資源簡介

5.1 任意角和弧度制 9 題型分類
一、角的相關概念
(1)角的概念
角可以看成平面內一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．
(2)角的表示
如圖，①始邊：射線的起始位置 OA；
②終邊：射線的終止位置 OB；
③頂點：射線的端點 O；
④記法：圖中的角 α 可記為“角 α”或“∠α”或“∠AOB”，可以簡記成“α”．
(3)角的分類
名稱 定義 圖形
一條射線繞其端點按逆時針
正角
方向旋轉形成的角
一條射線繞其端點按順時針
負角
方向旋轉形成的角
一條射線沒有做任何旋轉形
零角
成的角
二、角的相等與加減
(1)角的相等
設角 α 由射線 OA 繞端點 O 旋轉而成，角 β 由射線 O′A′繞端點 O′旋轉而成．如果它們的
旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱 α＝β.
(2)角的加法
設 α，β 是任意兩個角，把角 α 的終邊旋轉角 β，這時終邊所對應的角是 α＋β.
(3)相反角
把射線 OA 繞端點 O 按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角 α 的相反
角記為－α.
(4)角的減法
角的減法可以轉化為角的加法，有 α－β＝α＋(－β)．
三、平面直角坐標系中的任意角
在直角坐標系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與 x
條件
軸的非負半軸重合
象限角 角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角
角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個
軸線角
象限，可稱為軸線角
所有與角 α 終邊相同的角，連同角 α 在內，可構成一
終邊相
個集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角 α 終邊相
同的角
同的角，都可以表示成角 α 與整數個周角的和
注：1．對角的概念的認識關鍵是抓住“旋轉”二字
(1)要明確旋轉方向；
(2)要明確旋轉的大小；
(3)要明確射線未作旋轉時的位置．
2．對終邊相同的角的理解
(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；
(2)k∈Z，即 k 為整數，這一條件不可少；
(3)終邊相同的角的表示不唯一；
(4)終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍．
四、度量角的兩種制度
(1)角度制
①定義：用度作為單位來度量角的單位制．
1
②1 度的角：周角的 為 1 度的角，記作 1°.
360
(2)弧度制
①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．
②1 弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角．
③表示方法：1 弧度記作 1_rad.
五、弧度數的計算與互化
(1)弧度數的計算
(2)弧度與角度的互化
(3)一些特殊角的度數與弧度數的對應表
0 3 4 6 9 1 1 15 1
度
° 0° 5° 0° 0° 20° 35° 0° 80°
弧 π π π π 2π 3π 5π
0 π
度 6 4 3 2 3 4 6
六、扇形的弧長及面積公式
設扇形的半徑為 R，弧長為 l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR.
1 1
(2)扇形面積公式：S＝ lR＝ αR2.
2 2
(1)無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個與“半徑”大小無關的值．
(2)用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，如 sin2 是指 sin(2 弧度)，π＝
180°是指 π 弧度＝180°；但如果以度為單位表示角時，度就不能省去．
(3)用弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少 π 的形式，如無特殊要求，不必把 π
π
寫成小數，如 45°＝ 弧度，不必寫成 45°≈0.785 弧度．
4
π
(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如 α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋ ，k∈Z，都
4
不正確．
（一）
任意角的概念
1.引入任意角的概念后需要注意：
（1）用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了．角的概念推廣以后，它包括任意大小
的正角、負角和零角．
（2）角的概念的理解要緊緊抓住“旋轉”二字，用運動的觀點來看待角的概念：一是要明確旋
轉的方向，二是要明確旋轉的大小，三是要明確射線作任何旋轉時的位置．
（3）角的范圍不再限于[0°,360°]．
（4）當角的始邊相同時，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等．
（5）要正確理解正角、負角、零角的概念，由定義可知，關鍵是抓住終邊的旋轉方向是逆時
針、順時針，還是沒有轉動．在圖中表示角時，應注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角
的正負．
（6）角的記法：用一個希臘字母表示，如a ， b ，g ，…；也可用三個大寫的英文字母表示，
字母前要寫符號“ ”，中間的字母表示角的頂點，如 AOB， DEF ，…．為了簡單起見，在
不引起混淆的前提下，“角a ”或“ a ”可以簡記為“a ”．
（7）引入正角、負角、零角后，角的減法可以轉化為角的加法運算，即可以轉化a - b 為
a + (-b ) ．　　
2.判斷角的概念問題的關鍵與技巧
(1)關鍵：正確理解任意角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，嚴格辨析它們之間的聯
系與區別．
(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．
題型 1：任意角的概念
1-1．【多選】（2024 高一上·全國·課后作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．終邊與始邊重合的角是零角
B．終邊與始邊都相同的兩個角一定相等
C．小于 90°的角是銳角
D．若a = -120°，則a 是第三象限角
1-2．（2024 高一·全國·課堂例題）每周一的早晨，我們都會在學校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要 10
分鐘．這 10 分鐘的時間，鐘表的分針走過的角度是（ ）
A．30° B． -30° C．60° D．-60°
1-3．【多選】（2024 高一上·全國·課后作業）下列選項不正確的是（ ）
A．終邊落在第一象限的角為銳角
B．銳角是第一象限的角
C．第二象限的角為鈍角
D．小于90o的角一定為銳角
1-4．【多選】（2024 高一上·河北保定·期末）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學們在學習了“任
意角和弧度制”后，對鐘表的運行產生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時針與分針視為兩條線段，
則下列說法正確的是（ ）
A “ 5 h 5π．小趙同學說： 經過了 ，時針轉了 - 6 ．”
7π
B．小錢同學說：“經過了 40 min，分針轉了 - 6 ．”
67π
C．小孫同學說：“當時鐘顯示的時刻為 12:35 時，時針與分針所夾的鈍角為 ．”
72
D．小李同學說：“時鐘的時針與分針一天之內會重合 22 次．”
1-5．（2024 高一上·全國·課后作業）給出下列說法：①終邊相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第
一象限的角；③ 0° ~ 90°的角是第一象限的角；④小于180°的角是鈍角、直角和銳角.其中錯誤的序號
是 .
（二）
終邊相同的角
1．一般地，我們有：所有與角a 終邊相同的角，連同角a 在內，可構成一個集合
S = {b | b = a + kg360°，k Z}，即任一與角a 終邊相同的角，都可以表示成角a 與整數個周角的
和．
2．象限角的分類及表示方法如下：
象限角 集合的表示
第一象限
{a | kg360° < a < 90° + kg360°,k Z}
角
第二象限
{a | 90° + kg360° < a < 180° + kg360°,k Z}
角
第三象限
{a |180° + kg360° < a < 270° + kg360°,k Z}
角
第四象限
{a | 270° + kg360° < a < 360° + kg360°,k Z}
角
3．設 S = {b | b = 45° + kg360°,k Z}，顯然，所有與 45°角終邊相同的角都是集合 S 的元素；反過
來，集合 S 中的任何一個元素也都與 45°角的終邊相同．推廣到一般形式有：所有與角a 終邊
相同的角，連同角a 在內，可構成一個集合 S = {b | b = a + kg360°,k Z}，即任一與角a 終邊相同
的角，都可以表示成角a 與整數個周角的和．
4．利用與角a 終邊相同的角的集合，可把任意角 b 轉化成 b = a + kg360°， k Z ， 0° a < 360°
的形式；也可利用與角a 終邊相同的角化簡終邊落在過原點的某一條直線上的角的集合；或利
用與角a 終邊相同的角寫出各象限角和象限界角的集合．
如第一象限角，在 0° ~360 ° 范圍內，第一象限角表示為 0° < a < 90°，然后在兩端加上 kg360°，
k Z ，即可得到第一象限角的集合：{a | kg360° < a < kg360° + 90°， k Z}，其他各象限角同理可
得．
若a 為象限界角，如終邊落在 x軸的負半軸上，代表角為 180 ° ，所以終邊落在 x軸的負半軸上
的角的集合為{a |a = kg360° +180°， k Z}．同理可得其他非象限角的集合．
5.尋求終邊相同的角的方法與技巧
在[0°，360°)范圍內找與給定角終邊相同的角的方法：
(1)一般地，可以將所給的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β<360°，k∈Z)，其中的 β 就是
所求的角．
(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續
加 360°的方式；當所給角是正角時，采用連續減 360°的方式，直到所得結果達到要求為止．　
6．求終邊落在直線上的角的集合的三個步驟
(1)寫出在[0°，360°)范圍內相應的角；
(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；
題型 2：終邊相同的角
2-1．（2024 高一·全國·課堂例題）已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與 x 軸的非負半軸重合，作
出下列各角，指出它們是第幾象限角，并指出在 0° ~ 360°范圍內與其終邊相同的角．
(1) 405°；
(2) -45°；
(3) 495°；
(4) -520°．
2-2．（2024 高一上·全國·課后作業）與600o 角終邊相同的角可表示為（ ）
A． k ×360o + 220o k Z
B k ×360o． + 240o k Z
C． k ×360o + 60o k Z
D． k ×360o + 260o k Z
2-3．（2024 高一上·吉林長春·期末）下列各角中，與1850° 角終邊相同的角是（ ）
A． 40° B．50° C．320° D．-400°
2-4．（2024 高一·全國·課后作業）若角a 的終邊在函數 y = -x 的圖象上，試寫出角a 的集合為 ．
2-5．（2024 高一下·山東威海·期末）下列角的終邊與60°角的終邊關于 x 軸對稱的是（ ）
A．660° B．-660° C． 690° D． -690°
2-6．（2024 高一下·廣西北海·期末）下列各角中，與 2183°角終邊相同的是（ ）
A．-23° B． 23° C．-47° D． 47°
2-7．（2024 高三·全國·專題練習）若角 α 的頂點為坐標原點，始邊在 x 軸的非負半軸上，終邊在直線 y = - 3x
上，則角 α 的取值集合是
（三）
區域角的表示
1、區域角的寫法可分三步
(1)按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；
(2)由小到大分別標出起始、終止邊界對應的一個角 α，β，寫出所有與 α，β 終邊相同的角；
(3)用不等式表示區域內的角，組成集合．
注：區域角的寫法:
(1)若角的終邊落在一個扇形區域內，寫區域角時，先依逆時針方向由小到大寫出一個區間角，
然后在它的兩端分別加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.
(2)若角的終邊落在兩個對稱的扇形區域內，寫角的范圍時，可以先寫出終邊落在一個扇形區
域內的一個區間角，然后在此區間角的兩端分別加上“k ×180”，并注明“k ∈Z”即可.
題型 3：區域角的表示
3-1．（2024 高一下· o o o山西朔州·期末）集合 a∣k ×180 a k ×180 + 60 , k Z 中的角所表示的范圍（陰影部分）
是（ ）
A． B．
C． D．
3-2．（2024 高一·全國·課后作業）寫出終邊落在圖中陰影區域內的角的集合．
(1)
(2)
3-3．（2024 高一·全國·課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內（不包括邊界）
的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）
（四）
象限角軸線角的判定
1．象限角：若把角的頂點與原點重合，角的始邊與 x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在
第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．
例如：由于圖（1）中的角 45°， 405° ， -315°都是始邊與 x軸的非負半軸重合，終邊落在第一
象限的角，所以它們都是第一象限角；同理，圖（2）中的角 480° 是第二象限角， -70°， 290°
都是第四象限角．
2．特別地，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．例如， 0°，90°，
-180°， 630° 等，因為它們的終邊落在坐標軸上，所以這些角都不屬于任何一個象限，有的參
考書上稱之為象限界角．
3.象限角的判定方法
(1)根據圖象判定．依據是終邊相同的角的概念，因為在[0°，360°)范圍內的角的終邊與坐標系
中過原點的射線可建立一一對應的關系．
(2)將角轉化到[0°，360°)范圍內．在直角坐標平面內，在[0°，360°)范圍內沒有兩個角終邊是相
同的．
(3)nα 所在象限的判斷方法
確定 nα 終邊所在的象限，先求出 nα 的范圍，再直接轉化為終邊相同的角即可．
α
(4) 所在象限的判斷方法
n
α
已知角 α 所在象限，要確定角 所在象限，有兩種方法：
n
α
①用不等式表示出角 的范圍，然后對 k 的取值分情況討論：被 n 整除；被 n 除余 1；被 n 除
n
余 2；…；被 n 除余 n－1.從而得出結論．
②作出各個象限的從原點出發的 n 等分射線，它們與坐標軸把周角分成 4n 個區域．從 x 軸非
負半軸起，按逆時針方向把這 4n 個區域依次循環標上 1,2,3,4.α 的終邊在第幾象限，則標號為
α α
幾的區域，就是 的終邊所落在的區域．如此， 所在的象限就可以由標號區域所在的象限直觀
n n
地看出．
題型 4：象限角的判定
4-1．【多選】（2024 高一下·河北承德·開學考試）已知a 是銳角，則 （ ）
A．180° +a 是第三象限角 B． 2a 是小于180°的正角
a
C． 2a 是第一或第二象限角 D． 是銳角
2
a a a
4-2．（2024 高一下·河南·期末）已知角a 第二象限角，且 cos = -cos ，則角 是（ ）
2 2 2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4-3．【多選】（2024 高一下·江西新余·開學考試）若a 是第二象限角，則（ ）
A．-a
a
是第一象限角 B． 是第一或第三象限角
2
3π
C． +a 是第二象限角 D．2a 是第三象限角或 2a 是第四象限角或 2a 的終邊在 y 軸負
2
半軸上
a
4-4．【多選】（2024 高一下·遼寧撫順·階段練習）如果 α 是第三象限的角，那么 可能是下列哪個象限的角
3
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
a
4-5．（2024 高一下·四川達州·階段練習）已知a 為第二象限角，則 所在的象限是（
2 ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第一或第三象限
（五）
角度與弧度的互化
1．將角度化為弧度
360° = 2π rad；180
π
° = π rad；1° = rad 0.01745 rad．
180
2．將弧度化為角度
2π rad=360 π rad 180 1 rad 180°； = ° ； = ( )° 57.30° = 57°18 ．
π
3．需記住的特殊角的度數與弧度數的對應值
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 π π π π 2π 3π 5π 3
0 π π 2π
度 6 4 3 2 3 4 6 2
【說明】（1）以弧度為單位表示角時，“弧度”兩字可以省略不寫．如 sin 2 是指 sin（2弧度）； π = 180°
是指 π 弧度 = 180° ．以度為單位表示角時，度就不能省去．
π
（2）以弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少 π 的形式，如無特殊要求，不必把 π 化成小數，如 45° =
4
弧度，不必寫成 45° 0.785 弧度．
（3）弧度制和角度制一樣，都是一種度量角的單位制．弧度制與角度制相比有一定的優點，其一體現在進
位上，角度制在度、分、秒上是六十進制，不便于計算，而弧度制是十進制，給運算帶來了方便；其二體
現在弧長公式與扇形面積公式的表達上，弧度制下的公式比角度制下的公式簡單，運用起來更方便．
（4）用角度制和弧度制來度量零角，雖然單位不同，但數量相同，對于其他非零角，由于單位不同，數量
也就不同了．
π
（5）在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式 π rad = 180° 是關鍵，由它可以得到：角度 = 弧度，弧
180°
180°
度 = 角度．
π
題型 5：弧度制的概念
5-1．（2024 高一·全國·課后作業）下列說法正確的是（ ）
A． 弧度的圓心角所對的弧長等于半徑
B．大圓中 弧度的圓心角比小圓中 弧度的圓心角大
C．所有圓心角為 弧度的角所對的弧長都相等
D．用弧度表示的角都是正角
5-2．（2024 高一·全國·課后作業）自行車的大鏈輪有 88 齒，小鏈輪有 20 齒，當大鏈輪逆時針轉過一周時，
小鏈輪轉過的弧度數是（ ）
5p 44p 5p 22p
A． B． C． D．
11 5 22 5
題型 6：角度與弧度的互化
6-1．（2024 高一·湖南·課后作業）將下表中的角度和弧度互化：
角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
p p 3p
弧度 p
3 2 2
6-2．（2024 高一·全國·專題練習）把下列角度與弧度進行互化．
(1) 72°；
(2) -300°；
(3) 2；
2π
(4) - .
9
(5) 780°
(6) -1560°
(7) 67.5°
10
(8) - π
3
π
(9)
12
7π
(10)
4
6-3．（2024 高一·全國·課堂例題）把下列各角從度化為弧度：
(1)120°；
(2) 25° ．
6-4．（2024 高一下·遼寧·期中）下列與 45°終邊相同角的集合中正確的是（ ）
A． a |a = 2kπ + 45°,k Z ìB． ía |a = k ×360 π° + , k Zü
4
ì
C． ía |a = 2kπ
7 π
- π, k Zü ì D． ía |a = kπ + , k Z
ü
4 4
（六）
利用弧度制表示角
1、弧度制下與角 α 終邊相同的角的表示
在弧度制下，與角 α 的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角 α 終邊相同的
角可以表示成 α 加上 2π 的整數倍．
2、根據已知圖形寫出區域角的集合的步驟
(1)仔細觀察圖形；
(2)寫出區域邊界作為終邊時角的表示；
(3)用不等式表示區域角．
用不等式表示區域角的范圍時，要注意角的集合形式是否能夠合并，能合并的要合并．
題型 7：利用弧度制表示角
7-1．（2024 高一下·北京西城·階段練習）已知角a =1200° .
(1)將a 改寫成 b + 2kπ k Z,0 b < 2π 的形式，并指出a 是第幾象限的角；
(2)在區間 -2π,2π 上找出與a 終邊相同的角．
7-2．（2024 高一·全國·課后作業）將－1485°化成a + 2kp 0 a < 2p ,k Z 的形式是（ ）
π 8π 7 8 p 10 7A． - B． p - p C． - p D． p -10p
4 4 4 4
7-3．（2024 高一下·江西贛州·期中）已知a = -1520° .
(1)將a 寫成 b + 2kπ k Z,0 b < 2π 的形式，并指出它是第幾象限角；
(2)求與a 終邊相同的角q ，滿足-4π q < 0．
7-4．（2024 高一上·河北保定·階段練習）寫出一個與角-1280°終邊相同的正角：a = （用弧度數
表示）.
（七）
弧長公式
1、弧長公式
l
在半徑為 r 的圓中，弧長為 l 的弧所對的圓心角大小為a ，則 a = ，變形可得 l = a rr ，此公式
稱為弧長公式，其中的a 是弧度角．
2、弧度制下有關扇形弧長問題的解題策略
①明確弧度制下扇形弧長公式 l＝|α|r，(其中 l 是扇形的弧長，α 是扇形的圓心角)．
②涉及扇形的周長、弧長、圓心角等的計算，關鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈
活運用弧長公式、扇形面積公式求解．
題型 8：弧長公式及應用
8-1（．2024高一下·重慶長壽·期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是2，則扇形的周長為 .
3π
8-2．（2024 高一下·山東淄博·期中）已知扇形面積 ，半徑是 1，則扇形的周長是（ ）
8
3π 1 3πA． + B． + 2
3π 3π
C． + 2 D． +1
16 8 4 2
3
8-3．（2024 高一上·廣西南寧·開學考試）若扇形的圓心角為120o，半徑 .則它的弧長為 .2
8-4．（2024 高一·全國·課堂例題）若扇形的面積是 4cm2，它的周長是10cm，則扇形圓心角（正角）的弧度
數為（ ）
1 π 1 π
A． B． C． D．
2 2 4 4
（八）
扇形的面積公式的應用
1、扇形面積公式
2 l
因為圓心角為 1 rad πr 1的扇形面積為 = r2 ，而弧長為 l 的扇形的圓心角大小為 r rad，所以其2π 2
l r2 1 1 1 2
面積為 S = = lr ，將 l = a r 代入上式可得 S = lr = a r2 2 ，此公式稱為扇形面積公式．r 2 2
2、扇形的面積公式的應用注意點
①在弧度制中的弧長公式及扇形面積公式中的圓心角可正可負．
②看清角的度量制，選用相應的公式．
③扇形的周長等于弧長加兩個半徑長．
題型 9：扇形的面積公式的應用
9-1．（2024 高一上·廣東揭陽·階段練習）已知扇形OAB 的半徑為 r ，弧長為 l，圓心角為a (0 < a < 2p ) .
(1)若扇形OAB 的面積為定值S ，求扇形周長C 的最小值及對應的圓心角a 的值；
(2)若扇形OAB 的周長為定值C ，求扇形面積S 的最大值及對應的圓心角a 的值.
9-2．（2024 高一上·山西長治·期末）已知扇形的周長為 30．
(1)若該扇形的半徑為 10，求該扇形的圓心角a ，弧長 l及面積S ;
(2)求該扇形面積S 的最大值及此時扇形的半徑 .
9-3．（2024 高一·全國·課后作業）如圖，點 A, B,C 是圓O上的點.
p
(1)若 AB = 4， ACB = ，求劣弧
6 AB
的長；
(2)已知扇形 AOB的周長為8，求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小.
9-4．（2024 高一上·安徽合肥·階段練習）已知扇形的圓心角為a ，所在圓的半徑為 r.
(1)若a = 60°， r = 3，求扇形的弧長 ;
(2)若扇形的周長為16，當a 為多少弧度時，該扇形面積最大 并求出最大面積．
一、單選題
2kπ π
1．（2024 高一下·江西吉安·期末）已知角的集合 b = {a |a = - , k Z}，則在 0,2π 內的角有（ ）
3 6
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．5 個
2．（2024 高三·全國·專題練習）把-380°表示成q + 2kπ k Z 的形式，則 θ 的值可以是（ ）
π π 8π 8π
A． B．- C． D．-
9 9 9 9
3．（2024 高一下·新疆塔城·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等
C．小于90o的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
4．（2024 高一下·四川眉山·期中）已知扇形的半徑為 1，圓心角為60o，則這個扇形的弧長為（ ）
π π 2π
A． B． C． D．60
6 3 3
5．（2024 高三上·湖南·階段練習）已知一扇形的圓心角為 40°，半徑為 9，則該扇形的面積為（ ）
A．9π B．12π C．18π D．36π
6．（2024 高一上·全國·課后作業）與 405°角終邊相同的角是（ ）
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
5π
7．（2024 高一·全國·課堂例題） 化為角度是（
12 ）
A．60° B．75° C．115° D．135°
1
8．（2024 高一上·吉林長春·期末）設 r 為圓的半徑，弧長為 p r 的圓弧所對的圓心角為（
2 ）
A．90o B．180o C． 270o D．360o
9．（2024 高一·全國·課后作業）若a = -5rad ，則角a 的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2024 高一上·湖南永州·期末）玉雕在我國歷史悠久，玉雕是采用傳統的手工雕刻工藝加工生產成的玉
雕工藝.某扇環形玉雕（扇環是一個圓環被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面
積為（ ）
A．2700cm2 B．3500cm2 C． 4300cm2 D． 4800cm2
a
11．（2024 高一·全國·課后作業）若a 是第三象限角，則 所在的象限是（
2 ）
A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；
C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．
12．（2024 高一下·江西撫州·期中）扇面書畫在中國傳統繪畫中由來已久，最早關于扇面書畫的文獻記載，
是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發展到明清時期，折扇扇面畫開始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫
的外弧長為 48，內弧長為 28，且該扇面所在扇形的圓心角約為 120°，則該扇面畫的面積約為（ ）（參考
數據： π 3）
A．990 B．495 C．380 D．300
13．（2024 高一下·上海黃浦·期中）已知q 是第一象限角，那么（ ）
q q
A． 是第一、二象限角 B． 是第一、三象限角
2 2
q q
C． 是第三、四象限角 D． 是第二、四象限角
2 2
14．（2024 高一下·湖南長沙·期末）某圓臺的側面展開圖為如圖所示的扇環（實線部分），已知該扇環的面積
為 π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為 1 和 2，則扇環的圓心角a 的大小為（ ）
π 3π 5π 2π
A． B． C． D．
2 4 6 3
ì π π ü
15．（2024 高三上·貴州貴陽·期末）已知集合 A = ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z ，
4 2
B ìa kπ π a kπ π= í + + , k Z
ü
，則（ ）
4 2
A． A B B．B A C． A = B D． AI B =
16．（2024 高二上·浙江·開學考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為 1cm）的圓周上爬動，且兩
π π
只螞蟻均從點 A(1,0)同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以 rad / s 的速度爬行，黑螞蟻以 rad / s 的速度爬行，
4 12
則 2 秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（ ）
π π
A．1 B． 2 - 3 C． D．3 6
ì
17．（2024 高三·全國·專題練習）集合 ía kπ
π
+ a kπ π+ ,k Zü 中的角所表示的范圍(陰影部分)是（4 2 ）
A． B．
C． D．
18．（2024 高一·全國·課前預習）經過 2 個小時，鐘表的時針和分針轉過的角度分別是（ ）.
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
19．（2024 高一上·湖北襄陽·期末）已知一個扇形的周長為 8，則當該扇形的面積取得最大值時，圓心角大
小為（ ）
π π 3
A． B． C． D．2
6 4 2
π
20．（2024 高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知扇形弧長為 ，圓心角為 2，則該扇形面積為（ ）
3
π2 π2 πA． B． C． D．1
18 36 3
21．（2024 高一上·甘肅定西·期末）下列各角中，與 43o角終邊重合的是（ ）
A．137o B．143o C．-317o D．-343o
22．（2024 高一下·山東濰坊·階段練習）數學中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形
的畫法如下：先畫等邊三角形 ABC ，再分別以點 A, B,C 為圓心，線段 AB 長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三
π
角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為 ，則其面積是（ ）
2
A π - 2 π + 3． B． C π - 3 D π + 3． ．
4 8 8 4
23．（2024 高一下·山東威海·期末）古希臘地理學家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼
（現在的阿斯旺，在北回歸線上）記為A ，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所
在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為 B ，測得立桿與太陽光線所成的角約為7.2° .他又派人測得A ，B 兩
地的距離 AB =800 km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（ ）（ π 3.14）
A．7260 km B． 6870 km C． 6369 km D．5669 km
二、多選題
a 7π24．（2024 高一下·遼寧鞍山·期末）若角 的終邊與角 的終邊關于 x 軸對稱，且a -2π,2π ，則a 的值
12
可能為（ ）
7π 19π 19π 17π
A．- B．- C． D．
12 12 12 12
25．（2024 高一上·全國·課后作業）下列說法，不正確的是（ ）
A．三角形的內角必是第一、二象限角
B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等
C．鈍角比第三象限角小
D．小于 180°的角是鈍角、直角或銳角
26．（2024 高一·全國·課堂例題）下列各角中，與角 495°終邊相同的角為（ ）
3π 5π 9π 13π
A． B．- C．- D．
4 4 4 4
a
27．（2024 高一上·山東臨沂·期末）已知a 為第四象限角，則 可能為（
3 ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
28．（2024 高一下·遼寧營口·階段練習）與-457o角終邊相同的角的集合是（ ）
A． a a = k ×360o - 457o ,k Z B o． a a = k ×360 + 97o ,k Z
C． a a = k ×360o + 263o , k Z D． a a = k ×360o - 263o ,k Z
29．（2024 高一下·四川南充·階段練習）已知三角形 ABC 是邊長為 2的等邊三角形.如圖，將三角形 ABC 的
頂點A 與原點重合. AB 在 x 軸上，然后將三角形沿著 x 軸順時針滾動，每當頂點A 再次回落到 x 軸上時，將
相鄰兩個A 之間的距離稱為“一個周期”，給出以下四個結論，其中說法正確的是（ ）
A．一個周期是6
B．完成一個周期，頂點A 的軌跡是一個半圓
8π
C．完成一個周期，頂點A 的軌跡長度是
3
8π
D．完成一個周期，頂點A 的軌跡與 x 軸圍成的面積是 + 3
3
三、填空題
30．（2024 高一上·全國·課后作業）若角 α＝30°，把角 α 逆時針旋轉 20°得到角 β，則 β＝ .
31．（2024 高一上·北京昌平·期末）如圖，半徑為 1 的圓 M 與直線 l 相切于點 A，圓 M 沿著直線 l 滾動．當
3π
圓 M 滾動到圓M 時，圓M 與直線 l 相切于點 B，點 A 運動到點 A ，線段 AB 的長度為 ，則點M 到直
2
線BA 的距離為 ．
32．（2024 高一下·上海奉賢·期中）已知半徑為 2的扇形的圓心角為90o，則扇形的面積為 ．
a
33．（2024 高一上·全國·課后作業）已知角a 的終邊在如圖所示的陰影區域內，則角 的取值范圍是 ．
2
34．（2024 高一上·江蘇·課后作業）時鐘走了 3 小時 20 分，則時針所轉過的角的度數為 ，分針轉過的
角的度數為 ．
35．（2024 高一上·浙江金華·期末）親愛的考生，我們數學考試完整的時間是 2 小時，則從考試開始到結束，
鐘表的分針轉過的弧度數為 .
36．（2024 高一上·江蘇常州·期末）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現形式.某班級想用布料制作一面如圖
2π
所示的扇面，已知扇面展開的中心角為 ，外圓半徑為 40cm，內圓半徑為 20cm，那么制作這樣一面扇面
3
至少需要用布料為 cm2
37．（2024 高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內有很多精
美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚墻精致細膩、氣韻生動、極富書卷
π
氣．如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形 OCD 截去同心扇形 OAB 所得部分，已知 AD=1m，弧 AB = 3 m，
弧CD = 2π3 m，則此扇環形磚雕的面積為 m
2．
38．（2024 高三上·山西晉中·階段練習）圓心角為 2 的扇形的周長為 4，則此扇形的面積為 .
39．（2024 高一下·廣東廣州·階段練習）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給
1
出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝ (弦×矢＋矢 2 )．弧田是由圓弧及其所對的弦所圍成．公式
2
2π
中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為 ，半徑等于 4 米的弧田，
3
按照上述經驗公式計算所得弧田面積最接近的整數是 ．
40．（2024 高一·全國·課后作業）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且 α 與 120°角終邊相同，則 α= ．
四、解答題
41．（2024 °高一下·浙江寧波·階段練習）已知一扇形的圓心角為a a > 0 ，周長為C ，面積為S ，弧長為 l ,
所在圓的半徑為 r ．
(1)若a = 30°， r = 8，求扇形的弧長；
(2)若C =16， S =16，求扇形的半徑和圓心角．
42．（2024 高一·全國·課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．
a
43．（2024 高一·全國·課堂例題）若角a 是第二象限角，試確定角 2a ， 是第幾象限角．
3
44．（2024 高一下·河南駐馬店·階段練習）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角
的集合.
45．（2024 高一·全國·課前預習）在直角坐標系中寫出下列角的集合：
(1)終邊在 x 軸的非負半軸上；
(2)終邊在 y = x x 0 上．
46．（2024 高一·全國·課后作業）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．
47．（2024 高一下·上海寶山·階段練習）已知一扇形的圓心角為a ，半徑為 R，弧長為 l．
(1)若a = 60°，R = 6 ，求扇形的弧長 l；
(2)若扇形面積為 16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角a ．
48．（2024 高一·全國·課堂例題）利用單位圓，寫出360°，180°，90°，1°的圓心角的弧度數．
49．（2024 高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如
圖所示的扇形環面(由扇形OAD挖去扇形OBC 后構成的)．已知OA = 2米，OB = x 米 0 < x < 2 ，線段 BA、
線段CD與弧B C 、弧 AD 的長度之和為6 米，圓心角為q 弧度．
(1)求q 關于 x 的函數解析式；
(2)記該宣傳牌的面積為 y ，試問 x 取何值時， y 的值最大 并求出最大值．
50．（2024 高一下·全國·課后作業）已知扇形的面積為 S，周長為 p，中心角為a .
(1)若 S 是定值，則當a 為多少弧度時，周長 p 最小，并求此最小值（用 S 表示）.
(2)若 p 是定值，則當a 為多少弧度時，面積 S 最大，并求此最大值（用 p 表示）.
51．（2024 高一·全國·課后作業）已知一扇形的圓心角為a (a > 0)，所在圓的半徑為 R.
（1）若a = 60° ，R =10cm ，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；
（2）若扇形的周長為 20 cm，當扇形的圓心角a 等于多少弧度時，這個扇形的面積最大
52．（2024 高一下·遼寧沈陽·期中）53．（2024 高一下·陜西商洛·期中）已知扇形的圓心角是a a > 0 ，半徑
為 R .
（1）若a = 60°，R = 10cm求扇形的弧長 l .
（2）若扇形的周長為 20cm ，當扇形的圓心角a 為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？
54．（2024 高一下·四川眉山·期中）（1）如圖，陰影部分表示角a 的終邊所在的位置，試寫出角a 的集合．
（2）已知角a = -1725°，將a 改寫成 b + 2kπ(k Z,0 b < 2π)的形式，并指出a 是第幾象限角．5.1 任意角和弧度制 9 題型分類
一、角的相關概念
(1)角的概念
角可以看成平面內一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．
(2)角的表示
如圖，①始邊：射線的起始位置 OA；
②終邊：射線的終止位置 OB；
③頂點：射線的端點 O；
④記法：圖中的角 α 可記為“角 α”或“∠α”或“∠AOB”，可以簡記成“α”．
(3)角的分類
名稱 定義 圖形
一條射線繞其端點按逆時針
正角
方向旋轉形成的角
一條射線繞其端點按順時針
負角
方向旋轉形成的角
一條射線沒有做任何旋轉形
零角
成的角
二、角的相等與加減
(1)角的相等
設角 α 由射線 OA 繞端點 O 旋轉而成，角 β 由射線 O′A′繞端點 O′旋轉而成．如果它們的
旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱 α＝β.
(2)角的加法
設 α，β 是任意兩個角，把角 α 的終邊旋轉角 β，這時終邊所對應的角是 α＋β.
(3)相反角
把射線 OA 繞端點 O 按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角 α 的相反
角記為－α.
(4)角的減法
角的減法可以轉化為角的加法，有 α－β＝α＋(－β)．
三、平面直角坐標系中的任意角
在直角坐標系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與 x
條件
軸的非負半軸重合
象限角 角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角
角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個
軸線角
象限，可稱為軸線角
所有與角 α 終邊相同的角，連同角 α 在內，可構成一
終邊相
個集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角 α 終邊相
同的角
同的角，都可以表示成角 α 與整數個周角的和
注：1．對角的概念的認識關鍵是抓住“旋轉”二字
(1)要明確旋轉方向；
(2)要明確旋轉的大小；
(3)要明確射線未作旋轉時的位置．
2．對終邊相同的角的理解
(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；
(2)k∈Z，即 k 為整數，這一條件不可少；
(3)終邊相同的角的表示不唯一；
(4)終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍．
四、度量角的兩種制度
(1)角度制
①定義：用度作為單位來度量角的單位制．
1
②1 度的角：周角的 為 1 度的角，記作 1°.
360
(2)弧度制
①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．
②1 弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角．
③表示方法：1 弧度記作 1_rad.
五、弧度數的計算與互化
(1)弧度數的計算
(2)弧度與角度的互化
(3)一些特殊角的度數與弧度數的對應表
0 3 4 6 9 1 1 15 1
度
° 0° 5° 0° 0° 20° 35° 0° 80°
弧 π π π π 2π 3π 5π
0 π
度 6 4 3 2 3 4 6
六、扇形的弧長及面積公式
設扇形的半徑為 R，弧長為 l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR.
1 1
(2)扇形面積公式：S＝ lR＝ αR2.
2 2
(1)無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個與“半徑”大小無關的值．
(2)用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，如 sin2 是指 sin(2 弧度)，π＝
180°是指 π 弧度＝180°；但如果以度為單位表示角時，度就不能省去．
(3)用弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少 π 的形式，如無特殊要求，不必把 π
π
寫成小數，如 45°＝ 弧度，不必寫成 45°≈0.785 弧度．
4
π
(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如 α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋ ，k∈Z，都
4
不正確．
（一）
任意角的概念
1.引入任意角的概念后需要注意：
（1）用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了．角的概念推廣以后，它包括任意大小
的正角、負角和零角．
（2）角的概念的理解要緊緊抓住“旋轉”二字，用運動的觀點來看待角的概念：一是要明確旋
轉的方向，二是要明確旋轉的大小，三是要明確射線作任何旋轉時的位置．
（3）角的范圍不再限于[0°,360°]．
（4）當角的始邊相同時，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等．
（5）要正確理解正角、負角、零角的概念，由定義可知，關鍵是抓住終邊的旋轉方向是逆時
針、順時針，還是沒有轉動．在圖中表示角時，應注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角
的正負．
（6）角的記法：用一個希臘字母表示，如a ， b ，g ，…；也可用三個大寫的英文字母表示，
字母前要寫符號“ ”，中間的字母表示角的頂點，如 AOB， DEF ，…．為了簡單起見，在
不引起混淆的前提下，“角a ”或“ a ”可以簡記為“a ”．
（7）引入正角、負角、零角后，角的減法可以轉化為角的加法運算，即可以轉化a - b 為
a + (-b ) ．　　
2.判斷角的概念問題的關鍵與技巧
(1)關鍵：正確理解任意角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，嚴格辨析它們之間的聯
系與區別．
(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．
題型 1：任意角的概念
1-1．【多選】（2024 高一上·全國·課后作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．終邊與始邊重合的角是零角
B．終邊與始邊都相同的兩個角一定相等
C．小于 90°的角是銳角
D．若a = -120°，則a 是第三象限角
【答案】ABC
【分析】根據象限角的相關定義即可結合選項即可逐一求解.
【詳解】對于 A. o終邊與始邊重合的角的集合為 a a = 360 k,k Z ,故 A 錯誤，
對于 B，終邊與始邊都相同的兩個角不一定相等，比如30o ,390o的終邊和始邊相同，但兩個角不相等，故 B
錯誤，
對于 C，銳角為 0o ,90o 的角，所以小于 90°的角不一定是銳角，故 C 錯誤，
對于 D，a = -120°，則a 是第三象限角，故 D 正確，
故選：ABC
1-2．（2024 高一·全國·課堂例題）每周一的早晨，我們都會在學校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要 10
分鐘．這 10 分鐘的時間，鐘表的分針走過的角度是（ ）
A．30° B． -30° C．60° D．-60°
【答案】D
【分析】計算分針走過的角度大小的同時考慮他的方向即可求解.
【詳解】Q分針是順時針走的，\形成的角度是負角，
又分針走過了 10 分鐘，
\ 10走過的角度大小為 360° = 60°60 ，
綜上，分針走過的角度是-60°．
故選：D．
1-3．【多選】（2024 高一上·全國·課后作業）下列選項不正確的是（ ）
A．終邊落在第一象限的角為銳角
B．銳角是第一象限的角
C．第二象限的角為鈍角
D．小于90o的角一定為銳角
【答案】ACD
【分析】根據象限角、銳角、鈍角的定義依次判斷各個選項即可.
【詳解】對于 A，終邊落在第一象限的角不一定是銳角，如 400o 的角終邊位于第一象限，但不是銳角，A 錯
誤；
對于 B，銳角是0o : 90o之間的角，終邊位于第一象限，是第一象限角，B 正確；
對于 C，終邊落在第二象限的角不一定是鈍角，如510o的角的終邊位于第二象限，但不是鈍角，C 錯誤；
對于 D，小于90o的角不一定是銳角，如-30o的角小于90o，但不是銳角，D 錯誤.
故選：ACD.
1-4．【多選】（2024 高一上·河北保定·期末）鐘表在我們的生活中隨處可見，高一某班的同學們在學習了“任
意角和弧度制”后，對鐘表的運行產生了濃厚的興趣，并展開了激烈的討論，若將時針與分針視為兩條線段，
則下列說法正確的是（ ）
A．小趙同學說：“經過了 5 h
5π
，時針轉了 - 6 ．”
7π
B．小錢同學說：“經過了 40 min，分針轉了 - 6 ．”
67π
C．小孫同學說：“當時鐘顯示的時刻為 12:35 時，時針與分針所夾的鈍角為 ．”
72
D．小李同學說：“時鐘的時針與分針一天之內會重合 22 次．”
【答案】ACD
【分析】根據任意角的概念一一計算即可；
2π 5π
【詳解】解：經過了 5 h，時針轉過的角度對應的弧度數為-5 = - ，故 A 正確．
12 6
2π 4π
經過了 40 min，分針轉過的角度對應的弧度數為-8 = - ，故 B 錯誤．
12 3
2π 7 2π 67π
時鐘顯示的時刻為 12:35，該時刻的時針與分針所夾的鈍角為5 + = ，故 C 正確．
12 12 12 72
2π t 2π分針比時針多走一圈便會重合一次，設分針走了 t min，第 n 次和時針重合，則 × - × t = 2πn，得
60 12 60
n 11= t 0 11 t 1440 ，故 nmax = 1440 = 22，故 D 正確．720 720
故選：ACD
1-5．（2024 高一上·全國·課后作業）給出下列說法：①終邊相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第
一象限的角；③ 0° ~ 90°的角是第一象限的角；④小于180°的角是鈍角、直角和銳角.其中錯誤的序號
是 .
【答案】②③④
【分析】根據題意，由任意角的定義對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】①終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍，故正確；
②390°角是第一象限角，120°角是第二象限角，390° > 120° ，故錯誤；
③ 0° ~ 90°的角是指大于等于0°小于90°的角，其中0°角不是象限角，故錯誤；
④小于180°的角還包括零角和負角，故錯誤；
故答案為：②③④
（二）
終邊相同的角
1．一般地，我們有：所有與角a 終邊相同的角，連同角a 在內，可構成一個集合
S = {b | b = a + kg360°，k Z}，即任一與角a 終邊相同的角，都可以表示成角a 與整數個周角的
和．
2．象限角的分類及表示方法如下：
象限角 集合的表示
第一象限
{a | kg360° < a < 90° + kg360°,k Z}
角
第二象限
{a | 90° + kg360° < a < 180° + kg360°,k Z}
角
第三象限
{a |180° + kg360° < a < 270° + kg360°,k Z}
角
第四象限
{a | 270° + kg360° < a < 360° + kg360°,k Z}
角
3．設 S = {b | b = 45° + kg360°,k Z}，顯然，所有與 45°角終邊相同的角都是集合 S 的元素；反過
來，集合 S 中的任何一個元素也都與 45°角的終邊相同．推廣到一般形式有：所有與角a 終邊
相同的角，連同角a 在內，可構成一個集合 S = {b | b = a + kg360°,k Z}，即任一與角a 終邊相同
的角，都可以表示成角a 與整數個周角的和．
4．利用與角a 終邊相同的角的集合，可把任意角 b 轉化成 b = a + kg360°， k Z ， 0° a < 360°
的形式；也可利用與角a 終邊相同的角化簡終邊落在過原點的某一條直線上的角的集合；或利
用與角a 終邊相同的角寫出各象限角和象限界角的集合．
如第一象限角，在 0° ~360 ° 范圍內，第一象限角表示為 0° < a < 90°，然后在兩端加上 kg360°，
k Z ，即可得到第一象限角的集合：{a | kg360° < a < kg360° + 90°， k Z}，其他各象限角同理可
得．
若a 為象限界角，如終邊落在 x軸的負半軸上，代表角為 180 ° ，所以終邊落在 x軸的負半軸上
的角的集合為{a |a = kg360° +180°， k Z}．同理可得其他非象限角的集合．
5.尋求終邊相同的角的方法與技巧
在[0°，360°)范圍內找與給定角終邊相同的角的方法：
(1)一般地，可以將所給的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β<360°，k∈Z)，其中的 β 就是
所求的角．
(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續
加 360°的方式；當所給角是正角時，采用連續減 360°的方式，直到所得結果達到要求為止．　
6．求終邊落在直線上的角的集合的三個步驟
(1)寫出在[0°，360°)范圍內相應的角；
(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；
題型 2：終邊相同的角
2-1．（2024 高一·全國·課堂例題）已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與 x 軸的非負半軸重合，作
出下列各角，指出它們是第幾象限角，并指出在 0° ~ 360°范圍內與其終邊相同的角．
(1) 405°；
(2) -45°；
(3) 495°；
(4) -520°．
【答案】(1) 45°，第一象限角
(2) 315° ，第四象限角
(3)135°，第二象限角
(4) 200°，第三象限角
【分析】先作圖，再根據角的定義求解.
【詳解】（1）
405°角是第一象限角， 405° = 45° + 360°，所以在0° ~ 360°范圍內，與405°角終邊相同的角是 45°角；
（2）
-45°角是第四象限角，-45° = 315° - 360°，所以在0° ~ 360°范圍內，與-45°角終邊相同的角是 315° 角；
（3）
495°角是第二象限角， 495° =135° + 360°，所以在0° ~ 360°范圍內，與 495°角終邊相同的角是135°角；
（4）
-520°角是第三象限角，-520° = 200° - 2 360°，所以在0° ~ 360°范圍內，與-520°角終邊相同的角是 200°
角；
綜上，（1）第一象限，與 45°角終邊相同，（2）第四象限，與 315° 角終邊相同，（3）第二象限，與135°角終
邊相同，（4）第三象限，與 200°角終邊相同.
2-2．（2024 高一上·全國·課后作業）與600o 角終邊相同的角可表示為（ ）
A k ×360o o． + 220 k Z
B． k ×360o + 240o k Z
C k ×360o． + 60o k Z
D o． k ×360 + 260o k Z
【答案】B
【分析】根據600o 角與 240o 角的終邊相同可確定正確的表示方法.
【詳解】Q600o = 360o + 240o ，\600o角與 240o 角的終邊相同，
\與600o 角終邊相同的角可表示為 k ×360o + 240o k Z .
故選：B.
2-3．（2024 高一上·吉林長春·期末）下列各角中，與1850° 角終邊相同的角是（ ）
A． 40° B．50° C．320° D．-400°
【答案】B
【分析】根據1850° = 50o + 5 360o 即可得到答案.
【詳解】對選項 A，1850° - 40o =1810o = 5 360o +10o，故 A 錯誤.
對選項 B，因為1850° - 50o =1800° = 5 360o，故 B 正確.
對選項 C，1850° - 320o =1530o = 4 360o + 90o ，故 C 錯誤.
對選項 D，1850° - -400o = 2250o = 6 360o + 90o ，故 D 錯誤.
故選：B
2-4．（2024 高一·全國·課后作業）若角a 的終邊在函數 y = -x 的圖象上，試寫出角a 的集合為 ．
【答案】{a |a = k ×180° +135°,k Z}
【解析】函數 y = -x 的圖象是第二、四象限的平分線，可以先在0°～360°范圍內找出滿足條件的角，再進
一步寫出滿足條件的所有角，并注意化簡．
【詳解】解：函數 y = -x 的圖象是第二、四象限的平分線，在0°～360°范圍內，以第二象限射線為終邊的
角為135°，以第四象限射線為終邊的角為 315° ，
∴a 的集合為{a |a = k ×360° +135°或a = k ×360° + 315°,k Z} = {a |a = k ×180° +135°,k Z}．
故答案為：{a |a = k ×180° +135°,k Z}．
【點睛】本題考查終邊相同角的表示，角的終邊是以原點為頂點的一條射線，因此當只有角的終邊在直線
上時，要分類討論．由原點把直線分成兩條射線．
2-5．（2024 高一下·山東威海·期末）下列角的終邊與60°角的終邊關于 x 軸對稱的是（ ）
A．660° B．-660° C． 690° D． -690°
【答案】A
【分析】根據已知角，利用周期性寫出終邊相同角，再結合選項判斷即可.
【詳解】由題意知，與60°角的終邊關于 x 軸對稱的角為q = -60° + 360° × k,k Z.
當 k = 2時，q = -60° + 720° = 660°，A 正確.
經驗證，其他三項均不符合要求.
故選：A .
2-6．（2024 高一下·廣西北海·期末）下列各角中，與 2183°角終邊相同的是（ ）
A．-23° B． 23° C．-47° D． 47°
【答案】B
【分析】根據若兩角的終邊相同，則兩角相差為360°的整數倍，即可判斷各選項.
【詳解】對于 B，因為 2183° - 23° = 6 360°，所以角 2183°與角 23°的終邊相同，B 正確；
對于 A，因為 2183° - -23° = 2206°不是360°的整數倍，所以它們的終邊不同，A 錯誤；
對于 C，因為 2183° - -47° = 2230°不是360°的整數倍，所以它們的終邊不同，C 錯誤；
對于 D，因為 2183° - 47° = 2136°不是360°的整數倍，所以它們的終邊不同，D 錯誤.
故選：B.
2-7．（2024 高三·全國·專題練習）若角 α 的頂點為坐標原點，始邊在 x 軸的非負半軸上，終邊在直線 y = - 3x
上，則角 α 的取值集合是
π
【答案】{a |a = kπ - , k Z}
3
【分析】根據斜率得出傾斜角，進而由終邊相同角的性質求解.
2p
【詳解】直線 y = - 3x的傾斜角是 ，所以終邊落在直線 y = - 3x上的角的取值集合為
3
{a |a = kπ π- , k Z}
3
π
故答案為：{a |a = kπ - , k Z}
3
（三）
區域角的表示
1、區域角的寫法可分三步
(1)按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；
(2)由小到大分別標出起始、終止邊界對應的一個角 α，β，寫出所有與 α，β 終邊相同的角；
(3)用不等式表示區域內的角，組成集合．
注：區域角的寫法:
(1)若角的終邊落在一個扇形區域內，寫區域角時，先依逆時針方向由小到大寫出一個區間角，
然后在它的兩端分別加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.
(2)若角的終邊落在兩個對稱的扇形區域內，寫角的范圍時，可以先寫出終邊落在一個扇形區
域內的一個區間角，然后在此區間角的兩端分別加上“k ×180”，并注明“k ∈Z”即可.
題型 3：區域角的表示
3-1 2024 · · a∣k ×180o o o．（ 高一下 山西朔州 期末）集合 a k ×180 + 60 , k Z 中的角所表示的范圍（陰影部分）
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 n 分奇偶討論，結合圖象可得答案.
【詳解】當 k = 2n,n Z時， a∣n ×360o a n ×360o + 60o , k Z ，
當 k = 2n +1,n Z時，｛a | n ×360o +180o a n ×360o + 240o ,k Z} ,所以選項 C 滿足題意.
故選：C.
3-2．（2024 高一·全國·課后作業）寫出終邊落在圖中陰影區域內的角的集合．
(1)
(2)
(1) a k ×360o o o o【答案】 +135 a k ×360 + 300 ,k Z
(2) a k ×180o - 60o < a < k ×180o + 45o ,k Z
【分析】寫出終邊在邊界上的角，結合圖象，利用不等式表示終邊在陰影內的角，注意邊界的虛實.
【詳解】（1）在0° ~ 360° 范圍內，圖中終邊在第二象限的區域邊界線所對應的角為135°，終邊在第四象限的
區域邊界線所對應的角為300°，
o o o o
因此，陰影部分區域所表示的集合為 a k ×360 +135 a k ×360 + 300 ,k Z ；
（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區域表示的角的集合為
a -60o + k ×360o < a < 45o + k ×360o ,k Z = a 2k ×180o - 60o < a < 2k ×180o + 45o ,k Z ，
圖中從第二象限到第三象限陰影部分區域所表示的角的集合為
a 120o + k ×360o < a < 225o + k ×360o ,k Z = a 2k +1 ×180o - 60o < a < 2k +1 ×180o + 45o , k Z ，
因此，陰影部分區域所表示角的集合為
a 2k ×180o - 60o < a < 2k ×180o + 45o ,k Z a 2k +1 ×180o - 60o < a < 2k +1 ×180o + 45o , k Z
= a k ×180o - 60o < a < k ×180o + 45o ,k Z .
3-3．（2024 高一·全國·課堂例題）用弧度分別表示終邊落在如圖（1）（2）所示的陰影部分內（不包括邊界）
的角的集合．（如無特別說明，邊界線為實線代表包括邊界，邊界線為虛線代表不包括邊界）
ìa 2kπ 3π a 2kπ π ,k ü ì π π ü【答案】圖 1 í - < < + Z ；圖 24 3 í
a kπ + < a < kπ + ,k Z
6 2


【分析】（1）根據圖形數形結合寫出角的范圍即可；
（2）根據圖形數形結合寫出角的范圍即可；
3π π
【詳解】（1）225°角的終邊可以看作是-135°角的終邊，化為弧度，即 - ，60°4 角的終邊即 的終邊，3
ì 3π π ü
所以終邊落在陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為 ía 2kπ - < a < 2kπ + ,k Z4 3
．

（2）與（1）類似可寫出終邊落在陰影部分內（不包括邊界）的角的集合為
ì
ía 2kπ
π a 2kπ π+ < < + , k ü ì π π ü Z ía 2kπ + π + < a < 2kπ + π + ,k Z6 2 6 2
ì
= ía kπ
π
+ < a < kπ π ü+ ,k Z ．
6 2
（四）
象限角軸線角的判定
1．象限角：若把角的頂點與原點重合，角的始邊與 x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在
第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．
例如：由于圖（1）中的角 45°， 405° ， -315°都是始邊與 x軸的非負半軸重合，終邊落在第一
象限的角，所以它們都是第一象限角；同理，圖（2）中的角 480° 是第二象限角， -70°， 290°
都是第四象限角．
2．特別地，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．例如， 0°，90°，
-180°， 630° 等，因為它們的終邊落在坐標軸上，所以這些角都不屬于任何一個象限，有的參
考書上稱之為象限界角．
3.象限角的判定方法
(1)根據圖象判定．依據是終邊相同的角的概念，因為在[0°，360°)范圍內的角的終邊與坐標系
中過原點的射線可建立一一對應的關系．
(2)將角轉化到[0°，360°)范圍內．在直角坐標平面內，在[0°，360°)范圍內沒有兩個角終邊是相
同的．
(3)nα 所在象限的判斷方法
確定 nα 終邊所在的象限，先求出 nα 的范圍，再直接轉化為終邊相同的角即可．
α
(4) 所在象限的判斷方法
n
α
已知角 α 所在象限，要確定角 所在象限，有兩種方法：
n
α
①用不等式表示出角 的范圍，然后對 k 的取值分情況討論：被 n 整除；被 n 除余 1；被 n 除
n
余 2；…；被 n 除余 n－1.從而得出結論．
②作出各個象限的從原點出發的 n 等分射線，它們與坐標軸把周角分成 4n 個區域．從 x 軸非
負半軸起，按逆時針方向把這 4n 個區域依次循環標上 1,2,3,4.α 的終邊在第幾象限，則標號為
α α
幾的區域，就是 的終邊所落在的區域．如此， 所在的象限就可以由標號區域所在的象限直觀
n n
地看出．
題型 4：象限角的判定
4-1．【多選】（2024 高一下·河北承德·開學考試）已知a 是銳角，則 （ ）
A．180° +a 是第三象限角 B． 2a 是小于180°的正角
a
C． 2a 是第一或第二象限角 D． 是銳角
2
【答案】ABD
【分析】根據銳角的范圍，直接利用不等式的運算法則即可求解.
【詳解】由題知，
因為a 是銳角，所以0o < a < 90o ，
對于 A：所以180o <180o +a < 270o ，故 A 選項正確；
對于 BC：0o < 2a <180o，故 B 選項正確，C 選項錯誤；
o a
對于 D：0 < < 45o ，故 D 選項正確；
2
故選：ABD.
a a a
4-2．（2024 高一下·河南·期末）已知角a 第二象限角，且 cos = -cos ，則角 是（ ）
2 2 2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
a a cos a cos a【分析】由 是第二象限角，知 在第一象限或在第三象限，再由 = - ，知 cos
a
0，由此能
2 2 2 2
a
判斷出 所在象限．
2
【詳解】因為角a o o o o第二象限角，所以90 + k ×360 < a <180 + k ×360 k Z ，
所以 45o + k ×180o
a
< < 90o + k ×180o k Z ，
2
當 k 是偶數時，設 k = 2n n Z ，則 45o a+ n ×360o < < 90o + n ×360o n Z ，
2
a
此時 為第一象限角；
2
a
當 k 是奇數時，設 k = 2n +1 n Z ，則 225o + n ×360o < < 270o + n ×360o n Z ，
2
a
此時 為第三象限角.；
2
a
綜上所述： 為第一象限角或第三象限角，
2
因為 cos
a
= -cos a ，所以 cos
a
0 a，所以 為第三象限角．
2 2 2 2
故選：C．
4-3．【多選】（2024 高一下·江西新余·開學考試）若a 是第二象限角，則（ ）
-a aA． 是第一象限角 B． 是第一或第三象限角
2
3π
C． +a 是第二象限角 D．2a 是第三象限角或 2a 是第四象限角或 2a 的終邊在 y 軸負
2
半軸上
【答案】BD
p
【分析】由已知可得 + 2kp < a < p + 2kp,k Z，然后逐個分析判斷即可
2
p
【詳解】因為a 是第二象限角，所以可得 + 2kp < a < p + 2kp,k Z．
2
π
對于 A，-π - 2kπ < -a < - 2 - 2kπ, k Z，則
-a 是第三象限角，所以 A 錯誤;
p k a p a a對于 B，可得 + p < < + kp,k Z，當 k 為偶數時， 是第一象限角；當 k 為奇數時， 是第三象限
4 2 2 2 2
角．所以 B 正確;
2π 2kπ 3π 5π 3π對于 C， + < +a < + 2kπ, k Z 2 k +1 π < 3π π，即 2 +a < 2 + 2 k +1 π, k Z，所以 +a 是第一2 2 2
象限角，所以 C 錯誤;
對于 D，π + 4kπ < 2a < 2π + 4kπ, k Z ，所以 2a 的終邊位于第三象限或第四象限或 y 軸負半軸上，所以 D 正
確．
故選：BD．
a
4-4．【多選】（2024 高一下·遼寧撫順·階段練習）如果 α 是第三象限的角，那么 可能是下列哪個象限的角
3
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
a
【分析】先寫出角a 的范圍，再除以3，從而求出 角的范圍，分析即得解
3
a a 2kp +p , 2kp 3p+ 【詳解】 是第三象限的角，則 ÷， k Z，
è 2
a 2 kp p 2 p所以 + , kp +

3 3 3 3 2 ÷
， k Z；
è
a
當 k=3n,n Z ， 2np
p
+ , 2np p+ ÷ ,n Z ，在第一象限；3 è 3 2
當 k=3n +1, n Z
a
， 2np +p , 2np
7p
+ ÷ ,n Z ，在第三象限；3 è 6
當 k=3n + 2, n Z
a
，
2np 5p+ , 2np 11p+ , n Z ，在第四象限；
3 è 3 6 ÷
a
所以 可以是第一、第三、或第四象限角．
3
故選：ACD
a
4-5．（2024 高一下·四川達州·階段練習）已知a 為第二象限角，則 所在的象限是（
2 ）
A．第一或第二象限 B．第二或第三象限
C．第二或第四象限 D．第一或第三象限
【答案】D
【分析】由象限角的定義可得出90o + k ×360o < a <180o + k ×360o k Z a，求出 的取值范圍，對 k 分奇數和
2
a
偶數兩種情況討論，可得出 的終邊所在的象限.
2
o
【詳解】因為a 為第二象限角，則90 + k ×360o < a <180o + k ×360o k Z ，
o o a o
所以， 45 + k ×180 < < 90 + k ×180o k Z ，
2
①當 k 為奇數時，設 k = 2n +1 n Z ，則 45o + 2n +1 ×180o a< < 90o + 2n +1 ×180o k Z ，
2
即 225o + n ×360o
a
< < 270o + n ×360o n Z a，此時 為第三象限角；
2 2
②當 k 為偶數時，設 k = 2n n Z ，則 45o + n ×360o a< < 90o + n ×360o k Z ，
2
a
此時 為第一象限角.
2
a
綜上所述， 為第一或第三象限角.
2
故選：D.
（五）
角度與弧度的互化
1．將角度化為弧度
360 π° = 2π rad；180° = π rad；1° = rad 0.01745 rad．
180
2．將弧度化為角度
2π rad=360 π rad 180 1 rad (180°； = ° ； = )° 57.30° = 57°18 ．
π
3．需記住的特殊角的度數與弧度數的對應值
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 π π π π 2π 3π 5π 3
0 π π 2π
度 6 4 3 2 3 4 6 2
【說明】（1）以弧度為單位表示角時，“弧度”兩字可以省略不寫．如 sin 2 是指 sin（2弧度）； π = 180°
是指 π 弧度 = 180° ．以度為單位表示角時，度就不能省去．
π
（2）以弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少 π 的形式，如無特殊要求，不必把 π 化成小數，如 45° =
4
弧度，不必寫成 45° 0.785 弧度．
（3）弧度制和角度制一樣，都是一種度量角的單位制．弧度制與角度制相比有一定的優點，其一體現在進
位上，角度制在度、分、秒上是六十進制，不便于計算，而弧度制是十進制，給運算帶來了方便；其二體
現在弧長公式與扇形面積公式的表達上，弧度制下的公式比角度制下的公式簡單，運用起來更方便．
（4）用角度制和弧度制來度量零角，雖然單位不同，但數量相同，對于其他非零角，由于單位不同，數量
也就不同了．
π
（5）在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式 π rad = 180° 是關鍵，由它可以得到：角度 = 弧度，弧
180°
180°
度 = 角度．
π
題型 5：弧度制的概念
5-1．（2024 高一·全國·課后作業）下列說法正確的是（ ）
A． 弧度的圓心角所對的弧長等于半徑
B．大圓中 弧度的圓心角比小圓中 弧度的圓心角大
C．所有圓心角為 弧度的角所對的弧長都相等
D．用弧度表示的角都是正角
【答案】A
【詳解】對于 A，根據弧度的定義知，“1 弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故 A 正確；對于 B，大圓中 1
弧度的圓心角與小圓中 1 弧度的圓心角相等，故 B 錯誤；對于 C，不在同圓或等圓中，1 弧度的圓心角所對
的弧長是不等的，故 C 錯誤；對于 D，用弧度表示的角也可以不是正角，故 D 錯誤．
考點：弧度制的概念.
5-2．（2024 高一·全國·課后作業）自行車的大鏈輪有 88 齒，小鏈輪有 20 齒，當大鏈輪逆時針轉過一周時，
小鏈輪轉過的弧度數是（ ）
5p 44p 5p 22p
A． B． C． D．
11 5 22 5
【答案】B
【分析】先求得大鏈輪逆時針轉過一周時，小鏈輪逆時針轉過的周數，然后用這個周數乘以 2π求得小鏈輪
轉過的弧度數.
88
【詳解】由題意，當大鏈輪逆時針轉過一周時，小鏈輪逆時針轉過 周，小鏈輪轉過的弧度是
20
88 44p
2p = .故選 B.
20 5
【點睛】本小題主要考查大鏈輪與小鏈輪轉動周數問題，考查弧度數的計算，屬于基礎題.
題型 6：角度與弧度的互化
6-1．（2024 高一·湖南·課后作業）將下表中的角度和弧度互化：
角度 0° 30° 45° 120° 135° 150° 360°
p p 3p
弧度 p
3 2 2
【答案】答案見解析
p 180°
【分析】由p =180°，得1° = ，1 = ，可對角度和弧度互化.
180 p
【詳解】Q p =180°
\1 p° = 180°，1 =
180 p
故：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
p p p p 2p 3p 5p 3p
弧度 0 p 2 2p6 4 3 2 3 4 6
6-2．（2024 高一·全國·專題練習）把下列角度與弧度進行互化．
(1) 72°；
(2) -300°；
(3) 2；
2π
(4) - .
9
(5) 780°
(6) -1560°
(7) 67.5°
10
(8) - π
3
π
(9)
12
7π
(10)
4
2π
【答案】(1)
5
5π
(2) -
3
360
(3) ÷°
è π
(4) -40°
13π
(5)
3
26
(6) - π
3
3π
(7)
8
(8) -600°
(9)15°
(10) 315°
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的轉化公式解即可得出答案.
π 2π
【詳解】（1）72° = 72° × = .
180° 5
300 π 5π（2）- ° = -300° × = - .
180° 3
2 2 180 360= × ° = （3） π ÷ ÷
° .
è è π
2π 2π 180
（4）- = - × ° = -40° .
9 9 ÷è π
780 780 π 13π（5） ° = °× = .
180° 3
（6）-1560
π 26π
° = -1560° × = - .
180° 3
（7）67.5
π 3π
° = 67.5° × = .
180° 8
10
（8）- π
10 180
= - π × ÷° = -600° .3 3 è π
π π 180
（9） = × ÷° =15°12 12 è π
7π 7π 180
（10） = ×
° = 315° .
4 4 è π ÷
6-3．（2024 高一·全國·課堂例題）把下列各角從度化為弧度：
(1)120°；
(2) 25° ．
2π
【答案】(1) rad
3
17π
(2) rad
120
【分析】根據角度制和弧度制之間的換算關系求解.
π 2π
【詳解】（1）120° =120 rad = rad；
180 3
π 17π
（2） 25°30 = 25.5° = 25.5 rad = rad．
180 120
6-4．（2024 高一下·遼寧·期中）下列與 45°終邊相同角的集合中正確的是（ ）
A． a |a = 2kπ + 45°,k Z ìa |a = k ×360 π° + , k ZüB． í 4
ì
C． ía |a = 2kπ
7
- π, k Zü ì D． ía |a = kπ
π
+ , k Zü
4 4
【答案】C
【分析】根據終邊相同的角分析判斷.
【詳解】因為角度值和弧度制不能混用，故 A、B 錯誤；
因為 45
π π
° = = - 2π 7π= - ，故 C 正確；
4 4 4
π π π
對于選項 D：因為a - = kπ + ÷ - = kπ 2kπ, k Z，4 è 4 4
則a = kπ
π
+ , k Z與 45°終邊不相同，故 D 錯誤；
4
故選：C.
（六）
利用弧度制表示角
1、弧度制下與角 α 終邊相同的角的表示
在弧度制下，與角 α 的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角 α 終邊相同的
角可以表示成 α 加上 2π 的整數倍．
2、根據已知圖形寫出區域角的集合的步驟
(1)仔細觀察圖形；
(2)寫出區域邊界作為終邊時角的表示；
(3)用不等式表示區域角．
用不等式表示區域角的范圍時，要注意角的集合形式是否能夠合并，能合并的要合并．
題型 7：利用弧度制表示角
7-1．（2024 高一下·北京西城·階段練習）已知角a =1200° .
(1)將a 改寫成 b + 2kπ k Z,0 b < 2π 的形式，并指出a 是第幾象限的角；
(2)在區間 -2π,2π 上找出與a 終邊相同的角．
2π
【答案】(1)a = + 6π ，第二象限角
3
2π 4π
(2) 和-
3 3
【分析】（1）根據角度制與弧度制的互化公式進行求解即可；
（2）利用代入法進行求解即可.
a 1200 1200 2π【詳解】（1） = ° = π = + 6π ，
180 3
2π
因為 為第二象限，所以a 是第二象限角；
3
2π
（2）與a 終邊相同的角可以寫出g = + 2kπ,k Z，
3
g 2π由 = + 2kπ -2π,2π ，
3
2π
得當 k = 0時，g = ，
3
4π
當 k = -1時，g = - ，
3
所以在區間 -2π,2π 上與a 2π 4π終邊相同的角為 和- ．
3 3
7-2．（2024 高一·全國·課后作業）將－1485°化成a + 2kp 0 a < 2p ,k Z 的形式是（ ）
π
A． -8π
7 p 7
B． p -8p C． -10p D． p -10p
4 4 4 4
【答案】D
【分析】由360° = 2p rad或180° = p rad轉換．
7 7
【詳解】因為-1485° = -5 360° + 315°，360° = 2p rad，315° = p rad ，所以－1485°可化成 p -10p ．
4 4
故選：D．
7-3．（2024 高一下·江西贛州·期中）已知a = -1520° .
(1)將a 寫成 b + 2kπ k Z,0 b < 2π 的形式，并指出它是第幾象限角；
(2)求與a 終邊相同的角q ，滿足-4π q < 0．
【答案】(1)a =
14 π-10π ，是第四象限角；
9
22
(2)q = - π q
4π
或 = - .
9 9
【分析】（1）利用180° = π ，將角度值化為弧度制，并得到所在象限；
（2）由q = -
4 π + 2kπ(k Z)，根據q 的范圍求出 k 的值，從而可求解.
9
280 14
【詳解】（1）因為a = -1520° = -360° 5 + 280° , 280° = π = π ，
180 9
所以a =
14 π-10π .
9
3π 14
因為 < π < 2π ，所以a 是第四象限角.
2 9
a = 14（2） π-10π = -
4 π + 2π-10π = - 4 π-8π，
9 9 9
所以與a 終邊相同的角可表示為q = -
4 π + 2kπ(k Z) ,
9
令-4π
4
- π + 2kπ 16 2< 0，解得- k < k Z ，
9 9 9
所以 k = -1,0 .
4π 22
當 k = -1時， q = - - 2π = - π ；
9 9
q 4π當 k = 0時， = - .
9
q 22 π q 4π所以 = - 或 = - .
9 9
7-4．（2024 高一上·河北保定·階段練習）寫出一個與角-1280°終邊相同的正角：a = （用弧度數
表示）.
8π 8π
【答案】 （答案不唯一，符合 + 2kπ， k N 即可）
9 9
【分析】終邊相同的角之間相差360ok,k Z或 2kπ,k Z可得答案.
【詳解】與角-1280°終邊相同的角：a = -1280o + 360ok,k Z,
又題目要求正角，\k 4,k Z,\a o
8π
可取160 ，化為弧度數為 .答案不唯一
9
8π 8π
故答案為： （答案不唯一，符合 + 2kπ， k N 即可）
9 9
（七）
弧長公式
1、弧長公式
l
在半徑為 r 的圓中，弧長為 l 的弧所對的圓心角大小為a ，則 a = r ，變形可得
l = a r ，此公式
稱為弧長公式，其中的a 是弧度角．
2、弧度制下有關扇形弧長問題的解題策略
①明確弧度制下扇形弧長公式 l＝|α|r，(其中 l 是扇形的弧長，α 是扇形的圓心角)．
②涉及扇形的周長、弧長、圓心角等的計算，關鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈
活運用弧長公式、扇形面積公式求解．
題型 8：弧長公式及應用
8-1．（2024高一下·重慶長壽·期中）已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數是2，則扇形的周長為 .
【答案】4 2
【分析】根據題意結合扇形的弧長和面積公式運算求解.
r 1【詳解】設扇形的半徑為 ，由題意可得 2 r2 = 2，解得
2 r = 2
，
所以扇形的周長為 2 2 + 2 2 = 4 2 .
故答案為：4 2 .
3π
8-2．（2024 高一下·山東淄博·期中）已知扇形面積 ，半徑是 1，則扇形的周長是（
8 ）
3π 1 3π 2 3π 3πA． + B． + C． + 2 D． +1
16 8 4 2
【答案】C
【分析】根據題意，由扇形的面積公式，代入計算，即可得到結果.
1 3 1 3
【詳解】設扇形的弧長為 l，由扇形的面積公式可得， S = l × r ，即 π = l 1，所以 l = π，
2 8 2 4
3
則扇形的周長為 2r + l = 2 + π .
4
故選：C
3
8-3．（2024 高一上·廣西南寧·開學考試）若扇形的圓心角為120o，半徑 .則它的弧長為 .2
【答案】 π
【分析】利用扇形的弧長公式求解.
o 2π 3
【詳解】因為120 = ，又扇形的圓心角為120o，半徑為 ，3 2
2π 3
所以它的弧長為 l = = π ，
3 2
故答案為： π
8-4．（2024 高一·全國·課堂例題）若扇形的面積是 4cm2，它的周長是10cm，則扇形圓心角（正角）的弧度
數為（ ）
1 π 1 π
A． B． C． D4 ．2 2 4
【答案】A
【分析】設扇形的半徑為 r ，圓心角為a(0 < a < 2π) ，然后根據題意列方程組可求得答案.
ì1
r 2a = 4
【詳解】設扇形的半徑為 r ，圓心角為a(0 < a < 2π) ，由題意，得 í2 ，
2r + ra =10
10 1
由 2r + ra =10得， r = 2，代入 r a = 4，
2 +a 2
得 2a 2
1
-17a + 8 = 0，解得a = 或a = 8（舍去）．2
1
故扇形圓心角的弧度數為 ．
2
故選：A
（八）
扇形的面積公式的應用
1、扇形面積公式
2 l
因為圓心角為 1 rad πr 1的扇形面積為 = r2 ，而弧長為 l 的扇形的圓心角大小為 r rad，所以其2π 2
S l r
2 1 1 1
面積為 = = lr ，將 l = a r 2代入上式可得 S = lr = a r2 2 ，此公式稱為扇形面積公式．r 2 2
2、扇形的面積公式的應用注意點
①在弧度制中的弧長公式及扇形面積公式中的圓心角可正可負．
②看清角的度量制，選用相應的公式．
③扇形的周長等于弧長加兩個半徑長．
題型 9：扇形的面積公式的應用
9-1．（2024 高一上·廣東揭陽·階段練習）已知扇形OAB 的半徑為 r ，弧長為 l，圓心角為a (0 < a < 2p ) .
(1)若扇形OAB 的面積為定值S ，求扇形周長C 的最小值及對應的圓心角a 的值；
(2)若扇形OAB 的周長為定值C ，求扇形面積S 的最大值及對應的圓心角a 的值.
【答案】(1)a = 2時C 的最小值為 4 S ；
(2)a = 2 S C
2
時 的最大值為
16
【分析】（1）用a , S 表示扇形周長C ，再應用基本不等式求其最小值，注意等號成立條件.
（2）用a ,C 表示扇形面積S ，再應用基本不等式求其最大值，注意等號成立條件.
1 l = ar S rl ar
2
【詳解】（ ）由題設， ，又 = = 且C = l + 2r ，
2 2
∴ C 2aS 2 2S 2 2aS 2 2S= + × = 4 S ，當且僅當a = 2時等號成立，
a a
∴a = 2時C 的最小值為 4 S .
aC 2 C 2 C 2 C 2S = = =
（2）由（1）知：C = (a + 2)r ， 2(a + 2)2 2(a 4+ + 4) 2(2 a 4
16 ，
a × + 4)a
2
當且僅當a = 2時，S C的最大值為 .
16
9-2．（2024 高一上·山西長治·期末）已知扇形的周長為 30．
(1)若該扇形的半徑為 10，求該扇形的圓心角a ，弧長 l及面積S ;
(2)求該扇形面積S 的最大值及此時扇形的半徑 .
【答案】(1)a =1， l =10， S = 50；
225 15
(2)
4 ，
.
2
【分析】（1）利用弧長公式，扇形面積公式即得；
S 1 lr 1（2）由題可得 = = 30 - 2r r2 2 ，然后利用基本不等式即求.
【詳解】（1）由題知扇形的半徑 r =10，扇形的周長為 30，
∴ l + 2r = l + 20 = 30，
a = l = 10∴ l =10 1 1， =1， S = lr = 10 10 = 50 .
r 10 2 2
（2）設扇形的圓心角a ，弧長 l，半徑為 r ，則 l + 2r = 30，
∴ l = 30 - 2r ，
2
∴ S 1= lr 1= 30 - 2r r = 15 - r r 15 - r + r 225=
2 2 è 2 ÷ 4
15
當且僅當15 - r = r ，即 r = 取等號，
2
225 15
所以該扇形面積S 的最大值為 4 ，此時扇形的半徑為
.
2
9-3．（2024 高一·全國·課后作業）如圖，點 A, B,C 是圓O上的點.
ACB p(1)若 AB = 4， = ，求劣弧
6 AB
的長；
(2)已知扇形 AOB的周長為8，求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小.
4p
【答案】(1)
3
(2) 2
p
【分析】（1）由圓心角為 可知VAOB 為等邊三角形，由扇形弧長公式可求得結果；
3
（2）設圓O的半徑為 r ，扇形 AOB的弧長為 l，圓心角為a ，可知 2r + l = 8；
1 l
方法一：由 S = l × r ，利用基本不等式可知當 2r = l = 4時，S 取得最大值，由a = 可求得結果；
2 r
S 1方法二：由 = l × r ，將S 表示成關于 r 的二次函數的形式，根據二次函數性質可確定最大值點，由此可得
2
r, l a l，由 = 可求得結果.
r
p p
【詳解】（1）Q ACB = ，\ AOB = 2 ACB = ，又OA = OB，\VAOB 為等邊三角形，
6 3
p 4p
\OA = AB = 4，則劣弧 AB 的長為 ×OA = .3 3
（2）設圓O的半徑為 r ，扇形 AOB的弧長為 l，圓心角為a ，
Q扇形 AOB的周長為8，\2r + l = 8，
S 1 l r 1 l 2r 1 2r + l
2

方法一：扇形面積 = × = × × ÷ = 4（當且僅當 2r = l = 4時取等號），2 4 4 è 2
\ l當扇形面積取得最大值時，圓心角a = = 2 .
r
1 1 2 2
方法二：扇形面積 S = l × r = 8 - 2r × r = -r + 4r = - r - 2 + 4 ，
2 2
則當 r = 2時，S 取得最大值，此時 l = 8 - 2r = 4，
\ l當扇形面積取得最大值時，圓心角a = = 2 .
r
9-4．（2024 高一上·安徽合肥·階段練習）已知扇形的圓心角為a ，所在圓的半徑為 r.
(1)若a = 60°， r = 3，求扇形的弧長 ;
(2)若扇形的周長為16，當a 為多少弧度時，該扇形面積最大 并求出最大面積．
【答案】(1)p
(2)當a = 2時，扇形的面積最大，最大面積是16．
【分析】（1）首先將角度轉化為弧度，然后根據扇形的弧長公式即可得到答案；
1 1
（2）設扇形的弧長為 l，則 l =16 - 2r ，扇形的面積為 S = lr = 16 - 2r r ，由二次函數性質即可得到面積S
2 2
的最大值．
p p
【詳解】（1）設扇形的弧長為 l．Qa = 60°，即a = ， r = 3\l = a r = 3 = p .3 3
（2）由題設條件知， l + 2r =16, l =16 - 2r 0 < r < 8 ,
S 1因此扇形的面積 = lr
1
= 16 - 2r r = -r 2 + 8r = - r - 4 2 +16
2 2
\當 r = 4時，S 有最大值16，此時 l
l
=16 - 2r = 8,a = = 2 ,
r
\當a = 2時，扇形的面積最大，最大面積是16．
一、單選題
2kπ π
1．（2024 高一下·江西吉安·期末）已知角的集合 b = {a |a = - , k Z}，則在 0,2π 內的角有（ ）
3 6
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．5 個
【答案】B
【分析】根據給定條件，解不等式，求出 k 的值即可作答.
0 2kπ π 1【詳解】依題意，解不等式 - < 2π ，得 k
13
< ，而 k Z，因此 k {1,2,3}，
3 6 4 4
所以在 0,2π 內的角有 3 個.
故選：B
2．（2024 高三·全國·專題練習）把-380°表示成q + 2kπ k Z 的形式，則 θ 的值可以是（ ）
π π 8π 8π
A． B．- C． D．-
9 9 9 9
【答案】B
【分析】由于-380° = -20° - 360°，所以轉化為弧度可得答案
∵ -380° = -20° - 360° ∴ -380° = - π【詳解】 ， 9 - 2π rad，
故選：B．
3．（2024 高一下·新疆塔城·階段練習）下列說法中正確的是（ ）
A．銳角是第一象限角 B．終邊相等的角必相等
C．小于90o的角一定在第一象限 D．第二象限角必大于第一象限角
【答案】A
【分析】利用角的定義一一判定即可.
【詳解】銳角是指大于0o 小于90o的角，故其在第一象限，即 A 正確；
選項 B．終邊相等的角必相等，兩角可以相差360o整數倍，故錯誤；
選項 C．小于90o的角不一定在第一象限，也可以為負角，故錯誤；
選項 D．根據任意角的定義，第二象限角可以為負角，第一象限角可以為正角，此時第二象限角小于第一象
限角，故錯誤.
故選：A
4．（2024 高一下·四川眉山·期中）已知扇形的半徑為 1，圓心角為60o，則這個扇形的弧長為（ ）
π π 2π
A． B． C． D．60
6 3 3
【答案】B
【分析】根據扇形的弧長公式計算即可.
【詳解】易知60o
π π π
= ，由扇形弧長公式可得 l = 1 = .
3 3 3
故選：B
5．（2024 高三上·湖南·階段練習）已知一扇形的圓心角為 40°，半徑為 9，則該扇形的面積為（ ）
A．9π B．12π C．18π D．36π
【答案】A
1 2
【分析】先把角度轉化為弧度，根據弧度制下扇形的面積公式 S = a × r 即可求解.
2
π
【詳解】因為 40° = 40 rad ，
180
1 π 2
所以該扇形的面積為 S = 40 9 = 9π ．
2 ֏180
故選：A
6．（2024 高一上·全國·課后作業）與 405°角終邊相同的角是（ ）
A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z
C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
【答案】C
【分析】首先在[0°,360°]內找到與 405°角終邊相同的角，即可得答案.
【詳解】解：∵405°＝360°＋45°，
∴與 405°終邊相同的角是 k·360°＋45°，k∈Z.
故選：C
5π
7．（2024 高一·全國·課堂例題） 化為角度是（ ）
12
A．60° B．75° C．115° D．135°
【答案】B
【分析】根據弧度化角度公式直接求解即可.
5π 5
【詳解】 = 180° = 75° .
12 12
故選：B
1
8．（2024 高一上·吉林長春·期末）設 r 為圓的半徑，弧長為 p r 的圓弧所對的圓心角為（ ）2
A．90o B．180o C． 270o D．360o
【答案】A
【分析】根據弧長、圓心角、半徑的關系 l = ar ，代入求解，再轉化為角度制即可.
【詳解】由弧長、圓心角、半徑的關系： l = ar ，
1 1 πr
弧長為 πr 的圓弧所對的圓心角： l
2 a = = 2
1
= π = 90o .
r r 2
故選：A.
9．（2024 高一·全國·課后作業）若a = -5rad ，則角a 的終邊在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】判斷a = -5rad 所處的范圍，即可得答案.
【詳解】由于-2p 5
3p
< - < - ，
2
故角a 的終邊在第一象限，
故選：A
10．（2024 高一上·湖南永州·期末）玉雕在我國歷史悠久，玉雕是采用傳統的手工雕刻工藝加工生產成的玉
雕工藝.某扇環形玉雕（扇環是一個圓環被扇形截得的一部分）尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕的面
積為（ ）
A．2700cm2 B．3500cm2 C． 4300cm2 D． 4800cm2
【答案】A
【分析】利用扇形的面積公式，利用大扇形面積減去小扇形面積即可得解．
【詳解】如圖，設 AOB = a ，OB = r ，
ì60 = ar
由弧長公式可得 í
120 = a (r + 30)
，
解得a = 2， r = 30，
設扇形COD，扇形 AOB的面積分別為 S1， S2，
1 1 2
則該壁畫的扇面面積約為 S1 - S2 = 120 (30 + 30) - 60 30 = 2700(cm )2 2 ．
故選：A
a
11．（2024 高一·全國·課后作業）若a 是第三象限角，則 所在的象限是（
2 ）
A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；
C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．
【答案】D
a
【分析】根據a 是第三象限角的范圍，可判斷 所在的象限.
2
【詳解】因為a
3p
為第三象限角, 即 2kp + p < a < 2kp + (k Z) ,
2
kp p a所以, + < < kp
3p
+ (k Z) ,
2 2 4
a
當 k 為奇數時, 是第四象限的角;
2
a
當 k 為偶數時, 是第二象限的角.
2
故選:D.
12．（2024 高一下·江西撫州·期中）扇面書畫在中國傳統繪畫中由來已久，最早關于扇面書畫的文獻記載，
是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發展到明清時期，折扇扇面畫開始逐漸地成為主流，如圖，該折扇扇面畫
的外弧長為 48，內弧長為 28，且該扇面所在扇形的圓心角約為 120°，則該扇面畫的面積約為（ ）（參考
數據： π 3）
A．990 B．495 C．380 D．300
【答案】C
【分析】利用圓心角和弧長，算出外弧和內弧所在圓的半徑，代入扇形面積公式計算該扇面畫的面積.
【詳解】如圖，
2π
設該扇面畫的外弧所在圓的半徑為R，弧長為 l2 = 48，內弧所在圓的半徑為 r，弧長為 l1 = 28，則 l2 = R = 48，3
R 72 l 2π= ， 1 = r = 28
42
， r = ，
π 3 π
1 l R 1 l r 1 48 72 1 28 42 1140所以扇面畫的面積約為 2 - 1 = - = 380 .2 2 2 π 2 π π
故選：C.
13．（2024 高一下·上海黃浦·期中）已知q 是第一象限角，那么（ ）
q q
A． 是第一、二象限角 B． 是第一、三象限角
2 2
q q
C． 是第三、四象限角 D． 是第二、四象限角
2 2
【答案】B
q
【分析】由q 是第一象限角，可得 k ×360° < q < 90° + k ×360°， k Z，進而得到 k ×180° < < 45° + k ×180°，
2
k Z，進而求解.
【詳解】因為q 是第一象限角，
所以 k ×360° < q < 90° + k ×360°， k Z，
所以 k ×180
q
° < < 45° + k ×180°， k Z，
2
q
當 k 為偶數時， 是第一象限角，
2
q
當 k 為奇數時， 是第三象限角，
2
q
綜上所述， 第一、三象限角.
2
故選：B.
14．（2024 高一下·湖南長沙·期末）某圓臺的側面展開圖為如圖所示的扇環（實線部分），已知該扇環的面積
為 π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為 1 和 2，則扇環的圓心角a 的大小為（ ）
π 3π 5π 2π
A． B． C． D．
2 4 6 3
【答案】D
【分析】根據題意，結合扇形的面積公式，列出方程，即可求求解.
【詳解】由該扇環的面積為 π，兩段圓弧所在圓的半徑分別為 1 和 2，
1 a 22 1 a 12 π 2π可得 - = ，解得a = ，
2 2 3
2π
即扇環的圓心角a 的大小為 .
3
故選：D.
ì π π ü
15．（2024 高三上·貴州貴陽·期末）已知集合 A = ía 2kπ + a 2kπ + ,k Z ，
4 2
B ìa kπ π a kπ π= í + + , k Z
ü
，則（ ）
4 2


A． A B B．B A C． A = B D． AI B =
【答案】A
【分析】根據角的范圍及集合的關系即可判斷.
k 2n,n Z B ìa 2nπ π π【詳解】當 = 時， = í + a 2nπ + ,k Z
ü
= A，
4 2
π
當 k = 2n +1,n Z時，B =
ì
ía 2nπ + π + a 2nπ + π
π
+ ,k Zü
4 2
，

所以 A B .
故選：A
16．（2024 高二上·浙江·開學考試）一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個圓（半徑為 1cm）的圓周上爬動，且兩
只螞蟻均從點 A(1,0) π同時逆時針勻速爬動，紅螞蟻以 rad / s π的速度爬行，黑螞蟻以 rad / s 的速度爬行，
4 12
則 2 秒鐘后，兩只螞蟻之間的直線距離為（ ）
π π
A．1 B． 2 - 3 C． D．3 6
【答案】A
【分析】作圖利用單位圓解幾何圖形即可.
【詳解】
π
如圖所示，紅螞蟻以 rad / s
π
的速度爬行，黑螞蟻以 rad / s 的速度爬行，
4 12
π π
則 2 秒鐘后，紅螞蟻繞圓的角度為 ，到達 B 處，黑螞蟻繞圓的角度為 ，到達 C 處，
2 6
此時 BOC
π
= - π π= ，即VBOC 為正三角形，故BC = OB =1 .
2 6 3
故選：A
ì π π ü
17．（2024 高三·全國·專題練習）集合 ía kπ + a kπ + ,k Z4 2
中的角所表示的范圍(陰影部分)是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】對 k 分奇偶，結合終邊相同的角的定義討論判斷即可
【詳解】當 k = 2n(n Z)時，2nπ
π π
+ a 2nπ + ,n π π Z ，此時a 表示的范圍與 a 表示的范圍一樣；
4 2 4 2
當 k = 2n +1(n Z)
π
時，2nπ + π + a 2nπ
π π π
+ π + ,n Z，此時a 表示的范圍與 + π a + π 表示的范圍
4 2 4 2
一樣，
故選：C．
18．（2024 高一·全國·課前預習）經過 2 個小時，鐘表的時針和分針轉過的角度分別是（ ）.
A．60°，720° B．－60°，－720°
C．－30°，－360° D．－60°，720°
【答案】B
【分析】根據旋轉方向確定角的正負，由旋轉的大小確定角的絕對值，即可得解.
【詳解】鐘表的時針和分針都是順時針旋轉，因此轉過的角度都是負的，
2
而 ×360°＝60°，2×360°＝720°，
12
故鐘表的時針和分針轉過的角度分別是－60°，－720°.
故選：B
19．（2024 高一上·湖北襄陽·期末）已知一個扇形的周長為 8，則當該扇形的面積取得最大值時，圓心角大
小為（ ）
π π 3
A． B． C． D．2
6 4 2
【答案】D
【分析】根據扇形面積公式及其基本不等式求出扇形面積取得最大值時的扇形半徑和弧長，利用弧度數公
式即可求出圓心角.
【詳解】設扇形的半徑為 r ，弧長為 l，由已知得 2r + l = 8，
1 1 é 4 - r
2
+ rù
扇形面積為 S = lr = 8 - 2r r = 4 - r r = 4 ，
2 2 4
l
當且僅當 4 - r = r ，即 r = 2時等號成立，此時 l = 4，則圓心角a = = 2，
r
故選：D.
π
20．（2024 高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知扇形弧長為 ，圓心角為 2，則該扇形面積為（ ）
3
π2 π2 πA． B． C． D．1
18 36 3
【答案】B
π
【分析】設扇形所在圓的半徑為 r ，根據題意求得 r = ，結合扇形的面積公式，即可求解.
6
【詳解】設扇形所在圓的半徑為 r ，
π π π
因為扇形弧長為 ，圓心角為 2，可得 2r = ，可得 r = ，
3 3 6
S 1 lr 1 π π π
2
由扇形的面積公式，可得 = = = .
2 2 3 6 36
故選：B.
21．（2024 高一上·甘肅定西·期末）下列各角中，與 43o角終邊重合的是（ ）
A．137o B．143o C．-317o D．-343o
【答案】C
【分析】根據角的終邊相同的集合判斷選擇即可.
【詳解】與 43o o o角終邊重合的角為：a = 43 + k ×360 k Z ，則當 k = -1時，a = -317o ，故 C 正確.
經檢驗，其他選項都不正確.
故選：C.
22．（2024 高一下·山東濰坊·階段練習）數學中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形
的畫法如下：先畫等邊三角形 ABC ，再分別以點 A, B,C 為圓心，線段 AB 長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三
π
角形（如圖所示）.若萊洛三角形的周長為 ，則其面積是（ ）
2
A π - 2 B π + 3． ． C π - 3 π + 3． D．
4 8 8 4
【答案】C
【分析】根據圖形分析，利用扇形面積和三角形的面積公式，即可求解.
π
【詳解】萊洛三角形的周長為 ，可得弧長 AB = B C = AC
π
= ，
2 6
π
AB BC AC 6 1則等邊三角形的邊長 = = = π = ，2
3
分別以點 A、B、C 為圓心，圓弧 AB, BC, AC
1 π 1 π
所對的扇形面積均為 = ，
2 6 2 24
1 1 3 3
等邊VABC 的面積 S = = ，
2 2 4 16
π 3 π - 3
所以萊洛三角形的面積是3 - 2 = .
24 16 8
故選：C.
23．（2024 高一下·山東威海·期末）古希臘地理學家埃拉托色尼從書中得知，位于尼羅河第一瀑布的塞伊尼
（現在的阿斯旺，在北回歸線上）記為A ，夏至那天正午，陽光直射，立桿無影；同樣在夏至那天，他所
在的城市——埃及北部的亞歷山大城記為 B ，測得立桿與太陽光線所成的角約為7.2° .他又派人測得A ，B 兩
地的距離 AB =800 km，平面示意圖如圖，則可估算地球的半徑約為（ ）（ π 3.14）
A．7260 km B． 6870 km C． 6369 km D．5669 km
【答案】C
【分析】利用圓的性質及周長公式即可求解.
【詳解】設地心為O，依題意可得， AOB = 7.2o， AB =800，
設地球的周長為C ，半徑為 R ，
7.2 800 800 800 360
則 360 = C = 2πR ，所以 R = 2π 7.2 6369 km.
故選：C
二、多選題
7π
24．（2024 高一下·遼寧鞍山·期末）若角a 的終邊與角 的終邊關于 x 軸對稱，且a -2π,2π ，則a 的值
12
可能為（ ）
7π 19π 19π 17π
A．- B．- C． D．
12 12 12 12
【答案】AD
a 7π【分析】寫出 = - + 2kπ， k Z ，再根據其范圍即可得到答案.
12
【詳解】因為角a
7π
的終邊與角 的終邊關于 x 軸對稱，
12
7π
所以a = - + 2kπ， k Z ，
12
又因為a -2π,2π 7π，所以當 k = 0時，a = - ，
12
17π
當 k =1時，a = .
12
故選：AD.
25．（2024 高一上·全國·課后作業）下列說法，不正確的是（ ）
A．三角形的內角必是第一、二象限角
B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等
C．鈍角比第三象限角小
D．小于 180°的角是鈍角、直角或銳角
【答案】ACD
【分析】利用任意角，和象限角概念分析不同的選項，即可得出答案.
【詳解】由題意，
A 中，
90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，
故 A 錯誤；
B 中，
始邊相同而終邊不同的角一定不相等，
故 B 正確；
C 中，
鈍角大于-100°的角，而-100°的角是第三象限角，
故 C 錯誤；
D 中，
零角或負角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，
故 D 錯誤．
故選：ACD.
26．（2024 高一·全國·課堂例題）下列各角中，與角 495°終邊相同的角為（ ）
3π 5π 9π 13π
A． B．- C．- D．
4 4 4 4
【答案】AB
3π 3p
【分析】由 495° = 360° +135
3π
°，135° = ，得與 終邊相同的角為a = + 2kp ， k Z4 ，逐一判斷各選項4 4
即可.
【詳解】對于 A， 495° = 360° +135°，135
3π
° =
4 ，故
A 正確；
3π 3p 5π
對于 B，與 終邊相同的角為a = + 2kp ， k Z ，當 k = -1時，a = - ，故 B 正確；
4 4 4
3π 9π 3
對于 C，令 + 2kπ = - ，解得 k = - Z，故 C 錯誤；
4 4 2
3π
對于 D，令 + 2kπ
13π k 5= ，解得 = Z ，故 D 錯誤．
4 4 4
故選：AB.
27．（2024 高一上·山東臨沂·期末）已知a
a
為第四象限角，則 可能為（
3 ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BCD
2kπ π a 2kπ
【分析】寫出角a 的范圍，求得 - < < ,k Z ，討論 k = 3n, n Z， k = 3n +1,n Z ，
3 6 3 3
k = 3n + 2, n Z，即可求得答案.
π
【詳解】由題意知a 為第四象限角，則 2kπ - < a < 2kπ,k Z ,
2
2kπ π a 2kπ
則 - < < ,k Z ，
3 6 3 3
當 k = 3n, n Z 2nπ
π a a
時， - < < 2nπ, n Z， 為第四象限角，
6 3 3
當 k = 3n +1,n Z 2nπ+
π a
時， < < 2nπ+
2π ,n a Z， 為第二象限角，
2 3 3 3
當 k = 3n + 2, n Z時， 2nπ+
7π a 4π
< < 2nπ+ , n Z a， 為第三象限角，
6 3 3 3
a
即 可能為第二、三、四象限角，不可能為第一象限角，
3
故選：BCD
28．（2024 高一下·遼寧營口·階段練習）與-457o角終邊相同的角的集合是（ ）
A a a = k ×360o． - 457o ,k Z B． a a = k ×360o + 97o ,k Z
C． a a = k ×360o + 263o , k Z D． a a = k ×360o - 263o ,k Z
【答案】AC
【分析】根據終邊相同的角的定義直接求解即可.
o o
【詳解】與-457o終邊相同的角可寫為：a = k ×360 - 457 k Z ，
Q97o k ×360o - 457o k Z ， 263o = 2 360o 457o -263o- ， k ×360o - 457o k Z ，
\ o o與-457o角終邊相同的角的集合為： a a = k ×360 - 457 ,k Z ，A 正確； a a = k ×360o + 263o , k Z ，C
正確.
故選：AC.
29．（2024 高一下·四川南充·階段練習）已知三角形 ABC 是邊長為 2的等邊三角形.如圖，將三角形 ABC 的
頂點A 與原點重合. AB 在 x 軸上，然后將三角形沿著 x 軸順時針滾動，每當頂點A 再次回落到 x 軸上時，將
相鄰兩個A 之間的距離稱為“一個周期”，給出以下四個結論，其中說法正確的是（ ）
A．一個周期是6
B．完成一個周期，頂點A 的軌跡是一個半圓
8π
C．完成一個周期，頂點A 的軌跡長度是
3
8π
D．完成一個周期，頂點A 的軌跡與 x 軸圍成的面積是 + 3
3
【答案】ACD
1
【分析】根據已知可作出頂點A 的運動軌跡，可知軌跡為兩個 圓，結合圖象可知 A 正確，B 錯誤；結合圓
3
的周長和面積求法可求得軌跡長度和圍成區域面積，知 CD 正確.
【詳解】由已知可得：點A 一個周期的運動軌跡如圖所示，
對于 A，當A 再次回落到 x 軸上時，發生了6 個單位的位移，則一個周期為6 ，A 正確；
1 1
對于 B，完成一個周期，頂點A 的軌跡由以C 為圓心， 2為半徑的 圓和以 B 為圓心， 2為半徑的 圓共同
3 3
組成，不是一個半圓，B 錯誤；
1 8π
對于 C，由 B 知，頂點A 的軌跡為 2 2π 2 = ，C 正確；
3 3
1
對于 D，頂點A 的軌跡與 x 軸圍成的區域面積為兩個 圓的面積與VABC 的面積之和，
3
即所求面積為 2 1 π 22 1+ 22 3 8π = + 3 ，D 正確.
3 2 2 3
故選：ACD.
三、填空題
30．（2024 高一上·全國·課后作業）若角 α＝30°，把角 α 逆時針旋轉 20°得到角 β，則 β＝ .
【答案】50°
【分析】根據任意角的概念計算可得到結果.
【詳解】因為由a 逆時針旋轉得到 b ，所以 b = 30o + 20o = 50o .
故答案為：50o
31．（2024 高一上·北京昌平·期末）如圖，半徑為 1 的圓 M 與直線 l 相切于點 A，圓 M 沿著直線 l 滾動．當
3π
圓 M 滾動到圓M 時，圓M 與直線 l 相切于點 B，點 A 運動到點 A ，線段 AB 的長度為 ，則點M 到直
2
線BA 的距離為 ．
2 1
【答案】 / 2
2 2
3
【分析】根據條件可得圓旋轉了 圓周，作圖可得到VA M B是等腰直角三角形，進而可求得M 到BA 的距
4
離．
【詳解】根據條件可知圓周長為 2π，
∵ AB
3π 3 3
= = 2π ，故可得圓旋轉了 圓周， A 位置如圖：
2 4 4
則 A M B = 90o ，則VA M B是等腰直角三角形，
則M 到BA 2 2的距離d = r = ，
2 2
2
故答案為： ．
2
32．（2024 高一下·上海奉賢·期中）已知半徑為 2的扇形的圓心角為90o，則扇形的面積為 ．
【答案】 π
【分析】根據弧度制的定義，求得弧長，根據扇形的面積公式，可得答案.
π
【詳解】因為半徑 r = 2扇形的圓心角為90o，則圓心角a = ，
2
l ar π 1所以弧長 = = 2 = π，面積 S = rl = π .
2 2
故答案為： π .
a
33．（2024 高一上·全國·課后作業）已知角a 的終邊在如圖所示的陰影區域內，則角 的取值范圍是 ．
2
ìa 15 k 90 a 52.5 k 90 , k Zü【答案】 í ° + × ° < ° + × ° 2 2
【分析】根據圖形先求出終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合和終邊在180° - 75° =105°角的終邊所在
a
直線上的角的集合，從而可求出角a 的取值范圍，進而可求得 的取值范圍
2
【詳解】終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為 S1 = a a = 30° + k ×180°, k Z ，
終邊在180° - 75° =105°角的終邊所在直線上的角的集合為 S2 = a a =105° + k ×180°, k Z ，
因此終邊在題圖中的陰影區域內的角a 的取值范圍是 a 30° + k ×180° a <105° + k ×180°, k Z ，
a ìa a ü
所以角 的取值范圍是 í 15° + k ×90° < 52.5° + k ×90°, k Z2 2 2
，

ìa
故答案為： í 15° + k 90
a 52.5 k 90 , k Zü× ° < ° + × °
2 2
34．（2024 高一上·江蘇·課后作業）時鐘走了 3 小時 20 分，則時針所轉過的角的度數為 ，分針轉過的
角的度數為 ．
【答案】 -100° -1200°
【分析】根據時針每小時轉30°，分針每小時轉360°，時針、分針都按順時針方向旋轉，結合角的定義即可
求解.
【詳解】因為時針每小時轉30°，分針每小時轉360°，
又因為時針、分針都按順時針方向旋轉，
1
故時針轉過的角度數為-3 30° = -100°，
3
1
分針轉過的角度數為-3 360° = -1200°．
3
故答案為：-100°；-1200°
35．（2024 高一上·浙江金華·期末）親愛的考生，我們數學考試完整的時間是 2 小時，則從考試開始到結束，
鐘表的分針轉過的弧度數為 .
【答案】-4p
【分析】根據角的概念的推廣即可直接求出答案.
【詳解】因為鐘表的分針轉了兩圈，且是按順時針方向旋轉，所以鐘表的分針轉過的弧度數為-4p .
故答案為：-4p .
36．（2024 高一上·江蘇常州·期末）工藝扇面是中國書畫的一種常見表現形式.某班級想用布料制作一面如圖
2π
所示的扇面，已知扇面展開的中心角為 ，外圓半徑為 40cm，內圓半徑為 20cm，那么制作這樣一面扇面
3
至少需要用布料為 cm2
【答案】400π
【分析】由扇形的面積公式計算即可得到答案.
【詳解】解：根據題意，由扇形的面積公式可得：
1 2π 1 2π
制作這樣一面扇面需要的布料為 40 40 - 20 20 = 400π .
2 3 2 3
故答案為：400π
37．（2024 高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花樓被譽為“松江最美的一座樓”，該建筑內有很多精
美的磚雕，磚雕是我國古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統磚墻精致細膩、氣韻生動、極富書卷
π
氣．如圖是一扇環形磚雕，可視為扇形 OCD 截去同心扇形 OAB 所得部分，已知 AD=1m，弧 AB = 3 m，
CD = 2π弧 3 m，則此扇環形磚雕的面積為 m
2．
π
【答案】
2
【分析】根據弧長公式和扇形的面積公式可求出結果.
C D AB
【詳解】設圓心角為a ，則a = = ，
OD OA
2π π
所以 3 = 3 ，解得OA =1 m，所以OD = 2m ，
OA +1 OA
1 1
所以此扇環形磚雕的面積為 ×C D ×OD - AB ×OA
2 2
1 2π 1 π π
= 2 - 1 = m2 .2 3 2 3 2
π
故答案為：
2
38．（2024 高三上·山西晉中·階段練習）圓心角為 2 的扇形的周長為 4，則此扇形的面積為 .
【答案】1
【分析】根據弧長公式結合面積公式計算即可.
1
【詳解】設扇形的半徑為 r ，弧長為 l，則 l + 2r = 4，又 l = 2r ，所以 r =1，l =2，扇形的面積 S = l × r =1.
2
故答案為：1.
39．（2024 高一下·廣東廣州·階段練習）《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給
1
出計算弧田面積所用的經驗公式為：弧田面積＝ (弦×矢＋矢 2 )．弧田是由圓弧及其所對的弦所圍成．公式
2
2π
中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為 ，半徑等于 4 米的弧田，
3
按照上述經驗公式計算所得弧田面積最接近的整數是 ．
【答案】9
【分析】設弧田的圓心為O，弦為 AB ，C 為 AB 中點，連OC 交弧于D，在RtVAOC 中，求出半徑OA及
OC ，求出弦 AB，即可求出結論．
【詳解】設弧田的圓心為O，弦為 AB ，C 為 AB 中點，連OC 交弧于D，如圖所示，
2π
由題意可得∠AOB＝ ，OA＝4，
3
π π
在 Rt△AOC 中，易得∠AOC＝ ，∠CAO＝ ，
3 6
1 1
OC＝ OA＝ 4 = 2，可得矢＝4－2＝2，
2 2
π
由 AC＝OA sin 4 3＝ = 2 3 ，可得弦 AB＝2AC＝
3 4 3
，
2
1
所以弧田面積＝ ×(
2 4 3 2 + 2
2 )＝ 4 3 + 2，
169 3 192 196 13 14 17因為 < = < ，則 < 3 < ，從而 < 4 3 + 2 < 9，
64 64 64 8 8 2
因此，所得弧田面積最接近的整數是 9.
故答案為：9.
40．（2024 高一·全國·課后作業）已知﹣990°＜α＜﹣630°，且 α 與 120°角終邊相同，則 α= ．
【答案】﹣960°．
【詳解】試題分析：α 與 120°角終邊相同，可表示為 α=k 360°+120°，k∈Z，結合角的范圍，可得結論．
解：α 與 120°角終邊相同，∴α=k 360°+120°，k∈Z．
∵﹣990°＜k 360°+120°＜﹣630°，
∴﹣1110°＜k 360°＜﹣750°．又 k∈Z，
∴k=﹣3，此時 α=（﹣3）×360°+120°=﹣960°．
故答案為﹣960°．
點評：本題考查終邊相同的角，考查學生的計算能力，屬于基礎題．
四、解答題
41．（2024 高一下·浙江寧波·階段練習）已知一扇形的圓心角為a a > 0° ，周長為C ，面積為S ，弧長為 l ,
所在圓的半徑為 r ．
(1)若a = 30°， r = 8，求扇形的弧長；
(2)若C =16， S =16，求扇形的半徑和圓心角．
【答案】(1)
4π
3
(2) 360
o
扇形半徑為 4，圓心角為
π
【分析】（1）直接用扇形的弧長公式求解；
（2）根據條件列方程組可得弧長和半徑，進而可得圓心角.
【詳解】（1）由已知得 l = 8 30
π 4π
= ；
180 3
ìC = 2r + l =16
ìr = 4
（2）由已知得 í 1 ，解得
S = lr
í
=16 l = 8 2
a l 180 8 180 360
°
\ = = = ，
r π 4 π π
4 360
°
即扇形的半徑為 ，圓心角為 .
π
42．（2024 高一·全國·課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．
【答案】（1） b∣b = -45° + n ×180°, n Z ；（2） b∣b = 45° + n ×90°, n Z
【分析】（1）首先求得在0° ~ 360°范圍內，終邊在直線 y = -x 上的角有兩個，即135°和 315° ，從而即可得
答案；
（2）求出終邊在直線 y = x 上的角的集合，然后和終邊在直線 y = -x 上的角的集合取并集即可得答案.
【詳解】（1）由題圖易知，在0° : 360°范圍內，終邊在直線 y = -x 上的角有兩個，即135°和 315° ，
因此，終邊在直線 y = -x 上的角的集合為
S = b∣b =135° + k ×360°,k Z U b∣b = 315° + k ×360°, k Z
= b∣b = -45° + (2k +1) ×180°,k Z U b∣b = -45° + 2(k +1) ×180°, k Z
= b∣b = -45° + n ×180°, n Z ；
（2）同理可得終邊在直線 y = x 上的角的集合為
b | b = 45° + k ×180°,k Z = b | b = 45° + 2k ×90°, k Z ，
終邊在直線 y = -x 上的角的集合為 S = b∣b = -45° + n ×180°,n Z
= b | b = -45° + 2k ×90°,k Z = b | b = 45° + (2k -1) ×90°, k Z ，
所以終邊在直線 y = x 上和在直線 y = -x 上的角的集合為
S = b | b = 45° + 2k ×90°, k Z b | b = 45° + (2k -1) ×90°, k Z
= b | b = 45° + n ×90°,n Z .
a
43．（2024 高一·全國·課堂例題）若角a 是第二象限角，試確定角 2a ， 是第幾象限角．
3
【答案】2
a
a 可能是第三象限角、第四象限角或終邊在 y 軸非正半軸上的角； 可能是第一象限角、第二象
3
限角或第四象限角
a
【分析】根據象限角的表示方法，得到 2a 和 的表示，進而判定其象限，得到答案.
3
【詳解】因為a 是第二象限角，所以90° + k ×360° < a <180° + k ×360°(k Z)，
可得180° + 2k ×360° < 2a < 360° + 2k ×360°,k Z，
所以 2a 可能是第三象限角、第四象限角或終邊在 y 軸非正半軸上的角．
又由 k ×120
a
° + 30° < < k ×120° + 60°,k Z，
3
當 k = 3n, k Z時， n ×360° + 30
a a
° < < n ×360° + 60°, k Z，此時 是第一象限角；
3 3
當 k = 3n +1,k Z時， n ×360° +150
a
° < < n ×360° +180°, k a Z，此時 是第二象限角；
3 3
當 k = 3n + 2, k Z時， n ×360
a
° + 270° < < n ×360° + 300°, k Z a，此時 是第四象限角．
3 3
a
綜上所述， 可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
3
44．（2024 高一下·河南駐馬店·階段練習）用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內（不包括邊界）的角
的集合.
ìa 2kπ 3π π π p【答案】（1） í - < a < 2kπ + ,k Z
ü ì
；（2） ía nπ + < a < nπ + , n Z
ü
4 3 6 2
【分析】根據給定的圖形，直接寫出角的集合表示作答.
ì 3π π ü
【詳解】（1） ía 2kπ - < a < 2kπ + ,k Z4 3
；

ì π π
（2） ía 2kπ + < a < 2kπ + , k Z
ü ì
ía 2kπ π
π
+ + < a < 2kπ + π π+ ,k Zü
6 2

6 2
ìa nπ π a nπ p= üí + < < + , n Z .
6 2
45．（2024 高一·全國·課前預習）在直角坐標系中寫出下列角的集合：
(1)終邊在 x 軸的非負半軸上；
(2)終邊在 y = x x 0 上．
【答案】(1) a a = k ×360°,k Z ；
(2) a a = k ×360° + 45°, k Z .
【分析】(1)在 0°～360°內求出終邊在 x 軸的非負半軸上的角，再直接寫出角的集合.
(2) 在 0°～360°內求出終邊在 y = x x 0 上的角，再直接寫出角的集合.
【詳解】（1）在 0°～360°范圍內，終邊在 x 軸的非負半軸上的角有一個，它是 0°，
所以終邊落在 x 軸的非負半軸上的角的集合為 a a = k ×360°,k Z .
（2）在 0°～360°范圍內，終邊在 y=x(x≥0)上的角有一個，它是 45°，
所以終邊在 y=x(x≥0)上的角的集合為 a a = k ×360° + 45°, k Z .
46．（2024 高一·全國·課后作業）寫出終邊在如圖所示的直線上的角的集合．
【答案】答案見解析
【分析】首先確定 0°～360°范圍內終邊在所給直線上的兩個角，然后分別寫出與兩個角終邊相同的角的集
合，最后寫出兩個集合的并集即可.
【詳解】（1）在 0°～360°范圍內，終邊在直線 y＝0 上的角有兩個，即 0°和 180°，
又所有與 0°角終邊相同的角的集合為 S1={β |β=0°+ k·360°，k Z}，
所有與 180°角終邊相同的角的集合為 S2 ={β |β =180°+k×360°，k Z}，
于是，終邊在直線 y＝0 上的角的集合為 S=S1 S2 ={β |β=k·180°，k Z}．
（2）由圖形易知，在 0°～360°范圍內，終邊在直線 y＝－x 上的角有兩個，即 135°和 315°，
因此，終邊在直線 y＝－x 上的角的集合為
S={β |β=135°+k·360°，k Z} {β |β=315°+k·360°，k Z}={β |β=135°+k·180°，}．
（3）結合（2）知所求角的集合為
S={β |β = 45°+k·180°，k Z} {β |β=135°+k·180°，k Z}={β |β=45°+2k·90°，
同理可得終邊在直線 y＝x、y=-x 上的角的集合為{β |β=45°+k·180°，k Z}，
k Z} {β |β=45°+ 2k +1 ·90°, k Z}={β |β=45°+k·90°, k Z}．
47．（2024 高一下·上海寶山·階段練習）已知一扇形的圓心角為a ，半徑為 R，弧長為 l．
(1)若a = 60°，R = 6 ，求扇形的弧長 l；
(2)若扇形面積為 16，求扇形周長的最小值，及此時扇形的圓心角a ．
【答案】(1) 2π
(2)扇形周長的最小值為16，此時a = 2
【分析】（1）先將圓心角化為弧度制，再根據弧長公式即可得解；
（2）根據扇形的面積公式求得 l, R 的關系，再利用基本不等式即可得出答案.
【詳解】（1）因為a = 60
π
° = ，R = 6 ，
3
所以扇形的弧長 l = a R = 2π；
1 2 1 32
（2）由扇形面積 S = a R = lR =16，得 l = ，
2 2 R
32 32
則扇形周長為 l + 2R = + 2R 2 2R =16，
R R
32
當且僅當 = 2R，即R = 4時，取等號，
R
1
此時， a 42 =16，所以a = 2，
2
所以扇形周長的最小值為16，此時a = 2 .
48．（2024 高一·全國·課堂例題）利用單位圓，寫出360°，180°，90°，1°的圓心角的弧度數．
π π
【答案】 2πrad ； πrad； rad； rad
2 180
【分析】根據弧度數公式求解.
【詳解】在單位圓中，
360°的圓心角的弧長是 2π，那么它對應的弧度數是 2πrad ；
180°的圓心角的弧長是 π，那么它對應的弧度數是 πrad；
π
90°的圓心角對應的弧度數是 rad；
2
π
1°的圓心角對應的弧度數是 rad．
180
49．（2024 高一下·湖北宜昌·期中）某地政府部門欲做一個“踐行核心價值觀”的宣傳牌，該宣傳牌形狀是如
圖所示的扇形環面(由扇形OAD挖去扇形OBC 后構成的)．已知OA = 2米，OB = x 米 0 < x < 2 ，線段 BA、
線段CD與弧B C 、弧 AD 的長度之和為6 米，圓心角為q 弧度．
(1)求q 關于 x 的函數解析式；
(2)記該宣傳牌的面積為 y ，試問 x 取何值時， y 的值最大 并求出最大值．
q 2x + 2【答案】(1) = (0 < x < 2)x + 2 ；
x 1 9(2)當 = 時，y 的值最大，最大值為 ．
2 4
【分析】(1)根據弧長公式和周長列方程得出q 關于 x 的函數解析式；
(2)根據面積公式求出 y 關于 x 的函數表達式，根據二次函數性質可得 y 的最大值．
【詳解】（1）根據題意，弧B C 的長度為 xq 米，弧 AD 的長度 AD = 2q 米，
\2(2 - x) + xq + 2q = 6 ，
\ q 2x + 2= (0 < x < 2)
x 2 ．+
1 2 12 2（ ）依據題意，可知 y = S OAD - S OBC = q 2 - q x扇 扇 2 2 ，
化簡得： y = -x2 + x + 2，0 < x < 2，
\ x 1= y 1
2
1 9
當 ， max = - ÷ + + 2 = ．2 è 2 2 4
x 1 9∴當 = 時，y 的值最大，且最大值為 ．
2 4
50．（2024 高一下·全國·課后作業）已知扇形的面積為 S，周長為 p，中心角為a .
(1)若 S 是定值，則當a 為多少弧度時，周長 p 最小，并求此最小值（用 S 表示）.
(2)若 p 是定值，則當a 為多少弧度時，面積 S 最大，并求此最大值（用 p 表示）.
【答案】(1)當a = 2時周長最小，為 4 S
2
(2)當a = 2 p時面積最小，為
16
S 11 = a R2 2S 2S【分析】（ ）依題意 ，則R = ，則 p = 2 +a ，再利用基本不等式計算可得；2 a a
p
（2）扇形周長 p = 2R + l = 2R +a R，可得R = ，利用扇形的面積公式，基本不等式即可求解．
2 +a
1 2S
【詳解】（1）依題意，設扇形的半徑為 R ，則扇形的面積 S = a R2，所以R = ，
2 a
所以 p = 2R + l = 2 +a R = 2 +a 2S = 2S 2 × + a ÷ 2S 2
2
× a = 4 S ，
a è a a
2
當且僅當 = a ，即a = 2時，周長取得最小值 4 S .a
p
（2）扇形周長 p = 2R + l = 2R +a R，則R = ，
2 +a
1 2 2 p2 1 p2S = a × R2 1= a ( p )2 p a p 1= × = × × =
所以 2 2 2 +a 2 4 + 4a +a 2 2 4 a 4 2 4 16 ，+ + 4 + 2 a ×
a a
4 2
當且僅當a = ，即a = 2 p時，扇形面積取得最大值 ．
a 16
51．（2024 高一·全國·課后作業）已知一扇形的圓心角為a (a > 0)，所在圓的半徑為 R.
（1）若a = 60° ，R =10cm ，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；
（2）若扇形的周長為 20 cm，當扇形的圓心角a 等于多少弧度時，這個扇形的面積最大
10p 50p 2
【答案】（1） cm ， - 25 33 3 ÷
cm ；（2）a = 2rad .
è
【解析】(1)由公式 l = a R算出弧長，弓形的面積等于扇形的面積減去三角形的面積
(2)由周長為定值可得出弧長和半徑的關系，再把 S 用 R 表示出來，運用函數的知識即可求出最大值.
【詳解】（1）設扇形的弧長為 l，弓形面積為 S，則
a 60° p= = ，R 10
p
= ， l = 10
10p
= cm，
3 3 3
S 1 10p 3= 10 - 102 50p= - 25 3 cm2 .
2 3 4 3 ÷ è
10
（2）設扇形弧長為 l，則 l + 2R = 20，即 l = 20 - 2R < R < 10 ，
è p +1 ÷
S 1 1∴扇形面積 = IR = (20 - 2R) × R = -R2 +10R = -(R - 5)2 + 25，
2 2
l
∴當R = 5cm時，S 有最大值 25cm2 ，此時 l =10cm，a = = 2rad .
R
因此當a = 2rad 時，這個扇形面積最大.
1
【點睛】C = l + 2R, S = lR
2
1 2 1
當周長 C 為定值時可得面積 S = C - 2R R = -R + CR
2 2
2S
當面積S 為定值時可得周長C = + 2R .
R
52．（2024 高一下·遼寧沈陽·期中）已知扇形的圓心角為a ，所在圓的半徑為 r．
(1)若a =150°, r =10 ，求扇形的弧長．
(2)若扇形的周長為 24，當a 為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．
25
【答案】(1) π
3
(2)a = 2, Smax = 36
【分析】（1）由扇形弧長公式計算；
（2）由扇形面積公式及二次函數求最值即可.
【詳解】（1）設扇形的弧長為 l．
5π
因為a =150°，即a = , r =10，
6
所以 l = ar
5π
= 10 25= π ．
6 3
（2）由題設條件，知 l + 2r = 24 ，則 l = 24 - 2r(0 < r < 12)，
1 1 2 2
所以扇形的面積 S = lr = 24 - 2r r = -r +12r = - r - 6 + 36．
2 2
當 r = 6時，S 有最大值 36，
此時 l = 24 - 2r =12,a
l
= = 2，
r
所以當a = 2時，扇形的面積最大，最大面積是 36．
53．（2024 高一下·陜西商洛·期中）已知扇形的圓心角是a a > 0 ，半徑為 R .
（1）若a = 60°，R = 10cm求扇形的弧長 l .
（2）若扇形的周長為 20cm ，當扇形的圓心角a 為多少弧度時，這個扇形的面積最大？最大面積是多少？
10p
【答案】（1） cm ；（2）a = 2，扇形的面積取得最大值 25.
3
【分析】（1）根據弧長公式計算可得；
（2）根據扇形的弧長公式和面積公式可以直接求最值．
o p p 10p
【詳解】解：（1）a = 60 = rad，\l = a × R = 10 = cm .
3 3 3
1 1
2 2（ ）由已知得， l + 2R = 20，所以 S = lR = 20 - 2R R =10R - R = - R - 5 2 + 25，
2 2
所以當R = 5時，S 取得最大值 25，此時 l =10，a = 2 .
【點睛】本題考查扇形的弧長公式和面積公式，屬于中檔題．
54．（2024 高一下·四川眉山·期中）（1）如圖，陰影部分表示角a 的終邊所在的位置，試寫出角a 的集合．
（2）已知角a = -1725°，將a 改寫成 b + 2kπ(k Z,0 b < 2π)的形式，并指出a 是第幾象限角．
10 5p【答案】（1）答案見解析；（2）- p + ；是第一象限角．
12
【分析】（1）根據終邊相同的角及角的概念求解即可得；
（2）根據弧度制與角度概念轉化書寫即可.
【詳解】（1）①
a -30° + k ×360° a k ×360°, k Z a 150° + k ×360° a 180° + k ×360°, k Z
= a -30° + k ×180° a k ×180°, k Z ；
② a -30° + k ×360° < a < 60° + k ×360°, k Z ．
5p
（2）∵ -1725° = -5 360° + 75°，∴ -1725° = -10p + ．
12
0 5π π 5π又 < < ，所以a 與 終邊相同，是第一象限角．
12 2 12

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