資源簡介

2.2 直線的方程 9 題型分類
一、直線的點斜式方程
直線的點斜式方程和斜截式方程：
類別 點斜式 斜截式
適用范圍 斜率存在
已知條件 點 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和在 y 軸上的截距 b
圖示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
截距 直線與 y 軸交點(0,b)的縱坐標 b 叫做直線在 y 軸上的截距
二、直線的兩點式方程
直線的兩點式方程和截距式方程：
名稱 兩點式 截距式
在 x，y 軸上的截距分別為 a，
兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
條件 b
(x1≠x2，y1≠y2)
(a≠0，b≠0)
示意圖
y－y1 x－x1 x y
方程 ＝ ＋ ＝1
y2－y1 x2－x1 a b
適用范圍 斜率存在且不為 0 斜率存在且不為 0，不過原點
三、直線的一般式方程
1．直線的一般式方程：
關于 x 和 y 的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝
0(其中 A，B 不同時為 0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
2．直線的五種形式的方程：
形式 方程 局限
點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直線
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直線
y－y1 x－x1
兩點式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
y2－y1 x2－x1
x y
截距式 ＋ ＝1 不能表示與坐標軸平行及過原點的直線
a b
一般式 Ax＋By＋C＝0 無
3．直線各種形式方程的互化：
（一）
直線的點斜式方程
1．直線的點斜式方程：
過點 P(x0，y0)且斜率為 k 的直線的方程：y－y0＝k(x－x0).
2．兩種特殊的直線：
(1)垂直于 x 軸的直線：如圖，過定點P x0 , y0 ，傾斜角為 90°，斜率不存在，沒有點斜式，其
方程為 x - x0 = 0或 x = x0 .
(2)平行于 x 軸（或與 x 軸重合）的直線：如圖，過定點P x0 , y0 ，傾斜角為 0°，斜率為 0，其
點斜式方程為 y = y0 .
3.求直線的點斜式方程的步驟及注意點
(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率 k→寫出方程 y－y0＝k(x－x0)．
(2)點斜式方程 y－y0＝k(x－x0)可表示過點 P(x0，y0)的所有直線，但 x＝x0除外．
題型 1：求直線的點斜式方程
1-1．（2024 高二上·全國·課后作業）過點P(3, -4)且與過點 A(-1,3) 和B(2, 2) 的直線平行的直線方程
為 ．
1-2．（2024 高二下·安徽池州·階段練習）過點 (- 3,5)且傾斜角為 150°的直線 l 的方程為（ ）
A． y = - 3x + 2 B 3． y = - x + 4
3
C y = 3x + 8 D y 3． ． = x + 6
3
1-3．（2024 高二上·全國·課后作業）點P(-1,3)在直線 l 上的射影為Q(1, -1)，則直線 l 的方程為（ ）
A． x - 2y + 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y - 3 = 0 D．2x + y - 3 = 0
1-4．（2024 高二·全國·課后作業）已知直線 l 經過點 P 且傾斜角為 α，求直線 l 的點斜式方程．
p
(1)P（2，3），a = ；
4
2
(2)P（-2，-1），a = p ；
3
a p(3)P（-5，-1）， = ．
2
（二）
直線的斜截式方程
1．直線的斜截式方程:
斜率為 k 且在 y 軸上的截距為 b 的直線方程：y＝kx＋b.
2．(1)直線的斜截式 y = kx + b是直線點斜式 y - y0 = k x - x0 的特例.
(2)一條直線與 y 軸的交點為 0,b 的縱坐標叫做直線在 y 軸上的截距.
特別的，傾斜角為直角的直線沒有斜截式方程.
3.求直線的斜截式方程的策略:
(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．
(2)直線的斜截式方程 y＝kx＋b 中只有兩個參數，因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可．
題型 2：求直線的斜截式方程
2-1．（2024 高二上·安徽安慶·階段練習）已知直線 l的傾斜角為60o，且 l在 y 軸上的截距為-1，則直線 l的
方程為（　　）
A y 3． = - x -1 B． y 3= - x +1
3 3
C． y = 3x -1 D． y = 3x +1
2-2．（2024 高二上·全國·課前預習）寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率是 2，在 y 軸上的截距是-3；
(2)傾斜角為60°，在 y 軸上的截距是6 ；
(3)傾斜角為30°，在 y 軸上的截距是0 ．
2-3．（2024 高二·江蘇·假期作業）根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率為 2，在 y 軸上的截距是 5；
(2)傾斜角為 150°，在 y 軸上的截距是－2；
(3)傾斜角為 60°，與 y 軸的交點到坐標原點的距離為 3.
2-4．（2024 高一下·上海楊浦·期末）直線 l： y = 2x -1繞著點 A 1,1 π逆時針旋轉 與直線 l1重合，則 l4 1的斜
截式方程是 .
a c
2-5．（2024 高二·全國·課后作業）若直線 l 的方程 y = - x - 中， ab 0， ac < 0，則此直線必不經過
b b
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1
2-6．（2024 高二·全國·課后作業）已知直線 l 與直線 y = x + 4 互相垂直，直線 l 與直線 y = x + 6在 y 軸上
2
的截距相等，則直線 l 的方程為 .
2-7．（2024 高二·全國·課后作業）已知 k R ，b = k 2 - 2k + 3，則下列直線的方程不可能是 y = kx + b的是
（ ）
A． B．
C． D．
（三）
直線的兩點式方程
1．直線的兩點式方程：
y－y1 x－x1
過兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程： ＝ .
y2－y1 x2－x1
2．(1)與坐標軸垂直的直線沒有兩點式方程.
(2)兩點式變形為 y - y1 x2 - x1 = y2 - y1 x - x1 ,其可以表示任何直線.
3.利用兩點式求直線的方程：
(1)首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，然后代入兩點式．
(2)若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，
再用點斜式寫方程．
題型 3：求直線的兩點式方程
3-1．（2024 高二上·浙江溫州·期末）過兩點 A 3, -5 ，B -5,5 的直線在 y 軸上的截距為（ ）
5 5 2 2
A．- B． C．- D．
4 4 5 5
3-2．（2024 高二上·浙江）已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，
(1)求 BC 邊所在的直線方程；
(2)求 BC 邊上的中線所在直線的方程．
3-3．（2024 高二·江蘇·課后作業）已知直線分別經過下面兩點，用兩點式方程求直線的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
3-4．（2024 高一·全國·課后作業）已知點 A(3,2)，B(－1,4)，則過點 C(2,5)且過線段 AB 的中點的直線方程
為
（四）
直線的截距式方程
1．直線的截距式方程：在 x，y 軸上的截距分別為 a，b（其中 a≠0，b≠0）的直線方程：
x y
＋ ＝1.
a b
2．截距的概念：
(1)橫截距：直線與 x 軸交點的橫坐標；在直線方程中，令 y=0，解出 x；
(2)縱截距：直線與 y 軸交點的橫坐標；在直線方程中，令 x=0，解出 y.
3.截距式方程應用的注意事項
(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數法確定其
系數即可．
(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直．
(3)要注意截距式直線方程的逆向應用．
題型 4：求直線的截距式方程
4-1．（2024 高三·全國·專題練習）過點(2，1)且在 x 軸上截距與在 y 軸上截距之和為 6 的直線方程
為 .
4-2．（2024 高二上·全國·課后作業）過點 (3, -4)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
y=- x- 1 y 4 4A． B． = x C． y = - x y
4
D． = - x或 y=- x- 1
3 3 3
4-3．（2024 高二·全國·課后作業）求過點 A(5,2) ，且在 y 軸上的截距是 x 軸上的截距的 2 倍的直線 l的方程．
（五）
直線的一般式方程
1.直線的一般式方程：
關于 x 和 y 的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝
0(其中 A，B 不同時為 0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
2.求直線一般式方程的策略
在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選出四種特殊形式之
一求方程，然后轉化為一般式．
3.含參直線方程的研究策略
(1)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直線，則需滿足 A，B 不同時為 0.
(2)令 x＝0 可得在 y 軸上的截距．令 y＝0 可得在 x 軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一
般式化為斜截式．
(3)解分式方程要注意驗根．
4.利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略
直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)．
(2)若 l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
題型 5：求直線的一般式方程
5-1．（2024 高一·全國·課后作業）△ABC 的三個頂點分別為 A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0).
(1)分別求邊 AC 和 AB 所在直線的方程；
(2)求 AC 邊上的中線 BD 所在直線的方程；
(3)求 AC 邊的中垂線所在直線的方程；
(4)求 AC 邊上的高所在直線的方程；
(5)求經過兩邊 AB 和 AC 的中點的直線方程．
5-2．（2024 高二上·遼寧錦州·階段練習）根據下列各條件分別寫出直線的方程，并化成一般式．
1
(1)斜率是- ，且經過點 A 8,-6 ；
2
3
(2)在 x 軸和 y 軸上的截距分別是 和-3；
2
(3)經過點P1 3, -2 ，P2 5,-4 ；
r
(4)經過點 2,-3 ，且一個方向向量為 a = 2,4 ．
5-3．（2024 高二下·上海寶山·期末）若 ab < 0 ，bc < 0 ，則直線 ax +by + c = 0不經過第象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
5-4．（2024 高二下·上海）如果 AB 0且 BC < 0 ，那么直線 Ax + By + C = 0不經過第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
5-5．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 Ax + By + C = 0在 x 軸的截距大于在 y 軸的截距，則 A、B、C
應滿足條件（ ）
C C C C
A． A B B． A < B C． + 0 D． - < 0
A B A B
題型 6：由一般式方程判斷直線的平行、垂直
6-1．（湖北省宜昌市部分示范高中教學協作體 2023-2024 學年高二上學期期中理科數學試題）若直線
x + 1+ m y - 2 = 0和直線mx + 2y + 4 = 0平行，則m 的值為（ ）
2
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-
3
6-2．（2024 高二下·海南·學業考試）若直線 x + 2y -1 = 0與mx - 2y + 2 = 0平行，則實數m 的值為（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D． 2
6-3．（2024 高二下·湖北孝感·期中）“ m = -2 ”是“直線 m +1 x + y +1 = 0與直線 2x + m + 4 y + 2 = 0互相垂
直”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6-4．（2024 高二上·福建福州·期末）若直線 l1 : mx + 3y + 4 = 0與直線 l2 : 2x + (m +1)y + 4 = 0 平行，則 m 的值
為（ ）
A．2 B．-3 C．2 或-3 D．-2或-3
6-5．（2024 高二上·福建）“ a = 3”是“直線 ax + 2y + 3a = 0和直線3x + (a -1)y - (a - 7) = 0平行且不重合”的
（ ）.
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
6-6．（2024 高二下·上海黃浦·階段練習）直線 l1 : px + 3y +1 = 0 與直線 l2 : 6x - 2y - 5 = 0垂直，則 p 的值為
（ ）
A．-1 B．1 C．-9 D．9
6-7．（2024 高二上·安徽·階段練習）已知直線mx + 4y - 2 = 0與直線 2x - 5y + n = 0互相垂直，垂足為 1, p .
則m + n - p 等于（ ）
A． 24 B． 20 C． 4 D．0
題型 7：由兩條直線平行、垂直求直線方程
7-1．（2024 高二·貴州貴陽·階段練習）過點 (1, 2)且垂直于直線3x - 2y + 5 = 0的直線方程為（ ）
A． 2x + 3y -8 = 0 B． 2x - 3y + 4 = 0
C．3x - 2y +1 = 0 D． 2x + 3y + 8 = 0
7-2．（2024 高二下·上海浦東新·期中）過點 1,1 且與直線 x + 2y -1 = 0平行的直線方程為 .
7-3．（2024 高二上·四川涼山·期末）已知直線 l 過點 A(2, -3) ，且與直線 y = x +1平行，則直線 l 的方程為
（ ）
A． x - y + 2 = 0 B． x + y +1 = 0
C． x - y - 2 = 0 D． x - y - 5 = 0
7-4．（2024 高二下·新疆伊犁·期中）過點P(-1,3)且垂直于直線 x + 2y - 3 = 0 的直線方程為 （ ）
A． x + 2y + 5 = 0 B． 2x - y + 5 = 0
C． x + 2y - 5 = 0 D． 2x - y - 5 = 0
題型 8：直線與坐標軸圍成三角形的面積問題
9
8-1．（2024 高二·全國·課后作業）求過點Q(5, 2) ，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積是 的直線 l的方程．
2
8-2．（2024 高一下·江蘇揚州·期中）如圖所示，已知VABC是以 AB 為底邊的等腰三角形，點 A 1，4 ，
B 3，2 ，點 C 在直線： x - 2y + 6 = 0上．
（1）求 AB 邊上的高 CE 所在直線的方程；
（2）設直線 CD 與 y 軸交于點D 0，3 ，求VACD的面積．
8-3．（2024 高二·全國·課后作業）在平面直角坐標系 xOy 內，經過點 P 2,3 的直線分別與 x 軸、 y 軸的正半
軸交于A ， B 兩點，則△OAB面積最小值為 ．
8-4．（2024 高一下·湖南長沙·期末）過點 P（1，1）作直線 l，與兩坐標軸相交所得三角形面積為 1，則直
線 l 有（ ）
A．1 條 B．2 條 C．3 條 D．4 條
8-5．（2024 高三·全國·對口高考）已知直線 l：3x + 4y - 7 = 0，則與已知直線 l 平行且與兩坐標軸圍成的三
角形的面積為 6 的直線方程為 ．
（六）
直線過定點問題
解決直線過定點問題的思路，把平面上過定點的直線的全體稱為中心直線系.定點的確定方法：把含參直
線方程化為 f (x, y) + kg(x, y) = 0 直線系過定點問題:
解含參數的直線恒過定點問題的策略:
(1)方法一：任給直線中的參數賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線
的交點就是題目中含參數直線所過的定點，從而問題得解．
(2)方法二：含有一個參數的二元一次方程若能整理為 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其
A x＋B y＋C ＝0，
中 λ 是參數，這就說明了它表示的直線必過定點，其定點可由方程組{ 1 1 1A2x＋B2y 解＋C2＝0
得．若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(x0，y0)．
f (x, y) = 0
,求解 ，即可得出定點坐標.
g(x, y) = 0
題型 9：直線的恒過定點問題
9-1．（2024 高一下·浙江寧波·期中）已知點 A 1,3 , B -2,-1 .若直線 l : y = k x - 2 +1與線段 AB 相交,則 k
的取值范圍是（ ）
1
A． k B． k -2
2
1 1
C． k 或 k -2 D．-2 k
2 2
9-2．（2024 高二上·全國·課后作業）不論 m 取何值，直線 (m -1)x - y + 2m -1 = 0 都過定點（ ）

A． 1,
1
- ÷ B． (-2,1) C． (2,3) D． (-2,3)
è 2
9-3．（2024 高二上·全國·課后作業）直線 kx - y +1 = 3k ，當 k 變動時，所有直線恒過定點坐標為（ ）
A． 0,0 B． 0,1 C． 3,1 D． 2,1
9-4．（2024·吉林通化·模擬預測）若直線 kx - y + 2k -1 = 0恒過點 A，點 A 也在直線mx + ny + 2 = 0上，其中
m, n均為正數，則mn的最大值為（ ）
A 1
1
． 4 B． C．1 D．22
9-5．（2024 高二上·福建福州·期中）已知直線 l方程： kx - y + 2k - 2 = 0 (k R)，若 l不經過第二象限，則 k
的取值范圍為（ ）
A． k 1 B． k 0 C．0 k 1 D． k 0
9-6．（2024 高一上·河南周口·階段練習）不論 k 為何實數，直線 2k -1 x - k + 3 y - k -11 = 0恒通過一個定
點，這個定點的坐標是（ ）
A． 5,2 B． 2,3
5,9 1C． D． - ,3

÷
è 2
一、單選題
1．（2024 高二上·全國·課后作業）過兩點 0,3 , 2,1 的直線方程為( )
A． x - y - 3 = 0 B． x + y - 3 = 0
C． x + y + 3 = 0 D． x - y + 3 = 0
2．（2024 高二上·廣西河池·階段練習）過點 A 1,2 在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． y = 2x B． x + y - 3 = 0
C． x = y 或 x + y - 3 = 0 D． y = 2x或 x + y - 3 = 0
3．（2024 高二上·湖南·階段練習）已知直線 l過點G 1, -3 ，H -2, 1 ，則直線 l的方程為（ ）
A． 4x + y + 7 = 0 B． 2x - 3y -11 = 0 C． 4x + 3y + 5 = 0 D． 4x + 3y -13 = 0
4．（2024 高二·江蘇·課后作業）過兩點 -2,4 和 4, -1 的直線在 y 軸上的截距為（ ）
14 14 7 7
A． B．- C． D．-
5 5 3 3
5．（2024 高二·全國·課后作業）過P1(2,0), P2(0,3)兩點的直線方程是（ ）
x y x y
A． + = 0 B． - =1
3 2 3 2
x y x y
C． + =1 D． - =1
2 3 2 3
6．（2024 高二上·全國·課后作業）直線 l 過點 A(-1,1), B(2, 4)，則直線 l 的方程為（ ）
A． y = x - 2 B．y = -x - 2 C． y = -x + 2 D． y = x + 2
7．（2024 高二上·山東棗莊·期末）過點 A 2,3 且與直線 l : 2x - 4y + 7 = 0平行的直線方程是（ ）
A． x - 2y + 4 = 0 B． 2x + y - 7 = 0
C．2x - y -1 = 0 D． x + 2y -8 = 0
8．（2024 高二下·湖北·階段練習）直線 4x + 2y -1 = 0與直線 ax + 4y = 0垂直，則 a等于（ ）
A． 2 B．-2 C．1 D．-1
9．（廣西南寧市第二十六中學等 3 校 2023-2024 學年高二下學期開學聯合調研測試數學試題）直線 l過點
-1,2 且與直線 2x - 3y + 4 = 0垂直，則 l的方程是（ ）
A． 2x - 3y + 5 = 0 B．3x + 2y + 7 = 0
C．3x + 2y -1 = 0 D． 2x - 3y + 8 = 0
10．（2024 高二上·全國·課后作業）經過點 (1, 2)，且與直線 2x + y -10 = 0垂直的直線方程為（ ）
A． x - 2y + 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y - 3 = 0 D．2x + y - 3 = 0
11．（2024 高二下·天津北辰·階段練習）過點 -1,3 且平行于直線 2x - 3y +1 = 0的直線方程為（ ）
A． 2x - 3y +11 = 0 B．3x + 2y - 3 = 0 C． 2x - 3y - 7 = 0 D．3x + 2y + 3 = 0
12．（2024 高三上·江西新余·期末）已知直線 l1： m - 2 x - 3y -1 = 0與直線 l2；mx + m + 2 y +1 = 0相互平
行，則實數m 的值是（ ）
A．-4 B．1 C．-1 D．-4或 1
1
13．（2024 高二上·廣東肇慶·期末）“ a = ”是“直線 x + 2ay -1 = 0 與直線 a -1 x - ay -1 = 0 平行”的（
2 ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
14．（2024 高二上·河北唐山·期中）直線 l： x - 2y + 3 = 0的斜率和在 x 軸上的截距分別為（ ）
1 1 1 1
A． ，3 B． ，-3 C．- ，3 D．- ，-3
2 2 2 2
15．（2024 高二上·江蘇蘇州·期末）直線 x - 3y + 4 = 0的傾斜角是（ ）
π π 2π
A． B． C． D． π
3 6 3
1
16．（2024 高二下·新疆塔城·開學考試）過點 (1, -1) 且斜率為 的直線 l的方程是（　　）
2
A．3x + 2y - 7 = 0 B． 2x + y - 4 = 0
C． x - 2y - 3 = 0 D． x - 2y + 3 = 0
17．（2024 高二上·廣東江門·期末）直線 Ax + By + C = 0（ A, B不同時為 0），則下列選項正確的是（ ）
A．無論 A, B取任何值，直線都存在斜率 B．當 A = 0 ，且B 0時，直線只與 x 軸相交
C．當 A 0，或B 0時，直線與兩條坐標軸都相交 D．當 A 0，且B = 0 ，且C = 0時，直線是 y
軸所在直線
18．（2024 高二上·全國·課后作業）經過點 (1,2) ，且平行于直線 2x - 3y + 5 = 0的直線方程為（ ）
A． 2x - 3y + 4 = 0 B． 2x - 3y + 2 = 0 C．3x - 2y + 4 = 0 D．3x - 2y + 2 = 0
19．（2024·北京豐臺·二模）“ a =1”是“直線 x + ay -1 = 0與直線 ax - y +1 = 0相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
20．（2024 高二上·上海寶山·期末）已知P1 a1,b1 與P2 a2 ,b2 是直線 y = kx + 2（ k 為常數）上兩個不同的
點，則關于 l1 : a1x + b1 y - 2 = 0和 l2 : a2x + b2 y - 2 = 0的交點情況是（ ）
A．無論 k ，P1，P2如何，總有唯一交點 B．存在 k ，P1，P2使之有無窮多個交點
C．無論 k ，P1，P2如何，總是無交點 D．存在 k ，P1，P2使之無交點
二、多選題
21．（2024 高一下·江蘇鹽城·階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．過定點P0 x0 , y0 的直線都可用方程 y - y0 = k x - x0 表示
B．過定點 A 0,b 的直線都可用方程 y = kx + b表示
C．過任意兩個點P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直線都可用方程
y - y1 x2 - x1 = x - x1 y2 - y1 表示
x y
D．不過原點的直線都可用方程 + =1表示
a b
22．（2024 高二上·全國·專題練習）下列說法正確的是（ ）
y - y
A 1． x - x ＝k 不能表示過點 M（x1，y1）且斜率為 k 的直線方程1
x y
B．在 x 軸，y 軸上的截距分別為 a，b 的直線方程為 + =1
a b
C．直線 y＝kx+b 與 y 軸的交點到原點的距離為 b
D．過兩點 A（x1，y1）B（x2，y2）的直線方程為 (x - x2 )(y1 - y2 ) - (y - y2 )(x1 - x2 ) = 0
23．（2024 高二上·江蘇揚州·期中）下列說法正確的是（ ）
A．直線 x - y - 3 = 0
9
與兩坐標軸圍成的三角形的面積是
2
B．若三條直線 x + y = 0, x - y = 0, x + ay = 3 - a不能構成三角形，則實數 a的取值集合為 -1,1
C．經過點 (1, 2)且在 x 軸和 y 軸上截距都相等的直線方程為 x + y - 3 = 0或 x - y +1 = 0
D．過 (x1, y1), (x2 , y2 )兩點的直線方程為 ( y - y1)(x2 - x1) = (x - x1)( y2 - y1)
24．（2024 高二上·江蘇徐州·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．點斜式 y - y1 = k x - x1 可以表示任何直線
B．過 x1, y1 、 x2, y
y - y1 x - x1
2 兩點的直線方程為 =y2 - y1 x2 - x1
C．直線 x - 2y - 4 = 0與直線 2x + y +1 = 0相互垂直．
D．直線 y = 4x - 2 在 y 軸上的截距為-2
三、填空題
25．（2024 高三·全國·課后作業）經過點 -3,1 和點 2, -2 的直線方程是 .
26．（2024 高二·江蘇·假期作業）不論 a取何值時，直線 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 恒過第 象限．
27．（2024 高二上·全國·課后作業）傾斜角為30°，且過點 (-2,0) 的直線斜截式方程為 ．
28．（2024 高二上·全國·專題練習）若直線過點 1,1 且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為 2，則這樣的直
線有 條.
29．（2024 高二·全國·課后作業）若直線 l 與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為 18，
則直線 l 的方程為 .
30．（2024 高一上·廣東廣州·期末）求過點P 2,3 ，并且在兩軸上的截距相等的直線方程 ．
31．（2024 高二下·上海閔行·階段練習）過點 5,2 ，且在兩坐標軸上截距相等的直線一般式方程是 ．
32．（2024 高二下·上海普陀·期中）若3x1 + 4y1 =1,3x2 + 4y2 =1，且 x1 x2 ，則經過 A x1,y1 、B x2 ,y2 的直
線 l的一般方程為
33．（2024 高二上·重慶長壽·期末）經過點 (1, 2)且與直線2x - y +1 = 0垂直的直線方程是 ．（用一
般式表示）
34．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線 l : kx - y +1+ 2k = 0，若直線 l 在兩坐標軸上的截距相等，則實
數 k 的值為 ；若直線 l 不經過第三象限，則 k 的取值范圍是 .
四、解答題
35．（2024 高二·全國·專題練習）根據下列條件寫出直線方程，并化為一般式：在 x，y軸上的截距分別為
-3，-1.
36．（2024 高二上·山東濟寧·期中）已知VABC 的頂點分別為 A(2,4),B(0,-2),C(-2,3)，求：
(1)直線 AB 的方程 ;
(2)AB 邊上的高所在直線的方程 ;
37．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 l 經過點 A(-2,1)，B(3, -3)，求直線 l 的方程，并求直線 l 在
y 軸上的截距.
38．（2024 高二下·湖北宜昌·階段練習）設直線的方程為 (a +1)x + y + 2 - a = 0, a R .
（1）若在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；
（2）若與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 1，求 a 的值.
39．（2024 高二下·上海·課后作業）直線 l過點 P(-2,3)，且與兩軸圍成的三角形面積為 4，求直線 l的方程.
1
40．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 l 的斜率為－1，且它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 ，
2
求直線 l 的方程．
41．（2024 高一下·安徽·階段練習）已知點 A（5，1）關于 x 軸的對稱點為 B（x1，y1），關于原點的對稱
點為 C（x2，y2）.
(1)求△ABC 中過 AB，BC 邊上中點的直線方程；
(2)求△ABC 的面積.
42．（2024 高二·全國·專題練習）VABC 的三個頂點是 A 4,0 ，B 6,7 ，C 0,3 ，求：邊 BC 上的中線所
在直線的方程；
43．（2024 高二上·湖北·階段練習）已知直線 l : kx - y +1+ 2k = 0 k R .
（1）若直線 l 不經過第四象限，求 k 的取值范圍；
（2）若直線 l 交 x 軸負半軸于點 A，交 y 軸正半軸于點 B，求VAOB 面積的最小值；
（3）已知P 1,5 ，若點 P 到直線的距離為 d，求 d 最大時直線的方程.
44．（2024 高二上·河北邢臺·階段練習）已知直線 l： 2a + 3 x - a -1 y + 3a + 7 = 0， a R .
(1)證明直線 l過定點A ，并求出點A 的坐標；
1
(2)在（1）的條件下，若直線 l 過點A ，且在 y 軸上的截距是在 x 軸上的截距的 ，求直線 l 的方程；
2
(3)若直線 l不經過第四象限，求 a的取值范圍.
45．（2024 高一下·山東濱州·階段練習）已知直線 l1 : 3x + m - 4 y +11 = 0與 l2 : x + my - 7 = 0垂直，求m .
46．（2024 高二上·福建福州·期中）已知直線 l過點M 3,2 ．
(1)若直線 l在兩坐標軸上的截距相等，求直線 l的方程；
(2)若 l與 x 軸正半軸的交點為A ，與 y 軸正半軸的交點為 B ，求VAOB （O為坐標原點）面積的最小值．
47．（2024 高二上·湖北武漢·期末）已知直線方程為 y + 2 = k x +1 ．
(1)若直線的傾斜角為135o，求 k 的值；
(2)若直線分別與 x 軸、 y 軸的負半軸交于A 、B 兩點，O為坐標原點，求VAOB 面積的最小值及此時直線的
方程．
48．（2024 高一上·內蒙古呼和浩特·期末）已知一條動直線 l : 3 m +1 x + my - 6m - 4 = 0，
(1)求證：直線 l 恒過定點，并求出定點 P 的坐標；
(2)若直線 l 與 x 、 y 軸的正半軸分別交于A 、 B 兩點，O為坐標原點，是否存在直線 l 同時滿足下列條件：
①VAOB 的周長為12；②VAOP 的面積為 4 .若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.
49．（2024 高三·全國·專題練習）已知直線 l過點M (2,1)，且分別與 x 軸的正半軸、 y 軸的正半軸交于 A, B
兩點，O為原點，當VAOB 面積最小時，求直線 l的方程．
50．（2024 高二上·全國·專題練習）已知直線 l的方程為： 2 + m x + 1- 2m y + 4 - 3m = 0．
(1)求證：不論m 為何值，直線必過定點M ；
(2)過點M 引直線 l1，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求 l1的方程．
51．（2024 高二·全國·課后作業）過點P 2,1 作直線 l 分別交 x 軸、y 軸的正半軸于 A，B 兩點.
(1)求 | OA | × | OB |的最小值，及此時直線 l 的截距式方程；
(2)求 | PA | × | PB |的最小值，及此時直線 l 的截距式方程.
52．（2024 高二下·上海金山·期中）已知直線 l： kx - y +1+ 2k = 0 ， k R
（1）直線過定點 P，求點 P 坐標；
（2）若直線 l 交 x 軸負半軸于點 A，交 y 軸正半軸于點 B，O 為坐標原點，設三角形OAB 的面積為 4，求出
直線 l 方程．
53．（2024 高二下·湖南常德·期中）已知直線 l的方程為 a +1 x + y - 5 - 2a = 0 a R ．
(1)求直線 l過的定點 P 的坐標；
(2)直線 l與 x 軸正半軸和 y 軸正半軸分別交于點 A，B ，當VAOB 面積最小時，求直線 l的方程；
54．（2024 高二上·全國·課后作業）當直線方程 Ax + By + C = 0的系數 A，B，C 滿足什么條件時，該直線分
別具有以下性質？
(1)過坐標原點；
(2)與兩條坐標軸都相交；
(3)只與 x 軸相交；
(4)是 x 軸所在直線；
(5)設P x0 , y0 為直線 Ax + By + C = 0上一點，證明：這條直線的方程可以寫成 A x - x0 + B y - y0 = 0 ．
55．（2024 高二·江蘇·假期作業）已知直線 a1x + b1y +1 = 0和直線 a2x + b2 y +1 = 0都過點 A(2,1)，求過點P1(a1,b1)
和點P2 (a2,b2 )的直線方程.2.2 直線的方程 9 題型分類
一、直線的點斜式方程
直線的點斜式方程和斜截式方程：
類別 點斜式 斜截式
適用范圍 斜率存在
已知條件 點 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和在 y 軸上的截距 b
圖示
方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b
截距 直線與 y 軸交點(0,b)的縱坐標 b 叫做直線在 y 軸上的截距
二、直線的兩點式方程
直線的兩點式方程和截距式方程：
名稱 兩點式 截距式
在 x，y 軸上的截距分別為 a，
兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
條件 b
(x1≠x2，y1≠y2)
(a≠0，b≠0)
示意圖
y－y1 x－x1 x y
方程 ＝ ＋ ＝1
y2－y1 x2－x1 a b
適用范圍 斜率存在且不為 0 斜率存在且不為 0，不過原點
三、直線的一般式方程
1．直線的一般式方程：
關于 x 和 y 的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝
0(其中 A，B 不同時為 0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
2．直線的五種形式的方程：
形式 方程 局限
點斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直線
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直線
y－y1 x－x1
兩點式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
y2－y1 x2－x1
x y
截距式 ＋ ＝1 不能表示與坐標軸平行及過原點的直線
a b
一般式 Ax＋By＋C＝0 無
3．直線各種形式方程的互化：
（一）
直線的點斜式方程
1．直線的點斜式方程：
過點 P(x0，y0)且斜率為 k 的直線的方程：y－y0＝k(x－x0).
2．兩種特殊的直線：
(1)垂直于 x 軸的直線：如圖，過定點P x0 , y0 ，傾斜角為 90°，斜率不存在，沒有點斜式，其
方程為 x - x0 = 0或 x = x0 .
(2)平行于 x 軸（或與 x 軸重合）的直線：如圖，過定點P x0 , y0 ，傾斜角為 0°，斜率為 0，其
點斜式方程為 y = y0 .
3.求直線的點斜式方程的步驟及注意點
(1)求直線的點斜式方程的步驟：定點(x0，y0)→定斜率 k→寫出方程 y－y0＝k(x－x0)．
(2)點斜式方程 y－y0＝k(x－x0)可表示過點 P(x0，y0)的所有直線，但 x＝x0除外．
題型 1：求直線的點斜式方程
1-1．（2024 高二上·全國·課后作業）過點P(3, -4)且與過點 A(-1,3) 和B(2, 2) 的直線平行的直線方程
為 ．
【答案】 x + 3y + 9 = 0
【分析】根據斜率公式求出斜率，再由點斜式可得結果.
3- 2 1
【詳解】 kAB = = - ，-1- 2 3
1
由點斜式得 y + 4 = - (x - 3)，即 x + 3y + 9 = 0 .
3
故答案為： x + 3y + 9 = 0 .
1-2．（2024 高二下·安徽池州·階段練習）過點 (- 3,5)且傾斜角為 150°的直線 l 的方程為（ ）
A． y = - 3x + 2 B y 3． = - x + 4
3
C． y = 3x + 8 D 3． y = x + 6
3
【答案】B
【分析】根據傾斜角求出直線的斜率，結合直線的點斜式方程即可求解.
【詳解】依題意，直線 l 的斜率 k = tan150° 3= - ，
3
故直線 l 3的方程為 y - 5 = - (x + 3) ，
3
y 3即 = - x + 4，
3
故選：B.
1-3．（2024 高二上·全國·課后作業）點P(-1,3)在直線 l 上的射影為Q(1, -1)，則直線 l 的方程為（ ）
A． x - 2y + 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y - 3 = 0 D．2x + y - 3 = 0
【答案】C
【分析】根據PQ ^ l求出直線 l 的斜率，再運用點斜式直線方程求解.
k 3+1 1 1【詳解】由題意，PQ ^ l， PQ = = -2,\k = - =-1-1 l kPQ 2
，
1
由點斜式直線方程得直線 l 的方程為： y +1 = x -1 ，即 x - 2y - 3 = 0；
2
故選：C.
1-4．（2024 高二·全國·課后作業）已知直線 l 經過點 P 且傾斜角為 α，求直線 l 的點斜式方程．
p
(1)P（2，3），a = ；
4
2
(2)P（-2，-1），a = p ；
3
p
(3)P（-5，-1），a = ．
2
【答案】(1) y - 3 = x - 2
(2) y +1 = - 3 x + 2
(3) x = -5
【分析】由直線傾斜角求斜率，點斜式求直線方程.
π
【詳解】（1）直線傾斜角a = ，則直線斜率 k =1，直線 l 經過點 P（2，3），直線 l 的點斜式方程為
4
y - 3 = x - 2 .
2π
（2）直線傾斜角a = ，則直線斜率 k = - 3，直線 l 經過點 P -2，-1 ，直線 l 的點斜式方程為3
y +1 = - 3 x + 2 .
π
（3）直線傾斜角a = ，直線斜率不存在，直線 l 經過點P -5，-1 ，直線 l 的方程為 x = -5 .
2
（二）
直線的斜截式方程
1．直線的斜截式方程:
斜率為 k 且在 y 軸上的截距為 b 的直線方程：y＝kx＋b.
2．(1)直線的斜截式 y = kx + b是直線點斜式 y - y0 = k x - x0 的特例.
(2)一條直線與 y 軸的交點為 0,b 的縱坐標叫做直線在 y 軸上的截距.
特別的，傾斜角為直角的直線沒有斜截式方程.
3.求直線的斜截式方程的策略:
(1)斜截式方程的應用前提是直線的斜率存在．
(2)直線的斜截式方程 y＝kx＋b 中只有兩個參數，因此要確定直線方程只需兩個獨立條件即可．
題型 2：求直線的斜截式方程
2-1．（2024 高二上·安徽安慶·階段練習）已知直線 l的傾斜角為60o，且 l在 y 軸上的截距為-1，則直線 l的
方程為（　　）
A y 3． = - x -1 B y 3． = - x +1
3 3
C． y = 3x -1 D． y = 3x +1
【答案】C
【分析】首先求出直線的斜率，再根據斜截式計算可得；
【詳解】解：因為直線 l的傾斜角為60o，所以直線 l的斜率 k = tan 60o = 3 ，
又直線 l在 y 軸上的截距為-1，所以直線 l的方程為 y = 3x -1；
故選：C
2-2．（2024 高二上·全國·課前預習）寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率是 2，在 y 軸上的截距是-3；
(2)傾斜角為60°，在 y 軸上的截距是6 ；
(3)傾斜角為30°，在 y 軸上的截距是0 ．
【答案】(1) y = 2x - 3
(2) y = 3x + 6
(3) y 3= x
3
【分析】（1）利用直線方程的斜截式，即得解；
（2）利用傾斜角和斜率的關系，求解斜率，再結合直線方程的斜截式，即得解；
（3）利用傾斜角和斜率的關系，求解斜率，再結合直線方程的斜截式，即得解
【詳解】（1） y = 2x - 3
（2）因為 k = tan 60° = 3 ，所以 y = 3x + 6．
3 k tan 30 3 y 3（ ）因為 = ° = ，所以 = x ．
3 3
2-3．（2024 高二·江蘇·假期作業）根據條件寫出下列直線的斜截式方程：
(1)斜率為 2，在 y 軸上的截距是 5；
(2)傾斜角為 150°，在 y 軸上的截距是－2；
(3)傾斜角為 60°，與 y 軸的交點到坐標原點的距離為 3.
【答案】(1)y＝2x＋5
(2)y 3＝－ x－2
3
(3)y＝ 3 x＋3 或 y＝ 3 x－3
【分析】（1）由直線的斜截式可得直線方程；
（2）由已知求得直線的斜率，再由直線的斜截式可得直線方程．
（3）由已知求得直線的斜率和直線在 y 軸上的截距，再由直線的斜截式求得直線的方程.
【詳解】（1）由直線方程的斜截式可知，所求直線的斜截式方程為 y＝2x＋5.
（2）由于直線的傾斜角為 150°，所以斜率 k＝tan 150° 3＝－ ，
3
3
故所求直線的斜截式方程為 y＝－ x－2.
3
（3）因為直線的傾斜角為 60°，所以斜率 k＝tan 60°＝ 3．
因為直線與 y 軸的交點到坐標原點的距離為 3，
所以直線在 y 軸上的截距 b＝3 或 b＝－3，
故所求直線的斜截式方程為 y＝ 3 x＋3 或 y＝ 3 x－3.
π
2-4．（2024 高一下·上海楊浦·期末）直線 l： y = 2x -1繞著點 A 1,1 逆時針旋轉 與直線 l1重合，則 l1的斜4
截式方程是 .
【答案】 y = -3x + 4
【分析】先找到直線 l1的斜率，再由直線過點 A 1,1 求出直線方程.
π tana +1
【詳解】設直線 l 的傾斜角為a ，則 tana = 2 ，則 tan a + ÷ = = -3，
è 4 1- tana
所以直線 l1 : y -1 = -3 x -1 y = -3x + 4，
故答案為： y = -3x + 4 .
a c
2-5．（2024 高二·全國·課后作業）若直線 l 的方程 y = - x - 中， ab 0， ac < 0，則此直線必不經過
b b
（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據直線的斜率及截距即可求解.
y a x c【詳解】由 = - - ， ab 0， ac < 0，
b b
a c
知直線斜率 k = - < 0，在 y 軸上截距為- 0，
b b
所以此直線必不經過第三象限.
故選：C
1
2-6．（2024 高二·全國·課后作業）已知直線 l 與直線 y = x + 4 互相垂直，直線 l 與直線 y = x + 6在 y 軸上
2
的截距相等，則直線 l 的方程為 .
【答案】 y = -2x + 6
【分析】由兩條直線垂直，斜率之積為-1，可得直線 l 的斜率 k = -2 .再由直線 y = x + 6在 y 軸上的截距為 6，
可得直線 l 截距為 6，由斜截式可得結果.
1
【詳解】因為直線 l 與直線 y = x + 4 垂直，所以直線 l 的斜率 k = -2 .
2
又因為直線 y = x + 6在 y 軸上的截距為 6，所以直線 l 在 y 軸上的截距為 6，
所以直線 l 的方程為 y = -2x + 6 .
故答案為： y = -2x + 6
【點睛】本題考查了直線方程的斜截式，考查了運算求解能力，屬于基礎題目.
2-7．（2024 高二·全國·課后作業）已知 k R ，b = k 2 - 2k + 3，則下列直線的方程不可能是 y = kx + b的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據直線斜率 k 與 y 軸上的截距b 的關系判斷選項即可得解.
【詳解】Qb = k 2 - 2k + 3 = (k -1)2 + 2，
\直線的方程 y = kx + b在 y 軸上的截距不小于 2，且當 k =1時， y 軸上的截距為 2，
故 D 正確，當 k = -1時，b = 6 , 故 B 不正確，當b = 3時， k = 0或 k = 2，由圖象知 AC 正確.
故選：B
（三）
直線的兩點式方程
1．直線的兩點式方程：
y－y1 x－x1
過兩點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線方程： ＝ .
y2－y1 x2－x1
2．(1)與坐標軸垂直的直線沒有兩點式方程.
(2)兩點式變形為 y - y1 x2 - x1 = y2 - y1 x - x1 ,其可以表示任何直線.
3.利用兩點式求直線的方程：
(1)首先要判斷是否滿足兩點式方程的適用條件，然后代入兩點式．
(2)若滿足即可考慮用兩點式求方程．在斜率存在的情況下，也可以先應用斜率公式求出斜率，
再用點斜式寫方程．
題型 3：求直線的兩點式方程
3-1．（2024 高二上·浙江溫州·期末）過兩點 A 3, -5 ，B -5,5 的直線在 y 軸上的截距為（ ）
5 5 2 2
A．- B． C．- D．
4 4 5 5
【答案】A
【分析】由兩點式得出直線方程，令 x = 0，即可解出直線在 y 軸上的截距.
【詳解】過兩點 A 3, -5 ，B -5,5 y + 5 x - 3的直線的為 = ，
5 + 5 -5 - 3
5
令 x = 0，解得： y = - ，
4
故選：A.
3-2．（2024 高二上·浙江）已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中，
(1)求 BC 邊所在的直線方程；
(2)求 BC 邊上的中線所在直線的方程．
【答案】(1)2x＋5y＋10＝0
(2)10x＋11y＋8＝0
【分析】（1）根據兩點式求解即可；
5
（2）根據中點坐標公式可得 BC 的中點M ( ,-3)，再根據兩點式可得 BC 邊上的中線所在直線的方程．
2
【詳解】（1）BC 邊過兩點 B(5，－4)，C(0，－2)，
y - (-4) x - 5
由兩點式，得 2 ( 4) ＝ ，即 2x＋5y＋10＝0，- - - 0 - 5
故 BC 邊所在的直線方程為 2x＋5y＋10＝0．
（2）設 BC 的中點為 M(a，b)，
5 + 0 5 -4 + (-2) 5
則 a＝ ＝ ，b＝ ＝－3，所以M ( ,-3)，
2 2 2 2
又 BC 邊的中線過點 A(－3，2)，
y x - (-3)- 2
所以 ＝ 5 - (-3) ，即 10x＋11y＋8＝0，-3 - 2 2
所以 BC 邊上的中線所在直線的方程為 10x＋11y＋8＝0．
3-3．（2024 高二·江蘇·課后作業）已知直線分別經過下面兩點，用兩點式方程求直線的方程：
(1)A(3, 1), B(2, －3)；
(2)A(2, 1), B(0, －3)；
(3)A(0, 5), B(4, 0).
【答案】(1) y = 4x -11；
(2) y = 2x - 3；
y 5(3) = - x + 5 .
4
【分析】根據直線的兩點式方程的求法即可求得答案.
y -1 x - 3
【詳解】（1）直線的兩點式方程為 = y = 4x -11.
-3 -1 2 - 3
y -1 x - 2
（2）直線的兩點式方程為 = y = 2x - 3 .
-3 -1 0 - 2
y - 5 x - 0 5
（3）直線的兩點式方程為 = y = - x + 5 .
0 - 5 4 - 0 4
3-4．（2024 高一·全國·課后作業）已知點 A(3,2)，B(－1,4)，則過點 C(2,5)且過線段 AB 的中點的直線方程
為
【答案】2x - y +1 = 0
【分析】由兩點的坐標可求出中點坐標，與點 C 橫縱坐標均不相同，所以代入兩點式，求出直線方程.
1,3 x - 2 y - 5【詳解】A、B 中點坐標為 ，與點 C 橫縱坐標均不相同，代入兩點式得： = ，
1- 2 3 - 5
化簡得：2x - y +1 = 0 .
【點睛】本題考查中點坐標的求法以及兩點式方程的求法，代入時注意符號不要出錯，注意兩點式求直線
方程的約束條件.
（四）
直線的截距式方程
1．直線的截距式方程：在 x，y 軸上的截距分別為 a，b（其中 a≠0，b≠0）的直線方程：
x y
＋ ＝1.
a b
2．截距的概念：
(1)橫截距：直線與 x 軸交點的橫坐標；在直線方程中，令 y=0，解出 x；
(2)縱截距：直線與 y 軸交點的橫坐標；在直線方程中，令 x=0，解出 y.
3.截距式方程應用的注意事項
(1)如果問題中涉及直線與坐標軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數法確定其
系數即可．
(2)選用截距式直線方程時，必須首先考慮直線能否過原點以及能否與兩坐標軸垂直．
(3)要注意截距式直線方程的逆向應用．
題型 4：求直線的截距式方程
4-1．（2024 高三·全國·專題練習）過點(2，1)且在 x 軸上截距與在 y 軸上截距之和為 6 的直線方程
為 .
【答案】x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0
【分析】直線的斜率存在且不為 0，設出直線截距式方程，利用已知條件求出截距就能得到直線方程.
x y
【詳解】由題意可直線的斜率存在且不為 0，設直線方程為 + =1，
a b
ìa + b = 6

則有 í 2 1 ，解得 a＝b＝3，或 a＝4，b＝2.
+ =1 a b
直線方程為 x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0.
故答案為：x＋y－3＝0 或 x＋2y－4＝0
4-2．（2024 高二上·全國·課后作業）過點 (3, -4)且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． y=- x- 1 B． y
4
= x 4 4C． y = - x D． y = - x或 y=- x- 1
3 3 3
【答案】D
【分析】根據直線的截距式方程分析運算，注意討論截距是否為 0.
【詳解】設直線在 x，y 軸上的截距分別為 a,b，則 a = b，
若 a = b = 0，即直線過原點，設直線為 y = kx ，
代入 (3, -4)，即-4 = 3k k
4
，解得 = - ，
3
故直線方程為 y
4
= - x；
3
x y
若 a = b 0，設直線為 + =1，
a b
(3, -4) 3 4代入 ，即 - =1，解得 a = -1，
a a
故直線方程為-x - y =1，即 y=- x- 1；
4
綜上所述：直線方程為 y = - x或 y=- x- 1.
3
故選：D.
4-3．（2024 高二·全國·課后作業）求過點 A(5,2) ，且在 y 軸上的截距是 x 軸上的截距的 2 倍的直線 l的方程．
2
【答案】 y = x
x y
或 + = 1．
5 6 12
【分析】當縱截距為 0 時，設直線方程為 y=kx，代入點(5,2)求得 k 的值，.當縱截距不為 0 時，設直線的截
距式方程，代入點(5,2)求解.
【詳解】①當直線 l在兩坐標軸上的截距均為 0 時，因為直線過點 A(5,2) ，
所以直線的方程為 y
2
= x ；
5
②當直線 l在兩坐標軸上的截距均不為 0 時，設直線 l在 x 軸上的截距為 a，
x y
則在 y 軸上的截距為 2a，則直線 l的方程為 + =1，
a 2a
又直線 l過點 (5, 2) ，
5 2
∴ + = 1，
a 2a
解得 a = 6，
x y
∴直線 l的方程為 + = 1．
6 12
y 2 x x y綜上;直線 l的方程為 = 或 + = 1．
5 6 12
【點睛】本題主要考查直線的斜截式方程和截距式方程，屬于基礎題.
（五）
直線的一般式方程
1.直線的一般式方程：
關于 x 和 y 的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于 x，y 的二元一次方程 Ax＋By＋C＝
0(其中 A，B 不同時為 0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．
2.求直線一般式方程的策略
在求直線方程時，設一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據給定條件選出四種特殊形式之
一求方程，然后轉化為一般式．
3.含參直線方程的研究策略
(1)若方程 Ax＋By＋C＝0 表示直線，則需滿足 A，B 不同時為 0.
(2)令 x＝0 可得在 y 軸上的截距．令 y＝0 可得在 x 軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一
般式化為斜截式．
(3)解分式方程要注意驗根．
4.利用一般式解決直線平行與垂直問題的策略
直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若 l1∥l2 A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0(或 A1C2－A2C1≠0)．
(2)若 l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
題型 5：求直線的一般式方程
5-1．（2024 高一·全國·課后作業）△ABC 的三個頂點分別為 A(0,4)、B(－2,6)、C(－8,0).
(1)分別求邊 AC 和 AB 所在直線的方程；
(2)求 AC 邊上的中線 BD 所在直線的方程；
(3)求 AC 邊的中垂線所在直線的方程；
(4)求 AC 邊上的高所在直線的方程；
(5)求經過兩邊 AB 和 AC 的中點的直線方程．
【答案】（1）x－2y＋8＝0. x＋y－4＝0.（2）2x－y＋10＝0.（3）2x＋y＋6＝0.（4）2x＋y－2＝0.（5）x－y
＋6＝0
【詳解】試題分析：（1）利用截距式得 AC 方程，利用兩點式得 AB 方程；（2）先確定 AC 邊中點坐標，
再由兩點式得 BD 的方程；（3）由中垂線幾何性質可知：AC 的中垂線斜率及 AC 的中點的坐標，再由點斜
式得直線方程；（4）由高的定義得高所在直線的斜率，再由點斜式得直線方程；（5）得到兩邊的中點坐
標，再由兩點式得直線的方程.
試題解析：
(1)由 A(0,4)，C(－8,0)可得直線 AC 的截距式方程為 ＋ ＝1，
即 x－2y＋8＝0.
由 A(0,4)，B(－2,6)可得直線 AB 的兩點式方程為 ＝ ，即 x＋y－4＝0.
(2)設 AC 邊的中點為 D(x，y)，由中點坐標公式可得 x＝－4，y＝2，所以直線 BD 的兩點式方程為 ＝
，即 2x－y＋10＝0.
(3)由直線 AC 的斜率為 kAC＝ ＝ ，故 AC 邊的中垂線的斜率為 k＝－2.又 AC 的中點 D(－4,2)，
所以 AC 邊的中垂線方程為 y－2＝－2(x＋4)，
即 2x＋y＋6＝0.
(4)AC 邊上的高線的斜率為－2，且過點 B(－2,6)，所以其點斜式方程為 y－6＝－2(x＋2)，即 2x＋y－2＝
0.
(5)AB 的中點 M(－1,5)，AC 的中點 D(－4,2)，
∴直線 DM 方程為 ＝ ，
即 x－y＋6＝0.
點睛：直線方程共五種形式，合理選擇方程形式求直線方程．
當知道定點或斜率時一般選擇點斜式，注意點斜式的局限性，不包含過此點垂直 x 軸的情況；當知道
兩點時，一般選擇兩點式，當知道直線的兩個截距或求與 x，y 軸圍成三角形面積時，一般選擇截距式.
5-2．（2024 高二上·遼寧錦州·階段練習）根據下列各條件分別寫出直線的方程，并化成一般式．
1
(1)斜率是- ，且經過點 A 8,-6 ；
2
3
(2)在 x 軸和 y 軸上的截距分別是 和-3；
2
(3)經過點P1 3, -2 ，P2 5,-4 ；
r
(4)經過點 2,-3 ，且一個方向向量為 a = 2,4 ．
【答案】(1) x + 2y + 4 = 0
(2) 2x - y - 3 = 0
(3) x + y -1 = 0
(4) 2x - y - 7 = 0
【分析】（1）根據直線方程的點斜式即可得解；
（2）根據直線方程的截距式即可得解；
（3）根據直線方程的兩點式即可得解；
（4）首先根據方向方程可得直線斜率 k = 2，再根據點斜式即可得解.
1
【詳解】（1）根據點斜式可得直線方程為： y + 6 = (- )(x -8) ，
2
化簡可得 x + 2y + 4 = 0；
x y
（2）根據截距式可得： 3
+ =1
-3 ，
2
化簡可得 2x - y - 3 = 0；
y + 4 x - 5
（3）根據兩點式可得： = ，
-2 + 4 3 - 5
整理可得 x + y -1 = 0 ；
r
（4）由直線的方向向量為 a = 2,4 可得直線的斜率 k = 2，
所以所求直線方程為 y + 3 = 2(x - 2)即 2x - y - 7 = 0 .
5-3．（2024 高二下·上海寶山·期末）若 ab < 0 ，bc < 0 ，則直線 ax +by + c = 0不經過第象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
a c
【分析】將直線方程化為 y = - x - ，由斜率以及縱截距的正負判斷即可.
b b
a
【詳解】依題意 a、b 、 c均不為0 ，所以直線 ax +by + c = 0可化為 y = - x
c
- ，
b b
a c
因為 ab < 0 ，bc < 0 ，所以- 0，- 0，
b b
所以直線 ax +by + c = 0的斜率為正，縱截距為正，
即直線 ax +by + c = 0通過第一、二、三象限，不通過第四象限.
故選：D
5-4．（2024 高二下·上海）如果 AB 0且 BC < 0 ，那么直線 Ax + By + C = 0不經過第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】由 AB 0且 BC < 0 ，確定直線的斜率以及它在 y 軸上的截距的符號，即可得結論．
【詳解】∵ AB 0且 BC < 0 ，則B 0
A C
∴ - < 0 ，- 0，
B B
∴直線 Ax + By + C = 0 y
A x C A C，即直線 = - - 的斜率- 小于零，在 y 軸上的截距- 大于零，
B B B B
故直線經過第一、第二、第四象限，不經過第三象限，
故選：C．
5-5．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 Ax + By + C = 0在 x 軸的截距大于在 y 軸的截距，則 A、B、C
應滿足條件（ ）
C C C C
A． A B B． A < B C． + 0 D． - < 0
A B A B
【答案】D
【分析】分別令 x = 0、 y = 0 得直線在 y 軸、x 軸上的截距，再由在 x 軸的截距大于在 y 軸的截距可得答案.
【詳解】由已知 A 0, B 0,C 0，
y C令 x = 0得直線在 y 軸的截距為 = - ，
B
C
令 y = 0 得直線在 x 軸的截距為 x = - ，
A
由直線 Ax + By + C = 0
C C
在 x 軸的截距大于在 y 軸的截距可得- - ，
A B
C C
即 - < 0 .
A B
故選：D.
題型 6：由一般式方程判斷直線的平行、垂直
6-1．（湖北省宜昌市部分示范高中教學協作體 2023-2024 學年高二上學期期中理科數學試題）若直線
x + 1+ m y - 2 = 0和直線mx + 2y + 4 = 0平行，則m 的值為（ ）
2
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-
3
【答案】A
A1 B1 C1
【分析】由題知兩直線平行，直接列出 = ( A2 0, B2 0,C2 0A B C )即可求得
m
2 2 2
【詳解】直線 x + 1+ m y - 2 = 0和直線mx + 2y + 4 = 0平行，
ì1 2 = m 1+ m
可得 í ，得m =1.
m -2
故選：A.
【點睛】本題考查了已知兩直線平行求參的問題，注意要排除兩直線重合的情況，屬于基礎題.
6-2．（2024 高二下·海南·學業考試）若直線 x + 2y -1 = 0與mx - 2y + 2 = 0平行，則實數m 的值為（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D． 2
【答案】B
【分析】易知兩直線斜率存在，利用兩直線平行斜率相等即可求得m 的值.
【詳解】由 x + 2y -1 = 0
1
可知，其斜率為- ，
2
m 1
又兩直線平行，所以可得 = - ，解得m = -12 2 .
故選：B
6-3．（2024 高二下·湖北孝感·期中）“ m = -2 ”是“直線 m +1 x + y +1 = 0與直線 2x + m + 4 y + 2 = 0互相垂
直”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】利用兩直線垂直時它們的一般方程的系數間的關系可求m 的值.
【詳解】若直線 m +1 x + y +1 = 0與直線 2x + m + 4 y + 2 = 0互相垂直，
則 2 m +1 + m + 4 = 0，解得m = -2 .
所以“ m = -2 ”是“直線 m +1 x + y +1 = 0與直線 2x + m + 4 y + 2 = 0互相垂直”的充要條件，選 C.
【點睛】如果直線 l1 : A1x + B1 y + C1 = 0， l2 : A2x + B2 y + C2 = 0，
（1）若 l1 ^ l2，則 A1A2 + B1B2 = 0 ；
（2）若 BDC ，則 A1B2 = B1A2 且 A1C2 C1A2 或B1C2 C1B2 ；
（2）若 l1, l2 重合，則 A1B2 = B1A2 ， A1C2 = C1A2 ，B1C2 = C1B2 .
6-4．（2024 高二上·福建福州·期末）若直線 l1 : mx + 3y + 4 = 0與直線 l2 : 2x + (m +1)y + 4 = 0 平行，則 m 的值
為（ ）
A．2 B．-3 C．2 或-3 D．-2或-3
【答案】B
【分析】根據直線的平行可列出方程，求得 m 的值，驗證直線是否重合，即得答案.
【詳解】由題意知直線 l1 : mx + 3y + 4 = 0與直線 l2 : 2x + (m +1)y + 4 = 0 平行，
而直線 l1 : mx + 3y + 4 = 0
m
的斜率為 k1 = - ，3
則直線 l2 : 2x + (m +1)y + 4 = 0
2
必有斜率，即m -1，則 k2 = - ，m +1
m 2
故- = - ，解得m = 2 或-3，
3 m +1
當m = 2 時，直線 l1 : 2x + 3y + 4 = 0與直線 l2 : 2x + 3y + 4 = 0重合，不合題意；
4
當m = -3時，直線 l1 : x - y - = 0與直線 l2 : x - y + 2 = 0 平行，符合題意，3
故m = -3，
故選：B
6-5．（2024 高二上·福建）“ a = 3”是“直線 ax + 2y + 3a = 0和直線3x + (a -1)y - (a - 7) = 0平行且不重合”的
（ ）.
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分又非必要條件
【答案】C
【分析】分充分性和必要性兩方面計算可得.
【詳解】當 a = 3時，兩直線分別為：3x + 2y + 9 = 0，3x + 2y + 4 = 0 ，
∴兩直線斜率相等且C1 C2 ，
∴兩條直線平行且不重合；
a 2 3a
若兩直線平行且不重合，則 = ，∴ a = 3，綜上所述，a = 3是兩直線平行且不重合的充要條件，
3 a -1 7 - a
故選：C.
【點晴】此題考充要條件的判斷方法和直線平行的條件和結論，屬于基礎題.
6-6．（2024 高二下·上海黃浦·階段練習）直線 l1 : px + 3y +1 = 0 與直線 l2 : 6x - 2y - 5 = 0垂直，則 p 的值為
（ ）
A．-1 B．1 C．-9 D．9
【答案】B
【分析】利用直線的一般式方程判定直線垂直的條件進行求解.
【詳解】由題意，得 6 p + 3 (-2) = 0，解得 p = 1 .
故選：B.
6-7．（2024 高二上·安徽·階段練習）已知直線mx + 4y - 2 = 0與直線 2x - 5y + n = 0互相垂直，垂足為 1, p .
則m + n - p 等于（ ）
A． 24 B． 20 C． 4 D．0
【答案】D
【分析】由兩直線垂直得m =10，進而根據垂足是兩條直線的交點代入計算即可得答案.
【詳解】由兩直線垂直得m ×2 + 4 (-5) = 0，解得m =10，
所以原直線直線mx + 4y - 2 = 0可寫為10x + 4y - 2 = 0，
又因為垂足為 1, p 同時滿足兩直線方程，
ì10 1+ 4 p - 2 = 0
所以代入得 í ，
2 1- 5p + n = 0
ì p = -2
解得 í ，
n = -12
所以m + n - p =10 -12 + 2 = 0，
故選:D
題型 7：由兩條直線平行、垂直求直線方程
7-1．（2024 高二·貴州貴陽·階段練習）過點 (1, 2)且垂直于直線3x - 2y + 5 = 0的直線方程為（ ）
A． 2x + 3y -8 = 0 B． 2x - 3y + 4 = 0
C．3x - 2y +1 = 0 D． 2x + 3y + 8 = 0
【答案】A
【分析】設垂直于直線3x - 2y + 5 = 0的直線為 2x + 3y + C = 0，代入點 (1, 2)得C 的值，即得解.
【詳解】設垂直于直線3x - 2y + 5 = 0的直線為 2x + 3y + C = 0，
代入點 (1, 2)得C = -8，
則所求直線為 2x + 3y -8 = 0 .
故選：A.
7-2．（2024 高二下·上海浦東新·期中）過點 1,1 且與直線 x + 2y -1 = 0平行的直線方程為 .
【答案】 x + 2y - 3 = 0
【分析】根據直線平行，設所求直線為 x + 2y + m = 0，由點在直線上求參數，即可得直線方程.
【詳解】令所求直線為 x + 2y + m = 0，且 1,1 在直線上，
所以1+ 2 + m = 0 ，即m = -3，故所求直線為 x + 2y - 3 = 0 .
故答案為： x + 2y - 3 = 0
7-3．（2024 高二上·四川涼山·期末）已知直線 l 過點 A(2, -3) ，且與直線 y = x +1平行，則直線 l 的方程為
（ ）
A． x - y + 2 = 0 B． x + y +1 = 0
C． x - y - 2 = 0 D． x - y - 5 = 0
【答案】D
【分析】通過平行可設直線 l 的方程為 x - y + m = 0 m 1 ，再把點 A(2, -3) 代入即可解得m 即可求出結果
【詳解】設與直線 y = x +1即 x - y +1 = 0 平行的直線 l 的方程為 x - y + m = 0 m 1 ，
把點 A(2, -3) 代入可得 2 + 3 + m = 0，解得m = -5．
因此直線 l 的方程為 x - y - 5 = 0
故選：D
7-4．（2024 高二下·新疆伊犁·期中）過點P(-1,3)且垂直于直線 x + 2y - 3 = 0 的直線方程為 （ ）
A． x + 2y + 5 = 0 B． 2x - y + 5 = 0
C． x + 2y - 5 = 0 D． 2x - y - 5 = 0
【答案】B
【分析】根據兩直線垂直關系，設出所求直線方程， -1,3 代入，即可求解.
【詳解】設所求的直線方程為 2x - y + c = 0，
-1,3 代入方程解得 c = 5，
所求的直線方程為 2x - y + 5 = 0 .
故選：B.
題型 8：直線與坐標軸圍成三角形的面積問題
9
8-1．（2024 高二·全國·課后作業）求過點Q(5, 2) ，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積是 的直線 l的方程．
2
4
【答案】 y = x
6
+ 或 y = x - 3．
25 5
ì5 2 1 ìa 15 + = = -x y
l + =1
a b 2 ìa = 3
【分析】由題可設直線 的方程 ，故有 í1 9 ，解方程得得 í 6 或 íb 3，進而可得直a b a b = b = -=
2 2 5
線 l的方程.
【詳解】解：由題意知直線不過原點，且在兩坐標軸上的截距都存在，
x y
設其方程為 + =1．
a b
ì5 2
+ =1 ì5 2 1 ì5 2 a b + = + =1
由題意得 í ，即 ía b 或 ía b
1 9
，
a b = ab = 9 ab = -9 2 2
ì5 2
+ =1
對于方程組 ía b ，該方程組無解；
ab = 9
ì5 2 ìa
15
+ =1 = - 2 ìa = 3
對于方程組 ía b ，解得 í 或 í
ab = -9 b
6 b = -3=
5
4 6
∴直線 l的方程為 y = x + 或 y = x - 3．
25 5
【點睛】本題考查直線的截距式方程，考查運算能力，是基礎題.
8-2．（2024 高一下·江蘇揚州·期中）如圖所示，已知VABC是以 AB 為底邊的等腰三角形，點 A 1，4 ，
B 3，2 ，點 C 在直線： x - 2y + 6 = 0上．
（1）求 AB 邊上的高 CE 所在直線的方程；
（2）設直線 CD 與 y 軸交于點D 0，3 ，求VACD的面積．
【答案】（1） x - y +1 = 0 ；（2）1．
【分析】（1）根據中點坐標公式求出E 點坐標，根據CE ^ AB 得出直線斜率，最后根據點斜式可得直線方
程；
（2）聯立直線方程求出C 點坐標，通過兩點式得出 AC 的方程，求出點D到 AC 的距離以及 AC 的長，最后
求面積即可.
【詳解】（1）因為VABC 是以 AB 為底邊的等腰三角形，CE ^ AB
所以 E 為 AB 的中點，所以E 2，3 ，
因為 kAB = -1，所以 kCE =1
所以直線 CE： y - 3 = x - 2，即 x - y +1 = 0
所以 AB 邊上的高 CE 所在直線的方程為 x - y +1 = 0 ；
ìx - y +1 = 0 ìx = 4
（2） í C 4，5 x 2y 6 0，解得 í ，所以 ， - + = y = 5
y - 4 x -1
所以直線 AC： = ，即 x - 3y +11 = 0，
5 - 4 4 -1
2 10
又因為D 0，3 ，所以點 D 到直線 AC 的距離 d = = ，
10 5
AC = 10 S 1 AC d 1 10又 ，所以 VACD = = 10 =1 .2 2 5
【點睛】本題主要考查了直線方程的求法，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題.
8-3．（2024 高二·全國·課后作業）在平面直角坐標系 xOy 內，經過點 P 2,3 的直線分別與 x 軸、 y 軸的正半
軸交于A ， B 兩點，則△OAB面積最小值為 ．
【答案】12
x y 2 3
【分析】設直線的方程 + =1，由過點 P(2,3)可得 + =1，然后結合基本不等式即可得出答案.
a b a b
x y 2 3
【詳解】設直線的方程 + =1，由過點 P(2,3) 2 3 2 3可得 + =1，則有1 = + …2 · ； a 0；b 0；
a b a b a b a b
2 3
解得： ab…24，當且僅當： = 時， a = 4，b = 6時取等號；
a b
1 1
所以 SVOAB = ab… 24 =122 2
故答案為：12
8-4．（2024 高一下·湖南長沙·期末）過點 P（1，1）作直線 l，與兩坐標軸相交所得三角形面積為 1，則直
線 l 有（ ）
A．1 條 B．2 條 C．3 條 D．4 條
【答案】B
【分析】由題意設直線的方程為 y -1 = k x -1 k 0 ，然后求出直線與坐標軸的交點坐標，再由直線與兩
坐標軸相交所得三角形面積為 1，列方程可求出 k 的值，從而可得直線的條數
【詳解】由題意可知，直線的斜率存在，則設直線的方程為 y -1 = k x -1 k 0 ，
令 x = 0，解得 y =1- k y 0 x 1
1
；令 = ，解得 = - .
k
1
\ 1- k 1 1- ÷ =1，2 è k
化為 (k -1)2 = ±2k ，即 k 2 - 4k +1 = 0 ①， k 2 +1 = 0 ②，
由于方程① Δ 0，方程②無解，可得兩個方程共有 2 個不同的解.
因此直線 l共有 2 條.
故選：B.
8-5．（2024 高三·全國·對口高考）已知直線 l：3x + 4y - 7 = 0，則與已知直線 l 平行且與兩坐標軸圍成的三
角形的面積為 6 的直線方程為 ．
【答案】3x + 4 y ±12 = 0
【分析】根據平行關系可設直線為3x + 4y + m = 0，計算與兩坐標交點，根據面積公式求m 即可.
【詳解】
由題意可設方程為：3x + 4y + m = 0，
m
令 x = 0，得 y = - ，
4
令 y = 0
m
，得 x = - ，
3
1 m m
由題意知： - - = 6，
2 3 4
得m = ±12，
故直線方程為：3x + 4 y ±12 = 0，
故答案為：3x + 4 y ±12 = 0
（六）
直線過定點問題
解決直線過定點問題的思路，把平面上過定點的直線的全體稱為中心直線系.定點的確定方法：把含參直
線方程化為 f (x, y) + kg(x, y) = 0 直線系過定點問題:
解含參數的直線恒過定點問題的策略:
(1)方法一：任給直線中的參數賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線
的交點就是題目中含參數直線所過的定點，從而問題得解．
(2)方法二：含有一個參數的二元一次方程若能整理為 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其
λ A x＋B y＋C ＝0，中 是參數，這就說明了它表示的直線必過定點，其定點可由方程組{ 1 1 1A 解2x＋B2y＋C2＝0
得．若整理成 y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(x0，y0)．
ì f (x, y) = 0
,求解 í ，即可得出定點坐標.
g(x, y) = 0
題型 9：直線的恒過定點問題
9-1．（2024 高一下·浙江寧波·期中）已知點 A 1,3 , B -2,-1 .若直線 l : y = k x - 2 +1與線段 AB 相交,則 k
的取值范圍是（ ）
1
A． k B． k -2
2
1
C． k 或 k -2 D．-2 k
1

2 2
【答案】D
【分析】求出直線所過定點坐標,設定點是 P ,求出PA, PB斜率,由圖形可得結論.
【詳解】由已知直線 l恒過定點P 2,1 ,
如圖所示,若 l與線段 AB 相交,則 kPA k kPB ,
k 3-1 2, k -1-1 1因為 PA = = - = = ,1- 2 PB -2 - 2 2
1
所以-2 k .
2
故選:D.
9-2．（2024 高二上·全國·課后作業）不論 m 取何值，直線 (m -1)x - y + 2m -1 = 0 都過定點（ ）
1
A． 1, - ÷ B． (-2,1) C． (2,3) D． (-2,3)
è 2
【答案】B
ìx + 2 = 0
【分析】根據題意整理得m x + 2 - x + y +1 = 0，令 íx ，求解即可得定點. + y +1 = 0
【詳解】因為 (m -1)x - y + 2m -1 = 0 ，整理得m x + 2 - x + y +1 = 0，
ìx + 2 = 0 ìx = -2
令 í ，解得 í
x + y +1 = 0 y =1
，
所以直線過定點 (-2,1) .
故選：B.
9-3．（2024 高二上·全國·課后作業）直線 kx - y +1 = 3k ，當 k 變動時，所有直線恒過定點坐標為（ ）
A． 0,0 B． 0,1 C． 3,1 D． 2,1
【答案】C
【分析】整理所得直線方程為 k x - 3 - y +1 = 0，根據題意，即可求得結果.
【詳解】把直線方程整理為 k x - 3 - y +1 = 0，
ì x - 3 = 0 ìx = 3
令 í y 1 0，故 í y 1，所以直線恒過定點為
3,1 .
- + = =
故選：C.
9-4．（2024·吉林通化·模擬預測）若直線 kx - y + 2k -1 = 0恒過點 A，點 A 也在直線mx + ny + 2 = 0上，其中
m, n均為正數，則mn的最大值為（ ）
A 1
1
． 4 B． C．1 D．22
【答案】B
【分析】根據直線的定點可得 A -2, -1 ，進而可得 2m + n = 2 ，結合基本不等式運算求解.
【詳解】因為 kx - y + 2k -1 = 0，則 k x + 2 - y +1 = 0 ，
ìx + 2 = 0 ìx = -2
令 íy 1 0 ，解得 íy 1， + = = -
即直線 kx - y + 2k -1 = 0恒過點 A -2, -1 .
又因為點 A 也在直線mx + ny + 2 = 0上，則-2m - n + 2 = 0，
可得2m + n = 2，且m,n 0，
1
則 2m + n = 2 2 2mn ，即 0 < mn ，當且僅當 2m = n =12 時，等號成立
所以mn
1
的最大值為 .
2
故選：B.
9-5．（2024 高二上·福建福州·期中）已知直線 l方程：kx - y + 2k - 2 = 0 (k R)，若 l不經過第二象限，則 k
的取值范圍為（ ）
A． k 1 B． k 0 C．0 k 1 D． k 0
【答案】C
【分析】先把直線 l的方程化為斜截式，分 k = 0和 k 0兩類討論.當 k = 0時，符合直線 l不經過第二象限；
當 k 0時，則滿足斜率大于 0 且截距大于或等于 0，解出 k 值，結合兩類的結果即可得到 k 的取值范圍.
【詳解】由 kx - y + 2k - 2 = 0 (k R)得 y = kx + 2k - 2 .
當 k = 0時， y = -2，此時 l不經過第二象限，
所以 k = 0 .
ìk 0
當 k 0時，若 l不經過第二象限，則 í 0 < k 1
2k
，解得 .
- 2 0
所以， k 的取值范圍為0 k 1.
故選：C
9-6．（2024 高一上·河南周口·階段練習）不論 k 為何實數，直線 2k -1 x - k + 3 y - k -11 = 0恒通過一個定
點，這個定點的坐標是（ ）
A． 5,2 B． 2,3
C． 5,9 1D - ,3 ． ÷
è 2
【答案】B
【分析】直線恒過定點，即與參數 k 無關，原直線方程整理為 (2x - y -1)k - (x + 3y -11) = 0 ，令 k 的系數為
0，解方程即可得解.
【詳解】原方程可化為 (2x - y -1)k - (x + 3y -11) = 0 ，由直線恒過定點可知，
ì 2x - y -1 = 0 ìx = 2
íx 3y 11 0，解得 íy 3，所以直線恒過定點
(2,3)
+ - = =
故選：B
一、單選題
1．（2024 高二上·全國·課后作業）過兩點 0,3 , 2,1 的直線方程為( )
A． x - y - 3 = 0 B． x + y - 3 = 0
C． x + y + 3 = 0 D． x - y + 3 = 0
【答案】B
【分析】根據斜率公式求得直線的斜率，結合點斜式方程，即可求解.
【詳解】由兩點 0,3 , 2,1 1- 3，可得過兩點的直線的斜率為 k = = -1，
2 - 0
又由直線的點斜式方程，可得 y - 3 = -1 x - 0 ，即 x + y - 3 = 0 .
故選：B.
2．（2024 高二上·廣西河池·階段練習）過點 A 1,2 在兩坐標軸上的截距相等的直線方程是（ ）
A． y = 2x B． x + y - 3 = 0
C． x = y 或 x + y - 3 = 0 D． y = 2x或 x + y - 3 = 0
【答案】D
【分析】按截距為 0 和不為 0 分類討論分別求得符合題意的直線方程
x y
【詳解】當截距 a 0時，設直線方程為 + =1，
a a
將 x =1， y = 2 代入得 a = 3，∴方程為 x + y - 3 = 0
當截距 a = 0時，過原點和點 A 1,2 的直線方程為 y = 2x
又 y = 2x且在兩坐標軸上的截距相等，
∴過點 A 且在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為 y = 2x和 x + y - 3 = 0
故選：D.
3．（2024 高二上·湖南·階段練習）已知直線 l過點G 1, -3 ，H -2, 1 ，則直線 l的方程為（ ）
A． 4x + y + 7 = 0 B． 2x - 3y -11 = 0 C． 4x + 3y + 5 = 0 D． 4x + 3y -13 = 0
【答案】C
【分析】根據兩點的坐標和直線的兩點式方程計算化簡即可.
【詳解】由直線的兩點式方程可得，
y + 3 x -1
直線 l 的方程為 = ，即 4x + 3y + 5 = 0．
1+ 3 -2 -1
故選：C．
4．（2024 高二·江蘇·課后作業）過兩點 -2,4 和 4, -1 的直線在 y 軸上的截距為（ ）
14 14 7 7
A． B．- C． D．-
5 5 3 3
【答案】C
【分析】求出直線方程，令 x＝0，即可求出縱截距.
4 - -1y 1 【詳解】由題可知直線方程為： + = × 5x - 4 ，即 y = - x - 4 -1，
-2 - 4 6
7 7
令 x=0，則 y = ，故直線在 y 軸上的截距為 .
3 3
故選：C.
5．（2024 高二·全國·課后作業）過P1(2,0), P2(0,3)兩點的直線方程是（ ）
x y
A． + = 0
x y
B． - =1
3 2 3 2
x y x y
C． + =1 D． - =1
2 3 2 3
【答案】C
【分析】根據直線的截距式方程運算求解.
【詳解】由題意可知：直線在 x，y 軸上的截距分別為 2,3，
x y
根據直線的截距式可知直線方程為： + =1 .
2 3
故選：C.
6．（2024 高二上·全國·課后作業）直線 l 過點 A(-1,1), B(2, 4)，則直線 l 的方程為（ ）
A． y = x - 2 B．y = -x - 2 C． y = -x + 2 D． y = x + 2
【答案】D
【分析】根據直線的兩點式方程運算求解.
y -1 x - -1
【詳解】因為-1 2,1 4，則線 l 的方程為 =4 1 2 1 ，整理得
y = x + 2 ，
- - -
所以直線 l 的方程為 y = x + 2 .
故選：D.
7．（2024 高二上·山東棗莊·期末）過點 A 2,3 且與直線 l : 2x - 4y + 7 = 0平行的直線方程是（ ）
A． x - 2y + 4 = 0 B． 2x + y - 7 = 0
C．2x - y -1 = 0 D． x + 2y -8 = 0
【答案】A
【分析】設所求直線方程為 2x - 4y + C = 0 ，將點A 的坐標代入所求直線方程，求出C 的值，即可得解.
【詳解】設過點 A 2,3 且與直線 l : 2x - 4y + 7 = 0平行的直線方程是 2x - 4y + C = 0 ，
將點A 的坐標代入直線的方程 2x - 4y + C = 0 得 2 2 - 4 3 + C = 0，解得C = 8，
故所求直線方程為 2x - 4y + 8 = 0，即 x - 2y + 4 = 0 .
故選：A.
8．（2024 高二下·湖北·階段練習）直線 4x + 2y -1 = 0與直線 ax + 4y = 0垂直，則 a等于（ ）
A． 2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】B
4 a
【分析】利用平面內兩直線垂直，得 - ÷ - ÷ = -1，解之即可．
è 2 è 4
【詳解】因為直線 4x + 2y -1 = 0與直線 ax + 4y = 0垂直，
4 a
所以 - ÷ - ÷ = -1，解得 a = -2 .
è 2 è 4
故選：B
9．（廣西南寧市第二十六中學等 3 校 2023-2024 學年高二下學期開學聯合調研測試數學試題）直線 l過點
-1,2 且與直線 2x - 3y + 4 = 0垂直，則 l的方程是（ ）
A． 2x - 3y + 5 = 0 B．3x + 2y + 7 = 0
C．3x + 2y -1 = 0 D． 2x - 3y + 8 = 0
【答案】C
【分析】求出直線 l的斜率，然后利用點斜式可寫出直線 l的方程，化為一般式可得出答案.
2 3
【詳解】直線 2x - 3y + 4 = 0的斜率為 ，則直線 l的斜率為- ，
3 2
3
因此，直線 l的方程為 y - 2 = - x +1 ，即3x + 2y -1 = 0 .
2
故選：C.
10．（2024 高二上·全國·課后作業）經過點 (1, 2)，且與直線 2x + y -10 = 0垂直的直線方程為（ ）
A． x - 2y + 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y - 3 = 0 D．2x + y - 3 = 0
【答案】A
【分析】根據給定條件，設出所求的直線方程，利用待定系數法求解作答.
【詳解】設與直線 2x + y -10 = 0垂直的直線方程為 x - 2y + m = 0，于是1- 2 2 + m = 0，解得m = 3，
所以所求的直線方程為 x - 2y + 3 = 0 .
故選：A
11．（2024 高二下·天津北辰·階段練習）過點 -1,3 且平行于直線 2x - 3y +1 = 0的直線方程為（ ）
A． 2x - 3y +11 = 0 B．3x + 2y - 3 = 0 C． 2x - 3y - 7 = 0 D．3x + 2y + 3 = 0
【答案】A
【分析】先設出平行于直線 2x - 3y +1 = 0的直線系方程，再將點 -1,3 代入方程，進而求得所求直線的方程.
【詳解】平行于直線 2x - 3y +1 = 0的直線方程可設為 2x - 3y + h = 0(h 1)
又所求直線過點 -1,3
則 2 (-1) - 3 3+ h = 0，解之得h =11，
則所求直線為 2x - 3y +11 = 0
故選：A
12．（2024 高三上·江西新余·期末）已知直線 l1： m - 2 x - 3y -1 = 0與直線 l2；mx + m + 2 y +1 = 0相互平
行，則實數m 的值是（ ）
A．-4 B．1 C．-1 D．-4或 1
【答案】A
【分析】根據兩條直線平行，斜率相等求解即可.
【詳解】因為直線 l1： m - 2 x - 3y -1 = 0
m - 2
的斜率 k1 = ，斜率存在，且 l3 1
//l2，
所以直線 l2；mx + m + 2 y +1 = 0
m m - 2
的斜率存在，且 k2 = - = ，m + 2 3
化簡得：m2 + 3m - 4 = 0，解得m = -4或m =1.
當m = -4時，直線 l1：6x + 3y +1 = 0，直線 l2； 4x + 2y -1 = 0，此時 l1 //l2 .
當m =1時，直線 l1： x + 3y +1 = 0，直線 l2； x + 3y +1 = 0，此時 l1, l2 重合，舍去.
所以m = -4 .
故選：A
1
13．（2024 高二上·廣東肇慶·期末）“ a = ”是“直線 x + 2ay -1 = 0 與直線 a -1 x - ay -1 = 0 平行”的（
2 ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】由兩直線平行得出 a的值，再結合充分條件和必要條件的定義判斷即可.
ì1 -a = 2a × a -1 ,
【詳解】若直線 x + 2ay -1 = 0 與直線 a -1 x - ay -1 = 0 平行，則有 í
1
解得 a = 0或
-1 -1 × a -1 ,
a 1 1= ，所以當 a = 時，直線 x + 2ay -1 = 0 與直線 a -1 x - ay -1 = 0 平行，當直線 x + 2ay -1 = 0 與直線
2 2
a -1 x - ay -1 = 0 1平行時， a = 0或 a = .
2
故選：A
14．（2024 高二上·河北唐山·期中）直線 l： x - 2y + 3 = 0的斜率和在 x 軸上的截距分別為（ ）
1 1 1 1
A． ，3 B． ，-3 C．- ，3 D．- ，-3
2 2 2 2
【答案】B
【分析】由 x - 2y + 3 = 0 y
x 3
可得 = + ，據此可得答案.
2 2
【詳解】 x - 2y + 3 = 0
x 3 1
y = + ，則直線斜率為 ，
2 2 2
x 3
又令 y = 0 ，則 + = 0 x = -3，故直線在 x 軸上的截距分別為-3 .
2 2
故選：B
15．（2024 高二上·江蘇蘇州·期末）直線 x - 3y + 4 = 0的傾斜角是（ ）
π π 2π
A． B． C． D． π
3 6 3
【答案】B
【分析】由直線方程確定直線的斜率，根據斜率與傾斜角的關系即可得.
【詳解】解：直線 x - 3y + 4 = 0 y 3 x 4 3的方程可化為 = + ，可知傾斜角a a 0, π ，滿足 tana 3= ，
3 3 3
π
因此a = .
6
故選：B.
1
16．（2024 高二下·新疆塔城·開學考試）過點 (1, -1) 且斜率為 的直線 l的方程是（　　）
2
A．3x + 2y - 7 = 0 B． 2x + y - 4 = 0
C． x - 2y - 3 = 0 D． x - 2y + 3 = 0
【答案】C
【分析】先求出直線的點斜式方程，再化為一般式即可.
【詳解】過點 (1, -1)
1 1
且斜率為 的直線 l的方程是 y - (-1) = (x -1)，
2 2
即 x - 2y - 3 = 0 .
故選：C
17．（2024 高二上·廣東江門·期末）直線 Ax + By + C = 0（ A, B不同時為 0），則下列選項正確的是（ ）
A．無論 A, B取任何值，直線都存在斜率 B．當 A = 0 ，且B 0時，直線只與 x 軸相交
C．當 A 0，或B 0時，直線與兩條坐標軸都相交 D．當 A 0，且B = 0 ，且C = 0時，直線是 y
軸所在直線
【答案】D
【分析】結合直線的方程依次分析各選項即可得答案.
【詳解】解：對于 A 選項，當 A 0，且B = 0 時，直線斜率不存在，故錯誤；
對于 B 選項，當 A = 0 ，且B 0，C 0時，直線只與 y 軸相交；當 A = 0 ，且B 0，C = 0時，直線與 x
軸重合，故錯誤；
對于 C 選項，當 A 0，且B 0時，直線與兩條坐標軸都相交，故錯誤；
對于 D 選項，當 A 0，且B = 0 ，且C = 0時，直線方程為 x = 0，即 y 軸所在直線，故正確.
故選：D
18．（2024 高二上·全國·課后作業）經過點 (1,2) ，且平行于直線 2x - 3y + 5 = 0的直線方程為（ ）
A． 2x - 3y + 4 = 0 B． 2x - 3y + 2 = 0 C．3x - 2y + 4 = 0 D．3x - 2y + 2 = 0
【答案】A
【分析】先設出平行于直線 2x - 3y + 5 = 0的直線系方程，再將點 1,2 代入方程，進而求得所求直線的方
程.
【詳解】平行于直線 2x - 3y + 5 = 0的直線方程可設為 2x - 3y + h = 0(h 5)，
又所求直線過點 1,2 ，
則 2 1- 3 2 + h = 0 ，解之得 h = 4，
則所求直線為 2x - 3y + 4 = 0 .
故選：A
19．（2024·北京豐臺·二模）“ a =1”是“直線 x + ay -1 = 0與直線 ax - y +1 = 0相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】直線 x + ay -1 = 0與直線 ax - y +1 = 0相互垂直得到 a R ，再利用充分必要條件的定義判斷得解.
【詳解】因為直線 x + ay -1 = 0與直線 ax - y +1 = 0相互垂直，
所以1 (a) + a (-1) = 0 ，
所以 a R .
所以 a =1時，直線 x + ay -1 = 0與直線 ax - y +1 = 0相互垂直，所以“ a =1”是“直線 x + ay -1 = 0與直線
ax - y +1 = 0相互垂直”的充分條件；
當直線 x + ay -1 = 0與直線 ax - y +1 = 0相互垂直時，a =1不一定成立，所以“ a =1”是“直線 x + ay -1 = 0與直
線 ax - y +1 = 0相互垂直”的非必要條件.
所以“ a =1”是“直線 x + ay -1 = 0與直線 ax - y +1 = 0相互垂直”的充分非必要條件.
故選：A
【點睛】方法點睛：充分必要條件的判定，常用的方法有：（1）定義法；（2）集合法；（3）轉化法. 要
根據已知條件靈活選擇方法求解.
20．（2024 高二上·上海寶山·期末）已知P1 a1,b1 與P2 a2 ,b2 是直線 y = kx + 2（ k 為常數）上兩個不同的
點，則關于 l1 : a1x + b1 y - 2 = 0和 l2 : a2x + b2 y - 2 = 0的交點情況是（ ）
A．無論 k ，P1，P2如何，總有唯一交點 B．存在 k ，P1，P2使之有無窮多個交點
C．無論 k ，P1，P2如何，總是無交點 D．存在 k ，P1，P2使之無交點
【答案】A
【分析】根據P1, P2在直線 y = kx + 2可得bi = kai + 2 i =1,2 ，從而可得 l1, l2 有唯一交點，從而可得正確的選
項.
【詳解】因為P1 a1,b1 與P2 a2 ,b2 是直線 y = kx + 2（ k 為常數）上兩個不同的點，
所以bi = kai + 2 i =1,2 即 ai -k + bi 1- 2 = 0 i =1,2 ，
故 -k,1 既在直線 l1上，也在直線 l2上.
因為P1 a1,b1 與P2 a2 ,b2 是兩個不同的點，故 l1、 l2不重合，
故無論 k ，P1，P2如何，總有唯一交點 -k,1 .
故選：A.
二、多選題
21．（2024 高一下·江蘇鹽城·階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．過定點P0 x0 , y0 的直線都可用方程 y - y0 = k x - x0 表示
B．過定點 A 0,b 的直線都可用方程 y = kx + b表示
C．過任意兩個點P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直線都可用方程
y - y1 x2 - x1 = x - x1 y2 - y1 表示
x y
D．不過原點的直線都可用方程 + =1表示
a b
【答案】ABD
【解析】根據斜率不存在時不能用點斜式與斜截式表示；截距為零的直線不能用截距式表示；從而可得結
果.
【詳解】因為直線與 x 軸垂直時不能用點斜式與斜截式表示，所以選項 AB 不正確；
因為直線與坐標軸垂直時不能與截距式表示，所以選項 D 不正確；
y - y
C 選項，過任意兩個點P1 x1, y1 ，P2 x2 , y2 的直線，斜率存在時，方程為 y - y1 = 2 1x - x ÷ x - x1 ，可化為è 2 1
y - y1 x2 - x1 = x - x1 y2 - y1 ；斜率不存在時， x1 = x2 ，直線方程為 x = x1也滿足
y - y1 x2 - x1 = x - x1 y2 - y1 ，故 C 正確；
故選：ABD.
22．（2024 高二上·全國·專題練習）下列說法正確的是（ ）
y - y
A 1． x - x ＝k 不能表示過點 M（x1，y1）且斜率為 k 的直線方程1
x y
B．在 x 軸，y 軸上的截距分別為 a，b 的直線方程為 + =1
a b
C．直線 y＝kx+b 與 y 軸的交點到原點的距離為 b
D．過兩點 A（x1，y1）B（x2，y2）的直線方程為 (x - x2 )(y1 - y2 ) - (y - y2 )(x1 - x2 ) = 0
【答案】AD
【分析】由直線方程的意義判斷 A．由直線方程的截距式判斷 B，由直線與 y 的交點及距離的定義判斷 C，
分類討論確定過兩點的直線方程判斷 D．
y - y1
【詳解】 x - x ＝k 表示過點 M（x1，y1）且斜率為 k 的直線去掉點
(x1, y1) ，A 正確；
1
x y
在 x 軸，y 軸上的截距分別為 a，b，只有 ab 0時，直線方程為 + =1，B 錯誤；
a b
直線 y＝kx+b 與 y 軸的交點坐標是 (0,b)，交點到原點的距離為 b ，C 錯誤；
過兩點 A（x1，y1）B（x2，y2）的直線
y - y
當 x1 x
1 2
2 時，直線方程為 y - y2 = (x - x2 )，變形為 (x - x2 )(y1 - y2 ) - (y - y2 )(x1 - x2 ) = 0x - x ，1 2
當 x1 = x2 時，直線方程為 x = x2，也適合方程 (x - x2 )(y1 - y2 ) - (y - y2 )(x1 - x2 ) = 0 ，
所以 D 正確．
故選：AD．
23．（2024 高二上·江蘇揚州·期中）下列說法正確的是（ ）
A．直線 x - y - 3 = 0
9
與兩坐標軸圍成的三角形的面積是
2
B．若三條直線 x + y = 0, x - y = 0, x + ay = 3 - a不能構成三角形，則實數 a的取值集合為 -1,1
C．經過點 (1, 2)且在 x 軸和 y 軸上截距都相等的直線方程為 x + y - 3 = 0或 x - y +1 = 0
D．過 (x1, y1), (x2 , y2 )兩點的直線方程為 ( y - y1)(x2 - x1) = (x - x1)( y2 - y1)
【答案】AD
【分析】根據直線的方程即位置關系分別判斷.
【詳解】A 選項：直線 x - y - 3 = 0與 x 軸和 y 軸的交點分別為 3,0 和 0, -3 9，三角形面積為 ，A 選項正2
確；
B 選項：三條直線 x + y = 0, x - y = 0, x + ay = 3 - a不能構成三角形，可得1- a = 0或 a +1 = 0或直線過點
0,0 ，解得 a =1或 a = -1或 a = 3，B 選項錯誤；
x y
C 選項：當直線經過坐標原點時， y = 2x，當直線不經過坐標原點時，設直線方程為 + =1，代入點
a a
(1, 2) 1 2，即 + =1，解得 a = 3，故直線為 x + y - 3 = 0，C 選項錯誤；
a a
D 選項：由兩點式方程可直接判斷 D 選項正確；
故選：AD.
24．（2024 高二上·江蘇徐州·階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．點斜式 y - y1 = k x - x1 可以表示任何直線
B．過 x y x y y - y1 x - x, , = 11 1 、 2 2 兩點的直線方程為 y2 - y1 x2 - x1
C．直線 x - 2y - 4 = 0與直線 2x + y +1 = 0相互垂直．
D．直線 y = 4x - 2 在 y 軸上的截距為-2
【答案】CD
【分析】利用點斜式方程可判斷 A 選項；利用兩點式方程可判斷 B 選項；利用兩直線垂直的斜率關系可判
斷 C 選項；利用截距的定義可判斷 D 選項.
【詳解】對于 A 選項，點斜式 y - y1 = k x - x1 不表示與 x 軸垂直的直線，A 錯；
對于 B 選項，過 x1, y1 x y
y - y
, 1
x - x1
、 2 2 兩點且斜率不為零的直線方程為 =y ，B 錯；2 - y1 x2 - x1
x - 2y - 4 = 0 k 1對于 C 選項，直線 的斜率為 1 = ，直線 2x + y +1 = 0的斜率為 k2 = -2，2
所以， k1k2 = -1，故直線 x - 2y - 4 = 0與直線 2x + y +1 = 0相互垂直，C 對；
對于 D 選項，直線 y = 4x - 2 在 y 軸上的截距為-2，D 對.
故選：CD.
三、填空題
25．（2024 高三·全國·課后作業）經過點 -3,1 和點 2, -2 的直線方程是 .
【答案】3x + 5y + 4 = 0
【分析】根據兩點式求得直線方程.
【詳解】經過點 -3,1 和點 2, -2 y -1 x + 3的直線方程是： = ，
-2 -1 2 + 3
整理得3x + 5y + 4 = 0 .
故答案為：3x + 5y + 4 = 0
26．（2024 高二·江蘇·假期作業）不論 a取何值時，直線 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 恒過第 象限．
【答案】四
ì x + 2y = 0
【分析】化簡直線方程為 a x + 2y - 3x + 6 = 0，列方程組 í 3x ，進而求解即可. - + 6 = 0
【詳解】直線 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 可化為 a x + 2y - 3x + 6 = 0，
ì x + 2y = 0 ìx = 2
由 í 3x 6 0，得 íy 1， - + = = -
所以直線 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 恒過定點 2, -1 ，
因為 2, -1 在第四象限，
故直線 a - 3 x + 2ay + 6 = 0 恒過第四象限．
故答案為：四.
27．（2024 高二上·全國·課后作業）傾斜角為30°，且過點 (-2,0) 的直線斜截式方程為 ．
y 3 2 3【答案】 = x +
3 3
【分析】先求直線斜率，再利用點斜式方程運算求解.
【詳解】因為直線的傾斜角為30°，則直線的斜率 k = tan 30 3° = ，
3
y 3 x 2 y 3 x 2 3所以直線的方程 = + ，即 = + .
3 3 3
3 2 3
故答案為： y = x + .
3 3
28．（2024 高二上·全國·專題練習）若直線過點 1,1 且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為 2，則這樣的直
線有 條.
【答案】3
ì 1 1+ =1
x y l + =1 a b【分析】設直線 的截距式為 ，即可得到 í ，解得即可.a b 1 ab = 2
2
x y
【詳解】解：依題意直線在坐標軸上的截距均不為0 ，設直線 l的截距式為 + =1，
a b
∵直線 l經過點 1,1 ，且與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為 2，
ì 1 1+ =1
a b ìa = 2 ì a = -2 + 2 2 ì a = -2 - 2 2∴ í1 ，解得 íb ，或 ，或 ， ab 2 = 2
í í
= b = -2 - 2 2 b = -2 + 2 2
2
所以直線 l的條數為3條．
故答案為：3
29．（2024 高二·全國·課后作業）若直線 l 與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，且此三角形的面積為 18，
則直線 l 的方程為 .
【答案】 x ± y + 6 = 0或 x ± y -6 = 0
x y
【分析】由題意可得直線 l 在兩坐標軸上的截距的絕對值相等且不為 0，設直線方程為 + =1，其中
a b
| a |=| b |，根據三角形面積即可求解.
【詳解】解：因為直線 l 與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形，
所以直線 l 在兩坐標軸上的截距的絕對值相等且不為 0.
x y
設直線方程為 + =1，則 | a |=| b | .
a b
1 1 2
因為 | a | × | b |= | a | =18，即 a2 = 36，所以 a = ±6 ，2 2
所以 a = 6時，b = ±6，當 a = -6 時，b = ±6，
所以直線方程為 x ± y + 6 = 0或 x ± y -6 = 0 .
故答案為: x ± y + 6 = 0或 x ± y -6 = 0 .
30．（2024 高一上·廣東廣州·期末）求過點P 2,3 ，并且在兩軸上的截距相等的直線方程 ．
【答案】3x - 2y = 0或 x + y = 5
【分析】當直線經過原點時，直線的方程直接求出；當直線不經過原點時，設直線的截距式為
x y
+ =1 a 0 ，把點 P 的坐標代入即可得出．
a a
3
【詳解】當直線經過原點時，直線的方程為 y = x，化為3x - 2y = 0，
2
x y
當直線不經過原點時，設直線的截距式為 + =1 a 0 ，
a a
把點P 2,3 2 3代入可得： + =1，解得 a = 5，
a a
所以直線的方程為： x + y = 5，
綜上所述，所求直線方程為3x - 2y = 0或 x + y = 5 .
故答案為：3x - 2y = 0或 x + y = 5 .
31．（2024 高二下·上海閔行·階段練習）過點 5,2 ，且在兩坐標軸上截距相等的直線一般式方程是 ．
【答案】2x - 5y = 0或 x + y - 7 = 0
【分析】由題意，根據在坐標軸上的截距相等，分類討論，即可求解所求直線方程.
2
【詳解】解：由題意，當直線過原點時，此時所求直線方程的斜率 k = ，
5
2
所以直線方程為 y = x ，即2x - 5y = 0；
5
x y
當直線不過原點時，設直線方程為 + =1 a 0 ，代入點 5,2 ，
a a
5 2
可得 + =1 a = 7，所以直線方程為 x + y - 7 = 0，
a a
故答案為：2x - 5y = 0或 x + y - 7 = 0 .
32．（2024 高二下·上海普陀·期中）若3x1 + 4y1 =1,3x2 + 4y2 =1，且 x1 x2 ，則經過 A x1,y1 、B x2 ,y2 的直
線 l的一般方程為
【答案】3x + 4y -1 = 0
【分析】根據 A x1, y1 、B x2 , y2 都在同一直線上,結合兩點確定一條直線可知直線的唯一性,即得直線方程.
【詳解】若3x1 + 4y1 =1,3x2 + 4y2 =1 ,
則點 A x1, y1 在直線3x + 4y -1 = 0上,
點B x2 , y2 在直線3x + 4y -1 = 0上
即 A x1, y1 、B x2 , y2 都在同一直線3x + 4y -1 = 0上
因為兩點確定一條直線,所以由 A x1, y1 、B x2 , y2 確定的直線即為3x + 4y -1 = 0
故答案為: 3x + 4y -1 = 0
33．（2024 高二上·重慶長壽·期末）經過點 (1, 2)且與直線2x - y +1 = 0垂直的直線方程是 ．（用一
般式表示）
【答案】 x + 2y - 5 = 0
【分析】根據給定條件，設出所求直線方程，利用待定系數法求解作答.
【詳解】設與直線2x - y +1 = 0垂直的直線方程為 x + 2y + m = 0，
于是1+ 2 2 + m = 0，解得m = -5，
所以所求的直線方程為 x + 2y - 5 = 0 .
故答案為： x + 2y - 5 = 0
34．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線 l : kx - y +1+ 2k = 0，若直線 l 在兩坐標軸上的截距相等，則實
數 k 的值為 ；若直線 l 不經過第三象限，則 k 的取值范圍是 .
1 1
【答案】 -1或- ； - k 0 .
2 2
【分析】分別令 x = 0和 y = 0 求出直線在兩坐標軸上的截距，利用截距相等解方程求出 k 的值；先分析 l過定
點，然后根據條件結合圖示判斷出直線斜率滿足的不等式，由此求解出 k 的取值范圍.
【詳解】因為直線 l 在兩坐標軸上的截距相等，所以 k 0，
在 kx - y +1+ 2k = 0 中，
1
令 x = 0，得 y =1+ 2k ，令 y = 0 ，得 x = -2 - ，
k
1
依題意可得1+ 2k = -2 - ，即 2k 2k + 3k +1 = 0
，
1
解得 k = - 或 k = -1；
2
ìx + 2 = 0
直線 l的方程可化為 k x + 2 - y +1 = 0，所以 í y ， - +1 = 0
ìx = -2
所以 í ，所以直線 l過定點M -2,1 ，
y =1
所以 k
1
OM = - ，由直線 l : kx - y +1+ 2k = 0可得： y = kx + 2k +1，2
1
若 l不經過第三象限，則- k 0 ，
2
1 1
故答案為：-1或- ；- k 0 .
2 2
四、解答題
35．（2024 高二·全國·專題練習）根據下列條件寫出直線方程，并化為一般式：在 x，y軸上的截距分別為
-3，-1.
【答案】 x + 3y + 3 = 0
【分析】根據直線的截距式方程運算求解即可.
x y
【詳解】由直線的截距式方程可知，所求直線方程 + =1，
-3 -1
化為一般式方程為 x + 3y + 3 = 0 .
36．（2024 高二上·山東濟寧·期中）已知VABC 的頂點分別為 A(2,4),B(0,-2),C(-2,3)，求：
(1)直線 AB 的方程 ;
(2)AB 邊上的高所在直線的方程 ;
【答案】(1)3x - y - 2 = 0
(2) x + 3y - 7 = 0
【分析】（1）由 AB 的坐標可得斜率，由點斜式方程可寫出方程，化為一般式即可；
（2）由垂直關系可得高線的斜率，由高線過點 C，同（1）可得.
4 - (-2)
【詳解】（1）Q A(2, 4), B(0,-2) ，\kAB = = 3，2 - 0
由點斜式方程可得 y - (-2) = 3(x - 0)，
化為一般式可得3x - y - 2 = 0
（2）由（1）可知 kAB = 3，
1
故 AB 邊上的高線所在直線的斜率為- ，
3
又 AB 邊上的高線所在直線過點C(-2,3)，
1
所以方程為 y - 3 = - (x + 2) ，
3
化為一般式可得 x + 3y - 7 = 0 .
37．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 l 經過點 A(-2,1)，B(3, -3)，求直線 l 的方程，并求直線 l 在
y 軸上的截距.
【答案】 4x + 5y + 3 = 0 -
3
， .
5
【分析】根據給定條件，求出直線 l的斜率，再利用直線點斜式方程求解作答.
1- (-3) 4
【詳解】依題意，直線 l的斜率 k = = - ，
-2 - 3 5
4
直線 l的方程為 y -1 = - (x + 2) ，即 4x + 5y + 3 = 0
3
，當 x = 0時， y = - ，
5 5
所以直線 l的方程為 4x + 5y + 3 = 0
3
，直線 l 在 y 軸上的截距為- .
5
38．（2024 高二下·湖北宜昌·階段練習）設直線的方程為 (a +1)x + y + 2 - a = 0, a R .
（1）若在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；
（2）若與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 1，求 a 的值.
【答案】（1）3x + y = 0或 x + y + 2 = 0（2） a = 3± 7
【分析】（1）討論截距是否為 0：當截距為 0 時，過原點，代入可得 a，進而得直線方程；當截距不為 0
時，使得截距相等，求得 a，進而得直線方程；
（2）先求得直線在 x 軸， y 軸上的截距，結合面積為 1，即可解方程求得 a 的值.
【詳解】（1）由題意知，
當直線過原點時，該直線在兩條坐標軸上的截距都為 0，
此時 a = 2，直線的方程為3x + y = 0；
a - 2
當直線不過原點時，由截距相等，得 a - 2 = ，則 a = 0，
a +1
直線的方程為 x + y + 2 = 0，
綜上所述，所求直線的方程為3x + y = 0或 x + y + 2 = 0 .
（2）由題意知，直線在 x y
a - 2
軸， 軸上的截距分別為 、 a - 2 ，
a +1
1 a - 2
a - 2 =1，
2 a +1
解得 a = 3± 7 .
【點睛】本題考查了直線方程截距的概念，直線方程的求法，由直線圍成圖形面積的應用，屬于基礎題.
39．（2024 高二下·上海·課后作業）直線 l過點 P(-2,3)，且與兩軸圍成的三角形面積為 4，求直線 l的方程.
【答案】9x + 2y +12 = 0或 x + 2y - 4 = 0
【分析】由題意知，直線 l的斜率存在且不為 0，設直線 l : y - 3 = k(x + 2) .求出直線與 x 軸、 y 軸的交點，在
1 3 3
根據面積公式計算得 - - 2
(2k + 3) = 4 ，即 + 2
(2k + 3) = ±8，再分類討論計算可得；
2 ÷ ÷è k è k
【詳解】解：由題意知，直線 l的斜率存在且不為 0.設直線 l : y - 3 = k(x + 2) .
設此直線與 x 軸、 y 軸的交點分別為 A, B，則點 A, B
3
的坐標分別為 - - 2,0

÷ , (0, 2k + 3)
è k
1 3- - 2 因此面積為 ÷ (2k + 3) = 4，2 è k
3 + 2 即 ÷ (2k + 3) = ±8 .
è k
3
若 + 2÷ (2k + 3) = 8，得 4k 2 + 4k + 9 = 0,D = 42 - 4 4 9 < 0，無解；
è k
3
若 + 2

÷ (2k + 3) = -8，得k 4k
2 + 20k + 9 = 0 .
è
k 1 k 9解方程，得 = - 或 = - .
2 2
所以，直線 l : y
1
- 3 = - (x + 2)，即 x + 2y - 4 = 0；
2
或直線 l : y 3
9
- = - (x + 2)，即9x + 2y +12 = 0 .
2
【點睛】本題考查點斜式求直線方程，三角形面積公式的應用，屬于基礎題.
1
40．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 l 的斜率為－1，且它與兩坐標軸圍成的三角形的面積為 ，
2
求直線 l 的方程．
【答案】y＝－x＋1 或 y＝－x－1．
【分析】先根據題意按點斜式寫出直線方程，再分別令 x = 0， y = 0 得與坐標軸的交點坐標，根據直角三角
形面積公式可得方程，即可求出直線 l的方程．
【詳解】解：設直線 l 的方程為 y＝－x＋b，則它與兩個坐標軸的交點為 A(b，0)和 B(0，b)，所以圍成的兩
個直角邊長都為|b|，
1 2
故其面積為 b ，
2
1 b2 1由 = ，解得 b＝±1，
2 2
故所求直線的方程為 y＝－x＋1 或 y＝－x－1．
41．（2024 高一下·安徽·階段練習）已知點 A（5，1）關于 x 軸的對稱點為 B（x1，y1），關于原點的對稱
點為 C（x2，y2）.
(1)求△ABC 中過 AB，BC 邊上中點的直線方程；
(2)求△ABC 的面積.
【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0
(2)10
【分析】（1）先求出點的對稱點的坐標，再用兩點式求出直線的方程．
（2）先判斷求出 AB 和 BC 的值，判斷 AB⊥BC，從而求出△ABC 的面積．
【詳解】（1）∵點 A（5，1）關于 x 軸的對稱點為 B（x1，y1），∴B（5，﹣1），
又∵點 A（5，1）關于原點的對稱點為 C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1），
∴AB 的中點坐標是（5，0），BC 的中點坐標是（0，﹣1）．
y - 0 x - 5
過（5，0），（0，﹣1）的直線方程是 = ，
-1- 0 0 - 5
整理得 x﹣5y﹣5＝0．
（2）由題意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC，
1
∴△ABC 的面積 S = AB
1
× BC = 2 10 =10．
2 2
42．（2024 高二·全國·專題練習）VABC 的三個頂點是 A 4,0 ，B 6,7 ，C 0,3 ，求：邊 BC 上的中線所
在直線的方程；
【答案】5x + y - 20 = 0
【分析】先求出BC 的中點，從而可求出BC 邊上的中線的斜率，進而可求出BC 邊上的中線所在的直線方
程
B 6,7 C 0,3 6 + 0 , 7 + 3 【詳解】由 ， ，得BC 的中點為 ÷ = (3,5)，
è 2 2
5 - 0
所以BC 邊上的中線的斜率為 = -5，
3- 4
所以邊 BC 上的中線所在直線的方程為 y - 0 = -5(x - 4)，即5x + y - 20 = 0；
43．（2024 高二上·湖北·階段練習）已知直線 l : kx - y +1+ 2k = 0 k R .
（1）若直線 l 不經過第四象限，求 k 的取值范圍；
（2）若直線 l 交 x 軸負半軸于點 A，交 y 軸正半軸于點 B，求VAOB 面積的最小值；
（3）已知P 1,5 ，若點 P 到直線的距離為 d，求 d 最大時直線的方程.
【答案】（1） k 0；（2） 4；（3）3x + 4y + 2 = 0 .
【分析】（1）根據方程可得直線 l 恒過定點M -2,1 ，然后可得答案；
1 1
（2）可得 S△AOB = OA OB = 2k + + 2，然后利用基本不等式可求出其最小值；2 2k
（3）當PM ^ L時，d 最大，然后可求出答案.
【詳解】（1）直線 l 的方程為 k x + 2 - y +1 = 0，直線 l 恒過定點M -2,1 ，
∴若直線 l 不經過第四象限，則 k 0，
（2）因為直線 l 交 x 軸負半軸于點 A，交 y 軸正半軸于點 B，所以 k 0
y 0 x 1+ 2k取 = ， = - ， x = 0， y =1+ 2k ，
k
1 1
所以 S△AOB = OA OB = 2k + + 2 4
1
，當且僅當k = 時等號成立.
2 2k 2
4 3
（3）當PM ^ L時，d 最大， kPM = ，可得直線的斜率為- ，3 4
3
則直線的方程 y -1 = - x + 2 ，即3x + 4y + 2 = 0 .
4
44．（2024 高二上·河北邢臺·階段練習）已知直線 l： 2a + 3 x - a -1 y + 3a + 7 = 0， a R .
(1)證明直線 l過定點A ，并求出點A 的坐標；
1
(2)在（1）的條件下，若直線 l 過點A ，且在 y 軸上的截距是在 x 軸上的截距的 ，求直線 l 的方程；
2
(3)若直線 l不經過第四象限，求 a的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析，點A 的坐標為 -2, -1
(2) x - 2y = 0或 x + 2y + 4 = 0
7- , - ù(3)
è 3ú
1,+

【分析】（1）化簡方程為直線系方程的形式，組成方程組解出直線過的點；
（2）根據題意分直線過原點、不過原點討論，分析解決即可；
3 3
（3）分① a =1，② a = - ，③ a 1，且 a - 三種情況進行討論分析解決.
2 2
【詳解】（1）證明：整理直線 l的方程，得 2x - y + 3 a + 3x + y + 7 = 0，
所以直線 l過直線 2x - y + 3 = 0與3x + y + 7 = 0的交點，
ì2x - y + 3 = 0
聯立方程組 í
3x y
，
+ + 7 = 0
ìx = -2
解得 íy 1， = -
所以直線 l過定點A ，點A 的坐標為 -2, -1 .
1
（2）當截距為 0 時，直線 l 的方程為 y = x，即 x - 2y = 0，
2
x y
當截距不為 0 時，設直 l 線的方程為 + =1，
a b
ì-2 -1
+ =1
則 í a b ，
a = 2b
ìa = -4
解得 í
b 2
，
= -
x y
直線 l 的方程為 + =1，即 x + 2y + 4 = 0，
-4 -2
故直線 l 的方程為 x - 2y = 0或 x + 2y + 4 = 0 .
（3）當 a =1時，直線 l的方程為 x = -2，符合題意；
a 3當 = - 時，直線 l的方程為 y = -1，不符合題意；
2
3 2a + 3 3a + 7
當 a 1，且 a - 時， y = x + ，
2 a -1 a -1
ì2a + 3
0 ì 2a + 3 a -1 0 a -1
所以 í 3a + 7 a -1 0
3a + 7
í
0
a -1 0 a -1
7
解得 a 1或 a - ，
3
綜上所述，當直線 l不經過第四象限時，
a 7 ù的取值范圍是： - , - ú 1,+ .è 3
45．（2024 高一下·山東濱州·階段練習）已知直線 l1 : 3x + m - 4 y +11 = 0與 l2 : x + my - 7 = 0垂直，求m .
【答案】m=1 或 m=3
【分析】由直線垂直的性質求解即可.
【詳解】因為直線 l1 : 3x + m - 4 y +11 = 0與 l2 : x + my - 7 = 0垂直，
所以3 + m m - 4 = 0，解得 m=1 或 m=3.
46．（2024 高二上·福建福州·期中）已知直線 l過點M 3,2 ．
(1)若直線 l在兩坐標軸上的截距相等，求直線 l的方程；
(2)若 l與 x 軸正半軸的交點為A ，與 y 軸正半軸的交點為 B ，求VAOB （O為坐標原點）面積的最小值．
【答案】(1) 2x - 3y = 0或 x + y - 5 = 0
(2)12
【分析】（1）分兩種情況討論，當直線過原點，代入求出參數的值，當直線不過原點時，設出直線截距式，
代點即可求解；
（2）利用三角面積公式、基本不等式，求得VAOB 面積的最小值．
2 2
【詳解】（1）當直線經過原點時，直線的斜率為 k = ，所以直線的方程為 y = x，即 2x - 3y = 0；
3 3
當直線不過原點時，設直線的方程為 x + y = a，代入點M 3,2 可得 a = 5，
所以所求直線方程為 x + y = 5，即 x + y - 5 = 0．
綜上可得，所求直線方程為： 2x - 3y = 0或 x + y - 5 = 0．
（2）依題意，設點 A a,0 ，B 0,b x y（ a 0，b 0），直線 AB 的方程為 + =1，
a b
3 2
又點M 3,2 在直線 AB 上，于是有 + =1，
a b
1 3 2 2 6利用基本不等式 = + ，即 ab 24，當且僅當 a = 6，b = 4 時等號成立，
a b ab
1
\SVAOB = ab 12，即VAOB 的面積的最小值為 12．2
47．（2024 高二上·湖北武漢·期末）已知直線方程為 y + 2 = k x +1 ．
(1)若直線的傾斜角為135o，求 k 的值；
(2)若直線分別與 x 軸、 y 軸的負半軸交于A 、B 兩點，O為坐標原點，求VAOB 面積的最小值及此時直線的
方程．
【答案】(1) k = -1；
(2)VAOB 面積的最小值為 4，此時直線 l的方程為 2x + y + 4 = 0 .
【分析】（1）由直線的斜率和傾斜角的關系可求得 k 的值；
（2）求出點A 、 B 的坐標，根據已知條件求出 k 的取值范圍，求出VAOB 的面積關于 k 的表達式，利用基
本不等式可求得VAOB 面積的最小值，利用等號成立的條件可求得 k 的值，即可得出直線的方程.
o o o o
【詳解】（1）解：由題意可得 k = tan135 = tan 180 - 45 = - tan 45 = -1 .
2 - k 2 - k
（2）解：在直線 AB 的方程中，令 y = 0 可得 x = ，即點 A ,0 ，
k ֏ k
令 x = 0可得 y = k - 2 ，即點B 0, k - 2 ，
ì2 - k
< 0
由已知可得 í k ，解得 k < 0，
k - 2 < 0
2
S 1 2 k k - 2 1 k - 2 1 k 4 4 1 4所以， △AOB = - × = - × = - + - ÷ =
é
ê -k + + 4
ù
2 k 2 k 2 è k 2 -k ú
1 é ù
ê2 -k
4
× + 4
2 -k ú
= 4 ，

當且僅當 k = -2 時，等號成立，此時直線的方程為 y + 2 = -2 x +1 ，即 2x + y + 4 = 0 .
48．（2024 高一上·內蒙古呼和浩特·期末）已知一條動直線 l : 3 m +1 x + my - 6m - 4 = 0，
(1)求證：直線 l 恒過定點，并求出定點 P 的坐標；
(2)若直線 l 與 x 、 y 軸的正半軸分別交于A 、 B 兩點，O為坐標原點，是否存在直線 l 同時滿足下列條件：
①VAOB 的周長為12；②VAOP 的面積為 4 .若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.
4
【答案】(1)

證明見解析，定點 , 23 ÷；è
(2)存在，且直線方程為3x + 4y -12 = 0 .
ì3x + y - 6 = 0
【分析】（1）將直線方程變形為m 3x + y - 6 + 3x - 4 = 0，解方程組 í3x 4 0 ，可得定點 P 的坐標； - =
（2）設點 A 的坐標為 a,0 a 0 ，根據 S△AOP = 4 求出 a的值，可得出點A 的坐標，進而可求得直線 AB 的
方程，可求出該直線與 y 軸的交點 B 的坐標，即可求得VAOB 的周長，即可得解.
【詳解】（1）證明：將直線方程3mx + 3x + my - 6m - 4 = 0變形為m 3x + y - 6 + 3x - 4 = 0，
ì3x + y - 6 = 0 ì x
4
=
由 í ，可得 í 3
3x - 4 = 0
，
y = 2
因此，直線3 m 4+1 x + my - 6m - 4 = 0 恒過定點P , 2÷ .
è 3
（2）解：設點 A 的坐標為 a,0 a 0 ，若 S 1△AOP = a 2 = 4 ，則 a = 4，2
4 k 0 - 2 3 = = -
則 A 4,0 、P , 2 ，直線 AP 的斜率為 AP 43 ÷ 4 - 4 ，è 3
3
故直線 AB 的方程為 y = - x - 4 ，即3x + 4y -12 = 0，
4
此時直線 AB 與 y 軸的交點為B 0,3 ，則 OA = 4， OB = 3， AB = 32 + 42 = 5，
此時VAOB 的周長為12 .
所以，存在直線3x + 4y -12 = 0滿足題意.
49．（2024 高三·全國·專題練習）已知直線 l過點M (2,1)，且分別與 x 軸的正半軸、 y 軸的正半軸交于 A, B
兩點，O為原點，當VAOB 面積最小時，求直線 l的方程．
【答案】x＋2y－4＝0
【分析】方法一：設直線 l的方程為 y -1 = k(x - 2)(k 0)
1< ，則 A 2 - ,0

÷ , B 0,1- 2k ，然后表示出VAOB
è k
的面積，利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出直線 l的方程，方法二：設直線 l：
x y
+ =1(a 0,b 0) 2 1 ，則 + =1，然后利用基本不等式可得 ab 8，從而可求出其最小值，進而可求出直
a b a b
線 l的方程.
【詳解】方法一：由題意可得直線 l的斜率存在，設直線 l的方程為 y -1 = k(x - 2)(k < 0)，
1
則 A 2 - ,0

÷ , B 0,1- 2k ，
è k
1 1
所以 SVAOB = 1- 2k 2 -2 è k ÷
1 é
= 4 + (-4k) + 1 ùê -

2 ÷ è k
ú

1 é ù
ê4 + 2 (-4k)
1
-

÷ ú = 4，2 ê è k ú
1 1
當且僅當-4k = - ，即 k = - 時，取等號，
k 2
1
故直線 l的方程為 y -1 = - (x - 2)，
2
即 x + 2y - 4 = 0 .
x y
方法二：設直線 l： + =1(a 0,b 0) ，
a b
因為直線 l 過點M (2,1)，
2 1
所以 + =1，
a b
2 1 2 1 2 2 1 1
則1 = + 2 × = 2 ，所以 ab 8，當且僅當 = = 時取等號，
a b a b ab a b 2
所以 S
1
VAOB 的最小值為 ab = 4，2
此時 a = 4,b = 2，故直線 l x y的方程為 + = 14 2 ，
即 x + 2y - 4 = 0 .
50．（2024 高二上·全國·專題練習）已知直線 l的方程為： 2 + m x + 1- 2m y + 4 - 3m = 0．
(1)求證：不論m 為何值，直線必過定點M ；
(2)過點M 引直線 l1，使它與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積最小，求 l1的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2) 2x + y + 4 = 0
【分析】（1）列出方程 x - 2y - 3 m + 2x + y + 4 = 0，分別令 x - 2y - 3 = 0， 2x + y + 4 = 0可求出定點；
（2）先令 y = 0 x
k - 2
， = ，令 x = 0，y = k - 2，再表達出三角形面積，最后利用基本不等式求解即可.
-k
【詳解】（1）證明：Q直線 l的方程為： 2 + m x + 1- 2m y + 4 - 3m = 0
\提參整理可得： x - 2y - 3 m + 2x + y + 4 = 0．
ìx - 2y - 3 = 0 ìx = -1
令 í ，可得 í ，
2x + y + 4 = 0 y = -2
\不論m 為何值，直線必過定點M -1, -2 .
（2）設直線 l1的方程為 y = k x +1 - 2(k < 0)．
令 y = 0
k - 2
， 則 x = ，
-k
令 x = 0，．則 y = k - 2 ，
\直線 l1與兩坐標軸的負半軸所圍成的三角形面積
S 1 k - 2 k 2 1 4 1
4
= - = é ù
2 -k 2 ê
-k + + 4ú 2 -k ×-k ÷ + 4÷ = 4． 2 è è -k ÷
4
當且僅當-k = ，即 k = -2 時，三角形面積最小．
-k
此時 l1的方程為 2x + y + 4 = 0．
51．（2024 高二·全國·課后作業）過點P 2,1 作直線 l 分別交 x 軸、y 軸的正半軸于 A，B 兩點.
(1)求 | OA | × | OB |的最小值，及此時直線 l 的截距式方程；
(2)求 | PA | × | PB |的最小值，及此時直線 l 的截距式方程.
x y
【答案】(1)8， + = 14 2
x y
(2)4， + =1
3 3
x y
【分析】（1）根據題意可設直線 l 的方程為 + =1(a 0,b 0) ，代入點結合基本不等式可求出結果.
a b
2 1 2 1
（2）由（1）可得 + =1，則可推出 PA × PB == 2 a - 2 + 2 + 2 ，結合基本不等式可求出結果.a b a - 2
x y
【詳解】（1）根據題意可設直線 l 的方程為 + =1(a 0,b 0) ，則 A(a,0) ，B(0,b)，
a b
P(2,1) 2 1因為直線 l 過點 ，所以 + =1(a 0,b 0) ，
a b
2 1 2 2
2 1
又 + （當且僅當 = ，即 a = 4，b = 2 時取等號），
a b ab a b
2 2所以 1，即 ab 8，
ab
所以 | OA | × | OB |= ab的最小值為 8 x y，此時直線 l 的截距式方程為 + = 14 2 .
2 1
（2）由（1）可知 + =1，
a b
b a所以 = 0，則 a 2，
a - 2
所以 PA × PB = a - 2 2 +1 × 4 + b -1 2
a 2
= (a - 2)2 +1 × 4 + -1
è a - 2 ÷
= (a 4- 2)2 +1 × 4 +
(a - 2)2
= 2 (a - 2)2 1+ 2 + 2(a - 2)
2 2 + 2 = 4，
(a 2)2 1當且僅當 - = (a 2)2 ，即 a = 3時取等號.-
所以 | PA | × | PB |
x y
的最小值為 4，此時 a = 3，b = 3，直線 l 的截距式方程為 + =1 .
3 3
52．（2024 高二下·上海金山·期中）已知直線 l： kx - y +1+ 2k = 0 ， k R
（1）直線過定點 P，求點 P 坐標；
（2）若直線 l 交 x 軸負半軸于點 A，交 y 軸正半軸于點 B，O 為坐標原點，設三角形OAB 的面積為 4，求出
直線 l 方程．
【答案】（1）P -2,1 （2） x - 2y + 4 = 0
【分析】（1）將 kx - y +1+ 2k = 0 變形為 k x + 2 + 1- y = 0 ，列方程可得直線所過的定點；
1
（2）求出點A ，點 B 的坐標，代入三角形OAB 的面積 S = ×OA ×OB = 4，解方程可得 k .
2
【詳解】解：（1）由 kx - y +1+ 2k = 0 ，可得 k x + 2 + 1- y = 0 ，
∴直線 l： kx - y +1+ 2k = 0 必過直線 x + 2 = 0，1- y = 0的交點 -2,1 ，
∴ P -2,1 ；
（2）∵直線 l交 x 軸負半軸于點A ，交 y 軸正半軸于點 B ，
∴ k 0 ，
A 1+ 2k令 y = 0 ，得 - ,0

÷ ；令 x = 0，得B 0,1+ 2k ，
è k
1 1 1+ 2k
三角形OAB 的面積為 S = ×OA ×OB = 1+ 2k = 4 ，
2 2 k
1
解得k = ，
2
∴直線 l方程為： x - 2y + 4 = 0 .
【點睛】本題考查了直線過定點問題，三角形的面積問題，屬于中檔題.
53．（2024 高二下·湖南常德·期中）已知直線 l的方程為 a +1 x + y - 5 - 2a = 0 a R ．
(1)求直線 l過的定點 P 的坐標；
(2)直線 l與 x 軸正半軸和 y 軸正半軸分別交于點 A，B ，當VAOB 面積最小時，求直線 l的方程；
【答案】(1) 2,3 ；
(2)3x + 2y -12 = 0
【分析】（1）將直線 l的方程變形，列出方程組即可求解；
（2）利用直線的截距式方程設出直線 l的方程，根據（1）的結論及基本不等式，結合三角形的面積公式即
可求解.
【詳解】（1）由題意，直線 l的方程可化為 x - 2 a + x + y - 5 = 0 ，
ìx - 2 = 0 ìx = 2
聯立方程組 í
x + y - 5 = 0
解得 í ，
y = 3
所以直線 l過的定點P 2,3 ．
x y
（2）設直線 + =1(a 0,b 0) ，則 A(a,0), B(0,b)，
a b
2 3
由 （1） 知，直線 l 過的定點P 2,3 ，可得 + =1，
a b
因為 a 0,b 0，
所以1 2 3 6= + 2 ，解得 ab 24，
a b ab
2 3 2 3
當且僅當 = 且 + =1即 a = 4,b = 6時，等號成立，
a b a b
1 1 1
所以VAOB 面積為 S = a b = ab 24 =12 ，
2 2 2
x y
此時對應的直線方程為 + =1，即3x + 2y -12 = 0．
4 6
54．（2024 高二上·全國·課后作業）當直線方程 Ax + By + C = 0的系數 A，B，C 滿足什么條件時，該直線分
別具有以下性質？
(1)過坐標原點；
(2)與兩條坐標軸都相交；
(3)只與 x 軸相交；
(4)是 x 軸所在直線；
(5)設P x0 , y0 為直線 Ax + By + C = 0上一點，證明：這條直線的方程可以寫成 A x - x0 + B y - y0 = 0 ．
【答案】(1)C = 0且 A、B不同為0
(2) A、B都不為 0
(3) B = 0 且 A 0
(4) A = 0,C = 0, B 0
(5)證明見解析
【分析】（1）將O 0,0 代入 Ax + By + C = 0可得答案；
（2）分C = 0、C 0討論，可得答案；
（3）直線只與 x 軸相交，就是與 y 軸平行、重合均可，根據直線方程可化成 x = a形式可得答案；
（4）將直線方程化為 y = 0 可得答案；
（5）將 P 代入直線方程得C = -Ax0 - By0，再代入直線方程化簡可得答案.
【詳解】（1）將O 0,0 代入 Ax + By + C = 0得C = 0，
當C = 0且 A、B不同為0 方程表示過坐標原點的直線；
（2）直線 Ax + By + C = 0與兩條坐標軸都相交說明橫縱截距都存在，
當C = 0且 A 0，B 0時直線過原點滿足條件，
C 0 y C y 0 y C當 時，令 x = 0時 = - ，令 = 時 = - ，
B A
所以 A、B都不為 0，
綜上所述， A 0，B 0時直線與兩條坐標軸都相交；
（3）直線 Ax + By + C = 0只與 x 軸相交，就是與 y 軸平行、重合均可，
因此直線方程可化成 x = a形式，
故B = 0 且 A 0；
（4）x 軸的方程為 y = 0 ，因此方程 Ax + By + C = 0中 A = 0,C = 0, B 0 時
方程表示的直線是 x 軸所在直線；
（5）因為P x0 , y0 為直線 Ax + By + C = 0上一點，所以 Ax0 + By0 + C = 0，
所以C = -Ax0 - By0，
所以方程可化為 Ax + By - Ax0 - By0 = 0 ，
即 A x - x0 + B y - y0 = 0 ，
所以這條直線的方程可以寫成 A x - x0 + B y - y0 = 0 ．
55．（2024 高二·江蘇·假期作業）已知直線 a1x + b1y +1 = 0和直線 a2x + b2 y +1 = 0都過點 A(2,1)，求過點P1(a1,b1)
和點P2 (a2,b2 )的直線方程.
【答案】 2x + y +1 = 0
【分析】由題意可得 2 a1 - a2 = b1 - b2 ，求出過點P1(a1,b1) 和點P2 (a2,b2 )的直線的方程代入化簡即可得出答
案.
【詳解】把 A(2,1)坐標代入直線 a1x + b1y +1 = 0和直線 a2x + b2 y +1 = 0，
得 2a1 + b1 +1 = 0 , 2a2 + b2 +1 = 0 ，
∴ 2 a1 - a2 = b2 - b1，
y - b x - a
過點P1(a1,b1) 和點P2 (a2,b )
1 1
2 的直線的方程是： =b2 - b1 a - a
，
2 1
∴ y - b1 = -2 x - a1 ，則 2x + y - 2a1 + b1 = 0，
∵ 2a1 + b1 +1 = 0，
∴ 2a1 + b1 = -1，
∴所求直線方程為 2x + y +1 = 0．

展開更多......

收起↑