資源簡介

5.6 函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)4 題型分類
一、參數(shù) φ，ω，A 對函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響
(1)φ 對函數(shù) y＝sin(x＋φ)，x∈R 的圖象的影響
(2)ω(ω＞0)對 y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響
(3)A(A＞0)對 y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響
二、由函數(shù) y＝sinx 的圖象得到函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的途徑
由函數(shù) y＝sinx 的圖象通過變換得到 y＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種主要途徑：“先平移后伸
縮”與“先伸縮后平移”．
(1)先平移后伸縮
y sinx 向左 φ＞0 或 向右 φ＜0 ＝ 的圖象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(x＋φ)的圖象
平移|φ|個(gè) 單位長度
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?br/>― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(ωx＋φ)的圖象
縱坐標(biāo) 不變
縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍
― ― ― ― ― ― ― ― y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．
橫坐標(biāo) ― ― ― ― ― ― →不變
(2)先伸縮后平移
y sinx 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?的圖象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sinωx的圖象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移
縱坐標(biāo) 不變
|φ |個(gè)單位長度 y＝sin(ωx＋φ) 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍的圖象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝Asin(ωx＋φ)的圖ω 橫坐標(biāo)不變
象．
三、函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)
定義域 (－∞，＋∞)
值域 [－A，A]
2π
周期 T＝
ω
當(dāng) φ＝kπ，k∈Z 時(shí)為奇函數(shù)
π
當(dāng) φ＝kπ＋ ，k∈Z 時(shí)為偶函數(shù)
奇偶性 2
kπ
當(dāng) φ≠ ，k∈Z 時(shí)為非奇非偶函數(shù)
2
kπ π φ
直線 x＝ ＋ － ，k∈Z
圖象的 ω 2ω ω
對稱軸 π
求法：令 ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z 可求
2
kπ φ
圖象的對 對稱中心：（ － ，0），k∈Z
ω ω
稱中心
求法：令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 可求
π π
單調(diào)性 求法：令－ ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z 可求單調(diào)遞增區(qū)間
2 2
π 3π
求法：令 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z 可求單調(diào)遞減區(qū)間
2 2
注意隱含條件：
1
(1)兩條相鄰對稱軸之間間隔為 個(gè)周期；
2
(2)函數(shù)在對稱軸處取得最大值或最小值．
對于函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：
(1)A 越大，函數(shù)的最大值越大，最大值與 A 是正比例關(guān)系．
(2)ω 越大，函數(shù)的周期越小，ω 越小，周期越大，周期與 ω 為反比例關(guān)系．
（一）
“五點(diǎn)法”作圖
用“五點(diǎn)法”作函數(shù) f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的步驟
第一步：列表．
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
φ π φ π φ 3π φ 2π φ
x － － － － －
ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．
第三步：用光滑曲線連接這些點(diǎn)，形成圖象．
為 y＝Asinx.
題型 1：“五點(diǎn)法”作圖
1-1．（2024 高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) y = 3sin
1
x
π
-
è 2 3 ÷
1 π
(1)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù) y = 3sin x - ÷ 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
è 2 3
列表：
1 x π-
2 3
x
y = 3sin 1 x
π
-
2 3 ֏
作圖：
(2)直接寫出函數(shù) y = 3sin
1
x
π
- ÷ 的值域和最小正周期．
è 2 3
π
1-2．（2024 高一下·北京海淀·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = sin 2x + ÷， x R ．
è 4
(1)列表，并在所給坐標(biāo)系中用五點(diǎn)法作出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖像．
x
f x
(2)寫出 f x 的單調(diào)區(qū)間，對稱軸，對稱中心．
π
1-3．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù) f x = 2sin 2x + ÷ 在 0, π 上
è 6
的大致圖像.
1-4．（2024 高一下·云南昆明·階段練習(xí)）（1）利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù) y = sin(
1 x π+ )在長度為一個(gè)周期的閉
2 6
區(qū)間的簡圖.
列表:
1 x π+
2 6
x
y
作圖:
（2）并說明該函數(shù)圖象可由 y = sin x(x R) 的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.
π
1-5．（2024 高一下·新疆烏魯木齊·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = sin 2x - 6 ÷è
(1)請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù) f x 在一個(gè)周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；
x π 5π
3 6
2x π- 0 2π6
f x 0
f x é π , π(2) ù求 在區(qū)間 ê12 2 ú上的最大值和最小值及相應(yīng)的 x 值.
（二）
三角函數(shù)圖象變換
三角函數(shù)圖象的平移變換
(1)左右平移
已知 φ>0，平移規(guī)律為“左加右減”，即：
①若將函數(shù) y＝sinx 的圖象沿 x 軸向右平移 φ 個(gè)單位長度，則得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝
sin(x－φ)．
②若將函數(shù) y＝sinx 的圖象沿 x 軸向左平移 φ 個(gè)單位長度，則得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝
sin(x＋φ)．
(2)上下平移
已知 k>0，平移規(guī)律為“上加下減”，即：
①若將函數(shù) y＝sinx的圖象沿 y軸向上平移 k個(gè)單位長度，則得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝sinx
＋k.
②若將函數(shù) y＝sinx的圖象沿 y軸向下平移 k個(gè)單位長度，則得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝sinx－
k.
(3)橫向伸縮
已知 ω>0，橫向伸縮規(guī)律為“伸縮倍數(shù)乘倒數(shù)”：將函數(shù) y＝sinx 圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(當(dāng)
1
0<ω<1 時(shí))或縮短(當(dāng) ω>1 時(shí))到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝sinωx.
ω
(4)縱向伸縮
已知 A>0，縱向伸縮規(guī)律為“伸縮倍數(shù)乘倍數(shù)”：將函數(shù) y＝sinx 圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng) A>1
時(shí))或縮短(當(dāng) 0題型 2：三角函數(shù)的圖象變換
π2-1 ．（2024 高一下·上海嘉定·期中）把函數(shù) y = cos 3x + ÷的圖像適當(dāng)變動(dòng)就可以得到 y = sin -3x 圖像，這
è 4
種變動(dòng)可以是（ ）
π π π π
A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移
4 4 12 12
2-2．（2024 高一下·天津紅橋·期末）為了得到函數(shù) g x cos 2x f x cos 2x π= 的圖象，可以將函數(shù) = + ÷ 的
è 3
圖象（ ）
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
3 3
π π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
6 6
f x = 2sin wx +j π2-3．（2024 高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位長度后得到
6
函數(shù)
y = sin 2x + 3 cos 2x的圖象，則 φ 的可能值為（　　）
π π π
A．0 B． C． D．
6 3 12
2-4．（2024 高二下· 1 3廣東廣州·期末）要得到函數(shù) f x = sin2x + cos2x的圖像，只需把函數(shù) g x = cos2x
2 2
的圖像（ ）
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
6 6
π π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
12 12
2-5．（2024 高三上·吉林·期中）已知曲線 C1： y = 2sinx，C2： y = 2sin(2x
π
+ )，則錯(cuò)誤的是（ ）
3
1 π
A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度，2 6
得到曲線C2
B．把C
1 5π
1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長2 6
度，得到曲線C2
C．把C π
1
1向左平行移動(dòng) 3 個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不2
變，得到曲線C2
C π 1D．把 1向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不6 2
變，得到曲線C2
（三）
求三角函數(shù)的解析式
求函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法
若設(shè)所求解析式為 y＝Asin(ωx＋φ)，則在觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定 A，ω，
φ.
(1)由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|.
2π
(2)由函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)確定 T，由 T＝ ，確定 ω.
|ω|
(3)確定函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)中 φ 的值的兩種方法：
①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí) A，ω 已知，最好是代入圖象與 x 軸的交點(diǎn))求解(此
時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．
φ
②五點(diǎn)對應(yīng)法：確定 φ 值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(－ ，0 作為突破口．ω )
注：“五點(diǎn)”的 ωx＋φ 的值具體如下：
“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與 x 軸的交點(diǎn))為 ωx＋φ＝0；
π
“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為 ωx＋φ＝ ；
2
“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與 x 軸的交點(diǎn))為 ωx＋φ＝π；
3π
“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為 ωx＋φ＝ ；
2
“第五點(diǎn)”為 ωx＋φ＝2π.
題型 3：求三角函數(shù)的解析式
p
3-1．（2024 高一下·江蘇徐州·期中）已知函數(shù) f (x) = Asin(wx +j) A > 0,w > 0,|j |< 的部分圖象如圖所示．
è 2 ÷
(1)求函數(shù) f (x) 的解析式；
p
(2)將 y = f (x) 圖象上所有點(diǎn)先向右平移 個(gè)單位長度，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍，得到函數(shù) y = g(x) ，求
6
y = g(x) é在 ê0,
p ù
ú上的值域． 2
π
3-2．（2024 高一下·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = Asin(wx +j)

x R, A > 0,w > 0,|j |<

÷ 的部分圖象
è 2
如圖所示.
(1)求 f (x) 的最小正周期及解析式；
(2)將函數(shù) y = f (x)
π é π ù
的圖象向右平移 個(gè)單位長度得到函數(shù) y = g(x) 的圖象，求函數(shù) g(x)在區(qū)間
6 ê
0,
2 ú 上的最
大值和最小值.
π
3-3．（2024 高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j <

÷的部分圖象如圖所示.
è 2
(1)求 f x ；
(2)將函數(shù) y = f x π é π ù圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù) y = g x 的圖象，求 g x 在
12 ê
0, ú 上的值域. 3
π
3-4．（2024 高一下·廣東佛山·期中）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分圖象如圖所示，
è 2
為了得到函數(shù) g x = Asin wx 的圖象，只需要將 y = f x 的圖象（ ）
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
3 3
π π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
6 6
（四）
三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
1、與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧
①結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間．
②確定函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將 ωx＋φ
看作一個(gè)整體，可令“z＝ωx＋φ”，即通過求 y＝Asinz 的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若
ω<0，則可利用誘導(dǎo)公式先將 x 的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū)間．
π
2、與正弦函數(shù) y＝sinx 比較可知，當(dāng) ωx＋φ＝2kπ± (k∈Z)時(shí)，函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值
2
π
或最小值，因此函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的對稱軸由 ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出，其對稱中心
2
kπ－φ
的橫坐標(biāo)由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即對稱中心為( ，0)(k∈Z)．同理 y＝Acos(ωx＋φ)ω
π
的圖象的對稱軸由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，對稱中心的橫坐標(biāo)由 ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出．
2
題型 4：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
π
4-1．（2024 高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 4sin wx + ÷ (w > 0)的部分圖象如圖所示，矩形
è 4
9π
OABC 的面積為 ．
2
(1)求 f (x) 的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
(2)先將 f (x)
5π
的圖象向右平移 24 個(gè)單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的
2 倍，縱坐標(biāo)縮小
1
為原來的 ，最后得到函數(shù) g(x)的圖象．若關(guān)于 x 的方程[g(x)]2 + (1- m)g(x) - m = 0在區(qū)間[0, p]上僅有 3 個(gè)
2
實(shí)根，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．
p p
4-2．（2024 高一下·四川南充·期中）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, - < j < ÷的部分圖像如圖
è 2 2
所示，且D 0, -1 π，VABC 的面積等于 .
2
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
(2)將 f x π圖像上所有的點(diǎn)向左平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) y = g x 的圖像，若對于任意的
4
x1, x2 π - m,m ，當(dāng) x1 > x2 時(shí)， f x1 - f x2 < g x1 - g x2 恒成立，求實(shí)數(shù)m 的最大值.
4-3．（2024 高一下·湖北黃岡·階段練習(xí)）函數(shù) f (x) = sin(wx +j) -1(w > 0,0 < j < π) 的圖象兩相鄰對稱軸之間
π π
的距離是 ，若將 f (x) 的圖象上每個(gè)點(diǎn)先向左平移 個(gè)單位長度，再向上平移 1 個(gè)單位長度，所得函數(shù) g(x)
2 12
為偶函數(shù)．
(1)求 f (x) 的解析式；
x é0, π ù(2)若對任意 ê ú ，[ f (x)]
2 - (2 + m) f (x) + 2 + m 0恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
3
4-4．（2024 高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù) f x = 2 3 cos2 x + sin x + cos x 2 -1.
(1)求函數(shù) f x 的最小正周期；
1
(2)將函數(shù) y = f x 的圖象向下平移 3個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函
2
y g x x é π , π數(shù) = 的圖象，當(dāng) ê-
ù
ú 時(shí)，若方程 g x - m = 0有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍. 12 6
π
4-5．（2024 高一下·江西贛州·期末）已如函數(shù) f x = 2cos 2x + ÷ +1．
è 3
π 5π
(1) é ù用“五點(diǎn)法”作出函數(shù) f x 在區(qū)間 ê- , 上的圖像； 6 6 ú
(2)將函數(shù) f x π的圖像向右平移 個(gè)單位長度，再將圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長為原來的 2 倍，縱坐標(biāo)
6
é π π ù
不變，得到函數(shù) g x 的圖像，求 g x 在區(qū)間 ê- , ú 上的取值范圍． 24 6
π
4-6．（2024 高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷在一個(gè)周期內(nèi)的
è 2
π π π
圖象經(jīng)過 A , 2÷，B - ,-2÷，且 f x 的圖象關(guān)于直線 x =
è 3 è 6 3
對稱．
(1)求 f x 的解析式；
x é3π(2)若存在 ê ,
7π ù
ú，使得不等式 f x 2a + 3成立，求 a 的取值范圍． 4 6
一、單選題
1．（2024 高二下·安徽安慶·期中）已知函數(shù) f x 1 sin2x 3= + cos2x，則將函數(shù) f x 的圖像向左平移
2 2
j 0
π
< j < ÷個(gè)單位后得到函數(shù) g x 的圖像， g x 圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（ ）
è 2
j π π π 5πA． = B．j = C．j = D．j =
12 6 3 12
2π π π
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）若函數(shù) f (x) = sin(wx
π
+ )(w é ù> 0) é ù
6 在 ê
0,
3 ú 上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在
- ,
ê 12 12ú
上單調(diào)

遞增，則w 的取值范圍是（ ）
11,4ù é11,4ù é11,17 11,17A ． B C
è 4 ú
． ．
ê 4 ú ê
D．
4 4 ÷ è 4 4 ÷
π
3．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 2sin wx + ÷ (w > 0)的最小正周期為 π，把函數(shù) f x 的圖
è 3
π
象向右平移 個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)函數(shù)解析式為（
6 ）
A． y = 2sin2x B． y = 2cos2x
C． y = 2sin
2x 2π+ y π ÷ D． = 2sin
2x +
è 3 ÷ è 6
π
4．（2024 高一下·廣東湛江·期中）要得到函數(shù) y = cos x - ÷的圖象，只要將函數(shù) y = cos x的圖象（6 ）è
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
3 3
π π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
6 6
π
5．（2024 高一上·新疆·期末）為了得到函數(shù) y = sin 2x - ÷ 的圖象，只要將函數(shù) y = sinx圖象上所有點(diǎn)的
è 5
（ ）
1 π
A．橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移 個(gè)單位長度
2 10
1 π
B．橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移 個(gè)單位長度
2 10
1 π
C．橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移 個(gè)單位長度
2 5
π
D．橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移 個(gè)單位長度
5
f x π= 2sin 2x + 56．（2024 高二上·浙江·開學(xué)考試）將函數(shù) ÷的圖象向左平移 π個(gè)單位長度，得到函數(shù)
è 4 6
y = g x 的圖象，則函數(shù) g x é π 3π ù在 x ê- ,8 8 ú時(shí)的值域?yàn)椋? ）
A． -2,1 B． -1,2
C． é ù é ù -2, 3 D． - 3,2
7．（2024 高二上·江蘇淮安·開學(xué)考試）把函數(shù) f x = sin 2x +j 0 < j < p π的圖象向左平移 個(gè)單位后，得
6
到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則j =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
8．（2024 高一下·四川綿陽·期中）為了得到函數(shù) f (x) = cos(2x
π
- )的圖象，只需要把函數(shù) y = cos x圖象
4
（ ）
1 π
A．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移 個(gè)單位
2 4
1
B π．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移 8 個(gè)單位2
π
C．先向左平移 個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍（縱坐標(biāo)不變）
4
D π．先向左平移 8 個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍（縱坐標(biāo)不變）
9．（2024 高二上·廣西貴港·開學(xué)考試）要得到函數(shù) y = cos πx -1 的圖象，需將函數(shù) y = cos πx 的圖象（ ）
1 1
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
π π
C．向左平移 1 個(gè)單位長度 D．向右平移 1 個(gè)單位長度
π
10．（2024

高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）要得到函數(shù) f x = sin 2x + ÷的圖象，可以將函數(shù)
è 3
g x = sin 2x
p
+ ÷的圖象（12 ）è
π
A π．向左平移 個(gè)單位 B．向左平移
4 8
個(gè)單位
π
C π．向右平移 個(gè)單位 D．向右平移 8 個(gè)單位4
f x sin wx π w 0 é 5π ù 5π , 5π ù11．（2024 高三上·山東·開學(xué)考試）已知函數(shù) = - ÷ > 在 ê0, 12 ú上單調(diào)遞增，在 上è 3 è 12 6 ú
π
單調(diào)遞減，將函數(shù) f x 的圖象向左平移j 0 < j < ÷個(gè)單位長度，得到函數(shù) g x 的圖象，若函數(shù) g x 為偶
è 2
函數(shù)，則j =（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
12．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = 2sin wx +j +1 π（w >1，j ），其圖像與直線 y = -1
2
π f x 1 x π , π 相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為 ，若 > 對于任意的 - ÷恒成立，則j 的取值范圍是（ ）
è 12 3

é π , π ù é π , π ù é π , π ù π π ùA．
ê
B C D ,
12 3 ú ． ê12 2 ú
．
ê
．
6 3 ú è 6 2 ú
π π
13．（2024 高三上·河南·階段練習(xí)）將函數(shù) f x = cos wx + ÷ (w > 0)的圖象向左平移 個(gè)單位長度后得到
è 4 3
函數(shù) y = sinwx的圖象，則正實(shí)數(shù)w 的最小值為（ ）
21 15 9
A． 4 B． C． D．24 4
14．（2024 高二·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù) f x = sin x +j π j < ÷的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)
è 2
y = sinx的圖象，只要把 y = f x 的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
π π
A．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度 B．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度
6 6
π π
C．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度 D．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度
3 3
π
15．（2024 高二上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < 2 ÷的部分圖象如圖è
π
所示，若將函數(shù) f x 的圖象向右平移 個(gè)單位，得到函數(shù) g x 的圖象，則（
6 ）
A． g(x) sin 2x
π
= + ÷ B． g(x) = sin
π
2x +

3 ÷è è 6
C． g(x) = sin 2x D． g(x) = sin
2x π- ÷
è 6
π
16．（2024 高三上·河南焦作·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = cos 3x - ÷，若將 y = f x 的圖象向左平移
è 10
m m > 0 個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則 m 的最小值為（ ）
π π 3π 8π
A． B． C． D．
10 5 10 15
二、多選題
17 2024 · ·
π ,0 f x sin wx π ．（ 高三上 江蘇南通 開學(xué)考試）已知 ÷是函數(shù) = + ÷ 0 < w < 3 3 的一個(gè)對稱中心，è è 3
則（ ）
A．w = 2
x πB． = 是函數(shù) f x 的一條對稱軸
6
f x πC．將函數(shù) 的圖像向右平移 單位長度后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱
6
D．函數(shù) f x é π在區(qū)間 ê- ,0
ù 3
上的最小值是
2 ú
-
2
18．（2024 高一下·廣東佛山·期中）已知函數(shù) f x = 2sin x cos x + 2 3 sin2 x，則（ ）
A． f x 的最小正周期為 π πB． - , 3

12 ÷是曲線
f x 的一個(gè)對稱中心
è
C． x
π
= - 是曲線 f x π 5π 的一條對稱軸 D． f x 在區(qū)間 ,
12 è 6 12 ÷
上單調(diào)遞增

π
19．（2024 高一下·遼寧鐵嶺·期中）如圖所示的曲線為函數(shù) f x = Acos wx -j （ A > 0 ，w > 0， j < ）
2
3 π
的部分圖象，將 y = f x 圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 ，再將所得曲線向右平移 8 個(gè)單位長度，2
得到函數(shù) y = g x 的圖象，則（ ）
g x é5π ,13π ù 3πA ．函數(shù) 在 ê 上單調(diào)遞減 B．點(diǎn) ,0 為 g x 圖象的一個(gè)對稱中心 24 24 ÷ ú è 8
x πC．直線 = 為 g x é3π圖象的一條對稱軸 D．函數(shù) g x 在 ê , π
ù
4 ú 上單調(diào)遞增4
f x 2sin wx j w 0, j π20．（2024 高一下·安徽馬鞍山·期末）已知函數(shù) = + > < ÷的部分圖象，則（ ）
è 2
A．w = 2
j πB． =
3
π
C．點(diǎn) ,0÷是 f x 圖象的一個(gè)對稱中心
è 6
f x 5πD． 的圖象向左平移 個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)
12
21．（2024 高二上·山西·階段練習(xí)）要得到函數(shù) f x = sin 2x π+ ÷的圖象，可以將函數(shù) g x = cos
π + 2x
è 6 6 ÷ è
的圖象（ ）
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
4 4
3π 3π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
4 4
π
22．（2024 高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = sin x +j (0 < j < 2π), g x = sin wx + 3 ÷ w > 0 ,è
1 π
若把 f x 的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 倍后，再將圖象向右平移 個(gè)單位，可以得到 g x ，則
2 6
下列說法正確的是（ ）
j 2A． = π
3
B． g x 的周期為 π
C． g x 7π 7π 的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為 ,
è 12 6 ÷
D． g x 1= 在區(qū)間 a,b 上有 5 個(gè)不同的解，則b - a的取值范圍為 (2π,3π]
2
23．（2024 高一下·云南昆明·期中）若函數(shù) f x = Asin 1 wx +j

÷ A > 0,w > 0,0 < j
π
<
2 2 ÷
在一個(gè)周期內(nèi)的圖
è è
象如圖所示，則正確的結(jié)論是（ ）
A． f x = 2sin 1 x π+ 3 3 ÷è
f x 7π- ,0 B． 的圖象的一個(gè)對稱中心為 2 ÷è
C． f x é 5π π ù的單調(diào)遞增區(qū)間是 ê3kπ - ,3kπ + ， k Z 4 4 ú
D．把 g x = 2sin x
π
+ 2的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，可得 f x 的圖象
è 3 ÷ 3
24．（2024 高一下·新疆伊犁·期末）函數(shù) f (x) = Asin wx +j A > 0,w > 0, j
π
< ÷的部分圖象如圖所示，下
è 2
列結(jié)論中正確的是（ ）
A． f x 的最小正周期為 2π
x 4πB．直線 = - 是函數(shù) f (x) 圖象的一條對稱軸
3
C．函數(shù) f (x)
é 5π π
的單調(diào)遞增區(qū)間為 ê- + kπ, + kπ
ù
12 12 ú
, k Z

π π
D．將函數(shù) f (x) 的圖象向右平移 個(gè)單位得到函數(shù) g(x) = sin
12
2x +
6 ÷
的圖象
è
π π
25．（2024 高一下·四川宜賓·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = Asin wx +j （ A > 0 ，w > 0，- < j < ）的部
2 2
分圖象如圖所示，則（ ）
A． f x 的最小正周期為 π
x é πB - ,
π ù é ù
．當(dāng) ê ú 時(shí)， f x
3 3
的值域?yàn)?br/>4 4 ê
- , ú
2 2
π
C ．為 f x +

÷是偶函數(shù)
è 6
5π
D．將 f x 的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn) , 06 ÷對è
稱
三、填空題
26．（2024 高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù) f x = Asin wx +j （A，w ，j 是常數(shù)，A > 0 ，w > 0）.若 f x
é p , pù f π f 5π f π在區(qū)間 ê 上具有單調(diào)性，且 = = -

，則 f x 的最小正周期是 ．
12 4 ú 4 ÷ ÷ è è 12 è12 ÷
27．（2024 高一下·江西宜春·期中）函數(shù) f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < 2π) 一個(gè)周期的圖象如圖所
示，則函數(shù) f x 的解析式為 .
π
28．（2024 高二上·湖南湘西·

階段練習(xí)）為了得到函數(shù) y = sin x + ÷的圖象，只需把函數(shù) y = cos x的圖象向
è 3
（填“左、右”）平移 個(gè)單位長度．
π
29．（2024 高二下·福建福州·期末）為了得到函數(shù) f x = sin 2x - 的圖象，只需將函數(shù) g x = cos2x 的圖
è 4 ÷
象向右平移 個(gè)單位長度．
π
30．（2024 高三·

全國·專題練習(xí)）將函數(shù) y = cos 2x + ÷的圖像向左平移j 個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)圖像
è 3
關(guān)于 y 軸對稱，則 j 的最小值為 .
四、解答題
π
31．（2024 高一下·山東聊城·期中）已知函數(shù) f (x) = 2sin(wx +j) -1 0 < w < 3,0 < j < ÷ ，滿足______．
è 2
(1)求 f (x) 的解析式，并寫出 f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間；
π 1
(2)把 y = f (x) 的圖象向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位，得到函數(shù) y = g(x) 的圖象，若 g(x)在區(qū)間
6 2
é π ù 3
ê- ,mú 上的最大值為 ，求實(shí)數(shù)m 的最小值． 3 2
π
在①函數(shù) f (x) 的一個(gè)零點(diǎn)為 0；②函數(shù) f (x) 圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為 ；
2
2π③ 函數(shù) f x 圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,-2÷，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并給出問
è 3
題的解答．
π
32．（2024

高三上·重慶銅梁·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = Asin wx +f , A > 0,w > 0, f < ÷的圖像上相鄰兩
è 2
π
條對稱軸的距離是 ， f x 的最大值與最小值之差為 1，且 f x 3π的圖像的一個(gè)對稱中心是 ,0

÷．4 è 16
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
é π ù
(2)若方程 f x = m在區(qū)間 ê0, ú 上有解，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍． 4
33．（2024 高一上·甘肅酒泉·期末）函數(shù) f x = Asin 2wx +j A > 0,w > 0，j
π
<
2 ÷的部分圖象如圖所示
.
è
(1)求 A，w ，j 的值；
π
(2)將函數(shù) f x 的圖象向右平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) g x 的圖象，若a 0, π ，且 g a = 2 ，求a 的
6
值.
34．（2024 高一上·福建寧德·期末）如圖，函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < π 的圖象經(jīng)過

P 0, 2
π 3π
÷÷，M - ,0÷， N ,02 ÷
三點(diǎn).
è è 4 è 4
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
f x 1 1(2)將函數(shù) 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)縮短到原來的 ，得到 g x 圖象.若
2 2
h x = f 2 x
π
- ÷ + g x ，求函數(shù) h x 的單調(diào)增區(qū)間.
è 8
π
35．（2024 高一下·四川南充· 階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 2sin(wx + j) w > 0,|j |< 2 ÷的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離è
π π
為 ，且（在下面兩個(gè)條件中任選擇其中一個(gè)，完成下面兩個(gè)問題）.條件①： f (x) 的關(guān)于 x = 對稱；條
2 6
π
件②：函數(shù) f x - 12 ÷ 為奇函數(shù).è
(1)求 f (x) 的解析式；
f (x) π(2)將 的圖象向右平移 個(gè)單位，然后再將橫坐標(biāo)伸長到原來 2 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) g(x)的圖
4
ép ù
象，若當(dāng) x ê , mú 時(shí)， g(x)的值域?yàn)閇-1,2]，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍. 6
1
36．（2024 高一下·上海長寧·期末）已知函數(shù) f (x) = 3 sinwx coswx + sin2 wx - （其中常數(shù)w > 0）的最小
2
正周期為 π．
(1)求函數(shù) y = f (x) 的表達(dá)式；
(2)作出函數(shù) y = f (x) ， x [0, π]的大致圖象，并指出其單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)將 y = f (x) 的圖象向左平移j(0 < j < π) 個(gè)單位長度得到函數(shù) y = g(x) 的圖象，若實(shí)數(shù) x1, x2 滿足
f x1 g x2 = -1
π
，且 x1 - x2 的最小值是 ，求j 的值．6
π
37．（2024 高一上·江蘇淮安·期末）已知函數(shù) f (x) = 2 cos(wx +j)(w > 0, j )的部分圖象如圖所示．
2
(1)求函數(shù) f (x) 的解析式；
(2) 1將函數(shù) f (x) 的圖象向左平移 4 個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變）得到
函數(shù) g(x)的圖象，若關(guān)于 x 的方程 g(x) + a = 0在區(qū)間[0,1]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
38．（2024 高一下·寧夏吳忠·階段練習(xí)）函數(shù) f x = Asin wx +j （A ，w ，j 為常數(shù)，且 A > 0 ，w > 0，
j π< ）的部分圖象如圖所示．
2
(1)求函數(shù) f x 的解析式及圖中 b 的值；
f x π(2)將 的圖象向左平移 個(gè)單位后得到函數(shù) y = g x 的圖象，求 g x é π ù在
6 ê
0, 上的單調(diào)減區(qū)間.
2 ú
π
39．（2024 高一下·湖北武漢·期中）已知函數(shù) f x = 3 sin wx +j w > 0, j < ÷的部分圖像，如圖所示．
è 2
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
(2)將函數(shù) f x π 1的圖像向右平移 個(gè)單位長度，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 ，縱坐標(biāo)不
3 2
變，得到函數(shù) g x 的圖像，當(dāng) x é π ùê0, ú 時(shí)，求函數(shù) g x 3 的值域．
p
40．（2024 高一上·江西贛州·期末）設(shè)函數(shù) f x = 2cos 2x - ÷ x R .
è 3
ép 7p ù
（1）在給定的平面直角坐標(biāo)系中，用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù) f x 在區(qū)間 ê , ú 上的簡圖(請先列表，再描點(diǎn) 6 6
連線)；
f q 1= sin q p 2cos q 5p （2）若 ÷ ，求 + ÷ + + 的值.
è 2 3 6 ÷è è 3
41．（2024 高一·全國·課堂例題）已知函數(shù) f (x) = 2sinwx coswx + 2 3 sin2 wx - 3(w > 0) 的最小正周期為π.
(1)求w 的值及函數(shù) f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間；
π
(2)將函數(shù) f (x) 的圖象先向左平移 個(gè)單位長度，再向上平移 1 個(gè)單位長度，得到函數(shù) y = g(x) 的圖象.若
6
y = g(x) 在[0,b](b > 0)上至少含有 10 個(gè)零點(diǎn)，求b 的最小值.
42．（2024 高一上·江蘇鹽城·期末）已知函數(shù) f x = Asin wx +j π，A > 0 ，w > 0，j < 的圖象如圖所示．
2
(1)求 f x 的解析式；
π
(2)設(shè) g x = f x + 2÷ -1若關(guān)于 x 的不等式 g x + 2m + 3 g x - m -10 0恒成立，求m 的取值范圍．
è 12
43．（2024 高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 2sin(wx +j) -1

0 < w < 3,0
π
< j < ÷ ，滿足______．
è 2
在：①函數(shù) f (x)
π
的一個(gè)零點(diǎn)為 0；②函數(shù) f (x) 圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為 ；③函數(shù) f x 圖象的一
2
2π
個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,-3÷，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并給出問題的解答．
è 3
(1)求 f (x) 的解析式；
(2)把 y = f (x)
π
的圖象向右平移 個(gè)單位，再向上平移 1 個(gè)單位，得到函數(shù) y = g(x) 的圖象，若 g(x)在區(qū)間
6
é π
ê- ,m
ù
ú 上的最大值為 2，求實(shí)數(shù)m 的最小值． 3
44．（2024 高一下·四川綿陽·期末）已知函數(shù) f x = sinxsin x π+ 3 6 ÷ - .è 4
(1)當(dāng) x 0, π 時(shí)，求函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間；
π
(2)將函數(shù) f x 的圖象先向左平移 個(gè)單位長度后，再把橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)
6
y = g x g q 1 ,cos a q 11的圖象.若 = + = - ，且q 為銳角，a +q 0,π ，求 cosa 的值.
3 14
45．（2024 高一下·新疆·期中）已知函數(shù) f x π= Asin wx +j + B A > 0, B > 0,w > 0, j < 2 ÷在一個(gè)周期內(nèi)的è
圖象如圖所示.
(1)求函數(shù) f x 的表達(dá)式；
2
(2)把 y = f x 的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 （縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向下平移一個(gè)單位，
3
π π π
再向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù) y = g x 的圖象，若 g a =1且- < a < ，求角a 的值.
36 3 3
46．（2024 高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j π< ÷的部分圖象如圖所示．
è 2
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
π 1
(2)將函數(shù) f x 的圖象先向右平移 個(gè)單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 （縱坐標(biāo)不變），得到函
4 2
數(shù) g x é π ù的圖象，若關(guān)于 x 的方程 g x - m = 0在 x ê0, ú 上有兩個(gè)不等實(shí)根 x1, x2 ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍， 4
并求 g x1 + x2 的值．
1
47．（2024 高一下·江西·期末）已知函數(shù) f x = sin2x + sin2x .
2
(1)求 f x 的最大值及相應(yīng) x 的取值；
π
(2)若把 f x 的圖象向左平移 個(gè)單位長度得到 g x 的圖象，求 g x 在 0, π 上的單調(diào)遞增區(qū)間.
3
48．（2024 高三上·寧夏·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 2 3sin x cos x + 2sin2 x ．
(1)若 f x = 0, x π - ,0

÷ ，求 x 的值；
è 2
π é π 2π ù
(2)將函數(shù) f (x) 的圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù) g(x)的圖象，求函數(shù) g(x)在 ê , ú 上的值域．3 12 3
π
49．（2024 高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = sin(2x - )．
6
(1)請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù) f (x) 在一個(gè)周期上的圖像（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；
x
2x π-
6
f (x)
(2)求 f (-x
π
+ )的單調(diào)遞增區(qū)間．
6
π
50．（2024 高一下·四川宜賓·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 2 sin 2x - 4 ÷
.
è
(1)利用“五點(diǎn)法”，完成如下表格，并畫出函數(shù) f (x) 在一個(gè)周期上的圖象；
2x π- _____ _____ _____ _____ _____
4
x _____ _____ _____ _____ _____
f (x) _____ _____ _____ _____ _____
p
(2) < a < p f (a ) 2若 且 = ，求 cos 2a 的值.2 3
51．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = 2sin π 2x - ÷， x R ．在用“五點(diǎn)法”作函數(shù) f x 的圖象
è 4
時(shí)，列表如下：
2x π-
4
x
f x
完成上述表格，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù) y = f x 在區(qū)間 0, π 上的圖象；
4 x π
52．（2024 高一下·北京·開學(xué)考試）已知函數(shù) y = sin
5
+ ÷ .
è 2 6
(1)試用“五點(diǎn)法”畫出它的圖象；
列表：
x
1 x π+
2 6
sin x π +

2 6 ֏
y
作圖：
4 x π
(2)從正弦曲線出發(fā)，如何通過圖象變換得到函數(shù) y = sin + 的圖象？（兩種方法）
5 è 2 6 ÷ 5.6 函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)4 題型分類
一、參數(shù) φ，ω，A 對函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響
(1)φ 對函數(shù) y＝sin(x＋φ)，x∈R 的圖象的影響
(2)ω(ω＞0)對 y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響
(3)A(A＞0)對 y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響
二、由函數(shù) y＝sinx 的圖象得到函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的途徑
由函數(shù) y＝sinx 的圖象通過變換得到 y＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種主要途徑：“先平移后伸
縮”與“先伸縮后平移”．
(1)先平移后伸縮
y sinx 向左 φ＞0 或 向右 φ＜0 ＝ 的圖象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(x＋φ)的圖象
平移|φ|個(gè) 單位長度
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?br/>― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sin(ωx＋φ)的圖象
縱坐標(biāo) 不變
縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍
― ― ― ― ― ― ― ― y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．
橫坐標(biāo) ― ― ― ― ― ― →不變
(2)先伸縮后平移
y sinx 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮?的圖象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝sinωx的圖象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移
縱坐標(biāo) 不變
|φ |個(gè)單位長度 y＝sin(ωx＋φ) 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍的圖象 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y＝Asin(ωx＋φ)的圖ω 橫坐標(biāo)不變
象．
三、函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)
定義域 (－∞，＋∞)
值域 [－A，A]
2π
周期 T＝
ω
當(dāng) φ＝kπ，k∈Z 時(shí)為奇函數(shù)
π
當(dāng) φ＝kπ＋ ，k∈Z 時(shí)為偶函數(shù)
奇偶性 2
kπ
當(dāng) φ≠ ，k∈Z 時(shí)為非奇非偶函數(shù)
2
kπ π φ
直線 x＝ ＋ － ，k∈Z
圖象的 ω 2ω ω
對稱軸 π
求法：令 ωx＋φ＝kπ＋ ，k∈Z 可求
2
kπ φ
圖象的對 對稱中心：（ － ，0），k∈Z
ω ω
稱中心
求法：令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z 可求
π π
單調(diào)性 求法：令－ ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z 可求單調(diào)遞增區(qū)間
2 2
π 3π
求法：令 ＋2kπ≤ωx＋φ≤ ＋2kπ，k∈Z 可求單調(diào)遞減區(qū)間
2 2
注意隱含條件：
1
(1)兩條相鄰對稱軸之間間隔為 個(gè)周期；
2
(2)函數(shù)在對稱軸處取得最大值或最小值．
對于函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)：
(1)A 越大，函數(shù)的最大值越大，最大值與 A 是正比例關(guān)系．
(2)ω 越大，函數(shù)的周期越小，ω 越小，周期越大，周期與 ω 為反比例關(guān)系．
（一）
“五點(diǎn)法”作圖
用“五點(diǎn)法”作函數(shù) f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的步驟
第一步：列表．
π 3π
ωx＋φ 0 π 2π
2 2
φ π φ π φ 3π φ 2π φ
x － － － － －
ω 2ω ω ω ω 2ω ω ω ω
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)．
第三步：用光滑曲線連接這些點(diǎn)，形成圖象．
為 y＝Asinx.
題型 1：“五點(diǎn)法”作圖
1-1．（2024 高一上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù) y = 3sin
1
x
π
-
è 2 3 ÷
1 π
(1)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù) y = 3sin x - ÷ 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
è 2 3
列表：
1 x π-
2 3
x
y = 3sin 1 x π- 2 3 ÷è
作圖：
(2)直接寫出函數(shù) y = 3sin
1
x
π
- ÷ 的值域和最小正周期．
è 2 3
【答案】(1)答案見解析；
(2)值域 -3,3 ，最小正周期為 4π .
【分析】（1）由正弦型函數(shù)解析式，列出一個(gè)周期內(nèi)五個(gè)點(diǎn)，在坐標(biāo)系中描點(diǎn)用平滑的曲線畫出函數(shù)圖象
即可；
（2）由正弦型函數(shù)性質(zhì)求值域，應(yīng)用最小正周期的求法求最小正周期．
【詳解】（1）列表:
x 2π 5π 8π 11π 14π
3 3 3 3 3
1 x π π 3π- 0 π 2π
2 3 2 2
y 0 3 0 -3 0
圖象如圖所示：
1 sin 1 x π 1 y 3sin 1 x π （2）因?yàn)? - ÷ ，則 = - -3,3 ，
è 2 3 è 2 3 ÷
T 2π= = 4π
故函數(shù)的值域?yàn)?-3,3 ，最小正周期為 1 .
2
π
1-2．（2024 高一下·北京海淀·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = sin 2x + ÷， x R ．
è 4
(1)列表，并在所給坐標(biāo)系中用五點(diǎn)法作出一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖像．
x
f x
(2)寫出 f x 的單調(diào)區(qū)間，對稱軸，對稱中心．
【答案】(1)答案見解析
é 3π(2)單調(diào)遞增區(qū)間為： êkπ - , kπ
π
+ ù éú ， k Z，單調(diào)遞減區(qū)間為： êkπ
π 5π
+ ,kπ + ù
8 8 8 8 ú
， k Z，對稱軸為

x 1 kπ π
1 π
= + ， k Z，對稱中心為 kπ - ,0÷， k Z2 8 è 2 8
【分析】（1）根據(jù)五點(diǎn)法列表、描點(diǎn)、連線作出函數(shù)圖象；
（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）列表：
x π- π 3π 5π 7π
8 8 8 8 8
2x π π 3π+ 0 π 2π
4 2 2
f x 0 1 0 -1 0
描點(diǎn)、連線如圖所示：
π
（2）令 2kπ - 2x
π 2kπ π 3π π+ + ， k Z，解得 kπ - x kπ + ， k Z，
2 4 2 8 8
從而可求得 f x é 3π的單調(diào)遞增區(qū)間為： êkπ - , kπ
π
+ ùú ， k Z， 8 8
2kπ π π 3π π 5π令 + 2x + 2kπ + ， k Z，解得 kπ + x kπ + ， k Z，
2 4 2 8 8
é π 5π ù
從而可求得 f x 的單調(diào)遞減區(qū)間為： êkπ + ,kπ + k Z 8 8 ú， ，
由 2x
π π 1 π
+ = kπ + ， k Z，解得 x = kπ + ， k Z，
4 2 2 8
1 π
可得 f x 的對稱軸方程為 x = kπ + ， k Z，
2 8
π 1 π
令 2x + = kπ ， k Z，解得： x = kπ - ， k Z，
4 2 8
則函數(shù) y sin
2x π= + 1 π ÷的圖象的對稱中心的坐標(biāo)是 kπ - ,0

÷， k Z．
è 4 è 2 8
π
1-3．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù) f x = 2sin 2x + ÷ 在 0, π 上
è 6
的大致圖像.
【答案】答案見解析
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式按照“五點(diǎn)法”的步驟，列表、描點(diǎn)、連線即可作出 f x 的圖象.
【詳解】列表：
x π 5π 2π 11π0 π
6 12 3 12
2x π π π π 3π 2π 13π+
6 6 2 2 6
y 1 2 0 -2 0 1
描點(diǎn)，連線，畫出 f x 在 0, π 上的大致圖像如圖：
1 π
1-4．（2024 高一下·云南昆明·階段練習(xí)）（1）利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù) y = sin( x + )在長度為一個(gè)周期的閉
2 6
區(qū)間的簡圖.
列表:
1 x π+
2 6
x
y
作圖:
（2）并說明該函數(shù)圖象可由 y = sin x(x R) 的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.
【分析】（1）利用“五點(diǎn)法”作圖，先列表確定五點(diǎn)的坐標(biāo)，后描點(diǎn)并畫圖；
（2）依據(jù)三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律求解.
【詳解】（1）先列表，后描點(diǎn)并畫圖.
1 x π π π 3π+ 0 2π
2 6 2 2
π 2π 5π 11π
x -
8π
3 3 3 3 3
y 0 1 0 -1 0
（2）把 y = sin x(x
π
R) π 的圖象上所有的點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，得到 y = sin x + ÷的圖象，再把所得圖象的6 è 6
1 π
點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變），得到 y = sin( x + )的圖象.
2 6
π
1-5．（2024 高一下·新疆烏魯木齊·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = sin 2x - ÷
è 6
(1)請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù) f x 在一個(gè)周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；
x π 5π
3 6
2x π- 2π
6 0
f x 0
f x é π , π(2) ù求 在區(qū)間 ê12 2 ú上的最大值和最小值及相應(yīng)的 x 值.
【答案】(1)答案見解析；
π
(2) x = 時(shí)， f x 取最小值 0； x π= 3 時(shí)， f x 取最大值 1.12
π π 3π
【分析】（1）根據(jù)五點(diǎn)作圖法，分別令 2x - = 0, , π, , 2π 即可；
6 2 2
（2
π
）求出 2x - 6 的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求其最大值，最小值.
π π 3π
【詳解】（1）分別令 2x - = 0, , π, , 2π ，可得：
6 2 2
π π 7π 5π 13π
x
12 3 12 6 12
π π 3π2x - 0 π 2π6 2 2
f x 0 1 0 -1 0
畫出函數(shù) f x 在一個(gè)周期的圖像如圖所示：
（2）因?yàn)?x
π π π 5π
é ù é ùê , 12 2 ú
，所以 2x - 0,6 ê 6 ú
，

所以當(dāng) 2x
π 0 x π- = ，即 = 時(shí)， f x 取最小值 0；
6 12
當(dāng) 2x
π π
- = π，即 x = 3 時(shí)，
f x 取最大值 1.
6 2
（二）
三角函數(shù)圖象變換
三角函數(shù)圖象的平移變換
(1)左右平移
已知 φ>0，平移規(guī)律為“左加右減”，即：
①若將函數(shù) y＝sinx 的圖象沿 x 軸向右平移 φ 個(gè)單位長度，則得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝
sin(x－φ)．
②若將函數(shù) y＝sinx 的圖象沿 x 軸向左平移 φ 個(gè)單位長度，則得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝
sin(x＋φ)．
(2)上下平移
已知 k>0，平移規(guī)律為“上加下減”，即：
①若將函數(shù) y＝sinx的圖象沿 y軸向上平移 k個(gè)單位長度，則得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝sinx＋
k.
②若將函數(shù) y＝sinx的圖象沿 y軸向下平移 k個(gè)單位長度，則得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝sinx－
k.
(3)橫向伸縮
已知 ω>0，橫向伸縮規(guī)律為“伸縮倍數(shù)乘倒數(shù)”：將函數(shù) y＝sinx 圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(當(dāng)
1
0<ω<1 時(shí))或縮短(當(dāng) ω>1 時(shí))到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的函數(shù)圖象的解析式為 y＝sinωx.
ω
(4)縱向伸縮
已知 A>0，縱向伸縮規(guī)律為“伸縮倍數(shù)乘倍數(shù)”：將函數(shù) y＝sinx 圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng) A>1
時(shí))或縮短(當(dāng) 0題型 2：三角函數(shù)的圖象變換
π
2-1．（2024 高一下·上海嘉定· 期中）把函數(shù) y = cos 3x + ÷的圖像適當(dāng)變動(dòng)就可以得到 y = sin -3x 圖像，這
è 4
種變動(dòng)可以是（ ）
π π π π
A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移
4 4 12 12
【答案】D
π
【分析】根據(jù)圖象變換的規(guī)則及三角公式先將 y = sin(-3x)變成 y = cos

3x +

÷ ，再提取系數(shù) 3，由平移的規(guī)
è 2
則研究即可.
【詳解】Q y = sin(-3x) = cos

3x
π π π π+ ÷ = cos3

2
x +
6 ÷
， y = cos 3x + ÷ = cos3 x + ÷，
è è è 4 è 12
\ πy = cos 3x + π函數(shù) ÷的圖象向左平移 可以得到 y = sin(-3x)的圖象.
è 4 12
故選：D
2024 · · g x = cos 2x f x = cos π 2-2．（ 高一下 天津紅橋 期末）為了得到函數(shù) 的圖象，可以將函數(shù) 2x + 的
è 3 ÷
圖象（ ）
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
3 3
π π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
6 6
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則直接判斷即可.
π
【詳解】對于 A， f x + ÷ = cos
é2 x π+ π ùê ÷ + ú = cos 2x + π = -cos 2x g x ，A 錯(cuò)誤；è 3 è 3 3
π é π π ù π
對于 B， f x - 3 ÷
= cos ê2 x - 3 ÷
+
è è 3 ú
= cos 2x - ÷ g x ，B 錯(cuò)誤；
è 3
π é π π ù 2π
對于 C， f x + ÷ = cos ê2 x + ÷ + ú = cos 2x + ÷ g x ，C 錯(cuò)誤；è 6 è 6 3 è 3
π
對于 D， f x - ÷ = cos
é2 x π π ù -

÷ + = cos 2x = g x ，D 正確.
è 6 ê è 6 3 ú
故選：D.
π
2-3．（2024 高三上·陜西西安·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = 2sin wx +j 的圖象向左平移 個(gè)單位長度后得到
6
函數(shù)
y = sin 2x + 3 cos 2x的圖象，則 φ 的可能值為（　　）
π π π
A．0 B． C． D．
6 3 12
【答案】A
【分析】根據(jù)輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象變換性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】 y = sin 2x 3 cos 2x 2sin
2x π+ = +

3 ÷
，
è
函數(shù) f x = 2sin wx +j π的圖象向左平移 個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象解析式為：
6
f x π + = 2sin
wx πw+ +j ，
è 6 ÷ ÷ è 6
ìw = 2

所以有 í πw π j = 2kπ k Z ，
+j = 2kπ + k Z 6 3
顯然只有選項(xiàng) A 符合，
故選：A
2-4 2024 · · f x 1 sin2x 3．（ 高二下 廣東廣州 期末）要得到函數(shù) = + cos2x的圖像，只需把函數(shù) g x = cos2x
2 2
的圖像（ ）
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
6 6
π π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
12 12
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由輔助角公式可得 f x = cos 2 π x -

，然后結(jié)合三角函數(shù)的平移變換，即可得到結(jié)
è 12 ÷
果.
1 3 π π
【詳解】因?yàn)?f x = sin2x + cos2x = cos 2x -2 2 6 ÷ = cos 2 x - ÷，è è 12
即只需要把函數(shù) g x = cos 2x π的圖像向右平移 個(gè)單位長度即可.
12
故選：D
π
2-5．（2024 高三上·吉林·期中）已知曲線 C1： y = 2sinx，C2： y = 2sin(2x + )，則錯(cuò)誤的是（ ）3
1 π
A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度，2 6
得到曲線C2
C 1 5πB．把 1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長2 6
度，得到曲線C2
π 1C．把C1向左平行移動(dòng) 3 個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不2
變，得到曲線C2
C π 1D．把 1向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，縱坐標(biāo)不6 2
變，得到曲線C2
【答案】D
【分析】利用函數(shù) y = Asin wx+j 的圖象變換規(guī)律對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可.
C 1 π【詳解】對于 A. 1上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，得到 y = 2sin2x，再向左平移 個(gè)單位長度，得到2 6
y = 2sin2 x+ π =2sin 2x+ π ÷ ÷ ，正確；
è 6 è 3
1 5π
對于 B. C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，得到 y = 2sin2x，再向右平移 個(gè)單位長度，得到2 6
y = 2sin 2 x 5p- ÷ =2sin

2x
5π
- ÷ =2sin

2x
5π
- +2π ÷ = 2sin

2x
π
+ ÷，正確；
è 6 è 3 è 3 è 3
π 1
對于 C. C π 1向左平移 3 個(gè)單位長度，得到 y = 2sin x+ ÷ ，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，得到è 3 2
y = 2sin 2x+
π
3 ÷
，正確；
è
π π 1
對于 D. C 1向左平移 個(gè)單位長度，得到 y = 2sin x+ ÷ ，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍，得到6 è 6 2
y = 2sin 2x+
π
÷，錯(cuò)誤.
è 6
故選：D
（三）
求三角函數(shù)的解析式
求函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)解析式的方法
若設(shè)所求解析式為 y＝Asin(ωx＋φ)，則在觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定 A，ω，
φ.
(1)由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|.
2π
(2)由函數(shù)圖象與 x 軸的交點(diǎn)確定 T，由 T＝ ，確定 ω.
|ω|
(3)確定函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)中 φ 的值的兩種方法：
①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí) A，ω 已知，最好是代入圖象與 x 軸的交點(diǎn))求解(此
時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．
φ
②五點(diǎn)對應(yīng)法：確定 φ 值時(shí)，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)(－ ，0)作為突破口．ω
注：“五點(diǎn)”的 ωx＋φ 的值具體如下：
“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與 x 軸的交點(diǎn))為 ωx＋φ＝0；
π
“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為 ωx＋φ＝ ；
2
“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與 x 軸的交點(diǎn))為 ωx＋φ＝π；
3π
“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為 ωx＋φ＝ ；
2
“第五點(diǎn)”為 ωx＋φ＝2π.
題型 3：求三角函數(shù)的解析式
3-1．（2024 高一下·江蘇徐州·期中）已知函數(shù) f (x) = Asin(wx +j)

A > 0,w > 0,|j |
p
< ÷ 的部分圖象如圖所示．
è 2
(1)求函數(shù) f (x) 的解析式；
p
(2)將 y = f (x) 圖象上所有點(diǎn)先向右平移 個(gè)單位長度，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍，得到函數(shù) y = g(x) ，求
6
y p= g(x) é0, ù在 ê ú上的值域． 2
【答案】(1) f (x) = sin

2x
p
+
è 6 ÷
(2)[-1,2]
【分析】（1）由函數(shù)圖像最大值得A ，利用周期算w ，代圖像上的點(diǎn)計(jì)算j ，得函數(shù) f (x) 的解析式；
（2）由函數(shù)圖像的變換求 g(x)的解析式，由函數(shù)定義區(qū)間，利用解析式和正弦函數(shù)的性質(zhì)求值域.
2π π T 1 2π
【詳解】（1）由圖形可得 A =1， - = = × ，解得w = 2，
3 6 2 2 w
∵ y = f (x)
π
過點(diǎn) ,1

÷，∴ sin

2
π
+j ÷ =1
π π
，即 +j = + 2kπ(k Z) ，
è 6 è 6 3 2
p π
∴j π= + 2kπ(k Z)．又∵ |j |<6 ，∴j = ．2 6
∴ f (x) = sin 2x
π
+ ÷．
è 6
π
（2）解：由（1）知 f (x) = sin 2x + 6 ÷
，
è
將 y = f (x)
π
圖像上所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位長度，再將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍，
6
g(x) 2sin 2 x π π 2sin 2x π得到 = - ÷ + ÷ = -

÷ ，
è è 6 6 è 6
x é0, π ù π é π 5π ù∵
π é 1 ù
ê 2 ú
，∴ 2x - - , ，∴ sin 2x - - ,1
6 ê 6 6 ú 6 ÷ è ê 2 ú
∴ g(x) [-1,2]
所以 g(x)的值域?yàn)閇-1,2]
π
3-2．（2024 高一下·遼寧鐵嶺·

階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = Asin(wx +j) x R, A > 0,w > 0,|j |< ÷ 的部分圖象
è 2
如圖所示.
(1)求 f (x) 的最小正周期及解析式；
(2)將函數(shù) y = f (x)
π é π ù
的圖象向右平移 個(gè)單位長度得到函數(shù) y = g(x) 的圖象，求函數(shù) g(x)在區(qū)間 ê0,6 2 ú
上的最

大值和最小值.
π
【答案】(1)T = π ， f x = sin 2x + ÷
è 6
1, 1(2) - .
2
T
【分析】（1）由圖象可知 A =1，相鄰的對稱中心和對稱軸距離相差 ，再代入關(guān)鍵點(diǎn)可得解析式；
4
é π ù
（2）根據(jù)圖象的變換得到 y = g(x) 解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得其在區(qū)間上 ê0, 最值. 2 ú
【詳解】（1）由圖象可知 y = f (x) 的最大值為 1，最小值-1，故 A =1；
T 2π 5π π 2π
又 = - = = ∴w = 2，
4 3 12 4 4w
2π ,-1 將點(diǎn) ÷代入 y = f (x) ， f (
2π) = sin 4π +j ÷ = -1
è 3 3 è 3
4π j 3π π∴ + = + 2kπ,j= + 2kπ，
3 2 6
π π
∵ j < ∴j =2 6
π
故答案為：T = π ， f x = sin 2x + ÷ .
è 6
π é π π ù π
（2）由 y = f (x) 的圖象向右平移 個(gè)單位長度得到函數(shù) g(x) = sin ê2 x - ÷ + ú = sin 2x -6 6 6 ÷ è è 6
é
∵ x ê0,
π ù
2 ú
2x π π 5π∴ -
é
ê- ,
ù
6 6 6 ú
π 1
∴當(dāng) 2x
π π
- = - 時(shí)，即 x = 0， sin 2x -

÷ = -6 6 è 6
；
min 2
2x π π當(dāng) - = π時(shí)，即 x = ， sin
2x π-
6 2 3 ÷
=1.
è 6 max
π
3-3．（2024 高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分圖象如圖所示.
è 2
(1)求 f x ；
(2)將函數(shù) y
π
= f x π é ù圖象向左平移 個(gè)單位，得到函數(shù) y = g x 的圖象，求 g x 在
12 ê
0, ú 上的值域. 3
π
【答案】(1) f x = 2sin 2x +
è 3 ÷
(2) -1,2
【分析】（1）根據(jù) f x 的圖象，依次求得 A,w,j 的值，從而求得 f x .
π
（2
é ù
）根據(jù)三角圖象變換的知識求得 g x ，根據(jù)三角函數(shù)值域的求法求得 g x 在 ê0, ú 上的值域. 3
【詳解】（1）由最大值可確定 A = 2，
T 7π π π 2π
因?yàn)?= - = ，所以w = = 2，
2 12 12 2 T
π
此時(shí) f x = 2sin 2x +j ，函數(shù) f x 圖象過點(diǎn) , 212 ÷ ，è
π
可得： sin +φ÷ =1
π π
，從而 +j = + 2kπ k Z ，
è6 ÷ 6 2
j π j π結(jié)合 < ，可得 = ，
2 3
所以 f x = 2sin 2x π+ ÷ .
è 3
（2）由題意， g x f x π= + ÷ = 2sin
é
ê2
π π ù
x + ÷ + ú = 2sin

2x
π
+
12 12 3 2 ÷
= 2cos2x，
è è è
當(dāng) x
π 2π
é0, ù é ùê 時(shí)， 2x 0, ，則有 cos 2x
1
é- ,1ù，
3ú ê 3 ú ê 2 ú
g x é0, π ù所以 在區(qū)間 ê ú 上的值域?yàn)?-1,2 . 3
π
3-4．（2024 高一下·廣東佛山·期中）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分圖象如圖所示，
è 2
為了得到函數(shù) g x = Asin wx 的圖象，只需要將 y = f x 的圖象（ ）
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
3 3
π π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
6 6
【答案】D
【分析】首先根據(jù)已知條件求出w 與j 以及A 的值，進(jìn)而確定 f x 的解析式， 再結(jié)合三角函數(shù)的平移規(guī)律
進(jìn)行解答即可.
1 π π π 2π
【詳解】由圖像知， A = 2， T = - = ，\T = π，即w = = 2，
4 3 12 4 T
由圖可知， 2sin
π
2 +j

÷ = 2 ，
è 12
π π
\ +j = + 2kπ k Z ，
6 2
j π π\(zhòng) = + 2kπ k Z ，又 j < ，
3 2
\j π= ，
3
\ f x = 2sin 2x
π
+ ÷ = 2sin
é2 x π ù+
3 ê 6 ÷
，
è ú è
\ f x π向右平移 可得函數(shù) g x = Asin wx .6
故選：D.
（四）
三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
1、與正弦、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧
①結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間．
②確定函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將 ωx＋φ
看作一個(gè)整體，可令“z＝ωx＋φ”，即通過求 y＝Asinz 的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若
ω<0，則可利用誘導(dǎo)公式先將 x 的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)，再求單調(diào)區(qū)間．
π
2、與正弦函數(shù) y＝sinx 比較可知，當(dāng) ωx＋φ＝2kπ± (k∈Z)時(shí)，函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)取得最大值
2
π
或最小值，因此函數(shù) y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的對稱軸由 ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出，其對稱中心
2
kπ－φ
的橫坐標(biāo)由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，即對稱中心為( ，0)(k∈Z)．同理 y＝Acos(ωx＋φ)ω
π
的圖象的對稱軸由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出，對稱中心的橫坐標(biāo)由 ωx＋φ＝kπ＋ (k∈Z)解出．
2
題型 4：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用
f (x) 4sin wx π 4-1．（2024 高一下·河南南陽·階段練習(xí)）已知函數(shù) = + ÷ (w > 0)的部分圖象如圖所示，矩形
è 4
9π
OABC 的面積為 ．
2
(1)求 f (x) 的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
(2)先將 f (x)
5π
的圖象向右平移 24 個(gè)單位長度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的
2 倍，縱坐標(biāo)縮小
1
為原來的 ，最后得到函數(shù) g(x)的圖象．若關(guān)于 x 的方程[g(x)]2 + (1- m)g(x) - m = 0在區(qū)間[0, p]上僅有 3 個(gè)
2
實(shí)根，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．
é 3π π ù
【答案】(1)T = π ， êkπ - , kπ + ú ， k Z ． 8 8
(2)[1,2)．
【分析】
（1）根據(jù)矩形的面積公式，結(jié)合正弦型最小正周期公式和正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)，結(jié)合因式分解法、正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由 f (x) 的解析式可知 | OC |= 4，
矩形OABC 的面積為 | OC |
9π
× | OA |= ，所以 | OA |
9π
= ．
2 8
9π π 5π π
根據(jù)點(diǎn) B 在 f (x) 的圖象上的位置知w + = ，得w = 2．所以 f (x) = 4sin 2x + ．
8 4 2 4 ֏
f (x) 2π 2π的最小正周期為T = = = π2 ．w
2kπ π 2x π 2kπ π kπ 3π π令 - + + ， k Z ，得 - x kπ + ， k Z ，
2 4 2 8 8
é 3π
所以 f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 êkπ - , kπ
π
+ ùú ， k Z ． 8 8
5π
（2）將 f (x) 的圖象向右平移 24 個(gè)單位長度，
5π
所得曲線對應(yīng)的函數(shù)為 y = f (x - ) = 4sin
2x π- ÷，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍，24 è 6
1 π π
縱坐標(biāo)縮小為原來的 ，所得曲線對應(yīng)的函數(shù)為 y = 2sin x - ÷，即 g(x) = 2sin x - ．2 ÷è 6 è 6
由[g(x)]2 + (1- m)g(x) - m = 0得[g(x) +1][g(x) - m] = 0，即 g(x) = -1或 g(x) = m．
作出 g(x)在[0, p]上的大致圖象如圖所示：
易知方程 g(x) = -1在[0, p]上僅有一個(gè)實(shí)根．
要使原方程在[0, p]上僅有 3 個(gè)實(shí)根，則須方程 g(x) = m在[0, p]上有 2 個(gè)實(shí)根，
即直線 y = m與曲線 y = g(x) 在[0, p]上有 2 個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合圖象可知須1 m < 2．即m 的取值范圍是[1,2)．
p p
4-2．（2024 高一下·四川南充·期中）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, - < j < ÷的部分圖像如圖
è 2 2
所示，且D 0, -1 π，VABC 的面積等于 .
2
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
π
(2)將 f x 圖像上所有的點(diǎn)向左平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) y = g x 的圖像，若對于任意的
4
x1, x2 π - m,m ，當(dāng) x1 > x2 時(shí)， f x1 - f x2 < g x1 - g x2 恒成立，求實(shí)數(shù)m 的最大值.
【答案】(1) f x = 2sin 2x
π
-
6 ֏
13π
(2)
24
T
【分析】（1）VABC 的面積求出 BC ，即 ，可求出w ，圖像過點(diǎn)D 0, -1 ，求出j ，可得函數(shù)解析式；
2
（2）由函數(shù)圖像的平移，求出 g x 解析式，設(shè)h x = f x - g x ，化簡函數(shù)解析式，依題意 h x 在區(qū)間
π - m, m 上單調(diào)遞減，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求m 的最大值.
【詳解】（1）由題意可得 A = 2，
S 1 1 πVABC = BC × yA = BC × 2 = ，2 2 2
T 2π π
所以 = = BC =2 2 w 2 ，由w > 0解得w = 2，所以 f x = 2sin 2x +j ，
圖像過點(diǎn)D 0, -1 f x = 2sinj = -1 π j π π，則 ，又因?yàn)? < < ，所以j = - ，
2 2 6
所以 f x = 2sin 2x
π
- 6 ÷ ，è
é π π ù π
（2）由題意可得 g x = 2sin ê2 x +
- = 2cos ÷ ú 2x -

÷，
è 4 6 è 6
設(shè) h x = f x - g x = 2sin 2x π π -

÷ - 2cos

6
2x - ÷
è è 6
π π 5π
= 2 2sin 2x - - = 2 2sin 6 4 ÷
2x - ÷ ,
è è 12
x1, x2 π - m,m ，當(dāng) x1 > x2 時(shí)， f x1 - f x2 < g x1 - g x2 恒成立，
即 f x1 - g x1 < f x2 - g x2 恒成立，即 h x1 < h x2 恒成立，
\h x 在區(qū)間 π - m, m 上單調(diào)遞減，
π 2kπ 2x 5π 3π 11π 23π令 + - + 2kπ ，解得 + kπ x + kπ, k Z，
2 12 2 24 24
因?yàn)?π - m < m m
π
，所以 > ，則 π - m
π
< ，
2 2
ìπ m 11π - 24 π 13π
故 í 23π ，解得
< m ，
m 2 24
24
所以m
13p
最大值為 .
24
4-3．（2024 高一下·湖北黃岡·階段練習(xí)）函數(shù) f (x) = sin(wx +j) -1(w > 0,0 < j < π) 的圖象兩相鄰對稱軸之間
π π
的距離是 ，若將 f (x) 的圖象上每個(gè)點(diǎn)先向左平移 個(gè)單位長度，再向上平移 1 個(gè)單位長度，所得函數(shù) g(x)
2 12
為偶函數(shù)．
(1)求 f (x) 的解析式；
x é0, π ù(2)若對任意 ê ú ，[ f (x)]
2 - (2 + m) f (x) + 2 + m 0恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
3
π
【答案】(1) f x = sin 2x +
-1
è 3 ÷

(2) - ,
5
- ù
è 2 ú
【分析】（1）由已知利用周期計(jì)算w ，再根據(jù) g(x)為偶函數(shù)可得j ，即可得函數(shù)解析式；
（2）參數(shù)分離，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù) m 的范圍
2π π
【詳解】（1）由 = 2 ，得w = 2，則 f x = sin 2x +j -1，
w 2
g x = sin é2 x π+ +j ù -1 π+1 = sin 2x + +j 則 ê 12 ÷ ú 6 ÷為偶函數(shù)，所以 g 0 =1， è è
又0 < j
π
< π π ，所以j = ，故 f x = sin 2x + ÷ -1；3 è 3
（2）因?yàn)?x
π π π π
é ù é ù
ê
0, 2x + , π sin 2x + 0,1
3ú ，所以 ， ， 3 ê 3 ú ÷ è 3
故-1 f x 0，-2 f x -1 -1，
而 é f x
2
ù - 2 + m f x + 2 + m 0 恒成立，
即 é f
2
x ù - 2 f x + 2 é f x -1 ù m，
1
整理可得m + f x -1f x -1 ，令 t = f x -1， t -2, -1 ，
設(shè) n t 1= + t， t -2, -1 ，
t
設(shè) t1 ， t2 -2, -1 且 t1 < t2 ，
則 n t1 - n t2
1
= + t 1 t t -1- - t = t - t × 1 2
t 1 t 2 1 21 2 t
，
1t2
由于 t1 - t2 < 0 ， t1t2 >1，則 n t1 - n t2 < 0，所以 n t1 < n t2 ，
1 5
即 n t = + t在區(qū)間 -2, -1 上單調(diào)遞增，故 n t = n -2 = -
t min
，
2
5 5m ù故 - 2 ，即實(shí)數(shù) m 的取值范圍是
- ,- ．
è 2 ú
4-4．（2024 高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù) f x = 2 3 cos2 x + sin x + cos x 2 -1.
(1)求函數(shù) f x 的最小正周期；
1
(2)將函數(shù) y = f x 的圖象向下平移 3個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函
2
數(shù) y = g x é π π ù的圖象，當(dāng) x ê- , ú 時(shí)，若方程 g x - m = 0有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍. 12 6
【答案】(1) π；
(2) 0,2 .
【分析】（1）由三角恒等變換可得 f x = 2sin 2x
π
+ ÷ + 3 ，故可求最小正周期；
è 3
π π
（2

）由三角函數(shù)的圖象變換可得 g x = 2sin 4x + ÷ ，令 t = 4x + 0, π ，可轉(zhuǎn)化為 y = m與 y = 2sin t 的
è 3 3
圖象在 t 0, π 上有兩個(gè)交點(diǎn), 畫出 y = 2sin t 在 t 0, π 上的圖象，由圖象即可求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.
【詳解】（1） f x 2 1+ cos 2x= 2 3 cos x + sin x + cos x 2 -1 = 2 3 × + 2sin x cos x
2
= sin 2x + 3 cos 2x 3 2sin 2x π+ = +

÷ + 3 ,
è 3
2π
故函數(shù) f x 的最小正周期為 = π .
2
π
（2）將函數(shù) y = f x 的圖象向下平移 3個(gè)單位長度，得到 y = 2sin 2x + ÷的圖象，
è 3
1 π
再把橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），得到 g x = 2sin 4x + 的圖象.
2 è 3 ÷
當(dāng) x
π π
é- , ù π πê ú 時(shí)， 4x + 0, π ，令 t = 4x + 0, π , 12 6 3 3
x é π π當(dāng) ê- ,
ù
ú 時(shí),方程 g x - m = 0有兩個(gè)不等的實(shí)根， 12 6
即 y = m與 y = 2sin t 的圖象在 t 0, π 上有兩個(gè)交點(diǎn),
畫出 y = 2sin t 在 t 0, π 上的圖象如圖所示：
由圖可得0 m < 2，
故實(shí)數(shù)m 的取值范圍為 0,2 .
π
4-5．（2024 高一下·江西贛州·期末）已如函數(shù) f x = 2cos 2x + 3 ÷ +1．è
(1)用“五點(diǎn)法”作出函數(shù) f x é π , 5π在區(qū)間 - ù
ê 6 6 ú
上的圖像；

(2)將函數(shù) f x π的圖像向右平移 個(gè)單位長度，再將圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長為原來的 2 倍，縱坐標(biāo)
6
é π π ù
不變，得到函數(shù) g x 的圖像，求 g x 在區(qū)間 ê- , ú 上的取值范圍． 24 6
【答案】(1)圖像見解析
(2) é 3 +1,3ù
【分析】（1）根據(jù)題意列出“五點(diǎn)法”對應(yīng)的表格，從而得解；
（2）利用三角函數(shù)平移伸縮變換的性質(zhì)得到 g x 的解析式，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】（1）依題意，列表如下：
x π π π 7π 5π-
6 12 3 12 6
2x π 0 π+ π 3 π 2π
3 2 2
f x 3 1 -1 1 3
所以數(shù) f x é π 5π在區(qū)間 ê- ,
ù
ú 上的圖象如下： 6 6
.
π
（2）因?yàn)?f x = 2cos 2x + ÷ +1，
è 3
所以將函數(shù) f x π é的圖像向右平移 個(gè)單位長度，可得到 y = 2cos ê2
x π π ù - ÷ + ú +1 = 2cos 2x +1的圖像，6 è 6 3
再將得到的圖像上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都伸長為原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，可得到 g x = 2cos x +1的圖像，
π π
因?yàn)? x 3，所以 cos x 1，則
24 6 3 +1 2cos x +1 32
故 g(x)的取值范圍是 é 3 +1,3ù .
4-6．（2024 高三上·河北邢臺·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w
π
> 0, j < ÷在一個(gè)周期內(nèi)的
è 2
π π π
圖象經(jīng)過 A , 2÷，B - ,-2÷，且 f x 的圖象關(guān)于直線 x = 3 對稱．è 3 è 6
(1)求 f x 的解析式；
(2)若存在 x
é3π 7π ùê , ú，使得不等式 f x 2a + 3成立，求 a 的取值范圍． 4 6
【答案】(1) f x = 2sin 2x
π
- ÷
è 6
5
(2) é- , +
ê 2 ÷
π π
【分析】（1）由T = π ，從而得到w 2 A

= ，代入 , 2÷，求出j = - ，得到函數(shù)解析式；
è 3 6
2 x é
3π , 7π ù 2x π é4π ,13π- ù 5π （ ）先根據(jù) ê ú得到 ê ú，從而確定 f x 的最小值為 f ÷ = -2，從而得到 4 6 6 3 6 è 6
2a + 3 -2 ，求出答案.
【詳解】（1）由題意可得 A = 2，T 2
éπ π ù
= ê -

3
- ÷ = π ，w > 0，
è 6 ú
2π
因?yàn)門 = ，所以w = 2．
w
π π
因?yàn)?A , 2÷在 f x 的圖象上，所以 f ÷ = 2sin
2 π +j

÷ = 2 ，
è 3 è 3 è 3
2π
所以 +j = 2kπ
π
+ k Z π，所以j = 2kπ - k Z ．
3 2 6
π
因?yàn)?|j |
p π
< ，所以只有j = - 滿足要求，故 f x = 2sin 2x -

；
2 6 ֏ 6
é3π 7π ù π é4π 13π ù
（2）因?yàn)?x ê , ú，所以 2x - ê , ú． 4 6 6 3 6
2x π 3π 5π- = x = f x f 5π 當(dāng) ，即 時(shí)， 取得最小值，最小值為
6 2 6 6 ÷
= -2．
è
é3π
因?yàn)榇嬖?x ê ,
7π ù
ú，使得不等式 f x 2a + 3成立，所以 f x 2a + 3 4 6 min ，
2a 5 é
5
即 + 3 -2 ，解得 a - ，即 a 的取值范圍為 ê- , + 2 ÷
．
2
一、單選題
1．（2024 高二下· 1安徽安慶·期中）已知函數(shù) f x = sin2x 3+ cos2x，則將函數(shù) f x 的圖像向左平移
2 2
j 0 j π < <

÷個(gè)單位后得到函數(shù) g x 的圖像， g x 圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，則（ ）
è 2
j π j π j π j 5πA． = B． = C． = D． =
12 6 3 12
【答案】C
π π
【分析】先通過輔助角公式將函數(shù) f x 化為 sin 2x + ÷，然后將其的圖像向左平移j 0 < j <3 ÷個(gè)單位后è è 2
g x =sin 2x π+ 2j + π得到函數(shù) ÷，由于 g x 圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得 2j + = kπ,k Z ，再根據(jù)j 的范圍即
è 3 3
可求解.
Q f x 1【詳解】 = sin2x 3+ cos2x
2 2
\ f x 1= sin2x 3+ cos2x = sin 2x
π
+ ，
2 2 ֏ 3
\將函數(shù) f x π 的圖像向左平移j 0 < j < ÷個(gè)單位后得到函數(shù) g x 的圖像，
è 2
即 g x = sin éê2 x +j
π
+ ùú = sin

2x + 2j
π
+ ÷，
3 è 3
g x 2j π kπ π又 圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得 + = kπ,k Z ，即j = - ， k Z，
3 2 6
Q π 0 < j π< \ j =2 ， .3
故選：C.
2π π π
2．（2024·河南·模擬預(yù)測）若函數(shù) f (x) = sin(wx
π
+ )(w > 0) é在 ê0,
ù é ù
6 3 ú 上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，且在 ê
- ,
12 12ú 上單調(diào)
遞增，則w 的取值范圍是（ ）
A
11,4ù 11 11 17 11 17． ú B
é , 4ù C é , ．
è 4 ê ú
． ê D． ,4 4 4 ÷ ÷ è 4 4
【答案】B
é0, 2π ù 2π π é π π ù【分析】有函數(shù)在 ê 3 ú 區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)可知
2π w × + < 3π
3 6 ，由
f (x) 在 ê- ,12 12ú 上單調(diào)遞增可求出
w 的取值范圍，然后聯(lián)立即可求出答案.
【詳解】解：由題意得：
Q f (x) sin(wx π 2π函數(shù) = + )(w > 0) é在 ê0,
ù
6 3 ú 上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，
\ 2π w 2π π × + < 3π
3 6 ，
11 17
解得： w < ①，
4 4
π π
又Q f (x)
é ù
在 ê- ,12 12ú 上單調(diào)遞增，
ì π π π
- w + -
12 6 2
π w π π\(zhòng)í + ，解得：12 6 2 0 w > 0

é11 ù
由①②式聯(lián)立可知w 的取值范圍是 ê , 4 4 ú
.

故選：B
π
3．（2024·四川南充·模擬預(yù)測）已知函數(shù) f x = 2sin wx + ÷ (w > 0)的最小正周期為 π，把函數(shù) f x 的圖
è 3
π
象向右平移 個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)函數(shù)解析式為（
6 ）
A． y = 2sin2x B． y = 2cos2x
C． y = 2sin
2x 2π+ ÷ D． y = 2sin
2x π +

3 6 ÷è è
【答案】A
【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)最小正周期公式求出w = 2，在根據(jù)左加右減求出平移后的解析式.
2π
【詳解】因?yàn)閣 > 0，所以 = π，故w = 2，
w
f x = 2sin 2x π+ 則 ÷，
è 3
π y 2sin é2 x π π ù則向右平移 個(gè)單位長度后得到 = ê - ÷ + ú = 2sin 2x .6 è 6 3
故選：A
π
4．（2024 高一下·廣東湛江·期中）要得到函數(shù) y = cos x - 6 ÷
的圖象，只要將函數(shù) y = cos x的圖象（ ）
è
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
3 3
π π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
6 6
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的相位變換可得.
π
【詳解】由三角函數(shù)圖象的相位變換可知，將函數(shù) y = cos x的圖象向右平移 個(gè)單位長度所得圖象的解析式
6
為 y
π
= cos x -

÷ .
è 6
故選：D
π
5．（2024 高一上·新疆·期末）為了得到函數(shù) y = sin 2x - ÷ 的圖象，只要將函數(shù) y = sinx圖象上所有點(diǎn)的
è 5
（ ）
1 π
A．橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移 個(gè)單位長度
2 10
1 π
B．橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移 個(gè)單位長度
2 10
1 π
C．橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移 個(gè)單位長度
2 5
π
D．橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向右平移 個(gè)單位長度
5
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律分析判斷即可
【詳解】將 y = sinx
1
圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)不變，得 y = sin2x，
2
π y = sin π 再把得到的圖象向右平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) 2x - 的圖象．10 è 5 ÷
故選：A

6．（2024 高二上·浙江·開學(xué)考試）將函數(shù) f x = 2sin 2x
π
+ 5÷的圖象向左平移 π個(gè)單位長度，得到函數(shù)
è 4 6
y = g x 的圖象，則函數(shù) g x x é π , 3π - ù在 ê 8 8 ú時(shí)的值域?yàn)椋? ）
A． -2,1 B． -1,2
C． é-2, 3ù D． é - 3,2ù
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求出函數(shù) y = g x 的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解即可.
f x 2sin π【詳解】函數(shù) = 5 2x + ÷的圖象向左平移 π個(gè)單位長度，
è 4 6
得到函數(shù) y = g x = 2sin é2 x 5+ π π ù 23ê ÷ + ú = 2sin 2x + π

÷ = 2sin
2x π-
6 4 12 12 ÷
,
è è è
x é π , 3π ù 2x π é π , 2π因?yàn)? - , - -
ù
ê , 8 8
所以
ú 12 ê 3 3 ú
所以 2sin
π
2x - ÷ é- 3,2ù ,
è 12
故選:D.
π
7．（2024 高二上·江蘇淮安·開學(xué)考試）把函數(shù) f x = sin 2x +j 0 < j < p 的圖象向左平移 個(gè)單位后，得
6
到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則j =（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
【分析】利用圖象的平移變換，得平移后的函數(shù)解析式，由函數(shù)為偶函數(shù)，可求j 的值.
【詳解】函數(shù) f x = sin 2x +j 0 < j < p π的圖象向左平移 個(gè)單位后，
6
y sin é2 x π j ù sin 2x π得函數(shù) = ê + + = + +j

的圖像，
è 6
÷ ú è 3
÷

π π π
由函數(shù)為偶函數(shù)，則有 +j = + kπ k Z ，即j = + kπ k Z ，
3 2 6
π
又0 < j < p ，所以j = .
6
故選：A
π
8．（2024 高一下·四川綿陽·期中）為了得到函數(shù) f (x) = cos(2x - )的圖象，只需要把函數(shù) y = cos x圖象
4
（ ）
1 π
A．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移 個(gè)單位
2 4
1
B π．先將橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移 8 個(gè)單位2
π
C．先向左平移 個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍（縱坐標(biāo)不變）
4
D π．先向左平移 8 個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍（縱坐標(biāo)不變）
【答案】B
【分析】利用三角函數(shù)的伸縮變換和平移變換求解.
1
【詳解】解：先將函數(shù) y = cos x圖像橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變）得到 y = cos 2x，
2
π π
再向右平移 8 個(gè)單位得到
f (x) = cos(2x - )的圖像；
4
π 1
或者將函數(shù) y = cos x圖像向右平移 個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變）可得到
4 2
f (x) π= cos(2x - )的圖像.
4
故選：B
9．（2024 高二上·廣西貴港·開學(xué)考試）要得到函數(shù) y = cos πx -1 的圖象，需將函數(shù) y = cos πx 的圖象（ ）
1 1
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
π π
C．向左平移 1 個(gè)單位長度 D．向右平移 1 個(gè)單位長度
【答案】B
【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識求得正確答案.
é 1 ù
【詳解】由于 y = cos πx -1 = cos êπ x - ÷ ，
è π
ú

所以將函數(shù) y = cos πx
1
的圖象向右平移 個(gè)單位長度得到 y = cos
éπ x 1 ùê - ÷ú = cos πx -1 的圖象．π è π
故選：B
π
10．（2024 高三上·

湖北武漢·階段練習(xí)）要得到函數(shù) f x = sin 2x + ÷的圖象，可以將函數(shù)
è 3
g x = sin 2x
p
+ ÷的圖象（12 ）è
π
A π．向左平移 個(gè)單位 B．向左平移 8 個(gè)單位4
π
C π．向右平移 個(gè)單位 D．向右平移 8 個(gè)單位4
【答案】B
f x = sin 2x π sin é+ = 2 π π ù【分析】 ÷ ê x + ÷ +è 3 è 8 12 ú，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換即可求解.
【詳解】因?yàn)?f x π é π π ù= sin 2x + ÷ = sin ê2

x + ÷ + ,
è 3 ú è 8 12
p π
所以將函數(shù) g x = sin 2x + ÷的圖象向左平移 個(gè)單位可得到函數(shù) f x = sin 2x
π
+
8 ÷的圖象.è 12 è 3
故選:B.
11．（2024 高三上·山東·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = sin wx π- w > 0 é 5π 5π ÷ 在 ê0,
5π ù ù
12 ú上單調(diào)遞增，在
, 上
è 3 è 12 6 ú
單調(diào)遞減，將函數(shù) f x 的圖象向左平移j 0
π
< j < ÷個(gè)單位長度，得到函數(shù) g x 的圖象，若函數(shù) g x 為偶
è 2
函數(shù)，則j =（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得出極值點(diǎn)，列出等式與不等式，求出w ，再由圖象平移及誘導(dǎo)公式得解.
f x sin wx π w 0 é 5π ù 5π , 5π ù【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) = - ÷ > 在 ê0, 12 ú上單調(diào)遞增，在è 3 è 12 6 ú 上單調(diào)，
ì5π w π 2kπ π - = + , k Z
ì
w
24k
= + 2, k Z
12 3 2 5
所以 í π 5π ，即 í 12 ，解得
w = 2，
0 < w
w 12 5
由題意， g x = sin[2(x j) π+ - ] = sin(2x + 2j π- )，
3 3
π
因?yàn)楹瘮?shù) g x 為偶函數(shù)， 0 < j < 2 ，
所以 2j
π π
- = ，解得j
5π
= .
3 2 12
故選：D
12．（2024高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = 2sin wx +j +1 π（w >1，j ），其圖像與直線 y = -1
2
相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為 π，若 f x 1 π π> 對于任意的 x - , ÷恒成立，則j 的取值范圍是（ ）
è 12 3
A é
π , π ù π πB é , ù C é
π , π ù π π ù． ê D12 3 ú ． ê12 2 ú ． ê ú ．
,
6 3 è 6 2 ú
【答案】C
π π
【分析】依題意可得T = π ，從而求出w

，則當(dāng) x - ,

÷時(shí)， sin(2x +j) > 0，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性
è 12 3
質(zhì)，求得j 的取值范圍．
【詳解】 函數(shù) f (x) = 2sin(wx +j) +1，令 f (x) = -1，可得 sin(wx + j) = -1，
由于 f (x) 的圖象與直線 y = -1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為 π，
\T 2π= = π，\w = 2， f (x) = 2sin(2x +j) +1．
w
若 f (x)
π
>1 對任意 x - ,
π π π
÷恒成立，則當(dāng) x - , ÷時(shí)， sin(2x +j) > 0，
è 12 3 è 12 3
ì
2 (
π
- ) +j 2kπ
12
因此， í ,k Z，解得 2kπ
π
+ j 2kπ π+ k Z
π 6 3
， ，
2 +j 2kπ + π
3
π π π é π π ù
因?yàn)?j ，所以 j ，即j , ．
2 6 3 ê 6 3 ú
故選：C.
π
13．（2024 高三上·河南·階段練習(xí)）將函數(shù) f x = cos wx + ÷ (w > 0)
π
的圖象向左平移 個(gè)單位長度后得到
è 4 3
函數(shù) y = sinwx的圖象，則正實(shí)數(shù)w 的最小值為（ ）
21 15 9
A． 4 B． C． D．24 4
【答案】B
【分析】由圖象變換和三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可得答案.
f x π cos éw x π π ù cos wx wπ π 【詳解】由題意 + ÷ = + ÷ + = + + ÷ = sinwx．
è 3 ê è 3 4
ú
è 3 4
wπ π π
所以 + = - + 2kπ k Z 9，得w = - + 6k, k 9 15 Z ．又w > 0，所以正實(shí)數(shù)w 的最小值為- + 6 = ．
3 4 2 4 4 4
故選：B．
π
14．（2024 高二·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù) f x = sin x +j j < ÷的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)
è 2
y = sinx的圖象，只要把 y = f x 的圖象上所有的點(diǎn)（ ）
π π
A．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度 B．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度
6 6
π π
C．向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長度 D．向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度
3 3
【答案】D
【分析】由題中函數(shù)圖象，結(jié)合五點(diǎn)法作圖及j 的取值范圍可求得j 的值，利用三角函數(shù)圖象變換可得出結(jié)
論.
π π
【詳解】根據(jù)題中函數(shù) f x 的部分圖象，結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得 +j = + 2kπ k Z ，
6 2
π π π π
故j = + 2kπ k Z ，又 j < ，故j = ，所以 f x = sin
3 2 3
x + ÷，
è 3
π
為了得到函數(shù) y = sinx的圖象，只要把 y = f x 的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長度即可．
3
故選：D．
π
15．（2024 高二上·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分圖象如圖
è 2
π
所示，若將函數(shù) f x 的圖象向右平移 個(gè)單位，得到函數(shù) g x 的圖象，則（
6 ）
A． g(x)
π π
= sin 2x + ÷ B． g(x) = sin
2x +
3 6 ÷è è
C． g(x) = sin 2x D． g(x) = sin
2x π- 6 ÷è
【答案】C
f x f (x) = sin 2x π+ 【分析】利用函數(shù)圖象可求出 的解析式為 3 ÷，再根據(jù)平移規(guī)則可得 g(x) = sin 2x .è
3 3π 5π π
【詳解】由圖象可知， T = = - ，解得ω = 2；
4 2ω 6 12
由振幅可知 A =1；
5π ,0 f 5π 將 ÷代入可得 ÷ = Asin
5π π π
6 6
2 +j ÷ = 0，又 j < ，即可得j = ，
è è è 6 2 3
因此 f (x)
π
= sin 2x + 3 ÷，è

易知 g(x)
π
= f (x- ) = sin π÷ π÷
6
2 x- ÷+ ÷ = sin 2x ，è è 6 ÷ 3÷÷
故選：C.
π
16．（2024 高三上·河南焦作·開學(xué)考試）已知函數(shù) f x = cos 3x - ÷，若將 y = f x 的圖象向左平移
è 10
m m > 0 個(gè)單位長度后所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則 m 的最小值為（ ）
π π 3π 8π
A． B． C． D．
10 5 10 15
【答案】B
【分析】先平移得出函數(shù)解析式，再根據(jù)奇偶性結(jié)合范圍求參即可.
π
【詳解】 f x = cos 3x - ÷的圖象向左平移 m 個(gè)單位長度后，得到的圖象對應(yīng)函數(shù) g x = cos
è 10
é3 x m πê + -
ù
ú = cos

3x + 3m
π
-
10 10 ÷
，
è
因?yàn)?y = g x 的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，
3m π π所以 - = kp + k Z m kπ π，即 = + k Z ，
10 2 3 5
π
因?yàn)閙 > 0，故當(dāng) k = 0時(shí)，m 取得最小值 ．
5
故選：B.
二、多選題
π
17 ．（2024 高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）已知 ,0÷是函數(shù) f x = sin
wx π+
3 3 ÷
0 < w < 3 的一個(gè)對稱中心，
è è
則（ ）
A．w = 2
π
B． x = 是函數(shù) f x 的一條對稱軸
6
C．將函數(shù) f x π的圖像向右平移 單位長度后得到的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱
6
D f x é π- ,0ù 3．函數(shù) 在區(qū)間 ê 上的最小值是- 2 ú 2
【答案】AC
π π
【分析】A 選項(xiàng)，待定系數(shù)法得到w = 2；B 選項(xiàng)，代入 x = ，判斷出 x = 不是函數(shù) f x 的一條對稱軸；
6 6
C 選項(xiàng)，利用左加右減求出平移后的解析式，得到其為奇函數(shù)，C 正確；D 選項(xiàng)，利用整體法求出函數(shù)的最
值.
π π π π
【詳解】A 選項(xiàng)，由題意得 sin w + ÷ = 0，故 w + = kπ,k Z，
è 3 3 3 3
1 4
解得w = 3k -1,k Z，又0 < w < 3，故0 < 3k -1 < 3，解得 < k < ，
3 3
又 k Z，故 k =1，所以w = 2，A 正確；
B 選項(xiàng)， f x π= sin π π π π 3 2x + ÷，當(dāng) x = 時(shí)， f ÷ = sin +
= ，
è 3 6 ÷è 6 è 3 3 2
π
故 x = 不是函數(shù) f x 的一條對稱軸，B 錯(cuò)誤；
6
π é π π ù
C 選項(xiàng)，將函數(shù) f x 的圖像向右平移 個(gè)單位長度后得到 g x = sin ê2 x - ÷ + ú = sin 2x，6 è 6 3
由于 g x 的定義域?yàn)?R，且 g -x = sin -2x = -sin 2x = -g x ，
故 g x 為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，C 正確；
π π é 2π π ù
D é ù選項(xiàng)， x ê- ,0 時(shí)， 2x + - , ， 2 ú 3 ê 3 3 ú
由于 y
2π
= sin z é在 z ê- ,
π ù π
3 3 ú的最小值為-1，當(dāng)且僅當(dāng)
z = - 時(shí)，等號成立，
2
故 f x é π ù在區(qū)間 x ê- ,0ú的最小值是-1，D 錯(cuò)誤. 2
故選：AC
18．（2024 高一下·廣東佛山·期中）已知函數(shù) f x = 2sin x cos x + 2 3 sin2 x，則（ ）
A． f x π B π的最小正周期為 ． - , 3

÷是曲線 f x 的一個(gè)對稱中心
è 12
π π 5π
C． x = - 是曲線 f x 的一條對稱軸 D． f x 在區(qū)間
12
,
è 6 12 ÷
上單調(diào)遞增

【答案】ACD
π 2π
【分析】A

選項(xiàng)，利用三角恒等變換得到 f x = 2sin 2x - ÷ + 3，故利用T = w 求出最小正周期；BC 選è 3
π π π π
項(xiàng)，代入 x = - ，由函數(shù)值判斷出 x = - 是 f x 的一條對稱軸；D 選項(xiàng)，求出 2x - 0, ，數(shù)形結(jié)
12 12 3 ֏ 2
合得到 f x π 5π 在區(qū)間 ,6 12 ÷上單調(diào)遞增.è
【詳解】A 選項(xiàng)， f x = 2sin x cos x + 2 3 sin2 x = sin 2x - 3 cos 2x π+ 3 = 2sin 2x -
+ 3 ，
è 3 ÷
2π
故 f x 的最小正周期為 = π，A 正確；
2
π
B 選項(xiàng)，當(dāng) x
π
= - 時(shí)， f - ÷ = 2sin
π π- - ÷ + 3 = -2 + 3，12 è 12 è 6 3
π
故 - , 3 f x 12 ÷不是曲線 的一個(gè)對稱中心，B 錯(cuò)誤；è
π
C 選項(xiàng)，當(dāng) x = - 時(shí)， 2sin

2x
π
- ÷ = 2sin
π π- - π π
12 3 6 3 ÷
= -2，故 x = - 是 y = 2sin 2x -12 ÷
的一條對稱軸，
è è è 3
也是 f x 的一條對稱軸，C 正確；
x π , 5π 2x π- 0, π y = sin z z 0, π D 選項(xiàng)， ÷時(shí)， ÷，由于 在 ÷上單調(diào)遞增，
è 6 12 3 è 2 è 2
故 f x π 5π 在區(qū)間 , ÷上單調(diào)遞增，D 正確.
è 6 12
故選：ACD
π
19．（2024 高一下·遼寧鐵嶺·期中）如圖所示的曲線為函數(shù) f x = Acos wx -j （ A > 0 ，w > 0， j < ）
2
3 π
的部分圖象，將 y = f x 圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 ，再將所得曲線向右平移 8 個(gè)單位長度，2
得到函數(shù) y = g x 的圖象，則（ ）
g x é5π ,13π ù 3πA ．函數(shù) 在 ê ú上單調(diào)遞減 B．點(diǎn) ,024 24 8 ÷為 g x 圖象的一個(gè)對稱中心 è
π
C．直線 x = 為 g x 3π圖象的一條對稱軸 D．函數(shù) g x é ù在
4 ê
, π 上單調(diào)遞增
4 ú
【答案】CD
【分析】由圖象求出三角函數(shù)的表達(dá)式，通過分析該函數(shù)的的性質(zhì)，即可得出選項(xiàng).
【詳解】由圖象知 A = 2 ,
π 2π
∵ +6 3 5π= ,
2 12
∴ f (x)
5π
的一個(gè)最低點(diǎn)為 ,-2÷ ,
è 12
∵ f (x)
2π 2π
的最小正周期為 T = - 0 = ,
3 3
∴ w
2π
= = 3 .
T
5π
∵ f ÷ = 2cos 3
5π
-j 5π ÷ = -2 , 則 cos 3 -j ÷ = -1,
è 12 è 12 è 12
5π
∴ -j = π + 2kπ(k
π
Z) , 即 j = - 2kπ(k Z) ,
4 4
∵ |j |
π
< ,
2
π
∴j = , 4
∴ f (x) = 2cos

3x
π
-
4 ÷
.
è
將函數(shù) y = f (x)
3 π
圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 得： y = 2cos 2x - ÷ 的圖象, 再把所得曲線2 è 4
π y 2cos 2x π 向右平移 個(gè)單位長度得 ： = - ÷ = 2sin 2x，即 g(x) = 2sin 2x8 . è 2
π π π π
由 - + 2kπ 2x + 2kπ(k Z) 得 , - + kπ x + kπ(k Z) ,
2 2 4 4
π 2kπ 2x 3π由 + + 2kπ(k Z)得, π + kπ x 3π + kπ(k Z)，
2 2 4 4
g(x) é π π ù é π 3π ù∴ 在 ê- + kπ, + kπú (k Z) 上單調(diào)遞增, 在 ê + kπ, + kπú (k Z)上單調(diào)遞減， 4 4 4 4
x é5π ,13π ù g(x) é5π , π ù é π ,13π∴當(dāng)
ù
ê ú 時(shí), 可知 在 ê ú 上單調(diào)遞增, 在 ê ú 上單調(diào)遞減， 24 24 24 4 4 24
∴A 錯(cuò)誤；
B 項(xiàng)，
g 3π 2sin 2 3π 3π∵ ÷ = = 2sin = 2 ,
è 8 è 8 ÷ 4
3π∴ ,08 ÷不是
g(x)圖象的一個(gè)對稱中心, 故 B 錯(cuò)誤；
è
C 項(xiàng)，
g π π∵ ÷ = 2sin 2

÷ = 2 ,
è 4 è 4
π
∴直線 x = 是 g(x)圖象的一條對稱軸，故 C 正確；
4
D 項(xiàng)，
∵ g(x)
é3π
在 ê ,
5π ù
ú上單調(diào)遞增, C 4 4
∴函數(shù) g(x) é
3π , πù在 ê ú 上單調(diào)遞增, 故 D 正確. 4
故選：CD.
π
20．（2024 高一下·

安徽馬鞍山·期末）已知函數(shù) f x = 2sin wx +j w > 0, j < ÷的部分圖象，則（2 ）è
A．w = 2
π
B．j =
3
π
C．點(diǎn) ,0

÷是 f x 6 圖象的一個(gè)對稱中心è
5π
D． f x 的圖象向左平移 個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)
12
【答案】ACD
5π π
【分析】A 選項(xiàng)，根據(jù)圖象得到最小正周期，從而求出w = 2；B 選項(xiàng)，代入 ,2 j = - C
è 12 ÷
，求出 ； 選
3
π
項(xiàng)，得到函數(shù)解析式，求出 f ÷ = 0 ，故 C 正確；D 選項(xiàng)，求出平移后的解析式，利用函數(shù)奇偶性定義得
è 6
到答案.
1 5π π π
【詳解】A 選項(xiàng)，由圖象可得到函數(shù)最小正周期 T = - - ÷ = ，故T = π ，2 12 è 12 2
2π
因?yàn)閣 > 0，所以 = π，解得w = 2，A 正確；
w
5π
B 選項(xiàng)，將 ,2
5π
12 ÷ 代入解析式得
2sin 2 +j ÷ = 2，
è è 12
π π
因?yàn)?j < ，解得j = - ，B 錯(cuò)誤；
2 3
C 選項(xiàng)， f x = 2sin 2x π- π ÷，故 f ÷ = 2sin
π π
-

÷ = 0，
è 3 è 6 è 3 3
π
故點(diǎn) ,0÷是 f x 6 圖象的一個(gè)對稱中心，C 正確；è
f x 5π 5π π πD 選項(xiàng)， 的圖象向左平移 個(gè)單位后得到 g x = 2sin 2x + -

÷ = 2sin

2x +

÷ = 2cos 2x，12 è 6 3 è 2
因?yàn)?g x = 2cos 2x的定義域?yàn)?R，且 g -x = 2cos -2x = 2cos 2x = g x ，
故 g x = 2cos 2x為偶函數(shù)，D 正確.
故選：ACD
π π
21．（2024

高二上·山西·階段練習(xí)）要得到函數(shù) f x = sin 2x + ÷的圖象，可以將函數(shù) g x = cos + 2x
è 6 ÷ è 6
的圖象（ ）
π π
A．向左平移 個(gè)單位長度 B．向右平移 個(gè)單位長度
4 4
3π 3π
C．向左平移 個(gè)單位長度 D．向右平移 個(gè)單位長度
4 4
【答案】BC
π
【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式及圖象平移規(guī)則易知右平移 個(gè)單位長度可得 f x 的圖象，再根據(jù)周期為 π
4
即可得出正確選項(xiàng).
g x cos π 2x é π= + π ù 2π é π π ù【詳解】由 ÷ = sin ê + + 2x ÷ú = sin 2x + ÷ = sin ê2

6 2 6
x + ÷ + ú，è è è 3 è 4 6
可知將函數(shù) g x π的圖象向右平移 個(gè)單位長度，
4
sin é2 x π π π ù+ - + = sin 2x π+ 可得 ê ÷ ÷ = f x ，即可得函數(shù) f x 的圖象，
è 4 4 6 ú è 6
又由函數(shù) g x 2π π 3π的最小正周期為T = = π ，可知向右平移 個(gè)單位長度與向左平移 個(gè)單位長度效果相同；
2 4 4
所以選項(xiàng) BC 正確.
π é π π π ù π
若向左平移 個(gè)單位長度，可得 sin ê2 x + + ÷ + ú = -sin 2x + ÷ f x ，故 A 錯(cuò)誤；4 è 4 4 6 è 6
3π é π 3π π ù π
若向右平移 個(gè)單位長度，可得 sin ê2 x + - ÷ + ú = -sin

2x +

÷ f x ，故 D 錯(cuò)誤；4 è 4 4 6 è 6
故選：BC.
π
22．（2024 高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = sin x +j (0 < j < 2π), g x = sin wx + ÷ w > 0 ,
è 3
若把 f x 1 π的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的 倍后，再將圖象向右平移 個(gè)單位，可以得到 g x ，則
2 6
下列說法正確的是（ ）
j 2A． = π
3
B． g x 的周期為 π
g x 7π , 7π C． 的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為 ÷
è 12 6
D． g x 1= 在區(qū)間 a,b 上有 5 個(gè)不同的解，則b - a的取值范圍為 (2π,3π]
2
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)平移和伸縮變換得到 g(x)解析式，對比可得 ω 和 φ 的值，從而求得 g(x)解析式，從而可
判斷 AB；根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性可判斷 C，數(shù)形結(jié)合可判斷 D．
【詳解】 f x = sin x +j 1橫向壓縮 得， y = sin 2x +j ；
2
π π
再右移 個(gè)單位得， y = sin 2x - +j

6 3 ÷
，
è
ì π π
- +j = + 2kπ k Z ,
∴ í 3 3
w = 2,
ìw = 2,
又0 < j < 2π

，∴ í 2π 故 A 選項(xiàng)正確；
j = , 3
π
∴ g x = sin 2x + ÷，
è 3
2π
∴周期T = = π ，故 B 選項(xiàng)正確；
2
x 7π 7π π 3π 8π 8π 5π由

,

÷得， 2x +

,

÷ , > ,故 C 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
è 12 6 3 è 2 3 3 2
g x 1= 在區(qū)間 a,b 上有 5 個(gè)不同的解，由函數(shù)圖象可知，區(qū)間 a,b 的長度大于兩個(gè)周期，小于等于 3 個(gè)
2
周期，故b - a (2π,3π]，故 D 選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
1 π
23．（2024 高一下·云南昆明·期中）若函數(shù) f x = Asin wx +j ÷ A > 0,w > 0,0 < j < 在一個(gè)周期內(nèi)的圖
è 2 ÷ è 2
象如圖所示，則正確的結(jié)論是（ ）
A． f x = 2sin 1 x π +

è 3 3 ÷
f x 7πB． 的圖象的一個(gè)對稱中心為 - ,0

2 ֏
C． f x é的單調(diào)遞增區(qū)間是 ê3kπ
5π
- ,3kπ π+ ùú ， k Z 4 4
g x = 2sin x π+ 2D．把 ÷的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，可得 f x 的圖象
è 3 3
【答案】BC
【分析】根據(jù)圖象求得 f x 的解析式，利用代入驗(yàn)證法判斷 f x 的對稱中心，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求
法求得 f x 的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識確定 D 選項(xiàng)的正確性.
T π π 3π= - = ,T = 3π 2π ,w 4= =
【詳解】由圖可知 A = 2， 4 4 4 1 w 3 ，所以 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
2
f x = 2sin 2 x +j ÷ , f x = 2sin
2 π× +j = 2sin π ÷ +j

÷ = 2，
è 3 è 3 4 è 6
π π
0 π π π 2π< j < , < +j < ，所以 +j = ,j
π
= , f x = 2sin 2 x π+ ，
2 6 6 3 6 2 3 ֏ 3 3
f 7π -

÷ = 2sin
7π 2 π
- +

2 ÷
= 0，所以 B 選項(xiàng)正確.
è è 2 3 3
由 2kπ
π 2 x π 2kπ π- + + , k 5π π Z，解得3kπ - x 3kπ + , k Z，
2 3 3 2 4 4
所以 f x é3kπ 5π的單調(diào)遞增區(qū)間是 ê - ,3kπ
π
+ ùú ， k Z，C 選項(xiàng)正確. 4 4
把 g x = 2sin x
π
+ 2 3 π ÷的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到 g x = 2sin x + ÷ f x ，
è 3 3 è 2 3
所以 D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
π
24．（2024

高一下·新疆伊犁·期末）函數(shù) f (x) = Asin wx +j A > 0,w > 0, j < ÷的部分圖象如圖所示，下
è 2
列結(jié)論中正確的是（ ）
A． f x 的最小正周期為 2π
x 4πB．直線 = - 是函數(shù) f (x) 圖象的一條對稱軸
3
C．函數(shù) f (x)
é 5π
的單調(diào)遞增區(qū)間為 ê- + kπ,
π
+ kπùú , k Z 12 12
π π
D．將函數(shù) f (x) 的圖象向右平移 個(gè)單位得到函數(shù) g(x) = sin 2x + ÷的圖象12 è 6
【答案】CD
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出函數(shù)解析式一一判定選項(xiàng)即可.
7π π 3 3 2π
【詳解】由圖象可得 A =1， - - = T = × w = 2 ，12 è 6 ÷ 4 4 w
f π - ÷ = sin
π π π π
è 6
2 - ÷ +j
è 6 ÷
= 0 j = kπ + k Z ，又 j < ，故j = ，
è 3 2 3
所以 f (x) = sin 2x
π
+ .
è 3 ÷
顯然 A 錯(cuò)誤；
f 4π sin 2 4π π π 3對于 B 項(xiàng)， - ÷ = -
+ = sin
3 3 ÷
- ÷ = - ，不是對稱軸，故 B 錯(cuò)誤；
è è è 3
÷
è 3 2
對于 C 項(xiàng)，令 2x
π π π
+ éê- + 2kπ, + 2kπ
ù x é 5π kπ, πú ê- + + kπ
ù
ú , k Z ，故 C 正確；3 2 2 12 12
π
對于 D 項(xiàng)，將函數(shù) f (x) 的圖象向右平移 個(gè)單位得 y = sin
2 x π π - + = sin π ÷ ÷ 2x + ÷，故 D 正確.12 è è 12 3 è 6
故選：CD.
π π
25．（2024 高一下·四川宜賓·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = Asin wx +j （ A > 0 ，w > 0，- < j < ）的部
2 2
分圖象如圖所示，則（ ）
A． f x 的最小正周期為 π
x é π , πB - ù
é
f x 3 3
ù
．當(dāng) ê ú 時(shí)， 的值域?yàn)?ê- , 4 4 2 2
ú

C f x
π
+ ．為 ÷是偶函數(shù)
è 6
5π
D．將 f x 的圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn) , 0 對
è 6
÷

稱
【答案】ACD
【分析】由三角函數(shù)的圖象求得周期即可判斷 A 項(xiàng)，求出三角函數(shù)解析式 f (x) ，求其值域即可判斷 B 項(xiàng)，
由偶函數(shù)定義可判斷 C 項(xiàng)，運(yùn)用圖象伸縮變換及對稱性可判斷 D 項(xiàng).
5π π
【詳解】由圖可知， A =1，最小正周期T = 4 - ÷ = π ，故選項(xiàng) A 正確；
è 12 6
T 2π w 2π 2π由 = ，知 = = = 2 ，
w T π
f π
π
因?yàn)? ÷ = 1，所以 sin

2 +j

÷ =1，è 6 è 6
π π π
所以 +j = 2kπ + ， k Z，即j = 2kπ + ， k Z，
3 2 6
π
又- < j
π π
< ，所以j = ，
2 2 6
所以 f x = sin 2x
π
+
6 ÷
，
è
é π π ù π é π 2π ù
對于選項(xiàng) B，當(dāng) x ê- , 時(shí)， 2x + - , ， 4 4 ú 6 ê 3 3 ú
é ù
所以 sin

2x
π 3
+ ÷ ê- ,1ú ，故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；
è 6 2
π
對于選項(xiàng) C，令 g(x) = f x + ÷ = sin
é2 x π π ù
6 ê
+
6 ÷
+
è ú
= cos2x，定義域?yàn)镽 ，
è 6
g(-x) = cos(-2x) = cos 2x π= g(x) ，所以 g(x)為偶函數(shù)，即 f x + ÷為偶函數(shù)，故選項(xiàng) C 正確；
è 6
對于選項(xiàng) D，將函數(shù) f x π 的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍，縱坐標(biāo)不變，得到 y = sin x + 6 ÷ 的è
圖象，
x 5π= y = sin
5π π
因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， + ÷ = sinπ = 0，故選項(xiàng) D 正確.6 è 6 6
故選：ACD.
三、填空題
26．（2024 高一下·北京·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù) f x = Asin wx +j （A，w ，j 是常數(shù)，A > 0 ，w > 0）.若 f x
é p pù π 5π π
在區(qū)間 ê , ú 上具有單調(diào)性，且 f ÷ = f ÷ = - f ÷，則 f x 的最小正周期是 ． 12 4 è 4 è 12 è12
2p 2
【答案】 / p
3 3
f x é p , pù πT π f = f 5π = - f π 【分析】由 在區(qū)間 ê ú 上具有單調(diào)性，得函數(shù)最小正周期 ，從而可由12 4 3 4 ÷ 12 ÷ ÷ è è è12
得出其一條對稱軸方程和一個(gè)對稱中心，然后可求得周期．
é p pù
【詳解】由于 f x 在區(qū)間 ê , ú 上具有單調(diào)性， 12 4
π π 1
則 - T
π
，所以T ，
4 12 2 3
f π
π 5π
= f 5π +由 4 ÷ 12 ÷ 可知函數(shù)
f x 的一條對稱軸為 π
è è x = 4 12 = ，2 3
f π π= - f 又 ÷ ÷，則 f x
π
有對稱中心 ,0
è 4 è12 è 6 ÷
，

從而T = 4
π π 2π
- = ．
è 3 6 ÷ 3
2π
故答案為： ．
3
27．（2024 高一下·江西宜春·期中）函數(shù) f x = Asin wx +j (A > 0,w > 0,0 < j < 2π) 一個(gè)周期的圖象如圖所
示，則函數(shù) f x 的解析式為 .
【答案】 f x = 4sin 1 x 5π+ ÷
è 2 4
【分析】根據(jù)圖像，由最值求得A ，根據(jù)周期求w ，最后找點(diǎn)代入求j ，從而得解.
7π π
【詳解】由圖象可知 A = 4,T = - - ÷ = 4π，2 è 2
2π 2π 1 1
又w

> 0，則w = = = ，所以 f x = 4sin x +j ，T 4π 2 è 2 ÷
3π ,0 3π 又 2 ÷在該曲線上，所以
4sin +j = 0，
è è 4 ÷
3π 3π
則 +j = 2kπ,k Z，即j = - + 2kπ,k Z，
4 4
0 j 2π 5π f x 4sin 1 x 5π又 < < ，則j = ，故 = +

.
4 è 2 4 ÷
1 5π
故答案為： f x = 4sin x +2 4 ÷ .è
π
28 ．（2024 高二上·湖南湘西·階段練習(xí)）為了得到函數(shù) y = sin x + ÷的圖象，只需把函數(shù) y = cos x的圖象向
è 3
（填“左、右”）平移 個(gè)單位長度．
π π 11π 11π
【答案】 右（或左） （或 + 2kπ ， k Z中的任何一個(gè)值）（或 （或 + 2kπ， k Z中的
6 6 6 6
任何一個(gè)值））
π 3π
【分析】首先變形 y = cosx = sin x + ÷，或 y = cosx = sin x - ÷，再根據(jù)平移規(guī)律，即可求解.
è 2 è 2
π
【詳解】函數(shù) y = cosx = sin x + ÷，而 y = sin
π
x + = sin
π π
2 3 ÷
x + - ÷，
è è è 2 6
所以 y = cos x
π π
的圖象向右平移 個(gè)單位長度，或是向右平移 + 2kπ ， k Z中的任何一個(gè)值，即可得到函數(shù)
6 6
y = sin π x + 的圖象.
è 3 ÷
y = cosx = sin x 3π- y = sin π 或是 ÷，而 x + = sin
x 3π 11π- +
2 3 ÷ 2 6 ÷
，
è è è
所以 y = cos x 11π
11π
的圖象向左平移 + 2kπ k Z6 個(gè)單位長度，或是向左平移 ， 中的任何一個(gè)值，即可得到函6
y π數(shù) = sin

x + ÷ 的圖象.
è 3
π π
故答案為：右； （或 + 2kπ
11π 11π
，k Z中的任何一個(gè)值）；或左； （或 + 2kπ，k Z中的任何一個(gè)值）
6 6 6 6
29．（2024 高二下·福建福州·期末）為了得到函數(shù) f x π= sin 2x -

÷的圖象，只需將函數(shù) g x = cos2x 的圖
è 4
象向右平移 個(gè)單位長度．
3π
【答案】 (答案不唯一).
8
【分析】利用函數(shù) y = Asin(wx + j)的圖象變換規(guī)律，即可得出答案．
g x = cos 2x = sin 2x π+ 3π【詳解】 ÷圖象向右平移 + kπ,k Z 個(gè)單位長度，
è 2 8
y sin é2 x 3π= - - kπ π ù+ = sin 3π π π可得到 ê ÷ ú 2x - - 2kπ +

÷ = sin
2x - 的圖象.
è 8 2
÷
è 4 2 è 4
3π
當(dāng) k = 0時(shí)，函數(shù) g x = cos2x 的圖象向右平移 個(gè)單位長度．
8
3π
故答案為： (答案不唯一).
8
π
30．（2024

高三·全國·專題練習(xí)）將函數(shù) y = cos 2x + ÷的圖像向左平移j 個(gè)單位長度后，得到的函數(shù)圖像
è 3
關(guān)于 y 軸對稱，則 j 的最小值為 .
π
【答案】
6
【分析】根據(jù)題意，先求得平移之后的函數(shù)，然后根據(jù)其關(guān)于 y 軸對稱，列出方程，即可得到j(luò) ，從而得到
結(jié)果.
【詳解】將函數(shù) y = cos
2x π+ 3 ÷
的圖像向左平移j 個(gè)單位長度后，
è
y = cos é π ù 得到函數(shù) ê2 x +j + ú = cos 2x + 2j
π
+ ÷的圖像，
3 è 3
因?yàn)閳D像關(guān)于 y 2j
π
軸對稱，所以 + = kπ ， k Z ，則j
kπ π
= - ， k Z .
3 2 6
j π令 k = 0，得 的最小值為 .
6
π
故答案為：
6
四、解答題
π
31．（2024 高一下·山東聊城·期中）已知函數(shù) f (x) = 2sin(wx +j) -1 0 < w < 3,0 < j < ÷ ，滿足______．
è 2
(1)求 f (x) 的解析式，并寫出 f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)把 y = f (x)
π 1
的圖象向右平移 個(gè)單位，再向上平移 個(gè)單位，得到函數(shù) y = g(x) 的圖象，若 g(x)在區(qū)間
6 2
é π- ,mù 3ê ú 上的最大值為 ，求實(shí)數(shù)m 的最小值． 3 2
在①函數(shù) f (x)
π
的一個(gè)零點(diǎn)為 0；②函數(shù) f (x) 圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為 ；
2
③函數(shù) f x 2π 圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,-2 ，這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中，并給出問
è 3 ÷
題的解答．
π é π 2π ù
【答案】(1) f x = 2sin 2x + 任選兩條件，解析式為 ÷ -1，單調(diào)遞減區(qū)間為 ê + kπ, + kπú k Z è 6 6 3
π
(2)
3
【分析】（1）根據(jù)所選條件求出j 、w ，即可求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2
π
）首先根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則求出 g x 的解析式，由 x 的取值范圍，求出 2x - 6 的取值范圍，結(jié)合正
弦函數(shù)的性質(zhì)從而得到不等式，解得即可.
【詳解】（1）若選①②：
因?yàn)楹瘮?shù) f x 的一個(gè)零點(diǎn)為0 ，所以 f 0 = 0，所以 2sinj -1 = 0，
所以 sinj
1 π
= π，因?yàn)?0 < j < ，所以j =2 ．2 6
π π
因?yàn)楹瘮?shù) f x 圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為 ，所以T = 2 = π ．
2 2
π
因?yàn)? < w < 3，所以w = 2，所以函數(shù) f x 的解析式為 f x = 2sin 2x + ÷ -1，
è 6
π
由 + 2kπ 2x
π 3π π 2π
+ + 2kπ， k Z，解得 + kπ x + kπ ， k Z，
2 6 2 6 3
所以 f x é π 2π ù的單調(diào)遞減區(qū)間為 ê + kπ, + kπ 6 3 ú
k Z ．

若選①③：
因?yàn)楹瘮?shù) f x 的一個(gè)零點(diǎn)為0 ，所以 f 0 = 0，所以 2sinj -1 = 0，
所以 sinj
1 π
= π，因?yàn)?0 < j < ，所以j = ．
2 2 6
2π
因?yàn)楹瘮?shù) f x 圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 ,-3÷，
è 3
2sin 2π π 2π π 所以 w + ÷ = -2，所以 sin w + ÷ = -1，
è 3 6 è 3 6
2π w π所以 + = 2kπ
π
- ，即w = 3k -1 k Z ，因?yàn)? < w < 3，所以w = 2．
3 6 2
所以函數(shù) f x 的解析式為 f x = 2sin 2x π +

÷ -1，
è 6
π 2kπ 2x π 3π 2kπ π kπ x 2π由 + + + ， k Z，解得 + + kπ ， k Z，
2 6 2 6 3
所以 f x é π 2π的單調(diào)遞減區(qū)間為 ê + kπ, + kπ
ù k Z ．
6 3 ú
若選②③：
因?yàn)楹瘮?shù) f x π π圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為 ，所以T = 2 = π ．
2 2
2π
因?yàn)? < w 3

< ，所以w = 2，因?yàn)楹瘮?shù) f x 圖象的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 , -3÷，
è 3
所以 2sin

2
2π
+j 4π÷ = -2

，所以 sin +j
= -1，
è 3 ÷ è 3
4π π 11π
所以 +j = 2kπ - 即j = 2kπ - k Z ．
3 2 6
π π
因?yàn)?0 < j < ，所以j =2 ，6
所以函數(shù) f x 的解析式為 f x = 2sin 2x π+ ÷ -1，
è 6
π 2kπ 2x π 3π 2kπ π 2π由 + + + ， k Z，解得 + kπ x + kπ ， k Z，
2 6 2 6 3
所以 f x é π的單調(diào)遞減區(qū)間為 ê + kπ,
2π
+ kπùú k Z ． 6 3
é π π ù π
（2）把 y = f (x)
π
的圖象向右平移 個(gè)單位得到 y = 2sin ê2 x - ÷ + -1 = 2sin6 6 6 ú
2x - ÷ -1，
è è 6
再將 y = 2sin

2x
π
- 1÷ -1向上平移 個(gè)單位得到 y = 2sin
2x π- 1- ，
è 6 ÷ 2 è 6 2
即 g x = 2sin 2x π 1 -

÷ - ，
è 6 2
π x m 5π π π由- 得- 2x - 2m - ，
3 6 6 6
因?yàn)?g x é π ù 3在區(qū)間 ê- ,mú 上的最大值為 ， 3 2
所以 sin

2x
π π
- é ù÷ 在區(qū)間 ê- ,mú 上的最大值為 1．è 6 3
所以2m π π π
π
- ，所以m ，所以m 的最小值為 ．
6 2 3 3
π
32．（2024 高三上·

重慶銅梁·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = Asin wx +f , A > 0,w > 0, f < ÷的圖像上相鄰兩
è 2
π 3π
條對稱軸的距離是 ， f x 的最大值與最小值之差為 1，且 f x 的圖像的一個(gè)對稱中心是 ,04 16 ÷．è
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
π
(2)若方程 f x = m é在區(qū)間 ê0,
ù
ú 上有解，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍． 4
f (x) 1【答案】(1) = sin
4x π+
2 è 4 ÷
é 2 , 1
ù
(2) ê- ú
4 2
【分析】（1）根據(jù)題意可得 f x 的周期、振幅，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱點(diǎn)公式求解即可；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域求解即可.
π T π
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù) f x 圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為 ，所以 = .
4 2 4
π π
又w > 0，故 = ，ω = 4 .
w 4
因?yàn)?f x 1的最大值與最小值之差為 1，故 2A =1， A = 2 ，
f x 3π又由 的圖像的一個(gè)對稱中心是 ,0
3π
÷，故 4 +f = kπ k Z ，
è 16 16
3π
則f = kπ - , k Z f π ，又 < ，
4 2
π
故當(dāng) k =1時(shí)，f = ，
4
f x 1故 = sin 4x π+
2 4 ÷
.
è
é π ù π é π 5π ù π é 2 ù
（2）Q x ê0, ú，\4x + ê , ú，\sin 4x + ÷ ê- ,1 ， 4
ú
4 4 4 è 4 2
é ù é ù
\ f x 2 1 - , f x = m é π ù 2 1ê ú ，若方程 在區(qū)間 ê0, ú 上有解，則m - , ，
4 2 4
ê 4 2 ú
é 2 1 ù
故實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ê- ,4 2 ú
33．（2024 高一上·甘肅酒泉·期末）函數(shù) f x = Asin 2wx +j π A > 0,w > 0，j <

2 ÷的部分圖象如圖所示
.
è
(1)求 A，w ，j 的值；
π
(2)將函數(shù) f x 的圖象向右平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù) g x 的圖象，若a 0, π ，且 g a = 2 ，求a 的
6
值.
π
【答案】(1) A = 2，w =1，j =
6
5π 11π
(2)
24 或 24
5π π
【分析】（1）根據(jù)函數(shù) f x 的部分圖象即可求出 A，w ，然后代入點(diǎn) ,012 ÷，由 j < 即可求出
j 的值；
è 2
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換先求出函數(shù) g x 的解析式，然后利用 g a = 2 ，結(jié)合a 0, π 即可確定a
的值.
3 T 5π π 2π【詳解】（1）解：由圖可知， A = 2， = + ，所以T = π ，即 = p ，所以w =1 .
4 12 3 2w
5π
將點(diǎn) ,0

÷代入 f x = 2sin 2x +j
5π
得 +j = 2kπ+π， k Z
è 12
，
6
π π
又 j < ，所以j = ；
2 6
（2）解：由（1）知 f x = 2sin 2x
π
+
6 ÷
，
è
由題意有 g x = 2sin é2 π π ù πê x -

÷ + ú = 2sin

2x -

6 6 6 ÷
，
è è
所以 g a = 2sin 2a π- = 2 π 2 ÷ ，即 sin 2a -è 6 ÷
= ，
è 6 2
a 0, π 2a π π因?yàn)? ，所以 - é- ,11π ù6 ， ê 6 6 ú
2a π π 3π 5π 11π所以 - = 或 ，即a = 或a = ，
6 4 4 24 24
a 5π 11π所以 的值為 .24 或 24
34．（2024 高一上·福建寧德·期末）如圖，函數(shù) f x = Asin wx +j A > 0,w > 0,0 < j < π 的圖象經(jīng)過

P 0, 2
π 3π
÷÷，M - ,0
N ,0 ÷， ÷三點(diǎn).
è 2 è 4 è 4
(1)求函數(shù) f x 的解析式；
1 1
(2)將函數(shù) f x 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)縮短到原來的 ，得到 g x 圖象.若
2 2
h x π= f 2 x - ÷ + g x ，求函數(shù) h x 的單調(diào)增區(qū)間.
è 8
【答案】(1) f x = sin x
π
+ ÷
è 4
é π kπ, π(2) ê- + + kπ
ù
， k Z .
4 4 ú
w 2π【分析】（1）求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得到 = =1
π
，帶入特殊點(diǎn)坐標(biāo)，得到j(luò) = 4 ，求出函數(shù)解析式；T
（2）求出 g x ,h x ，整體法求出 h x 的單調(diào)增區(qū)間.
f x T 2 é3π= - π- ù【詳解】（1）由圖可得函數(shù) 的最小正周期 ê ÷ú = 2π
4 è 4
w 2π∴ = =1
T
f x π 又函數(shù) 過點(diǎn) - ,04 ÷ ，且圖象在該點(diǎn)附近單調(diào)遞增，è
π
∴ - +j = 2kπ k π Z ，即j = + 2kπ k Z ，
4 4
又∵ 0 < j < π，∴j π= 4 ，
2
∵ f x 過點(diǎn) 0, 2 ÷÷ ，è
∴ Asin π 2= ，即 A =1
4 2
∴ f x = sin x π +

4 ÷
；
è
（2）將函數(shù) f x 1 1的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 ，縱坐標(biāo)縮短到原來的 得到
2 2
g x 1 sin 2x π= +

÷ . 2 è 4
1- cos 2x π+
∴ π 1 π ÷h x = sin2 x 1 π+ + sin 2x + = è 4 + sin 2x + 8 ÷ 2 4 ÷ 2 2 4 ÷è è è
2
= sin2x 1+
2 2
π 2kπ 2x π π π令- + + 2kπ ， k Z得：- + kπ x + kπ， k Z
2 2 4 4
所以 h x é π π ù的單調(diào)增區(qū)間為 ê- + kπ, + kπ ， k Z . 4 4 ú
π
35 ．（2024 高一下·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 2sin(wx + j) w > 0,|j |< 2 ÷的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離è
π
為 ，且（在下面兩個(gè)條件中任選擇其中一個(gè)，完成下面兩個(gè)問題）.條件①： f (x) 的關(guān)于 x
π
= 對稱；條
2 6
f x π② - 件 ：函數(shù) ÷ 為奇函數(shù).
è 12
(1)求 f (x) 的解析式；
π
(2)將 f (x) 的圖象向右平移 個(gè)單位，然后再將橫坐標(biāo)伸長到原來 2 倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) g(x)的圖
4
x ép ù象，若當(dāng) ê , mú 時(shí)， g(x)的值域?yàn)閇-1,2]，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍. 6
π
【答案】(1)條件選擇見解析， f (x) = 2sin 2x + ÷
è 6
é5π , 3π(2) ù
ê 6 2 ú
π
【分析】（1）根據(jù)零點(diǎn)可得周期進(jìn)而得w = 2，根據(jù)函數(shù)的對稱性可解j = ，進(jìn)而可得 f (x) ，
6
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的變換可得 g(x) = 2sin

x
π
- ÷，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
è 3
π
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù) f (x) 的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的距離為 ，
2
所以 f (x) 的周期T = π
2π
，由T = = π，得w = 2w ，
π
選①：由 +j = kπ+
π ,k Z j π，解得： = + kπ(k Z) ，
3 2 6
π π π
因?yàn)? < j < ，所以j = ，故 f (x) = 2sin 2x
π
+

÷ .2 2 6 è 6
f x π
π
選②：因?yàn)? -

12 ÷ 是奇函數(shù)，即
f 0 - = 0，è è 12 ÷
π
所以 - ,0

÷ 是 f (x) 的一個(gè)對稱中心，
è 12
π
- +j = kπ j π由 ，解得： = + kπ,(k Z)，
6 6
π π π π
因?yàn)? < j < ，所以j = ，故 f (x) = 2sin 2x +
2 2 6 6 ÷
.
è

（2）根據(jù)題意得， g(x) = 2sin x
π
- ÷，
è 3
x ép , mù π é π當(dāng) ê ú 時(shí)， x - ê- , m
π
- ù
6 3 6 3 ú
因?yàn)?g(x)
π π 7π
的值域?yàn)閇-1,2]，則 m - ，
2 3 6
5π 5π 3π
解得： m
3π
é ù，故實(shí)數(shù)m 的取值范圍是
6 2 ê
,
6 2 ú
.

36．（2024 高一下·上海長寧·期末）已知函數(shù) f (x) = 3 sinwx coswx + sin2 wx
1
- （其中常數(shù)w > 0）的最小
2
正周期為 π．
(1)求函數(shù) y = f (x) 的表達(dá)式；
(2)作出函數(shù) y = f (x) ， x [0, π]的大致圖象，并指出其單調(diào)遞減區(qū)間；
(3)將 y = f (x) 的圖象向左平移j(0 < j < π) 個(gè)單位長度得到函數(shù) y = g(x) 的圖象，若實(shí)數(shù) x1, x2 滿足
f x1 g x2 = -1
π
，且 x1 - x2 的最小值是 ，求j 的值．6
【答案】(1) f (x) = sin
2x π- ；
è 6 ÷
é π , 5π ù(2)圖象見解析；單調(diào)遞減區(qū)間為 ê ； 3 6 ú
π 2π
(3) ，或 .
3 3
【分析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式，結(jié)合正弦二倍角公式、正弦型函數(shù)的最小正周期公式進(jìn)行求解
即可；
（2）利用五點(diǎn)作圖法，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象變換性質(zhì)，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象進(jìn)行求解即可.
π
【詳解】（1） f (x) = 3 sinwx coswx + sin2 wx 1 3 sin 2wx 1- cos 2wx 1- = + - = sin 2wx - ÷，
2 2 2 2 è 6
因?yàn)?y = f (x) 的最小正周期為 π，且w > 0，
2π π
所以有 = π w =1，即 f (x) = sin

2x -

；
2w ֏ 6
（2）列表如下：
π 3π
2x π π- - 0 π 11π
6 6 2 2 6
x 0 π π 7π 5π π
12 3 12 6
y 1 1- 0 1 0 -1 -
2 2
函數(shù) y = f (x) ， x [0, π]的大致圖象如下圖所示：
é π 5π ù
單調(diào)遞減區(qū)間為
ê
, ；
3 6 ú
π
（3

）由題意可知： g x = f (x +j) = sin 2x + 2j - ÷，
è 6
因?yàn)?f x1 1, g x2 1, f x1 g x2 = -1，
所以 f x1 , g x2 中有一個(gè)為1，另一個(gè)為-1，
因?yàn)?y = f (x)
π
的圖象向左平移j(0 < j < π) 個(gè)單位長度得到函數(shù) y = g(x) 的圖象，且 x1 - x2 的最小值是 ，6
1 2π j π π所以 × - = j = ，或 = 2π
2 2 6 3 3
，
π 2π
因此j 的值為 ，或 .
3 3
π
37．（2024 高一上·江蘇淮安·期末）已知函數(shù) f (x) = 2 cos(wx +j)(w > 0, j )的部分圖象如圖所示．
2
(1)求函數(shù) f (x) 的解析式；
(2)將函數(shù) f (x)
1
的圖象向左平移 4 個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2 倍（縱坐標(biāo)不變）得到
函數(shù) g(x)的圖象，若關(guān)于 x 的方程 g(x) + a = 0在區(qū)間[0,1]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
【答案】(1) f (x) = 2 cos(2πx
π
- )
4
(2)[1, 2)．
【分析】（1）根根據(jù)余弦型函數(shù)的周期性質(zhì)，結(jié)合特殊點(diǎn)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)余弦型函數(shù)圖象的變換性質(zhì)，結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
T 1 2π
【詳解】（1）由圖可知 = ，T =1．因?yàn)閣 > 0，所以 =1，w = 2π ．
2 2 w
1
代入 ( , 2) 有 2 cos(2π
1
× +j) = 2 1 cos(2π × +j) =1，
8 8 8
j π π∴ + = 2kπ k Z j = 2kπ - k Z ，
4 4
又∵ |j | π2 ，∴j
π
= - ，∴ f (x) = 2 cos(2πx
π
- ) ；
4 4
（2）由題意知變換后 g(x) = 2 cos(πx
π
+ )
4
x [0,1] t πx π [ π 5當(dāng) 時(shí)，令 = + , π]，即 h(t) = 2 cos t ，
4 4 4
函數(shù) h(t)
π
在 t [
π , π]時(shí)單調(diào)遞減，此時(shí) h π h(t) h ÷ - 2 h(t) 1，4 è 4
函數(shù) h(t)
5π 5π
在 t (π, ]時(shí)單調(diào)遞增，此時(shí) h π < h(t) h - 2 < h(t) -1，4 è 4 ÷
g(x) + a = 0等價(jià)于-a = h(t)有兩解．
所以當(dāng)-a (- 2,-1]時(shí)符合題意，即 a 的取值范圍為[1, 2)．
38．（2024 高一下·寧夏吳忠·階段練習(xí)）函數(shù) f x = Asin wx +j （A ，w ，j 為常數(shù)，且 A > 0 ，w > 0，
j π< ）的部分圖象如圖所示．
2
(1)求函數(shù) f x 的解析式及圖中 b 的值；
(2) f x π y = g x g x é0, π ù將 的圖象向左平移 個(gè)單位后得到函數(shù) 的圖象，求 在 ê 上的單調(diào)減區(qū)間.6 2 ú
p
【答案】(1) f (x) = 2sin(2x + )，1
6
π
(2) é0, ù
ê 2 ú
3 5π π 3π
【分析】（1）由函數(shù)的最值可求出 A = 2，由圖可知 T = - (- ) = ，再結(jié)合周期公式可求出w = 2，
4 12 3 4
5π
然后再 ,0

12 ÷代入函數(shù)中可求出
j ，從而可求出函數(shù)解析式.
è
（2）由函數(shù)圖象變換規(guī)律求出 g(x)的解析式，再由 2kπ 2x π + 2kπ 可求出函數(shù)的減區(qū)間.
3 T 5π ( π) 3π T π,w 2π 5p【詳解】（1）由題意知， A = 2， = - - = ，\ = = = 2 ，當(dāng) x = 時(shí)，
4 12 3 4 π 12
j π ,2 5π< +j = kπ,k Z j π f (x) 2sin(2x π由 ，\ = ， 所以 = + ) .
2 1

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