資源簡介

5.3 誘導公式 6 題型分類
一、角的對稱
(1)角 π＋α 的終邊與角 α 的終邊關于原點對稱，如圖(a)；
(2)角－α 的終邊與角 α 的終邊關于 x 軸對稱，如圖(b)；
(3)角 π－α 的終邊與角 α 的終邊關于 y 軸對稱，如圖(c)．
二、誘導公式
公式二 sin(π＋α)＝－sinα cos(π＋α)＝－cosα tan(π＋α)＝tanα
公式三 sin(－α)＝－sinα cos(－α)＝cosα tan(－α)＝－tanα
公式四 sin(π－α)＝sinα cos(π－α)＝－cosα tan(π－α)＝－tanα
(1)公式一、二、三、四都叫做誘導公式，它們可概括如下：
①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α 的三角函數值，等于 α 的同名函數值，前面加上一
個把 α 看成銳角時原函數值的符號，可以簡單地說成“函數名不變，符號看象限”．
②解釋：“函數名不變”是指等式兩邊的三角函數同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負
號；“看象限”是指假設 α 是銳角，要看原三角函數是取正值還是負值，如 sin(π＋α)，若把 α 看
成銳角，則 π＋α 在第三象限，正弦在第三象限取負值，故 sin(π＋α)＝－sinα.
(2)利用誘導公式一和三，還可以得到如下公式：
sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，
tan(2π－α)＝－tanα.　
三、誘導公式五、六
(1)公式五、六中的角 α 是任意角．
π
(2)誘導公式一～六中的角可歸納為 k· ±α 的形式，可概括為“奇變偶不變，符號看象限”．
2
①“變”與“不變”是針對互余關系的函數而言的．
π
②“奇”“偶”是對誘導公式 k· ±α 中的整數 k 來講的．
2
π π
③“象限”指 k· ±α 中，將 α 看成銳角時，k· ±α 所在的象限，根據“一全正，二正弦，三正切，
2 2
四余弦”的符號規律確定原函數值的符號．
(3)利用誘導公式五、六，結合誘導公式二，還可以推出如下公式：
(3π 3πsin －α)＝－cosα，cos( －α)＝－sinα，2 2
sin(3π 3π＋α ＝－cosα，cos ＋α ＝sinα.2 ) ( 2 )
（一）
給角求值
利用誘導公式求任意角的三角函數值的步驟
(1)“負化正”——用公式一或三來轉化；
(2)“大化小”——用公式一將角化為 0°到 360°間的角；
(3)“小化銳”——用公式二或四將大于 90°的角轉化為銳角；
(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值．
題型 1：給角求值
1-1．（2024 高一·全國·專題練習）求下列各式的值．
(1) sin1470°；
(2) cos
9π
；
4
(3) tan
11π
- 6 ÷．è
sin 43p(4) - 6 ÷；è
(5) cos -120° sin -150° + tan855° .
1-2．（2024 高一·全國·課堂例題）利用公式求下列三角函數值：
(1) cos 225°：
8π
(2) sin ；
3
sin 16π (3) - ÷；
è 3
(4) tan -2040° .
1-3．（2024 高一·全國·隨堂練習）求值：
(1) sin150°；
(2) tan1020°；
3π
(3) sin(- )；
4
(4) sin -750° .
1-4．（2024 高一·全國·專題練習）求下列各值.
(1) sin
π
- 6 ÷
；
è
cos π (2) - 4 ÷
；
è
(3) tan
7π
- 6 ÷
；
è
sin 7π (4) - 4 ÷è
47
(5) cos π；
6
sin 7π(6) -

÷；
è 3
(7) tan -855° ．
（二）
給式(值)求值
1、解決條件求值問題的策略
(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的
差異及聯系．
(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．
2、解答此類題目的關鍵在于利用數學中化歸的思想來探究兩個角(或整體)之間的關系，當尋
找到角與角之間的聯系后，未知角這一整體的三角函數值可以通過已知角的三角函數值和有關
的三角公式求得，這是三角函數解題技巧之一.
題型 2：給式(值)求值
1
2-1．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 sin(π -a ) = ，則 sin(a - 2021π)3 的值為（ ）
A 2 2． B 2 2．-
3 3
1 1
C． D．-
3 3
2-2．（2024 高二下·陜西榆林·期末）已知 tanq = 2，則 sinq sin
3π
+q ÷ = .
è 2
π 3
2-3．（2024 ·

高二下 湖南株洲·開學考試）已知a , π ÷， sina = ，則 cos π -a = .
è 2 5
π
2-4．（2024 高三上·上海黃浦·開學考試）若a ( , π),cos(π -a )
3
= ，則 tana = .
2 5
（三）
三角函數式的化簡
1、三角函數式化簡的常用方法
(1)依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為另一個角的三角函數．
(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數．
π
(3)注意“1”的應用：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
4
(4)用誘導公式進行化簡時，若遇到 kπ±α 的形式，需對 k 進行分類討論，然后再運用誘導公式
進行化簡．
2、三角函數式的化簡注意:
(1)利用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數;
(2)常用“切化弦”法，即通常將表達式中的切函數化為弦函數;
(3)注意“1”的變形應用.
題型 3：三角函數式的化簡
4
3-1．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 cosa = - ，且a 為第三象限角．求
5
sin 5π a cos 7π- -a ÷ tan -π +a
f a = è 2 的值．
- tan -19π -a sin -a
sin π -a tan 2π -a cos 2π -a
3-2．（2024 高一·全國·課堂例題）化簡： × ×tan π +a cos π -a sin π ．+a
3-3．（2024 高三上·江西·階段練習）已知a 是第三象限角，且 tan2 a + 2 tana - 3 = 0，則
4sin(π +a )
=
cos π +a

÷ - cos(-a )
．
è 2
cos q 3π- ×sin 7π +q
3-4 2024 ÷ ÷．（ 高一上·江蘇蘇州·階段練習）已知 f q = è 2 è 2 .
sin -q - π
(1)若 f q 1= ，求 tanq 的值；
3
π 1
(2)若 f -q ÷ = ，求 f
5π +q
6 3 6 ÷
的值.
è è
3-5．（安徽省馬鞍山市紅星中學 2023-2024 學年高一下學期 3 月月考數學試題）已知
sin π -a cos 2π -a cos 3π -a ÷
f a = è 2 .
cos π -a ÷sin -π -a
è 2
(1)化簡 f a ；
1
(2)若a 是第三象限角，且 sin a - π = ，求 f a 的值.
5
3-6．（2024 高二上·安徽·開學考試）已知在平面直角坐標系中，點M 2,4 在角a 終邊上，則
sin3 π -a + cos3 -a
= （3 ）sin a - 2cos3 a
2 3 3 5
A． B． C．- D．-
3 2 5 3
1
3-7．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 cosa = - ，且a 為第二象限角, tanb = 2 ，則
3
sinacosb + 3sin π +a

÷sinb
è 2 的值為（ ）
cos π +a cos -b - 3sinasinb
A 2 2 - 4．－ B 3 2．－
11 11
C 2 3 2． D．－
11 13
（四）
由已知角求未知角的三角函數值
①觀察已知角與未知角之間的關系，運用誘導公式將會不同名的函數化為同名的函數，將不同
的角化為相同的角是解決問題的關鍵;
②對于有條件的三角函數求值題，求解的一般方法是從角的關系上尋求突破，找到所求角與已
知角之間的關系，結合誘導公式，進而把待求式轉化到已知式完成求值;
③當所給的角是復合角時，不易看出已知角與所求角的聯系，可將已知角看成一個整體，用這
個整體去表示所求角，便可發現它們之間的關系.
題型 4：由已知角求未知角的三角函數值
π 2 2π
4-1．（2024 高三·全國·專題練習）已知 cos +a = ，則 cos -a 的值等于（ ）
è 3 ÷ 3 3 ÷
è
2 2
A． B．- C 5 5． D．±
3 3 3 3
4-2．（2024 高一下·四川眉山·階段練習）若 cos
π +a 1= sin
π
÷ ，則 -a

6 3 ÷等于（3 ）è è
7 7 1
A．- B 2 2． C． D．
9 3 9 3
sin π a 3 a
π π
- , sin π 4-3．（2024 高一下·安徽蕪湖·期中）已知 + = ，且6 ÷ 3 4 4 ÷
，則 -a ÷ = （ ）
è è è 3
A 3 B 3 C 2．- ． ． D 6．
3 3 3 3
π 1 5π
4-4．（2024 高一下·上海嘉定·期中）已知 cos x + ÷ = ，則 cos - x
2 π
÷ + cos - x

÷的值為 ；
è 6 4 è 6 è 3
（五）
利用誘導公式證明恒等式
解決條件求值問題的策略
(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的
差異及聯系．
(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．
題型 5：利用誘導公式證明恒等式
cos 6p +q sin -2p -q tan 2p -q
= - tanq
5-1．（2024 高一·全國·課后作業）求證： cos 3p q sin 3p q . + ÷ + ÷
è 2 è 2
tan 2p -a cos 3p -a cos 6p -a
è 2 ÷5-2．（2024 高一· 全國·課后作業）求證： =1
tan a sin 3p 3p
．
p - a + ÷cos2
a + ÷
è è 2
2sin(q 3p- ) cos(q p+ ) -1 tan(9p +q ) +1
5-3．（2024 高一·全國·課前預習）求證： 2 2 ＝
1- 2sin2 (p +q ) tan(p q ) 1
．
+ -
（六）
誘導公式的綜合應用
誘導公式綜合應用要“三看”
一看角：①化大為小；②看角與角間的聯系，可通過相加、相減分析兩角的關系．
二看函數名稱：一般是弦切互化．
三看式子結構：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．
題型 6：誘導公式的綜合應用
sin π +a

÷cos π +a sin -a
6-1 2024 è
2
．（ 高一上·重慶長壽·期末）已知 f a = .
sin 3π -a

÷cos 2π -a tan π -a
è 2
(1)化簡 f a ；
(2)若 f a 10= ，且a 為第四象限角，求 2sin2a + 3sinacosa 的值.
10
6-2．（2024 高一下·江蘇揚州·開學考試）給出下列三個條件：①角a 的終邊經過點P(3m,-4m)(m 0)；②
sina + cosa 1
= ；
sina - cosa 7
③ 3cos2a - 4sinacosa = 3(a kπ,k Z) ．
請從這三個條件中任選一個，解答下列問題：
(1)若a 為第四象限角，求 sina - 2cosa 的值；
sin(π -a )
(2)求 sin2 (π +a )cos( π-a ) + sin(2π -a )sin2 -a 的值．
è 2 ÷
6-3．（2024 高三上·江蘇·開學考試）若VABC 的內角 A，B，C 滿足 sinA = cosB = tanC ， 則 A 與 B 的關系為
（ ）
A． A - B
π π
= B． A + B
π
= C B - A = D A + B π=
2 2
． ．
2 3
6-4 x-2．（2024 高三上·陜西西安·階段練習）已知函數 f x = a + 2（ a > 0且 a 1）的圖像過定點 P ，且角a
cos 11π 9π
x
-a ÷sin +a ÷
的始邊與 軸的正半軸重合，終邊過點 P ，則 è 2 è 2 等于（ ）
sin2 -π -a
2 2 3 3
A．- B． C． D．-
3 3 2 2
一、單選題
1．（2024·甘肅張掖·模擬預測）在平面直角坐標系 xOy 中，角a 和角 b 的頂點均與原點 O 重合，始邊均與 x
2
軸的非負半軸重合，它們的終邊關于直線 y = -x 對稱，若cosa = ，則 sin b =（ ）
3
2 2
A 5． - B．- C D 5． ．
3 3 3 3
3π 1 π
2．（2024 高一下·河南駐馬店·期中）已知 sin +a ÷ = ，則 cos8 3
-a ÷ =（ ）
è è 8
1 1
A - B C 3． ． ．- D 3．
3 3 3 3
3．（2024 高一下·河南駐馬店·期中） tan 300° = （ ）
A 3 B 3．- ． C．- 3 D． 3
3 3
4．（2024 高一下·新疆阿克蘇·期中） cos150° 等于（ ）
3 1 1A．- B．- C． D 3．
2 2 2 2
o
5 sin 300．（2024 高二上·江西·開學考試）
tan135o
=（ ）
1 1
A．- B 3．- C． D 3．2 2 2 2
6．（2024 高一上·新疆塔城·期末） sin 240°的值是（ ）
A 3 B 3
1 1
．- ． C．- D．
2 2 2 2
89π
7．（2024 高一下·四川自貢·期中） sin =（ ）
6
1 1
A B 3 3． ．- C． D．
2 2
-
2 2
8．（2024 高一上·河北保定·階段練習）已知函數 f (x) = a sin(p x +a ) + bcos(p x + b ) + 4， x R ，且
f (2023) = 3，則 f (2024)的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
sin π a 2 sin 5π9．（2024 高二上·江蘇常州·開學考試）已知 - ÷ = +a

，則 ÷ =（ ）
è 6 3 è 6
2 2
A． B．- C 5 5． - D．
3 3 3 3
10 2024 · · P sin 2022o - cos 2022o ,sin 2022o cos 2022o．（ 高三 全國 專題練習）點 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2024 · · sin -1200o o高三 全國 專題練習）求值： cos585 + cos -300o sin -750o =（ ）
A 6－1 B 6+1 C 6+1 D 6－1． ． ． ．
4 4 2 2
12．（2024 高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）點 A cos2021°, tan 2021° 在直角坐標平面上位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．（2024 高三上·北京·開學考試）在平面直角坐標系 xOy 中，角a 以Ox 為始邊，終邊與單位圓交于點
3 6
- , ÷÷，則 cos(
p
+a ) = （
3 3 ）è 2
A 3 B 3 C 6 6．- ． ．- D．
3 3 3 3
5π 2
14．（2024 高一下·新疆伊犁·期末） sin +a ÷ = ，那么 cos π +a =（ ）
è 2 5
3 3 2 2
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
15．（2024 高三上·山東日照·開學考試）已知角a 的終邊經過點P 1, -2 ，則si n α +π = （ ）
2 5 1A 2 5．-2 B．- C．- D．
5 2 5
16．（2024 高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知a 的終邊上有一點P(1,3) ，則 cos(π + a ) 的值為（ ）
1
A B 10 C 10 3 10． ． ．
3 -
D．-
10 10 10
17．（2024 2 5高一上·山西運城·期末）已知q 為第二象限角，且 cos q - π = ，則
5
1+ cosq 1- cosq
-
1 sin π- -q 1+ sin q 3π- 的值是（ ）
è 2 ÷ ÷ è 2
1 1
A．-4 B． 4 C． D4 ．- 4
18．（2024 高三上·湖南·階段練習）已知a 是第四象限角，且 2 tan2 a - tana -1 = 0，則
cos 2π -a - sin π -a
=
3cos π +a + cos -a （ ） 2 ÷è
1 1 3 3
A．- B． C．- D．
3 3 5 5
sin π -q
=
19．（2024 高一上·浙江金華·階段練習）已知角q 的終邊經過點P(1, 2)，則 cos π -q ÷ + cosq
（ ）
è 2
1 1 2 2
A．- B． C．- D．
3 3 3 3
20．（2024 高三上·重慶銅梁·階段練習）已知 f（x）是定義在 R 上的偶函數，在[0，+∞）上是增函數，若 a=f
12p 5p 2p
（sin ），b=f（cos ），c=f（tan ），則（　　）
7 7 7
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
二、多選題
21．（2024 高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知角a 的頂點與原點 O 重合，始邊與 x 軸非負半軸重合，它的終
3 4 π
邊過點P - , ÷，角 b 的終邊與角a 的終邊關于 y 軸對稱，將 OP 繞原點逆時針旋轉 后與角q 的終邊重
è 5 5 2
合，則（ ）
4
A． sina = B．a = π - b C． cosa + cos b = 0 D． sina + cosq = 0
5
22．（2024 高一下·山東濰坊·期中）以下各式化簡結果正確的是（ ）
sinq - cosq
A． = cosq B． 1- 2sin 20°cos20° = cos20° - sin 20°
tanq -1
C． sin -36° + cos54 p p° = 0 D． sin -q ÷cos +q ÷ = sinq cosq
è 2 è 2
23．（2024 高一上·重慶九龍坡·階段練習）已知a R ，則下列式子恒成立的是（ ）
A． cos -1800 +a = -cosa B． sin(2p -a ) = sina
C． sin
9p
+a ÷ = cosa D． cos -p -a = cosa
è 2
1
24．（2024 高一下·山東日照·階段練習）下列各式中值為 的是（ ）
2
A． cos30o B． sin150o
C． cos300o D． sin120o
25．（2024 高一下·新疆·期末）已知角a 的終邊經過點 P(-3,4)，則（ ）
3
A． cosa = - B． tana
4
= -
5 3
4
C．sin(a + π) = D． cos(a π- ) 4= -
5 2 5
26．（2024 高一下·安徽·開學考試）已知銳角三角形 ABC 中，設 a = tan A tan B， f (x) = loga x則下列判斷正
確的是（ ）
A． sin A > cos B B． a >1
sin A sin B
C． + > 2 D． f (cos A) > f (sin B)
cos B cos A
27．（2024 高一上·江蘇無錫·階段練習）下列結論正確的有（ ）
sin p p 5p 2pA． +a
= cos -a cos +q ÷ ÷ B． ÷ + sin

-q
= 0
è 6 ÷ è 3 è 6 è 3
C． sin2 15o -a + cos2 75o +a =1 D 2． sin 15o -a + sin2 75o +a =1
三、填空題
o o
28．（2024 高一上·甘肅武威· sin 210 + cos120期中）已知 =
tan 45o
29．（2024 高一上·全國·課后作業）如圖，A，B 是單位圓 O 上的點，且 B 在第二象限，C 是圓 O 與 x 軸
5 12
的正半軸的交點，A 點的坐標為 , ，13 13 ÷ AOB = 90
o ，則 tan COB = .
è
30．（2024 高一下·江西萍鄉·期中）若 tan
π
+a
π
÷ = 3，則 tan -a ÷ = 4 ．è 4 è
π 1 π
31．（2024 高一·全國·

課堂例題）（1）已知 sin -a ÷ = ，則 cos +a ÷ = 3 2 ；è è 6
π 3 5π
（2）已知 tan -a6 ÷
= ，則 tan
3
+a ÷ =
è è 6
．

π
32．（2024 高一·全國·課堂例題）若3sina - sin b = 10 ，a + b = ，則 sina = ．
2
33．（2024 高一上·全國·單元測試）已知 sina 是方程 2x2 - x -1 = 0的根，α 是第三象限角，則
sin 3 -a - π
cos 3 π -a
è 2 ÷ 2 ÷ è × tan2
π π -a ＝ .cos -a sin π ÷ + a
è 2 è 2 ÷
q π 34．（2024 高三上·廣東深圳·階段練習）若 0, ÷ ， tan π +q
1
= ，則 sinq - cosq = ．
è 2 2
1 π
35．（2024 高三上·上海浦東新·開學考試）已知 sin x = - , tan x > 0 ，則 sin + x ÷ = ．3 è 2
36．（2024 高三上·浙江·開學考試）已知角a 的頂點在坐標原點，始邊與 x 軸非負半軸重合，終邊與射線 y = 2x
（ x 0 ）重合，則 sin
3p
-a ÷ = .
è 2
37．（2024 高一·全國·專題練習） tan420° + tan510° = ．
4π π
38．（2024 高一下·上海浦東新·開學考試）已知下列三角比：（1） sin nπ + ÷；（2） cos 2nπ + ÷ ；（3）
è 3 è 6
sin 2nπ
π
+ é÷；（4） cos ê 2n +1 π
π
- ùú ；（5） sin
é
ê 2n +1 π
π
- ùú， n Z ，其中與 sin
π
的值相同的
è 3 6 3 3
是 ．
1
39．（2024 高三·全國·專題練習）已知 sin 3π +q = ，則
3
cos π +q cos q - 2π
+
cosq écos π +q -1 ù sin q 3π- cos q - π - sin 3π 的值為 ． 2 ÷ +qè è 2 ÷
sina + 5cos 2π -a
=
40．（2024 高一下·上海浦東新·期中）已知 tana = -2，則 3sin 3π +a
．
2 ÷
+ sina
è
41．（2024 高一上·四川遂寧·階段練習）已知角a 的頂點在坐標原點，始邊與 x 軸非負半軸重合，終邊經過
sin π +a + cos 3π -a
函數 f x = -3- a x-3 （ a > 0且 a 1 ）的定點 M.則 è 2 ÷ =
cos 2π -a + sin -a
A B + C
42．（2024 高一·全國·課后作業）VABC 中，若 sin = sin ，則VABC 形狀為 ．
2 2
2π 3 7π
43．（2024 高一下·河南省直轄縣級單位·

階段練習）已知 sin + x
= cos + x
è 3 ÷ 5
，則 ÷等于 ． è 6
p p
44．（2024 高一下·上海寶山·階段練習）已知 f (sin x) = 2x +1 (x [- , ])，那么 f (cos10) =
2 2
ìx2 + sin x p+ ÷ , x > 045．（2024·上海崇明·模擬預測）已知函數 f (x) = í è 3 ,a [0, 2p )是奇函數，則a = ．
-x
2 + cos(x +a ), x < 0
1 3
46．（2024 2高三下·海南·階段練習）已知函數 f x = loga x +1 + x + x + a > 0,a 1 ，若a -1 2
f sin p a 1 p f cos a 2p - ÷÷ = （a kp + , k Z），則 - ÷÷ = ．
è è 6 3 6 è è 3
四、解答題
tan(kπ -a ) tan(kπ +a ) sina
47．（2024 高一·全國·課后作業）求證：當 k = 2或 3 時， =cos(2kπ -a )sin[(2k .+1)π +a ] cos3 a
48．（2024 高一上·江蘇常州·期末）在平面直角坐標系 xOy 中，角a 以 Ox 為始邊，它的終邊與單位圓交于
第二象限內的點P m,n .
2sin π +a + cosa
12
(1)若 n = tana13 ，求 及 cos π +a + 2cosa 的值；
è 2 ÷
sina cosa 1(2)若 + = ，求點 P 的坐標.
5
49．（2024 高一·全國·課堂例題）計算：
(1) sin2 120° + cos180° + tan 45° - cos2 -330° + sin -210° ；
1+ cos100°sin170°
(2) ；
cos370° + 1- sin2 170°
(3) cos
π
+ cos 2π + cos 3π 4π+ cos + cos 5π 6π+ cos ．
7 7 7 7 7 7
sin 2π +a cos π -a cos π -a cos
7π
-a
è 2 ÷ 2 ÷50．（2024 高一·全國· è 專題練習）（1）化簡： .
cos π -a sin 3π a sin π+a sin 5π- - +a 2 ÷è
cos(a - π)
×sin a π- cos π （2）化簡 +a
sin(π -a ) 2 ÷ 2 ÷
；
è è
tan(2π -a )sin(-2π -a )sin 3π +a ÷
3 è 2 （ ）化簡 ．
sin(a - π)cos 3π -a

÷
è 2
-sin 180° + a + sin -a
（4）化簡1+ cos -a + cos 180 ；° -a
cos a
π
-
2 ֏
（5）化簡 ×sin π -a ×cos 2π +a
sin 5π
；
+a

÷
è 2
sin π -a + 5cos 2π -a
（6）已知 sin a - 3π = 2cos a - 4π ，求 2sin 3π -a
的值.
2 ÷
- sin -a
è
7π 13π
51 π 3 2．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 cos( -a ) = ，求 cos( -a ) - sin (a - )的值.
6 3 6 6
sin(kπ -a ) cos(kπ +a )
52．（2024 高一·全國·課后作業）若 k Z ，求證： = -1sin[(k +1)π +a ]cos[(k +1)π -a ] .
53．（2024 高一·全國·專題練習）54．（2024 高一下·四川眉山·期中）（1）已知方程
sin π -a + 5cos 2π -a
sin a - 3π = 2cos a - 4π ，求 2sin 3π -a ÷ - sin -a
的值．
è 2
π
（2）已知 - < x < 0,sin x + cos x
1
= ，求 sin x - cos x2 5 的值；
sin 5π +a
π 2 ÷
55．（2024 高三上·北京·

開學考試）已知 sina 2 5 a , π tan a + π + è = ， .
5 è 2
÷，求 的值
cos 5π -a ÷
è 2
56．（2024 高一·全國·專題練習）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，鈍角a 的始邊與 x 軸的非負半軸重合，
2
終邊與半徑為1的圓相交于點A ，過點A 作 x 軸的垂線，垂足為點 B ， OB = ．
3
(1)求 sina 的值；
2sin π -a + sin π +a
(2)求 cos 2π -a 的值．
tan(2p -a )sin(-2p -a )cos(6p -a )
57．（2024 高一上·全國·課后作業）（1）求證： sin(a 3p )cos(a 3
= - tana
p
+ + ) ；
2 2
sin(15p8p + a ) + 3cos(a
13p
- )
7 7 m + 3（2）設 tan(a + ) = m，求證 20 =p .7 sin( -a ) - cos(a 22p+ ) m +1
7 7
58．（2024 高一·全國·課堂例題）求值：
7π
(1) sin ；
6
(2) cos
11π
；
4
(3) tan -1560° .
59．（2024 高一·全國·課堂例題）求下列各三角函數值：
(1) sin
π
-

；
è 6 ÷
(2) cos
2π
；
3
5p
(3) tan ；
4
cos 35π(4) ．
6
15
60．（2024 高一上·全國·課后作業）已知a 的終邊與單位圓交于點P m, ÷÷，且a 為第二象限角，試求
è 4
sin a π -

÷
è 2
的值．
sin π +a - sin 3π -a ÷ +1
è 2
1 1
61．（2024 高一下·河南駐馬店·階段練習）（1）已知 = -sin sina 且 lga cosa 有意義，若角a 的終邊與單位
M 3,m 圓相交于點 ÷，求m 的值及 sina 的值；
è 5
ì
π π sin 3π -a
π
= 2 cos - b
（2）是否存在角a - , ÷ , b 0, π
÷
，使等式 è 2 同時成立.若存在，求出a , b
è 2 2
í

3 cos -a = - 2 cos π + b
的值；若不存在，說明理由.（注：對任意角 x ，有 sin2x + cos2x =1成立）
sin 2π - a cos π - a 2 ÷
62 è ．（2024 高一下·廣東佛山·階段練習）已知 f a = ．
cos a 3π- ÷ tan π + a
è 2
(1)若 f a 1= - ，且 a 0, π ，求 a 的值；
2
(2)若 f
π 1 2 2π π
a + ÷ = ，求 sin - a ÷ + sin - a ÷ 的值．
è 3 4 è 3 è 6
sin π 3π
63 2024 · ·
+a ÷cos -a ÷ tan π-a
．（ 高一上 安徽合肥 期末）已知函數 f a = è 2 è 2 .
tan π+a sin 2π-a
(1)化簡 f a
(2)若 f a × f a
3π 3 3π
- ÷ = -
3π a π，且- < < - ，求 f a + f a - ÷ 的值.
è 2 8 4 2 è 2
29 12
64．（2024 高一下·內蒙古呼和浩特·期中）（1）求 sin - π ÷ + cos π × tan4π的值.
è 6 5
2 1- tan
2q
（ ）求證： = cos2q - sin2q .
1+ tan2q
65．（2024 高一下·江西贛州·期中）已知角a 的頂點在坐標原點，始邊與 x 軸非負半軸重合，終邊經過函數
f x = -2 - a x-4 （ a > 0且 a 1）的定點 M.
(1)求 sina - 2cosa 的值；
sin π +a + cos π +a
(2) 2 ÷求 è - tan

5π +a 的值.
cos 2π +a + sin -a
1
66．（2024 高一下·四川廣安·階段練習）已知角 A 為銳角， sin Acos A tan A = ，
2
(1)求角 A 的大小；
2023π
(2)求 sin π + A cos - A2 ÷的值．è
sin a + 15p 13p
8p 7 ÷
+ 3cos a -
è è 7 ÷ m + 367．（2024 高一·全國·課后作業）設 tan a + ÷ = m .7 求證：
= .
è sin -a +
20p - cos a + 22p m +1
7 ÷ ÷è è 7
sin(a p- ) cos(3p +a ) tan(2p -a )
68．（2024 高一下·遼寧·期中）已知函數 f (a ) = 2 2 .
tan(a +p )sin(a +p )
（1）化簡 f (a)；
（2）若 f (a ) × f (a
p 1
+ ) = - 5p a 3p p，且 4 2 ，求
f (a ) + f (a + )
2 的值；2 8
（3）若 f (a
p
+ ) = 2 f (a )，求 f (a ) × f (a
p
+ ) 的值.
2 25.3 誘導公式 6 題型分類
一、角的對稱
(1)角 π＋α 的終邊與角 α 的終邊關于原點對稱，如圖(a)；
(2)角－α 的終邊與角 α 的終邊關于 x 軸對稱，如圖(b)；
(3)角 π－α 的終邊與角 α 的終邊關于 y 軸對稱，如圖(c)．
二、誘導公式
公式二 sin(π＋α)＝－sinα cos(π＋α)＝－cosα tan(π＋α)＝tanα
公式三 sin(－α)＝－sinα cos(－α)＝cosα tan(－α)＝－tanα
公式四 sin(π－α)＝sinα cos(π－α)＝－cosα tan(π－α)＝－tanα
(1)公式一、二、三、四都叫做誘導公式，它們可概括如下：
①記憶方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α 的三角函數值，等于 α 的同名函數值，前面加上一
個把 α 看成銳角時原函數值的符號，可以簡單地說成“函數名不變，符號看象限”．
②解釋：“函數名不變”是指等式兩邊的三角函數同名；“符號”是指等號右邊是正號還是負
號；“看象限”是指假設 α 是銳角，要看原三角函數是取正值還是負值，如 sin(π＋α)，若把 α 看
成銳角，則 π＋α 在第三象限，正弦在第三象限取負值，故 sin(π＋α)＝－sinα.
(2)利用誘導公式一和三，還可以得到如下公式：
sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，
tan(2π－α)＝－tanα.　
三、誘導公式五、六
(1)公式五、六中的角 α 是任意角．
π
(2)誘導公式一～六中的角可歸納為 k· ±α 的形式，可概括為“奇變偶不變，符號看象限”．
2
①“變”與“不變”是針對互余關系的函數而言的．
π
②“奇”“偶”是對誘導公式 k· ±α 中的整數 k 來講的．
2
π π
③“象限”指 k· ±α 中，將 α 看成銳角時，k· ±α 所在的象限，根據“一全正，二正弦，三正切，
2 2
四余弦”的符號規律確定原函數值的符號．
(3)利用誘導公式五、六，結合誘導公式二，還可以推出如下公式：
(3π 3πsin －α)＝－cosα，cos( －α)＝－sinα，2 2
sin(3π 3π＋α ＝－cosα，cos ＋α ＝sinα.2 ) ( 2 )
（一）
給角求值
利用誘導公式求任意角的三角函數值的步驟
(1)“負化正”——用公式一或三來轉化；
(2)“大化小”——用公式一將角化為 0°到 360°間的角；
(3)“小化銳”——用公式二或四將大于 90°的角轉化為銳角；
(4)“銳求值”——得到銳角的三角函數后求值．
題型 1：給角求值
1-1．（2024 高一·全國·專題練習）求下列各式的值．
(1) sin1470°；
cos 9π(2) ；
4
(3) tan
11π
- 6 ÷．è
sin 43p(4) -

÷；
è 6
(5) cos -120° sin -150° + tan855° .
1
【答案】(1)
2
(2) 2
2
(3) 3
3
1
(4) ；
2
3
(5) -
4
【分析】利用誘導公式結合特殊角的三角函數即可得到答案.
【詳解】（1） sin1470° = sin 4 360° + 30 1° = sin30° =
2
（2）cos
9π
= cos 2π π π 2+ = cos =
4 4 ֏ 4 2
（3） tan
11π
-
= tan -2π π π 3+ = tan =
è 6 ÷ 6 ÷ è 6 3
（4） sin
- 43π =-sin 7π 7π π π 1 6 ÷
6π+ =-sin =-sin π+ =sin = .
è è 6 ÷ ÷ 6 è 6 6 2
（5 °）原式= -cos 180 - 60° ×sin 180° - 30° + tan 135° + 2 360°
= - -cos60° sin 30° + tan135°
= cos60° sin 30° + tan 180° - 45°
= cos60° sin 30° - tan 45°
1 1 3
= -1 = - .
2 2 4
1-2．（2024 高一·全國·課堂例題）利用公式求下列三角函數值：
(1) cos 225°：
sin 8π(2) ；
3
sin 16π (3) - 3 ÷
；
è
(4) tan -2040° .
2
【答案】(1) -
2
(2) 3
2
(3) 3
2
(4) - 3
【分析】利用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，即可得出答案.
2
【詳解】（1） cos 225° = cos 180° + 45° = -cos 45° = - ；
2
sin 8π sin 2π 2π（2） = +

÷ = sin
2π
= sin π π- π 3 ；
3 è 3 3 è 3 ÷
= sin =
3 2
sin 16π sin 16π（3） - ÷ = - = -sin
5π π+ ÷ = -

-sin
π 3
÷ = ；è 3 3 è 3 è 3 2
（4） tan -2040° = - tan 2040° = - tan 6 360° -120°
= tan120° = tan 180° - 60° = - tan 60° = - 3 .
1-3．（2024 高一·全國·隨堂練習）求值：
(1) sin150°；
(2) tan1020°；
3π
(3) sin(- )；
4
(4) sin -750° .
1
【答案】(1)
2
(2) - 3
(3) 2-
2
1
(4) -
2
【分析】根據三角函數的誘導公式和特殊角的三角函數值，準確運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由三角函數的誘導公式，可得 sin150° = sin(180° - 30°) = sin 30
1
° = .
2
（2）解：由三角函數的誘導公式，可得 tan1020° = tan(1080° - 60°) = - tan(60°) = - 3 .
3π 3π π π 2
（3）解：由三角函數的誘導公式，可得 sin - ÷ = -sin = -sin π - ÷ = -sin = - .
è 4 4 è 4 4 2
1
（4）解：由三角函數的誘導公式，可得 sin -750° = -sin 720° + 30° = -sin 30° = - .
2
1-4．（2024 高一·全國·專題練習）求下列各值.
(1) sin
π
- ÷；
è 6
π
(2) cos - ÷ ；
è 4
7π
(3) tan - ÷；
è 6
(4) sin
7π
- 4 ֏
(5) cos
47 π；
6
7π
(6) sin - ÷；
è 3
(7) tan -855° ．
1
【答案】(1) - ；
2
(2) 2 ；
2
(3) 3- ；
3
(4) 2 ；
2
(5) 3 ；
2
(6) 3- ；
2
(7)1.
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）根據誘導公式，代入計算，即可得到結果；
sin π π 1【詳解】（1） - ÷ = -sin = - ；
è 6 6 2
cos π cos π 2（2） - ÷ = = ；
è 4 4 2
tan 7π（3 - ） ÷ = - tan
π
π + ÷ = - tan
π 3
= - ；
è 6 è 6 6 3
sin 7π π π 2（4） - 4 ÷
= -sin 2π - ÷ = sin = ；
è è 4 4 2
cos 47 π （5） π = cos 8π - ÷ = cos
π 3
= ；
6 è 6 6 2
sin 7π 7π π π 3（6） -

÷ = -sin = -sin

2π +

÷ = -sin = - ；
è 3 3 è 3 3 2
（7） tan -855° = - tan855° = - tan 2 360° +135° = - tan135° = - tan 180° - 45° = tan 45° =1 .
（二）
給式(值)求值
1、解決條件求值問題的策略
(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的
差異及聯系．
(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．
2、解答此類題目的關鍵在于利用數學中化歸的思想來探究兩個角(或整體)之間的關系，當尋
找到角與角之間的聯系后，未知角這一整體的三角函數值可以通過已知角的三角函數值和有關
的三角公式求得，這是三角函數解題技巧之一.
題型 2：給式(值)求值
1
2-1．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 sin(π -a ) = ，則 sin(a - 2021π)3 的值為（ ）
A 2 2 B 2 2． ．-
3 3
1 1
C． D．-
3 3
【答案】D
1
【分析】根據題意得到 sina = ，再結合誘導公式，準確運算，即可求解.
3
【詳解】由 sin(π -a ) = sina sina
1
，可得 = ，
3
則 sin(a - 2021π) = sin[(a - π) - 2020π] = sin(a π) sina
1
- = - = - .
3
故選：D.
3π
2-2．（2024 高二下·陜西榆林·期末）已知 tanq = 2，則 sinq sin +q ÷ = .
è 2
2
【答案】- / -0.4
5
【分析】由已知利用誘導公式以及同角三角函數的基本關系式即可求解.
【詳解】因為 tanq = 2，
sinq cosq sinq cosq tanq 2所以原式= - = - = - = -
sin2 q + cos2 q tan2 q +1 5
2
故答案為：- .
5
π
2-3．（2024 高二下·湖南株洲·開學考試）已知a , π
3
÷， sina = ，則 cos π -a = .
è 2 5
4
【答案】 /0.8
5
【分析】根據誘導公式，結合同角的三角函數關系式進行求解即可.
π
【詳解】因為a , π
sina 3= cosa = - 1- sin2 4÷， ，所以 a = -
è 2
，
5 5
又因為 cos(p -a ) = -cosa
4
，所以 cos π -a = ，
5
4
故答案為:
5
π
2-4．（2024 高三上·上海黃浦·開學考試）若a ( , π),cos(π -a )
3
= ，則 tana = .
2 5
4 1
【答案】- / -1
3 3
【分析】根據給定條件，利用誘導公式、同角公式計算作答.
【詳解】由 cos(π -a )
3 3 3 4
= ，得-cosa = ，解得 cosa = - ，而a (π ,π) ，則 sina = 1-cos2 a = ，
5 5 5 2 5
sina 4
所以 tana = = - .
cosa 3
4
故答案為：-
3
（三）
三角函數式的化簡
1、三角函數式化簡的常用方法
(1)依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為另一個角的三角函數．
(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數．
π
(3)注意“1”的應用：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
4
(4)用誘導公式進行化簡時，若遇到 kπ±α 的形式，需對 k 進行分類討論，然后再運用誘導公式
進行化簡．
2、三角函數式的化簡注意:
(1)利用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數;
(2)常用“切化弦”法，即通常將表達式中的切函數化為弦函數;
(3)注意“1”的變形應用.
題型 3：三角函數式的化簡
4
3-1．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 cosa = - ，且a 為第三象限角．求
5
sin 5π -a cos 7π -a tan -π +a
f a = è 2
÷
的值．
- tan -19π -a sin -a
3
【答案】-
5
【分析】根據三角函數的誘導公式，可得答案.
【詳解】 f a
sina -sina tana
= = sina 3= -
tana sin 5 .- a
sin π -a tan 2π -a cos 2π -a
3-2．（2024 高一·全國·課堂例題）化簡： × ×tan π +a cos π -a sin π ．+a
【答案】-1
【分析】利用誘導公式進行求解即可.
sina - tana cosa
【詳解】原式= × × = -1．
tana -cosa -sina
3-3．（2024 高三上·江西·階段練習）已知a 是第三象限角，且 tan2 a + 2 tana - 3 = 0，則
4sin(π +a )
=
cos π +a ． 2 ÷
- cos(-a )
è
【答案】2
【分析】先解方程得 tana =1，然后利用誘導公式化簡，再弦化切可得.
【詳解】由 tan2 a + 2 tana - 3 = 0得 tana -1 tana + 3 = 0，
解得 tana =1或 tana = -3，
又a 是第三象限角，所以 tana =1，
4sin π +a -4sina 4sina 4 tana 4 1
= = = = = 2
故 cos π +a - cos -a -sina - cosa sina + cosa tana +1 1+1 ．
è 2 ÷
故答案為：2
cos q 3π sin 7π- × +q
3-4．（2024 高一上·江蘇蘇州· ÷ ÷階段練習）已知 f q = è 2 è 2 .
sin -q - π
1
(1)若 f q = ，求 tanq 的值；
3
f π -q 1 5π (2)若 = ，求 f +q 的值.
è 6 ÷ 3 ÷ è 6
【答案】(1) ±2 2
1
(2) -
3
【分析】（1）先利用誘導公式化簡，再根據平方關系及商數關系即可得解；
（2）找出已知角和所求角得關系，再利用誘導公式化簡即可得解.
cos q 3π sin 7π- × +q ÷ ÷
【詳解】（1） è 2 è 2 -sinq × -cosqf q = = = cosq ，
sin -q - π sinq
由 f q 1= 2 2，得
3 sinq = ± 1- cos
2 q = ± ，
3
所以 tanq = ±2 2 ；
f π（2）由 -q
1= cos π -q 1
6 ÷
，得
3 ÷
= ，
è è 6 3
f 5π 則 +q ÷ = cos
5π +q cos éπ π q ù= - - = -cos π 1 ÷ ê ÷ú -q ÷ = - .è 6 è 6 è 6 è 6 3
3-5．（安徽省馬鞍山市紅星中學 2023-2024 學年高一下學期 3 月月考數學試題）已知
sin π -a cos 2π -a cos 3π -a ÷
f a = è 2 .
cos π -a ÷sin -π -a
è 2
(1)化簡 f a ；
1
(2)若a 是第三象限角，且 sin a - π = ，求 f a 的值.
5
【答案】(1) f α = - cos α ；
(2) 2 6 .
5
【分析】（1）利用誘導公式化簡即可；
（2）利用誘導公式及同角三角函數的關系計算即可.
【詳解】（1）根據誘導公式
sin π -a cos 2π 3π-a cos -a ÷
f a = è 2
cos π -a

÷sin -π -a
è 2
sina ×cosa × -sina
= = -cosa ，
sina ×sina
所以 f a = -cosa ;
1 1
（2）由誘導公式可知 sin a - π = -sina = ，即 sina = - ，
5 5
又a 是第三象限角，
所以 cosa = - 1- sin2a 2 6= - ，
5
所以 f a = -cosa 2 6= .
5
3-6．（2024 高二上·安徽·開學考試）已知在平面直角坐標系中，點M 2,4 在角a 終邊上，則
sin3 π -a + cos3 -a
3 3 = （ ）sin a - 2cos a
2 3 3 5
A． B． C．- D．-
3 2 5 3
【答案】B
【分析】利用三角函數的定義及誘導公式，結合同角三角函數的商數關系即可求解.
【詳解】由題意可得 tana = 2 ，
sin3 a + cos3 a tan3 a +1 8 +1 3
所以原式= = = = .
sin3 a - 2cos3 a tan3 a - 2 8 - 2 2
故選：B.
1
3-7．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 cosa = - ，且a 為第二象限角, tanb = 2 ，則
3
sinacosb + 3sin π +a

÷sinb
è 2 的值為（ ）
cos π +a cos -b - 3sinasinb
A 2 2 - 4．－ B 3 2．－
11 11
C 2． D 3 2．－
11 13
【答案】C
【分析】先根據同角三角函數關系求正弦，再弦化切應用 tanb = 2 ，結合誘導公式代入求值即可.
cosa 1= - 2 2【詳解】因為 ，且a 為第二象限角，所以 sina = ，3 3
sinacosb + 3sin π +a
sinb
則 è 2 ÷
cos π +a cos -b - 3sinasinb
= sinacosb + 3cosasinb
-cosacosb - 3sinasinb
= sina + 3cosa tanb
-cosa - 3sina tanb
2 2
+ 3 1 -

÷ 2
= 3 è 3 2=
-
1
-
2 2 11
÷ - 3 2
è 3 3
故選:C.
（四）
由已知角求未知角的三角函數值
①觀察已知角與未知角之間的關系，運用誘導公式將會不同名的函數化為同名的函數，將不同
的角化為相同的角是解決問題的關鍵;
②對于有條件的三角函數求值題，求解的一般方法是從角的關系上尋求突破，找到所求角與已
知角之間的關系，結合誘導公式，進而把待求式轉化到已知式完成求值;
③當所給的角是復合角時，不易看出已知角與所求角的聯系，可將已知角看成一個整體，用這
個整體去表示所求角，便可發現它們之間的關系.
題型 4：由已知角求未知角的三角函數值
π 2
4-1．（2024 高三·全國·專題練習）已知 cos +a ÷ = ，則 cos
2π
3 3
-a ÷ 的值等于（ ）
è è 3
2 2
A B - C 5 5． ． ． D．±
3 3 3 3
【答案】B
【分析】根據誘導公式求解即可.
2π é π ù π 2
【詳解】因為 cos( -a ) = cos êπ - ( +a )ú = -cos( +a ) = - .3 3 3 3
故選：B.
π 1 π
4-2．（2024

高一下·四川眉山·階段練習）若 cos +a ÷ = ，則 sin -a6 3 ÷等于（3 ）è è
7
A - B 2 2
7 1
． ． C． D．
9 3 9 3
【答案】D
π π
-a π +a sin -a
π
【分析】 和 互余，所以
3 6 3 ÷
= cos +a ÷ .
è è 6
π
【詳解】 sin -a ÷ = sin
é π π a ù π 1ê - +

3 2 6 ÷ú
= cos +a ÷ =
è è è 6 3
故選：D.
π 3 π π π
4-3．（2024 高一下·安徽蕪湖·期中）已知 sin +a

÷ = ，且a - , ÷，則 sin -a = （4 4 3 ÷ ）è 6 3 è è
A 3 B 3 C 2 D 6．- ． ． ．
3 3 3 3
【答案】D
sin π a sin é π π- = - +a ù【分析】利用誘導公式 ÷ ê ÷ú ，再結合同角三角函數基本關系式，即可求解.è 3 2 è 6
a π π - , π a π , 5π+ - sin π +a 3【詳解】因為 ÷，所以 ÷，又 ÷ = > 0，所以è 4 4 6 è 12 12 è 6 3
sin π é π π ù π -a ÷ = sin ê - +a ÷ú = cos +a

÷ = 1- sin
2 π 6
3 2 6 6
+a ÷ = .
è è è è 6 3
故選：D
π 1 5π π
4-4．（2024 高一下·上海嘉定·期中）已知 cos x + ÷ = ，則 cos - x ÷ + cos
2
- x ÷的值為 ；
è 6 4 è 6 è 3
11
【答案】
16
5π π 2 π
【分析】利用誘導公式求出 cos - x ÷和 cos - x ÷的值,再求得 cos - x ÷的值,即可得到
è 6 è 3 è 3
cos 5π - x

÷ + cos
2 π
- x ÷的值.
è 6 è 3
π 1
【詳解】Qcos x + ÷ = ，
è 6 4
\cos 5π é π ù - x
= cos p - x + = -cos x π 1+ = - ，
è 6 ÷ ê ÷ú ÷ è 6 è 6 4
cos π - x
= cos é π - x π ù π+ = sin x + ，
è 3 ÷ ê 2 ÷ ÷ è 6
ú
è 6
\cos2 π - x ÷ = sin
2 x π+ ÷ =1- cos
2 x π +

÷ =1
1 15
- = ，
è 3 è 6 è 6 16 16
cos 5π\ - x + cos2 π x 1 15 11 ÷ - ÷ = - + = .
è 6 è 3 4 16 16
11
故答案為： .
16
（五）
利用誘導公式證明恒等式
解決條件求值問題的策略
(1)解決條件求值問題，首先要仔細觀察條件與所求式之間的角、函數名稱及有關運算之間的
差異及聯系．
(2)可以將已知式進行變形向所求式轉化，或將所求式進行變形向已知式轉化．
題型 5：利用誘導公式證明恒等式
cos 6p +q sin -2p -q tan 2p -q
= - tanq
5-1．（2024 高一·全國·課后作業）求證： cos 3p q sin 3p . + ÷ +q

÷
è 2 è 2
【答案】證明見解析
【解析】直接利用誘導公式化簡即可.
cosq sin -q tan -q cosq sinq tanq
【詳解】證明：左邊= = = - tanq =右邊
sinq (-cosq ) -sinq cosq
所以原等式成立
tan 2p -a cos 3p -a ÷cos 6p -a 2
5-2 2024 · · è ．（ 高一 全國 課后作業）求證： =1．
tan p -a sin a 3p+ 3p ÷cos2 a + ÷è è 2
【答案】證明見解析
【分析】利用誘導公式化簡即可證明；
tan a é p ù- -cos ê -a

÷
è 2 ú
cos -a

【詳解】證明：左邊=
tana é sin p a ù é- - + -cos p ùê ÷ú ê +a

÷
è 2 è 2 ú
- tana -sina cosa
=
tana cos =a sina =1 右邊，所以原式成立．- -
2sin(q 3p- ) cos(q p+ ) -1 tan(9p +q ) +1
5-3．（2024 高一·全國·課前預習）求證： 2 2 ＝
1- 2sin2 (p +q ) tan(p +q )
．
-1
【答案】證明見解析
【分析】運用誘導公式結合同角三角函數的基本關系將等式兩邊分別化簡，進而證明問題.
2sin(q p+ ) -sinq -1 2 2
【詳解】左邊 2 -2sinq cosq -1 -2sinq cosq - sin q + cos q = = =
1- 2sin2 q 1- 2sin2 q sin2 q + cos2 q - 2sin2 q
- sinq + cosq 2 sinq + cosq
= = .
cosq + sinq cosq - sinq sinq - cosq
sinq
tan(p +q ) +1 tanq +1 +1cosq sinq + cosq
右邊= = = = .
tan(p +q ) -1 tanq -1 sinq -1 sinq - cosq
cosq
∴左邊＝右邊，故原等式成立．
（六）
誘導公式的綜合應用
誘導公式綜合應用要“三看”
一看角：①化大為小；②看角與角間的聯系，可通過相加、相減分析兩角的關系．
二看函數名稱：一般是弦切互化．
三看式子結構：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．
題型 6：誘導公式的綜合應用
sin π +a

÷cos π +a sin -a
6-1．（2024 高一上·重慶長壽·期末）已知 f a = è 2 .
sin 3π -a

÷cos 2π -a tan π -a
è 2
(1)化簡 f a ；
(2) f a 10若 = ，且a 為第四象限角，求 2sin2a + 3sinacosa 的值.
10
【答案】(1) f a = cosa
9
(2)
10
【分析】（1）根據誘導公式化簡可得.
（2）由 f a = cosa 10和同角三角函數關系得到 cosa = ,sina 3 10= - ，代入可得.
10 10
sin π +a ÷cos π +a sin -a
è 2 cosa × -cosa × -sina 【詳解】（1） f a = = = cosa
sin 3π -a cos 2π -a tan π -a -cosa ×cosa × -tana 2 ÷è
（2）由題知， cosα 10=
10
因a 為第四象限角，
2
10 sina 3 10= - 1- cos2 a = - 1- 10 ÷÷
= - ，
è 10
2sin2

則 a + 3sinacosa
9 3 10 10 9
= 2 + 3 - ÷÷ = .10 è 10 10 10
6-2．（2024 高一下·江蘇揚州·開學考試）給出下列三個條件：①角a 的終邊經過點P(3m,-4m)(m 0)；②
sina + cosa 1
= ；
sina - cosa 7
③ 3cos2a - 4sinacosa = 3(a kπ,k Z) ．
請從這三個條件中任選一個，解答下列問題：
(1)若a 為第四象限角，求 sina - 2cosa 的值；
sin(π -a )
(2)求 sin2 (π +a )cos(-a ) + sin(2π a )sin2 π- -a
的值．
2 ֏
【答案】(1)-2
25
(2) -
21
【分析】（1）選①應用任意角三角函數定義計算三角函數值可得; 選②③根據齊次式求正切,再聯立方程
組求解
（2）先根據誘導公式化簡,再根據三角函數值代入計算即可.
【詳解】（1）選①，
方法一：角a 的終邊經過點P(3m,-4m)(m 0)，因為a 為第四象限角，故m > 0，
點 P 到原點的距離為 (3m)2 + (-4m)2 = 5 | m |= 5m，
sina -4m 4 cosa 3m 3所以 = = - ， = =
5m 5 5m 5
故 sina - 2cosa
4 6
= - - = -2
5 5
方法二：角a
-4m 4
的終邊經過點P(3m,-4m)(m 0)，所以 tana = = - ，
3m 3
ì
sina
4
= - cosa
所以 í 3 ，解得 cosa
3
= ± ，
sin
2a + cos2a =1 5
又a
3 4
為第四象限角，所以 cosa = ,sina = -
5 5
sina 2cosa 4 6故 - = - - = -2
5 5
ì
sina + cosa 1 tan α +1 1 4 sina
4
= - cosa
選②，由 = 得 = ，\ tana = - ，所以 3
sina - cosa 7 tan α í-1 7 3 sin
2a + cos2a =1
cosa 3 ,sina 4所以 = = -
5 5
故 sina - 2cosa
4 6
= - - = -2
5 5
選③，由3cos2a - 4sinacosa = 3得-4sinacosa = 3 - 3cos2a = 3sin2a ，
ì sina 4= - cosa
因為a kπ ， k Z，所以 sina 0，故 tana
4
= - ，所以 3
3 í
sin
2a + cos2a =1
解得 cosa
3 3
= ± ，又a 為第四象限角，所以cosa = ， sina
4
= - ，
5 5 5
故 sina - 2cosa
4 6
= - - = -2．
5 5
4
（2）方法一：由（1）得 tana = - ，
3
sin(π -a ) sina
= 2 2
sin2 (π +a )cos(-a ) + sin(2π -a )sin2 π -a sin acosa - sinacos a ÷
è 2
1
= sin
2a + cos2a tan2a +1 25
= = = -
sinacosa - cos2a sinacosa - cos2a tana -1 21
sin(π -a ) sina
=
π 2 2 1方法二： sin2 (π +a )cos( -a ) + sin(2π -a )sin2 sin acosa - sinacos a = (*) -a2 ÷ sinacosa - cos
2a
è
由（1）得 tana
4
= - < 0 ，所以a 為第二或第四象限角
3
選①②③都可得，若a 為第二象限角，則 cosa
3
= - ， sina
4 3
= ．a 為第四象限角，則cosa = ，
5 5 5
sina 4= - ．
5
1 25 1 25
= 2 = - = 2 = -
所以*式 4 21 , * 21 - 3 - 3 或 式 4 3 3
5 5 ÷
- ÷ - ÷ -
è è 5 è 5 5 è 5 ÷
6-3．（2024 高三上·江蘇·開學考試）若VABC 的內角 A，B，C 滿足 sinA = cosB = tanC ， 則 A 與 B 的關系為
（ ）
A． A - B
π π π= B． A
π
+ B = C．B - A = D． A + B =
2 2 2 3
【答案】A
π π
【分析】依題意由 sin A = cos B可得 A = B + 或 A + B = ，再分類討論，即可判斷.
2 2
【詳解】因為 sinA = cosB ，且 A，B，C 為VABC 的內角，因為 sinA = cosB > 0, 所以0
π
< B < ,
2
π π
所以 A = B + 或 A + B = ，
2 2
若 A + B
π C π= ，則 = ，此時 tanC 不存在，故舍去；
2 2
A π∴ = + B .
2
故選：A.
6-4．（2024 高三上·陜西西安·階段練習）已知函數 f x = a x-2 + 2（ a > 0且 a 1）的圖像過定點 P ，且角a
cos 11π -a
sin 9π
x 2 ÷
+a
的始邊與 軸的正半軸重合，終邊過點 P ，則 è è 2 ÷ 等于（ ）
sin2 -π -a
2 2 3 3
A．- B． C． D．-
3 3 2 2
【答案】A
f 2 = a2-2 0 x-2【分析】先化簡所要求的式子，又由于 + 2 = a + 2 =1+ 2 = 3，所以 f x = a + 2過定點
P 2,3 ，進一步結合題意可以求出與a 有關的三角函數值，最終代入求值即可.
11π 9π cos écos a sin a 6π -
π ù é π ù é π ù π
- ÷ + ÷ ê a +

÷ú sin ê4π +
a + cos - ÷ú ê a +

÷ú sin

a +

÷
【詳解】 è 2 è 2 è 2= è 2 è 2= è 2
sin2 -π -a é-sin a + π
2
ù sin
2 π+a
é π ù
又因為 cos ê- a + ÷ú = cos
a π+ = -sina sin π 2 2 ÷ ， a + ÷ = cosa ， sin π +a = sin a ，
è 2 è 2 è 2
-sina ×cosa 1
故原式= 2 = - ;又 f x = a
x-2 + 2過定點P 2,3 ,所以 tana 3= ，代入原式得原式=
sin a tana 2
1 2
- = - .
tana 3
故選：A .
一、單選題
1．（2024·甘肅張掖·模擬預測）在平面直角坐標系 xOy 中，角a 和角 b 的頂點均與原點 O 重合，始邊均與 x
2
軸的非負半軸重合，它們的終邊關于直線 y = -x 對稱，若cosa = ，則 sin b =（ ）
3
A 5
2 2
． - B．- C． D 5．
3 3 3 3
【答案】B
【分析】由角的終邊得出兩角的關系，然后由誘導公式求值．
π π
【詳解】角a 和角 b 的終邊關于直線 y = -x 對稱，則a + b =2(kπ - )=2kπ - ， k Z．
4 2
sin b =sin[2kπ π- ( + a )] = -sin(π + a )= - cosa 2= -
2 2 3
故選：B．
3π 1 π
2．（2024 高一下·河南駐馬店·期中）已知 sin +a ÷ = ，則 cos -a ÷ =（ ）
è 8 3 è 8
1 1
A - B C 3 3． ． ．
3 -
D．
3 3 3
【答案】B
【分析】根據誘導公式計算.
π π π 3π 1
【詳解】 cos -a ÷ = sin[ - ( -a )] = sin( +a ) = .
è 8 2 8 8 3
故選：B．
3．（2024 高一下·河南駐馬店·期中） tan 300° = （ ）
A 3．- B 3． C．- 3 D． 3
3 3
【答案】C
【分析】由正切的誘導公式計算．
【詳解】 tan 300° = tan(360° - 60°) = - tan 60° = - 3．
故選：C．
4．（2024 高一下·新疆阿克蘇·期中） cos150° 等于（ ）
3 1 1A．- B．- C 3． D．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】根據誘導公式求解即可.
【詳解】 cos150° = cos 180° - 30° = -cos30 3° = - .
2
故選：A.
5 2024 · · sin 300
o
．（ 高二上 江西 開學考試） =（ ）
tan135o
1 1
A - B 3 C D 3． ． ． ．
2 - 2 2 2
【答案】D
【分析】利用誘導公式直接化簡求解即可.
3
【詳解】 sin 300
o sin 360o - 60o -sin 60o -
= = = 2 3= .
tan135o tan 180o - 45o - tan 45o -1 2
故選：D.
6．（2024 高一上·新疆塔城·期末） sin 240°的值是（ ）
A 3
1 1
．- B 3． C．- D．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用誘導公式進行求解.
【詳解】 sin 240° = sin 180 60 3° + ° = -sin 60° = - .
2
故選：A.
89π
7．（2024 高一下·四川自貢·期中） sin =（ ）
6
1 1
A． B．- C 3 D 3． ．-
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用誘導公式得到答案.
【詳解】 sin
89π
= sin 15π
π π 1- ÷ = sin = .6 è 6 6 2
故選：A.
8．（2024 高一上·河北保定·階段練習）已知函數 f (x) = a sin(p x +a ) + bcos(p x + b ) + 4， x R ，且
f (2023) = 3，則 f (2024)的值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由誘導公式可得 f (2024) - 4 = - f (2023) - 4 ，可求 f (2024)的值.
【詳解】∵ f (2023) = asin(2023p + a ) + bcos(2023p + b ) + 4 = 3，
∴ a sin 2023π +a + b cos 2023π + b = -1，
∴ f 2024 = a sin 2023π +a + π + bcos 2023π + b + π + 4
= -a sin 2023π +a - bcos 2023π + b + 4 =1+ 4 = 5．
故選：C
π 2 5π
9．（2024 高二上·江蘇常州·開學考試）已知 sin -a ÷ = ，則 sin +a6 3 6 ÷
=（ ）
è è
2 2
A 5 5． B．- C． - D．
3 3 3 3
【答案】A
【分析】根據誘導公式求解即可.
sin 5π a sin éπ 5π a ù sin π a 2【詳解】 + ÷ =6 ê
- +6 ÷
= - ÷ = .
è è
ú
è 6 3
故選：A
10．（2024 高三·全國·專題練習）點P sin 2022o - cos 2022o ,sin 2022o cos 2022o 位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據誘導公式結合正余弦函數的范圍求解分析 sin 2022o - cos 2022o ,sin 2022o cos 2022o 的正負即可.
sin 2022o - cos 2022o o o o o【詳解】 = sin 5 360 + 222 - cos 5 360 + 222
= sin 222o - cos 222o = sin 180o + 42o - cos 180 + 42 o = -sin 42o + cos 42o > 0 .
o o
同理， sin 2022 cos 2022 = -sin 42o × -cos 42o = sin 42o cos 42o > 0，
所以點 P 位于第一象限．
故選：A．
11．（2024 · o o o o高三 全國·專題練習）求值： sin -1200 cos585 + cos -300 sin -750 =（ ）
A 6－1 B 6+1 C 6+1 D 6－1． ． ． ．
4 4 2 2
【答案】A
【分析】
根據誘導公式將任意角轉化為銳角，再計算可得結果.
【詳解】
原式＝-sin 3 360o +120o cos 2 360o -135o + cos 360o - 60o é -sin 2 360o + 30o ù
= -sin120o cos(-135o ) - cos(-60o )sin 30o
= -sin 60o cos135o - cos 60o sin 30o
= -sin 60o cos(180o - 45o ) - cos 60o sin 30o
= -sin 60o × -cos 45o - cos 60o sin 30o
= sin 60o ×cos 45o - cos 60o sin 30o
3 2 1 1 6 -1
= - = .
2 2 2 2 4
故選：A
12．（2024 高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）點 A cos2021°, tan 2021° 在直角坐標平面上位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】利用誘導公式化簡A 的坐標并判斷橫縱坐標的符號，即可確定所在象限.
【詳解】 cos 2021° = cos(360° 5 + 221°) = cos 221° = cos(180° + 41°) = -cos 41° < 0 ，
tan 2021° = tan(180° 11+ 41°) = tan 41° > 0，
所以 A cos2021°, tan 2021° 在第二象限.
故選：B
13．（2024 高三上·北京·開學考試）在平面直角坐標系 xOy 中，角a 以Ox 為始邊，終邊與單位圓交于點
3
- ,
6 p
÷÷，則 cos( +a ) = （3 3 ）è 2
A 3 3 6 6．- B． C．- D．
3 3 3 3
【答案】C
【分析】由三角函數誘導公式 cos(
p
+a ) = -sina 并結合正弦函數的定義即可得解.
2
6 cos(p【詳解】依題意得 sina = ,又因為 +a ) = -sina cos(p a ) 6，所以有2 + = -sina = -
.
3 2 3
故選：C .
5π 2
14．（2024 高一下·新疆伊犁·期末） sin +a ÷ = ，那么 cos π +a =（2 5 ）è
3 3 2 2
A．- B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】D
【分析】根據題意利用誘導公式運算求解.
5π π
【詳解】因為 sin +a ÷ = sin +a ÷ = cosa
2
= ，
è 2 è 2 5
cos π a cosa 2所以 + = - = - .
5
故選：D.
15．（2024 高三上·山東日照·開學考試）已知角a 的終邊經過點P 1, -2 ，則si n α +π = （ ）
A -2 B 2 5
1 2 5
． ．- C．- D．
5 2 5
【答案】D
【分析】利用誘導公式及對應角終邊上的點求目標式的函數值即可.
【詳解】 sin a + π
-2 2 5
= -sina = - = .
12 + (-2)2 5
故選：D
16．（2024 高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知a 的終邊上有一點P(1,3) ，則 cos(π + a ) 的值為（ ）
1
A B 10 10 3 10． ． C．
3 -
D．-
10 10 10
【答案】C
【分析】根據三角函數的定義及誘導公式計算.
【詳解】因為a 的終邊上有一點P(1,3) ，
cosa 1 10所以 = = ，
12 + 32 10
cos(π +a ) = -cosa 10= - ，
10
故選：C
17．（2024 高一上·山西運城·期末）已知q cos q π 2 5為第二象限角，且 - = ，則
5
1+ cosq 1- cosq
-
1- sin π -q 1+ sin q 3π- 的值是（ ） ÷ ÷
è 2 è 2
1 1
A．-4 B． 4 C． D4 ．- 4
【答案】A
【分析】利用誘導公式可得出 cosq 的值，利用同角三角函數的基本關系可求得sinq 的值，再利用誘導公式
化簡所求代數式，代值計算即可得出所求代數式的值.
cos q π cosq 2 5 cosq 2 5【詳解】因為 - = - = ，則 = - ，
5 5
2

又因為q 2 5 5為第二象限角，則 sinq = 1- cos2 q = 1- - ÷÷ = ，
è 5 5
1+ cosq 1- cosq 1+ cosq 1- cosq
- = -
因此， 1- sin π -q

÷ 1+ sin
q 3π 1- cosq 1+ cosq
2
- ÷
è è 2
1+ cosq 1- cosq 1+ cosq 1- cosq 1- cos2 q 1- cos2 q
= - = -
1- cosq 2 1+ cosq 2 1- cosq 1+ cosq
sinq sinq sinq 1+ cosq - sinq 1- cosq 2sinq cosq 2cosq
= - = =
1- cosq 1+ cosq 1- cosq 1+ cosq sin2
=
q sinq

2 2 5

- 5 ÷
= è = -4 .
5
5
故選：A.
18．（2024 高三上·湖南·階段練習）已知a 是第四象限角，且 2 tan2 a - tana -1 = 0，則
cos 2π -a - sin π -a
=
3cos π +a

÷ + cos -a
（ ）
è 2
1 1 3 3
A．- B． C．- D．
3 3 5 5
【答案】D
【分析】利用已知條件化簡求出 tana 的值，然后利用誘導公式及弦化切，計算即可.
【詳解】由 2 tan2
1
a - tana -1 = 0，解得 tana = - 或 tana =12 ．
因為a
1
是第四象限角，所以 tana = - 2 ，
cos 2π -a - sin π -a cosa - sina 1- tana 3
= = =
故 3cos π +a + cos -a -3sina + cosa -3tana +1 5 ．
è 2 ÷
故選：D.
sin π -q
=
19．（2024 高一上·浙江金華·階段練習）已知角q 的終邊經過點P(1, 2)，則 cos π -q （ ） 2 ÷
+ cosq
è
1 1 2 2
A．- B． C．- D．
3 3 3 3
【答案】D
【分析】先應用誘導公式化簡，再弦化切代入計算即可.
【詳解】由三角函數的定義可得 tanq = 2，
sin π -q sinq tanq 2
= = =
則 cos π sinq + cosq tanq +1 3 . -q ÷ + cosq
è 2
故選：D
20．（2024 高三上·重慶銅梁·階段練習）已知 f（x）是定義在 R 上的偶函數，在[0，+∞）上是增函數，若 a=f
12p 5p 2p
（sin ），b=f（cos ），c=f（tan ），則（　?。?br/>7 7 7
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【答案】B
【詳解】根據題意，
12p 2p 2p 12p 2p
sin =sin（2π﹣ ）=﹣sin ，則 a=f（sin ）=f（﹣sin ），
7 7 7 7 7
5p 2p 2p 2p
cos =cos（π﹣ ）=﹣cos ，b=f（﹣cos ），
7 7 7 7
又由函數 f（x）是定義在 R 上的偶函數，
12p 2p 2p
則 a=f（sin ）=f（﹣sin ）=f（sin ），
7 7 7
2p 2p p 2p p
b=f（﹣cos ）=f（cos ），又由 ＜ ＜ ，
7 7 4 7 2
2p 2p 2p
則有 0＜cos ＜sin ＜1＜tan ，又由函數在[0，+∞）上是增函數，
7 7 7
則有 c＞a＞b；故選 B．
二、多選題
21．（2024 高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知角a 的頂點與原點 O 重合，始邊與 x 軸非負半軸重合，它的終
P 3 4 π邊過點 - , ÷，角 b 的終邊與角a 的終邊關于 y 軸對稱，將 OP 繞原點逆時針旋轉 后與角q 的終邊重
è 5 5 2
合，則（ ）
A． sina =
4
B．a = π - b C． cosa + cos b = 0 D． sina + cosq = 0
5
【答案】ACD
4
【分析】A 選項，由三角函數的定義得到 sina = ；B 選項，由位置關系得到a + b = π + 2kπ ， k Z；C 選
5
π
項，利用誘導公式得到答案；D 選項，先求出q = a + 2 ，由誘導公式得到 D 正確.
4
【詳解】A 選項，由題意得 sina
5 4= =
2 2 ，A 正確；
3 4 5
- 5 ÷
+ ÷
è è 5
B 選項，角 b 的終邊與角a 的終邊關于 y 軸對稱，故a + b = π + 2kπ ， k Z，
故a = π + 2kπ - b ， k Z，B 錯誤；
C 選項，由 B 可知 cosa = cos π + 2kπ - b = -cos b ，故 cosa + cos b = 0，C 正確；
π π
D 選項，q = a + ，故 cosq = cos a + ÷ = -sina ，故 sina + cosq = 0，D2 正確.è 2
故選：ACD
22．（2024 高一下·山東濰坊·期中）以下各式化簡結果正確的是（ ）
sinq - cosq
A． = cosq B． 1- 2sin 20°cos20° = cos20° - sin 20°
tanq -1
sin -36° + cos54° = 0 sin p -q C． D． cos
p +q
2 ÷ 2 ÷
= sinq cosq
è è
【答案】ABC
【分析】根據三角函數的同角基本關系和誘導公式逐一判斷即可.
sinq - cosq = sinq - cosq = cosq
【詳解】 tanq -1 sinq -1 ，故 A 正確；
cosq
1- 2sin 20°cos 20° = sin 20° - cos 20° 2 = cos 20° - sin 20°，故 B 正確；
sin -36° + cos54° = -sin 36° + cos54° = -sin 36° + sin 36° = 0，故 C 正確；
sin p p -q ÷cos +q ÷ = cosq × -sinq = -sinq cosq ，故 D 錯誤；
è 2 è 2
故選：ABC
23．（2024 高一上·重慶九龍坡·階段練習）已知a R ，則下列式子恒成立的是（ ）
A． cos -1800 +a = -cosa B． sin(2p -a ) = sina
C． sin
9p
+a ÷ = cosa D． cos -p -a = cosa
è 2
【答案】AC
【分析】根據三角函數的誘導公式，逐項判定，即可求解.
cos -1800【詳解】由 +a = cos 1800 -a = -cosa ，所以 A 正確；
由 sin(2p -a ) = sin(-a ) = -sina ，所以 B 不正確；
由 sin
9p
+a

÷ = sin(4p
p
+ +a ) p= sin( +a ) = cosa ，所以 C 正確；
è 2 2 2
由 cos -p -a = cos(p +a ) = -cosa ，所以 D 不正確.
故選：AC.
1
24．（2024 高一下·山東日照·階段練習）下列各式中值為 的是（ ）
2
A． cos30o B． sin150o
C． cos300o D． sin120o
【答案】BC
【分析】利用誘導公式化簡所給的三角函數式，可得結果.
3
【詳解】對于 A， cos30o = ，故 A 錯誤；
2
對于 B， sin150o = sin 30o
1
= ，故 B 正確；
2
對于 C， cos300o = cos 60o
1
= ，故 C 正確；
2
對于 D， sin120o = sin 60o 3= ，故 D 錯誤；
2
故選：BC
25．（2024 高一下·新疆·期末）已知角a 的終邊經過點 P(-3,4)，則（ ）
A． cosa
3 tana 4= - B． = -
5 3
sin(a π) 4C． + = D． cos(a π- ) 4= -
5 2 5
【答案】AB
【分析】根據三角函數的定義求得 cosa ,sina , tana ，結合誘導公式確定正確答案.
【詳解】Q角a 的終邊經過點 P(-3,4)，\| OP |= 9 +16 = 5，
4
\cosa -3 3= = - ， sina = ，\sin(π +a ) = -sina
4
= -
5 5 ，5 5
cos(a π) sina 4 tana 4 4\ - = = ， = = - ，故 AB 正確、CD 錯誤，
2 5 -3 3
故選：AB
26．（2024 高一下·安徽·開學考試）已知銳角三角形 ABC 中，設 a = tan A tan B， f (x) = loga x則下列判斷正
確的是（ ）
A． sin A > cos B B． a >1
sin A sin B
C． + > 2 D． f (cos A) > f (sin B)
cos B cos A
【答案】ABC
【分析】根據銳角三角形分析角的范圍與關系，并利用誘導公式，以及對數函數的單調性，即可判斷正誤.
p π π
【詳解】解：因為三角形 ABC 為銳角三角形，所以 A + B > ，則 > A > - B > 0，
2 2 2
所以 sin A > sin
π
- B2 ÷
= cos B > 0，A 選項正確；
è
sin A
同理 sin B > cos A > 0，則 >1
sin B
， > 1，
cos B cos A
tan A tan B sin A sin B因此 = × >1
sin A sin B
， + > 2，B，C 選項正確；
cos B cos A cos B cos A
由于 a >1，所以 f (x) = loga x在 (0, + )是增函數，
又 sin B > cos A > 0，所以 f (sin B) > f (cos A) ，D 選項錯誤．
故選：ABC．
27．（2024 高一上·江蘇無錫·階段練習）下列結論正確的有（ ）
A． sin
p a cos p a cos 5p + ÷ = -

÷ B． +q + sin
2p -q = 0
è 6 è 3 è 6 ÷ è 3 ÷
C sin2． 15o -a + cos2 75o +a =1 D． sin2 15o -a + sin2 75o +a =1
【答案】ABD
sin p +a cos p 5p 【解析】本題可通過誘導公式將 ÷轉化為 -a3 ÷，
A 正確，然后通過誘導公式將 cos +q6 6 ÷è è è
sin 2p轉化為- -q

÷ ，B 正確，最后根據 sin 15o -a = cos 75o +a 以及同角三角函數關系判斷出 C 錯誤以
è 3
及 D 正確.
【詳解】A 項： sin
p
+a
p p p p
÷ = sin
+a - = cos a - ÷ ÷ = cos

6 2 3 3
-a ÷ ，A 正確；
è è è è 3
5p
B 項：因為 cos +q ÷ = -sin
p +q = -sin ép - 2p -q ù ÷ ê = -sin
2p
6 3 3 ÷ú
-q ÷，
è è è è 3
所以 cos
5p q sin 2p+ + -q ÷ ÷ = 0，B 正確；
è 6 è 3
p
C o項：因為 sin 15 -a = sin é - 75o ù oê +a ú = cos 75 +a ， 2
2
所以 sin 15o -a + cos2 75o +a = 2cos2 75o +a 1，C 錯誤；
D 項： sin2 15o -a + sin2 75o +a = cos2 75o +a + sin2 75o +a =1，D 正確，
故選：ABD.
sin p 【點睛】關鍵點點睛：本題考查誘導公式以及同角三角函數關系的應用，考查的公式有 + a ÷ = cosa
è 2
、

cosa = cos -a p 、 sin -a ÷ = cosa 、 cos2 a + sin2 a =1等，考查化歸與轉化思想，是中檔題.
è 2
三、填空題
o o
28．（2024 sin 210 + cos120高一上·甘肅武威·期中）已知 o = tan 45
【答案】-1
【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數值化簡求值.
1 1
o
【詳解】 sin 210 + cos120o sin 180o + 30o + cos 180o - 60o -sin 30o - cos 60o - -= 2 2 .
tan 45o tan 45o
= = = -1
tan 45o 1
故答案為：-1
29．（2024 高一上·全國·課后作業）如圖，A，B 是單位圓 O 上的點，且 B 在第二象限，C 是圓 O 與 x 軸
5 12
的正半軸的交點，A 點的坐標為 , ， o ，則 tan COB = .
è13 13 ÷
AOB = 90

5
【答案】-
12
【分析】利用三角函數的定義結合誘導公式計算即可.
5 ,12 【詳解】因為 A 點的坐標為
è13 13 ÷
，

所以 cos AOC
5
= ,sin AOC 12= ，
13 13
又因為 AOB = 90o ，
所以 cos COB = cos 90o + AOC = -sin AOC 12= - , sin COB = sin 90o 5+ AOC = cos AOC =13 13
tan COB sin COB 5故 = = - .
cos COB 12
5
故答案為：-
12
π π
30．（2024 高一下·江西萍鄉·期中）若 tan +a

÷ = 3，則 tan

-a

÷ = ．
è 4 è 4
1
【答案】
3
【分析】利用同角三角函數的商數關系及誘導公式計算即可；
sin π
π
+a ÷ π π
【詳解】由 tan +a
è 4
÷ = 3 = 3，即 sin

+a
= 3cos +a ，
è 4 cos π +a è 4
÷ ÷
è 4
4 ֏
ì
sin
π
+a
π π π
÷ = sin - -a

÷÷ = cos

-a

4 2 ÷ è è è 4 è 4
而 í ，
cos π a cos π π π + ÷ = -

-a ÷÷ = sin

-a

è 4 è 2 è 4
÷
è 4
sin π -a
cos π -a = 3sin π -a tan π

è 4 ÷ 1
故 ÷ ÷ -a ÷ = = .
è 4 è 4 è 4 cos π -a 3 ÷
è 4
1
故答案為：
3
π 1 π
31．（2024 · · 1 sin -a 高一 全國 課堂例題）（ ）已知 ÷ = ，則 cos +a ÷ = è 3 2
；
è 6
tan π
5π
（2）已知 -a
3
÷ = ，則 tan +a ÷ = ．
è 6 3 è 6
1
/ 0.5 3【答案】
2 - 3
【分析】（1）、（2）利用誘導公式求得正確答案.
π
【詳解】（1）∵ -a
+
π a π÷ + ÷ =3 ，
è è 6 2
cos π a cos éπ π a ù π 1∴ + ÷ = - - = sin

ê ÷ -a
=
è 6 2 3
÷ ．
è ú è 3 2
π a 5π（2）∵ - ÷ +

+a ÷ = π，
è 6 è 6
tan 5 π a tan éπ π ù∴ + ÷ =
π 3
è 6 ê
- -a6 ÷ú
= - tan
è
-a ÷ = - ．
è 6 3
1 3
故答案為： ；-
2 3
π
32．（2024 高一·全國·課堂例題）若3sina - sin b = 10 ，a + b = ，則 sina = ．
2
3 10 3
【答案】 / 10
10 10
【分析】將已知條件轉化為只含a 的形式，然后結合 sin2 a + cos2 a =1求得正確答案.
a b π π【詳解】因為 + = ，所以 b = -a ，
2 2
所以3sina - sin b = 3sina - sin
π
-a

÷ = 3sina - cosa = 10 ，
è 2
則 cosa = 3sina - 10 ．
2
又 sin2 a + cos2 a =1，所以 sin2 a + 3sina - 10 =1，
2
化簡得 10 sina - 3 = 0 sina 3 10，所以 = ．10
3 10
故答案為：
10
33．（2024 高一上·全國·單元測試）已知 sina 是方程 2x2 - x -1 = 0的根，α 是第三象限角，則
sin a 3 π cos 3- - π -a ÷ ÷
è 2 è 2 × tan2 π -aπ π ＝ .cos -a ÷sin + a 2 è è 2 ÷
1
【答案】-
3
1 3
【分析】解方程得到 sina = - 2 ，從而求出 tana = ，從而利用誘導公式化簡求出答案.3
1
【詳解】 2x2 - x -1 = 0，解得 x = - 或 1，2
1
又 α 是第三象限角，∴ sina < 0， cosa < 0，故 sina = - 2 ，
∴ cosa 3= - 1- sin2 a = - ，
2
∴ tana sina 3= = ，
cosa 3
sin 3 -a - π ÷cos
3
π -a

÷
è 2 è 2 cosa × -sina∴ × tan2 π a 1- = × tan2 a = - tan2 a = -
cos π
.
-a sin π + a sina × cosa 3 ÷ ÷
è 2 è 2
1
故答案為：-
3
q π 34．（2024 高三上·廣東深圳·階段練習）若 0, ÷ ， tan π +q
1
= ，則 sinq - cosq = ．
è 2 2
5
【答案】-
5
【分析】根據誘導公式及同角三角函數關系求解即可.
π
【詳解】因為q 0, ÷，則 sinq > 0， cosq > 0，
è 2
又 tan π +q = tanq sinq 1= = ，則 cosq = 2sinq ，
cosq 2
因為 sin2 q + cos2 q =1，
1
所以 sin2 q + 4sin2 q =1，即 sin2 q = ，5
所以 sinq 5 2 5= （負舍）， cosq = ，
5 5
則 sinq - cosq 5 2 5 5= - = - .
5 5 5
5
故答案為：- .
5
1 π
35．（2024 高三上·上海浦東新·開學考試）已知 sin x = - , tan x > 0 ，則 sin + x ÷ = ．3 è 2
2 2 2
【答案】- / - 2
3 3
【分析】應用誘導公式及平方關系求目標式的值.
π 1 2 2
【詳解】由 sin + x2 ÷
= cos x，又 sin x = - , tan x > 0 ，故
3 cos x = - 1- sin
2 x = - .
è 3
2 2
故答案為：-
3
36．（2024 高三上·浙江·開學考試）已知角a 的頂點在坐標原點，始邊與 x 軸非負半軸重合，終邊與射線 y = 2x
3p
（ x 0

）重合，則 sin -a ÷ = .
è 2
5
【答案】-
5
【分析】根據直線的斜率等于傾斜角的正切值可知 tana = 2 ，再根據同角三角函數基本關系、誘導公式解
得答案即可.
ìsin2 a + cos2 a =1
【詳解】由題意， tana = 2 ，且 sina > 0 ， cos 0

a > ， 則由 í ，
tana
sina
= = 2
cosa
5 sin 3p a cosa 5解得 cosa = ， 則 - ÷ = - = - .5 è 2 5
5
故答案為：- .
5
37．（2024 高一·全國·專題練習） tan420° + tan510° = ．
2 3 2
【答案】 / 3
3 3
【分析】由三角函數的誘導公式化簡即可得出答案.
【詳解】由三角函數的誘導公式，可得：
tan420° + tan510° = tan 60° + 2 180° + tan -30° + 3 180°
= tan60° + tan -30° 2 3= tan60° - tan30° = ．
3
2 3
故答案為： .
3
4π π
38．（2024 高一下·上海浦東新·開學考試）已知下列三角比：（1） sin nπ + ÷；（2） cos 2nπ + ÷ ；（3）
è 3 è 6
sin 2nπ π+ é π ù é π ù ÷；（4） cos ê 2n +1 π - ú ；（5） sin ê 2n +1 π - ú， n Z ，其中與 sin
π
的值相同的
è 3 6 3 3
是 ．
【答案】（2）（3）（5）
【分析】利用三角函數誘導公式計算各式即可得解.
【詳解】因為 sin π 3=
3 2
對于（1），當 n = 2k, k Z時， sin nπ
4π sin 2kπ 4π+ = + = sin 4π = sin π π+ π 3 ÷ ÷ ÷ = -sin = - ，
è 3 è 3 3 è 3 3 2
當 n = 2k +1, k Z
4π
時，sin nπ + ÷ = sin
2kπ π 4π sin π 4π π π 3 + + ÷ = + ÷ = sin

2π +

÷ = sin = ，故（1）不
è 3 è 3 è 3 è 3 3 2
滿足要求；
對于（2）， cos 2nπ
π
+ = cos π 3= ，故（2）滿足要求；
è 6 ÷ 6 2
π
對于（3）， sin 2nπ + ÷ = sin
π 3
= ，故（3）滿足要求；
è 3 3 2
對于（4）， cos éê 2n +1 π
π
- ù = cos π ú π - ÷ = -cos
π 3
= - ，故（4）不滿足要求；
6 è 6 6 2
對于（5）， sin éê 2n +1 π
π
- ù ú = sin π
π
- ÷ = sin
π 3
= ，故（5）滿足要求；
3 è 3 3 2
故答案為：（2）（3）（5）.
1
39．（2024 高三·全國·專題練習）已知 sin 3π +q = ，則
3
cos π +q cos q - 2π
+
cosq é cos π +q -1 ù sin q 3π- cos q - π - sin 3π +q 的值為 ． 2 ÷ è è 2 ÷
【答案】18
【分析】利用誘導公式化簡已知條件和所求的式子可得答案.
1
【詳解】由 sin 3π +q = ，可得 sinq 1= - ，
3 3
cos π +q cos q - 2π
+
∴ cosq é cos π +q -1ù sin q
3π
-
3π
2 ÷
cos q - π - sin +q ÷
è è 2
= -cosq cosq 1 1
cosq -cosq -1 + -cos2 =q + cosq 1+ cosq + 1- cosq
= 2 = 2 = 2 =181+ cosq 1- cosq 1- cos2 q sin2 q ．
故答案為：18.
sina + 5cos 2π -a
=
40．（2024 高一下·上海浦東新·期中）已知 tana = -2，則 3sin 3π +a ÷ + sina
．
è 2
3
【答案】- /－0.6
5
【分析】誘導公式化簡后，弦化切，再代入計算．
【詳解】因為 tana = -2，
sina + 5cos 2π -a sina + 5cosa tana + 5 -2 + 5 3
= = = = -
所以 3sin 3π +a + sina -3cosa + sina -3 + tana -3 - 2 5 ． ÷
è 2
3
故答案為：- ．
5
41．（2024 高一上·四川遂寧·階段練習）已知角a 的頂點在坐標原點，始邊與 x 軸非負半軸重合，終邊經過
sin π 3π+a + cos -a
函數 f x = -3- a x-3 （ a > 0且 a 1）的定點 M. ÷則 è 2 =
cos 2π -a + sin -a
8 1
【答案】 /1
7 7
【分析】求出定點 M 的坐標，利用三角函數定義求出 sina , cosa ，再利用誘導公式計算作答.
【詳解】由 x - 3 = 0，得 x = 3， f (3) = -4，即點M (3, -4)， | OM |= 32 + (-4)2 = 5，
因此 sina
4
= - , cosa 3= ，
5 5
sin(π +a ) + cos(3π -a ) 2 4 (- )
所以 2 =
-sina - sina 2sina 8
= = 5 = .
cos(2π -a ) + sin(-a ) cosa - sina sina - cosa 4 3- - 7
5 5
8
故答案為：
7
A B + C
42．（2024 高一·全國·課后作業）VABC 中，若 sin = sin ，則VABC 形狀為 ．
2 2
【答案】直角三角形
B + C
【分析】根據三角形內角和定理得到 A + B + C = π，利用誘導公式化簡，得到 tan =1，求出
2
A = B + C π= ，即可確定出三角形形狀．
2
A π B + C
【詳解】解：Q A + B + C = π ，\ = - ，
2 2 2
sin A π B + C B + C B + C\ = sin - = cos = sin tan B + C B + C ，即 =1，又 0, π 2 è 2 2 ÷ 2 2 2 2
\ B + C π π= ，即 A = B + C = ，
2 4 2
則VABC 為直角三角形．
故答案為：直角三角形.
2π 3 7π 43．（2024 高一下·河南省直轄縣級單位·階段練習）已知 sin + x ÷ = ，則 cos
è 3 5
+ x ÷等于 ．
è 6
3
【答案】- / -0.6
5
【分析】利用誘導公式確定目標式函數值與已知函數值的關系，即可得答案.
7π π π π π 2π 3
【詳解】 cos + x ÷ = cos(π + + x) = -cos( + x) = -sin( + + x) = -sin( + x) = - .
è 6 6 6 2 6 3 5
3
故答案為：-
5
p p
44．（2024 高一下·上海寶山·階段練習）已知 f (sin x) = 2x +1 (x [- , ])，那么 f (cos10) =
2 2
【答案】 21- 7p
é p p ù
【分析】將cos10利用誘導公式轉變為 sina a
è ê
- , ú 的形式，然后根據函數解析式直接計算 f sina 2 2 ÷
的值即為 f cos10 的值.
10 7p- é p p ù 7p 【詳解】因為 ÷ ê- , ú 且 cos10 = sin 10 - ，è 2 2 2 ÷ è 2
所以 f (cos10) = f [sin(10
7 7
- p )] = 2(10 - p ) +1 = 21- 7p .
2 2
故答案為： 21- 7p .
【點睛】本題考查三角函數的誘導公式的應用，著重考查了分析與轉化的能力，難度較難.
ì
x2 + sin

x
p
+ , x > 0
45．（2024· ÷上海崇明·模擬預測）已知函數 f (x) = í è 3 ,a [0, 2p )是奇函數，則a = ．
-x
2 + cos(x +a ), x < 0
7p
【答案】
6
p p
【分析】設 x < 0 2，則 -x > 0，計算 f x = -x - sin(-x + )，故 cos(x +a ) = sin(x - )，得到
3 3
x p x p- = +a + + 2kp ，計算得到答案.
3 2
ìx2 + sin x p+ , x > 0
【詳解】函數 f (x) =
3 ÷í è ,a [0, 2p ) 是奇函數
2
-x + cos(x +a ), x < 0
p
設 x < 0 ，則 -x > 0 f -x = x2， + sin(-x + )\ f x p= - f -x = -x2 - sin(-x + )
3 3
-x2 cos(x p p p即 + +a ) = -x2 - sin(-x + )\cos(x +a ) = sin(x - ) = sin(x +a + )
3 3 2
p p 5p
故 x - = x +a + + 2kp \a = - - 2kp , k Z
7p
，當 k = -1時滿足a =
3 2 6 6
7p
故答案為：
6
【點睛】本題考查了根據函數奇偶性求參數，意在考查學生對于函數奇偶性的應用.
1 3
46 2．（2024 高三下·海南·階段練習）已知函數 f x = loga x +1 + x + x + a > 0,a 1 ，若a -1 2
f sin p a 1 p f - ÷÷ = （a kp + , k Z），則 cos

a
2p - ÷ = ．
è è 6 3 6 è è 3
÷

5
【答案】
3
【分析】構造 g(x) = f (x) -1
2p p
并判斷奇偶性，根據 cos(a - ) = -sin( -a )及 g(x)的奇偶性即可求
3 6
f [cos(a 2p- )] .
3
【詳解】令 g(x) = f (x) -1 = loga ( x
2 +1 1 1+ x) + x + ，a -1 2
x
則 g(-x) = loga ( (-x)
2 +1 - x) 1 1 2 a 1+
a- x
+ = - log ( x +1 + x) - +
-1 2 a a x -1 2
= - log ( x2 1 1 1a + + x) - x - = -g(x)且定義域為{x | x 0}，a -1 2
所以 g(x)
p
為奇函數，且 g[sin( -a )] = f [sin(
p
-a )] 1 2- = - ，
6 6 3
又 cos(a
2p
- ) = cos(2p -a ) = cos[p + (p -a )] = -sin(p -a )，
3 3 2 6 6
所以 g[cos(a
2p
- )] = g[-sin(p a )] p 2 2p 2- = -g[sin( -a )] = ，即 f [cos(a - )]-1 = ，
3 6 6 3 3 3
所以 f [cos(a
2p
- )] 5= ．
3 3
5
故答案為：
3
四、解答題
tan(kπ -a ) tan(kπ +a ) sina
47．（2024 高一·全國·課后作業）求證：當 k = 2或 3 時， =cos(2kπ -a )sin[(2k +1)π .+a ] cos3 a
【答案】證明見解析
【分析】根據題設，應用誘導公式化簡等式左側即可.
tan(2π -a ) tan(2π +a ) - tana × tana tan2 a sina
【詳解】當 k = 2時，左邊= = = = ；
cos(4π -a )sin(5π +a ) cosa × (-sina ) cosa sina cos3 a
tan(3π -a ) tan(3π +a ) - tana × tana tan2 a sina
當 k = 3時，左邊= = = = ；
cos(6π -a )sin(7π +a ) cosa × (-sina ) cosa sina cos3 a
綜上， k = 2或 k = 3有原等式恒成立.
48．（2024 高一上·江蘇常州·期末）在平面直角坐標系 xOy 中，角a 以 Ox 為始邊，它的終邊與單位圓交于
第二象限內的點P m,n .
2sin π +a + cosa
12
(1)若 n = ，求 tana13 及 cos π +a 的值； ÷ + 2cosa
è 2
1
(2)若 sina + cosa = ，求點 P 的坐標.
5
12 29
【答案】(1) - ，
5 22
3 4
(2) - ,5 5 ֏
【分析】（1）根據三角函數定義以及三角函數誘導公式直接計算求解即可；
（2）根據同角三角函數關系的轉化求得 sina - cosa 進而求解即可.
【詳解】（1）若角a 以 Ox 為始邊，它的終邊與單位圓交于第二象限內的點P m,n ，
n 12= 12
2
若 ，則m = - 1- 5
n 12
13 ÷ = - ，則
tana = = - ，
è 13 13 m 5
24
2sin π +a + cosa -2sina + cosa 1- 2tana 1+ 5 29
可得 = = = =
cos π +a + 2cosa -sina + 2cosa 2 - tana 2
12
+ 22 2 ֏ 5
（2）由題意知， sina > 0，cosa < 0，
又 sina + cosa
1
= ，①
5
1 24
兩邊平方，可得1+ 2sina cosa = ，可得 2sina cosa = - ，
25 25
可得 sina - cosa = sina - cosa 2 = 1- 2sinacosa 1 24 7= - - ÷ = ，②
è 25 5
聯立①②，可得 sina
4 3
= ，cosa = - ，
5 5
3 4
所以點 P 的坐標為 - ,5 5 ÷è
49．（2024 高一·全國·課堂例題）計算：
(1) sin2 120° + cos180° + tan 45° - cos2 -330° + sin -210° ；
1+ cos100°sin170°
(2) ；
cos370° + 1- sin2 170°
cos π cos 2π cos 3π cos 4π 5π 6π(3) + + + + cos + cos ．
7 7 7 7 7 7
1
【答案】(1)
2
1
(2)
2
(3)0
【分析】（1）根據誘導公式、特殊角的三角函數值求得正確答案；
（2）根據誘導公式、同角三角函數的基本關系式求得正確答案；
（3）根據誘導公式求得正確答案.
2
【詳解】（1）原式= é sin 180° - 60° ù + cos 180° - 0° + tan 45° - écos -360° + 30°
2
ù + sin -180° - 30°
= sin2 60° - cos 0° + tan 45° - cos2 30 sin 30 3 1 1 3 1 1° + ° = - + - + = ．
4 4 2 2
1+ cos 180° -80° sin 90° + 80°
（2）原式=
cos 360° +10° + 1- sin2 180° -10°
1+ -cos80° cos80° 1- cos2 80° sin80° cos10° 1
= = = = = ．
cos10° + 1- sin2 10° 2cos10° 2cos10° 2cos10° 2
π 6π 2π 5π
（3）原式= cos + cos ÷ + cos + cos ÷ + cos
3π
+ cos 4π ÷
è 7 7 è 7 7 è 7 7
écos π cos π π ù écos 2π cos π 2π ù é 3π 3π= + - ùê 7 7 ÷ú
+ ê + - ÷ú + è 7 è 7 ê
cos + cos
7
π - ÷
è 7
ú

cos π cos π cos 2π= - + - cos
2π + cos 3π - cos 3π = 0
è 7 7 ÷ è 7 7 ÷ è 7 7 ÷
．

sin 2π +a cos π a cos π a cos 7π- - ÷ -a 2 2 ÷
50 è è ．（2024 高一·全國·專題練習）（1）化簡： .
cos π -a sin 3π 5π-a sin -π+a sin +a 2 ÷è
cos(a - π) sin a π π（2）化簡 × -

sin(π -a ) 2 ÷
cos +a ÷；
è è 2
tan(2π -a )sin(-2π -a )sin 3π +a
è 2 ÷
（3）化簡 ．
sin(a - π)cos 3π -a

÷
è 2
-sin 180° + a + sin -a
（4）化簡1+ cos -a + cos 180° -a ；
cos π a -
è 2 ÷5 （ ）化簡 ×sin5π π -a ×cos 2π +a ；sin +a 2 ÷è
sin π -a + 5cos 2π -a
（6）已知 sin a - 3π = 2cos a - 4π ，求 2sin 3π . -a ÷ - sin -a
的值
è 2
【答案】（1） tana
3
；（2）-cos2 a ；（3）-1；（4）0；（5） sin2 a ；（6）- 4
【分析】利用誘導公式計算即可.
sina × (-cosa ) ×sina × (-sina ) sina
【詳解】（1）原式＝ = = tana(-cosa ) ×sina × ( ；-sina ) ×cosa cosa
cos[-(π -a )] é π ù
（2）原式= × sin ê- -a ÷ú (-sina )sina è 2
cos(π -a ) é π
= × ê-sin

-a
ù
÷ú × ( sina )
-cosa
- = × (-cosa )(-sina ) = -cos2 a
sin 2 sin ；a è a
tan(-a )sin(-a )sin éπ + π +a ù - tana (-sina ) éê ÷ -sin
π
+a
ù
÷
3 = è
2 ú ê è 2 ú
（ ）原式 =
sin[ π π-(π -a )]cos éêπ +
-a ù ÷ú -sin(π -a )
é ù
2 ê
-cos -a2 ÷ è è ú
tana sina (-cosa )
= tana sina cosa= - = - tana cosa = sina cosa× - ×
-sina (-sina ) = -1；sina sina sina cosa sina
-sin 180° +a + sin(-a ) sina - sina
（4）原式= = = 01+ cos(-a ) + cos 180 ；° -a 1+ cosa - cosa
cos a
π
-
2 ֏ sina
（5）原式= ×sin(π -a ) ×cos(2π +a ) = ×sina ×cosa = sin2 a ；
sin 5π +a cosa ÷
è 2
（6）由 sin a - 3π = 2cos a - 4π 可得 sina = -2cosa ，
sin(π -a ) + 5cos(2π -a ) sina + 5cosa -2cosa + 5cosa 3
= = = -
2sin 3π -a - sin(-a ) -2cosa + sina -2cosa - 2cosa 4 .
è 2 ÷
51 2024 · · cos(π 3 cos(
7π a ) sin2 (a 13π．（ 高一上 全國 課后作業）已知 -a ) = ，求 - - - )的值.
6 3 6 6
3 + 2
【答案】-
3
cos(7π a ) sin2 (a 13π) cos(π π【分析】化簡 - - - = - -a ) - sin2 (a - ) ，結合誘導公式，代入即可求解.
6 6 6 6
π 3 2 π 2 π 1 2
【詳解】因為 cos( -a ) = ，所以 sin (a - ) =1- cos (a - ) =1- = ，
6 3 6 6 3 3
可得 cos(
7π 13π
-a ) - sin2 (a - ) = cos[π + (π -a )]- sin2[(a π- ) - 2π]
6 6 6 6
π
= -cos( -a ) - sin2 (a π) 3 2 3 + 2- = - - = - .
6 6 3 3 3
sin(kπ -a ) cos(kπ +a )
52．（2024 高一·全國·課后作業）若 k Z ，求證： = -1sin[(k +1)π .+a ]cos[(k +1)π -a ]
【答案】證明見解析
【解析】分 k 為偶數和 k 為奇數討論，利用誘導公式化簡即可證明；
【詳解】證明：若 k 為偶數，則
sin(-a ) cosa
左邊= sin(π +a ) cos(π -a )
-sina cosa
=
(-sina )(-cosa )
= -1；
若 k 為奇數，則
sin(π -a ) cos(π +a )
左邊= sina cos(-a )
sina (-cosa )
=
sina cosa
= -1；
左邊=右邊，所以原式成立.
【點睛】本題考查利用誘導公式化簡證明，注意對 k 的奇偶的討論，是中檔題.
sin 2p -a cos p +a cos p +a cos
11p
-a
è 2 ÷ ÷53 2024 · · è 2 ．（ 高一 全國 專題練習）求證： = - tana ．
cos p -a sin 3p -a sin -p -a sin 9p +a2 ֏
【答案】證明見解析.
【分析】利用三角函數的誘導公式和同角三角函數基本關系式證明.
-sina × -cosa -sina -sina
【詳解】左邊= -cos sin sin cos =–tanα=a a a a 右邊，× × ×
∴等式成立．
sin π -a + 5cos 2π -a
54．（2024 高一下·四川眉山·期中）（1）已知方程 sin a - 3π = 2cos a - 4π ，求 2sin 3π -a ÷ - sin -a
的
è 2
值．
π
（2）已知 - < x < 0,sin x + cos x
1
= ，求 sin x - cos x2 5 的值；
3 7
【答案】（1）- ；（2）-
4 5
【分析】
（1）利用誘導公式得到-sina = 2cosa ，再由誘導公式將式子化簡，最后代入計算可得；
sin x cos x 1（2）將 + = 兩邊平方求出 2sin x cos x，最后根據
5 sin x - cos x = - sin x - cos x
2
計算可得.
【詳解】（1）∵ sin a - 3π = 2cos a - 4π ，
∴-sina = 2cosa ，
可知 cosa 0，
sin π -a + 5cos 2π -a sina + 5cosa -2cosa + 5cosa 3
= = = -
所以 2sin 3π -a - sin -a -2cosa + sina -2cosa - 2cosa 4 . 2 ÷è
（2）由 sin x + cos x
1
= sin2 x + cos2可得， x + 2sin x cos x
1
= ，
5 25
所 2sin x cos x
24
= - ，
25
π
因為- < x < 0，所以sin < 0，cos x > 0，
2
則 sin x - cos x = - sin x - cos x 2 = - 1- 2sin x cos x 1 24 7= - + = - .
25 5
sin 5π +a
π 2 ÷
55．（2024 高三上· · 2 5 è 北京 開學考試）已知 sina = ，a , π2 ÷，求
tan a + π + 的值.
5 è cos 5π -a
è 2 ÷
5
【答案】- / -2.5
2
5
【分析】根據三角函數的基本關系式，求得 cosa = - ，得到 tana = -2，結合誘導公式，即可求解.
5
π
【詳解】因為 sina 2 5= > 0且a , π2 ÷，且
a 為第二象限角，
5 è
2 5 tana sina所以 cosa = - 1- sin a = - ，可得 = = -2 ，
5 cosa
sin 5π +a

tan a + π + è 2
÷

又由 = tana
cosa 1 5
+ = -2 - = - .
cos 5π sina 2 2 -a ÷
è 2
56．（2024 高一·全國·專題練習）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，鈍角a 的始邊與 x 軸的非負半軸重合，
2
終邊與半徑為1的圓相交于點A ，過點A 作 x 軸的垂線，垂足為點 B ， OB = ．
3
(1)求 sina 的值；
2sin π -a + sin π +a
(2)求 cos 2π a 的值．-
【答案】(1) 5
3
(2) 5-
2
【分析】（1）根據三角函數定義，結合同角三角函數平方關系可求得結果；
（2）利用誘導公式化簡所求式子，代入 sina , cosa 即可.
【詳解】（1）由三角函數定義知： cosa
2
= - OB = - ，又a 為第二象限角，
3
\sina = 1- cos2 a 5= .
3
5
2sin
2 π -a + sin π +a 2sina - sina sina 5（ ） = = = 3 = - .
cos 2π -a cosa cosa 2- 2
3
tan(2p -a )sin(-2p -a )cos(6p -a )
3 = - tana57．（2024 高一上·全國·課后作業）（1）求證： sin(a p+ )cos(a 3p+ ) ；
2 2
sin(15p8p + a ) + 3cos(a
13p
- )
（2）設 tan(a + ) = m，求證 7 7
m + 3
= .
7 sin(20p -a ) - cos(a 22p+ ) m +1
7 7
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）（2）應用誘導公式化簡等式中結構復雜的一側，即可證結論.
tan(-a )sin(-a )cos(-a )
【詳解】（1）左邊= sin[2p (p p- -a )]cos[2p - ( -a )]
2 2
(- tana )(-sina )cosa sin2 a sin2 a
= = = sina
p p p p = - = - tanasin[ ( = .- -a )]cos[-( -a )] -sin( -a )cos( -a ) -cosa sina 右邊，所以原等式成立
2 2 2 2 cosa
sin[p (8p 8p+ + a )] + 3cos[(a + ) 3p ] sin(8p- - + a ) - 3cos(a 8p+ ) tan(a 8p+ ) + 3
（2）方法 1：左邊= 7 7 = 7 7 = 7 m + 3
sin[4p (a 8p
= =
- + )] - cos[2p (a 8p+ + )] -sin(a 8p+ ) - cos(a 8p+ ) tan(a 8p+ ) +1 m +1
7 7 7 7 7
右邊，所以原等式成立.
2 tan(a 8p p方法 ：由 + ) = m，得 tan(a + ) = m，
7 7
sin[2p (p+ + a )] + 3cos[(a p+ ) - 2p ] sin(p + a ) + 3cos(a p p+ ) tan(a + ) + 3 m + 3
所以，等式左邊= 7 7 = 7 7 = 7 = =右
sin[2p + p p p p p p- (a + )] - cos[2p + p + (a + )] sin(a + ) + cos(a + ) tan(a + ) +1 m +1
7 7 7 7 7
邊，等式成立.
58．（2024 高一·全國·課堂例題）求值：
sin 7π(1) ；
6
cos11π(2) ；
4
(3) tan -1560° .
1
【答案】(1) -
2
(2) 2-
2
(3) 3
【分析】根據誘導公式化簡計算即可得出結果.
sin 7π = sin π π 1【詳解】（1） π + ÷ = -sin = - .6 è 6 6 2
11π 3π 3π
（2） cos = cos 2π + ÷ = cos = cos π
π
-
4 4 ÷è 4 è 4
= -cos π 2= - .
4 2
（3） tan -1560° = - tan1560° = - tan 4 360° +120°
= - tan120° = - tan 180° - 60° = tan 60° = 3 .
59．（2024 高一·全國·課堂例題）求下列各三角函數值：
(1) sin
π
- ；
è 6 ÷
(2) cos
2π
；
3
tan 5p(3) ；
4
(4) cos
35π
．
6
1
【答案】(1) -
2
1
(2) -
2
(3)1
(4) 3
2
【分析】利用誘導公式和特殊角三角函數值即可得到答案.
sin π π 1【詳解】（1） - 6 ÷
= -sin = - ；
è 6 2
cos 2π cos π π= - （2） ÷ = -cos
π 1
= - ；
3 è 3 3 2
（3） tan
5π
= tan π π+ = tan π =1；
4 4 ֏ 4
cos 35π4 = cos π π 3（ ）
6
6π -
6 ÷
= cos = ．
è 6 2
15
60．（2024 高一上·全國·課后作業）已知a 的終邊與單位圓交于點P m, ÷÷，且a 為第二象限角，試求
è 4
sin π a -

2 ֏
的值．
sin π 3π+a - sin -a ÷ +1
è 2
3+ 15
【答案】-
6
15 1
【分析】根據題意，利用三角函數的定義，求得 sina = , cosa = - ，再結合誘導公式，準確計算，即
4 4
可求解.
15 1
【詳解】由題意得m2 + ( )2 =1，解得m2 = ，
4 16
1 15 1
因為a 為第二象限角，可得m < 0，所以m = - ，所以
4 sina = , cosa = -
，
4 4
sin a π -
1
2 ÷è -cosa 4 3 + 15所以 = = = -
sin π a sin 3π
.
+ - -a +1 -sina + cosa +1 15 1 6 2 ÷ - - +1è 4 4
1 1
61．（2024 高一下·河南駐馬店·階段練習）（1）已知 = - asin sina 且 lg cosaa 有意義，若角 的終邊與單位
3
圓相交于點M ,m

÷，求m 的值及 sina 的值；
è 5
ì π
a π π
sin 3π -a = 2 cos
, , b 0, π
- b ÷
（2）是否存在角 - ÷ ，使等式 è 2 同時成立.若存在，求出a , b
è 2 2
í

3 cos -a = - 2 cos π + b
的值；若不存在，說明理由.（注：對任意角 x ，有 sin2x + cos2x =1成立）
m 4 ,sina 4 p p【答案】（1） = - = - ；（2）存在，a= ， b =
5 5 4 6
3
【分析】（1）先根據題意條件分析出角a 所在象限，再根據角a 的終邊與單位圓相交于點M ,m÷，求出m
è 5
的值，進而求出 sina ；
ì sina = 2 sin b
（2）先利用誘導公式對題意中的等式進行化簡，化簡后得到 í ，平方相加得到新的等式
3 cosa = 2 cos b
sin2 a + 3cos2 a = 2，結合 sin2 a + cos2 a =1，從而求解出 sina ，cosa ，根據a , b 所在的范圍，進而求解出
結果.
1 1
【詳解】（1）因為 = -sina sina ，所以 sina < 0，
所以a 是第三或第四象限角或 y 軸的非正半軸上的角，
因為 lg cosa 有意義，所以 cosa > 0，
所以a 是第一或第四象限或 x 軸的非負半軸上的角，
綜上可知，角a 是第四象限角，
M 3,m
2
3 4
因為點 ÷在單位圓上，所以 ÷ + m
2 =1，解得m = ± ，
è 5 è 5 5
a 4又 是第四象限角，故m < 0，從而m = - ，
5
4
根據正弦函數的定義，可知 sina = - ；
5
ì
sin 3π -a = 2 cos
π
- b
（2）因為等式 í è 2
÷
同時成立，

3 cos -a = - 2 cos π + b
ì sina = 2 sin b
利用誘導公式化簡得 í ，兩式平方后相加得 sin2 a + 3cos2 a = 2，
3 cosa = 2 cos b
sin2 a + cos2 a =1 cos2 a
1
= cosa 2因為 ，所以可得 ，即 = ± ，2 2
a π π因為
- , a π= a π ÷ ，所以 或 = - .
è 2 2 4 4
π 3
當a = 時，代入 3 cosa = 2 cos b 得 cos b = ，4 2
又 b 0, π π，所以 b = ，此時也符合等式 sina = 2 sin b ；
6
π 3
當a = - 4 時，代入 3 cosa = 2 cos b 得 cos b = ，2
又 b 0, π π，所以 b = ，顯然此時不符合等式 sina = 2 sin b ，
6
π π
綜上所述，存在a = ， b = 滿足條件.
4 6
sin 2π - a cos π - a2 ÷
62 è ．（2024 高一下·廣東佛山·階段練習）已知 f a = ．
cos 3π a - ÷ tan π + a
è 2
(1)若 f a 1= - ，且 a 0, π ，求 a 的值；
2
f a π 1 2π (2) 2若 + ÷ = ，求 sin - a ÷ + sin
π - a ÷ 的值．
è 3 4 è 3 è 6
2π
【答案】(1) a =
3
19
(2)
16
【分析】（1）先利用誘導公式化簡，然后解三角方程可得；
（2）依題意可得 cos
π 1
a +

÷ = ，然后利用誘導公式和平方關系可得.
è 3 4
sin 2π - a cos π - a 2 ÷è -sin a ×sin a
【詳解】（1） f a = = sin a = cos a，
cos a 3π -

÷ tan π + a -sin a ×
è 2 cos a
因為 f a 1 1= - ，所以 cos a = - ，
2 2
又 a 0, π 2π，所以 a = ．
3
f a π+ π （2）由（1）知 ÷ = cos a + ÷，
è 3 è 3
f π 1 π 1因為 a + ÷ = ，所以 cos3 4
a + = ，
è è 3 ÷ 4
x a π 1 π令 = + ，則cos x = ， a = x - ，
3 4 3
sin2 2π所以 - a

÷ + sin
π
- a

3 6 ÷è è
= sin2 π - x + sin π - x ÷
è 2
= sin2 x + cos x =1- cos2 x 19+ cos x =
16
sin π +a
cos 3π -a tan π-a
63．（2024 高一上· ÷ ÷安徽合肥·期末）已知函數 f a = è 2 è 2 .
tan π+a sin 2π-a
(1)化簡 f a
f a × f a 3π- 3 3π π 3π(2)若 ÷ = - ，且- < a < - ，求 f a + f
a - 的值.
è 2 8 4 2 è 2 ÷
【答案】(1) -cosa
1
(2) -
2
【分析】（1）根據誘導公式化簡即可．
3π
（2）由題意得 f a + f a - ÷ = -cosa + sina ，又由題意得到 cosasina
3
= ，根據 sina - cosa 與 cosa ×sina
è 2 8
的關系求解．
cosa -sina -tana
【詳解】（1）由題意得 f a = = -cosatana sina .-
（2）由（1）知 f
a 3π- = -cos a 3π π- = -cos a + 2 ÷ 2 ÷ ÷
= sina ．
è è è 2
∵ f a × f a 3π 3 -

2 ÷
= - ，
è 8
∴ cosasina
3
= ，
8
∴ sina - cosa 2 =1- 2cosasina 1= .
4
3π
又- < a
π
< - ，
4 2
∴ cosa > sina ，
∴ sina cosa
1
- = - .
2
f a f a 3π+ ∴ - ÷ = -cosa + sina
1
= - .
è 2 2
29 12
64．（2024 高一下·內蒙古呼和浩特·期中）（1）求 sin - π ÷ + cos π × tan4π的值.
è 6 5
1- tan2q
（2）求證： 2 = cos
2q - sin2q .
1+ tan q
1
【答案】（1）- ；
2
（2）證明見解析.
【分析】（1）根據誘導公式化簡條件，結合特殊角三角函數值求解；
（2）根據同角關系證明等式的左側與右側相等.
【詳解】（1） sin
29
- π

÷ + cos
12 π × tan4π
è 6 5
=sin -6π+
7π
÷ + cos

2π
2
+ π ÷ × tan4π
è 6 è 5
=sin π+
π + 0 cos 2 π
è 6 ÷ 5
= - sin π
6
= 1- ；
2
1 sin
2 q
1- tan2q - cos2 q cos
2 q - sin2 q
（2）因為 2 = 2 = = cos
2 q - sin2 q
sin ，1+ tan q 1 q+ cos
2 q + sin2 q
cos2 q
1- tan2q
所以 = cos2q - sin2q .
1+ tan2q
65．（2024 高一下·江西贛州·期中）已知角a 的頂點在坐標原點，始邊與 x 軸非負半軸重合，終邊經過函數
f x = -2 - a x-4 （ a > 0且 a 1）的定點 M.
(1)求 sina - 2cosa 的值；
sin π a π+ + cos +a (2)求 è 2 ÷ - tan 5π +a 的值.
cos 2π +a + sin -a
11
【答案】(1)-
5
45
(2)
28
【分析】（1）求得定點 M 的坐標，利用三角函數的定義可求出 sina ， cosa ，從而求出答案；
（2）利用誘導公式化簡，再將 sina ， cosa ， tana 代入，即可得出答案.
【詳解】（1）∵函數 f x = -2 - a x-4 （ a > 0且 a 1）的定點 M 的坐標為 4,-3 ，
∴角a 的終邊經過點M 4, -3 ，
∴ OM = 42 + -3 2 = 5（O 為坐標原點），
根據三角函數的定義可知 sina
3
= - ， cosa
4
= ，
5 5
sina 2cosa 3 4 11∴ - = - - 2 = - .
5 5 5
3
（2） sina = - ， cosa
4
= ， tana
3
= - ，
5 5 4
sin π π+a + cos +a 2 ÷è tan 5π a -sina - sina- + = - tana -2sina= - tana
cos 2π +a + sin -a cosa - sina cosa - sina
-2 3 -

5 ֏ 3 6 3 45= + = + =
4 3
.
- - 4 7 4 28
5 5 ֏
1
66．（2024 高一下·四川廣安·階段練習）已知角 A 為銳角， sin Acos A tan A = ，
2
(1)求角 A 的大??；
sin π A cos 2023π(2)求 + - A

2 ÷的值．è
π
【答案】(1) A = 4
1
(2)
2
【分析】（1）根據同角三角函數之間的基本關系分析運算；
2 1
（2）根據誘導公式化簡整理，并代入 sin A = ，計算即可得出結果.
2
【詳解】（1）由 sin Acos A tan A = sin Acos A
sin A
= sin2 A 1= ，可得 sin2 A
1
= ，
cos A 2 2
由角 A 為銳角，則 sin A > 0，
sin A 2
π
所以 = ，故 A = ．
2 4
2023π 3π 3π
（2）∵ sin π + A cos - A÷ = -sin Acos 1010π + - A÷ = -sin Acos - A = sin2 ÷ A，
è 2 è 2 è 2
2
由（1）可得 sin A
1
= ，
2
即 sin π + A cos 2023π - A
1
÷ =2 2 ．è
sin a + 15p + 3cos a - 13p
67 2024 · · tan
8p 7 ÷ ÷è è 7 m + 3
．（ 高一 全國 課后作業）設 a + 7 ÷
= m .求證： =20p .è sin -a +

÷ - cos

a +
22p m +1
7 7 ÷è è
【答案】證明見解析
8p
【解析】由題意從所求式子的左邊出發，把 tan a + = m7 ÷ 作為一個整體代入，再利用同角三角函數間基è
本關系進行化簡即可證得右邊.
sin ép + 8p ùê a + ÷ú + 3cos
é 8p ù 8p 8p
a + ÷ - 3p -sin a + - 3cos a +
= è
7 ê è 7 ú 7 ÷ 7 ÷ è è
【詳解】證明：左邊 =
é 8p ù é 8p ù -sin a + 8psin
8p
ê4p - a + ÷ú - cos ê2p + a + ÷ ÷ - cos a + ÷ è 7 è 7 ú è 7 è 7
tan a + 8p + 3
= è 7
÷

tan a + 8p ÷ +1
è 7
把 tan a
8p
+ m + 3 7 ÷
= m代入，得原式= =右邊，故原等式成立.
è m +1
【點睛】本題考查同角三角函數間基本關系、誘導公式的應用和整體代入思想.，屬于基礎題
sin(a p- ) cos(3p +a ) tan(2p -a )
68．（2024 高一下·遼寧·期中）已知函數 f (a ) = 2 2 .
tan(a +p )sin(a +p )
（1）化簡 f (a)；
（2）若 f (a ) f (a
p 1
× + ) = - 5p a 3p，且 ，求 f (a ) + f (a
p
+ )
2 8 4 2 2
的值；
（3）若 f (a
p
+ ) = 2 f (a )，求 f (a )
p
× f (a + ) 的值.
2 2
3 2
【答案】（1）-cosa （2）- （3）
2 5
【詳解】試題分析：
（1）利用誘導公式可化簡；
p 1
（2）代入已知 f (a ) f (a + ) = -sina cosa ，從而得 sina cosa = ，結合平方關系 sin2 a + cos2 a =1可求得
2 8
sina - cosa 值；
（3）同樣由誘導公式化已知為 sina = -2cosa ，代入平方關系 sin2 a + cos2 a =1可求得 cos2 a ，也即得
f (a ) f (a p+ ) = -sina cosa 的值．
2
試題解析：
（1） f
-cosasina ) -tana
a = = -cosa
tana .-sina
p p
(2) f a + ÷ = -cos a + ÷ = sina
p 1 1
，因為 f a × f a + ÷ = - ，所以 cosa ×sina = ，可得
è 2 è 2 è 2 8 8
sina cosa 2 3 5p a 3p- = ，結合 ， cosa > sina p 3，所以 f a + f a + ÷ = sina - cosa = - .4 4 2 è 2 2
f a p+ 1（3）由（2）得 ÷ = 2 f a 即為 sina = -2cosa ，聯立2 sin
2a + cos2a =1 2，解得 cos a = ，所以
è 5
f a p× f 2 2 a + ÷ = -sinacosa = 2cos a = .
è 2 5
p
點睛：誘導公式：公式一：2kp +a ，公式二：p +a ，公式三：-a ，公式四：p -a ，公式五： -a ，公
2
p
式六： +a
p
，這六公式可統一寫成： k × ±a ， k Z，可歸納為：奇變偶不變，符號看象限．
2 2

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