資源簡介

5.7 三角函數的應用 4 題型分類
一、函數 y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0 中參數的物理意義
若函數 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中 A>0，ω>0)表示簡諧振動，則
二、三角函數模型的作用
三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫
周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．
三、建立函數模型的一般步驟
（一）
三角函數在物理中的應用
1、在物理學中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數 y＝Asin(ωx＋φ)表示物體振動的位移 y 隨
2π
時間 x 的變化規律，A 為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T＝ 為周期，表示物體
ω
1
往復振動一次所需的時間，f＝ 為頻率，表示物體在單位時間內往復振動的次數．
T
2、處理物理學問題的策略:
(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等,其共同的特點是具有周期性.
(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與
對應的三角函數知識結合解題.
題型 1：三角函數在物理中的應用
1-1．（2024 高一下·全國·單元測試）已知質點從 P0 ( 3,-1) 開始，沿以原點為圓心，2 為半徑的圓作勻速圓周
運動，質點運動的角速度為 ω 弧度/秒( 0 < w < 2 )，經過 x 秒，質點運動到點 P，設點 P 的縱坐標為 y，令
y = f (x) ，將 f (x) 的圖象向左平移 2 個單位長度后圖象關于 y 軸對稱．
(1)求函數 f (x) 的解析式；
(2)求函數 f (x) 的單調遞減區間及 0,3 上的最值．
【答案】(1) f (x)
π π
= 2sin x - 3 6 ֏
(2)[6k + 2，6k + 5](k Z). f (x)min = -1; f (x)max = 2 ．
π
【分析】（1）設 f (x) = Asin(wx + j) A > 0,0 < w < 2,|j |< 2 ÷，根據正弦型三角函數的圖象性質分別確定參數
A,w,f
è
的值，從而得函數 f (x) 的解析式；
（2）由正弦型三角函數的單調性得單調區間，從而可得在區間 0,3 上的單調性即可得最值.
π
【詳解】（1）設 f (x) = Asin(wx + j) A > 0,0 < w < 2,|j |< 2 ÷，è
由 P0 ( 3,
3
-1) 知， tanj = - ．
3
|j | π j π f (x) 2sin wx π因為 < ，所以 = - ．又 A = 2，所以 = -
2 6 è 6 ÷
．

將 f (x) 的圖象向左平移 2 個單位長度后所得函數 g(x) = 2sin wx
π
+ 2w -
6 ÷．è
因為 y = g x 的圖象關于 y 軸對稱，所以 2w π π- = kπ + (k Z)6 2 ，
w kπ π
π π π
解得 = + (k Z) 0 < w < 2 2 3 ．又 ，所以當 k = 0時，w = ，所以
f (x) = 2sin
3
x - ÷．
è 3 6
（2）由（1）得 f (x) = 2sin
π x π- 2kπ π π x π 2kπ 3π + - +
è 3 6 ÷
，令 ，
2 3 6 2
解得 6k + 2 x 6k + 5(k Z)，所以函數 f x 的單調遞減區間為[6k + 2,6k + 5](k Z) ．
0 x 3 π π x π 5當 時， - - π ，當 x = 0時， f (x)min = f (0) = -1；當 x = 2時， f (x)max = f (2) = 26 3 6 6 ．
1-2．（2024·重慶·模擬預測）已知某彈簧振子的位移 y （單位：cm）與時間 t（單位：s）滿足
y = Asin wt +j w > 0 ，初始時將彈簧振子下壓至-4cm后松開，經過測量發現彈簧振子每 10s 往復振動 5
次，則在第 45s 時，彈簧振子的位移是 cm.
【答案】 4
2π
【分析】根據已知可得 A = 4、 = 2且 4sinj = -4求解析式，將 t = 45代入求值即可.
w
10 2π
【詳解】由題意， A = 4且最小正周期T = = 2，即 = 2，故w = π ，
5 w
所以 y = 4sin(πt +j) ，且 4sinj = -4
π
，即j = - + 2kπ,k Z，
2
π
不妨令j = - ，故 y = 4sin(πt
π
- ) = -4cos πt，
2 2
當 t = 45，則 y = -4cos 45π = 4 .
故答案為： 4
1-3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，一根絕對剛性且長度不變 質量可忽略不計的線，一端固定，另一端
懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動，沙漏
擺動時離開平衡位置的位移 f t （單位： cm）與時間 t（單位：s）滿足函數關系 f t = 3sin(wt +j)
(w > 0,0 < j < π) ，若函數 f t 在區間 a, a +1 上的最大值為M ，最小值為 N ，則M - N 的最小值
為 .
3
【答案】3- 2
2
【分析】根據題意求得 f t π= -3cos t 1，由區間 a, a +1 的區間長度 4 個周期，分區間 a, a +1 在同一個單2
調區間和不同一個單調區間，兩種情況討論，結合三角函數的性質，即可求解.
5 2π π
【詳解】由函數 f t 的圖象，可得 T = 5，解得T = 4，所以w = = ，
4 T 2
又由 f 0 = -3，可得 sinj = -1 π，解得j = - + 2kπ,k Z
2
π π π π
因為0 < j < π ，所以j = - ，所以 f t = 3sin( t - ) = -3cos t，
2 2 2 2
由區間 a, a +1 1的區間長度為1，即區間長度為 4 個周期，
當區間 a, a +1 在同一個單調區間時，不妨設 a, a +1 [0, 2]，可得0 a 1
則M - N = M - N = f a - f a +1 = 3 cos aπ - cos (a +1)π 3 cos aπ= + sin aπ = 3 2 sin(aπ π+ ) ，
2 2 2 2 2 4
0 a 1 π aπ π 3π
aπ π π 3π
因為 ，可得 + ，當 + = 或 時，M - N 取最小值3；
4 2 4 4 2 4 4 4
當區間 a, a +1 在不同一個單調區間時，不妨設 a, a +1 (1,3)，可得1< a < 2，
此時函數 f x 在 a, a +1 上先增后減，此時M = f x = 3max ，
不妨設 f (a) f (a +1)
3
，則 a < 2
2
M N 3 3cos p- = + (a +1) = 3 - 3sin p a ，
2 2

\ M - N = 3 2 3min 1- ÷÷ = 3- 2 .
è 2 2
3 3綜上可得，M - N 最小值為 - 2 .
2
3 3故答案為： - 2 .
2
1-4．（2024 高一下·北京·期中）如圖是一個半徑為 R 的水車，一個水斗從點 A 3 3, -3 出發，沿圓周按逆時
針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60 秒，經過 t秒后，水斗旋轉到點 P ，設 P 的坐標為P x，y ，其縱坐標
滿足 y = f t = R sin wt +j t
π
> 0，w > 0 ，j < ÷，則下列敘述錯誤的是（2 ）è
π π
A．R = 6 、w= 、j= -
30 6
B．當 t 35,55 時，點 P 到 x 軸距離的最大值是6
C．當 t 10,25 時，函數 y = f t 單調遞減
D．當 t = 20時， PA = 6 3
【答案】C
π π
【分析】A 選項可由已知條件得到；BC 選擇根據函數 f t = 6sin t - ÷的性質得到，D 選項，先由函數
è 30 6
得到 P 點坐標，進而可得 PA .
【詳解】A 選項：
有題意R = 2 2π π3 3 + -3 2 = 6，T = 60，w= = ，T 30
因從點 A 3 3, -3 出發，所以 f 0 = -3，
代入得 f 0 = 6sin π +j = -3，
è 30 ÷
得 sinj
1 π π
= - ，因 |j |< ，所以j= - ，故 A 正確，
2 2 6
選項 B：
由 A 得， f t = 6sin π t π -

，
è 30 6 ÷
當 t 35,55 π t π- é時， êπ,
5 πù
30 6 3 ú
，

所以 f t -6,0 ，
故點 P 到 x 軸距離的最大值是6 ，B 正確；
選項 C：
因 f t π π= 6sin t -

÷，
è 30 6
π
令 + 2kπ
π π 3π
t - + 2kπ ， k Z，
2 30 6 2
得 20 + 60k t 50 + 60k ， k Z，
故當 t 10,25 時，函數 y = f t 不是單調遞減的，C 錯誤；
選項 D：
f 20 6sin 20π π當 t = 20 ， = - ÷ = 6，
è 30 6
故P 0,6 ， PA = 20 - 3 3 + 6 + 3 2 = 6 3 ，故 D 正確，
故選：C
1-5．（2024 高三上·江蘇南京·階段練習）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置.我國第一高
樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖 1.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可
近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移 y m 和時間 t s 的函數關系為 y = sin wt +j w > 0, j < π ，如圖
2，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為 t1 ， t2 ， t3 0 < t1 < t2 < t3 ，且 t1 + t2 = 2，
t2 + t3 = 5，則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于 0.5m 的總時間為（ ）
1 s 2A． B． s
4
C．1s D． s
3 3 3
【答案】C
2π 2π
【分析】先根據周期求出w = ，再解不等式 sin t +j

÷ > 0.5，得到 t的范圍即得解.3 è 3
2π 2π
【詳解】因為 t1 + t2 = 2， t2 + t3 = 5， t3 - t1 = T ，所以T = 3，又T = ，所以w = ，w 3
則 y = sin
2π
t
2π
+j ÷，由 y > 0.5 sin

可得 t +j

3 3 ÷
> 0.5，
è è
2kπ π 2π t j 5π所以 + < + < + 2kπ ， k Z，
6 3 6
1 3 5 3 5 3 1 3
所以3k + - j < t < - j + 3k ， k Z，故 3k + - j -
4 2π 4 2π 4 2π ÷
3k + - j ÷ =1，
è è 4 2π
所以在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于 0.5m 的總時間為 1s.
故選：C.
（二）
三角函數在生活中的應用
1、解三角函數應用問題的基本步驟
2、利用圖象求函數 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步驟:
f x - f x
(1) 求 A,b : A = max min ，
2
f x + fmax x b = min ；
2
2p
(2)求 ω:根據圖象得出最小正周期 T,可得出w =
T
(3)求初相 φ:將對稱中心點、最高點或最低點的坐標代入函數解析式可求出 φ 的值，
題型 2：三角函數在生活中的應用
2-1．（2024 高一下·江西萍鄉·期中）時鐘花原產于南美洲熱帶，我國云南部分地區有引進栽培．時鐘花的花
開花謝非常有規律，其開花時間與氣溫密切相關，開花時所需氣溫約為 20℃，氣溫上升到約 30℃開始閉合，
在花期內，時鐘花每天開閉一次．某景區種有時鐘花，該景區 6 時～16 時的氣溫 y （℃）隨時間 x （時）的
y 10sin π 5π 變化趨勢近似滿足函數 = x - ÷ + 25，則在 6 時～16 時中，賞花的最佳時段大致為（8 4 ）è
A．7.3 時～11.3 時 B．8.7 時～11.3 時
C．7.3 時～12.7 時 D．8.7 時～12.7 時
【答案】B
【分析】由三角函數的性質結合條件即得.
【詳解】當 x 6,16 π x 5π é π , 3π時， - - ù
8 4 ê 2 4 ú
，

y π 5π π 5π 1由 =10sin

x -

÷ + 25 = 20 ，得 sin x - ÷ = - ，
è 8 4 è 8 4 2
π x 5π π , x 26所以 - = - = 8.7 (時)；
8 4 6 3
由 y =10sin
π x 5π- π 5π 1 8 4 ÷
+ 25 = 30，得 sin x - ÷ = ，
è è 8 4 2
π 5π π 34
所以 x - = , x = 11.3 (時).
8 4 6 3
故在 6 時~16 時中，觀花的最佳時段約為8.7時~11.3時.
故選：B
2-2．（2024·海南·模擬預測）如圖是清代的時鐘，以中國傳統的一日十二個時辰為表盤顯示，其內部結構與
普通機械鐘表的內部結構相似．內部表盤為圓形，外部環形裝飾部分寬度為5cm，此表掛在墻上，最高點
距離地面的高度為 2.35m，最低點距離地面的高度為1.95m，以子時為正向上方向，一官員去上早朝時，看
到家中時鐘的指針指向寅時（指針尖的軌跡為表盤邊沿），若 4 個半時辰后回到家中，此時指針尖到地面的
π
高度約為（ ） cos 0.9712 ÷è
A． 220.45cm B．198.03cm C． 200.45cm D． 229.55cm
【答案】C
π
【分析】畫出圖形，分別求得外圓的半徑和內圓的半徑， COD = ，利用三角函數求解.
12
【詳解】解：如圖所示：
R 235 -195由題意得：外圓的半徑為 = = 20 cm，內圓的半徑為 r = R - 5 =15 cm，
2
OC π=15, COD = ，
12
所以OD =15cos
π
15 0.97 =14.55，
12
則此時指針尖到地面的高度約為：
235 - AD = 235 - AO - OD = 235 - 20 -14.55 = 200.45 cm，
故選：C
2-3．【多選】（2024 高三上·湖南株洲·開學考試）如圖（1）是一段依據正弦曲線設計安裝的過山車軌道.建立
平面直角坐標系如圖（2），h（單位：m）表示在時間 t（單位：s）時.過山車（看作質點）離地平面的高度.
軌道最高點 P 距離地平面 50m.最低點Q距離地平面 10m.入口處M 距離地平面 20m.當 t = 4s時，過山車到達
π
最高點 P ， t =10s

時，過山車到達最低點Q .設 h t = Asin wt +j + B A > 0,w > 0, j < ÷ ，下列結論正確
è 2
的是（ ）
A．函數 h t 的最小正周期為 12
j πB． =
6
C． t =14s 時，過山車距離地平面 40m
D．一個周期內過山車距離地平面低于 20m 的時間是 4s
【答案】ACD
【分析】根據題意抽象出函數的最值，列式求 A, B，根據周期求w ，最后根據 h 0 = 20求j ，再根據函數
的解析式判斷 CD.
T
【詳解】由題意可知，周期T 滿足 =10 - 4 = 6，得T = 12 ，
2
2π p ìA + B = 50
所以 =12 ，得w = ，又
6 í
，解得 A = 20，B = 30 .
w -A + B =10
h t = 20sin π t +j + 30 h 0 = 20 20sinj + 30 = 20 sinj 1 π所以 ÷ ，又 ，即 ，得 = - ，因為 j < ，所以
è 6 2 2
π π
j π= - ，所以 h t = 20sin t - + 30 .6 è 6 6 ÷
π
對于 A，T = 12 ，A 正確；對于 B，j = - ，B 錯誤；
6
π π π
對于 C， h 14 = 20sin 14 - ÷ + 30 = 20sin + 30 = 40，C 正確；
è 6 6 6
h t 20 20sin π t π 30 20 sin π π 1< - + < t - < - 7π對于 D，由 ，得 ÷ ，即 ÷ ， + 2kπ
π t π 11π< - < + 2kπ ，
è 6 6 è 6 6 2 6 6 6 6
k Z，解得8 +12k < t <12 +12k ， k Z，
所以一個周期內過山車距離底面低于 20m 的時間是 12 +12k - 8 +12k = 4s，D 正確.
故選：ACD.
2-4．（2024 高一·全國·課堂例題）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮汐，一般的早潮叫
潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面給出了某港口
在某天幾個時刻的水深.
時刻 水深/m 時刻 水深/m 時刻 水深/m
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并給出在整點時的水深的近似數值；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4m，安全條例規定至少要有 1.5m 的安全間隙（船底與海
底的距離），該船何時能進入港口？
(3)若船的吃水深度為 4m，安全間隙為 1.5m，該船在 2:00 開始卸貨，吃水深度以每小時 0.3m 的速度減少，
那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？
【答案】(1) f (x) = 2.5sin
π
x

÷ + 5，答案見解析
è 6
(2)該船在 0:24 至 5:36 和 12:24 至 17:36 期間可以進港
(3)6:42 時，該船必須停止卸貨，駛向較深的水域.
【分析】（1）考察數據，可選用正弦函數，再利用待定系數法求解；
（2）在涉及三角不等式時，可利用圖象求解；
（3）表示出 x 時刻的吃水深度 h(x) = 4 - 0.3(x - 2)
π
，結合題意得 sin x 0.44 - 0.12x ，利用圖像，數形結合，
6
即可求得答案.
【詳解】（1）以時間為橫坐標，以水深為縱坐標，在平面直角坐標系中作出對應的各點，
根據圖象可考慮用函數 f (x) = Asinwx + k 近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，
則由已知數據結合圖象可得 A = 2.5， k = 5，T = 12 ，w
2π π
= = ，
T 6
f (x) = 2.5sin π x 故 ÷ + 5 .
è 6
由表中數據可知在 0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00 等時刻的水深分別是
5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m；
在整點時的水深近似為；1:00，5:00，13:00，17:00 為 6.3m；
2:00，4:00，14:00，16:00 為 7.2m；
7:00，11:00，19:00，23:00 為 3.7m；8:00，10:00，20:00，22:00 為 2.8m.
π
（2）由 2.5sin x ÷ + 5 5.5，得 sin
π x 0.2，
è 6 6
y sin π= 畫出 x6 ÷
的圖象（如圖），
è
由圖象可得0.4 x 5.6或12.4 x 17.6 .
故該船在 0:24 至 5:36 和 12:24 至 17:36 期間可以進港.
（3）若 2 x 24 ，x 時刻的吃水深度為 h(x) = 4 - 0.3(x - 2) ，
由 f (x) h(x) +1.5，得 sin
π x 0.44 - 0.12x .
6
畫出 y = sin
π x 和 y = 0.44 - 0.12x的圖象（如上圖），
6
由圖象可知當 x = 6.7時，即 6:42 時，該船必須停止卸貨，駛向較深的水域.
題型 3：三角函數模型在圓周運動問題中的應用
3-1．（2024 高一下·浙江溫州·期中）如圖，某公園摩天輪的半徑為50m，圓心距地面的高度為60m，摩天輪
做勻速轉動，每6min 轉一圈，摩天輪上的點 p 的起始位置在最低點處．
(1)已知在時刻 t（單位：min ）時點 P 距離地面的高度 f t = Asin wt +j + h （其中 A > 0 ，w > 0，
j < π），求函數 f t 解析式及8min時點 P 距離地面的高度；
(2)當點 P 距離地面 60 + 25 3 m 及以上時，可以看到公園的全貌，若游客可以在上面游玩18min，則游客
在游玩過程中共有多少時間可以看到公園的全貌？
【答案】(1) f t = -50cos π t + 60，85
3
(2)3
π
【分析】（1）由已知可得，函數 f (t) 的振幅A 等于圓形的半徑即 A = r = 50，周期T = 6，即w = ，h = 60，
3
π
零時刻處，摩天輪上在最低點，可知初相j = - ，這樣便可求得的解析式，進而求得8min時距離地面的高
2
度；
（2）從最低處開始到達高度為 60 + 25 3 m 剛好能看著全貌，經過最高點再下降至 60 + 25 3 m 時又能看
著全貌，求得兩次的時間差再乘以 3 即得能看著全貌的時間．
【詳解】（1）由題意可知： A = 50, h = 60,T = 6，
2π
= 6 π π 所以 w ，又w > 0，得到w = ，即 f t = 50sin3
t +j
3 ÷
+ 60，
è
又摩天輪上的點 p 的起始位置在最低點處，即 f (0) = 10，所以50sinj + 60 =10 ，
即 sinj = -1
π
，又 j < π，所以j = - ，
2
f t 50sin π t π 60 50cos π故 = - ÷ + = - t + 60，
è 3 2 3
當 t = 8時， f (8) = 50sin(
8π π
- ) + 60 = 85，所以8min時點 P 距離地面的高度為 85.
3 2
（2）因為從最低處開始到達高度為 60 + 25 3 m 剛好能看著全貌，經過最高點再下降至 60 + 25 3 m 時又
能看著全貌，每個游客可游玩三個周期，
由（1）知 f t π= -50cos t + 60 60 + 25 3 cos π t 3，得到3 - ，即 cos
π t 3 - ，得到
3 2 3 2
5π 2kπ πt 7π+ + 2kπ,k Z，
6 3 6
5 7 7 5
所以在每個周期內， + 6k t + 6k,k Z ， 又 + 6k - ( + 6k) =1，
2 2 2 2
所以，游客在游玩過程中共有3min可以看到公園的全貌.
3-2．【多選】（2024 高三上·江蘇南京·階段練習）水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是
一種以水流作動力，取水灌田的工具.據史料記載，水車發明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的歷史，是
人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個半徑為 R 的水車，一個水斗從點
A 3, -3 3 出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時 120 秒.經過 t秒后，水斗旋轉到點 P ，設
點 P 的坐標為 x, y ，其縱坐標滿足 y = f (t) = R sin(wt +j) （ t 0 π，w > 0， j < ），則下列敘述正確的是
2
（ ）
π
A．j = -
3
B．當 t 0,60 時，函數 y = f (t)單調遞增
C．當 t 0,60 時， f (t) 的最大值為3 3
D．當 t =100時， PA = 6
【答案】AD
【分析】根據題意，結合條件可得w,j 的值，從而求得函數 f t 的解析式，然后根據正弦型函數的性質，
對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】由題意，R = 32 + 2 2π π-3 3 = 6 ，T = 120 ，所以w = = ，T 60
則 f t = 6sin π t +j60 ÷，è
又點 A 3, -3 3 ，此時 t = 0代入 f t 3可得 -3 3 = 6sinj ，解得 sin j = - ，
2
j π π又 < ，所以j = - ，故 A 正確；
2 3
因為 f t = 6sin π t π- π π π 2π ù ÷，當 t 0,60 時， t - - , ，
è 60 3 60 3 è 3 3 ú
所以函數 f t 先增后減，故 B 錯誤；
t 0,60 π t π π 2π - ù π π
3 ù
當 時
60 3
- , ，所以 sin t - - ,1 ，
è 3 3 ú 60 3 ÷
ú
è è 2
則 f t -3 3,6ù ，則 f t = 6，故 Cmax 錯誤；
π t π 4π當 t =100時， - = ， P 的縱坐標為 y = -3 3，橫坐標為 x = -3，
60 3 3
所以 PA = -3 - 3 = 6，故 D 正確；
故選：AD
3-3．【多選】（2024 高二上·湖北武漢·開學考試）摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如武漢東湖的“東
湖之眼”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度 55 米，轉盤直徑為 50 米，設置若干個座艙，游客
從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉 t分鐘，當 t =10時，游客隨艙旋轉至距離地面最
遠處.以下關于摩天輪的說法中，正確的為（ ）
A．摩天輪離地面最近的距離為 5 米
π
B．若旋轉 t分鐘后，游客距離地面的高度為 h米，則 h = -25cos t ÷ + 30
è10
C．存在 t1 ， t2 [0,15]，使得游客在該時刻距離地面的高度均為 20 米
D．若在 t1 ， t2 時刻游客距離地面的高度相等，則 t1 + t2 的最小值為 20
【答案】ABD
【分析】摩天輪離地面最遠距離減去轉盤直徑，從而可判斷 A；由時間 t 與游客距離地面的高度，求出 h關
于 t 的表達式，即可判斷 B；求出 h在 t 0,15 上的單調性，結合當 t =15時， h = 30 > 20 ，即可判斷 C；由
余弦型函數的性質可求出 t1 + t2 的最小值即可判斷 D；
【詳解】對于 A，由題意知，摩天輪離地面最近的距離為55 - 50 = 5米，故 A 正確；
對于 B，設 h = Asin wt +j + b ，當 t = 0時，游客從離地面最近的位置進艙，當 t =10時，游客隨艙旋轉至
T 2π π 55 + 5 55 - 5距離地面最遠處.所以 = 20 = ，w = ，b = = 30， A = = 25，又當 t = 0時， h = 5，所以
w 10 2 2
π
j π= - ，所以 h = -25cos

t

÷ + 30，故 B 正確；2 è10
π
對于 C，因為 t1 ， t2 [0,15]，又高度相等，函數 h = -25cos t ÷ + 30的對稱軸為 t =10，則 t1, t10 2 關于 t =10è
t + t
對稱，則 1 2 =10，則 t1 +t2 =20；2
令0
π t π π ，解得0 t 10 ，令 π t 2π，解得10 t 20，
10 10
則 h在 t 0,10 上單調遞增，在 t 10,15 上單調遞減，當 t =10時， hmax = 55，
3π
當 t = 0時，h = 5；當 t =15時，h = -25cos ÷ + 30 = 30 > 20，所以 h = 20在 t 0,15 只有一個解，故 C 錯
è 2
誤；
對于 D， h = -25cos
π
t

÷ + 30
π
周期T = 20，由余弦型函數的性質可知，令 t = kπ，
è10 10
則 t =10k ， k N* ，函數關于 t =10k 對稱，若在 t1 ， t2 時刻游客距離地面的高度相等，
t + t
則當 k =1時， 1 2 的最小值為 10， t1 + t2 的最小值為 20.故 D 正確.2
故選：ABD.
3-4．【多選】（2024 高二上·四川綿陽·開學考試）如圖（1），筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因
其經濟又環保，至今在農業生產中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉，筒車上的某個盛
水筒 P 到水面的距離為 d (單位：m)( P 在水下則 d 為負數)、 d 與時間 t (單位：s)之間的關系是
d = 3sin π t
p
-
3
÷ + ，則下列說法正確的是（30 6 2 ）è
A．筒車的半徑為 3m，旋轉一周用時 60s
B．筒車的軸心O距離水面的高度為1m
C．盛水筒 P 出水后至少經過 20s 才可以達到最高點
D． t 40,50 時，盛水筒 P 處于向上運動狀態
【答案】AC
【分析】根據振幅和最小正周期可確定 A 正確；利用 dmax - r
9
可知 B 錯誤；根據正弦型函數，令 d = ，由
2
正弦型函數的值可構造方程求得 t，進而得到 tmin ，知 C 正確；再利用三角函數單調性的判斷方法可知 D 錯
誤.
π π 3
【詳解】對于 A，Q d = 3sin t - ÷ + 的振幅為筒車的半徑，\筒車的半徑為3m ；
è 30 6 2
2π
Qd = 3sin π t π- 3+ T = π = 60 的最小正周期 ，\旋轉一周用時60s，A 正確；
è 30 6 ÷ 2 30
對于 B，Qdmax = 3
3 9 3
+ = ，筒車的半徑 r = 3，\筒車的軸心O距離水面的高度為 dmax - r = m ，B 錯誤；2 2 2
π π 3 3 π π
對于 C，令3sin t - ÷ + = 3+ ，\sin

t -
=1，
è 30 6 2 2 è 30 6 ÷
π π π
\ t - = + 2kπ k Z ，解得： t = 20 + 60k k Z ，
30 6 2
又 t 0，\當 k = 0時， tmin = 20s，即盛水筒 P 出水后至少經過 20s才可以達到最高點，C 正確.
t 40,50 π t π 7π , 3π 對于 D，當 時， - ÷，此時 d 單調遞減，30 6 è 6 2
\盛水筒 P 處于處于向下運動的狀態，D 錯誤.
故選：AC.
（三）
數據擬合問題
1、三角函數是基本初等函數之一，是反映周期變化現象的重要函數模型，在數學和其他領域
具有重要作用，命題的背景常以波浪、潮汐、摩天輪等具有周期性現象的模型為載體，考查學
生收集數據、擬合數據及應用已學知識處理實際問題的能力．
2、處理曲線擬合與預測問題時，通常需要以下幾個步驟:
(1)根據原始數據繪出散點圖.
(2)通過觀察散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.
(3)根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數解析式.
(4)利用函數解析式，根據條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據.
題型 4：數據擬合問題
4-1．（2024 高一上·江蘇·課后作業）已知某海濱浴場海浪的高度 y （米）是時間 t（0 t 24，單位：時）
的函數，記作： y = f (t)，下表是某日各時的浪高數據：
t（時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
經長期觀察， y = f (t)的曲線可近似地看成是函數 y = Acoswt + b的圖象.
(1)根據以上數據，求函數 y = Acoswt + b的最小正周期T ，振幅A 及函數解析式；
(2)依據規定，當海浪高度高于 1 米時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）中的結論，判斷一天內的 10：00
至 20：00 之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？
1
【答案】(1)T = 12 ， A = 0.5， y = cos
π t +1
2 6
(2)5 個小時
【分析】（1）由表中數據知T = 12 ，然后利用周期公式可求出w ，再由 t = 0， y = 1.5和 t = 3， y =1.0，可求
出 A,b，從而可求出解析式，
1 cos π（2）利用余弦函數的性質解 t +1 > 1即可得答案.2 6
2π 2π π
【詳解】（1）由表中數據知T = 12 ，所以w = = = .
T 12 6
由 t = 0， y = 1.5，得 A + b = 1.5 .
由 t = 3， y =1.0，得b =1.0，故 A = 0.5，b =1，
1 π
所以函數解析式為： y = cos t +1 .
2 6
（2）由題意知，當 y > 1
1 π
時才可對沖浪者開放，所以 cos t +1 > 12 6 ，
所以 cos
π t π π π> 0 ，所以 2kπ - < t < 2kπ + ， k Z6 2 6 2 ，
即12k - 3 < t <12k + 3， k Z .
又因為0 t 24，故可令 k = 0,1,2,
得0 t < 3，或9 < t <15，或 21 < t 24 .
所以在規定時間 10：00 至 20：00 之間，有 5 個小時可供沖浪者活動，即上午 10：00 至下午 3：00.
4-2．（2024 高一·全國·課后作業）某港口水深 y （米 ) 是時間 t（0 t 24，單位：小時）的函數，下表是水
深數據：
t（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米 ) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根據上述數據描成的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數 y = Asinwt + b 的圖象.
(1)試根據數據表和曲線，求出 y = Asinwt + b A > 0,w > 0,b > 0 的表達式；
(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距
離）為 7 米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不
能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）
π
【答案】(1) y = 3sin t +10 0 t 24
6
(2)16 小時.
【分析】（1）根據圖象的最高點和最低點可以求出 A,b，由兩個最高點的之間的距離可以求出w ，從而可求
函數的表達式；
（2）在當0 t 24的前提下，解不等式 y 11.5即可.
ìA + b =13
【詳解】（1）根據數據， í A b ， - + = 7
\ A = 3，b =10，T = 15 - 3 = 12，
w 2π π\ = = ，
T 6
\函數的表達式為 y = 3sin
π t +10 0 t 24 ；
6
（2）由題意，水深 y 4.5 + 7，
π
即3sin t +10 11.5 0 t 24 ，
6
\sin π t 1 ，
6 2
π
\ t é2kπ π ê + , 2kπ
5π
+ ù ， k = 0，1，
6 6 6 ú
\t [1,5]或 t [13,17]；
所以，該船在1: 00至5 : 00或13: 00至17 : 00 能安全進港，
若欲于當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過 16 小時.
4-3．（2024 高一下·上海寶山·期中）在月亮和太陽的引力作用下，海水水面發生的周期性漲落現象叫做潮
汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會相應發生變化．下圖記錄了某港口某一天整
點時刻的水深 y（單位：米）與時間 x（單位：時）的大致關系：
假設 4 月份的每一天水深與時間的關系都符合上圖所示．
π π
(1)請運用函數模型 y = Asin(wx +j) + h A > 0,w > 0, - < j < ,h R ÷ ，根據以上數據寫出水深 y 與時間 x
è 2 2
的函數的近似表達式；
(2)根據該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于 3.5 米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載
貨物，吃水（即船底到水面的距離）6 米，計劃明天進港卸貨．
①求該船可以進港的時間段；
②該船今天會到達港口附近，明天 0 點可以及時進港并立即開始卸貨，已知卸貨時吃水深度以每小時 0.3
米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水 3 米．請設計一個卸貨方案，在保證嚴格遵守該港口安全條例的前
提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計停靠碼頭和駛離碼頭所需時間）．
π π
【答案】(1) y = 3sin( x + ) + 8, x [0, 24]；
6 6
(2)①0 點到 4 點以及 12 點到 16 點進入港口；②該船在 0 點進港開始卸貨，5 點暫時駛離港口，11 點返回
港口繼續卸貨，16 點完成卸貨任務.
【分析】（1）根據給定的圖形，求出函數模型中的各個參數作答.
（2）①根據給定條件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函數關系，數形結合求解作答.
11+ 5 2π
【詳解】（1）觀察圖形知， 2A =11- 5，解得 A = 3， h = = 8， =14 - 2 π，解得w = 6 ，2 w
y 3sin( π x j) 8 (2,11) sin(π j) 1 π π顯然函數 = + + 的圖象過點 ，即 + = ，又- < j < ，因此j
π
= ，
6 3 2 2 6
所以函數表達式為 y = 3sin(
π x π+ ) + 8, x [0, 24] .
6 6
ì
3sin(
π x π+ ) + 8 6 + 3.5 ìsin( π x π+ ) 1
（2）①依題意， í 6 6

，整理得 í 6 6 2 ，
0 x 24 0 x 24
ì π π π 5π
+ 2kπ x + + 2kπ(k Z) ì12k x 4 +12k(k Z)
即有 í 6 6 6 6 ，即 í ，
0 x 24
0 x 24
解得0 x 4或12 x 16，
所以該船可以在 0 點到 4 點以及 12 點到 16 點進入港口.
②由①的結論知，該船明日 0 點即可進港開始卸貨，
設自 0 點起卸貨 x 小時后，該船符合安全條例的最小水深為 y = -0.3x + 6 + 3.5，
如圖，函數 y = -0.3x + 6 + 3.5與 y = 3sin(
π x π+ ) + 8的圖像交于點 (5,8) ，
6 6
即卸貨 5 小時后，在 5 點該船必須暫時駛離港口，此時該船的吃水深度為 4.5 米，
令3sin(
π x π) π π π π+ + 8 4.5 + 3.5，即 sin( x + ) 0， 2kπ x + 2kπ + π(k Z)，
6 6 6 6 6 6
解得12k -1 x 12k + 5(k Z)，顯然11 x 17，
該船在 11 點可返回港口繼續卸貨，5 小時后完成卸貨，此時為 16 點，
綜上所述，方案如下：該船在 0 點進港開始卸貨，5 點暫時駛離港口，11 點返回港口繼續卸貨，16 點完成
卸貨任務.
【點睛】思路點睛：給定 f (x) = Asin(wx＋j)(A > 0,w > 0)的部分圖象求解解析式，一般是由函數圖象的最
高（低）點定 A，求出周期定w ，由圖象上特殊點求j .
4-4．（2024 高一下·四川綿陽·階段練習）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮.一般地，早
潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面
是某港口在某季節每天的時間與水深關系表：
時刻 1: 00 4 : 00 7 : 00 10 : 00 13: 00 16 : 00 19 : 00 22 : 00
水深(米) 6 8.5 6 3.5 6 8.5 6 3.5
經長期觀測，這個港口的水深與時間的關系，可近似用函數 f t = Asin wt +j + b A
π
> 0,w > 0, j < 來描
è 2 ÷
述．
(1)根據以上數據，求出函數 f t = Asin wt +j + b的表達式；
(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為5.25米，安全條例規定至少要有 2米的安全間隙(船底與洋底的
距離)，該船在一天內 0 : 00 : 24 : 00 何時能進入港口？
5 π π
【答案】(1) f t = sin t - ÷ + 62 è 6 6
(2)該船可以在 2 : 00 : 6 : 00或14 : 00 :18 : 00 進入港口
【分析】（1）根據最大值和最小值可求得 A,b；由最小正周期可得w ；利用 f 4 = 8.5可求得j ，從而得到 f t
解析式；
（2）令 f t 7.25，根據正弦型函數值域可求得 t的范圍，結合 t 0,24 可得結果.
f t - f
1 Q f t = 8.5 f t = 3.5 max t f tmin 5 + fmax t 【詳解】（ ） ， minmax min ，\ A = = ，b = = 6；2 2 2
Q f t 2π π的最小正周期T = 12 ，\w = = ；
T 6
Q f 4 5 sin 2π= +j + 6 = 8.5 2π j π ÷ ，\ + = + 2kπ k Z j
π
，解得： = - + 2kπ k Z2 3 ，è 3 2 6
π π 5 π π
又 j < ，\j = - 6 ，
\ f t = sin t - ÷ + 6 .2 2 è 6 6
5 π π
（2）由題意知： f t 7.25，即 sin t - ÷ + 6 7.25，2 è 6 6
π π 1
\sin t - π π π 5π ÷ ，\ + 2kπ t - + 2kπ k Z ，解得： 2 +12k t 6 +12k k Z ，
è 6 6 2 6 6 6 6
Qt 0,24 ，\2 t 6或14 t 18，
\該船可以在 2 : 00 : 6 : 00或14 : 00 :18 : 00 進入港口.
一、單選題
1．（2024 高三上·河南鄭州·階段練習）據市場調查，某種商品一年內每件出廠價在 7 千元的基礎上，按月呈
f x Asin wx j b A 0,w 0, j p= + + > > <

÷ 的模型波動（x 為月份），已知 3 月份達到最高價 9 千元，7 月
è 2
份價格最低為 5 千元，根據以上條件可確定 f x 的解析式為
A． f x ＝2sin p p x - ÷ + 7 1 x 12, x N*4 4 è
B． f x 9sin p x p- ＝ * 4 4 ÷ 1 x 12, x N è
p
C． f x ＝2 2sin x + 7 1 x 12, x N*4
f x 2sin p p D． ＝ x - ÷ + 7 1 x 12, x N*
è 4 4


【答案】A
p
【分析】利用最高點和最低點可得周期及 A,c 的大小，再利用最高點的坐標可得j = - ， 從而得到 f x
4
的解析式.
T
【詳解】因為 3 月份達到最高價 9 千元，7 月份價格最低為 5 千元，所以半周期 = 4，
2
p
故T = 8，所以w = ，
4
ìA + c = 9 ìA = 2
又 í A ，所以
- + c = 5
í
c 7
，
=
所以 f x = 2sin p x + j

÷ + 7，
è 4
3p
當 x = 3時，sin

+ j
=1 Q j p j p÷ ， < ，\ = - .
è 4 2 4
\ f x = 2sin p x p- ÷ + 7 1 x 12, x N* ，故選 A.
è 4 4


【點睛】已知 y = Asin wx +f + B的圖像，求其解析式時可遵循“兩看一算”，“兩看”指從題設中得到振幅和
周期，“一算”指利用最高點或最低點的坐標計算f .
2．（2024 高一上·江西撫州·學業考試）在自然界中，存在著大量的周期函數，比如聲波，若兩個聲波隨時間
的變化規律分別為： y1 = 4sin(100p t), y2 = 4cos(100p t)，則這兩個聲波合成后即 y = y1 + y2 的振幅為（ ）
A．4 2 B．8 C．4 D．8 2
【答案】A
【分析】由兩角和的正弦函數公式先求得函數解析式，直接利用函數的性質，求出函數的振幅即可.
【詳解】Q y = y1 + y2
= 4sin 100p t + 4cos 100p t
= 4 2 sin 100p t p+ ÷
è 4
\利用函數的性質可得函數的振幅為：4 2
故選：A
【點睛】本題考查 y = Asin(wx + j)型函數的化簡與振幅問題，屬于基礎題.
3．（2024 高一上·江西）如圖所示的是一個單擺，以平衡位置 OA 為始邊、OB 為終邊的角 θ(-π<θ<π)與時間
1 p
t(s)滿足函數關系式 θ= sin 2t + ÷ ，則當 t=0 時，角 θ 的大小及單擺的頻率是（2 ）2 è
1 1 1 1
A． ， B． 2， C． ，π D． 2，π
2 p p 2
【答案】A
【解析】根據單擺所擺動角所滿足的關系式和頻率的定義可得選項.
1 p 1 2p 1
【詳解】當 t=0 時，θ= sin = ，由函數解析式易知單擺的周期為 =π，故單擺的頻率為 .
2 2 2 2 p
故選：A.
【點睛】本題考查三角函數的實際應用，關鍵在于理解三角函數所表達的實際意義，屬于基礎題.
4．（2024 高一上·福建·期末）福州新港江陰港區地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進出港不受
航道及潮水的限制，是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區某個泊位一天中 6 時到 18
時的水深變化曲線近似滿足函數 y = 3sin(wx +j) + k ，據此可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】從圖象中的最小值入手，求出 k = 5，進而求出函數的最大值，即為答案.
【詳解】從圖象可以看出，函數 y = 3sin(wx +j) + k 最小值為-2，即當 sin(wx + j) = -1時，函數取得最小值，
即-3 + k = 2，解得： k = 5，所以 y = 3sin(wx +j) + 5，當 sin(wx + j) = 1時，函數取得最大值，
ymax = 3+ 5 = 8，這段時間水深（單位：m）的最大值為 8m.
故選：C
5．（2024 高三下·河南·階段練習）如圖為函數 f (x) = sin(wx + j)(w > 0
π
， |j |< ) 的圖象，則函數 f (x) 的圖象與
2
3 [0, 10π直線 y = 在區間 ]3 上交點的個數為（ ）2
A．9 個 B．8 個 C．7 個 D．5 個
【答案】C
π
【分析】根據圖象得到最小周期，從而得到w = 2，代入特殊點坐標，得到j = - ，得到函數解析式，解方
3
程，求出解的個數.
T 4 5π π 【詳解】由題圖得 = - = π，所以w = 2，
è 12 6 ÷
f 5π = sin 5π 因為 12 ÷
+j ÷ =1，
è è 6
5π π π
所以 + j = 2kπ + , k Z,j = 2kπ - , k Z ，
6 2 3
因為 j
π j π< ，所以 = - ，
2 3
f x = sin 2x π , x é0,10π- ù π é π 19π ù所以
è 3 ÷ ê 3 ú
, 2x - - ,
3 ê 3 3 ú
π 3 2x π π 2π 7π 8π 13πsin 2x 14π
19π
令 - ÷ = ，故 - = 或 或 或 或 或 或 ，
è 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3
解得 x 有 7 個值，
故 f x 3的圖象與直線 y = 在此區間上有 7 個交點．
2
故選：C
6．（2024 高二下·貴州遵義·階段練習）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過
程中的事件 t 與位移 s 之間的測量數據，那么能與這些數據擬合的振動函數的解析式為（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
s 20sin πt t 0, + s 20cos πtA． = ， B． =
6 6
C． s = -20cos
πt
D． s = 20sin
πt π- ÷ ， t 0, + 6 è 6 2
【答案】D
【分析】根據簡諧振動的解析式結合三角函數性質運算求解.
【詳解】設簡諧振動的解析式為 s = Asin wt +j , t 0, + ，其中 A > 0,w > 0
由表格可知：振幅 A = 20，周期T = 12 ，過點 0, -20 ，
T 2π由周期 = =12w ，且w
π
> 0，可得w = 6 ，
由過點 0, -20 ，可得 20sinj = -20，即 sinj = -1，則j = 2kπ π- ,k Z ，
2
可得 s = 20sin
πt
+ 2kπ
π
- = 20sin πt π- , t 0, + ,k Z ，
è 6 2 ÷ ÷ è 6 2
πt π
所以簡諧振動的解析式為 s = 20sin - ÷ , t 0,+ .
è 6 2
故選：D.
7．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，某港口某天從6h到18h 的水深 y （單位：m）與時間 x （單位：h）
之間的關系可用函數 f x = Asin wx +j + 5 A
π
> 0,w > 0, j < ÷近似刻畫，據此可估計當天12h 的水深為
è 2
（ ）
7
A． m B．4m
2

C 3 2
3 3
． 5 -
è 2 ÷
m D．

5 - 2 ÷mè
【答案】A
【分析】根據函數圖象求出函數解析式，再代入 x =12 計算可得.
2π p
【詳解】由題圖可得，T = w =18 - 6 =12，則w = ，6
當 sin(wx + j) = -1時， y 取得最小值 2，即-A + 5 = 2，解得 A = 3，
∵ π 13函數 f x = 3sin 6 x +j + 5的圖象過點 6, 2 ，
sin π 6 +j = 1 |j | p p j π 3p j π 5p π∴ 6 2 ，又 < ，則 < + < ，所以 + = ，∴j = - ，2 2 2 6 6
∴ f x = 3sin π x - π6 6 + 5．
當 x =12 時， f 12 = 3sin 2π - π6 + 5 = - 3 7 72 + 5 = 2 ，即估計當天12h 的水深為 m ．2
故選：A.
8．（2024 高一·全國·課后作業）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪音，
然后通過聽感主動降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如圖）．已知噪音的聲波曲線 y = Asin ωx + φ （其
π
中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π ）的振幅為1，周期為 2π，初相為 ，則通過聽感主動降噪芯片生成相等的反
2
向波曲線為（ ）
A． y = sin x B． y = cos x C． y = -sin x D． y = -cos x
【答案】D
【分析】根據振幅、周期和初相可求得噪音的聲波曲線，由此可得反向波曲線.
【詳解】Q噪音的聲波曲線振幅為1，\ A =1；
Q 2π噪音的聲波曲線周期T = 2π，\ = 2π ，解得：w =1；
w
Q π π噪音的聲波曲線初相為 ，\j = ，
2 2
\噪音的聲波曲線為 y = sin x
π
+ ÷ = cos x2 ，則通過聽感主動降噪芯片生成相等的反向波曲線為
y = -cos x .
è
故選：D.
9．（2024 高一上·廣東·期末）如圖，一個質點在半徑為 2 的圓 O 上以點 P 為起始點，沿逆時針方向運動，
每3s轉一圈．則該質點到 x 軸的距離 y 關于時間 t 的函數解析式是（ ）
A． y = 2sin
2π
t
π
- ÷ B． y = 2cos
2π t π-
3 4 3 4 ÷è è
C． y = 2sin
2π t π + ÷ D． y = 2cos
π t π+
3 4 3 4 ÷è è
【答案】A
【分析】設點 P 的縱坐標為 f t = Asin wt +j ，根據題意可求w ，j 與A ，從而可求解.
【詳解】設點 P 的縱坐標為 f t = Asin wt +j ，
T 2π 2π由題意可得 = = 3，得w = .
w 3
π
因為起始點 P 在第四象限，所以初相j = - ，
4
由圖可知 A = 2，
2π π
所以 f t = 2sin t - .
è 3 4 ÷
2π π
所以該質點到 x 軸的距離 y 關于時間 t 的函數解析式是 y = 2sin t -3 4 ÷
.
è
故選:A.
10．（2024 高一下·浙江寧波·期末）據長期觀察，某學校周邊早上 6 時到晚上 18 時之間的車流量 y（單位：
π 13
量）與時間 t（單位：h）滿足如下函數關系式： y = Asin t - π ÷ + 300（A 為常數，6 t 18）.已知早
è 4 8
上 8：30（即 t = 8.5h）時的車流量為 500 量，則下午 15：30（即 t =15.5h ）時的車流量約為（ ）（參考數
據： 2 1.41， 3 1.73）
A．441 量 B．159 量 C．473 量 D．127 量
【答案】A
【分析】根據 t = 8.5h時的車流量為 500 求出A ，再求 t =15.5h 時的車流量可得答案.
500 Asin π 8.5 13【詳解】由題意可得 = - π

÷ + 300 ，可得 200 = Asin
π
，
è 4 8 2
y 200sin π 13解得 A = 200，所以 = t - π

÷ + 300，
è 4 8
當 t =15.5h 時，
y = 200sin π 15.5
13
- π + 300 = 200sin 9 π + 300 =100 2 + 300
è 4 8 ÷ 4
100 1.41+ 300 = 441（量）.
故選：A.
11．（2024 高一下·北京海淀·階段練習）為了研究鐘表秒針針尖的運動變化規律，建立如圖所示的平面直角
1 3
坐標系，設秒針針尖位置為點P x, y ．若初始位置為點P0 ,2 2 ÷，秒針從P0 （規定此時 t = 0）開始沿順è
時針方向轉動，點 P 的縱坐標 y 與時間 t 的函數關系式可能為（ ）
A． y = 2sin
π π π π
- t +

÷ B． y = -sin t -
è 30 3 è 60 3 ÷
C． y = sin
π π π π
- t +

÷ D． y = cos30 6
t +
è è 30 6 ÷
【答案】D
【分析】首先確定函數的周期，再利用待定系數法可求得函數的解析式
w 2π 2π π【詳解】因為函數的周期為T = 60，所以 = = = ，
T 60 30
π
由于秒針順時針旋轉，所以可設函數解析式為 y = sin - t +j30 ÷
，
è
1
因為初始位置為點P0 ,
3 3
2 2 ÷，所以當
t = 0時， y = ，
è 2
3 π
所以 sinj = ，所以j 可能取 ，
2 3
y sin π π 所以 = - t + ÷ = cos
é π π π ù π
ê - - t + ÷ú = cos t
π
+ ，
è 30 3 ÷ 2 è 30 3 è 30 6
故選：D
12．（2024 高一下·重慶沙坪壩·期中）如圖，一根絕對剛性且長度不變、質量可忽略不計的線，一端固定，
另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺
動．若線長為 l cm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移 s（單位：cm）與時間 t（單位：s）的函數關系是

s 3cos g t π

= + ÷， t 0, + 取 g = 10 m / s2 ÷ ，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用 0.5s，
è l 3
則線長約為（ ）cm．（精確到 0.1cm）
A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7
【答案】B
【分析】根據題意得到函數 s t 的最小正周期為T =1，結合余弦型函數的性質，列出方程，即可求解.
【詳解】因為線長為 l cm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移 s（單位：cm）與時間 t（單位：s）的函數關系

s 3cos g π

是 = t + ÷÷， t 0, + ，且取 g = 10 m / s
2 ，
è l 3
又因為沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s ，
2π
s = 1t l g 1000所以函數 的最小正周期為T =1，即 g ，解得 = = 25.3，
l 4π
2 4 3.142
即線長約為 25.3 cm.
故選：B.
13．（2024 高一上·浙江金華·期末）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的
噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波
曲線 y = Acos wx +j π（其中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π ）的振幅為 1，周期為 2π，初相位為 ，則通過主
2
動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（ ）
A． y = sin x B． y = cos x C． y = -sin x D． y = -cos x
【答案】A
【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得w 的值，由初相位可得j 的值，即可得出聲波曲線的解析式，進而
可得主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式.
【詳解】解：因為噪音的聲波曲線 y = Acos wx +j （其中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π ）的振幅為 1，則
A =1，
w 2π 2π 1 π2π π周期為 ，則 = = = ，初相位為 ，j = ，
T 2π 2 2
π
所以噪聲的聲波曲線的解析式為 y = cos x + ÷ = -sin x，
è 2
所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為 y = sin x ．
故選：A.
14．（2024 高一下·吉林長春·階段練習）如圖，圓O的半徑為 1，A 是圓上的定點，P 是圓上的動點，角 x 的
始邊為射線OA，終邊為射線OP ，過點 P 作直線OA的垂線，垂足為M .將點M 到直線OP 的距離表示成 x
的函數 f x ，則 y = f x 在 0, π 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
1
【分析】過M 作MD ^ OP于D，由題意得到PM = sin x ，OM = cos x ，由 SVOMP = MD ×OP = OM × PM 求2
出MD ，即可得出函數解析式，從而可判斷結果.
【詳解】
如圖：過M 作MD ^ OP于D，則由題意可得：PM = sin x ，OM = cos x ，
1
在RtVOMP中， SVOMP = MD ×OP = OM × PM ，2
OM gPM cos x g sin x
所以MD = = = cos x sin x 1= sin 2x ，
OP 1 2
所以 f (x)
1
= sin 2x (0 x π)，其圖象即為選項 B.
2
故選：B.
15．（2024 高一下·陜西西安·期中）古代數學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地
圖學提供了數學基礎，現根據劉徽的《重差》測景一個球體建筑物的高度，已知點 A 是球體建筑物與水平
地面的接觸點（切點），地面上 B，C 兩點與點 A 在一條直線上，且在點 A 的同側，若在 B，C 處分別測得
球體建筑物的最大仰角為 60°和 30°，且BC =100m ，則該球體建筑物的高度約為（　　）
A．100m B．50 2 + 3 m C．50 2 - 3 m D．50 3m
【答案】A
【分析】由圓的切線的性質可得 AC，AB 的大小，由題意可得 OA 的大小，進而求出球的高度.
【詳解】解：設球的截面圓心為 O，連接 OB，OC，設球的截面圓的半徑為 R，
由圓的切線的性質可得： OCA =15°， OBA = 30°，
AC OA AB OA則 = ， = ，
tan15° tan30°
1 1
BC = 100 AC AB OA OA= - = - OA - 所以 ，可得 = 100 ，
tan15° tan30° è tan15° tan30° ÷
OA 100=
即 1 1- ，
tan15° tan30°
3
又因為 tan 30° = ，
3
3
tan15 tan 45 30 tan 45° - tan30°
1- 3- 3
° = ° - ° = = 3 = ，
1+ tan 45° tan30°
1 3 3+ 3+
3
1 1 3+ 3
所以 - = - 3 = 2，
tan15° tan30° 3- 3
OA 100所以 = = 50，
2
所以球的直徑2OA = 100 .
故選：A.
16．（2024 高一上·全國·專題練習）如圖，某港口某天從6h到18h 的水深 y （單位：m）與時間 x （單位：
h）之間的關系可用函數 f x = Asin wx +j + 5 A > 0,w > 0, j
π
< ÷近似刻畫，據此可估計當天12h 的水深
è 2
為（ ）
7
A． m B．4m
2
5 - 3 2 C． 2 ÷m D． 5 -
3 3 m
è ÷è 2
【答案】A
【分析】根據圖象確定w, A,j 的值，即可得函數解析式，將 x =12 代入解析式中，即可求得答案.
2π
【詳解】由題圖可得，T = w =18
p
- 6 =12，則w = ，
6
當 sin(wx + j) = -1時， y 取得最小值 2，即-A + 5 = 2，解得 A = 3，
∵函數 f x = 3sin π6 x +j + 5 13的圖象過點 6, 2 ，
∴ 3sin π 6 +j + 5 = 136 2 ，故 sinj 1 p π= - ，又 |j |< ，∴j = - ，2 2 6
∴ f x = 3sin π6 x - π6 + 5 .
x =12 f 12 = 3sin 2π - π + 5 = - 3 + 5 = 7當 時， 6 2 2 ，
7
即估計當天12h 的水深為 m .
2
故選：A.
二、多選題
17．（2024 高一下·全國·課后作業）如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A．該質點的運動周期為 0.7 s
B．該質點的振幅為 5 cm
C．該質點在 0.1 s 和 0.5 s 時運動速度為零
D．該質點在 0.3 s 和 0.7 s 時運動速度為零
【答案】BC
【分析】利用三角函數圖像性質求得質點的運動周期和振幅判斷選項 AB；利用簡諧運動的特點判斷該質點
在 0.1 s、0.3 s、0.5 s 和 0.7 s 時運動速度是否為零判斷選項 CD.
【詳解】由題圖可知，運動周期為 2 (0.7 - 0.3) = 0.8 s，故 A 錯誤；
該質點的振幅為 5 cm，B 正確；
由簡諧運動的特點知，在 0.1 s 和 0.5 s 時運動速度為零，
質點在 0.3 s 和 0.7 s 時運動速度最大，故 C 正確，D 錯誤．
故選：BC．
18．（2024 高一下·四川成都·期中）如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A．該質點的運動周期為 0.7s B．該質點在 0.3s 和 0.7s 時運動速度為零
C．該質點在 0.1s 和 0.5s 時運動速度為零D．該質點的運動周期為 0.8s
【答案】CD
【分析】由題圖求得質點的振動周期可判定 A 錯，D 正確；由簡諧運動的特點，可判定 B 錯，C 正確．
【詳解】對于 A，D，由題圖可知，質點的運動周期為2 (0.7 - 0.3) = 0.8s，所以 A 錯，D 正確；
對于 B，C，由簡諧運動的特點知，質點處于平衡位置時的速度最大，即在 0.3 s 和 0.7 s 時運動速度最大，
在 0.1 s 和 0.5 s 時運動速度為零，故 B 錯，C 正確．
綜上，CD 正確．
故選：CD.
19．（2024 高三下·云南·階段練習）單擺是一種簡諧運動，擺球的運動情況可以用三角函數表達為
y = Asin ωx + φ ， A > 0 ，w > 0 w，j < p ，其中 x 表示時間（s），y 表示位移（cm），A 表示振幅， 表示
2π
頻率，φ 表示初相位.如圖甲某個小球做單擺運動，規定擺球向右偏移的位移為正，豎直方向為平衡位置.圖
2
乙表示該小球在 0,3 秒運動時的位移隨時間變化情況.根據秒表記錄有：當 x = 時，小球第一次到平衡位
3
7
置；當 x = 時，小球的位移第一次到反向最大值.根據以上圖文信息，下列選項中正確的是（
6 ）
1
A．頻率為
2
π 2π
B．初相位j = 或
3 3
C．振幅 A = 10
x 8D．當 = 時，小球第三次回到平衡位置
3
【答案】ACD
2
【分析】A 選項，根據圖象性質得到函數的最小正周期，進而求出頻率；B 選項，根據 ，03 ÷ ，求出è
sin 2π π + j

÷ = 0 j =3 3 ；C 選項，結合圖象，代入 (3，- 5 3) 求出 A = 10；D 選項，根據題意及最小正周期得è
到 x
2 8
= + 2 = 時，第三次回到平衡位置.
3 3
T 7 2 1 w 1
【詳解】A 選項，設最小正周期為T ，據題意 = - = T = 2 w = π，頻率為 = ，故 A 正確；
4 6 3 2 2π 2
x 2B =
2
選項，當 時，小球第一次到平衡位置，即 ，03 ÷ 是正弦函數減區間上的零點，且
|j|<π，所以
3 è
sin 2π π + j

÷ = 0 j =3 3 ，故 B 錯誤；è
π
C 選項，根據圖中的信息知 (3，- 5 3) 在圖象上，所以 Asin 3π + ÷ = -5 3 A = 10 ，故 C 正確；
è 3
2 2 8
D 選項，當 x = 時，小球第一次到達平衡位置，當 x = + 2 = 時，小球第三次到達平衡位置，故 D 正確.
3 3 3
故選：ACD．
20．（2024 高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知彈簧上掛的小球做上下振動，它在時間 t（s）時離開平衡位置
s s = 2sin
π
的位移 （cm）滿足函數關系式 t + ÷．給出的下列說法中正確的是（4 ）．è
A．小球開始時在平衡位置上方 2cm 處
B．小球下降到最低點時在平衡位置下方 2cm 處
C．經過2π s 小球重復振動一次
1
D．小球振動的頻率為
2π
【答案】BCD
【分析】A 選項，即判斷 t = 0時，s 的值是否為 2；
B 選項，即判斷 s 的最小值是否為-2；
CD 選項，由周期，頻率計算公式可判斷選項正誤.
π
【詳解】A 選項， t = 0時， s = 2sin ÷ = 2 ，即小球開始時在平衡位置上方 2 cm 處，故 A 錯誤；
è 4
B 選項，由題可知 s 的最小值為-2，即小球下降到最低點時在平衡位置下方 2cm 處，故 B 正確；
C 選項，由題可知，最小正周期為 2π ，即經過2π s 小球重復振動一次，故 C 正確；
1
D 選項，由 C 選項分析可知周期為 2π ，則振動的頻率為 ，故 D 正確.
2π
故選：BCD
21．（2024 高一下·四川自貢·期中）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢
慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點距離地面高度為 120m，轉盤直徑為 110m，設置有
48 個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要 30
min.游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動 t min 后距離地面的高度為H t m .游客乙所在座艙與甲所在座艙間
隔 7 個座艙.在運行一周的過程中，甲、乙倆人距離地面的高度差 hm .下述結論正確的是（ ）
A．H t = 55sin π t π - ÷ + 65 B．H 5 = 38.5
è15 2
C．在運行一周的過程中，H t > 90的時間超過 10 min D． hmax = 55
【答案】ACD
【分析】根據題意建立三角函數模型，先得出 H t 解析式，然后結合三角函數的圖象與性質判斷選項即可.
【詳解】
由題意可得 H t 是關于 t的三角函數，如圖所示，以摩天輪軸心為原點，以與地面平行的直線為橫軸建立平
面直角坐標系，設摩天輪距地面最近點為 P，
π
則當 t = 0時，游客甲位于P 0, -55 ，以 OP 為終邊的角為- ，而轉一圈需要大約 30min，可知角速度大約
2
π
為 rad / min，由題意可得：H t = 55sin π π
15
t - ÷ + 65，即 A 正確；
è15 2
π π
當 t = 5時，H 5 = 55sin 5 - ÷ + 65 = 37.5，即 B 錯誤；
è15 2
H t = 55sin π t π- π π 1 ÷ + 65 90 + 2.5 sin t - ÷ ，
è15 2 è15 2 2
1 é π 5π ù
由正弦函數的性質可得： sin x x ê , ú ，2 6 6
π π 5π
故 t
π
- é ùê , ú t 10,20 ，即高度超過 90+2.5 米時時間長 20-10=10min，顯然高度超過 90 米的時間15 2 6 6
長超過 10min，故 C 正確；
2π π
甲乙所在位置分別設為 A、B 兩點，甲乙座艙差 7 個，則 AOB = 8 = ，故 t 分鐘后甲乙的高度分別為：
48 3
H 55sin π t π 65 H 55sin π t π π1 = - +

÷ ， 2 = - - ÷ + 65，
è15 2 è15 2 3
H - H = 55 sin π t π- - sin π t π π- - = 55 sin π t π- 其高度差為： 1 2 15 2 ÷ 15 2 3 ÷ 15 6 ÷
55，即 D 正確.
è è è
故選：ACD.
22．（2024 高一上·吉林·期末）如圖（1），筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至
今在農業生產中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉，筒車上的某個盛水筒 P 到水面的距
d d d t d = 3sin
p p 3
離為 （單位：m）（ P 在水下則 為負數）、 與時間 （單位：s）之間的關系是 t - + ，
è 30 6 ÷ 2
則下列說法正確的是（ ）
A．筒車的半徑為 3m，旋轉一周用時 30s
3
B．筒車的軸心O距離水面的高度為 m
2
C． t 40,50 時，盛水筒 P 處于向上運動狀態
D．盛水筒 P 出水后至少經過 20s 才可以達到最高點
【答案】BD
【分析】
根據振幅和最小正周期可確定 A 錯誤；利用 dmax - r 可知 B 正確；根據正弦型函數單調性的判斷方法可知 C
d 9錯誤；令 = ，由正弦型函數的值可構造方程求得 t，進而得到 tmin ，知 D 正確.2
【詳解】對于 A，Q d = 3sin
π t π- 3 ÷ + 的振幅為筒車的半徑，\筒車的半徑為3m ；
è 30 6 2
2π
Qd = 3sin π t π- 3 ÷ +
T = = 60
的最小正周期 π ，\旋轉一周用時60s，A 錯誤；
è 30 6 2 30
3 9 3
對于 B，Qdmax = 3+ = ，筒車的半徑 r = 3，\筒車的軸心O距離水面的高度為 dmax - r = m ，B 正確；2 2 2
t 40,50 π t π 7π , 3π對于 C，當 - 時， ，此時 d 單調遞減，
30 6 è 6 2 ÷
\盛水筒 P 處于處于向下運動的狀態，C 錯誤；
3sin π t π 3 3 3 π π 對于 D，令 -30 6 ÷
+ = + ，\sin t -
2 2 30 6 ÷
=1，
è è
π
\ t π π- = + 2kπ k Z ，解得： t = 20 + 60k k Z ，
30 6 2
又 t 0，\當 k = 0時， tmin = 20s，即盛水筒 P 出水后至少經過 20s才可以達到最高點，D 正確.
故選：BD.
三、填空題
23．（2024 高一上·浙江·期末）如圖所示，摩天輪的直徑為110m，最高點距離地面的高度為120m，摩天輪
按逆時針方向作勻速轉動，且每30min 轉一圈．若游客甲在最低點坐上摩天輪座艙，則在開始轉動5min 后
距離地面的高度為 m．
【答案】37.5
75
/
2
【分析】由題意可知，距離地面的高度 h與時間 t所滿足的關系式為 h = Asin wt +j + k ，然后根據條件求
出解析式可得答案.
【詳解】由題意可知，距離地面的高度 h與時間 t所滿足的關系式為 h = Asin wt +j + k ，
因為摩天輪的直徑為110m，最高點距離地面的高度為120m，
ìA + k =120
所以 í ，解得 A = 55,k = 65
-A + k 10
，
=
2π
因為每30min 轉一圈，所以T = = 30 w
π
， = ，
w 15
當 t = 0時， h =10 ，所以 sinj = -1
π
，所以可取j = - ，
2
所以 h = 55sin
π t π -

÷ + 65，
è15 2
π
所以當 t = 5時， h = 55sin - ÷ + 65 = 37.5
è 6
故答案為：37.5
24．（2024 高一上·江蘇宿遷·期末）如圖點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的
正方向，若已知振幅為3cm ，周期為3s ，且物體向左運動到平衡位置開始計時，則物體對平衡位置的位移
x cm 和時間 t s 之間的函數關系式為 x = ．
2π
【答案】 x = -3sin t3
【分析】依題意設 x = Asinwt w > 0 ，再根據題意和函數的周期求出 A,w ，即可得到函數解析式；
2p
【詳解】依題意設 x = Asinwt w > 0 ，則 A 3 2π= - ，周期T = = 3w ，又w > 0，解得w = 3 ，所以
x 2π= -3sin t .
3
故答案為： x = -3sin
2π t .
3
25．（2024 高一下·四川綿陽·階段練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙
里慢慢地往上轉，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為100m，轉盤直徑為90m，
均勻設置了依次標號為1 : 48號的 48個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離
地面最近的位置進艙，開始轉動 t min 后距離地面的高度為H m，轉一周需要30min .若甲、乙兩人分別坐在
1號和9號座艙里且 t=0 時，1 號座艙位于距離地面最近的位置，當0 t 15時，兩人距離地面的高度差 h
（單位：m）取最大值時，時間 t的值是 .
【答案】10
【分析】設座艙距離地面最近的位置為點 P ，以軸心為原點，與地面平行的直線為 x 軸建立直角坐標系，座
π
艙轉動的角速度約為 rad / min ，計算H1 = 45sin
π π π 5π
t - ÷ + 55，H2 = 45sin t - ÷ + 55，相減得到15 è15 2 è15 6
h 45 sin p p= t - ÷ ，計算最值得到答案.
è15 6
【詳解】如圖，設座艙距離地面最近的位置為點 P ，以軸心為原點，與地面平行的直線為 x 軸建立直角坐標
系，
π
設 t = 0min 時，游客甲位于點P 0, -45 ，以OP 為終邊的角為- ；
2
π
根據摩天輪轉一周大約需要30min ，可知座艙轉動的角速度約為 rad / min ，
15
由題意可得H = 45sin
π t π- ÷ + 55，0 t 15 .
è15 2
如圖，甲、乙兩人的位置分別用點 A、B表示，
2π π
則 AOB = 8 = ，
48 3
π π
經過 t min

后甲距離地面的高度為H1 = 45sin t - + 55，
è15 2 ÷
π
點 B 相對于點A 始終落后 rad，
3
此時乙距離地面的高度為H2 = 45sin
π t 5π -

÷ + 55 .
è15 6
則甲、乙距離地面的高度差
h = H1 - H2 = 45 sin
π t π π 5π - ÷ - sin
t - ，
è15 2 ÷ è15 6
= 45 -cos π π π t ÷ + cos t -15 15 3 ÷è è
= 45 sin π t
π
-
è15 6 ÷
因為 t 0,15 π t π π 5π，所以 - éê- ,
ù
，
15 6 6 6 ú
π t π π所以 - = 得 t =10，即開始轉動10分鐘時，甲乙兩人距離地面的高度差最大值為 45m .
15 6 2
故答案為：10 .
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是設座艙距離地面最近的位置為點 P ，以軸心為原點，與地面平行的直
線為 x 軸建立直角坐標系.
π
26．（2024 高三·全國·對口高考）已知函數 y = Asin wt +j （其中 A > 0 ，w > 0， j < ）的圖象如圖1所
2
示，它刻畫了質點 P 做勻速圓周運動（如圖 2）時，質點相對水平直線 l的位置值 y （ y 是質點與直線 l的
距離（米），質點在直線 l上方時， y 為正，反之 y 為負）隨時間 t（秒）的變化過程．則
①質點 P 運動的圓形軌道的半徑為 米；
②質點 P 旋轉一圈所需的時間T = 秒；
③函數 f t 的解析式為： ；
④圖 2中，質點 P 首次出現在直線 l上的時刻 t = 秒．
π 1
【答案】 2 2 f t = 2sin πt - ÷
è 6 6
【分析】根據圖象可以解出函數解析式，通過勻速圓周運動（即簡諧運動）與函數的關系可以求出半徑和
運動一周的時間，由圖 2質點 P 首次出現在直線 l上的時刻就是函數在 (0, + )上最左側的零點，可以解出第 4
個空的答案.
【詳解】
y = Asin wt +j j π已知函數 （其中 A > 0 ，w > 0， < ）的圖象如圖1所示，
2
結合解析式與圖象得到 A = 2，
f (0) 1 sinj 1 j π π因為 = - ，所以 = - ，因為 < ，所以j = - ，
2 2 6
x 2 2 π π因為在 = 處取到最大值，所以 w - = + 2kπ，（ k Z），
3 3 6 2
因為w > 0，解得w = π ，
π
所以解析式為 f t = 2sin πt - ÷ .
è 6
因為圖象刻畫了質點 P 做勻速圓周運動（如圖 2）時，質點相對水平直線 l的位置值 y （ y 是質點與直線 l
的距離（米），質點在直線 l上方時， y 為正，反之 y 為負）隨時間 t（秒）的變化過程，
所以振幅A 就是圓的半徑，得到半徑為 2米，
2π
質點 P 旋轉一圈所需的時間就是一個周期，因為w = π ，所以周期為 = 2，所以T = 2秒，
π
因為圖 2中，質點 P 首次出現在直線 l上的時刻就是函數在 (0, + )上最左側的零點，
所以 2sin
πt π- ÷ = 0
1
，解得 t = 秒.
è 6 6
故答案為： 2； 2； f t = 2sin π 1 πt - ÷； ．
è 6 6
27．（2024 高一上·江蘇淮安·期末）近年來，淮安市依托地方資源優勢，用風能等清潔能源替代傳統能源，
因地制宜實施新能源項目，在帶來了較好經濟效益的同時，助力了本地農戶增收致富．目前利用風能發電
的主要手段是風車發電．如圖，風車由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為120o，現有一座
風車，塔高 90 米，葉片長 40 米．葉片按照逆時針方向勻速轉動，并且每 6 秒旋轉一圈，風車開始旋轉時
某葉片的一個端點 P 在風車的最低點（此時 P 離地面 50 米）．設點 P 轉動 t（秒）后離地面的距離為 S
（米），則 S 關于 t 的函數關系式為 ，葉片旋轉一圈內點 P 離地面的高度不低于 70 米的時長為
秒．
【答案】 S = 90
π
- 40cos t(t 0) 4
3
【分析】（1）由題意，根據物理意義，結合三角函數定義得 S = Rsin wt +j + h ，待定系數即可；
（2）解不等式90 - 40cos
π t 70即得.
3
【詳解】（1）由題意，塔高即風車中心距地面的高度 h = 90 ，風車半徑R = 40，
2π π
風車轉動一圈為6 秒，則角速度w = = ，
6 3
如圖，以風車中心O為坐標原點，以與地面平行的直線為 x 軸，建立直角坐標系，
設 t = 0時，風車開始旋轉時某葉片的一個端點 P 在風車的最低點，設P0 ，
以Ox OP j
π
為始邊， 0 為終邊的角不妨取 = - ，2
那么經過 t（秒）后，運動到點 P(x, y) ，
π π
于是，以Ox 為始邊，OP 為終邊的角為j +wt = - + t ，
2 3
π π
由三角函數定義知 y = R sin(wt +j) = 40sin( t - )，
3 2
則 S = y
π p π
+ h = 40sin t -3 2 ÷
+ 90 = 90 - 40cos t ，
è 3
所以 S = 90 - 40cos
π t t 0 .
3
π π 1
（2）令90 - 40cos t 70，\cos t ，
3 3 2
2kπ π π所以 + t 2kπ
5π
+ , k Z ,
3 3 3
所以6k +1 t 6k + 5,k Z .
當 k = 0時，1 t 5，
所以葉片旋轉一圈內點 P 離地面的高度不低于 70 米的時長為 4 秒.
故答案為： S = 90 - 40cos
π t t 0 ； 4 .
3
四、解答題
28．（2024 高一下·湖北襄陽·期中）建設生態文明是關系人民福祉 關乎民族未來的長遠大計.某市通宵營業
的大型商場，為響應國家節能減排的號召，在氣溫低于0°C時，才開放中央空調，否則關閉中央空調.如圖
是該市冬季某一天的氣溫（單位：0°C）隨時間 t（0 t 24，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近
似滿足 f (t) = Asin(wt
3π
- ) + b(A > 0,w > 0)關系.
4
(1)求 y = f t 的表達式；
(2)請根據（1）的結論，求該商場的中央空調在一天內開啟的時長.
【答案】(1) f t = 8sin π 3π t - ÷ + 4 0 t 24
è12 4
(2)8 小時
【分析】（1）直接利用函數圖像，求出 A,w,b，進而求出 f (t) 的表達式；
（2）利用條件和由（1）中所求結果建立不等式 sin
π t 3π- 1 ÷ < - ，再借助 y = sin x 的圖像與性質即可求
è12 4 2
出結果.
【詳解】（1）如圖，
因為 f t = Asin wt
3π
- ÷ + b(A > 0,w > 0)圖像上最低點坐標為 3, -4 ，與之相鄰的最高點坐標為 15,12 ，
è 4
12 - -4 T
所以 A = = 8, =15 - 3 =12,b = -4 + A = -4 + 8 = 4 ，
2 2
2π π
所以T = = 24w ，又w > 0，所以w = ，12
所以 f t = 8sin π 3π t - ÷ + 4 0 t 24 .
è12 4
π 3π
（2）根據題設，由（1）得8sin t - ÷ + 4 < 0，即 sin
π 3π 1
12 4
t - ÷ < - ，
è è12 4 2
y = sin x 7π 2kπ π t 3π 11π由 的圖像得 + < - < + 2kπ,k Z，
6 12 4 6
解得 23+ 24k < t < 31+ 24k,k Z ，
又因為0 t 24，
當 k = -1時，0 t < 7，當 k = 0時， 23 < t 24，
所以0 t < 7或 23 < t 24 ,
所以該商場的中央空調應在一天內開啟時長為 8 小時.
29．（2024 高一·江蘇·課后作業）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在 ts 時相對于平衡位置的高度 h（單
π
位：cm）由關系式 h = 2sin(t + )確定．以 t 為橫坐標，h 為縱坐標，畫出這個函數在一個周期的閉區間上
4
的圖象，并回答下列問題：
(1)小球在開始振動（即 t = 0）時的位置在哪里？
(2)小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少？
(3)經過多少時間小球往復運動一次？
(4)每秒鐘小球能往復振動多少次？
【答案】(1)平衡位置上方 2cm 處
(2) 2cm ； 2cm
(3) 2π秒
1
(4) 次.
2π
【分析】（1）根據函數的解析式，即可作出其一個周期上的圖象，令 t = 0，即可求得小球在開始振動（即
t = 0）時的位置在哪里.
（2）根據函數的最大值和最小值，即可求得答案；
（3）求出函數的周期，即得答案；
（4）根據函數的頻率為周期的倒數，即得答案.
π
【詳解】（1）作出函數 h = 2sin(t + )在一個周期的閉區間上的圖象如圖，
4
當 t = 0時，即小球在開始振動（即 t = 0）時的位置在 (0, 2)處，即平衡位置上方 2cm 處；
（2） h = 2sin(t
π
+ )的最大值為 2，最小值為-2，
4
則小球的最高點和最低點與平衡位置的距離都是 2cm ；
2π
（3）由于T = = 2π ，故經過 2π(s)小球往復運動一次；
1
1
（4）每秒鐘小球能往復振動 次.
2π
30．（2024 高一下·廣東佛山·期中）在地球公轉過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復始不斷變化.如圖，
設地球表面某地正午太陽高度角為q ，d 為此時太陽直射點的緯度（太陽直射北半球時正值，太陽直射南半
球時取負值），j 為當地的緯度值.
(1)若j = 45°，d = 20°，求q 的值，并直接寫出用j ，d 表示q 的關系式；
(2)某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統計了連續 400
天太陽直射點的緯度平均值.下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第 45 天測得的當地太陽高度角
數據：
觀測站 A B C
觀測站所在緯度j /度 40.0000 23.4393 0.0000
觀測站正午太陽高度角q /度 66.3870 82.9464 73.6141
太陽直射點的緯度d /度 16.3857 16.3859
太陽直射點的緯度平均值 y /度
請根據數據補充完成上面的表格（計算結果精確到 0.0001）；
(3)設第 x 天時太陽直射點的緯度平均值為 y .該科技小組通過對數據的整理和分析，推斷 y 與 x 近似滿足函數
y = 23.392911sin 0.01720279x T 2p，經計算 = 365.2422 ，已知 2023 年春分是 3 月 21 日，問 2023 年夏至
w
大概是幾月幾日
(4)定義從某年春分到次年春分所經歷的時間為一個回歸年，估計每 400 年中，應設定多少個閏年，可使這
400 年與 400 個回歸年所含的天數最為接近（精確到 1）.
【答案】(1) 65°，q = 90° - j -d ；
(2)表格見解析；
(3)6 月 21 日；
(4)97.
【分析】（1）根據題意可知q = 90° - j -d = 65°，即可求解；
（2）根據q = 90° - j -d 計算即可‘
T
（3）根據夏至與春分相距 計算即可；
4
（4）由 400 T - 365 求解即可.
【詳解】（1）由題意得q = 90° - j -d = 65°，
j ，d ，q 間的關系式為q = 90° - j -d .
（2）根據q = 90° - j -d 可得：
觀測站 A B C
觀測站所在緯度j /度 40.0000 23.4393 0.0000
觀測站正午太陽高度角q /度 66.3870 82.9464 73.6141
太陽直射點的緯度d / 度 16.3870 16.3857 16.3859
太陽直射點的緯度平均值 y / 度 16.3862
365.2422
（3）因為周期T 365.2422，所以春分到夏至需要 91.3105天，
4
3 月、5 月有 31 天，4 月、6 月有 30 天，所以夏至大概是 6 月 21 日.
（4）因為 400 T - 365 96.88，故應在 400 年中設定 97 個閏年.
31．（2024 高一下·浙江寧波·期末）今年 9 月，象山將承辦第 19 屆杭州亞運會帆船與沙灘排球項目比賽，屆
時大量的游客來象打卡“北緯 30 度最美海岸線”.其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區每年各個月份從
事旅游服務工作的人數會發生周期性的變化.現假設該景區每年各個月份從事旅游服務工作的人數可近似地
用函數 f x = 40 é Acosw x + 4 + k ù 來刻畫.其中正整數 x 表示月份且 x 1,12 ，例如 x =1時表示 1 月份，A
和 k 是正整數，w > 0 .統計發現，該景區每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規律：
①各年相同的月份從事旅游服務工作的人數基本相同；
②從事旅游服務工作的人數最多的 8 月份和最少的 2 月份相差約 160 人；
③2 月份從事旅游服務工作的人數約為 40 人，隨后逐月遞增直到 8 月份達到最多.
(1)試根據已知信息，確定一個符合條件的 y = f x 的表達式；
(2)一般地，當該地區從事旅游服務工作的人數超過 160 人時，該地區就進入了一年中的旅游旺季，那么一
年中的哪幾個月是該地區的旅游旺季？請說明理由.
é
【答案】(1) f x = 40 ê2cos
π x + 4 + 3ùú， x 1,12 6
(2)第7,8,9月是該地區的旅游旺季，理由見解析
【分析】（1）根據題意首先求出A ，再根據周期求出w ，最后根據 f 2 = 40求出 k ，即可得到函數解析式；
（2）令 f x >160 ，結合余弦函數的性質計算可得，注意 x 為正整數.
【詳解】（1）因為A 和 k 是正整數，由②可知 40 A + k - 40 -A + k =160，解得 A = 2；
T 2π π
由③可得： = 8 - 2 = 6 ，則T = =12 w =
2 w
，且w > 0，解得 6 ；
é
所以 f x = 40 ê2cos
π x + 4 + k ùú，又 f 2 = 40
é π ù
6 ê
2cos 2 + 4 + k ú = 40， 6
即 40 k - 2 = 40，解得 k = 3；
所以 f x π= 40 éê2cos x + 4 + 3
ù
6 ú
， x 1,12 .

（2）令 f x = 40 éê2cos
π x + 4 + 3ùú >160，則 cos
π x 1+ 4 > ，
6 6 2
因為 x 1,12 π，則 x + 4 é5π , 8π ù ，
6 ê 6 3 ú
5π π x 4 7π可得 < + < ，解得6 < x <10，
3 6 3
且 x N*，則 x = 7,8,9，
所以第7,8,9月是該地區的旅游旺季.
32．（2024 高一下·山東棗莊·階段練習）如圖，一個半徑為 4m 的筒車按逆時針方向每分轉 2 圈，筒車的軸
心 O 距離水面的高度為 2m.設筒車上的某個盛水筒 P 到水面的距離為 d（單位：m）（在水面下則 d 為負
數），若以盛水筒 P 剛浮出水面時開始計算時間.
(1)求 d 與時間 t（單位：s）之間函數關系 d = Asin(wt +j)
π π
+ K A > 0,w > 0, - < j < ÷
è 2 2
(2)在（1）的條件下令 f (x) = Asin wx-j ， f (x) π 1的橫坐標縮小為原來的 30 ，縱坐標變縮小為原來的 4 得
到函數 g(x)，畫出 g(x)在 0, π 上的圖象
【答案】(1) d = 4sin(
π t π- ) + 2 ；
15 6
(2)圖象見解析
【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出 A, K ,w 的值，再利用特殊點求出j ，即可得函數的關系式；
（2）先通過三角函數圖象變換求出解析式，再根據正弦型函數五點作圖的特點列表、描點、連線即可得大
致圖象.
【詳解】（1）由題意 dmax = 4 + 2,dmin = 2 - 4 = -2，
A dmax - dmin 6 - (-2) d所以 = = = 4 ，K = max
+ dmin 6 - 2= = 2 ，
2 2 2 2
2 2π π
因為逆時針方向每分轉 2 圈，所以w = = ,
60 15
1
因為 t = 0時， d = 0 ，所以0 = 4sinj + 2，即 sinj = - ，
2
π j π又- < < ，所以
2 2
j= π π- ，所以 d = 4sin( t
π
- ) + 2 ；
6 15 6
π π π 1
（2）由（1）知 f (x) = 4sin x - ÷，所以 f (x) 的橫坐標縮小為原來的 30 ，縱坐標變縮小為原來的 4 得è15 6
到函數 g(x) sin
π= 2x +

，
è 6 ÷
列表如下
2x π π π 3π 13π+ π 2π
6 6 2 2 6
x 0 π 5π 2π 11π π
6 12 3 12
f (x) 1 1 0 -1 0 1
2 2
描點連線，圖象如圖.
33．（2024 高一下·四川廣安·階段練習）某大橋是交通要塞，每天擔負著巨大的車流量．已知其車流量 y（單
位：千輛）是時間 t（0 t 24，單位：h）的函數，記為 y = f t ，下表是某日橋上的車流量的數據：
t h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （千輛） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
經長期觀察，函數 y = f t 的圖象可以近似地看做函數 f t = Asin wt +j + b（其中 A > 0 ，w > 0，b > 0，
-π j 0）的圖象．
(1)根據以上數據，畫出散點圖，并求函數 y = f t 的近似解析式；
(2)為了緩解交通壓力，有關交通部門規定：若車流量超過 4 千輛時，核定載質量 10 噸及以上的大貨車將禁
止通行，試估計一天內將有多少小時不允許這種貨車通行？
π
【答案】(1)圖見解析， f t = 2sin t - π ÷ + 3
è 6
(2)一天中有 8 小時不允許這種貨車通行
【分析】（1）根據給定的數表，畫出散點圖，再求出 f t 中的參數作答.
（2）由（1）中解析式，列出不等式并求解作答.
【詳解】（1）散點圖，如圖：
y - y 5 -1 y + y 5 +1
依題意， A = max min = = 2 ，b = max min = = 3，
2 2 2 2
p p π
T 2π= 12 = ，解得：w = ，當 t = 9時，y 取最大值，則9 +j = 2np + ,n Z，
w 6 6 2
而-π j 0，于是 n = 0,j = -π ，
π
所以函數 y = f t 的近似解析式為 f t = 2sin t - π 6 ÷ + 3 .è
（2）若車流量超過 4 千輛時，即 y = 2sin
π
t - π
3 π÷ + 4

，則 sin t - π
1
6 ÷ ，è è 6 2
2kπ π π解得 + t - π 2kπ
5π
+ ， k Z，即12k + 7 t 12k +11， k Z，而0 t 24，
6 6 6
因此7 t 11和19 t 23滿足條件，共有 (11- 7) + (23 -19) = 8，
所以一天中有 8 小時不允許這種貨車通行.
34．（2024 高一下·四川眉山·期中）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮，一般地，早潮
叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是
某港口在某季節每天的時間與水深關系表：
時刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
p
經長期觀測，這個港口的水深與時間的關系，可近似用函數 f (t) = Asin(wt +j) + b A > 0,w > 0,|j |< ÷來描
è 2
述．
(1)根據以上數據，求出函數 f (t) = Asin(wt + j) + b 的表達式；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4.25 米，安全條例規定至少要有 2 米的安全間隙（船底與
洋底的距離），該貨船在一天內 (0 : 00 - 24 : 00) 什么時間段能安全進出港口？
【答案】(1) f (t)
5 sin(π t π= + ) + 5；
2 6 6
(2)在 0 時至 4 時或 12 時至 16 時進出港.
【分析】（1）根據給定的數表，依次求出 A,b,w,j ，寫出解析式作答.
（2）由（1）的結論，解不等式 f (t) 6.25即可作答.
f t = 7.5, f t = 2.5 A f (t)max - f (t) 5 f (t)【詳解】（1）由表格知， ，則 = min = ，b = max + f (t)minmax min = 5，2 2 2
函數 f (x)
2π π 5 π
的周期T = 12 ，則w = = ，即有 f (t) = sin( t +j) + 5，又 f (2) = 7.5，
T 6 2 6
π 2 j π即 + = + 2nπ, n Z，而 |j |
p π
< ，則 n = 0,j = ，
6 2 2 6
f (t) 5所以 = sin(
π t π+ ) + 5．
2 6 6
（2）貨船需要的安全水深為 4.25 + 2 = 6.25米，則當 f (t) 6.25時就可以進港，
5
由 sin(
π t π π π π 5π+ ) + 5 6.25，得 sin(
π t π+ ) 1 + 2kπ t + + 2kπ,k Z
2 6 6 6 6 2
，解得 ，
6 6 6 6
即12k t 4 +12k,k Z，而 t [0,24) ，因此當 k = 0時， t [0, 4]；當 k =1時， t [12,16]，
所以貨船應在 0 時至 4 時或 12 時至 16 時進出港.
35．（2024 高一·全國·課堂例題）一半徑為 3m 的水輪如圖所示，水輪圓心 O 距離水面 2m，已知水輪每分鐘
逆時針轉動 4 圈，且當水輪上點 P 從水中浮現時（圖中點P0 ）開始計算時間.
(1)將點 P 距離水面的高度 z（單位：m）表示為時間 t（單位：s）的函數；
2
(2)點 P 第一次到達最高點大約要多長時間？（參考數據： sin -0.73 = - ， π 3.14，第二問精確到0.1）
3
z 3sin 2π【答案】(1) = t - 0.73
+ 2
è 15 ÷
(2)5.5s
π
【分析】設角j （- < j < 0 ）是以Ox 為始邊，OP0 為終邊的角，可知以 Ox 為始邊，OP 為終邊的角為2
2π t +j ，結合進而 t = 0時求得j 的值，則函數的表達式可得；
15
2π
（2）令最大值為 5，即 z = 3sin t - 0.73÷ + 2 = 5可求得時間；
è 15
【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標系，
設角j
π
（- < j < 0 ）是以Ox 為始邊，OP0 為終邊的角，2
4 2π 2π
由OP

在 ts 內所轉過的角為 t = t ，
è 60 ÷ 15
2π
可知以Ox 為始邊，OP 為終邊的角為 t +j ，
15
2π 2π
故 P 點縱坐標為3sin t +j ÷，則 z = 3sin t +j ÷ + 2，
è 15 è 15
2
當 t = 0時， z = 0，可得 sinj = - ，
3
π 2
因為- < j < 0 且 sin -0.73 = - ，所以j = -0.73，
2 3
2π
故所求函數關系式為 z = 3sin t - 0.73÷ + 2；
è 15
z 3sin 2π t 0.73 2π（2）令 = - ÷ + 2 = 5，得 sin

t - 0.73

÷ =1，
è 15 è 15
2π t 0.73 π取 - = ，解得 t 5.5，
15 2
故點 P 第一次到達最高點大約需要 5.5s.
36．（2024 高一·全國·隨堂練習）已知某海濱浴場的浪高 y m 是時間 t（時）（0 t 24）的函數，記作
y = f t ．下表是某日各時刻的浪高數據.經長期觀測， y = f t 可近似地看成是函數 y = Acoswt + b．
t /時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y / m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根據以上數據，求出該函數的周期T 、振幅A 及函數解析式；
(2)依據規定，當海浪高度高于 1m 時才對沖浪愛好者開放，試依據（1）的結論，判斷一天內 8：00 至 20：
00 之間有多長時間可供沖浪者進行運動．
【答案】(1) f (t)
1 π
= cos t +1；
2 6
(2)6 個小時.
【分析】（1）根據表中數據可知T = 12 ，再根據最大值和最小值求出A 和b ，從而得解析式；
1 π
（2）解 cos t +1 >1，得12k - 3 < t <12k+3, k Z ，再結合8 t 20，可得 t的范圍，從而得答案.
2 6
【詳解】（1）解：由表中數據可知T = 12 ， f (t) 的最大值為 1.5，最小值為 0.5，
w 2π 2π π 1.5 - 0.5 1所以 = = = ， A = = b
1.5 + 0.5
， = = 1，
T 12 6 2 2 2
f (t) 1所以 = cos
π t +1；
2 6
1
（2）解：由（1）可知 f (t) = cos
π t +1，
2 6
1
由 cos
π t 1 π+ >1，得 cos t > 0 ，
2 6 6
所以 2kπ
π π
- < t < 2kπ+ π 5.7 三角函數的應用 4 題型分類
一、函數 y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0 中參數的物理意義
若函數 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，其中 A>0，ω>0)表示簡諧振動，則
二、三角函數模型的作用
三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫
周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．
三、建立函數模型的一般步驟
（一）
三角函數在物理中的應用
1、在物理學中，物體做簡諧運動時可用正弦型函數 y＝Asin(ωx＋φ)表示物體振動的位移 y 隨
2π
時間 x 的變化規律，A 為振幅，表示物體離開平衡位置的最大距離，T＝ 為周期，表示物體
ω
1
往復振動一次所需的時間，f＝ 為頻率，表示物體在單位時間內往復振動的次數．
T
2、處理物理學問題的策略:
(1)常涉及的物理學問題有單擺、光波、電流、機械波等,其共同的特點是具有周期性.
(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與
對應的三角函數知識結合解題.
題型 1：三角函數在物理中的應用
1-1．（2024 高一下·全國·單元測試）已知質點從 P0 ( 3,-1) 開始，沿以原點為圓心，2 為半徑的圓作勻速圓周
運動，質點運動的角速度為 ω 弧度/秒( 0 < w < 2 )，經過 x 秒，質點運動到點 P，設點 P 的縱坐標為 y，令
y = f (x) ，將 f (x) 的圖象向左平移 2 個單位長度后圖象關于 y 軸對稱．
(1)求函數 f (x) 的解析式；
(2)求函數 f (x) 的單調遞減區間及 0,3 上的最值．
1-2．（2024·重慶·模擬預測）已知某彈簧振子的位移 y （單位：cm）與時間 t（單位：s）滿足
y = Asin wt +j w > 0 ，初始時將彈簧振子下壓至-4cm后松開，經過測量發現彈簧振子每 10s 往復振動 5
次，則在第 45s 時，彈簧振子的位移是 cm.
1-3．（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，一根絕對剛性且長度不變 質量可忽略不計的線，一端固定，另一端
懸掛一個沙漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動，沙漏
擺動時離開平衡位置的位移 f t （單位： cm）與時間 t（單位：s）滿足函數關系 f t = 3sin(wt +j)
(w > 0,0 < j < π) ，若函數 f t 在區間 a, a +1 上的最大值為M ，最小值為 N ，則M - N 的最小值
為 .
1-4．（2024 高一下·北京·期中）如圖是一個半徑為 R 的水車，一個水斗從點 A 3 3, -3 出發，沿圓周按逆時
針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60 秒，經過 t秒后，水斗旋轉到點 P ，設 P 的坐標為P x，y ，其縱坐標
滿足 y = f t = R sin wt +j t > 0，w > 0，j
π
< ÷，則下列敘述錯誤的是（2 ）è
π π
A．R = 6 、w= 、j= -
30 6
B．當 t 35,55 時，點 P 到 x 軸距離的最大值是6
C．當 t 10,25 時，函數 y = f t 單調遞減
D．當 t = 20時， PA = 6 3
1-5．（2024 高三上·江蘇南京·階段練習）阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置.我國第一高
樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖 1.由物理學知識可知，某阻尼器的運動過程可
近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移 y m 和時間 t s 的函數關系為 y = sin wt +j w > 0, j < π ，如圖
2，若該阻尼器在擺動過程中連續三次到達同一位置的時間分別為 t1 ， t2 ， t3 0 < t1 < t2 < t3 ，且 t1 + t2 = 2，
t2 + t3 = 5，則在一個周期內阻尼器離開平衡位置的位移大于 0.5m 的總時間為（ ）
1 s 2 4A． B． s C．1s D． s
3 3 3
（二）
三角函數在生活中的應用
1、解三角函數應用問題的基本步驟
2、利用圖象求函數 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的解析式的基本步驟:
f x - f x
(1) 求 A,b : A = max min ，
2
f x + fmax x b = min ；
2
2p
(2)求 ω:根據圖象得出最小正周期 T,可得出w =
T
(3)求初相 φ:將對稱中心點、最高點或最低點的坐標代入函數解析式可求出 φ 的值，
題型 2：三角函數在生活中的應用
2-1．（2024 高一下·江西萍鄉·期中）時鐘花原產于南美洲熱帶，我國云南部分地區有引進栽培．時鐘花的花
開花謝非常有規律，其開花時間與氣溫密切相關，開花時所需氣溫約為 20℃，氣溫上升到約 30℃開始閉合，
在花期內，時鐘花每天開閉一次．某景區種有時鐘花，該景區 6 時～16 時的氣溫 y （℃）隨時間 x （時）的
y 10sin π x 5π變化趨勢近似滿足函數 = -

÷ + 25，則在 6 時～16 時中，賞花的最佳時段大致為（8 4 ）è
A．7.3 時～11.3 時 B．8.7 時～11.3 時
C．7.3 時～12.7 時 D．8.7 時～12.7 時
2-2．（2024·海南·模擬預測）如圖是清代的時鐘，以中國傳統的一日十二個時辰為表盤顯示，其內部結構與
普通機械鐘表的內部結構相似．內部表盤為圓形，外部環形裝飾部分寬度為5cm，此表掛在墻上，最高點
距離地面的高度為 2.35m，最低點距離地面的高度為1.95m，以子時為正向上方向，一官員去上早朝時，看
到家中時鐘的指針指向寅時（指針尖的軌跡為表盤邊沿），若 4 個半時辰后回到家中，此時指針尖到地面的
cos π高度約為（ ） 0.97

12 ֏
A． 220.45cm B．198.03cm C． 200.45cm D． 229.55cm
2-3．【多選】（2024 高三上·湖南株洲·開學考試）如圖（1）是一段依據正弦曲線設計安裝的過山車軌道.建立
平面直角坐標系如圖（2），h（單位：m）表示在時間 t（單位：s）時.過山車（看作質點）離地平面的高度.
軌道最高點 P 距離地平面 50m.最低點Q距離地平面 10m.入口處M 距離地平面 20m.當 t = 4s時，過山車到達
最高點 P ， t =10s

時，過山車到達最低點Q .設 h t = Asin wt +j + B A > 0,w
π
> 0, j < ÷ ，下列結論正確
è 2
的是（ ）
A．函數 h t 的最小正周期為 12
j πB． =
6
C． t =14s 時，過山車距離地平面 40m
D．一個周期內過山車距離地平面低于 20m 的時間是 4s
2-4．（2024 高一·全國·課堂例題）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮汐，一般的早潮叫
潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮時返回海洋.下面給出了某港口
在某天幾個時刻的水深.
時刻 水深/m 時刻 水深/m 時刻 水深/m
0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0
3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5
6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0
(1)選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并給出在整點時的水深的近似數值；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4m，安全條例規定至少要有 1.5m 的安全間隙（船底與海
底的距離），該船何時能進入港口？
(3)若船的吃水深度為 4m，安全間隙為 1.5m，該船在 2:00 開始卸貨，吃水深度以每小時 0.3m 的速度減少，
那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？
題型 3：三角函數模型在圓周運動問題中的應用
3-1．（2024 高一下·浙江溫州·期中）如圖，某公園摩天輪的半徑為50m，圓心距地面的高度為60m，摩天輪
做勻速轉動，每6min 轉一圈，摩天輪上的點 p 的起始位置在最低點處．
(1)已知在時刻 t（單位：min ）時點 P 距離地面的高度 f t = Asin wt +j + h （其中 A > 0 ，w > 0，
j < π），求函數 f t 解析式及8min時點 P 距離地面的高度；
(2)當點 P 距離地面 60 + 25 3 m 及以上時，可以看到公園的全貌，若游客可以在上面游玩18min，則游客
在游玩過程中共有多少時間可以看到公園的全貌？
3-2．【多選】（2024 高三上·江蘇南京·階段練習）水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉筒車”，是
一種以水流作動力，取水灌田的工具.據史料記載，水車發明于隋而盛于唐，距今已有 1000 多年的歷史，是
人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的特征.如圖是一個半徑為 R 的水車，一個水斗從點
A 3, -3 3 出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時 120 秒.經過 t秒后，水斗旋轉到點 P ，設
點 P 的坐標為 x, y π，其縱坐標滿足 y = f (t) = R sin(wt +j) （ t 0，w > 0， j < ），則下列敘述正確的是
2
（ ）
π
A．j = -
3
B．當 t 0,60 時，函數 y = f (t)單調遞增
C．當 t 0,60 時， f (t) 的最大值為3 3
D．當 t =100時， PA = 6
3-3．【多選】（2024 高二上·湖北武漢·開學考試）摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如武漢東湖的“東
湖之眼”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度 55 米，轉盤直徑為 50 米，設置若干個座艙，游客
從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉 t分鐘，當 t =10時，游客隨艙旋轉至距離地面最
遠處.以下關于摩天輪的說法中，正確的為（ ）
A．摩天輪離地面最近的距離為 5 米
π
B．若旋轉 t分鐘后，游客距離地面的高度為 h米，則 h = -25cos t ÷ + 30
è10
C．存在 t1 ， t2 [0,15]，使得游客在該時刻距離地面的高度均為 20 米
D．若在 t1 ， t2 時刻游客距離地面的高度相等，則 t1 + t2 的最小值為 20
3-4．【多選】（2024 高二上·四川綿陽·開學考試）如圖（1），筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因
其經濟又環保，至今在農業生產中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉，筒車上的某個盛
水筒 P 到水面的距離為 d (單位：m)( P 在水下則 d 為負數)、 d 與時間 t (單位：s)之間的關系是
d 3sin π t p 3= -

÷ + ，則下列說法正確的是（30 6 2 ）è
A．筒車的半徑為 3m，旋轉一周用時 60s
B．筒車的軸心O距離水面的高度為1m
C．盛水筒 P 出水后至少經過 20s 才可以達到最高點
D． t 40,50 時，盛水筒 P 處于向上運動狀態
（三）
數據擬合問題
1、三角函數是基本初等函數之一，是反映周期變化現象的重要函數模型，在數學和其他領域
具有重要作用，命題的背景常以波浪、潮汐、摩天輪等具有周期性現象的模型為載體，考查學
生收集數據、擬合數據及應用已學知識處理實際問題的能力．
2、處理曲線擬合與預測問題時，通常需要以下幾個步驟:
(1)根據原始數據繪出散點圖.
(2)通過觀察散點圖，畫出與其“最貼近”的直線或曲線，即擬合直線或擬合曲線.
(3)根據所學函數知識，求出擬合直線或擬合曲線的函數解析式.
(4)利用函數解析式，根據條件對所給問題進行預測和控制，以便為決策和管理提供依據.
題型 4：數據擬合問題
4-1．（2024 高一上·江蘇·課后作業）已知某海濱浴場海浪的高度 y （米）是時間 t（0 t 24，單位：時）
的函數，記作： y = f (t)，下表是某日各時的浪高數據：
t（時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米） 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
經長期觀察， y = f (t)的曲線可近似地看成是函數 y = Acoswt + b的圖象.
(1)根據以上數據，求函數 y = Acoswt + b的最小正周期T ，振幅A 及函數解析式；
(2)依據規定，當海浪高度高于 1 米時才對沖浪愛好者開放，請依據（1）中的結論，判斷一天內的 10：00
至 20：00 之間，有多少時間可供沖浪者進行運動？
4-2．（2024 高一·全國·課后作業）某港口水深 y （米 ) 是時間 t（0 t 24，單位：小時）的函數，下表是水
深數據：
t（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （米 ) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
根據上述數據描成的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數 y = Asinwt + b 的圖象.
(1)試根據數據表和曲線，求出 y = Asinwt + b A > 0,w > 0,b > 0 的表達式；
(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距
離）為 7 米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不
能超過多長時間？（忽略離港所用的時間）
4-3．（2024 高一下·上海寶山·期中）在月亮和太陽的引力作用下，海水水面發生的周期性漲落現象叫做潮
汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影響，港口的水深也會相應發生變化．下圖記錄了某港口某一天整
點時刻的水深 y（單位：米）與時間 x（單位：時）的大致關系：
假設 4 月份的每一天水深與時間的關系都符合上圖所示．
(1)請運用函數模型 y = Asin(wx +j) + h
A > 0,w > 0, π π- < j < ,h R ÷ ，根據以上數據寫出水深 y 與時間 x
è 2 2
的函數的近似表達式；
(2)根據該港口的安全條例，要求船底與水底的距離必須不小于 3.5 米，否則該船必須立即離港．一艘船滿載
貨物，吃水（即船底到水面的距離）6 米，計劃明天進港卸貨．
①求該船可以進港的時間段；
②該船今天會到達港口附近，明天 0 點可以及時進港并立即開始卸貨，已知卸貨時吃水深度以每小時 0.3
米的速度勻速減少，卸完貨后空船吃水 3 米．請設計一個卸貨方案，在保證嚴格遵守該港口安全條例的前
提下，使該船明天盡早完成卸貨（不計停靠碼頭和駛離碼頭所需時間）．
4-4．（2024 高一下·四川綿陽·階段練習）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮.一般地，早
潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面
是某港口在某季節每天的時間與水深關系表：
時刻 1: 00 4 : 00 7 : 00 10 : 00 13: 00 16 : 00 19 : 00 22 : 00
水深(米) 6 8.5 6 3.5 6 8.5 6 3.5
π
經長期觀測，這個港口的水深與時間的關系，可近似用函數 f t = Asin wt +j + b A > 0,w > 0, j < ÷ 來描
è 2
述．
(1)根據以上數據，求出函數 f t = Asin wt +j + b的表達式；
(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為5.25米，安全條例規定至少要有 2米的安全間隙(船底與洋底的
距離)，該船在一天內 0 : 00 : 24 : 00 何時能進入港口？
一、單選題
1．（2024 高三上·河南鄭州·階段練習）據市場調查，某種商品一年內每件出廠價在 7 千元的基礎上，按月呈
f x p= Asin wx +j + b A > 0,w > 0, j <

÷ 的模型波動（x 為月份），已知 3 月份達到最高價 9 千元，7 月
è 2
份價格最低為 5 千元，根據以上條件可確定 f x 的解析式為
A． f x 2sin p p ＝ * x - ÷ + 7 1 x 12, x N
è 4 4


p p
B． f x ＝9sin x - ÷ 1 x 12, x N*4 4 è
C． f x ＝2 2sin p x + 7 1 x 12, x N*4
D． f x ＝2sin p x p- + 7 1 x 12, x N*
è 4 4 ÷


2．（2024 高一上·江西撫州·學業考試）在自然界中，存在著大量的周期函數，比如聲波，若兩個聲波隨時間
的變化規律分別為： y1 = 4sin(100p t), y2 = 4cos(100p t)，則這兩個聲波合成后即 y = y1 + y2 的振幅為（ ）
A．4 2 B．8 C．4 D．8 2
3．（2024 高一上·江西）如圖所示的是一個單擺，以平衡位置 OA 為始邊、OB 為終邊的角 θ(-π<θ<π)與時間
1 p
t(s)滿足函數關系式 θ= sin 2t +
2 ÷
，則當 t=0 時，角 θ 的大小及單擺的頻率是（ ）
è 2
1 1 1 1
A． ， B． 2， C． ，π D． 2，π
2 p p 2
4．（2024 高一上·福建·期末）福州新港江陰港區地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進出港不受
航道及潮水的限制，是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區某個泊位一天中 6 時到 18
時的水深變化曲線近似滿足函數 y = 3sin(wx +j) + k ，據此可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為
（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5 π．（2024 高三下·河南·階段練習）如圖為函數 f (x) = sin(wx + j)(w > 0， |j |< ) 的圖象，則函數 f (x) 的圖象與
2
y 3直線 = 在區間[0,
10π ]
3 上交點的個數為（ ）2
A．9 個 B．8 個 C．7 個 D．5 個
6．（2024 高二下·貴州遵義·階段練習）彈簧振子的振動是簡諧振動.下表給出了振子在完成一次全振動的過
程中的事件 t 與位移 s 之間的測量數據，那么能與這些數據擬合的振動函數的解析式為（ ）
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
s -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
πt
A． s = 20sin ， t 0, + B． s = 20cos πt
6 6
πt πt π
C． s = -20cos D． s = 20sin
6
-
6 2 ÷ ，
t 0, +
è
7．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，某港口某天從6h到18h 的水深 y （單位：m）與時間 x （單位：h）
之間的關系可用函數 f x π= Asin wx +j + 5 A > 0,w > 0, j < ÷近似刻畫，據此可估計當天12h 的水深為
è 2
（ ）
7
A． m B．4m
2

C 3 2． 5 - ÷m

D 3 3． 5 - m
è 2 2 ÷è
8．（2024 高一·全國·課后作業）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪音，
然后通過聽感主動降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音（如圖）．已知噪音的聲波曲線 y = Asin ωx + φ （其
中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π
π
）的振幅為1，周期為 2π，初相為 ，則通過聽感主動降噪芯片生成相等的反
2
向波曲線為（ ）
A． y = sin x B． y = cos x C． y = -sin x D． y = -cos x
9．（2024 高一上·廣東·期末）如圖，一個質點在半徑為 2 的圓 O 上以點 P 為起始點，沿逆時針方向運動，
每3s轉一圈．則該質點到 x 軸的距離 y 關于時間 t 的函數解析式是（ ）
y 2sin 2πA． = t
π 2π
- ÷ B． y = 2cos t
π
-
è 3 4 ÷ è 3 4
2π
C． y = 2sin t
π
+ y = 2cos π π
3 4 ÷
D． t +3 4 ÷è è
10．（2024 高一下·浙江寧波·期末）據長期觀察，某學校周邊早上 6 時到晚上 18 時之間的車流量 y（單位：
π 13
量）與時間 t（單位：h）滿足如下函數關系式： y = Asin t - π ÷ + 300（A 為常數，6 t 18）.已知早
è 4 8
上 8：30（即 t = 8.5h）時的車流量為 500 量，則下午 15：30（即 t =15.5h ）時的車流量約為（ ）（參考數
據： 2 1.41， 3 1.73）
A．441 量 B．159 量 C．473 量 D．127 量
11．（2024 高一下·北京海淀·階段練習）為了研究鐘表秒針針尖的運動變化規律，建立如圖所示的平面直角

P x, y P 1 , 3 坐標系，設秒針針尖位置為點 ．若初始位置為點 0 2 2 ÷，秒針從P0 （規定此時 t = 0）開始沿順è
時針方向轉動，點 P 的縱坐標 y 與時間 t 的函數關系式可能為（ ）
y 2sin π t π y sin π t πA． = - + B． = - -

è 30 3 ÷ ÷ è 60 3
y sin π t π π πC． = - +

30 6 ÷
D． y = cos t + ÷
è è 30 6
12．（2024 高一下·重慶沙坪壩·期中）如圖，一根絕對剛性且長度不變、質量可忽略不計的線，一端固定，
另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺
動．若線長為 l cm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移 s（單位：cm）與時間 t（單位：s）的函數關系是

s = 3cos g t π + ÷÷， t 0, + 取 g = 10 m / s
2 ，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用 0.5s，
è l 3
則線長約為（ ）cm．（精確到 0.1cm）
A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7
13．（2024 高一上·浙江金華·期末）智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的
噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波
π
曲線 y = Acos wx +j （其中 A > 0 ，w > 0，0 j < 2π ）的振幅為 1，周期為 2π，初相位為 ，則通過主
2
動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（ ）
A． y = sin x B． y = cos x C． y = -sin x D． y = -cos x
14．（2024 高一下·吉林長春·階段練習）如圖，圓O的半徑為 1，A 是圓上的定點，P 是圓上的動點，角 x 的
始邊為射線OA，終邊為射線OP ，過點 P 作直線OA的垂線，垂足為M .將點M 到直線OP 的距離表示成 x
的函數 f x ，則 y = f x 在 0, π 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
15．（2024 高一下·陜西西安·期中）古代數學家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學著作，也為地
圖學提供了數學基礎，現根據劉徽的《重差》測景一個球體建筑物的高度，已知點 A 是球體建筑物與水平
地面的接觸點（切點），地面上 B，C 兩點與點 A 在一條直線上，且在點 A 的同側，若在 B，C 處分別測得
球體建筑物的最大仰角為 60°和 30°，且BC =100m ，則該球體建筑物的高度約為（　　）
A．100m B．50 2 + 3 m C．50 2 - 3 m D．50 3m
16．（2024 高一上·全國·專題練習）如圖，某港口某天從6h到18h 的水深 y （單位：m）與時間 x （單位：
π
h）之間的關系可用函數 f x = Asin wx +j + 5 A > 0,w > 0, j < ÷近似刻畫，據此可估計當天2 12h 的水深è
為（ ）
7
A． m B．4m
2
5 - 3 2 C． 2 ÷m D． 5 -
3 3 m
è 2 ÷è
二、多選題
17．（2024 高一下·全國·課后作業）如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A．該質點的運動周期為 0.7 s
B．該質點的振幅為 5 cm
C．該質點在 0.1 s 和 0.5 s 時運動速度為零
D．該質點在 0.3 s 和 0.7 s 時運動速度為零
18．（2024 高一下·四川成都·期中）如圖所示的是一質點做簡諧運動的圖象，則下列結論正確的是（ ）
A．該質點的運動周期為 0.7s B．該質點在 0.3s 和 0.7s 時運動速度為零
C．該質點在 0.1s 和 0.5s 時運動速度為零D．該質點的運動周期為 0.8s
19．（2024 高三下·云南·階段練習）單擺是一種簡諧運動，擺球的運動情況可以用三角函數表達為
y = Asin ωx + φ ， A > 0 ，w > 0，j < p w，其中 x 表示時間（s），y 表示位移（cm），A 表示振幅， 表示
2π
頻率，φ 表示初相位.如圖甲某個小球做單擺運動，規定擺球向右偏移的位移為正，豎直方向為平衡位置.圖
2
乙表示該小球在 0,3 秒運動時的位移隨時間變化情況.根據秒表記錄有：當 x = 時，小球第一次到平衡位
3
7
置；當 x = 時，小球的位移第一次到反向最大值.根據以上圖文信息，下列選項中正確的是（ ）6
1
A．頻率為
2
π 2π
B．初相位j = 或
3 3
C．振幅 A = 10
D．當 x
8
= 時，小球第三次回到平衡位置
3
20．（2024 高一下·遼寧沈陽·階段練習）已知彈簧上掛的小球做上下振動，它在時間 t（s）時離開平衡位置
π
的位移 s

（cm）滿足函數關系式 s = 2sin t + ÷．給出的下列說法中正確的是（ ）．
è 4
A．小球開始時在平衡位置上方 2cm 處
B．小球下降到最低點時在平衡位置下方 2cm 處
C．經過2π s 小球重復振動一次
1
D．小球振動的頻率為
2π
21．（2024 高一下·四川自貢·期中）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢
慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.某摩天輪最高點距離地面高度為 120m，轉盤直徑為 110m，設置有
48 個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要 30
min.游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動 t min 后距離地面的高度為H t m .游客乙所在座艙與甲所在座艙間
隔 7 個座艙.在運行一周的過程中，甲、乙倆人距離地面的高度差 hm .下述結論正確的是（ ）
A．H t = 55sin π t
π
-
15 2 ÷
+ 65 B．H 5 = 38.5
è
C．在運行一周的過程中，H t > 90的時間超過 10 min D． hmax = 55
22．（2024 高一上·吉林·期末）如圖（1），筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至
今在農業生產中仍得到使用.如圖（2），一個筒車按照逆時針方向旋轉，筒車上的某個盛水筒 P 到水面的距
p p 3
離為 d

（單位：m）（ P 在水下則 d 為負數）、 d 與時間 t（單位：s）之間的關系是 d = 3sin t -30 6 ÷
+ ，
è 2
則下列說法正確的是（ ）
A．筒車的半徑為 3m，旋轉一周用時 30s
3
B．筒車的軸心O距離水面的高度為 m
2
C． t 40,50 時，盛水筒 P 處于向上運動狀態
D．盛水筒 P 出水后至少經過 20s 才可以達到最高點
三、填空題
23．（2024 高一上·浙江·期末）如圖所示，摩天輪的直徑為110m，最高點距離地面的高度為120m，摩天輪
按逆時針方向作勻速轉動，且每30min 轉一圈．若游客甲在最低點坐上摩天輪座艙，則在開始轉動5min 后
距離地面的高度為 m．
24．（2024 高一上·江蘇宿遷·期末）如圖點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的
正方向，若已知振幅為3cm ，周期為3s ，且物體向左運動到平衡位置開始計時，則物體對平衡位置的位移
x cm 和時間 t s 之間的函數關系式為 x = ．
25．（2024 高一下·四川綿陽·階段練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙
里慢慢地往上轉，可以從高處俯四周景色如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為100m，轉盤直徑為90m，
均勻設置了依次標號為1 : 48號的 48個座艙.開啟后摩天輪按照逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離
地面最近的位置進艙，開始轉動 t min 后距離地面的高度為H m，轉一周需要30min .若甲、乙兩人分別坐在
1號和9號座艙里且 t=0 時，1 號座艙位于距離地面最近的位置，當0 t 15時，兩人距離地面的高度差 h
（單位：m）取最大值時，時間 t的值是 .
π
26．（2024 高三·全國·對口高考）已知函數 y = Asin wt +j （其中 A > 0 ，w > 0， j < ）的圖象如圖1所
2
示，它刻畫了質點 P 做勻速圓周運動（如圖 2）時，質點相對水平直線 l的位置值 y （ y 是質點與直線 l的
距離（米），質點在直線 l上方時， y 為正，反之 y 為負）隨時間 t（秒）的變化過程．則
①質點 P 運動的圓形軌道的半徑為 米；
②質點 P 旋轉一圈所需的時間T = 秒；
③函數 f t 的解析式為： ；
④圖 2中，質點 P 首次出現在直線 l上的時刻 t = 秒．
27．（2024 高一上·江蘇淮安·期末）近年來，淮安市依托地方資源優勢，用風能等清潔能源替代傳統能源，
因地制宜實施新能源項目，在帶來了較好經濟效益的同時，助力了本地農戶增收致富．目前利用風能發電
的主要手段是風車發電．如圖，風車由一座塔和三個葉片組成，每兩個葉片之間的夾角均為120o，現有一座
風車，塔高 90 米，葉片長 40 米．葉片按照逆時針方向勻速轉動，并且每 6 秒旋轉一圈，風車開始旋轉時
某葉片的一個端點 P 在風車的最低點（此時 P 離地面 50 米）．設點 P 轉動 t（秒）后離地面的距離為 S
（米），則 S 關于 t 的函數關系式為 ，葉片旋轉一圈內點 P 離地面的高度不低于 70 米的時長為
秒．
四、解答題
28．（2024 高一下·湖北襄陽·期中）建設生態文明是關系人民福祉 關乎民族未來的長遠大計.某市通宵營業
的大型商場，為響應國家節能減排的號召，在氣溫低于0°C時，才開放中央空調，否則關閉中央空調.如圖
是該市冬季某一天的氣溫（單位：0°C）隨時間 t（0 t 24，單位：小時）的大致變化曲線，若該曲線近
似滿足 f (t) = Asin(wt
3π
- ) + b(A > 0,w > 0)關系.
4
(1)求 y = f t 的表達式；
(2)請根據（1）的結論，求該商場的中央空調在一天內開啟的時長.
29．（2024 高一·江蘇·課后作業）如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在 ts 時相對于平衡位置的高度 h（單
位：cm）由關系式 h = 2sin(t
π
+ )確定．以 t 為橫坐標，h 為縱坐標，畫出這個函數在一個周期的閉區間上
4
的圖象，并回答下列問題：
(1)小球在開始振動（即 t = 0）時的位置在哪里？
(2)小球的最高點和最低點與平衡位置的距離分別是多少？
(3)經過多少時間小球往復運動一次？
(4)每秒鐘小球能往復振動多少次？
30．（2024 高一下·廣東佛山·期中）在地球公轉過程中，太陽直射點的緯度隨時間周而復始不斷變化.如圖，
設地球表面某地正午太陽高度角為q ，d 為此時太陽直射點的緯度（太陽直射北半球時正值，太陽直射南半
球時取負值），j 為當地的緯度值.
(1)若j = 45°，d = 20°，求q 的值，并直接寫出用j ，d 表示q 的關系式；
(2)某科技小組以某年春分（太陽直射赤道且隨后太陽直射點逐漸北移的時間）為初始時間，統計了連續 400
天太陽直射點的緯度平均值.下面是該科技小組的三處觀測站成員在春分后第 45 天測得的當地太陽高度角
數據：
觀測站 A B C
觀測站所在緯度j /度 40.0000 23.4393 0.0000
觀測站正午太陽高度角q /度 66.3870 82.9464 73.6141
太陽直射點的緯度d /度 16.3857 16.3859
太陽直射點的緯度平均值 y /度
請根據數據補充完成上面的表格（計算結果精確到 0.0001）；
(3)設第 x 天時太陽直射點的緯度平均值為 y .該科技小組通過對數據的整理和分析，推斷 y 與 x 近似滿足函數
y = 23.392911sin 0.01720279x 2p，經計算T = 365.2422 ，已知 2023 年春分是 3 月 21 日，問 2023 年夏至
w
大概是幾月幾日
(4)定義從某年春分到次年春分所經歷的時間為一個回歸年，估計每 400 年中，應設定多少個閏年，可使這
400 年與 400 個回歸年所含的天數最為接近（精確到 1）.
31．（2024 高一下·浙江寧波·期末）今年 9 月，象山將承辦第 19 屆杭州亞運會帆船與沙灘排球項目比賽，屆
時大量的游客來象打卡“北緯 30 度最美海岸線”.其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假區每年各個月份從
事旅游服務工作的人數會發生周期性的變化.現假設該景區每年各個月份從事旅游服務工作的人數可近似地
用函數 f x = 40 éAcosw x + 4 + k ù 來刻畫.其中正整數 x 表示月份且 x 1,12 ，例如 x =1時表示 1 月份，A
和 k 是正整數，w > 0 .統計發現，該景區每年各個月份從事旅游服務工作的人數有以下規律：
①各年相同的月份從事旅游服務工作的人數基本相同；
②從事旅游服務工作的人數最多的 8 月份和最少的 2 月份相差約 160 人；
③2 月份從事旅游服務工作的人數約為 40 人，隨后逐月遞增直到 8 月份達到最多.
(1)試根據已知信息，確定一個符合條件的 y = f x 的表達式；
(2)一般地，當該地區從事旅游服務工作的人數超過 160 人時，該地區就進入了一年中的旅游旺季，那么一
年中的哪幾個月是該地區的旅游旺季？請說明理由.
32．（2024 高一下·山東棗莊·階段練習）如圖，一個半徑為 4m 的筒車按逆時針方向每分轉 2 圈，筒車的軸
心 O 距離水面的高度為 2m.設筒車上的某個盛水筒 P 到水面的距離為 d（單位：m）（在水面下則 d 為負
數），若以盛水筒 P 剛浮出水面時開始計算時間.

(1)求 d 與時間 t（單位：s）之間函數關系 d = Asin(wt +j) + K A > 0,w
π π
> 0, - < j < ÷
è 2 2
(2)在（1）的條件下令 f (x) = Asin wx-j ， f (x) π 1的橫坐標縮小為原來的 30 ，縱坐標變縮小為原來的 4 得
到函數 g(x)，畫出 g(x)在 0, π 上的圖象
33．（2024 高一下·四川廣安·階段練習）某大橋是交通要塞，每天擔負著巨大的車流量．已知其車流量 y（單
位：千輛）是時間 t（0 t 24，單位：h）的函數，記為 y = f t ，下表是某日橋上的車流量的數據：
t h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y （千輛） 3.0 1.0 2.9 5.0 3.1 1.0 3.1 5.0 3.1
經長期觀察，函數 y = f t 的圖象可以近似地看做函數 f t = Asin wt +j + b（其中 A > 0 ，w > 0，b > 0，
-π j 0）的圖象．
(1)根據以上數據，畫出散點圖，并求函數 y = f t 的近似解析式；
(2)為了緩解交通壓力，有關交通部門規定：若車流量超過 4 千輛時，核定載質量 10 噸及以上的大貨車將禁
止通行，試估計一天內將有多少小時不允許這種貨車通行？
34．（2024 高一下·四川眉山·期中）海水受日月的引力，在一定的時候發生漲落的現象叫潮，一般地，早潮
叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下面是
某港口在某季節每天的時間與水深關系表：
時刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00
水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0

經長期觀測，這個港口的水深與時間的關系，可近似用函數 f (t) = Asin(wt +j) + b A > 0,w > 0,|j |
p
< ÷來描
è 2
述．
(1)根據以上數據，求出函數 f (t) = Asin(wt + j) + b 的表達式；
(2)一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4.25 米，安全條例規定至少要有 2 米的安全間隙（船底與
洋底的距離），該貨船在一天內 (0 : 00 - 24 : 00) 什么時間段能安全進出港口？
35．（2024 高一·全國·課堂例題）一半徑為 3m 的水輪如圖所示，水輪圓心 O 距離水面 2m，已知水輪每分鐘
逆時針轉動 4 圈，且當水輪上點 P 從水中浮現時（圖中點P0 ）開始計算時間.
(1)將點 P 距離水面的高度 z（單位：m）表示為時間 t（單位：s）的函數；
2
(2)點 P 第一次到達最高點大約要多長時間？（參考數據： sin -0.73 = - ， π 3.14，第二問精確到0.1）
3
36．（2024 高一·全國·隨堂練習）已知某海濱浴場的浪高 y m 是時間 t（時）（0 t 24）的函數，記作
y = f t ．下表是某日各時刻的浪高數據.經長期觀測， y = f t 可近似地看成是函數 y = Acoswt + b．
t /時 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y / m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1)根據以上數據，求出該函數的周期T 、振幅A 及函數解析式；
(2)依據規定，當海浪高度高于 1m 時才對沖浪愛好者開放，試依據（1）的結論，判斷一天內 8：00 至 20：
00 之間有多長時間可供沖浪者進行運動．
37．（2024 高一下·陜西渭南·階段練習）已知掛在彈簧下方的小球上下振動，小球在時間 t（單位：s）時相
對于平衡位置（即靜止時的位置）的距離 h（單位：cm）由函數解析式
h t = Asin wt +j（ A > 0，w 0 0 j π> ，< < ）決定，其部分圖像如圖所示
2
(1)求小球在振動過程中的振幅、最小正周期和初相；
(2)若 t [0,t0]時，小球至少有 101 次速度為 0cm/s，則 t0 的最小值是多少？

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