資源簡(jiǎn)介

2.1.2 兩條直線(xiàn)平行和垂直的判定 6 題型分類(lèi)
兩條直線(xiàn)平行和垂直的判定
1．兩條直線(xiàn)(不重合)平行的判定：
類(lèi)型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對(duì)應(yīng)關(guān)系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 兩直線(xiàn)的斜率都不存在
圖示
2．兩條直線(xiàn)垂直的判定：
圖示
l1⊥l2(斜率都存在) l1的斜率不存在，
對(duì)應(yīng)關(guān)系
k1k2＝－1 l2的斜率為 0 l1⊥l2
（一）
兩條直線(xiàn)平行的判定
判斷兩條不重合的直線(xiàn)是否平行的方法：
題型 1：兩條直線(xiàn)平行的判定
1-1．（2024 高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷下列不同的直線(xiàn) l1與 l2是否平行.
（1） l1的斜率為 2， l2經(jīng)過(guò) A 1,2 ，B 4,8 兩點(diǎn)；
（2） l1經(jīng)過(guò)P 3,3 ，Q -5,3 兩點(diǎn)， l2平行于 x 軸，但不經(jīng)過(guò) P，Q 兩點(diǎn)；
（3） l1經(jīng)過(guò)M -1,0 ， N -5, -2 兩點(diǎn)， l2經(jīng)過(guò)R -4,3 ， S 0,5 兩點(diǎn)．
1-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）判斷下列各組直線(xiàn)是否平行，并說(shuō)明理由．
(1) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,3), B(-4,0)， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (-3,1), N (-2,2)；
(2) l1的斜率為-10， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(10,2), B(20,3) .
1-3．（24-25 高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列各對(duì)直線(xiàn)互相平行的是（ ）
A．直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 0,1 , B 1,0 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M -1,3 ,N 2,0
B．直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A -1, -2 , B 1,2 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M -2,-1 ,N 0,-2
C．直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 1,2 ,B 1,3 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 1,-1 ,D 1,4
D．直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 3,2 ,B 3,-1 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M 1,-1 ,N 3,2
題型 2：兩條直線(xiàn)平行的應(yīng)用
2-1．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）已知直線(xiàn) l1的傾斜角為 45°，直線(xiàn) l2的斜率為 k = m2 - 3，若 l1 ∥ l2，則m 的
值為 ．
2-2．（2024 高二· 3全國(guó)·課后作業(yè)）若直線(xiàn) l1與直線(xiàn) l2平行，直線(xiàn) l1的斜率為- ，則直線(xiàn) l2的傾斜角
3
為 .
2-3．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）已知過(guò) A(-2,m) 和B(m, 4)的直線(xiàn)與斜率為－2 的直線(xiàn)平行，則 m 的值是
（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
2-4．（2024 高二上·天津薊州·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn) A m,3 , B -1,m 兩點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn) l平行，直線(xiàn) l的傾斜角為
45o ，則m =
（二）
兩條直線(xiàn)垂直的判定
判斷兩條直線(xiàn)是否垂直：
在這兩條直線(xiàn)都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1 即可，但應(yīng)注意有一條
直線(xiàn)與 x 軸垂直，另一條直線(xiàn)與 x 軸平行或重合時(shí)，這兩條直線(xiàn)也垂直．
題型 3：兩條直線(xiàn)垂直的判定
3-1．（24-25 高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）判斷下列兩條直線(xiàn)是否垂直．
(1)直線(xiàn) l1的斜率為-10，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 10,2 ，B 20,3 ；
(2)直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 3, 4 ，B 3,7 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P -2,4 ，Q 2,4 ；
(3)直線(xiàn) l1的法向量為 1,2 ，直線(xiàn) l2的法向量為 2, -1 ．
3-2．（2024 高一上·陜西寶雞·期末）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．兩條平行直線(xiàn)的斜率一定相等 B．兩條平行直線(xiàn)的傾斜角一定相等
C．垂直的兩直線(xiàn)的斜率之積為-1 D．互相垂直的兩直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)
3-3．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）判斷下列各組直線(xiàn)是否垂直，并說(shuō)明理由．
(1) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-3, -4), B(1,3), l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (-4,-3), N (3,1)；
(2) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3, 4), B(3,10), l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (-10,40), N (10,40)．
題型 4：兩條直線(xiàn)垂直的應(yīng)用
4-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn) A(m,1)，B(-1, m)的直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)P(1, 2)，Q(-5,0)的直線(xiàn)垂直，則m
的值為（ ）
1 1
A．-2 B．2 C． D．-
2 2
4-2．（2024 高二上·浙江杭州·期末）已知點(diǎn) A 1,1 和B 2,4 ，點(diǎn) P 在 y 軸上，且 APB為直角，則點(diǎn) P 坐標(biāo)
為（ ）
A． 0,2 B． 0,2 或 0,3 C． 0,2 或 0,4 D． 0,3
4-3．（2024 高二下·甘肅武威·開(kāi)學(xué)考試）已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A 4,2 ，B 1, -2 ，C -2, 4 ，
則BC 邊上的高的斜率為（ ）
1 1
A．2 B．-2 C． D．-
2 2
4-4．（2024 高二上·山西晉中·期末）已知直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò) A 3,7 ，B 2,8 兩點(diǎn)，且直線(xiàn) l2 ^ l1，則直線(xiàn) l2的傾斜
角為（ ）
A．30° B． 45° C．135° D．150°
4-5．（2024 高二下·甘肅蘭州·開(kāi)學(xué)考試）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn) A -2,0 和點(diǎn)B 1,3a 的直線(xiàn) l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 0, -1 和點(diǎn)
Q a,-2a 的直線(xiàn) l2互相垂直，則實(shí)數(shù) a的值為（ ）
A．0 B．1 C．0 或1 D．-1或1
（三）
兩條直線(xiàn)平行或垂直的綜合應(yīng)用
利用兩條直線(xiàn)的平行或垂直判斷圖形形狀
題型 5：利用兩條直線(xiàn)平行或垂直判定圖形形狀
5-1．（2024 高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）以 A(-2,-1), B(4, 2),C(2,6), D(-3,1) 為頂點(diǎn)的四邊形是（ ）
A．平行四邊形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
5-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）已知四邊形MNPQ的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M (1,1), N (3,-1), P(4,0),Q(2,2)，求證：四
邊形MNPQ為矩形．
5-3．（2024 高二·江蘇）已知點(diǎn) A -4,3 ，B 2,5 ，C 6,3 ，D -3,0 ，試判定四邊形 ABCD 的形狀．
題型 6：兩條直線(xiàn)平行或垂直的綜合應(yīng)用
6-1．（2024 高三上·重慶·階段練習(xí)）已知直線(xiàn) l1過(guò)點(diǎn) A(0,1)，直線(xiàn) l1與直線(xiàn) l2 : y = x 的交點(diǎn) B 在第一象限，
點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn). 若三角形 OAB 為鈍角三角形時(shí)，則直線(xiàn) l1的斜率的范圍是（ ）
A． (- ,-1] B． (- , -1) (0,+ )
C． (- , -1) U (0,1) D． (- , -1) U (1, + )
6-2．（2024 高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，則頂點(diǎn) D
的坐標(biāo)為 .
6-3．（2024 高二上·青海海東·期中）已知點(diǎn) A -2,2 ，B 6,4 ，H 5,2 ，H 是VABC 的垂心．則點(diǎn) C 的坐標(biāo)
為（ ）
A． 6,2 B． -2,2 C． -4, -2 D． 6, -2
一、單選題
1．（2024 高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若兩直線(xiàn)平行，則兩直線(xiàn)的斜率相等
B．若兩直線(xiàn)的斜率相等，則兩直線(xiàn)平行
C．若兩直線(xiàn)的斜率乘積等于-1，則兩直線(xiàn)垂直
D．若兩直線(xiàn)垂直，則兩直線(xiàn)的斜率乘積等于-1
2．（2024 高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）已知直線(xiàn) l1： y = x - 2， l2： y = kx ，若 l1 //l2，則實(shí)數(shù) k = （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若兩條直線(xiàn)斜率相等，則它們互相平行
B．若 l1∥l2 ，則 kl = k1 l2
C．若兩條直線(xiàn)中有一條直線(xiàn)的斜率不存在，另一條直線(xiàn)的斜率存在，則這兩條直線(xiàn)相交
D．若兩條直線(xiàn)的斜率都不存在，則它們相互平行
4．（2024 高二上·山東泰安·期末）若直線(xiàn) l1 : y = kx +1與直線(xiàn) l2 : y = 3x平行，則實(shí)數(shù) k 的值為（ ）
1 1
A 3．- B． C． D．3
3 3 3
5．（2024 高二上·廣東廣州·期中）已知直線(xiàn) l1的傾斜角為30°，直線(xiàn) l1//l2，則直線(xiàn) l2的斜率為（ ）
A 3 3． 3 B．- 3 C． D．-
3 3
6．（2024 高一下·江西撫州·期末）已知直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò) A -3,4 ，B -8, -1 兩點(diǎn)，直線(xiàn) l2的傾斜角為135o，那么 l1
與 l2
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
7．（2024 高二上·上海浦東新·期中）“兩條直線(xiàn)的斜率乘積為-1”是“兩條直線(xiàn)互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
8．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）順次連接 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所構(gòu)成的圖形是（ ）
A．平行四邊形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不對(duì)
9．（2024 高三上·浙江麗水·期中）若直線(xiàn) y = -x + 3與 y=kx+b 平行，則（ ）
A． k = -1,b R B． k R,b R C． k = -1,b 3 D．b 3,k R
二、多選題
10．（2024 高二上·江蘇）以 A(-1,1), B(2,-1),C(1, 4) 為頂點(diǎn)的三角形，下列結(jié)論正確的有（ ）
k 2A． AB = - 3
B． k
1
BC = - 4
C．以A 點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形
D．以 B 點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形
11．（2024 高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）若 l1與 l2為兩條不重合的直線(xiàn)，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若 l1 //l2，則它們的斜率相等 B．若 l1與 l2的斜率相等，則 l1 //l2
C．若 l1 //l2，則它們的傾斜角相等 D．若 l1與 l2的傾斜角相等，則 l1 //l2
12．（2024 高二上·浙江麗水·階段練習(xí)）已知直線(xiàn) l1與 l2為兩條不重合的直線(xiàn)，則下列命題正確的是（ ）
A．若 l1 //l2，則斜率 k1 = k2
B．若斜率 k1 = k2 ，則 l1 //l2
C．若傾斜角a1 = a2 ，則 l1 //l2
D．若 l1 //l2，則傾斜角a1 = a2
13．（2024 高二上·吉林·期中）已知兩條不重合的直線(xiàn) l1:y = k1x + b1，l2:y = k2x + b2 ，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若 l1∥l2 ，則 k1 = k2 B．若 k1 = k2 ，則 l1∥l2
C．若 k1k2 =1，則 l1 ^ l2 D．若 l1 ^ l2，則 k1k2 = -1
14．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若 l1，l2為兩條不重合的直線(xiàn)，他們的傾斜角分別為a1，a2 ，斜率分別為 k1，k2 ，
則下列命題正確的是（ ）
A．若 l1//l2，則斜率 k1 = k2 B．若斜率 k1 = k2 ，則 l1//l2
C．若 l1//l2，則傾斜角a1 = a2 D．若傾斜角a1 = a2 ，則 l1//l2
15．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）若 A -4,2 ，B 6, -4 ，C 12,6 ，D 2,12 ，下面結(jié)論中正確的是
（ ）
A． AB//CD B． AB ^ AD C． AC = BD D． AC //BD
三、填空題
16．（2024 高二下·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）已知 A(5,-1), B(1，1),C(2，3)三點(diǎn)，則△ABC 為 三角形.
17．（2024 高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若 l1與 l2為兩條不重合的直線(xiàn)，它們的傾斜角分別為 a1， a2，斜率分別為
k1， k2 ，則下列命題
①若 l1 //l2，則斜率 k1 = k2 ； ②若斜率 k1 = k2 ，則 l1 //l2；
③若 l1 //l2，則傾斜角 a1 = a2 ；④若傾斜角 a1 = a2 ，則 l1 //l2；
其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ．
四、解答題
18．（2024 高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線(xiàn) l1與直線(xiàn) l2是否平行.
（1）直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,1), B(-3,5) ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C (3, -2), D (8, -7) ；
（2）直線(xiàn) l1平行于 y 軸，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0, -2)，Q(0,5)；
（3）直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) E (0,1), F (-2, -1) ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)G (3, 4), H (2, 3) .
19．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷 A(1,3), B(3,7),C(4,9) 三點(diǎn)是否共線(xiàn)，并說(shuō)明理由．
20．（2024 高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖所示，一個(gè)矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路，已知矩形花園
長(zhǎng) AD = 5m，寬 AB=3m，其中一條小路為 AC ，另一條小路過(guò)點(diǎn)D .請(qǐng)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，在BC
上找到一點(diǎn)M ，使得兩條小路 AC 與DM 互相垂直，并求 BM .
21．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）判斷下列各題中直線(xiàn) l1與 l2是否平行．
(1) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-1, -2) ，B(2,1) ， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (3, 4)， N (-1, -1) ；
(2) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-3,2) ，B(-3,10)， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (5,-2) ， N (5,5)．
22．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，四邊形OPQR 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O 0,0 ，
P 1,t ，Q 1- 2t, 2 + t R -2t, 2 t 1， ，其中 t > 0且 .試判斷四邊形OPQR 的形狀.
2
23．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 A -4,3 ， B 2,5 ，C 6,3 ， D -3,0 四點(diǎn)，若順次連接 ABCD四點(diǎn)，
試判斷圖形 ABCD的形狀．
1 7
24．（2024 高二·江蘇·課后作業(yè)）已知點(diǎn) A -4, -2 ，B 1, -1 ，C 5,5 ，D - , ÷，求證：四邊形 ABCD
è 3 2
是梯形．2.1.2 兩條直線(xiàn)平行和垂直的判定 6 題型分類(lèi)
兩條直線(xiàn)平行和垂直的判定
1．兩條直線(xiàn)(不重合)平行的判定：
類(lèi)型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
對(duì)應(yīng)關(guān)系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 兩直線(xiàn)的斜率都不存在
圖示
2．兩條直線(xiàn)垂直的判定：
圖示
l1⊥l2(斜率都存在) l1的斜率不存在，
對(duì)應(yīng)關(guān)系
k1k2＝－1 l2的斜率為 0 l1⊥l2
（一）
兩條直線(xiàn)平行的判定
判斷兩條不重合的直線(xiàn)是否平行的方法：
題型 1：兩條直線(xiàn)平行的判定
1-1．（2024 高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷下列不同的直線(xiàn) l1與 l2是否平行.
（1） l1的斜率為 2， l2經(jīng)過(guò) A 1,2 ，B 4,8 兩點(diǎn)；
（2） l1經(jīng)過(guò)P 3,3 ，Q -5,3 兩點(diǎn)， l2平行于 x 軸，但不經(jīng)過(guò) P，Q 兩點(diǎn)；
（3） l1經(jīng)過(guò)M -1,0 ， N -5, -2 兩點(diǎn)， l2經(jīng)過(guò)R -4,3 ， S 0,5 兩點(diǎn)．
【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.
【分析】（1）利用兩直線(xiàn)的斜率是否相等進(jìn)行判斷即可.
（2）根據(jù)直線(xiàn) PQ的斜率即可判斷.
（3）求出兩直線(xiàn)的斜率即可求解.
【詳解】（1） l2經(jīng)過(guò) A 1,2 ，B 4,8 兩點(diǎn)，則 k
8 - 2
l = = 2，2 4 -1
則 kl = k1 l2 ，可得兩直線(xiàn)平行.
（2） l1經(jīng)過(guò)P 3,3 ，Q -5,3 兩點(diǎn)，可得 l1平行于 x 軸，
l2平行于 x 軸，但不經(jīng)過(guò) P，Q 兩點(diǎn)，所以 l1//l2；
l M -1,0 N -5, -2 k 0 + 2 1（3） 1經(jīng)過(guò) ， 兩點(diǎn)， l = = ，1 -1+ 5 2
l2經(jīng)過(guò)R -4,3
3 - 5 1
， S 0,5 兩點(diǎn)，則 kl = = ，2 -4 - 0 2
所以 l1//l2 .
1-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）判斷下列各組直線(xiàn)是否平行，并說(shuō)明理由．
(1) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,3), B(-4,0)， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (-3,1), N (-2,2)；
(2) l1的斜率為-10， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(10,2), B(20,3) .
【答案】(1)不平行，理由見(jiàn)解析
(2)不平行，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）分別計(jì)算出 l1和 l2的斜率，再比較兩斜率是否相等即可；
（2）求出 l2的斜率，再與 l1的斜率比較即可.
【詳解】（1）設(shè)直線(xiàn) l1， l2的斜率分別為 k1， k2 ，
因?yàn)?l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,3), B(-4,0)， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (-3,1), N (-2,2)，
k 3 - 0 1 k 1- 2所以 1 = = = =12 - (-4) 2 ， 2 -3 ，- (-2)
所以 k1 k2 ，
所以 l1與 l2不平行；
（2）設(shè)直線(xiàn) l1， l2的斜率分別為 k1， k2 ，則 k1 = -10，
因?yàn)?l2經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(10,2), B(20,3) ，
k 3- 2 1所以 2 = = ，20 -10 10
所以 k1 k2 ，
所以 l1與 l2不平行.
1-3．（24-25 高一上·全國(guó)·假期作業(yè)）下列各對(duì)直線(xiàn)互相平行的是（ ）
A．直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 0,1 , B 1,0 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M -1,3 ,N 2,0
B．直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A -1, -2 , B 1,2 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M -2,-1 ,N 0,-2
C．直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 1,2 ,B 1,3 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 1,-1 ,D 1,4
D．直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 3,2 ,B 3,-1 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M 1,-1 ,N 3,2
【答案】A
【詳解】根據(jù)斜率公式求出各直線(xiàn)的斜率，判斷直線(xiàn)的斜率是否相等或不存在，進(jìn)而可得出結(jié)論.
0 -1 3 - 0
【解答過(guò)程】對(duì)于 A，因?yàn)?kl = = -1, kl = = -1，所以 l1 1- 0 2 -1- 2 1
//l2，故 A 對(duì)；
B k -2 - 2
-1- -2
2, k 1對(duì)于 ，因?yàn)?l = = l = = - ，所以直線(xiàn) l1, l2 不平行，故 B 錯(cuò)；1 -1-1 2 -2 - 0 2
對(duì)于 C，由直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 1,2 ，B 1,3 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C 1, -1 ， (1,4)，
得直線(xiàn) l1, l2 的斜率都不存在，且兩直線(xiàn)重合，故 C 錯(cuò)；
對(duì)于 D，因?yàn)橹本€(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) (3,2)，B 3, -1 ，所以直線(xiàn)直線(xiàn) l1的斜率不存在，
k -1- 2 3而 l = = ，所以直線(xiàn) l1, l2 不平行，故 D 錯(cuò).2 1- 3 2
故選：A.
題型 2：兩條直線(xiàn)平行的應(yīng)用
2-1．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）已知直線(xiàn) l1的傾斜角為 45°，直線(xiàn) l2的斜率為 k = m2 - 3，若 l1 ∥ l2，則m 的
值為 ．
【答案】±2 /2 或-2 / -2或 2
【分析】由直線(xiàn)傾斜角由斜率的關(guān)系可知直線(xiàn) l1的斜率為 k1 = tan 45°，再由兩直線(xiàn)平行，斜率相等列出等式，
即可求出答案.
【詳解】由題意知m2 - 3 = tan 45°，解得m = ±2 .
故答案為：±2
2-2 3．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線(xiàn) l1與直線(xiàn) l2平行，直線(xiàn) l1的斜率為- ，則直線(xiàn) l2的傾斜角
3
為 .
5p
【答案】 6
【分析】由兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可得直線(xiàn) l2的斜率與直線(xiàn) l1的斜率相等，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可
求解.
【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn) l1與直線(xiàn) l
3
2平行，直線(xiàn) l1的斜率為- ，
3
3
所以直線(xiàn) l2的斜率與直線(xiàn) l1的斜率相等，即直線(xiàn) l2的斜率為- ，
3
設(shè)直線(xiàn) l2的傾斜角為a 0 a < p ，則 tana 3= - ，
3
所以a
5p
= ，即直線(xiàn) l
5p
2的傾斜角為 ，6 6
5p
故答案為： .6
2-3．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）已知過(guò) A(-2,m) 和B(m, 4)的直線(xiàn)與斜率為－2 的直線(xiàn)平行，則 m 的值是
（ ）
A．－8 B．0 C．2 D．10
【答案】A
【分析】由兩點(diǎn)的斜率公式表示出直線(xiàn) AB 的斜率 kAB ，再由兩直線(xiàn)平行斜率相等列出等式，即可解出答
案.
4 - m
【詳解】由題意可知， kAB = = -2，解得m = -8．m + 2
故選：A
2-4．（2024 高二上·天津薊州·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn) A m,3 , B -1,m 兩點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn) l平行，直線(xiàn) l的傾斜角為
45o ，則m =
【答案】1
【分析】根據(jù)題意,求出直線(xiàn) AB 的斜率和直線(xiàn) l的斜率，由 AB//l ，二者斜率相等構(gòu)造方程解得答案.
【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn) l的傾斜角為 45o ，所以直線(xiàn) l的斜率 k = tan 45o =1，
過(guò) A m,3 , B -1,m 兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率 k 3- mAB = ，m +1
由直線(xiàn) AB 與直線(xiàn) l平行，
3- m
所以 =1解得m =1.
m +1
故答案為：1.
（二）
兩條直線(xiàn)垂直的判定
判斷兩條直線(xiàn)是否垂直：
在這兩條直線(xiàn)都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1 即可，但應(yīng)注意有一條
直線(xiàn)與 x 軸垂直，另一條直線(xiàn)與 x 軸平行或重合時(shí)，這兩條直線(xiàn)也垂直．
題型 3：兩條直線(xiàn)垂直的判定
3-1．（24-25 高二上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）判斷下列兩條直線(xiàn)是否垂直．
(1)直線(xiàn) l1的斜率為-10，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 10,2 ，B 20,3 ；
(2)直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 3, 4 ，B 3,7 ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P -2,4 ，Q 2,4 ；
(3)直線(xiàn) l1的法向量為 1,2 ，直線(xiàn) l2的法向量為 2, -1 ．
【答案】(1)垂直
(2)垂直
(3)垂直
【分析】（1）根據(jù)斜率關(guān)系判斷兩直線(xiàn)是否垂直；
（2）根據(jù)斜率關(guān)系判斷兩直線(xiàn)是否垂直；
（3）根據(jù)法向量關(guān)系判斷兩直線(xiàn)是否垂直.
3- 2 1
【詳解】（1）直線(xiàn) l1的斜率 k1 = -10，直線(xiàn) l2的斜率 k2 = = ，因?yàn)?k1k2 = -10
1
= -1，所以 l 與 l
20 -10 10 10 1 2
垂直．
（2）直線(xiàn) l1的斜率不存在，故 l1與 x 軸垂直，直線(xiàn) l2的斜率為 0，故直線(xiàn) l2與 x 軸平行，所以 l1與 l2垂直．
（3）因?yàn)? 2 -1 2 = 0，所以 l1與 l2的法向量垂直，所以 l1與 l2垂直．
3-2．（2024 高一上·陜西寶雞·期末）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．兩條平行直線(xiàn)的斜率一定相等 B．兩條平行直線(xiàn)的傾斜角一定相等
C．垂直的兩直線(xiàn)的斜率之積為-1 D．互相垂直的兩直線(xiàn)的傾斜角互補(bǔ)
【答案】B
【分析】根據(jù)直線(xiàn)平行與垂直滿(mǎn)足的關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于 A,若兩條直線(xiàn)平行，但沒(méi)有斜率，故 A 錯(cuò)誤，
對(duì)于 B，兩條直線(xiàn)平行，則傾斜角相等，故 B 正確，
對(duì)于 C，若兩條直線(xiàn)分別與坐標(biāo)軸平行，則此時(shí)有一條直線(xiàn)沒(méi)有斜率，故 C 錯(cuò)誤，
對(duì)于 D，若兩條直線(xiàn)分別與坐標(biāo)軸平行，則兩條直線(xiàn)的傾斜角分別為0o 和90o，則傾斜角不互補(bǔ)，故 D 錯(cuò)誤，
故選：B
3-3．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）判斷下列各組直線(xiàn)是否垂直，并說(shuō)明理由．
(1) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-3, -4), B(1,3), l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (-4,-3), N (3,1)；
(2) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(3, 4), B(3,10), l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (-10,40), N (10,40)．
【答案】(1)不垂直，理由見(jiàn)解析
(2)垂直，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由題知直線(xiàn) l1， l2的斜率存在，分別計(jì)算出 l1、 l2的斜率，即可判斷（1）組直線(xiàn)不垂直；
（2）由題知 l1 ^ x 軸， l2 ∥ x 軸，即可判斷（2）組直線(xiàn)垂直.
【詳解】（1）由題知直線(xiàn) l1， l2的斜率存在，分別設(shè)為 k1,k2，
3 - -4
k 71 = =1- -3 4 ，
1-
k -3 42 = =3 - -4 7 ，
\k1 × k2 =1，
∴ l1與 l2不垂直．
（2）由題意知 l1的傾斜角為 90°，
則 l1 ^ x 軸；
由題知直線(xiàn) l2的斜率存在，設(shè)為 k3 ，
k 40 - 403 = = 010 ，- (-10)
則 l2 ∥ x 軸，
∴ l1 ^ l2．
題型 4：兩條直線(xiàn)垂直的應(yīng)用
4-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）過(guò)點(diǎn) A(m,1)，B(-1, m)的直線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)P(1, 2)，Q(-5,0)的直線(xiàn)垂直，則m
的值為（ ）
1 1
A．-2 B．2 C． D．-
2 2
【答案】A
【分析】由兩線(xiàn)垂直則斜率之積為-1，列方程求 m 的值即可.
1- m 2 - 0
【詳解】?jī)蓷l直線(xiàn)垂直，則： = -1m +1 1- (-5) ，解得m = -2，
故選：A．
4-2．（2024 高二上·浙江杭州·期末）已知點(diǎn) A 1,1 和B 2,4 ，點(diǎn) P 在 y 軸上，且 APB為直角，則點(diǎn) P 坐標(biāo)
為（ ）
A． 0,2 B． 0,2 或 0,3 C． 0,2 或 0,4 D． 0,3
【答案】B
【分析】設(shè)點(diǎn)P 0, y ，由 APB為直角，得 AP ^ BP，然后由 kAP × kBP = -1列式計(jì)算即可.
【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)P 0, y ，
Q APB 為直角，\ AP ^ BP ，
k 1- y由 AP = =1- y, k
4 - y
1 BP
= ，
2
k 4 - y\ AP × kBP = 1- y ÷ = -1，
è 2
解得 y = 3或 2，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 0,2 或 0,3
故選：B
4-3．（2024 高二下·甘肅武威·開(kāi)學(xué)考試）已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A 4,2 ，B 1, -2 ，C -2, 4 ，
則BC 邊上的高的斜率為（ ）
1 1
A．2 B．-2 C． D．-
2 2
【答案】C
【分析】根據(jù)已知求出BC 的斜率，再根據(jù)兩直線(xiàn)垂直的斜率關(guān)系即可求解.
【詳解】QB 1, -2 C -2, 4 4 -k -2 ， ，\ BC = = -2-2 -1
1
設(shè)BC 邊上的高的斜率為 k ，則 k × kBC = -1，\k = 2
故選：C
4-4．（2024 高二上·山西晉中·期末）已知直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò) A 3,7 ，B 2,8 兩點(diǎn)，且直線(xiàn) l2 ^ l1，則直線(xiàn) l2的傾斜
角為（ ）
A．30° B． 45° C．135° D．150°
【答案】B
【分析】先求出直線(xiàn) l1的斜率，再結(jié)合直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】設(shè)直線(xiàn) l2的傾斜角為a ，
l k 7 -8因?yàn)橹本€(xiàn) 1的斜率 l = = -1，由 l1 ^ l2，得 kl × kl = -11 2 ，1 3- 2
所以 kl =12 ，即 tana =1，又0° a <180°，則a = 45°，
所以直線(xiàn) l2的傾斜角為 45°．
故選：B．
4-5．（2024 高二下·甘肅蘭州·開(kāi)學(xué)考試）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn) A -2,0 和點(diǎn)B 1,3a 的直線(xiàn) l1與經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 0, -1 和點(diǎn)
Q a,-2a 的直線(xiàn) l2互相垂直，則實(shí)數(shù) a的值為（ ）
A．0 B．1 C．0 或1 D．-1或1
【答案】C
【分析】求出直線(xiàn) l1的斜率為 k1 = a，分 a 0、 a = 0兩種情況討論，在 a 0時(shí)，由兩直線(xiàn)斜率之積為-1可
求得實(shí)數(shù) a的值；在 a = 0時(shí)，直接驗(yàn)證 l1 ^ l2 .綜合可得結(jié)果.
k 3a - 0【詳解】直線(xiàn) l1的斜率 1 = = a1- -2 ．
l -2a - -1① a 0 1- 2a當(dāng) 時(shí)，直線(xiàn) 2的斜率 k2 = = ．a(chǎn) - 0 a
l ^ l k k = -1 a 1- 2a因?yàn)?1 2，所以 1 2 ，即 × = -1，解得 a =1．a(chǎn)
②當(dāng) a = 0時(shí)，P 0, -1 、Q 0,0 ，此時(shí)直線(xiàn) l 為 y2 軸，
又 A -2,0 、B 1,0 ，則直線(xiàn) l1為 x 軸，顯然 l1 ^ l2．
綜上可知， a = 0或1.
故選：C.
（三）
兩條直線(xiàn)平行或垂直的綜合應(yīng)用
利用兩條直線(xiàn)的平行或垂直判斷圖形形狀
題型 5：利用兩條直線(xiàn)平行或垂直判定圖形形狀
5-1．（2024 高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）以 A(-2,-1), B(4, 2),C(2,6), D(-3,1) 為頂點(diǎn)的四邊形是（ ）
A．平行四邊形，但不是矩形 B．矩形 C．梯形，但不是直角梯形 D．直角梯形
【答案】D
【分析】先在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出 ABCD 點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)邊和鄰邊的位置關(guān)系判斷四邊形 ABCD 的形狀.
【詳解】
k 1+1 2, k 6 - 2在坐標(biāo)系中畫(huà)出 ABCD 點(diǎn)，大致如上圖，其中 AD = = - BC = = -2,\k = k , AD / /BC ，-3 + 2 2 - 4 AD BC
k 2 +1 1AB = = ,kAB gkBC = -1, AB ^ BC ，4 + 2 2
AD = -2 + 3 2 + -1-1 2 = 5, BC = 4 - 2 2 + 2 - 6 2 = 20 AD ，
所以四邊形 ABCD 是直角梯形；
故選：D.
5-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）已知四邊形MNPQ的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M (1,1), N (3,-1), P(4,0),Q(2,2)，求證：四
邊形MNPQ為矩形．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】先利用斜率的關(guān)系證明兩組對(duì)邊分別平行，可得四邊形為平行四邊形，再由一組鄰邊所在的直線(xiàn)
的斜率乘積為-1，可得一組鄰邊垂直，從而可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)镸 (1,1), N (3,-1), P(4,0),Q(2,2)，
k 1- (-1) 2 - 0 1- 2 -1- 0所以 MN = = -1, kPQ = = -1， kMQ = =1, k = =1，1- 3 2 - 4 1- 2 PN 3 - 4
所以 kMN = kPQ ， kMQ = kPN ，
所以MN ∥ PQ，MQ ∥ NP ，
所以四邊形MNPQ為平行四邊形，
因?yàn)?kMN × kMQ = -1，
所以MN ^ MQ ，
所以四邊形MNPQ為矩形.
5-3．（2024 高二·江蘇）已知點(diǎn) A -4,3 ，B 2,5 ，C 6,3 ，D -3,0 ，試判定四邊形 ABCD 的形狀．
【答案】直角梯形
【分析】求出四邊斜率，然后再判斷形狀．
【詳解】由斜率公式可得：
k 5 - 3 1AB = =2 - (-4) 3
k 0 - 3 1CD = =-3 - 6 3
k 0 - 3AD = = -3-3 - (-4)
k 3- 5 1BC = = -6 - 2 2
kAB = kCD ，
\ AB / /CD
QkAD kBC
\ AD 與 BC 不平行
1
又QkAB × kAD = (-3) = -1，3
\ AB ^ AD ，
故四邊形 ABCD 是直角梯形．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形形狀的判斷，要關(guān)注四條邊的斜率關(guān)系，是否有垂直或者平行，是基礎(chǔ)題．
題型 6：兩條直線(xiàn)平行或垂直的綜合應(yīng)用
6-1．（2024 高三上·重慶·階段練習(xí)）已知直線(xiàn) l1過(guò)點(diǎn) A(0,1)，直線(xiàn) l1與直線(xiàn) l2 : y = x 的交點(diǎn) B 在第一象限，
點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn). 若三角形 OAB 為鈍角三角形時(shí)，則直線(xiàn) l1的斜率的范圍是（ ）
A． (- ,-1] B． (- , -1) (0,+ )
C． (- , -1) U (0,1) D． (- , -1) U (1, + )
【答案】C
【分析】找到三個(gè)極端位置的斜率值，并旋轉(zhuǎn)相關(guān)直線(xiàn)得到斜率范圍.
【詳解】當(dāng)三角形OAB 為直角三角形時(shí)，OB ^ BA或OA ^ BA，
此時(shí) l1的斜率 k = -1或 0.
當(dāng) l1從 k = -1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 y 軸之間時(shí)，三角形OAB 為鈍角三角形，此時(shí) k < -1；
當(dāng) l1從 k = 0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與直線(xiàn) l2 : y = x 平行之間時(shí)，三角形OAB 為鈍角三角形，此時(shí)0 < k <1，
綜上， k (- ,-1) (0,1)，
故選：C.
故選：C.
6-2．（2024 高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，則頂點(diǎn) D
的坐標(biāo)為 .
【答案】(3,4)
【分析】設(shè) D 為(x,y)，由平行四邊形知對(duì)邊所在的直線(xiàn)斜率相等，列方程組即可求 D 的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(x,y)，
∵AB / / DC，AD / / BC，
ì0 -1 3- y
=
∴ 1- 0 4 - x
ìx = 3
í y ，解得 ， -1 3- 0
í
y = 4=
x - 0 4 -1
∴點(diǎn) D 的坐標(biāo)為(3,4).
故答案為：(3,4).
6-3．（2024 高二上·青海海東·期中）已知點(diǎn) A -2,2 ，B 6,4 ， H 5,2 ， H 是VABC 的垂心．則點(diǎn) C 的坐標(biāo)
為（ ）
A． 6,2 B． -2,2 C． -4, -2 D． 6, -2
【答案】D
【分析】先設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo),再求出直線(xiàn)BH，AH 的斜率，則可求出直線(xiàn) AC 的斜率和直線(xiàn)BC 的傾斜角，聯(lián)
立方程組求出 C 的坐標(biāo)；
【詳解】設(shè) C 點(diǎn)標(biāo)為 x, y 2 - 2，直線(xiàn) AH 斜率 kAH = = 0，5 + 2
∴ BC ^ AH ，而點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 6，則 = 6，
4 - 2
直線(xiàn) BH 的斜率 kBH = = 2，6 - 5
y - 2 1
∴直線(xiàn) AC 斜率 kAC = = - ，6 + 2 2
∴ y=- 2 ，
∴點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (6, -2) ．
故選: D .
一、單選題
1．（2024 高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若兩直線(xiàn)平行，則兩直線(xiàn)的斜率相等
B．若兩直線(xiàn)的斜率相等，則兩直線(xiàn)平行
C．若兩直線(xiàn)的斜率乘積等于-1，則兩直線(xiàn)垂直
D．若兩直線(xiàn)垂直，則兩直線(xiàn)的斜率乘積等于-1
【答案】C
【分析】根據(jù)直線(xiàn)斜率與位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)直接判斷即可.
【詳解】對(duì)于 A，兩直線(xiàn)平行，可以是斜率都不存在，所以 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，若兩直線(xiàn)的斜率相等，則兩直線(xiàn)平行或重合，所以 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，若兩直線(xiàn)的斜率乘積等于-1，則兩直線(xiàn)垂直，故 C 正確；
對(duì)于 D，若兩直線(xiàn)垂直，可能是一條直線(xiàn)斜率為 0，另一條直線(xiàn)斜率不存在，則不是兩直線(xiàn)的斜率乘積等于
-1，故 D 錯(cuò)誤；
故選：C
2．（2024 高二下·福建·學(xué)業(yè)考試）已知直線(xiàn) l1： y = x - 2， l2： y = kx ，若 l1 //l2，則實(shí)數(shù) k = （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
【答案】D
【分析】?jī)芍本€(xiàn)平行，則斜率相等求解.
【詳解】已知直線(xiàn) l1： y = x - 2， l2： y = kx ，
因?yàn)?l1 //l2，
所以 k =1
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
3．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．若兩條直線(xiàn)斜率相等，則它們互相平行
B．若 l1∥l2 ，則 kl = k1 l2
C．若兩條直線(xiàn)中有一條直線(xiàn)的斜率不存在，另一條直線(xiàn)的斜率存在，則這兩條直線(xiàn)相交
D．若兩條直線(xiàn)的斜率都不存在，則它們相互平行
【答案】C
【分析】根據(jù)直線(xiàn)平行和斜率之間的關(guān)系對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】若兩條直線(xiàn)斜率相等，則它們互相平行或重合，A 錯(cuò)誤；
若 l1∥l2 ，則 kl = kl 或 l1， l1 2 2的斜率都不存在，B 錯(cuò)誤；
若兩條直線(xiàn)中有一條直線(xiàn)的斜率不存在，另一條直線(xiàn)的斜率存在，則這兩條直線(xiàn)相交，C 正確；
若兩條直線(xiàn)的斜率都不存在，則它們互相平行或重合，D 錯(cuò)誤．
故選：C.
4．（2024 高二上·山東泰安·期末）若直線(xiàn) l1 : y = kx +1與直線(xiàn) l2 : y = 3x平行，則實(shí)數(shù) k 的值為（ ）
1 1
A．- B 3． C． D．3
3 3 3
【答案】D
【分析】利用兩直線(xiàn)平行斜率相等，求出實(shí)數(shù) k 的值.
【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn) l1 : y = kx +1與直線(xiàn) l2 : y = 3x平行，
所以?xún)芍本€(xiàn)斜率相等，即 k = 3 .
故選：D.
5．（2024 高二上·廣東廣州·期中）已知直線(xiàn) l1的傾斜角為30°，直線(xiàn) l1//l2，則直線(xiàn) l2的斜率為（ ）
A． 3 B．- 3 C 3 3． D．-
3 3
【答案】C
【分析】利用直線(xiàn)的斜率公式與直線(xiàn)平行的性質(zhì)求解即可.
3
【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn) l1的傾斜角為30°，所以 kl = tan 30° = ，1 3
l //l k k 3又 1 2，所以 l = l = .2 1 3
故選：C.
6．（2024 高一下·江西撫州·期末）已知直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò) A -3,4 ，B -8, -1 兩點(diǎn)，直線(xiàn) l2的傾斜角為135o，那么 l1
與 l2
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【答案】A
【解析】根據(jù)兩點(diǎn)求出直線(xiàn) l1的斜率，根據(jù)傾斜角求出直線(xiàn) l2的斜率；可知斜率乘積為-1，從而得到垂直關(guān)
系.
【詳解】Q直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò) A -3,4 ，B -8, -1 兩點(diǎn) \ l
4 +1
直線(xiàn) 1的斜率： k1 = =1-3 + 8
Q直線(xiàn) l2的傾斜角為135o \直線(xiàn) l2的斜率： k2 = tan135o = -1
\k1 × k2 = -1 \l1 ^ l2
本題正確選項(xiàng)：A
【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率公式和傾斜角求出兩條直線(xiàn)的斜率，根
據(jù)斜率關(guān)系求得位置關(guān)系.
7．（2024 高二上·上海浦東新·期中）“兩條直線(xiàn)的斜率乘積為-1”是“兩條直線(xiàn)互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直與斜率的關(guān)系判斷即可得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)兩條直線(xiàn)斜率乘積為-1時(shí)，兩條直線(xiàn)互相垂直，充分性成立；
當(dāng)兩條直線(xiàn)互相垂直時(shí)，其中一條直線(xiàn)可能斜率不存在，必要性不成立；
\“兩條直線(xiàn)的斜率乘積為-1”是“兩條直線(xiàn)互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
8．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）順次連接 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所構(gòu)成的圖形是（ ）
A．平行四邊形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不對(duì)
【答案】B
【分析】結(jié)合直角梯形的性質(zhì)，利用兩直線(xiàn)間的平行和垂直關(guān)系來(lái)判斷即可得出結(jié)論.
3- 5 1
【詳解】 kAB = = = k
3- 0
= k 3- 0 3,k 5 - 3 14 2 3 CD 6 3 ， AD = = - CB = = -- - - - ，則 kAD k-4 + 3 2 - 6 2 CB，
所以 AB / /CD , AD 與BC 不平行，
kAD ×kAB = -1
因此 AD ^ AB
故構(gòu)成的圖形為直角梯形.
故選：B.
9．（2024 高三上·浙江麗水·期中）若直線(xiàn) y = -x + 3與 y=kx+b 平行，則（ ）
A． k = -1,b R B． k R,b R C． k = -1,b 3 D．b 3,k R
【答案】C
【分析】斜率存在的兩直線(xiàn)平行，斜率相等截距不等.
【詳解】直線(xiàn) y = -x + 3與 y=kx+b 平行，
所以， k = -1,b 3 .
故選：C.
二、多選題
10．（2024 高二上·江蘇）以 A(-1,1), B(2,-1),C(1, 4) 為頂點(diǎn)的三角形，下列結(jié)論正確的有（ ）
A． k
2
AB = - 3
B． k
1
BC = - 4
C．以A 點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形
D．以 B 點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形
【答案】AC
【分析】對(duì)于 AB，利用斜率公式計(jì)算判斷，對(duì)于 C，通過(guò)計(jì)算 kAB × kAC 判斷，對(duì)于 D，通過(guò)計(jì)算 kAB × kBC 判斷.
A(-1,1), B(2,-1) k 1- (-1) 2【詳解】對(duì)于 A，因?yàn)?，所以 AB = = - ，所以 A 正確，-1- 2 3
對(duì)于 B，因?yàn)锽(2,-1),C(1, 4)
-1- 4 1
，所以 kBC = = -5 - ，所以 B 錯(cuò)誤，2 -1 4
2 1- 4 3 2 2
對(duì)于 C，因?yàn)?kAB = - ， kAC = = ，所以 kAB × kAC = - = -1，3 -1-1 2 3 3
所以 AB ^ AC ，所以VABC 以A 點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以 C 正確，
2
對(duì)于 D，因?yàn)?kAB = - ， kBC = -5，所以 kAB × kBC -1，所以 D 錯(cuò)誤，3
故選：AC
11．（2024 高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）若 l1與 l2為兩條不重合的直線(xiàn)，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．若 l1 //l2，則它們的斜率相等 B．若 l1與 l2的斜率相等，則 l1 //l2
C．若 l1 //l2，則它們的傾斜角相等 D．若 l1與 l2的傾斜角相等，則 l1 //l2
【答案】BCD
【分析】由兩直線(xiàn)斜率不存在可知 A 錯(cuò)誤；根據(jù)兩直線(xiàn)平行與斜率和傾斜角的關(guān)系可知 BCD 正確.
p
【詳解】對(duì)于 A，當(dāng) l1和 l2傾斜角均為 時(shí)， l1 //l2，但兩直線(xiàn)斜率不存在，A 錯(cuò)誤；2
對(duì)于 B，若 l1和 l2斜率相等，則兩直線(xiàn)傾斜角相等，可知 l1 //l2，B 正確；
對(duì)于 C，若 l1 //l2，可知兩直線(xiàn)傾斜角相等，C 正確；
對(duì)于 D，若兩直線(xiàn)傾斜角相等，則兩直線(xiàn)斜率相等或兩直線(xiàn)斜率均不存在，可知 l1 //l2，D 正確.
故選：BCD.
12．（2024 高二上·浙江麗水·階段練習(xí)）已知直線(xiàn) l1與 l2為兩條不重合的直線(xiàn)，則下列命題正確的是（ ）
A．若 l1 //l2，則斜率 k1 = k2
B．若斜率 k1 = k2 ，則 l1 //l2
C．若傾斜角a1 = a2 ，則 l1 //l2
D．若 l1 //l2，則傾斜角a1 = a2
【答案】BCD
【分析】利用直線(xiàn)的傾斜角和斜率的關(guān)系，直線(xiàn)的斜率和直線(xiàn)的平行問(wèn)題的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】A 選項(xiàng)， l1 //l2，可能直線(xiàn) l1與 l2的傾斜角都是90°，斜率不存在，所以 A 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B 選項(xiàng)，根據(jù)直線(xiàn)的位置關(guān)系，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在，并且相等，則直線(xiàn)平行，所以 B 選項(xiàng)正確.
C 選項(xiàng)，當(dāng)兩條直線(xiàn)的傾斜角相等時(shí)，直線(xiàn)平行，所以 C 選項(xiàng)正確.
D 選項(xiàng)，當(dāng)兩條直線(xiàn)平行時(shí)，則傾斜角必相等，所以 D 選項(xiàng)正確.
故選：BCD
13．（2024 高二上·吉林·期中）已知兩條不重合的直線(xiàn) l1:y = k1x + b1，l2:y = k2x + b2 ，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若 l1∥l2 ，則 k1 = k2 B．若 k1 = k2 ，則 l1∥l2
C．若 k1k2 =1，則 l1 ^ l2 D．若 l1 ^ l2，則 k1k2 = -1
【答案】ABD
【分析】根據(jù)直線(xiàn)的位置關(guān)系與斜率關(guān)系即可判斷.
【詳解】對(duì) A，若 l1∥l2 ，則 k1 = k2 ，故 A 正確；
對(duì) B，若 k1 = k2 ，又兩直線(xiàn)不重合，則 l1∥l2 ，故 B 正確；
對(duì) C，若 k1k2 =1，則 l1與 l2不垂直，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì) D，若 l1 ^ l2，則 k1k2 = -1，故 D 正確.
故選：ABD.
14（．2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若 l1，l2為兩條不重合的直線(xiàn)，他們的傾斜角分別為a1，a2 ，斜率分別為 k1，k2 ，
則下列命題正確的是（ ）
A．若 l1//l2，則斜率 k1 = k2 B．若斜率 k1 = k2 ，則 l1//l2
C．若 l1//l2，則傾斜角a1 = a2 D．若傾斜角a1 = a2 ，則 l1//l2
【答案】ABCD
【分析】根據(jù)直線(xiàn)平行、斜率、傾斜角之間關(guān)系，可直接判斷出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?l1，l2為兩條不重合的直線(xiàn)，他們的傾斜角分別為a1，a2 ，斜率分別為 k1，k2 ，
若 l1//l2，則斜率相等，即 k1 = k2 ；又斜率是傾斜角的正切值，所以a1 = a2 ，故 AC 正確；
若a1 = a2 ，則 k1 = k2 ，所以 l1//l2，故 BD 正確；
故選：ABCD
15．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）若 A -4,2 ，B 6, -4 ，C 12,6 ，D 2,12 ，下面結(jié)論中正確的是
（ ）
A． AB//CD B． AB ^ AD C． AC = BD D． AC //BD
【答案】ABC
【分析】通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)得到相應(yīng)直線(xiàn)的斜率，通過(guò)直線(xiàn)斜率判斷直線(xiàn)的位置關(guān)系即可.
【詳解】 k
-4 - 2 3 12 - 6 3
AB = = - ， kCD = = - ，且 C 不在直線(xiàn) AB 上，∴ AB//CD ，故 A 正確；6 + 4 5 2 -12 5
k 12 - 2 5又∵ AD = = ，∴ k × k2 + 4 3 AB AD
= -1，∴ AB ^ AD ，故 B 正確；
uuur uuur
∵ AC = 16,4 ，BD = -4,16 ，
∴ AC = 4 17 ， BD = 4 17 ，∴ AC = BD ，故 C 正確；
k 6 - 2 1 12 + 4又∵ AC = = ， k12 + 4 4 BD
= = -4，∴ k
2 - 6 AC
× kBD = -1
∴ AC ^ BD ，故 D 錯(cuò)誤．
故選:ABC．
三、填空題
16．（2024 高二下·山東菏澤·開(kāi)學(xué)考試）已知 A(5,-1), B(1，1),C(2，3)三點(diǎn)，則△ABC 為 三角形.
【答案】直角
【分析】根據(jù)直線(xiàn)斜率關(guān)系即得.
【詳解】如圖，猜想 AB ^ BC,VABC 是直角三角形，
1
由題可得邊 AB 所在直線(xiàn)的斜率 kAB = - ,邊BC 所在直線(xiàn)的斜率 kBC = 2，2
由 kABkBC = -1，得 AB ^ BC,即 ABC = 90o ，
所以VABC 是直角三角形.
故答案為：直角.
17．（2024 高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若 l1與 l2為兩條不重合的直線(xiàn)，它們的傾斜角分別為 a1，a2，斜率分別為
k1， k2 ，則下列命題
①若 l1 //l2，則斜率 k1 = k2 ； ②若斜率 k1 = k2 ，則 l1 //l2；
③若 l1 //l2，則傾斜角 a1 = a2 ；④若傾斜角 a1 = a2 ，則 l1 //l2；
其中正確命題的個(gè)數(shù)是 ．
【答案】 4
【分析】根據(jù)兩直線(xiàn)平行的充要條件、斜率與傾斜角的關(guān)系判斷即可；
【詳解】解：因?yàn)?l1與 l2為兩條不重合的直線(xiàn)，且它們的傾斜角分別為 a1， a2，斜率分別為 k1， k2 .
①由于斜率都存在，若 l1 //l2，則 k1 = k2 ，此命題正確；
②因?yàn)閮芍本€(xiàn)的斜率相等即斜率 k1 = k2 ，得到傾斜角的正切值相等即 tan a1 = tan a2 ，即可得到 a1 = a2 ，所以
l1 //l2，此命題正確；
③因?yàn)?l1 //l2，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，得到 a1 = a2 ，此命題正確；
④因?yàn)閮芍本€(xiàn)的傾斜角 a1 = a2 ，根據(jù)同位角相等，得到 l1 //l2，此命題正確；
所以正確的命題個(gè)數(shù)是 4．
故答案為： 4．
四、解答題
18．（2024 高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線(xiàn) l1與直線(xiàn) l2是否平行.
（1）直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(2,1), B(-3,5) ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C (3, -2), D (8, -7) ；
（2）直線(xiàn) l1平行于 y 軸，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0, -2)，Q(0,5)；
（3）直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) E (0,1), F (-2, -1) ，直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)G (3, 4), H (2, 3) .
【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.
【分析】（1） k1 k2 ，所以直線(xiàn) l1與 l2不平行；
（2）直線(xiàn) l2與 y 軸重合，所以直線(xiàn) l1與 l2平行；
（3）E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共線(xiàn)，直線(xiàn) l1與 l2重合.故直線(xiàn) l1與 l2不平行.
l k 5 -1 4= = - -7 - (-2)【詳解】解：（1）直線(xiàn) 1的斜率 1 ，直線(xiàn) l2的斜率 k2 = = -1 k k8 3 ，顯然 1 2 ，所以直線(xiàn)
l
-3 - 2 5 - 1
與 l2不平行.
（2）直線(xiàn) l2與 y 軸重合，所以直線(xiàn) l1與 l2平行.
-1 - 1 3 - 4 4 - 1
（3）直線(xiàn) l1的斜率 k1 = = 1，直線(xiàn) l2的斜率 k2 = = 1，所以 k1 = k2 ，又 kGE = = 1，所以 E，F(xiàn)，-2 - 0 2 - 3 3 - 0
G，H 四點(diǎn)共線(xiàn)，直線(xiàn) l1與 l2重合.故直線(xiàn) l1與 l2不平行.
19．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）判斷 A(1,3), B(3,7),C(4,9) 三點(diǎn)是否共線(xiàn)，并說(shuō)明理由．
【答案】共線(xiàn)，理由見(jiàn)解析.
【分析】根據(jù)直線(xiàn)斜率公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】這三點(diǎn)共線(xiàn)，理由如下：
7 - 3 9 - 3
由直線(xiàn)斜率公式可得： kAB = = 2, kAC = = 2，3-1 4 -1
直線(xiàn) AB, AC 的斜率相同，所以這兩直線(xiàn)平行，但這兩直線(xiàn)都通過(guò)同一點(diǎn) A(1,3) ，
所以這三點(diǎn)共線(xiàn).
20．（2024 高二上·四川成都·階段練習(xí)）如圖所示，一個(gè)矩形花園里需要鋪兩條筆直的小路，已知矩形花園
長(zhǎng) AD = 5m，寬 AB=3m，其中一條小路為 AC ，另一條小路過(guò)點(diǎn)D .請(qǐng)建立合適的平面直角坐標(biāo)系，在BC
上找到一點(diǎn)M ，使得兩條小路 AC 與DM 互相垂直，并求 BM .
16
【答案】建系見(jiàn)解析， BM = m
5
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用 kAC ×kDM = -1求得 BM .
【詳解】以 B 為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
則 A 0,3 , D 5,3 ,C 5,0 ，設(shè)M x,0 ,0 < x < 5，
依題意可知：直線(xiàn) AC 和直線(xiàn)DM 的斜率都存在，
由于 AC 與DM 互相垂直，
k ×k = -1 0 - 3 0 - 3所以 AC DM ，即 × = -1, x
16
= ，
5 - 0 x - 5 5
16
所以 BM = m .
5
21．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）判斷下列各題中直線(xiàn) l1與 l2是否平行．
(1) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-1, -2) ，B(2,1) ， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (3, 4)， N (-1, -1) ；
(2) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-3,2) ，B(-3,10)， l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (5,-2) ， N (5,5)．
【答案】(1)不平行
(2)平行
【分析】（1）求出 kl1 、 kl2 ，即可判斷；
（2）求出 l1、 l2的方程，即可判斷.
-2 -1
【詳解】（1）因?yàn)?l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-1, -2) ，B(2,1) ，所以 kl = =1，1 -1- 2
又 l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (3, 4)， N (-1, -1) k
-1- 4 5
，所以 l = = ，2 -1- 3 4
因?yàn)?kl k1 l2 ，所以 l1與 l2不平行；
（2）直線(xiàn) l1經(jīng)過(guò)點(diǎn) A(-3,2) ，B(-3,10)的方程為 x = -3，
直線(xiàn) l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (5,-2) ， N (5,5)的方程為 x = 5，
故直線(xiàn) l1和直線(xiàn) l2平行；
22．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，四邊形OPQR 的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O 0,0 ，
P 1,t ，Q 1- 2t, 2 + t 1，R -2t, 2 ，其中 t > 0且 t .試判斷四邊形OPQR 的形狀.
2
【答案】矩形
【分析】可借助斜率驗(yàn)證四邊形OPQR 對(duì)邊平行，鄰邊垂直，對(duì)角線(xiàn)不垂直即得解
t - 0
【詳解】由斜率公式，得 kOP = = t ，1- 0
2 - 2 + t
k -tQR = = = t2t 1 2t 1 ，- - - -
k 2 - 0 1OR = = - ，-2t - 0 t
k 2 + t - t 2 1PQ = = = - ，1- 2t -1 -2t t
k 2 + tOQ = ，1- 2t
k t - 2PR = .1+ 2t
∴ kOP = kQR ， kOR = kPQ ，
∴ OP//QR，OR//PQ，
∴四邊形OPQR 為平行四邊形.
又 kOP ×kOR = -1，∴ OP ^ QR .
又 kOQ ×kPR -1，∴ OQ 與 PR不垂直，
∴四邊形OPQR 為矩形.
23．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 A -4,3 ， B 2,5 ，C 6,3 ， D -3,0 四點(diǎn)，若順次連接 ABCD四點(diǎn)，
試判斷圖形 ABCD的形狀．
【答案】直角梯形
【分析】計(jì)算四條邊所在直線(xiàn)的斜率，判斷邊之間的位置關(guān)系，即可判斷圖形 ABCD的形狀 .
5 - 3 1 0 - 3 1 0 - 3 3- 5 1
【詳解】由斜率公式，得 kAB = = k2 - -4 3 ， kCD = = ， AD
= = -3
3 4 ， k- - - BC = = - ,-3 - 6 3 6 - 2 2
3- 3
所以 kAB = kCD ，又因?yàn)?kAC = = 0 k6 ( 4) AB ,說(shuō)明 AB 與CD不重合，- -
所以 AB / /CD ．
因?yàn)?kAD kBC ，所以 AD 與BC 不平行．
1
又因?yàn)?kAB × kAD = -3 = -1，所以 AB ^ AD ．3
故四邊形 ABCD為直角梯形．
1 7
24．（2024 高二·江蘇·課后作業(yè)）已知點(diǎn) A -4, -2 ，B 1, -1 ，C 5,5 ，D - , ÷，求證：四邊形 ABCD
è 3 2
是梯形．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)題意，只要證明四邊形一組對(duì)邊平行，且不相等，即可證明四邊形為梯形.
【詳解】由點(diǎn) A(-4,-2) ，B(1, -1)，C(5,5) ，D(
1
- , 7)，
3 2
7
+ 2
k 2 3 ,k 5 +1 3可得 AD = 1 = BC = = ,
- + 4 2 5 -1 2
3
| AD | ( 1 4)2 (7而 = - + + + 2)2 11= 13 , | BC |= (5 -1)2 + (5 +1)2 = 2 13 ,
3 2 6
故 AD∥BC ,但 | AD | | BC | ,
所以四邊形 ABCD 是梯形．

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