資源簡介

5.4.1 正弦函數、余弦函數的圖象 4 題型分類
一、正弦函數的圖象
1．正弦曲線
正弦函數 y＝sinx，x∈R 的圖象叫做正弦曲線.
2．正弦函數圖象的畫法
(1)幾何法
①利用單位圓畫出 y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象；
②將圖象不斷向左、向右平移(每次移動 2π 個單位長度)．
(2)“五點法”
π 3π
①畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個關鍵點(0,0)，( ，1)，(π，0)，( ，－1 ，(2π，0)，2 2 )
用光滑的曲線連接；
②將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動 2π 個單位長度)．
二、余弦函數的圖象
(1)余弦曲線
余弦函數 y＝cosx，x∈R 的圖象叫做余弦曲線.
(2)余弦函數圖象的畫法
π
①要得到 y＝cosx 的圖象，只需把 y＝sinx 的圖象向左平移 個單位長度即可，這是由于
2
( πcosx＝sin x＋ ).2
②用“五點法”畫余弦曲線 y＝cosx 在[0,2π]上的圖象時，所取的五個關鍵點分別為(0,1)，
(π ) 3π，0 ，(π，－1)，( ，0)，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．將所得圖象不斷向左、向右平移(每2 2
次移動 2π 個單位長度)．
（一）
用“五點法”作三角函數的圖象
用“五點法”畫函數 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上簡圖的步驟
(1)列表
π 3π
x 0 π 2π
2 2
sinx －1
0(或 1) 1(或 0) 0(或－1) 0(或 1)
(或 cosx) (或 0)
b A＋b b(或 －A＋b b
y
(或 A＋b) (或 b) －A＋b) (或 b) (或 A＋b)
π 3π
(2)描點：在平面直角坐標系中描出下列五個點：(0，y)，( ，y )，(π，y)，( ，y)，(2π，y)，2 2
這里的 y 是通過函數式計算得到的．
(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來，不要用線段進行連接．
題型 1：用“五點法”作三角函數的圖象
1-1．（2024 高一·全國·課堂例題）（1）作出函數 y = 2sin x(0 x 2π)的簡圖；
（2）作出函數 y =1- cos x(0 x 2π)的簡圖．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析
【分析】根據列表描點連線作圖即可.
【詳解】（1）列表：
x π0 π
3π
2π
2 2
sin x 0 1 0 -1 0
2sin x 0 2 0 -2 0
描點并用光滑的曲線連接起來，可得函數 y = 2sin x(0 x 2π)的圖象，如圖所示：
（2）列表：
x π π 3π0 2π
2 2
cos x 0 1 -1 0 1
1- cos x 0 1 2 1 0
描點并用光滑的曲線連接起來，可得函數 y =1- cos x(0 x 2π)的圖象，如圖所示：
1-2．（2024 高一上·全國·專題練習）用“五點法”作出下列函數的簡圖.
(1) y = 2sin x， x 0,2π ；
y sin x π x é π , 5π ù(2) = + ÷， ê- .è 3 3 3 ú
1 π
(3) y = 3sin x - ÷在一個周期（T = 4π）內的圖像．
è 2 3
(4) y = 2 - sin x， x 0,2π ;
y π π 11(5) = cos x +

÷， x
é- , πù．
è 6 ê 6 6 ú
(6) y cos
π π
= x +
é
÷， x ê- ,
5π ù
è 3 3 3 ú
【答案】(1)圖象見解析
(2)圖象見解析
(3)圖象見解析
(4)圖象見解析
(5)圖象見解析
(6)圖象見解析
【分析】根據五點畫圖法的原則：描點、連線、繪圖，找到函數中對應的五個點，操作畫圖即可.
【詳解】（1）列表：
x 0 π π 3π 2π
2 2
2sin x 0 2 0 -2 0
描點、連線、繪圖，如圖所示.
（2）列表：
π 3π
x π+ 0 π 2π
3 2 2
x π π 2π 7π 5π-
3 6 3 6 3
sin π x + ÷ 0 1 0 －1 0
è 3
描點連線如圖.
（3）
列表:
x 2π 5π 8π 11π 14π
3 3 3 3 3
1 x π π π 3π- 0 2π
2 3 2 2
y 0 1 0 -1 0
圖像如圖所示：
（4）
解:由題知 y = 2 - sin x， x 0,2p ，
列表如下:
x 0 π π 3π 2π
2 2
y 2 1 2 3 2
根據表格畫出圖象如下:
y = cos x π+ é π 11（5）解:由題知 ÷， x - , π
ù
，
è 6 ê 6 6 ú
列表如下:
x π π 5π 4π 11π-
6 3 6 3 6
x π π 3π+ 0 π 2π
6 2 2
y 1 0 -1 0 1
根據表格畫出圖象如下:
é π
（6）Q x ê- ,
5π ù x πú\ + 0,2π 3 3 3
根據五點法作圖列表得：
x π+ 0 π π 3π 2π
3 2 2
x π π 2π 7π 5π-
3 6 3 6 3
y 1 0 -1 0 1
畫圖像得：
1-3．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = 2sin π 2x - ÷， x R ．在用“五點法”作函數 f x 的圖象
è 4
時，列表如下：
2x π-
4
x
f x
完成上述表格，并在坐標系中畫出函數 y = f x 在區間 0, π 上的圖象；
【答案】填表見解析；作圖見解析
【分析】由五點作圖法的步驟：列表（此題找特殊點），描點，連線（用一條光滑的曲線連接）.
【詳解】由題意列出以下表格：
2x π π π 3π 7π- - 0 π
4 4 2 2 4
π 3π 5π 7πx 0 π8 8 8 8
f x - 2 0 2 0 -2 - 2
函數圖象如圖所示：
（二）
用圖象變換法作函數圖象
用圖象變換法作函數圖象
對于某些函數的圖象，如 y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通過圖象變換，如平移變換、對
稱變換等作圖．
(1)把 y＝sinx 的圖象在 x 軸上方的保留，在 x 軸下方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸上方，就可得 y＝
|sinx|的圖象．
(2)把 y＝sinx 的圖象在 y 軸右側的保留，去掉 y 軸左側的圖象，再把 y 軸右側的圖象沿 y 軸翻
折到 y 軸左側，就可得 y＝sin|x|的圖象．
題型 2：用圖象變換法作函數圖象
2-1．（24-25 高一上·上海·課堂例題）利用圖象變換法作出 y = sin x ， x [0, 4π]的簡圖，并說明該圖象如何
由正弦曲線的相關部分通過圖象變換得到.
【答案】答案見解析
【分析】先作出 y = sinx， x 0,4π 的圖象，然后將 x 軸下方的部分翻轉到 x 軸上方去可得答案.
【詳解】解：作 y = sinx， x 0,4π 的圖象，并將 x 軸下方的部分翻轉到 x 軸上方（原 x 軸上方的部分不
變），
得 y = sinx ， x 0,4π 的圖象，如圖所示.
2-2．（2024 高一下·上海·課后作業）當 x -2p , 2p 時，作出下列函數的圖象，把這些圖象與 y = sin x 的圖
象進行比較，你能發現圖象變換的什么規律？
（1） y = -sin x；
（2） y = sin x ；
（3） y = sin x .
【答案】答案見解析
【分析】（1）作出圖象，根據圖象觀察即可解出；
（2）作出圖象，根據圖象觀察即可解出；
（3）作出圖象，根據圖象觀察即可解出．
【詳解】（1）該圖象與 y = sin x 的圖象關于 x 軸對稱，故將 y = sin x 的圖象作關于 x 軸對稱的圖象即可得到
y = -sin x的圖象.
sin x,-2p x -p ,0 x p ,
（2）y = sin x
ì
= í y = sin x xsin x, x 0, x 2 ,將 的圖象在 軸上方部分保持不變，下半部分作關于
x
- -p p p
軸對稱的圖形，即可得到 y = sin x 的圖象.
ìsin x, x 0,
（3） y = sin x = í y = sin xsin x, x 0,將 的圖象在
y 軸右邊部分保持不變，并將其作關于 y 軸對稱的圖形，
- <
即可得到 y = sin x 的圖象.
（三）
正弦函數、余弦函數圖象的應用
1、三角函數式化簡的常用方法
(1)依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為另一個角的三角函數．
(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數．
π
(3)注意“1”的應用：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
4
(4)用誘導公式進行化簡時，若遇到 kπ±α 的形式，需對 k 進行分類討論，然后再運用誘導公式
進行化簡．
2、三角函數式的化簡注意:
(1)利用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數;
(2)常用“切化弦”法，即通常將表達式中的切函數化為弦函數;
(3)注意“1”的變形應用.
題型 3：利用圖象解三角不等式
3-1．（2024 2高一下·全國·課后作業）不等式 sin x… , x (0, 2p )的解集為（ ）
2
ép , p ù ép , 3p ù ép 3p ù ép p ùA． ê 6 2 ú
B．
ê
C．
4 4 ú ê
, ú D． , 2 4 ê 6 4 ú
【答案】B
【分析】根據 y = sin x 的圖象與性質可得 sin x 2 的解集．
2
Q sin x 2【詳解】解： , x (0, 2p )
2
y = sin x 函數圖象如下所示：
\ p x 3p ，
4 4
ép 3p\ ù不等式的解集為： ê , ú ． 4 4
故選： B ．
3-2．（2024 高一·全國·課堂例題）不等式 sin 2x
π 1+
3 ÷

2 的解集為 ．è
ì π
【答案】 íx | - + kπ x
π
+ kπ, k Zü
12 4
【分析】可先求出 sina
1 a 0,2π 2x π a x sin 2x π 1 ， 的解集，在將 + 代替 解出 ，則不等式 + ÷ 的解集2 3 è 3 2
可求.
【詳解】畫出 x [0, 2p ]時， y = sin x 的圖象．
令 sina
1
= ，a 0,2π π 5π，解得a = 或a =
2 6 6
又 y = sin x
1 ì π 5π2π ü的周期為 ，所以 sina 的解集為 ía | + 2kπ a + 2kπ,k Z2 6 6
．

用 2x
π a x π kπ x π+ 代替 解出 ．可得- + + kπ, k Z
3 12 4
sin 2x π+ 1 ì π π則 ÷ 的解集為 íx | - + kπ x + kπ, k Z
ü
3 2 .è 12 4
ì π π
故答案為： íx | - + kπ x + kπ, k Z
ü
.
12 4
1
3-3．（2024 高一下·陜西西安·階段練習）不等式si n x < - , x [0, 2p ]的解集是（ ）
2
7p 11p 4p 5p
A é ù．（ , ） B． ,
6 6 ê 3 3 ú
5p , 7p 2p 5pC．（ ） D．（ , ）
6 6 3 3
【答案】A
【分析】在平面直角坐標系中作出 y = sin x 在 0,2p 上的圖象，運用數形結合的思想方法即可求解
【詳解】
7p 11p
如圖所示，不等式 sin x
1
< - ， x 0,2p 的解集為 ,
2 ֏ 6 6
故選：A
3-4．（2024 高一下·上海嘉定·期中）不等式 cos x
1
x -π, π 的解集為 .
2
é π
【答案】 ê- ,
π ù
3 3ú
【分析】畫出 y = cos x x -π, π 的圖象，由圖象即可求解.
【詳解】
畫出 y = cos x x -π, π 的圖象，如圖所示，
1 π π
由圖可知，不等式 cos x x -π, π é的解集為 - , ù .
2 ê 3 3ú
é π π ù
故答案為： ê- , 3 3ú
3-5．（2024 高一·全國·課后作業）在(0，2π)內使 sin x>|cos x|的 x 的取值范圍是（ ）
π π π 5π 3π, 3π , ù , ùA．
è 4 4 ÷
B．
4 2 ú è è 4 2 ú
C
π , π 5π 7π ． ÷ D． , ÷
è 4 2 è 4 2
【答案】A
【分析】根據正弦函數在各象限的符號并結合正弦、余弦函數圖像即可求解.
【詳解】因為 sinx>|cosx|且 x∈(0，2π)，
所以 sinx>0，
所以 x∈(0，π)，
在同一平面直角坐標系中畫出 y=sinx，x∈(0，π)與 y=|cosx|，x∈(0，π)的圖象，
π 3π
觀察圖象易得 x∈ ， ．
4 4
故選：A.
題型 4：利用圖象求方程的解或函數零點的個數問題
1
4-1．（2024 高一下·全國·單元測試）方程 sin πx = x 的解的個數是 ．
4
【答案】7
1
【分析】根據題意可知，在同一坐標系下分別畫出 y = sin πx和 y = x的圖象，找出兩函數圖象交點個數即
4
可.
【詳解】由正弦函數值域可得 sin πx -1,1 ，
1
又因為當 x = 4時， y = x =1；
4
所以，分別畫出 y = sin πx y
1
和 = x在 x -4,4 上的圖象如下圖所示：
4
根據圖像并根據其對稱性可知，在 x -4,4 上兩函數圖象共有 7 個交點；
1
由函數與方程可知，方程 sin πx = x 有 7 個解.
4
故答案為：7
x
4-2．（2024 高一下·新疆塔城·階段練習）函數 f x = sinx - 的零點個數為 ．
10
【答案】7
【分析】數形結合，求函數 f x sinx x x= - 的零點個數轉化為求函數 y = sinx與 y = 的交點個數.
10 10
f x sinx x x【詳解】依題意求函數 = - 的零點個數，可以轉化為求函數 y = sinx與 y = 的交點個數，
10 10
y = sinx -1,1 ，
y x 10如圖，對于函數 = ，當 x = 0時， y = 0 ；當 x =10 時， y = =1；當 x >10 時， y > 1；當 x = 8時，
10 10
y 4= <1；
5
所以在 x 軸非負半軸上兩個函數圖像有 4 個交點，
10 4
當 x = -10時， y = - = -1；當 x = -8時， y = - > -1；所以在 x 軸負半軸上兩個函數圖像有 3 個交點，
10 5
f x sinx x綜上，函數 = - 的零點個數為 7.
10
故答案為：7.
π
4-3．（2024 高一上·河南新鄉·期末）已知函數 f (x) = 5cos(wx + )(w > 0) 在 -2,2 上恰有 2 個零點，則w 的
6
取值范圍為 ．
π 2π
【答案】[ , )
3 3
【分析】根據給定條件，求出相位的范圍，再按余弦函數零點分布情況分類求解作答.
【詳解】由 x -2,2 π π π且w > 0，得wx + [-2w + , 2w + ]，
6 6 6
ì 3π 2w π 5π + <
若 f x 在 -2,0 f x 0,2 2 2 6 2上無零點，則 在 上恰有 個零點，則 í π ，無解； - < -2w π π+ <
2 6 6
ì π 2w π 3π + <
f x -2,0 2 6 2若 在 上恰有 1 個零點，則 f x 在 0,2 上恰有 1 個零點，則 í
3π π π
，解得
- < -2w + -
2 6 2
π
w 2π< ；
3 3
ì π
< 2w
π π
+ <
f x -2,0 2 f x 0,2 6 6 2若 在 上恰有 個零點，則 在 上無零點，則 í
5π π 3π
，無解，
- < -2w + -
2 6 2
所以w
π 2π
的取值范圍為[ , ) .
3 3
故答案為：[
π , 2π)
3 3
【點睛】思路點睛：涉及求正(余)型函數在指定區間上的零點問題，根據給定的自變量取值區間求出相位的
范圍，再利用正(余)函數值為 0 列式求解即得.
4-4．（2024 高一下·全國·課后作業）函數 f x = 3sin x - x的零點個數為 .
【答案】3
x
【分析】在同一坐標系中畫出函數 y = si n x, y = 的圖像，則函數 f x 零點個數為兩函數圖象交點個數
3
【詳解】由 f x = 0 sin x x= ，則函數 f x x零點個數為 y = si n x, y = 圖象交點個數，在同一坐標系
3 3
中畫出兩函數圖象如下，則交點有 3 個，即 f x 有 3 個零點.
故答案為：3
4
π π
-5．（2024 高一下·四川廣安·階段練習）已知關于 x 的方程 2sin 2x + ÷ - m = 0在 , π6 2 ÷上有兩個不同的實è è
數根，則 m 的取值范圍是 ．
【答案】 -2, -1
π m π
【分析】將問題化為 y = sin 2x + ÷ 與 y =6 在
, π
2 ÷上有兩個交點，數形結合即可求參數范圍
.
è 2 è
sin 2x π m+ π 【詳解】由題設 ÷ = 在 , π ÷上有兩個不同的實數根，
è 6 2 è 2
2x π 7π 13π
π π
又 + ( , )，故 y = sin 2x +
, π
6 6 6 è 6 ÷
在 ÷的圖象如下，
è 2
y = sin 2x π+ y m只需 6 ÷ 與
= 在給定區間內有兩個交點即可，
è 2
m 1
如圖，-1 < < - ，則-2 < m < -1.
2 2
故答案為： -2, -1
一、單選題
1．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y = cos(-x), x [0,2p ]的簡圖是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 cos（﹣x）＝cosx 及余弦函數的圖象即可得解．
【詳解】由 y = cos(-x) = cos x 知，其圖象和 y = cos x的圖象相同，
故選 B．
【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象與性質，屬于基礎題．
2．（2024 高一下·上海·課后作業）函數 y = sin x, x [0, 2p ] y
1
與 = 圖像交點的個數為（ ）
2
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
1
【分析】作出直線 y = 與函數 y = sin x 在[0, 2p ]上的圖象，觀察圖形即可得解.
2
【詳解】作出函數 y = sin x 在[0, 2p ]
1
上的圖象，并作出直線 y = ，如圖：
2
觀察圖形知：函數 y = sin x 在[0, 2p ]
1
上的圖象與直線 y = 有兩個公共點，
2
所以函數 y = sin x, x [0, 2p ] y
1
與 = 圖像交點的個數為 2.
2
故選：C
3．（2024 高一下·全國·課后作業）從函數 y = cos x, x 0,2p 3的圖象來看，當 x 0,2p 時，對于 cos x = -
2
的 x 有（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
【答案】C
【分析】畫出 y = cos x, x 0,2p y 3和 = - 的圖象，看它們有幾個交點即可.
2
【詳解】先畫出 f x = cos x ， x 0,2p 的圖象，即 A 與 D 之間的部分，
再畫出 g x 3= - 的圖象，如下圖：
2
由圖象可知它們有 2 個交點 B、C，
所以當 x 0,2p 3時， cos x = - 的 x 的值有 2 個.
2
故選：C
4．（2024 高一·全國·專題練習）三角函數 y = 2sin x在區間 -p ,p 上的圖像為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據已知條件，結合三角函數的奇偶性，以及函數的最值點，即可求解.
【詳解】解：∵ y = 2sin x為奇函數，
∴ y = 2sin x的圖像關于原點對稱，故排除 A、D 選項，
三角函數 y = 2sin x
p
在區間 -p ,p 上的最大值為 y = 2sin = 2，故排除 B 選項.
2
故選：C.
5．（2024 高三·全國·專題練習）用“五點法”作 y = 2cos 2x 的圖象，首先描出的五個點的橫坐標是（ ）
0, π , π, 3π ,2π 0, π π 3πA． B． , , , π
2 2 4 2 4
C．0, π,2π,3π,4π 0,
π , π , π , 2πD．
6 3 2 3
【答案】B
【分析】根據五點作圖法結合余弦函數的圖象即可得解.
π 3
【詳解】由“五點法”作圖知：令 2x = 0， ， π， π ， 2π，
2 2
π π 3π
解得 x = 0, , , , π，即為五個關鍵點的橫坐標.
4 2 4
故選：B.
6．（2024 高三·全國·專題練習）函數 y = -cos x x 0 的圖象中與 y 軸最近的最高點的坐標為（ ）
π
A． ,1÷ B． π,1
è 2
C． 0,1 D． 2π,1
【答案】B
【分析】五點法作圖，根據圖象分析即可.
【詳解】用五點法畫出函數 y = -cos x x 0 的部分圖象如圖所示，由圖易知與 y 軸最近的最高點的坐標為
π,1 .
故選：B
7．（2024 高一下·遼寧·階段練習）華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離
分家萬事休.”所以研究函數時往往要作圖，那么函數 f x = sin x + cos 2x的部分圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據圖象的區別，取 x = π驗證即可排除錯誤選項.
【詳解】因為 f p = sinp + cos 2π =1 > 0，所以 ACD 錯誤.
故選：B
8．（2024 高一上·安徽合肥·期末）函數 f x = sin x， g x = cos x 的圖象在區間 -2π, π 的交點個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】作出正、余弦函數圖象，利用圖象直接判斷兩者交點個數.
【詳解】分別作出 f x = sin x， g x = cos x 在區間 -2π, π 上的圖象，如圖所示，
由圖象可知： f x = sin x， g x = cos x 的圖象在區間 -2π, π 的交點個數為 3.
故選：A.
9．（2024·全國·模擬預測）若 f x π= sin wx +

÷ (w > 0 )在 0, π 上有且只有兩個零點，則w 的取值范圍為
è 3
（ ）
5 , 8ù 5 8 é5 8 é5 8ùA． ú B． , ÷ C． ê ,3 3 3 3 3 3 ÷
D． ê ,è è 3 3ú
【答案】A
π π π π
【分析】根據w > 0， x 0, π ，得wx + ( ,wπ + ) ，結合正弦函數性質，確定wx + 的位置范圍即可
3 3 3 3
求出 ω 的范圍﹒
【詳解】∵w > 0， x 0, π ，∴wx π (π+ ,wπ π+ ) ，
3 3 3
函數 f (x) sin wx
π
= +

÷ (w > 0)在區間 0, π 上有且只有兩個零點，
è 3
則 2π < πw
π
+ 3π 5﹒解得 < w
8
.
3 3 3
故選：A
10．（2024 高一下·江蘇揚州·期中）設函數 f x 的定義域為 R， f -x = f x ， f x = f 2 - x ，當 x 0,1
f x = x3時， ，則函數 g x =| cos πx | - f x [ 1, 3在區間 - ]上零點的個數為（
2 ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】分析函數 f (x)
3
的性質，結合冪函數的圖象，作出 f (x) 在[-1,2]上的圖象，再作出 y =| cos πx |在[-1, ]
2
上的圖象，求出兩圖象的交點個數作答.
【詳解】由 f (-x) = f (x) ，得 f (x) 的圖象關于 y 軸對稱，由 f (x) = f (2 - x)，得 f (x) 的圖象關于直線 x =1
對稱，
令 g(x) =| cos πx | - f (x) = 0，得 | cos πx |= f (x)，函數 y = cos πx 是周期為 1 的偶函數，當 x 0,1 時，
f x ＝x3，
在同一坐標系內作出函數 y = f (x) 在 -1,2 上的圖象，函數 y = cos πx 3在[-1, ]上的圖象，如圖，
2
觀察圖象知，函數 y = f (x) 與 y =| cos πx |的圖象在[-1,
3]上的交點有 7 個，
2
所以函數 g x =| cos πx | - f x 在區間[-1, 3]上零點的個數為 7.
2
故選：D
二、多選題
π 4π
11．（2024 高一下·江西撫州·期中）函數 y = cos x ， x ,3 3 ÷的圖像與直線
y = t （t 為常數，t R ）的交
è
點可能有（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
【答案】ABC
【分析】作出函數圖像，通過觀察判斷結果.
【詳解】作出 y = cos x ， x
π 4π
, 3 3 ÷的圖像觀察可知，è
當 t < 0或 t >1時， y = cos x 的圖像與直線 y = t 的交點個數為 0；
1
當 t = 0或 t =1或 t = 時， y = cos x 的圖像與直線 y = t 的交點個數為 l；
2
當0 < t
1 1
< 或 < t <1時， y = cos x 的圖像與直線 y = t 的交點個數為 2.
2 2
故選：ABC.
12．（2024 高一上·全國·課后作業）（多選）函數 y=sinx -1, x [0, 2π]與 y = a 有一個交點，則 a的值為（ ）
A．-1 B．0
C．1 D．-2
【答案】BD
【分析】根據函數圖象的交點個數，即可結合圖象求解.
【詳解】畫出 y=sinx -1, x [0, 2π]的圖象.
如圖：直線 y = 0 和 y=- 2 與 y=sinx -1, x [0, 2π]的圖象只有一個交點，
故 a = 0或 a = -2 .
故選：BD.
三、填空題
2p ép ù
13．（2024 高三上·湖南株洲·開學考試）若函數 f x = 2sin wx + ÷ +1 w > 0 在 ,p
è 3 ê 6 ú
上有且僅有 3 個零

點，則w 的最小值為 .
5
【答案】
2
ì2π π w 2π 7π
2π 2π 1
< +
【分析】首先令 2sin wx + 3 6 3 6 ÷ +1 = 0 ，得 sin wx + ÷ = - ，再結合題意得到3 3 2 í ，è è 3π π+ πw 2π π+ < 4π -
6 3 6
解不等式即可.
2π 2π 1
【詳解】令 2sin wx +

÷ +1 = 0 ，得 sin
wx + ÷ = - ，
è 3 è 3 2
π x π π w 2π wx 2π πw 2π由 得 + + + ，
6 6 3 3 3
ì2π π w 2π 7π < +
依題意， f x é π在 ê , π
ù
3 3 6 3 6
6 上有且僅有 個零點，則 í ， ú 3π π 2π π+ πw + < 4π -
6 3 6
5
解得 w 3，
2
所以w
5
的最小值為 .
2
5
故答案為： .
2
14．（2024 高二上·河北衡水·階段練習）已知函數 f x 2sin 2x π= +

÷ ，令 g x = f x
3 0, π- 在區間 上
è 6 2 è 2 ÷
恰有 2 個零點 x1, x2 x1 < x2 ，則 x1 + x2 = ， cos x1 - x2 = .
p 1 3
【答案】 / p /0.75
3 3 4
sin 2x π 3 0, π π+ = π π【分析】轉化為 ÷ 在 ÷上恰有 2 個零點，當 x 0, ÷ 時，z = 2x + ,
7π
÷，畫出 y = sin z
è 6 4 è 2 è 2 6 è 6 6
π
在 z ,
7π π
÷時的解析式，得到 z1 + z2 = π，求出 x1 + x2 = ，所以è 6 6 3
cos x π π 31 - x2 = cos - 2x3 2 ÷ = sin 2x2 + ÷ = .è è 6 4
【詳解】由題意得 2sin
2x π+ 3 ÷ =

在 0,
π
6 2 ÷
上恰有 2 個零點，
è è 2
sin π 3 π即 2x +
= ÷ 在6 4
0, ÷上恰有 2 個零點 x1, x2 x < x ，
è è 2 1 2
x 0, π z 2x π π 7π 當 2 ÷
時， = + ,
6 6 6 ÷
，
è è
y sin z z π , 7π畫出 = 在 時的函數圖象，
è 6 6 ÷
z π1, z2關于 x = 2 對稱，故 z1 + z2 = π，
2x π 2x π π即 1 + + 2 + = π ，解得 x + x6 6 1 2
= ，
3
且 sin
2x π 3 π+ 3 1 6 ÷
= ， sin 2x4 2
+ ÷ = ，
è è 6 4
π
因為 x1 = - x2，所以 cos x
π
1 - x = cos

2 - 2x2 ÷ = sin
é π π
- - 2x ù = sin 2x π+ 3ê 2 ÷ 2 ÷ =3 è 3 2 è 3 ú è 6 4
π 3
故答案為： ，
3 4
ì sin πx, x 0,2f (x) 15．（2024 高一下·上海青浦·階段練習）已知函數 = í
log2 (x - 2) , x
，若存在實數 k 滿足
(2, + )
f a = f b = f c = f d = k(a,b, c, d 互不相等 ) ，則 a + b + c + d 的取值范圍是 .
15
【答案】 (7, ) 6
2
【分析】作出分段函數的圖象，利用 f a = f b = f c = f d = k 和對稱性，分類討論求解.
ì sin πx, x 0,2
【詳解】函數 f (x)
= í
log2 (x
的圖象如下圖所示：
- 2) , x (2, + )
存在實數 k 0,1)滿足 f a = f b = f c = f d = k(a,b, c, d 互不相等 ) ，不妨設 a < b < c < d ，則由圖可知
a,b x 1關于 = 對稱，所以a + b = 1；
2
當 k = 0時， c = 2， d = 3，則 c + d = 5，此時 a + b + c + d = 6 ；
5 5
當0 < k <1時，因為 log2 (x - 2) =1解得 x = 或 x = 4，故而 < c < 3，3 < d < 4，且由圖可得2 2
- log2 (c - 2) = log2 (d - 2)
1
，即 = d - 2，可得 d
1
= + 2 ，
c - 2 c - 2
c d c 1 1所以 + = + + 2 = c - 2 + + 4
c - 2 c - 2
1 1 1 13 15
設 t = c - 2，則 t ,1÷，c + d = t + + 4在 t ,1÷上單調遞減，所以 c + d (6, )，所以 a + b + c + d (7, )，
è 2 t è 2 2 2
綜上所述 a + b + c + d (7,
15) 6 ；
2
15
故答案為： a + b + c + d (7, ) 6 .
2
π
16．（2024 高一下·湖北武漢·期中）已知函數 f x = sin wx + ÷ (w > 0) ），若方程[ f x ]2 =1在 0,3π 上恰
è 6
有 5 個實數解，則實數w 的取值范圍為 ．
13 ,16 ù【答案】
è 9 9 ú
π π π
【分析】由[ f (x)]2 = 1可得 f (x) = ±1

，運用換元法令wx + = t < t < 3wπ + ÷，將問題轉化為 y = sint在6 è 6 6
π
,3wp
π
+ ÷上恰有 5 條對稱軸，畫 y = sint圖象運用數形結合列式即可求得結果.
è 6 6
π π π
【詳解】當0 < x < 3π時， < wx + < 3wπ + ，
6 6 6
π
因為函數 f x = sin wx + ÷在區間 (0,3π)上恰好有 5 個 x，使得 f x = ±1，
è 6
故 f (x) 在 (0,3π) wx
π t π π上恰有 5 條對稱軸．令 + =

6
< t < 3wπ +
6 6 ÷
，
è
y sint π則 = 在 ,3wp
π
+ ÷上恰有 5 條對稱軸，如圖：
è 6 6
9π π 11π w 13 ,16所以 < 3wπ + ，解得
ù
．
2 6 2 è 9 9 ú
13 16 ù
故答案為： , ú .è 9 9
17．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數 f (x) = 4cos

2x
π
+ ÷ - 3，則 f (x)
π 5π
在 - ,

÷上的零點個數
è 6 è 12 6
為 ．
【答案】2
y = cos 2x π+ y 3=
π , 5π- 【分析】根據題意分析可得原題意等價于求 6 ÷與 在4 12 6 ÷
上的交點個數，結合余弦
è è
函數分析運算.
f (x) 4cos 2x π 【詳解】令 = + ÷ - 3 = 0 ，可得 cos

2x
π 3+ ÷ = ，
è 6 è 6 4
π 3 π 5π
原題意等價于求 y = cos 2x + ÷與 y = 在 - , 上的交點個數，
è 6 4 è 12 6 ÷
x π 5π π 11π∵ - ,

÷ ，則 2x + 0, ÷，
è 12 6 6 è 6
且 cos 0 =1 3> , cos11π 3 3= > ，
4 6 2 4
有余弦函數可知 y = cos x
3 0,11π與 y =

在 ÷ 上有 2 個交點4 è 6
所以 y = cos
π 3 π 5π
2x + ÷與 y =6 在4
- , ÷上有 2 個交點.
è è 12 6
故答案為：2.
18．（2024 高一下·貴州遵義·期中）已知函數 f (x) = cos
2wx π +

3 ÷
w > 0 在區間 (0,2π)上有且僅有 10 個零點，
è
則 ω 的取值范圍是 .
55 , 61ù【答案】
è 24 24ú
π
【分析】將 2wx + 看成一個整體，找出其范圍，再根據余弦函數的性質列出不等式求解.
3
π π π
【詳解】由 x (0, 2π)，則 2wx +
3
, 4πw + ÷，
è 3 3
因為函數 f (x) = cos
2wx π+ ÷ w > 0 在區間 (0,2π)上有且僅有 10 個零點，
è 3
19π 4wπ π 21π w
55 , 61ù所以由余弦函數的性質可知： < + ,解得
2 3 2 ú
，
è 24 24
55 61ù
故答案為： , .
è 24 24ú
四、解答題
19．（2024 高三·全國·專題練習）作出函數 y = cos x , x R 的圖象
【答案】見解析
【分析】去絕對值后，結合函數 y = cos x的圖象，即可畫出函數的圖象.
ì
cos x, x
é π π ù
ê- + 2kπ, + 2kπ2 2 ú
【詳解】 y = cos x =

í ， k Z，

-cos x, x
é π ê + 2kπ,
3π
+ 2kπù
2 2 ú
作出函數 y = cos x圖象后，將 x 軸下方的部分沿 x 軸翻折到 x 軸上方，即為函數 y = cos x 的圖象，如圖
20．（2024 高一·全國·課后作業）用五點法作出函數 y = 2 + sinx 的大致圖象．
【答案】圖象見解析
【分析】根據“五點法”列表、描點、連線即可得到函數圖象.
【詳解】解：因為 y = 2 + sinx ，
列表：
0 π π 3πx 2π
2 2
y 2 3 2 1 2
描點、連線，函數圖象如下圖所示：
ìcos x,-p x < 0,
21．（2024 高一下·上海·課后作業）已知函數 f x = í
sin x,0 x p .
（1）作出該函數的圖象；
（2）若 f x 1= ，求 x 的值；
2
（3）若 a R ，討論方程 f x = a的解的個數．
p p 5p
【答案】（1）圖見解析；（2）x = - 或 或 ；（3）當 a >1或 a < -1時，解的個數為 0；當-1 a < 06 或 a =13 6
時，解的個數為 1；當0 a < 1時，解的個數為 3．
【分析】（1）根據正余弦函數的圖象即可畫出；
（2）討論 x 的范圍根據解析式即可求解；
（3）方程 f x = a的解的個數等價于 y = f x 與 y = a 的圖象的交點個數，結合圖象即可得出.
【詳解】（1） f x 的函數圖象如下：
（2）當-p x < 0時， f x cos x 1 p= = ，解得 x = - ，
2 3
0 x 1p f x = sin x = x p= 5p當 時， ，解得 或 ，
2 6 6
x p p綜上， = -
5p
或 或
3 6 6
；
（3）方程 f x = a的解的個數等價于 y = f x 與 y = a 的圖象的交點個數，
則由（1）中函數圖象可得，
當 a >1或 a < -1時，解的個數為 0；
當-1 a < 0或 a =1時，解的個數為 1；
當0 a <1時，解的個數為 3．
3p
22．（2024 高一上·全國·課前預習）作函數 y = sin x + ÷ 的圖象.
è 2
【答案】圖象見解析.
【分析】根據誘導公式化簡可得函數解析式，根據余弦函數圖象性質，可畫出函數圖象.
ì cosx p - + 2kp x
p
+ 2kp , k Z
3p è 2 2 ÷
【詳解】 y = sin x + = cosx =
è 2 ÷
í
-cosx p 3p + 2kp < x < + 2kp ,k Z

÷
è 2 2
故 y =| cos x |的圖象實際就是 y = cos x的圖象在 x 軸下方的部分翻折到 x 軸上方后得到的圖象，如圖
23．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f x = sin x + 2 sin x ，用五點作圖法畫出函數 f x 在 0,2π 上的圖象；
（先列表，再畫圖）
【答案】答案見解析
【分析】先寫出分段函數，列出表格，從而畫出函數圖象.
ì3sin x,0 x π
【詳解】 f x = í
-sin x, π
，
< x 2π
按五個關鍵點列表：
π 3π
x 0 π 2π
2 2
sin x 0 1 0 -1 0
f x = sin x + 2 sin x 0 3 0 1 0
描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖所示：
24．（2024 高一·全國·課后作業）用五點法分別畫下列函數在[-p,p]上的圖象:
(1) y = -sin x ;
(2) y = 2 - cos x .
【答案】（1）見解析（2）見解析
【分析】根據五點作圖法的方法描點,再用光滑曲線連接起來即可.
【詳解】解:
p p
x -p - 0 p
2 2
y = -sin x 0 1 0 -1 0
y = 2 - cos x 3 2 1 2 3
【點睛】本題主要考查了五點作圖法的運用,屬于基礎題.
1 π
25．（2024 高一下·北京·階段練習）用五點法畫出函數 y = 2sin x +2 3 ÷
一個周期的圖象.
è
【答案】答案見解析
1 π π 3π
【分析】分別令 x + 的取值分別為0 、 、 π、 、2π，計算出對應的 x 和 y 值，經過列表、描點、連
2 3 2 2
1 π
線可得出函數 y = 2sin x + ÷一個周期的圖象.
è 2 3
1 π
【詳解】令 z = x + ，則 x 2 z
π
= -
2 3 ÷
.
è 3
列表：
0 π π 3πz 2π2 2
2π π 4π 7π 10πx -
3 3 3 3 3
y 0 2 0 -2 0
函數 y = 2sin
1
x
π
+
2 3 ÷
在一個周期內的圖象如下圖所示：
è
π
26．（2024 高三·全國·專題練習）用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數 f x = 2sin 2x + ÷ 在 0, π 上的
è 6
大致圖像.
【答案】答案見解析
【分析】根據函數解析式按照“五點法”的步驟，列表、描點、連線即可作出 f x 的圖象.
【詳解】列表：
π 5π 2π 11π
x 0 π
6 12 3 12
2x π π π+ π 3π 13π2π
6 6 2 2 6
y 1 2 0 -2 0 1
描點，連線，畫出 f x 在 0, π 上的大致圖像如圖：
27．（2024 高三·福建廈門·階段練習）函數 f x = sin x + 2 sin x , x 0,2p 的圖象與直線 y = k 有且僅有兩個
不同的交點，求實數 k 的取值范圍．
【答案】 1,3 ．
【分析】將函數 f x = sin x + 2 sin x , x 0,2p 寫為分段函數的形式，作出其圖象，根據圖象即可得實數 k
的取值范圍.
f x = sin x + 2 sin x =
ì3sin x, x 0,p
【詳解】 í sin x, x p , 2p ， -
其圖象如圖所示．
若使 f x 的圖象與直線 y = k 有且僅有兩個不同的交點，
根據圖象，可得實數 k 的取值范圍是 1,3 ．
【點睛】本題主要考查了正弦型三角函數的圖象，將函數寫為分段函數的形式是解題的關鍵，屬于中檔題.5.4.1 正弦函數、余弦函數的圖象 4 題型分類
一、正弦函數的圖象
1．正弦曲線
正弦函數 y＝sinx，x∈R 的圖象叫做正弦曲線.
2．正弦函數圖象的畫法
(1)幾何法
①利用單位圓畫出 y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象；
②將圖象不斷向左、向右平移(每次移動 2π 個單位長度)．
(2)“五點法”
π 3π
①畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個關鍵點(0,0)，( ，1)，(π，0)，( ，－1 ，(2π，0)，2 2 )
用光滑的曲線連接；
②將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動 2π 個單位長度)．
二、余弦函數的圖象
(1)余弦曲線
余弦函數 y＝cosx，x∈R 的圖象叫做余弦曲線.
(2)余弦函數圖象的畫法
π
①要得到 y＝cosx 的圖象，只需把 y＝sinx 的圖象向左平移 個單位長度即可，這是由于
2
( πcosx＝sin x＋ ).2
②用“五點法”畫余弦曲線 y＝cosx 在[0,2π]上的圖象時，所取的五個關鍵點分別為(0,1)，
(π ) 3π，0 ，(π，－1)，( ，0)，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．將所得圖象不斷向左、向右平移(每2 2
次移動 2π 個單位長度)．
（一）
用“五點法”作三角函數的圖象
用“五點法”畫函數 y＝Asinx＋b(A≠0)或 y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上簡圖的步驟
(1)列表
π 3π
x 0 π 2π
2 2
sinx －1
0(或 1) 1(或 0) 0(或－1) 0(或 1)
(或 cosx) (或 0)
b A＋b b(或 －A＋b b
y
(或 A＋b) (或 b) －A＋b) (或 b) (或 A＋b)
π 3π
(2)描點：在平面直角坐標系中描出下列五個點：(0，y)，( ，y )，(π，y)，( ，y)，(2π，y)，2 2
這里的 y 是通過函數式計算得到的．
(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來，不要用線段進行連接．
題型 1：用“五點法”作三角函數的圖象
1-1．（2024 高一·全國·課堂例題）（1）作出函數 y = 2sin x(0 x 2π)的簡圖；
（2）作出函數 y =1- cos x(0 x 2π)的簡圖．
1-2．（2024 高一上·全國·專題練習）用“五點法”作出下列函數的簡圖.
(1) y = 2sin x， x 0,2π ；
π π 5π
(2) y = sin x +

÷， x
é- , ù
è 3 ê 3 3 ú
.

1 π
(3) y = 3sin x -

÷在一個周期（T = 4π）內的圖像．
è 2 3
(4) y = 2 - sin x， x 0,2π ;
(5) y = cos x
π
+ ÷， x
π 11
é ù
è 6 ê
- , π
6 6 ú
．

(6) y = cos x
π x é π + ÷， ê- ,
5π ù
è 3 3 3 ú
1-3．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = 2sin 2x π- ÷， x R ．在用“五點法”作函數 f x 的圖象
è 4
時，列表如下：
2x π-
4
x
f x
完成上述表格，并在坐標系中畫出函數 y = f x 在區間 0, π 上的圖象；
（二）
用圖象變換法作函數圖象
用圖象變換法作函數圖象
對于某些函數的圖象，如 y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通過圖象變換，如平移變換、對
稱變換等作圖．
(1)把 y＝sinx 的圖象在 x 軸上方的保留，在 x 軸下方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸上方，就可得 y＝
|sinx|的圖象．
(2)把 y＝sinx 的圖象在 y 軸右側的保留，去掉 y 軸左側的圖象，再把 y 軸右側的圖象沿 y 軸翻
折到 y 軸左側，就可得 y＝sin|x|的圖象．
題型 2：用圖象變換法作函數圖象
2-1．（24-25 高一上·上海·課堂例題）利用圖象變換法作出 y = sin x ， x [0, 4π]的簡圖，并說明該圖象如何
由正弦曲線的相關部分通過圖象變換得到.
2-2．（2024 高一下·上海·課后作業）當 x -2p , 2p 時，作出下列函數的圖象，把這些圖象與 y = sin x 的圖
象進行比較，你能發現圖象變換的什么規律？
（1） y = -sin x；
（2） y = sin x ；
（3） y = sin x .
（三）
正弦函數、余弦函數圖象的應用
1、三角函數式化簡的常用方法
(1)依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為另一個角的三角函數．
(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數．
π
(3)注意“1”的應用：1＝sin2α＋cos2α＝tan .
4
(4)用誘導公式進行化簡時，若遇到 kπ±α 的形式，需對 k 進行分類討論，然后再運用誘導公式
進行化簡．
2、三角函數式的化簡注意:
(1)利用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數;
(2)常用“切化弦”法，即通常將表達式中的切函數化為弦函數;
(3)注意“1”的變形應用.
題型 3：利用圖象解三角不等式
3-1 2．（2024 高一下·全國·課后作業）不等式 sin x… , x (0, 2p )的解集為（ ）
2
ép , p ù ép , 3p ù ép 3pA B ù
ép p ù
． ê ． 6 2 ú ê
C． , D． ,
4 4 ú ê 2 4 ú ê 6 4 ú
3-2．（2024 高一·全國·課堂例題）不等式 sin 2x
π 1
+ ÷ 3 2 的解集為 ．è
1
3-3．（2024 高一下·陜西西安·階段練習）不等式si n x < - , x [0, 2p ]的解集是（ ）
2
7p 11p é4p 5pA ù．（ , ） B．
6 6 ê
,
3 3 ú
5p , 7p 2p 5pC．（ ） D．（ , ）
6 6 3 3
3-4．（2024 高一下·上海嘉定·期中）不等式 cos x
1
x -π, π 的解集為 .
2
3-5．（2024 高一·全國·課后作業）在(0，2π)內使 sin x>|cos x|的 x 的取值范圍是（ ）
π 3π π , π ù 5π , 3πA． ,
ù
è 4 4 ÷
B．
4 2 ú è è 4 2 ú
π , π 5π , 7π C． D4 2 ÷ ． ÷è è 4 2
題型 4：利用圖象求方程的解或函數零點的個數問題
1
4-1．（2024 高一下·全國·單元測試）方程 sin πx = x 的解的個數是 ．
4
x
4-2．（2024 高一下·新疆塔城·階段練習）函數 f x = sinx - 的零點個數為 ．
10
4-3．（2024 高一上·河南新鄉·期末）已知函數 f (x) = 5cos(wx
π
+ )(w > 0) 在 -2,2 上恰有 2 個零點，則w 的
6
取值范圍為 ．
4-4．（2024 高一下·全國·課后作業）函數 f x = 3sin x - x的零點個數為 .
π π
4-5．（2024 高一下·四川廣安·

階段練習）已知關于 x 的方程 2sin 2x + ÷ - m = 0

在 , π

6 2 ÷上有兩個不同的實è è
數根，則 m 的取值范圍是 ．
一、單選題
1．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y = cos(-x), x [0,2p ]的簡圖是（ ）
A． B．
C． D．
1
2．（2024 高一下·上海·課后作業）函數 y = sin x, x [0, 2p ]與 y = 圖像交點的個數為（ ）
2
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024 高一下·全國·課后作業）從函數 y = cos x, x 0,2p 3的圖象來看，當 x 0,2p 時，對于 cos x = -
2
的 x 有（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
4．（2024 高一·全國·專題練習）三角函數 y = 2sin x在區間 -p ,p 上的圖像為（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024 高三·全國·專題練習）用“五點法”作 y = 2cos 2x 的圖象，首先描出的五個點的橫坐標是（ ）
A．0,
π , π, 3π ,2π B．0,
π , π , 3π , π
2 2 4 2 4
C．0, π,2π,3π,4π 0,
π , π , πD． ,
2π
6 3 2 3
6．（2024 高三·全國·專題練習）函數 y = -cos x x 0 的圖象中與 y 軸最近的最高點的坐標為（ ）
π
A． ,1÷ B． π,1
è 2
C． 0,1 D． 2π,1
7．（2024 高一下·遼寧·階段練習）華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離
分家萬事休.”所以研究函數時往往要作圖，那么函數 f x = sin x + cos 2x的部分圖像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024 高一上·安徽合肥·期末）函數 f x = sin x， g x = cos x 的圖象在區間 -2π, π 的交點個數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
π
9．（2024·全國·模擬預測）若 f x = sin wx + ÷ (w > 0 )在 0, π 上有且只有兩個零點，則w 的取值范圍為
è 3
（ ）
5 , 8ù 5 , 8 é5 , 8 é5 , 8ùA． B C D
è 3 3ú
． ．3 3 ÷ ê ÷
．
è 3 3 ê 3 3ú
10．（2024 高一下·江蘇揚州·期中）設函數 f x 的定義域為 R， f -x = f x ， f x = f 2 - x ，當 x 0,1
3
時， f x = x ，則函數 g x =| cos πx | - f x [ 1, 3在區間 - ]上零點的個數為（
2 ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多選題
π 4π
11．（2024 高一下·江西撫州·期中）函數 y = cos x x

， ,

÷的圖像與直線 y = t （t 為常數，t R3 3 ）的交è
點可能有（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
12．（2024 高一上·全國·課后作業）（多選）函數 y=sinx -1, x [0, 2π]與 y = a 有一個交點，則 a的值為（ ）
A．-1 B．0
C．1 D．-2
三、填空題
2p
13．（2024 高三上·湖南株洲·開學考試）若函數 f x = 2sin wx + ÷ +1 w > 0
ép ù
在 ê ,p6 ú 上有且僅有
3 個零
è 3
點，則w 的最小值為 .
π
14．（2024 高二上·河北衡水·階段練習）已知函數 f x = 2sin 2x + ÷ ，令 g x
π
= f x 3- 在區間 0, ÷上
è 6 2 è 2
恰有 2 個零點 x1, x2 x1 < x2 ，則 x1 + x2 = ， cos x1 - x2 = .
ì sin πx, x 0,2
15．（2024 高一下·上海青浦·階段練習）已知函數 f (x) = í log ，若存在實數 k 滿足 2 (x - 2) , x (2, + )
f a = f b = f c = f d = k(a,b, c, d 互不相等 ) ，則 a + b + c + d 的取值范圍是 .
π
16．（2024 2高一下·湖北武漢·期中）已知函數 f x = sin wx + ÷ (w > 0) ），若方程[ f x ] =1在 0,3π 上恰
è 6
有 5 個實數解，則實數w 的取值范圍為 ．
π π 5π
17．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數 f (x) = 4cos 2x + ÷ - 3，則 f (x) 在 - , 上的零點個數
è 6 è 12 6 ÷
為 ．
18．（2024 高一下·貴州遵義·期中）已知函數 f (x) = cos

2wx
π
+ ÷ w > 0 在區間 (0,2π)上有且僅有 10 個零點，
è 3
則 ω 的取值范圍是 .
四、解答題
19．（2024 高三·全國·專題練習）作出函數 y = cos x , x R 的圖象
20．（2024 高一·全國·課后作業）用五點法作出函數 y = 2 + sinx 的大致圖象．
ìcos x,-p x < 0,
21．（2024 高一下·上海·課后作業）已知函數 f x = í
sin x,0 x p .
（1）作出該函數的圖象；
（2）若 f x 1= ，求 x 的值；
2
（3）若 a R ，討論方程 f x = a的解的個數．
3p
22．（2024 高一上·全國·課前預習）作函數 y = sin x + ÷ 的圖象.
è 2
23．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f x = sin x + 2 sin x ，用五點作圖法畫出函數 f x 在 0,2π 上的圖象；
（先列表，再畫圖）
24．（2024 高一·全國·課后作業）用五點法分別畫下列函數在[-p,p]上的圖象:
(1) y = -sin x ;
(2) y = 2 - cos x .
1 π
25．（2024 高一下·北京·階段練習）用五點法畫出函數 y = 2sin x + ÷一個周期的圖象.
è 2 3
π
26．（2024 高三·全國·專題練習）用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數 f x = 2sin 2x + ÷ 在 0, π 上的
è 6
大致圖像.
27．（2024 高三·福建廈門·階段練習）函數 f x = sin x + 2 sin x , x 0,2p 的圖象與直線 y = k 有且僅有兩個
不同的交點，求實數 k 的取值范圍．

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