資源簡介

4.2 指數函數 16 題型分類
一、指數函數的定義
一般地，函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指數函數，其中指數 x 是自變量，定義域是 R.
注意：指數函數中規定 a>0，且 a≠1 的原因：
(1)如果 a＝0，當 x>0 時，ax恒等于 0，沒有研究的必要；當 x≤0 時，ax無意義．
1 1
(2)如果 a<0，例如 f(x)＝(－4)x，這時對于 x＝ ，，…，該函數無意義．
2 4
(3)如果 a＝1，則 y＝1x是一個常量，沒有研究的價值．
為了避免上述各種情況，所以規定 a>0，且 a≠1.
二、指數增長模型
在實際問題中，經常會遇到指數增長模型：設原有量為 N，每次的增長率為 p，經過 x 次
增長，該量增長到 y，則 y＝N(1＋p)x(x∈N).形如 y＝kax(k∈R，且 k≠0；a＞0，且 a≠1)的函數
是刻畫指數增長或指數衰減變化規律的非常有用的函數模型．
三、指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
過定點 過定點(0,1)，即 x＝0 時，y＝1
性質 函數值 當 x>0 時，y>1； 當 x>0 時，0的變化 當 x<0 時，01
單調性 是 R 上的增函數 是 R 上的減函數
對稱性 y＝ax與 y＝a－x的圖象關于 y 軸對稱
注意：（1）由指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)的性質知，指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)的圖象
1
恒過點(0,1)，(1，a)，(－1， )，只要確定了這三個點的坐標，即可快速地畫出指數函數 y＝a
ax(a>0，且 a≠1)的圖象．
（2）底數的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是 a>1，還是 0底數越大，函數圖象越靠近 y 軸．
四、不同底指數函數圖象的相對位置
(1)指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系如圖所示，則
0在 y 軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小；
在 y 軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變小.
即無論在 y 軸的左側還是右側，底數按逆時針方向遞增．
(2)實質：指數函數的底數即直線 x＝1 與圖象交點的縱坐標，由此也可求指數函數底數的
大小．
五、與指數函數復合的函數單調性
(1)關于指數型函數 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數 a>1 還是 0二是 f(x)的單調性．它由兩個函數 y＝au，u＝f(x)復合而成．
(2)若 y＝f(u)，u＝g(x)，則函數 y＝f(g(x))的單調性有如下特點：
u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x))
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
(3)求復合函數的單調區間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成 y＝f(u)，u＝g(x)，
通過考查 f(u)和 g(x)的單調性，求出 y＝f(g(x))的單調性．
（一）
指數函數的概念
1、(1)判斷一個函數是指數函數，要牢牢抓住三點：
①底數是大于 0 且不等于 1 的常數；
②指數函數的自變量必須位于指數的位置上；
③ax的系數必須為 1.
(2)求指數函數的解析式常用待定系數法．
2、判斷一個函數是指數函數的方法
(1)看形式：判斷其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)這一結構特征．
(2)明特征：看是否具備指數函數解析式具有的三個特征．只要有一個特征不具備，該函數就
不是指數函數．
題型 1：指數函數的概念
1-1．（2024 高一上·全國·課后作業）下列函數：① y = 2 3x；② y = 3x+1；③ y = πx ；④ y = xx ．其中為指
數函數的個數是（ ）
A．0 B．1
C． 2 D．3
【答案】B
【分析】根據指數函數解析式特征直接判斷即可.
x
【詳解】指數函數解析式為 y = a a > 0 且 a 1 ，
對于①②④， y = 2 3x、 y = 3x+1和 y = xx 不符合指數函數解析式特征，①②④錯誤；
對于③， y = πx 符合指數函數解析式特征，③正確.
故選：B.
1-2．（2024 高一·全國·課堂例題）下列函數為指數函數的是（ ）
A． y = -4x B． y = -4 x C． y = πx D． y = 4x2
【答案】C
【分析】根據指數函數的定義，逐項判定即可求解.
x
【詳解】根據指數函數的定義 y = a a > 0, a 1 知，
可得函數 y = -4x x不是指數函數；函數 y = -4 不是指數函數；
函數 y = πx 2是指數函數；函數 y = 4x 不是指數函數.
故選：C.
1-3．（2024 高一·全國·課后作業）函數① y = 4x ；② y = x4 ；③ y = -4x ；④ y = (-4)x ；⑤ y = πx ；
⑥ y = 4x2 ；⑦ y = xx ；⑧ y = (a -1)x (a >1)中，是指數函數的是 ．
【答案】①⑤
【分析】根據指數函數的定義及解析式逐一對各個選項分析判斷即可得出結果.
【詳解】因為指數函數為 y = a x (a > 0且 a 1)，故①⑤正確；
由冪函數定義知， y = x4 是冪函數，故②不正確；
由指數函數的定義知，③④⑥⑦均不是指數函數；
對于⑧，當 a = 2時， y = a -1 x =1x，不是指數函數.
故答案為：①⑤.
1-4．（2024 高一·全國·專題練習）下列函數中是指數函數的是 (填序號)．
x
x
① y = 2 × 2 ；② y = 2x-1 ③ y = p x 1 1； - ÷ ；④ y = x ；⑤ y = 3 x ；⑥ y = x3 ．è 2
【答案】③
【分析】利用指數函數的定義逐個分析判斷即可
x
【詳解】① y = 2 × 2 的系數不是1，不是指數函數；
② y = 2x-1 的指數不是自變量 x ，不是指數函數；
x
③ y = p ÷ 是指數函數；
è 2
④ y = xx 的底數是 x 不是常數，不是指數函數；
1
⑤ -y = 3 x 的指數不是自變量 x ，不是指數函數；
1
⑥ y = x3 是冪函數．
故答案為：③
（二）
指數函數的解析式及應用
求指數函數解析式的步驟
(1)設指數函數的解析式為 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)．
(2)利用已知條件求底數 a.
(3)寫出指數函數的解析式．
注意：（1）求指數函數解析式，一般采用待定系數法.（2）求函數值先確定函數解析式.
題型 2：求指數函數的解析式或求值
ì 1 - 2
2-1．（2024 高一上·四川瀘州·期末）已知函數 f x = íx -1, x 0，則 f f 4 的值是（ ）
2
x , x < 0
2 1A． B． 2 C． D．22 2
【答案】A
【分析】根據分段函數解析式計算即可.
ì 1
f x
-
x 2【詳解】因為 = í -1, x 0
1
-，所以 f 4 = 4 2 -1 1 1 1= - = - ，
2x , x < 0 2 2
f f 4 = f 1
1
-
所以 -

÷ = 2 2
2
= .
è 2 2
故選：A
2-2．（2024 x高二下·新疆巴音郭楞·期末）指數函數 f x = a a > 0且 a 0 圖像經過點 3,27 ，則 f 2 =
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【分析】
先求指數函數的解析式，再求 f 2 .
【詳解】由題意 27 = a3 ，得 a = 3，故 f 2 = 32 = 9，
故選：C
2-3．（2024 x高一下·新疆伊犁·期中）函數 f x = a (a > 0，且 a 1)的圖象經過點P 3,27 ，則 f 2 =（ ）
1
A B 3
1
． ． C． D．9
9 3 3
【答案】D
【分析】首先代入點 P 的坐標，求函數的解析式，再代入 x = 2，求函數值.
【詳解】由題意可知， a3 = 27， a > 0，且 a 1，得 a = 3，
所以 f x = 3x ， f 2 = 32 = 9 .
故選：D
ì2x - x2 ,0 x 6
2-4．（2024 高一·全國·課后作業）設函數 f (x) = í ，則 f (10)＝ ．
f (x - 6), x > 6
【答案】0
【分析】根據分段函數解析式可求出結果.
【詳解】由已知得 f (10) = f (10 - 6) = f (4)，
f (4) = 24 - 42 = 0 ，
所以 f (10) = 0 .
故答案為：0 .
題型 3：根據函數是指數函數求參數
3-1．（2024 x x- b+3 高一上·廣東湛江·階段練習）如果函數 f x = 2a ×3 和 g x = 2 都是指數函數，則 ab =
（ ）
1
A． B．1 C．9 D．8
8
【答案】D
【分析】利用指數函數解析式的特點求解即可.
1 1 -3
【詳解】根據題意可得 2a =1 a = ，-(b + 3) = 0 b = -3，則 ab = = 8 .2 è 2 ÷
故選：D
3-2．（2024 高一·全國·專題練習）函數 y = a2 - 5a + 5 a x 是指數函數，則 a的值為 ．
【答案】 4
【分析】利用指數函數的定義可得出關于實數 a的等式與不等式，即可解得實數 a的值.
ìa2 - 5a + 5 =1
2 x
【詳解】因為函數 y = a - 5a + 5 a 為指數函數，則 ía > 0 ，解得 a = 4 .

a 1
故答案為： 4 .
3-3 x．（2024 高一上·安徽滁州·期末）函數 y =(2a-3) 是指數函數，則 a 的取值范圍是 ．
3
【答案】 , 2

÷ U (2, + )
è 2
【解析】根據指數函數的定義,解不等式即可.
【詳解】因為 y =(2a-3)x是指數函數,
ì2a - 3 > 0 3
所以 í ,解得: < a < 2 或 2 < a < +
2a - 3 1 2
3
即 a 的取值范圍是 , 2÷ U (2, + ) .
è 2
3
故答案為: , 2÷ U (2, + )
è 2
【點睛】根據函數的類型求參數的值通常有兩種:
(1)冪函數需要保證 x 前面的系數為 1;
(2)指數函數不但要保證 x 前面的系數為 1,還有底數大于 0,底數不等于 1.
（三）
指數型函數的實際應用
1、常見的幾類函數模型
(1)指數增長模型
設原有量為 N，每次的增長率為 p，則經過 x 次增長，該量增長到 y，則 y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指數減少模型
設原有量為 N，每次的減少率為 p，則經過 x 次減少，該量減少到 y，則 y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指數型函數
把形如 y＝kax(k≠0，a>0，且 a≠1)的函數稱為指數型函數，這是非常有用的函數模型．
2、解決指數型函數應用題的流程
(1)審題：理解題意，弄清楚關鍵字詞和字母的意義，從題意中提取信息．
(2)建模：據已知條件，列出指數函數的關系式．
(3)解模：運用數學知識解決問題．
(4)回歸：還原為實際問題，歸納得出結論．　　
題型 4：指數型函數的實際應用
4-1．（24-25 高一上·全國·課后作業）某新款電視投放市場后第一個月銷售了 100 臺，第二個月銷售了 200
臺，第三個月銷售了 400 臺，第四個月銷售了 790 臺，第五個月銷售了 1600 臺，則下列函數模型中能較好
地反映銷量 y 與投放市場的月數 x （1 x 5， x N+ ）之間關系的是（ ）
A． y =100x B． y = 50x2 - 50x +100
C． y = 50 2x D． y =100x
【答案】C
【分析】將題目中的數據代入各函數中，易知指數型函數能較好與題中的數據相對應.
【詳解】將 x =1,2,3,4代入函數中觀察可知，
函數 y = 50 2x 符合條件.
故選：C.
4-2．（24-25 高一上·全國·課后作業）某股民購買一公司股票 10 萬元，在連續十個交易日內，前 5 個交易日，
平均每天上漲 5％，后 5 個交易日內，平均每天下跌 4.9％，則股民的股票盈虧情況（不計其他成本，精確
到元）為（ ）
A．賺 723 元 B．賺 145 元
C．虧 145 元 D．虧 723 元
【答案】D
【分析】根據題意知先求得前 5 個工作日和后 5 個工作日股票價值變化，再與初始投入比較即可知道盈虧
情況.
【詳解】由題意知第 10 個工作日股票剩余價值為10 1+ 5% 5 1- 4.9% 5 9.9277，
所以10 - 9.9277 = 0.0723萬元，也就是虧 723 元.
故選：D
4-3．（24-25 高一上·全國·課后作業）牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同，假定保鮮時間 y（單位：h）
與儲藏溫度 x（單位：℃）的關系式為 y = kerx （k，r 為常數， e 2.71828）．若牛奶在 0℃的冰箱中，保鮮
時間約是 100 h，在 5℃的冰箱中，保鮮時間約是 80 h，那么在 10℃的冰箱中的保鮮時間約是多少？
【答案】64 h．
【分析】由已知條件代入可求得 k 和 er ，即求得了 y = kerx ，把 10℃代入即可求得 y 值.
【詳解】因為保鮮時間 y 與儲藏溫度 x 的關系式為 y = kerx （k，r 為常數），
ì100 = ke0
ì k =100 x
4
根據題意知條件代入可求得 í 5r ，解之得 í r 4 ，所以 y =100 5 ，
80 = ke e = 5
5 ÷÷
5 è
10

所以當 x =10 時， y 4=100 5 ÷÷ = 64．
è 5
故在 10℃的冰箱中的保鮮時間約是 64 h．
（四）
指數函數的圖象及應用
1、識別指數函數圖象問題的注意點
(1)根據圖象“上升”或“下降”確定底數 a>1 或 0(2)在 y 軸右側，指數函數的圖象從下到上相應的底數由小到大；在 y 軸左側，指數函數的圖象
從下到上相應的底數由大到小；
(3)根據“左加右減，上加下減”的原則，確定圖象的平移變換，從而確定指數型函數的圖象與兩
坐標軸的交點位置．
2、解決指數型函數圖象過定點問題的思路
指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)的圖象過定點(0,1)，據此，可解決形如 y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，
且 a≠1)的函數圖象過定點的問題，即令 x＝－c，得 y＝k＋b，函數圖象過定點(－c，k＋b)．
題型 5：指數函數的圖象特征
5-1．（2024 高二·湖北·學業考試）設 a，b ， c， d 都是不等于 1 的正數，函數 y = a x , y = bx , y = cx , y = d x 在
同一直角坐標系中的圖象如圖所示，則 a，b ， c， d 的大小關系是（ ）
A． a < b < c < d B．b < a < d < c C． c < d < a < b D． d < c < b < a
【答案】B
【分析】先根據指數函數的單調性，確定 a，b ， c， d 與1的關系，再由 x =1時，函數值的大小判斷.
【詳解】因為當底數大于1時，指數函數是定義域上的增函數，
當底數大于0 且小于1時，指數函數是定義域上的減函數，
所以 c， d 大于1， a，b 大于0 且小于1，
由圖知： c1 > d1 ，即 c > d ， b1 < a1 ，即b < a ，
所以b < a <1< d < c .
故選：B
b x
5-2 ．（2024 高一上·福建福州·期中）指數函數 y = ÷ 的圖象如圖所示，則二次函數 y = ax
2 + bx 的圖象可能
è a
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
b
【分析】先由指數函數的圖象判斷出0 < <1，進而分析出二次函數的圖象與 x 軸的兩個交點，
a
即可解出.
b
x

【詳解】由指數函數 y = ÷ 的圖象可知：0
b
< <1.
è a a
令 ax2
b
+ bx = 0，解得 x1 = 0, x2 = - ，a
則-1 < x2 < 0，
對應只有 B 選項符合題意.
故選：B
1
5-3．（2024 高一上·重慶涪陵· x階段練習）函數 f x = a - （ a > 0, a 1）的圖象可能是（ ）
a
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】結合指數函數的性質，分 a >1和0 < a <1兩種情況求解即可.
1 1 x 1
【詳解】當 a >1時， 0,1 ，因此0 < f 0 =1- <1，且函數 f x = a - 在R 上單調遞增，故 A、B 均
a a a
不符合；
1 1 1
當0 < a <1 時， >1，因此 f 0 =1- < 0 x，且函數 f x = a - 在R 上單調遞減，故 C 符合，D 不符合．
a a a
故選：C．
5-4．（2024 2 x高一上·山東聊城·階段練習）函數 f x = x 2 - 2 的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2
【分析】先求出 f x = x 2 - 2 x 的奇偶性，排除 AC，再代入特殊值，排除 D，選出正確答案.
【詳解】 f x = x2 2 - 2 x 定義域為 R，
且 f -x = -x 2 2 - 2 - x = x2 2 - 2 x = f x ，
f x = x2故 2 - 2 x 為偶函數，關于 y 軸對稱，AC 錯誤；
f 1 1= 0 f 1
1
， ÷ = 2 4
2 - 22 ÷ > 0，故 B 正確，D 錯誤.
è è
故選：B.
題型 6：指數函數的圖象變換
6-1．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）函數 y = 3- x 的圖像與函數 的圖像關于 y 軸對稱．
【答案】 y = 3x
【分析】由關于 y 軸對稱的函數圖象特征可直接得到答案.
【詳解】函數 y = 3- x 的圖像與函數 y = 3x 的圖像關于 y 軸對稱，
故答案為： y = 3x .
6-2．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）若將函數的圖像向右、向上分別平移 1 個單位得函數 y = 2x 的圖像，則
原函數的表達式為 ．
【答案】 y = 2x+1 -1
【分析】根據函數的平移得出函數的解析式.
【詳解】 y = 2x 的圖像向下平移 1 個單位得到 y = 2x -1,
再向左平移 1 個單位得到 y = 2x+1 -1 .
故答案為： y = 2x+1 -1 .
6-3．（2024 高三·全國·對口高考）利用函數 f (x) = 2x 的圖象，作出下列各函數的圖象．
(1) y = f (-x) ；
(2) y = f (| x |)
(3) y = f (x) -1；
(4) y = f (x) -1 ；
(5) y = - f (x) ；
(6) y = f (x -1)．
【答案】(1)圖象見詳解
(2)圖象見詳解
(3)圖象見詳解
(4)圖象見詳解
(5)圖象見詳解
(6)圖象見詳解
【分析】先作出函數 f (x) = 2x 的圖象，
（1）把 f (x) 的圖象關于 y 軸對稱即可得到 y = f (-x) 的圖象；
（2）保留 f (x) 圖象在 y 軸右邊部分，去掉 y 軸左側的，并把 y 軸右側部分關于 y 軸對稱即可得到 y = f (| x |)
的圖象；
（3）把 f (x) 圖象向下平移一個單位即可得到 y = f (x) -1的圖象；
（4）結合（3），保留 x 上方部分，然后把 x 下方部分關于 x 軸翻折即可得到 y = f (x) -1 的圖象；
（5）把 f (x) 圖象關于 x 軸對稱即可得到 y = - f (x) 的圖象；
（6）把 f (x) 的圖象向右平移一個單位得到 y = f (x -1)的圖象．
【詳解】（1）把 f (x) 的圖象關于 y 軸對稱得到 y = f (-x) 的圖象，如圖，
（2）保留 f (x) 圖象在 y 軸右邊部分，去掉 y 軸左側的，并把 y 軸右側部分關于 y 軸對稱得到 y = f (| x |)的
圖象，如圖，
（3）把 f (x) 圖象向下平移一個單位得到 y = f (x) -1的圖象，如圖，
（4）結合（3），保留 x 上方部分，然后把 x 下方部分關于 x 軸翻折得到 y = f (x) -1 的圖象，如圖，
（5）把 f (x) 圖象關于 x 軸對稱得到 y = - f (x) 的圖象，如圖，
（6）把 f (x) 的圖象向右平移一個單位得到 y = f (x -1)的圖象，如圖，
6-4．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）在圖中畫出函數 y = 3x+1 -1的圖像，說明函數 y = 3x+1 -1的圖像與 y = 3x
圖像的關系.
【答案】答案見解析
【分析】由圖像的平移性質求解．
【詳解】解：如圖所示：
函數 y = 3x 的圖像向左平移 1 個單位，然后向下平移 1 個單位即為函數 y = 3x+1 -1的圖像.
題型 7：指數型函數過定點問題
7-1．（2024 高三上·寧夏石嘴山·階段練習）函數 y = a2x-1 - 2(a > 0且a 1)，無論 a取何值，函數圖像恒過一
個定點，則定點坐標為 .
1
【答案】 ,-1

÷
è 2
【分析】由指數函數定點求解即可.
Qa0 1, x 1 0
1
【詳解】 = \ = , y = a - 2 =1- 2 = -1,

則定點坐標為 ,-1

÷ .2 è 2
1 ,-1 故答案為: 2 ÷
.
è
7-2．（2024 高一上·新疆·期中）函數 y = a x+m + n a > 0且 a 1 恒過定點 (1, -2) ，m + n = ．
【答案】-4
【分析】由已知，根據指數函數的性質即可求解．
【詳解】令 x + m = 0可得 x = -m ，
此時有 y =1+ n .
由題意可得-m =1，1+ n = -2，
所以m = -1， n = -3，
所以m + n = -4．
故答案為：-4．
7-3．（2024 高一上·福建泉州·期中）函數 y = a x-4 +1(a > 0且 a 1)的圖象恒過定點 P ，則點 P 坐標為 ．
【答案】 4,2
【分析】根據指數函數的性質，令 x - 4 = 0，解得 x ，代入求解即可.
【詳解】令 x - 4 = 0，即 x = 4，則 y = a0 +1 = 2，
所以定點 P 為 4,2 ，
故答案為： 4,2
題型 8：指數函數圖象的應用
8-1．（2024 高一下·廣西柳州·期中）已知函數 f (x) = a x-2 +1(a > 0, a 1)恒過定點M m, n ，則函數
g x = mx - n 不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由指數函數的性質可知 f (x) 恒過定點 2,2 ，再由指數函數的性質可知 g(x)不過第二象限.
【詳解】由已知條件得當 x = 2時， f 2 = 2，則函數 f (x) 恒過點 2,2 ，
即m = 2, n = 2，此時 g(x) = 2x - 2 ，
由于 g(x)由 y = 2x 向下平移 2 個單位得到，且過點 0, -1 ，
由此可知 g(x)不過第二象限.
故選：B
ì 2x -1 , x < 2,
8-2．（2024 高一上·廣東韶關·期中）已知函數 f (x) =

í 3 若函數 y = f (x) 圖象與直線 y = k 有且僅有
, x 2,
x -1
三個不同的交點，則實數 k 的取值范圍是（ ）
A． k > 0 B．0 < k <1 C．0 < k < 3 D．1< k < 3
【答案】B
【分析】畫出函數 y = f (x) 的圖象，結合圖象求解即可.
【詳解】將 y = 2x 的圖象向下平移 1 個單位得到 y = 2x -1，再將 y = 2x -1的圖象的 x 軸下方的圖象以 x 軸為
對稱軸翻轉至 x 軸上方可得到 y =| 2x -1|，
3 3
將 y = x 的圖象向右平移
1 個單位得到 y = ，
x -1
ì 2x -1 , x < 2,
f (x) = 所以 í 3 的圖象如圖所示，
, x 2,
x -1
由圖可知，當0 < k <1時，函數 y = f (x) 與 y = k 圖象有且僅有三個不同的交點.
故選：B.
8-3．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）若函數 y = a x + m -1（ a > 0且 a 1）的圖象在第二、三、四象限內，
則（　　）
A． a >1 B． a >1且m < 0
C．0 < a <1且m < 0 D．0 < a <1
【答案】C
【分析】根據滿足條件的指數型函數的圖象，列不等式求結果．
【詳解】如圖所示，圖象與 y 軸的交點在 y 軸的負半軸上（縱截距小于零），即 a0 + m -1 < 0，且0 < a <1，
\0 < a <1，且m < 0．
故選：C ．
8-4．（24-25 高一上·上海·課堂例題）若函數 y = a x + b -1 （ a > 0且 a 1）的圖像不經過第二象限，則有
（　　）
A． a >1且b<1 B．0 < a <1且b 1
C．0 < a <1且b > 0 D． a >1且b 0
【答案】D
【分析】根據指數函數的圖象判斷求解．
x
【詳解】由指數函數圖像的特征可知當0 < a <1時，函數 y = a + b -1 （ a > 0且 a 1）的圖像必經過第二
象限，故排除選項 B、C．
x
又函數 y = a + b -1 （ a > 0且 a 1）的圖像不經過第二象限，
0
則其圖像與 y 軸的交點不在 x 軸上方，所以當 x = 0時， y = a + b -1 0 ，即b 0，
故選：D．
（五）
與指數函數有關的定義域和值域問題
函數 y＝af(x)定義域、值域的求法
(1)定義域：形如 y＝af(x)形式的函數的定義域是使得 f(x)有意義的 x 的取值集合．
(2)值域：①換元，令 t＝f(x)；
②求 t＝f(x)的定義域 x∈D；
③求 t＝f(x)的值域 t∈M；
④利用 y＝at的單調性求 y＝at，t∈M 的值域．
注意：(1)通過建立不等關系求定義域時，要注意解集為各不等關系解集的交集．
(2)當指數型函數的底數含字母時，在求定義域、值域時要注意分類討論．
題型 9：與指數型函數有關的定義域問題
x
9-1．（25-26 高一上·全國·課后作業）函數 f x 2 - 4= 的定義域為（ ）
x - 5
A． - , 2 B． - ,5 U 5, + C． 2, + D． 2,5 U 5,+
【答案】D
【分析】根據指數函數的單調性，結合分母不為零、交集思想進行求解即可.
2x - 4 ì2
x - 4 0
【詳解】函數 f x = 的定義域滿足 í ，解得 x 2且 x 5．
x - 5 x - 5 0
則函數定義域為 2,5 5, + ，
故選：D
9-2．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y = 3x - 27 的定義域為（ ）
A． - , 3ù B． - , 3 C． 3, + D． 3, +
【答案】C
【分析】根據二次根式的被開方式非負，列出不等式，求解不等式可得答案.
【詳解】由題意得3x - 27 0，即3x 33 ，解得 x 3．
故選：C.
1
9-3．（2024 高一上· x內蒙古赤峰·期末）函數 f (x) = 2 + 的定義域為 ．
1- x
【答案】 (- ,1)．
【分析】根據指數函數定義域及根號下大于等于 0 且分母不等于 0 得到不等式，解出即可.
【詳解】由題意得1- x > 0，解得 x <1，則其定義域為 (- ,1) .
故答案為： (- ,1) .
9-4．（2024 高一上·上海·專題練習）求下列函數的定義域：
2
(1) y = 2x -1
(2) y = 3 3-x
(3) y = 2x -1
(4) y = 1- a x (a > 0,a 1)
【答案】(1)R
(2) - ,3
(3) 0,+
(4)答案見解析
【分析】根據函數有意義的條件來可求（1）（2）（3）（4）的定義域.
x2 2【詳解】（1）函數 y = 2 -1 在 R 上有意義，故函數 y = 2x -1的定義域為 R.
（2）函數 y = 3 3-x 有意義的條件是3- x 0，即 x 3，
故函數 y = 3 3-x 的定義域為 - ,3 ．
（3）函數 y = 2x -1有意義的條件是 2x -1 0，
又 y = 2x 是 R 上增函數，于是 2x 20 =1，即 x 0 ，
故函數 y = 2x -1的定義域為 0,+ ．
（4）函數 y = 1- a x (a > 0,a 1) 有意義的條件是1- a x 0，即 a x 1，
當0 < a <1時， y = a x 是 R 上減函數，
于是 a x a0 =1，即 x 0 ；
當 a >1時， y = a x 是 R 上增函數，
于是 a x a0 =1，即 x 0 .
綜上所述，當0 < a <1時，函數 y = 1- a x 的定義域為 0,+ ；
當 a >1時，函數 y = 1- a x 的定義域為 - ,0 .
題型 10：與指數型函數有關的值域（最值）問題
10-1．（2024 高一上· x廣東湛江·期末）已知函數 f x = a + b(a > 0 且 a 1)的定義域和值域都是 -1,0 ，則
a + b =（ ）
1 3 5 1 5
A．- B．- C．- D．- 或-
2 2 2 2 2
【答案】B
【分析】由函數解析式知，需對 a分類討論，根據函數的單調性列出等式求解.
1
【詳解】當 a >1時， f x 單調遞增，有 f -1 = + b = -1, f 0 =1+ b = 0，無解；
a
當0 < a <1時， f x 單調遞減，有 f 1 1- = + b = 0, f 0 =1+ b = -1，
a
a 1解得 = ,b = -2；
2
所以 a + b
1 2 3= - = - ；
2 2
故選：B.
10-2．（2024 2 x x高一·全國·競賽）若 x - ,-1 ，不等式 m - m 4 + 2 +1 > 0恒成立，則實數 m 的取值范圍
是（ ）
A．m < -2或m > 3 B．m 0或m 1
C．-2 < m < 3 D．0 m 1
【答案】C
2
é 1 xm m2 1
ù 1
【分析】分離參數得 - > - ê ÷ + ú + 恒成立，由復合型指數函數的最值得m - m2 > -6 ，解一元二
êè 2 2 ú 4
次不等式即可得解.
x é 2x 2
m m2 2 +1 1 1
x ù é x ù
【詳解】不等式可化為 - > - x = -
1 1 1
ê
4 ÷
+
2 ÷
ú = - ê + ú + .
ê è è 2
÷
ú êè 2 2 ú 4
x 2
1 éx 1 1
x
1 ù 1
因為 - ，所以 ÷ 2 ，所以- ê ÷ + ú + 的最大值為-6 .
è 2 êè 2 2 ú 4
所以m - m2 > -6 ，所以-2 < m < 3 .
故選：C.
ìb,a b
10-3．（2024 高一下·廣東茂名· - x x期中）定義運算：a b = ía, a b ，則函數
f x = 3 3 的值域為 ．
<
【答案】 0,1
【分析】首先求解函數 f x 的解析式，再根據指數函數的性質求函數的值域.
【詳解】當 x 0 時，3- x 3x ，當 x > 0時，3- x < 3x ，
ì3x
f x = 3- x 3x , x 0所以 = í - x ，
3 , x > 0
當 x 0 時，0 < 3x 1，當 x > 0時，0 < 3- x <1，
所以函數 f x 的值域是 0,1 .
故答案為： 0,1
|x|
10-4．（2024 高一上·江蘇鎮江·階段練習）函數 f x 1= ÷ 的值域為 .
è 2
【答案】 0,1
【分析】根據 x 0結合指數函數性質分析求解即可.
x
【詳解】因為 x 0，且 y 1= ÷ 在R 單調遞減，
è 2
|x| 0 |x|
則 f x 1 1= ÷

÷ =1，且 f x =
1
÷ > 0 ，
è 2 è 2 è 2
|x|
所以 f x = 1 ÷ 的值域為 0,1 .
è 2
故答案為： 0,1 .
x x
10-5．（2024 · · f (x) = 1 1高一下 廣西柳州 期中）函數 ÷ -

÷ + 2在 -1,2 的最小值是 ．
è 4 è 2
7
【答案】 /1.75
4
1 x
【分析】令 t = ÷ ，然后利用配方法可得答案.
è 2
x
1 é1 ù
【詳解】令 t = ÷ ，則 t ê , 22 4 ú
，
è
2
y t 2 t t 1 7則 = - + 2 = - ÷ + ，
è 2 4
1 7
所以當 t = 時， y 有最小值 .
2 4
7
故答案為： .
4
10-6．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）若 x 0, + ，2x < a x （ a > 0且 a 1）恒成立，則實數 a 的取值范圍
是 .
【答案】 a > 2
ì x 2
<1
【分析】將原不等式變形為 í è a ÷ ，由指數函數的圖象性質可解.

x > 0
【詳解】由 2x < a x ，且 x 0, + ，
ì x 2

所以 í a ÷
<1 2
è ，則0 < <1，所以 a > 2 .
a
x > 0
故答案為： a > 2
ì2x , x m

10-7．（2024 高一下·湖南·期中）已知m > 0，函數 f x = mí 2 8 的值域為 - , 2 ù2 ，則m 的取值
- x + , x > m 3 3
范圍是 ．
【答案】 1,2
【分析】根據分段函數解析式，求出在對應區間上的值域，分類討論解不等式即可求出m 的取值范圍.
x
【詳解】當 x m 時， f x = 2 在 - , m 上單調遞增，所以 x m 時， f x 0,2m ù；
x > m f x 2= - x2 8當 時， + ，
3 3
當m > 0時， f x 在 m,+ 上單調遞減，所以 x > m f x f m 2 8時 < = - m2 + ，
3 3
即m > 0時， f x - ,
2
- m2 8+ ÷，
è 3 3
ì2x , x m
因為函數 f x = í 2 8 的值域為 - , 2m
- x2 + , x > m
ù，
3 3
2 8 2 8
所以m > 0 2 2 m時，- m + > 0且- m + 2 .
3 3 3 3
ìm > 0

由不等式 í 2 2 8 ，解得0 < m < 2;
- m + > 0 3 3
ìm > 0

í 2 8 m > 0 2m
2
+ m2 8不等式 2 等價于 時， - 0 ，
- m + 2
m 3 3
3 3
m 2 2 8
設 h m = 2 + m - (m > 0)，
3 3
因為 y = 2x 在 0, + 2 2上單調遞增， y = x 在 0, + 上單調遞增，
3
所以 h m 在 0, + 上單調遞增，又 h 1 = 0，
所以m > 0時， h m 0等價于 h m h 1 ，即m 1，
ìm > 0

由不等式 í 2 2 8 m ，解得m 1，
- m + 2 3 3
ì 2
- m
2 8+ > 0
3 3
所以m > 0時， í 2 8 的解集為
1,2 ，
- m2 + 2m
3 3
綜上，m 的取值范圍是 1,2 ，
故答案為： 1,2 .
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據指數函數和二次函數單調性求得該分段函數值域，再利用值域間
的包含關系解不等式可得結果.
10-8．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）若函數 y = a x （ a > 0且 a 1）在區間 -1,2 上的最大值是 4，最小值
為 m，且函數 y = 1- 4m x 在R 內是嚴格增函數，則 a = .
1
【答案】 / 0.25
4
【分析】首先由一次函數的單調性得1- 4m > 0，再討論指數函數的單調性，根據最值求解參數的取值.
【詳解】若函數 g x = 1- 4m x在R 內是嚴格增函數，
則1- 4m 0 m
1
> ， < ，
4
若 a >1，
因為函數 y = f x = a x a > 0, a 1 在區間 -1,2 上單調遞增，最大值是 4，最小值為 m，
-1 1 1 1
所以 a2 = 4，m = a = ，解得 a = 2，m = ，不滿足m < ，a 2 4
若0 < a <1，
因為函數 y = f x = a x a > 0, a 1 在區間 -1,2 上單調遞減，最大值是 4，最小值為 m，
a-1 1 1 1 1所以 = = 4，
a m = a
2 ，解得 a = ，m = ，滿足m < ，
4 16 4
a 1所以 = .
4
1
故答案為： .4
2
10-9．（2024 高一上·西藏那曲·期末）已知函數 f x = 3- x +2x ．
(1)若 f x 1，求實數 x 的取值范圍；
(2)求 f x 的值域．
【答案】(1) 0,2
(2) 0,3
【分析】（1）根據指數函數單調性可得-x2 + 2x 0 ，結合二次不等式運算求解即可；
（2）根據二次函數分析可知-x2 + 2x 1，結合指數函數性質求值域.
2
【詳解】（1）因為 f x = 3- x +2x 1 = 30，且 y = 3x 在定義域 上單調遞增，
則-x2 + 2x 0 ，解得0 x 2，
所以實數 x 的取值范圍為[0,2].
（2）因為-x2 + 2x = - x -1 2 +1 1，當且僅當 x =1時等號成立，
2
且 y = 3x 在定義域 上單調遞增，則 f x = 3- x +2x 31 = 3，
- x2又因為 f x = 3 +2x > 0，所以 f x 的值域為 0,3 .
（六）
單調性及其應用
1.比較冪的大小的方法
(1)同底數冪比較大小時構造指數函數，根據其單調性比較．
(2)指數相同底數不同時分別畫出以兩冪底數為底數的指數函數的圖象，當 x 取相同冪指數時可
觀察出函數值的大小．
(3)底數、指數都不相同時，取與其中一底數相同與另一指數相同的冪與兩數比較，或借助“1”
與兩數比較．
(4)當底數含參數時，要按底數 a>1 和 02.解與指數有關的不等式時需注意的問題
(1)形如 af(x)>ag(x)的不等式，借助函數 y＝at(a>0，且 a≠1)的單調性求解，如果 a 的取值不確定，
需分 a>1 與 0(2)形如 af(x)>b 的不等式，注意將 b 化為以 a 為底的指數冪的形式，再借助 y＝at(a>0，且 a≠1)
的單調性求解；
(3)形如 af(x)>bf(x)的形式，利用圖象求解．
注意(1)指數型不等式 af(x)＞ag(x)(a＞0，且 a≠1)的解法：
當 a＞1 時，f(x)＞g(x)；當 0＜a＜1 時，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指數式的形式，要首先進行變形將不等式兩邊的底數進行統
1
一，此時常用到以下結論：1＝a0(a＞0，且 a≠1)，a－x＝( )x(a＞0，且 a≠1)等．a
題型 11：求指數型函數的單調區間
x2 -3x+2
11-1．（2024 高一上· · 1 山東德州 階段練習）函數 y = ÷ 的單調遞增區間是（ ）
è 2
A． - ,1 B． 1,2 é3 3ùC． ê ,+ ÷ D． - , 2 è 2 ú
【答案】D
【分析】根據復合函數單調性進行求解.
u
y = 1 【詳解】因為 2 ÷
在 R 上單調遞減，
è
2
由復合函數單調性可知，只需求出 f x = x - 3x + 2的單調遞減區間，
2
f x x 3 1
3ù
其中 = - ÷ - 單調遞減區間為 - , ，
è 2 4 è 2 ú
x2 -3x+2 3ù
故 y = 1 ÷ 的單調遞增區間是 - , .
è 2 è 2 ú
故選：D
2
11-2．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = ( )|1-x| 的單調遞減區間是 ；單調遞增區間是 ．
3
【答案】 [1 , + ) . (- ,1)
【詳解】試題分析:（1）（2）
ì(2)x-1, x 1
y 2
1-x
=
3
試題解析： 3 ÷
= í 2 因此它的減區間為
1,+ ,增區間 - ,1 ．
è ( )1-x , x <1
3
【點睛】【點睛】
- x2 +2x
11-3 2024 · · y = 1 ．（ 高一上 廣東肇慶 期中）函數 ÷ 的單調遞增區間為 .
è 5
【答案】[1,+ )
【分析】根據二次函數和指數函數的性質，結合復合函數單調性的判定方法，即可求解.
【詳解】令u x = -x2 + 2x，根據二次函數的性質，
可得函數u x 在 (- ,1]單調遞增，在[1,+ )單調遞遞減，
1 u uy = 1 又由 ÷ ，根據指數函數的性質，可得函數 y = ÷ 為單調遞減函數，
è 5 è 5
1 - x
2 +2x

根據復數函數的單調性的判定方法，可得函數 y = ÷ 的單調遞增區間為[1,+ ) .
è 5
故答案為：[1,+ ) .
2
11-4．（2024 高一下·上海·期中）函數 y = ex -2x-3的嚴格減區間為 ．
【答案】 - ,1 / - ,1
【分析】根據給定條件，利用指數型復合函數求出單調遞減區間作答.
2
【詳解】函數 y = ex -2x-3的定義域為 R，令u = x2 - 2x - 3，
函數u = x2 - 2x - 3在 (- ,1)上單調遞減，在 (1,+ )上單調遞增，
2
而函數 y = eu 在 R 上是增函數，因此函數 y = ex -2x-3在 (- ,1)上單調遞減，在 (1,+ )上單調遞增，
2
所以函數 y = ex -2x-3的嚴格減區間為 (- ,1) .
故答案為： (- ,1)
題型 12：根據指數型函數的單調性求參數
12-1．（2024· x x-a 全國）設函數 f x = 2 在區間 0,1 上單調遞減，則 a的取值范圍是（ ）
A． - , -2 B． -2,0
C． 0,2 D． 2, +
【答案】D
【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.
x x-a
【詳解】函數 y = 2x 在 R 上單調遞增，而函數 f x = 2 在區間 0,1 上單調遞減，
2
則有函數 y = x(x - a) = (x a- )2 a- 在區間 0,1 a上單調遞減，因此 1，解得 a 2，
2 4 2
所以 a的取值范圍是 2, + .
故選：D
x2 -2mx
12-2．（2024 高一下·浙江金華·期末）設函數 f x 1= ÷ 在區間 1,2 上單調遞增，則m 的取值范圍為
è 2
（ ）
A． - , -2 B． -2, -1 C． 1,2 D． 2, +
【答案】D
【分析】令u = x2 - 2mx，根據復合函數的單調性可知，內層函數u = x2 - 2mx在 1,2 上為減函數，結合二
次函數的單調性可得出實數m 的取值范圍.
【詳解】令u = x2 - 2mx，則二次函數u = x2 - 2mx的圖象開口向上，對稱軸為直線 x = m ，
u x2 -2mx
y = 1 因為外層函數 ÷ 在R
1
上為減函數，函數 f x = ÷ 在區間 1,2 上為增函數，è 2 è 2
所以，內層函數u = x2 - 2mx在 1,2 上為減函數，故m≥ 2 .
故選：D.
1 2x
2 +mx-3
12-3 2024 · · f x = ．（ 高一上 四川成都 期末）若函數 ÷ 在區間 -1,1 上單調遞減，則實數m 的取值范
è 3
圍是 ．
【答案】 4, +
【詳解】本題等價于 y = 2x2 + mx - 3在 -1,1 x m上單調遞增，對稱軸 = - ，
4
m
所以- -1，得m 4．即實數m 的取值范圍是 4, + ．
4
點睛：本題考查復合函數的單調性問題．復合函數的單調性遵循“同增異減”的性質．所以本題的單調性問題
就等價于 y = 2x2 + mx - 3在 -1,1 上單調遞增，為開口向上的拋物線單調性判斷，結合圖象即可得到答案．
題型 13：利用指數型函數單調性比較大小
1 a 1 b13-1 1．（2024 高三·全國·專題練習）已知 2 ÷
< ÷ < ，則（　　）
è è 2 2
A．aa > ab > bb B．aa > bb > ab
C．bb > aa > ab D．ab > bb > aa
【答案】A
1 x
【分析】根據函數 y = ÷ 的單調性可得 a > b >1，然后利用函數指數函數和冪函數的單調性可得.
è 2
1 x 1 a b 1 1
【詳解】因為函數 y = ÷ 在 R 上單調遞減，2 ÷
< ÷ < ，
è è 2 è 2 2
所以 a > b >1，
因為函數 y = a x (a > 1)在 R 為增函數，所以 aa > ab ，
又 y = xb (b >1)在 (0, + )上單調遞增，所以 ab > bb ，
綜上，aa > ab > bb .
故選：A.
13-2．（2024·江蘇·一模）設 a,b R ， 4b = 6a - 2a ，5a = 6b - 2b ，則（ ）
A．1< a < b B．0 < b < a C．b < 0 < a D．b < a <1
【答案】A
【分析】由指數式的取值范圍可得 a > 0且b > 0，通過構造函數證明 a > b不成立，可得到正確選項.
【詳解】因為 4b = 6a - 2a > 0 ，所以3a >1，所以 a > 0，5a = 6b - 2b > 0，所以3b >1，所以b > 0，若 a > b，
則5a > 4a > 4b ，設 f x = 6x - 2x = 2x 3x -1 在 0, + 上單調遞增，所以6a - 2a > 6b - 2b ，即 4b > 5a ，不合
題意.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于，由 4b = 6a - 2a ，5a = 6b - 2b ，構造函數 f x = 6x - 2x ，通過單調性
證明若 a > b則存在矛盾.
13-3．（2024 高一上·河南鄭州·期末）設 a = 0.80.8 ,b = 0.80.9 ,c = 0.90.8，則 a,b,c的大小關系是（ ）
A． c > b > a B． a > b > c
C． a > c > b D． c > a > b
【答案】D
【分析】根據指數函數的單調性比較 a,b的大小，由冪函數的性質比較a,c的大小，即可得答案.
【詳解】解：令 f (x) = 0.8x，
由指數函數的單調性可知 f (x) 在 R 上單調遞減，
又因為0.8 < 0.9，
所以 f (0.8) > f (0.9)，
即0.80.8 > 0.80.9 ，
所以 a > b，
令 g(x) = x0.8 ，
由冪函數的性質可知 g(x) = x0.8 在 (0, + )上單調遞增，
又因為0.8 < 0.9，
所以 g(0.8) < g(0.9)，所以0.80.8 < 0.80.9 ，
即 a < c ，
所以b < a < c .
故選：D.
13-4．（2024 高一上·浙江寧波·期中）下列大小關系正確的是（ ）
A．0.50.2 > 0.20.2 > 0.20.5 B．0.20.5 > 0.50.2 > 0.20.2
C．0.20.5 > 0.20.2 > 0.50.2 D．0.20.2 > 0.50.2 > 0.20.5
【答案】A
【分析】利用指數函數與冪函數單調性比較大小即可.
【詳解】由冪函數 y = x0.2 在 R 上單調遞增，則0.50.2 > 0.20.2 ，
又指數函數 y = 0.2x 在 R 上單調遞減，則0.20.2 > 0.20.5 .
則0.50.2 > 0.20.2 > 0.20.5
故選：A.
題型 14：利用指數型函數的單調性解不等式
(1
2
14-1．（2024 高一· x -8 -2x全國·專題練習）不等式 ) ＞3 的解集是（ ）
3
A． -2,4 B． - , -2
C． 4, + D． - , -2 U 4, +
【答案】A
2x
2
【分析】利用指數函數的單調性，將 (1)x -8＞3-2x = 1
3 3 ÷
轉化為 x2﹣8＜2x 求解.
è
1 1 2x2
【詳解】解：∵ ( )x -8＞3-2x =
3 ÷
，
è 3
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故選：A．
ì2x -1, x 2
14-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = í ，則不等式 f 3x - 4 < f x + 2 的解集
3x - 3, x < 2
為 ．
【答案】 - ,3
【分析】利用函數的單調性以及分段函數的性質，化簡不等式得出不等式的解集.
【詳解】構建函數 g x = 2x -1， x 2，可得函數 g x 單調遞增，
h x = 3x - 3， x 2，則函數 h x 單調遞增，
且 g 2 = h 2 = 3，因此函數 f x 在R 上是增函數．
Q f 3x - 4 < f x + 2 ，\3x - 4 < x + 2，
解得 x < 3，于是不等式 f 3x - 4 < f x + 2 的解集為 - ,3 ．
故答案為： - ,3 .
14-3．（2024 x - x高三上·河北·學業考試）已知函數 f x = e - e ，則不等式 f 1- x + f 1 > 0 的解集是（ ）
A． - , 2 B． 2, + C． -2,0 D． 0,2
【答案】A
【分析】結合 f x 的單調性和奇偶性求得正確答案.
【詳解】因為 f -x = e- x - ex = - f x ，所以 f x 在R 上是奇函數.
因為 y = ex 在R 上是增函數，又 y = e- x 在R 上是減函數，
所以 f x 在R 上是增函數.
所以 f 1- x + f 1 > 0 f 1- x > - f 1 = f -1 ，
所以1- x > -1, x < 2，
所以不等式 f 1- x + f 1 > 0 的解集是 - , 2 .
故選：A
x x - 3 14-4．（2024 高一上·四川·階段練習）已知函數 f x = 2 ，則不等式 f ÷ <1x 1 的解集為（ ）è +
A． -1,3 B． -3,1 C． -3, -1 D． 1,3
【答案】A
【分析】根據函數的單調性，結合分式不等式，可得答案.
【詳解】由函數 f x = 2x x - 3 ，則不等式可整理為 f < f 0 ，
è x +1 ÷
x x - 3因為 y = 2 在R 上單調遞增，所以 < 0，解集為 -1,3 .
x +1
故選：A.
x
14-5．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函數 f x = 3x3 e -1+ 2，且 f a + f 3a - 4 > 0x ，則實數 a的取e +1
值范圍是（ ）
A． -4,1 B． -1,4
C． - , -1 4, + D． - , -4 U 1,+
【答案】D
【分析】結合條件得到： f a2 > - f 3a - 4 ，再由 f x 的奇偶性和單調性得到： a2 > 4 - 3a ，即可求解.
ex -1
【詳解】由題意得，函數 f x = 3x3 +
ex
，
+1
因為 f x 的定義域為R ，關于原點對稱，
- x x
f -x = 3 -x 3 e -1 e -1+ - x = - 3x3 + = - f x ，e +1 è ex +1÷
所以 f x 是R 上的奇函數，即- f x = f -x ，
由 f a2 + f 3a - 4 > 0， f a2 > - f 3a - 4 = f 4 - 3a ，
x x
y 3x3 e -1 e +1-2 2因為 = 是R 上的增函數， y = = Rx x =1- x 是 上的增函數，e +1 e +1 e +1
所以 f x 是R 上的增函數，即 a2 > 4 - 3a ，
整理得： a2 + 3a - 4 > 0，解得： a >1或 a < -4，
所以實數 a 的取值范圍為 - , -4 U 1,+ ，
故選：D.
（七）
指數函數性質的綜合應用
1、指數函數的綜合問題，主要涉及單調性、奇偶性、最值問題，應在有關性質的基礎上，結
合指數函數的性質進行解決，而指數函數性質的重點是單調性，注意利用單調性實現問題的轉
化．
2、若函數 y= f(x)在區間 D 上是增(減)函數，則復合函數 y = a f x 當 a>1 時，在區間 D 上是增(減)
函數，當 0題型 15：指數型函數的奇偶性
15-1．（2024 高一上·山西太原·期中）下列函數是偶函數的是（ ）
A． y = x3 B． y = 2x C． y = x +1 D． y = x +1
【答案】D
【分析】利用奇偶性函數的定義，直接判斷各個選項即得.
【詳解】對于 A，函數 f (x) = x3 定義域為 R， f (-x) = (-x)3 = - f (x) ，函數 y = x3是奇函數，A 不是；
1
對于 B，函數 g(x) = 2x 定義域為 R， g(-1) = 2 = g(1)，函數 y = 2x 不是偶函數，B 不是；
2
對于 C，函數 h(x) = x +1 定義域為 R， h(-1) = 0 2 = f (1) ，函數 y = x +1 不是偶函數，C 不是；
對于 D，函數j(x) = x +1定義域為 R，j(-x) = -x +1 = j(x)，函數 y = x +1是偶函數，D 是.
故選：D
ì 1 x
, x < 0
15-2．（2024· ÷江西景德鎮·三模）已知函數 f x = íè 2 是奇函數，則 x > 0時，g x 的解析式為（ ）

g x , x > 0
A 1
x x
- B 1 ． ． x x 2 ÷ ÷
C．-2 D． 2
è è 2
【答案】C
x
x > 0 x < 0 f x = 1 【分析】設 ，利用 時， ÷ 和 f -x = - f x 可求得 g x 的解析式.
è 2
【詳解】設 x > 0，則-x < 0，
1 - x
所以 f -x = = 2x 2 ÷ ，è
又函數 f x 是奇函數，所以 f -x = - f x - f x = 2x，即 f x = -2x ， x > 0 .
x
即 g x = -2 .
故選：C
x
15-3．（2024 高二下·廣東廣州·期末）“ a =1” 2 - a是“函數 f x = x 為奇函數”的（ ）2 +1
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
x
【分析】當 f x 2 - a= x 為奇函數時，結合奇函數的性質可得 a =1，由充分條件與必要條件的定義即可判2 +1
斷.
2x - a
【詳解】若 f x =
2x
為奇函數，其定義域為R ，關于原點對稱，
+1
- x x
f -x = - f (x) 2 - a 2 - a 1- a ×2
x 2x - a
有 ，即 - x = - x ，即 x = - ，2 +1 2 +1 1+ 2 2x +1
即1- a = a -1 x ì
a -1 = 0
2 ，故有 í ，解得 a =1，
1- a = 0
2x
故“ a =1”是“函數 f x - a= x 為奇函數”的充要條件.2 +1
故選：C.
15-4．（2024 高一下·浙江溫州·開學考試）已知 f (x) 是定義在 R 上的偶函數，且當 x (- ,0]時，
f (x) = x2 - ex +1，則當 x (0,+ )時， f (x) =（ ）
A． x2 - ex +1 B． x2 - e- x +1
C． x2 + e- x +1 D．-x2 + e- x -1
【答案】B
【分析】由函數的奇偶性得到 f -x = f x ，結合 x (- ,0]時函數解析式，得到答案.
【詳解】 x (0,+ )時，-x - ,0 ，
則 f (-x) = -x 2 - e- x +1 = x2 - e- x +1，
又 f x 為偶函數，故 f -x = f x ，
故 f x = x2 - e- x +1 .
故選：B
bx
15-5．（2024· a + 4江蘇揚州·模擬預測）已知b > 0，函數 f x = 是奇函數，則 a + b = ．
2x
【答案】0
【分析】根據奇函數得 f (0) = 0和 f (-1) = - f (1) ，代入求得 a = -1，b =1，再代入解析式檢驗即可.
R f x a + 4
bx
【詳解】因為函數定義域為 且 = x 是奇函數，所以 f (0) = 0，所以 a = -1，2
bx 1
所以 f x 4 -1= = 2(2b-1) x - 2- x 1-2b 2b-1x ，由 f (-1) = - f (1) 知 2 - 2 = -2 + ，2 2
21-2b + 22b-1 5即 = ，又因為b > 0，所以 2b -1 =1,b =1，
2
b =1 f x = 2(2b-1) x - 2- x把 代入 = 2x - 2- x ，滿足題意，
所以a + b = 0 .
故答案為：0
題型 16：指數函數的綜合應用
16-1．（2024 高一下·陜西安康·期中）已知函數 f (x) = a
2
- x （ a R ），函數 f (x) 為奇函數e +1
(1)求出 a的值，判斷函數 f (x) 的單調性，并予以證明；
(2)若對"x R ，不等式 f ( f (x)) + f (3 - m) > 0恒成立，求m 的取值范圍.
【答案】(1) a =1，單調遞增，證明見解析；
(2) (- , 2] .
【分析】（1）利用奇函數的定義求出 a，判斷函數單調性，再利用單調性定義推理即得.
（2）利用（1）的結論，脫去法則，轉化為恒成立的不等式求解.
2 2
【詳解】（1）由函數 f (x) 為奇函數，得 f (-x) + f (x) = 0，即 2a -
e- x
- x = 0，+1 e +1
2a 2 2 2e
x 2
于是 = - x + = + = 2，解得 a =1，e +1 ex +1 ex +1 ex +1
2
函數 f (x) =1- x 在定義域R 上單調遞增，e +1
x1 x2
"x1, x2 R x < x f (x ) f (x
2 2 2(e - e )
，且 1 2， 1 - 2 ) = - = ，ex2 +1 ex1 +1 (ex1 +1)(ex2 +1)
由 x1 < x ，得0 < ex1 < ex2 ，則 ex12 - ex2 < 0, (ex1 +1)(ex2 +1) > 0，因此 f (x1) < f (x2 )，
所以函數 f (x) 在R 上單調遞增.
2
（2）由 f (x) =1- x 是 R 上的奇函數，e +1
得 f ( f (x)) + f (3 - m) > 0 f ( f (x)) > - f (3- m) f ( f (x)) > f (m - 3)，
又 f (x) 在R 上單調遞增，則 f (x) > m - 3，m < f (x) 3
2
+ = 4 - x 對"x R 恒成立，e +1
顯然 ex > 0,ex +1 >1，則0
2
< x < 2，即恒有 2 < 4
2
- x < 4，因此m 2，e +1 e +1
所以m 的取值范圍為 (- , 2] .
x x
16-2．（2024 高二上·安徽·開學考試）已知函數 f x a ×3 - 2= x x ,a R ．3 + 2
(1)若 f x 為奇函數，求 a的值；
(2)在（1）的條件下，求 f x 的值域．
【答案】(1) a =1
(2) -1,1
【分析】（1）根據奇函數定義求解.
x
3
÷ -1 x
（2） f x = è 2 3 x ，令 t = ÷ 換元后求值域即可. 3 2
+1
è
è 2 ÷
【詳解】（1）因為 f x 為奇函數，所以 f x + f -x = 0 ， x R
a ×3x - 2x a ×3- x - 2- x a ×3x - 2x a ×2x - 3x a -1 × 3x + 2x 即 + = + = = 0，
3x + 2x 3- x + 2- x 3x + 2x 3x + 2x 3x + 2x
所以 a =1 .
x
3
x x -1
f x 3 - 2= = è 2
÷
（2 ）
3x + 2x 3 x
,

2 ÷
+1
è
3
x
f x t -1 t +1- 2 2令 t = ，則 = = =1- ，
è 2 ÷ t +1 t +1 t +1
x
t = 3
2
因為 ÷ (0,+ ) ，所以1- -1,1 ，
è 2 t +1
所以 f x 的值域 -1,1 ．
16-3．（河北省衡水市第十三中學 2024 屆高三上學期開學考試數學試題）已知函數 f (x) = a x - k ×a- x
3
（ a > 0，且 a 1）是奇函數，且 f (1) = ．
2
(1)求 a， k 的值；
(2)若對于"x [1, 2]，不等式 f (2x) + mf (x) 0成立，求m 的取值范圍．
【答案】(1) a = 2， k =1；
(2) m 5 -
2
【分析】（1）根據函數是奇函數求 k ，再代入 f (1)
3
= ，求 a；
2
x - x
（2）利用指數冪的化簡，將不等式恒成立轉化為 2 + 2 + m 0min ，轉化為求函數的最小值問題.
【詳解】（1）因為函數是奇函數，所以 f -x = - f x ，
即 a- x - k × a x = -a x + k ×a- x ，得 k =1，
所以 f x = a x - a- x ， f 1 3 1= a - a-1 = ，得 a = 2或 a = - （舍），
2 2
綜上， a = 2， k =1；
（2）由（1）知， f x = 2x - 2- x ，
2x -2x
則 2 - 2 + m 2x - 2- x 0, x 1,2 恒成立，
2x + 2- x 2x - 2- x + m 2x - 2- x 0 x - x， 2 - 2 > 0, x 1,2 ，
所以 2x + 2- x + m 0，對"x 1,2 恒成立，
2x + 2- x即 + m 0min 恒成立，
y 2x 2- x 1 1設 = + = 2x + x ，函數由外層函數 y = t + 和內層函數 t = 2x 復合而成，2 t
當 x 1,2 ， t 2,4 1， t = 2x 單調遞增，當 t 2,4 ， y = t + 單調遞增，
t
x - x
所以根據復合函數的單調性可知，函數 y = 2 + 2 , x 1,2 1 -1 5單調遞增，最小值為 2 + 2 = ，
2
5
即 + m 0 m 5，則 - .
2 2
16-4．（2024 高一下·四川綿陽·階段練習）已知二次函數 ( ) = 2 + + ，且不等式 f (x) < 2x的解集為
(1,3) .
(1)求 f x 解析式；
(2)若不等式 kf 2x - 2x +1 0 在 x [1,2]上有解，求實數 k 的取值范圍.
【答案】(1) f x = x2 - 2x + 3
ù
(2) -
2
,
è 4
ú

【分析】（1）根據一元二次不等式的解集結合韋達定理求得b,c，即得答案.
2 x x 2
x -1
（ ）不等式 kf 2 - 2 +1 0 在 x [1,2]上有解，即 k x [1,2]2x 在 上的最大值，采用換元法結合2 - 2 × 2x + 3
t
基本不等式求得
t 2
的最大值，即得答案.
+ 2
【詳解】（1）由題意知 x2 + bx + c < 2x的解集為 1,3 ，
2
故方程 x - 2 - b x + c = 0 的兩個根是 1 和 3，
ì2 - b = 4 ìb = -2
故 í
c = 3
，即 í ，
c = 3
故 f x = x2 - 2x + 3 .
x x 2x x
（2）由題意 kf 2 - 2 +1 0 在 x [1,2]上有解，即 k 2 - 2 × 2 + 3 2x -1在 x [1,2]上有解，
x
∵ 22x
2
- 2 × 2x + 3 = 2x -1 + 2 > 0 ∴ k 2 -1， 在 x [1,2]上的最大值，
22x - 2 × 2x + 3
設 t = 2x -1, x [1, 2]，則 t 1,3 t，則 k ( )
t 2 + 2 max
t 1 1
2 = 2 又 t + 2 t 2 2 ，當且僅當 t
2
= 即 t = 2 1,3+ 時，等號成立，
t t
∴ k 2
2 ù
，即實數 k 的取值范圍為 - , ú .4 è 4
一、單選題
1．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f x = a x - a (a>0 且 a≠1)的圖象可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據指數函數的單調性分類討論進行求解即可.
ìa x - a,x 1
【詳解】當 a > 1時， f (x)= í x ，
a- a ,x<1
顯然當 x 1時，函數單調遞增，當 x <1時，函數單調遞減，
函數圖象的漸近線為 y=a ，而 a > 1，故 AB 不符合；
對于 CD，因為漸近線為 y=2，故 a=2，故 x=0時， y=1，
故選項 C 符合，D 不符合；
ìa x - a,x<1
當0 < a <1時， f (x)= í x ，
a- a ,x 1
當 x 1時，函數單調遞增，當 x <1時，函數單調遞減，
函數圖象的漸近線為 y=a ，而0 < a <1，故 ABD 不符合；
故選：C
2．（2024 高二下·北京密云·期末）已知 a > b，則下列不等式中成立的是（ ）
1 1
A． 2a > 2b B． ab > b2 C． a2 > b2 D． 【答案】A
【分析】A 選項可根據指數函數性質判斷，BCD 選項可以舉反例得出.
【詳解】A 選項，根據指數函數 y = 2x (x R)單調遞增可知， a > b 2a > 2b，A 選項正確；
BCD 選項，取 a =1,b = -1，B 選項變成-1 >1，C 選項變成1 >1，D 選項變成1 < -1，BCD 均錯誤.
故選：A
3．（2024 高一上·新疆阿克蘇· 2階段練習）不等式 2x -x > 4的解集為（ ）
A． (- ,-1) B． (-1,2)
C． (- , -1) (2, + ) D． (- , 2) (-1, + )
【答案】C
【分析】由題意可得 x2 - x - 2 > 0，解此不等式即可.
2 2
【詳解】解：因為 2x -x > 4 2x -x > 22 x2 - x > 2 x2 - x - 2 > 0，
所以 (x - 2)(x +1) > 0，
解得 x > 2或 x < -1，
所以不等式的解集為： (- , -1) (2, + ) .
故選：C.
4．（2024 2高一上·吉林長春·期末）若函數 y = m - 2m - 2 ×mx 是指數函數，則m 等于（ ）
3 3 1A．-1或 B．-1 C． D．
3
【答案】C
【分析】根據指數函數的定義求解即可.
2 x
【詳解】因為函數 y = m - 2m - 2 ×m 是指數函數，
ìm2 - 2m - 2 =1

所以 ím > 0 m = 3 .

m 1
故選：C
ì x
, x <1
5．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）已知函數 f (x) = í x -1 的值域為 R，則實數 a 的取值范圍是（ ）
2
x - a, x 1
A． (- ,0) B． (0, + ) C． (- ,1] D．[1,+ )
【答案】D
【分析】由于當 x <1
x
時， <1，所以當 x 1時，求出 2 x - a 的最小值，使其最小值小于等于 1 即可.
x -1
1
【詳解】當 x <1時， f (x) =1+ <1，
x -1
當 x 1時， f (x) = 2x - a 21 - a = 2 - a，
ì x , x <1
因為函數 f (x) =

í x -1 的值域為R ，
2x - a, x 1
所以 2 - a 1，得a 1，
所以實數 a的取值范圍是 1, + ，
故選：D.
2x-1
6．（2024 · · 1 高一上 全國 課后作業）函數 y = ÷ - 27 的定義域是（ ）
è 3
A．[-2,+ ) B．[-1,+ )
C． (- ,-1] D． (- , -2]
【答案】C
【分析】由偶次方根的被開方數必須大于等于零，建立不等式可解.
1 2x-1
【詳解】由題意得 ÷ - 27 0
è 3
1 2x-1
所以 ÷ 27，
è 3
1
2x-1
1
-3
即 ÷ ÷ ，
è 3 è 3
x
1
又指數函數 y = ÷ 為R 上的單調減函數，
è 3
所以 2x -1 -3，解得 x -1.
故選：C.
7．（2024 高一上·浙江溫州·期中）函數 f (x) = a x-b 的圖象如圖所示，其中 a，b 為常數，則下列結論正確的
是（ ）
A． a >1,b < 0 B． a >1,b > 0
C．0 < a <1,b > 0 D．0 < a <1,b < 0
【答案】D
【分析】由函數單調性判斷 a與1的大小，再由圖象與 y 軸的交點位置判斷b 的正負.
【詳解】由圖象可知，函數 f (x) 為減函數，
從而有0 < a <1；
法一：由 f (x) = a x-b 圖象，函數與 y 軸的交點縱坐標 y (0,1)，
令 x = 0，得 y = a-b ，
由0 < a-b <1，即0 < a-b < a0 ，解得 b < 0 .
法二：函數 f (x) 圖象可看作是由 y = a x (0 < a <1)向左平移得到的，
則-b > 0，即b < 0 .
故選：D.
1
8．（2024 x高一上·全國·課后作業）函數 y = a - （ a > 0，且 a 1）的圖象可能是（　　）
a
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分別討論 a >1或0 < a <1時，圖象與 y 軸的交點的縱坐標，即可得出答案.
1
【詳解】A，B 選項中， a >1，于是0 <1- <1，所以圖象與 y 軸的交點的縱坐標應在 0,1 之間，
a
顯然 A，B 的圖象均不正確；
1
C，D 選項中，0 < a <1，于是1- < 0 ，圖象與 y 軸的交點的縱坐標應在小于0 ，所以 D 項符合.
a
故選：D
x
9．（2024 e高二下·遼寧·期中） f x = 2 的圖像大致是（ ）x
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據y=ex > 0， x2 > 0， x 0，即排除 B，D，結合特殊值即可得出答案.
【詳解】由題知，根據y=ex > 0， x2 > 0， x 0，
x
則 f x e= 2 > 0，排除 B，D，x
x
當 x = 0 f x e時， = 2 沒有意義，排除 A.x
故選：C
10．（2024 高一上·全國· 2課后作業）函數 f (x) = 2 - x +4x-3 的單調遞增區間為（　　）
A． - , 2 B． 1,2
C． 2,3 D． 2, +
【答案】B
【分析】先求函數 f (x) 的定義域，在結合復合函數單調性分析求解.
【詳解】令-x2 + 4x - 3 0，解得1 x 3，
2
所以函數 f (x) = 2 - x +4x-3 的定義域為 1,3 ，
4
因為 t = -x2 + 4x - 3開口向下，對稱軸為 x = - = 22 -1 ，
可知 t = -x2 + 4x - 3在 1,2 上單調遞增，在 2,3 上單調遞減，
且u = t 在定義域內單調遞增，
所以u = -x2 + 4x - 3 在 1,2 上單調遞增，在 2,3 上單調遞減，
又因為 y = 2u 在定義域內單調遞增，
2
所以 f (x) = 2 - x +4x-3 在 1,2 上單調遞增，在 2,3 上單調遞減，
即函數 f (x) 的單調遞增區間為 1,2 .
故選：B.
二、多選題
11．（2024 高一上·全國·單元測試）下列函數中，是指數函數的是（ ）
A． y = -3 x B． y = 2m -1 x m
1
> , m 1
2 ֏
C y = 0.19 x． D． y = 2 ×3x
【答案】BC
【分析】根據指數函數的定義判斷各項是否為指數函數即可.
【詳解】由指數函數形式為 y = a x 且 a > 0, a 1，顯然 A、D 不符合，C 符合；
對于 B， 2m -1 > 0且 2m -1 1，故符合.
故選：BC
12．（2024 高一上·河南南陽· x+1期中）已知函數 f x = a + 2（ a > 0且 a 1）的圖像過定點 a - 3,3 ，則
（ ）．
A． a = 3 B． f 1 = 6
C． f x 為 R 上的增函數 D． f x >10的解集為 2, +
【答案】BCD
【分析】根據指數函數的性質，逐個選項進行判斷即可得答案.
【詳解】由題意可得 aa-2 + 2 = 3恒成立，故 a = 2，A 錯誤，
因為根據題意，得 a = 2，\ f x = 2x+1 + 2，所以 f 1 = 22 + 2 = 6，故 B 正確，
Q f x = 2x+1 + 2，所以， f x 為 R 上的增函數，C 正確；
f x = 2x+1 + 2 >10，解得 x > 2，D 正確．
故選：BCD
13．（2024 高一上·全國·課后作業）（多選）下列函數是指數函數的是（ ）
A． y = 52x
B． y = -4x
C． y = x3
1 2
D． y = 6a - 3 x （ a > 且a ）
2 3
【答案】AD
【分析】根據指數函數的定義逐項判斷，可得出合適的選項.
【詳解】對于 A 選項， y = 52x = 25x 為指數函數；
對于 B 選項， y = -4x 不是指數函數；
對于 C 選項， y = x3不是指數函數；
1 2
對于 D 選項，當 a > 且a 時，6a - 3 > 0 且6a - 3 1，
2 3
則 y = 1 26a - 3 x （ a > 且a ）為指數函數.
2 3
故選：AD.
14．（2024 x 2高二上·山西運城·階段練習）對于函數 f x = a a > 0且 a 1）， g x = ax - x，在同一直角坐
標系下的圖象可能為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據指數函數的性質，分0 < a <1和 a >1兩種情況對各選項進行驗證即可得到結論．
【詳解】當 a＞1 時，f（x）＝ax 是指數函數，單調遞增，且圖象過點（0，1），
1 1 1
而 g（x）＝ax2﹣x＝a（x - ）2 - ，對稱軸 x = ＜1，故 A 正確，B 錯誤；
2a 4a 2a
當 0＜a＜1 時，f（x）＝ax 是指數函數，單調遞減，且圖象過點（0，1），
2 1 1 1 1而 g（x）＝ax ﹣x＝a（x - ）2 - ，對稱軸 x = ＞ ，故 D 正確，C 錯誤.
2a 4a 2a 2
故選：AD．
三、填空題
15．（2024 高一上· 2 x湖南長沙·階段練習）函數是指數函數 f x = a - 3a + 3 a ，則有 a = .
【答案】 2
【分析】利用指數函數的定義即可求解.
【詳解】由題意可得 a2 - 3a + 3 =1，解得 a = 2或 a =1，
又 a > 0且 a 1，所以 a = 2 .
故答案為： 2
16．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y = a x+2 - 2 (a > 0, a 1) 恒過的定點坐標為 ．
【答案】 -2, -1
【分析】根據指數函數性質求解即可.
【詳解】解：令 x + 2 = 0，即 x = -2時， y = a-2+2 - 2 = -1，
所以，函數 y = a x+2 - 2 (a > 0, a 1) 恒過的定點坐標為 -2, -1
故答案為： -2, -1
x2 +x x+15
17．（2024 1 1 高一下·上海嘉定·開學考試）不等式 ÷ ÷ 的解集為 ．
è 3 è 9
【答案】 - , -5 6,+
【分析】先化為同底數的指數型函數，利用單調性可求答案.
x21 +x 1 2x+30
【詳解】原式可化為 ÷ ÷ ，
è 3 è 3
y 1
x
= 因為 ÷ 為減函數，所以 x
2 + x 2x + 30，即 x2 - x - 30 0，
è 3
解得 x 6 或 x -5，
所以原不等式的解集為 - , -5 6,+ .
故答案為： - , -5 6,+ .
18．（2024 高一下·上海嘉定·階段練習）不等式 2x > 4的解集為 .
【答案】 2, +
【分析】利用指數函數的單調性解原不等式，即可得解.
【詳解】因為函數 y = 2x 為R 上的增函數，由 2x > 4 = 22 可得 x > 2，
故原不等式的解集為 2, + .
故答案為： 2, + .
1 3
19．（2024 高一上·全國·課后作業）若指數函數 y = f x 的圖象經過點 -2, ÷，則 f16 - = è è 2 ÷ ．
1
【答案】 / 0.125
8
3
【分析】采用待定系數法，結合指數函數所過點可求得函數解析式，代入 x = - 即可.
2
x
【詳解】設指數函數 f x = a a > 0且 a 1 ，
Q f x 2, 1- 過點 ÷，\a-2
1
= ，解得： a = 4，\ f x = 4x ，
è 16 16
3
-
\ f 3 1 1 -

÷ = 4 2 = = .
è 2 43 8
1
故答案為： .
8
1 1
20．（2024

高一下·貴州黔東南·期末）已知指數函數 f (x) 的圖像經過點 -2, ，則 f - = ．
è 16 ÷ ÷ è 2
1
【答案】 /0.5
2
f 1 【分析】設出指數函數解析式，根據條件求出解析式，然后再計算 - ÷ 的值.
è 2
1
【詳解】設 f (x) = a x （ a > 0 ，且 a 1），由于其圖像經過點 -2,

÷，
è 16
a-2 1所以 = ，解得 a = 4或 a = -4 （舍去），
16
f x = 4x f 1
1
- 1
因此 ，故 - ÷ = 4 2 = .
è 2 2
1
故答案為： .
2
21．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 f x = 3 x+1 + 2 2-x 的定義域為 .
【答案】 -1,2
【分析】根據解析式，列出使解析式有意義條件，解出 x 的取值范圍.
ìx +1 0
【詳解】由題意可得 í -1 x 22 x 0，解得： ，所以函數的定義域為
-1,2 .
-
故答案為： -1,2 .
22．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = 4x + 2 的值域是 ．
【答案】 (2,+ )
【分析】由指數函數值域可求.
【詳解】由函數 y = 4x 值域為 (0, + )，
則函數 y = 4x + 2 的值域為 (2,+ ) .
故答案為： (2,+ )
23．（2024 x高一上·全國·單元測試）函數 f x = 2 + x, x -1,1 的值域為 ．
é 1
【答案】 ê- ,3
ù
2 ú
【分析】利用函數的單調性求函數在給定區間上的值域即可.
【詳解】因為函數 f x 在 -1,1 上是增函數，
所以 f x = f -1 = 2-1 1 1- = -min ，2
f x = f 1max = 2
1 +1 = 3，
é 1 ù
故函數值域為： ê- ,3 ， 2 ú
é 1 ù
故答案為： ê- ,3 2 ú
.

ì2x , x > 0
24．（2024·上海·模擬預測）已知 f x = í ，則 f x 的值域是 ；
1, x 0
【答案】[1,+ )
【分析】分段討論 f x 的范圍即可.
【詳解】當 x > 0 時, 根據指數函數的圖象與性質知 f (x) = 2x > 1，
當 x 0 時, f (x) = 1.
綜上: y = f (x) 的值域為 [1,+ ) .
故答案為：[1,+ ) .
ì 2 - a x + 3a, x <1
25．（2024 高一·全國·專題練習）已知函數 f x = í 2
2x +2x 2
的值域為R ，則 a 的取值范圍
-
-1, x 1
是 ．
é 1
【答案】 ê- , 2

÷
2
ì2 - a > 0
【分析】先求函數出在[1,+ )上的值域，當 x <1時，要使函數的值域為R ， 則 í2 a 3a 1，進而可得出 - +
答案.
2
【詳解】當 x 1時， f (x) = 2x +2x-2 -1，而函數 t = x2 + 2x - 2在[1,+ )上單調遞增，
又 y = 2t 是增函數，
因此函數 f (x) 在[1,+ )上單調遞增，
f (x) f (1) = 1，即函數 f (x) 在[1,+ )上的值域為[1,+ )，
當 x <1時，函數 f (x) 的值域為A ，而函數 f (x) 的值域為R ，
因此 (- ,1) A，
而當 x <1時， f (x) = (2 - a)x + 3a ，
ì2 - a > 0 1
必有 í - a < 2
2 - a + 3a 1
，解得 ，
2
é 1
所以 a 的取值范圍是 ê- , 2

÷ .
2
é 1
故答案為： ê- , 2÷ . 2
26．（2024 高二下·北京·期末）已知對不同的 a值，函數 f (x) = 2 + a x-1(a > 0, a 1)的圖象恒過定點 P ，則 P
點的坐標是 .
【答案】 (1,3)
【分析】根據指數函數的性質，我們易得指數函數 y = a x (a > 0,a 1) 的圖象恒過( 0, 1)點，再根據函數圖象
的平移變換法則，求出平移量，進而可以得到函數圖象平移后恒過的點 P 的坐標
【詳解】由指數函數 y = a x (a > 0,a 1) 的圖象恒過( 0, 1)點
而要得到函數 y = 2 + a x-1(a > 0,a 1)的圖象，
可將指數函數 y = a x (a > 0,a 1) 的圖象向右平移 1 個單位，再向上平移 2 個單位.
則( 0, 1)點平移后得到 (1,3)點.
則 P 點的坐標是 (1,3)
故答案為： (1,3)
四、解答題
ì x , x 227．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函數 f x = í2x . - 2, x > 2
(1)在平面直角坐標系中，畫出函數 f x 的簡圖，并寫出 f x 的單調區間和值域；
(2)若 f t 6，求實數 t的取值范圍.
【答案】(1)圖象見解析， f x 的增區間為[0, + ) ，減區間為 (- ,0)，值域為[0, + ) .
(2) -6 t 3
【分析】（1）畫出圖象，然后可得答案；
（2）根據圖象可得答案.
【詳解】（1）函數 f x 的簡圖如下：
由圖可知，函數 f x 的增區間為[0, + ) ，減區間為 (- ,0)；值域為[0, + ) .
（2）由 f (-6) = 6, f 3 = 6，及函數 f x 的單調性可知，
若 f t 6,則實數 t的取值范圍為-6 t 3 .
28．（2024 高一上·江西贛州·期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結
合百般好，隔離分家萬事休”．在數學的學習和研究中，常常借助圖象來研究函數的性質．已知函數
ì 1
x

f x = í 2 ÷
-1, x 0
è .
-x2 + 2x +1, x > 0
(1)在平面直角坐標系中作函數 y = f x 的簡圖，并根據圖象寫出該函數的單調減區間；
(2)解不等式 f x ≤1.
【答案】(1)作圖見解析，單調減區間為 - ,0 和 1, +
(2) -1,0 U 2, +
【分析】（1）直接利用指數函數與一元二次函數圖象作圖即可，根據圖象寫出函數單調遞減區間求解；
（2）分段討論解不等式，最后再求并集即可.
【詳解】（1）簡圖如圖所示：
由圖可得該函數的單調減區間為 - ,0 和 1, + ；
x
（2 1 ）①當 x 0 時， -1 1得 2- x 21 ÷ ，所以-1≤ x≤ 0；
è 2
②當 x > 0時，-x2 + 2x +1 1，解得 x 2；
綜上：不等式 f x ≤1的解集為 -1,0 U 2, + .
ì-x +1, x 0
29．（2024 高一上·北京順義·期中）已知函數 f x = í x .
2 , x > 0
1
(1)求 f f - ÷ 的值；
è è 2
÷

(2)畫出函數 f x 的圖象，根據圖象寫出函數 f x 的單調區間；
(3)若 f x 2，求 x 的取值范圍.
3
【答案】(1) 22
(2)圖象詳見解析，減區間 - ,0 ，增區間 0, +
(3) -1,1
f 1 1 【分析】（1）先求得 - 2 ÷
，然后求得 f f - .
è è è 2
÷
÷
（2）根據函數 f x 的解析式畫出 f x 的圖象，由此求得 f x 的單調區間.
（3）由 f x = 2以及函數圖象求得 x 的取值范圍.
1 1 3 1 3 3
【詳解】（1） f - ÷ = +1 = , f f2 2 2
- ÷÷ = f ÷ = 22 .è è è 2 è 2
ì-x +1, x 0（2） f x = í x ，所以 f x 2 , x 0 的圖象如下圖所示， >
由圖可知， f x 的減區間為 - ,0 ，增區間為 0, +
ìx 0 ìx > 0
（3） í x = -1, í x x =1x 1 2 2 2 ， - + = =
由圖象可知，滿足 f x 2的 x 的取值范圍是 -1,1 .
30．（2024 高一上·上海·課后作業）求下列函數的定義域：
（1） y = 2x -1；
x
1
（2 - 9）
y è 3
÷
=
.
1- 2x+3
【答案】（1）[0, + ) ；（2） - , -3 U -3, -2 .
【分析】（1）根據偶次根式被開方數非負以及指數函數的單調性可解得原函數的定義域；
（2）根據偶次根式被開方數非負、分母不為零以及指數函數的單調性可解得原函數的定義域.
【詳解】（1）由題意可得 2x -1 0，即 2x x 20 ，又指數函數 f x = 2 單調遞增，得 x 0 .
所以函數 y = 2x -1的定義域為 0, + ；
ì 1 x ì 1 x -2 1

（2）由題意，得 í 3 ÷
- 9 0
è ，得 í

è 3 ÷ ÷ è 3 ，

1- 2
x+3 0 x+3 2 2
0
x
又指數函數 g x = 1 ÷ 單調遞減，\ x -2 且 x -3 .
è 3
x
1
÷ - 9所以函數 è 3 的定義域為 - , -3 -3,-2 .y =
1- 2x+3
【點睛】本題考查指數型函數定義域的求解，涉及指數函數單調性的應用，考查計算能力，屬于基礎題.
31．（2024 高一·全國·課前預習）求下列函數的值域；
（1） y = 2x+1 ；
（2） y = 1- 2x ；
（3） y = 2 x .
【答案】（1）(0, + ∞)；（2）[0,1)；（3）[1, + ) .
【分析】（1）根據指數運算的性質求出函數的定義域和值域；
（2）根據二次根式被開方數非負性，結合指數函數的單調性求出函數的定義域，結合二次根式的性質和指
數運算的性質求出函數的值域；
（3）根據二次根式被開方數非負性，結合指數函數的單調性求出函數的定義域，結合二次根式的性質和指
數函數的單調性求出函數的值域；
【詳解】解：（1） y = 2x+1 的定義域為 R，值域為(0, + ∞).
（2）由1- 2x 0知 x 0，故 y = 1- 2x 的定義域為 (- ,0]；由0 1- 2x <1知0 1- 2x <1，故 y = 1- 2x 的
值域為[0,1) .
（3） y = 2 x 的定義域為[0, + ) ；由 x…0知 2 x…1，故 y = 2 x 的值域為[1, + ) .
32 x．（2024 高一·全國·課堂例題）利用函數 y = f x = 2 的圖象，作出下列各函數的圖象：
(1) f x -1 ；
(2) f x ；
(3) f x -1；
(4) - f x ；
(5) f x -1 ．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)作圖見解析
(4)作圖見解析
(5)作圖見解析
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根據 f (x) = 2x ，結合對應圖象變換畫出對應函數圖象.
【詳解】（1）將 f (x) 圖象向右平移一個單位即得，如下圖，
（2）將 f (x) 右側圖象以 y 軸為對稱軸作出左側圖象，去掉原圖象左側部分即得，如下圖，
（3）將 f (x) 圖象向下平移一個單位即得，如下圖，
（4）以 x 軸為對稱軸，畫出與 f (x) 對稱的圖象即得，如下圖，
（5）將（3）所得圖象在 x 軸下方部分，翻折到上方即得，如下圖，4.2 指數函數 16 題型分類
一、指數函數的定義
一般地，函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指數函數，其中指數 x 是自變量，定義域是 R.
注意：指數函數中規定 a>0，且 a≠1 的原因：
(1)如果 a＝0，當 x>0 時，ax恒等于 0，沒有研究的必要；當 x≤0 時，ax無意義．
1 1
(2)如果 a<0，例如 f(x)＝(－4)x，這時對于 x＝ ，，…，該函數無意義．
2 4
(3)如果 a＝1，則 y＝1x是一個常量，沒有研究的價值．
為了避免上述各種情況，所以規定 a>0，且 a≠1.
二、指數增長模型
在實際問題中，經常會遇到指數增長模型：設原有量為 N，每次的增長率為 p，經過 x 次
增長，該量增長到 y，則 y＝N(1＋p)x(x∈N).形如 y＝kax(k∈R，且 k≠0；a＞0，且 a≠1)的函數
是刻畫指數增長或指數衰減變化規律的非常有用的函數模型．
三、指數函數的圖象和性質
a>1 0圖象
定義域 R
值域 (0，＋∞)
過定點 過定點(0,1)，即 x＝0 時，y＝1
性質 函數值 當 x>0 時，y>1； 當 x>0 時，0的變化 當 x<0 時，01
單調性 是 R 上的增函數 是 R 上的減函數
對稱性 y＝ax與 y＝a－x的圖象關于 y 軸對稱
注意：（1）由指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)的性質知，指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)的圖象
1
恒過點(0,1)，(1，a)，(－1， )，只要確定了這三個點的坐標，即可快速地畫出指數函數 y＝a
ax(a>0，且 a≠1)的圖象．
（2）底數的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是 a>1，還是 0底數越大，函數圖象越靠近 y 軸．
四、不同底指數函數圖象的相對位置
(1)指數函數在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數大小的關系如圖所示，則
0在 y 軸右側，圖象從上到下相應的底數由大變小；
在 y 軸左側，圖象從下到上相應的底數由大變小.
即無論在 y 軸的左側還是右側，底數按逆時針方向遞增．
(2)實質：指數函數的底數即直線 x＝1 與圖象交點的縱坐標，由此也可求指數函數底數的
大小．
五、與指數函數復合的函數單調性
(1)關于指數型函數 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的單調性由兩點決定，一是底數 a>1 還是 0二是 f(x)的單調性．它由兩個函數 y＝au，u＝f(x)復合而成．
(2)若 y＝f(u)，u＝g(x)，則函數 y＝f(g(x))的單調性有如下特點：
u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x))
增 增 增
增 減 減
減 增 減
減 減 增
(3)求復合函數的單調區間，首先求出函數的定義域，然后把函數分解成 y＝f(u)，u＝g(x)，
通過考查 f(u)和 g(x)的單調性，求出 y＝f(g(x))的單調性．
（一）
指數函數的概念
1、(1)判斷一個函數是指數函數，要牢牢抓住三點：
①底數是大于 0 且不等于 1 的常數；
②指數函數的自變量必須位于指數的位置上；
③ax的系數必須為 1.
(2)求指數函數的解析式常用待定系數法．
2、判斷一個函數是指數函數的方法
(1)看形式：判斷其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)這一結構特征．
(2)明特征：看是否具備指數函數解析式具有的三個特征．只要有一個特征不具備，該函數就
不是指數函數．
題型 1：指數函數的概念
1-1．（2024 高一上·全國·課后作業）下列函數：① y = 2 3x；② y = 3x+1；③ y = πx ；④ y = xx ．其中為指
數函數的個數是（ ）
A．0 B．1
C． 2 D．3
1-2．（2024 高一·全國·課堂例題）下列函數為指數函數的是（ ）
A． y = -4x B． y = -4 x C． y = πx D． y = 4x2
1-3．（2024 高一·全國·課后作業）函數① y = 4x ；② y = x4 ；③ y = -4x ；④ y = (-4)x ；⑤ y = πx ；
⑥ y = 4x2 ；⑦ y = xx ；⑧ y = (a -1)x (a >1)中，是指數函數的是 ．
1-4．（2024 高一·全國·專題練習）下列函數中是指數函數的是 (填序號)．
x① y 2 2 ② y = 2x-1 ③ y p
x
x 1 1= × ； ； = ÷ ；④ y = x ；⑤
-
y = 3 x ；⑥è 2 y = x
3 ．
（二）
指數函數的解析式及應用
求指數函數解析式的步驟
(1)設指數函數的解析式為 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)．
(2)利用已知條件求底數 a.
(3)寫出指數函數的解析式．
注意：（1）求指數函數解析式，一般采用待定系數法.（2）求函數值先確定函數解析式.
題型 2：求指數函數的解析式或求值
ì 1 - 2
2-1．（2024 高一上·四川瀘州·期末）已知函數 f x = íx -1, x 0，則 f f 4 的值是（ ）
2
x , x < 0
1
A 2． B． 2 C． D．22 2
2-2．（2024 高二下·新疆巴音郭楞·期末）指數函數 f x = a x a > 0且 a 0 圖像經過點 3,27 ，則 f 2 =
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2-3．（2024 高一下·新疆伊犁·期中）函數 f x = a x (a > 0，且 a 1)的圖象經過點P 3,27 ，則 f 2 =（ ）
1
A B 3
1
． ． C． D．9
9 3 3
ì2x - x2 ,0 x 6
2-4．（2024 高一·全國·課后作業）設函數 f (x) = í ，則 f (10)＝ ．
f (x - 6), x > 6
題型 3：根據函數是指數函數求參數
3-1．（2024 x x- b+3 高一上·廣東湛江·階段練習）如果函數 f x = 2a ×3 和 g x = 2 都是指數函數，則 ab =
（ ）
1
A． B．1 C．9 D．8
8
3-2．（2024 高一·全國· 2專題練習）函數 y = a - 5a + 5 a x 是指數函數，則 a的值為 ．
3-3．（2024 高一上·安徽滁州· x期末）函數 y =(2a-3) 是指數函數，則 a 的取值范圍是 ．
（三）
指數型函數的實際應用
1、常見的幾類函數模型
(1)指數增長模型
設原有量為 N，每次的增長率為 p，則經過 x 次增長，該量增長到 y，則 y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指數減少模型
設原有量為 N，每次的減少率為 p，則經過 x 次減少，該量減少到 y，則 y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指數型函數
把形如 y＝kax(k≠0，a>0，且 a≠1)的函數稱為指數型函數，這是非常有用的函數模型．
2、解決指數型函數應用題的流程
(1)審題：理解題意，弄清楚關鍵字詞和字母的意義，從題意中提取信息．
(2)建模：據已知條件，列出指數函數的關系式．
(3)解模：運用數學知識解決問題．
(4)回歸：還原為實際問題，歸納得出結論．　　
題型 4：指數型函數的實際應用
4-1．（24-25 高一上·全國·課后作業）某新款電視投放市場后第一個月銷售了 100 臺，第二個月銷售了 200
臺，第三個月銷售了 400 臺，第四個月銷售了 790 臺，第五個月銷售了 1600 臺，則下列函數模型中能較好
地反映銷量 y 與投放市場的月數 x （1 x 5， x N+ ）之間關系的是（ ）
A． y =100x B． y = 50x2 - 50x +100
C． y = 50 2x D． y =100x
4-2．（24-25 高一上·全國·課后作業）某股民購買一公司股票 10 萬元，在連續十個交易日內，前 5 個交易日，
平均每天上漲 5％，后 5 個交易日內，平均每天下跌 4.9％，則股民的股票盈虧情況（不計其他成本，精確
到元）為（ ）
A．賺 723 元 B．賺 145 元
C．虧 145 元 D．虧 723 元
4-3．（24-25 高一上·全國·課后作業）牛奶保鮮時間因儲藏溫度的不同而不同，假定保鮮時間 y（單位：h）
與儲藏溫度 x（單位：℃）的關系式為 y = kerx （k，r 為常數， e 2.71828）．若牛奶在 0℃的冰箱中，保鮮
時間約是 100 h，在 5℃的冰箱中，保鮮時間約是 80 h，那么在 10℃的冰箱中的保鮮時間約是多少？
（四）
指數函數的圖象及應用
1、識別指數函數圖象問題的注意點
(1)根據圖象“上升”或“下降”確定底數 a>1 或 0(2)在 y 軸右側，指數函數的圖象從下到上相應的底數由小到大；在 y 軸左側，指數函數的圖象
從下到上相應的底數由大到小；
(3)根據“左加右減，上加下減”的原則，確定圖象的平移變換，從而確定指數型函數的圖象與兩
坐標軸的交點位置．
2、解決指數型函數圖象過定點問題的思路
指數函數 y＝ax(a>0，且 a≠1)的圖象過定點(0,1)，據此，可解決形如 y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，
且 a≠1)的函數圖象過定點的問題，即令 x＝－c，得 y＝k＋b，函數圖象過定點(－c，k＋b)．
題型 5：指數函數的圖象特征
5-1．（2024 高二·湖北·學業考試）設 a，b ， c， d 都是不等于 1 的正數，函數 y = a x , y = bx , y = cx , y = d x 在
同一直角坐標系中的圖象如圖所示，則 a，b ， c， d 的大小關系是（ ）
A． a < b < c < d B．b < a < d < c C． c < d < a < b D． d < c < b < a
x
5-2
b
．（2024 高一上·福建福州·期中）指數函數 y = ÷ 的圖象如圖所示，則二次函數 y = ax
2 + bx 的圖象可能
è a
是（ ）
A． B．
C． D．
1
5-3 x．（2024 高一上·重慶涪陵·階段練習）函數 f x = a - （ a > 0, a 1）的圖象可能是（ ）
a
A． B．
C． D．
5-4 2 x．（2024 高一上·山東聊城·階段練習）函數 f x = x 2 - 2 的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
題型 6：指數函數的圖象變換
6-1．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）函數 y = 3- x 的圖像與函數 的圖像關于 y 軸對稱．
6-2．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）若將函數的圖像向右、向上分別平移 1 個單位得函數 y = 2x 的圖像，則
原函數的表達式為 ．
6-3．（2024 高三·全國·對口高考）利用函數 f (x) = 2x 的圖象，作出下列各函數的圖象．
(1) y = f (-x) ；
(2) y = f (| x |)
(3) y = f (x) -1；
(4) y = f (x) -1 ；
(5) y = - f (x) ；
(6) y = f (x -1)．
6-4．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）在圖中畫出函數 y = 3x+1 -1的圖像，說明函數 y = 3x+1 -1的圖像與 y = 3x
圖像的關系.
題型 7：指數型函數過定點問題
7-1．（2024 高三上·寧夏石嘴山·階段練習）函數 y = a2x-1 - 2(a > 0且a 1)，無論 a取何值，函數圖像恒過一
個定點，則定點坐標為 .
7-2．（2024 高一上·新疆·期中）函數 y = a x+m + n a > 0且 a 1 恒過定點 (1, -2) ，m + n = ．
7-3．（2024 高一上·福建泉州·期中）函數 y = a x-4 +1(a > 0且 a 1)的圖象恒過定點 P ，則點 P 坐標為 ．
題型 8：指數函數圖象的應用
8-1．（2024 高一下·廣西柳州·期中）已知函數 f (x) = a x-2 +1(a > 0, a 1)恒過定點M m, n ，則函數
g x = mx - n 不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
ì 2x -1 , x < 2,

8-2．（2024 高一上·廣東韶關·期中）已知函數 f (x) = í 3 若函數 y = f (x) 圖象與直線 y = k 有且僅有
, x 2,
x -1
三個不同的交點，則實數 k 的取值范圍是（ ）
A． k > 0 B．0 < k <1 C．0 < k < 3 D．1< k < 3
8-3．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）若函數 y = a x + m -1（ a > 0且 a 1）的圖象在第二、三、四象限內，
則（　　）
A． a >1 B． a >1且m < 0
C．0 < a <1且m < 0 D．0 < a <1
8-4．（24-25 x高一上·上海·課堂例題）若函數 y = a + b -1 （ a > 0且 a 1）的圖像不經過第二象限，則有
（　　）
A． a >1且b<1 B．0 < a <1且b 1
C．0 < a <1且b > 0 D． a >1且b 0
（五）
與指數函數有關的定義域和值域問題
函數 y＝af(x)定義域、值域的求法
(1)定義域：形如 y＝af(x)形式的函數的定義域是使得 f(x)有意義的 x 的取值集合．
(2)值域：①換元，令 t＝f(x)；
②求 t＝f(x)的定義域 x∈D；
③求 t＝f(x)的值域 t∈M；
④利用 y＝at的單調性求 y＝at，t∈M 的值域．
注意：(1)通過建立不等關系求定義域時，要注意解集為各不等關系解集的交集．
(2)當指數型函數的底數含字母時，在求定義域、值域時要注意分類討論．
題型 9：與指數型函數有關的定義域問題
x
9-1．（25-26 高一上· 2 - 4全國·課后作業）函數 f x = 的定義域為（ ）
x - 5
A． - , 2 B． - ,5 U 5, + C． 2, + D． 2,5 U 5,+
9-2．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y = 3x - 27 的定義域為（ ）
A． - , 3ù B． - , 3 C． 3, + D． 3, +
1
9-3．（2024 高一上· x內蒙古赤峰·期末）函數 f (x) = 2 + 的定義域為 ．
1- x
9-4．（2024 高一上·上海·專題練習）求下列函數的定義域：
2
(1) y = 2x -1
(2) y = 3 3-x
(3) y = 2x -1
(4) y = 1- a x (a > 0,a 1)
題型 10：與指數型函數有關的值域（最值）問題
10-1 2024 · · f x = a x．（ 高一上 廣東湛江 期末）已知函數 + b(a > 0 且 a 1)的定義域和值域都是 -1,0 ，則
a + b =（ ）
1 3 5 1 5
A．- B．- C．- D．- 或-
2 2 2 2 2
10-2．（2024 高一·全國·競賽）若 x - ,-1 m - m2 4x + 2x，不等式 +1 > 0恒成立，則實數 m 的取值范圍
是（ ）
A．m < -2或m > 3 B．m 0或m 1
C．-2 < m < 3 D．0 m 1
ìb,a b
10-3．（2024 高一下·廣東茂名·期中）定義運算：a b = í ，則函數 f x = 3- x 3xa, a b 的值域為 ． <
|x|
10-4．（2024 · 1 高一上 江蘇鎮江·階段練習）函數 f x = ÷ 的值域為 .
è 2
x x
10-5．（2024 高一下·廣西柳州· f (x) = 1 1期中）函數 ÷ -

÷ + 2在 -1,2 的最小值是 ．
è 4 è 2
10-6．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）若 x 0, + ，2x < a x （ a > 0且 a 1）恒成立，則實數 a 的取值范圍
是 .
ì2x , x m

10-7．（2024 高一下· m湖南·期中）已知m > 0，函數 f x = í 2 2 8 的值域為 - , 2 ù，則m 的取值
- x + , x > m

3 3
范圍是 ．
10-8．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）若函數 y = a x （ a > 0且 a 1）在區間 -1,2 上的最大值是 4，最小值
為 m，且函數 y = 1- 4m x 在R 內是嚴格增函數，則 a = .
2
10-9．（2024 高一上·西藏那曲·期末）已知函數 f x = 3- x +2x ．
(1)若 f x 1，求實數 x 的取值范圍；
(2)求 f x 的值域．
（六）
單調性及其應用
1.比較冪的大小的方法
(1)同底數冪比較大小時構造指數函數，根據其單調性比較．
(2)指數相同底數不同時分別畫出以兩冪底數為底數的指數函數的圖象，當 x 取相同冪指數時可
觀察出函數值的大小．
(3)底數、指數都不相同時，取與其中一底數相同與另一指數相同的冪與兩數比較，或借助“1”
與兩數比較．
(4)當底數含參數時，要按底數 a>1 和 02.解與指數有關的不等式時需注意的問題
(1)形如 af(x)>ag(x)的不等式，借助函數 y＝at(a>0，且 a≠1)的單調性求解，如果 a 的取值不確定，
需分 a>1 與 0(2)形如 af(x)>b 的不等式，注意將 b 化為以 a 為底的指數冪的形式，再借助 y＝at(a>0，且 a≠1)
的單調性求解；
(3)形如 af(x)>bf(x)的形式，利用圖象求解．
注意(1)指數型不等式 af(x)＞ag(x)(a＞0，且 a≠1)的解法：
當 a＞1 時，f(x)＞g(x)；當 0＜a＜1 時，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指數式的形式，要首先進行變形將不等式兩邊的底數進行統
1
一，此時常用到以下結論：1＝a0(a＞0，且 a≠1)，a－x＝( )x(a＞0，且 a≠1)等．a
題型 11：求指數型函數的單調區間
1 x
2 -3x+2
11-1．（2024 高一上·山東德州·階段練習）函數 y = ÷ 的單調遞增區間是（ ）
è 2
A． - ,1 B． 1,2 é3 ,+ 3ùC． ê2 ÷ D． - , è 2 ú
2
11-2 2024 · · y = ( )|1-x|．（ 高一上 全國 課后作業）函數 的單調遞減區間是 ；單調遞增區間是 ．
3
- x2 +2x
11-3．（2024 1 高一上·廣東肇慶·期中）函數 y = ÷ 的單調遞增區間為 .
è 5
2
11-4．（2024 高一下·上海·期中）函數 y = ex -2x-3的嚴格減區間為 ．
題型 12：根據指數型函數的單調性求參數
12-1．（2024·全國）設函數 f x = 2x x-a 在區間 0,1 上單調遞減，則 a的取值范圍是（ ）
A． - , -2 B． -2,0
C． 0,2 D． 2, +
x2 -2mx
12-2 2024 · · f x = 1 ．（ 高一下 浙江金華 期末）設函數 ÷ 在區間 1,2 上單調遞增，則m 的取值范圍為
è 2
（ ）
A． - , -2 B． -2, -1 C． 1,2 D． 2, +
2x2 +mx-3
12-3．（2024 高一上·四川成都·期末）若函數 f x 1= ÷ 在區間 -1,1 上單調遞減，則實數m 的取值范
è 3
圍是 ．
題型 13：利用指數型函數單調性比較大小
13-1 2024 · · 1
a b
<
1 1
．（ 高三 全國 專題練習）已知 ÷ ÷ < ，則（　　）
è 2 è 2 2
A．aa > ab > bb B．aa > bb > ab
C．bb > aa > ab D．ab > bb > aa
13-2．（2024·江蘇·一模）設 a,b R ， 4b = 6a - 2a ，5a = 6b - 2b ，則（ ）
A．1< a < b B．0 < b < a C．b < 0 < a D．b < a <1
13-3．（2024 高一上·河南鄭州·期末）設 a = 0.80.8 ,b = 0.80.9 ,c = 0.90.8，則 a,b,c的大小關系是（ ）
A． c > b > a B． a > b > c
C． a > c > b D． c > a > b
13-4．（2024 高一上·浙江寧波·期中）下列大小關系正確的是（ ）
A．0.50.2 > 0.20.2 > 0.20.5 B．0.20.5 > 0.50.2 > 0.20.2
C．0.20.5 > 0.20.2 > 0.50.2 D．0.20.2 > 0.50.2 > 0.20.5
題型 14：利用指數型函數的單調性解不等式
1 2
14-1 2024 · · ( )x -8 -2x．（ 高一 全國 專題練習）不等式 ＞3 的解集是（ ）
3
A． -2,4 B． - , -2
C． 4, + D． - , -2 U 4, +
ì2x -1, x 2
14-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x = í ，則不等式 f 3x - 4 < f x + 2 的解集
3x - 3, x < 2
為 ．
14-3．（2024 高三上·河北· x學業考試）已知函數 f x = e - e- x ，則不等式 f 1- x + f 1 > 0 的解集是（ ）
A． - , 2 B． 2, + C． -2,0 D． 0,2
x - 3
14-4．（2024 高一上· x四川·階段練習）已知函數 f x = 2 ，則不等式 f x 1 ÷ <1的解集為（ ）è +
A． -1,3 B． -3,1 C． -3, -1 D． 1,3
x
14-5．（2024 高一上· e -1 2云南昆明·期中）已知函數 f x = 3x3 + ，且 f a + f 3a - 4 > 0x ，則實數 a的取e +1
值范圍是（ ）
A． -4,1 B． -1,4
C． - , -1 4, + D． - , -4 U 1,+
（七）
指數函數性質的綜合應用
1、指數函數的綜合問題，主要涉及單調性、奇偶性、最值問題，應在有關性質的基礎上，結
合指數函數的性質進行解決，而指數函數性質的重點是單調性，注意利用單調性實現問題的轉
化．
2、若函數 y= f(x)在區間 D 上是增(減)函數，則復合函數 y = a f x 當 a>1 時，在區間 D 上是增(減)
函數，當 0題型 15：指數型函數的奇偶性
15-1．（2024 高一上·山西太原·期中）下列函數是偶函數的是（ ）
A． y = x3 B． y = 2x C． y = x +1 D． y = x +1
ì x 1
, x < 0
15-2．（2024· ÷江西景德鎮·三模）已知函數 f x = íè 2 是奇函數，則 x > 0時，g x 的解析式為（ ）

g x , x > 0
1 x 1 xA．- ÷ B． ÷ C．-2x D． 2x
è 2 è 2
15-3 2024 · · “ a =1” “ f x 2
x - a
．（ 高二下 廣東廣州 期末） 是 函數 = x 為奇函數”的（ ）2 +1
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
15-4．（2024 高一下·浙江溫州·開學考試）已知 f (x) 是定義在 R 上的偶函數，且當 x (- ,0]時，
f (x) = x2 - ex +1，則當 x (0,+ )時， f (x) =（ ）
A． x2 - ex +1 B． x2 - e- x +1
C． x2 + e- x +1 D．-x2 + e- x -1
bx
15-5 a + 4．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知b > 0，函數 f x = x 是奇函數，則 a + b = ．2
題型 16：指數函數的綜合應用
2
16-1．（2024 高一下·陜西安康·期中）已知函數 f (x) = a - x （ a R ），函數 f (x) 為奇函數e +1
(1)求出 a的值，判斷函數 f (x) 的單調性，并予以證明；
(2)若對"x R ，不等式 f ( f (x)) + f (3 - m) > 0恒成立，求m 的取值范圍.
x x
16-2．（2024 高二上·安徽·開學考試）已知函數 f x a ×3 - 2= x x ,a R ．3 + 2
(1)若 f x 為奇函數，求 a的值；
(2)在（1）的條件下，求 f x 的值域．
16-3．（河北省衡水市第十三中學 2024 屆高三上學期開學考試數學試題）已知函數 f (x) = a x - k ×a- x
3
（ a > 0，且 a 1）是奇函數，且 f (1) = ．
2
(1)求 a， k 的值；
(2)若對于"x [1, 2]，不等式 f (2x) + mf (x) 0成立，求m 的取值范圍．
16-4．（2024 高一下·四川綿陽·階段練習）已知二次函數 ( ) = 2 + + ，且不等式 f (x) < 2x的解集為
(1,3) .
(1)求 f x 解析式；
(2)若不等式 kf 2x - 2x +1 0 在 x [1,2]上有解，求實數 k 的取值范圍.
一、單選題
1 x．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f x = a - a (a>0 且 a≠1)的圖象可能為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024 高二下·北京密云·期末）已知 a > b，則下列不等式中成立的是（ ）
1 1
A． 2a > 2b B． ab > b2 C． a2 > b2 D． 3．（2024 2高一上·新疆阿克蘇·階段練習）不等式 2x -x > 4的解集為（ ）
A． (- ,-1) B． (-1,2)
C． (- , -1) (2, + ) D． (- , 2) (-1, + )
4．（2024 高一上·吉林長春·期末）若函數 y = m2 - 2m - 2 ×mx 是指數函數，則m 等于（ ）
A．-1或3
1
B．-1 C．3 D．
3
ì x
, x <1
5．（2024·甘肅蘭州·模擬預測）已知函數 f (x) = í x -1 的值域為 R，則實數 a 的取值范圍是（ ）
2x - a, x 1
A． (- ,0) B． (0, + ) C． (- ,1] D．[1,+ )
2x-1
6．（2024 高一上·全國· 1 課后作業）函數 y = 3 ÷
- 27 的定義域是（ ）
è
A．[-2,+ ) B．[-1,+ )
C． (- ,-1] D． (- , -2]
7．（2024 高一上·浙江溫州·期中）函數 f (x) = a x-b 的圖象如圖所示，其中 a，b 為常數，則下列結論正確的
是（ ）
A． a >1,b < 0 B． a >1,b > 0
C．0 < a <1,b > 0 D．0 < a <1,b < 0
1
8．（2024 高一上·全國· y = a x課后作業）函數 - （ a > 0，且 a 1）的圖象可能是（　　）
a
A． B．
C． D．
x
9．（2024 高二下· e遼寧·期中） f x = 2 的圖像大致是（ ）x
A． B．
C． D．
10 2．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 f (x) = 2 - x +4x-3 的單調遞增區間為（　　）
A． - , 2 B． 1,2
C． 2,3 D． 2, +
二、多選題
11．（2024 高一上·全國·單元測試）下列函數中，是指數函數的是（ ）
A． y = -3 x B． y = 2m -1 x m 1 > , m 1

2 ֏
C． y = 0.19 x D． y = 2 ×3x
12．（2024 高一上·河南南陽·期中）已知函數 f x = a x+1 + 2（ a > 0且 a 1）的圖像過定點 a - 3,3 ，則
（ ）．
A． a = 3 B． f 1 = 6
C． f x 為 R 上的增函數 D． f x >10的解集為 2, +
13．（2024 高一上·全國·課后作業）（多選）下列函數是指數函數的是（ ）
A． y = 52x
B． y = -4x
C． y = x3
1 2D． y = 6a - 3 x （ a > 且a ）
2 3
14 x．（2024 高二上·山西運城·階段練習）對于函數 f x = a a > 0且 a 1）， g x = ax2 - x，在同一直角坐
標系下的圖象可能為（　　）
A． B．
C． D．
三、填空題
15．（2024 2 x高一上·湖南長沙·階段練習）函數是指數函數 f x = a - 3a + 3 a ，則有 a = .
16．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y = a x+2 - 2 (a > 0, a 1) 恒過的定點坐標為 ．
x2 +x x+15
17．（2024 高一下·上海嘉定· 1 1 開學考試）不等式 ÷ ÷ 的解集為 ．
è 3 è 9
18．（2024 高一下·上海嘉定·階段練習）不等式 2x > 4的解集為 .
1 3
19．（2024 高一上·全國·課后作業）若指數函數 y = f x 的圖象經過點 -2, ÷，則 f - ÷ = ．
è 16 è 2
1 1
20．（2024 高一下·

貴州黔東南·期末）已知指數函數 f (x) 的圖像經過點 -2, ，則 f - =
è 16 ÷ è 2 ÷
．

21．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 f x = 3 x+1 + 2 2-x 的定義域為 .
22．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = 4x + 2 的值域是 ．
23．（2024 x高一上·全國·單元測試）函數 f x = 2 + x, x -1,1 的值域為 ．
ì2x , x > 0
24．（2024·上海·模擬預測）已知 f x = í ，則 f x 的值域是 ；
1, x 0
ì 2 - a x + 3a, x <1
25．（2024 高一·全國·專題練習）已知函數 f x = í x2 2x 2 的值域為R ，則 a 的取值范圍 2 + - -1, x 1
是 ．
26．（2024 高二下·北京·期末）已知對不同的 a值，函數 f (x) = 2 + a x-1(a > 0, a 1)的圖象恒過定點 P ，則 P
點的坐標是 .
四、解答題
ì x , x 2
27．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函數 f x = í .
2
x - 2, x > 2
(1)在平面直角坐標系中，畫出函數 f x 的簡圖，并寫出 f x 的單調區間和值域；
(2)若 f t 6，求實數 t的取值范圍.
28．（2024 高一上·江西贛州·期中）著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結
合百般好，隔離分家萬事休”．在數學的學習和研究中，常常借助圖象來研究函數的性質．已知函數
ì 1
x

f x ÷ -1, x 0= íè 2 .

-x
2 + 2x +1, x > 0
(1)在平面直角坐標系中作函數 y = f x 的簡圖，并根據圖象寫出該函數的單調減區間；
(2)解不等式 f x ≤1.
ì-x +1, x 0
29．（2024 高一上·北京順義·期中）已知函數 f x = í2x . , x > 0
1
(1)求 f f - ÷ 的值；
è è 2
÷

(2)畫出函數 f x 的圖象，根據圖象寫出函數 f x 的單調區間；
(3)若 f x 2，求 x 的取值范圍.
30．（2024 高一上·上海·課后作業）求下列函數的定義域：
（1） y = 2x -1；
1
x

（2） ÷ - 9
y = è 3
.
1- 2x+3
31．（2024 高一·全國·課前預習）求下列函數的值域；
（1） y = 2x+1 ；
（2） y = 1- 2x ；
（3） y = 2 x .
32 x．（2024 高一·全國·課堂例題）利用函數 y = f x = 2 的圖象，作出下列各函數的圖象：
(1) f x -1 ；
(2) f x ；
(3) f x -1；
(4) - f x ；
(5) f x -1 ．

展開更多......

收起↑