細胞的個數與天數的記錄如下表：
天數 1 2 3 4 5 6
病毒細胞的個數 1 2 4 8 16 32
已知該病毒細胞在小白鼠體內的個數超過108 的時候小白鼠將死亡，但注射某種藥物，可殺死其體內該病毒
細胞的98% .
(1)為了使小白鼠在試驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物(精確到天， lg 2 0.3010 )
(2)第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命(精確到天)
55．（2024 高一上·全國·課后作業）下圖所示是一騎自行車者和一騎摩托車者沿相同路線由甲地到乙地行駛
過程的函數圖象，兩地間的距離是80km .請你根據圖象解決下面的問題：
(1)誰出發較早，早多長時間？誰到達乙地較早？早到多長時間？
(2)兩人在途中行駛的速度分別是多少？
(3)請你分別求出表示自行車和摩托車行駛過程的函數解析式；
(4)指出在什么時間段內兩車均行駛在途中（不包括端點）；在這一時間段內，請你分別按下列條件列出關于
時間 x 的方程或不等式，并求解．
①自行車行駛在摩托車前面；
②自行車與摩托車相遇；
③自行車行駛在摩托車后面．
56．（2024 高一上·全國·課后作業）北京時間 2023 年 3 月 30 日 18 時 50 分，中國在太原衛星發射中心成功
將宏圖一號 01 組衛星發射升空，衛星順利進入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功．據了解，在不考慮空氣
M
動力和地球引力的理想狀態下，可以用公式 v = v0 × ln 計算火箭的最大速度 v（單位：m/s），其中 v0 （單m
位：m/s）是噴流相對速度，m （單位：kg）是火箭（除推進劑外）的質量，M （單位：kg）是推進劑與
M
火箭質量的總和， 稱為總質比，已知 A 型火箭的噴流相對速度為1000m/s．
m
(1)當總質比為 200 時，利用給出的參考數據求 A 型火箭的最大速度；
3 1
(2)經過材料更新和技術改進后，A 型火箭的噴流相對速度提高到了原來的 倍，總質比變為原來的 ，若
2 3
要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技術改進前總質比的最小整數值．
參考數據： ln200 5.3， 2.718 < e < 2.719．
57．（2024 高一上·江蘇南通·階段練習）某農科所計劃在院內圍建一塊面積為200m2的矩形基地搞新品種蔬
菜種植試驗，根據規劃要求基地一面靠圍墻，其余用柵欄圍成，設矩形基地的長為 x m，柵欄長是 y m.
(1)寫出 y 關于 x 的函數關系式：
(2)由于實際需要基地的長不少于 25 m，且不超過 40 m，問如何設計所用柵欄長最小？最小值是多少？
58．（江蘇省南京師范大學蘇州實驗學校 2023-2024 學年高一上學期第二次階段學情調研數學試題）已知函
f x x
2 +1
數 = 是定義域上的奇函數，且 f -1 = -2 .
ax + b
(1)判斷并證明函數 f x 在 0, + 上的單調性；
(2)令函數 g x = f x - m ，若 g x 在 0, + 上有兩個零點，求實數m 的取值范圍；
1 1 15
(3) 2 é ù令函數 h x = x + 2 - 2tf x t < 0 ，若對"x1， x2 ê , 22 ú ，都有 h x1 - h x2 ，求實數 t的取值范x 4
圍.

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