資源簡介

2.3 直線的交點坐標(biāo)與距離公式 14 題型分類
一、兩條直線的交點
1．兩直線的交點
已知直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點 A(a，b)．
(1)若點 A 在直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 上，則有 A1a＋B1b＋C1＝0.
(2) A l l {A1a＋B若點 是直線 與 的交點，則有 1b＋C1＝0，1 2 A2a＋B2b＋C2＝0.
2．兩直線的位置關(guān)系
{A1x＋B1y＋C1＝0，方程組 A2x 的解 一組 無數(shù)組 無解＋B2y＋C2＝0
直線 l1與 l2的公共點的個數(shù) 一個 無數(shù)個 零個
直線 l1與 l2的位置關(guān)系 相交 重合 平行
二、兩點間的距離公式
1．兩點間的距離公式：點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.特別
提醒：此公式與兩點的先后順序無關(guān)．
2．原點 O(0,0)與任一點 P(x，y)的距離|OP|＝ x2＋y2.
三、點到直線的距離、兩條平行線間的距離
點到直線的距離 兩條平行直線間的距離
定義 點到直線的垂線段的長度 夾在平行直線間公垂線段的長
圖示
點 P(x0，y0)到直線 平行直線 l1：Ax＋By＋C1＝0 與
l：Ax＋By＋C＝0 的距離 l2：Ax＋By＋C2＝0 之間的距離
公式
|Ax0＋By0＋C| |C1－C2|
d＝ d＝
A2＋B2 A2＋B2
（一）
求相交直線的交點坐標(biāo)
1、兩直線的交點：已知直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，聯(lián)立方程即可求解.
2、求兩相交直線的交點坐標(biāo)．
(1)求兩相交直線的交點坐標(biāo)，關(guān)鍵是解方程組．
(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法．
題型 1：求相交直線的交點
1-1．（24-25 高二上·全國·課后作業(yè)）直線3x + 2y -18 = 0和-2x + 5y - 7 = 0的交點坐標(biāo)為（ ）
A． -4, -3 B． 4,3 C． -4,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】解二元一次方程組即得交點坐標(biāo).
ì3x + 2y =18 ìx = 4
【詳解】解方程組 í 2x 5y 7，得 íy 3， - + = =
所以所求交點坐標(biāo)為 (4,3) .
故選：B
1-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）直線 x + 2y - 4 = 0與直線 2x - y + 2 = 0的交點坐標(biāo)是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
【答案】C
ìx + 2y - 4 = 0
【分析】解方程組 í2x y 2 0即可得解
.
- + =
ìx + 2y - 4 = 0 ìx = 0
【詳解】解方程組 í
2x - y + 2 = 0
得 í ，
y = 2
即直線 x + 2y - 4 = 0與直線 2x - y + 2 = 0的交點坐標(biāo)是(0,2)．
故選：C.
1-3．（2024 高二下·全國·課堂例題）判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點坐標(biāo)：
(1) l1 : y = 2x + 3， l2 : 2x - y + 5 = 0；
(2) l1 : y = 2x +1， l2 : x - 2y = 0；
(3) l1 : x = 3， l2 : x =10；
(4) l1 : y = 2x +1， l2 : 2x - y +1 = 0 ．
【答案】(1) l1//l2
2 1
(2)相交，交點為 (- , - )
3 3
(3) l1//l2
(4)重合
【分析】根據(jù)兩直線的斜率關(guān)系，以及截距，即可結(jié)合兩直線的位置關(guān)系求解.
【詳解】（1）設(shè)兩直線 l1， l2的斜率分別為 k1， k2 ，在 y 軸上的截距分別為b1，b2．
因為k1 = k2 = 2，b1 = 3，b2 = 5，b1 b2 ，所以 l1//l2．
k = 2 k 1（2）因為 1 ， 2 = ， k1 k2 ，所以 l1與 l2相交．2
ì 2
ì y = 2x +1 x = - 3 2 1
íx 2y 0 ，解得 í ，所以交點為
(- , - ) .
- = y 1= - 3 3
3
（3）由兩直線的方程可知， l1 / / y軸， l2 / / y 軸，且兩直線在 x 軸上的截距不相等，所以 l1//l2．
（4） l2 : y = 2x +1，因為k1 = k2 = 2，b1 = b2 =1，所以 l1與 l2重合．
題型 2：求過兩條直線的交點的直線方程
2-1．（2024 高二上·天津·期末）過直線 x + y +1 = 0和 x - 2y + 4 = 0的交點，且與直線 x + 2y - 3 = 0垂直的直線
方程是（ ）．
A． 2x - y + 3 = 0 B． 2x - y + 5 = 0
C． x + 2y - 4 = 0 D． 2x - y - 3 = 0
【答案】B
【分析】先求出交點坐標(biāo)，再根據(jù)與直線 x + 2y - 3 = 0 的位置關(guān)系求出斜率，運用點斜式方程求解.
ì x + y +1 = 0 ìx = -2
【詳解】聯(lián)立方程 í x 2y 4 0 ，解得- + = í
，所以交點坐標(biāo)為 -2,1 ；
y =1
1
直線 x + 2y - 3 = 0
1 - 1 = 2 的斜率為- ，所以所求直線方程的斜率為 ，
2 - 2
由點斜式直線方程得：所求直線方程為 y -1 = 2 x + 2 ，即 2x - y + 5 = 0 ；
故選：B.
2-2．（2024 高二下·河北張家口·開學(xué)考試）過直線 x - 2y +1 = 0與3x - y - 2 = 0的交點，且垂直于直線
x - y +1 = 0 的直線方程是 ．
【答案】 x + y - 2 = 0
【分析】首先利用二元一次方程組求出交點的坐標(biāo)，進一步利用直線垂直的充要條件求出直線的方程．
【詳解】過直線 x - 2y +1 = 0與3x - y - 2 = 0的交點，
ì x - 2y +1 = 0 ìx =1
故 í (1,1)
3x y 2 0
，解得 íy 1，故交點坐標(biāo)為 ；- - = =
故過點 (1,1) 且與直線 x - y +1 = 0 垂直的直線方程為 y - 1 = -(x - 1) ，整理得 x + y - 2 = 0．
故答案為： x + y - 2 = 0．
2-3．（2024 高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知直線 l 經(jīng)過直線3x - y - 7 = 0和 4x + y -14 = 0的交點，且直線 l
在坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線 l 的方程是 .
2
【答案】 y = x或 x + y = 5
3
【分析】求出給定的兩條直線交點坐標(biāo)，再按直線 l是否過原點分類求解即可.
ì3x - y - 7 = 0 ì x = 3
【詳解】由 í ，解得 í ，即直線 l過點 (3, 2)4x y 14 0 y 2 ， + - = =
2
當(dāng)直線 l過原點時，直線 l的方程為 y = x，
3
x y 3 2
當(dāng)直線 l不過原點時，設(shè)直線 l的方程為 + =1，則 + =1，解得 a = 5，方程為 x + y = 5，
a a a a
2
所以直線 l的方程為 y = x或 x + y = 5 .
3
2
故答案為： y = x或 x + y = 5
3
題型 3：由兩條直線交點的個數(shù)或位置求參數(shù)
3-1．（廣東省廣州市第一一三中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期第一階段考數(shù)學(xué)試題）直線
3x - (k + 2) y + k + 5 = 0與直線 kx + (2k - 3) y + 2 = 0相交，則實數(shù) k 的值為（ ）
A． k 1或 k 9 B． k 1或 k -9 C． k 1或 k 9 D． k 1且 k -9
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解作答.
【詳解】因直線3x - (k + 2) y + k + 5 = 0與直線 kx + (2k - 3) y + 2 = 0相交，則3(2k - 3) - k[-(k + 2)] 0，
即 (k + 9)(k -1) 0 ，解得 k 1且 k -9，
所以實數(shù) k 的值為 k 1且 k -9 .
故選：D
ì4x + 6y =1
3-2．（2024·上海崇明·一模）若關(guān)于 x 、 y 的方程組 í a =
ax - 3y = 2
無解，則實數(shù)
【答案】-2
【解析】先由方程無解判斷平面內(nèi)對應(yīng)的兩條直線平行，再利用平行關(guān)系列行列式計算參數(shù)即可.
ì4x + 6y =1
【詳解】由題意關(guān)于 x 、 y 的方程組 í 無解，即直線 4x + 6y =1和直線 ax - 3y = 2
ax - 3y
平行，故
= 2
4 6
D = = -12 - 6a = 0
a 3 ，所以
a = -2 ，
-
此時直線 ax - 3y = 2即 4x + 6y = -4，確實與 4x + 6y =1平行，故滿足題意，所以實數(shù) a = -2 .
故答案為：-2.
3-3．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若直線 kx - y = k -1與直線 ky - x = 2k 相交且交點在第二象限內(nèi)，則 k 的取
值范圍為（ ）
1 1
A． k >1 B． k < C． 0 < k 1< D2 ． < k <12 2
【答案】C
【分析】先根據(jù)直線相交求 k 的取值范圍，再聯(lián)立方程求出交點坐標(biāo)列式求解即可.
【詳解】若直線 kx - y = k -1與直線 ky - x = 2k 平行或重合，則 k 2 -1 = 0，解得 k = ±1，
若直線 kx - y = k -1與直線 ky - x = 2k 相交，可得 k 1且 k -1，則有：
ì k
ìkx - y = k -1 x = k -1 k 2k -1
聯(lián)立方程 íky x 2k ，解得 í ，即交點坐標(biāo)
, ÷ ，
- = y 2k -1= è k -1 k -1
k -1
ì k
< 0 k -1 1
由題意可得： í2k ，解得
0 < k < ；
-1 2> 0
k -1
1
綜上所述：k 的取值范圍為 0, 2 ÷
.
è
故選：C.
3-4．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）若直線5x + 4y = 2m +1與直線 2x + 3y = m的交點在第四象限，則 m 的取
值范圍是（ ）
3
A． (- ,2) B． , + 2 ÷è
3 3
C． - , - ÷ D． - , 22 2 ÷è è
【答案】D
2m + 3 m - 2
【分析】聯(lián)立方程組求得兩直線的交點為 ( , )，根據(jù)題意列出不等式組，即可求解.
7 7
ì5x + 4y = 2m +1 2m + 3
【詳解】由方程組 í ，解得 x = , y
m - 2
=
2x + 3y = m
，
7 7
(2m + 3 , m - 2即兩直線的交點坐標(biāo)為 )，
7 7
2m + 3 m - 2 3
因為兩直線的交點位于第四象限，可得 > 07 且
< 0
7 ，解得
- < m < 2，
2
即實數(shù)m
3
的取值范圍為 (- , 2) .
2
故選：D.
題型 4：三條直線能否構(gòu)成三角形問題
4-1．（2024 高二上·浙江寧波·期末）若三條直線3x - y +1 = 0, x + y + 3 = 0與 kx - y + 2 = 0能圍成一個直角三
角形，則 k = ．
1
【答案】- 或 1
3
【分析】由三條直線兩兩垂直，即兩直線的斜率之積為-1，求解即可.
【詳解】顯然，3x-y+1=0，x+y+3=0 有交點，
若3x - y +1 = 0與 kx - y + 2 = 0
1
垂直，則3k = -1 k = - ；
3
若 x + y + 3 = 0
1
與 kx - y + 2 = 0垂直，則-k = -1 k =1．所以 k = - 或 1．
3
1
故答案為：- 或 1
3
4-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）若三條直線 l1 : ax + y +1 = 0 ， l2 : x + ay +1 = 0， l3 : x + y + a = 0能構(gòu)成三角
形，求 a 應(yīng)滿足的條件．
【答案】 a ±1且 a -2
【分析】由題意可分直線 l1 //l2、l2 //l3、l1 //l3 、直線 l1, l2 , l3 經(jīng)過同一點討論，不能構(gòu)成三角形從而可求出 a的
值再求其補集可得答案.
【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．
①若 l1 //l2，則由a a -1 1 = 0，得 a = ±1；
②若 l2 //l3，則由1 1- a 1 = 0 ，得 a =1；
③若 l1 //l3 ，則由a 1-1 1 = 0 ，得 a =1，
當(dāng) a =1時， l1, l2 與 l3 三線重合，當(dāng) a = -1時， l1, l2 平行．
ìx + ay +1 = 0 ìx = -a -1
④若三條直線交于一點，由 íx y a ，解得 ， + + = 0
í
y =1
將 l2 ,l3 的交點 -a -1,1 的坐標(biāo)代入 l1的方程，
解得 a =1 (舍去)，或 a = -2 ，
所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需 a ±1且 a -2．
4-3．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）使三條直線 4x + y - 4 = 0,mx + y = 0,2x - 3my - 4 = 0不能圍成三角形的實
數(shù) m 的值最多有幾個（ ）
A．3 個 B．4 個 C．5 個 D．6 個
【答案】B
【分析】根據(jù)題設(shè)，討論存在兩條直線平行或三條直線交于一點，分別求出對應(yīng) m 值，進而驗證是否滿足
題設(shè)，即可得答案.
【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，
若 4x + y - 4 = 0,mx + y = 0
4 1
平行，則 = ，即m = 4 ；
m 1
若mx + y = 0,2x - 3my - 4 = 0
m 1
平行，則 = ，即無解；
2 -3m
若 4x + y - 4 = 0,2x - 3my - 4 = 0
4 1 1
平行，則 = ，即m = - ；
2 -3m 6
ì4x + y - 4 = 0

若三條直線交于一點， ímx + y = 0
2
，可得m = 或m = -1；
3
2x - 3my - 4 = 0
1 2
經(jīng)檢驗知：m {-1, - , , 4}均滿足三條直線不能圍成三角形，故 m 最多有 4 個.
6 3
故選：B
（二）
兩點間的距離
1、兩點間的距離公式：
(1)點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(2)原點 O(0,0)與任一點 P(x，y)的距離|OP|＝ x2＋y2.
2、計算兩點間距離的方法
(1)對于任意兩點 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，則|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(2)對于兩點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．
題型 5：求兩點間的距離
5-1．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）直線 l1 : 3ax - y - 2 = 0和直線 l2 : 2a -1 x + 5ay -1 = 0分別過定點A 和 B ，
則 AB = | ．
13
【答案】
5
【分析】求出直線 l1、 l2所過定點的坐標(biāo)，再利用平面內(nèi)兩點間的距離公式可求得 AB 的值.
ì3x = 0 x = 0
【詳解】將直線 l
ì
1的方程變形為3ax - y + 2 = 0，由 í ，可得 í ，即點 A 0, -2
y + 2 = 0 y = -2
，
將直線 l2的方程變形為 a 2x + 5y - x +1 = 0 ，
2x + 5y = 0 ìx = -1ì 2
由 íx 1 0 ，可得 ，即點
B -1, ，
+ =
í
y
2
= è 5 ÷
5
2
AB 0 1 2 2 13所以， = + + -2 - ÷ = .
è 5 5
13
故答案為： .
5
5-2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知 A(-1,2), B(0,4)，點 C 在 x 軸上，且 AC = BC ，則點 C 的坐標(biāo)為
（ ）
11 11 11 11
A． - ,0÷ B． 0, - ÷ C． 0,2 2 2 ÷
D． ,02 ÷è è è è
【答案】D
【分析】設(shè)C a,0 ，因為 AC = BC ，由兩點間的距離公式求解即可.
【詳解】因為點 C 在 x 軸上，設(shè)點C a,0 ，則 AC = BC ，
所以 a +1 2 + 22 = a2 + 42 ，
11 11
化簡可得： a = ，所以C ,0÷ .2 è 2
故選：D.
5-3．（2024 高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知 A，B 兩點分別在兩條互相垂直的直線 2x - y = 0和 x + ay = 0上，
10
且 AB 線段的中點為P 0, ÷ ，則線段 AB 的長為（a ）è
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
1
【分析】由題意可知， 2 - ÷ = -1，得 a = 2，可得線段 AB 的中點為 P(0,5) ，設(shè) A(m, 2m), B(n,
1
- n)
a ，利è 2
ìm + n
= 0
2
用中點坐標(biāo)公式可得 í 1 ，求出m, n，再利用兩點間的距離公式可求得結(jié)果
2m - n
2 = 5
2
【詳解】因為直線 2x - y = 0和 x + ay = 0互相垂直，
2 1所以 -

÷ = -1a ，解得
a = 2，
è
所以線段 AB 的中點為 P(0,5) ，
ìm + n
= 0
1 2 ìm = 4
所以設(shè) A(m, 2m), B(n,- n)，則 í 1 ，解得2 í
，
2m - n n = -4
2 = 5
2
所以 A(4,8), B(-4,2) ，
所以 AB = 82 + 62 =10，
故選：B
題型 6：由兩點間的距離求參數(shù)
6-1．（2024 高二上·新疆喀什·期末）已知點 A 3,3a + 3 與點B a,3 之間的距離為 5，則實數(shù) a 的值
為 ．
8
【答案】-1或
5
【分析】代入兩點間距離公式，即可求解.
【詳解】 AB = 3 - a 2 + 3a + 3 - 3 2 = 5，
8
化簡為5a2 - 3a -8 = 0，解得： a = -1或 a = .5
8
故答案為：-1或
5
6-2．（2024 高二下·全國·課后作業(yè)）已知點 A(4,12)，P 為 x 軸上的一點，且點 P 與點 A 的距離等于 13，則
點 P 的坐標(biāo)為 ．
【答案】 (-1,0) 或 (9,0)
【分析】根據(jù)題意設(shè)P(x,0) ，再利用兩點間的距離公式即可求出 x 的值，從而得到點 P 的坐標(biāo)．
【詳解】Q點 P 在 x 軸上，設(shè)P(x,0) ，
Q點 P 與點A 的距離等于 13，
\ (x - 4)2 + (0 -12)2 = 13，解得 x = 9 或-1，
\點 P 的坐標(biāo)為 (9,0) 或 (-1,0) ，
故答案為： (-1,0) 或 (9,0) ．
6-3．（2024 高二下·全國·課后作業(yè)）已知 A(a,0), B(0,10)，且 | AB |= 17，則 a = ．
【答案】±3 21
【分析】根據(jù)題意，直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系上兩點的距離公式，即可求解.
【詳解】因為 A(a,0), B(0,10)且 | AB |= 17，所以 | AB |= a2 + 0 -10 2 =17，解得 a = ±3 21
故答案為：±3 21
題型 7：運用兩點間的距離公式求最值
7-1．（2024 高二上·福建·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，
有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如： x - a 2 + y - b 2 可以轉(zhuǎn)化為點 x, y 到點 a,b 的距
離，則 x2 +1 + x2 - 4x + 8 的最小值為（ ）．
A．3 B． 2 2 +1 C． 2 3 D． 13
【答案】D
【分析】把目標(biāo)式進行轉(zhuǎn)化，看作動點到兩個定點距離和的最值，利用對稱性可得答案.
【詳解】 x2 +1 + x2 - 4x + 8 = x - 0 2 + 0 -1 2 + x - 2 2 + 0 - 2 2 ,
可以看作點P x,0 到點 A 0,1 , B 2, 2 的距離之和，
作點A 關(guān)于 x 軸的對稱點 A 0, -1 ，顯然當(dāng)B, P, A 三點共線時，取到最小值，
最小值為 B, A 間的距離 22 + 32 = 13 .
故選：D.
7-2．（2024 高三下·江西·開學(xué)考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角形三個
內(nèi)角均小于 120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張
角相等且均為 120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則F (x, y) = (x - 2 3)2 + y2 + (x +1- 3)2 + (y -1+ 3)2 + x2 + (y - 2)2
的最小值為（ ）
A．4 B．2 + 2 3 C．3+ 2 3 D． 4 + 2 3
【答案】B
【分析】根據(jù)題意作出圖形，證明出三角形 ABC 為等腰直角三角形，作出輔助線，找到費馬點，求出最小
值.
【詳解】由題意得：F (x, y) 的幾何意義為點E 到點 A 2 3,0 , B 3 -1,1- 3 ,C 0,2 的距離之和的最小值，
2因為 AB = 3 +1 + 3 -1 2 2 2= 2 2 ， CB = 3 -1 + - 3 -1 = 2 2 ，
AC = 4 +12 = 4，
2 2 2
所以 AB + CB = AC ，故三角形 ABC 為等腰直角三角形，，
1
取 AC 的中點D，連接BD，與 AO 交于點E ，連接CE，故BD = AC = 2， AE = CE ，
2
CO 2 3
因為 = = ，所以 CAO = 30°，故 AEC =120° ，則 BEC = AEB =120°，
AO 2 3 3
故點E 到三角形三個頂點距離之和最小，即F (x, y) 取得最小值，
1
因為 AD = CD = AC = 2 AD 4 3 4 3 2 3，所以 AE = = ，同理得：2 CE =
，DE = ，
cos30° 3 3 3
BE BD DE 2 2 3= - = - ，
3
故F (x, y) AE CE BE 4 3 4 3的最小值為 + + = + + 2 2 3- = 2 + 2 3 .
3 3 3
故選：B
7-3．（2024 高二上·甘肅武威·期中）函數(shù) f x = x2 + 2x + 5 + x2 - 6x +10 的最小值是 .
【答案】5
【分析】依題意可得 f x = x +1 2 + 0 - 2 2 + x - 3 2 + 0 -1 2 ，設(shè) A -1,2 ，B 3,1 ，P x,0 ，則問題
轉(zhuǎn)化為求點P x,0 到點 A -1,2 ，B 3,1 兩點的距離之和的最小值，求出A 關(guān)于 x 軸的對稱點 A 的坐標(biāo)，則
PA + PB = PA + PB A B ，再根據(jù)距離公式求解即可.
【詳解】解：因為 f x = x2 + 2x + 5 + x2 - 6x +10
= x +1 2 + 0 - 2 2 + x - 3 2 + 0 -1 2 ，
設(shè) A -1,2 ，B 3,1 ，P x,0 ，則 f x 表示點P x,0 到點 A -1,2 ，B 3,1 兩點的距離之和，即
PA + PB ，
點 P 是 x 軸上的點，則點A 關(guān)于 x 軸的對稱點為 A -1, -2 ，則 PA = PA ，
所以 PA + PB = PA + PB A B = 3+1 2 + 1+ 2 2 = 5，所以 f x 的最小值是5 .
故答案為：5
（三）
運用坐標(biāo)法解決平面幾何問題
1、利用坐標(biāo)法解平面幾何問題：(1)建系；(2)坐標(biāo)表示；(3)幾何關(guān)系坐標(biāo)化；(4)將數(shù)“翻譯”為
形．
2、利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟：
(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；
(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；
(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算；
(4)把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
題型 8：用坐標(biāo)法解決平面幾何問題
8-1．（2024 高二上·河南·階段練習(xí)）已知直線 l : m - 2 x - m +1 y + 3m = 0 m R ，直線 l1 : 4x + y + 3 = 0和
l2 : 3x - 5y - 5 = 0．
(1)求證：直線 l 恒過定點；
(2)設(shè)（1）中的定點為 P ， l與 l1， l2的交點分別為A ， B ，若 P 恰為 AB 的中點，求m ．
【答案】(1)證明見解析.
m 1(2) = - .
4
【分析】（1）先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于0 ，求得 x 、 y 的值，可得直線 l 恒過定點；
（2）先設(shè)一個交點 A x0 , y0 ，再表示另一個交點B -2 - x0 , 4 - y0 ，接著聯(lián)立方程求出交點坐標(biāo) A -2,5 ，
最后解出m 即可.
【詳解】（1）解：由題 l : m - 2 x - m +1 y + 3m = 0 m R ，
可化為m x - y + 3 - 2x + y = 0，
由于m R ，令 x - y + 3 = 0，可得 2x + y = 0 ，
ìx - y + 3 = 0 ìx = -1
所以 í2x y 0 ，解得 íy 2 ， + = =
即直線 l 恒過定點 -1,2 ．
所以直線 l 恒過定點.
（2）由（1）知P -1, 2 ，不妨設(shè) A x0 , y0 ，
由題意可知， P 恰為 AB 的中點，
所以B -2 - x0 , 4 - y0 ，
因為A ， B 分別在直線 l1 和直線 l2 上，
ì4x0 + y0 + 3 = 0
所以 í
3 -2 - x - 5 4 - y - 5 = 0
，
0 0
ìx0 = -2
解得 í ，所以 A -2,5 y 5 ， 0 =
將 A -2,5 1代入直線 l方程，解得m = - ．
4
1
所以m 的值為- .
4
8-2．（2024 高二上·安徽馬鞍山·期中）已知VABC 的頂點 A 3,1 ， AB 邊上的高所在的直線方程為
4x - y -13 = 0， AC 邊上的中線所在的直線方程為5x - 2y -12 = 0．
(1)求直線 AB 的方程；
(2)求點 C 的坐標(biāo)．
【答案】(1) x + 4y - 7 = 0
(2) C(5,7)
【分析】（1）由CE ^ AB 及已知直線CE的斜率可求直線 AB 的斜率，進而可求直線 AB 的方程；
（2）先設(shè)D(a,b)，進而表示C 的坐標(biāo)，再由C 點在直線CE及中點坐標(biāo)公式可求．
【詳解】（1）設(shè) AB 邊上的高為CE，
QCE ^ AB，且直線CE的方程為 4x - y -13 = 0，故斜率為 4，
\ 1直線 AB 的斜率為- ，Q A(3,1)，
4
\ y 1 1直線 AB 的方程為 - = - (x - 3) ，即 x + 4y - 7 = 04 ；
（2）設(shè)D(a,b)，則C(2a - 3,2b -1)，
ì4 2a - 3 - (2b -1) -13 = 0
由題意得 í ，
5a - 2b -12 = 0
解得 a = 4，b = 4 ，\ C(5,7)．
8-3．（2024 高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，O為坐標(biāo)原點，已知直線 l1：2x - y - 2 = 0
和 l2： x + y + 3 = 0，
(1)求直線 l1與 l2的交點坐標(biāo)；
uuur uuur
(2)過點 P(3,0)
1
作直線 l與直線 l1， l2分別交于點 A、B，且滿足 AP = AB ，求直線 l的方程．2
1 8
【答案】(1) (- , - )
3 3
(2)8x - y - 24 = 0
【分析】（1）聯(lián)立直線 l1和直線 l2，即可求解交點坐標(biāo)；
（2）首先由題意可知，點 P 是線段 AB 的中點，利用對稱和直線方程，即可求解.
ìx + y + 3 = 0 1 8
【詳解】（1）由 í ，得 x = - ， y = -
2x - y 2 0
，
- = 3 3
1 8
所以直線 l1與 l2的交點坐標(biāo)為 - ,-3 3 ÷；è
uuur uuur
（2）由 AP
1
= AB 可知，點 P 是線段 AB 的中點，
2
在直線 l2上任取一點M x0 ,-3- x0 ，
所以點M 關(guān)于P 3,0 的對稱點 N 6 - x0 ,3 + x0 ,
點 N 在直線 l1上， 把點 N 6 - x0 ,3 + x0 代入 l1 方程 2x - y - 2 = 0，
2 6 - x0 - 3+ x0 - 2 = 0
7
，解得 x0 = 3
16
7 16 - - 0
所以M ,- ÷，\kl = 3 = 8，
è 3 3 7 - 3
3
即直線 l方程為： y = 8x - 24，即8x - y - 24 = 0 .
（四）
點到直線的距離
點到直線的距離的求解方法：
(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點到直線的距離公式求
解即可．
(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線 x＝a 或 y＝b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線
的距離公式，也可以直接寫成 d＝|x0－a|或 d＝|y0－b|.
(3)若已知點到直線的距離求參數(shù)時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．
題型 9：求點到直線的距離
9-1．（2024 高二·重慶·學(xué)業(yè)考試）點(1,1)到直線3x + 4y - 2 = 0的距離是（ ）
A．1 B．2 C． 5
【答案】A
【分析】直接利用點到直線的距離公式得到答案.
3 + 4 - 2 5
【詳解】 d = = =1
32 + 42 5
，
故選：A
9-2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知 A(4,0)到直線 4x - 3y + a = 0的距離等于 3，則 a 的值為（ ）
A．-1 B．-13或 -19 C．-1或-31 D．-13
【答案】C
【分析】
由距離公式，解方程得出 a 的值.
4 4 - 3 0 + a
【詳解】由距離公式可得， = 3，即 a +16 =15, 解得 a = -1或a = -31.
42 + 32
故選：C
9-3．（2024 高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知圓C 經(jīng)過點M 1,2 , N 3,0 ，則點P 2, -1 到圓心C 的距離的最小
值為（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，求出圓心 C 的軌跡方程，再利用點到直線距離公式求解作答.
【詳解】設(shè)C x, y ，依題意， CM = CN ，則 (x -1)2 + (y - 2)2 = (x - 3)2 + (y - 0)2 ，
2 +1-1
整理得 x - y -1 = 0，點P 2, -1 到 x - y -1 = 0的距離 d = = 2 ，
2
所以點P 2, -1 到圓心C 的距離的最小值 2 ．
故選：C
9-4.（2024 高二下·上海浦東新·期中）已知動點M a,b 在直線3x + 4y +10 = 0上，則 a2 + b2 的最小值
為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)題意可知 a2 + b2 表示動點M a,b 到坐標(biāo)原點O 0,0 ，利用點到直線的距離求最小值.
【詳解】因為 a2 + b2 表示動點M a,b 到坐標(biāo)原點O 0,0 ，
10
所以 a2 + b2 的最小值為O 0,0 到線3x + 4y +10 = 0的距離 d = = 2 .32 + 42
故答案為：2.
9-5．（2024 高二上·廣東廣州·期末）已知點P -2,1 到直線 l : 3x - 4y + m = 0的距離為 1，則m 的值為（ ）
A．-5 或-15 B．-5 或 15
C．5 或-15 D．5 或 15
【答案】D
【分析】根據(jù)條件,利用點到直線的距離公式建立關(guān)于m 的方程,再求出m 的值.
【詳解】因為點P -2,1 到直線 l : 3x - 4y + m = 0的距離為 1，
| 3 (-2) - 4 1+ m |
所以 =12 2 ,解得m =15或 5.3 + (-4)
故選:D.
9-6．（2024·重慶·三模）已知直線 l : y = k(x - 2) +1(k R) 上存在一點 P，滿足 | OP |=1，其中 O 為坐標(biāo)原點.
則實數(shù) k 的取值范圍是（ ）
0, 1 é0, 3ù é 4ù 1 4A． ÷ B
é ù
．
è 2 ê 4 ú
C． ê0, D． 3ú ê
,
2 3 ú
【答案】C
【分析】由已知可得原點 O 到直線 l 的距離小于等于 1，利用點到直線的距離公式可得關(guān)于 k 的不等式，即
可求解 k 的范圍.
【詳解】因為直線 l : y = k(x - 2) +1(k R) 上存在一點 P，使得 | OP |=1，
-2k +1 4
所以原點 O 到直線 l 的距離小于等于 1，即 1，解得：0 k ，
k 2 +1 3
é
即 k 的取值范圍是 ê0,
4ù
3ú
.

故選：C
題型 10：直線圍成的圖形面積問題
ur
10-1．（2024 高二上·江蘇·專題練習(xí)）射線OA所在直線的方向向量為 d1 = 1, k k > 0 ，點 P 在 AOx內(nèi)，
PM ^ OA于點M .
(1)若 k =1，P
3 , 1 2 2 ÷
，求 OM 的值；
è
6
(2)若P 2,1 ，VOPM 的面積是 ，求 k 的值.
5
【答案】(1) 2
11
(2) 或 2
2
【分析】（1）求出| |以及直線OA，可求出點 P 到直線OA的距離，再利用勾股定理可求得 OM 的值；
（2）求出 OM 以及點 P 到直線OA的距離 d ，利用三角形的面積公式可求出 d 2 的值，可得出關(guān)于 k 的方程，
結(jié)合 k > 0 可求得 k 的值.
3 1 2 2 3 1 10
【詳解】（1）解：因為P ,2 2 ÷ ，則 OP =è
+
2 ÷ 2 ÷
= ，
è è 2
uur
因為 k =1，則直線OA的一個方向向量為 d1 = 1,1 ，所以，直線OA的方程為 y = x ，
3 1
-
所以，點 P 到直線OA的距離為 d = 2 2 2= ，
2 2
2 2
2 2 10 2 所以， OM = OP - d = ÷÷ - ÷÷ = 2 .
è 2 è 2
uur
（2）解：因為直線OA的一個方向向量為 d1 = 1, k k > 0 ，
所以，直線OA的方程為 y = kx ，即 kx - y = 0 .
2k -1
點P 2,1 2到直線OA的距離為 d = 2 ， OM = OP - d 2 = 5 - d 2 ，k +1
S 1 OM d 1 d 5 d 2 6 2 9 16VOPM = × = - = ，可得 d = 5 或 ，2 2 5 5
2k -1 2 9 2k -1 2 16 11即 = 或 = ，因為 k > 0 ，解得 k = 或 k = 2 .
k 2 +1 5 k 2 +1 5 2
10-2．（2024 高二上·廣東湛江·期中）已知直線 l： kx + y + k + 2＝（0 k R）．
(1)證明：直線 l一定經(jīng)過第三象限；
(2)設(shè)直線 l與 x 軸， y 軸分別交于 A，B 點，當(dāng)點P 1,0 離直線 l最遠時，求VPAB 的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)6
ìx +1 = 0
【分析】（1）直線 l 的方程可化為 x +1 k + y + 2＝0，由 íy 2 0即可求出直線 l 過定點 -1, -2 ，從而證得 + =
直線 l 一定經(jīng)過第三象限．
（2）由（1）可知，直線 l 經(jīng)過定點Q -1, -2 ，則當(dāng)PQ ^ l時，點 P 離直線 l 最遠，利用兩點間距離公式
求出此時|PQ|的值，再根據(jù)兩垂直直線的斜率關(guān)系求出 k 的值，得到直線 l 的方程，再求出點 A，B 的坐標(biāo)，
從而求出△PAB 的面積．
【詳解】（1）直線 l 方程 kx + y + k + 2＝0 ，可化為 x +1 k + y + 2＝0，
ìx +1 = 0 ìx = -1
令 íy 2 0，解得 íy ， + = = -2
則直線 l 經(jīng)過定點Q -1, -2 ，
故直線 l 一定經(jīng)過第三象限．
（2）由（1）可知，直線 l 經(jīng)過定點Q -1, -2 ，則當(dāng)PQ ^ l時，點 P 離直線 l 最遠，且
PQ = -1-1 2 + -2 - 0 2 = 2 2 ，
k -2 - 0此時 PQ = =1，所以直線 l 的斜率為-1，-1-1
即 k＝1，則 l： x + y + 3＝0，
則 A -3,0 ，B 0, -3 2， AB = -3 + 32 = 3 2 ，
故VPAB 的面積為 S
1
= AB × PQ = 6 ．
2
10-3．（2024 高二下·全國·課堂例題）已知VABC 的頂點 ( 2,0)，B 2,2 ，C 1, -1 .求VABC 的面積.
【答案】5
【分析】求出直線的斜率，直接利用點斜式得到直線BC 的方程，然后求出點A 到直線BC 的距離和 BC ，
再結(jié)合三角形面積公式即可得結(jié)果.
BC k -1- 2【詳解】直線 的斜率 = = 31 ，- 2
由直線方程的點斜式可得 y - 2 = 3(x - 2)，
化簡可得3x - y - 4 = 0 .
3 (-2) - 0 - 4
所以點 A(-2,0)到直線BC 的距離 d = = 10
32
，
+ (-1)2
且 BC = 2 -1 2 + 2 +1 2 = 10 ，
S 1 1則 VABC = BC × d = 10 10 = 5 .2 2
題型 11：點到直線距離公式的應(yīng)用
11-1．（2024 高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知點 A -1,2 , B 1,4 ，若直線 l 過點M -2,-3 ，且 A、B 到
直線 l 的距離相等，則直線 l 的方程為 .
【答案】 x - y -1 = 0或3x - y + 3 = 0
【分析】根據(jù)直線 l過 AB 中點或與直線 AB 平行求得正確答案.
【詳解】依題意， A, B到直線 l的距離相等.
AB 的中點為 0,3 ，
當(dāng) l過 0,3 以及M -2,-3 時，
-3 - 3
直線 l的方程為 y = x + 3 = 3x + 3,3x - y + 3 = 0 .
-2 - 0
2 - 4
直線 AB 的斜率為 =1，
-1-1
當(dāng)直線 l過M -2,-3 并與 AB 平行時，
直線 l的方程為 y + 3 =1 x + 2 , x - y -1 = 0 .
綜上所述，直線 l的方程為 x - y -1 = 0或3x - y + 3 = 0 .
故答案為： x - y -1 = 0或3x - y + 3 = 0
11-2．（2024·吉林·三模）已知 A(-2,0), B(4,a) 兩點到直線 l : 3x - 4y +1 = 0的距離相等，則 a =（ ）
9 9
A．2 B． C．2 或-8 D．2 或
2 2
【答案】D
【分析】分 A(-2,0), B(4,a) 在 l : 3x - 4y +1 = 0的同側(cè)和異側(cè)分類討論求解.
【詳解】（1）若 A(-2,0), B(4,a) 在 l : 3x - 4y +1 = 0的同側(cè)，
k k 3 a 3 9則 AB = l = ，所以 = ， a = ，4 6 4 2
（2）若 A(-2,0), B(4,a) 在 l : 3x - 4y +1 = 0的異側(cè)，
則 A(-2,0), B(4,a) 的中點 1,
a
÷在直線 l : 3x - 4y +1 = 0上，
è 2
所以 4 - 2a = 0 解得 a = 2 ,
故選:D.
11-3．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知點 P1 1,1 ，P2 5,4 到直線 l 的距離都等于 2，求直線 l 的方程．
【答案】
3x - 4y +11 = 0或3x - 4y - 9 = 0，7x + 24y -81 = 0， x = 3．
【分析】根據(jù)直線 l與直線P1P2 平行，過線段P1P2 的中點或斜率不存在分類討論．
【詳解】①當(dāng) l∥P1P2 時，因為直線P1P2 的方程為3x - 4y +1 = 0，所以可設(shè)直線 l 的方程為3x - 4y + m = 0．
m -1
由 d = = 2 m =11或m = -9，即直線 l 的方程為3x - 4y +11 = 0或3x - 4y - 9 = 0．
5
PP M 3, 5 y 5 5②當(dāng) l 過線段 1 2 的中點 ÷ 時，設(shè) l 的方程為 - = k x - 3 ，即 kx - y + - 3k = 0．點P1到 l 的距離
è 2 2 2
3
- 2k
2 5 7d = = 2 7 k = - ，即 y - = - x - 3 7x + 24y -81 = 0 ．又當(dāng) l ^ x軸時，斜率不存在，此時 x = 3
2 24 2 24k +1
也符合題意．
綜上直線 l的方程為：3x - 4y +11 = 0或3x - 4y - 9 = 0，7x + 24y -81 = 0， x = 3．
（五）
兩平行線間的距離
求兩條平行直線間距離的兩種方法：
(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點到另一條直線的距離，即化線線距
為點線距來求．
(2)公式法：設(shè)直線 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間
|C1－C2|
的距離 d＝ .
A2＋B2
題型 12：求兩平行線間的距離
12-1．（2024 高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）兩條平行線 l1 : 3x + 4y - 6 = 0， l2:9x +12y -10 = 0間的距離等于
（ ）
8 7 4 2
A． B． C． D．
15 15 15 15
【答案】A
【分析】利用兩平行線間的距離公式求解即可.
【詳解】依題意，將直線 l1 : 3x + 4y - 6 = 0變?yōu)?l1:9x +12y -18 = 0，
又 l2:9x +12y -10 = 0，
-18 +10 8
所以兩平行線間的距離為 d = = .
92 +122 15
故選：A.
12-2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）兩條平行直線 2x - 7y + 8 = 0與 2x - 7y - 6 = 0間的距離為（ ）
A 53． B 14 53．2 C．14 D．
14 53
【答案】D
【分析】由距離公式求解即可.
8 - -6 14 53
【詳解】由距離公式可知，所求距離為 d = =
22 + -7 2 53
.
故選：D
12-3．（2024 高二上·福建寧德·期中）若兩條平行直線 l1 : x - 2y + m = 0 m > 0 與 l2 : 2x + ny - 6 = 0 之間的距離是
2 5 ，則m + n = ．
【答案】3
【分析】由兩直線平行列方程求出 n ，再由兩平行線間的距離公式列方程可求出m 的值，從而可求出結(jié)果.
【詳解】因為直線 l1 : x - 2y + m = 0 m > 0 與 l2 : 2x + ny - 6 = 0 平行，
2 n -6
所以 = ，解得 n = -4且m -3，
1 -2 m
所以直線 l2為2x - 4y - 6 = 0，
直線 l1 : x - 2y + m = 0 m > 0 化為 2x - 4y + 2m = 0 m > 0 ，
因為兩平行線間的距離為 2 5 ，
2m - (-6)
所以 = 2 52 2 ，得 2m + 6 = 20，2 + (-4)
因為m > 0
所以 2m + 6 = 20，得m = 7 ，
所以m + n = 7 - 4 = 3，
故答案為：3
12-4．（2024 高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知兩條直線 l1 : l + 2 x + 1- l y + 2l - 5 = 0，
l2 : k +1 x + 1- 2k y + k - 5 = 0，且 l1//l2，當(dāng)兩平行線距離最大時，l + k =（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
l + 2 k +1 1
【分析】求出 l1, l2 恒過的定點 A, B，故 l1， l2距離的最大值為 AB = 5 ，所以- = - = - = 21- l 1- 2k k ，AB
求解即得出答案.
【詳解】 l1 : l x - y + 2
ìx - y + 2 = 0
+ 2x + y - 5 = 0，由 í ，
2x + y - 5 = 0
ìx =1
解得 í l A 1,3
y
，故 過定點 ．
= 3 1
x - 2y +1 = 0
l2 : k x
ì
- 2y +1 + x + y - 5 = 0，由 í ，
x + y - 5 = 0
ìx = 3
解得 íy ，故
l 過定點B 3,2 ，
= 2
2
故 l1， l2距離的最大值為 AB = 5 ．
l + 2 1
- = - = 2 k +1此時， 1- l k ，則l = 4，- = 2 ，AB 1- 2k
解得 k =1，故l + k = 5．
故選：C．
題型 13：距離公式的綜合應(yīng)用
13-1．【多選】（2024 高二上·福建南平·期末）已知直線 l1 : 4x - 3y - 3 = 0，直線
l2 : m + 2 x - m +1 y + m = 0 m R ，則（ ）
A．當(dāng)m = -1時， l1 ^ l2 B．當(dāng)m = 2 時， l1 / / l2
C．當(dāng) l1 / / l2時， l1與 l2之間的距離為 1 D．直線 l2過定點 2,1
【答案】BC
【分析】通過m 的取值結(jié)合選項驗證可得 A,B,C 的正誤，利用求直線過定點的方法可得 D 的正誤.
【詳解】對于 A，m = -1時， l2 : x -1 = 0 ，顯然與 l1不垂直，A 不正確；
4 -3 -3
對于 B，m = 2 時， l2 : 4x - 3y + 2 = 0，因為 = ，所以 l1 / / l2，B 正確；4 -3 2
對于 C，當(dāng) l1 / / l2時， 4m + 4 = 3m + 6且3m -3m - 3，解得m = 2 ，
2 + 3
此時 l2 : 4x - 3y + 2 = 0， l d = =11與 l2之間的距離為 2 ，C 正確；4 + -3 2
ìx - y +1 = 0 ìx =1對于 D，m x - y +1 + 2x - y = 0 ，令 í2x y ，解得 ， - = 0
í
y = 2
所以直線 l2過定點 1,2 ，D 不正確.
故選：BC.
13-2．【多選】（2024 高二下·江蘇南京·期末）已知動點 A, B分別在直線 l1 : 3x - 4y + 6 = 0與 l2 : 3x - 4y +10 = 0
上移動，則線段 AB 的中點 P 到坐標(biāo)原點O的距離可能為（ ）
7
A． 2 B． C．5 3
D． 5
【答案】CD
【分析】根據(jù)直線平行可得 P 在直線 l : 3x - 4y + 8 = 0上運動，即可根據(jù)點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】解：Q動點 A, B分別在直線 l1：3x - 4y + 6 = 0與 l2：3x - 4y +10 = 0上移動，
又線段 AB 的中點為 P ， l2 / /l1，
\P在直線 l : 3x - 4y + 8 = 0上運動，
8 8
\O 到直線 l的距離 d = =
32 + 42 5
．
8
\P到坐標(biāo)原點O的距離大于等于 ．
5
故選：CD．
13-3．【多選】（24-25 高二上·全國·單元測試）已知兩條直線 l1， l2的方程分別為3x + 4y +12 = 0與
ax + 8y -11 = 0，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若 l1 //l2，則 a = 6 B．若 l1 //l
7
2，則兩條平行直線之間的距離為 4
32
C．若 l1 ^ l2，則 a = D．若 a 6，則直線 l1， l2一定相交3
【答案】AD
【分析】根據(jù)兩直線平行求出 a的值，可判斷 A 選項；利用平行線間的距離公式可判斷 B 選項；根據(jù)兩直
線垂直求出 a的值，可判斷 C 選項；根據(jù)兩直線相交求出 a的范圍，可判斷 D 選項.
【詳解】兩條直線 l1， l2的方程分別為3x + 4y +12 = 0與 ax + 8y -11 = 0，它們不重合，
若 l1 //l2，則 4a = 3 8，得 a = 6，檢驗符合，故 A 選項正確；
若 l1 //l2，由 A 選項可知， l2：6x + 8y -11 = 0，直線 l1的方程可化為6x + 8y + 24 = 0，
11+ 24 7
故兩條平行直線之間的距離為 = ，故 B 選項不正確；
36 + 64 2
若 l1 ^ l
32
2，則3a + 4 8 = 0 ，得 a = - ，故 C 選項不正確；3
由 A 選項知，當(dāng) a = 6時， l1 //l2，所以若 a 6，則直線 l1， l2一定相交，故 D 選項正確.
故選：AD.
（六）
直線的對稱問題
有關(guān)對稱問題的兩種主要類型
(1)中心對稱：
①點 P(x，y)關(guān)于 O(a x′＝2a－x，，b)的對稱點 P′(x′，y′)滿足{y′＝2b－y.
②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決．
(2)軸對稱：
n－b
×
－ ( A－ )＝－1，
①點 A(a，b)關(guān)于直線 Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點 A′(m m a B，n)，則有{ a＋m b＋nA· ＋B· ＋C＝0.2 2
②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決．　　　　
題型 14：直線的對稱問題
14-1．（2024 高二上·河北張家口·期中）點P 2,0 關(guān)于直線 l : x - y + 3 = 0的對稱點 Q 的坐標(biāo)為（ ）．
A． -3,5 B． -1, -4 C． 4,1 D． 2,3
【答案】A
【分析】利用中點和斜率來求得Q點坐標(biāo).
【詳解】設(shè)點P 2,0 關(guān)于直線 l : x - y + 3 = 0的對稱點的坐標(biāo)為 a,b ，
ìb - 0
1 = -1 a - 2 ìa = -3
則 í ，解得 ．
a + 2 b
íb = 5
- + 3 = 0
2 2
所以點 Q 的坐標(biāo)為 -3,5 .
故選：A
14-2．（2024 高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）已知入射光線經(jīng)過點M (-3，4) ，被直線 l： x - 3 = 0反射，反射光
線經(jīng)過點 N (2，6)，則反射光線所在直線的方程為 .
【答案】 2x + 7 y - 46 = 0
【分析】
根據(jù)對稱性可求得M 關(guān)于直線 l 的對稱點 P 的坐標(biāo)，再利用直線的兩點式方程即可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可知，反射光線經(jīng)過點M (-3，4) 關(guān)于直線 l的對稱點P(9, 4)，
如圖所示：
直線PN 的方程即為反射光線所在的直線方程，
N (2 6) P(9, 4) k 6 - 4 2又 ， ， 可得 PN = = - ，2 - 9 7
2
根據(jù)直線的點斜式方程可得，反射光線所在直線方程為 y - 6 = - x - 2 ，
7
整理得 2x + 7 y - 46 = 0，即反射光線所在直線的方程為 2x + 7 y - 46 = 0 .
故答案為： 2x + 7 y - 46 = 0 .
14-3．（2024 高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）直線 x - 2y + 3 = 0關(guān)于點 (1,1) 對稱的直線方程為 .
【答案】 x - 2 y -1 = 0
【解析】在對稱的直線方程上任取一點P x, y ，根據(jù)點對稱性可得 2 - x, 2 - y 在直線 x - 2y + 3 = 0上，代
入即可求解.
【詳解】設(shè)直線 x - 2y + 3 = 0關(guān)于點 (1,1) 對稱的直線方程為 l ，
在 l 上任取一點P x, y ，
則點 P 關(guān)于點 (1,1) 對稱的點P 的坐標(biāo)為 2 - x, 2 - y ，
由題意可知點P 在直線 x - 2y + 3 = 0上，
故 2 - x - 2 2 - y + 3 = 0，整理可得 x - 2 y -1 = 0 .
故答案為： x - 2 y -1 = 0
【點睛】本題考查了直線關(guān)于點對稱問題，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.
14-4．（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線 l1 : x - 2y - 2 = 0與 l2關(guān)于直線 l : 2x - y - 4 = 0 對稱，則直線 l2的方程是
（　?。?br/>A．11x + 2y - 22 = 0 B．11x+ y +22 = 0
C．5x + y -11 = 0 D．10x+ y -22 = 0
【答案】A
【分析】根據(jù)三條直線交于一點，再利用點關(guān)于直線的對稱點公式，求直線 l2上一點，即可求解.
ìx - 2y - 2 = 0 ìx = 2
【詳解】聯(lián)立 í2x y 4 0，得 ， - - =
í
y = 0
取直線 l1 : x - 2y - 2 = 0上一點 0, -1 ，設(shè)點 0, -1 關(guān)于直線 l : 2x - y - 4 = 0 的對稱點為 a,b ，則
ìb +1 1
= - a 2 12
í ，解得： a = ,b
11
= -
a b 1 ， 2 - - - 4 = 0 5 5
2 2
直線 l
11
2的斜率 k = - ，所以直線 l2的方程為 y
11
= - x - 2 ，
2 2
整理為：11x + 2y - 22 = 0 .
故選：A
一、單選題
1．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）求直線 x＋2y－1＝0 關(guān)于直線 x＋2y＋1＝0 對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【分析】結(jié)合兩平行線間的距離公式求得正確選項.
【詳解】設(shè)對稱直線方程為 x + 2y + c = 0 ，
1+1 c -1
= ，解得 c = 3或 c = -1（舍去）.
1+ 22 1+ 22
所以所求直線方程為 x + 2y + 3 = 0 .
故選：B
2．（2024 高二上·江蘇連云港·期中）若三條直線 2x + ky + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 2x - y = 0交于一點，則 k 的值
為（ ）
1 1
A．-2 B．- C．3 D．
2 2
【答案】C
【分析】先求出直線 x - y -1 = 0和 2x - y = 0的交點，再把交點坐標(biāo)代入 2x + ky + 8 = 0 即得解.
ì2x - y = 0 ìx = -1
【詳解】解：聯(lián)立 í .
x
得
- y -1 = 0 í y = -2
ìx = -1
把 í 代入 2x + ky + 8 = 0 得 k = 3 .
y = -2
故選：C
3．（2024 高二上·新疆·期中）直線 2x + 3y + 4 = 0 關(guān)于 y 軸對稱的直線方程為（ ）
A． 2x + 3y - 4 = 0 B． 2x - 3y + 4 = 0
C． 2x - 3y - 4 = 0 D．3x + 2y - 4 = 0
【答案】C
【分析】利用對稱性質(zhì)可得原直線上的點關(guān)于 y 軸的對稱點，代入對稱點，即可得到答案.
【詳解】設(shè)點P x, y 是所求直線上任意一點，則 P 關(guān)于 y 軸的對稱點為P -x, y ，且在直線 2x + 3y + 4 = 0
上，代入可得-2x + 3y + 4 = 0，即 2x - 3y - 4 = 0 .
故選：C.
4．（2024 高二上·浙江·期中）已知點 (a, 2)(a > 0)到直線 l : x - y + 3 = 0的距離為1，則 a等于（ ）
A． 2 B． 2 - 2 C． 2 -1 D． 2 +1
【答案】C
【分析】根據(jù)點到直線得距離公式即可得出答案.
| a - 2 + 3 |
【詳解】解：由題意得 =1．
1+1
解得 a = -1+ 2 或 a = -1- 2 ．Qa > 0，\a = -1+ 2 ．
故選：C.
5．（2024 高二上·廣東廣州·期末）已知點P(-1,2) 到直線 l : 4x - 3y + m = 0的距離為 1，則 m 的值為（ ）
A．-5或-15 B．-5或 15 C．5 或-15 D．5 或 15
【答案】D
【分析】利用點到直線距離公式即可得出.
【詳解】解：點P(-1,2) 到直線 l : 4x - 3y + m = 0的距離為 1，
| -1 4 - 3 2 + m |
\ =1,
42 + (-3)2
解得：m=15 或 5．
故選：D.
6．（2024 高二上·河北唐山·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲
馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，
先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為
x2 + y2 3，若將軍從點 A 3,1 處出發(fā)，河岸線所在直線方程為 x + y = 5，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)
域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． 10 - 3 B． 10 C． 2 5 - 3 D． 2 5
【答案】C
【解析】設(shè)點A 關(guān)于直線 x + y = 5的對稱點 A a,b ，則 A O - 3為最短距離，根據(jù)垂直和中點坐標(biāo)求出對
稱點 A a,b 即可得解.
【詳解】設(shè)點A 關(guān)于直線 x + y = 5的對稱點 A a,b ．
根據(jù)題意， A O - 3為最短距離，先求出 A 的坐標(biāo)．
a + 3 b +1
AA 的中點為 , ÷，直線 AA 的斜率為 1，
è 2 2
故直線 AA 的方程為 y -1 = x - 3，即 y = x - 2．
ìa + 3 b +1
+ = 5
由 í 2 2 ，聯(lián)立得 a = 4，b = 2 ，
b = a - 2
\ A 4,2 ，則 A O = 42 + 22 = 2 5 ，
故 A O - 3 = 2 5 - 3 ，
則“將軍飲馬”的最短總路程為 2 5 - 3 ．
故選：C．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：轉(zhuǎn)化為點A 關(guān)于直線 x + y = 5的對稱點 A 與原點O的距離求解是解題關(guān)鍵.
7．（2024 高二上·河南南陽·階段練習(xí)）直線 l : 4x + 3y - 2 = 0關(guān)于點 A 1,1 對稱的直線方程為（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【分析】首先設(shè)對稱直線上任意一點P x, y ，得到P x, y 關(guān)于 A 1,1 對稱點為 2 - x, 2 - y ，再代入直線 l
即可得到答案。
【詳解】設(shè)直線 l : 4x + 3y - 2 = 0關(guān)于點 A 1,1 對稱的直線上任意一點P x, y ，
則P x, y 關(guān)于 A 1,1 對稱點為 2 - x, 2 - y ，
又因為 2 - x, 2 - y 在 4x + 3y - 2 = 0上，
所以 4 2 - x + 3 2 - y - 2 = 0，即 4x + 3y -12 = 0。
故選：B
8．（2024 高二·全國·課后作業(yè)） x + y =1關(guān)于原點對稱的直線是（ ）
A． x - y -1 = 0 B． x - y +1 = 0 C． x + y +1 = 0 D． x + y -1 = 0
【答案】C
【分析】將直線方程中的 x 換為-x， y 換為 -y，即可得到關(guān)于原點對稱的直線方程.
【詳解】解：對于直線 x + y =1，將 x 換為-x， y 換為 -y得到-x - y =1，即 x + y +1 = 0，
所以直線 x + y =1關(guān)于原點對稱的直線是 x + y +1 = 0 .
故選：C
9．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）若直線 2x - y - 3 = 0與 4x - 2y + a = 0 之間的距離為 5 ，則 a 的值為（ ）
A．4 B． 5 - 6 C．4 或-16 D．8 或-16
【答案】C
【分析】將直線 2x - y - 3 = 0化為 4x - 2y - 6 = 0，再根據(jù)兩平行直線的距離公式列出方程，求解即可.
【詳解】將直線 2x - y - 3 = 0化為 4x - 2y - 6 = 0，
| a - (-6) | | a + 6 |
則直線 2x - y - 3 = 0與直線 4x - 2y + a = 0 之間的距離 d = = ，
16 + 4 2 5
| a + 6 |
根據(jù)題意可得： = 5 ，即 | a + 6 |=10，解得 a = 4或 a = -16，
2 5
所以 a 的值為 a = 4或 a = -16 .
故選：C
10．（2024 高二下·河南南陽·階段練習(xí)）若平面內(nèi)兩條平行線 l1： x + a -1 y + 2 = 0， l2：ax + 2y +1 = 0間的
3 2
距離為 ，則實數(shù) a =（ ）
4
A．2 B．－2 或 1 C．－1 D．－1 或 2
【答案】A
【分析】根據(jù)直線平行，求得 a的值，結(jié)合兩平行線的距離公式，即可求解.
【詳解】因為兩直線 l1： x + a -1 y + 2 = 0， l2： ax + 2y +1 = 0平行，
可得1 2 = (a -1) a且1 1 2a，解得 a = 2或 a = -1，
當(dāng) a = 2時， l1 : x + y + 2 = 0， l2 : 2x + 2y +1 = 0 ，即 l1 : 2x + 2y + 4 = 0，
4 -1 3 2
可兩平行線間的距離為 d = = ，符合題意；
22 + 22 4
當(dāng) a = -1時， l1 : x - 2y + 2 = 0， l2 : -x + 2y +1 = 0 ，即 l2 : x - 2y -1 = 0，
2 - (-1) 3 5
可兩平行線間的距離為 d = =2 2 5 ，不符合題意，舍去.1 + (-2)
故選：A.
11．（2024 高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）兩直線 2x + 3y - k = 0和 x - ky +12 = 0 的交點在 y 軸上，則 k 的值
是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
【答案】C
【解析】通過直線的交點代入兩條直線方程，然后求解 k 即可．
【詳解】因為兩條直線 2x + 3y - k = 0和 x - ky +12 = 0 的交點在 y 軸上，
所以設(shè)交點為 (0,b)，
ì3b - k = 0
所以 í ，消去b ，可得 k = ±6kb 12 0 ． - + =
故選：C ．
【點睛】本題考查兩條直線的交點坐標(biāo)的求法與應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若三條直線 2x + y - 4 = 0， x - y +1 = 0 與 ax - y + 2 = 0共有兩個交點，則實
數(shù) a的值為（ ）
A．1 B．-2 C．1 或-2 D．-1
【答案】C
【分析】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，利用直線平行即求.
【詳解】由題意可得三條直線中，有兩條直線互相平行，
∵直線 x - y +1 = 0 和直線 2x + y - 4 = 0不平行，
∴直線 x - y +1 = 0 和直線 ax - y + 2 = 0平行或直線 2x + y - 4 = 0和直線 ax - y + 2 = 0平行，
∵直線 x - y +1 = 0 的斜率為 1，直線 2x + y - 4 = 0的斜率為-2，直線 ax - y + 2 = 0的斜率為 a，
∴ a =1或 a = -2 .
故選：C.
13．（2024 高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）兩直線方程為 l1 : 3x - 2y - 6 = 0 ， l2 : x - y - 2 = 0，則 l1關(guān)于 l2對稱的
直線方程為（ ）
A．3x - 2y - 4 = 0 B． 2x + 3y - 6 = 0
C． 2x - 3y - 4 = 0 D．3x - 2y - 6 = 0
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求直線上任一點 M（x，y）且 M 關(guān)于直線 l2 : x - y - 2 = 0的對稱點M (x1 ， y1)，利
用軸對稱的性質(zhì)列出方程組解出用 x 、 y 表示x1、 y1 的式子，再由點M 在直線3x - 2y - 6 = 0上代入，化簡
即得所求對稱直線方程；
【詳解】設(shè)所求直線上任一點M (x, y)，M 關(guān)于直線 x - y - 2 = 0 的對稱點M (x1 ， y1)，
ì y - y1
= -1 x - x ìx1 = y + 2
則 í 1 ，解出 í (*)
x + x y = x - 21 y + y- 1 - 2 = 0 1 2 2
Q點M 在直線3x - 2y - 6 = 0上， \將 (*)式代入，得3(y + 2) - 2(x - 2) - 6 = 0 ，
化簡得 2x - 3y - 4 = 0，即為 l1關(guān)于 l2對稱的直線方程．
故選：C
14．（2024·全國）如果直線 y = ax + 2與直線 y = 3x - b 關(guān)于直線 y = x 對稱，那么（ ）
a 1
1
A． = ,b = 6 B． a = ,b = -6 C． a = 3,b = -2 D． a = 3,b = 63 3
【答案】A
【分析】由題意在 y = ax + 2上任取一點 (0,2)，其關(guān)于直線 y = x 的對稱點在 y = 3x - b 上，代入可求出b ，然
后在 y = 3x - b 上任取一點，其關(guān)于直線 y = x 的對稱點在 y = ax + 2上，代入可求出 a .
【詳解】在 y = ax + 2上取一點 (0,2)，
則由題意可得其關(guān)于直線 y = x 的對稱點 (2,0)在 y = 3x - b 上，
所以0 = 6 - b ，得b = 6，
在 y = 3x - 6 上取一點 (0, -6) ，
則其關(guān)于直線 y = x 的對稱點 (-6,0) 在 y = ax + 2上，
1
所以0 = -6a + 2，得 a = ，
3
1
綜上 a = ,b = 63 ，
故選：A
15．（2024 高二下·貴州）若直線 ax + y - 4 = 0與直線 x - y - 2 = 0 的交點位于第一象限，則實數(shù) a 的取值范圍
是（ ）
A． a < -1或 a > 2 B． a > -1 C． a < 2 D．-1 < a < 2
【答案】D
【分析】先求得兩直線的交點坐標(biāo)，再根據(jù)題意列出不等式組，求解即可.
ì 6
ìax + y - 4 = 0 x = a +1
【詳解】聯(lián)立 í
x y
得 ，
- - 2 = 0 í y 4 - 2a=
a +1
因為直線 ax + y - 4 = 0與直線 x - y - 2 = 0 的交點位于第一象限，
ì 6

> 0
a +1
所以 í ，解得-1 < a < 2 .
4 - 2a > 0
a +1
故選：D
16．（2024 高二下·貴州黔東南·階段練習(xí)）點 P 在直線3x - 4y - 5 = 0上，O為原點，則 OP 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C． 5 D． 2 5
【答案】A
【分析】利用垂線段的性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進行求解即可.
-5
【詳解】原點O到直線3x - 4y - 5 = 0的距離為 =1
32
，
+ -4 2
根據(jù)垂線段的性質(zhì)可知 OP 的最小值是1，
故選：A
17．（2024 高二上·廣西河池·期末）已知直線 l1 : x + ay + 2 = 0 ，l2 : 2x + 4 y + 3 = 0 相互平行，則 l1、l2之間的距
離為（ ）
A 5 B 5 C 2 5 D 5． ． ． ．
10 5 5 2
【答案】A
【分析】根據(jù)兩直線平行得到關(guān)于 a 的方程，求出 a的值，再由兩平行線之間的距離公式計算即可.
【詳解】因為直線 l1 : x + ay + 2 = 0 ， l2 : 2x + 4 y + 3 = 0 相互平行，
所以2a - 4 = 0 ，解得 a = 2，
所以 l1 : x + 2y + 2 = 0 ，即2x + 4 y + 4 = 0，
4 - 3
所以 l1、 l
5
2之間的距離 d = = .
22 + 42 10
故選：A.
18．（2024 高二上·江蘇淮安·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲
馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出
發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為
B -2,0 ，若將軍從山腳下的點 A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為 x + y = 3，則“將軍飲馬”的最短總
路程為（ ）
A． 27 B．5 C． 15 D． 29
【答案】D
【分析】設(shè)B -2,0 關(guān)于 x + y = 3的對稱點為 (x, y)，列方程求對稱點坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點距離公式求“將軍飲
馬”的最短總路程.
【詳解】由B -2,0 關(guān)于 x + y = 3的對稱點為 (x, y)，
ì x - 2 y
+ = 3 2 2 ìx = 3
所以 í ，可得 í ，即對稱點為 (3,5) ，又 A(1,0)
y =1 y = 5
x + 2
所以“將軍飲馬”的最短總路程為 (3 -1)2 + 52 = 29 .
故選：D
19．（2024 高一下·全國·課后作業(yè)）直線 l : x + 2y -1 = 0關(guān)于點 (1, -1) 對稱的直線 l 的方程為（ ）
A． 2x - y - 5 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x + 2y + 3 = 0 D．2x - y -1 = 0
【答案】C
【分析】根據(jù)直線關(guān)于直線外一點 (1, -1) 的對稱直線互相平行可知其斜率，再取 l上一點求其關(guān)于點 (1, -1) 的
對稱點，即可求出 l 的方程.
【詳解】由題意得 l / /l ，故設(shè) l : x + 2y + c = 0 (c -1)，
在 l 上取點 A(1,0)，則點 A(1,0)關(guān)于點 (1, -1) 的對稱點是 A (1,-2) ，
所以1 + 2 (-2) + c = 0 ，即 c = 3，
故直線 l 的方程為 x + 2y + 3 = 0 .
故選：C
20．（2024 高二上·四川遂寧·期末）已知點 A 與點B(2,1) 關(guān)于直線 x+y + 2 = 0對稱，則點 A 的坐標(biāo)為（ ）
A． (-1,4) B． (4,5)
C． (-3, -4) D． (-4,-3)
【答案】C
【分析】因點 A 與點 B 關(guān)于直線對稱，則 AB 中點在直線 x+y + 2 = 0上且直線 AB 與直線 x+y + 2 = 0垂直.
【詳解】設(shè) A x, y ，因點 A 與點 B 關(guān)于直線對稱，則 AB 中點在直線 x+y + 2 = 0上且直線 AB 與直線 x+y + 2 = 0
垂直，
ì x + 2 y +1
+ + 2 = 0 2 2 ìx = -3
則 í
y -1
í ，
1 y = -4=
x - 2
即點 A 坐標(biāo)為 (-3, -4) .
故選：C
21．（2024 高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”
2 2
事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如： x - a + y - b 可以轉(zhuǎn)化為平面上點M x, y
與點 N a,b 的距離.結(jié)合上述觀點，可得 f x = x2 +10x + 26 + x2 + 6x +13 的最小值為（ ）
A．5 B． 29 C． 13 D． 2 + 13
【答案】C
【分析】記點P x,0 、 A -5,1 、B -3, -2 ，可得出 f x = PA + PB ，數(shù)形結(jié)合可求得 f x 的最小值.
【詳解】因為 f x = x + 5 2 +1 + x + 3 2 + 4 = x + 5 2 + 0 -1 2 + x + 3 2 + 0 + 2 2 ，
記點P x,0 、 A -5,1 B -3, -2 f x = PA + PB AB = -5 + 3 2、 ，則 + 1+ 2 2 = 13 ，
當(dāng)且僅當(dāng)點 P 為線段 AB 與 x 軸的交點時，等號成立，即 f x 的最小值為 13 .
故選：C.
22．（2024 高三下·河北石家莊·開學(xué)考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角
形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三
2 2 2
邊的張角相等均為120° .根據(jù)以上性質(zhì)， z = x -1 + y2 + x +1 + y2 + x2 + y - 2 的最小值為（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 - 3 D． 2 + 3
【答案】D
【分析】易得 z 的幾何意義為點M x, y 到點 A -1,0 , B 1,0 ,C 0,2 的距離之和的最小值.此時點M x, y 為
費馬點,再根據(jù) AMB = 120°求解M x, y 的坐標(biāo),進而求得最小值即可.
【詳解】由題 z 的幾何意義為點M x, y 到點 A -1,0 , B 1,0 ,C 0,2 的距離之和的最小值.
由題可知,此時 AMB = 120° ,且M x, y 在 y 軸上.
故OM AO 3= = . AM = BM = 2OM 2 3= , CM 2 3= - .
3 3 3 3
故 z 2 3 3的最小值為 2 + 2 - = 2 + 3
3 3
故選：D
【點睛】本題主要考查了根據(jù)距離公式數(shù)形結(jié)合求解最小值的問題,需要根據(jù)題意畫出坐標(biāo)系,再結(jié)合所給費
馬點的定義求解.屬于中檔題.
二、多選題
23．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）三條直線 x + y = 0， x - y = 0， x + ay = 3構(gòu)成三角形，則 a的值不能為
（ ）
A．1 B． 2
C．-1 D．－2
【答案】AC
【分析】由三條直線可構(gòu)成三角形可知，直線 x + ay = 3不經(jīng)過兩條直線的交點，且與兩條直線任意一條不
平行.
【詳解】直線 x + y = 0與 x - y = 0都經(jīng)過原點，而無論 a為何值，直線 x + ay = 3總不經(jīng)過原點，
因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線 x + ay = 3與另兩條直線不平行，
所以 a ±1．
故選：AC.
三、填空題
24．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）直線 y = 3x - 4關(guān)于點 P(1,1) 對稱的直線方程為 ．
【答案】 y = 3x
【分析】根據(jù)點關(guān)于點對稱的坐標(biāo)關(guān)系，即可將 A x, y 關(guān)于點 P(1,1) 對稱的點 A 2 - x,2 - y 代入已知直線
中求解.
【詳解】在對稱直線上任取一點 A x, y ,設(shè) A x, y 關(guān)于點 P(1,1) 對稱的點為 A 2 - x,2 - y ，由于
A 2 - x,2 - y 在直線 y = 3x - 4上，所以 2 - y = 3 2 - x - 4，即 y = 3x ，
故答案為： y = 3x
25．（2024 高三·全國·課后作業(yè)）若直線 y = ax + 2與 y = 3x - 6 關(guān)于直線 y = x 對稱，則實數(shù) a= .
1
【答案】
3
【分析】根據(jù)特殊點求得 a的值.
【詳解】直線 y = 3x - 6 過點 0, -6 ，
點 0, -6 關(guān)于直線 y = x 對稱點為 -6,0 ，
依題意可知點 -6,0 在直線 y = ax + 2上，
所以-6a + 2 = 0, a
1
= .
3
1
故答案為：
3
26．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）已知點M x,-4 與點 N 2,3 間的距離為7 2 ，則 x = ．
【答案】9 或-5
【分析】根據(jù)兩點間的距離公式列方程求解即可.
【詳解】由 MN = 7 2 ，
得 MN = (x - 2)2 + (-4 - 3)2 = 7 2 ，
即 x2 - 4x - 45 = 0，解得 x = 9 或-5．
故答案為：9 或-5 .
27．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）直線 2x + 5y - 3 = 0關(guān)于點M (-1, 2)對稱的直線方程是 ．
【答案】 2x + 5y -13 = 0
【分析】由直線 2x + 5y - 3 = 0關(guān)于點M (-1, 2)對稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點
M (-1, 2)到兩條直線的距離相等可解出答案.
【詳解】設(shè)對稱直線為 l : 2x + 5y + C0 = 0 ，
8 + C0 -2 + 5 2 - 3
則有 =2 2 2 2 ，2 + 5 2 + 5
解這個方程得C0 = -3（舍）或C0 = -13 .
所以對稱直線 l 的方程中 2x + 5y -13 = 0
故答案為： 2x + 5y -13 = 0
28．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)直線 l經(jīng)過 2x - 3y + 2 = 0和3x - 4y - 2 = 0的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等
腰直角三角形，則直線 l的方程為 .
【答案】 x - y - 4 = 0 或 x + y - 24 = 0
【分析】由題可求交點，結(jié)合條件即可求出；或設(shè)直線系方程，結(jié)合已知即求.
ì2x - 3y + 2 = 0 ìx =14
【詳解】方法一：由 í3x 4y 2 0 ，得 - - =
í
y =10
，
所以兩條直線的交點坐標(biāo)為（14，10）,
由題意可得直線 l的斜率為 1 或-1，
所以直線 l的方程為 y -10 = x -14或 y -10 = - x -14 ，
即 x - y - 4 = 0 或 x + y - 24 = 0 .
方法二：設(shè)直線 l的方程為 2x - 3y + 2 + l 3x - 4y - 2 = 0，整理得 2 + 3l x - 4l + 3 y - 2l + 2 = 0，
2 + 3l
由題意，得 = ±1
5
，解得l = -1或l = - ，
3+ 4l 7
所以直線 l的方程為 x - y - 4 = 0 或 x + y - 24 = 0 .
故答案為： x - y - 4 = 0 或 x + y - 24 = 0 .
29．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如果直線 y = ax + 2與直線 y = 3x - b 關(guān)于直線 y = x 對稱，那么 a = ，
b = ．
1
【答案】 6
3
【分析】根據(jù)特殊點求得 a、b 的值.
【詳解】解：直線 y = ax + 2上的點M 0,2 關(guān)于 y = x 的對稱點M 2,0 在 y = 3x - b 上，
所以3 2 - b = 0，解得b = 6，
直線 y = 3x - 6 上的點 N 0, -6 關(guān)于 y = x 的對稱點 N -6,0 在 y = ax + 2上，
1
所以-6a + 2 = 0，解得 a = .
3
1
故答案為： ；6
3
30．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若直線 l1 : y = -x + b與直線 l2 : 5x + 3y - 31 = 0的交點在第一象限，則實數(shù) b
的取值范圍是 .
31
【答案】 ( ,
31)
5 3
31 31
【分析】求得直線 l2與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo) A(0, ), B( ,0) ，代入 A, B的坐標(biāo)，求得b 的值，結(jié)合題意，即3 5
可求解.
【詳解】由題意，直線 l2 : 5x + 3y - 31 = 0，
31
令 x = 0，可得 y = ；令 y 0 y
31 31 31
= ，可得 = ，即 A(0, ), B( ,0) ，
3 5 3 5
如圖所示，
當(dāng)直線 l1 : y = -x + b
31
過點 A(0, ) b
31
，可得 = ；
3 3
當(dāng)直線 l1 : y = -x + b B(
31
過點 ,0)
31
，可得b = ，
5 5
31 31
要使得直線 l1與直線 l2的交點在第一象限，則 < b < ，5 3
31 31
即實數(shù)b 的取值范圍是 ( , ) .
5 3
31
故答案為： ( ,
31) .
5 3
31．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）直線 2x - y + 3 = 0關(guān)于直線 x - y + 2 = 0 對稱的直線方程是 .
【答案】 x - 2y + 3 = 0
ìx = y - 2
【分析】設(shè)點 P(x, y) 0，根據(jù)中點公式和斜率關(guān)系可得 íy ，代入
2x - y + 3 = 0即可.
0 = x + 2
【詳解】設(shè)所求直線上任意一點 P(x, y) ，
點 P 關(guān)于 x - y + 2 = 0 的對稱點為P (x0 , y0 ) ,
如圖所示：
ì x + x0 y + y
-
0 + 2 = 0
2 2 ìx0 = y - 2,
則有 í ，得 í
x - x0 = -1 y0 = x + 2.
y - y0
∵點 P′(x0，y0)在直線 2x－y＋3＝0 上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即 x－2y＋3＝0.
故答案為： x - 2y + 3 = 0
32．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如果直線 l 與直線 x + y -1 = 0 關(guān)于 y 軸對稱，那么直線 l 的方程是 ．
【答案】 x - y +1 = 0
【分析】若直線關(guān)于 y 軸對稱，則斜率互為相反數(shù)，結(jié)合交點坐標(biāo)即可求解.
【詳解】解：∵直線 x + y -1 = 0 的斜率為-1，且與 y 軸交于（0，1）點，
又∵直線 l 與直線 x + y -1 = 0 關(guān)于 y 軸對稱，
∴直線 l 的斜率為 1，且過（0，1）點，
則直線 l 的方程為 x - y +1 = 0 ，
故答案為： x - y +1 = 0
ì x + 2y = 4
33．（2024·上海奉賢·二模）若關(guān)于 x ， y 的方程組 í3x ay 6有唯一解，則實數(shù) a 滿足的條件是
.
+ =
【答案】 a 6 / a - 6 0
【分析】由題給方程組有唯一解，可得方程 a - 6 y + 6 = 0有唯一解，進而得到實數(shù) a 滿足的條件
ì x + 2y = 4
【詳解】由 í ，可得 a - 6 y + 6 = 03x ， + ay = 6
y ì x + 2y = 4由關(guān)于 x ， 的方程組 í3x 有唯一解， + ay = 6
可得方程 a - 6 y + 6 = 0有唯一解，則 a 6
故答案為： a 6
34．（2024 高三·全國·對口高考）過點P 0,1 且和 A 3,3 , B 5,-1 的距離相等的直線方程是 ．
【答案】 2x + y -1 = 0或 y =1
【分析】當(dāng)斜率不存在時，驗證不滿足條件；當(dāng)若斜率存在時，設(shè)直線方程為 kx - y +1 = 0，利用點到直線的
距離公式，列出方程求得 k 的值，即可求解.
【詳解】若斜率不存在時，過點 P(0,1)的直線為 x = 0，此時不滿足條件；
若斜率存在時，設(shè)過點 P(0,1)的直線 l : y -1 = kx ，即 kx - y +1 = 0．
| 3k - 3 +1| | 5k +1+1|
根據(jù)題意，可得 = ，解得 k = -2或 k = 0，
k 2 +1 k 2 1 1 2+
當(dāng) k1 = -2時，直線方程為 2x + y -1 = 0，
當(dāng) k2 = 0時，直線方程為 y =1
綜上可得，直線方程為 2x + y -1 = 0或 y =1．
故答案為： 2x + y -1 = 0或 y =1
ì7x - by = 3
35．（2024 高二上·上海徐匯·期中）關(guān)于 x y 的二元一次方程組 í a b
ax + 5y = 2
有無窮多組解，則 與 的積
是 .
【答案】-35
ì7x - by = 3
【解析】由 x y 的二元一次方程組 í 7x - by = 3 ax + 5y = 2 .
ax + 5y
有無窮多組解，則直線 與直線 重合求解
= 2
ì7x - by = 3
【詳解】因為 x y 的二元一次方程組 íax 有無窮多組解， + 5y = 2
所以直線7x - by = 3與直線 ax + 5y = 2 重合，
7 -b 3 a 14所以 = = ，解得 = ,b
15
= - ，
a 5 2 3 2
所以 ab = -35，
故答案為：-35
36．（2024 高三·全國·中職高考）點 A -1,0 關(guān)于直線 l : y = kx k 0 的對稱點的坐標(biāo)為 ．
k 2 -1, 2k

【答案】 2 -k +1 k 2è +1
÷

【分析】根據(jù)對稱性直接列式求解即可.
【詳解】設(shè)點 A -1,0 關(guān)于直線 l : y = kx k 0 的對稱點的坐標(biāo)為 a,b ，則
ìb k·a -1 ì
2
= a k -1 = 2 2 k 2 +1
í b ，解得 í ， k· = -1 b 2k= -
a +1 k 2 +1

2
即點 A
k -1 2k
-1,0 關(guān)于直線 l : y = kx k 0 的對稱點的坐標(biāo)為 ,- .
è k
2 +1 k 2 +1÷
k 2 -1 2k
故答案為： 2 ,- .
è k +1 k
2 +1÷
37．（2024 高二上·上海長寧·期末）已知 A -5,2 ，B 兩點關(guān)于直線 x + y -10 = 0 對稱，則點 B 的坐標(biāo)為 .
【答案】 (8,15)
ìb - 2 × (-1) = -1
B(a,b)
a + 5
【分析】設(shè)點 ，由題意可得 í .
a - 5 b
，求解即可
+ 2
+ -10 = 0
2 2
【詳解】解：設(shè)點B(a,b) ，
因為直線 x + y -10 = 0 的斜率為 k = -1，
ìb - 2
× (-1) = -1 a + 5
則有 í
a - 5 b + 2
，
+ -10 = 0
2 2
ìa = 8
解得： íb ， =15
所以點 B 的坐標(biāo)為 (8,15) .
故答案為： (8,15)
38．（2024 高二·全國·單元測試）直線 2x - y + 3 = 0關(guān)于點 A 5,3 的對稱直線方程是 ．
【答案】 2x - y -17 = 0
【分析】由直線 2x - y + 3 = 0關(guān)于點 A 5,3 對稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點 A 5,3
到兩條直線的距離相等可解出答案.
【詳解】設(shè)對稱直線為 l : 2x - y + C0 = 0，
2 5 - 3+ C0 5 2 - 3 + 3
則有 =2 2 2 2 ，即 7 + C0 =102 + -1 2 + -1
解這個方程得C0 = 3（舍）或C0 = -17 .
所以對稱直線 l 的方程中 2x - y -17 = 0 .
故答案為： 2x - y -17 = 0 .
39．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）若點 A(a + 2,b + 2), B(b - 4,a - 6)關(guān)于直線 4x + 3y -11 = 0對稱，則
a = ；b = ．
【答案】 4 2
【分析】根據(jù)給定條件，利用軸對稱的性質(zhì)列出方程組，解方程組即可作答.
a - 6 - (b + 2) a - b -8 a + b - 2 b + a - 4
【詳解】依題意，直線 AB 的斜率為 =b 4 (a 2) b a 6 ，線段- - + - - AB 的中點
( , )，
2 2
ì a - b -8 3
= b - a - 6 4 ìa - b = 2
于是 í ，整理得 í ，解得 a = 4,b = 2
4 a b
，
+ - 2
× + 3 b + a - 4× -11 0 a + b = 6=
2 2
所以 a = 4,b = 2 .
故答案為：4；2
40．（2024 高二上·云南曲靖·階段練習(xí)）某同學(xué)在研究函數(shù) f (x) = x2 +1+ | x -1|的性質(zhì)時，聯(lián)想到兩點間的
距離公式，從而將函數(shù)變形為 f (x) = (x - 0)2 + (0 -1)2 + (x -1)2 + (0 - 0)2 ，求得 f (x) 的最小值為 ．
【答案】 2
【分析】根據(jù)變形后函數(shù)表示的幾何意義： (x,0)到兩定點 (0,1), (1,0)的距離之和，即可知 f (x) 的最小值.
【詳解】由變形所得函數(shù)知： f (x) 表示 x 軸上的動點 (x,0)到兩定點 (0,1), (1,0)的距離之和，
∴當(dāng)且僅當(dāng) (x,0)與 (1,0)重合時， f (x) 有最小值為 2 .
故答案為： 2
41．（2024 高二下·上海青浦·期末）點 2, -1 到直線 x - y + 3 = 0的距離為 ．
【答案】3 2
【分析】根據(jù)題意，利用點到直線的距離公式，即可求解.
2 +1+ 3
【詳解】由點到直線的距離公式，可得點 2, -1 到直線 x - y + 3 = 0的距離為 = 3 22 2 .1 + (-1)
故答案為：3 2 .
42．（2024 高二下·上海閔行·階段練習(xí)）函數(shù) y = x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域為 .
【答案】 é 26,+
【分析】將其看作是動點 A x,0 到定點M 1,2 , N 2,3 的距離之和，利用兩點之間線段最短即可求解最小
值.
【詳解】原式為 y = x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 = x -1 2 + 0 - 2 2 + x - 2 2 + 0 - 3 2 ，即可看作是動點
A x,0 到定點M 1,2 , N 2,3 的距離之和，
設(shè) N 2,3 關(guān)于 x 軸的對稱點為 N 2, -3 ，連接MN 交 x 軸于A ，此時 AM + AN 最小，且最小值為
MN = 1- 2 2 + 2 + 3 2 = 26 ，故函數(shù) y = x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域為 é 26,+ ，
故答案為： é 26,+
ì4x + my - m + 2 = 0
43（．2024高二上·上海·課后作業(yè)）若關(guān)于 x 的二元一次方程組 ímx 有無窮多組解，則
m = ．
+ y + m = 0
【答案】-2
【分析】根據(jù)兩直線重合的條件，求得m 的值即可.
ì4x + my - m + 2 = 0
【詳解】依題意二元一次方程組 ímx y m 0 有無窮多組解，即兩個方程對應(yīng)的直線重合，由 + + =
4 1 = m m，解得m = 2 或m = -2 .
ì4x + 2y = 0 ì2x + y = 0
當(dāng)m = 2 時，二元一次方程組為 í 2x y 2 0 í2x y 2 0，兩直線不重合，不符合題意
.
+ + = + + =
ì4x - 2y + 4 = 0 ì2x - y + 2 = 0
當(dāng)m = -2時，二元一次方程組為 í í .
-2x + y - 2 = 0 2x y 2 0
，兩直線重合，符合題意
- + =
綜上所述，m 的值為-2 .
故答案為：-2
44．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）直線 y = 2x +1關(guān)于直線 y = 2x + 3對稱的直線方程為
【答案】 y = 2x + 5
【分析】因為兩直線平行，設(shè)所求直線方程為 y = 2x + b ，由直線 y = 2x +1與直線 y = 2x + 3間的距離，求得
b 的值，得直線方程.
【詳解】設(shè)所求直線方程為 y = 2x + b ，且b 1，
1- 3 2
直線 y = 2x +1與直線 y = 2x + 3間的距離為 = ，
22 + (-1)2 5
b - 3 2
則直線 y = 2x + b 與直線 y = 2x + 3間的距離為 =
22 + (-1)2 5
，又b 1，得b = 5，
所以所求直線方程為 y = 2x + 5，
故答案為： y = 2x + 5 .
四、解答題
45．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）分別判斷下列直線 l1與 l2是否相交．如果相交，求出交點的坐標(biāo)．
(1) l1 : x - y = 0 ， l2 : 3x + 3y -10 = 0；
(2) l1 : 3x - y +4 = 0， l2 : 6x - 2y -1 = 0；
(3) l1 : 3x + 4y - 5 = 0， l2 : 6x + 8y -10 = 0．
5 5
【答案】(1)相交，交點坐標(biāo)為 ,3 3 ÷è
(2)不相交
(3)不相交
【分析】分別聯(lián)立方程組，解方程求解即可判斷.
ì
x - y = 0 x
5
=
ì 3
【詳解】（1）解方程組 í
3x + 3y -10
，得 ，
= 0 í y 5=
3
l l 5 5 所以 1與 2相交，交點坐標(biāo)為 ,3 3 ÷
．
è
ì3x - y + 4 = 0
（2）解方程組 í
6x
，方程組無解，
- 2y -1 = 0
所以 l1與 l2無公共點，即 l1與 l2不相交．
ì3x + 4y - 5 = 0
（3）解方程組 í ，
6x + 8y -10 = 0
因為方程6x + 8y -10 = 0可化為3x + 4y - 5 = 0，
所以方程組有無數(shù)組解，
所以 l1與 l2有無數(shù)個公共點，即 l1與 l2不相交．
46．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知點 A（-3，5）和 B（2，15），在直線 l : 3x - 4y + 4 = 0上找一點 P，使 PA + PB
最小，并求這個最小值．
P 8 ,3 【答案】 ÷，最小值3 5 13è
【分析】求得A 關(guān)于直線 l的對稱點，結(jié)合兩點間的距離公式求得 PA + PB 的最小值.
【詳解】設(shè)A 關(guān)于直線 l的對稱點為C a,b ，
a - 3 b + 5
線段 AC

的中點為 ,2 2 ÷
，
è
ì a - 3
3 - 4
b + 5
+ 4 = 0

2 2
í b + 5所以 - 5 ，
2 3
a 3 = -1 -
+ 3
4
2
解得 a = 3,b = -3，即C 3, -3 ，
所以 PA + PB 的最小值為 BC = 12 +182 = 5 13，
y 3 -3 -15此時直線BC 的方程為 + = x - 3 , y = -18x + 51，
3- 2
ìy = -18x + 51 ìx 8 = 8
由 í3x 4y 4 0解得 í
3，所以P ,3 .
- + =
÷
è 3 y = 3
47．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）三條直線 l1 : x + y +1 = 0 l2 : 2x - y + 8 = 0 l3 : ax + 3y - 5 = 0有且只有兩個交
點，求實數(shù) a的值.
【答案】 a = 3或 a = -6
【分析】首先確定 l1, l2 有一個交點，則若三條直線有且僅有兩個交點，需 l3 //l1或 l3 //l2，由此可構(gòu)造方程求得
結(jié)果.
ìx + y +1 = 0 ìx = -3
【詳解】由 í 得： í ，即 l1, l2 有一個交點 -3,2 ，\l3 //l2x y 8 0 y 2 1 或 l3 //l2； - + = =
即1 3- a = 0或 2 3+ a = 0，解得： a = 3或 a = -6 .
48．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若點 A a + 2,b + 2 關(guān)于直線 4x + 3y +11 = 0對稱的點是B b - a,a - b ，求
a、b 的值．
a 388 b 366【答案】 = - ， = - .
73 73
【分析】根據(jù)點關(guān)于線對稱的性質(zhì)，結(jié)合斜率公式、中點坐標(biāo)公式進行求解即可.
【詳解】因為點 A a + 2,b + 2 關(guān)于直線 4x + 3y +11 = 0對稱的點是B b - a,a - b ，
ì4 a + 2 + b - a 3 b + 2 + a - b + +11 = 0 2 2 a 388 366所以有 í ，解得 = - ，b = - .
a - b - b - 2 3= 73 73
b - a - a - 2 4
49．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）判斷下列各對直線的位置關(guān)系．如果相交，求出交點坐標(biāo)．
(1)直線 l1 : 2x - 3y +10 = 0, l2 : 3x + 4y - 2 = 0；
(2)直線 l1 : nx - y = n -1, l2 : ny - x = 2n ．
【答案】(1)相交，交點是 (-2,2)
(2)答案見解析
【分析】（1）解方程組，可得交點坐標(biāo)；根據(jù)方程組的解的個數(shù)判斷位置關(guān)系；
（2）分類討論 n ，解方程組可得答案.
ì2x - 3y +10 = 0 ìx = -2
【詳解】（1）聯(lián)立 í
3x + 4y - 2 0
，解得
= í
，
y = 2
所以兩直線相交，交點坐標(biāo)為 (-2,2) .
（2）當(dāng) n = -1時， l1 : x + y - 2 = 0， l2 : x + y - 2 = 0，
ìx + y - 2 = 0
聯(lián)立 í
x y 2 0
，方程組有無數(shù)組解，故兩直線重合，
+ - =
當(dāng) n =1時， l1 : x - y = 0 ， l2 : x - y + 2 = 0 ，
ìx - y = 0
聯(lián)立 í ，方程組無解，故兩直線平行，
x - y + 2 = 0
ì n
ìnx - y = n -1 x =
n ±1 n -1當(dāng) ，聯(lián)立 í
ny - x = 2n
，解得 í
y 2n -1
，
=
n -1
n 2n -1
所以兩直線相交，交點坐標(biāo)為 ( , ) .
n -1 n -1
綜上所述：當(dāng) n = -1時，兩直線重合；當(dāng) n =1時，兩直線平行；當(dāng) n ±1時，兩直線相交，交點坐標(biāo)為
( n , 2n -1) .
n -1 n -1
50．（2024 高二下·河南南陽·階段練習(xí)）求滿足下列條件的直線 l的一般式方程：
(1)經(jīng)過直線 l1 : 2x - y + 9 = 0 , l2 : 3x + 2y + 3 = 0 的交點 P，且經(jīng)過點 (2,4)；
(2)與直線 l3 : 3x - y = 0垂直，且點Q(2,-5)到直線 l的距離為 10 ．
【答案】(1) x - 5y +18 = 0
(2) x + 3y + 3 = 0或 x + 3y + 23 = 0 .
【分析】（1）解方程組得交點坐標(biāo)，再根據(jù)兩點式可求出結(jié)果；
（2）根據(jù)垂直得斜率，再根據(jù)點到直線的距離公式可求出結(jié)果.
ì2x - y + 9 = 0 ìx = -3
【詳解】（1）聯(lián)立 í ，得 P(-3,3)
3x + 2y + 3 = 0
í
y = 3
，即 ，
y - 3 x + 3
由兩點式得 = ，即 x - 5y +18 = 0 .
4 - 3 2 + 3
（2）因為 l與直線 l3 : 3x - y = 0
1
垂直，所以直線 l的斜率為- ，
3
設(shè)直線 l : y
1
= - x + b ，即 x + 3y - 3b = 0 ，
3
| 2 - 3 5 - 3b |
依題意得 = 10
23
，解得b = -1或b = - ，
1+ 9 3
所以直線 l的方程為 x + 3y + 3 = 0或 x + 3y + 23 = 0 .
51．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知三條直線 l1 : 4x + y - 4 = 0， l2 : mx + y = 0， l3 : 2x - 3my - 4 = 0 .
（1）若直線 l1， l2， l3 交于一點，求實數(shù)m 的值；
（2）若直線 l1， l2， l3 不能圍成三角形，求實數(shù)m 的值.
2 2 1
【答案】（1）m = -1或 ；（2）m = -1或 或 4 或- .
3 3 6
【分析】（1）聯(lián)立方程組即可求出；
（2）根據(jù)題意可知直線交于一點或有兩條直線平行，則可求解.
【詳解】（1）∵直線 l1， l2， l3 交于一點，
∴ l1與 l2不平行，∴ m 4，
ì 4
ì4x + y - 4 = 0 x = 4 - m
由 í
mx + y = 0
，得 í ，
y -4m=
4 - m
l l 4 , -4m 即 1與 2的交點為 ，
è 4 - m 4 - m ÷
8 -4m
代入 l3 的方程，得 - 3m × - 4 = 0，4 - m 4 - m
2
解得m = -1或 .
3
（2）若 l1， l
2
2， l3 交于一點，則m = -1或 ；3
若 l1 //l2，則m = 4 ；
1
若 l1 //l3 ，則m = - ；6
若 l2 //l3，則不存在滿足條件的實數(shù)m .
2 1
綜上，可得m = -1或 或 4 或- .
3 6
52．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）求直線 l1 : 3x - 2y - 6 = 0 關(guān)于直線 l : 2x - 3y +1 = 0 對稱的直線 l2的方程．
【答案】9x - 46y +102 = 0
【分析】聯(lián)立方程求兩條直線的交點 P，取直線 l1上一點 A，求其關(guān)于直線 l對稱的對稱點 A ，則過 P， A
的直線即為所求直線.
ì3x - 2y - 6 = 0 ìx = 4
【詳解】聯(lián)立兩直線方程 í ，解得 P(4,3)
2x - 3y +1 = 0
í
y
，即兩直線的交點為 ，
= 3
取直線 l1：3x - 2y - 6 = 0上一點 A(2,0)，設(shè)其關(guān)于直線 l： 2x - 3y +1 = 0的對稱點 A (x0 , y0 )，
ì y0 - 0 2 = -1 ì x 6=
x - 2 3 00 13 A ( 6 30則 í ，解得 í ，即 , )，
x0 + 2 y0 + 0 y 30= 13 13
2 - 3 +1 = 0 2 2
0 13
y - 3 x - 4
因為所求直線過P(4,3)
6 30 =
， A ( , )，方程為 30 6 ，
13 13 - 3 - 413 13
即9x - 46y +102 = 0 .2.3 直線的交點坐標(biāo)與距離公式 14 題型分類
一、兩條直線的交點
1．兩直線的交點
已知直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.點 A(a，b)．
(1)若點 A 在直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 上，則有 A1a＋B1b＋C1＝0.
(2) A l l {A1a＋B若點 是直線 與 的交點，則有 1b＋C1＝0，1 2 A2a＋B2b＋C2＝0.
2．兩直線的位置關(guān)系
{A1x＋B1y＋C1＝0，方程組 A2x 的解 一組 無數(shù)組 無解＋B2y＋C2＝0
直線 l1與 l2的公共點的個數(shù) 一個 無數(shù)個 零個
直線 l1與 l2的位置關(guān)系 相交 重合 平行
二、兩點間的距離公式
1．兩點間的距離公式：點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.特別
提醒：此公式與兩點的先后順序無關(guān)．
2．原點 O(0,0)與任一點 P(x，y)的距離|OP|＝ x2＋y2.
三、點到直線的距離、兩條平行線間的距離
點到直線的距離 兩條平行直線間的距離
定義 點到直線的垂線段的長度 夾在平行直線間公垂線段的長
圖示
點 P(x0，y0)到直線 平行直線 l1：Ax＋By＋C1＝0 與
l：Ax＋By＋C＝0 的距離 l2：Ax＋By＋C2＝0 之間的距離
公式
|Ax0＋By0＋C| |C1－C2|
d＝ d＝
A2＋B2 A2＋B2
（一）
求相交直線的交點坐標(biāo)
1、兩直線的交點：已知直線 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，聯(lián)立方程即可求解.
2、求兩相交直線的交點坐標(biāo)．
(1)求兩相交直線的交點坐標(biāo)，關(guān)鍵是解方程組．
(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法．
題型 1：求相交直線的交點
1-1．（24-25 高二上·全國·課后作業(yè)）直線3x + 2y -18 = 0和-2x + 5y - 7 = 0的交點坐標(biāo)為（ ）
A． -4, -3 B． 4,3 C． -4,3 D． 3,4
1-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）直線 x + 2y - 4 = 0與直線 2x - y + 2 = 0的交點坐標(biāo)是（ ）
A．(2,0) B．(2,1)
C．(0,2) D．(1,2)
1-3．（2024 高二下·全國·課堂例題）判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點坐標(biāo)：
(1) l1 : y = 2x + 3， l2 : 2x - y + 5 = 0；
(2) l1 : y = 2x +1， l2 : x - 2y = 0；
(3) l1 : x = 3， l2 : x =10；
(4) l1 : y = 2x +1， l2 : 2x - y +1 = 0 ．
題型 2：求過兩條直線的交點的直線方程
2-1．（2024 高二上·天津·期末）過直線 x + y +1 = 0和 x - 2y + 4 = 0的交點，且與直線 x + 2y - 3 = 0垂直的直線
方程是（ ）．
A． 2x - y + 3 = 0 B． 2x - y + 5 = 0
C． x + 2y - 4 = 0 D． 2x - y - 3 = 0
2-2．（2024 高二下·河北張家口·開學(xué)考試）過直線 x - 2y +1 = 0與3x - y - 2 = 0的交點，且垂直于直線
x - y +1 = 0 的直線方程是 ．
2-3．（2024 高二上·陜西寶雞·階段練習(xí)）已知直線 l 經(jīng)過直線3x - y - 7 = 0和 4x + y -14 = 0的交點，且直線 l
在坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線 l 的方程是 .
題型 3：由兩條直線交點的個數(shù)或位置求參數(shù)
3-1．（廣東省廣州市第一一三中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期第一階段考數(shù)學(xué)試題）直線
3x - (k + 2) y + k + 5 = 0與直線 kx + (2k - 3) y + 2 = 0相交，則實數(shù) k 的值為（ ）
A． k 1或 k 9 B． k 1或 k -9 C． k 1或 k 9 D． k 1且 k -9
ì4x + 6y =1
3-2．（2024·上海崇明·一模）若關(guān)于 x 、 y 的方程組 íax 3y 2無解，則實數(shù)
a =
- =
3-3．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若直線 kx - y = k -1與直線 ky - x = 2k 相交且交點在第二象限內(nèi)，則 k 的取
值范圍為（ ）
k 1 1 1A． k >1 B． < C． 0 < k < D． < k <1
2 2 2
3-4．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）若直線5x + 4y = 2m +1與直線 2x + 3y = m的交點在第四象限，則 m 的取
值范圍是（ ）
3
A． (- ,2) B． , +
è 2 ÷
3 3
C． - , -

÷ D． - , 2
è 2 2 ÷ è
題型 4：三條直線能否構(gòu)成三角形問題
4-1．（2024 高二上·浙江寧波·期末）若三條直線3x - y +1 = 0, x + y + 3 = 0與 kx - y + 2 = 0能圍成一個直角三
角形，則 k = ．
4-2．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）若三條直線 l1 : ax + y +1 = 0 ， l2 : x + ay +1 = 0， l3 : x + y + a = 0能構(gòu)成三角
形，求 a 應(yīng)滿足的條件．
4-3．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）使三條直線 4x + y - 4 = 0,mx + y = 0,2x - 3my - 4 = 0不能圍成三角形的實
數(shù) m 的值最多有幾個（ ）
A．3 個 B．4 個 C．5 個 D．6 個
（二）
兩點間的距離
1、兩點間的距離公式：
(1)點 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(2)原點 O(0,0)與任一點 P(x，y)的距離|OP|＝ x2＋y2.
2、計算兩點間距離的方法
(1)對于任意兩點 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，則|P1P2|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2.
(2)對于兩點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．
題型 5：求兩點間的距離
5-1．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）直線 l1 : 3ax - y - 2 = 0和直線 l2 : 2a -1 x + 5ay -1 = 0分別過定點A 和 B ，
則 AB = | ．
5-2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知 A(-1,2), B(0,4)，點 C 在 x 軸上，且 AC = BC ，則點 C 的坐標(biāo)為
（ ）
11,0 0, 11 0,11 11 A． - 2 ÷
B． - 2 ÷
C． 2 ÷
D． ,0÷
è è è è 2
5-3．（2024 高二上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知 A，B 兩點分別在兩條互相垂直的直線 2x - y = 0和 x + ay = 0上，
10
且 AB 線段的中點為P 0, ÷ ，則線段 AB 的長為（a ）è
A．11 B．10 C．9 D．8
題型 6：由兩點間的距離求參數(shù)
6-1．（2024 高二上·新疆喀什·期末）已知點 A 3,3a + 3 與點B a,3 之間的距離為 5，則實數(shù) a 的值
為 ．
6-2．（2024 高二下·全國·課后作業(yè)）已知點 A(4,12)，P 為 x 軸上的一點，且點 P 與點 A 的距離等于 13，則
點 P 的坐標(biāo)為 ．
6-3．（2024 高二下·全國·課后作業(yè)）已知 A(a,0), B(0,10)，且 | AB |= 17，則 a = ．
題型 7：運用兩點間的距離公式求最值
7-1．（2024 高二上·福建·期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實上，
2 2
有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如： x - a + y - b 可以轉(zhuǎn)化為點 x, y 到點 a,b 的距
離，則 x2 +1 + x2 - 4x + 8 的最小值為（ ）．
A．3 B． 2 2 +1 C． 2 3 D． 13
7-2．（2024 高三下·江西·開學(xué)考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角形三個
內(nèi)角均小于 120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三邊的張
角相等且均為 120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則F (x, y) = (x - 2 3)2 + y2 + (x +1- 3)2 + (y -1+ 3)2 + x2 + (y - 2)2
的最小值為（ ）
A．4 B．2 + 2 3 C．3+ 2 3 D． 4 + 2 3
7-3．（2024 高二上·甘肅武威·期中）函數(shù) f x = x2 + 2x + 5 + x2 - 6x +10 的最小值是 .
（三）
運用坐標(biāo)法解決平面幾何問題
1、利用坐標(biāo)法解平面幾何問題：(1)建系；(2)坐標(biāo)表示；(3)幾何關(guān)系坐標(biāo)化；(4)將數(shù)“翻譯”為
形．
2、利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟：
(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；
(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；
(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算；
(4)把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
題型 8：用坐標(biāo)法解決平面幾何問題
8-1．（2024 高二上·河南·階段練習(xí)）已知直線 l : m - 2 x - m +1 y + 3m = 0 m R ，直線 l1 : 4x + y + 3 = 0和
l2 : 3x - 5y - 5 = 0．
(1)求證：直線 l 恒過定點；
(2)設(shè)（1）中的定點為 P ， l與 l1， l2的交點分別為A ， B ，若 P 恰為 AB 的中點，求m ．
8-2．（2024 高二上·安徽馬鞍山·期中）已知VABC 的頂點 A 3,1 ， AB 邊上的高所在的直線方程為
4x - y -13 = 0， AC 邊上的中線所在的直線方程為5x - 2y -12 = 0．
(1)求直線 AB 的方程；
(2)求點 C 的坐標(biāo)．
8-3．（2024 高二上·四川綿陽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，O為坐標(biāo)原點，已知直線 l1：2x - y - 2 = 0
和 l2： x + y + 3 = 0，
(1)求直線 l1與 l2的交點坐標(biāo)；
uuur uuur
(2)過點 P(3,0)
1
作直線 l與直線 l1， l2分別交于點 A、B，且滿足 AP = AB ，求直線 l的方程．2
（四）
點到直線的距離
點到直線的距離的求解方法：
(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點到直線的距離公式求
解即可．
(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線 x＝a 或 y＝b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線
的距離公式，也可以直接寫成 d＝|x0－a|或 d＝|y0－b|.
(3)若已知點到直線的距離求參數(shù)時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．
題型 9：求點到直線的距離
9-1．（2024 高二·重慶·學(xué)業(yè)考試）點(1,1)到直線3x + 4y - 2 = 0的距離是（ ）
A．1 B．2 C． 5
9-2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知 A(4,0)到直線 4x - 3y + a = 0的距離等于 3，則 a 的值為（ ）
A．-1 B．-13或 -19 C．-1或-31 D．-13
9-3．（2024 高二下·遼寧·階段練習(xí)）已知圓C 經(jīng)過點M 1,2 , N 3,0 ，則點P 2, -1 到圓心C 的距離的最小
值為（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
9-4.（2024 高二下·上海浦東新·期中）已知動點M a,b 在直線3x + 4y +10 = 0上，則 a2 + b2 的最小值
為 .
9-5．（2024 高二上·廣東廣州·期末）已知點P -2,1 到直線 l : 3x - 4y + m = 0的距離為 1，則m 的值為（ ）
A．-5 或-15 B．-5 或 15
C．5 或-15 D．5 或 15
9-6．（2024·重慶·三模）已知直線 l : y = k(x - 2) +1(k R) 上存在一點 P，滿足 | OP |=1，其中 O 為坐標(biāo)原點.
則實數(shù) k 的取值范圍是（ ）

A． 0,
1 é 3ù é 4ù 1 4
÷ B
é ù
． ê0, C． 0, D． ,è 2 4ú ê 3 ú ê2 3ú
題型 10：直線圍成的圖形面積問題
ur
10-1．（2024 高二上·江蘇·專題練習(xí)）射線OA所在直線的方向向量為 d1 = 1, k k > 0 ，點 P 在 AOx內(nèi)，
PM ^ OA于點M .
3 1
(1)若 k =1，P , ，求 OM 的值；
è 2 2 ÷
(2)若P 2,1 6，VOPM 的面積是 ，求 k 的值.
5
10-2．（2024 高二上·廣東湛江·期中）已知直線 l： kx + y + k + 2＝（0 k R）．
(1)證明：直線 l一定經(jīng)過第三象限；
(2)設(shè)直線 l與 x 軸， y 軸分別交于 A，B 點，當(dāng)點P 1,0 離直線 l最遠時，求VPAB 的面積．
10-3．（2024 高二下·全國·課堂例題）已知VABC 的頂點 ( 2,0)，B 2,2 ，C 1, -1 .求VABC 的面積.
題型 11：點到直線距離公式的應(yīng)用
11-1．（2024 高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知點 A -1,2 , B 1,4 ，若直線 l 過點M -2,-3 ，且 A、B 到
直線 l 的距離相等，則直線 l 的方程為 .
11-2．（2024·吉林·三模）已知 A(-2,0), B(4,a) 兩點到直線 l : 3x - 4y +1 = 0的距離相等，則 a =（ ）
9 9
A．2 B． C．2 或-8 D．2 或
2 2
11-3．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知點 P1 1,1 ，P2 5,4 到直線 l 的距離都等于 2，求直線 l 的方程．
（五）
兩平行線間的距離
求兩條平行直線間距離的兩種方法：
(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點到另一條直線的距離，即化線線距
為點線距來求．
(2)公式法：設(shè)直線 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間
|C1－C2|
的距離 d＝ .
A2＋B2
題型 12：求兩平行線間的距離
12-1．（2024 高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）兩條平行線 l1 : 3x + 4y - 6 = 0， l2:9x +12y -10 = 0間的距離等于
（ ）
8 7 4 2
A． B． C． D．
15 15 15 15
12-2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）兩條平行直線 2x - 7y + 8 = 0與 2x - 7y - 6 = 0間的距離為（ ）
A 53． B 14 53．2 C．14 D．
14 53
12-3．（2024 高二上·福建寧德·期中）若兩條平行直線 l1 : x - 2y + m = 0 m > 0 與 l2 : 2x + ny - 6 = 0 之間的距離是
2 5 ，則m + n = ．
12-4．（2024 高二下·河南周口·階段練習(xí)）已知兩條直線 l1 : l + 2 x + 1- l y + 2l - 5 = 0，
l2 : k +1 x + 1- 2k y + k - 5 = 0，且 l1//l2，當(dāng)兩平行線距離最大時，l + k =（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型 13：距離公式的綜合應(yīng)用
13-1．【多選】（2024 高二上·福建南平·期末）已知直線 l1 : 4x - 3y - 3 = 0，直線
l2 : m + 2 x - m +1 y + m = 0 m R ，則（ ）
A．當(dāng)m = -1時， l1 ^ l2 B．當(dāng)m = 2 時， l1 / / l2
C．當(dāng) l1 / / l2時， l1與 l2之間的距離為 1 D．直線 l2過定點 2,1
13-2．【多選】（2024 高二下·江蘇南京·期末）已知動點 A, B分別在直線 l1 : 3x - 4y + 6 = 0與 l2 : 3x - 4y +10 = 0
上移動，則線段 AB 的中點 P 到坐標(biāo)原點O的距離可能為（ ）
7
A． 2 B． C． 3 D． 55
13-3．【多選】（24-25 高二上·全國·單元測試）已知兩條直線 l1， l2的方程分別為3x + 4y +12 = 0與
ax + 8y -11 = 0，下列結(jié)論正確的是（ ）
l //l 7A．若 1 2，則 a = 6 B．若 l1 //l2，則兩條平行直線之間的距離為 4
32
C．若 l1 ^ l2，則 a = D．若 a 6，則直線 l1， l2一定相交3
（六）
直線的對稱問題
有關(guān)對稱問題的兩種主要類型
(1)中心對稱：
①點 P(x，y)關(guān)于 O(a，b) P′(x′ y′) {x′＝2a－x，的對稱點 ， 滿足 y′＝2b－y.
②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決．
(2)軸對稱：
n－b A
× － ＝－1，
－ ( )
①點 A(a，b)關(guān)于直線 Ax＋By＋C＝0(B≠0) m a B的對稱點 A′(m，n)，則有{ a＋m b＋nA· ＋B· ＋C＝0.2 2
②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決．　　　　
題型 14：直線的對稱問題
14-1．（2024 高二上·河北張家口·期中）點P 2,0 關(guān)于直線 l : x - y + 3 = 0的對稱點 Q 的坐標(biāo)為（ ）．
A． -3,5 B． -1, -4 C． 4,1 D． 2,3
14-2．（2024 高二上·湖南郴州·階段練習(xí)）已知入射光線經(jīng)過點M (-3，4) ，被直線 l： x - 3 = 0反射，反射光
線經(jīng)過點 N (2，6)，則反射光線所在直線的方程為 .
14-3．（2024 高二上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）直線 x - 2y + 3 = 0關(guān)于點 (1,1) 對稱的直線方程為 .
14-4．（2024·上海靜安·二模）設(shè)直線 l1 : x - 2y - 2 = 0與 l2關(guān)于直線 l : 2x - y - 4 = 0 對稱，則直線 l2的方程是
（　　）
A．11x + 2y - 22 = 0 B．11x+ y +22 = 0
C．5x + y -11 = 0 D．10x+ y -22 = 0
一、單選題
1．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）求直線 x＋2y－1＝0 關(guān)于直線 x＋2y＋1＝0 對稱的直線方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
2．（2024 高二上·江蘇連云港·期中）若三條直線 2x + ky + 8 = 0, x - y -1 = 0 和 2x - y = 0交于一點，則 k 的值
為（ ）
1 1
A．-2 B．- C．3 D．
2 2
3．（2024 高二上·新疆·期中）直線 2x + 3y + 4 = 0 關(guān)于 y 軸對稱的直線方程為（ ）
A． 2x + 3y - 4 = 0 B． 2x - 3y + 4 = 0
C． 2x - 3y - 4 = 0 D．3x + 2y - 4 = 0
4．（2024 高二上·浙江·期中）已知點 (a, 2)(a > 0)到直線 l : x - y + 3 = 0的距離為1，則 a等于（ ）
A． 2 B． 2 - 2 C． 2 -1 D． 2 +1
5．（2024 高二上·廣東廣州·期末）已知點P(-1,2) 到直線 l : 4x - 3y + m = 0的距離為 1，則 m 的值為（ ）
A．-5或-15 B．-5或 15 C．5 或-15 D．5 或 15
6．（2024 高二上·河北唐山·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲
馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題—“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，
先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為
x2 + y2 3，若將軍從點 A 3,1 處出發(fā)，河岸線所在直線方程為 x + y = 5，并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)
域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）
A． 10 - 3 B． 10 C． 2 5 - 3 D． 2 5
7．（2024 高二上·河南南陽·階段練習(xí)）直線 l : 4x + 3y - 2 = 0關(guān)于點 A 1,1 對稱的直線方程為（ ）
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
8．（2024 高二·全國·課后作業(yè)） x + y =1關(guān)于原點對稱的直線是（ ）
A． x - y -1 = 0 B． x - y +1 = 0 C． x + y +1 = 0 D． x + y -1 = 0
9．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）若直線 2x - y - 3 = 0與 4x - 2y + a = 0 之間的距離為 5 ，則 a 的值為（ ）
A．4 B． 5 - 6 C．4 或-16 D．8 或-16
10．（2024 高二下·河南南陽·階段練習(xí)）若平面內(nèi)兩條平行線 l1： x + a -1 y + 2 = 0， l2：ax + 2y +1 = 0間的
3 2
距離為 ，則實數(shù) a =（ ）
4
A．2 B．－2 或 1 C．－1 D．－1 或 2
11．（2024 高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）兩直線 2x + 3y - k = 0和 x - ky +12 = 0 的交點在 y 軸上，則 k 的值
是（ ）
A．-24 B．6 C．±6 D．24
12．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若三條直線 2x + y - 4 = 0， x - y +1 = 0 與 ax - y + 2 = 0共有兩個交點，則實
數(shù) a的值為（ ）
A．1 B．-2 C．1 或-2 D．-1
13．（2024 高二上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）兩直線方程為 l1 : 3x - 2y - 6 = 0 ， l2 : x - y - 2 = 0，則 l1關(guān)于 l2對稱的
直線方程為（ ）
A．3x - 2y - 4 = 0 B． 2x + 3y - 6 = 0
C． 2x - 3y - 4 = 0 D．3x - 2y - 6 = 0
14．（2024·全國）如果直線 y = ax + 2與直線 y = 3x - b 關(guān)于直線 y = x 對稱，那么（ ）
1 1
A． a = ,b = 6 B． a = ,b = -6 C． a = 3,b = -2 D． a = 3,b = 63 3
15．（2024 高二下·貴州）若直線 ax + y - 4 = 0與直線 x - y - 2 = 0 的交點位于第一象限，則實數(shù) a 的取值范圍
是（ ）
A． a < -1或 a > 2 B． a > -1 C． a < 2 D．-1 < a < 2
16．（2024 高二下·貴州黔東南·階段練習(xí)）點 P 在直線3x - 4y - 5 = 0上，O為原點，則 OP 的最小值是
（ ）
A．1 B．2 C． 5 D． 2 5
17．（2024 高二上·廣西河池·期末）已知直線 l1 : x + ay + 2 = 0 ，l2 : 2x + 4 y + 3 = 0 相互平行，則 l1、l2之間的距
離為（ ）
A 5 B 5 C 2 5 5． ． ． D．
10 5 5 2
18．（2024 高二上·江蘇淮安·期中）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲
馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出
發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為
B -2,0 ，若將軍從山腳下的點 A(1,0)處出發(fā)，河岸線所在直線的方程為 x + y = 3，則“將軍飲馬”的最短總
路程為（ ）
A． 27 B．5 C． 15 D． 29
19．（2024 高一下·全國·課后作業(yè)）直線 l : x + 2y -1 = 0關(guān)于點 (1, -1) 對稱的直線 l 的方程為（ ）
A． 2x - y - 5 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x + 2y + 3 = 0 D．2x - y -1 = 0
20．（2024 高二上·四川遂寧·期末）已知點 A 與點B(2,1) 關(guān)于直線 x+y + 2 = 0對稱，則點 A 的坐標(biāo)為（ ）
A． (-1,4) B． (4,5)
C． (-3, -4) D． (-4,-3)
21．（2024 高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”
2 2
事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如： x - a + y - b 可以轉(zhuǎn)化為平面上點M x, y
與點 N a,b 的距離.結(jié)合上述觀點，可得 f x = x2 +10x + 26 + x2 + 6x +13 的最小值為（ ）
A．5 B． 29 C． 13 D． 2 + 13
22．（2024 高三下·河北石家莊·開學(xué)考試）費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點.當(dāng)三角
形三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對的三角形三
2
邊的張角相等均為120° .根據(jù)以上性質(zhì)， z = x -1 + y2 + x +1 2 + y2 + x2 + y - 2 2 的最小值為（ ）
A． 2 B． 3 C． 2 - 3 D． 2 + 3
二、多選題
23．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）三條直線 x + y = 0， x - y = 0， x + ay = 3構(gòu)成三角形，則 a的值不能為
（ ）
A．1 B． 2
C．-1 D．－2
三、填空題
24．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）直線 y = 3x - 4關(guān)于點 P(1,1) 對稱的直線方程為 ．
25．（2024 高三·全國·課后作業(yè)）若直線 y = ax + 2與 y = 3x - 6 關(guān)于直線 y = x 對稱，則實數(shù) a= .
26．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）已知點M x,-4 與點 N 2,3 間的距離為7 2 ，則 x = ．
27．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）直線 2x + 5y - 3 = 0關(guān)于點M (-1, 2)對稱的直線方程是 ．
28．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)直線 l經(jīng)過 2x - 3y + 2 = 0和3x - 4y - 2 = 0的交點，且與兩坐標(biāo)軸圍成等
腰直角三角形，則直線 l的方程為 .
29．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如果直線 y = ax + 2與直線 y = 3x - b 關(guān)于直線 y = x 對稱，那么 a = ，
b = ．
30．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若直線 l1 : y = -x + b與直線 l2 : 5x + 3y - 31 = 0的交點在第一象限，則實數(shù) b
的取值范圍是 .
31．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）直線 2x - y + 3 = 0關(guān)于直線 x - y + 2 = 0 對稱的直線方程是 .
32．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）如果直線 l 與直線 x + y -1 = 0 關(guān)于 y 軸對稱，那么直線 l 的方程是 ．
ì x + 2y = 4
33．（2024·上海奉賢·二模）若關(guān)于 x ， y 的方程組 í .
3x + ay 6
有唯一解，則實數(shù) a 滿足的條件是
=
34．（2024 高三·全國·對口高考）過點P 0,1 且和 A 3,3 , B 5,-1 的距離相等的直線方程是 ．
ì7x - by = 3
35．（2024 高二上·上海徐匯·期中）關(guān)于 x y 的二元一次方程組 íax 5y 2有無窮多組解，則
a 與 b 的積
+ =
是 .
36．（2024 高三·全國·中職高考）點 A -1,0 關(guān)于直線 l : y = kx k 0 的對稱點的坐標(biāo)為 ．
37．（2024 高二上·上海長寧·期末）已知 A -5,2 ，B 兩點關(guān)于直線 x + y -10 = 0 對稱，則點 B 的坐標(biāo)為 .
38．（2024 高二·全國·單元測試）直線 2x - y + 3 = 0關(guān)于點 A 5,3 的對稱直線方程是 ．
39．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）若點 A(a + 2,b + 2), B(b - 4,a - 6)關(guān)于直線 4x + 3y -11 = 0對稱，則
a = ；b = ．
40．（2024 高二上·云南曲靖·階段練習(xí)）某同學(xué)在研究函數(shù) f (x) = x2 +1+ | x -1|的性質(zhì)時，聯(lián)想到兩點間的
距離公式，從而將函數(shù)變形為 f (x) = (x - 0)2 + (0 -1)2 + (x -1)2 + (0 - 0)2 ，求得 f (x) 的最小值為 ．
41．（2024 高二下·上海青浦·期末）點 2, -1 到直線 x - y + 3 = 0的距離為 ．
42．（2024 高二下·上海閔行·階段練習(xí)）函數(shù) y = x2 - 2x + 5 + x2 - 4x +13 的值域為 .
ì4x + my - m + 2 = 0
43（．2024高二上·上?！ふn后作業(yè)）若關(guān)于 x 的二元一次方程組 í 有無窮多組解，則m =mx y m 0 ． + + =
44．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）直線 y = 2x +1關(guān)于直線 y = 2x + 3對稱的直線方程為
四、解答題
45．（2024 高二·江蘇·假期作業(yè)）分別判斷下列直線 l1與 l2是否相交．如果相交，求出交點的坐標(biāo)．
(1) l1 : x - y = 0 ， l2 : 3x + 3y -10 = 0；
(2) l1 : 3x - y +4 = 0， l2 : 6x - 2y -1 = 0；
(3) l1 : 3x + 4y - 5 = 0， l2 : 6x + 8y -10 = 0．
46．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）已知點 A（-3，5）和 B（2，15），在直線 l : 3x - 4y + 4 = 0上找一點 P，使 PA + PB
最小，并求這個最小值．
47．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）三條直線 l1 : x + y +1 = 0 l2 : 2x - y + 8 = 0 l3 : ax + 3y - 5 = 0有且只有兩個交
點，求實數(shù) a的值.
48．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）若點 A a + 2,b + 2 關(guān)于直線 4x + 3y +11 = 0對稱的點是B b - a,a - b ，求
a、b 的值．
49．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）判斷下列各對直線的位置關(guān)系．如果相交，求出交點坐標(biāo)．
(1)直線 l1 : 2x - 3y +10 = 0, l2 : 3x + 4y - 2 = 0；
(2)直線 l1 : nx - y = n -1, l2 : ny - x = 2n ．
50．（2024 高二下·河南南陽·階段練習(xí)）求滿足下列條件的直線 l的一般式方程：
(1)經(jīng)過直線 l1 : 2x - y + 9 = 0 , l2 : 3x + 2y + 3 = 0 的交點 P，且經(jīng)過點 (2,4)；
(2)與直線 l3 : 3x - y = 0垂直，且點Q(2,-5)到直線 l的距離為 10 ．
51．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知三條直線 l1 : 4x + y - 4 = 0， l2 : mx + y = 0， l3 : 2x - 3my - 4 = 0 .
（1）若直線 l1， l2， l3 交于一點，求實數(shù)m 的值；
（2）若直線 l1， l2， l3 不能圍成三角形，求實數(shù)m 的值.
52．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）求直線 l1 : 3x - 2y - 6 = 0 關(guān)于直線 l : 2x - 3y +1 = 0 對稱的直線 l2的方程．

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