資源簡介

2.1.1 傾斜角與斜率 6 題型分類
1．直線的傾斜角：
(1)當直線 l 與 x 軸相交時，我們以 x 軸為基準，x 軸正向與直線 l 向上的方向之間所成的角 α 叫做直線 l 的
傾斜角．
(2)當直線 l 與 x 軸平行或重合時，規定它的傾斜角為 0°.
(3)直線的傾斜角 α 的取值范圍為 0°≤α<180°.
2．直線的斜率
(1)直線的斜率：
把一條直線的傾斜角 α 的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母 k 表示，即 k＝tanα.
(2)斜率與傾斜角的對應關系：
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)過兩點的直線的斜率公式：
y2－y1
過兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為 k＝ .x2－x1
（一）
直線的傾斜角
1、直線的傾斜角：
(1)當直線 l 與 x 軸相交時，我們以 x 軸為基準，x 軸正向與直線 l 向上的方向之間所成的角 α 叫做直線 l 的
傾斜角．
(2)直線的傾斜角 α 的取值范圍為 0°≤α<180°.
2、直線傾斜角的概念和范圍：
(1)求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討
論．
(2)注意傾斜角的范圍．
題型 1：求直線的傾斜角
1-1．（2024 高二·江蘇·假期作業）若直線 l經過點M (2,3), N (4,3)，則直線 l的傾斜角為（　　）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
【答案】A
【分析】由M , N 兩點的縱坐標相等，可直接得到直線的傾斜角.
【詳解】因為M (2,3), N (4,3)兩點的縱坐標相等，
所以直線 l平行于 x 軸，
所以直線 l的傾斜角為 0°．
故選：A
1-2．（2024 高二下·全國·課后作業）已知點 A 2,1 ，B 3,2 ，則直線 AB 的傾斜角為（ ）
A．30° B． 45° C． 60° D．135°
【答案】B
【分析】
根據兩點間斜率公式求解即可；
k tana 2 -1【詳解】解析： = = =1，又因為0° a <180°
3- 2
所以a = 45° ，
故選：B.
1-3．（2024 高二·江蘇·假期作業）已知一直線經過兩 A(1, 2)，B(a,3)，且傾斜角為135°，則 a的值為（　　）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
【答案】C
【分析】
由兩點坐標求出直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值列式求得 a的值．
【詳解】
直線經過兩 A(1, 2)，B(a,3)，．
又直線的傾斜角為135°，斜率一定存在，
3 - 2
則直線的斜率為 k =
a -1
\ 3 - 2 = tan135° = -1
a 1 ，即
a = 0．
-
故選：C．
1-4．（2024 高二上·浙江溫州·期末）已知 3, - 3 是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】D
【分析】根據直線的方向向量求出直線的斜率，即可得答案.
3
【詳解】因為 3, - 3 是直線的一個方向向量，故直線的斜率為- ，
3
3
設直線的傾斜角為a ,a [0, π)，則 tana = - ，
3
5π
所以a = ，
6
故選：D
1-5．（2024 高二下·江蘇泰州·階段練習）已知直線 l經過 A -1,4 ，B 1,2 兩點，則直線 l的傾斜角為（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
6 4 3 4
【答案】D
【分析】設出傾斜角，求出其正切值，即斜率，進而可得傾斜角.
【詳解】設直線 l的傾斜角為a ，a 0, π ，
則 tana
4 - 2 3π
= = -1，\a = .
-1-1 4
故選：D.
（二）
直線的斜率
1、直線的斜率：
(1)傾斜角求斜率：
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母 k表示，即 k＝tanα.
(2)兩點求斜率：
y2－y1
過兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率 k＝ .
x2－x1
2、求直線的斜率：
(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，當直線與 x軸垂直時，斜率是不存在的．
(2)斜率公式與兩點 P1，P2的先后順序無關．
題型 2：求直線的斜率
2-1．（山東省濱州高新高級中學 2023-2024 學年高一下學期 3 月月考數學試題（春考班））過點 P( - 2，m)，
Q(m，4)的直線的斜率為 1，那么 m 的值為（ ）
A．1 或 4 B．4 C．1 或 3 D．1
【答案】D
【分析】利用直線的斜率公式求解.
【詳解】解：因為直線過點 P( - 2，m)，Q(m，4)，且斜率為 1，
4 - m
所以k = = 1 ，解得m =1，
m + 2
故選：D
3p
2-2．（2024 高二上·天津河西·期中）已知直線的傾斜角是 ，則該直線的斜率是（ ）
4
A．-1 B．- 3 C 3．- D．1
3
【答案】A
【分析】由斜率和傾斜角關系可直接得到結果.
3p
【詳解】由題意知：直線的斜率 k = tan = -1.4
故選：A.
2-3．（2024 高二·全國·課后作業）分別判斷經過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再
求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．
(1)C(-3,4), D(2,4) ；
(2) P(0,0),Q(-1, 3)；
(3) M (-3, 2), N (- 2,3) ；
(4) E(7,0),Q(7,- 2) ．
【答案】(1)存在，斜率為 k oCD = 0，傾斜角為0 ；
(2)存在，斜率為 kPQ = - 3 ，傾斜角為120o；
(3)存在，斜率為 kMN =1，傾斜角為 45o ；
(4)不存在.
【分析】根據橫坐標是否相等判斷斜率存在與否，若不相等時，斜率存在，再結合斜率公式求解傾斜角即
可；若相等時，則斜率不存在.
【詳解】（1）解：因為 xC xD ，
所以經過C(-3,4), D(2,4) 的直線斜率存在，
4 - 4
所以斜率為 kCD = = 0，-3 - 2
o o
設傾斜角為q ,q é 0 ,180 ，則 tanq = 0，故q = 0o，即傾斜角為0o
（2）解：因為 xP xQ ，
所以經過P(0,0),Q(-1, 3)的直線斜率存在，
3 - 0
所以斜率為 kPQ = = - 3 ，-1- 0
設傾斜角為q ,q é 0
o ,180o ，則 tanq = - 3 ，故q =120o，即傾斜角為120o .
（3）解：因為 xM xN ，
所以經過M (-3, 2), N (- 2,3) 的直線斜率存在，
3- 2
所以斜率為 kMN = =1，- 2 - -3
o
設傾斜角為q ,q é 0 ,180
o ，則 tanq =1，故q = 45o，即傾斜角為 45o .
（4）解：因為 xE = xQ ，
所以經過M (-3, 2), N (- 2,3) 的直線斜率不存在，
（三）
傾斜角與斜率的關系
1、直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當傾斜角是 90°時，直線的斜率不存在，此時，直線
垂直于 x 軸(平行于 y 軸或與 y 軸重合)．
2、直線的斜率也反映了直線相對于 x 軸的正方向的傾斜程度．當 0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程
度越大；當 90°＜α＜180°時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．
題型 3：傾斜角與斜率的關系
3-1．（2024 高二上·四川宜賓·期末）設直線 l的斜率為 k ，且- 3 k <1，則直線 l的傾斜角的取值范圍為
（ ）
é0, π é2π , π é π 5π A． ê ÷U ê ÷ B． 4 3 ê
0,
4 ÷
U , π ÷
è 6
é π , 5π é0, π é5π C． ê D． 4 6 ÷ ê ÷
U
4 ê
, π ÷
6
【答案】A
【分析】設直線 l的傾斜角為a ,0 a < π，則有 k = tana ，0 a < π ，作出 y = tana ( 0 a < π )的圖象，由
圖可得a 的范圍，即可得答案.
【詳解】設直線 l的傾斜角為a ,0 a < π，
則有 k = tana ，0 a < π ，
作出 y = tana ( 0 a < π )的圖象，如圖所示：
由此可得a [0,
π) [2π , π) .
4 3
故選：A.
3-2．（2024 高二·全國·課后作業）設直線 l 的斜率為 k ，且-1 k < 3 ，則直線 l的傾斜角a 的取值范圍為
（ ）
é
A． ê0,
π
÷ U
3π
, π
é
÷ B． ê0,
π U é3π , π
3 ÷ ÷ è 4 6 ê 4
π
C． ,
3π é
÷ D． ê0,
π U é3π , π
è 6 4 3 ÷ ÷ ê 4
【答案】D
【分析】
分-1 k < 0、0 k < 3 兩種情況討論，求出對應的a 的取值范圍，綜合可得結果.
【詳解】
由題意可知，a 0, π 3π，當-1 k < 0時，則a 為鈍角，且 a < π ；
4
π
當0 k < 3 時，此時，0 a < .3
é π é3π
綜上所述，直線 l的傾斜角a 的取值范圍為 ê0, U 3 ÷ ê
, π ÷ .
4
故選：D.
3-3．（2024 高二上·江蘇連云港·期末）經過兩點 A 1,m ，B m -1,3 的直線的傾斜角是銳角，則實數 m 的范
圍是（ ）
A． (- , -3) (-2, + ) B． (-3, -2)
C． (2,3) D． (- , 2) (3,+ )
【答案】C
【分析】根據題意列出相應的不等式，即可得答案.
【詳解】由題意經過兩點 A 1,m ，B m -1,3 的直線的傾斜角是銳角，
3 - m
可知m -1 1 ，且 > 0 ，
m - 2
解得 2 < m < 3 ，即實數 m 的范圍是 (2,3) ，
故選：C
（四）
直線斜率的應用
1、三點共線問題
（1）對于給定坐標的三點，要判斷三點是否共線，先判斷任意兩點連線的斜率是否存在．
①若都不存在，則三點共線；
②若斜率存在，則任意兩點連線的斜率相等時，三點才共線．
（2）若三點共線，則任意兩點連線的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解決這類問題時，首先對斜率是
否存在做出判斷，必要時分情況進行討論，然后下結論．
2、利用直線斜率的幾何意義求最值應重視兩點,
y2－y1
（1）直線的斜率反映了直線的傾斜程度，且 k＝tanα＝ ，（x1，y1）和（x2，y2）是直線上橫坐標不相x2－x1
等的兩點 ；
y－y0 y－y0
（2）在求形如 的式子的最值時，可以將 看作動點 P（x，y）與定點 Q（x0，y0）所確定的直線的x－x0 x－x0
斜率，數形結合求出最值或取值范圍.
題型 4：三點共線問題
4-1．（2024 高二上·山西臨汾·期末）若三點 A 2, -3 , B 4,3 ,C 5,b 在同一直線上，則實數b 等于（ ）
A．-12 B．-6 C．6 D．12
【答案】C
【分析】由題意得 kAB = kAC ，列式求解即可.
k = k 3 - -3 b - -3【詳解】因為 AB AC ，又 kAB = = 3, k
b + 3
AC = = ，4 - 2 5 - 2 3
b + 3
所以3 = ，即b = 6 .
3
故選：C.
4-2．（2024 高二上·安徽六安·階段練習）已知點 A 0, -8 ，B 2, -2 ，C 4, m ，若線段 AB ， AC ，BC 不能
構成三角形，則m 的值是 .
【答案】 4
【分析】由線段 AB ， AC ，BC 不能構成三角形知 A, B,C 三點共線，由 kAB = kAC 求得m 的值.
【詳解】因為線段 AB ， AC ，BC 不能構成三角形，所以 A, B,C 三點共線，
-2 + 8 m + 8
顯然直線 AB 的斜率存在，故 kAB = kAC ，即 = ，解得m = 4 ，2 - 0 4
故答案為：4
4-3．（2024 高二上·山西臨汾·期中）三點 A m, 2 ，B 5,1 ，C -4,2m 在同一條直線上，則m 值為（ ）
7 7 7
A．2 B． C．-2或 D．2 或
2 2 2
【答案】D
【解析】根據三點共線，可得 kAB =kBC ，由兩點求斜率即可求解.
1- 2 2m -1 2m -1
【詳解】由題意可得 kAB = ,km - 5 BC
= = - ，
-4 - 5 9
因為 A，B，C 三點共線，
2 -1 2m -1
所以 kAB =kBC ，即 = - ，m - 5 9
7
解得m = 2 或m = ．
2
7
所以m 的值為 2 或 ．
2
故選：D．
題型 5：利用直線斜率的幾何意義求最值
y +1
5-1．（2024· 1湖南衡陽·模擬預測）點M x , y 在函數 y = ex1 1 的圖象上，當 x1 0,1 ，則 x -1 的取值范圍為 .1
【答案】 - , -2
y1 +1
【分析】把 x -1 轉化為
M x1, y1 與點 A 1, -1 所成直線的斜率，作出函數 y = ex 在 x 0,1 部分圖象上的動
1
點，結合斜率公式，即可求解.
y1 +1
【詳解】由 x -1 表示
M x1, y1 與點 A 1, -1 所成直線的斜率 k ，
1
又由M x , y 是 y = ex1 1 在 x 0,1 部分圖象上的動點，
如圖所示：可得C(0,1), B(1,e) ，則 kAC = -2，
所以 k -2，即 k 的取值范圍為 - , -2 .
故答案為： - , -2 .
y + 3
5-2．（2024 高二·全國·專題練習）若實數 x 、 y 滿足 y = -x + 3，-1 x 1，則代數式 的取值范圍為
x + 2
é5 ,7ù【答案】
ê3 ú
y + 3
【分析】作圖，根據代數式 的幾何意義，結合圖象即可得出答案.
x + 2
【詳解】
如圖， A 1,2 ，B -1,4 ，C -2, -3 ，
-3 - 2 5 -3 - 4
則 kAC = = ， kBC = = 7 .-2 -1 3 -2 - -1
y + 3 y - -3
因為 =x 2 x 2 ，可表示點C 與線段 AB 上任意一點
M x, y 連線的斜率，
+ - -
由圖象可知， kAC kMC kBC ，
5 y + 3
所以有 = k 7 .
3 x + 2 MC
é5 ù
故答案為： ê ,7 3 ú
.

2 + y
5-3．（2024 高一上·四川達州·期末）點M (x, y)在函數 y = 2x + 4 的圖象上，當 x [2,5]時， 的取值范圍是
x +1
（ ）
é7
A． ê ,
8ù é8 ,10 ù
3 3ú
B．
ê3 3 ú
é5 ,16 ù é5 8ùC． ê ú D． , 3 3 ê3 3ú
【答案】B
2 + y
【分析】根據點M (x, y)在函數 y = 2x + 4 的圖象上可求出當 x [2,5]時的兩端點坐標，將 看作函數
x +1
y = 2x + 4 的圖象上的點與點（-1，-2）連線的斜率，即可求得答案.
【詳解】因為點M (x, y)在函數 y = 2x + 4 的圖象上，
所以 x = 2時， y = 8 ；當 x = 5時， y = 14；
故設 A(2,8), B(5,14)
2 + y
而 可看作函數 y = 2x + 4 的圖象上的點與點 P （-1，-2）連線的斜率，
x +1
故 x [2,5] k
2 + y
時， PB kx +1 PA
,
k 10 , k 8 8 2 + y 10而 PA = PB = ,所以 3 3 3 x +1 3
故選：B.
題型 6：直線與線段的相交關系求斜率的范圍
6-1．（2024 高二上·江西撫州·期末）已知坐標平面內三點 A -1,1 , B 1,1 ,C 2, 3 +1 ，D為VABC 的邊 AC
上一動點，則直線BD斜率 k 的變化范圍是（ ）
é 3 ù é
A 3． ê0, 3 ú
B． - ,0 ê 3 , + ÷
é 3 ù
C． ê , 3ú D． - ,0 é 3, + 3
【答案】D
【分析】作出圖象，求出 AB, BC 的斜率，再結合圖象即可得解.
【詳解】如圖所示，
k 1-1 3 +1-1AB = = 0, kBC = = 3 ，1+1 2 -1
因為D為VABC 的邊 AC 上一動點，
所以直線BD斜率 k 的變化范圍是 - ,0 é 3, + .
故選：D.
6-2．（2024 高一上·寧夏中衛·期末）已知 A(2, -3) , B(-3, -2) ,直線 l過定點 P(1,1) ,且與線段 AB 相交,則直線 l的
斜率 k 的取值范圍是( )
4 k 3 3 1A．- B． k 4 C． k D． k -4或 k
3

4 4 2 4
【答案】D
【分析】因為 A(2, -3) , B(-3, -2) ,直線 l過定點 P(1,1) ,且與線段 AB 相交,畫出圖像,即可求得直線 l的斜率 k 的
取值范圍.
【詳解】畫出圖像,如圖:
Qk -3 -1 4, k -2 -1 3PA = = - = = 2 -1 PB -3 -1 4
\ 結合圖像可知,要保證線段 AB 與直線 l相交
3
需滿足斜率 k 的取值范圍: k -4或 k
4
故選:D.
【點睛】本題考查了求過定點直線的斜率范圍問題,解題關鍵是根據題意畫出圖像,數形結合,考查了分析能
力,屬于基礎題.
6-3．（2024 高一下·湖北武漢·階段練習）已知兩點 A 2, -1 ，B -5,-3 ，直線 l過點 1,1 ，若直線 l與線段 AB
相交，則直線 l的斜率取值范圍是（ ）
, 2 2 2A． - - éê , +
é
÷ B． ê-2,
ù
3 3ú
é 2 ù 2 ù
C． ê- , 2ú D．3
- , - 2, +
è 3 ú
【答案】A
【分析】根據直線過定點 P 1,1 ，畫出圖形，再求出PA， PB的斜率，然后利用數形結合求解.
【詳解】如圖所示：
若直線 l與線段 AB 相交，
則 k kPA或 k kPB ，
-1-1
因為 kPA = = -2 k
-3 -1 2
2 -1 ， PB
= =
5 1 3 ，- -
2
所以直線 l的斜率取值范圍是 - , -2 éê , +

.
3 ÷
故選：A.
【點睛】本題主要考查直線斜率的應用，還考查了數形結合的思想方法，屬于基礎題.
6-4．（2024 高二上·江蘇南通·階段練習）經過點P 0, -1 作直線 l，且直線 l 與連接點 A 1, -2 ，B 2,1 的線
段總有公共點，則直線 l 的傾斜角a 的取值范圍是 ．
é0, π ù 3π【答案】 ê
é
4 ú ê
, π ÷
4
【分析】由題意畫出圖形，數形結合能求出使直線 l與線段 AB 有公共點的直線 l的斜率的范圍與傾斜角的范
圍．
【詳解】解：如圖，
Q A(1,-2) ，B(2,1) ， P(0,-1)，
k -2 - (-1)\ PA = = -1 k
-1-1
， PB = = 11 0 0 ，- - - 2
則使直線 l與線段 AB 有公共點的直線 l的斜率 k 的范圍為 k [-1，1]，
又直線傾斜角的范圍是： 0,π ，且 k = tana
\ a é
π ù 3π
直線 l 的傾斜角的范圍為 ê0, ú
é , π
4 ÷
．
ê 4
é π ù 3π
故答案為： ê0, ú
é
4 ê
, π ÷．
4
6-5．（2024 高三·全國·專題練習）直線 l過點M -1,2 ，且與以P -4, -1 、Q 3,0 為端點的線段相交，則直
線 l的斜率的取值范圍是 ．
, 1【答案】 - -
ù
ú U 1, + è 2
【分析】作出圖形，求出 kMP 、 kMQ ，觀察直線 l與線段 PQ的交點運動的過程中，直線 l的傾斜角的變化，
可得出直線 l的取值范圍.
【詳解】如下圖所示：設過點M 且與 x 軸垂直的直線交線段 PQ于點A ，設直線 l的斜率為 k ，
k 2 +1 1 k 2 - 0 1且 PM = = ， QM = = - ，-1+ 4 -1- 3 2
當點 B 從點 P 移動到點A （不包括點A ）的過程中，直線 l的傾斜角為銳角，
此時， k kMP =1；
當點 B 從點A （不包括點A ）移動到點Q的過程中，直線 l的傾斜角為鈍角，
1
此時， k kMQ = - .2
1
綜上所述，直線 l
ù
的斜率的取值范圍是 - , - U 1, + .
è 2ú
1
故答案為： - , -
ù
ú U 1, + .è 2
一、單選題
1．（2024 高二上·江蘇南京·期末）若直線經過 A(1,0)，B(4, 3) 兩點，則直線 AB 的傾斜角為（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．135°
【答案】A
【分析】利用兩點坐標求出直線 AB 的斜率，再求對應的傾斜角即可．
【詳解】由直線經過 A(1,0)，B(4, 3) 3 - 0 3兩點，可得直線的斜率為 = ，
4 -1 3
3
設直線的傾斜角為q ，則有 tanq = ，
3
又0° q < 180°，所以q = 30° .
故選：A.
2．（2024 高二上·全國·課后作業）對于下列命題：①若q 是直線 l 的傾斜角，則0° q < 180°；②若直線傾
斜角為a ，則它斜率 k = tana ；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一
定有傾斜角．其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】通過直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤；直線的斜率的定義，判斷②的正誤；直線的斜率與傾斜
角的關系判斷③和④的正誤.
【詳解】對于①：若q 是直線的傾斜角，則0° q < 180°；滿足直線傾斜角的定義，則①正確；
對于②：直線傾斜角為a 且a 90° ，它的斜率 k = tana ；傾斜角為90°時沒有斜率，所以②錯誤；
對于③和④：可知直線都有傾斜角，但不一定有斜率；因為傾斜角為90°時沒有斜率，所以③正確；④
錯誤；
其中正確說法的個數為 2.
故選：B.
A 2,3 , B -1, x 2π3．（2024 高二下·河南安陽·開學考試）已知點 ，直線 AB 的傾斜角為 ，則 x =（
3 ）
A 3．3- 3 3 B．3+ C．3 + 3 3 D．6
3
【答案】C
【分析】根據斜率公式列式計算即可.
2π
【詳解】因為直線 AB 的傾斜角為 ， A 2,3 , B -1, x 3 ，
x - 3 2π
可得直線 AB 的斜率為 kAB = = tan = - 31 2 3 ，- -
可得 x = 3+ 3 3 .
故選：C
4．（2024 高二上·四川南充·期末）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合
力方向與中央索塔一致．如圖是閬中市盤龍山嘉陵江大橋，共有 10 對永久拉索，在索塔兩側對稱排列．已
知拉索上端相鄰兩個針的間距 PiPi+1 （ i =1，2，…，9）均為3.8m，拉索下端相鄰兩個針的間距 Ai Ai+1
（ i =1，2，…，9）均為15m ．最短拉索的針P1， A1，滿足 OP1 = 60m， OA1 = 80，則最長拉索所在直線的
斜率約為（ ）（結果保留兩位有效數字）
A．±0.47 B．±0.45 C．±0.44 D．±0.42
【答案】C
【分析】根據給定條件，建立坐標系，求出點 A10 , P10 的坐標，再利用斜率坐標公式及對稱性求解作答.
【詳解】依題意，以直線 A10B10 為 x 軸，直線P1P10 為 y 軸建立平面直角坐標系，如圖，
顯然 | OA10 |= 80 + 9 15 = 215(m) ， | OP10 |= 60 + 9 3.8 = 94.2(m)，因此點 A10 (215,0), P10 (0,94.2) ，
直線 A10P
94.2 - 0
10 的斜率為 -0.44，由對稱性得直線B10P10 的斜率為0.44 ，0 - 215
所以最長拉索所在直線的斜率約為±0.44 .
故選：C
5．（2024 高二上·四川）已知直線 l經過第二、四象限，則直線 l的傾斜角a 的取值范圍是（ ）.
A．0o a < 90o B．0o < a <180o C．90o a <180o D．90o < a <180o
【答案】D
【分析】由于直線 l經過第二、四象限，可知直線的傾斜角為鈍角，從而可求得答案
【詳解】直線傾斜角的取值范圍是0o a <180o ，
又直線 l經過第二、四象限，
∴直線 l的傾斜角a 的取值范圍是90o < a <180o ，
故選：D.
6．（2024 高二上·全國·課后作業）若如圖中的直線 l1, l2 , l3 的斜率為 k1, k2 ,k3 ，則（ ）
A． k1 < k2 < k3 B． k3 < k1 < k2 C． k2 < k1 < k3 D． k3 < k2 < k1
【答案】C
【分析】設出三條直線的傾斜角，結合直線斜率的定義和正切函數圖象，數形結合得到答案.
【詳解】設直線 l1, l2 , l3 的傾斜角分別為a , b ,g g
π π π
，顯然

0, ÷ , b , π ÷ ,a , π ÷，且a > b ，
è 2 è 2 è 2
所以 k3 = tan g > 0, k1 = tana < 0,k2 = tan b < 0 ，
又 y = tan x
π
在 x , π ÷ 上單調遞增，故 k1 = tana > tan b = k ，
è 2 2
所以 k2 < k1 < k3 .
故選：C
7．（2024 高二上·貴州黔西·期末）已知直線 l的傾斜角為30o ，則直線 l的斜率為（ ）
1
A B 3 C 2． ． ． D 3．
2 2 2 3
【答案】D
【分析】根據 k = tana 計算即可.
3
【詳解】由題意可得直線 l 的斜率 k = tan 30o = .
3
故選：D
8．（2024 高一上·福建福州·期末）若直線的傾斜角為 120°，則直線的斜率為（ ）
A 3 3． 3 B．- 3 C． D．-
3 3
【答案】B
【分析】求得傾斜角的正切值即得．
【詳解】k=tan120°= - 3 .
故選：B．
9．（2024 高一下·河北邯鄲·期末）圖中的直線 l1, l2 , l3 的斜率分別為 k1, k2 ,k3 ，則有（ ）
A． k1 < k2 < k3 B． k1 > k2 > k3
C． k1 < k3 < k2 D． k3 < k1 < k2
【答案】C
【分析】根據直線斜率的概念，結合圖象，可直接得出結果.
【詳解】由圖象可得， k1 < 0 < k3 < k2，
故選：C
π
10．（2024 高二上·湖南婁底·期末）已知直線的傾斜角是 ，則此直線的斜率是（ ）
3
A 3． B．- 3 C． 3 D．± 3
2
【答案】C
【分析】根據傾斜角與斜率的關系即可求解.
π
【詳解】因為直線的傾斜角是 ，
3
所以此直線的斜率是 tan
π
= 3 .
3
故選:C.
π
11．（2024 高二上·湖北武漢·期末）已知直線 l的傾斜角為a ，斜率為 k ，那么“ k >1”是“a > ”的（
4 ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據斜率和傾斜角的對應關系，結合充分性和必要性的定義求解即可.
π π
【詳解】由直線的斜率 k >1可得 tana >1，解得 > a > ，
2 4
π
所以“ k >1”是“a > ”的充分不必要條件，
4
故選：A
12．（2024 高一上·江西景德鎮·期末）已知三點 A m,1 ，B 4,2 ，C -4,2m 在同一條直線上，則實數m 的值
為（ ）
A．0 B．5 C．0 或 5 D．0 或-5
【答案】C
【解析】根據 B 4,2 ，C -4,2m 知直線斜率存在，利用斜率相等求解.
【詳解】因為三點 A m,1 ， B 4,2 ，C -4,2m 在同一條直線上，且直線斜率存在，
2 -1 2 - 2m
所以 =4 - m 4 ，- (-4)
解得m = 0或m = 5
故選：C
13．（2024 高二下·湖北荊州·階段練習）若直線經過兩點 A m,1 ，B 2 - 3m, 2 ，且其傾斜角為 135°，則 m
的值為（ ）
1 1 3
A．0 B．- C． D．
2 2 4
【答案】D
【分析】根據兩點斜率公式求解即可.
【詳解】經過兩點 A m,1 ，B 2 - 3m, 2 2 -1 1的直線的斜率為 k = = ，
2 - 3m - m 2 - 4m
1 3
又直線的傾斜角為 135°，∴ = -1，解得m =
2 - 4m 4
．
故選：D
14．（2024 高二上·上海嘉定·期末）下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；
C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．
【答案】D
【分析】根據直線的傾斜角和斜率概念分別判斷即可.
2π π
【詳解】對于A :直線的傾斜角a = , b = ,a > b , k
3 3 1
= tana < 0,k2 = tanb > 0,k1 < k2 ,所以A 錯誤；
π
對于B :兩直線的傾斜角相等為 ,斜率不存在,所以B錯誤；
2
π
對于C :當直線的傾斜角為 時直線斜率不存在，所以C 錯誤；
2
對于D :任何一條直線都有唯一的傾斜角．所以D 正確.
故選：D .
r
15．（2024 高二上·遼寧大連·期末）若直線 l 的方向向量是 e = 1, 3 ，則直線 l 的傾斜角為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【分析】由斜率與傾斜角，方向向量的關系求解
r
【詳解】由直線 l 的方向向量是 e = 1, 3 得直線 l的斜率為 3，
設直線的傾斜角是a 0 a < π ，tana 3 a π= = ，
3
故選：B.
16．（2024 高二上·江西贛州·階段練習）設點 A(2, -3) B(-3, -2)，若直線 l 過點 P(1,1) 且與線段 AB 相交，則
直線 l 的斜率 k 的取值范圍是（ ）
k 3 3 1A． 或 k -4 B． k 或 k -
4 4 4
3 3
C．-4 k D．- k 4
4 4
【答案】A
【分析】根據斜率的公式，利用數形結合思想進行求解即可.
【詳解】如圖所示：
k -3 -1 4, k -2 -1 3依題意， PA = = - = = ，2 -1 PB -3-1 4
要想直線 l 過點 P(1,1) 且與線段 AB 相交，
則 k
3
或 k -4，
4
故選：A
y - 2
17．（2024 高二上·黑龍江大慶·階段練習）已知點 A(-1- 3, -1), B(3,0) ，若點M (x, y)在線段 AB 上，則
x +1
的取值范圍是（ ）
1- , - ù é 1 ùA．
è 2ú
[ 3, + ) B． ê-1, - 2ú
é 1 1 ù
C． (- , -1]U[ 3,+ ) D． - ,
ê 2 2 ú
【答案】A
【分析】根據已知條件，結合直線的斜率公式，即可求解
y - 2
【詳解】 可看作M (x, y)與 N (-1,2)的斜率，
x +1
k -1- 2= = 3 k 2 - 0 1則 AN ， = = - ，-1- 3 +1 BN -1- 3 2
因為點M (x, y)在線段 AB 上，
y - 2 1 ù
所以 的取值范圍為 - , - [ 3, + )，
x +1 è 2ú
故選：A
18．（2024 高二上·廣東深圳·期中）已知點 A -2, -1 ，B 3,0 ，若點M x, y y - 2在線段 AB 上，則 的取值
x +1
范圍（ ）
1 1
A． - , -
ù 3,+ B é ù． - ,3
è 2 ú ê 2 ú
C． - , -1 U 3, + D． -1,3
【答案】A
y - 2
【分析】設Q -1,2 ，分別求出 kQA， kQB ，根據 表示直線QM 的斜率即可得到結果.x +1
2 - -1
【詳解】設Q -1,2 ，則 k = = 3 k 2 - 0 1QA -1- -2 ， QB = = --1- 3 2
因為點M x, y y - 2 1 ù在線段 AB 上，所以 的取值范圍是 - , - 3,+ ，
x +1 è 2 ú
故選：A.
19 2024 · · A cosq ,sin2．（ 高三上 新疆昌吉 期中）坐標平面內有相異兩點 q ，B(0,1)，經過兩點的直線的的傾
斜角的取值范圍是（ ）
A é
p ,p- ù p ù é3p ． ê ú B．4 4
0,
è 4 ú
U ê ,p ÷ 4
é0, p ù é3p ,p épC． ê D． ,
3p ù
4 ú ê 4 ÷ ê 4 4 ú
【答案】B
【分析】利用斜率公式求出 kAB ，再利用三角函數求出 kAB 的范圍，利用斜率與傾斜角的關系求出傾斜角的
范圍.
【詳解】因為點 A cosq ,sin2 q ，B(0,1)是相異兩點，
sin2k q -1 -cos
2 q
\ AB = = = -cosq ，且 cosq 0，\kcosq cosq AB
-1,0 U 0,1
設直線的傾斜角為a ，則 tana -1,0 U 0,1
p
當0 < tana 1，傾斜角a 的范圍為0 < a ．
4
當-1 tan
3p
a < 0，傾斜角a 的范圍為 a < p ．
4
\a p ù é3p 0,
è 4 ú

ê
,p
4 ÷
故選：B
【點睛】易錯點睛：本題考查直線的傾斜角的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意是相異的兩個點，
利用 cosq 求出斜率的范圍，再利用傾斜角與斜率的關系求出傾斜角的范圍，屬于易錯題.
20．（2024 高三上·新疆）1949 年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規定：大五角星有一個角尖正
向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發現，第三顆小星的姿態與大星相
近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中
心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊 AB 所在直線的傾斜角約為（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
【答案】C
【分析】根據 5 顆星的位置情況知∠BAO3＝18°，過 O3作 x 軸的平行線 O3E 并確定∠OO3E 的大小，即可知
AB 所在直線的傾斜角.
【詳解】∵O，O3都為五角星的中心點，
∴OO3平分第三顆小星的一個角，
又五角星的內角為 36°知：∠BAO3＝18°，
過 O3作 x 軸的平行線 O3E，如下圖，則∠OO3E＝α≈16°，
∴直線 AB 的傾斜角為 18°－16°＝2°.
故選：C
21．（2024 高二·全國·期中）已知直線斜率為 k，且-1 k 3 ，那么傾斜角a 的取值范圍是（ ）
é0, p ù U ép , 3p éA． ê ú ê ÷ B． ê0,
p ù é3p ,p
3 2 4 3 ú ê 4 ÷
é0, p ù U ép , 3p C D é0,
p ù
． ê ú ê ÷ ． ê ú U
é3p ,p
6 ÷ 2 4 6 ê 4
【答案】B
【分析】根據直線斜率的取值范圍，以及斜率和傾斜角的對應關系，求得傾斜角a 的取值范圍.
【詳解】解：直線 l 的斜率為 k，且-1 k 3 ，
∴ -1 tana 3 ，a [0,p ) .
a p 3p∴
é
ê0,
ù U é ,p ÷ .
3 ú ê 4
故選：B.
22．（2024·四川綿陽·二模）已知直線 l的方程為 x sina + 3y -1 = 0，a R，則直線 l的傾斜角范圍是（ ）
0, π ù é2 π 5πA é ù é ． ú ê π, π ÷ B．è 3 3 ê
0,
6 ú
U , π ÷
ê 6
é π , 5π ù é π , 2π ùC． ê 6 6 ú D． ê 3 3 ú
【答案】B
é 3 3 ù é 3 ù é 3
【分析】計算 k ê- , ú ，再考慮 k ê0, ú 和 k ê- ,0÷ 兩種情況，得到傾斜角范圍.
3 3 3 ÷ 3
3 é 3 3 ù
【詳解】 x sina + 3y -1 = 0，則 k = - sina
3 ê
- , ú，
3 3
π é 3 3 ù
設直線 l的傾斜角為q 0 q < ÷，故 k = tanq ê- , ú，
è 2 3 3
é ù
所以當 k
3 π
0, é ùê 3 ú 時，直線
l的傾斜角q ê0, 6 ú
；

é 3 é5π
當 k ê- ,0÷÷ 時，直線 l的傾斜角q 3 ê
, π ÷；
6
π 5π
綜上所述：直線 l的傾斜角q
é ù
ê0, ú
é
6 ê
, π ÷
6
故選：B
二、多選題
23．（2024 高二下·湖南衡陽·階段練習）已知經過點 A 5,m 和B 2,8 q π π 的直線的傾斜角 ,6 3 ÷，則實數
m
è
的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】ABC
【分析】根據斜率公式求解.
m -8
【詳解】由題可得 kAB = = tanq
3

3
, 3
3 ÷÷
，
è
所以m (8 + 3,8 + 3 3)，
結合選項可得實數m 的可能取值有 11,12,13，
故選:ABC.
24．（2024 高二·全國·課后作業）（多選）如圖，在平面直角坐標系中有三條直線 l1， l2， l3 ，其對應的斜率
分別為 k1， k2 ， k3 ，則下列選項中錯誤的是（ ）
A． k3 > k1 > k2 B． k1 - k2 > 0
C． k1 × k2 < 0 D． k3 > k2 > k1
【答案】ABC
【分析】根據三條直線的傾斜角，直接判斷斜率的大小關系.
【詳解】由題圖可知， k1 < 0， k2 < 0， k3 > 0 ，且 k1 < k2 ，可知 A，B，C 錯誤.
故選：ABC．
25．（2024 高二上·安徽黃山·期中）如圖所示，下列四條直線 l1， l2， l3 ， l4，斜率分別是 k1， k2 ， k3 ， k4 ，
傾斜角分別是a1，a2，a3 ，a4 ，則下列關系正確的是（ ）
A． k2 < k1 < k4 < k3 B． k3 < k2 < k1 < k4 C．a2 < a1 < a4 < a3 D．a3 < a2 < a1 < a4
【答案】BC
【分析】根據直線的圖像特征，結合直線的斜率與傾斜角定義，得出結論.
【詳解】直線 l1， l2， l3 ， l4，斜率分別是 k1， k2 ， k3 ， k4 ，傾斜角分別是a1，a2，a3 ，a4 ，
p p
由傾斜角定義知0 < a1 < a4 < ，a3 > ，a2 = 0，\a2 < a1 < a4 < a3 ，故 C 正確；2 2
由 k = tana ，知 k2 = 0， k3 < 0，0 < k1 < k4 ，\k3 < k2 < k1 < k4 ，故 B 正確；
故選：BC
26．（2024 高三·全國·專題練習）在下列四個命題中，錯誤的有（ ）
A．坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角的取值范圍是 0,p
C．若一條直線的斜率為 tana ，則此直線的傾斜角為a
D．若一條直線的傾斜角為a ，則此直線的斜率為 tana
【答案】ABCD
【分析】根據直線、傾斜角、斜率等知識對選項逐一分析，由此判斷選項是否正確.
【詳解】對于 A：當直線與 x 軸垂直時，直線的傾斜角為90°，斜率不存在，所以 A 錯誤；
對于 B：直線傾斜角的取值范圍是[0,p )，所以 B 錯誤；
對于 C：一條直線的斜率為 tana ，此直線的傾斜角不一定為a ，
如 y = x 的斜率為 tan
5p p
，它的傾斜角為 ，所以 C 錯誤；
4 4
對于 D：一條直線的傾斜角為a 時，它的斜率為 tana 或不存在，所以 D 錯誤.
故選：ABCD
三、填空題
27 o．（2024 高二上·全國·課前預習）已知直線 l1的傾斜角a1 =15 ，直線 l1與 l2的交點為A ，直線 l1和 l2向上的
方向所成的角為120o，如圖，則直線 l2的傾斜角為 ．
【答案】135o
【分析】根據三角形的外角與內角的關系，結合直線傾斜角的定義可得出直線 l2的傾斜角.
【詳解】設直線 l2的傾斜角為a2，因為 l1和 l2向上的方向所成的角為120o，
所以， BAC = 120o a =120o，故 2 +a1 =120
o +15o =135o ．
故答案為：135o .
28．（2024 高二上·廣西百色·期末）已知直線 l過點P 1,0 且與以 A 2,1 ，B 4, -3 為端點的線段 AB 有公共
點，則直線 l斜率的取值范圍為 ．
【答案】 -1,1
【分析】在坐標系中標出這三個點，然后根據直線和線段 AB 有公共點的臨界情況分析.
【詳解】在同一坐標系下標出這三個點，連接PA, PB，如圖當直線 l恰好經過 A, B時為臨界情況，
k 1- 0 1, k 0 - (-3)又 PA = =2 -1 PB
= = -1，當直線從PA位置順時針轉動到 PB位置時，
1- 4
由傾斜角和斜率的關系可知， k -1,1 .
故答案為： -1,1
29．（2024·湖南株洲·一模）過原點的直線 l 與曲線 y = ex-1交于不同的兩點 A，B，過 A，B 作 x 軸的垂線，
與曲線 y = ln x 交于 C，D 兩點，則直線 CD 的斜率為 ．
【答案】1
【分析】
A(x , ex
x
設 1
-1) x，B(x , e 2 -11 2 )，根據點O，A ，B
1
共線，得出 kOA = kOB ，得出 x1 - x2 = ln x ，再由 C，D 兩點的2
ln x1
坐標，根據斜率公式，得出 k x= 2 ，代換即可得出答案．CD x1 - x2
x -1
【詳解】設 A(x1, e 1 )，B(x2 , e
x2 -1)，則點C 的坐標為 (x1, ln x1)，點D的坐標為 (x2 , ln x2 ) ，
Q點O，A ， B 共線，
\kOA = kOB ，
ex1 -1 ex2 -1
即 = ，
x1 x2
ex -x x x1 2可得： = 1 ，即 x1 - x2 = ln 1x2 x
，
2
ln x1
又Qk ln x1 - ln x2 x2 ，CD = =x1 - x2 x1 - x2
x - x
\kCD = 1 2 =1x1 - x
，
2
故答案為：1．
3
30．（2024 高二上·全國·課后作業）直線 l 的斜率為 k，且 k - 3, ÷÷，則直線 l 的傾斜角的取值范圍
è 3
是 ．
é π 2π
【答案】 ê0, U6 ÷
, π
è 3 ÷
【分析】畫出直線的區域，由圖直觀看出直線的傾斜角范圍即可.
【詳解】如圖：
3
當直線 l 的斜率 k - 3, ÷÷，
è 3
é π 2π
直線 l 的傾斜角的取值范圍為： ê0, ÷ U , π ÷ . 6 è 3
é π 2π
故答案為： ê0, ÷ U , π

÷ .
6 è 3
31．（2024 高二·江蘇·假期作業）若經過點 P(1- a,1) 和Q(2a,3)的直線的傾斜角是鈍角，則實數 a的取值范圍
是 ．
1
【答案】 (- ， )
3
【分析】根據傾斜角為鈍角斜率為負，結合直線的斜率公式，解不等式即可得到所求范圍．
【詳解】因為直線的傾斜角是鈍角，
3 -1 1
所以斜率 < 0 ，解得 a <2a ．-1+ a 3
1
所以 a的取值范圍是 (- ， )．
3
1
故答案為： (- ， )．
3
32．（2024 高二下·上海閔行·開學考試）若直線 l1與直線 l2平行，直線 l1的斜率為- 3 ，則直線 l2的傾斜角
為 .
2
【答案】120o / p
3
【分析】根據兩直線平行，傾斜角相等即可.
【詳解】直線 l1的斜率為- 3
所以直線 l1的傾斜角為120o，
直線 l1與直線 l2平行
所以直線 l2的傾斜角為120o .
故答案為：120o
33．（2024 高二上·全國·專題練習）臺球運動中反彈球技法是常見的技巧，其中無旋轉反彈球是最簡單的技
法，主球撞擊目標球后，目標球撞擊臺邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標球沿著理想的方向反
彈，就要事先根據需要確認臺邊的撞擊點，同時做到用力適當，方向精確，這樣才能通過反彈來將目標球
成功擊入袋中.如圖，現有一目標球從點 A -2,3 無旋轉射入，經過 x 軸（桌邊）上的點 P 反彈后，經過點
B 5,7 ，則點 P 的坐標為 .
1
【答案】 ,0

è10 ÷
【分析】求A 點關于 x 軸的對稱點 A ，由題意可知 A , B, P三點共線，利用斜率公式，即得解
【詳解】設 P x,0 ，A 點關于 x 軸對稱的點 A -2,-3 ，
0 - -3 7 - -3
則 k
3 10
A P = = k = =x - -2 x 2 ， ，+ A B 5 - -2 7
由題意， A , B, P三點共線，
\k = k 3 10 x 1
1
= A P A B ，即 ，解得 = ，故 P 點的坐標為 ,0÷ .x + 2 7 10 è10
1
故答案為： ,0
è10 ÷
四、解答題
34．（2024 高二上·全國·課后作業）求經過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
1 7
【答案】（1）斜率 ，傾斜角是銳角；（2）斜率- ；傾斜角是鈍角（3）斜率不存在，傾斜角為 90°.
2 3
【分析】（1）（2）過兩點的斜率存在，直接利用斜率公式求解即可，當斜率為正時，其傾斜角是銳角，當
斜率為負時，其傾斜角是鈍角；（3）由于兩點的橫坐標相同，所以其斜率不存在，則傾斜角為 90°.
-1- 0 1
【詳解】解：（1）kAB= = ，
0 - 2 2
因為 kAB>0，所以直線 AB 的傾斜角是銳角.
-4 - 3 7
（2）kPQ= = - ，
5 - 2 3
因為 kPQ<0，
所以直線 PQ 的傾斜角是鈍角.
（3）因為 xM=xN=3，
所以直線 MN 的斜率不存在，
其傾斜角為 90°.
35．（2024 高二·江蘇·假期作業）經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1) A 2,3 , B 4,5 ；
(2) C - 2,3 , D 2, - 1 ；
(3) P - 3,1 ,Q - 3,10 ．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，-1
(3)不存在
【分析】根據兩點的坐標，即可求出過兩點的直線斜率是否存在，以及斜率的值.
5 - 3
【詳解】（1）由題意，存在，直線 AB 的斜率 kAB = =1．4 - 2
-1- 3
（2）由題意得，存在，直線 CD 的斜率 kCD = = -12 - -2 ．
（3）∵ xP = xQ = -3，
∴直線 PQ的斜率不存在．
36．（2024 高二上·河北唐山·階段練習）已知兩點 A(-3,4), B(3, 2)，過點P(1,0)的直線 l與線段 AB 有公共點．
(1)求直線 l的斜率 k 的取值范圍；
(2)求直線 l的傾斜角a 的取值范圍．
【答案】(1) (- ,-1] [1, + ) ．
(2) 45° a 135°．
【分析】（1）由圖可知要使直線 l與線段 AB 有公共點，只需直線 l的斜率 k 滿足 k kPA或 k kPB ，從而可求
得答案；
（2）由斜率與傾斜角的關系可求出直線 l的傾斜角a 的取值范圍．
【詳解】（1）因為 A(-3,4), B(3, 2)，P(1,0)，
k 4 - 0 2 - 0所以 PA = = -1, k = =1-3 -1 PB 3 -1
因為直線 l與線段 AB 有公共點，
所以由圖可知直線 l的斜率 k 滿足 k kPA或 k kPB ，
所以直線 l的斜率 k 的取值范圍是 (- ,-1] [1, + ) ．
（2）由題意可知直線 l 的傾斜角介于直線 PB與PA的傾斜角之間，
因為直線 PB的傾斜角是 45°，直線PA的傾斜角是135°，
所以a 的取值范圍是 45° a 135°．
37．（2024 高二上·全國·課后作業）過 A m2 + 2, m2 - 3 ，B 3- m - m2 , 2m 兩點的直線 l 的傾斜角為 45°，求
m 的值．
【答案】-2 .
【分析】根據傾斜角計算出直線的斜率，再根據坐標形式下斜率的計算公式求解出m 的值.
【詳解】因為直線的傾斜角為 45°，所以直線的斜率 k = tan 45° =1，
m2 - 3 - 2m
又 k = =1 2 2 ，整理得m
2 + 3m + 2 = 0，
m + 2 - 3 - m - m
解得m = -1或m = -2，
當m = -1 2時， m + 2 - 3 - m - m2 = 0，不符合，
當m = -2 m2時， + 2 - 3 - m - m2 = 5 0，符合，
綜上：m = -2 .
38．（2024 高二·全國·課后作業）已知 A 3,3 , B -4,2 ,C 0,-2 ．
(1)求直線 AB 和 AC 的斜率；
(2)若點 D 在線段 BC（包括端點）上移動時，求直線 AD 的斜率的變化范圍．
1 5
【答案】(1)直線 AB 的斜率為 ，直線 AC 的斜率為
7 3
é1 5(2) ùê , 7 3ú
【分析】（1）根據斜率公式運算求解；
（2）根據傾斜角和斜率之間的關系分析求解.
2 - 3 1
【詳解】（1）由斜率公式可得直線 AB 的斜率 kAB = = ，-4 - 3 7
3- -2
直線 AC 的斜率 k 5AC = = ，3 - 0 3
1 5
故直線 AB 的斜率為 ，直線 AC 的斜率為 .
7 3
（2）如圖所示，當 D 由 B 運動到 C 時，直線 AD 的傾斜角增大且為銳角，
直線 AD 的斜率由 kAB 增大到 kAC ，
1 5
所以直線 AD é ù的斜率的變化范圍是 , ．
ê7 3ú
39．（2024 高二上·河南·階段練習）已知坐標平面內三點 A -2, -4 , B 2,0 ,C -1,1 .
(1)求直線 AB 的斜率和傾斜角；
(2)若 A, B,C, D 可以構成平行四邊形，且點D在第一象限，求點D的坐標；
(3)若E m,n n是線段 AC 上一動點，求 的取值范圍.
m - 2
π
【答案】(1)斜率為 1，傾斜角為 ；
4
(2) 3,5 ；
é 1 ù
(3) ê- ,1 3 ú
.

【分析】(1)根據過兩點的斜率公式求出斜率，再求傾斜角；
(2) 設D x, y ，根據 kAB = kCD , kAC = kBD 求解即可；
n
(3) 因為 表示直線 BE 的斜率,求出E 與點C 重合時，直線BC 的斜率；E 與點A 重合時，直線 BE 的斜
m - 2
率即可得答案.
-4
【詳解】（1）解：因為直線 AB 的斜率為 =1 .
-2 - 2
π
所以直線 AB 的傾斜角為 ；
4
（2）解：如圖，當點D在第一象限時， kAB = kCD ,kAC = kBD .
ì y -1
=1 x +1 ìx = 3
設D x, y ，則 í y 1 4 ，解得+ í ， y = 5=
x - 2 -1+ 2
故點D的坐標為 3,5 ；
n
（3）解：由題意得 為直線 BE 的斜率.
m - 2
1 1
當點E 與點C 重合時，直線 BE 的斜率最小， kBC = = - ；-1- 2 3
當點E 與點A 重合時，直線 BE 的斜率最大， kAB = 1 .
é 1 ù
故直線 BE 的斜率的取值范圍為 ê- ,1 3 ú
，

n é 1 ù
即 的取值范圍為 - ,1 .
m - 2 ê 3 ú2.1.1 傾斜角與斜率 6 題型分類
1．直線的傾斜角：
(1)當直線 l 與 x 軸相交時，我們以 x 軸為基準，x 軸正向與直線 l 向上的方向之間所成的角 α 叫做直線 l 的
傾斜角．
(2)當直線 l 與 x 軸平行或重合時，規定它的傾斜角為 0°.
(3)直線的傾斜角 α 的取值范圍為 0°≤α<180°.
2．直線的斜率
(1)直線的斜率：
把一條直線的傾斜角 α 的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母 k 表示，即 k＝tanα.
(2)斜率與傾斜角的對應關系：
圖示
傾斜角(范圍) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范圍) k＝0 k>0 不存在 k<0
(3)過兩點的直線的斜率公式：
y2－y1
過兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為 k＝ .x2－x1
（一）
直線的傾斜角
1、直線的傾斜角：
(1)當直線 l 與 x 軸相交時，我們以 x 軸為基準，x 軸正向與直線 l 向上的方向之間所成的角 α 叫做直線 l 的
傾斜角．
(2)直線的傾斜角 α 的取值范圍為 0°≤α<180°.
2、直線傾斜角的概念和范圍：
(1)求直線的傾斜角主要根據定義來求，其關鍵是根據題意畫出圖形，找準傾斜角，有時要根據情況分類討
論．
(2)注意傾斜角的范圍．
題型 1：求直線的傾斜角
1-1．（2024 高二·江蘇·假期作業）若直線 l經過點M (2,3), N (4,3)，則直線 l的傾斜角為（　　）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
1-2．（2024 高二下·全國·課后作業）已知點 A 2,1 ，B 3,2 ，則直線 AB 的傾斜角為（ ）
A．30° B． 45° C． 60° D．135°
1-3．（2024 高二·江蘇·假期作業）已知一直線經過兩 A(1, 2)，B(a,3)，且傾斜角為135°，則 a的值為（　　）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
1-4．（2024 高二上·浙江溫州·期末）已知 3, - 3 是直線的一個方向向量，則該直線的傾斜角為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
1-5．（2024 高二下·江蘇泰州·階段練習）已知直線 l經過 A -1,4 ，B 1,2 兩點，則直線 l的傾斜角為（ ）
π π 2π 3π
A． B． C． D．
6 4 3 4
（二）
直線的斜率
1、直線的斜率：
(1)傾斜角求斜率：
把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母 k 表示，即 k＝tanα.
(2)兩點求斜率：
y2－y1
過兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率 k＝ .
x2－x1
2、求直線的斜率：
(1)運用公式的前提條件是“x1≠x2”，當直線與 x 軸垂直時，斜率是不存在的．
(2)斜率公式與兩點 P1，P2的先后順序無關．
題型 2：求直線的斜率
2-1．（山東省濱州高新高級中學 2023-2024 學年高一下學期 3 月月考數學試題（春考班））過點 P( - 2，m)，
Q(m，4)的直線的斜率為 1，那么 m 的值為（ ）
A．1 或 4 B．4 C．1 或 3 D．1
3p
2-2．（2024 高二上·天津河西·期中）已知直線的傾斜角是 ，則該直線的斜率是（ ）
4
A．-1 B 3 C 3．- ．- D．1
3
2-3．（2024 高二·全國·課后作業）分別判斷經過下列兩點的直線的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再
求出傾斜角；如果不存在，求出傾斜角．
(1)C(-3,4), D(2,4) ；
(2) P(0,0),Q(-1, 3)；
(3) M (-3, 2), N (- 2,3) ；
(4) E(7,0),Q(7,- 2) ．
（三）
傾斜角與斜率的關系
1、直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當傾斜角是 90°時，直線的斜率不存在，此時，直線
垂直于 x 軸(平行于 y 軸或與 y 軸重合)．
2、直線的斜率也反映了直線相對于 x 軸的正方向的傾斜程度．當 0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程
度越大；當 90°＜α＜180°時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．
題型 3：傾斜角與斜率的關系
3-1．（2024 高二上·四川宜賓·期末）設直線 l的斜率為 k ，且- 3 k 1，則直線 l的傾斜角的取值范圍為
（ ）
é0, π é2π é π 5π A． ê ÷U ê , π ÷ B．4 3 ê
0,
4 ÷
U , π ÷
è 6
é π
C． ê ,
5π é π é5π
÷ D． 0, ÷ U , π ÷
4 6 ê 4 ê 6
3-2．（2024 高二·全國·課后作業）設直線 l 的斜率為 k ，且-1 k 3 ，則直線 l的傾斜角a 的取值范圍為
（ ）
é0, π U 3π é π é3π A． ê 3 ÷
, π
4 ÷
B． ê0, 6 ÷
U , π ÷
è ê 4
π 3π é π
C． , ÷ D． ê0, ÷ U
é3π
ê , π

6 4 3 4 ֏
3-3．（2024 高二上·江蘇連云港·期末）經過兩點 A 1,m ，B m -1,3 的直線的傾斜角是銳角，則實數 m 的范
圍是（ ）
A． (- , -3) (-2, + ) B． (-3, -2)
C． (2,3) D． (- , 2) (3,+ )
（四）
直線斜率的應用
1、三點共線問題
（1）對于給定坐標的三點，要判斷三點是否共線，先判斷任意兩點連線的斜率是否存在．
①若都不存在，則三點共線；
②若斜率存在，則任意兩點連線的斜率相等時，三點才共線．
（2）若三點共線，則任意兩點連線的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解決這類問題時，首先對斜率是
否存在做出判斷，必要時分情況進行討論，然后下結論．
2、利用直線斜率的幾何意義求最值應重視兩點,
y2－y1
（1）直線的斜率反映了直線的傾斜程度，且 k＝tanα＝ ，（x1，y1）和（x2，y2）是直線上橫坐標不相x2－x1
等的兩點 ；
y－y0 y－y0
（2）在求形如 的式子的最值時，可以將 看作動點 P（x，y）與定點 Q（x0，yx x x x 0
）所確定的直線的
－ 0 － 0
斜率，數形結合求出最值或取值范圍.
題型 4：三點共線問題
4-1．（2024 高二上·山西臨汾·期末）若三點 A 2, -3 , B 4,3 ,C 5,b 在同一直線上，則實數b 等于（ ）
A．-12 B．-6 C．6 D．12
4-2．（2024 高二上·安徽六安·階段練習）已知點 A 0, -8 ，B 2, -2 ，C 4, m ，若線段 AB ， AC ，BC 不能
構成三角形，則m 的值是 .
4-3．（2024 高二上·山西臨汾·期中）三點 A m, 2 ，B 5,1 ，C -4,2m 在同一條直線上，則m 值為（ ）
7 7 7
A．2 B． C．-2或 D．2 或
2 2 2
題型 5：利用直線斜率的幾何意義求最值
y +1
5-1．（2024·湖南衡陽· 1模擬預測）點M x1, y x1 在函數 y = e 的圖象上，當 x1 0,1 ，則 x -1 的取值范圍為 .1
y + 3
5-2．（2024 高二·全國·專題練習）若實數 x 、 y 滿足 y = -x + 3，-1 x 1，則代數式 的取值范圍為
x + 2
2 + y
5-3．（2024 高一上·四川達州·期末）點M (x, y)在函數 y = 2x + 4 的圖象上，當 x [2,5]時， 的取值范圍是
x +1
（ ）
é7 , 8ù é8 ,10 ùA． ê B 3 3ú
．
ê3 3 ú
é5 ,16 ù é5 8ùC． ê ú D． , 3 3 ê 3 3ú
題型 6：直線與線段的相交關系求斜率的范圍
6-1．（2024 高二上·江西撫州·期末）已知坐標平面內三點 A -1,1 , B 1,1 ,C 2, 3 +1 ，D為VABC 的邊 AC
上一動點，則直線BD斜率 k 的變化范圍是（ ）
é
0, 3
ù é
A 3

． ê ú B． - ,0 ê 3 , + ÷ 3
é 3 ù
C． ê , 3 D． - ,0 é 3, +
3
ú

6-2．（2024 高一上·寧夏中衛·期末）已知 A(2, -3) , B(-3, -2) ,直線 l過定點 P(1,1) ,且與線段 AB 相交,則直線 l的
斜率 k 的取值范圍是( )
A．-4
3 3
k B． k 4 k
1 3
C． D． k -4或 k
4 4 2 4
6-3．（2024 高一下·湖北武漢·階段練習）已知兩點 A 2, -1 ，B -5,-3 ，直線 l過點 1,1 ，若直線 l與線段 AB
相交，則直線 l的斜率取值范圍是（ ）
2- , -2 é , + éA． ê ÷ B． ê-2,
2ù
3 3ú
é 2
C． ê- , 2
ù 2 ù
D． - , - 2, +
3 ú è 3 ú
6-4．（2024 高二上·江蘇南通·階段練習）經過點P 0, -1 作直線 l，且直線 l 與連接點 A 1, -2 ，B 2,1 的線
段總有公共點，則直線 l 的傾斜角a 的取值范圍是 ．
6-5．（2024 高三·全國·專題練習）直線 l過點M -1,2 ，且與以P -4, -1 、Q 3,0 為端點的線段相交，則直
線 l的斜率的取值范圍是 ．
一、單選題
1．（2024 高二上·江蘇南京·期末）若直線經過 A(1,0)，B(4, 3) 兩點，則直線 AB 的傾斜角為（ ）
A．30° B． 45° C．60° D．135°
2．（2024 高二上·全國·課后作業）對于下列命題：①若q 是直線 l 的傾斜角，則0° q 180°；②若直線傾
斜角為a ，則它斜率 k = tana ；③任一直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任一直線都有斜率，但不一
定有傾斜角．其中正確命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2π
3．（2024 高二下·河南安陽·開學考試）已知點 A 2,3 , B -1, x ，直線 AB 的傾斜角為 ，則 x =（ ）
3
A．3- 3 3 B 3 3． + C．3 + 3 3 D．6
3
4．（2024 高二上·四川南充·期末）斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合
力方向與中央索塔一致．如圖是閬中市盤龍山嘉陵江大橋，共有 10 對永久拉索，在索塔兩側對稱排列．已
知拉索上端相鄰兩個針的間距 PiPi+1 （ i =1，2，…，9）均為3.8m，拉索下端相鄰兩個針的間距 Ai Ai+1
（ i =1，2，…，9）均為15m ．最短拉索的針P1， A1，滿足 OP1 = 60m， OA1 = 80，則最長拉索所在直線的
斜率約為（ ）（結果保留兩位有效數字）
A．±0.47 B．±0.45 C．±0.44 D．±0.42
5．（2024 高二上·四川）已知直線 l經過第二、四象限，則直線 l的傾斜角a 的取值范圍是（ ）.
A．0o a 90o B．0o a 180o C．90o a 180o D．90o a 180o
6．（2024 高二上·全國·課后作業）若如圖中的直線 l1, l2 , l3 的斜率為 k1, k2 ,k3 ，則（ ）
A． k1 k2 k3 B． k3 k1 k2 C． k2 k1 k3 D． k3 k2 k1
7．（2024 高二上·貴州黔西·期末）已知直線 l的傾斜角為30o ，則直線 l的斜率為（ ）
1
A B 3． ． C 2 3． D．
2 2 2 3
8．（2024 高一上·福建福州·期末）若直線的傾斜角為 120°，則直線的斜率為（ ）
A． 3 B．- 3 C 3 D 3． ．-
3 3
9．（2024 高一下·河北邯鄲·期末）圖中的直線 l1, l2 , l3 的斜率分別為 k1, k2 ,k3 ，則有（ ）
A． k1 k2 k3 B． k1 > k2 > k3
C． k1 k3 k2 D． k3 k1 k2
π
10．（2024 高二上·湖南婁底·期末）已知直線的傾斜角是 ，則此直線的斜率是（ ）
3
A 3． B．- 3 C． 3 D．± 3
2
π
11．（2024 高二上·湖北武漢·期末）已知直線 l的傾斜角為a ，斜率為 k ，那么“ k >1”是“a > ”的（
4 ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
12．（2024 高一上·江西景德鎮·期末）已知三點 A m,1 ，B 4,2 ，C -4,2m 在同一條直線上，則實數m 的值
為（ ）
A．0 B．5 C．0 或 5 D．0 或-5
13．（2024 高二下·湖北荊州·階段練習）若直線經過兩點 A m,1 ，B 2 - 3m, 2 ，且其傾斜角為 135°，則 m
的值為（ ）
1 1 3
A．0 B．- C． D．
2 2 4
14．（2024 高二上·上海嘉定·期末）下列說法正確的是（ ）
A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；
C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．
r
15．（2024 高二上·遼寧大連·期末）若直線 l 的方向向量是 e = 1, 3 ，則直線 l 的傾斜角為（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
16．（2024 高二上·江西贛州·階段練習）設點 A(2, -3) B(-3, -2)，若直線 l 過點 P(1,1) 且與線段 AB 相交，則
直線 l 的斜率 k 的取值范圍是（ ）
k 3 3 1A． 或 k -4 B． k 或 k -
4 4 4
3 3
C．-4 k D．- k 4
4 4
17．（2024 高二上·黑龍江大慶·階段練習）已知點 A(-1- 3, -1), B(3,0) ，若點M (x, y)
y - 2
在線段 AB 上，則
x +1
的取值范圍是（ ）
1
A． - , -
ù
ú [ 3,
1
+ ) é ùB．
è 2 ê
-1, -
2 ú
é 1 1 ù
C． (- , -1]U[ 3,+ ) D． - ,
ê 2 2 ú
18．（2024 高二上·廣東深圳·期中）已知點 A -2, -1 ，B 3,0 ，若點M x, y y - 2在線段 AB 上，則 的取值
x +1
范圍（ ）

A． - ,
1
- ù
1
ú 3,+ B
é
． ê- ,3
ù
è 2 2 ú
C． - , -1 U 3, + D． -1,3
19．（2024 高三上·新疆昌吉· 2期中）坐標平面內有相異兩點 A cosq ,sin q ，B(0,1)，經過兩點的直線的的傾
斜角的取值范圍是（ ）
p p p ù é3p
A é ù． ê- , ú B． 0, ú U ê ,p

4 4 ÷ è 4 4
é0, p ù é3p ép 3p ùC．
ê 4 ú
ê ,p ÷ D． ê , 4 4 4 ú
20．（2024 高三上·新疆）1949 年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規定：大五角星有一個角尖正
向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點．有人發現，第三顆小星的姿態與大星相
近．為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，OO1，OO2，OO3，OO4分別是大星中
心點與四顆小星中心點的連接線，α≈16°，則第三顆小星的一條邊 AB 所在直線的傾斜角約為（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
21．（2024 高二·全國·期中）已知直線斜率為 k，且-1 k 3 ，那么傾斜角a 的取值范圍是（ ）
é0, p ù U ép , 3p é0, p ù é3pA． ê ú ê ÷ B． ê ú ,p

3 ÷ 2 4 3 ê 4
é0, p ù U ép 3p C é
p ù é3p
．
ê 6 ú ê
,
2 4 ÷
D． 0,
ê 6 ú
U ,p ÷
ê 4
22．（2024·四川綿陽·二模）已知直線 l的方程為 x sina + 3y -1 = 0，a R，則直線 l的傾斜角范圍是（ ）
π ù é2 π 5π
A． 0,
é ù é
è 3 ú
ê π, π ÷ B． ê0, ú U ê , π3 6 6 ÷
π 5π é π 2π ùC． é ùê 6 , 6 ú D． ê , 3 3 ú
二、多選題
π π
23．（2024 高二下·湖南衡陽·階段練習）已知經過點 A 5,m 和B 2,8 的直線的傾斜角q ,6 3 ÷，則實數
m
è
的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
24．（2024 高二·全國·課后作業）（多選）如圖，在平面直角坐標系中有三條直線 l1， l2， l3 ，其對應的斜率
分別為 k1， k2 ， k3 ，則下列選項中錯誤的是（ ）
A． k3 > k1 > k2 B． k1 - k2 > 0
C． k1 × k2 0 D． k3 > k2 > k1
25．（2024 高二上·安徽黃山·期中）如圖所示，下列四條直線 l1， l2， l3 ， l4，斜率分別是 k1， k2 ， k3 ， k4 ，
傾斜角分別是a1，a2，a3 ，a4 ，則下列關系正確的是（ ）
A． k2 k1 k4 k3 B． k3 k2 k1 k4 C．a2 a1 a4 a3 D．a3 a2 a1 a4
26．（2024 高三·全國·專題練習）在下列四個命題中，錯誤的有（ ）
A．坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角和斜率
B．直線的傾斜角的取值范圍是 0,p
C．若一條直線的斜率為 tana ，則此直線的傾斜角為a
D．若一條直線的傾斜角為a ，則此直線的斜率為 tana
三、填空題
27 o．（2024 高二上·全國·課前預習）已知直線 l1的傾斜角a1 =15 ，直線 l1與 l2的交點為A ，直線 l1和 l2向上的
方向所成的角為120o，如圖，則直線 l2的傾斜角為 ．
28．（2024 高二上·廣西百色·期末）已知直線 l過點P 1,0 且與以 A 2,1 ，B 4, -3 為端點的線段 AB 有公共
點，則直線 l斜率的取值范圍為 ．
29．（2024·湖南株洲·一模）過原點的直線 l 與曲線 y = ex-1交于不同的兩點 A，B，過 A，B 作 x 軸的垂線，
與曲線 y = ln x 交于 C，D 兩點，則直線 CD 的斜率為 ．

30．（2024 高二上·全國·課后作業）直線 l 的斜率為 k，且 k - 3,
3
÷÷，則直線 l 的傾斜角的取值范圍
è 3
是 ．
31．（2024 高二·江蘇·假期作業）若經過點 P(1- a,1) 和Q(2a,3)的直線的傾斜角是鈍角，則實數 a的取值范圍
是 ．
32．（2024 高二下·上海閔行·開學考試）若直線 l1與直線 l2平行，直線 l1的斜率為- 3 ，則直線 l2的傾斜角
為 .
33．（2024 高二上·全國·專題練習）臺球運動中反彈球技法是常見的技巧，其中無旋轉反彈球是最簡單的技
法，主球撞擊目標球后，目標球撞擊臺邊之后按照光線反射的方向彈出，想要讓目標球沿著理想的方向反
彈，就要事先根據需要確認臺邊的撞擊點，同時做到用力適當，方向精確，這樣才能通過反彈來將目標球
成功擊入袋中.如圖，現有一目標球從點 A -2,3 無旋轉射入，經過 x 軸（桌邊）上的點 P 反彈后，經過點
B 5,7 ，則點 P 的坐標為 .
四、解答題
34．（2024 高二上·全國·課后作業）求經過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
35．（2024 高二·江蘇·假期作業）經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1) A 2,3 , B 4,5 ；
(2) C - 2,3 , D 2, - 1 ；
(3) P - 3,1 ,Q - 3,10 ．
36．（2024 高二上·河北唐山·階段練習）已知兩點 A(-3,4), B(3, 2)，過點P(1,0)的直線 l與線段 AB 有公共點．
(1)求直線 l的斜率 k 的取值范圍；
(2)求直線 l的傾斜角a 的取值范圍．
37．（2024 高二上·全國·課后作業）過 A m2 + 2, m2 - 3 ，B 3- m - m2 , 2m 兩點的直線 l 的傾斜角為 45°，求
m 的值．
38．（2024 高二·全國·課后作業）已知 A 3,3 , B -4,2 ,C 0,-2 ．
(1)求直線 AB 和 AC 的斜率；
(2)若點 D 在線段 BC（包括端點）上移動時，求直線 AD 的斜率的變化范圍．
39．（2024 高二上·河南·階段練習）已知坐標平面內三點 A -2, -4 , B 2,0 ,C -1,1 .
(1)求直線 AB 的斜率和傾斜角；
(2)若 A, B,C, D 可以構成平行四邊形，且點D在第一象限，求點D的坐標；
n
(3)若E m,n 是線段 AC 上一動點，求 的取值范圍.
m - 2

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