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5.4.3 正切函數的性質與圖象 7 題型分類
一、正切函數的圖象
二、正切函數的性質

1 ．定義域： x | x k ,k z

，
2


2．值域：R
3．周期性：正切函數是周期函數，最小正周期是
4．奇偶性：正切函數是奇函數，即 tan x tan x ．

5 ．單調性：在開區間 k , k k z 內，函數單調遞增
2 2
三、正切函數型 y A tan( x )(A 0, 0)的性質

1、定義域：將“ x ”視為一個“整體”．令 x k , k z 解得 x ．
2
2、值域： ,
3 、 單 調 區 間 ：（ 1 ） 把 “ x ” 視 為 一 個 “ 整 體 ” ；（ 2 ） A 0(A < 0) 時 ， 函 數 單 調 性 與
y tan x(x k ,k z) 的相同（反）；（3）解不等式，得出 x 范圍．
2

4、周期：T

（一）
正切函數的定義域、值域問題
(1)求正切函數定義域的方法
①求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數 y＝tan x 有
π
意義，即 x≠ ＋kπ，k∈Z.
2
②求正切型函數 y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定義域時，要將“ωx＋φ”視為一個“整體”．令 ωx＋φ≠kπ＋
π
，k∈Z，解得 x.　
2
(2)求正切函數值域的方法
①對于 y＝Atan (ωx＋φ)的值域，可以把 ωx＋φ 看成整體，結合圖象，利用單調性求值域．
②對于與 y＝tan x 相關的二次函數，可以把 tan x 看成整體，利用配方法求值域
題型 1：正切函數的定義域問題
π
1-1．（2024 高一上·山西朔州·期末）函數 f (x) 3tan(4x ) 的定義域為 .
12
π
1-2．（2024 · · y 1 tan 高一 全國 課堂例題）函數 x

的定義域為 ．
4
y sin x cos x1-3．（2024 高一·全國·課堂例題）函數 的定義域為 ．
tan x
題型 2：正切函數的值域問題
2-1．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y tan

x , x ,6 6 3
的值域為 .

π π
2-2．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y 1 3 tan x x 的值域為 ．
4 3

2-3 2．（2024 高一上·海南省直轄縣級單位·期末）函數 y tan x tan x 2, x , 的值域為 . 4 4

2-4．（2024 高一下· 2上海長寧·期中）函數 f x 2 tan x 5 tan x 2， x , 的值域為 ． 4 4
（二）
正切函數的圖象問題
熟練掌握正切函數的圖象和性質是解決與正切函數有關的綜合問題的關鍵，需注意的是正切曲線是被相互
π
平行的直線 x＝ ＋kπ，k∈Z 隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的．　
2
題型 3：正切函數的圖象及應用
3-1．（2024 高一上·寧夏銀川·期末）函數 f x 2x × tan x（ 1 < x <1）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
π π
3-2．（2024 高二下·浙江麗水·期中）函數 f (x) 3x3 tan x 在 , 的圖象大致為（2 2 ）
A． B． C． D．
3-3．（2024 高一上·全國·課后作業）畫出函數 y | tan x |的圖象．
(1)根據圖象判斷其定義域、值域、單調區間、奇偶性、周期性；
(2)求不等式 | tan x | 1的解集．
3-4．（2024 高一上·廣東·期末）若函數 y tan(x )( 0)的圖象與直線 x π 沒有交點，則 的最小值為
（ ）
π π
A．0 B． C． D． π
4 2
3-5．（2024 高一·全國·課堂例題）觀察正切函數曲線，寫出滿足下列條件的 x 的集合．
(1)滿足 tanx 0的集合．
(2)滿足 tanx < 0的集合．
(3)滿足 tanx 0的集合．
（三）
正切函數的單調性及其應用
(1)運用正切函數單調性比較大小的方法
①運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內．
②運用單調性比較大小關系．
(2)求函數 y＝tan(ωx＋φ)的單調區間的方法
π π
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的單調區間的求法是把 ωx＋φ 看成一個整體，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z 即可．當
2 2
ω<0 時，先用誘導公式把 ω 化為正值再求單調區間．
題型 4：正切函數的單調性及其應用

4-1．（2024

高一下·全國·單元測試）函數 y tan 3x 6 的單調區間是（ ）
kπ π ,kπ π 2 A ． (k Z) B． k ,k (k Z) 3 3 9 9
k , k 2 (k Z) k , k 2 C． D．
(k Z)
3 9 3 9 3 9 3 9

4-2．（2024 高一·全國·課后作業）已知函數 y tan x 在 , 2 2 上是嚴格減函數，則實數 的取值范圍
是 ．
π
4-3．（2024 高一·全國·課堂例題）函數 y tan 3x 的單調遞減區間為 ．
4
π x
4-4．（2024 高三·全國·專題練習） y 3tan 的單調遞減區間為 .
6 4
π π
4-5．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知函數 f (x) A tan( x )( 0) f x

，若 （ ）在區間
3
，π
2 內單調遞減，
則 的取值范圍是（ ）
0 1 (1 , 7A． ， B． ) C． (0,
1]U[1 , 7] D． (0,
1) U (1 , 7)
6 3 6 6 3 6 6 3 6
（四）
正切函數的奇偶性與周期性
與正切函數有關的函數的周期性、奇偶性問題的解決策略
π
(1)一般地，函數 y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為 T＝ ，常常利用此公式來求周期．
|ω|
(2)判斷函數的奇偶性要先求函數的定義域，判斷其是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數無奇偶性；若
對稱，再判斷 f(－x)與 f(x)的關系．
題型 5：正切函數的周期性
π
5-1．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y 2 tan 3x 的最小正周期是（　　）
4
π π
A． B．
6 3
π
C． D．π
2
π x
5-2．（2024 高一下·上海虹口·期中）函數 y tan
的最小正周期為 ．
5 3
x π
5-3．（2024 高一下·四川南充·階段練習）設函數 f x tan
2 3
(1)求函數 f (x) 的定義域、最小正周期．
(2)求不等式 1 f (x) 3的解集．
題型 6：正切函數的奇偶性
6-1．（2024·全國·模擬預測）若函數 f x Atan x A 0 為奇函數，則 （ ）
A． kπ k Z B． 2kπ k Z kπC． k Z D． 2k 1 kπ k Z
2
6-2．（24-25 高一·上海·隨堂練習）函數 y A tan( x ) （ A 0 ， 0）為奇函數需滿足條件為 ．
6-3．（2024 高一下·上海松江·期末）下列函數中，既是偶函數又是周期為 π的函數為（ ）
A． y cosx B． y sinx C． y sin2x D． y tan2x
x
6-4．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 f (x) a tan bsin x 4（其中 a、b為常數且 ab 0），如果
2
f 3 5，則 f (2010 3)的值為（ ）
A． 3 B．3 C． 5 D．5
6-5．（2024 高三上·陜西·階段練習）已知函數 f x x5 tanx 3，且 f m 2，則 f m （ ）
A． 4 B． 1 C．1 D．4
6-6．（2024 高一下·山東濰坊·期中）已知 f x 2023sin x 2024 tan x 1，
f -2 + f -1 + f 0 + f 1 + f 2 = .
（五）
正切函數的對稱性
kπ
正切曲線的對稱中心為( ，0 (k∈Z)，解關于對稱中心的題目時需要把整個三角函數看成一個整體，從整體2 )
性入手求出具體范圍．
題型 7：正切函數的對稱性
7-1．（2024 高一下·遼寧鐵嶺·階段練習）函數 f (x) 3tan
1
x
π
的圖象的對稱中心為 .
2 3
2
7-2．（2024 高一下·遼寧·階段練習）已知函數 f x sin x 0,0 < < π 的最小正周期為 π3 ，其圖
π
像的一個對稱中心的坐標為 ,0 ，則曲線 g x tan x 4 的對稱中心坐標為（ ）
kπ π
A． ,0
kπ πk Z ， B．
3 12
,0 ， k Z
6 12
kπ π kπ π
C． ,0 ， k Z D． ,0 ， k Z
3 12 6 12
kπ
7-3．（2024·江蘇揚州·模擬預測）以點 ,0 (k Z)為對稱中心的函數是（2 ）．
A． y sin x B． y cos x
C． y tan x D． y | tan x |
一、單選題
π π
1．（2024 高一上·福建漳州·期末）函數 f (x) tan x 的單調區間是（2 3 ）
5 1
A． 2k, 2k
(k Z) 5 2k, 1 B． 2k
(k Z)
3 3 3 3
5 4k, 1 4k (k Z) 5 4k, 1 4k C． D． (k Z)
3 3 3 3
π
2．（2024 高一下·內蒙古包頭·期末）函數 y tan

2x

的定義域是（ ）
3
x x 5π kπ 5πA． , k Z B． x x kπ, k

Z
12 2 12
x x π kπ , k Z πC． D． x x kπ, k Z

3 2 3
πx
3．（2024 高三上·山西晉中·階段練習）函數 f x tan 的最小正周期是（
2 ）
A． 2π B． 4π C．2 D．4
4．（2024 高二下·湖南·學業考試）函數 y tan x 在一個周期內的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南·模擬預測）已知函數 f x 對任意 x R 都有 f x f x 2 ，且函數 f x 1 的圖象關于
1,0 對稱，當 x 1,1 時， f x tanx .則下列結論正確的是（ ）
A．函數 y f x 的圖象關于點 k,0 k Z 對稱
B．函數 y f x 的圖象關于直線 x 2k k Z 對稱
C．函數 y f x 的最小正周期為 2
D．當 x 2,3 時， f x tan x 2
π 3π
6．（2024 高一下·北京·期中）函數 f x tan x sin x tan x sin x |在區間（ ， ）內的圖象是（ ）
2 2
A． B．
C． D．
7．（2024 高一·全國·課后作業）下列各式中正確的是（ ）
A． tan1 tan 2 B． tan 735° tan800°
C． tan
5π
tan 4π D． tan
9π
tan π
7 7 8 7
π
8．（2024 高一下·河南平頂山·階段練習）函數 f x tan 2x 圖象的對稱中心可能是(7 )
π π π π
A． ,0 B7 ．
,0 C． ,0 D． ,0
7 14 14
9．（2024 高一下·上海·課后作業）已知函數 y tan x
, 在 2 2 內是減函數，則
的取值范圍為（ ）

A． 2,0 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,2

2sin 2x，x
π
kπ，k Z
10．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知函數 f x = 3 ，若方程 f x 3 在 0，m 上
tan x，x π kπ，k Z
3
恰有 5 個不同實根，則 m 的取值范圍是（ ）
7π 4π 7π 19π 5π 13π 13π 7π
A． ， B． ， C． ， D． ， 6 3 3 6 3 6 6 3
11．（2024 高三·全國·對口高考）已知定義在R 上的奇函數 f (x) 滿足 f x 2 f x ，且當 x 0,1 時，
f (x) tan πx ，則 f x 在[0,5]上的零點個數是（ ）
2
A．3 B．4 C．5 D．6
π 2 1
12．（2024

高二下·湖南·階段練習）若q 0, 3 ，則

tanq 的最小值為（ ）3 tanq
A 2 3 B 3 2 C 3 5 D 2 6． ． ． ． 3
2 2 2 3
nπ
13．（2024·寧夏銀川·模擬預測）若 f (n) tan ，（ n N* ），則 f (1) f (2) ××× f (2023) （ ）3
A． 3 B． 3 C．0 D． 2 3
π π
14．（2024 高一下·河北衡水·階段練習）函數 f x 3 tan 2x m在 , n 上的最大值為3，最小值 6 12
為 1，則mn （ ）
π π π π
A． B． C． D6 ． 6 3 3
π
15．（2024·湖北武漢·模擬預測）函數 f x tan x 0, <

的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面
2
f 2023π 積為 6π ，則 （3 ）
A 3． B． 3 C 3． D． 3
3 3
二、多選題
π
16．（2024 高一上·吉林長春·階段練習）已知函數 f x tan 2x ，則下列說法錯誤的是（ ）
6
A． f x π的最小正周期為 B． f x π的定義域為 x x kπ ,k Z

2 3
f π π π πC． f

4
D． f x 在 , 上單調遞減
4 3 2
17．（2024 高一下·遼寧大連·階段練習）已知函數 f x tan 2x，則下列說法正確的是（ ）
A．函數 f (x) 是奇函數
B．函數 f (x) 的最小正周期是 π
f (x) ( πC．函數 在 ,
π )上單調遞增
4 4
kπ
D．函數 f (x) 圖象的對稱中心是 ( ,0)(k Z)4
18．（2024 高三上·山東·開學考試）已知函數 f x π tan 2x

，則下列說法正確的是（6 ）
A． f x π的最小正周期為
2
B． f x π π 在 ,6 3 上單調遞減
f π f 3π C． 5

10
D． f x x x π的定義域為 kπ, k Z
3
π π
19．（2024 高一下·四川成都·期中）已知函數 f x tan x ，則下列描述中正確的是（ ）．
2 3
1
A．函數 f x 的圖象關于點 ,0 成中心對稱
3
B．函數 f x 的最小正周期為 2
f x 5 4k, 1C．函數 的單調增區間為 4k ， k Z
3 3
D．函數 f x 的圖象沒有對稱軸
π
20．（2024 高三上·吉林長春·階段練習）已知函數 f x tan 2x ，則（6 ）
A f π 3．
2 3
B． f x 的最小正周期為 π
C．把 f x π向左平移 可以得到函數 g x tan 2x
6
D． f x π在 ,0
6
上單調遞增

21．（2024 高一下·遼寧沈陽·期中）已知函數 f x tan x π ，則下列敘述中，正確的是（4 ）
A．函數 f x π π π的圖象關于點 ,0 4 對稱 B．函數 f x

在 ,

上單調遞增 4 4
π
C．函數 f x 的圖象關于直線 x D y f x 2 對稱 ．函數 是偶函數
22．（2024 高一下·安徽蕪湖·期中）下列坐標所表示的點是函數 y tan
2x π 的圖像的對稱中心的是（6 ）
π
A． ,0
π
B． ,0
5πC ,0
π
． D． ,012 6 12 3
23．（2024 高一下·全國·單元測試）下列說法中正確的是（ ）
A．對于定義在實數R 上的函數 f x 中滿足 f x 2 f x ，則函數 f x 是以 2 為周期的函數
B．函數 f x tan x π 5π π 的單調遞增區間為3 kπ, kπ6 6 ， k Z
π
C．函數 f x sin x 2 為奇函數
D．角a 的終邊上一點坐標為 1，3 3，則cosa
2
24．（2024 高一下·廣東佛山·階段練習）已知函數 f x 7 tan 2x
π
，則（3 ）
f π A． 7 3
6
f x π B． 為奇函數
6
π kπ
C． f (x) 圖象的對稱中心為 ,0 k Z
6 8
D． f (x)
π kπ
的定義域為 x∣x , k Z12 2
三、填空題
25．（2024 高一下·遼寧錦州·期中） f x tanx sinx 1，若 f 2 2，則 f 2 ．
π
26．（2024 高一下·廣東陽江·期末）已知 tan a 3 ，請寫出一個滿足條件的角a ．
4
27．（2024 高一下·上海徐匯·期中）函數 f (x) tan2 x tan x 2, x
, 的值域是 4 4
28．（2024 高二上·廣西崇左·開學考試）若函數 y tan
2x π k ，x
0, π 的圖象都在 x 軸上方，則實數
3 6
k 的取值范圍為 .
29．（2024 2高一下·上海·課后作業）函數 y tan x 2 tan x, x
, 的值域為 ． 6 4
30．（2024 高一·全國·課后作業）若函數 f x tan x aπ , aπ 在區間 上是增函數，則實數 a3 2 的取值范圍
是 ．
31．（2024 高一·上海·專題練習）函數 y tan2 x 4 tan x 1的值域為
y tan π π32．（2024

高一下·上海靜安·期中）函數 x 6 3 的定義域是 ．
π a x , x π π 或x
33 2024 · · f x 2 2 2 3π．（ 高一下 湖北 期中）已知函數 π π ，若函數 y f f x 有 5 個零 tan x, < x < 2
2 2
點，則實數 a的取值范圍是 ．
34．（2024 高一下·全國·課后作業）已知函數 y tan x
π , π 在 內是減函數，則 的取值范圍是 ．
2 2
3
35．（2024 高一上·江蘇徐州·期末）已知函數 f x tan nx 4 n Z 在區間 , 上是減函數，則
n 的
8 8
取值集合為 .（用列舉法表示）
y tan x , 36．（2024·全國·模擬預測）若函數 在 4 上單調遞減，且在
, 上的最大值為
3 3 3 3
3 ，則 .

37．（2024 ·

高一下 上海浦東新·期中）若函數 y tan( x)在 , 上為嚴格減函數，則實數 的取值范圍 4 4
是 ．
四、解答題
f (x) tan 2x 38．（2024 高一·全國·課后作業）已知 3
.

（1）求 f (x) 的最小正周期；
（2）若 f (x

)是奇函數，則 應滿足什么條件？并求出滿足 | |< 的 值.
2
π π
39．（2024 高一下·遼寧撫順·期中）已知函數 f x 2tan x 0 的最小正周期為 ，
8 2
(1)求 f x 圖象的對稱中心；
5π 3π
(2)求不等式 f x 2 在 , 上的解集．
16 16
y 2 tan 1 π 40．（2024 高一·全國·課堂例題）畫出函數 x 在 x [0,2π] 上的簡圖．
2 4
π
41．（2024 高一下·江西撫州·階段練習）設函數 f x tan x 0,0 < < ，已知函數 y f x 的
2
π π
圖象與 x 軸相鄰兩個交點的距離為 ，且圖象關于點M ,0 對稱.
2 8
(1)求 f x 的單調區間；
(2)求不等式 1 f x 3 的解集.
π
42．（2024 高一·全國·課后作業）已知函數 y f x ，其中 f x A tan x ，（ 0， < ），y f x
2
的部分圖像如下圖．
(1)求A ， ， 的值；
(2)求 y f x 的單調增區間，
43．（2024 高一下·上海·課后作業）已知函數 f x 3 tan x 0 ．

（1）當ω = 4時，求 f x 的最小正周期及單調區間；
f x 3 x （2）若 在 ,

上恒成立，求 的取值范圍． 3 4
44．（2024 高一·全國·課后作業）已知函數 f (x) tan

x
π

3
， 0．

(1)若 2，求 f x 的最小正周期與函數圖像的對稱中心；
(2)若 f x 在 0, π 上是嚴格增函數，求 的取值范圍；
(3)若方程 f x 3 在 a,b 上至少存在 2022 個根，且 b－a 的最小值不小于 2022，求 的取值范圍．
π
45．（2024 高一下·上海虹口·期末）已知函數 f x tan x ，其中 0 .
3
(1)若 2，求函數 f x 的最小正周期以及函數圖象的對稱中心；
(2)若 f x 在閉區間 0, π 上是嚴格增函數，求正實數 的取值范圍.5.4.3 正切函數的性質與圖象 7 題型分類
一、正切函數的圖象
二、正切函數的性質

1 ．定義域： x | x k ,k z

，
2


2．值域：R
3．周期性：正切函數是周期函數，最小正周期是
4．奇偶性：正切函數是奇函數，即 tan x tan x ．

5 ．單調性：在開區間 k , k k z 內，函數單調遞增
2 2
三、正切函數型 y A tan( x )(A 0, 0)的性質

1、定義域：將“ x ”視為一個“整體”．令 x k , k z 解得 x ．
2
2、值域： ,
3 、 單 調 區 間 ：（ 1 ） 把 “ x ” 視 為 一 個 “ 整 體 ” ；（ 2 ） A 0(A < 0) 時 ， 函 數 單 調 性 與
y tan x(x k ,k z) 的相同（反）；（3）解不等式，得出 x 范圍．
2

4、周期：T

（一）
正切函數的定義域、值域問題
(1)求正切函數定義域的方法
①求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數 y＝tan x 有
π
意義，即 x≠ ＋kπ，k∈Z.
2
②求正切型函數 y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定義域時，要將“ωx＋φ”視為一個“整體”．令 ωx＋φ≠kπ＋
π
，k∈Z，解得 x.　
2
(2)求正切函數值域的方法
①對于 y＝Atan (ωx＋φ)的值域，可以把 ωx＋φ 看成整體，結合圖象，利用單調性求值域．
②對于與 y＝tan x 相關的二次函數，可以把 tan x 看成整體，利用配方法求值域
題型 1：正切函數的定義域問題
1-1．（2024 高一上·山西朔州·期末）函數 f (x) 3tan(4x
π
) 的定義域為 .
12
5π kπ
【答案】 x∣x , k Z48 4
【分析】根據正切函數的定義域，即可求出結果.
4x π π kπ, k Z x 5π kπ【詳解】令 ，所以 ,k Z，
12 2 48 4
即函數 f x x 5π kπ 的定義域為 ∣x , k Z .
48 4



故答案為： x∣x
5π kπ
, k Z .
48 4
π
1-2．（2024 高一·全國·課堂例題）函數 y 1 tan x

的定義域為 ．
4
3π
【答案】 x kπ < x kπ,k Z4
【分析】根據函數定義域的求法結合正切函數性質進行求解即可.
1 tan π π 【詳解】 由 x 0 ，得 tan x 1 x
π π
，且 kπ k Z ．
4 4 4 2
π kπ x π π kπ k Z 3π由圖可得 < ，即 kπ < x kπ k Z ．
2 4 4 4
π 3π
所以函數 y 1 tan x 的定義域為 x kπ < x kπ,k Z ．
4 4
3π
故答案為： x kπ < x kπ,k Z .
4
sin x cos x
1-3．（2024 高一·全國·課堂例題）函數 y 的定義域為 ．
tan x
kπ
【答案】 x x , k Z2
【分析】根據分母不為 0，結合正切函數的定義域與性質分析求解.
【詳解】因為函數 y sin x 與 y cos x的定義域為R ，
y sin x cos x若要使函數 有意義，必須使 tan x 有意義，且 tan x 0，
tan x

x kπ
π
,k Z
x kπ所以有 2 ，解得 , k Z，
x kπ, k Z
2
sin x cos x kπ
所以函數 y 的定義域為 x x , k Z ．
tan x 2
k
故答案為： x x ,k Z .
2
題型 2：正切函數的值域問題
y tan x 2-1．（2024 高一·全國·課后作業）函數 , x , 的值域為 .
6 6 3
【答案】 0,
【分析】根據題意，結合正切函數的圖象與性質，即可求解.

【詳解】設 z x

x ，因為 , ，可得 z (0,
)，
6 6 3 2
y tan z 0, 因為正切函數 在 2 上的值域為
0, ，


即函數 y tan x 在6
, 的值域為 0, .
6 3
故答案為： 0, .
π π
2-2．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y 1 3 tan x x 的值域為 ．
4 3
【答案】 é 2,1 3ù
【分析】根據正切函數單調性可確定 tan x 的范圍，進而推導得到函數的值域.
π x π【詳解】當 時， ，
4 3 1 tan x 3 \ 2 1 3 tan x 1 3
，
y π π即 1 3 tan x

x

的值域為 é 2,1 3ù .
4 3
故答案為： é 2,1 3ù .
2-3．（2024 高一上·海南省直轄縣級單位·期末）函數 y tan2 x tan x 2, x
é ù

,
4 4
的值域為 .

é7 ù
【答案】 ，4 4
【分析】先求出 tan x 1,1 ，再結合二次函數的內容求解.
x é , ù
2
【詳解】由 得 tan x 1,1 4 4 ， y tan
2 x tan x 2 tan x
1

7
，
2 4
故當 tan x
1 7
時，有最小值 ，當 tan x 1時，有最大值 4 .
2 4
é7
故答案為： ，4
ù
. 4
é ù
2-4．（2024 高一下· 2上海長寧·期中）函數 f x 2 tan x 5 tan x 2， x ,4 4 的值域為 ．
【答案】 9,1
【分析】由 x 的范圍求出 tan x 的范圍，再根據二次函數的性質即可得出答案.
é ù
【詳解】解：因為 x , ，所以 tan x 1,1 ， 4 4
2
f x 2 tan x
5 9 ，
4 8
則當 tan x 1時， f x 1max ，
當 tan x 1時， f x 9min ，
所以函數 f x 的值域為 9,1 .
故答案為： 9,1 .
（二）
正切函數的圖象問題
熟練掌握正切函數的圖象和性質是解決與正切函數有關的綜合問題的關鍵，需注意的是正切曲線是被相互
π
平行的直線 x＝ ＋kπ，k∈Z 隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的．　
2
題型 3：正切函數的圖象及應用
3-1．（2024 高一上·寧夏銀川·期末）函數 f x 2x × tan x（ 1 < x <1）的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據函數奇偶性排除不符合的兩個選項，再根據 (1)的符號，即可得符合的函數圖象.
【詳解】因為函數 f x 2x × tan x（ 1 < x <1）
所以 f x 2x × tan x 2x tan x f x ，則函數 f x 為偶函數，故排除 A，C 選項；
又 f 1 2 1 tan1 2 tan1 0 ，故排除 D 選項，故選 B 符合.
故選：B.
π π
3-2．（2024 高二下·浙江麗水·期中）函數 f (x) 3x3 tan x

在 ,

的圖象大致為（2 2 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據條件可得 f (x)
π
在 ,
π π
2 2 上的圖象關于原點對稱，從而可得選項
A 和 C 錯誤，再利用 x
2
時， f (x) ，即可求出結果.
【詳解】因為 f (x) 3x3 tan x ，所以 f ( x) 3x3 tan x f (x) ，
x π從而 ,
π
2 2 時，
f (x) 圖象關于原點對稱，所以選項 A 和 C 錯誤，

π 3π3 π
又 x 時，3x3 ， tan x ，所以 x 時， f (x) ，所以選項 B 錯誤，選項 D 正確，
2 8 2
故選：D.
3-3．（2024 高一上·全國·課后作業）畫出函數 y | tan x |的圖象．
(1)根據圖象判斷其定義域、值域、單調區間、奇偶性、周期性；
(2)求不等式 | tan x | 1的解集．
【答案】(1)答案見解析；
π π
(2){x | kπ x kπ ,k Z} .
4 4
【分析】（1）把函數化成分段函數，畫出函數圖象，再利用圖象求解作答.
（2）利用正切函數單調性及周期性解不等式作答.
π
tan x, kπ < x < kπ
【詳解】（1）函數 y | tan x |
2
，化為 y ,k Z，
tan x,kπ x < kπ π
2
函數 y | tan x |的圖象如下：
觀察圖象知，函數 y | tan x |的定義域為{x
π
R | x kπ,k Z}；值域為[0, )；
2
函數 y | tan x |
π π
的遞減區間是 ( kπ,kπ](k Z)，遞增區間為[kπ, kπ)(k Z)；
2 2
函數 y | tan x |是偶函數；周期是 π .
π π
（2）由 | tan x | 1，得 1 tan x 1，而函數 y tan x 在 ( , ) 上單調遞增，且是周期為 π的周期函數，
2 2
π kπ x π于是 kπ,k Z，
4 4
π π
所以不等式 | tan x | 1的解集是{x | kπ x kπ ,k Z} .
4 4
3-4．（2024 高一上·廣東·期末）若函數 y tan(x )( 0)的圖象與直線 x π 沒有交點，則 的最小值為
（ ）
π π
A．0 B． C． D． π
4 2
【答案】C
【分析】根據正切函數的性質，代入求值.
【詳解】函數 y tan x x
π
的圖象與直線 kπ(k Z)沒有交點．
2
若函數 y tan(x )( 0)的圖象與直線 x π 沒有交點，
π π π則 kπ,k Z， kπ ， k Z , 0 ，
2 2
則
π
的最小值為 ．
2
故選：C
3-5．（2024 高一·全國·課堂例題）觀察正切函數曲線，寫出滿足下列條件的 x 的集合．
(1)滿足 tanx 0的集合．
(2)滿足 tanx < 0的集合．
(3)滿足 tanx 0的集合．
【答案】(1){x | x k ,k Z}

(2) x | k < x < k , k Z


2

(3) x | k < x < k ,k Z

2
【分析】作出函數 y tan x 的部分圖象，觀察圖象位于 x 軸上，x 軸下方，x 軸上方的部分，寫出對應區間，
問題得解.
【詳解】（1）作正切函數 y tan x 的部分圖象如下：
觀察圖象可知：
x k ,k Z為函數圖象的零點，即 tan x 0 ，
所以， tan x 0 的解集為{x | x k ,k Z}；

（2）當 k < x < k ,k Z時，圖象位于 x 軸下方，即 tan x < 0，
2

所以， tan x < 0的解集為 x | k < x < k ,k Z2 ；
（3）當 k < x

< k ,k Z時，圖象位于 x 軸上方，即 tan x 0 ，
2

所以， tan x 0 的解集為 x | k

< x < k , k Z
2
（三）
正切函數的單調性及其應用
(1)運用正切函數單調性比較大小的方法
①運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內．
②運用單調性比較大小關系．
(2)求函數 y＝tan(ωx＋φ)的單調區間的方法
π π
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的單調區間的求法是把 ωx＋φ 看成一個整體，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z 即可．當
2 2
ω<0 時，先用誘導公式把 ω 化為正值再求單調區間．
題型 4：正切函數的單調性及其應用

4-1．（2024

高一下·全國·單元測試）函數 y tan 3x 6 的單調區間是（ ）
é π
A． kπ ,kπ
π
ù (k Z) B

． k
2
,k (k Z)
3 3 9 9
ék , k 2 C ù． (k Z)
k D． ,
k 2
(k Z)
3 9 3 9 3 9 3 9
【答案】D
【分析】利用誘導公式化簡，再根據正切函數的性質計算可得.
y tan 3x tan 3x 【詳解】因為

6 6 ，
k 3x k 令 < < ， k Z
k x k 2 ，解得 < < k Z2 6 2 3 9 3 9 ， ，
y tan 3x k k 2 所以函數 6 的單調遞減區間為
, (k Z)
3 9 3 9
.

故選：D.

4-2．（2024 高一·全國·

課后作業）已知函數 y tan x 在 ,2 2 上是嚴格減函數，則實數
的取值范圍

是 ．
【答案】 1,0

【分析】根據題意得到 < 0 ， ,

2 2
, ，即可得到答案.
2 2

【詳解】因為函數 y tan x 在 , 上是嚴格減函數，
2 2


所以 < 0 ， < x < 2 2 ，
, , ，
2 2 2 2

2 2
1 < 0 .

2 2
故答案為： 1,0
4-3．（2024 高一·全國·課堂例題）函數 y tan
3x π 的單調遞減區間為 ．
4
π kπ π kπ
【答案】 ,

(k Z)
12 3 4 3
【分析】根據正切型函數的單調性進行求解即可.
【詳解】 y tan

3x
π π
tan

3x

．
4 4
π
由 kπ < 3x
π π
< kπ k Z π kπ < x π kπ< k Z ，
2 4 2 12 3 4 3

故函數 y tan 3x
π π kπ π kπ
的單調遞減區間為 ,

(k Z)
4 12 3 4 3
π kπ , π kπ故答案為：
(k Z)
12 3 4 3
π x
4-4．（2024 高三·全國·專題練習） y 3tan 的單調遞減區間為 .
6 4
4
【答案】 4kπ π, 4kπ
8
π k Z
3 3
x π
【分析】化簡函數為 y 3tan ，由正切函數的性質可求得函數的單調遞減區間.
4 6
【詳解】函數 y 3tan
π x 3tan x π

6 4 4 6
，

π x π
由正切函數的性質知 kπ < < kπ
π
k Z ，
2 4 6 2
4
解得 4kπ π < x < 4kπ
8
π k Z
3 3
4
所以函數的單調遞減區間為 4kπ π, 4kπ
8
π
3 3
k Z

4
故答案為： 4kπ π, 4kπ
8
π k Z
3 3
π π
4-5．（2024·湖南長沙·模擬預測）已知函數 f (x) A tan( x )( 0)，若 （f x）在區間
3
，π
2 內單調遞減，
則 的取值范圍是（ ）
0 1 1 7A． ， B． ( , ) C． (0,
1]U[1 , 7] 1 1 7D
6 ．
(0, ) U ( , )
3 6 6 3 6 6 3 6
【答案】C
π
【分析】轉化為 y tan( x
π
)( 0) 在區間 ，π2 內單調遞增，根據正切函數的單調區間求出3
π
y tan( x π π )( 0) 的單調遞增區間，再根據區間 ，π 是 y tan( x )( 0)2 的單調遞增區間的子集3 3
列式可求出結果.
π π
【詳解】因為 （f x）在區間 ，π 內單調遞減，所以 A < 0，y tan( x
π
)( 0)
2 在區間
，π
3 2
內單調遞增，

kπ π x π π kπ 5π kπ π由 < < kπ ， k Z，得 < x < ， k Z，
2 3 2 6 6
kπ 5π kπ π
所以 y tan( x
π
)( 0) 的單調遞增區間為 , 3 6 6
， k Z，

π kπ 5π kπ π
依題意得 ，π , ， k Z2 ， 6 6
kπ 5π π
6 2
所以 kπ π ，
k Z，
π
6
5 1
所以 2k k ， k Z，
3 6
由 2k
5 k 1 得 k
11 0 1 1 ，由 < k 得 k ，
3 6 6 6 6
1 k 11所以 且 k Z，
6 6
所以 k 0或 k 1，
5 1 0 1當 k 0時， ，又 0，所以 < ，
3 6 6
1 7
當 k 1時， .
3 6
(0, 1]U[1 , 7綜上所述： ] .
6 3 6
故選：C.
（四）
正切函數的奇偶性與周期性
與正切函數有關的函數的周期性、奇偶性問題的解決策略
π
(1)一般地，函數 y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為 T＝ ，常常利用此公式來求周期．
|ω|
(2)判斷函數的奇偶性要先求函數的定義域，判斷其是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數無奇偶性；若
對稱，再判斷 f(－x)與 f(x)的關系．
題型 5：正切函數的周期性
π
5-1．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y 2 tan 3x

的最小正周期是（　　）
4
π π
A． B．
6 3
π
C． D．π
2
【答案】B
【分析】根據正切型三角函數的周期性求解即可.
【詳解】函數 y 2 tan
3x π π 的最小正周期是 .
4 3
故選：B.
π x
5-2．（2024 高一下·上海虹口·期中）函數 y tan 的最小正周期為 ．
5 3
【答案】3π
【分析】根據正切函數的周期公式即可求得答案.
y π x
π
tan 1 3π【詳解】由題意函數 的最小正周期為 ，
5 3 | |3
故答案為：3π
f x tan x π 5-3．（2024 高一下·四川南充·階段練習）設函數 2 3
(1)求函數 f (x) 的定義域、最小正周期．
(2)求不等式 1 f (x) 3的解集．
5π
【答案】(1)定義域 x | x 2kπ, k Z ；最小正周期T 2π；
3
π
(2) x | 2kπ x
4π
2kπ,k Z
6 3
【分析】（1）根據正切函數的性質列不等式即可得函數定義域，由正切型三角函數的性質得最小正周期；
（2）根據正切型函數的性質可求解不等式的解集.
【詳解】（1）函數 f x tan x π x π π 5π 的定義域滿足函數 kπ,k Z，所以 x 2kπ,k Z
2 3 2 3 2 3
5π
所以函數的定義域為 x | x 2kπ, k Z3
；

T π
最小正周期 1
2π
；
2
π kπ x π π（2）由不等式 1 f (x) 3，則 kπ,k Z
π 4π
，解得 2kπ x 2kπ, k Z，
4 2 3 3 6 3
π
所以不等式的解集為 x | 2kπ x
4π
2kπ,k Z .
6 3
題型 6：正切函數的奇偶性
6-1．（2024·全國·模擬預測）若函數 f x Atan x A 0 為奇函數，則 （ ）
kπ
A． kπ k Z B． 2kπ k Z C． k Z D． 2k 1 kπ k Z
2
【答案】C
【分析】分 0 在定義域內和 0 不在定義域內兩種情況進行討論即可求得答案.
【詳解】若 0 在定義域內，由 x 0時， y 0 得， kπ k Z ；
若 0 不在定義域內，由 x 0時， tan
π
無意義，得 kπ k Z ．
2
綜上，
kπ
k Z ．
2
故選：C．
6-2．（24-25 高一·上海·隨堂練習）函數 y A tan( x ) （ A 0 ， 0）為奇函數需滿足條件為 ．
kπ
【答案】 ， k Z
2
【分析】由正切型函數為奇函數，根據正切函數的對稱中心求解即可.
【詳解】若函數 y A tan( x ) （ A 0 ， 0）為奇函數，
k
則根據正切函數的對稱中心可得 0 ， k Z．
2
所以
kπ
， k Z，
2
kπ
故答案為： ， k Z
2
6-3．（2024 高一下·上海松江·期末）下列函數中，既是偶函數又是周期為 π的函數為（ ）
A． y cosx B． y sinx C． y sin2x D． y tan2x
【答案】B
【分析】根據正弦函數、余弦函數和正切函數的奇偶性和周期性一一判斷即可.
【詳解】對 A， y cos x是偶函數，周期為 2π，故 A 錯誤；
對 B，設 f x sinx ，定義域為R ，且 f x sin x sin x ，則其為偶函數，
因為 y sinx周期為 2π，則 y sinx 的周期為 π，故 B 正確；
對 C， y sin 2x 是奇函數，周期為 π，故 C 錯誤；
對 D， y tan2x
π
是奇函數，周期為 ，故 D 錯誤.
2
故選：B.
x
6-4．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 f (x) a tan bsin x 4（其中 a、b為常數且 ab 0），如果
2
f 3 5，則 f (2010 3)的值為（ ）
A． 3 B．3 C． 5 D．5
【答案】B
x
【分析】構造函數 g(x) f (x) 4 a tan bsin x，則函數 g(x)是奇函數且周期為 2π，先求得
2
g(2010π 3) 1，進而得到 f (2010 3)的值.
【詳解】設 g(x)
x
f (x) 4 a tan bsin x， x 2kπ π, k Z
2
則 g( x) a tan
x
bsin( x) a tan tan
x
bsin x g(x)，2 2
則函數 g(x)是奇函數；
g(x 2π) a tan x 2π bsin(x 2π) a tan x bsin x g(x) ，
2 2
則函數 g(x)是周期為 2π的周期函數；
由 f (3) 5，可得 g(3) f (3) 4 1，則 g( 3) 1，
所以 g(2010π 3) f (2010π 3) 4 g( 3) 1，
則 f (2010π 3) 4 1 3
故選：B .
6-5 5．（2024 高三上·陜西·階段練習）已知函數 f x x tanx 3，且 f m 2，則 f m （ ）
A． 4 B． 1 C．1 D．4
【答案】A
【分析】根據函數解析式的特點，結合奇函數的性質進行求解即可.
【詳解】設 g x f x 3 π x5 tanx，定義域為 x x k ,k Z

，關于原點對稱，
2
則 g x x 5 tan x x5 tanx g x ，故 g x 是奇函數，
從而 g m g m ，即 f m 3 é f m 3ù ，
即 f m f m 6 4 .
故選：A
6-6．（2024 高一下·山東濰坊·期中）已知 f x 2023sin x 2024 tan x 1，
f -2 + f -1 + f 0 + f 1 + f 2 = .
【答案】 5
【分析】根據三角函數的奇偶性，結合奇函數的性質，可得答案.
【詳解】令 g x 2023sin x 2024 tan x，
由 y sin x 與 y tan x 為奇函數，則 g x g x ，
則 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2
g 2 1 g 1 1 g 0 1 g 1 1 g 2 1
g 2 g 2 g 1 g 1 g 0 5 = 5 .
故答案為： 5 .
（五）
正切函數的對稱性
kπ
正切曲線的對稱中心為( ，0)(k∈Z)，解關于對稱中心的題目時需要把整個三角函數看成一個整體，從整體2
性入手求出具體范圍．
題型 7：正切函數的對稱性
1 π
7-1．（2024 高一下·遼寧鐵嶺·階段練習）函數 f (x) 3tan
x 的圖象的對稱中心為 .
2 3
kπ 2π 【答案】 ,0 ,k Z
3
【分析】由正切函數的對稱中心直接求解即可.
【詳解】∵ y tan x
kπ
的對稱中心為 ,0 ,k Z，
2
1 x π kπ 2π∴令 ,k Z，則 x kπ ,k Z，
2 3 2 3
即 f x kπ 2π的對稱中心為 ,0

,k Z .
3
kπ 2π 故答案為： ,0 ,k Z .
3
2
7-2．（2024 高一下·遼寧·階段練習）已知函數 f x sin x 0,0 < < π 的最小正周期為 π3 ，其圖
π
像的一個對稱中心的坐標為 ,04 ，則曲線
g x tan x 的對稱中心坐標為（ ）

kπ π kπ π
A． ,0

， k Z B． ,0 ， k Z
3 12 6 12
kπ π kπ π
C． ,0

， k Z D． ,0

， k Z
3 12 6 12
【答案】B
【分析】函數 f x 的最小正周期和一個對稱中心的坐標解出 , ，得到 g x 解析式，利用整體代入法求對
稱中心.
【詳解】函數 f x sin x 0,0 < < π 2 2 2π的最小正周期為 π ，則有 π ， 33 ，則3
f x sin 3x ，
π π 3π
函數圖像的一個對稱中心的坐標為 ,0 ，則 f sin 0
4
，
4 4
π
由0 < < π， 4 ，
g x tan 3x π 3x π kπ kπ π則 ，由 k Z ，解得 x k Z ，
4 4 2 6 12
kπ π
所以曲線 g x tan x 的對稱中心坐標為 ,0 ， k Z .
6 12
故選：B
kπ
7-3．（2024·江蘇揚州·模擬預測）以點 ,0 (k Z)為對稱中心的函數是（ ）．
2
A． y sin x B． y cos x
C． y tan x D． y | tan x |
【答案】C
【分析】根據三角函數的對稱性依次判定.
【詳解】對于 A 選項，對稱中心為 kπ,0 (k Z)，故不選 A；
π
對于 B 選項，對稱中心為 kπ,02
(k Z)，故不選 B;

kπ
對于 C 選項，對稱中心為 ,0

(k Z)，故 C 選項正確；
2
對于 D 選項，不是中心對稱圖形，故不選 D.
故選：C.
一、單選題
π π
1．（2024 高一上·福建漳州·期末）函數 f (x) tan x 的單調區間是（2 3 ）
5 1
A． 2k, 2k (k Z)
é 5
B． 2k,
1
2k ù (k Z)
3 3 3 3
5
C． 4k,
1
4k 5 1 (k Z)
é
D． 4k, 4k
ù (k Z)
3 3 3 3
【答案】A
π π π π
【分析】根據正切函數的性質可得 kπ < x < kπ,k Z，解得答案.
2 2 3 2
π π π π 5 1
【詳解】由 kπ < x < kπ,k Z

，解得 k 2k, 2k
, k Z，
2 2 3 2 3 3
π π 5 1
所以函數 f (x) tan x 的單調區間是 2k, 2k (k Z) .
2 3 3 3
故選：A.
π
2 ．（2024 高一下·內蒙古包頭·期末）函數 y tan 2x 3 的定義域是（ ）
x x 5π kπ , k Z x x 5πA． B． kπ, k Z

12 2 12


π kπ π
C． x x , k Z D． x x kπ, k Z
3 2 3
【答案】A
【分析】根據正切函數的定義域，利用整體思想，建立不等式，可得答案.
π π 5π kπ
【詳解】由題意可得： 2x kπ k Z ，解得 x k Z ，
3 2 12 2
5π kπ
函數 y tan

2x
π
的定義域為 x x , k Z3 . 12 2


故選：A.
πx
3．（2024 高三上·山西晉中·階段練習）函數 f x tan 的最小正周期是（
2 ）
A． 2π B． 4π C．2 D．4
【答案】C
【分析】根據正切函數的周期性求解．
π
【詳解】 f x 2的最小正周期為 π .
2
故選：C.
4．（2024 高二下·湖南·學業考試）函數 y tan x 在一個周期內的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正切函數的圖象與性質判斷，

【詳解】由正切函數的圖象與性質可知 y tan x 在 ( , )上單調遞增，圖象為 A，
2 2
故選：A
5．（2024·河南·模擬預測）已知函數 f x 對任意 x R 都有 f x f x 2 ，且函數 f x 1 的圖象關于
1,0 對稱，當 x 1,1 時， f x tanx .則下列結論正確的是（ ）
A．函數 y f x 的圖象關于點 k,0 k Z 對稱
B．函數 y f x 的圖象關于直線 x 2k k Z 對稱
C．函數 y f x 的最小正周期為 2
D．當 x 2,3 時， f x tan x 2
【答案】C
【分析】根據題中條件可得 f x 的周期為 4 且關于 0,0 對稱，結合 x 1,1 時， f x tanx，即可畫出
函數的圖象，由圖象即可逐一判斷.
【詳解】因為函數 f x 對任意 x R 都有 f x f x 2 ，即 f x - f x 2 =- é - f x 4 ù =f x 4 恒
成立，所以 f x 的周期為 4.
因為函數 f x 1 的圖象關于 1,0 對稱，所以將 y f x 1 的圖象向右平移一個單位，得到 y f x 的圖
象，所以 y f x 的圖象關于 0,0 對稱，
故 f x 2 =- f x f x ，因此 f x 的圖象關于 x 1對稱，
設 x 1,3 ，則 x 2 1,1 ，
因為函數 f x 對任意 x R 都有 f x f x 2
所以 f x f x 2 tan x 2 ，
tanx, 1 x 1,
所以 f x tan x 2 ,1 D . < x 3,
所以選項 錯誤
作出 y f x 的圖象如圖所示：
由圖象可知，函數 y f x 的圖象關于點 2k,0 k Z 中心對稱，關于直線 x 2k 1 k Z 對稱，故 A，B
錯誤；
對于 C：函數 y f x 的圖象可以看成 y f x 的圖象 x 軸上方的圖象保留，把 x 軸下方的圖象翻折到 x 軸
上方，所以函數 y f x 的最小正周期為 2.故 C 正確.
故選：C
6．（2024 高一下·北京·期中）函數 f x tan x sin x tan x sin x π 3π|在區間（ ， ）內的圖象是（ ）
2 2
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分類討論去絕對值符號，化簡函數式結合正弦函數與正切函數的圖象即可判定.
x π 【詳解】當 , π 時， tan x < 0 < sin x，
2
∴ f x tan x sin x tan x sin x 2 tan x ，
3π
當 x π, 時， tan x 0 sin x ，
2
∴ f x tan x sin x tan x sin x 2sin x ，
由選項可判定 B 選項圖象正確.
故選：B
7．（2024 高一·全國·課后作業）下列各式中正確的是（ ）
A． tan1 tan 2 B． tan 735° tan800°
5π
C． tan tan
4π 9π
D． tan tan
π
7 7 8 7
【答案】C
【分析】根據正切函數的圖象與性質，結合正切函數的單調性和誘導公式，逐項判定，即可求解.
π π 2π
【詳解】對于 A 中，由0 <1 < ，且 < 2 < ，由正切函數 y tan x 性質，
3 3 3
0 tan1 tan π 3 tan 2 tan 2π可得 < < ， tan 2 < 0且 < 3 ，
3 3
所以 tan 2 3 ，所以 tan1 < tan 2，所以 A 不正確；
對于 B 中，由 tan 735° tan15°, tan800° tan80°，
由正切函數 y tan x 單調性可得 tan15° < tan80°，即 tan 735° < tan800°，所以 B 錯誤；
π
對于 C 中，由正切函數 y tan x 在 ( , π) 上為單調遞增函數，
2
4π 5π 5π
因為 < ，所以 tan tan
4π
，所以 C 正確；
7 7 7 7
9π
對于 D 中，由 tan tan(π
π) tan π π π ，由正切函數的單調性，可得 tan < tan ，
8 8 8 8 7
9π
即 tan < tan
π
，所以 D 錯誤.
8 7
故選：C.

8．（2024 高一下·河南平頂山·階段練習）函數 f x tan 2x
π
圖象的對稱中心可能是(7 )
π ,0 π π π A． B． ,0 C． ,0 D． ,0
7 7 14 14
【答案】C
【分析】令 2x
π kπ
,k Z即可求出 f(x)對稱中心橫坐標，從而可判斷求解．
7 2
π kπ π kπ
【詳解】由 2x ,k Z，得 x , k Z ，
7 2 14 4
x π當 k 0時， ．
14
故選：C．

9．（2024

高一下·上海·課后作業）已知函數 y tan x 在 ,2 2 內是減函數，則
的取值范圍為（ ）

A． 2,0 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,2
【答案】B
【分析】根據正切函數的圖象與性質，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由函數 y tan x

在 ,

內是減函數，可得 < 0 ，
2 2
x , x , 由 ，可得 ，
2 2 2 2



2 2
則 ，所以 1 < 0 .

2 2
故選：B.

2sin 2x，x
π
kπ，k Z

10 3．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知函數 f x = ，若方程 f x 3 在 0，m 上
tan x，x π kπ，k Z
3
恰有 5 個不同實根，則 m 的取值范圍是（ ）
7π 4π ù 7π 19π ù 5π 13π ù 13π 7π ù
A． ， B． ， C． ， D． ， 6 3 3 6 3 6 6 3
【答案】D
【分析】求出方程 f x 3 的根，然后根據方程 f x 3 在 0，m 上恰有 5 個不同實根列出不等關系，進
而求解.

2sin 2x，x
π
kπ，k Z
3
【詳解】因為函數 f x = ，
tan x x π， kπ，k Z
3
x π當 kπ，k Z時，方程 f x 3 可化為
3 2sin 2x 3
，解得
x π kπ k Z k 0 x π , 7π 13π ， ，則當 時， , ,
19π ,L，
6 6 6 6 6
π π
當 x kπ，k Z時，方程 f x 3 可化為 tan x 3 ，解得 x kπ，k Z，
3 3
k 0 x π , 4π則當 時， ,
7π ,10π ,L
3 3 3 3
因為根據方程 f x 3 在 0，m 上恰有 5 個不同實根，
π π 7π
所以這 5 個不同實根為 , , ,
4π ,13π 13π m 7π，則 < ，
6 3 6 3 6 6 3
故選：D.
11．（2024 高三·全國·對口高考）已知定義在R 上的奇函數 f (x) 滿足 f x 2 f x ，且當 x 0,1 時，
f (x) tan πx ，則 f x 在[0,5]上的零點個數是（ ）
2
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用 f (x) 的奇偶性與周期性畫出 f (x) 的圖像，由圖像即可分析得 f x 在[0,5]上的零點個數．
π
【詳解】先繪制 f (x) tan x 在( 0, 1)上的圖像，根據 f (x) 是奇函數，可得到 f (x) 在 ( 1,0) 上圖像和
2
f (0) 0，
再由 f (x 2) f (x) 得到 f (x) 的周期為 2，
令 x 1，則 f (1) = f (-1) = - f (1) ，所以 f (1) f ( 1) 0 ，
即可得到 f (x) 的圖像，
由圖可知， f (0) f (1) f (2) f (3) f (4) f (5) 0，
所以 f x 在[0,5]有 6 個零點，
故選：D．
π 2 112．（2024 高二下·湖南·階段練習）若q 0, ，則
3 tanq 的最小值為（ ）3 tan q
A． 2 3 B 3 2 C 3 5 2 6． ． D． 3
2 2 2 3
【答案】D
【分析】依題意可得 tanq 3 tanq 3 ，利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為 tanq 3 tanq 3 q 0, π ， 3 ，則0 < tanq < 3 ，0 < 3 tanq < 3 ，
2 1 3 2 1 3 é 2 3 tanq tanq ù
所以 étanq 3 tanq ù 2 1
tanq 3 tanq 3 tanq 3 tanq 3 tanq 3 tanq
é
3 2 3 tanq ù 3 2
tanq
×
3 2 6
3 2 2 3 ，3 tanq 3 tanq 3 3

2 3 tanq
當且僅當 tanq ，即 tanq 2 3 6 時取等號，
tanq 3 tanq
2 1 2 6
所以 tanq 的最小值為 3 .3 tanq 3
故選：D
nπ
13．（2024·寧夏銀川·模擬預測）若 f (n) tan ，（ n N* ），則 f (1) f (2) ××× f (2023) （ ）3
A． 3 B． 3 C．0 D． 2 3
【答案】B
nπ
【分析】 f n tan n N* 是周期為 3 的周期函數，計算 f (1), f (2), f (3)的值，由此能求出
3
f (1) f (2) ××× f (2023) 的值．
Q f (n) tan nπ【詳解】 (n N*) 是周期為 3 的周期函數，
3
f (1) tan π 3 ， f (2) tan
2π
3 ， f (3) tan π 0，
3 3
\ f (1) f (2) ××× f (2023) 674 f (1) f (2) f (3) f (1) 3．
故選：B．
π é π ù
14．（2024 高一下·河北衡水·階段練習）函數 f x 3 tan 2x m在 , n 上的最大值為3，最小值 6 12
為 1，則mn （ ）
π π π π
A． B． C． D
6 3 6
．
3
【答案】D
é π ù π π
【分析】由正切函數的單調性可知函數在 , n 12
上單調遞增，即 f 3 tan m 1，
12 3
f n 3 tan 2n π m 3，解方程即可得出答案.
6
é π ù π
【詳解】因為 x ,n ，所以 n ， 12 12
π é π π ù
所以 2x
6
, 2n
3 6
，

因為函數 f x 3 tan 2x π é π m在 , n
ù
上的最大值為3，最小值為 1， 6 12
2n π π π π π所以 < ，即 n < ，所以 < n <
6 2 3 12 3
t π令 2x ， y tan t ，因為 y tan t
é π , π ù
6 在 上單調遞增， 2 2
t 2x π
6 在定義域內單調遞增，由“復合函數”的單調性知，
函數 f x 3 tan 2x π é π ù m在 ,n 上單調遞增，
6 12
所以 f
π π
3 tan m 1，解得：m 2，
12 3
f n 3 tan 2n π

m 3 tan

2n
π

6 6
2 3，

π π π π π
解得： tan 2n
π 3


，因為 < n < ，則 < 2n < ，
6 3 12 3 3 6 2
2n π π n π所以 ，解得： .
6 6 6
故mn 2
π π
.
6 3
故選：D.
15．（2024·湖北武漢·模擬預測）函數 f x tan x 0, π < 的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面
2
2023π
積為 6π ，則 f （3 ）
A 3 3． B． 3 C． D． 3
3 3
【答案】A
【分析】由正切函數的周期性及其圖象，應用等面積法求得最小正周期為T 2π，結合圖象所過的點求參
數，即可得 f x 解析式，進而求函數值.
【詳解】如圖，①和②面積相等，故陰影部分的面積即為矩形 ABCD的面積，可得 AB 3，
設函數 f x 的最小正周期為T ，則 AD T ，
1 1
由題意得3T 6π，解得T 2π，故 2 ，得 ，即 f x tan x
2 2
，

f x π的圖象過點 , 1
1 π π
，即 tan tan 1，
6 2 6 12
π , π π 5π∵ ，則 ,
7π
2 2
，
12 12 12
π π π∴ ，解得 ．
12 4 3
∴ f x tan 1 x π 2 3
∴ f 2023π tan
2023π π 2021π 5π 3 tan tan .
3 6 3 6 6 3
故選：A
二、多選題
π
16．（2024 高一上·吉林長春·階段練習）已知函數 f x tan 2x ，則下列說法錯誤的是（6 ）
π π
A． f x 的最小正周期為 B． f x 的定義域為 x x kπ ,k Z
2 3
f π f πC．

D． f x
π π
在
4 4
, 上單調遞減
3 2
【答案】BD
π π π
【分析】根據T 求出最小正周期判斷 A；令 2x kπ,k Z ，求出定義域判斷 B；代入計算6 2
f π π f 3 判斷 C；代入檢驗得到 f x
π π
在 ,
4 4 3 2
上單調遞增判斷 D.

π
【詳解】因為 f x tan 2x 6 ，
對于 A：所以 f x π的最小正周期為T ，故 A 正確；
2
π kπ
對于 B：令 2x
π π kπ,k Z x π k ，解得 π, k Z，所以 f x 的定義域為 x x , k Z ，故 B
6 2 3 2 3 2


錯誤；
f π tan π π tan π π π π 2π 2π對于 C：

3， f tan
tan
4 2 6 3 4 2 6 3
tan π 3 ，故 C 正
3
確；
π π π π 5π π 5π
對于 D：當 x , 2x , y tan z z ,3 2 時， ，因為 在6 2 6 2 6
上單調遞增，

f x π π 故 在 , 上單調遞增，故 D 錯誤.
3 2
故選：BD
17．（2024 高一下·遼寧大連·階段練習）已知函數 f x tan 2x，則下列說法正確的是（ ）
A．函數 f (x) 是奇函數
B．函數 f (x) 的最小正周期是 π
C．函數 f (x) (
π , π在 )上單調遞增
4 4
D．函數 f (x)
kπ
圖象的對稱中心是 ( ,0)(k Z)4
【答案】ACD
【分析】對于 A，利用函數奇偶性的定義判斷，對于 B，利用周期公式判斷，對于 C，利用正切函數的性質
kπ
分析判斷，對于 D，由 2x ,k Z 分析判斷.
2
f x tan 2x π kπ , π kπ 【詳解】對于 A， 的定義域為 (k Z) ，定義域關于原點對稱，
4 2 4 2
因為 f x tan( 2x) tan 2x f x ，所以 f (x) 是奇函數，所以 A 正確，
π
對于 B， f (x) 的最小正周期為T ，所以 B 錯誤，
2
x π , π 2x π , π π π對于 C，由 ，得

，因為 y tan x 在 ,
4 4 2 2 2 2
上單調遞增，

所以 f (x) (
π
在 ,
π )上單調遞增，所以 C 正確，
4 4
kπ
對于 D，由 2x ,k Z x
kπ
,k Z kπ，得 ，所以 f (x) 圖象的對稱中心是 ( ,0)(k Z)4 ，所以 D 正確，2 4
故選：ACD
π
18．（2024 高三上·山東·開學考試）已知函數 f x tan 2x ，則下列說法正確的是（6 ）
A． f x π的最小正周期為
2
π π
B． f x 在 ,6 3 上單調遞減
f π f 3πC．

5 10
D． f x π 的定義域為 x x kπ, k Z3
【答案】AC
【分析】考查正切函數 f x tan x的圖像與性質易得 AC 正確.
【詳解】解：因為 f x tan π 2x

，
6
對于 A： f x π的最小正周期為T ，故 A 正確；
2
x π , π π π π π 對于 B：當 6 3 時，
2x , ，因為 y tan z在 z 0, 上單調遞增，
6 6 2 2
故 f x π , π 在 6 3 上單調遞增，故 B 錯誤；
f x π f π f π π f 3π 對于 C：因為 的最小正周期為T ，所以 ，故 C 正確；2 5 5 2 10
π π π k π kπ
對于 D：令 2x kπ， k Z，解得 x π

， k Z，所以 f x 的定義域為 x x , k Z ，
6 2 3 2 3 2
故 D 錯誤．
故選：AC．
π π
19．（2024 高一下·四川成都·期中）已知函數 f x tan x ，則下列描述中正確的是（ ）．
2 3

1
A．函數 f x 的圖象關于點 ,0 成中心對稱
3
B．函數 f x 的最小正周期為 2
C．函數 f x 5 1的單調增區間為 4k, 4k ， k Z
3 3
D．函數 f x 的圖象沒有對稱軸
【答案】BD
【分析】根據正切函數的周期性，單調性和對稱性分別進行判斷即可．
π x π kπ k Z , x k 2 k Z k 2 1 1【詳解】對于 A：令 ，令 得 k ，不是整數，故 A 不正確；
2 3 2 3 3 3 3
π =2
對于 B：函數 f（x）的最小正周期為 T＝ π ，故 B 正確；
2
π π π π
對于 C：令 kπ < x < kπ+ k Z 5 1 ，解不等式可得函數的單調遞增區間為 2k, 2k k Z ，2 2 3 2 3 3
故 C 錯誤；
對于 D：正切函數不是軸對稱圖形，故 D 正確．
故選：BD．
π
20．（2024 高三上·吉林長春·階段練習）已知函數 f x tan 2x ，則（ ）
6
f π 3A ． 2

3
B． f x 的最小正周期為 π
C．把 f x π向左平移 可以得到函數 g x tan 2x
6
D． f x π 在 ,06 上單調遞增
【答案】AD
【分析】運用正切函數的最小正周期公式、單調性，結合特殊角的正切函數值、正切函數圖象的變換性質
逐一判斷即可.
f π tan 2 π π tan π π【詳解】A：因為
tan π 3 ，所以本選項正確；
2 2 6 6 6 3
T πB：由正切型函數的最小正周期公式可得 ，所以本選項不正確；
2
π π
C：把 f x 向左平移 可以得到函數 g x f x tan
é2 π π ù π
6 6
x tan 2x ，所以本選項不正確；
6 6

6
x π π π π ,0 2x , D
π π
：當 時， ，顯然是 ,2 2 的子集，因此本選項正確， 6 6 2 6
故選：AD
π
21．（2024 高一下·遼寧沈陽·期中）已知函數 f x tan x ，則下列敘述中，正確的是（ ）
4

f x π ,0 f x π , π A．函數 的圖象關于點 4 對稱 B．函數 在 上單調遞增 4 4
π
C．函數 f x 的圖象關于直線 x 2 對稱 D．函數 y f x 是偶函數
【答案】AB
【分析】根據正切函數的對稱性判斷 AC，利用正切函數的單調性判斷 B，由偶函數的定義，利用特殊值判
斷 D．
π
【詳解】 f 4
tan 0 0，A 正確；

x π π π π當

, 時， x 0, ，因此此時 f x 單調遞增，B 正確；
4 4 4 2
函數 y tan x
π
的圖象不是軸對稱圖形，函數 f x 的圖象是由 y tan x 的圖象向左平移 個單位得到的，所
4
以其圖象也不是軸對稱圖形，C 錯誤；
f π 0 f π 因為 ，但4
不存在，D 錯誤，
4
故選：AB．
π
22．（2024 高一下·安徽蕪湖·期中）下列坐標所表示的點是函數 y tan 2x 的圖像的對稱中心的是（6 ）
π π 5π π
A ． ,0 B． ,0 C． ,0 D． ,0
12 6 12 3
【答案】ACD
【分析】根據正切函數的性質計算可得.
y π tan 2x 2x π kπ【詳解】對于函數 ，令 ,k Z，
6 6 2
x π kπ
π kπ
解得 , k Z

，所以函數的對稱中心為 ,0 ,k Z，12 4 12 4
π 5π π
當 k 0時為 ,0 ，當 k 2 時為 ,0 ，當 k 1時為 ,0 .
12 12 3
故選：ACD
23．（2024 高一下·全國·單元測試）下列說法中正確的是（ ）
A．對于定義在實數R 上的函數 f x 中滿足 f x 2 f x ，則函數 f x 是以 2 為周期的函數

B．函數 f x tan x
π 5π π 的單調遞增區間為3
kπ, kπ
6 6
， k Z

π
C．函數 f x sin x 為奇函數
2
D．角a 的終邊上一點坐標為 1，3 ，則cosa 3
2
【答案】AB
【分析】根據周期的定義，判斷 A；根據正切函數的單調性，判斷 B；根據誘導公式化簡函數，即可判斷 C；
根據三角函數的定義，即可判斷 D.
【詳解】A.若對"x R ，滿足 f x 2 f x ，則函數 f x 是以 2 為周期的函數，故 A 正確；
kπ π x π π 5πB.令 < < kπ ，解得： kπ < x
π
< kπ ， k Z，
2 3 2 6 6
5π π
所以函數的單調遞增區間為 kπ, kπ ， k Z，故 B 正確；
6 6
C. f x sin π x cos x2 為偶函數，故 C 錯誤；
2 1
D. 2角a 的終邊上一點坐標為 1，3 ， r 1 3 2，則 cosa ，故 D 錯誤.2
故選：AB
π
24．（2024 高一下·廣東佛山·階段練習）已知函數 f x 7 tan 2x

，則（3 ）
f π A． 6
7 3

f x π B． 6
為奇函數

C． f (x)
π kπ
圖象的對稱中心為 ,0 k Z
6 8
D． f (x)
π kπ
的定義域為 x∣x , k Z
12 2


【答案】ABD
【分析】利用正切函數的圖象與性質逐項判斷即可.

【詳解】因為函數 f x 7 tan 2x
π
，
3
f π 7 tan 2 π π 2π所以

7 tan 7 3 ，故 A 正確；
6 6 3 3
f x 7 tan 2x π π 由 得， f x 7 tan 2x，
3 6
π kπ π
對于函數 y 7 tan 2x，令 2x kπ,k Z，得 x , k Z，
2 2 4
kπ π
可知定義域為 x x , k Z 關于原點對稱，又7 tan 2x 7 tan 2x ，
2 4
所以函數 y 7 tan 2x
π
為奇函數，即 f x 為奇函數，故 B 正確；
6
由 2x
π kπ
(k Z) kπ π，得到 x k Z ，
3 2 4 6
π kπ π
所以 f x 7 tan 2x 的對稱中心為 ,0 k Z ，故 C 錯誤；
3 4 6
2x π π令 kπ, k Z x
kπ π
，得 ,k Z，
3 2 2 12
所以 f (x)
x x π kπ的定義域為 ∣ , k Z

，故 D 正確；
12 2
故選：ABD
三、填空題
25．（2024 高一下·遼寧錦州·期中） f x tanx sinx 1，若 f 2 2，則 f 2 ．
【答案】0
【分析】代入計算并運用函數的奇偶性求解即可.
【詳解】因為 f (2) tan 2 sin 2 1 2，
所以 tan 2 sin 2 1，
所以 f ( 2) tan( 2) sin( 2) 1 (tan 2 sin 2) 1 0 .
故答案為：0.
π
26．（2024 高一下·廣東陽江·期末）已知 tan a 3 ，請寫出一個滿足條件的角a ．
4
π
【答案】 （答案不唯一）
12
【分析】根據特殊角的正切函數值進行求解即可.
tan a π tan π a π π【詳解】 ，所以 kπ,k Z，
4 3 4 3
a π則 12 kπ,k Z，
π
故滿足條件的一個角為 .
12
π
故答案為： （答案不唯一）.
12
27．（2024 高一下·上海徐匯·期中）函數 f (x) tan2 x tan x 2, x
é
,
ù
的值域是 4 4
é 9 ù
【答案】 ,0
4
【分析】求出 tan x 的范圍，利用二次函數的性質得出值域.
é ù
【詳解】Q x , ，\ tan x [ 1,1] 4 4
2
Q f (x) tan2 x tan x 2 tan x 1 9 2

4
9
\ f (x) 0
4
é 9 ù
故答案為： ,0 4
π π
28．（2024 高二上·廣西崇左·開學考試）若函數 y tan 2x k ，x 0, 的圖象都在 x 軸上方，則實數
3 6
k 的取值范圍為 .
【答案】 é 3,
π π
【分析】由題意可得 y tan 2x k 0對于 x 0, 恒成立，分離 k 轉化為最值問題即可求解.
3 6
【詳解】因為函數 y tan

2x
π π k

， x 0,

的圖象都在 x 軸上方，
3 6
π
所以 y tan 2x k 0 x

對于 0,
π
恒成立，
3 6
k tan 2x π x 所以 對于 0,
π
恒成立，
3 6
因為 x
0, π π π π ，所以 2x
,0 ， tan

2x

3,0 ，
6 3 3 3


tan 2x π所以

3
0, 3 ，

所以 k 3 ，
所以實數 k 的取值范圍為 é 3, ，
故答案為： é 3, .
29．（2024 高一下·上海·課后作業）函數 y tan2 x 2 tan x, x é
, ù 6 4 的值域為
．

é1 2 3 ù
【答案】 ,3
3
【分析】先求出 tan x 的取值范圍，再結合二次函數性質得值域．

【詳解】∵ x
é , ù ∴ tan x [ 3 6 4
， ,1]，
3
y tan2 x 2 tan x (tan x 1)2 1，
é1 2 3 ù
∴ tan x 3 1 2 3 時， y ， tan x 1時， ymax 3min ，∴所求值域為 ,3 ．3 3 3
é1 2 3 ù
故答案為： ,3 ．
3
【點睛】本題考查對數型函數的值域，解題時利用整體思想（即換元思想）轉化為二次函數值域問題求解，
使問題更加簡便易求．
30．（2024 高一·全國·課后作業）若函數 f x tan x aπ , aπ 在區間 3 2 上是增函數，則實數 a 的取值范圍
是 ．
【答案】 0,1
【分析】根據正切函數的性質得到不等式組，解不等式組即可.
aπ aπ
【詳解】解：因為 ，所以 a 0，
2 3

a 0

aπ π
所以 ，解得0 < a 1，即 a 0,1 ．
3 2
aπ π
2 2
故答案為： 0,1
31．（2024 高一·上海·專題練習）函數 y tan2 x 4 tan x 1的值域為
【答案】 5,
【分析】令 t tan x 則轉化為 t的二次函數求最值.
【詳解】解：因為 y tan2 x 4 tan x 1
令 t tan x ，則 t R
所以 f t t 2 4t 1 t 2 2 5，所以 f t 5, ，故函數的值域為 5,
故答案為： 5,
y tan π π32 2024 · · x ．（ 高一下 上海靜安 期中）函數 的定義域是 ．
6 3
【答案】{x | x 1 6k,k Z}
【分析】根據正切函數的定義域，列不等式求解，可得答案.
π
【詳解】由于正切函數 y tanx的定義域為{x | x kπ,k Z}，
2
π π π
故令 x kπ,k Z6 3 2 ，
解得 x 1 6k,k Z，
即函數 y tan
π
x
π
的定義域是{x | x 1 6k,k Z}
6 3
，

故答案為：{x | x 1 6k,k Z}
π π π
a x , x 或x 3π
33．（2024 · · 2 2 2高一下 湖北 期中）已知函數 f x y f é fπ π ，若函數 x ù 有 5 個零 tan x, < x < 2
2 2
點，則實數 a的取值范圍是 ．
【答案】 (0,1]
【分析】利用換元法，根據函數與方程的關系，轉化為函數交點的問題，利用數形結合進行求解即可.
3π 3π
【詳解】設 t f x ，則由 y f é f x ù 0得 f t ，2 2
若 a 0，作出函數 f x 的圖象如圖，
π π
當 x 或 x 時， f x π π 3π a x ，此時 f t ，無解；
2 2 2 2 2
π
當 < x
π
< 時，由 f t 3π π ，得 t只有一個解且0 < t < ，此時 t f x ，
2 2 2 2
最多有 3 個零點，不滿足條件，故 a 0，不成立；
當 a 0時，作出函數 f x 的圖象如圖，
π
ax, x
π
,
2 2
f x π ax, x π , π，則 f x a x π ，
2 2 2 2

tan x,
π
< x π<
2 2
f t 3π由 ，得方程有 3 個不同的根，其中 t1 < t2 < t ，2 3
t π其中 1 < ,0
π π
< t
2 2
, t
2 3
，
2
當0 < t
π
2 < 時， f x tan x t2 ，只有一個根，2
當 t
π
1 < 時， f x tan x t1 ，只有一個根，2
要使函數 y f é f x
3π
ù π 有 5 個零點，則必有 f x t3 ，有 3 個零點，2 2
π ax 3π π π π π π由 ，得 x ，即 t3 ，此時只要 a 即可，2 2 a a 2 2 a
得 a2 a 2 0，即 a 2 a 1 0，得0 < a 1，
則實數 a的取值范圍是 (0,1] .
故答案為： (0,1] .
34．（2024 高一下·全國·課后作業）已知函數 y tan x
π π
在 ,

內是減函數，則 的取值范圍是
2 2
．

【答案】 0,1
π , π 【分析】由已知得 為一個周期的子集，由此可得關于 的不等式組，解不等式組即可．
2 2
π π
【詳解】∵已知函數 y tan x在 , 內是減函數,
2 2
∴函數 y tan x
π
在 ,
π
2 2 內是單調增函數，
>0

∴ π π，解得0 < 1，經檢驗，滿足題意.

∴ 的取值范圍是 0,1 ．
故答案為： 0,1 .

35．（2024 高一上·江蘇徐州·期末）已知函數 f x tan nx n Z
, 3 在區間
4
上是減函數，則 n 的
8 8
取值集合為 .（用列舉法表示）
【答案】 3, 2
【分析】由正切函數的單調性結合條件可得 n < 0，由正切函數的單調區間與周期性可得 n 4 ，再對 n 的值
進行逐一驗證即可得出答案.
f x , 3 3

【詳解】由 在區間 上是減函數，則 n < 0，且
8 8 8 8 n
，解得 n 4
因為 n Z ，所以 n 4或 n 3或 n 2或 n 1，
當 n 4時， f x tan 4x 3 x , 3π π 7π ，當 時， < 4x < ，
4 8 8 4 4 4
當 4x
3 x 5π ，即 時，函數無意義，故 n 4不成立.
4 2 16

當 n 3時， f x tan 3x
x , 3 5π π 11π ,當 時， < 3x < ，
4 8 8 8 4 8
5 11 3
由 y tan x 在 , 上單調遞增，所以 f x 在區間 , 上是減函數，
8 8 8 8
故 n 3滿足題意.
當 n 2時， f x tan 2x
3
,當 x
, π 2x π時， < < π，
4 8 8 2 4
y tan x π ,π f x , 3 由 在 上單調遞增，所以 在區間2 8 8 上是減函數，
故 n 2滿足題意.
當 n 1時， f x tan x


3 3 5
4
,當 x , 時， < x < ，
8 8 8 4 8
x 當 ，即 x 時，函數無意義，故 n 1不成立.
4 2 4
故答案為: 3, 2

36．（2024·全國·模擬預測）若函數 y tan x
é
在 ,
ù é ù
4 上單調遞減，且在
,
3 3 3 3
上的最大值為

3 ，則 .
1
【答案】 /-0.25
4
é ù 3
【分析】先根據函數在 , 上單調遞減及周期，確定 < 0 ，再根據函數的最大值求解. 3 3 2
é ù
【詳解】因為函數 y tan x 在 ,4 上單調遞減， 3 3
2 3
所以 < 0 ， 3 ，則 < 0 ，2
é ù
又因為函數在 , 上的最大值為 3 ， 3 3

所以 k , k Z
1
，即 3k, k Z ，
3 4 3 4
1所以 .
4
1
故答案為：
4
37．（2024 高一下·上海浦東新·期中）若函數 y tan( x) é
, ù在 上為嚴格減函數，則實數 的取值范圍 4 4
是 ．
【答案】 ( 2,0)
【分析】根據題意，結合正切函數的單調區間，即可求解.
π π
【詳解】因為函數 y 2 tan x 的單調遞增區間為 kπ, kπ ， k Z，
2 2
且函數 y 2 tan x é
, ù在 上為嚴格減函數， 4 4

<
4 2

所以 ，解得 2 < < 0，即 ( 2,0) .
4 2
< 0

故答案為： ( 2,0) .
四、解答題

38．（2024 高一·全國·課后作業）已知 f (x) tan 2x .
3
（1）求 f (x) 的最小正周期；

（2）若 f (x )是奇函數，則 應滿足什么條件？并求出滿足 | |< 的 值.
2
k 5
【答案】（1） ；（2） (k Z )， , , , .
2 4 6 12 6 12 3
【分析】（1）根據正切型函數的周期公式，即可得答案.
（2）由題意得 f (x ) tan

2x 2

k
3 ，根據其為奇函數，可得
2 (k Z )
3 2 ，即可求得 的表達式，
根據 的范圍，即可得答案.

【詳解】（1）因為函數 f (x) tan 2x ，
3
所以函數 f (x)

的最小正周期為T 2 ；
（2） f (x )

tan 2(x )

tan

2x 2


3 3
若 f (x )

是奇函數，則 2
k
(k Z )
3 2 ，
解得
k
(k Z )
4 6 ，
k 4 8
令 | |

< ，解得 < k < ，且 k Z4 6 2 ，3 3
所以 k 1，0，1，2.
5
故 , ,
, .
12 6 12 3
k
【點睛】易錯點為： f (x ) tan 2x 2 3 為奇函數，不是
2 k (k Z )
3 ，而是
2 (k Z )
3 2
，
y cot x 1 也為奇函數.
tan x
π π
39．（2024 高一下·遼寧撫順·期中）已知函數 f x 2tan x 0 的最小正周期為 ，
8 2
(1)求 f x 圖象的對稱中心；
(2)求不等式 f x 2 5π , 3π 在 上的解集．
16 16
π kπ ,0 【答案】(1) k Z ；
16 4
3π , 3π (2) .
16 16
【分析】（1）根據函數的周期公式求出 2，然后利用正切函數的對稱性進行求解即可．
（2）根據正切函數的性質解不等式即可．
π π 2x π kπ π kπ【詳解】（1）由 ，得 2．由 k Z ，得 x k Z ，
2 8 2 16 4
f x π kπ所以 圖象的對稱中心為 ,0
k Z ．
16 4
5π 3π π π π
（2）由 x , ，得 2x ,16 16 8 2 2
,

由 f x π 2tan 2x 2

，得 tan 2x
π
1，
8 8
π 2x π π 3π 3π所以 < < ，得 < x < ，
4 8 2 16 16
f x 2 5π , 3π 3π , 3π故不等式 在

上的解集為16 16
．
16 16
1 π
40．（2024 高一·全國·課堂例題）畫出函數 y 2 tan x 在 x [0,2π] 上的簡圖．
2 4
【答案】答案見解析
【分析】根據五點作圖法畫圖即可.
1 x π π kπ x 3π【詳解】令 ， k Z ，可得 2kπ， k Z ，
2 4 2 2
又 x [0, 2π]
3
，所以直線 x 是該函數圖象的一條漸近線．
2
當 x 0時， y 2 tan
π 2；
4
π
當 x 時， y 2 tan 0 02 ；
當 x π 時， y 2 tan
π
2 ；
4
y 2 tan 3π當 x 2π 時， 2 ．
4
(0, 2) π描點 ， ,0

， (π,2)， (2π, 2)
3
，畫虛線 x ，根據正切曲線的趨勢，畫出簡圖，如圖所示．
2 2
41．（2024 高一下·江西撫州·階段練習）設函數 f x tan x π 0,0 < < ，已知函數 y f x 的
2
π π
圖象與 x 軸相鄰兩個交點的距離為 ，且圖象關于點M
2
,0
8
對稱.

(1)求 f x 的單調區間；
(2)求不等式 1 f x 3 的解集.
3 k π k
【答案】(1)單調遞增區間： π π, π

， k Z，無遞減區間
8 2 8 2
x π k π k (2) π x π,k Z
4 2 24 2
【分析】（1）根據函數周期性，結合函數圖象過的點的坐標，代值計算即可求得參數，則解析式可求；利
用整體法代換法，即可求得函數的單調區間；
（2）根據（1）中所求解析式，利用正切函數的單調性，即可解得不等式.

【詳解】（1）由題意知，函數 f(x)的最小正周期為 T＝ ，
2

即 2 ，因為 ω>0，所以 ω＝2，從而 f(x)＝tan(2x＋φ)，

因為函數 y＝f(x)的圖象關于點 M ,0 對稱，
8
k k 所以 2× ＋φ＝ ，k∈Z，即 φ＝ ＋ ，k∈Z.
8 2 2 4

因為 0<φ< ，所以 φ＝ ，故 f(x)＝tan 2x .2 4 4
3
令－ ＋kπ<2x＋ < ＋kπ，k∈Z，得 k < 2x < k ，k Z ，
2 4 2 4 4
3 k k
即 < x < ，k Z
8 2 8 2
3 k k
所以函數的單調遞增區間為 , ，k∈Z，無單調遞減區間．
8 2 8 2

（2）由（1）知，f(x)＝tan 2x .由－1≤tan4
2x
4
≤ 3，

k 2x k k 得 k ，k Z，即 x ，k Z
4 4 3 4 2 24 2
x k x k 所以不等式－1≤f(x)≤ 3的解集為 ∣

，k Z
4 2 24 2
.

π
42．（2024 高一·全國·課后作業）已知函數 y f x ，其中 f x A tan x ，（ 0， < ），y f x
2
的部分圖像如下圖．
(1)求A ， ， 的值；
(2)求 y f x 的單調增區間，
π
【答案】(1) A 1, 2,
4
kπ 3π
(2) ,
kπ π

2 8 2 8
, k Z

【分析】（1）根據函數圖像上的特殊點求得A ， ， 的值.
（2）利用整體代入法求得 f x 的遞增區間.
T 3π π π ,T π π【詳解】（1）根據函數圖像可知， , 2，
2 8 8 4 2
所以 f x A tan 2x ，
f x 0,1 3π過點 和點 ,0

，
8
A tan 1

所以 A tan 3π 0， 4
π π π 3π 5π
由于 < < ，所以 < < ，
2 2 4 4 4
3π
則 π,
π
，所以 A 1，
4 4
f x tan 2x π 所以 .
4
kπ π（2）由 < 2x
π π
< kπ ，
2 4 2
kπ 3π x kπ π解得 < < ，
2 8 2 8
f x kπ 3π , kπ π 所以 的單調遞增區間為 , k Z .
2 8 2 8
x
43．（2024 高一下·上海·課后作業）已知函數 f x 3 tan 0 ．

（1）當ω = 4時，求 f x 的最小正周期及單調區間；
（2）若 f x 3 x é 在 ,
ù
上恒成立，求 的取值范圍． 3 4
【答案】（1）4， 4k 2,4k 2 ， k Z ；（2） … .
【分析】（1）當ω = 4時，利用正切函數的周期公式和單調性即可求出 f x 的最小正周期及單調區間；
（2）根據 f x 3 é 在 x ,
ù
上恒成立，建立周期與最值的關系，解不等式即可求出 的取值范圍. 3 4

【詳解】（1）當ω = 4時， f x T 4的最小正周期 ,故最小正周期為 4；
4
要求 f x 的單調區間，只需 k x < < k ，解得： 4k 2 < x < 4k 2，
2 4 2
故 f x 的增區間為 4k 2,4k 2 ， k Z ，無單減區間.
T
（2）∵ 0，∴函數 f x 的周期 ．∵ f x 3 x é , ù f x x é 在 上恒成立，∴ 在 ,
ù
上
3 4
3 4
1 2
為嚴格增函數，∴ T ，∴ ．
3 2 2 3
f f f … 3 f 3 tan ∵ ，∴ ，即

3 4 3
… 3，即 tan … 3 ，∴
3 3 3

… ，∴ … ．
3 3
π
44．（2024 高一·全國·課后作業）已知函數 f (x) tan x ， 0．
3
(1)若 2，求 f x 的最小正周期與函數圖像的對稱中心；
(2)若 f x 在 0, π 上是嚴格增函數，求 的取值范圍；
(3)若方程 f x 3 在 a,b 上至少存在 2022 個根，且 b－a 的最小值不小于 2022，求 的取值范圍．
π kπ π ,0 【答案】(1) ，
2 4 6
k Z ；

1
(2) 0, ；
6
0, 2021(3) π
ù
．
2022
【分析】（1）根據正切函數的圖象和性質即得；
é π , π π ù é0, π （2）由題可得 ，進而即得； 3 3 2
π
（3）根據正切函數的圖象和性質可得 b－a 的最小值，然后結合條件可得 2021× 2022 ，進而即得.

【詳解】（1）由題可得 f (x) tan 2x
π
，
3
π
所以函數的最小正周期為 ，
2
由 2x
π kπ ,k kπ π Z，可得 x , k Z，
3 2 4 6
所以函數 f x kπ π的圖像的對稱中心 ,0
k Z ；
4 6
（2）因為 f x 在 0, π 上是嚴格增函數，
所以 x 0, π π π π π x é , π
ù

é0, ，3 3 3 2
所以 π
π π
< ，又 0，
3 2
1所以

0, ；
6
（3）因為 f (x) 3 tan
x π 3 x
π π
kπ, k Z，
3 3 3
所以 x
kπ
， k Z，至少存在 2022 個根，

π
所以可得 b－a 至少包含 2021 個周期，即b a 2021T 2021× ，

所以 b－a 的最小值為 2021
π
× ，又 b－a 的最小值不小于 2022，

π
所以 2021× 2022 ，

2021 ù
所以 0, π
2022
．
π
45．（2024 高一下·上海虹口·期末）已知函數 f x tan x ，其中 0 .
3
(1)若 2，求函數 f x 的最小正周期以及函數圖象的對稱中心；
(2)若 f x 在閉區間 0, π 上是嚴格增函數，求正實數 的取值范圍.
π kπ π
【答案】(1) ,
,0 4 6 , k Z;2

(2) 0,
1

6
【分析】（1）利用正切函數的周期性和對稱性求解；
（2）利用正切函數的單調性求出 的范圍.
π π
【詳解】（1）∵ 2，∴函數 f x 的最小正周期為T 2 ,
2x π kπ kπ π令 , k Z,解得 x ， k Z,
3 2 4 6
kπ π
∴ 函數圖象的對稱中心為 ,04 6 , k Z.
（2）∵ f x 在閉區間 0, π 上是嚴格增函數，
x π é π , π π∴
ù é0, π ，
3 3 3 2
π π π
1
∴ < ，且 ω

為正實數，解得 0,

3 2 6

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