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5.2 三角函數(shù)的概念 10 題型分類
一、三角函數(shù)的概念
(1)任意角的三角函數(shù)的定義
如圖，設(shè) α 是一個任意角，
前提 α∈R，它的終邊 OP 與單位
圓相交于點 P(x，y)
把點 P 的縱坐標(biāo) y 叫做 α 的正弦函數(shù)，記作 sinα，即
正弦函數(shù)
y＝sinα
把點 P 的橫坐標(biāo) x 叫做 α 的余弦函數(shù)，記作 cosα，即
余弦函數(shù)
x＝cosα
定義 y
把點 P 的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值 叫做 α 的正切，記
x
正切函數(shù) y
作 tanα，即 ＝tanα(x≠0)，以單位圓上點的縱坐標(biāo)與橫
x
坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)
我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函
三角函數(shù)
數(shù)
注：三角函數(shù)的定義
(1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個比值
的集合的對應(yīng)．
(2)三角函數(shù)是用比值來定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．
(3)三角函數(shù)值的大小與點 P(x，y)在角 α 終邊上的位置無關(guān)，只由角 α 的終邊位置決定，
即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．
(2)三角函數(shù)的定義域
三角函數(shù) 定義域
y＝sinx x∈R
y＝cosx x∈R
π
y＝tanx x≠ ＋kπ(k∈Z)
2
二、三角函數(shù)值的符號
規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
三、誘導(dǎo)公式(一)
名稱 符號語言 文字語言
sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)
終邊相同的角的同一三角
誘導(dǎo)公式(一) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)
函數(shù)的值相等
tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)
注：公式一的理解
(1)公式一的實質(zhì)：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，即角 α 的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)
一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次，體現(xiàn)了三角函數(shù)特有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律．
(2)公式一的結(jié)構(gòu)特征：
①左、右為同一三角函數(shù)；
②公式左邊的角為 α＋k·2π(k∈Z)，右邊的角為 α.
四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 關(guān)系式 語言敘述
同一個角 α 的正弦、余弦
平方關(guān)系 sin2α＋cos2α＝1
的平方和等于 1
sinα
＝tanα
cosα 同一個角 α 的正弦、余弦
商數(shù)關(guān)系
( π ) 的商等于角 α 的正切α ≠ kπ＋ ，k ∈ Z2
(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式及常用結(jié)論
①平方關(guān)系變形及常用結(jié)論
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－
2sinαcosα.
②商的變形
sinα
sinα＝tanαcosα，cosα＝ .
tanα
(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，這里“同角”有
兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關(guān)系式成立與角
的表達(dá)形式無關(guān)，如 sin23α＋cos23α＝1.
(3)sin2α 是(sinα)2的簡寫，不能寫成 sinα2.
(4)約定：教材中給出的三角恒等式，除特別注明的情況外，都是指兩邊都有意義的情況
下的恒等式．
sin90°
(5)在使用同角三角函數(shù)關(guān)系式時要注意使式子有意義，如式子 tan90°＝ 不成立．
cos90°
(6)在應(yīng)用平方關(guān)系式求 sinα 或 cosα 時，其正負(fù)號是由角 α 所在的象限決定的．
（一）
三角函數(shù)的定義及應(yīng)用
1、任意角的三角函數(shù)的定義
如圖，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a 是一個任意角，a 終邊上任意一點 P 的坐標(biāo)為 (x, y) ，它與原點
的距離為 r(r = | x |2 + | y |2 = x2 + y2 > 0) ，那么：
y y
（1）比值 a sina sina =r 叫做 的正弦，記作 ，即 r ；
x x
（2）比值 叫做a 的余弦，記作 cosa ，即 cosa =r r ；
y y
（3）比值 x 叫做
a 的正切，記作 tana ，即 tana = (x 0)x ．
對于確定的a
y x y
值，比值 r ， r ， x 分別是唯一一個確定的實數(shù)，所以正弦、余弦、正切是以角
a 為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．
2、利用三角函數(shù)的定義求值的策略
已知角 α 的終邊在直線上求 α 的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：
(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)
值．
(2)注意角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況來處理，取射線上任一點(a，b)，則對應(yīng)角的正弦
b a
值 sinα＝ ，余弦值 cosα＝ .
a2＋b2 a2＋b2
提醒：角 α 是一個任意角，其范圍是使函數(shù)有意義的實數(shù)集．
題型 1：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值
1 3
1-1．（2024 高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）設(shè)角a 的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為 , ÷÷，則 sina =（ ）
è 2 2
1
A． B 2 C 3． ． D．1
2 2 2
【答案】C
【分析】由三角函數(shù)的定義求解，
3
2 3
【詳解】由題意得 sina = = ，
1 3 2
+
4 4
故選：C
1-2．（2024 高一下·四川瀘州·期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角q 的頂點與原點O重合，它的始邊與 x 軸
3
的非負(fù)半軸重合，終邊OP 交單位圓O于點P - ,
4
÷，則 tanq 的值為
è 5 5
3 4 4 3
A．- B． C．- D．-
5 5 3 4
【答案】C
【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求解，得到答案.
【詳解】由題意，角q 的頂點與原點O重合，它的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊OP 交單位圓O于點
4
P 3 4- , y 5 4 ÷，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得 tanq = = 3 = - .è 5 5 x - 3
5
故選：C.
【點睛】本題主要考查了三角的函數(shù)的定義，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了
推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
1-3．（2024 3 6高一上·吉林長春·期末）已知角a 的終邊與單位圓交于點P(- , )，則 sina ×cosa =（ ）
3 3
A 3 B 2 C 3 2． ．- ．- D．
3 3 3 3
【答案】B
【詳解】a 3 6的終邊與單位圓交于點P(- , ) ,
3 3
故 r =| OP | 3=1, x = - , y 6= ，
3 3
6 - 3
故 sina y= = 3 6= ，cosa x= = 3 3 ，=-
r 1 3 r 1 3
所以 sina ×cosa 6 3 2= （× - ）=- ，
3 3 3
故選：B.
題型 2：由終邊或終邊上點求三角函數(shù)值
2-1．（2024 高二上·云南大理·開學(xué)考試）已知角a 的終邊落在直線 y = 2x上，則 sina 的值為（ ）
A 2 5 B 5 C 2 5． ． ．- D 2 5．±
5 5 5 5
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)得定義求解即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)直線 y = 2x上任意一點 P 的坐標(biāo)為 (m, 2m)（m 0 ），
則OP = m2 + 2m 2 = 5 m （O 為坐標(biāo)原點），
y 2m 2m
根據(jù)正弦函數(shù)的定義得： sina = = =r OP 5 m ，
m > 0 2 5 2 5時， sina = ； m < 0時， sina = - ，
5 5
所以選項 D 正確，選項 A，B，C 錯誤，
故選：D.
2-2．【多選】（2024 高一下·四川眉山·期中）已知角a 的終邊經(jīng)過點P(-4m,3m)(m 0)，則 2sina + cosa 的值
可能為（ ）
3 3 2 2
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
【答案】CD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的概念求解 sina , cosa ，即可得 2sina + cosa 的值.
【詳解】已知角a 的終邊經(jīng)過點P(-4m,3m)(m 0)
sina 3m 3m cosa -4m -4m所以 = = = = -4m 2 + 3m 2 5m ， -4m 2 + 3m 2 5m
3 4 3 4 2
則當(dāng)m > 0時， sina = , cosa = - ，此時 2sina + cosa = 2 +
5 5 5
- ÷ =5 5 ；è
3 4 2
當(dāng)m < 0時， sina
3
= - ,cosa 4= ，此時 2sina + cosa = 2 - ÷ + = - ；5 5 è 5 5 5
2 2
所以 2sina + cosa 的值可能為 或- .
5 5
故選：CD.
2-3．（2024 高三上·北京·開學(xué)考試）若 b 的終邊所在射線經(jīng)過點P 1,2 ，則 sinb = ， tanb = .
2 5 2
【答案】 / 5 2
5 5
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正確答案.
【詳解】由于 b 的終邊所在射線經(jīng)過點P 1,2 ，
2 2 5
所以 sinb = = , tan b
2
= = 2 .
12 + 22 5 1
2 5
故答案為： ； 2
5
2-4．【多選】（2024 高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知角q 的終邊上有一點P a, 2a ，若 a < 0，則（ ）
A． sinq 5= - B． sinq 2 5= -
5 5
C． tanq
1
= D． tanq = 22
【答案】BD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.
【詳解】由題知，因為 a < 0，所以點P a, 2a 在第三象限，
sinq = 2a 2 5 2a所以 = -2 ， tanq = = 2，a + 2a 2 5 a
故選：BD.
題型 3：由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)
3-1．（2024 2m高一下·河南駐馬店·期末）已知角a 的終邊上有一點P m, 3 ，且 cosa = ，則實數(shù) m 取值
4
為 ．
【答案】0 或± 5
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義表示即可求解.
【詳解】因為角a 的終邊上有一點P m, 3 ，
cosa m 2m所以 = = ，解得m = 0或± 5 .
m2 + 3 4
故答案為：0 或± 5 .
3
3-2．（2024 高一下·全國·課后作業(yè)）角a 的終邊經(jīng)過點P 4,b 且 sina = - ，則 b 的值為（ ）
5
A．3 B．-3 C． ±3 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解．
sina b 3【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義可得 = = - ，且b < 0，
16 + b2 5
25b2即 = 9 16 + b2 ，解得b = -3．
故選：B．
4
3-3．（2024 高一上·山東·期末）已知角q 的終邊經(jīng)過點P -8m, -3 ，且 cosq = - ，則實數(shù) m 的值是（
5 ）
1 9
A． B．
2 32
1 1 9 9
C． 或- D． 或-
2 2 32 32
【答案】A
【分析】利用三角函數(shù)的定義列方程求解即可.
-8m
【詳解】由三角函數(shù)的定義得 cosq =
64m2
，
+ 9
-8m 4
\ = - ，m > 0
64m2 + 9 5
m 1解得 =
2
故選：A
（二）
判斷三角函數(shù)值的符號
1、各三角函數(shù)的值在各象限的符號如圖所示．
【說明】（1）對各象限角對應(yīng)的正弦值、余弦值和正切值來說，第一象限各三角函數(shù)值全都是
正號，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．
（2）各象限三角函數(shù)值正號規(guī)律：一全二正弦，三切四余弦．
2、確定三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號的方法
(1)三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)的定義，由各象限內(nèi)的點的坐標(biāo)的符號得出的．
(2)正弦、余弦、正切函數(shù)的符號表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限
正切是正值，第四象限余弦是正值．
題型 4：判斷三角函數(shù)值的符號
4-1．（2024 高一上·廣東·期末）已知q 為第二或第三象限角，則（ ）
A． sinq tanq < 0 B． cosq tanq < 0
sinq
C． > 0 D． sinq cosq > 0
tanq
【答案】A
【分析】根據(jù)角q 所在的象限，可判斷出三角函數(shù)值的符號，從而可判斷出選項.
【詳解】若角q 為第二象限角，則 sinq > 0,cosq < 0, tanq < 0，
此時 sinq tanq < 0,cosq tanq > 0,
sinq
< 0,sinq cosq < 0；
tanq
若角q 為第三象限角，則 sinq < 0,cosq < 0, tanq > 0，
此時 sinq tanq < 0,cosq tanq < 0,
sinq
< 0,sinq cosq > 0；
tanq
sinq
所以當(dāng)q 為第二或第三象限角時， sinq tanq < 0, < 0 .
tanq
故選：A.
4-2．（北京市海淀區(qū)北京大學(xué)附屬中學(xué)行知學(xué)院 2023-2024 學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若 sina < 0且
tana > 0，則a 的終邊所在象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)角的終邊的位置與三角函數(shù)值符號的關(guān)系可出結(jié)論.
【詳解】因為 sina < 0，則a 的終邊在第三、四象限或 y 軸負(fù)半軸上，
因為 tana > 0，則a 的終邊在第一、三象限，
因此，a 的終邊所在象限為第三象限.
故選：C.
4-3．（2024 高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知P sin1,cos 2 ，則點 P 所在象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據(jù)角所在象限確定點橫、縱坐標(biāo)的正負(fù)，即可得解.
【詳解】因為 1（rad）是第一象限角，2（rad）是第二象限角，
所以 sin1 > 0,cos 2 < 0，
所以點 P 所在象限為第四象限.
故選：D.
2sinx cosx
4-4．（2024 高一上·廣西玉林·期末） +2 2 所有可能取值的集合為 ．1- cos x 1- sin x
【答案】 -3, -1,1,3
2sinx cosx 2sinx cosx
【分析】根據(jù) + = +2 2 sinx cosx ，分四個象限求解.1- cos x 1- sin x
2sinx cosx 2sinx cosx
【詳解】解：因為 + = +
1- cos2x 1- sin2x sinx cosx
，
由已知可得角 x 的終邊不在坐標(biāo)軸上，
當(dāng)角 x 的終邊在第一象限，則原式 = 2 +1 = 3，
當(dāng)角 x 的終邊在第二象限，則原式= 2 -1 =1，
當(dāng)角 x 的終邊在第三象限，則原式= -2 -1 = -3，
當(dāng)角 x 的終邊在第四象限，則原式= -2 +1 = -1，
2sinx cosx
故 + 所有可能取值的集合為 -3, -1,1,3 ，
1- cos2x 1- sin2x
故答案為： -3, -1,1,3
sina tana
4-5．（2024 高一下·遼寧·階段練習(xí)）若 > 0， < 0，則a 是（ ）
tana cos a
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】判斷出 cosa 、 sina 的符號，由此可判斷出角a 的終邊所在的象限.
sina
【詳解】由 = cosa 0
tana sina
> ， = < 0，得 cosa > 0， sina < 0，所以a 是第四象限角.
tana cosa cos2a
故選:D.
（三）
公式一的應(yīng)用
1、公式一可以統(tǒng)一寫成 f(k·360°＋α)＝f(α)或 f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式
2、利用它可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為 0 到 2π 角的三角函數(shù)值，即可把負(fù)角的三角函數(shù)
化為 0 到 2π 角的三角函數(shù)，亦可以把大于 2π 角的三角函數(shù)化為 0 到 2π 角的三角函數(shù)，即對
角實現(xiàn)負(fù)化正、大化小的轉(zhuǎn)化．
題型 5：公式一的應(yīng)用
5-1．（2024 高一上·全國·單元測試）代數(shù)式 sin(-330°)cos390° 的值為（ ）
3 3 3 1A．－ B． C．－ D．
4 4 4 4
【答案】B
【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡求值．
【詳解】 sin(-330°)cos 390° = sin(-360° + 30°)cos(360° + 30°)
= sin 30°cos30° 1 3 3= = ．
2 2 4
故選：B．
5-2．（2024 高一上·重慶長壽·期末） sin
2023π
=（ ）
4
2 1 1A．- B．- C． D 2．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用誘導(dǎo)公式計算即可.
sin 2023π sin 506π π 【詳解】 = - ÷ = sin
π- ÷ = -sin
π 2
= - .
4 è 4 è 4 4 2
故選：A.
5-3．（2024 高一上·江西南昌·階段練習(xí)） sin -1380o 的值為（ ）
1 1
A．－ B．
2 2
C 3 3．－ D．
2 2
【答案】D
【分析】Q-1380o = -4 360o + 60o ，利用誘導(dǎo)公式一化簡即可得解.
sin -1380o = sin -4 360o + 60o
【詳解】
= sin 60o 3=
2
故選：D.
5-4．（2024 高一下·廣東佛山·階段練習(xí)） cos -1860° =（ ）
1
A - B 3
1
． ．- C． D 3．2 2 2 2
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)計算作答.
【詳解】 cos -1860° = cos(-10 180 1° - 60°) = cos(-60°) = cos 60° = .
2
故選：C
（四）
三角函數(shù)求值
1、求三角函數(shù)值的方法
(1)已知 sinθ(或 cosθ)求 tanθ 常用以下方式求解
(2)已知 tanθ 求 sinθ(或 cosθ)常用以下方式求解
當(dāng)角 θ 的范圍不確定且涉及開方時，常因三角函數(shù)值的符號問題而對角 θ 分區(qū)間(象限)討論．
題型 6：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用
p
6-1．（2024 高一下·四川宜賓·期中）已知 cosa
1
= ，其中a
2
- ,0÷， sina 的值為（2 ）è
A 3
1 3 1
．－ B．－ C． D．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用平方關(guān)系計算 sina 的值，并根據(jù)a 角的象限判斷符號即可.
p
【詳解】因為a - ,0

÷為第四象限角，
è 2
sina 1 3所以 = - 1- cos2 a = - 1- = - .
4 2
故選：A.
1
6-2．（2024 高三上·上海靜安·開學(xué)考試）設(shè)q 為第二象限角，若 tanq = - ，則 sinq + cosq = .
2
5 - 5
【答案】- /
5 5
【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，列方程組解出 sinq , cosq ，求和即可.
【詳解】q 為第二象限角，則 sinq > 0， cosq < 0 ，
ì
ì sinq 1= - sinq
5
=
tanq 1 = - cos q 2 5若 ，則有
2 í
，解得 í ，
sin2 q + cos2 q =1 cosq 2 5 = - 5
sinq 5 2 5 5所以 + cosq = - = - .
5 5 5
5
故答案為：- .
5
6-3．（2024 高一下·上海·課后作業(yè)）已知 sina
4 - 2m
= ,cosa m - 3= ,a 是第四象限角，則 tana = ．
m + 5 m + 5
12
【答案】-
5
【分析】由 sin2 a + cos2 a =1可求得m ，即可得出所求.
2 2
sin2 a cos2 a 4 - 2m+ = + m - 3 【詳解】由 m + 5 ÷ ÷
=1，解得m = 0或 8，
è è m + 5
Q a 是第四象限角，\m = 8，
tana sina 4 - 2m 12\ = = = - .
cosa m - 3 5
12
故答案為：- .
5
6-4．（2024 高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）若a 是第四象限的角，且 tana = - 3 ，則cosa = .
1
【答案】 /0.5
2
【分析】根據(jù) tana = - 3 求出a ，再求 cosa .
【詳解】因為a 是第四象限的角，且 tana = - 3 ，
a π所以 = - + 2kπ,k Z ，
3
所以 cos a = cos
π
- + 2kπ
1= .
è 3 ÷ 2
1
故答案為：
2
3
6-5．（2024 高一下·山東濟南·階段練習(xí)）若 sina = - ，且a 為第三象限角，則 tana =（ ）5
4 3 4 3
A．- B．- C． D．
3 4 3 4
【答案】D
【分析】由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求解．
sina 3【詳解】∵ = - ，且a 為第三象限角，
5
∴cosa = - 1- sin2a
4
= - ，
5
3
tana = sina
- 3
∴ = 5 = ．
cosa 4- 4
5
故選:D．
6-6．（2024 高一上·廣東深圳·期末）已知sinq ， cosq 是關(guān)于 x 的方程5x2 - x + 5m = 0的兩根，則實數(shù)
m = ．
12
【答案】-
25
【分析】利用韋達(dá)定理列出關(guān)于 m 的方程，再利用同角之間的基本關(guān)系，即可求解．
ì
sinq + cosq
1
=
5
【詳解】由sinq ， cosq 是關(guān)于 x 的方程5x2 - x + 5m = 0的兩根，所以 ísinq cosq = m ，

Δ =1-100m > 0

2
由 12sinq + cosq 2 =1+2sinq cosq 1 ，可得 ÷ =1+2m，則m = - ，
è 5 25
12
經(jīng)檢驗符合題意，所以實數(shù)m 的值為- .
25
12
故答案為：-
25
（五）
sinα±cosα，sinαcosα 的應(yīng)用
1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 三個式子中，已知其中一個，可以利用平方關(guān)系求其他
兩個，即“知一求二”．
2、sinθ±cosθ 的符號的判定方法
sinθ－cosθ 的符號的判定方法：由三角函數(shù)的定義知，當(dāng) θ 的終邊落在直線 y＝x 上時，sinθ＝
cosθ，即 sinθ－cosθ＝0，當(dāng) θ 的終邊落在直線 y＝x 的上半平面區(qū)域內(nèi)時，sinθ>cosθ，即 sinθ－
cosθ>0；當(dāng) θ 的終邊落在直線 y＝x 的下半平面區(qū)域內(nèi)時，sinθ所示．同理可得 sinθ＋cosθ 的符號如圖②所示．
題型 7：sinα±cosα，sinαcosα 的應(yīng)用
7-1．（2024 高一·全國·課堂例題）已知 sina
1
+ cosa = ，求 sina ×cosa 的值．
5
12
【答案】-
25
【分析】對已知等式兩邊平方化簡，再結(jié)合 sin2 a + cos2 a =1可求得結(jié)果
【詳解】因為 sina cosa
1
+ = ，
5
sina cosa 2 1 sin2 a cos2 a 2sina cosa 1兩邊平方，得 + = ，即 + + × = ．
25 25
1 1 12
將 sin2 a + cos2 a =1代入上式，得 sina ×cosa = 2
-1÷ = - ．
è 25 25
7
7-2．（2024 高一下·四川眉山·階段練習(xí)）已知 sina + cosa = ，a 0, π .
13
(1)求 sina cosa 的值
(2)求 tana
60
【答案】(1) -
169
12
(2) -
5
2
【分析】（1）由 sina + cosa =1+ 2sina cosa 可直接求得結(jié)果；
（2）結(jié)合角的范圍可確定 sina , cosa 的正負(fù)，結(jié)合（1）的結(jié)果可構(gòu)造方程組求得 sina , cosa ，根據(jù)同角三
角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.
1 Q sina + cosa 2 = sin2 2 49【詳解】（ ） a + cos a + 2sina cosa =1+ 2sina cosa = ，
169
sina cosa 60\ = - .
169
（2）Qa 0, π ，\sina > 0，又 sina cosa < 0 ，\cosa < 0；
ìsina cosa 7 ìsina 5 ìsina 12 + = = - = 13 13 13
由 í 得： í （舍）或 í ，
sina cosa 60= - cosa 12 5= cosa = -
169 13 13
\ tana sina 12= = - .
cosa 5
1
7-3．（2024 高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知 sinq + cosq = ，q 0, π ，求下列各式的值：
2
(1) sinq - cosq ；
tanq 1(2) - ．
tanq
【答案】(1) sinq - cosq 7= ；
2
(2) 2 7- .
3
3
【分析】（1）利用同角關(guān)系式可得 sinq cosq = - ，然后結(jié)合條件即得；
8
1 sinq + cosq sinq - cosq
（2

）根據(jù)同角關(guān)系式可得 tanq - = ，進而即得.
tanq sinq cosq
1 ∵ sinq cosq 2 1 2sinq cosq 1
2

【詳解】（ ） + = + = 2 ÷
，
è
∴ sinq cosq
3
= - ，又∵q 0, π ，
8
∴ sinq > 0，又 sinq cosq
3
= - < 0，
8
∴ cosq < 0 ， sin θ - cosθ > 0，
∵ sinq -cosq 2 =1- 2sinq cosq =1- 2 3 7 - ÷ = ，
è 8 4
∴ sinq cosq 7- = ；
2
1 sinq cosq sin2 q -cos2 q sinq +cosq sinq -cosq
（2）∵ tanq - = - = = ，
tanq cosq sinq sinq cosq sinq cosq
1 7

∴ tanq 1 2 2 2 7- = = - ．
tanq 3- 3
8
1
7-4．（2024 高一下·貴州遵義·期中）已知a 為第四象限角，且 sina + cosa = ，則 sina - cosa = .
3
17 1
【答案】- / - 17
3 3
【分析】判斷出 sina - cosa 的符號，結(jié)合 sina + cosa 2 + sina - cosa 2 = 2可求得 sina - cosa 的值.
【詳解】因為a 為第四象限角，則 sina < 0， cosa > 0，則 sina - cosa < 0，
sina + cosa 2 + sina - cosa 2 = 2 sin2 2因為 a + cos a = 2 ，
將 sina + cosa
1
= 代入上式可得 sina - cosa 2 17= ，
3 9
因此， sina - cosa 17= - .
3
17
故答案為：- .
3
π 17
7-5．（2024 高一下·新疆塔城·階段練習(xí)）已知a 0, ÷ ，且 sina + cosa = 則 tana 的值為（4 ）è 13
12 12 5 5
A． B．- C． D．-
5 5 12 12
【答案】C
【分析】由 sina + cosa
17
= 兩邊平方得到 2sinacosa
120
= ，進而得到 sina - cosa
7
= - ，聯(lián)立求出
13 169 13
sina 5= ,cosa 12= ，得到答案.
13 13
sina cosa 17 sin2a cos2a 2sinacosa 289【詳解】由 + = ，兩邊平方得 + + = ，
13 169
因為 sin2a + cos2a =1，所以 2sinacosa
120
= ，
169
(sina - cosa )2又 = sin2a + cos2a
120 49
- 2sinacosa =1- = ，
169 169
a 0, π 7又因為 ÷ ，所以 sina < cosa ， sina - cosa < 0，得 sina - cosa = - ，
è 4 13
聯(lián)立 sina cosa
7 sina cosa 17- = - 與 + = ，
13 13
求得 sina
5
= ,cosa 12 sina 5= ，故 tana = =
13 13 cosa 12
故選：C
（六）
齊次式求值
1 tana m a sina + bcosa a sin
2 a + bsina cosa + c cos2 a
、已知 = ，可以求 或 的值，將分子分母
c sina + d cosa d sin2 a + esina cosa + f cos2 a
同除以 cosa 或 cos2 a ，化成關(guān)于 tana 的式子，從而達(dá)到求值的目的.
2、對于 a sin2 a + bsina cosa + c cos2 a 的求值，可看成分母是 1，利用1 = sin2 a + cos2 a 進行代
替后分子分母同時除以 cos2 a ,得到關(guān)于 tana 的式子，從而可以求值.
3、不是已知 tana 的情況，可以先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得 tana 的值，然后利用
齊次式的方法求解.
4、齊次式的化切求值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
題型 8：利用齊次式化簡或求值
sina + 3cosa
8-1．（2024 高一下·四川達(dá)州·期中）已知 = 5
3cosa - sina
(1)求 tana 的值；
(2)求 sin2 a - sina cosa 的值．
【答案】(1) tana = 2
2
(2)
5
【分析】（1）將條件等式變形，用正切表示，求得 tana 的值；
（2）首先利用 sin2 a + cos2 a =1，將原式寫成齊次分式的形式，再利用正切表示，即可化簡求值.
sina + 3cosa 5 tana + 3【詳解】（1）由 = ，得 = 5，即 tana = 2 ．
3cosa - sina 3 - tana
（2）因為 sin2 a + cos2 a =1，
sin2 a sina cosa sin
2 a -sina cosa
所以 - =
sin2 a +cos2 a
tan2 a - tana 4 - 2 2
=
tan2
= = .
a +1 4 +1 5
tana
8-2．（2024 高一下·四川自貢·期中）已知 =2 ，求下列各式的值.
tana -1
2sina - 3cosa
(1) ；
4sina - 9cosa
(2) 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a .
【答案】(1) -1
(2)1
【分析】（1）先求得 tana ，將要求的表達(dá)式轉(zhuǎn)化只含 tana 的形式，由此求得表達(dá)式的值.
（2）利用“1”的代換的方法求得表達(dá)式的值.
tana
【詳解】（1）由于 =2 ，所以 tana = 2 tana - 2, tana =2，
tana -1
2sina - 3cosa = 2 tana - 3 = 4 - 3所以 = -1 .
4sina - 9cosa 4 tana - 9 8 - 9
（2） 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a
= 4sin
2 a - 3sina cosa - 5cos2 a
sin2 a + cos2 a
= 4 tan
2 a - 3tana - 5
2 =
16 - 6 - 5 =1 .
tan a +1 4 +1
sina + cosa
8-3．（2024 高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知 = 2，則 sina cosa 的值為 .
sina - cosa
3
【答案】 / 0.3
10
【分析】去分母，然后兩邊平方化簡可得.
sina + cosa
【詳解】由 = 2得 sina + cosa = 2 sina - cosa ，
sina - cosa
兩邊平方得1+ 2sina cosa = 4 1- 2sina cosa ，
整理得 sina cosa
3
= .
10
3
故答案為：
10
8-4．（2024 高一·全國·課堂例題）已知 tana = 2 ，則
2sina - 3cosa
（1） = ；
4sina - 9cosa
2 2sin
2 a - 3cos2 a
（ ） 2 2 = ；4sin a - 9cos a
（3） 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a = ．
5
【答案】 -1 1
7
【分析】（1）分子分母同時除以 cosa ，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含 tana 的形式，由此求得正確答案.
（2）分子分母同時除以 cos2 a ，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含 tan2 a 的形式，由此求得正確答案.
（3）先除以“1”，也即除以 sin2 a + cos2 a ，再分子分母同時除以 cos2 a ，將所求式子轉(zhuǎn)化為只含 tana 的形
式，由此求得正確答案.
【詳解】（1）分子分母同時除以 cosa 得：
2sina - 3cosa 2 tana - 3 2 2 - 3
= = = -1.
4sina - 9cosa 4 tana - 9 4 2 - 9
（2）分子分母同時除以 cos2 a 得：
2sin2 a - 3cos2 a 2 tan2 a - 3 2 4 - 3 5
2 = = = ．4sin a - 9cos2 a 4 tan2 a - 9 4 4 - 9 7
2 2
（3） 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a 4sin a - 3sina cosa - 5cos a=
1
4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a
=
sin2 a + cos2 a
4 tan2= a - 3tana - 5 4 4 - 3 2 - 52 = = 1 .tan a +1 4 +1
5
故答案為：-1； ；1
7
（七）
利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡與證明
1、三角函數(shù)式化簡的常用方法
(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的．
(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的．
(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助因式分解，或構(gòu)造 sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次
數(shù)，達(dá)到化簡的目的．
2、證明三角恒等式常用的方法
(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡．
(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子．
(3)化異為同法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對地進行變形，以消除差異．
a c d c
(4)變更命題法，如要證明 ＝ ，可證 ad＝bc，或證 ＝ 等．
b d b a
左邊
(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“ ＝1”．
右邊
題型 9：三角函數(shù)式的化簡
1- 2sin130°cos130°
9-1．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）（1）化簡 ；
sin130° + 1- sin2 130°
2 1- cosa 1+ cosa（ ）化簡 + ，其中a 是第三象限角．
1+ cosa 1- cosa
2
【答案】（1）1；（2）- ．
sin α
【分析】（1）根據(jù)角所在象限確定三角函數(shù)的符號，化簡表達(dá)式，求出最簡結(jié)果．
（2）利用平方關(guān)系，以及三角函數(shù)在象限的符號，去掉根號和絕對值符號，化簡即可．
sin130° - cos130°
【詳解】（1）原式= sin130° + cos130 ，°
∵ sin130° > 0 ， cos130° < 0
sin130° - cos130°
∴原式 = = 1 ;sin130° - cos130°
1- cosa 1+ cosa 1- cosa 2 1+ cosa 2 1- cosa 1+ cosa
（2） + = + = +
1+ cosa 1- cosa 1- cos2 a 1- cos2 a sina sina
由題可得 sina < 0，1- cosa > 0，1+ cosa > 0，
1- cosa 1+ cosa 2
∴原式= + = - ．
-sina -sina sina
3
9-2 2024 · · π < a < π 1- cosa 1+ cosa．（ 高一 全國 課后作業(yè)）若 ，化簡： + ．
2 1+ cosa 1- cosa
2
【答案】-
sin α
π a 3【分析】由 < < π 可得出 sina < 0，且-1 < cosa < 0，再利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可化簡所求代數(shù)
2
式.
3
【詳解】解：因為 π < a < π ，則 sina < 0，且-1 < cosa < 0，
2
1- cosa 2 1+ cosa 2 1- cosa 1+ cosa cosa -1 1+ cosa
原式= + = + = -
1- cos2 a 1- cos2 a sina sina sina sina
2
= - ．
sina
9-3．（2024 高一·全國·課堂例題）化簡：
2
(1) sin2 a tana cos a+ + 2sina cosa ；
tana
(2) 1+ cosa 1- cosa+ 180° < a < 270° ．
1- cosa 1+ cosa
1
【答案】(1)
sina cosa
2
(2) -
sin α
【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進行化簡，從而求得正確答案.
（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角函數(shù)的符號等知識進行化簡，從而求得正確答案.
2
【詳解】（1）原式= sin a
sina cos2 a cosa× + × + 2sina cosa
cosa sina
sin4 a + cos4 a + 2sin2 a cos2 a
=
cosa sina
2sin2 a + cos2 a 1
= = ．
sina cosa sina cosa
（2）因為180° < a < 270°，所以 sina < 0．
(1+ cosa )2 (1- cosa )2 1+ cosa 1- cosa 2 2
原式= + = + = = - ．
1- cos2 a 1- cos2 a | sina | | sina | | sina | sina
題型 10：證明三角恒等式
10-1．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）求證：
1 tan2 a 1（1） + =
cos2
；
a
（2） sin4 a - cos4 a = sin2 a - cos2 a ；
（3） tan2 a sin2 a = tan2 a - sin2 a .
【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解；
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商的關(guān)系即可證明.
（2）利用平方關(guān)系即可證明.
（3）利用同角三角函數(shù)的商的關(guān)系即可證明.
2
1 1 tan2 a 1 sin a cos
2 a + sin2 a 1
【詳解】（ ） + = + 2 = 2 = 2 ，即證.cos a cos a cos a
2 sin4 a - cos4 a = sin2 a - cos2 a sin2 a + cos2 a = sin2（ ） a - cos2 a ，即證.
2
3 sin a（ ）右邊= tan2 a - sin2 a = 2 - sin
2 a
cos a
1 2 2= sin2 a 2 -1÷ = sin
2 a 1- cos a× = sin2 a sin a× = sin22 a × tan
2 a = 左邊，即證.
è cos a cos a cos2 a
10-2．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）求證：
1- 2sin x cos x 1- tan x
(1) =
cos2 x - sin x2 1+ tan x
(2) tan2 a - sin2 a = tan2 a ×sin2 a
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系進行轉(zhuǎn)化證明即可．
（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系進行轉(zhuǎn)化證明即可．
cos x - sin x 2 cos x - sin x 1- tan x
【詳解】（1）左邊= = = =右邊.
cos x - sin x cos x + sin x cos x + sin x 1+ tan x
1- 2sin x cos x 1- tan x
即證
cos2 x - sin x2
= .
1+ tan x
sin2 2（2）左邊 a sin2 a sin a - sin
2 cos2 sin2a a a 1- cos2 a
=
cos2
- =
a cos2
=
a cos2 a
= tan2 a sin2 a =右邊.
即證： tan2 a - sin2 a = tan2 a ×sin2 a .
10-3．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）求證：
sina - cosa +1 1+ sina
(1) ＝ ；
sina + cosa -1 cosa
(2) 2 sin6 q + cos6 q - 3 sin4 q + cos4 q +1 = 0
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析
sina - cosa +1 sina + cosa +1
【分析】（1）將左邊化為 sina cosa 1 sina cosa 1 ，進而結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系進行證明；+ - + +
（2）用立方和公式與完全平方公式并結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將式子化簡.
sina - cosa +1 sina + cosa +1 sina +1 2 - cos2 a
【詳解】（1）左邊= = sina + cosa -1 sina + cosa +1 sina + cosa 2 -1
sin2 a + 2sina +1- cos2 a 2sin2 a + 2sina sina +1
= = = =右邊.
2sina cosa 2sina cosa cosa
2 = 2 sin2 q + cos2 2（ ）左邊 q sin4 q + cos4 q - sin2 q cos2 q - 3éê sin2 q + cos2 q - 2sin2 q cos2 q ù +1 ú
= 2 sin4 q + cos4 q - sin2 q cos2 q - 3é1- 2sin2 q cos2 q ù +1
= 2 é 2 2
2
ê sin q + cos q - 3sin2 q cos2 q ùú - 3 é1- 2sin2 q cos2 q ù +1
= 2 é1- 3sin
2 q cos2 q ù - 3é 1- 2sin
2 q cos2 q ù +1 = 0 =右邊.
一、單選題
1．（2024 高一下·四川達(dá)州·期中）已知 tana
3 sina + cosa
= ，則 = （
sin cos ）2 a - a
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡計算
tana 3【詳解】因為 = ，
2
3
sina + cosa tana +1 +1
所以 = = 2 = 5，
sina - cosa tana -1 3 -1
2
故選：D
sin x | cos x |
2．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）當(dāng) x 為第二象限角時， - =sin x cos x （ ）
A．1 B．0
C．2 D．－2
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的正負(fù)性進行求解即可.
【詳解】因為 x 是第二象限角，
sin x | cos x | sin x cos x
所以 - = - =1+1 = 2sin x cos x sin x -cos x ，
故選：C
π
3．（2024 高二上·甘肅定西· 5開學(xué)考試）已知 sin b = - ，- < b < 0，則 cos b =（ ）
5 2
A 5 B 2 5 C 2 5 2 5． ．± ．- D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】由已知，利用同角公式計算得解.
π
【詳解】由- < b < 0，得 cos b > 0 5，而
2 sin b = -
，
5
所以 cos b = 12 - ( 5 2 5- )2 = .
5 5
故選：D
3 1
4．（2024 高一下·北京·期中）已知角 θ 的終邊經(jīng)過點P , -2 2 ÷，則
cosq 等于（ ）
è
1
A．- B 3 C 3． ．- 3 D．2 2 3
【答案】B
【分析】注意到 P 在單位圓上，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.
2
3 1 2
【詳解】 ÷÷ + - ÷ =1，故 P 在單位圓上，根據(jù)三角函數(shù)值的定義， P 的橫坐標(biāo)的值即為 cosq ，故
è 2 è 2
cosq 3= .
2
故選：B
1
5．（2024 高一上·廣東廣州·期末）已知 sina + cosa = ，且a 0, π ，則 sina - cosa 的值為（ ）
3
1
A 17 17 17 17．- B．- C． D． 或-
3 3 3 3 3
【答案】C
4
【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可得 sina cosa = - ，根據(jù)a 0, π 即可求得結(jié)果.
9
sina cosa 1 sin2 a cos2 a 2sina cosa 1【詳解】將 + = 兩邊同時平方可得， + + = ，
3 9
可得 sina cosa
4
= - ；
9
又a 0, π ，所以 sina > 0,cosa < 0；
易知 sina - cosa 2 = sin2 a + cos2 a 2sina cosa 17- = ，可得
9 sina - cosa
17
= ± ；
3
又 sina > 0,cosa < 0 ,所以 sina - cosa 17= .
3
故選：C
2sina - cosa
6．（2024 高一下·西藏拉薩·期末）已知 tana = 2 ，則 = （ ）
2cosa + 3sina
1 1 3 1
A． B． C D
3 4
． ．
8 2
【答案】C
【分析】進行弦化切，代入求解.
【詳解】因為 tana = 2 ，所以 cosa 0 .
sina cosa
2sina - cosa 2 -cosa cosa 2tana -1 2 2 -1 3
所以 = = = = .
2cosa + 3sina 2 cosa 3 sina+ 2 + 3tana 2 + 3 2 8
cosa cosa
故選：C.
cosq - 2sinq
7．（2024 高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知 tanq = 2，則 = （ ）
cosq + sin q
5 1
A．0 B．- C．-1 D．
3 3
【答案】C
【分析】分子分母同時除以 cosq 進行弦切互化即可求解.
【詳解】由題知， tanq = 2，
cosq 2sinq
cosq - 2sinq -
= cosq cosq 1- 2 tanq則
cosq + sinq cosq sinq
=
+ 1+ tanq
cosq cosq
1- 2 2 -3
= = = -1.
1+ 2 3
故選：C.
8．（2024·青海西寧·二模）已知 sina + cosa = 3cosa tana ，則 cos2 a tana -1 =（ ）
A．-
3 4 2 1
B．- C．- D．-
5 5 3 3
【答案】A
1 2 2
【分析】根據(jù)題意可得 tana = ，根據(jù)齊次式法可得 cos a tana = ，即可得結(jié)果.
2 5
1
【詳解】因為 sina + cosa = 3cosa tana = 3sina ，可得 tana = ，
2
1
cos2 a tana cosa sina sina cosa tana 2可得 = = = 2
sin2 a + cos2 a tan2
=
a +1 1
= ，
+1 5
4
cos2所以 a tana
2
-1 = -1 3= - .
5 5
故選：A.
1 sina + 2cosa
9．（2024 高二上·廣西·開學(xué)考試）已知 tana = - ，則 的值為（ ）
3 5cosa - sina
5 5
A．-1 B．1 C． D．
16 4
【答案】C
【分析】利用三角函數(shù)齊次式進行弦化切，從而代入 tana 即可得解.
1
【詳解】因為 tana = - ，
3
1 5
sina + 2cosa tana + 2 - + 23 3 5
所以 = = = = .
5cosa - sina 5 - tana 5 - ( 1 16- ) 16
3 3
故選：C.
3 π
10．（2024 高一下·云南·期末）已知 sina = ，a 0, ÷ ，則cosa =（2 ）5 è
3
A． B．-
3 4 4
C． D．-
5 5 5 5
【答案】C
【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系，即可求得答案.
sina 3= a 0,
π
【詳解】因為 ，
5 2 ÷
，
è
故 cosa = 1- sin2 a 3= 1- ( )2 4= ，
5 5
故選：C
11．（2024 高一下·廣西河池·階段練習(xí)）已知點P cosq ,- tanq 是第三象限的點，則q 的終邊位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】由三角函數(shù)在各個象限的符號即可求解.
【詳解】∵點P cosq ,- tanq 是第三象限的點，∴ cosq < 0 ， tanq > 0，
由 cosq < 0 可得，q 的終邊位于第二象限或第三象限或 x 軸的非正半軸；
由 tanq > 0可得，q 的終邊位于第一象限或第三象限，
綜上所述，q 的終邊位于第三象限．
故選:C
12．（2024 高一下·全國·課后作業(yè)）求 1- 2sin5cos5 =（ ）
A． sin5 - cos5 B．-sin5 - cos5
C． cos5 - sin5 D． sin5 + cos5
【答案】C
【分析】應(yīng)用平方關(guān)系化簡 1- 2sin5cos5 sin5 cos5
3π
= - ，結(jié)合 < 5
7π
< 在第四象限,去絕對值符號即可.
2 4
【詳解】由 1- 2sin5cos5 = sin25 - 2sin5cos5 + cos25 = (sin5 - cos5)2 = sin5 - cos5 ，
3π 5 7π又 < < ，則 cos5 > 0 > sin5，
2 4
所以 1- 2sin5cos5 = cos5 - sin5 .
故選：C
13．（2024 高一·全國·課堂例題）已知a (0, π) ，且3 1- 2sin2 a -8cosa = 5，則 sina =（ ）
A 5
2 1
． B 5． C． D．
3 3 3 9
【答案】A
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式先求得 cosa ，進而求得 sina .
【詳解】依題意，3 1- 2sin2 a -8cosa = 5，
3é1- 2 1- cos2 a ù - 8cosa = 5，
整理得3cos2 a - 4cosa - 4 = 0，
解得 cos
2
a = 2（舍去）或 cosa = - ．
3
∵a (0, π) ， sina = 1- cos2 a 5= ．
3
故選：A
2
14．（2024 高三上·天津靜海·階段練習(xí)）若a 0, π ， 2sina + cosa = ，則 tana =（ ）
5
- 3 4 3 1A． B．- C．- D．-
5 5 4 4
【答案】C
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系和角的范圍可構(gòu)造方程求得 sina ，進而得到 cosa ，由同角三角函數(shù)商
數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】由 2sina + cosa
2
= 得： cosa
2
= - 2sina ，
5 5
2
\sin2 a + cos2 a = sin2 a 2+ - 2sina

÷ = 5sin
2 a 8 4- sina + =1，
è 5 5 25
解得： sina
3
= 或 sina
7
= - ，
5 25
又a 0, π 3 2 6 4，\sina > 0，即 sina = ，\cosa = - = - ，
5 5 5 5
3
\ tana sina 3= = 5 = - .
cosa 4- 4
5
故選：C.
15．（2024 高一下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）若角a 的終邊經(jīng)過點 (-3,4)，則cosa =（ ）
4 4 3 3
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
【答案】D
【分析】利用三角函數(shù)的定義求值即可.
【詳解】設(shè) P(-3,4)，則點 P 到原點的距離為 (-3)2 + 42 = 5，
cosa -3 3則 = = - .
5 5
故選：D.
4
16．（2024 高一下·四川遂寧·階段練習(xí)）若 tanq = ，q 0, π ，則 cosq3 的值為（ ）
3
A． B．-
3 4 4
C． D．-
5 5 5 5
【答案】A
【分析】利用商關(guān)系和平方關(guān)系建立方程組可得答案.
4 sinq 4
【詳解】因為 tanq = =3 ，所以 ；cosq 3
2 2 16 3因為 sin q + cos q =1，所以 cos2 q + cos2 q =1，解得 cosq = ± ；
9 5
π 3
因為 tanq
4
= > 0,q 0, π ，所以q 3 0, ÷ ，所以 cosq = .è 2 5
故選：A.
17．（2024 高一上·福建泉州·期末）已知角a 的頂點與原點重合，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，若a 的終邊
4
與圓心在原點的單位圓交于 A ,m5 ÷，且
a 為第四象限角，則 sina =（ ）
è
3 - 3 4 4A． B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】B
【分析】根據(jù)象限得出m 的范圍，再根據(jù)單位圓的性質(zhì)得出m 的值，即可根據(jù)三角函數(shù)定義得出答案.
4
【詳解】Q A , m 在單位圓上，
è 5 ÷
4
2
2 3\ ÷ + m =1，解得m = ± ，
è 5 5
Q a 為第四象限角，
3
\m < 0，則m = - ，
5
3
\sina = - ，
5
故選：B.
1
18．（2024 高一·全國·課堂例題）已知a 是第二象限角，且 cosa = - ，則 tana 的值是（
3 ）
1
A 2 2． B．- C． D．3 -2 23 4
【答案】D
【分析】方法一由三角函數(shù)的基本關(guān)系式求解；方法二利用三角函數(shù)的定義求解.
【詳解】解：方法一 ∵a 為第二象限角，
2
∴ sina = 1- cos2 a 1 2 2= 1- - 3 ÷
= ，
è 3
2 2
∴ tana sina= = 3 = -2 2 ．
cosa 1-
3
方法二 ∵ cosa
1
= - ，
3
∴角a 終邊上一點 P 的坐標(biāo)為 -1,2 2 ，
則 tana 2 2= = -2 2 ．
-1
故選：D
19．（2024 高一上·北京通州·期末）已知角a 的頂點在原點，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊在第三象限

P 5

且與單位圓交于點 - ,m5 ÷÷
，則 sina = （ ）
è
A 5 B 5．- ． C 2 5 D 2 5．- ．
5 5 5 5
【答案】C
5
【分析】因為點P - ,m÷÷在單位圓上，且終邊在第三象限確定m 唯一，根據(jù)三角函數(shù)求解.
è 5
5
2
5 1 4
【詳解】QP - ,m÷÷ 在單位圓上即 - ÷
2 2
÷ + m =1\m =1- = \m
2 5
= ±
è 5 è 5 5 5 5
2 5 5 2 5
終邊在第三象限所以m < 0，m = - ，所以P - ,-
5 è 5 5
÷

所以 sina 2 5= m = - .
5
故選：C
1
20．（2024 高一下·江西上饒·期末）已知 sina + cosa 3 5= ，則 tana + =（ ）
5 tana
2 5 4 5
A．- B． C．- D．
5 2 5 4
【答案】B
【分析】直接利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果．
【詳解】因為 sina 3 5+ cosa = ，
5
sin2a + 2sina cosa + cos2平方得 a
9
= ，又 sin2 a + cos2 a =1
5
故 sina cosa
2
= ，
5
tana 1 sina cosa sin
2 a + cos2 a 1 5
則 + = + = = = ．
tana cosa sina sina cosa sina cosa 2
故選：B.
21．（2024 · · 1- cosa 1+ cosa 2高三上 寧夏銀川 階段練習(xí)）若 + = - ，則 α 不可能是（ ）
1+ cosa 1- cosa sina
5π 10π 15π 20π
A．- B． C． D．
11 11 11 11
【答案】B
【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及三角函數(shù)在各象限的符號即可求解.
1- cosa 1+ cosa (1- cosa )2 (1+ cosa )2 1- cosa 1+ cosa 2
【詳解】顯然 + = +
1+ cosa 1- cosa 1- cos2 a 1- cos2
= + = ，
a sina sina | sina |
2 2
因此 = -sina sina ，從而 sina < 0，
5π
對于 A，因為- 為第四象限角，所以 sina < 0，A 可能；
11
10π
對于 B，因為 為第二象限角，所以 sina > 0，B 不可能；
11
15π
對于 C ，因為 為第三象限角，所以 sina < 0，C 可能；
11
20π
對于 D，因為 為第四象限角，所以 sina < 0，D 可能.
11
故選：B
二、多選題
22．（2024 高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知 tanq = -4，則下列結(jié)果正確的是（ ）
A sin2 q
16
= B cos2． ． q - sin2 q
15
= -
17 17
C．3sinq cosq
12 6
= - D cos2． q =
17 17
【答案】ABC
【分析】結(jié)合 sin2 q + cos2 q =1，利用齊次式的處理方法求解.
2 2
【詳解】 sin2 q sin q tan q 16= 2 2 = = ，故 A 正確；sin q + cos q tan2 q +1 17
2 2 2
cos2 q - sin2 q cos q - sin q 1- tan q 15= 2 2 = = - ，故 B 正確；sin q + cos q tan2 q +1 17
3sinq cosq 3sinq cosq 3tanq 12=
sin2 q + cos2
= 2 = - ，故 C 正確；q tan q +1 17
cos2 q cos
2 q 1 1
= 2 2 = 2 = ，故 D 錯誤.sin q + cos q tan q +1 17
故選：ABC.
1
23．（2024 高一上·山東濟南·期末）已知a 0, π ，且 sina + cosa = ，則（
5 ）
p
A． < a < p B． sina cosa
12
= -
2 25
C． cosa
7
- sina = D． cosa - sina
7
= -
5 5
【答案】ABD
【分析】AB 選項， sina cosa
1 12
+ = 兩邊平方得到 sina cosa = - ，再結(jié)合a 0, π 得到 sina > 0，
5 25
cosa < 0，得到 AB 正確；先求出 cosa - sina 的平方，結(jié)合角的范圍求出 cosa - sina 的值.
1
【詳解】AB 選項， sina + cosa = 兩邊平方得， sin2 a + cos2 a + 2sina cosa
1
= ，
5 25
即1+ 2sina cosa
1
= ，所以 sina cosa
12
= - ，B 正確，
25 25
p
因為a 0, π ，所以 sina > 0，故 cosa < 0，所以 < a < p，A 正確；
2
CD 選項， cosa - sina 2 = sin2 a + cos2 a 2sina cosa 1 24 49- = + = ，
25 25
因為 sina > 0， cosa < 0，所以 cosa - sina < 0，
故 cosa sina
7
- = - ，C 錯誤，D 正確.
5
故選：ABD
24．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）下列命題是真命題的是（　　）
A．若 sina = m，則 cosa = 1- m2
B．若 sina = m，則 cosa = ± 1- m2
1
C．若 tana = m，則 cosa =
1+ m2
sina mD．若 tana = m，則 = ±
1+ m2
【答案】BD
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系直接求解即可.
【詳解】對于 AB，當(dāng) sina = m時， cos2 a =1- sin2 a =1- m2 ，\cosa = ± 1- m2 ，A 錯誤，B 正確；
ì
tana
sina
= = m cosa 1 sina m對于 CD，由 í cosa 得： = ± = ±2 ， 2 ，C 錯誤，D 正確.
sin2 a + cos2 a =1 1+ m 1+ m
故選：BD.
4 - 2m m - 3 π
25．（2024 高一上·河南周口·期末）已知 cosθ = ， tanq = ，且q , π4 2m ÷，下面選項正確的是m +5 - è 2
（ ）
A．m = 8 B．m = 0或m = 8
C sinq > cosq D sin2． ． q + 2sinq cosq 95= -169
【答案】ACD
q π , π 【分析】根據(jù)同角的基本關(guān)系和 ÷可求出m 的值，進而求出 sinq , cosq 的值，然后就可以驗證 C，D
è 2
選項.
cosθ 4 - 2m【詳解】由 = tanq
m - 3 sinq cosq tanq m - 3， = = =
m +5 4 - 2m
，可得 m + 5 ，
Qsin2 q + cos2 q =1，
m - 3
2
4 - 2m
2
\ m + 5 ÷
+ ÷ =1，
è è m + 5
解得m = 0或m = 8 .
Qsinq > 0 ， cosq < 0
4 - 2m
，經(jīng)檢驗，當(dāng)m = 0時， cosq = > 0m 5 ，不合題意，+
\m = 8，
5 12
此時 sinq = ， cosq = - 2， sin q + 2sinq cosq
95
= - .
13 13 169
故 A 項正確，B 項錯誤，CD 項正確.
故選：ACD.
三、填空題
26．（2024 高一下·廣西欽州·期中）若點 P(-3,4)在角a 的終邊上，則 sina = .
4
【答案】 /0.8
5
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義可得三角函數(shù)值.
【詳解】點 P(-3,4)在角a 的終邊上，
所以 sina
4 4
= =
.-3 2 + 42 5
4
故答案為： .
5
27．（2024 5高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知 sina - cosa = ，則 tana = .
5
1
【答案】2 或
2
【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解即可.
5 2 2 1
【詳解】由 sina - cosa = 兩邊平方得 sin a - 2sina cosa + cos a =1- 2sina cosa = ，
5 5
解得 sina cosa
2
= ，
5
sina cosa tana 2
所以 2 2 = 2 = ，即sin cos tan 1 5 2 tan
2 a - 5 tana + 2 = 0，
a + a a +
1
解得 tana = 2 或 ，
2
1
故答案為：2 或
2
1
28．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）若 cos x - sin x = ，則 3 3 .
3 cos x - sin x =
13
【答案】
27
【分析】由 cos x - sin x
1
= 求出 sin x cos x ，再由立方差公式求解
3 cos
3 x - sin3 x的值.
【詳解】 cos x - sin x
1 1
= ，兩邊平方得1- 2sin x cos x = ，
3 9
∴ sin x cos x
4
= ，
9
cos3則 x - sin x3 = (cos x - sin x) × (cos2 x + sin x cos x + sin2 x)
1 4 13
= × 1+ ÷ = ． 3 è 9 27
13
故答案為： ．
27
4 sinq - cosq
29．（2024 高三上·江西南昌·階段練習(xí)）若 tanq = ，則 =3 .sinq + cosq
1
【答案】
7
4
【分析】分式上下同除以 cosq ，化弦為切，代入 tanq = 求值即可.3
【詳解】Q tanq
4
=
3 ，
sinq
sinq - cosq -1
4
cosq tanq -1
-1
\ = = = 3 1= .
sinq + cosq sinq 1 tanq +1 4+ +1 7
cosq 3
1
故答案為： .
7
2sina - 3cosa
30．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）若 = -1，則 tana = .
4sina - 9cosa
【答案】 2
【分析】分子分母同除 cosa 即可構(gòu)造關(guān)于 tana 的方程.
Q 2sina - 3cosa 2 tana - 3【詳解】 = = -1，\2 tana - 3 = -4 tana + 9，解得： tana = 2 .
4sina - 9cosa 4 tana - 9
故答案為： 2 .
31．（2024 高一下·上海楊浦·期中）若 sina 及 cosa 是關(guān)于 x 的方程2x2 - 4kx - 3k = 0的兩個實根，則實數(shù) k
的值為
1
【答案】 4
3k
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得到 sina + cosa = 2k ， sina cosa = - 結(jié)合 sin2 a + cos2 a =1列出關(guān)于 k 的方程，
2
由判別式 ≥ 0即可求解.
【詳解】因為 sina 及 cosa 是關(guān)于 x 的方程2x2 - 4kx - 3k = 0的兩個實根，
則 sina
-4k
+ cosa = - = 2k ， sina cosa
3k
= - ，
2 2
因為 sina + cosa 2 = sin2 a + cos2 a + 2sina cosa 且 sin2 a + cos2 a =1，
4k 2所以 =1+ 2
3
- k ÷，即 4k 22 + 3k -1 = 0
，
è
1
解得： k = -1或 k = 4 ，
因為方程2x2 - 4kx - 3k = 0有兩個實根，
所以D =16k 2 -8 -3k 0 3，解得： k - 或 k 0，
2
k 1所以 = 4 ，
1
故答案為： .4
1
32．（2024 高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）若角 A 是三角形 ABC 的一個內(nèi)角，且 sin A ×cos A = ，則
3
sin A + cos A = .
1
【答案】 é 11.8 12
2 + 11.7 12 2 + + 11.9 12 2 ù 1 / 1520 3
【分析】由已知條件可判斷角A 為銳角，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合完全平方公式可求得結(jié)果.
1
【詳解】因為角 A 是三角形 ABC 的一個內(nèi)角，且 sin A ×cos A = > 0，
3
所以角A 為銳角，
所以 sin A + cos A = sin A + cos A 2
= sin2 A + cos2 A + 2sin Acos A
1 2 1 15= + = ，
3 3
15
故答案為：
3
3π
33．（2024 3高一下·上海嘉定·期中）已知 cosa = - ，且 π < a < ，則 tana = ；
3 2
【答案】 2
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，先求出 sina ，然后求得 tana .
3 3π
【詳解】因為 cosa = - ，且 π < a < 6，所以2 sina = - 1- cos
2 a = - ，
3 3
tana sina則 = = 2 .
cosa
故答案為： 2 .
34．（2024 高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知a 為第二象限角， sina + cosa
1
= - ，則 sina - cosa = ．
2
7 1
【答案】 / 7
2 2
【分析】根據(jù)a 是第二象限角和三角函數(shù)值的符號，判斷出 sina 、cosa 的符號，由條件和同角三角函數(shù)
基本關(guān)系求出 sina - cosa 的值.
1
【詳解】因為a 是第二象限角，所以 cosa < 0， sina > 0，又 sina + cosa = - ，
2
所以 sina + cosa 2 1= ，即 sin2a + 2sinacosa 1 3+ cos2a = ，得 2sinacosa = - ，
4 4 4
所以 sina - cosa = sina - cosa 2 = 1- 2sinacosa 1 3 7= + = ．
4 2
7
故答案為： .
2
35．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）點P(tan2022o, cos2022o )位于第 象限．
【答案】四
【分析】根據(jù)象限角可得三角函數(shù)值的正負(fù)，即可求解.
【詳解】 2022o = 5 360o + 222o，
∴ 2022o 是第三象限角，
則 tan 2022o > 0，cos 2022o < 0 .
則點P(tan2022o, cos2022o )位于第四象限．
故答案為：四
1
36．（2024 高二下·新疆·學(xué)業(yè)考試）若 sina = ，且a 為第二象限角，則 cosa = ．
2
3 1
【答案】- / - 3
2 2
【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算即可求解.
1
【詳解】因為 sina = ，且a 為第二象限角，
2
所以 cosa = - 1- sin2 a 1 1 3= - - = - .
4 2
3
故答案為：-
2
sina 2m - 537．（2024 高三上·江蘇揚州·開學(xué)考試）已知 = ， cosa
m
= - ，且a 為第二象限角，則
m +1 m +1
tana = .
3
【答案】- / -0.75
4
【分析】根據(jù)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號可求得m 范圍，由同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造方程求得m 的
值，由此可得 sina , cosa ，根據(jù)同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系可求得結(jié)果.
ì
sina
2m - 5
= > 0
Q a \ m +1 5【詳解】 為第二象限角， í ，解得：m < -1或m > ；
cosa m= - < 0 2
m +1
2m - 5 2 + m2
Qsin2 a + cos2 a = 2 =1，即 2m - 5
2 + m2 = m +1 2 ，
m +1
\2m2
3
-11m +12 = 0，解得：m = （舍）或m = 4 ，2
sina 3 4 sina 3\ = ， cosa = - ，\ tana = = - .
5 5 cosa 4
3
故答案為：- .
4
4
38．（2024 高一下·新疆和田·階段練習(xí)）已知q 是第四象限角，且 cosq = ，那么 tanθ 的值為 .
5
3
【答案】- / -0.75
4
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合象限角的性質(zhì)，可得答案.
2 3
【詳解】由q 是第四象限角，則 sinq = - 1- cos q = - ， tanq
sinq 3
= = - .
5 cosq 4
3
故答案為：- .
4
cos x 1 1+ sin x
39．（2024 高三上·廣東廣州·開學(xué)考試）設(shè) = - ，則 = ．
sin x -1 3 cos x
1
【答案】
3
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡可得出所求代數(shù)式的值.
cos x 1
【詳解】因為 = - ，顯然 sin x 1，
sin x -1 3
1+ sin x 1+ sin x 1- sin x 1- sin2 x cos2 x
則 = = =cos x cos x 1- sin x cos x 1- sin x cos x 1- sin x
cos x cos x 1
= = - = .
1- sin x sin x -1 3
1
故答案為： .
3
40．（2024 高三上·山東·開學(xué)考試）已知 cosa 0，3sin 2a - cos 2a =1，則 tan 2a = .
3
【答案】 /0.75
4
【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及商數(shù)關(guān)系計算即可.
【詳解】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及已知條件可知：
ìsin2 2a + cos2 2a =1
í sin2 2a + 3sin 2a -1 2 =1 10sin2 2a - 6sin 2a = 0，
3sin 2a - cos 2a =1
當(dāng) sin 2a = 0,cos 2a = -1
1+ cos 2a
，此時 cosa = = 0，不合題意；
2
sin 2a 3 ,cos 2a 4當(dāng) = = ，符合題意；
5 5
所以 tan 2a
sin 2a 3
= = .
cos 2a 4
3
故答案為：
4
sina + cosa
41．（2024 高一下·遼寧丹東·期末）已知 = 2，且a 是第三象限的角，則
sina - cosa
1+ sina 1- sina
- = ．
1- sina 1+ sina
【答案】-6
【分析】根據(jù)題意結(jié)合同角三角關(guān)系分析運算，注意三角函數(shù)值符號判斷.
sina + cosa 2 tana +1【詳解】因為 = ，則 = 2，解得 tana = 3，
sina - cosa tana -1
1+ sina 1- sina 1+ sina 2 1- sina 2 1+ sina 2 1- sina 2
又因為 - = - = - ，
1- sina 1+ sina 1- sina 1+ sina 1+ sina 1- sina cos2 a cos2 a
且a 是第三象限的角，則1+ sina > 0,1- sina > 0,cosa < 0，
1+ sina 2 1- sina 2所以 1+ sina 1- sina 1+ sina 1- sina- = - = - + = -2 tana = -6 .
1- sina 1+ sina cos2 a cos2 a cosa cosa
故答案為：-6 .
42．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知角a 的終邊經(jīng)過點 (2a +1,a - 2)，且 cosa
3
= - ，則實數(shù) a = .
5
【答案】-2
2
【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義，列出方程求得 a = -2 或 a = ，再由 cosa < 0，即可求解，得到答案.
11
2a +1 3
【詳解】由題意，根據(jù)余弦函數(shù)的定義，可得 = - .(2a +1)2 + (a - 2)2 5
2
整理得11a2 + 20a - 4 = 0，解得 a = -2 或 a = ，
11
1
又因為 cosa < 0，所以 2a +1 < 0，即 a < - ，
2
所以 a = -2 .
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義是解答的關(guān)鍵，同時注
意隱含條件“ 2a +1 < 0 ”，出現(xiàn)增根是解答的一個易錯點，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.
f x 4 2543．（2024 高一下·遼寧·期中）函數(shù) = 2 + 2 的最小值為 ，此時 2 ．sin x cos x tan x =
2
【答案】 49 /0.4
5
【分析】由基本不等式“1”的妙用求解
4 25 22 2 4cos x 25sin2 x
【詳解】由題意得 f x = 2 + sin x + cos x = 29 + +è sin x cos2 x ÷ sin2 x cos2 x
2 2
29 + 2 4cos x 25sin x2 × = 49，sin x cos2 x
4cos2 x 25sin2 x
= 2
2
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 tan x =2 2 時，等號成立．sin x cos x 5
2
故答案為：49，
5
四、解答題
3 3π
44．（2024 高一·全國·隨堂練習(xí)）已知 cosa = ，a ,2π

2 ÷，求
tana 的值．
5 è
4
【答案】-
3
【分析】先利用平方關(guān)系求 sina ，然后由商數(shù)關(guān)系可得.
3π
【詳解】因為 cosa
3
= ，a
5
,2π
2 ÷，è
2
3 4
所以 sina = - 1- ÷ = - ，
è 5 5
tan a sin a 4所以 = = - .
cosa 3
45．（2024 高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知角q 終邊上P x, 2x - 3 , x 0 , 且 tanq x sinq + cosq= - ，求 sinq cosq 的-
值．
【答案】2 或 0
【分析】首先根據(jù)正切函數(shù)的定義，求 x ，再將關(guān)于 sinq , cosq 的齊次分式轉(zhuǎn)化為正切表示，最后代入求值.
【詳解】由于 tanq
2x - 3 2x - 3
= ，故 = -x ，解得 x = -3或x =1.
x x
sinq + cosq = tanq +1當(dāng) x = -3時, tanq = 3， = 2
sinq - cosq tanq -1
sinq + cosq = tanq +1當(dāng) x =1時，tanq = -1， = 0.
sinq - cosq tanq -1
cosa - 5sina
46．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知 tana = 2 ，求 .
3cosa + sina
3cosa - sina 1
（2）已知 = ，求 sina cosa 的值．
cosa + 2sina 5
9 2
【答案】（1）- ；（2） .
5 5
【分析】（1）分子分母同除 cosa ，代入 tana 即可；
sina cosa
（2）由已知等式可求得 2cosa = sina ，根據(jù) sina cosa = ，代入消元或分子分母同除 cos2sin2 aa + cos2 a
即可求得結(jié)果.
cosa - 5sina 1- 5 tana 1-10 9
【詳解】（1） = = = - ；
3cosa + sina 3+ tana 3 + 2 5
3cosa - sina 1
（2）由 = 得：15cosa - 5sina = cosa + 2sina ，\2cosa = sina ；
cosa + 2sina 5
sina cosa sina cosa 2cos
2 a 2
方法一： = = = ；
sin2 a + cos2 a 4cos2 a + cos2 a 5
方法二：由 2cosa = sina 得： tana = 2 ，
sina cosa sina cosa tana 2 2\ = = = = .
sin2 a + cos2 a tan2 a +1 22 +1 5
1- a 3a -1
47．（2024 高一·江西宜春·階段練習(xí)）已知 sinq = , cosq = ，且q 是第二象限角，求實數(shù) a 的值.
1+ a 1+ a
1
【答案】 a =
9
【分析】由 sin2 q + cos2 q =1計算得到 a，再結(jié)合 sinq > 0,cosq < 0即可得到答案.
1- a 3a -1 1
【詳解】因為q 是第二象限角，所以 sinq = > 0,cosq = < 0 ，解得a (-1, )，
1+ a 1+ a 3
由 sin2 q + cos2 q =1得到 (
1- a )2 (3a -1+ )2 1=1，解得 a = 或 a =1（舍）.
1+ a 1+ a 9
【點睛】本題考查三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.
1 π
48．（2024 高一下·北京·階段練習(xí)）已知 sinq + cosq = < q < π ÷，求 tanq .5 è 2
4
【答案】-
3
【分析】根據(jù)題意，將原式平方可得 sinq cosq ，然后結(jié)合同角的平方關(guān)系即可得到結(jié)果.
π
【詳解】因為 < q < π，且 sin q + cosq
1
= > 0 ，
2 5
sinq cosq 12平方可得 = - ，且 sinq > 0,cosq < 0，
25
2 2 sinq 4結(jié)合 sin q + cos q =1，可得 = ， cosq
3
= -
5 ，5
tanq sinq 4所以 = = - .
cosq 3
m - 3 4 - 2m p
49．（2024 高一·湖南·課后作業(yè)）已知 sin θ = ， cosθ = ，且 q p，求實數(shù)m 的值．
m +5 m +5 2
【答案】8
【分析】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程，求出m ，再根據(jù)三角函數(shù)的符號驗證即可．
sin θ m - 3 cosθ 4 - 2m p【詳解】解：因為 = ， = ，且 q p，
m +5 m +5 2
則 sinq 0，
m - 3 4 - 2m
又 sin2 q + cos2 q =1 2 2，所以 ( ) + ( ) = 1，解得m = 0或m = 8m ，+ 5 m + 5
3
當(dāng)m = 0時， sin θ = - ，不滿足題意，
5
sinq 5當(dāng)m = 8時， = ， cosq
12
= - ，滿足題意．
13 13
所以m = 8
1
50．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）已知 sinq +cosq = .
2
(1)求 sin θcos θ 的值；
(2)求 sin3θ＋cos3θ 的值．
3
【答案】(1)－ .
8
11
(2)
16
【分析】（1）將等式兩邊平方，結(jié)合 sin2 q +cos2 q =1即可求解；
（2）利用立方和公式，將已知代入即可.
【詳解】（1）由已知 sinq +cosq =
1 2
，兩邊平方得 sin q +2sinq cosq +cos2 q =
1
.
2 4
因為 sin2 q +cos2 q =1，所以 sinq cosq =
3
- .
8
（2）由立方和公式 sin3 q +cos3 q = sinq +cosq sin2q - sinqcosq +cos2q = sinq +cosq 1- sinqcosq
1 3
= 1+ 11 ÷ = .2 è 8 16
51．（2024 高一上·甘肅天水·期末）計算：
(1)已知a (π,
3π)， tana = 2 ，求 cosa 的值.
2
(2)已知cosa
8
= - ，求 sina ， tana 的值
17
5
【答案】(1) cosa = - ；
5
(2)答案見解析.
【分析】（1）由商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系，結(jié)合角的范圍求 cosa 即可；
（2）討論a 為第二或第三象限角，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求正弦、正切值.
tana sina【詳解】（1）由 = = 2， sin2 a + cos2 a =1得： 4cos2cosa a + cos
2 a =1，
a 3π又 (π, ) 5，所以 cosa = - .
2 5
（2）因為cosa
8
= - ，所以a 為第二或第三象限角，又 sin217 a + cos
2 a =1 .
15 15
若a 為第二象限角，則 sina = , tana = - ；
17 8
a sina 15 , tana 15若 為第三象限角，則 = - = .
17 8
3
52．（2024 高一下·廣西欽州·期中）已知點P 4, -3m 角a 的終邊上，且 sina = ，求 m， cosa ， tana ．
5
4 3
【答案】m = -1， cosa = ， tana = ．
5 4
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求得m ，進而得出 cosa ， tana ．
【詳解】根據(jù)三角函數(shù)定義 sin a
y -3m 3
= = = > 0
r ，解得m = -1，16 + 9m 2 5
所以 cosa
x 4 y 3
= = ， tana = = ．
r 5 x 4
53．（2024 高一· 2m全國·課后作業(yè)）已知角a 的終邊上一點P m,- 5 ，且 cosa = ，求m 值.
4
【答案】m = 0或m = ± 3 .
【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義得到方程，解得即可；
m 2
= m m2 m2
【詳解】解：依題意有： 22 即： =m + - 5 4 m2 + 5 8
解得：m2 = 0或m2 = 3
即m = 0或m = ± 3
54．（2024 5高一下·新疆塔城·階段練習(xí)）已知角a 的終邊過點P x, 2 ，且cosa = - ，求 sina 及 tana 的值．
3
2 2 5
【答案】 sina = ，
3 tana = - 5
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求解.
x 5
【詳解】由角a 的終邊過點P x, 2 ，可知 cosa = 2 ，又cosa = - ，得 x = - 5 ．x + 4 3
所以 sina
2 2
= =
3 ， tana
2 2 5
= = - .
5 + 4 - 5 5
5
55．（2024 高一·全國·課堂例題）已知 sina = - ，并且a 是第四象限角，求 cosa ， tana ．
13
【答案】 cosa
12
= ， tana
5
= - ．
13 12
【分析】利用 sin2 a + cos2 a =1和角a 的范圍結(jié)合已知條件求解即可
【詳解】由 sina ， cosa 之間的關(guān)系式 sin2 a + cos2 a =1及第四象限角的余弦 cosa > 0得
2
cosa 5 12= 1- sin2 a = 1- - = ，
è 13 ÷ 13
tana sina 5 13 5= = - = - ．
cosa 13 12 12
1+ 2sin10°cos10°
56．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）化簡： .
cos10° + 1- cos2 10°
【答案】1
【分析】利用平方關(guān)系化簡即可.
【詳解】因為 cos10° > sin10° > 0，
sin2 10° + cos2 10° + 2cos10°sin10°
所以，原式=
cos10° + sin2 10°
(cos10° + sin10°)2 cos10° + sin10°
= = =1
cos10° + sin10° cos10° + sin10°
57．（2024 高一下·湖北·階段練習(xí)）設(shè)矩形 ABCD(AB > AD) 的周長為 4cm ，把△ABC 沿 AC 向△ADC 折疊，
AB 折過去交 DC 于點 P.
(1)證明△ADP 的周長為定值，并求出定值；
(2)在探討△ADP 面積最大值時，同學(xué)們提出了兩種方案：①設(shè) AB 長度為 xcm，將△ADP 面積表示成 x 的
函數(shù)，再求出最大值；②設(shè) DAP = q ，將△ADP 面積表示成q 的函數(shù)，再求出最大值，請你選擇一種方案
（也可選擇自己的方案），求出△ADP 面積的最大值.
【答案】(1)證明見解析，定值為 2
(2)△ADP 面積的最大值為3 - 2 2
【分析】（1）根據(jù)三角形全等，可得對應(yīng)邊相等，即可求證，
2
（2）根據(jù)三角形全等，結(jié)合勾股定理即可表達(dá)m = 2 - x ，進而根據(jù)面積公式即可結(jié)合不等式求解最值，（利
2sinq cosq t2 -1 t -1 2
用 sinq + cosq ,sinq cosq 的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成 S = = = = 1- sinq + cosq +1 2 t +1 2 t +1 t +1，即可利用函數(shù)的單調(diào)性
糾結(jié)最值）.
o
【詳解】（1）由于 APD = CPB1, D = B1 = 90 , AD = BC = B1C ,
所以VAPD @ △CPB1，PD = PB1，
所以△APD 的周長為 AP + PD + DA = AP + PB1 + DA = AB1 + DA = AB + AD = 2，故為定值；
（2）方案①，設(shè) AB 長度為 xcm，設(shè)DP = m，則 AP = PC = x - m ， AD = 2 - x
因為DP2 + DA2 = AP2，
2 2所以m + (2 - x)2 = (x - m)2，化簡得m = 2 - x ，
1 2 2
所以△APD S = 2 - 2 - x = 3- x + 的面積 ÷ ÷ 3 - 2 2 ，2 è x è x
由于0 x 2 x
2
< < ，故 + 2 2,x 因此 S 3 - 2 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) x = 2 時取到等號，
此時S 取得最大值3 - 2 2
方案②設(shè) DAP = q ，設(shè) AP = x ，則 AD = x cosq , DP = x sinq ，由△APD 的周長為 2 可得
x cosq + x sinq + x = 2 x 2= ，
sinq + cosq +1
所以△APD 的面積 S
1 xsinq x cosq 1 x2 sinq cosq 2sinq cosq= × = =
2 2 sinq + cosq +1 2 ，
2sinq cosq t2 -1 t -1 2
令 sinq + cosq = t,q 0,45o ù ，t 1, 2ù ，所以 2sinq cosq = t 2 -1，故 S = 2 = 2 = = 1- sinq + cosq +1 t +1 t +1 t +1，
y 2由于函數(shù) = - 在 t 1, 2ù 1 2單調(diào)遞增，故當(dāng) 時，面積取到最大值 - = 3 - 2 2 ，此時t 1 t = 2+ 2 +1
q = 45o
58．（2024 高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角a 的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，
終邊與單位圓（圓心在原點，半徑為 1）交于點 P .過點 P 作圓O的切線，分別交 x 軸、 y 軸于點P1 x0 ,0 與
P2 0, y0 .
p
(1)若a = ，求 P 的坐標(biāo)
6
(2)若VOP1P2 的面積為 2，求 tana 的值；
(3) x2 + 9 y2求 0 0 的最小值.
3 1
【答案】(1) P , ÷÷
è 2 2
(2) tana = 2 ± 3
(3)16
【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義直接求解即可；
（2）根據(jù)題意求出 x0 和 y0 ，再利用VOP1P2 的面積為 2，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算即可求解；
3 2 x2（ ）結(jié)合（ ）可表示出 0 + 9 y
2
0 ，利用基本不等式即可求解.

【詳解】（1）由題意得P cosa ,sina P π π 3 1，所以 cos ,sin ÷，即P ,6 6 2 2 ÷è ÷ .è
（2）由題意得a 為銳角，故 P 在第一象限，則P , P 在 x, y1 2 軸正半軸上，
由題意可知OP ^ P1P2 ，故 cosa
1
=
OP ，故 x
1
0 = ，
1 cosa
1
OP 12P = a ，故 sina = OP ，則 y0 = ，2 sina
VOPP 1 x y 2 1 1 1 2 sinacosa 1由 1 2 的面積為 2，得 0 0 = ，即 × × = .所以 = ，2 2 cosa sina 4
sinacosa 1 tana 1
又 sin2a + cos2a =1，故 2 = ，即 = ，sin a + cos2a 4 tan2a +1 4
所以 tan2a - 4tana +1 = 0，解得 tana = 2 ± 3 ；
（3）由題意a 是銳角，則 x0 > 0, y0 > 0，
x20 + 9y
2 1 9 1 9
0 = 2 + =

2 2 +
sin2a + cos2a
cos a sin a è cos a sin2a ÷


10 sin
2a 9cos2a 10 2 sin
2a 9cos2a
= + + + =16，
cos2a sin2a cos2a sin2a
sin2a 9cos2a
當(dāng)且僅當(dāng) 2 = 2 ，即 sina
3
= ,a p= 時取等號，
cos a sin a 2 3
x2所以 0 + 9 y
2
0 的最小值為 16.
59．（2024高一上·新疆塔城·期末）（1）已知角 θ的終邊上有一點P x,3 (x 0)，且 cosq 10= x，求 sinq + tanq
10
的值．
1
（2）已知角 θ 是三角形的內(nèi)角， sinq + cosq = ，求 sinq - cosq 的值．
5
7
【答案】（1）答案見解析；（2） sinq - cosq = 5
【分析】（1）運用三角函數(shù)定義即可求得結(jié)果.
（2 2）運用完全平方公式 sinq ± cosq = 1± 2sinq cosq 及角的范圍的判定即可求得結(jié)果.
x 10 x
【詳解】（1）因為 r = x2 + 9 ， cosq = x =r ，所以 ．10 x2 + 9
又 x 0，所以 x = ±1，所以 r = 10 ．
所以點 P 坐標(biāo)為 (1,3)或 (-1,3)，即 θ 是第一或第二象限角．
3 10
當(dāng) θ 為第一象限角即點P(1,3) 時， sinq = ， tanq = 3，則 sinq + tanq 3 10 + 30= ．
10 10
當(dāng) θ 3 10為第二象限角即點P(-1,3)時， sinq = ， tanq = -3，則 sinq 3 10 - 30+ tanq = ．
10 10
3 10 + 30
綜述：當(dāng)點 P 坐標(biāo)為 (1,3)時， sinq + tanq = ；
10
P (-1,3) sinq tanq 3 10 - 30當(dāng)點 坐標(biāo)為 時， + = .
10
（2）因為 sinq cosq
1 1
+ =
5 ，兩邊平方得
1+ 2sinq cosq =
25 ，
所以 2sinq cosq
24
= - ，
25
又因為 θ 為三角形的內(nèi)角，
ìsinq > 0
所以 í ，即90° < q <180°
cos
，
q < 0
所以 sinq - cosq > 0，
sinq - cosq 2 24 49又因為 = 1- 2sinq cosq = 1+ =25 25 ，
所以 sinq - cosq
7
=
5 ．5.2 三角函數(shù)的概念 10 題型分類
一、三角函數(shù)的概念
(1)任意角的三角函數(shù)的定義
如圖，設(shè) α 是一個任意角，
前提 α∈R，它的終邊 OP 與單位
圓相交于點 P(x，y)
把點 P 的縱坐標(biāo) y 叫做 α 的正弦函數(shù)，記作 sinα，即
正弦函數(shù)
y＝sinα
把點 P 的橫坐標(biāo) x 叫做 α 的余弦函數(shù)，記作 cosα，即
余弦函數(shù)
x＝cosα
定義 y
把點 P 的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值 叫做 α 的正切，記
x
正切函數(shù) y
作 tanα，即 ＝tanα(x≠0)，以單位圓上點的縱坐標(biāo)與橫
x
坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，稱為正切函數(shù)
我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函
三角函數(shù)
數(shù)
注：三角函數(shù)的定義
(1)三角函數(shù)是一種函數(shù)，它滿足函數(shù)的定義，可以看成是從角的集合(弧度制)到一個比值
的集合的對應(yīng)．
(2)三角函數(shù)是用比值來定義的，所以三角函數(shù)的定義域是使比值有意義的角的范圍．
(3)三角函數(shù)值的大小與點 P(x，y)在角 α 終邊上的位置無關(guān)，只由角 α 的終邊位置決定，
即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．
(2)三角函數(shù)的定義域
三角函數(shù) 定義域
y＝sinx x∈R
y＝cosx x∈R
π
y＝tanx x≠ ＋kπ(k∈Z)
2
二、三角函數(shù)值的符號
規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
三、誘導(dǎo)公式(一)
名稱 符號語言 文字語言
sin(α＋k·2π)＝sinα(k∈Z)
終邊相同的角的同一三角
誘導(dǎo)公式(一) cos(α＋k·2π)＝cosα(k∈Z)
函數(shù)的值相等
tan(α＋k·2π)＝tanα(k∈Z)
注：公式一的理解
(1)公式一的實質(zhì)：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，即角 α 的終邊每繞原點旋轉(zhuǎn)
一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn)一次，體現(xiàn)了三角函數(shù)特有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律．
(2)公式一的結(jié)構(gòu)特征：
①左、右為同一三角函數(shù)；
②公式左邊的角為 α＋k·2π(k∈Z)，右邊的角為 α.
四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 關(guān)系式 語言敘述
同一個角 α 的正弦、余弦
平方關(guān)系 sin2α＋cos2α＝1
的平方和等于 1
sinα
＝tanα
cosα 同一個角 α 的正弦、余弦
商數(shù)關(guān)系
( π ) 的商等于角 α 的正切α ≠ kπ＋ ，k ∈ Z2
(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的變形形式及常用結(jié)論
①平方關(guān)系變形及常用結(jié)論
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，(sinα－cosα)2＝1－
2sinαcosα.
②商的變形
sinα
sinα＝tanαcosα，cosα＝ .
tanα
(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式揭示了“同角不同名”的三角函數(shù)的運算規(guī)律，這里“同角”有
兩層含義：一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)．關(guān)系式成立與角
的表達(dá)形式無關(guān)，如 sin23α＋cos23α＝1.
(3)sin2α 是(sinα)2的簡寫，不能寫成 sinα2.
(4)約定：教材中給出的三角恒等式，除特別注明的情況外，都是指兩邊都有意義的情況
下的恒等式．
sin90°
(5)在使用同角三角函數(shù)關(guān)系式時要注意使式子有意義，如式子 tan90°＝ 不成立．
cos90°
(6)在應(yīng)用平方關(guān)系式求 sinα 或 cosα 時，其正負(fù)號是由角 α 所在的象限決定的．
（一）
三角函數(shù)的定義及應(yīng)用
1、任意角的三角函數(shù)的定義
如圖，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a 是一個任意角，a 終邊上任意一點 P 的坐標(biāo)為 (x, y) ，它與原點
的距離為 r(r = | x |2 + | y |2 = x2 + y2 > 0) ，那么：
y y
（1）比值 a sina sina =r 叫做 的正弦，記作 ，即 r ；
x x
（2）比值 叫做a 的余弦，記作 cosa ，即 cosa =r r ；
y y
（3）比值 x 叫做
a 的正切，記作 tana ，即 tana = (x 0)x ．
對于確定的a
y x y
值，比值 r ， r ， x 分別是唯一一個確定的實數(shù)，所以正弦、余弦、正切是以角
a 為自變量，比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上三種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)．
2、利用三角函數(shù)的定義求值的策略
已知角 α 的終邊在直線上求 α 的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：
(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)
值．
(2)注意角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況來處理，取射線上任一點(a，b)，則對應(yīng)角的正弦
b a
值 sinα＝ ，余弦值 cosα＝ .
a2＋b2 a2＋b2
提醒：角 α 是一個任意角，其范圍是使函數(shù)有意義的實數(shù)集．
題型 1：利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值
1 3
1-1．（2024 高二下·湖南·學(xué)業(yè)考試）設(shè)角a 的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)為 , ÷÷，則 sina =（ ）
è 2 2
1
A B 2． ． C 3． D．1
2 2 2
1-2．（2024 高一下·四川瀘州·期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角q 的頂點與原點O重合，它的始邊與 x 軸
3
的非負(fù)半軸重合，終邊OP 交單位圓O于點P - ,
4
÷，則 tanq 的值為
è 5 5
3 4 4 3
A．- B． C．- D．-
5 5 3 4
1-3．（2024 高一上· 3 6吉林長春·期末）已知角a 的終邊與單位圓交于點P(- , )，則 sina ×cosa =（ ）
3 3
A 3． B 2 3 2．- C．- D．
3 3 3 3
題型 2：由終邊或終邊上點求三角函數(shù)值
2-1．（2024 高二上·云南大理·開學(xué)考試）已知角a 的終邊落在直線 y = 2x上，則 sina 的值為（ ）
A 2 5 B 5 C 2 5 2 5． ． ．- D．±
5 5 5 5
2-2．【多選】（2024 高一下·四川眉山·期中）已知角a 的終邊經(jīng)過點P(-4m,3m)(m 0)，則 2sina + cosa 的值
可能為（ ）
3 3 2 2
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
2-3．（2024 高三上·北京·開學(xué)考試）若 b 的終邊所在射線經(jīng)過點P 1,2 ，則 sinb = ，tanb = .
2-4．【多選】（2024 高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知角q 的終邊上有一點P a, 2a ，若 a < 0，則（ ）
A． sinq 5= - B． sinq 2 5= -
5 5
1
C． tanq = D． tanq = 22
題型 3：由三角函數(shù)值求終邊上的點或參數(shù)
3-1．（2024 高一下·河南駐馬店·期末）已知角a 的終邊上有一點P m, 3 ，且 cosa 2m= ，則實數(shù) m 取值
4
為 ．
3
3-2．（2024 高一下·全國·課后作業(yè)）角a 的終邊經(jīng)過點P 4,b 且 sina = - ，則 b 的值為（ ）
5
A．3 B．-3 C． ±3 D．5
3-3．（2024 高一上·山東·期末）已知角q 的終邊經(jīng)過點P -8m, -3 cosq 4，且 = - ，則實數(shù) m 的值是（
5 ）
1 9
A． B．
2 32
1 1 9 9
C． 或- D． 或-
2 2 32 32
（二）
判斷三角函數(shù)值的符號
1、各三角函數(shù)的值在各象限的符號如圖所示．
【說明】（1）對各象限角對應(yīng)的正弦值、余弦值和正切值來說，第一象限各三角函數(shù)值全都是
正號，第二象限只有正弦是正值，第三象限只有正切是正值，第四象限只有余弦是正值．
（2）各象限三角函數(shù)值正號規(guī)律：一全二正弦，三切四余弦．
2、確定三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號的方法
(1)三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)的定義，由各象限內(nèi)的點的坐標(biāo)的符號得出的．
(2)正弦、余弦、正切函數(shù)的符號表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限
正切是正值，第四象限余弦是正值．
題型 4：判斷三角函數(shù)值的符號
4-1．（2024 高一上·廣東·期末）已知q 為第二或第三象限角，則（ ）
A． sinq tanq < 0 B． cosq tanq < 0
sinq
C． > 0 D． sinq cosq > 0
tanq
4-2．（北京市海淀區(qū)北京大學(xué)附屬中學(xué)行知學(xué)院 2023-2024 學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若 sina < 0且
tana > 0，則a 的終邊所在象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4-3．（2024 高一下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知P sin1,cos 2 ，則點 P 所在象限為（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2sinx cosx
4-4．（2024 高一上·廣西玉林·期末） +2 2 所有可能取值的集合為 ．1- cos x 1- sin x
sina tana
4-5．（2024 高一下·遼寧·階段練習(xí)）若 > 0， < 0，則a 是（
tan cos ）a a
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（三）
公式一的應(yīng)用
1、公式一可以統(tǒng)一寫成 f(k·360°＋α)＝f(α)或 f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)的形式
2、利用它可以把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為 0 到 2π 角的三角函數(shù)值，即可把負(fù)角的三角函數(shù)
化為 0 到 2π 角的三角函數(shù)，亦可以把大于 2π 角的三角函數(shù)化為 0 到 2π 角的三角函數(shù)，即對
角實現(xiàn)負(fù)化正、大化小的轉(zhuǎn)化．
題型 5：公式一的應(yīng)用
5-1．（2024 高一上·全國·單元測試）代數(shù)式 sin(-330°)cos390° 的值為（ ）
3 1
A 3 3．－ B． C．－ D．
4 4 4 4
2023π
5-2．（2024 高一上·重慶長壽·期末） sin =（ ）
4
A 2
1 1
．- B
2
．- C． D．
2 2 2 2
5-3．（2024 高一上·江西南昌·階段練習(xí)） sin -1380o 的值為（ ）
1 1
A．－ B．
2 2
C 3．－ D 3．
2 2
5-4．（2024 高一下·廣東佛山·階段練習(xí)） cos -1860° =（ ）
1 1
A 3 3．- B． C． D．
2 - 2 2 2
（四）
三角函數(shù)求值
1、求三角函數(shù)值的方法
(1)已知 sinθ(或 cosθ)求 tanθ 常用以下方式求解
(2)已知 tanθ 求 sinθ(或 cosθ)常用以下方式求解
當(dāng)角 θ 的范圍不確定且涉及開方時，常因三角函數(shù)值的符號問題而對角 θ 分區(qū)間(象限)討論．
題型 6：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用
1 p
6-1．（2024 高一下·四川宜賓·期中）已知 cosa = ，其中a - ,0÷， sina 的值為（2 ）2 è
1 1
A 3．－ B C 3．－ ． D．
2 2 2 2
1
6-2．（2024 高三上·上海靜安·開學(xué)考試）設(shè)q 為第二象限角，若 tanq = - ，則 sinq + cosq = .
2
4 - 2m m - 3
6-3．（2024 高一下·上海·課后作業(yè)）已知 sina = ,cosa = ,a 是第四象限角，則 tana = ．
m + 5 m + 5
6-4．（2024 高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）若a 是第四象限的角，且 tana = - 3 ，則cosa = .
3
6-5．（2024 高一下·山東濟南·階段練習(xí)）若 sina = - ，且a 為第三象限角，則 tana =（
5 ）
4 3 4 3
A．- B．- C． D．
3 4 3 4
6-6．（2024 高一上·廣東深圳·期末）已知sinq ， cosq 是關(guān)于 x 的方程5x2 - x + 5m = 0的兩根，則實數(shù)
m = ．
（五）
sinα±cosα，sinαcosα 的應(yīng)用
1、sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα 三個式子中，已知其中一個，可以利用平方關(guān)系求其他
兩個，即“知一求二”．
2、sinθ±cosθ 的符號的判定方法
sinθ－cosθ 的符號的判定方法：由三角函數(shù)的定義知，當(dāng) θ 的終邊落在直線 y＝x 上時，sinθ＝
cosθ，即 sinθ－cosθ＝0，當(dāng) θ 的終邊落在直線 y＝x 的上半平面區(qū)域內(nèi)時，sinθ>cosθ，即 sinθ－
cosθ>0；當(dāng) θ 的終邊落在直線 y＝x 的下半平面區(qū)域內(nèi)時，sinθ所示．同理可得 sinθ＋cosθ 的符號如圖②所示．
題型 7：sinα±cosα，sinαcosα 的應(yīng)用
1
7-1．（2024 高一·全國·課堂例題）已知 sina + cosa = ，求 sina ×cosa 的值．
5
7
7-2．（2024 高一下·四川眉山·階段練習(xí)）已知 sina + cosa = ，a 0, π .
13
(1)求 sina cosa 的值
(2)求 tana
1
7-3．（2024 高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知 sinq + cosq = ，q 0, π ，求下列各式的值：
2
(1) sinq - cosq ；
(2) tanq
1
- ．
tanq
1
7-4．（2024 高一下·貴州遵義·期中）已知a 為第四象限角，且 sina + cosa = ，則 sina - cosa = .
3
π 17
7-5．（2024 高一下·新疆塔城·階段練習(xí)）已知a 0, ÷ ，且 sina + cosa = 則 tana 的值為（4 ）è 13
12 12 5 5
A． B．- C． D．-
5 5 12 12
（六）
齊次式求值
a sina + bcosa a sin21 tana m a + bsina cosa + c cos
2 a
、已知 = ，可以求 或 2 2 的值，將分子分母c sina + d cosa d sin a + esina cosa + f cos a
同除以 cosa 或 cos2 a ，化成關(guān)于 tana 的式子，從而達(dá)到求值的目的.
2、對于 a sin2 a + bsina cosa + c cos2 a 的求值，可看成分母是 1，利用1 = sin2 a + cos2 a 進行代
替后分子分母同時除以 cos2 a ,得到關(guān)于 tana 的式子，從而可以求值.
3、不是已知 tana 的情況，可以先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得 tana 的值，然后利用
齊次式的方法求解.
4、齊次式的化切求值問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).
題型 8：利用齊次式化簡或求值
sina + 3cosa
8-1．（2024 高一下·四川達(dá)州·期中）已知 = 5
3cosa - sina
(1)求 tana 的值；
(2)求 sin2 a - sina cosa 的值．
tana
8-2．（2024 高一下·四川自貢·期中）已知 =2 ，求下列各式的值.
tana -1
2sina - 3cosa
(1) ；
4sina - 9cosa
(2) 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a .
sina + cosa
8-3．（2024 高一上·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知 = 2，則 sina cosa 的值為 .
sina - cosa
8-4．（2024 高一·全國·課堂例題）已知 tana = 2 ，則
2sina - 3cosa
（1） = ；
4sina - 9cosa
2sin2 a - 3cos2 a
（2）
4sin2 a - 9cos2
= ；
a
（3） 4sin2 a - 3sina cosa - 5cos2 a = ．
（七）
利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡與證明
1、三角函數(shù)式化簡的常用方法
(1)化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達(dá)到化簡的目的．
(2)對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達(dá)到化簡的目的．
(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助因式分解，或構(gòu)造 sin2α＋cos2α＝1，以降低函數(shù)次
數(shù)，達(dá)到化簡的目的．
2、證明三角恒等式常用的方法
(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡．
(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子．
(3)化異為同法，即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對地進行變形，以消除差異．
a c d c
(4)變更命題法，如要證明 ＝ ，可證 ad＝bc，或證 ＝ 等．
b d b a
左邊
(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊－右邊＝0”或“ ＝1”．
右邊
題型 9：三角函數(shù)式的化簡
1- 2sin130°cos130°
9-1．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）（1）化簡 ；
sin130° + 1- sin2 130°
2 1- cosa 1+ cosa（ ）化簡 + ，其中a 是第三象限角．
1+ cosa 1- cosa
3
9-2 1- cosa 1+ cosa．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）若 π < a < π ，化簡： + ．
2 1+ cosa 1- cosa
9-3．（2024 高一·全國·課堂例題）化簡：
2
(1) sin2 a tana cos a+ + 2sina cosa ；
tana
(2) 1+ cosa 1- cosa+ 180° < a < 270° ．
1- cosa 1+ cosa
題型 10：證明三角恒等式
10-1．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）求證：
（1）1+ tan2 a
1
= 2 ；cos a
（2） sin4 a - cos4 a = sin2 a - cos2 a ；
（3） tan2 a sin2 a = tan2 a - sin2 a .
10-2．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）求證：
1- 2sin x cos x 1- tan x
(1) 2 =cos x - sin x2 1+ tan x
(2) tan2 a - sin2 a = tan2 a ×sin2 a
10-3．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）求證：
sina - cosa +1 1+ sina
(1) ＝ ；
sina + cosa -1 cosa
(2) 2 sin6 q + cos6 q - 3 sin4 q + cos4 q +1 = 0
一、單選題
tana 3 sina + cosa1．（2024 高一下·四川達(dá)州·期中）已知 = ，則 = （ ）
2 sin cos
a - a
A．2 B．3 C．4 D．5
sin x | cos x |
2．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）當(dāng) x 為第二象限角時， - =sin x cos x （ ）
A．1 B．0
C．2 D．－2
π
3．（2024 高二上· 5甘肅定西·開學(xué)考試）已知 sin b = - ，- < b < 0，則 cos b =（ ）
5 2
A 5 B 2 5 2 5 2 5． ．± C．- D．
5 5 5 5
3 1
4．（2024 高一下·北京·期中）已知角 θ 的終邊經(jīng)過點P , - ÷，則 cosq 等于（ ）
è 2 2
1
A - B 3． ． C．
2 - 3
D 3．
2 3
5．（2024 高一上·廣東廣州·期末）已知 sina + cosa
1
= ，且a 0, π ，則 sina - cosa 的值為（ ）
3
1
A - B 17． ．- C 17 D 17 17． ． 或-
3 3 3 3 3
2sina - cosa
6．（2024 高一下·西藏拉薩·期末）已知 tana = 2 ，則 = （ ）
2cosa + 3sina
1 1 3 1
A． B． C． D．
3 4 8 2
cosq - 2sinq
7．（2024 高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）已知 tanq = 2，則 = （ ）
cos sin q + q
5 1
A．0 B．- C．-1 D．
3 3
8．（2024·青海西寧·二模）已知 sina + cosa = 3cosa tana ，則 cos2 a tana -1 =（ ）
3 4 2 1
A．- B．- C．- D．-
5 5 3 3
1 sina + 2cosa
9．（2024 高二上·廣西·開學(xué)考試）已知 tana = - ，則 的值為（ ）
3 5cosa - sina
5 5
A．-1 B．1 C． D．
16 4
3 π
10．（2024 高一下·云南·期末）已知 sina = ，a 0, ÷ ，則cosa =（ ）5 è 2
3 - 3 4 4A． B． C． D．-
5 5 5 5
11．（2024 高一下·廣西河池·階段練習(xí)）已知點P cosq ,- tanq 是第三象限的點，則q 的終邊位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2024 高一下·全國·課后作業(yè)）求 1- 2sin5cos5 =（ ）
A． sin5 - cos5 B．-sin5 - cos5
C． cos5 - sin5 D． sin5 + cos5
13．（2024 高一·全國· 2課堂例題）已知a (0, π) ，且3 1- 2sin a -8cosa = 5，則 sina =（ ）
2 1
A 5． B． C D 5． ．
3 3 3 9
2
14．（2024 高三上·天津靜海·階段練習(xí)）若a 0, π ， 2sina + cosa = ，則 tana =（ ）
5
A．-
3 4 3 1
B．- C．- D．-
5 5 4 4
15．（2024 高一下·四川達(dá)州·階段練習(xí)）若角a 的終邊經(jīng)過點 (-3,4)，則cosa =（ ）
4 4 3 3
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
16．（2024 高一下·四川遂寧·階段練習(xí)）若 tanq
4
= ，q 0, π ，則 cosq3 的值為（ ）
3 3 4 4
A． B．- C． D．-
5 5 5 5
17．（2024 高一上·福建泉州·期末）已知角a 的頂點與原點重合，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，若a 的終邊
4
與圓心在原點的單位圓交于 A ,m5 ÷，且
a 為第四象限角，則 sina =（ ）
è
3 - 3 4 4A． B． C． D．-
5 5 5 5
1
18．（2024 高一·全國·課堂例題）已知a 是第二象限角，且 cosa = - ，則 tana 的值是（
3 ）
1
A B 2 2． ． C． D．
3 - -2 23 4
19．（2024 高一上·北京通州·期末）已知角a 的頂點在原點，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊在第三象限
5
且與單位圓交于點P - ,m÷÷，則 sina = （5 ）è
A 5 B 5 C 2 5 D 2 5．- ． ．- ．
5 5 5 5
20．（2024 3 5高一下·江西上饒·期末）已知 sina + cosa = ，則 tana
1
+ =（ ）
5 tana
2 5 4 5
A．- B． C．- D．
5 2 5 4
21．（2024 · · 1- cosa 1+ cosa 2高三上 寧夏銀川 階段練習(xí)）若 + = - ，則 α 不可能是（ ）
1+ cosa 1- cosa sina
5π 10π 15π 20π
A．- B． C． D．
11 11 11 11
二、多選題
22．（2024 高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）已知 tanq = -4，則下列結(jié)果正確的是（ ）
sin2 q 16 cos2 q sin2 q 15A． = B． - = -
17 17
C．3sinq cosq
12
= - D． cos2 q
6
=
17 17
1
23．（2024 高一上·山東濟南·期末）已知a 0, π ，且 sina + cosa = ，則（
5 ）
p 12
A． < a < p B． sina cosa = -
2 25
C． cosa sina
7
- = D． cosa - sina
7
= -
5 5
24．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）下列命題是真命題的是（　　）
A．若 sina = m，則 cosa = 1- m2
B．若 sina = m，則 cosa = ± 1- m2
1
C．若 tana = m，則 cosa =
1+ m2
m
D．若 tana = m，則 sina = ±
1+ m2
π
25．（2024 高一上·河南周口·期末）已知 cosθ
4 - 2m
= ， tanq
m - 3
= q , π
m +5 4 - 2m
，且 2 ÷
，下面選項正確的是
è
（ ）
A．m = 8 B．m = 0或m = 8
C． sinq > cosq D 2． sin q + 2sinq cosq 95= -169
三、填空題
26．（2024 高一下·廣西欽州·期中）若點 P(-3,4)在角a 的終邊上，則 sina = .
27．（2024 高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知 sina - cosa 5= ，則 tana = .
5
1
28．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）若 cos x - sin x = ，則
3 cos
3 x - sin3 x = .
4 sinq - cosq
29．（2024 高三上·江西南昌·階段練習(xí)）若 tanq = 3 ，則
= .
sinq + cosq
2sina - 3cosa
30．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）若 = -1，則 tana = .
4sina - 9cosa
31．（2024 高一下·上海楊浦·期中）若 sina 及 cosa 是關(guān)于 x 的方程2x2 - 4kx - 3k = 0的兩個實根，則實數(shù) k
的值為
1
32．（2024 高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）若角 A 是三角形 ABC 的一個內(nèi)角，且 sin A ×cos A = ，則
3
sin A + cos A = .
3π
33．（2024 高一下· 3上海嘉定·期中）已知 cosa = - ，且 π < a < ，則 tana = ；
3 2
1
34．（2024 高一下·山東菏澤·階段練習(xí)）已知a 為第二象限角， sina + cosa = - ，則 sina - cosa = ．
2
35．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）點P(tan2022o, cos2022o )位于第 象限．
1
36．（2024 高二下·新疆·學(xué)業(yè)考試）若 sina = ，且a 為第二象限角，則 cosa = ．
2
2m - 5 m
37．（2024 高三上·江蘇揚州·開學(xué)考試）已知 sina = ， cosa = - ，且a 為第二象限角，則
m +1 m +1
tana = .
4
38．（2024 高一下·新疆和田·階段練習(xí)）已知q 是第四象限角，且 cosq = ，那么 tanθ 的值為 .
5
cos x 1 1+ sin x
39．（2024 高三上·廣東廣州·開學(xué)考試）設(shè) = - ，則 = ．
sin x -1 3 cos x
40．（2024 高三上·山東·開學(xué)考試）已知 cosa 0，3sin 2a - cos 2a =1，則 tan 2a = .
sina + cosa
41．（2024 高一下·遼寧丹東·期末）已知 = 2，且a 是第三象限的角，則
sina - cosa
1+ sina 1- sina
- = ．
1- sina 1+ sina
42．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知角a 的終邊經(jīng)過點 (2a +1,a - 2)，且 cosa
3
= - ，則實數(shù) a = .
5
4 25
43．（2024 高一下·遼寧·期中）函數(shù) f x = 2 + 2 的最小值為 ，此時 tan2 x = ．sin x cos x
四、解答題
3 3π
44．（2024 高一·全國·隨堂練習(xí)）已知 cosa = a ， ,2π

5 2 ÷
，求 tana 的值．
è
45．（2024 高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知角q 終邊上P x, 2x - 3 , x 0 tanq sinq + cosq, 且 = -x，求 sinq cosq 的-
值．
cosa - 5sina
46．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）（1）已知 tana = 2 ，求 .
3cosa + sina
3cosa - sina 1
（2）已知 = ，求 sina cosa 的值．
cosa + 2sina 5
1- a 3a -1
47．（2024 高一·江西宜春·階段練習(xí)）已知 sinq = , cosq = ，且q 是第二象限角，求實數(shù) a 的值.
1+ a 1+ a
1 π
48．（2024 高一下·北京·階段練習(xí)）已知 sinq + cosq =
5
< q < π ÷，求 tanq .
è 2
m - 3 4 - 2m p
49．（2024 高一·湖南·課后作業(yè)）已知 sin θ = ， cosθ = ，且 q p，求實數(shù)m 的值．
m +5 m +5 2
1
50．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）已知 sinq +cosq = .
2
(1)求 sin θcos θ 的值；
(2)求 sin3θ＋cos3θ 的值．
51．（2024 高一上·甘肅天水·期末）計算：
3π
(1)已知a (π, )， tana = 2 ，求 cosa 的值.
2
8
(2)已知cosa = - ，求 sina ， tana 的值
17
3
52．（2024 高一下·廣西欽州·期中）已知點P 4, -3m 角a 的終邊上，且 sina = ，求 m， cosa ， tana ．
5
53．（2024 2m高一·全國·課后作業(yè)）已知角a 的終邊上一點P m,- 5 ，且 cosa = ，求m 值.
4
54．（2024 高一下·新疆塔城·階段練習(xí)）已知角a 的終邊過點P x, 2 ，且cosa 5= - ，求 sina 及 tana 的值．
3
5
55．（2024 高一·全國·課堂例題）已知 sina = - ，并且a 是第四象限角，求 cosa ， tana ．
13
1+ 2sin10°cos10°
56．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）化簡： .
cos10° + 1- cos2 10°
57．（2024 高一下·湖北·階段練習(xí)）設(shè)矩形 ABCD(AB > AD) 的周長為 4cm ，把△ABC 沿 AC 向△ADC 折疊，
AB 折過去交 DC 于點 P.
(1)證明△ADP 的周長為定值，并求出定值；
(2)在探討△ADP 面積最大值時，同學(xué)們提出了兩種方案：①設(shè) AB 長度為 xcm，將△ADP 面積表示成 x 的
函數(shù)，再求出最大值；②設(shè) DAP = q ，將△ADP 面積表示成q 的函數(shù)，再求出最大值，請你選擇一種方案
（也可選擇自己的方案），求出△ADP 面積的最大值.
58．（2024 高一下·山東濰坊·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角a 的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，
終邊與單位圓（圓心在原點，半徑為 1）交于點 P .過點 P 作圓O的切線，分別交 x 軸、 y 軸于點P1 x0 ,0 與
P2 0, y0 .
p
(1)若a = ，求 P 的坐標(biāo)
6
(2)若VOP1P2 的面積為 2，求 tana 的值；
(3) 2求 x0 + 9 y
2
0 的最小值.
59 10．（2024高一上·新疆塔城·期末）（1）已知角 θ的終邊上有一點P x,3 (x 0)，且 cosq = x，求 sinq + tanq
10
的值．
（2）已知角 θ 是三角形的內(nèi)角， sinq + cosq
1
= ，求 sinq - cosq 的值．
5

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