資源簡介

1.1.1 空間向量及其線性運算 7 題型分類
一、空間向量的概念
1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
2．長度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
→ →
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起點是 A，終點是 B，也可記作A B，其模記為|a|或|A B
|.
4．幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為 0 的向量叫做零向量，記為 0
單位向量 模為 1 的向量稱為單位向量
與向量 a 長度相等而方向相反的向量，稱為 a 的相反向量，記為 －
相反向量
a
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么
共線向量
這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量 a，都有 0
(平行向量)
∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
二、空間向量的線性運算
→ → →
加法 a＋b＝O A＋ A B ＝O B
→ → →
空間向 減法 a－b＝O A－O C＝C A
量的線 → →
當 λ>0 時，λa＝λO A＝P Q；
性運算
數乘 → →
當 λ<0 時，λa＝λO A＝M N；
當 λ＝0 時，λa＝0
交換律：a＋b＝b＋a；
運算律 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
三、共線向量
1．空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要條件是存在實數 λ，使 a＝λb.
2．直線的方向向量
在直線 l 上取非零向量 a，我們把與向量 a 平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
四、共面向量
1．共面向量
→
如圖，如果表示向量 a 的有向線段O A所在的直線 OA 與直線 l 平行或重合，那么稱向量 a 平行于直線 l.如果
直線 OA 平行于平面 α 或在平面 α 內，那么稱向量 a 平行于平面 α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要條件
如果兩個向量 a，b 不共線，那么向量 p 與向量 a，b 共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使 p＝
xa＋yb.
（一）
空間向量的概念
(1)判斷有關向量的命題時，要抓住向量的兩個主要元素，即大小和方向，兩者缺一不可;
(2)要注意零向量的特殊性。對于零向量，我們應明確:
①零向量不是沒有方向，它的方向是任意的;
②零向量與任何向量都共線.
(3)對于共線向量我們應明確:
①當我們說 a 與 b 共線時，表示 a,b 的兩條有向線段所在的直線有可能是同一直線，也可能是平行直線，當
我們說 a//b 時，也具有相同的意義;
②共線(平行)向量不具有傳遞性，如 a//b,b//c.那么 a//c 就不一定成立，因為當 b=0 時，雖然有 a//b//c,但 a 不
一定與 c 共線，若 a,b,c 都不是零向量，則具有傳遞性.
(4)在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條
件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是模相等、方向相反．
題型 1：利用空間向量有關概念判斷命題
1-1．（2024 高二上·全國·課后作業）給出下列命題：
①零向量沒有方向；
②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
r r r r
③若空間向量 a,b滿足 a = b
r r
，則a = b；
r r r r r r r r r
④若空間向量m,n, p滿足m = n,n = p，則m = p；
⑤空間中任意兩個單位向量必相等．
其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
1-2．（2024 高二·全國·課后作業）下列關于空間向量的命題中，正確的序號是 .
①若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
r r r
② a = b r是向量 a = b 的必要非充分條件；
v v
r r ì a = b③向量 a 、b 相等的充要條件是 í
av
v
P b
r r
④若 A、B、C、D 是不共線的四點，則 AB = DC是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件.
1-3．（2024 高二· r全國·課后作業）已知 a 為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（　?。?br/>A ar．與 共面的單位向量有無數個
B ar．與 垂直的單位向量有無數個
C ar．與 平行的單位向量只有一個
D ar．與 同向的單位向量只有一個
1-4．（2024 高三上·廣東·階段練習）如圖，已知正方體 ABCD-A1B1C1D1的中心為 O，則下列結論中
r r r r
① OA +OD 與OA 1+OD 1是一對相反向量；
r r r r
② OB -OC 1與OC -OB 1是一對相反向量；
r r r r r r r r
③ OA 1+OB 1+OC 1+OD 1與OD +OC +OB +OA是一對相反向量；
r r r r
④ OC -OA與OC 1-OA 1是一對相反向量．
正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（二）
空間向量的加減運算
空間向量加法、減法運算的兩個技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾
相接．
(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方
向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．
題型 2：利用空間向量的加減法運算求解化簡
r r r
2-1．（2024 高二上·北京大興·期末）空間向量OA - OB + AC = （ ）
r r r r
A． AB B．CB C．OC D．BC
2-2．（2024 高二下·安徽亳州·開學考試）在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，O為線段 AC 的中點，則
r r r
OA1 + AD + AB = （ ）
uuur r r uuur
A． AD1 B．OB1 C．OC1 D．OD1
r r r
2-3．（2024 高二下·江蘇連云港·期中）正方體 ABCD - A1B1C1D1中，化簡 AB + BD - AC1 =（ ）
r r r r
A．C1B B．BC1 C．C1D D．DC1
（三）
空間向量的線性運算
（1）利用數乘運算進行向量表示的注意點
①數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉
化為已知向量．
②明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙利用線段的中點進行解題．
（2）進行向量的線性運算，實質上是在正確運用數乘運算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運
用平行四邊形法則或三角形法則求和．運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．
題型 3：利用空間向量數乘運算化簡求解空間向量
3-1．（2024 高二下·全國·單元測試）若 A, B,C, D 為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（ ）
r r r r
A． AB + 2BC + 2CD + DC
r r r r r
B． 2AB + 2BC + 3CD + 3DA + AC
r r r
C． AB + DA + BD
r r r r
D． AB - CB + CD - AD
3-2．（2024 高二·全國·課后作業）如圖所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，M 是BB1的中點，化簡下列各式，
并在圖中標出化簡得到的向量.
r r
(1)CB + BA1 ；
r r 1 r
(2) AC + CB + AA
2 1
；
1 r 1 r r r
(3) AA1 - B1B - AC - CB .2 2
r 1 r r r r
3-3．（2024 高二上·全國·階段練習）已知在空間四邊形 ABCD中，CG = CD ，則
2 BD + BC + 2AB =
（ ）
r r r 1 r
A． 2AG B． 2GC C． 2BC D． BC2
3-4．（遼寧省沈陽市東北育才學校 2023-2024 學年高二上學期第二次段考數學試題（理科））已知正方體
r
ABCD- A B C D 1，點 E 是 A C 的中點，點 F 是 AE 的三等分點，且 AF = EF ，則 AF 等于（ ）．2
r 1 r 1 r rAA AB AD 1 AA 1
r 1 r
A． + + B． + AB + AD
2 2 2 2 2
1 r r r r r r
C． AA
1
+ AB 1+ AD 1 1 1D． AA + AB + AD
2 6 6 3 6 6
3-5．（2024 高二上·廣東深圳·期末）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，E、F 分別是 BC、CC1的中點，G 為
r
VABC 的重心，則GF = （ ）
1 r 2 r 1 r r r r
A．- AB + AC + AA
1
1 B． AB
2
+ AC 1+ AA
3 3 2 3 3 2 1
2 r 1 r rAB AC 1 AA 1
r 2 r 1 r
C．- + -
3 3 2 1
D． AB - AC + AA
3 3 2 1
（四）
向量共線的判定及應用
1、向量共線的判定及應用
(1)利用向量的共線證明了線線平行，解題時應注意向量共線與兩直線平行的區別．
(2)判斷或證明兩向量 a，b(b≠0)共線，就是尋找實數 λ，使 a＝λb 成立，為此常結合題目圖形，運用空間向
量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．
(3) → →判斷或證明空間中的三點(如 P，A，B)共線的方法：是否存在實數 λ，使PA＝λ P B
；
2、判斷向量共線的策略:
（1）熟記共線向量的充要條件:
①若 a//b,b≠0，則存在唯一實數l 使 a=l b;
②若存在唯一實數l ，使 a=l b，則 a//b.
（2）判斷向量共線的關鍵:找到實數l .
3、三點共線與直線平行的判斷:
（1）線線平行:證明兩直線平行要先證明兩直線的方向向量 a,b 平行，還要證明一直線上有一點不在另一
條直線上.
r r r r
（2）三點共線:證明三點 A, B,C 共線，只需證明存在實數l ，使 AB = lBC 或 AB = l AC 即可.
題型 4：向量共線的判定
r r r r r r r
4-1．（2024 高二·全國· r r r r課后作業）已知向量 a 、b 滿足 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b ，則一定
共線的三點是 (　　 )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
4-2．（2024 高二·全國·課后作業）如圖，四邊形 ABCD ABEF 都是平行四邊形且不共面，M N 分別是 AC
r r
BF 的中點，判斷CE 與MN 是否共線？
r r
4-3．（2024 高二·全國·課后作業）如圖所示，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點E 在 A1D1上，且 A1E = 2ED1 ，
r 2 r
點F 在體對角線 A1C 上，且 A1F = FC ．求證：E ，F ， B 三點共線．3
4-4．（2024 高二·甘肅武威·課后作業）滿足下列條件，能說明空間不重合的 A、B、C 三點共線的是(　　)
v v v v v v
A． AB + BC = AC B． AB - BC = AC
v v v v
C． AB = BC D． AB = BC
題型 5：向量共線的應用
r r r r r r r r
5-1．（2024 高二·全國·課后作業）設 a,b是空間中兩個不共線的向量，已知 AB = 9a + mb，BC = -2a - b ，
r r r
DC = a - 2b，且 A, B, D 三點共線，則實數m = ．．
r r r r r r r r
5-2．（2024 高二上·貴州黔南·期中）設 e1 ， e2 是兩個不共線的空間向量，若 AB = 2e1 - e2 ，BC = 3e1 + 3e2 ，
uuur ur ur
CD = e1 + ke2 ，且A ，C ，D三點共線，則實數 k 的值為 .
r r r r r r r
5-3．（2024 高二上·廣東廣州·期末）已知{a,b,c}是空間的一個基底，若m = a + 2 b - 3c ，
r r r r r r r r r x
n = x(a+b)- y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，則 =y （ ）
1 1
A．-3 B．- C．3 D．
3 3
（五）
向量共面的判定及應用
1、向量共面的充要條件
如果兩個向量 a，b 不共線，那么向量 p 與向量 a，b 共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使 p＝
xa＋yb．
2、證明空間向量共面、點共面的常用方法
(1)證明空間三個向量共面常用的方法
①證明其中一個空間向量可以表示成另兩個空間向量的線性組合，即若 a＝xb＋yc，則空間向量 a，b，c 共
面；
②尋找平面 α，證明這些空間向量與平面 α 平行．
(2)對空間四點 P，M，A，B 可通過證明下列結論成立來證明四點共面
→ → →
①M P＝xM A＋yM B；
→ → → →
②對空間任一點 O，O P＝O M＋xM A＋yM B；
→ → → →
③對空間任一點 O，O P＝xO A＋yO B＋zO C(x＋y＋z＝1)；
→ → → → → →
④P M∥A B(或P A∥M B，或P B∥A M)．
題型 6：向量共面的判定
r r r r r r r r r r r r r r
6-1．（2024 高二上·全國·課后作業）已知 i, j, k 是不共面向量， a = i - 2 j + k,b = -i + 3 j + 2k,c = -3i + 7 j ，證
明這三個向量共面.
6-2．（2024 高二下·江蘇·課后作業）設空間任意一點O和不共線的三點A ， B ，C ，若點 P 滿足向量關系
r r r r
OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z =1），試問： P ，A ， B ，C 四點是否共面？
6-3．（2024 高二下·上海楊浦·期中）下列條件中，一定使空間四點 P A B C 共面的是（ ）
uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur
A．OA + OB + OC = -OP B．OA + OB + OC = OP
uur uuur uuur uuur r r r r
C．OA + OB + OC = 2OP D．OA + OB + OC = 3OP
6-4．（湖北省云學新高考聯盟 2023-2024 學年高二上學期期末聯考數學試題）在下列條件中，能使M 與A ，
B ，C 一定共面的是（ ）
r r r r r 1 r 1 r 1 r
A．OM = 2OA - OB - OC B．OM = OA + OB + OC5 3 2
r r r r r r r r r
C．MA + MB + MC = 0 D．OM + OA + OB + OC = 0
題型 7：向量共面的應用
r r r r r r r r r r
7-1．（2024 高二上·湖北黃岡·期末） a,b,c 是空間向量的一組基底，OA = 2a + mb + c，OB = a + 2b ，
r r r r
OC = a + b + c ，已知點O在平面 ABC 內，則m = .
7-2．（2024 高二上·山東煙臺·期中）已知O為空間中一點， A, B,C, D 四點共面且任意三點不共線，若
r r r r
2BD = xOA + OB + OC ，則 x 的值為 ．
7-3．（2024 高二上·重慶北碚·階段練習）在三棱錐P - ABC 中，M 是平面 ABC 上一點，且
r r r r
5PM = 2PA + tPB + PC ，則 t = （ ）
1 1
A．1 B．2 C． D．
7 2
7-4．（2024 高二下·江蘇淮安·期中）已知 A, B,C 三點不共線，O是平面 ABC 外任意一點，若由
r 1 r r rOP = OA 1+ OB + lOC 確定的一點 P 與 A, B,C 三點共面，則l 等于（ ）
5 3
2 2 7 7
A．- B． C． D．-
3 3 15 15
7-5．（江西省宜春市八校 2023-2024 學年高二上學期第一次（12 月）聯合考試數學試題）如圖,平面 ABC 內
r r r r
的小方格均為正方形,點 P 為平面 ABC 內的一點,O為平面 ABC 外一點,設OP = mOA + nOB + 2OC ,則m + n的
值為（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
7-6．（2024 高二上·遼寧大連·期中）已知 A, B,C 三點不共線，O是平面 ABC 外任意一點，若
r r r r
OM = 2lOA 2+ OB 1+ OC ，則 A, B,C, M 四點共面的充要條件是（
5 6 ）
l 13 l 17 l 17 13A． = B． = C． = - D．l = -
60 60 60 60
一、單選題
1．（2024 高二·全國·課后作業）下面關于空間向量的說法正確的是（ ）
r r r r
A．若向量 a,b平行，則 a,b所在直線平行
r r r r
B．若向量 a,b所在直線是異面直線，則 a,b不共面
r r
C．若 A，B，C，D 四點不共面，則向量 AB ，CD不共面
r r r
D．若 A，B，C，D 四點不共面，則向量 AB ， AC ， AD 不共面
r r r r
2．（2024 高二下·河南焦作·開學考試）已知在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AD1 = xCD + yCC1 + zBD，則
x + y + z =（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-2
3．（河北省石家莊市二十三中 2023-2024 學年高二上學期期末數學試題）如圖，已知空間四邊形 ABCD 的
r 1 r r
對角線為 AC，BD，設 G 是 CD 的中點，則 AB + (BD + BC)等于（ ）
2
r r r 1 r
A． AG B．CG C．BC D． BC2
r r r
4．（2024·山東棗莊·模擬預測）如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，化簡 AB - AD + CC1 = （ ）
r r uuur r
A． BD1 B．DB1 C． AC1 D．CA1
r r r r
5．（2024 · · r高二上 全國 課后作業）當 | a |=| b | 0 ar b ar，且 、 不共線時， + b 與 ar - b 的關系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定
6．（2024 高二上·河南新鄉·期末）下列條件能使點M 與點 A, B,C 一定共面的是（ ）
r r r r
A．OM = OA - OB - OC
r r r r
B．OM = OA + OB + OC
r r r r
C．OM = -OA - OB
1
+ OC
2
r r r r
D．OM = -OA - OB + 3OC
7．（2024 高二上·山東濟南·期中）下列關于空間向量的說法中正確的是（ ）
A．方向相反的兩個向量是相反向量
B．空間中任意兩個單位向量必相等
r r r r r r
C．若向量 AB , CD 滿足 AB > CD ，則 AB > CD
D．相等向量其方向必相同
8．（2024 高二上·四川遂寧·階段練習）已知O為空間任一點，A ，B ，C ，D四點滿足任意三點不共線，但
r r r r
四點共面，且OA = 2xBO + 3yCO + 4zDO，則 2x + 3y + 4z 的值為（ ）
A．1 B．-1 C．2 D． 2
9．（2024 高二上·安徽宿州·期末）已知點D在VABC 確定的平面內，O是平面 ABC 外任意一點，實數 x, y
r r r r
滿足OD = xOA + yOB - OC ，則 x2 + y2 的最小值為（ ）
4
A B 2 5． ． C．1 D．2
5 5
r r r r
10．（2024 高二上·山東威?！て谀┰谄叫辛骟w ABCD - A1B C
1 1
1 1D1中，點 E 滿足 AE = - AA1 + AB1 + AD1 ，3 3
則（ ）
r r r r r r r r
A．3B1E = B1C1 B．3B1E = 2B1C1 C．B1E = 3B1C1 D． 2B1E = 3B1C1
r r r
11．（2024 高二上·北京·期中）在三棱柱 A1B1C1 - ABC
r
中，D 是四邊形 BB1C1C 的中心，且 AA1 = a ， AB = b ，
r
AC cr
r
= ，則 A1D = （ ）
1 ar 1
r
b 1 cr 1 ar 1
r
b 1 rA． + + B． - + c
2 2 2 2 2 2
1 r 1 r r
C． a + b
1
- cr 1 ar 1D．- + b
1 cr+
2 2 2 2 2 2
12．（2024 高二上·河南洛陽·期中）已知點D在VABC 確定的平面內，O是空間任意一點，實數 x, y滿足
r r r r
OD = xOA + 2yOB - OC ，則 x2 + y2 的最小值為（ ）
4
A B 2 5． ． C．1 D．2
5 5
13．（2024 高二上·福建三明·開學考試）下列命題中為真命題的是（ ）
v r
A．空間向量 AB 與BA的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
14．（2024 高二·全國·課后作業）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
r r r r r r r r
②若空間向量 a,b滿足 a = b ，則 a = b ；③在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，必有 AC = A1C1 ；④若空間向量
r r r r r r r r r
m, n, p滿足m = n ，n = p ，則m = p ．其中正確的個數為（ ）．
A． 4 B．3 C． 2 D．1
15．（2024 高二上·福建福州·期末）已知O為空間任意一點， A, B,C, P四點共面，但任意三點不共線．如果
r r r r
BP = mOA + OB + OC ，則m 的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
r
16．（2024 高二上·浙江臺州·期末）如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，E 是C1D1的中點，則 AE =
（ ）
1 r r r r 1 r r
A． AB + AD + AA1 B． AB + AD + AA2 2 1
r r 1 r r r r
C． AB + AD + AA1 D． AB + AD + AA2 1
17．（ 2024 高二下 ·上海閔行 ·開學考試）已知 A、B、C 是空間中不共線的三個點，若點 O滿足
r r r r
OA + 2OB + 3OC = 0，則下列說法正確的一項是（ ）
A．點O是唯一的，且一定與 A、B、C 共面
B．點O不唯一，但一定與 A、B、C 共面
C．點O是唯一的，但不一定與 A、B、C 共面
D．點O不唯一，也不一定與 A、B、C 共面
r r r r r r r r
18．（2024 高二下·江蘇宿遷·階段練習）已知向量 e1 ， e2 不共線， AB = e1 + e2 ， AC = 2e1 + 8e2 ，
r r r
AD = 3e1 - 5e2 ，則（ ）
r r r r
A． AB 與 AC 共線 B． AB 與CD共線
C．A ， B ，C ，D四點不共面 D．A ， B ，C ，D四點共面
19．（2024·江西新余·二模）已知長方體 ABCD - A1B1C1D1， AB = AD = 2 ， AA1 = 4，M 是BB1的中點，點 P
r r r
滿足BP = lBC + m BB1 ，其中l 0,1 ，m 0,1 ，且MP∥平面 AB1D1，則動點 P 的軌跡所形成的軌跡長度
是（ ）
A． 5 B．4 2 C． 2 2 D．2
r r
20．（2024 高二下·江蘇淮安·階段練習）四面體O - ABC 中，OP = 3PA，Q是 BC 的中點，M 是 PQ的中點，
r r r r r r
設OA = a ，OB = b ，OC r= c ，則OM = （ ）
1 ar 1
r
b 1 cr 3 ar 1
r
b 1 rA． + + B． + + c
4 6 6 4 4 4
3 r 1 r 1 r r
C． a + b + c 1 ar 1 b 1D． + + cr
8 4 4 3 4 4
21．（2024·浙江溫州·二模）如圖，在四面體 ABCD中，E 、F 分別是 AB 、CD的中點，過EF 的平面a 分
別交棱DA、BC 于G 、 H （不同于A 、 B 、C 、D）， P 、Q分別是棱BC 、CD上的動點，則下列命題錯
誤的是（ ）
A．存在平面a 和點 P ，使得 AP//平面a
B．存在平面a 和點Q，使得 AQ// 平面a
C．對任意的平面a ，線段EF 平分線段GH
D．對任意的平面a ，線段GH 平分線段EF
r r
22．（2024 高二上·北京海淀·期末）在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，點 M 滿足2AM = AC ．若
r r r r r r r
A1B1 = a, A1D1 = b, A1A = c ，則下列向量中與B1M 相等的是（ ）
1 r 1 r ra b c 1
r
a 1
r r
A． - + B． + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a + b + c D．- a - b + c
2 2 2 2
二、多選題
23．（2024 高二上·山東濰坊·期中）如圖所示，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 3, AD = 2, AA1 =1，則在
以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（ ）
A．單位向量有 8 個
r
B．與 AB 相等的向量有 3 個
r
C．與 AA1 的相反向量有 4 個
r r r
D．向量 A1D1, A1B1,CC1 共面
24．（2024 高二下·江蘇·課后作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．空間的任意三個向量都不共面
B．空間的任意兩個向量都共面
C．三個向量共面，即它們所在的直線共面
D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面
25．（2024 高二上·山東濟寧·階段練習）空間四點 A, B,C, D 及空間任意一點O，由下列條件一定可以得出
A, B,C, D 四點共面的有（ ）
r r r r r r r
A． AB = 2AC + 3AD B．OA = 3OB - OC - DO
r r r r r r
C． AB∥ AC D．OC = BO + 3AO - 5DO
r r r
26．（2024 高二上·安徽·期中）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，P 為空間一點，且滿足 BP = lBC + m BB1 ，
l, m 0,1 ，則（　?。?br/>A．當l =1時，點 P 在棱BB1上 B．當m =1時，點 P 在棱 B1C1 上
C．當l + m =1時，點 P 在線段B1C 上 D．當l = m 時，點 P 在線段BC1上
27．（2024 高二上·遼寧本溪·期末）下列命題中正確的是（ ）
CD r
r
A．若 AB ∥ ，則 AB ∥ CD
r r r r
B． a + b = a + b
r r
是 a,b 共線的必要條件
r r r r
C． A, B,C
1 1 1
三點不共線，對空間任一點O，若OP = OA + OB + OC ，則P, A, B,C 四點共面
2 4 4
r r r r r
D．若P, A, B,C 為空間四點，且有PA = lPB + m PC （PB, PC 不共線），則l + m =1是 A, B,C 三點共線的
充要條件
三、填空題
r
28．（2024 高二·全國·課后作業）如圖所示，在平行六面體 ABCD- A B C D 的棱中，與向量 AA 模相等的向
量有 個.
29．（2024 高二上·河北滄州·階段練習）已知 A，B，C 三點不共線，O 是平面 ABC 外任意一點，若由
r 1 r r rOP = OA 2+ OB + (1- l)OC 確定的一點 P 與 A，B，C 三點共面，則l = ．
6 3
r r r r r r r r r r r r r r r
30．（2024 高二上·山東聊城·期中）已知 i, j, k 是不共面向量， a = i - j + k,b = -i + 4 j - 2k,c = 7i + 2 j + lk ，
r r r
若 a,b,c三個向量共面，則實數l = .
31．（2024 高二上·山東煙臺·期末）如圖所示的平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，已知 AB = AA1 = AD，
BAD = DAA1 = 60°， BAA1 = 30°， N 為 A1D1上一點，且 A1N = l A1D1．若BD ^ AN ，則l 的值為 ；若M
為棱DD1的中點，BM / /平面 AB1N ，則l 的值為 ．
32．（2024 高一下·河北衡水·期末）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = AA1 =1，點 P 滿足
r r r
BP = mBC + nBB1 ，其中m =1,n [0,1]，則三角形 AB1P 周長最小值是 .
33．（2024 高二上·天津靜海·階段練習）已知 P 為空間中任意一點，A 、 B 、C 、D四點滿足任意三點均不
4 1 r
共線，但四點共面，且PA = PB- x PC+ DB，則實數 x 的值為 .
3 6
34．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1為平行四邊形，E 為棱
r 1 r r r AM
AB 的中點， AF = AD ， AG = 2GA1 ， AC3 1
與平面EFG 交于點M ，則 =AC .1
四、解答題
35．（2024 高二·全國·課后作業）如圖所示，已知矩形 ABCD， P 為平面 ABCD外一點，且PA ^平面
r r r r
ABCD，M 、 N 分別為PC 、PD上的點，且PM : MC = 2 :1，PN = ND，求滿足MN = xAB + y AD + z AP
的實數 x, y, z的值．
36．（2024 高二·江蘇·專題練習）已知O、A 、 B 、C 、 D、 E 、 F 、G 、 H 為空間的9個點（如圖所示），
r r r r r r r r r r r r
并且OE = kOA，OF = kOB，OH = kOD， AC = AD + mAB ，EG = EH + mEF ．求證： AC //EG．
r r r r r
37．（2024 高二下·江蘇·課后作業）設 e1,e2 是空間兩個不共線的非零向量，已知 AB = 2e1 + ke2 ，
r r r r r r
BC = e1 + 3e2 ，DC = 2e1 - e2 ，且 A， B， D 三點共線，求實數 k 的值．
38．（2024 高二上·全國·課前預習）如圖所示，已知 ABCD - A1B1C1D1為平行六面體，若以此平行六面體的頂
點為向量的起點、終點，求：
r
（1）與BB1 相等的向量；
r
（2）與BC1 相反的向量；
r
（3）與BA1 平行的向量．
39．（2024 高二上·廣東深圳·開學考試）如圖，在三棱錐P - ABC 中，點G 為VABC 的重心，點M 在PG 上，
且PM = 3MG ，過點M 任意作一個平面分別交線段PA， PB，PC 于點D，E ，F ，若PD = m PA，
1 1 1
PE = n PB ，PF = t PC ，求證： + + 為定值，并求出該定值.m n t
r r
40．（2024 高二上·湖南長沙·階段練習）如圖，已知O, A, B,C, D, E, F ,G, H 為空間的 9 個點，且OE = kOA，
r r r r r r r r r r
OF = kOB，OH = kOD， AC = AD + mAB ，EG = EH + mEF ， k 0, m 0 .
r r
求證：（1） AC / /EG ；
r r
（2）OG = kOC .1.1.1 空間向量及其線性運算 7 題型分類
一、空間向量的概念
1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
2．長度或模：向量的大?。?br/>3．表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
→ →
②字母表示法：用字母 a，b，c，…表示；若向量 a 的起點是 A，終點是 B，也可記作A B，其模記為|a|或|A B
|.
4．幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 長度為 0 的向量叫做零向量，記為 0
單位向量 模為 1 的向量稱為單位向量
與向量 a 長度相等而方向相反的向量，稱為 a 的相反向量，記為 －
相反向量
a
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么
共線向量
這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量 a，都有 0
(平行向量)
∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量稱為相等向量
二、空間向量的線性運算
→ → →
加法 a＋b＝O A＋ A B ＝O B
→ → →
空間向 減法 a－b＝O A－O C＝C A
量的線 → →
當 λ>0 時，λa＝λO A＝P Q；
性運算
數乘 → →
當 λ<0 時，λa＝λO A＝M N；
當 λ＝0 時，λa＝0
交換律：a＋b＝b＋a；
運算律 結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；
分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
三、共線向量
1．空間兩個向量共線的充要條件
對于空間任意兩個向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要條件是存在實數 λ，使 a＝λb.
2．直線的方向向量
在直線 l 上取非零向量 a，我們把與向量 a 平行的非零向量稱為直線 l 的方向向量．
四、共面向量
1．共面向量
→
如圖，如果表示向量 a 的有向線段O A所在的直線 OA 與直線 l 平行或重合，那么稱向量 a 平行于直線 l.如果
直線 OA 平行于平面 α 或在平面 α 內，那么稱向量 a 平行于平面 α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要條件
如果兩個向量 a，b 不共線，那么向量 p 與向量 a，b 共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使 p＝
xa＋yb.
（一）
空間向量的概念
(1)判斷有關向量的命題時，要抓住向量的兩個主要元素，即大小和方向，兩者缺一不可;
(2)要注意零向量的特殊性。對于零向量，我們應明確:
①零向量不是沒有方向，它的方向是任意的;
②零向量與任何向量都共線.
(3)對于共線向量我們應明確:
①當我們說 a 與 b 共線時，表示 a,b 的兩條有向線段所在的直線有可能是同一直線，也可能是平行直線，當
我們說 a//b 時，也具有相同的意義;
②共線(平行)向量不具有傳遞性，如 a//b,b//c.那么 a//c 就不一定成立，因為當 b=0 時，雖然有 a//b//c,但 a 不
一定與 c 共線，若 a,b,c 都不是零向量，則具有傳遞性.
(4)在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致，兩向量相等的充要條
件是兩個向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是模相等、方向相反．
題型 1：利用空間向量有關概念判斷命題
1-1．（2024 高二上·全國·課后作業）給出下列命題：
①零向量沒有方向；
②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
r r r r r r
③若空間向量 a,b滿足 a = b ，則a = b；
r r r r r r r r r
④若空間向量m,n, p滿足m = n,n = p，則m = p；
⑤空間中任意兩個單位向量必相等．
其中正確命題的個數為（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】D
【分析】根據空間向量的有關定義判斷可得答案.
【詳解】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；
當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點和終點不一定相
同，故②錯誤；
r r
根據相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 與b 的方向
不一定相同，故③錯誤；
命題④顯然正確；
對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．
故選：D.
1-2．（2024 高二·全國·課后作業）下列關于空間向量的命題中，正確的序號是 .
①若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
r r r
② a = b r是向量 a = b 的必要非充分條件；
ì av
v
r r = b③向量 a 、b 相等的充要條件是 í v v
a P b
r r
④若 A、B、C、D 是不共線的四點，則 AB = DC是四邊形 ABCD 為平行四邊形的充要條件.
【答案】②④
【分析】根據相等向量的概念可判斷①；根據相等向量和向量的模的概念可判斷②；由相反向量的概念可
判斷③；根據相等向量的概念和平行四邊形的性質可判斷④.
【詳解】向量相等只需滿足方向相同且模相等即可，故①錯誤；
r r r r r r r r r r r r
根據相等向量的概念可知，若 a = b ，則 a = b ，但 a = b ，有可能 a 、b 的方向不同，故 a = b 是向量 a = b
的必要非充分條件，②正確；
v
r r ì a
v = b
當 a 、b 為相反向量時，顯然滿足 í v v ，故③錯誤；
a P b
r r
因為 A、B、C、D 是不共線，所以由 AB = DC，可知 AB = DC 且 AB P DC ，所以四邊形 ABCD 為平行四邊
r r
形，反之，若四邊形 ABCD 為平行四邊形，則由平行四邊形的性質可得 AB = DC，故④正確.
故答案為：②④
1-3 r．（2024 高二·全國·課后作業）已知 a 為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（　?。?br/>A ar．與 共面的單位向量有無數個
B r．與 a 垂直的單位向量有無數個
C．與 ar 平行的單位向量只有一個
D ar．與 同向的單位向量只有一個
【答案】C
【分析】利用向量的定義，有大小，有方向兩個方面進行判斷，即可確定每個選項的正確性．
r
【詳解】解：與 a 共面的單位向量，方向可任意，所以有無數個，故 A 正確；
ar與 垂直的單位向量，方向可任意，所以有無數個，故 B 正確；
ar與 平行的單位向量，方向有兩個方向，故不唯一，故 C 錯誤；
ar與 同向的單位向量，方向唯一，故只有一個，故 D 正確．
故選：C．
1-4．（2024 高三上·廣東·階段練習）如圖，已知正方體 ABCD-A1B1C1D1的中心為 O，則下列結論中
r r r r
① OA +OD 與OA 1+OD 1是一對相反向量；
r r r r
② OB -OC 1與OC -OB 1是一對相反向量；
r r r r r r r r
③ OA 1+OB 1+OC 1+OD 1與OD +OC +OB +OA是一對相反向量；
r r r r
④ OC -OA與OC 1-OA 1是一對相反向量．
正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由向量的加減運算對各個選項進行檢驗即可.
【詳解】設 E,F 分別為 AD 和 A1D1的中點，
r r r r r r
① OA +OD = 2OE與OA1 +OD1 = 2OF 不是一對相反向量，錯誤；
r r r r r r
② OB -OC1 = C1B與OC -OB1 = B1C 不是一對相反向量，錯誤；
r r r r r r r r r r r r
③ OA 1+OB 1+OC 1+OD1 = -OC - OD - OA - OB = - OC + OD + OA + OB 是一對相反向量,正確；
r r r r r r
④ OC -OA = AC 與OC 1-OA1 = A1C1 不是一對相反向量,是相等向量，錯誤．
即正確結論的個數為 1 個
故選：A
（二）
空間向量的加減運算
空間向量加法、減法運算的兩個技巧
(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾
相接．
(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務必注意和向量、差向量的方
向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結果．
題型 2：利用空間向量的加減法運算求解化簡
r r r
2-1．（2024 高二上·北京大興·期末）空間向量OA - OB + AC = （ ）
r r r r
A． AB B．CB C．OC D．BC
【答案】D
【分析】利用向量的加減法則即可求解.
r r r r r r
【詳解】OA - OB + AC = BA + AC = BC
故選：D
2-2．（2024 高二下·安徽亳州·開學考試）在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，O為線段 AC 的中點，則
r r r
OA1 + AD + AB = （ ）
uuur r r uuur
A． AD1 B．OB1 C．OC1 D．OD1
【答案】C
【分析】利用空間向量的加法法則進行求解.
r r r
【詳解】因為O為線段 AC 的中點，所以 AB+AD = 2AO ,
r r r r r r r
所以OA1 + AD + AB = 2AO + OA1 = AO + AA1 ，
r r r r
因為長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AO=OC, AA1 = CC1 ，
r r r r r r r r r
所以 AO+AA1=OC+CC1=OC1 ，即OA1 + AD + AB = OC1 .
故選：C.
r r r
2-3．（2024 高二下·江蘇連云港·期中）正方體 ABCD - A1B1C1D1中，化簡 AB + BD - AC1 =（ ）
r r r r
A．C1B B．BC1 C．C1D D．DC1
【答案】C
【分析】根據空間向量的線性運算求解即可.
r r r r r r
【詳解】 AB + BD - AC1 = AD - AC1 = C1D .
故選：C.
（三）
空間向量的線性運算
（1）利用數乘運算進行向量表示的注意點
①數形結合：利用數乘運算解題時，要結合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標向量轉
化為已知向量．
②明確目標：在化簡過程中要有目標意識，巧妙利用線段的中點進行解題．
（2）進行向量的線性運算，實質上是在正確運用數乘運算律的基礎上進行向量求和，即通過作出向量，運
用平行四邊形法則或三角形法則求和．運算的關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中．
題型 3：利用空間向量數乘運算化簡求解空間向量
3-1．（2024 高二下·全國·單元測試）若 A, B,C, D 為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（ ）
r r r r
A． AB + 2BC + 2CD + DC
r r r r r
B． 2AB + 2BC + 3CD + 3DA + AC
r r r
C． AB + DA + BD
r r r r
D． AB - CB + CD - AD
【答案】A
【分析】根據空間向量的線性運算逐一分析各個選項即可得出答案.
r r r r r r r r r r r r【詳解】對于 A， AB + 2BC + 2CD + DC = AB + BC + BC + CD + CD + DC = AC + BD；
r r r r r r r r r r r r r
對于 B， 2AB + 2BC + 3CD + 3DA + AC = 2 AB + BC + 3 CD + DA + AC = 3AC + 3CA = 0；
r r r r r r r r r
對于 C， AB + DA + BD = DA + AB + BD = DB + BD = 0；
r r r r r r r r r r r
對于 D， AB - CB + CD - AD = AB - AD + CD - CB = DB + BD = 0 .
故選：A.
3-2．（2024 高二·全國·課后作業）如圖所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，M 是BB1的中點，化簡下列各式，
并在圖中標出化簡得到的向量.
r r
(1)CB + BA1 ；
r r 1 r
(2) AC + CB + AA1 ；2
1 r 1 r r r
(3) AA1 - B1B - AC - CB .2 2
r r r
【答案】(1)CB + BA1 = CA1 ，圖中表示見解析
r r 1 r r
(2) AC + CB + AA1 = AM ，圖中表示見解析2
1 r r r r r
(3) AA
1
- B B - AC - CB = BA ，圖中表示見解析
2 1 2 1 1
【分析】（1）（2）（3）利用空間向量的加減法的運算法則和幾何意義化簡．
r r r
【詳解】（1）解：CB + BA1 = CA1 .
r r r r
（2）解：因為M 是BB
1
1的中點，所以BM = BB1 ，又 AA1 = BB1 ，2
r r r r r r
所以 AC + CB
1
+ AA1 = AB + BM = AM .2
1 r 1 r r r
（3）解： AA
2 1
- B1B - AC - CB2
1
=
2
r r
AA1 + BB1 -
r r
AC + CB r r r= AA1 - AB = BA1
r 1 r r r r
3-3．（2024 高二上·全國·階段練習）已知在空間四邊形 ABCD中，CG = CD ，則BD + BC + 2AB = （ ）2
r r r 1 r
A． 2AG B． 2GC C． 2BC D． BC2
【答案】A
【分析】
r 1 r r r r
根據CG = CD 得到 G 為 CD 的中點，再利用平行四邊形法則得到BD + BC = 2BG ，最后代入計算即可.2
r 1 r
【詳解】因為CG = CD ，故 G 為 CD 的中點，如圖，
2
r r r
由平行四邊形法則可得BD + BC = 2BG ，
r r r r r r
所以 2AB + BD + BC = 2 AB + BG = 2AG .
故選：A.
3-4．（遼寧省沈陽市東北育才學校 2023-2024 學年高二上學期第二次段考數學試題（理科））已知正方體
1 rABCD- A B C D ，點 E 是 A C 的中點，點 F 是 AE 的三等分點，且 AF = EF ，則 AF 等于（ ）．2
r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r
A． AA + AB + AD B． AA + AB + AD
2 2 2 2 2
1 r 1 r 1 r 1 r 1 rAA AB AD AA AB 1
r
C． + + D． + + AD
2 6 6 3 6 6
【答案】D
r 1 r r r r r 1 r
【分析】作圖分析，根據空間向量的線性運算可得 AF = AE ， AE = AA + A E ， A E = A C ，3 2
r r r r r r r r 1 r 1 r
A C = A D + A B ， A D = AD， A B = AB，代入 AF = 3
AA + A C ÷化簡即可得出答案．
è 2
【詳解】如圖所示，
1 r 1 r r r r r r
由于 AF = EF ，故 AF = AE
1
，
2 3 AE = AA + A E
， A E = A C ，
2
r r r r r r r
A C = A D + A B ， A D = AD， A B = AB，
r 1 r 1 r 1 r r r r
∴ AF = AE = AA + A C
1 AA 1= + (A B + A D )
3 3 2 ֏ 3 6
1 r 1 r r 1 r 1 r r= AA + AB AD 1+ = AA + AB + AD，3 6 3 6 6
故選：D．
3-5．（2024 高二上·廣東深圳·期末）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，E、F 分別是 BC、CC1的中點，G 為
r
VABC 的重心，則GF = （ ）
1 r 2 r 1 r 1 r 2 rAB AC AA AB AC 1
r
A．- + + B． + + AA
3 3 2 1 3 3 2 1
2 r r r r r r
C．- AB
1 1 1 2 1
+ AC - AA1 D． AB - AC + AA3 3 2 3 3 2 1
【答案】A
【分析】根據向量的數乘及加、減運算求解即可.
【詳解】解：由題意可得：
uuur uuur uuur
GF = GE + EF
1 uuur 1 uuuur
= AE + BC
3 2 1
1 1 uuur uuur 1 uuur uuur
= (AB + AC) + (BC + BB1)3 2 2
1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
= AB + AC 1+ (AC - AB + BB
6 6 2 1
)
1 uuur 2 uuur 1 uuur
= - AB + AC + BB
3 3 2 1
1 uuur 2 uuur uuur
= - AB AC 1+ + AA
3 3 2 1
.
故選：A.
（四）
向量共線的判定及應用
1、向量共線的判定及應用
(1)利用向量的共線證明了線線平行，解題時應注意向量共線與兩直線平行的區別．
(2)判斷或證明兩向量 a，b(b≠0)共線，就是尋找實數 λ，使 a＝λb 成立，為此常結合題目圖形，運用空間向
量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．
(3) → →判斷或證明空間中的三點(如 P，A，B)共線的方法：是否存在實數 λ，使PA＝λPB；
2、判斷向量共線的策略:
（1）熟記共線向量的充要條件:
①若 a//b,b≠0，則存在唯一實數l 使 a=l b;
②若存在唯一實數l ，使 a=l b，則 a//b.
（2）判斷向量共線的關鍵:找到實數l .
3、三點共線與直線平行的判斷:
（1）線線平行:證明兩直線平行要先證明兩直線的方向向量 a,b 平行，還要證明一直線上有一點不在另一
條直線上.
r r r r
（2）三點共線:證明三點 A, B,C 共線，只需證明存在實數l ，使 AB = lBC 或 AB = l AC 即可.
題型 4：向量共線的判定
r r r r r r r
4-1．（2024 高二· r全國·課后作業）已知向量 a 、b 滿足 AB r r= a + 2b ，BC = -5a + 6b ，CD = 7ar - 2b ，則一定
共線的三點是 (　　 )
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】證明三點共線，借助向量共線定理判斷即可.
r r r r r r r r uuur r
【詳解】因為 AB = a + 2b ，BC = -5a + 6b ，不存在常數l 使得 AB = l BC ，所以 AB, BC 不共線，則 A，B，
C 不共線，B 錯；
r r r r r r m r r
r r
因為BC = -5a + 6b ，CD = 7a - 2b ，不存在常數 ，使得CD = m BC ，所以CD, BC 不共線，則 B，C，D
不共線，C 錯；
r r r r r r r r r r
因為 AC = AB r+ BC = a + 2b r r- 5a + 6b = -4a + 8b ，CD = 7ar - 2b ，所以不存在常數 n ，使得CD = n AC ，所
r r
以CD, AC 不共線，則 A，C，D 不共線，D 錯；
r r r r r r r r r
因為BD = BC + CD = -5ar + 6b 7ar 2b 2ar+ - = + 4b = 2AB ，所以 BD, AB 共線，又兩向量都過點 B ，故三點A ，
B ，D一定共線．
故選：A．
4-2．（2024 高二·全國·課后作業）如圖，四邊形 ABCD ABEF 都是平行四邊形且不共面，M N 分別是 AC
r r
BF 的中點，判斷CE 與MN 是否共線？
【答案】共線.
【分析】利用空間向量的線性運算，結合空間向量的共線定理，即可判斷.
【詳解】因為 M N 分別是 AC BF 的中點，而四邊形 ABCD ABEF 都是平行四邊形，
r r r r r r r
所以MN = MA
1 1
+ AF + FN = CA + AF + FB .
2 2
r r r r r 1 r r r r
又MN = MC + CE EB BN
1
+ + = - CA + CE - AF - FB ，
2 2
1 r r 1 r 1 r r r r
所以 CA AF FB
1
+ + = - CA + CE - AF - FB .
2 2 2 2
r r r r r r r r所以CE = CA + 2AF + FB = 2 MA + AF + FN = 2MN ，
r r r r
即CE = 2MN ，即CE 與MN 共線.
r r
4-3．（2024 高二·全國·課后作業）如圖所示，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點E 在 A1D1上，且 A1E = 2ED1 ，
r 2 r
點F 在體對角線 A1C 上，且 A1F = FC ．求證：E ，F ， B 三點共線．3
【答案】證明見解析
r r r r r
【分析】把EF , FB 用基底 A1B1, A1A, A1D1 表示后證明它們共線，再由共頂點F 可得三點共線．
【詳解】連接EF ，FB，
r r r 2 r 2 r
∵ EF = A1F - A1E = A5 1
C - A
3 1
D1
2 r r r 2 r
=
5 A1A + AB + BC - A3 1D1
2 r r r r= A1B1 + A D 25 1 1 + A1A - A3 1D1
2 r 2 r 4 r
= A1B1 + A1A - A1D1 ，5 5 15
r r r r r 2 r r rFB = A1B - A1F = A1B1 + A1A - A1B1 + A5 1D1 + A1A
3 r 3 r 2 r
= A B
5 1 1
+ A1A - A D ，5 5 1 1
r 2 r r r
∴ EF = FB ，∴
3 EF //FB
，
又EF FB = F ，∴ E ，F ， B 三點共線．
4-4．（2024 高二·甘肅武威·課后作業）滿足下列條件，能說明空間不重合的 A、B、C 三點共線的是(　　)
v v v v v v
A． AB + BC = AC B． AB - BC = AC
v v v v
C． AB = BC D． AB = BC
【答案】C
【分析】由題意逐一考查所給的說法是否正確即可.
v v v
【詳解】對于空間中的任意向量，都有 AB + BC = AC ，說法 A 錯誤；
v v v r r r r r r r r
若 AB - BC = AC ，則 AC + BC = AB ，而 AC + CB = AB ，據此可知 BC = CB ，即B,C 兩點重合，選項 B 錯
誤；
v v
AB = BC ，則 A、B、C 三點共線，選項 C 正確；
v v
AB = BC ，則線段 AB 的長度與線段BC 的長度相等，不一定有 A、B、C 三點共線，選項 D 錯誤；
本題選擇 C 選項.
【點睛】本題主要考查空間向量的運算法則，三點共線的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉化能力
和計算求解能力.
題型 5：向量共線的應用
r r r r r r r r
5-1．（2024 高二·全國·課后作業）設 a,b是空間中兩個不共線的向量，已知 AB = 9a + mb，BC = -2a - b ，
r r r
DC = a - 2b，且 A, B, D 三點共線，則實數m = ．．
【答案】-3
r r r r r
【分析】利用向量線性運算可得BD = -3a + b ，由三點共線可得 AB = lBD ，由此可構造方程組求得結果.
r r r r r r
【詳解】QBC = -2a - b，DC = a - 2b，
r r r r r r r r r r r
\BD = BC + CD = BC - DC = -2a - b - a - 2b = -3a + b，
r r r r r r
Q A, B, D三點共線，\存在實數l ，使得 AB = lBD ，即9a + mb = l -3a + b ，
ì9 = -3l
\í ，解得：m = l = -3
m
．
= l
故答案為：-3 .
r r r r r r r r
5-2．（2024 高二上·貴州黔南·期中）設 e1 ， e2 是兩個不共線的空間向量，若 AB = 2e1 - e2 ，BC = 3e1 + 3e2 ，
uuur ur ur
CD = e1 + ke2 ，且A ，C ，D三點共線，則實數 k 的值為 .
2
【答案】 / 0.4
5
r r
【分析】由 AC //CD列方程，化簡求得 k 的值.
r r r r r r uuur ur ur
【詳解】∵ AB = 2e1 - e2 ，BC = 3e1 + 3e2 ，CD = e1 + ke2 ，
r r r r r
∴ AC = AB + BC = 5e1 + 2e2 ，
r r
又∵A，C，D 三點共線，∴ AC //CD，
r r r r
∵ e1 ， e2 不共線，∴ AC = 5CD，
2
∴ 2 - 5k = 0，∴ k = .
5
2
故答案為：
5
r r r r r r r
5-3．（2024 高二上·廣東廣州·期末）已知{a,b,c}是空間的一個基底，若m = a + 2 b - 3c ，
r r r r r r r r r x
n = x(a+b)- y(b+c)+3(a+c)，若m∥n，則 =y （ ）
1 1
A．-3 B．- C．3 D．
3 3
【答案】C
r r r r r r
【分析】由m∥n，可得存在實數l ，使 n = λm，然后將m, n代入化簡可求得結果
r r r r v v v v v v v v v
【詳解】m = a + 2 b - 3c ， n = x(a + b) - y(b + c) + 3(a + c) = (x + 3)a + (x - y)b + (3 - y)cv，
r r r r
因為m∥n，所以存在實數l ，使 n = λm，
v v
所以 (x + 3)av + (x - y)b + (3- y)cv = l(av + 2b - 3cv) ，
ìx + 3 = l

所以 íx - y = 2l ，

3- y = -3l
ìx - y = 2(x + 3)
所以 í ，得 2x + 2y = 3x - y ， x = 3y
3- y = -3(x + 3)
，
x
所以 = 3y ，
故選：C
（五）
向量共面的判定及應用
1、向量共面的充要條件
如果兩個向量 a，b 不共線，那么向量 p 與向量 a，b 共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使 p＝
xa＋yb．
2、證明空間向量共面、點共面的常用方法
(1)證明空間三個向量共面常用的方法
①證明其中一個空間向量可以表示成另兩個空間向量的線性組合，即若 a＝xb＋yc，則空間向量 a，b，c 共
面；
②尋找平面 α，證明這些空間向量與平面 α 平行．
(2)對空間四點 P，M，A，B 可通過證明下列結論成立來證明四點共面
→ → →
①M P＝xM A＋yM B；
→ → → →
②對空間任一點 O，O P＝O M＋xM A＋yM B；
→ → → →
③對空間任一點 O，O P＝xO A＋yO B＋zO C(x＋y＋z＝1)；
→ → → → → →
④P M∥A B(或P A∥M B，或P B∥A M)．
題型 6：向量共面的判定
r r r r r r r r r r r r r r
6-1．（2024 高二上·全國·課后作業）已知 i, j, k 是不共面向量， a = i - 2 j + k,b = -i + 3 j + 2k,c = -3i + 7 j ，證
明這三個向量共面.
【答案】證明見解析
【分析】由空間向量基本定理可得答案.
r r r r r
【詳解】由 i, j, k 是不共面向量，得a 與b 不共線，
r r r r r r r r r r r
設 a = xb + yc ，則 i - 2 j + k = x -i + 3 j + 2k + y -3i + 7 j ，
ì1 = -x - 3y ì 1

x =
2 r 1 r 1 r
所以 í-2 = 3x + 7 y ，解得 í ，所以 a = b - c
1
，
2 2
1 = 2x y = - 2
所以這三個向量共面.
6-2．（2024 高二下·江蘇·課后作業）設空間任意一點O和不共線的三點A ， B ，C ，若點 P 滿足向量關系
r r r r
OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z =1），試問： P ，A ， B ，C 四點是否共面？
【答案】共面
r r r r
【分析】由已知得OP = (1- y - z)OA + yOB + zOC ，由此利用空間向量共面定理能證明 P ，A ，B ，C 四點共面．
【詳解】解： P ，A ， B ，C 四點共面．
r r r r
理由如下：Q OP = xOA + yOB + zOC ， x + y + z =1，
r r r r r r r r r
\ OP = (1- y - z)OA + yOB + zOC = OA - yOA - zOA + yOB + zOC
r r r r r r r r
= OA + y OB - OA + z OC - OA = OA + y AB + z AC ，
r r r r r
即 AP = y AB + z AC ，由A ， B ，C 三點不共線，可知 AB 和 AC 不共線，
r r r
由共面定理可知向量 AP ， AB ， AC 共面，
\P，A ， B ，C 四點共面．
6-3．（2024 高二下·上海楊浦·期中）下列條件中，一定使空間四點 P A B C 共面的是（ ）
uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur
A．OA + OB + OC = -OP B．OA + OB + OC = OP
uur uuur uuur uuur r r r r
C．OA + OB + OC = 2OP D．OA + OB + OC = 3OP
【答案】D
uuur uur uuur uuur
【分析】要使空間中的 P 、A 、 B 、C 四點共面，只需滿足OP = xOA + yOB + zOC ，且 x + y + z =1即可.
uuur uur uuur uuur
【詳解】對于 A 選項，OP = -OA - OB - OC ， (-1) + -1 + -1 = -3 1，所以點 P 與A 、 B 、C 三點不共面；
r r r r
對于 B 選項，OP = OA + OB + OC ，1+1+1 = 3 1，所以點 P 與A 、 B 、C 三點不共面；
r 1 r 1 r 1 r
對于 C 選項，OP = OA OB OC
1 1 1 3
+ + ， + + = 1，所以點 P 與A 、 B 、C2 2 2 2 2 2 2 三點不共面；
r 1 r 1 r 1 rOP OA OB 1 1 1對于 D 選項， = + + OC ， + + = 1 ,所以點 P 與A 、 B 、C 三點共面.
3 3 3 3 3 3
故選：D.
6-4．（湖北省云學新高考聯盟 2023-2024 學年高二上學期期末聯考數學試題）在下列條件中，能使M 與A ，
B ，C 一定共面的是（ ）
r r r r r r
OM 1 OA 1
r r
A．OM = 2OA - OB - OC B． = + OB
1
+ OC
5 3 2
r r r r r r r r r
C．MA + MB + MC = 0 D．OM + OA + OB + OC = 0
【答案】C
【分析】根據四點共面的條件逐項判斷即可求得結論．
r r r r
【詳解】解：空間向量共面定理，OM = xOA + yOB + zOC ，若A ，B ，C 不共線，且A ，B ，C ，M 共面，
則其充要條件是 x + y + z =1；
對于 A，因為 2 -1-1 = 0 1，所以不能得出A ， B ，C ，M 四點共面；
1 1 1 31
對于 B，因為 + + = 15 3 2 30 ，所以不能得出A ， B ，C ，M 四點共面；
r r r r r r
對于 C，MA = -MB - MC ，則MA，MB ，MC 為共面向量，所以M 與A ， B ，C 一定共面；
r r r r r r r r r
對于 D，因為OM + OA + OB + OC = 0，所以OM = -OA - OB - OC ，因為-1-1-1 = -3 1，所以不能得出
A ， B ，C ，M 四點共面．
故選：C．
題型 7：向量共面的應用
r r r r r r r r r r
7-1．（2024 高二上·湖北黃岡·期末） a,b,c 是空間向量的一組基底，OA = 2a + mb + c，OB = a + 2b ，
r r r r
OC = a + b + c ，已知點O在平面 ABC 內，則m = .
【答案】3
r r r
【分析】根據空間向量共面定理可得存在l 與m 使得OC = lOA + mOB ,從而可求解.
r r r
【詳解】因為點O在平面 ABC 內，所以OA，OB，OC 共面，
r r r
所以存在l 與m 使得OC = lOA + mOB ,
r r r r r r
即 a + b + c = l 2a + mb + c r r r r r+ m a + 2b = 2l + m a + lm + 2m b + lc，
ì2l + m =1 ìl =1

所以 ílm + 2m =1

，解得 ím = -1 .

l =1 m = 3
故m = 3 .
故答案為:3.
7-2．（2024 高二上·山東煙臺·期中）已知O為空間中一點， A, B,C, D 四點共面且任意三點不共線，若
r r r r
2BD = xOA + OB + OC ，則 x 的值為 ．
【答案】-2
【分析】根據向量共面列方程，結合已知條件求得 x 的值.
【詳解】依題意， A, B,C, D 四點共面且任意三點不共線，
r r r
所以BD = mBA + nBC ，
r r r r r
所以 2mBA + 2nBC = xOA + OB + OC ，
r r r r r r r
2mOA - 2mOB + 2nOC - 2nOB = xOA + OB + OC ，
r r r r r r
2mOA - 2m + 2n OB + 2nOC = xOA + OB + OC ，
ì2m = x

所以 í- 2m + 2n =1，解得 x = -2 .

2n =1
故答案為：-2
7-3．（2024 高二上·重慶北碚·階段練習）在三棱錐P - ABC 中，M 是平面 ABC 上一點，且
r r r r
5PM = 2PA + tPB + PC ，則 t = （ ）
1 1
A．1 B．2 C． D．
7 2
【答案】B
【分析】利用空間向量的基本定理得到關于 t的方程，解之即可.
r r r r
【詳解】因為5PM = 2PA + tPB + PC ，
r r r r
所以PM
2
= PA t+ PB 1+ PC ，
5 5 5
因為 M 是平面 ABC 上一點，即 A, B,C, M 四點共面，
2
所以 5 +
t
5 +
1
5 =1，所以 t = 2．
故選：B.
7-4．（2024 高二下·江蘇淮安·期中）已知 A, B,C 三點不共線，O是平面 ABC 外任意一點，若由
r 1 r 1 r rOP = OA + OB + lOC 確定的一點 P 與 A, B,C 三點共面，則l 等于（ ）
5 3
2 2 7 7
A．- B． C． D．-
3 3 15 15
【答案】C
【分析】根據四點共面的充要條件及其推論，即可得出答案.
r r r r
【詳解】由 P 與 A, B,C
1 1
三點共面以及OP = OA + OB + lOC ，
5 3
1 1 7
可得， + + l =1，所以l = .
5 3 15
故選：C.
7-5．（江西省宜春市八校 2023-2024 學年高二上學期第一次（12 月）聯合考試數學試題）如圖,平面 ABC 內
r r r r
的小方格均為正方形,點 P 為平面 ABC 內的一點,O為平面 ABC 外一點,設OP = mOA + nOB + 2OC ,則m + n的
值為（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
r r r r r r r
【分析】先將OP 寫為OA + AP ,再根據平面向量基本定理,將 AP 寫為 xAB + y AC ,代入OP 中,利用向量的加
r r r
減,化為OA,OB,OC 的形式,跟題中對比相等,即可得出結果.
r r r
【詳解】由題知OP = OA + AP ，
Q A, P, B,C 四點共面,
根據平面向量基本定理,
r r r
不妨設 AP = xAB + y AC , x, y R ，
r r r r
則OP = OA + xAB + y AC
r r r r r
= OA + x(OB - OA) + y(OC - OA)
r r r
= 1- x - y OA + xOB + yOC ,
r r r r
QOP = mOA + nOB + 2OC ，
ì1- x - y = m
\ íx = n ,

y = 2
\m + n =1- x - y + x =1- y = -1 .
故選:B
7-6．（2024 高二上·遼寧大連·期中）已知 A, B,C 三點不共線，O是平面 ABC 外任意一點，若
r r 2 r 1 rOM = 2lOA + OB + OC ，則 A, B,C, M 四點共面的充要條件是（
5 6 ）
l 13 17 17 13A． = B．l = C．l = - D．l = -
60 60 60 60
【答案】A
【分析】根據向量共面定理，結合向量運算，整理可得系數的方程組，求得參數，可得答案.
r r r r r r r r r【詳解】 A, B,C, M 四點共面的充要條件是 AM = xBM + yCM ，OM - OA = x OM - OB + y OM - OC ，整
r r r r
理可得 1- x - y OM = OA - xOB - yOC ，
ì1- x - y = z
1 = 2lz
r r 2 r 1 r

OM 2lOA = + OB + OC í x 2 l
13
由 ，則
5 6 - = z
，解得 = ，
5 60
1
-y = z
6
故選：A.
一、單選題
1．（2024 高二·全國·課后作業）下面關于空間向量的說法正確的是（ ）
r r r r
A．若向量 a,b平行，則 a,b所在直線平行
r r r r
B．若向量 a,b所在直線是異面直線，則 a,b不共面
r r
C．若 A，B，C，D 四點不共面，則向量 AB ，CD不共面
r r r
D．若 A，B，C，D 四點不共面，則向量 AB ， AC ， AD 不共面
【答案】D
【分析】利用平行向量的意義判斷 A；利用空間共面向量的意義判斷 BCD 作答.
r r r r
【詳解】向量 a,b平行， a,b所在直線可以重合，也可以平行，A 錯誤；
可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內，因此空間任意兩個向量都是共面的，BC 錯誤；
r r r
顯然 AB，AC，AD 是空間中有公共端點 A，但不共面的三條線段，所以向量 AB ， AC ， AD 不共面，D 正
確.
故選：D
r r r r
2．（2024 高二下·河南焦作·開學考試）已知在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AD1 = xCD + yCC1 + zBD，則
x + y + z =（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-2
【答案】C
【分析】利用空間向量的運算法則即可求解.
r r r r r r r
【詳解】依題知，Q AD1 = AB + BB1 + B1D1 = -CD + CC1 + BD，
∴ x = -1, y = z =1，
∴ x + y + z =1．
故選：C.
3．（河北省石家莊市二十三中 2023-2024 學年高二上學期期末數學試題）如圖，已知空間四邊形 ABCD 的
r 1 r r
對角線為 AC，BD，設 G 是 CD 的中點，則 AB + (BD + BC)等于（ ）
2
r r r 1 r
A． AG B．CG C．BC D． BC2
【答案】A
【分析】根據空間向量的線性運算即可.
【詳解】G 是 CD 的中點,所以
r r r r r r
AB 1+ (BD + BC) = AB + BG = AG
2
故選：A.
r r r
4．（2024·山東棗莊·模擬預測）如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，化簡 AB - AD + CC1 = （ ）
r r uuur r
A． BD1 B．DB1 C． AC1 D．CA1
【答案】B
【分析】由空間向量的線性運算結合長方體的結構特征進行運算.
r r
【詳解】由長方體的結構特征，有CC1 = BB1 ，
r r r r r r r r
則 AB - AD + CC1 = DB + CC1 = DB + BB1 = DB1 .
故選：B
r r r r r r r r5．（2024 高二上·全國·課后作業）當 | a |=| b | 0 ，且 a、b 不共線時， a + b 與 a - b 的關系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定
【答案】A
【分析】
利用平面向量的加減法的法則，結合向量共面的定義進行判斷.
r r
【詳解】根據平行四邊形法則可得，以a ，b 為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對角線對應的向量分別為
r r r r
a + b, a - b ，
r r r r
所以 a + b 與 a - b共面.
故選：A.
6．（2024 高二上·河南新鄉·期末）下列條件能使點M 與點 A, B,C 一定共面的是（ ）
r r r r
A．OM = OA - OB - OC
r r r r
B．OM = OA + OB + OC
r r r 1 r
C．OM = -OA - OB + OC
2
r r r r
D．OM = -OA - OB + 3OC
【答案】D
【分析】
根據空間共面向量定理以及其結論一一判斷各選項，即可得答案.
【詳解】
r r r r
設OM = xOA + yOB + zOC ，若 x + y + z =1，則點M , A, B,C 共面．
r r r r
對于 A，OM = OA - OB - OC ，由于1-1-1 = -1 1，故 A 錯誤；
r r r r
對于 B，OM = OA + OB + OC ，由于1+1+1 = 3 1，故 B 錯誤；
r r r
OM 1
r
對于 C, = -OA - OB + OC
1 3
，由于-1-1+ = - 1，故 C 錯誤；
2 2 2
r r r r
對于 D，OM = -OA - OB + 3OC ，由于-1-1+ 3 =1，得M , A, B,C 共面，故 D 正確.
故選：D.
7．（2024 高二上·山東濟南·期中）下列關于空間向量的說法中正確的是（ ）
A．方向相反的兩個向量是相反向量
B．空間中任意兩個單位向量必相等
r r r r r r
C．若向量 AB , CD 滿足 AB > CD ，則 AB > CD
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【分析】
根據向量的相關概念逐一判斷即可.
【詳解】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故 A 錯誤；
單位向量指的是模為 1 的向量，方向未定，故 B 錯誤；
向量不能比較大小，故 C 錯誤；
相等向量其方向必相同，故 D 正確；
故選：D.
8．（2024 高二上·四川遂寧·階段練習）已知O為空間任一點，A ，B ，C ，D四點滿足任意三點不共線，但
r r r r
四點共面，且OA = 2xBO + 3yCO + 4zDO，則 2x + 3y + 4z 的值為（ ）
A．1 B．-1 C．2 D． 2
【答案】B
【分析】
根據空間向量共面定理的推論求解．
r r r r r r r r
【詳解】解：Q OA = 2xBO + 3yCO + 4zDO，\ OA = -2xOB + (-3y)OC + (-4z)OD，
又A ， B ，C ，D四點滿足任意三點不共線，但四點共面，
\-2x - 3y - 4z = 1，\2x + 3y + 4z = -1，
故選：B．
9．（2024 高二上·安徽宿州·期末）已知點D在VABC 確定的平面內，O是平面 ABC 外任意一點，實數 x, y
r r r r
滿足OD = xOA + yOB - OC ，則 x2 + y2 的最小值為（ ）
4
A． B 2 5． C．1 D．2
5 5
【答案】D
【分析】
根據共面向量的性質，結合配方法進行求解即可.
r r r r
【詳解】因為OD = xOA + yOB - OC ，點D在VABC 確定的平面內，
所以 x + y -1 =1，即 x = 2 - y，所以 x2 + y2 = (2 - y)2 + y2 = 2y2 - 4y + 4 = 2(y -1)2 + 2 2，
所以當 y =1時， x2 + y2 的有最小值 2．
故選：D
r r r r
10．（2024 高二上·山東威?！て谀┰谄叫辛骟w ABCD - A1B1C1D
1 1
1中，點 E 滿足 AE = - AA + AB3 1 1
+ AD
3 1
，
則（ ）
r r r r r r r r
A．3B1E = B1C1 B．3B1E = 2B1C1 C．B1E = 3B1C1 D． 2B1E = 3B1C1
【答案】A
【分析】利用向量的線性運算全部轉化為用B1作為起點的向量來表示，然后整理即可.
r r r r r r r r r r r
【詳解】由 AE
1
= - AA AB 11 + 1 + AD B E
1
1 得 1 - B1A = - B A - B A - B A 1+ B D - B A ，3 3 3 1 1 1 1 3 1 1 1
r r r r r
整理得3B1E = B1D1 - B1A1 = A1D1 = B1C1 .
故選：A.
r r r r
11．（2024 高二上·北京·期中）在三棱柱 A1B1C1 - ABC 中，D 是四邊形 BB1C1C 的中心，且 AA1 = a ， AB = b ，
r r rAC = c ，則 A1D = （ ）
1 ar 1
r r
A． + b
1 cr 1 r 1 1 r+ B． a - b + c
2 2 2 2 2 2
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r
C． a + b - c D．- a + b + c
2 2 2 2 2 2
【答案】D
【分析】利用空間向量線性運算計算即可.
r r r r r r r r
【詳解】 A1D = A1A + AB + BD
1
= -AA1 + AB + BB1 + BC2
r r 1 r 1 r r 1 r 1 r r r= -AA1 + AB + AA1 + AC - AB = - AA1 + AB 1 1 r 1 1 r+ AC = - a + b + c .2 2 2 2 2 2 2 2
故選：D.
12．（2024 高二上·河南洛陽·期中）已知點D在VABC 確定的平面內，O是空間任意一點，實數 x, y滿足
r r r r
OD = xOA + 2yOB - OC ，則 x2 + y2 的最小值為（ ）
4
A B 2 5． ． C．1 D．2
5 5
【答案】A
【分析】由空間向量四點共面定理可得 x + 2y -1 =1，然后利用一元二次函數的圖像和性質求最小值即可.
r r r r
【詳解】由題意因為 A, B,C, D 四點共面且平面唯一確定，OD = xOA + 2yOB - OC ，
所以 x + 2y -1 =1，即 x = 2 - 2y ，
所以 x2 + y2 = (2 - 2y)2 + y2 = 5y2 -8y + 4 ，
-8 4
由一元二次函數的圖像和性質可得當 y = - = 時，5y2 -8y + 4取得最小值，
2 5 5
2
(x2 y2 ) 5 4 8 4 4 4所以 + min = ÷ - + = ，
è 5 5 5
故選：A
13．（2024 高二上·福建三明·開學考試）下列命題中為真命題的是（ ）
v r
A．空間向量 AB 與BA的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C．空間向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
【答案】A
【分析】由于向量的長度與向量的方向無關，相反向量的長度相，由此可判斷 AD，將空間所有的單位向量
平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，由此可判斷 B，由向量與有向線段的關系判斷 C.
v r v r
【詳解】對于 A，因為空間向量 AB 與BA互為相反向量，所以空間向量 AB 與BA的長度相等，所以 A 正確，
對于 B，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以 B 錯誤，
對于 C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以 C 錯誤，
v r
對于 D，兩個空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟?，也可能不相等，如向量 AB 與BA的模相等，所以 D 錯
誤，
故選：A
14．（2024 高二·全國·課后作業）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；
r r r r r r
②若空間向量 a,b滿足 a = b
r r
，則 a = b ；③在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，必有 AC = A1C1 ；④若空間向量
r r r r r r r r r
m, n, p滿足m = n ，n = p ，則m = p ．其中正確的個數為（ ）．
A． 4 B．3 C． 2 D．1
【答案】C
【分析】由相等向量的定義依次判斷各個選項即可得到結果.
【詳解】對于①，當兩個空間向量起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們
的起點和終點都不一定相同，①錯誤；
對于② r，根據向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量 a
r
與b 的方向不一定相同，②錯誤；
r
對于③，根據正方體的性質，在正方體 ABCD A
v
- 1B1C1D1中，向量 AC 與向量 A1C1 的方向相同，模也相等，
r r
則 AC = A1C1 ，③正確；
r r r
對于④，由向量相等關系可知m = n = p ，④正確．
故選：C.
15．（2024 高二上·福建福州·期末）已知O為空間任意一點， A, B,C, P四點共面，但任意三點不共線．如果
r r r r
BP = mOA + OB + OC ，則m 的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】A
r r r r
【分析】由題設條件推得OP = mOA + 2OB + OC ，再由四點共面可求得m = -2
r r r
【詳解】因為BP = OP - OB，
r r r r
所以由BP = mOA + OB + OC
r r r r r
得OP - OB = mOA + OB + OC ，
r r r r
即OP = mOA + 2OB + OC ，
因為O為空間任意一點， A, B,C, P滿足任意三點不共線，且四點共面，
所以m + 2 +1 =1，故m = -2 .
故選：A.
r
16．（2024 高二上·浙江臺州·期末）如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，E 是C1D1的中點，則 AE =
（ ）
1 r r r r 1 r r
A． AB + AD + AA
2 1
B． AB + AD + AA
2 1
r r 1 r r r r
C． AB + AD + AA1 D． AB + AD + AA2 1
【答案】A
【分析】由空間向量的加減和數乘運算直接求解即可.
r r r r r r r
【詳解】 AE = AD + DD1 + D1E = AD
1
+ AA1 + AB ．2
故選：A.
17．（ 2024 高二下 ·上海閔行 ·開學考試）已知 A、B、C 是空間中不共線的三個點，若點 O滿足
r r r r
OA + 2OB + 3OC = 0，則下列說法正確的一項是（ ）
A．點O是唯一的，且一定與 A、B、C 共面
B．點O不唯一，但一定與 A、B、C 共面
C．點O是唯一的，但不一定與 A、B、C 共面
D．點O不唯一，也不一定與 A、B、C 共面
【答案】A
【分析】
r r r r uuur uuur uuur r r r
由 OA + 2OB + 3OC = 0，可得 OA = -2OB - 3OC ，從而有 OA,OB,OC 共面， O, A, B,C 四點共面，再結合
A、B、C 不共線，即可得答案.
r r r r r r
【詳解】由空間向量的知識可知 a,b,c共面的充要條件為存在實數 x, y，使 a = xa + yb，
r r r r
因為OA + 2OB + 3OC = 0，
uuur uuur uuur
所以OA = -2OB - 3OC ，
r r r
所以OA,OB,OC 共面，
所以O, A, B,C 四點共面，
r r r r r r r r r因為OA + 2OB + 3OC = 0，所以 OA+OC + 2 OB + OC = 0，
所以點O唯一.
故選：A.
r r r r r r r r
18．（2024 高二下·江蘇宿遷·階段練習）已知向量 e1 ， e2 不共線， AB = e1 + e2 ， AC = 2e1 + 8e2 ，
r r r
AD = 3e1 - 5e2 ，則（ ）
r r r r
A． AB 與 AC 共線 B． AB 與CD共線
C．A ， B ，C ，D四點不共面 D．A ， B ，C ，D四點共面
【答案】D
【分析】根據平面向量共線定理及推論依次判斷各個選項即可.
1 1 r r r
【詳解】對于 A，Q
r
，\不存在實數l ，使得
2 8 AB = l AC
成立，\ AB 與 AC 不共線，A 錯誤；
r r r r r r r r r r r
對于 B，Q AC = 2e1 + 8e2 ， AD = 3e1 - 5e2 ，\ CD = AD - AC = e1 -13e2 ，
1 1 r r
\ \ r
r
又 ， 不存在實數l ，使得 AB = lCD 成立， AB 與CD不共線，B 錯誤；1 -13
對于 C、D，若A ， B ，C ，D四點共面，
r r r r r r r
則有 AD = xAB + y AC = (x + 2y)e1 + (x + 8y)e2 = 3e1 - 5e2 ，
ì 17
ìx + 2y = 3 x = r r r
\ 3 17 4í ，即 í ，故 AD = AB - ACx 8y 5 4 ， + = - y = - 3 3
3
故A ， B ，C ，D四點共面，C 錯誤，D 正確.
故選：D.
19．（2024·江西新余·二模）已知長方體 ABCD - A1B1C1D1， AB = AD = 2 ， AA1 = 4，M 是BB1的中點，點 P
r r r
滿足BP = lBC + m BB1 ，其中l 0,1 ，m 0,1 ，且MP∥平面 AB1D1，則動點 P 的軌跡所形成的軌跡長度
是（ ）
A． 5 B．4 2 C． 2 2 D．2
【答案】A
【分析】先構造和平面 AB1D1平行的截面MEFGHN ，再根據空間向量共面確定點 P 的軌跡形狀，再求其長
度.
【詳解】如圖所示，E，F，G，H，N 分別為 B1C1 ，C1D1，DD1，DA，AB 的中點，
則EF∥B1D1∥NH ，MN ∥B1A∥FG ，
所以平面MEFGHN ∥平面 AB1D1，
所以動點 P 的軌跡是六邊形 MEFGHN 及其內部.
r r r
又因為BP = lBC + m BB1 ，所以點 P 在側面BCB1C1，
所以點 P 的軌跡為線段EM ，
因為 AB=AD=2， AA1 = 4，
所以EM
1
= AD1 = 5 .2
故選：A.
r r
20．（2024 高二下·江蘇淮安·階段練習）四面體O - ABC 中，OP = 3PA，Q是 BC 的中點，M 是 PQ的中點，
r r r r r r
設OA = a ，OB = b r，OC = c ，則OM = （ ）
1 ar 1
r
b 1 r 3 r 1
r 1 r
A． + + c B． a + b + c
4 6 6 4 4 4
3 r 1 r 1 r 1 1 r 1
C． a + b + c D r． a + b + cr
8 4 4 3 4 4
【答案】C
【分析】
r r
利用空間向量的基底表示OP,OQ，再利用向量線性運算求解即可.
r r r 3 r
【詳解】因為OP = 3PA，所以OP = OA，4
r 1 r r
因為 Q 是BC 的中點，所以OQ = (OB + OC)，
2
r 1 r r 1 r 1 r 3 r 1 r r 3 r 1 r 1 r
因為 M 為 PQ 的中點，所以OM = (OP + OQ) = OP + OQ = OA + (OB + OC) = a + b + c ，
2 2 2 8 4 8 4 4
故選：C.
21．（2024·浙江溫州·二模）如圖，在四面體 ABCD中，E 、F 分別是 AB 、CD的中點，過EF 的平面a 分
別交棱DA、BC 于G 、 H （不同于A 、 B 、C 、D）， P 、Q分別是棱BC 、CD上的動點，則下列命題錯
誤的是（ ）
A．存在平面a 和點 P ，使得 AP//平面a
B．存在平面a 和點Q，使得 AQ// 平面a
C．對任意的平面a ，線段EF 平分線段GH
D．對任意的平面a ，線段GH 平分線段EF
【答案】D
r r
【分析】利用線面平行的判定定理可判斷 AB 選項；取 AC 的中點O，GH 的中點為M ，設 AG = l AD ，
r r r r
CH = mCB，利用空空間向量的線性運算可得出EM = lEF ，可判斷 C 選項；利用反證法結合 C 選項可判
斷 D 選項.
【詳解】對于 A 選項，當 AP//EH 時，因為 AP 平面a ，EH 平面a ，此時 AP//平面a ，A 對；
對于 B 選項，當 AQ//FG 時，因為 AQ 平面a ， FG 平面a ，此時 AQ// 平面a ，B 對；
r r r r
對于 C 選項，取 AC 的中點O，GH 的中點為M ，設 AG = l AD ，CH = mCB，
r r r r 1 r r 1 r r r r
則有OE = OA + AE = OA + AB = OA
1
+ OB - OA = OA + OB ，2 2 2
r 1 r r 1 r r r 1 r r同理可得OF = OC + OD = -OA + OD ，OM = OG + OH ，2 2 2
r r r r r r r
OG = OA + AG = OA + l AD = OA + 2lOF ，
r r r r r r r r r
OH = OC + CH = OC + mCB = OC + 2mOE = 2mOE - OA，
r r r r r r r r
所以OG + OH = 2lOF + 2mOE，所以，OG = -OH + 2lOF + 2mOE ，
因為E 、F 、G 、 H 四點共面，則 2l + 2m -1 =1，所以，l + m =1，
r r r r r r r r r r
所以， 2OM = OG + OH = 2lOF + 2mOE ，則OM = lOF + mOE = lOF+ 1- l OE ，
r r r r r r
所以，OM - OE = l OF - OE ，可得EM = lEF ，
即M 、E 、F 三點共線，即GH 的中點在EF 上，即線段EF 平分線段GH ，C 對；
對于 D 選項，若線段GH 平分線段EF ，又因為線段EF 平分線段GH ，則四邊形EGFH 為平行四邊形，
事實上，四邊形EGFH 不一定為平行四邊形，故假設不成立，D 錯.
故選：D.
r r
22．（2024 高二上·北京海淀·期末）在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，點 M 滿足2AM = AC ．若
r r r r r r r
A1B1 = a, A1D1 = b, A1A = c ，則下列向量中與B1M 相等的是（ ）
1 r 1 r r 1 r 1 r r
A． a - b + c B． a + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a + b + c D．- a - b + c
2 2 2 2
【答案】C
【分析】結合圖形，由空間向量的線性運算可得.
【詳解】
r r
由點 M 滿足2AM = AC ，所以 M 為 AC 中點，
因為四邊形 ABCD 為平行四邊形，所以 M 為BD中點,
r 1 r 1 r r 1 r r
所以BM = BD = (BA + BC) = (-a + b) ，
2 2 2
r r r r 1 r r 1 r 1 r r
所以B1M = B1B + BM = c + (-a + b) = - a + b + c .2 2 2
故選：C
二、多選題
23．（2024 高二上·山東濰坊·期中）如圖所示，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 3, AD = 2, AA1 =1，則在
以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（ ）
A．單位向量有 8 個
r
B．與 AB 相等的向量有 3 個
r
C．與 AA1 的相反向量有 4 個
r r r
D．向量 A1D1, A1B1,CC1 共面
【答案】ABC
【分析】根據單位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得.
r r r r r r r r
【詳解】由題可知單位向量有 AA1, A1A, BB1, B1B,CC1,C1C, DD1, D1D共 8 個，故 A 正確；
r r r r
與 AB 相等的向量有 A1B1, D1C1, DC 共 3 個，故 B 正確；
r r r r r
向量 AA1 的相反向量有 A1A, B1B,C1C, D1D 共 4 個，故 C 正確；
r r r r r
因為CC1 = AA1 ，向量 A1D1, A1B1, AA1 有一個公共點 A1，而點 A1, B1, D1都在平面 A1B1C1D1內，點A 在平面
r r r
A1B1C1D1外，所以向量 A1D1, A1B1,CC1 不共面，故 D 錯誤.
故選：ABC.
24．（2024 高二下·江蘇·課后作業）下列說法錯誤的是（ ）
A．空間的任意三個向量都不共面
B．空間的任意兩個向量都共面
C．三個向量共面，即它們所在的直線共面
D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面
【答案】ACD
【分析】A.畫圖舉例判斷；B.利用相等向量判斷；C.畫圖舉例判斷；D.畫圖舉例判斷；
r r r
【詳解】A.如圖所示： ， a,b,c三個向量共面，故錯誤；
B.由相等向量知：通過平移，兩個向量的起點總可以在同一點，故兩個向量都共面，故正確；
r r r
C.如圖所示： ，在正方體中 a,b,c三個向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯誤；
r r r
D. 如圖所示： ，在正方體中 a,b,c三向量兩兩共面，但這三個向量一定共面，故錯誤；
故選：ACD
25．（2024 高二上·山東濟寧·階段練習）空間四點 A, B,C, D 及空間任意一點O，由下列條件一定可以得出
A, B,C, D 四點共面的有（ ）
r r r r r r r
A． AB = 2AC + 3AD B．OA = 3OB - OC - DO
r r r r r r
C． AB∥ AC D．OC = BO + 3AO - 5DO
【答案】ACD
【分析】根據空間向量共面定理及其推論，對每個選項進行逐一判斷，即可選擇.
r r r r r r
【詳解】對 A： AB = 2AC + 3AD，定有 AB, AC, AD 共面，且有公共頂點A ，
故 A, B,C, D 四點共面，故 A 正確；
r r r r r r r
對 B：OA = 3OB - OC - DO = 3OB - OC + OD ，3-1+1 1，
故 A, B,C, D 四點不共面，故 B 錯誤；
r r
對 C： AB∥ AC ，可得 A, B,C 三點共線，
則 A, B,C, D 四點一定共面，故 C 正確；
r r r r r r r
對 D：OC = BO + 3AO - 5DO = -OB - 3OA + 5OD ，-1- 3+ 5 =1，
故 A, B,C, D 四點一定共面，故 D 正確.
故選：ACD.
r r r
26．（2024 高二上·安徽·期中）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，P 為空間一點，且滿足 BP = lBC + m BB1 ，
l, m 0,1 ，則（　　）
A．當l =1時，點 P 在棱BB1上 B．當m =1時，點 P 在棱 B1C1 上
C．當l + m =1時，點 P 在線段B1C 上 D．當l = m 時，點 P 在線段BC1上
【答案】BCD
【分析】
由空間向量共線定理逐一判斷即可求解
【詳解】
r r r r r
當l =1時，BP = BC + m BB1 ，所以CP = m BB1 ，
r r
則CP / /BB1 ，即 P 在棱CC1上，故 A 錯誤；
r r
同理當m =1時，則B1P / /BC ，故 P 在棱 B1C1 上，故 B 正確；
r r r r r
當l + m =1時，m =1- l ，所以BP = lBC + 1- l BB1 ，即B1P = lB1C ，
故點 P 在線段B1C 上，故 C 正確；
r r r r當l = m 時，BP = l BC + BB1 = lBC1 ，故點 P 在線段BC1上，故 D 正確．
故選：BCD．
27．（2024 高二上·遼寧本溪·期末）下列命題中正確的是（ ）
r
A．若 AB ∥ CD
r
，則 AB ∥ CD
r r r r
a b a b r rB． + = + 是 a,b 共線的必要條件
r r r r
C． A, B,C
1 1 1
三點不共線，對空間任一點O，若OP = OA + OB + OC ，則P, A, B,C 四點共面
2 4 4
r r r r r
D．若P, A, B,C 為空間四點，且有PA = lPB + m PC （PB, PC 不共線），則l + m =1是 A, B,C 三點共線的
充要條件
【答案】ACD
【分析】根據向量的共線向量定理、共面向量定理及平行概念，再結合充要條件即可求解.
r r
【詳解】對于 A,由 AB ∥ CD，則一定有 AB ∥ CD，故 A 正確；
r r r r r r
對于 B，由 a,b 反向共線，可得 a - b = a + b ，故 B 不正確；
r 1 r 1 rA, B,C OP OA OB 1
r
對于 C，由 三點不共線，對空間任一點O，若 = + + OC ，則
2 4 4
r r
OP OA 1
r 1 r 1 r 1 r r r r- = OB - OA
1 1
4 4 ÷
+ OC - OA4 4 ÷
，即 AP = AB + AC ，
è è 4 4
所以P, A, B,C 四點共面，故 C 正確；
r r r r r
對于 D,若P, A, B,C 為空間四點，且有PA = lPB + m PC （PB, PC 不共線），
r r r r r r當l + m =1，即m =1- l 時，可得PA - PC = l PB - PC ，即CA = lCB，
所以 A, B,C 三點共線，反之也成立，即l + m =1是 A, B,C 三點共線的充要條件，
故 D 正確.
故選：ACD.
三、填空題
r
28．（2024 高二·全國·課后作業）如圖所示，在平行六面體 ABCD- A B C D 的棱中，與向量 AA 模相等的向
量有 個.
【答案】7
【分析】根據向量模長相等即可結合幾何體特征求解.
r r r r r r r r
【詳解】與 AA 模長相等的向量有： A A, BB , B B,CC ,C C, DD , D D 共有 7 個.
故答案為：7
29．（2024 高二上·河北滄州·階段練習）已知 A，B，C 三點不共線，O 是平面 ABC 外任意一點，若由
r 1 r r rOP = OA 2+ OB + (1- l)OC 確定的一點 P 與 A，B，C 三點共面，則l = ．
6 3
5
【答案】
6
【分析】推導出空間四點共面定理的推論，再根據推論進行求解.
r r r
【詳解】因為 P，A，B，C 四點共面，所以存在不全為 0 的m,n 使得PA = mPB + nPC ，
r r r r r r
O 是平面 ABC 外任意一點，則OA - OP = m OB - OP + n OC - OP ，
r r r r
即 m + n -1 OP = mOB + nOC - OA，
r r r r r r
若 A，B，C 三點共線，則 AB = lCB ，即PB - PA = l PB - PC ，
r r r r r r
整理得： 1- l PB = PA - lPC ，所以PA = 1- l PB + lPC ，
r r r
此時若PA = mPB + nPC ，則m + n =1，
r r r
因為 A，B，C 三點不共線，PA = mPB + nPC ，
所以m + n 1，
r r r r
所以OP
m n 1
= OB + OC - OA，
m + n -1 m + n -1 m + n -1
y m , z n 1令 = = , x = ，則 x + y + z =1，
m + n -1 m + n -1 m + n -1
1 2
所以 + + (1- l)
5
= 1，所以l = ．
6 3 6
5
故答案為：
6
r r r r r r r r r r r r r r r
30．（2024 高二上·山東聊城·期中）已知 i, j, k 是不共面向量， a = i - j + k,b = -i + 4 j - 2k,c = 7i + 2 j + lk ，
r r r
若 a,b,c三個向量共面，則實數l = .
【答案】4
【分析】根據向量共面列方程，化簡求得l 的值.
r r r
【詳解】以 i, j, k 為空間一組基底，
r r r
由于 a,b,c三個向量共面，所以存在 x, y R ，
r r r
使得 a = xb + yc ，
r r r r r r r r r
即 i - j + k = x -i + 4 j - 2k + y 7i + 2 j + lk ，
r r r r r r
整理得 i - j + k = -x + 7 y i + 4x + 2y j + -2x + l y k ，
ì-x + 7 y =1

所以 í4x + 2y = -1
3 1
，解得 x = - , y = ,l = 4 .
10 10
-2x + l y =1
故答案為： 4
31．（2024 高二上·山東煙臺·期末）如圖所示的平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，已知 AB = AA1 = AD，
BAD = DAA1 = 60°， BAA1 = 30°， N 為 A1D1上一點，且 A1N = l A1D1．若BD ^ AN ，則l 的值為 ；若M
為棱DD1的中點，BM / /平面 AB1N ，則l 的值為 ．
2
【答案】 3 -1 3
r r
【解析】① BD ^ AN ，不妨取 AB = AA1 = AD = 1，利用
r r r r r r r r r r r r r r
BDgAN = (AD - AB)g(AA1 + l AD) = ADgAA1 + l ADgAD - ABgAA1 - l ADgAB = 0 ，即可得出l ．
②連接 A1B ，與 AB1交于點E ．連接 A1M ，交 AN 于點F ，連接EF ．BM / /平面 AB1N ，可得 BM / /EF ．根
據E 點為 A1B 的中點，可得F 點為 A1M 的中點．延長 AN 交線段DD1的延長線于點 P ．利用平行線的性質即
可得出．
r r
【詳解】解：① BD ^ AN ，不妨取 AB = AA1 = AD = 1，
\
r r r r r r r r r r r r r r
BDgAN (AD AB)g(AA l AD) ADgAA l ADgAD ABgAA l ADgAB cos60 l cos30 l cos60 1 3 1= - 1 + = 1 + - 1 - = ° + - ° - ° = - + l = 02 2 2
．
\l = 3 -1．
②連接 A1B ，與 AB1交于點E ．連接 A1M ，交 AN 于點F ，連接EF ．
QBM / / 平面 AB1N ，\BM / /EF ．
QE 點為 A1B 的中點，\F 點為 A1M 的中點．
延長 AN 交線段DD1的延長線于點 P ．
Q AA1 / /DD1 ， A1F = FM ．
\ AA1 = MP = 2D1P．
A1N AA\ = 1 = 2
ND ，1 D1P
r r
\ A N 21 = A D3 1 1 ．
l 2則 = ．
3
2
故答案為： 3 -1， ．3
【點睛】本題考查了向量三角形法則、數量積運算性質、平行線的性質、線面平行的性質定理，考查了推
理能力與計算能力，屬于中檔題．
32．（2024 高一下·河北衡水·期末）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB = AA1 =1，點 P 滿足
r r r
BP = mBC + nBB1 ，其中m =1,n [0,1]，則三角形 AB1P 周長最小值是 .
【答案】 2 + 5 / 5 + 2
【分析】根據題意，結合向量線性運算可知，點 P 在線段CC1上，再根據兩點之間線段最短，即可求解.
r r r r r
【詳解】根據題意，因為BP = mBC + nBB1 = mBC + nCC1 ，其中m =1,n [0,1]，
所以點 P 在線段CC1上.
如圖所示，沿 AA1展開正三棱柱 ABC - A1B1C1的側面，
故三角形 AB1P 周長為 AB1 + AP + B1P = 2 + AP + B1P 2 + 1
2 + 22 = 2 + 5 ，
當B1、 P 、A 三點共線時，取等號.
故答案為： 2 + 5 .
33．（2024 高二上·天津靜海·階段練習）已知 P 為空間中任意一點，A 、 B 、C 、D四點滿足任意三點均不

PA 4
r
共線，但四點共面，且 = PB- x PC
1
+ DB，則實數 x 的值為 .
3 6
1
【答案】
3

【解析】根據向量共面的基本定理可求出PD = x PA+ y PB+ z PC 時 x + y + z =1即可求解.

【詳解】PA
4
= PB- x PC 1+ DB 4= PB- x PC 1+ (PB- PD) 3= PB- x PC 1- PD，
3 6 3 6 2 6
又∵ P 是空間任意一點，A 、 B 、C 、D四點滿足任三點均不共線，但四點共面，
3
∴ - x
1
- =1，
2 6
1
解得 x= ，
3
1
故答案為：
3

【點睛】方法點睛：設 P 是平面上任一點， A, B,C 是平面上的三點，PC = x PA+ y PB （P, A, B 不共線），
則 A, B,C 三點共線 x + y =1，把此結論類比到空間上就是：PA, PB, PC 不共面，若

PD = x PA+ y PB+ z PC ，則 A, B,C, D 四點共面 x + y + z =1．
34．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，已知四棱柱 ABCD - A1B1C1D1的底面 A1B1C1D1為平行四邊形，E 為棱
r 1 r r r AM
AB 的中點， AF = AD ， AG = 2GA1 ， AC1與平面EFG 交于點M ，則 =AC .3 1
2
【答案】
13
r r
AM l AC r r
r r r r
【分析】設 = 1 ，其中 0 < l < 1，用 AB 、 AD 、 AA1 表示向量GM 、GE 、GF ，利用共面向量的基本
r r r
定理可知存在m 、 n R 使得GM = mGE + nGF ，由空間向量基本定理可得出關于m 、 n 、l 的方程組，即
可解得實數l 的方程組，即可解得實數l 的值.
r r r r r r r r【詳解】設 AM = l AC1 = l AB + AD + AA1 = l AB + l AD + l AA1 ，其中 0 < l < 1，
r r r r r r r r r r
GM = AM - AG = l AB + l AD + l AA 21 - AA1 = l AB + l AD +
l 2- ÷ AA3 3 1
，
è
r r r 1 r 2 r r r r r rGE = AE - AG = AB - AA1 ，GF AF AG
1
= - = AD 2- AA
2 3 3 3 1
，
r r r
因為E 、F 、G 、M 四點共線，則向量GM 、GE 、GF 共面，
r r r
由共面向量定理可知，存在m 、 n R 使得GM = mGE + nGF ，
r r r r r r r
即l AB + l AD
2
+ l -

÷ AA1 = m
1
AB
2
- AA n 1 AD 21 ÷ + - AA

3 1 ÷è è 2 3 è 3 3
1 r r r
= mAB 1 2+ nAD - m + n AA ，
2 3 3 1
ì1
m = l
2
1 2
所以， í n = l ，解得l = .
3 13
2
- m + n = l
2
-
3 3
2
故答案為： .
13
四、解答題
35．（2024 高二·全國·課后作業）如圖所示，已知矩形 ABCD， P 為平面 ABCD外一點，且PA ^平面
r r r r
ABCD，M 、 N 分別為PC 、PD上的點，且PM : MC = 2 :1，PN = ND，求滿足MN = xAB + y AD + z AP
的實數 x, y, z的值．
2 1
【答案】 x = - ， y = - ， z 1= 6 ．3 6
【分析】利用向量的線性運算結合已知，求出實數 x, y, z的值．
r r r 1 r 2 r 1 r 1 r 2 r 2 r 1 r 2 r 2 r 1 r
【詳解】QMN = PN - PM = PD - PC = AD - AP - AC + AP = AD - AB - BC + AP
2 3 2 2 3 3 2 3 3 6
2 r 1 r r
= - AB - AD 1+ AP，
3 6 6
2 1
所以， x = - ， y = - 1， z = ．
3 6 6
36．（2024 高二·江蘇·專題練習）已知O、A 、 B 、C 、 D、 E 、 F 、G 、 H 為空間的9個點（如圖所示），
r r r r r r r r r r r r
并且OE = kOA，OF = kOB，OH = kOD， AC = AD + mAB ，EG = EH + mEF ．求證： AC //EG．
【答案】證明見解析．
r r
【分析】根據題意，由向量的線性運算可得EG = k AC ，即可得到證明.
r r r r r r
【詳解】QOE = kOA，OF = kOB，OH = kOD，
r r r r r r r
EG = EH + mEF = OH - OE + m OF - OE
r r r r r r r r r= k OD - OA + km OB - OA = k AD + kmAB = k AD + mAB = k AC ，
r r
\ AC //EG ，
因為 AC 、EG 無公共點，故 AC //EG .
r r r r r
37．（2024 高二下·江蘇·課后作業）設 e1,e2 是空間兩個不共線的非零向量，已知 AB = 2e1 + ke2 ，
r r r r r r
BC = e1 + 3e2 ，DC = 2e1 - e2 ，且 A， B， D 三點共線，求實數 k 的值．
【答案】-8 .
【分析】利用空間向量的線性運算，結合共線向量定理，列式計算作答.
r r r r r r r r r r r r r r r
【詳解】因為BC = e1 + 3e2 ，DC = 2e1 - e2 ，則有BD = BC + CD = (e1 + 3e2 ) - (2e1 - e2 ) = -e1 + 4e2 ，
r r r r r r r r
又 A， B， D 三點共線，于是 AB = lBD ，即 2e1 + ke2 = l(-e1 + 4e2 ) ，而 e1,e2 不共線，
ì2 = -l
因此 ík 4 ，解得
k = -8，
= l
所以實數 k 的值是-8 .
38．（2024 高二上·全國·課前預習）如圖所示，已知 ABCD - A1B1C1D1為平行六面體，若以此平行六面體的頂
點為向量的起點、終點，求：
r
（1）與BB1 相等的向量；
r
（2）與BC1 相反的向量；
r
（3）與BA1 平行的向量．
r r r r r r r r
【答案】（1） AA1,CC1, DD1 ；（2）C1B, D1A；（3） A1B,CD1, D1C ．
【分析】根據相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，
（1）根據平行六面體的側棱都平行且相等和向量相等的定義寫出；
r
（2）連接 AD1 ，因為D1C1 / /AB，所以 ABC1D1 是平行四邊形，所以 BC1 //AD1，這樣就可以寫出與BC1 相反
的向量；
（3）連接CD1，用類似（2）的方法可寫出與BA1平行的向量．
【詳解】（1）∵平行六面體是棱柱，∴側棱都平行且相等，
r r r r
∴與BB1 相等的向量為 AA1,CC1, DD1 ；
（2）連接 AD1 ，由平行六面體的性質可得D1C1 / /AB，
∴ ABC1D1 是平行四邊形，
r r r
∴ BC1 //AD1，與BC1 相反的向量為C1B, D1A．
（3）連接CD1，由平行六面體的性質可得 A1D1 / /BC ，
∴ BCD1A1 是平行四邊形，
r r r r
∴ BA1 //CD1，與BA1 平行的向量為 A1B,CD1, D1C ．
39．（2024 高二上·廣東深圳·開學考試）如圖，在三棱錐P - ABC 中，點G 為VABC 的重心，點M 在PG 上，
且PM = 3MG ，過點M 任意作一個平面分別交線段PA， PB，PC 于點D E ， ，F ，若PD = m PA，
1 1 1
PE = n PB ，PF = t PC ，求證： + + 為定值，并求出該定值.m n t
【答案】為定值 4；證明見解析；

【分析】聯結 AG 并延長交 BC 于 H，由題意，令PA, PB, PC 為空間向量的一組基底，表示出PM .

然后根據點D， E ， F ，M 共面，故存在實數l, m ，滿足DM = l DE+ m DF ，再表示出一組 PM 的表達式，
因此其系數相同，從而證得結論.

【詳解】聯結 AG 并延長交 BC 于 H，由題意，令PA, PB, PC 為空間向量的一組基底，

PM 3

則 = PG
3
= (PA+ AG) 3= PA 3 2+ AH
4 4 4 4 3

3 1 AB+ AC 3 1 1
= PA+ = PA+ (PB- PA) + (PC- PA)
4 2 2 4 4 4
1 1 PA PB 1

= + + PC .
4 4 4
聯結 DM，點D，E ，F ，M 共面，故存在實數l, m ，

滿足DM = l DE+ m DF ，即PM - PD = l(PE- PD) + m(PF- PD)，

因此PM = (1- l - m) PD+ l PE+ m PF = (1- l - m)m PA+ ln PB+ mt PC ，
由空間向量基本定理知，
(1- l 1- m)m = ln = mt = ，
4
1 1 1
故 + + = 4(1- l - m) + 4l + 4m = 4 ，為定值.
m n t
r r
40．（2024 高二上·湖南長沙·階段練習）如圖，已知O, A, B,C, D, E, F ,G, H 為空間的 9 個點，且OE = kOA，
r r r r r r r r r r
OF = kOB，OH = kOD， AC = AD + mAB ，EG = EH + mEF ， k 0, m 0 .
r r
求證：（1） AC / /EG ；
r r
（2）OG = kOC .
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
r r r r r r r r r
【分析】（1）由題意，EG = EH + mEF ，轉化EH = OH - OE, EF = OF - OE，代入結合題干條件運算即得
證；
r r r r r r r
（2）由題意，OG = OE + EG ，又OE = kOA, EG = k AC ，運算即得證
r r r r r r r
【詳解】證明：（1）EG = EH + mEF = OH - OE + m(OF - OE)
r r r r
= k(OD - OA) + km(OB - OA)
r r r r r
= k AD + kmAB = k AD + mAB = k AC
r r
∴ AC / /EG .
r r r r r r r r（2）OG = OE + EG = kOA + k AC = k OA + AC = kOC .

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