資源簡介

1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系 8 題型分類
一、空間中點、直線和平面的向量表示
1．空間中點的位置向量:
→
如圖，在空間中，我們取一定點 O 作為基點，那么空間中任意一點 P 就可以用向量O P來表示．我們把向量
→
O P稱為點 P 的位置向量．
2．空間中直線的向量表示式:
直線 l 的方向向量為 a，且過點 A，如圖，取定空間中的任意一點 O，可以得到點 P 在直線 l 上的充要條件
是存在實數 t，使
→ →
OP＝OA＋ta，①
→
把AB＝a 代入①式得
→ → →
OP＝OA＋tAB，②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．
3．空間中平面的向量表示式：
(1)平面 ABC 的向量表示式
→ → → →
空間一點 P 位于平面 ABC 內的充要條件是存在實數 x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC.③
我們把③式稱為空間平面 ABC 的向量表示式．
(2)平面的法向量
如圖，若直線 l⊥α ，取直線 l 的方向向量 a ，我們稱 a 為平面 α 的法向量；過點 A 且以 a 為法向量的平
→
面完全確定，可以表示為集合 {P|a·A P＝0}．
二、空間中直線、平面的平行
1．線線平行的向量表示：
設 u1，u2分別是 l1，l2的方向向量，則 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得 u1＝λu2.
2．線面平行的向量表示：
設 u 是 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，l α，則 l∥α u⊥n u·n＝0.
3．面面平行的向量表示:
設 n1，n2分別是平面 α，β 的法向量，則 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得 n1＝λn2
三、空間中直線、平面的垂直
1．線線垂直的向量表示:
設 u1，u2分別是直線 l1,l2的方向向量，則 l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2．線面垂直的向量表示:
設 u 是直線 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，l α，則 l⊥α u∥n λ∈R，使得 u＝λn.
3．面面垂直的向量表示:
設 n1，n2分別是平面 α，β 的法向量，則 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
（一）
直線的方向向量
理解直線方向向量的概念：
(1)直線上任意兩個不同的點都可構成直線的方向向量．
(2)直線的方向向量不唯一．
（3）直線的方向向量不是唯一的，它們都是共線向量．解題時，可以選取坐標最簡的方向向量．
題型 1：直線的方向向量
ur
1-1．（2024 高二下·江蘇常州·期中）已知直線 l 的一個方向向量m = 2,-1,3 ，且直線 l 過 A(0，y，3)和 B(－
1，2，z)兩點，則 y－z 等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
ur
1-2．（2024 高二·全國·課后作業）已知直線 l的一個方向向量m = 2,-1,3 ，且直線 l過點 A 0, a,3 和B -1,2,b
兩點，則 a + b =（　　）
3
A．0 B．1 C． D．3
2
1-3．（2024 高二·全國·課后作業）若P(1,0,-2)，Q(3,1,1)在直線 l上，則直線 l的一個方向向量為 （ ）
A． 1,2,3 B． 1,3,2
C． 2,1,3 D． 3,2,1
（二）
平面的法向量
求平面法向量的方法與步驟：
(1)設平面的法向量為 n＝(x，y，z)；
→ →
(2)求平面 ABC 的法向量時，要選取平面內兩不共線向量，如A C，A B；
→
n·AC＝0，
(3)聯立方程組{ 并求解；→n·AB＝0，
(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定一個坐標為常數(常數不能為 0)便可得到平
面的一個法向量．
題型 2：平面的法向量
2-1．（2024 高二下·江蘇·課后作業）已知四邊形 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD， SA＝AB
1
＝BC＝1， AD＝ ，求平面 SCD 的一個法向量．
2
2-2．（2024 高二上·上海浦東新·期中）如圖的空間直角坐標系中，PD垂直于正方形 ABCD所在平面，
uur
AB 2, PB p= 與平面 xDy 的所成角為 ，E 為 PB中點，則平面 ABE 的單位法向量n0 = ．（用坐標表示）4
2-3．（湖北省荊州市沙市中學 2023-2024 學年高二上學期期末數學試題）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱
uuur uuur uuuur
長為 1， 以D為原點， DA, DC, DD1 為單位正交基底， 建立空間直角坐標系， 則平面 AB1C 的一個法向
量是（ ）
A． (1,1,1) B． (-1,1,1)
C． (1, -1,1) D． (1,1,-1)
2-4．（2024 高二下 ·江蘇淮安 ·階段練習）空間直角坐標系 O - xyz 中，已知點 A 2,0,2 ， B 2,1,0 ，
C 0,2,0 ，則平面 ABC 的一個法向量可以是（ ）．
A． 2,1,2 B． -1,2,1 C． 2,4,2 D． 2, -1,2
（三）
證明線線平行
利用向量證明線線平行的思路：
證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．
題型 3：利用向量證明線線平行
3-1．（2024 高二·全國·課后作業）已知長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4， AD = 3， AA1 = 3，點 S、P 在
棱CC1、 AA1上，且 CS
1
= SC1 ， AP = 2 PA1 ，點 R、Q 分別為 AB、D1C1的中點．求證：直線PQ∥直線2
RS ．
3-2．（2024 高二·全國·課后作業）已知在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，AB =1, AA1 = 2，點 E 為CC1的中點，
點 F 為BD1的中點．
uuur uuuur uuur uuuur
(1)求證：EF ^ BD1 且EF ^ CC1 ；
uuur uuur
(2)求證： EF ∥ AC ．
3-3．（2024 高二上·全國·課后作業）如圖，已知空間幾何體P - ABCD 的底面 ABCD 是一個直角梯形，其中
BAD = 90o , AD//BC , BA = BC = a , AD = 2a ，且PA ^底面 ABCD，PD 與底面成30o角．
uuur uuur
(1)若BC × PD = 8，求該幾何體的體積；
(2)若 AE 垂直 PD 于 E，證明：BE ^ PD；
(3)在（2）的條件下，PB 上是否存在點 F，使得EF //BD，若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理
由．
（四）
證明線面平行
利用空間向量證明線面平行的方法：
(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量 p與平面內的兩個不共線向量 a,b是共面向量,即滿足 p=xa+yb(x,y∈
R),則 p,a,b 共面,從而可證線與面平行.
(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量 p 與該平面內的某一向量共線,再結合線面平行的判定定理即可證
明線面平行.
(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平
行.
題型 4：利用向量證明線面平行
4-1．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，在四面體 A - BCD中， AD ^ 平面BCD，BC ^ CD， AD = 2，
BD = 2 2 ．M 是 AD 的中點， P 是 BM 的中點，點Q在線段 AC 上，且 AQ = 3QC ．證明：PQ / /平面
BCD；
4-2．（2024 高二·全國·專題練習）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD為直角梯形，其中 AD//BC .
AD ^ AB, AD = 3, AB = BC = 2, PA ^ 平面 ABCD，且 PA = 3，點M 在棱PD上，點 N 為BC 中點.若
DM = 2MP ，證明：直線MN // 平面PAB .
ur r
4-3．（2024 高二下·四川成都·期中）已知直線 l的方向向量為m = 1, - 2,4)，平面a 的法向量為 n = x,1, - 2)，若
直線 l與平面a 平行，則實數 x 的值為（ ）
1 1
A． B．-
2 2
C．10 D．-10
4-4．（2024 高一·全國·專題練習）如圖，四棱錐P - ABCD 中，側面 PAD 為等邊三角形，線段 AD 的中點為
O 且PO ^底面 ABCD， AB = BC
1
= AD =1 π， BAD = ABC = ，E 是 PD 的中點．證明：CE / /平面
2 2
PAB .
4-5．（2024 高二·全國·專題練習）如圖所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5，
AA1 = 4 .
(1)求證： AC ^ BC1；
(2)在 AB 上是否存在點D，使得 AC1 / /平面CDB1，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理
由．
4-6．（2024 高二·江蘇·課后作業）如圖，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，點 M，N 分別在
1 1
對角線 BD，AE 上，且BM = BD， AN = AE ．求證：MN / / 平面 CDE．
3 3
uuuur uuuur
4-7．（2024 高三上·河南安陽·階段練習）在長方體 ABCD - A1B1C1D1 中，E 是BB1的中點，B1F = lB1D1 ，且EF //
平面 ACD1，則實數l 的值為（ ）
1 1 1 1
A． B C D5 ． ． ．4 3 2
（五）
證明面面平行
1、利用空間向量證明面面平行的方法：
(1)轉化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明.
(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.
2、證明面面平行問題的方法：
(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．
(2)將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明．
題型 5：利用向量證明面面平行
5-1．（2024 高二·全國·專題練習）如圖所示，平面PAD ^平面 ABCD，四邊形 ABCD為正方形，△PAD是
直角三角形，且PA = AD = 2，E ，F ，G 分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG / / 平面
PBC ．
ur uur
5-2．（2024 高二上·山東聊城·期末）已知 n1 = 3, x, 2 ， n2 = -3, 3, -2 3 分別是平面a , b 的法向量，若
a //b ，則 x =（ ）
A．-7 B．-1 C．1 D．7
5-3．（2024 高二·全國·課后作業）如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，O為底面 ABCD的中心，P 是DD1的
中點．在棱CC1上是否存在一點Q，使得平面D1BQ// 平面PAO ？若存在，指出點Q的位置；若不存在，請
說明理由．
5-4．（2024 高二·全國·課后作業）已知正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 2，E，F 分別是 BB1，DD1 的中點，
求證：（1）FC1∥平面 ADE；
（2）平面 ADE∥平面 B1C1F.
（六）
證明線線垂直
1、利用向量方法證明線線垂直的常用方法：
(1)坐標法:建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,求出兩直線方向向量的坐標,然后通過數量積的坐標運算
法則證明數量積等于 0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數乘運算及其運算律,結合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表
示,然后根據數量積的運算律證明兩直線所在的向量的數量積等于 0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂
直.
2、證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直
→得到兩直線垂直．
題型 6：利用向量證明線線垂直
6-1．（2024 高二上·山東濟寧·階段練習）如圖，在棱長為 a的正方體OABC - O1A1B1C1中，E ，F 分別是棱
AB ，BC 上的動點，且 AE = BF = x ，其中0 x a ，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz .
(1)寫出點E ，F 的坐標；
(2)求證： A1F ^ C1E .
r r
6-2．（2024 高二·全國·課后作業）設直線 l1, l2 的方向向量分別為 a = 1,2,-2 ,b = -2,3, m ，若 l1 ^ l2，則實數m
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6-3．（2024 高二·江蘇·專題練習）如圖，在直棱柱 ABC - A B C AA = AB = AC = 2 BAC
π
1 1 1中， 1 ， = ，D, E, F2
分別是 A1B1 ，CC1，BC 的中點．求證： AE ^ DF ；
6-4．（2024·四川雅安·模擬預測）已知下面給出的四個圖都是各棱長均相等的直三棱柱，A 為一個頂點，D，
E，F 分別是所在棱的中點．則滿足直線 AD ^ EF 的圖形個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（七）
證明線面垂直
1、用坐標法證明線面垂直的方法及步驟
(1)利用線線垂直
①將直線的方向向量用坐標表示．
②找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量．
③判斷直線的方向向量與平面內兩條直線的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量
①將直線的方向向量用坐標表示．
②求出平面的法向量．
③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．
2、利用空間向量證明線面垂直的方法
(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內找出兩個不共線的向量,也用基向量表示,
然后根據數量積運算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零,從而證得結論.
(2)坐標法:建立空間直角坐標系,求出直線方向向量的坐標以及平面內兩個不共線向量的坐標,然后根據數量
積的坐標運算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數量積均為零,從而證得結論.
(3)法向量法:建立空間直角坐標系,求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標,然后說明直線方向向量
與平面法向量共線,從而證得結論.
題型 7：利用向量證明線面垂直
7-1．（2024 高二下·江蘇·課后作業）如圖所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱長都為 2，D 為 CC1的中
點．求證：AB1⊥平面 A1BD.
ur r
7-2．（2024 高二上·北京石景山·期末）已知m = (-2,a + b, a - b)(a,b R)是直線 l 的方向向量，n = (2,-1,2)是
平面a 的法向量．若 l ^ a ，則下列選項正確的是（ ）
A． a - 3b - 4 = 0 B．a - 3b - 5 = 0 C． a
1
= - ,b 3 1 3= D． a = ,b = -
2 2 2 2
7-3．（2024 高二上·陜西咸陽·階段練習）如圖，正方形 ADEF 與梯形 ABCD所在的平面互相垂直，
AD ^ CD ， AB//CD ， AB = AD = 2 ，CD = 4，M 為 CE 的中點.請用空間向量知識解決下列問題：
(1)求證：BM ^ DC ；
(2)求證：BC ^平面BDE .
7-4．（2024 高三上·湖南長沙·階段練習）如圖，在棱長為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分別為棱
uuur uuuur
B1C1 ，BB1的中點，G 為面對角線 A1D上的一點，且DG = lDA1(0 l 1) ,若 A1C ^平面EFG ，則l = （ ）
1 1 1
A． B． C 2． D4 ．3 4 2
7-5．（2024·天津河東·模擬預測）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，正方形 ABCD的邊長為
2，E 是PA的中點．
(1)求證：PC / /平面BDE ．
(2)若PA = 2 ，線段PC 上是否存在一點F ，使 AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的長度；若不存在，請說
明理由．
7-6．（2024 高二下·四川達州·階段練習）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，四邊形 ABCD為平行四邊形, M
為 AA1的中點，BC = BD =1, AB = AA1 = 2 .
(1)求證: MD ^ 面BC1D；
(2)求三棱錐 M - BC1D的體積.
（八）
證明面面垂直
證明面面垂直的兩種方法：
(1)常規法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明．
(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．向量法證明面面垂直的優越性主要體現在不必考慮圖形的
位置關系,恰當建系或用基向量表示后,只需經過向量運算就可得到要證明的結果,思路方法“公式化”,降低了
思維難度.
題型 8：利用向量證明面面垂直
8-1．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，已知平面四邊形 ABCP 中，D 為 PA 的中點，PA ^ AB，CD / / AB，
且 PA＝CD＝2AB＝4．將此平面四邊形 ABCP 沿 CD 折成直二面角P - DC - B ，連接 PA、PB，設 PB 中點
為 E．
(1)證明：平面 PBD ^平面 PBC；
(2)在線段 BD 上是否存在一點 F，使得 EF ^平面 PBC？若存在，請確定點 F 的位置；若不存在，請說明理
由．
8-2．（2024 高二上·安徽安慶·階段練習）如圖 1，在邊長為 2 的菱形 ABCD中， BAD = 60o , DE ^ AB 于點
E ，將△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1D ^ BE ，如圖 2．
(1)求證： A1E ^平面BCDE ；
A EP ^ A BD BP(2)在線段BD上是否存在點 P ，使平面 1 平面 1 ？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．BD
8-3．（2024 高二上·安徽）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD， AD ^ AB， AB / /DC ，
AD = DC = AP = 2， AB =1，點E 為棱PC 的中點．證明：
(1) BE / /平面PAD ；
(2)平面PCD ^平面PAD ．
8-4．（2024 高二·全國·專題練習）如圖所示，VABC 是一個正三角形，EC ^平面 ABC ，BD ∥ CE，且
CE = CA = 2BD， M 是 EA 的中點．求證：平面DEA ^平面ECA .
一、單選題
1．（2024 高二上·北京石景山·期末）如圖，在三棱錐P - ABC 中，PA ^平面 ABC ，
r
AB ^ AC, AB = AC = 1, PA = 2 ，以 A 為原點建立空間直角坐標系，如圖所示， n為平面 PBC 的一個法向量，
r
則 n的坐標可能是（ ）
1 1 1A
1 1 1 1 1 1 1 1 1
． - ,- , B2 2 4 ÷ ．
- , ,-
2 2 4 ÷
C． , , D , ,
è è è 2 4 2 ÷
． ÷
è 2 2 4
r uuur r
2．（2024 高二下·山西呂梁·開學考試）已知點P0 -1,2,3 在平面a 內，平面a = P∣n × P0P = 0 ，其中 n = 1, -1,1
是平面a 的一個法向量，則下列各點在平面a 內的是（ ）
A． 2, -4,8 B． 3,8,5 C． -2,3,4 D． 3, -4,1
r r
3．（2024 高二下·江蘇常州·期中）設向量 a = 3,-2,-1 是直線 l 的方向向量， n = -1,-2,1 是平面 α 的法向
量，則（ ）
A． l ^ a B． l / /a 或 l a C． l / /a D． l a
4（．2024 高二下·福建龍巖·期中）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑 A - BCD
中，AB ^平面BCD， BDC=90° ，BD = AB = CD .若建立如圖所示的“空間直角坐標系，則平面 ACD的一
個法向量為（ ）
A． 0,1,0 B． 0,1,1 C． 1,1,1 D． 1,1,0
r r
5．（2024 高二下·四川綿陽·期中）設u = 2,0,-1 是平面a 的一個法向量，a = 1,0,2 是直線 l 的一個方向向
量，則直線 l 與平面a 的位置關系是（ ）
A．平行或直線在平面內 B．不能確定 C．相交但不垂直 D．垂直
6．（2024 高二下·江蘇連云港·期中）已知直線 l∥a ，且 l 的方向向量為 (2,m,1)，平面a 的法向量為

1,
1 ,2
2 ÷
，則m =（ ）
è
A．1 B．-1 C．-8 D．8
7．（2024 高一下·浙江杭州·期中）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點 P 為線段D1B上的動點，M，N 分別為
D P
棱BC, AB的中點，若DP / / 1平面B1MN ，則 =D （ ）1B
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 2 3
r r
8．（2024 高二上·陜西）已知平面內的兩個向量a = (2，3，1)，b = (5，6，4)，則該平面的一個法向量為
（ ）
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
9．（2024 高二上·陜西咸陽·階段練習）如圖所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，側棱長為
3,CA = CB = 4, ACB π= ，點D，E 分別在 AA1, B1C1上，F 為 AB 的中點，若CD ^ FE ，則線段 AD 的長度2
為（ ）
3 2 8 9 12A． B． C． D．
2 3 4 5
r uuur
10．（2024 高二下·江蘇宿遷·期中）已知平面 α 的一個法向量為 n = 1, -1,2 , AB = -1,1, - 2 ，則 AB 所在直線
l 與平面 α 的位置關系為（　　）.
A． l ^ a B． l a
C． l∥a D．l 與 α 相交但不垂直
11．（2024 高二上·廣東·階段練習）《九章算術》是我國古代的數學名著，書中將底面為矩形，且有一條側棱
垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，E，F
分別為 PD，PB 的中點，點 G 在線段 AP 上，AC 與 BD 交于點 O，PA = AB = 2，若OG / / 平面EFC ，則 AG =
（ ）
1 3 2
A． B． C． D．1
2 4 3
12．（2024 高三下·北京海淀·開學考試）如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，F 為線段BC1的中點，E 為線
段 A1C1上的動點，下列四個結論中，正確的是（ ）
A．EF ∥平面 A1BCD1
B．存在點E ，使EF ^ 平面BB1C1C
C．存在點E ，使EF∥ A1C
D．DB1 ^ EF
13．（2024 高二上·湖南婁底·期末）如圖， PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，E，F 分別為 PD，PB
的中點，點 G 在線段 AP 上，AC 與 BD 交于點 O，PA = AB = 2，若OG∥平面EFC ，則 AG = （ ）
1 3 2
A． B． C． D．1
2 4 3
14．（2024 高三下·陜西安康·階段練習）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，M 是線段C1D1（不含端點）上的動點，
N 為 BC 的中點，則（ ）
A．BD ^ AM B．平面 A1BD ^平面 AD1M
C．MN // 平面 A1BD D．CM // 平面 A1BD
二、多選題
15．（2024 高二下·江蘇鹽城·期中）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中正確的是
（ ）
r r
A．若兩條不重合直線 l1， l2的方向向量分別是 a = 2,3,-1 ，b = -2, -3,1 ，則 l1 //l2
r ur
B．若直線 l的方向向量 a = 0,3,0 ，平面a 的法向量是m = 0, -5,0 ，則 l //a
ur uur
C．若兩個不同平面a ， b 的法向量分別為 n1 = 2,-1,0 ， n2 = -4,2,0 ，則a //b
ur
D．若平面a 經過三點 A 1,0,-1 ，B 0,1,0 ，C -1,2,0 ，向量 n1 = 1,u, t 是平面a 的法向量，則
u + t =1
16．（2024·江蘇連云港·模擬預測）如圖，矩形BDEF 所在平面與正方形 ABCD所在平面互相垂直，
AD=DE=4，G 為線段 AE 上的動點，則（ ）
A． AE ^ CF
B．若G 為線段 AE 的中點，則GB // 平面CEF
C 4 3．點 B 到平面 CEF 的距離為
3
D．BG2 + CG2的最小值為 48
ur
17．（2024 高二上·廣東深圳·期末）已知直線 l的方向向量為m ，兩個不重合的平面a ， b 的法向量分別為
ur uur
n1 ， n2 ，則（ ）
ur uur ur uur
A．若 m / /n1 ，則 l ^ a B．若 m × n1 = 0，則 l / /a
ur uur ur uur
C．若 n1 / /n2 ，則a / /b D．若 n1 ×n2 = 0，則a ^ b
18．（2024 高二下·江蘇常州·階段練習）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，側棱 AA1 ^ 底面 A1B1C1，
BAC = 90°， AB = AC = AA1 = 1，D是棱CC1的中點， P 是 AD 的延長線與 A1C1的延長線的交點.若點Q在
直線B1P 上，則下列結論錯誤的是( )
A．當Q為線段B1P 的中點時，DQ ^平面 A1BD
B．當Q為線段B1P 的三等分點時，DQ ^平面 A1BD
C．在線段B1P 的延長線上，存在一點Q，使得DQ ^平面 A1BD
D．不存在點Q，使DQ 與平面 A1BD 垂直
19．（2024 高二下·福建寧德·期中）如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，M 為 B1C1 邊的中點，點
P 在底面 ABCD 內運動（包括邊界），則下列說法正確的有（ ）
A．存在點 P ，使得D1P ^ AD1
B．過三點A 、M 、D1的正方體 ABCD - A1B1C1D
9
1的截面面積為 8
π
C．四面體 A1C1BD 的內切球的表面積為 3
D．點 N 在棱BB1上，且B1N = 4NB，若D1P ^ NP ，則滿足條件的 P 的軌跡是圓
20．（2024 高三上·福建福州·開學考試）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 為 AA1中點，若直線EF / /平面
A1BC1，則點 F 的位置可能是（ ）
A．線段CC1中點 B．線段BC 中點 C．線段CD中點 D．線段C1D1中點
21．（2024 高二下·江蘇鹽城·期中）點 P 在正方體 ABCD - A1B1C1D1的側面CDD1C1 及其邊界上運動，并保持
BP ^ A1C ，若正方體邊長為 ，則 A1P 的可能取值是（ ）
A 3． B 7． C． 2 D． 3
2 2
三、填空題
ur
22．（2024 高二上·上海徐匯·期末）已知直線 l的一個方向向量 d = 2,3,5 ，平面 α 的一個法向量
r
n = 4, m, n ，若 l ^ a ，則m + n = ．
23．（山東省東營市廣饒縣第一中學 2023-2024 學年高二上學期 10 月月考數學試題）如圖，在正方體中，O
為底面的中心，P 為所在棱的中點，M，N 為正方體的頂點．則滿足MN ^ OP的是 （填寫正
確的序號）
r
24．（2024 高二下·江蘇·階段練習）已知直線 l 的方向向量為 e = -1,1,2 ，平面 α 的法向量為
r
n = (1 ,l,-1) l R ，若 l⊥α，則實數 λ 的值為 ．
2
r
25．（2024 高二上·吉林遼源·期末）設直線 l 的方向向量為m = (1, -2, z) ，平面a 的一個法向量為
r
n = (2,-1,1)，．若直線 l//平面a ，則實數 z 的值為 ．
r r
26．（2024 高二下·江蘇·課后作業）已知u = a + b,a - b, 2 是直線 l 的一個方向向量， n = 2,3,1 是平面 α 的
一個法向量，若 l⊥α，則 a，b 的值分別為 .
27．（2024 高二·全國·課后作業）如圖，在四棱錐 E - ABCD中，平面 ADE ^平面 ABCD，O，M 分別為 AD，
DE 的中點，四邊形 BCDO 是邊長為 1 的正方形，AE = DE ，AE ^ DE．點 N 在直線 AD 上，若平面BMN ^
平面 ABE ，則線段 AN 的長為 ．
28．（2024 高二下·江蘇南京·期末）正方體 ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為 1，點 M 在線段 CC1上，且
uuuur uuuur
MC1 = 2CM ．點 P 在平面 A1B1C1D1上，且 AP⊥平面 MBD1，則線段 AP 的長為 ．
四、解答題
29．（2024 高一·全國·專題練習）如圖所示，正四棱 ABCD - A1B1C1D1的底面邊長 1，側棱長 4， AA1中點為
E ，CC1中點為F ．求證：平面BDE / / 平面B1D1F .
30．（2024 高二·全國·課后作業）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點 E，F 分別是正方形 A1B1C1D1和正方形B1C1CB
的中心．求證：
(1) AC1 ^平面 A1BD ；
(2) EF // 平面 A1BD ；
(3)平面B1EF∥平面 A1BD ．
31．（2024 高二·全國·課后作業）在三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面 ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝
1，E 為 BB1的中點，求證：平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
32．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖所示，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中，AD =1，AB = AA1 = 2，N 、M
分別 AB 、C1D 的中點.
（1）求證： NM // 平面 A1ADD1；
（2）求證： NM ^平面 A1B1M .
33．（2024 高二上·全國·課后作業）如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分別是DD1、BD
的中點，建立適當的空間直角坐標系，證明：EF ^ B1C ．
34．（2024 高二·湖南·課后作業）如圖，在長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2 ， AD = 6， AA1 = 3，建立適
當的空間直角坐標系，求下列平面的一個法向量：
(1)平面 ABCD；
(2)平面 ACC1A1 ；
(3)平面 ACD1．
35．（2024 高二上·全國·課后作業）如圖，四棱錐 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，PD＝AD＝DC，底面 ABCD
uuur
為正方形，E 為 PC 的中點，點 F 在 PB 上，問點 F 在何位置時，PB為平面 DEF 的一個法向量
36．（2024·云南曲靖·模擬預測）如圖，已知四棱錐P - ABCD 的底面是平行四邊形，側面PAB是等邊三角形，
BC = 2AB, AC = 3AB, PB ^ AC .
(1)求證：平面PAB ^平面 ABCD；
(2)設Q為側棱PD上一點，四邊形 BEQF 是過B,Q 兩點的截面，且 AC ∥平面 BEQF ，是否存在點Q，使得
PQ
平面BEQF ^平面PAD ？若存在，求 QD 的值；若不存在，說明理由.
uuur uuur uuur
37．（2024 高二下·廣西·期中）在棱長為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點 P 滿足 AP = l AC + m AA1 ，其中
l [0,1]，m 0,1 ．
(1)當l =1時，求三棱錐 B - DD1P 的體積；
(2)當 2l 2 + m 2 = 1時，直線 BP 與平面 ACC1A1 所成角的正切值的取值范圍；
(3)當l + m =1時，是否存在唯一個點 P，使得BP ^ 平面 ADP，若存在，求出 P 點的位置；若不存在，請說
明理由．
38．（2024 高二下·江蘇連云港·期中）如圖，在多面體 ABCDE 中，VABC ，△BCD，VCDE都是邊長為 2 的
等邊三角形，平面 ABC ^ 平面BCD，平面CDE ^ 平面BCD．
(1)判斷A ， B ，D，E 四點是否共面，并說明理由；
(2)在VABC 中，試在邊BC 的中線上確定一點Q，使得DQ ^平面BCE ．
39．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，在四棱錐 P - ABCD 中， PA ^底面 ABCD， AD ^ AB， AB / /DC ，
AD = DC = AP = 2, AB =1，點E 為棱PC 的中點.證明：
(1) BE ^ DC ；
(2) BE / /平面PAD ；
(3)平面 PCD ⊥平面PAD .
40．（2024 高二·全國·課后作業）如圖，在四棱錐 P - ABCD 中， PA ^底面 ABCD， AB / /DC ， DA ^ AB，
2
AB = AP = 2 ，DA = DC = 1，E 為 PC 上一點，且PE = PC ．
3
(1)求證： AE ^ 平面 PBC；
(2)求證：PA / / 平面 BDE．
41．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，正方體 ABCD - A1B1C1D1中，M 、N 分別為 AB 、B1C 的中點．用向
量法證明平面 A1BD// 平面B1CD1；
42．（2024·四川綿陽·模擬預測）如圖，在四棱錐 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，側面 PAD ^底面
ABCD，E，F 分別為 PA，BD 中點，PA = PD = AD = 2．
(1)求證：EF // 平面 PBC；
(2)在棱 PC 上是否存在一點 G，使GF ^平面 EDF？若存在，指出點 G 的位置；若不存在，說明理由．
43（．2024 高二上·浙江·階段練習）如圖，在斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知△ABC 為正三角形，四邊形 ACC1A1
是菱形，D，E 分別是 AC，CC1的中點，平面 ACC1A1 ⊥平面 ABC.
(1)求證： A1C ^平面BDE ；
DM
(2)若 C CA = 60o1 ，在線段 DB1上是否存在點 M，使得 AM // 平面 BDE？若存在，求 DB 的值，若不存在，1
請說明理由．
44．（2024 高二·全國·課后作業）在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，點 P 在線段 A1D 上，點 Q 在線段 AC 上，線段
PQ 與直線 A1D 和 AC 都垂直，求證：PQ∥BD1.
45．（2024 高二·全國·課后作業）在棱長為 a 的正方體 OABC-O1A1B1C1 中,E,F 分別是 AB,BC 上的動點,且 AE=BF,
求證:A1F⊥C1E.1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系 8 題型分類
一、空間中點、直線和平面的向量表示
1．空間中點的位置向量:
→
如圖，在空間中，我們取一定點 O 作為基點，那么空間中任意一點 P 就可以用向量O P來表示．我們把向量
→
O P稱為點 P 的位置向量．
2．空間中直線的向量表示式:
直線 l 的方向向量為 a，且過點 A，如圖，取定空間中的任意一點 O，可以得到點 P 在直線 l 上的充要條件
是存在實數 t，使
→ →
OP＝OA＋ta，①
→
把AB＝a 代入①式得
→ → →
OP＝OA＋tAB，②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．
3．空間中平面的向量表示式：
(1)平面 ABC 的向量表示式
→ → → →
空間一點 P 位于平面 ABC 內的充要條件是存在實數 x，y，使OP＝OA＋xAB＋yAC.③
我們把③式稱為空間平面 ABC 的向量表示式．
(2)平面的法向量
如圖，若直線 l⊥α ，取直線 l 的方向向量 a ，我們稱 a 為平面 α 的法向量；過點 A 且以 a 為法向量的平
→
面完全確定，可以表示為集合 {P|a·A P＝0}．
二、空間中直線、平面的平行
1．線線平行的向量表示：
設 u1，u2分別是 l1，l2的方向向量，則 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得 u1＝λu2.
2．線面平行的向量表示：
設 u 是 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，l α，則 l∥α u⊥n u·n＝0.
3．面面平行的向量表示:
設 n1，n2分別是平面 α，β 的法向量，則 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得 n1＝λn2
三、空間中直線、平面的垂直
1．線線垂直的向量表示:
設 u1，u2分別是直線 l1,l2的方向向量，則 l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2．線面垂直的向量表示:
設 u 是直線 l 的方向向量，n 是平面 α 的法向量，l α，則 l⊥α u∥n λ∈R，使得 u＝λn.
3．面面垂直的向量表示:
設 n1，n2分別是平面 α，β 的法向量，則 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
（一）
直線的方向向量
理解直線方向向量的概念：
(1)直線上任意兩個不同的點都可構成直線的方向向量．
(2)直線的方向向量不唯一．
（3）直線的方向向量不是唯一的，它們都是共線向量．解題時，可以選取坐標最簡的方向向量．
題型 1：直線的方向向量
ur
1-1．（2024 高二下·江蘇常州·期中）已知直線 l 的一個方向向量m = 2,-1,3 ，且直線 l 過 A(0，y，3)和 B(－
1，2，z)兩點，則 y－z 等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
ur uuur
【分析】根據m// AB求解即可.
uuur
【詳解】由題知： AB = -1,2 - y, z - 3 ，
ur uuur 2 -1 3 3 3
因為m// AB，所以 = = y = , z =-1 2 ，解得 ，- y z - 3 2 2
所以 y - z = 0 .
故選：A
ur
1-2．（2024 高二·全國·課后作業）已知直線 l的一個方向向量m = 2,-1,3 ，且直線 l過點 A 0, a,3 和B -1,2,b
兩點，則 a + b =（　　）
3
A．0 B．1 C． D．3
2
【答案】D
uuur uuur ur uuur ur
【分析】首先求出 AB ，依題意 AB//m，則 AB = lm，根據空間向量共線的坐標表示計算可得.
uuur
【詳解】因為直線 l過點 A 0, a,3 和B -1,2,b 兩點，所以 AB = -1,2 - a,b - 3 ，
ur uuur ur
又直線 l的一個方向向量m = 2,-1,3 ，所以 AB//m，
uuur ur
所以 AB = lm，所以 -1,2 - a,b - 3 = 2l, -l,3l ，
ì
l
1
= -
ì2l = -1 2

所以 í-l = 2 - a

，解得 ía
3
= ，所以 a + b = 3 .
2
3l = b - 3 3
b = 2
故選：D
1-3．（2024 高二·全國·課后作業）若P(1,0,-2)，Q(3,1,1)在直線 l上，則直線 l的一個方向向量為 （ ）
A． 1,2,3 B． 1,3,2
C． 2,1,3 D． 3,2,1
【答案】C
【分析】利用方向向量的定義求解.
uuur
【詳解】依題意，直線 l的一個方向向量為PQ = (3， 1， 1) - (1， 0， - 2) = (2， 1，3)，其他三個均不合要求.
故選：C．
（二）
平面的法向量
求平面法向量的方法與步驟：
(1)設平面的法向量為 n＝(x，y，z)；
→ →
(2)求平面 ABC 的法向量時，要選取平面內兩不共線向量，如A C，A B；
→
n·AC＝0，
(3)聯立方程組{ 并求解；→n·AB＝0，
(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定一個坐標為常數(常數不能為 0)便可得到平
面的一個法向量．
題型 2：平面的法向量
2-1．（2024 高二下·江蘇·課后作業）已知四邊形 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD， SA＝AB
1
＝BC＝1， AD＝ ，求平面 SCD 的一個法向量．
2
r
【答案】 n = -2,1, -1
【分析】建立空間直角坐標系，利用法向量的性質進行求解即可.
【詳解】以 A 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 A-xyz，
D 1 ,0,0 2 ÷
，C 1,1,0 , S 0,0,1 ，
è
uuur uuur
SC = 1,1, 1-1 , DC = ,1,0

è 2 ÷
r
設平面 SCD 的一個法向量為 n = x, y, z ，
uuur r ìx + y - z = 0
ìSC × n = 0 r
則有 íuuur

í1 n = -2,1, -1 ，
DC × n
r
= 0 x + y = 0 2
r
n = -2,1, -1 是平面 SCD 的一個法向量．
2-2．（2024 高二上·上海浦東新·期中）如圖的空間直角坐標系中，PD垂直于正方形 ABCD所在平面，
uur
AB = 2, PB p與平面 xDy 的所成角為 ，E 為 PB中點，則平面 ABE 的單位法向量n0 = ．（用坐標表示）4
【答案】±( 6 ,0, 3 )
3 3
【分析】根據給定條件，借助線面角求出 DP 長，并求出點 A，B，P 的坐標，再利用空間向量求出平面 ABE
的單位法向量作答.
p
【詳解】如圖，連接 BD，因PD ^平面 ABCD，則 PBD 是與平面 xDy 所成的角，即 PBD = ，
4
在正方形 ABCD中，BD = 2AB = 2 2 ，而PD ^ BD，則有PD = BD = 2 2 ，
uuur uuur
于是得 A(2,0,0), B(2, 2,0), P(0,0, 2 2)，PB 中點 E 1,1, 2 ， AB = (0, 2,0), AE = (-1,1, 2)，
uuur
r ìn
r
× AB = 2y = 0 r
設平面PAB的一個法向量為n = (x, y,z)，則 í r uuur ，令 z =1，得 n = ( 2,0,1)，
n × AE = -x + y + 2z = 0
r 1 rr n 1與 n共線的單位向量為± = ± ( 2,0,1) (
6 ,0, 3= ± )，
| n | 3 3 3
uur 6 3
所以平面 ABE 的單位法向量 n0 = ±( ,0, ) .3 3
6 3
故答案為：±( ,0, )
3 3
2-3．（湖北省荊州市沙市中學 2023-2024 學年高二上學期期末數學試題）已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱
uuur uuur uuuur
長為 1， 以D為原點， DA, DC, DD1 為單位正交基底， 建立空間直角坐標系， 則平面 AB1C 的一個法向
量是（ ）
A． (1,1,1) B． (-1,1,1)
C． (1, -1,1) D． (1,1,-1)
【答案】D
uuur uuur
【分析】由題意求出相關點的坐標，求得 AB1 = (0,1,1) ， AC = (-1,1,0)，設平面 AB1C 的法向量為
r uuur
r ìn × AB = 0n = (x, y, z) 1，可得 í r uuur ，解方程組，可得答案.
n × AC = 0
【詳解】如圖，B1(1,1,1), A(1,0,0),C(0,1,0)，
uuur uuur
則 AB1 = (0,1,1) ， AC = (-1,1,0)，
r
設平面 AB1C 的法向量為 n = (x, y, z)，
uuur
ìn
r
× AB
uuur1
= 0 ìy + z = 0
則 í r ，即 í ，
n × AC = 0 -x + y = 0
取 y =1，則 x =1, z = -1，
r
∴平面 AB1C 的一個法向量為∶ n = (1,1, -1) ,
r
選項A,B,C中的向量與 n = (1,1, -1)不共線，D 中向量符合題意，
故選︰D．
2-4．（2024 高二下 ·江蘇淮安 ·階段練習）空間直角坐標系 O - xyz 中，已知點 A 2,0,2 ， B 2,1,0 ，
C 0,2,0 ，則平面 ABC 的一個法向量可以是（ ）．
A． 2,1,2 B． -1,2,1 C． 2,4,2 D． 2, -1,2
【答案】C
【分析】
根據求平面 ABC 的法向量，逐項分析判斷即可.
uuur uuur
【詳解】由題意可得： AB = 0,1, -2 , BC = -2,1,0 ，
uuur
r ìnr × AB = y - 2z = 0
設平面 ABC

的法向量為 n = x, y, z ，則 í
nr
uuur ，
× BC = -2x + y = 0
r
令 x =1，則 y = 2, z =1，即 n = 1,2,1 .
ur 2 1 2 r ur
對 A：若m = 2,1,2 ，由 ，可得： n與m不共線，1 2 1
ur
故m不是平面 ABC 的法向量，A 錯誤；
ur -1 2 1 r ur
對 B：若m = -1,2,1 ，由 = ，可得： n與m不共線，1 2 1
ur
故m不是平面 ABC 的法向量，B 錯誤；
ur ur r r ur
對 C：若m = 2,4,2 ，則m = 2n，即 n與m共線，
ur
故m是平面 ABC 的法向量，C 正確；
r 2 -1 r ur對 D：若m = 2, -1,2 ，由 ，可得： 與 不共線，
1 2 n m
ur
故m不是平面 ABC 的法向量，D 錯誤；
故選：C.
（三）
證明線線平行
利用向量證明線線平行的思路：
證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．
題型 3：利用向量證明線線平行
3-1．（2024 高二·全國·課后作業）已知長方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 4， AD = 3， AA1 = 3，點 S、P 在
CC 1棱 1、 AA1上，且 CS = SC1 ， AP = 2 PA1 ，點 R、Q 分別為 AB、D1C1的中點．求證：直線PQ∥直線2
RS ．
【答案】證明見解析.
【分析】利用坐標法，利用向量共線定理即得.
uuur uuur uuuur
【詳解】以點 D 為原點，分別以DA、DC 與 DD1 的方向為 x、y 與 z 軸的正方向，建立空間直角坐標系．
則D 0,0,0 、 A 3,0,0 、C 0,4,0 、B 3,4,0 、D1 0,0,3 、 A1 3,0,3 、C1 0,4,3 、B1 3,4,3 ，
由題意知P 3,0,2 、Q 0,2,3 、 S 0,4,1 、R 3,2,0 ，
uuur uuur
∴ PQ = -3,2,1 ，RS = -3,2,1 ．
uuur uuur
∴ PQ = RS ，又 PQ，RS 不共線，
∴ PQ∥RS .
3-2．（2024 高二·全國·課后作業）已知在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，AB =1, AA1 = 2，點 E 為CC1的中點，
點 F 為BD1的中點．
uuur uuuur uuur uuuur
(1)求證：EF ^ BD1 且EF ^ CC1 ；
uuur uuur
(2)求證： EF ∥ AC ．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法分別證明（1）和（2）.
【詳解】（1）在正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，可以建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C 0,0,0 ， B 0,1,0 ，D1 1,0,2 F
1 , 1 ,1 ， ÷ ，C1 0,0,2 ，E 0,0,1 ， A 1,1,0 ．
è 2 2
uuur 1
1 EF = ,
1 ,0
uuuur uuuur
（ ）由 ÷ ，CC1 = 0,0,2 ，BD1 = 1, -1,2 ，è 2 2
uuur uuuur uuur uuuur
EF BD 1 1得EF ×CC1 = 0 + 0 + 0 = 0且 × 1 = - + 0 = 0，2 2
uuur uuuur uuur uuuur
所以EF ^ BD1 且EF ^ CC1 ．
uuur uuur 1 1 uuur
AC 1, 1,0 EF = , ,0 EF 1
uuur uuur uuur
（2） = - - ，由于 ÷ ，顯然 = - AC ，故 ．
è 2 2 2
EF ∥ AC
3-3．（2024 高二上·全國·課后作業）如圖，已知空間幾何體P - ABCD 的底面 ABCD 是一個直角梯形，其中
BAD = 90o , AD//BC , BA = BC = a , AD = 2a ，且PA ^底面 ABCD，PD 與底面成30o角．
uuur uuur
(1)若BC × PD = 8，求該幾何體的體積；
(2)若 AE 垂直 PD 于 E，證明：BE ^ PD；
(3)在（2）的條件下，PB 上是否存在點 F，使得EF //BD，若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理
由．
8 3
【答案】(1)
3
(2)證明見解析

F a 3

(3)存在 ,0, a ÷÷．
è 4 2
【分析】建立空間直角坐標系，
uuur uuur uuur uuur
（1）求出BC, PD，利用BC × PD = 2a2 = 8可得 a，再求體積即可；
uuur uuur uuur
（2）求出 BE 坐標，PD × BE = 0可得答案；
3 uuur uuur
（3）由EF //BD，求出 E 點的豎坐標、F 點的豎坐標，設F x,0, a2 ÷÷ ，由FE //BD，得
x 可得答案．
è
2 3
【詳解】（1）如圖，建立空間直角坐標系，則 A 0,0,0 , B a,0,0 ,C a,a,0 , D 0,2a,0 ，P 0,0, a ÷÷ ，
è 3
uuur uuur
BC = 0, a,0 , PD 0,2a, 2 3= - a ，
è 3 ÷
÷

uuur uuur
\BC × PD = 2a2 = 8,\a = 2，
V 1 1 4 3 8 3此時 = 4 + 2 2 = ；
3 2 3 3
a uuur
（2）E 0, ,
3 a a 3÷÷ ,\BE = 0, , a ÷÷ - a,0,0 a,
a , 3= - a ÷÷，
è 2 2 è 2 2 è 2 2
uuur uuur
QPD × BE = 0,2a,
2 3 a a 3- ÷÷ × -a, , a ÷÷ = 0 + a
2 - a2 = 0 ，
è 3 è 2 2
uuur uuur
\BE ^ PD,\BE ^ PD ；
（3）由EF //BD 3 3，E 點的豎坐標為 a ，\F 點的豎坐標為 a ，
2 2
3 uuur uuur a a 3 \設F x,0, a ，由2 ÷÷ FE //BD，得
x = ，\存在F ,0, a ÷．
è 4 ÷è 4 2
（四）
證明線面平行
利用空間向量證明線面平行的方法：
(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量 p與平面內的兩個不共線向量 a,b是共面向量,即滿足 p=xa+yb(x,y∈
R),則 p,a,b 共面,從而可證線與面平行.
(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量 p 與該平面內的某一向量共線,再結合線面平行的判定定理即可證
明線面平行.
(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平
行.
題型 4：利用向量證明線面平行
4-1．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，在四面體 A - BCD中， AD ^ 平面BCD，BC ^ CD， AD = 2，
BD = 2 2 ．M 是 AD 的中點， P 是 BM 的中點，點Q在線段 AC 上，且 AQ = 3QC ．證明：PQ / /平面
BCD；
【答案】證明見解析
【分析】
建系，利用空間向量證明線面平行.
【詳解】因為BC ^ CD， AD ^ 平面 BCD，故以 C 為原點，CB 為 x 軸，CD 為 y 軸，
過點 C 作 DA 的平行線為 z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設CD = a,0 < a < 2 2 ，則BC = 8 - a2 ，
可得D(a,0,0)，C(0,0,0) ，B 0, 8 - a2 ,0 ， A(a,0, 2)，
因為M 是 AD 的中點，則M (a,0,1)，

P a 8 - a
2 1 a 1
則 , , ÷ AQ = 3QC Q
,0,
÷，因為 ， ÷ ，
è 2 2 2 è 4 2
uuur
PQ a , 8 - a
2
可得 = - - ,0 ÷4 2 ÷
，
è
r
因為平面 BCD 的法向量可取為 n = 0,0,1 ，
uuur r
則 PQ × n = 0，且PQ 平面 BCD，
所以 PQ∥平面 BCD．
4-2．（2024 高二·全國·專題練習）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD為直角梯形，其中 AD//BC .
AD ^ AB, AD = 3, AB = BC = 2, PA ^ 平面 ABCD，且 PA = 3，點M 在棱PD上，點 N 為BC 中點.若
DM = 2MP ，證明：直線MN // 平面PAB .
【答案】證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明即可.
【詳解】如圖所示，以點A 為坐標原點，以 AB 為 x 軸， AD 為 y 軸， AP 為 z 軸建立空間直角坐標系，
則P(0,0,3), B(2,0,0), D(0,3,0),C(2, 2,0), N (2,1,0)，
uuuur
若DM = 2MP ，則M (0,1, 2) ，MN = (2,0,-2)，
因為PA ^平面 ABCD， AD 平面 ABCD，所以 AD ^ PA，
又因為 AD ^ AB，PAI AB = A，PA, AB 平面PAB，
所以 AD ^ 平面PAB
uuur
平面PAB的其中一個法向量為 AD = (0,3,0) ，
uuuur uuur
所以MN × AD = 0，即 AD ^ MN ，
又因為MN 平面PAB，
所以MN // 平面PAB .
ur r
4-3．（2024 高二下·四川成都·期中）已知直線 l的方向向量為m = 1, - 2,4)，平面a 的法向量為 n = x,1, - 2)，若
直線 l與平面a 平行，則實數 x 的值為（ ）
1 1
A． B．-
2 2
C．10 D．-10
【答案】C
ur r ur r
【分析】依題意可得m ^ n，即可得到m × n = 0，從而得到方程，解得即可.
ur r
【詳解】因為直線 l的方向向量為m = 1, - 2,4)，平面a 的法向量為 n = x,1, - 2)，
ur r ur r
若直線 l與平面a 平行，則m ^ n，即m × n = 0，即 x - 2 - 8 = 0，解得 x =10 .
故選：C．
4-4．（2024 高一·全國·專題練習）如圖，四棱錐P - ABCD 中，側面 PAD 為等邊三角形，線段 AD 的中點為
AB BC 1O 且PO ^底面 ABCD， = = AD =1， BAD = ABC
π
= ，E 是 PD 的中點．證明：CE / /平面
2 2
PAB .
【答案】證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，求出CE的方向向量和平面PAB的法向量即可證明.
BAD ABC π【詳解】因為在底面 ABCD 內， = = ，所以BC / / AD ，
2
連接OC ，因為O為 AD 的中點，BC
1
= AD ，所以BC = AO，
2
所以四邊形 ABCO是平行四邊形，所以OC / /AB ，
π
又因為 BAD = ，所以OC ^ AD，
2
因為PO ^底面 ABCD，OC, AD 底面 ABCD，所以PO ^ OC, PO ^ AD，
所以以O為原點，分別以OC,OD,OP為 x, y, z軸建立如圖空間直角坐標系，
AB BC 1因為側面 PAD 為等邊三角形， = = AD =1，
2
所以 A 0, -1,0 ，B 1, -1,0 ，C 1,0,0 ，P 0,0, 3 ，D 0,1,0 ，
1 3
因為 E 是 PD 的中點，所以E 0, ,2 2 ÷÷
，
è
uuur 1 3 uuur uuur
所以CE = -1, , ÷÷， AB = 1,0,0 ， AP = 0,1, 32 2 ，è
r
設平面PAB的法向量為 n = x, y, z ，則
uuur
ì AB·n
r
= x = 0 r
íuuur r ，令 z =1，得 n = 0, - 3,1 ，
AP·n = y + 3z = 0
uuur r
CEgn 0 3 3
uuur r
因為 = - + = 0，所以CE ^ n，
2 2
又因為CE 平面PAB，所以CE / /平面PAB .
4-5．（2024 高二·全國·專題練習）如圖所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AC = 3，BC = 4， AB = 5，
AA1 = 4 .
(1)求證： AC ^ BC1；
(2)在 AB 上是否存在點D，使得 AC1 / /平面CDB1，若存在，確定D點位置并說明理由，若不存在，說明理
由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)在 AB 上存在點D使得 AC1 / /平面CDB1，且D為 AB 的中點．
uuur uuuur
【分析】（1）本題首先以C 為坐標原點建立空間直角坐標系，然后得出 AC = -3,0,0 、BC1 = 0, -4,4 ，最
uuur uuuur
后根據 AC × BC1 = 0即可證得 AC ^ BC1；
uuur uuur uuuur uuuur uuur
（2）本題可假設點D存在，則 AD = l AB = -3l, 4l,0 ，然后通過 AC1 = mB1D + nB1C 得出
ì-3 = m 3 - 3l

í0 = m 4l - 4 - 4n，最后求出l 的值，即可得出結論.

4 = -4m - 4n
【詳解】（1）因為 AC = 3，BC = 4， AB = 5，所以 ACB = 90o，
如圖所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，以C 為坐標原點，直線CA、CB 、CC1分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸，
建立空間直角坐標系，
則C 0,0,0 ， A 3,0,0 ，C1 0,0,4 ，B 0,4,0 ， B1 0,4,4 ，
uuur uuuur
因為 AC = -3,0,0 ，BC1 = 0, -4,4 ，
uuur uuuur uuur uuuur
所以 AC × BC1 = 0， AC ^ BC1 ，即 AC ^ BC1 .
uuur uuur
（2）若存在點D使 AC1 / /平面CDB1，則 AD = l AB = -3l, 4l,0 ， 0≤l ≤1，
uuuur uuur uuuur
D 3- 3l, 4l,0 ，B1D = 3 - 3l, 4l - 4, -4 ，B1C = 0, -4,-4 ， AC1 = -3,0,4 ，
uuuur uuuur uuur
因為 AC1 / /平面CDB1，所以存在實數m 、 n ，使 AC1 = mB1D + nB1C 成立，
ì-3 = m 3 - 3l

則 í0 = m 4l - 4 - 4n 1，解得l = ，
2
4 = -4m - 4n
故在 AB 上存在點D使 AC1 / /平面CDB1，此時點D為 AB 中點.
4-6．（2024 高二·江蘇·課后作業）如圖，已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在平面互相垂直，點 M，N 分別在
1 1
對角線 BD，AE 上，且BM = BD， AN = AE ．求證：MN / / 平面 CDE．
3 3
【答案】證明見解析
uuuur 2 uuurMN CD 1
uuur
【分析】根據空間向量的線性運算得到 = + DE ，再根據向量共面的充要條件可證結論正確.
3 3
1 uuur 1 uuurBM BD MB DB 1
uuur 1 uuur
【詳解】∵M 在 BD 上，且 = ，∴ = = DA + AB．
3 3 3 3
uuur 1 uuur 1 uuur
同理得 AN = AD + DE ．
3 3
uuuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuurMN MB BA AN DA AB BA 1 AD 1
uuur uuur
∴ = + + = + + + + DE 2 BA 1
uuur 2 uuur 1 uuur
= + DE = CD + DE ．
3 3 3 3 3 3 3 3
uuur uuur
又CD與DE 不共線，
uuuur uuur uuur
∴根據向量共面的充要條件可知MN ，CD，DE 共面．
∵ MN 不在平面CDE 內，∴ MN // 平面 CDE．
uuuur uuuur
4-7．（2024 高三上·河南安陽·階段練習）在長方體 ABCD - A1B1C1D1 中，E 是BB1的中點，B1F = lB1D1 ，且EF //
平面 ACD1，則實數l 的值為（ ）
1 1 1 1
A． B5 ． C． D．4 3 2
【答案】B
r uuur r
【分析】建立空間直角坐標系，設DA = a，DC = b，DD c
uuur
1 = ，求出EF 和平面 ACD1的法向量 n，利用EF ^ n
即可求出答案
【詳解】以D為原點，分別以DA，DC ，DD1的方向為 ， y ， z 軸為正方向建立空間直角坐標系D - xyz ，
如圖所示：
設DA = a，DC = b，DD1 = c ，
則 A a,0,0 ，C 0,b,0 ，D1 0,0,c

，E a,b,
c
÷，B a,b,c
è 2 1
uuur uuuur uuuur
所以 AC = -a,b,0 ， AD1 = -a,0,c ，B1D1 = -a, -b,0 ，
uuuur uuuur uuuur
因為B1F = lB1D1 ，所以B1F = -la, -lb,0 ，所以F 1- l a, 1- l b,c ，
uuur
EF = 所以 -la,-lb,
c
÷ ，
è 2
r
設平面 ACD1的法向量為 n = x, y, z ，
uuur
ì AC ×n
r= - ax+by=0 r
所以 íuuuur r ，當 x = bc時， y = ac, z = ab ，則 n = bc,ac,ab ，
AD1 × n= - ax+cz=0
uuur r
因為EF // 平面 ACD1，所以EF ^ n ，
uuur
所以EF × n
r=- labc- labc+ abc =0 1，解得l = ，
2 4
故選：B
（五）
證明面面平行
1、利用空間向量證明面面平行的方法：
(1)轉化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進行證明.
(2)通過證明兩個平面的法向量平行證明.
2、證明面面平行問題的方法：
(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．
(2)將面面平行轉化為線線平行然后用向量共線進行證明．
題型 5：利用向量證明面面平行
5-1．（2024 高二·全國·專題練習）如圖所示，平面PAD ^平面 ABCD，四邊形 ABCD為正方形，△PAD是
直角三角形，且PA = AD = 2，E ，F ，G 分別是線段PA，PD，CD的中點，求證：平面EFG / / 平面
PBC ．
【答案】證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，利用法向量即可求解.
【詳解】因為平面 PAD⊥平面 ABCD，四邊形 ABCD 為正方形，△PAD 是直角三角形，
所以 AB，AP，AD 兩兩垂直，
以 A 為坐標原點，AB，AD，AP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標系，
則 A 0,0,0 , B 2,0,0 ,C 2,2,0 , D 0,2,0 , P 0,0,2 , E 0,0,1 , F 0,1,1 ,G 1,2,0 ．
uuur uuur uuur uuur
所以PB = (2,0, -2)，FE = (0, -1,0) ，FG = (1,1, -1) ，BC = (0, 2,0) ，
ur
設 n1 = (x1, y1, z1)是平面 EFG 的法向量，
ur uuur
ur uuur ur uuur ì n1 × FE = 0 ì-y = 0
則 n1 ^ FE ， n1 ^ FG，即 íur uuur
1
，得 í
n × FG = 0 x1 + y1 - z 0
，
=
1 1
ur
令 z1 =1，則 x1 =1， y1 = 0 ，所以 n1 = (1,0,1)，
uur
設 n2 = (x2 , y2 , z2 ) 是平面 PBC 的法向量，
uur uuur
uur uuur uur uuur ìn
n ^ PB n ^ BC uur2
× PB = 0 ì2x - 2z = 0
由 2 ， 2 ，即 í uuur
2 2
，得 í ，
n2 × BC = 0 2y2 = 0
uur
令 z2 =1，則 x2 =1， y2 = 0，所以 n2 = (1,0,1) ，
ur uur
所以 n1 / /n2 ，所以平面 EFG∥平面 PBC．
ur uur
5-2．（2024 高二上·山東聊城·期末）已知 n1 = 3, x, 2 ， n2 = -3, 3, -2 3 分別是平面a , b 的法向量，若
a //b ，則 x =（ ）
A．-7 B．-1 C．1 D．7
【答案】B
【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解
ur uur
【詳解】因為 n1 = 3, x, 2 ， n2 = -3, 3, -2 3 分別是平面a , b 的法向量，且a //b ，
ur uur
n //n 3 x 2所以 1 2 ，即 = = ，解得 x = -1-3 3 -2 3
故選：B
5-3．（2024 高二·全國·課后作業）如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，O為底面 ABCD的中心，P 是DD1的
中點．在棱CC1上是否存在一點Q，使得平面D1BQ// 平面PAO ？若存在，指出點Q的位置；若不存在，請
說明理由．
【答案】存在，Q為CC1的中點.
【分析】根據題意，建立適當的空間直角坐標系，設點Q的坐標，結合面面平行的向量證明方法，即可求
解.
【詳解】當Q為CC1的中點時，平面D1BQ// 平面PAO ．
證明如下：設Q 0,2,c 0 c 2 符合題意．連接D1B， D1Q ，BQ．
以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D - xyz ，設正方體的棱長為 2，
則O 1,1,0 ， A 2,0,0 ，P 0,0,1 ，B 2,2,0 ， D1 0,0,2 ，
uuur uuur uuuur
∴ OA = 1,-1,0 ，OP = -1,-1,1 ，BD1 = -2, -2,2 ．
ur
設平面PAO 的法向量為 n1 = x, y, z ，
uv uuuv
ì n x - y = 0
則 íuv1
×OuuAuv = 0 ì，即 ，
n1 ×OP = 0
í
-x - y + z = 0
ur
令 x =1，則 y =1， z = 2 ，∴平面PAO 的一個法向量為 n1 = 1,1,2 ．
ur
若平面D1BQ// 平面PAO ，則 n1 也是平面D1BQ 的一個法向量．
uuur
∵ BQ = -2,0,c ，
ur uuur
∴ n1 × BQ = -2 + 2c = 0，∴ c =1，
ur uuuur
又 n1 × BD1 = -2 - 2 + 4 = 0，
∴當Q為CC1的中點時，平面D1BQ// 平面PAO ．
5-4．（2024 高二·全國·課后作業）已知正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 2，E，F 分別是 BB1，DD1 的中點，
求證：（1）FC1∥平面 ADE；
（2）平面 ADE∥平面 B1C1F.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求得直線的方向向量以及平面的法向量，計算其數量
積即可證明；
（2）計算兩個平面的法向量，根據法向量是否平行，即可證明.
【詳解】證明：如圖，建立空間直角坐標系 D-xyz，
則 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
uuuur uuur
FC uuur所以 1 =(0，2，1)，DA=(2，0，0)， A E =(0，2，1).
ur ur uuur ur uuur
（1）設 n1 =(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量，則 n1 ⊥ DA， n1 ⊥ A E ，
ur uuuv
ì n1·DA = 2x = 0， ìx = 0，
即 íur uuuv 1 1得 í z =2 y =-1
n ·AE = 2y + z = 0， z1 = -2y .
令 1 ，則 1 ，
1 1 1 1
ur uuuur ur uuuur ur
所以 n1 =(0，-1，2).因為FC1 · n1 =-2+2=0，所以FC1 ^ n1 .
又因為 FC1 平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE.
uuuur
（2）C1B1 =(2，0，0).
uuuur uuuur
設 n =(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一個法向量.由 n ⊥ FC1 ， n ⊥ C B2 2 2 1 1 ，
uur uuuuv
ìn2·FC1 = 2y2 + z2 = 0， ìx2 = 0，
得 íuur uuuuv 得í
n ·C z = -2y .2 1B1 = 2x2 = 0， 2 2

令 z2=2，則 y2=-1，所以 n =(0，-1，2).2

因為 n = n ，所以平面 ADE∥平面 B1 2 1C1F.
【點睛】本題考查用向量證明線面平行、以及面面平行，屬基礎題.
（六）
證明線線垂直
1、利用向量方法證明線線垂直的常用方法：
(1)坐標法:建立空間直角坐標系,寫出相關點的坐標,求出兩直線方向向量的坐標,然后通過數量積的坐標運算
法則證明數量積等于 0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數乘運算及其運算律,結合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表
示,然后根據數量積的運算律證明兩直線所在的向量的數量積等于 0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂
直.
2、證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直
→得到兩直線垂直．
題型 6：利用向量證明線線垂直
6-1．（2024 高二上·山東濟寧·階段練習）如圖，在棱長為 a的正方體OABC - O1A1B1C1中，E ，F 分別是棱
AB ，BC 上的動點，且 AE = BF = x ，其中0 x a ，以O為原點建立空間直角坐標系Oxyz .
(1)寫出點E ，F 的坐標；
(2)求證： A1F ^ C1E .
【答案】(1) E a, x,0 ，F a - x, a,0
(2)證明見解析
【分析】（1）根據空間直角坐標系中E ，F 的位置寫出坐標；
uuuur uuuur
（2）求出 A1F ×C1E = 0，證明出結論.
【詳解】（1）根據空間直角坐標系可得E a, x,0 ，F a - x, a,0 .
（2）∵ A1 a,0,a ，C1 0, a, a ，
uuuur uuuur
∴ A1F = -x, a,-a ，C1E = a, x - a, -a .
uuuur uuuur
即 A1F ×C1E = -ax + a x - a + a2 = 0，
uuuur uuuur
∴ A1F ^ C1E ，
故 A1F ^ C1E .
r r
6-2．（2024 高二·全國·課后作業）設直線 l1, l2 的方向向量分別為 a = 1,2,-2 ,b = -2,3, m ，若 l1 ^ l2，則實數m
等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
r r
【分析】根據向量垂直與數量積的等價關系， l1 ^ l2 a ×b = 0，計算即可.
r r
【詳解】因為 l1 ^ l2，則其方向向量 a ^ b，
r r
a ×b =1 (-2) + 2 3 + (-2)m = 0，解得m = 2 .
故選:B.
6-3．（2024 高二·江蘇·專題練習）如圖，在直棱柱 ABC - A1B1C1中，AA1 = AB = AC = 2， BAC
π
= ，D, E, F
2
分別是 A1B1 ，CC1，BC 的中點．求證： AE ^ DF ；
【答案】證明見解析
【分析】根據直棱柱的幾何性質建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.
【詳解】因為三棱柱 ABC - A1B1C1是直三棱柱，
所以 AA1 ^ 面 ABC ，又 AB, AC 面 ABC ，故 AA1 ^ AB, AA1 ^ AC ，
π
因為 BAC = ，所以 AB ^ AC ，則 AA1 ,AC,AB 兩兩垂直，2
故以A 為原點，建立空間直角坐標系，如圖，
則 A 0,0,0 ,E 2,0,1 ,F 1,1,0 ,D 0,1,2 ，
uuur uuur uuur uuur
故 AE = 2,0,1 ,DF = 1,0,-2 ，所以 AE×DF = 2 +0 - 2 = 0，
uuur uuur
所以 AE ^ DF ，故 AE ^ DF .
6-4．（2024·四川雅安·模擬預測）已知下面給出的四個圖都是各棱長均相等的直三棱柱，A 為一個頂點，D，
E，F 分別是所在棱的中點．則滿足直線 AD ^ EF 的圖形個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據給定的正三棱柱，建立空間直角坐標系，借助空間向量計算判斷每個圖形即可作答.
【詳解】令棱長均相等的直三棱柱為PMN - P1M1N1 ，令MN 的中點為 O，M1N1的中點為O1，MN = 2，
連接OP,OO1，顯然OO1 / /MM1，而MM1 ^平面 PMN ，則OO1 ^平面 PMN ，而PO ^ MN ，
uuur uuuur uuuur
以點 O 為原點，向量OP,OM ,OO1 的方向分別為 x, y, z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，
對于①，點 A，D，F 分別與點 P，O，O1重合，點 E 為棱 NN1中點，則
A( 3,0,0), D(0,0,0), F (0,0, 2), E(0,-1,1)，
uuur uuur uuur uuur
DA = ( 3,0,0), EF = (0,1,1)，有DA × EF = 0，因此 AD ^ EF ，圖①滿足；
對于②，點 A 與點 P 重合，點 D，E，F 分別棱 NN1, MM1, P1N1的中點，
uuur uuur
有 A( 3,0,0), D(0, 3 1-1,1), E(0,1,1), F ( , - , 2)，DA = ( 3,1, -1), EF 3 3= ( , - ,1) ，
2 2 2 2
uuur uuur
DA × EF = 3 3 +1 ( 3- ) + (-1) 1 = -1 0， AD 與EF 不垂直，圖②不滿足；
2 2
對于③，點 A，D，E 分別與點 P，O1，O 重合，點 F 為棱P1M1的中點，
uuur uuur
有 A( 3,0,0), D(0,0, 2), E(0,0,0), F ( 3 , 1 , 2)，DA = ( 3,0, -2), EF = ( 3 , 1 , 2) ，
2 2 2 2
uuur uuur
DA 3× EF = 3 + (-2) 2 5 = - 0， AD 與EF 不垂直，圖③不滿足；
2 2
對于④，點 A，F 分別與點 N，O1重合，點 D，E 分別棱PP1, PM 的中點，
uuur uuur
有 A(0, 3 1 3 1-1,0), D( 3,0,1), F (0,0, 2), E( , ,0)，DA = (- 3,-1,-1), EF = (- , - , 2)，
2 2 2 2
uuur uuur
DA × EF = - 3 ( 3 1- ) + (-1) (- ) + (-1) 2 = 0，因此 AD ^ EF ，圖④滿足，
2 2
所以滿足直線 AD ^ EF 的圖形個數是 2.
故選：B
（七）
證明線面垂直
1、用坐標法證明線面垂直的方法及步驟
(1)利用線線垂直
①將直線的方向向量用坐標表示．
②找出平面內兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量．
③判斷直線的方向向量與平面內兩條直線的方向向量垂直．
(2)利用平面的法向量
①將直線的方向向量用坐標表示．
②求出平面的法向量．
③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．
2、利用空間向量證明線面垂直的方法
(1)基向量法:選取基向量,用基向量表示直線所在的向量,在平面內找出兩個不共線的向量,也用基向量表示,
然后根據數量積運算律分別證明直線所在向量與兩個不共線向量的數量積均為零,從而證得結論.
(2)坐標法:建立空間直角坐標系,求出直線方向向量的坐標以及平面內兩個不共線向量的坐標,然后根據數量
積的坐標運算法則證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數量積均為零,從而證得結論.
(3)法向量法:建立空間直角坐標系,求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標,然后說明直線方向向量
與平面法向量共線,從而證得結論.
題型 7：利用向量證明線面垂直
7-1．（2024 高二下·江蘇·課后作業）如圖所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱長都為 2，D 為 CC1的中
點．求證：AB1⊥平面 A1BD.
【答案】證明見解析
【分析】建系，利用空間向量證明線面垂直.
【詳解】如圖所示，取 BC 的中點 O，連接 AO，因為△ABC 為正三角形，
所以 AO⊥BC，
因為在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面 ABC，
AO 平面 ABC，則 AO ^ CC1，
BC CC1 = C ，BC,CC1 平面 BCC1B1，
所以 AO⊥平面 BCC1B1，
取 B1C1的中點 O1，以 O 為坐標原點，
uuur uuuur uuur
以OB,OO1,OA分別為 x 軸、y 軸、z 軸的正方向建立空間直角坐標系，
則B 1,0,0 , D -1,1,0 , A1 0,2, 3 , A 0,0, 3 , B1 1,2,0 ，
uuur uuur uuur
所以 AB1 = 1,2,- 3 , BA1 = -1,2, 3 , BD = -2,1,0 ，
uuur uuur
ì
AB1 × BA1 =1 -1 + 2 2 + - 3 3 = 0
則 íuuur uuur ，
AB1 × BD =1 -2 + 2 1+ - 3 0 = 0
uuur uuur uuur uuur
可得 AB1 ^ BA1, AB1 ^ BD，即 AB1⊥BA1，AB1⊥BD，
BA1∩BD＝B，BA1, BD 平面 A1BD ，
所以 AB1⊥平面 A1BD.
ur r
7-2．（2024 高二上·北京石景山·期末）已知m = (-2,a + b, a - b)(a,b R)是直線 l 的方向向量，n = (2,-1,2)是
平面a 的法向量．若 l ^ a ，則下列選項正確的是（ ）
1 3 1 3
A． a - 3b - 4 = 0 B．a - 3b - 5 = 0 C． a = - ,b = D． a = ,b = -
2 2 2 2
【答案】C
ur r
【分析】根據 l ^ a 可得m與 n共線，由向量的坐標表示可得答案.
ur r
【詳解】若 l ^ a ，則m = l n ，
ì
2 2 l = -1ì- = l
1
即 ía + b = -l

，解得 ía = - ，且 a - 3b
1 9
= - - = -5，即 a - 3b + 5 = 0 .
2 2 2
a - b = 2l b 3

=
2
故選：C.
7-3．（2024 高二上·陜西咸陽·階段練習）如圖，正方形 ADEF 與梯形 ABCD所在的平面互相垂直，
AD ^ CD ， AB//CD ， AB = AD = 2 ，CD = 4，M 為 CE 的中點.請用空間向量知識解決下列問題：
(1)求證：BM ^ DC ；
(2)求證：BC ^平面BDE .
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先由面面垂直的性質定理及正方形 ADEF 的性質推得 DA, DC, DE 兩兩垂直，從而建立空間直角
uuuur uuur
坐標系，求得BM ，DC ，由此利用空間向量垂直的坐標表示即可得證；
uuur uuur uuur
（2）結合（1）中結論得到BC ，DB，DE ，從而利用空間向量垂直的坐標表示證得BC ^ DB，
BC ^ DE ，由此利用線面垂直的判定定理證得BC ^平面BDE .
【詳解】（1）因為面 ADEF ^面 ABCD，面 ADEF I面 ABCD = AD ， AD ^ CD ，CD 面 ABCD，
所以CD ^面 ADEF ，又DE 面 ADEF ，所以CD ^ DE ，
又因為在正方形 ADEF 中， AD ^ DE ，所以 DA, DC, DE 兩兩垂直，
以 D 為原點， DA, DC, DE 分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D 0,0,0 ，B 2,2,0 ，C 0,4,0 ，E 0,0,2 ，
因為 M 為 EC 的中點，所以M 0,2,1 ，
uuuur uuur
故BM = -2,0,1 ，DC = 0,4,0 ，
uuuur uuur uuuur uuur
所以BM × DC = 0，故BM ^ DC 即BM ^ DC .
uuur uuur uuur
（2）由（1）得BC = -2,2,0 ，DB = 2,2,0 ，DE = 0,0,2 ，
uuur uuur uuur uuur
所以 BC × DB = -4 + 4 = 0 ，則BC ^ DB即BC ^ DB，
uuur uuur uuur uuur
又 BC × DE = 0 ，故BC ^ DE 即BC ^ DE ，
又DE DB = D ，DE, DB 平面BDE ，
所以BC ^平面BDE .
7-4．（2024 高三上·湖南長沙·階段練習）如圖，在棱長為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E, F 分別為棱
uuur uuuur
B1C1 ，BB1的中點，G 為面對角線 A1D上的一點，且DG = lDA1(0 l 1) ,若 A1C ^平面EFG ，則l = （ ）
1 1
A 2
1
． B． C4 ． D．3 4 2
【答案】A
【分析】建立以D為坐標原點，DA為 x 軸，DC 為 y 軸，DD1為 z 軸的空間直角坐標系，則有
uuur uuuur uuur uuur
A1C = (-2,2, -2), DA1 = (2,0, 2)，EG = (2l -1, -2, 2l - 2), FG = (2l - 2, -2,2l -1) ,由 A1C ^平面EFG ,可得
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A1C ^ EG, A1C ^ FG ,從而有 A1C × EG = 0, A1C × FG = 0 ,代入計算即可得答案.
【詳解】解：以D為坐標原點，DA為 x 軸，DC 為 y 軸，DD1為 z 軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
則D(0,0,0),C(0, 2,0), A1(2,0, 2), E(1, 2, 2), F (2, 2,1) ,
uuur uuuur uuur
所以 A1C = (-2,2, -2), DA1 = (2,0, 2), EF = (1,0, -1)，
uuur uuuur
由DG = lDA1(0 l 1) ,可得G 2l,0, 2l ，
uuur uuur
所以EG = (2l -1, -2, 2l - 2), FG = (2l - 2, -2,2l -1) ,
A1C ^平面EFG ,
uuur uuur uuur uuur
所以 A1C ^ EG, A1C ^ FG ,
uuur uuur uuur uuur
所以 A1C × EG = 0, A1C × FG = 0 ,
ì-2(2l -1) + 2 (-2) + (-2) (2l - 2) = 0
即 í
-2(2
，
l - 2) + 2 (-2) + (-2) (2l -1) = 0
l 1解得 = ，
4
當G 為線段 A1D上靠近D的四等分點時， A1C ^平面EFG .
故選: A .
7-5．（2024·天津河東·模擬預測）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，正方形 ABCD的邊長為
2，E 是PA的中點．
(1)求證：PC / /平面BDE ．
(2)若PA = 2 ，線段PC 上是否存在一點F ，使 AF ^平面BDE ？若存在，求出PF 的長度；若不存在，請說
明理由．
【答案】(1)證明見解析
(2)存在，理由見解析.
【分析】（1）連結 AC 交BD于點O，可知OE / /PC .然后根據線面平行的判定定理，即可得出PC / /平面
BDE ；
uuur uuur
（2）先證明CD ^平面 ADP．以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，設PF = lPC ，
uuur r r uuur
求出點F 的坐標，然后得到 AF .求出平面BDE 的法向量 n，根據 n / / AF 得出l 的值，根據數乘向量的模，
即可得出答案.
【詳解】（1）
如圖 1，連結 AC 交BD于點O .
因為 ABCD是正方形，所以O是 AC 的中點，
又E 是PA的中點，所以OE / /PC .
因為OE 平面BDE ，PC 平面BDE ，
所以PC / /平面BDE .
（2）存在，理由如下：
因為PA ^平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以PA ^ CD ．
因為 ABCD為正方形，所以CD ^ DA．
又PA DA = A，PA 平面 ADP，DA 平面 ADP，
所以CD ^平面 ADP．
以點D為坐標原點，過點D作PA的平行線為 x 軸，分別以DA, DC 為 y, z 軸，
建立空間直角坐標系D - xyz ，如圖 2，
則 A 0,2,0 ，B 0,2,2 ，C 0,0,2 ，D 0,0,0 ，P 2,2,0 ，E 1,2,0 ，
uuur
所以PC = -2, -2,2 .
uuur uuur
令PF = lPC 0 l 1 ，
uuur uuur uuur
則DF = DP + lPC = 2,2,0 + -2l,-2l, 2l = -2l + 2, -2l + 2,2l ,
uuur
所以F -2l + 2, -2l + 2,2l ，所以 AF = -2l + 2, -2l, 2l .
uuur uuur
因為DB = 0,2,2 ，DE = 1, 2,0 ，
r
設 n = x, y, z 是平面BDE 的一個法向量，
uuur
ìnr × DB = 0 ì2y + 2z = 0
則 í r uuur ，所以 í ，
n × DE = 0 x + 2y = 0
r
取 y = -1，則 n = 2, -1,1 是平面BDE 的一個法向量.
r uuur
因為 AF ^平面BDE ，所以 n / / AF ，
2 - 2l -2l 1 uuur 1 uuur
所以有 = ，解得l = ，所以PF = PC .
-2 1 3 3
uuur
因為 PC = -2 2 + -2 2 + 22 = 2 3 ，
uuur 1 uuurPF PF PC 2 3所以 = = = .
3 3
7-6．（2024 高二下·四川達州·階段練習）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，四邊形 ABCD為平行四邊形, M
為 AA1的中點，BC = BD =1, AB = AA1 = 2 .
(1)求證: MD ^ 面BC1D；
(2)求三棱錐 M - BC1D的體積.
【答案】(1)證明見解析；
(2)三棱錐 M - BC 21D的體積為 .
4
【分析】（1）方法一：建立空間直角坐標系，利用向量方法證明MD ^ DB ，MD ^ DC1 ，結合線面垂直判
定定理證明MD ^ 平面BC1D；
方法二：證明BD ^ MD和MD ^ BC1，再根據線面垂直判定定理證明MD ^ 平面BC1D；
（2）先求VBC1D 的面積和MD ，結合錐體體積公式可求三棱錐 M - BC1D的體積.
【詳解】（1）方法一：Q四邊形 ABCD為平行四邊形，
\ AD = BC = BD =1，又 AB = 2 ，
\ AD2 + BD2 = AB2 ，\ AD ^ BD ，又DD1 ^平面 ABCD，
uuur uuur uuuur
以D為坐標原點，DA, DB, DD1 為 x, y, z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系，

則D 0,0,0 ，M 1,0,
2
÷÷，B 0,1,0 ，C1 -1,1, 2 ，
è 2
uuuur 2 uuur uuuur
\MD = -1,0,- ÷÷，DB = 0,1,0 ，DC1 = -1,1, 22 ，è
uuuur uuur
ì MD × DB = 0\íuuuur uuuur ，即MD ^ DB ，MD ^ DC1 ，
MD × DC1 =1+ 0 -1 = 0
Q DB DC1 = D ，DB, DC1 平面BC1D，\DM ^平面BC1D .
方法二：因為 BC = BD = 1，CD = AB = 2 ，可得BC 2 + BD2 = CD2 ，
\ BD ^ BC ，
又Q AD//BC ，\ BD ^ AD .
又Q ABCD - A1B1C1D1是直四棱柱，
\ DD1 ^平面 ABCD，BD 平面 ABCD，\ DD1 ^ BD .
Q DD1 I AD = D ，DD1, AD 平面 ADD1A1，
\ BD ^平面 ADD1A1，MD 平面 ADD1A1，
\ BD ^ MD，
取BB1中點 N ，連接 NC, MN ，
QMN //DC 且MN =DC ，\MNCD 為平行四邊形，\MD//NC ，
Q NB BC = 2BC CC = ，
\VNBC ~VBCC1，
1 2
\ C1BC + BC1C = C
o
1BC + BCN = 90 ，\ BC1 ^ CN ，
又Q MD//NC ，\ MD ^ BC1，
又BC1 I BD = B，BC1, BD 平面BC1D，
\ MD ^ 平面BC1D；
（2）在VBCC1中，BC =1,CC1 = 2, BCC
o
1 = 90 ，
所以BC1 = 3，
在VDCC1 中，DC = 2,CC1 = 2, DCC
o
1 = 90 ，
所以DC1 = 2，
因為BD =1，DC1 = 2，BC1 = 3，
BD2所以 + BC 21 = DC
2
1 ，
所以VBC 1 31D 為直角三角形，其面積 SVBC D = BD BC = ，1 2 1 2
因為MD ^ 面BC1D，
所以三棱錐 M - BC1D的底面BC1D上的高為MD ，
MAD AD 1, AM 2在△ 中， = = , MAD = 90o ，
2
MD 6所以 = ，
2
V 1 S MD 1 6 3 2所以 M -BC1D = VBC = = .3 1D 3 2 2 4
2
所以三棱錐 M - BC1D的體積為 .
4
（八）
證明面面垂直
證明面面垂直的兩種方法：
(1)常規法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明．
(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直．向量法證明面面垂直的優越性主要體現在不必考慮圖形的
位置關系,恰當建系或用基向量表示后,只需經過向量運算就可得到要證明的結果,思路方法“公式化”,降低了
思維難度.
題型 8：利用向量證明面面垂直
8-1．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，已知平面四邊形 ABCP 中，D 為 PA 的中點，PA ^ AB，CD / / AB，
且 PA＝CD＝2AB＝4．將此平面四邊形 ABCP 沿 CD 折成直二面角P - DC - B ，連接 PA、PB，設 PB 中點
為 E．
(1)證明：平面 PBD ^平面 PBC；
(2)在線段 BD 上是否存在一點 F，使得 EF ^平面 PBC？若存在，請確定點 F 的位置；若不存在，請說明理
由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)這樣的點 F 存在，為線段 BD 上靠近點 D 的一個四等分點
【分析】（1）利用面面垂直的性質可得 PD ^平面 ABCD，可得 PD ^ BC，通過題意得數據可得到 BD ^ BC，
再利用線面垂直的判定定理可得到 BC ^平面 PBD，再用面面垂直的判定定理即可得證；
（2）假設 F 存在，建立空間直角坐標系，利用點 F 在線段 BD 上求得F 2l，2l，0 ，再求平面 PBC 的法向
r uuur r
量 n = 1,1,2 ，利用 EF ^平面 PBC 可得EF //n即可求得答案
【詳解】（1）易得PD ^ DC, AD ^ DC ，
所以直二面角P - DC - B 的平面角為∠PDA＝90°，
因為PD ^ DC,平面PDC ^ 平面 ABCD，平面PDC I 平面 ABCD = CD，DC 平面PDC ，
所以 PD ^平面 ABCD，因為BC 平面 ABCD，所以 PD ^ BC，
又在平面四邊形 ABCP 中，由已知數據可得BD = 22 + 22 = 2 2 ，BC = 22 + 22 = 2 2 ，且
BD2 + BC 2 = CD2，
所以 BD ^ BC，而 PD BD＝D，PD，BD 平面 PBD，
故 BC ^平面 PBD，
因為 BC 平面 PBC，所以平面 PBD ^平面 PBC；
（2）假設線段 BD 上存在一點 F，使得 EF ^平面 PBC，
則由（1）的分析易知，PD ^ DA，PD ^ DC，DC ^ DA，則以 D 為原點建立空間直角坐標系如圖所示．
所以 A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，則 PB 的中點 E(1，1，1)，
uuur uuur
因為點 F 在線段 BD 上，所以DF = lDB 0 l 1 ，所以F 2l，2l，0 ，
uuur
則EF = 2l -1，2l -1，-1 ，
uuur uuur r
又PB =（2，2，- 2），PC =（0，4，- 2），設平面 PBC 的法向量為 n = x, y, z ，
uuur r
ì PB ×n = 2x + 2y - 2z = 0 r
所以 íuuur r 令 z = 2,則 y =1, x =1，所以 n = 1,1,2 ，
PC ×n = 4y - 2z = 0
uuur r 2l -1 -1 1
因為 EF ^平面 PBC，所以EF //n，所以 = ，解得l = ，1 2 4
所以線段 BD 上存在一點 F，使得 EF ^平面 PBC，且為線段 BD 上靠近點 D 的一個四等分點
8-2．（2024 高二上·安徽安慶·階段練習）如圖 1，在邊長為 2 的菱形 ABCD中， BAD = 60o , DE ^ AB 于點
E ，將△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1D ^ BE ，如圖 2．
(1)求證： A1E ^平面BCDE ；
BP
(2)在線段BD上是否存在點 P ，使平面 A1EP ^平面 A1BD ？若存在，求 的值；若不存在，說明理由．BD
【答案】(1)證明見解析
BP 1
(2)存在 ， =
BD 4
【分析】（1）根據線面垂直先證得 A1E ^ BE ，再結合 A1E ^ ED可證得結論；
uuur uuur
（2）設BP=lBD 0 l 1 ，根據平面 A1EP 與平面 A1BD 的法向量垂直建立等量關系求得l 即可．
【詳解】（1）證明：QDE ^ AB ，
\ BE ^ DE ，
又QBE ^ A1D,DE A1D=D,DE 平面 A1DE, A1D 平面 A1DE ，
所以BE ^平面 A1DE ，
Q A1E 平面 A1DE ，
\ A1E ^ BE ，
又Q A1E ^ DE,BE DE=E,BE 平面BCDE, DE 平面BCDE ，
\ A1E ^ 平面BCDE ；
（2）解：存在，理由如下：
Q A1E ^ 平面BCDE, BE ^ DE ，
∴ 以E 為原點，分別以EB, ED, EA1所在直線為 x,y,z 軸，建立空間直角坐標系，
則B 1,0,0 , D 0, 3,0 , A1 0,0,1 ，
假設在線段BD上存在一點 P ，使得平面 A1EP ^平面 A1BD ，
uuur uuur
設P x, y, z , BP = lBD 0 l 1 ，
則 x -1, y, z = l -1, 3,0 ，
\ P 1- l, 3l,0 ，
uuur uuur
\ EA1= 0,0,1 ,EP= 1- l, 3l,0 ，
設平面 A1EP
r
的法向量m = x1, y1, z1 ，
r uuurì m× EA1=z1=0
由 í
mr
uuur ，
× EP=(1- l)x1+ 3l y1=0
ì z1=0
得 í ，
(1- l)x1=- 3l y1
令 x1 = 3l ，
mr得 = 3l,l -1,0 ．
r
設平面 A1BD 的法向量為 n = x2 , y2 , z2 ，
uuur uuuur
A1B = 1,0,-1 , A1D = 0, 3,-1 ，
r
ìn × A1B=x2 - z2 =0
故 í r uuuur ，
n × A1D= 3y2 - z2 =0
取 x2 = 3 ，
r
得 n = 3,1, 3 ．
因為平面 A1EP ^平面 A1BD ，
mr nr所以 × = 3l + l -1 = 0，
l 1解得 = 0,1 ，
4
所以在線段BD上存在點 P ，使得平面 A1EP ^ A BD
BP 1
平面 1 ，且 = ．BD 4
8-3．（2024 高二上·安徽）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD， AD ^ AB， AB / /DC ，
AD = DC = AP = 2， AB =1，點E 為棱PC 的中點．證明：
(1) BE / /平面PAD ；
(2)平面PCD ^平面PAD ．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
uuur
【分析】（1）首先以點A 為原點建立空間直角坐標系，首先判斷平面PAD 的法向量，利用向量 BE 與法向量
的關系，即可證明；（2）首先求平面 PCD的法向量，利用兩個平面的法向量垂直，即可證明.
【詳解】（1）因為 PA⊥平面 ABCD，且 AB 平面 ABCD，所以 AB⊥PA，
又因為 AB⊥AD，且 PA∩AD＝A，PA， AD 平面 PAD，所以 AB⊥平面 PAD，
依題意，以點 A 為原點，以 AB，AD，AP 分別為 x，y，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則 B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
uuur
由 E 為棱 PC 的中點，得 E（1，1，1），則BE = 0,1,1 ，
uuur
所以 AB = 1,0,0 為平面 PAD 的一個法向量，
uuur uuur
又BE × AB = 0,1,1 × 1,0,0 = 0，所以 BE⊥AB，
又BE 平面 PAD，所以 BE∥平面 PAD．
uuur uuur uuur
（2）由（1）知平面 PAD 的法向量 AB = 1,0,0 ，PD = 0,2,-2 ，DC = 2,0,0 ，
r
設平面 PCD 的一個法向量為 n = x, y, z ，
r uuurì n × PD = 0 ì2y - 2z = 0 r
則 í r uuur ，即 í 1 1 n = 0,1,1
n × DC = 0 2x 0
，令 y＝ ，可得 z＝ ，所以 ，
=
r uuur
又 n × AB = 0,1,1 × 1,0,0 = 0，
r uuur
所以 n ^ AB，所以平面 PAD⊥平面 PCD．
8-4．（2024 高二·全國·專題練習）如圖所示，VABC 是一個正三角形，EC ^平面 ABC ，BD ∥ CE，且
CE = CA = 2BD， M 是 EA 的中點．求證：平面DEA ^平面ECA .
【答案】證明見解析
【分析】以C 為原點，CB,CE 所在的直線分別為 y, z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系 C－xyz，分別求平
面 DEA、平面ECA的法向量，利用空間向量證明面面垂直.
【詳解】
因為EC ^平面 ABC ，CB 平面 ABC ，所以EC ^ CB ，
所以以C 為原點，CB,CE 所在的直線分別為 y, z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系 C－xyz，
不妨設CA = 2，因為CE = CA = 2BD，所以CE = 2, BD =1，
則C(0,0,0), A( 3,1,0), B(0, 2,0), E(0,0, 2), D(0, 2,1) ，
uuur uuur uuur
所以EA = ( 3,1, -2),CE = (0,0, 2), ED = (0, 2,-1)，
ur
設平面ECA的一個法向量是m = (x, y, z)，
r uuurì m × EA = 3x + y - 2z = 0 ur
則 í r uuur ，令 x =1，則m = (1, - 3,0)，
m ×CE = 2z = 0
r
設平面 DEA的一個法向量是 n = (a,b,c) ，
uuur
ìn
r
× EA = 3a + b - 2c = 0 r
則 í r uuur ，令 a = 3，則 n = ( 3,1, 2)，
n × DE = 2b - c = 0
ur r
因為m × n =1 3 + (- 3) +0 2 = 0，
ur r
所以m ^ n，
所以平面DEA ^平面ECA .
一、單選題
1．（2024 高二上·北京石景山·期末）如圖，在三棱錐P - ABC 中，PA ^平面 ABC ，
r
AB ^ AC, AB = AC = 1, PA = 2 ，以 A 為原點建立空間直角坐標系，如圖所示， n為平面 PBC 的一個法向量，
r
則 n的坐標可能是（ ）
1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 1 , 1 A． - - ÷ B． - - ÷ C． ÷ D． ÷
è 2 2 4 è 2 2 4 è 2 4 2 è 2 2 4
【答案】D
uuur uuur
【分析】先求出BC = 1, -1,0 , PC = 1,0,-2 ，根據法向量求解公式列方程即可求解．
uuur uuur
【詳解】依題意得，B 0,1,0 ,C 1,0,0 , P 0,0,2 ，則BC = 1, -1,0 , PC = 1,0,-2
r
設 n = x, y, z ，則
uuur
ì n
r
× BC = x - y = 0 1 1 1 rn 1 1 1uuur x = y = , z = = , , í r ，取 則 ，所以 ÷
n × PC = x - 2z = 0 2 2 4 è 2 2 4
故選：D
r uuur r
2．（2024 高二下·山西呂梁·開學考試）已知點P0 -1,2,3 在平面a 內，平面a = P∣n × P0P = 0 ，其中 n = 1, -1,1
是平面a 的一個法向量，則下列各點在平面a 內的是（ ）
A． 2, -4,8 B． 3,8,5 C． -2,3,4 D． 3, -4,1
【答案】B
【分析】由法向量的定義結合數量積運算確定 y = x+ z，再判斷選項.
uuur
【詳解】設P x, y, z 是平面a 內的一點，則P0P = x +1, y - 2, z - 3 ，
所以 x +1 - y - 2 + z - 3 = 0，即 y = x+ z，選項B滿足．
故選：B
r r
3．（2024 高二下·江蘇常州·期中）設向量 a = 3,-2,-1 是直線 l 的方向向量， n = -1,-2,1 是平面 α 的法向
量，則（ ）
A． l ^ a B． l / /a 或 l a C． l / /a D． l a
【答案】B
r r r r
【分析】由 a × n = 0，得 a ^ n ，所以 l / /a 或 l a
r r r r
【詳解】 a = 3,-2,-1 ， n = -1,-2,1 ， a × n = 3 -1 + -2 -2 + -1 1 = 0，
r r
則有 a ^ n ，
r r
又a 是直線 l 的方向向量， n是平面 α 的法向量，所以 l / /a 或 l a .
故選：B
4（．2024 高二下·福建龍巖·期中）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑 A - BCD
中，AB ^平面BCD， BDC=90° ，BD = AB = CD .若建立如圖所示的“空間直角坐標系，則平面 ACD的一
個法向量為（ ）
A． 0,1,0 B． 0,1,1 C． 1,1,1 D． 1,1,0
【答案】B
uuur uuur
【分析】根據題意，設 BD = AB = CD = 1，可得A 、C 、D的坐標，由此可得向量DC 、 AD 的坐標，由此可
得關于 x 、 y 、 z 的方程組，利用特殊值求出 x 、 y 、 z 的值，即可得答案．
【詳解】根據題意，設 BD = AB = CD = 1，則D 0,1,0 ，C 1,1,0 ， A 0,0,1 ，
uuur uuur
則DC = 1,0,0 ， AD = 0,1, -1 ，
r
設平面 ACD的一個法向量為m = x, y, z ，
uuur
ì DC
r
× m = x = 0
y 1 mr則有 íuuur r ，令 = ，可得 z =1，則 = 0,1,1 .
AD × m = y - z = 0
故選：B．
r r
5．（2024 高二下·四川綿陽·期中）設u = 2,0,-1 是平面a 的一個法向量，a = 1,0,2 是直線 l 的一個方向向
量，則直線 l 與平面a 的位置關系是（ ）
A．平行或直線在平面內 B．不能確定 C．相交但不垂直 D．垂直
【答案】A
【分析】判斷兩個向量的位置關系即可得解.
r r r r
【詳解】因為u ×a = 2 + 0 - 2 = 0，所以u ^ a ，
所以直線 l 與平面a 的位置關系是平行或直線在平面內.
故選：A.
6．（2024 高二下·江蘇連云港·期中）已知直線 l∥a ，且 l 的方向向量為 (2,m,1)，平面a 的法向量為

1,
1 ,2
2 ÷
，則m =（ ）
è
A．1 B．-1 C．-8 D．8
【答案】C
【分析】利用直線與平面平行的方向向量與平面法向量的關系及向量共線定理即可求解.
r r 1
【詳解】設直線的方向向量為 a = (2,m,1) ，平面a 的法向量為 n = 1, , 2÷，
è 2
r r 1
由 l∥a ，可得 a × n = 0，即 2 1+ m +1 2 = 0，解得m = -8 .2
故選：C.
7．（2024 高一下·浙江杭州·期中）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點 P 為線段D1B上的動點，M，N 分別為
D P
棱BC, AB 1的中點，若DP / /平面B1MN ，則 =D B （ ）1
1 1 1 1
A． B． C D
5 4
． ．
2 3
【答案】A
uuur
【分析】由題意建立空間直角坐標系，利用空間向量的運算，求解法向量即可由 DP nr× = 0 ，解得l 的值，即
D1P
可得解 D B 的值．或者，根據線面平行的性質可得線線平行，根據相似即可求解.1
【詳解】方法 1：如圖所示，建立空間直角坐標系，設正方體 ABCD - A1B1C1D1邊長為 2，
可得D(0,0,0) ，D1(0,0,2)，B(2, 2,0) ，B1(2, 2, 2) ，M (1, 2,0) ， N (2,1,0)，
D1P
設 = l ， (0 l 1)D B ，1
uuuur uuuur uuur
可得 D1P = lD1B = (2l , 2l , -2l)，可得 P(2l , 2l , 2 - 2l)，可得 DP = (2l , 2l , 2 - 2l)，
uuuur uuuur
B1M = -1,0,-2 ,B1N = 0,-1,-2 ,
uuuur
r ìy B
r
1M × n = 0 ì-x - 2z = 0
設平面B1MN
r
法向量為 n = (x， ， z)，可得 íuuuur r ，可得 í ，令 x = -2，可得 n = (-2,-2,1)，
B1N ×n = 0 -y - 2z = 0
B MN uuur由于DP / /平面 1 ，則 DP r× n = 0 ，可得 -4l - 4l + 2 - 2l = 0 ，
D
l 1= 1
P 1
解得 ，即 =
5 D1B 5
．
1
方法 2：連接BD ,交MN 于點 H ,則BH = BD ,連接B
4 1
H ,延長 DP 交 B1D1于 G,
由于DP / /平面B1MN ，DP 平面DBB1D1 ,且平面DBB1D1 平面B1MN = B1H ,
所以DP / / B1H ,
1 2
設正方體的棱長為 1，則BH = BD = ,故直角三角形BHB1中，VBHQ :VD1B1Q BH : B1D1 = BQ : QD1 ,
4 4
所以BQ : QD1 =1：4，所以BQ : BD1 =1：5 ,
D P BQ 1
由DH / / GB1 ,DG / / B1H ,所以四邊形DHB1G
1
為平行四邊形，所以根據VDD1G @VB1BH ,故 = =D1B BD1 5
故選：A
r r
8．（2024 高二上·陜西）已知平面內的兩個向量a = (2，3，1)，b = (5，6，4)，則該平面的一個法向量為
（ ）
A．(1，－1，1) B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1) D．(－1，1，－1)
【答案】C
【分析】利用法向量的定義、求法進行計算.
r r r
【詳解】顯然a 與b 不平行，設該平面的一個法向量為 n＝(x，y，z)，
arì × n
r
= 0 ì 2x + 3y + z = 0
則有 í r ，即 í ，
b × n
r
= 0 5x + 6y + 4z = 0
r
令 z＝1，得 x＝－2，y＝1，所以 n＝(－2，1，1)，故 A，B，D 錯誤.
故選：C.
9．（2024 高二上·陜西咸陽·階段練習）如圖所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，側棱長為
3,CA π= CB = 4, ACB = ，點D，E 分別在 AA1, B1C1上，F 為 AB 的中點，若CD ^ FE ，則線段 AD 的長度2
為（ ）
3 2 8 9 12A． B． C． D．
2 3 4 5
【答案】B
【分析】建立空間直角坐標系，根據向量垂直的坐標運算即可求解,
π uuur uuur uuuur
【詳解】由于直三棱柱 ABC - A1B1C1，且 ACB = ，所以以C 為坐標原點，分別以CA,CB,CC 的方向為 x, y, z2 1
軸的正方向建立空間直角坐標系，
則C 0,0,0 ．由CA = CB = 4，可得 F 2, 2, 0 ．
uuur uuur
設E 0,b,3 , D 4,0,c ，則CD = 4,0,c , FE = -2,b - 2,3 .
uuur uuur
Q 8CD ^ FE ，\CD × FE = 0，即-8 + 3c = 0，解得 c = ．3
8
所以 AD =
3
故選：B
r uuur
10．（2024 高二下·江蘇宿遷·期中）已知平面 α 的一個法向量為 n = 1, -1,2 , AB = -1,1, - 2 ，則 AB 所在直線
l 與平面 α 的位置關系為（　　）.
A． l ^ a B． l a
C． l∥a D．l 與 α 相交但不垂直
【答案】A
uuur
【分析】由向量 AB 與平面法向量的關系判斷直線與平面的位置關系.
r uuur uuur uuur【詳解】因為 n = 1, -1,2 , AB = -1,1, - 2 r r，所以 n = -AB，即 AB / /n，所以 l ^ a .
故選：A
11．（2024 高二上·廣東·階段練習）《九章算術》是我國古代的數學名著，書中將底面為矩形，且有一條側棱
垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖，在陽馬P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，E，F
分別為 PD，PB 的中點，點 G 在線段 AP 上，AC 與 BD 交于點 O，PA = AB = 2，若OG / / 平面EFC ，則 AG =
（ ）
1 3 2
A． B． C． D．1
2 4 3
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】以A 為坐標原點，AB, AD, AP的方向分別為 x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示，根據
條件求得點G 的坐標，即可得到結果.
【詳解】
uuur uuur uuur
以A 為坐標原點， AB, AD, AP的方向分別為 x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標系如圖所示，
由題意可得P 0,0,2 , B 2,0,0 , D 0,2,0 ,C 2,2,0 ,O 1,1,0 ，
則F 1,0,1 , E 0,1,1 ，
uuur uur
所以FC = 1,2,-1 , FE = -1,1,0 ，
r
設平面EFC 的法向量為 n = x, y, z ，
ìnr
uuur
× FC = 0 ìx + 2y - z = 0 ìy = x
則 í r uuur í ，解得 í x =1 y =1, z = 3
n × FE = 0 -x + y = 0 z = 3x
，令 ，則
r
所以平面EFC 的一個法向量為 n = 1,1,3
r uuur
因為OG∥平面EFC ，則 n ×OG = 0
uuur
設G 0,0, a ，則OG = -1, -1,a ，所以-1-1+ 3a = 0
a 2 解得 = ，所以G 0,0,
2 2
3 3 ÷
，即 AG =
è 3
故選:C.
12．（2024 高三下·北京海淀·開學考試）如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，F 為線段BC1的中點，E 為線
段 A1C1上的動點，下列四個結論中，正確的是（ ）
A．EF ∥平面 A1BCD1
B．存在點E ，使EF ^ 平面BB1C1C
C．存在點E ，使EF∥ A1C
D．DB1 ^ EF
【答案】D
【分析】當 E 與 A1重合時， EF 平面 A1BCD1 = A1，即可判斷 A；設正方體的棱長為 1，以點 D為坐標原點，
uuuur uuuur uuur
以 DA， DC ， DD1所在直線分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標系，設C1E = lC1A1(0 l 1)，可得 EF 坐標，
uuur uuur uuur uuur
由EF
1
× BB1 = - 0可知EF 與BB2 1
不垂直，即可判斷 B；若EF∥ A1C ，則EF = k A1C ，列方程組求解可判
uuuur uuur
斷 C；由DB1 × EF = 0可判斷 D.
【詳解】當E 與 A1重合時，又F 平面 A1BCD1 ，則EF 平面 A1BCD1 = A1，故 A 錯誤；
設正方體的棱長為 1，以點D為坐標原點，以DA，DC ，DD1所在直線分別為 x, y, z軸建立空間直角坐標系，
則D(0,0,0), B(1,1,0),C(0,1,0), A1(1,0,1), B1(1,1,1),C1(0,1,1), F
1 ,1, 1 ÷ ，
è 2 2
uuuur uuuur uuuur uuuur
設C1E = lC1A1(0 l 1)，又C1A1 = (1, -1,0)，∴ C1E = (l, -l,0)，
uuuur uuur uuuur uuuur uuur 1 1
DC (0,1,1) DE DC C E (l,1 l,1) E(l,1- l,1), EF = - l,l,- 1 = ，則 = 1 + 1 = - ，∴ ÷，è 2 2
uuur uuur uuur 1
∵ BB1 = (0,0,1)， EF × BB1 = - 0，∴ EF 與 BB2 1
不垂直，而 BB1 平面 BB1C1C ，則 EF 與平面 BB1C1C 不垂直，
故 B 錯誤；
ì1
- l = -k
uuur uuur uuur 2
A1C = (-1,1, -1)，若 EF∥ A1C ，則 EF = k A1C ，則 íl = k ，此方程無解，故不存在點 E ，使 EF∥ A1C ，

1- = -k
2
故 C 錯誤；
uuuur uuur 1 1 uuuur uuur
∵ DB1 = (1,1,1)，EF =
1 1
- l,l,- ÷，DB1 × EF = - l + l - = 0，∴ DB1 ^ EF ，故 D 正確．è 2 2 2 2
故選：D．
13．（2024 高二上·湖南婁底·期末）如圖， PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，E，F 分別為 PD，PB
的中點，點 G 在線段 AP 上，AC 與 BD 交于點 O，PA = AB = 2，若OG∥平面EFC ，則 AG = （ ）
1 3 2
A． B． C． D．1
2 4 3
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】如圖所示，以A 為坐標原點， AB, AD, AP 的方向分別為 x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標系，
r uuur
求得平面 EFC 的一個法向量為 n = (1,1,3)，設G(0,0,a) ，得OG = (-1, -1,a) ，根據OG// 平面 EFC，即可求
解.
【詳解】
uuur uuur uuur
如圖所示，以A 為坐標原點， AB, AD, AP 的方向分別為 x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標系，
由題意可得 P(0,0, 2), B(2,0,0) , D(0, 2,0),C(2, 2,0),O(1,1,0) ，
則F (1,0,1), E(0,1,1) ,
uuur uuur
所以FC = (1, 2,-1), FE = (-1,1,0) ，
r
設平面 EFC 的法向量為 n = (x, y, z)，
r uuurì n × FC = 0 ìx + 2y - z = 0 ìy = x
則 í r uuur í ，解得 í ， 令 x =1，則 y =1, z = 3，
n × FE = 0 -x + y = 0 z = 3x
r
所以平面 EFC 的一個法向量為 n = (1,1,3) .
uuur
因為OG// 平面 EFC r，則 n ×OG = 0，
uuur
設G(0,0,a) ，則OG = (-1, -1,a) ，所以-1-1+ 3a = 0，
a 2解得 = ，所以G
0,0, 2 2 ÷，即 AG = .3 è 3 3
故選：C
14．（2024 高三下·陜西安康·階段練習）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，M 是線段C1D1（不含端點）上的動點，
N 為 BC 的中點，則（ ）
A．BD ^ AM B．平面 A1BD ^平面 AD1M
C．MN // 平面 A1BD D．CM // 平面 A1BD
【答案】B
【分析】由面面垂直的判定定理判斷 B，建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法證明面面、線面的
位置關系判斷 ACD．
【詳解】因為 A1D ^ AD1， A1D ^ C1D1， AD1 I C1D1 = D1 ， AD1,C1D1 平面 AD1M ，所以 A1D ^平面 AD1M ，
又 A1D 平面 A1BD ，所以平面 A1BD ^平面 AD1M ，故 B 正確；
以點 D 為原點，分別以 DA，DC，DD1所在直線為 x 軸、y 軸、z 軸建立空間直角坐標系.設 AB = 2 ，則
B 2,2,0 ， A1 2,0,2 ， A 2,0,0 ，C 0,2,0 ， N 1,2,0 .
uuur uuuur
設M 0, y, 2 0 < y < 2 r，則DB = 2,2,0 ，DA1 = 2,0,2 .設平面 A1BD 的法向量為m = x1, y1, z1 ，
r uuuurì m × DAuuur1
= 2x1 + 2z1 = 0, r
則有 í r 可取 x1 =1，得m = 1,-1,-1 .
m × DB = 2x1 + 2y1 = 0,
uuuur
又 AM = -2, y, 2 ，
uuur uuuur
則DB × AM = 2,2,0 × -2, y, 2 = 2y - 4 0，故 A 不正確；
uuuur r uuuur
因為CM = 0, y - 2,2 ，所以m ×CM = 1,-1,-1 × 0, y - 2,2 = -y 0 ，故 D 不正確；
uuuur r uuuur
因為MN = 1,2 - y,-2 ，所以m × MN = 1, -1, -1 × 1,2 - y,-2 =1+ y 0，故 C 不正確．
故選：B．
二、多選題
15．（2024 高二下·江蘇鹽城·期中）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關系的結論中正確的是
（ ）
r r
A．若兩條不重合直線 l1， l2的方向向量分別是 a = 2,3,-1 ，b = -2, -3,1 ，則 l1 //l2
r ur
B．若直線 l的方向向量 a = 0,3,0 ，平面a 的法向量是m = 0, -5,0 ，則 l //a
ur uur
C．若兩個不同平面a ， b 的法向量分別為 n1 = 2,-1,0 ， n2 = -4,2,0 ，則a //b
ur
D．若平面a 經過三點 A 1,0,-1 ，B 0,1,0 ，C -1,2,0 ，向量 n1 = 1,u, t 是平面a 的法向量，則
u + t =1
【答案】ACD
r ur ur uur
【分析】利用空間向量共線定理判斷 A 即可；由 a, m 的關系式即可判斷 B；由 n1,n2 的關系即可判斷選項 C,
利用平面內法向量的性質即可判斷 D.
r r
【詳解】因為兩條不重合直線 l1， l2的方向向量分別是 a = 2,3,-1 ，b = -2, -3,1 ，
r r r r
所以a = -b，所以 a,b共線，又直線 l1， l2不重合，
所以 l1 //l2，故 A 正確；
r ur
因為直線 l的方向向量 a = 0,3,0 ，平面a 的法向量是m = 0, -5,0
ur
m 5
r
且 = - a，所以 l ^ a ，故 B 不正確；
3
ur uur
兩個不同平面a ， b 的法向量分別為 n1 = 2,-1,0 ， n2 = -4,2,0 ，
uur ur
則有 n2 = -2n1 ，所以a //b ，故 C 正確；
平面a 經過三點 A 1,0,-1 ，B 0,1,0 ，C -1,2,0 ，
uuur uuur
所以 AB = -1,1,1 , BC = -1,1,0 ,
ur
又向量 n1 = 1,u, t 是平面a 的法向量，
uuur ur uuur ur
ìAB ^ n ìAB × n = 0 ì-1+ u + t = 0
所以 íuuur ur1

íuuur 1ur í
BC ^ n BC ^ n = 0 -1+ u = 01 1
則u + t =1，故 D 正確，
故選：ACD.
16．（2024·江蘇連云港·模擬預測）如圖，矩形BDEF 所在平面與正方形 ABCD所在平面互相垂直，
AD=DE=4，G 為線段 AE 上的動點，則（ ）
A． AE ^ CF
B．若G 為線段 AE 的中點，則GB // 平面CEF
C．點 B 到平面 CEF 4 3的距離為
3
D．BG2 + CG2的最小值為 48
【答案】ABC
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量的數量積的運算性質、平面的法向量進行求解判斷即可.
【詳解】因為BDEF 是矩形，所以DE ^ DB ，
又因為矩形BDEF 所在平面與正方形 ABCD所在平面互相垂直，矩形BDEF 所在平面與正方形 ABCD相交
于BD，
所以DE ^平面 ABCD，而 AD, DC 平面 ABCD，
所以DE ^ AD, DC ^ DE ，而 ABCD是正方形，所以 AD ^ DC ，因此建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則有 A(4,0,0), B(4, 4,0),C(0, 4,0), E(0,0, 4), F (4, 4, 4)，
uuur uuur
因為 AE = (-4,0,4),CF = (4,0, 4) ，
uuur uuur uuur uuur
所以有 AE ×CF = -16 +16 = 0 AE ^ CF ，因此選項 A 正確；
uuur uuur
當G 為線段 AE 的中點時，G(2,0,2)，GB = (2, 4, -2)，CE = (0, -4,4) ，
ur
設平面CEF 的法向量為m = (x, y, z)，
v uuuv v uuuvìm ^ C ìuuFuv m ×CuuFuv = 0 ì
-4y + 4z = 0
于是有 í v í v í m
v = (1, -1, -1)
m ^ CF m ×CF = 0 4x + 4z 0
，
=
uuur ur
因為GB × m = 2 1+ 4 (-1) + (-2) (-1) = 0,GB 平面CEF ，
所以選項 B 正確；
uuur ur
uuur ur
CB × m 4 3
CB = (4,0,0) ， cosáCB, m = uuur ur = =CB × m 4 1+1+1 3 ，
uuur uuur ur
B CEF CB cos CB,m 4 3 4 3所以點 到平面 的距離為 × á = = ，因此選項 C 正確；
3 3
設G = (x1, y1, z1) ， (x1 - 4, y1, z1) = l(-4,0,4)(l [0,1]) G(4 - 4l,0, 4l)，
BG2 + CG2 =16l 2 +16 +16l 2 +16 -16l +16l 2 +16 +16l 2 = (8l -1)2 + 47 ，
l 1當 = 時，BG2 + CG2有最小值 47，因此本選項不正確，8
故選：ABC
ur
17．（2024 高二上·廣東深圳·期末）已知直線 l的方向向量為m ，兩個不重合的平面a ， b 的法向量分別為
ur uur
n1 ， n2 ，則（ ）
ur uur ur uur
A．若 m / /n1 ，則 l ^ a B．若 m × n1 = 0，則 l / /a
ur uur ur uur
C．若 n1 / /n2 ，則a / /b D．若 n1 ×n2 = 0，則a ^ b
【答案】ACD
【分析】對于 A：利用法向量的定義直接判斷；對于 B：判斷出 l / /a 或 l在面a 內；對于 C：由垂直于同一
直線的兩平面平行即可判斷；對于 D：由面面垂直的判定定理判斷.
ur uur ur ur
【詳解】對于 A：因為 m / /n1 ，n1 為平面a 的法向量，所以m 為平面a 的一個法向量，所以 l ^ a .故 A 正確；
ur ur ur uur
對于 B：因為 n 為平面a1 的法向量，直線 l的方向向量為m ，且 m × n1 = 0，所以 l / /a 或 l在面a 內.故 B 錯誤；
ur uur ur uur
對于 C：因為兩個不重合的平面a ， b 的法向量分別為 n1 ， n2 ，且 n1 / /n2 ，由垂直于同一直線的兩平面平
行可知：a / /b .故 C 正確；
ur uur ur uur
對于 D：因為 n1 ×n2 = 0，所以 n1 ^ n2 .
ur uur
又因為兩個不重合的平面a ， b 的法向量分別為 n1 ， n2 ，
所以由面面垂直的判定定理可得：a ^ b .故 D 正確.
故選：ACD
18．（2024 高二下·江蘇常州·階段練習）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，側棱 AA1 ^ 底面 A1B1C1，
BAC = 90°， AB = AC = AA1 = 1，D是棱CC1的中點， P 是 AD 的延長線與 A1C1的延長線的交點.若點Q在
直線B1P 上，則下列結論錯誤的是( )
A．當Q為線段B1P 的中點時，DQ ^平面 A1BD
B．當Q為線段B1P 的三等分點時，DQ ^平面 A1BD
C．在線段B1P 的延長線上，存在一點Q，使得DQ ^平面 A1BD
D．不存在點Q，使DQ 與平面 A1BD 垂直
【答案】ABC
r uuur uuur
【分析】通過建立空間直角坐標系，求出平面 A1BD 的一個法向量 n = (2,1,-2)，設B1Q = lB1P，表示出向量
uuur uuur 1
DQ nr，再利用 / /DQ ，建立關系式1- l -1+ 2l - 1= = 2 = ，從而判斷出l 無解，即不存在這樣的點Q，
2 1 -2 4
進而判斷出選項 ABC 不正確，選項 D 正確.
【詳解】如圖，以 A1為坐標原點，A1B ，AC y1 1 1，A1A所在直線分別為 x 軸、 軸、z 軸建立空間直角坐標系，
易知， A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1) D
0,1, 1 ， ÷，P(0,2,0)，
è 2
uuur uuuur
A B (1,0,1) A D = 0,1,
1 uuur uuuur 1
所以 1 = ， 1 ÷ ，B1P = (-1,2,0)

，DB1 = 1,-1,-

÷ .
è 2 è 2
r
設平面 A1BD 的一個法向量為 n = (x, y, z)，
r uuuvìn × A1B = x + z = 0
則 í r uuuuvn A 1
，取 z = -2，則 x = 2， y =1，
× 1D = y + z = 0 2
r
所以平面 A1BD 的一個法向量為 n = (2,1,-2) .
uuur uuur
假設DQ ^平面 A1BD ，且B1Q = lB1P = l(-1,2,0) = (-l,2l,0)，
uuur uuuur uuur 1
則DQ = DB1 + B

1Q = 1- l,-1+ 2l,-

÷ .
è 2
uuur
因為DQ 也是平面 A1BD 的法向量，
uuur
所以 n
r
= (2,1,-2) 1 與DQ = 1- l,-1+ 2l,- ÷ 共線，
è 2
1
所以1- l -1+ 2l - 1= = 2 = 成立，
2 1 -2 4
但此方程關于l 無解，因此不存在點Q，使DQ 與平面 A1BD 垂直，所以選項 ABC 不正確，選項 D 正確.
故選：ABC.
19．（2024 高二下·福建寧德·期中）如圖，在棱長為 1 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，M 為 B1C1 邊的中點，點
P 在底面 ABCD 內運動（包括邊界），則下列說法正確的有（ ）
A．存在點 P ，使得D1P ^ AD1
B．過三點A 、M 、D1的正方體 ABCD - A1B1C1D
9
1的截面面積為 8
π
C．四面體 A1C1BD 的內切球的表面積為 3
D．點 N 在棱BB1上，且B1N = 4NB，若D1P ^ NP ，則滿足條件的 P 的軌跡是圓
【答案】BC
uuuur uuuur
【分析】以 D 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由D1P × AD1 = 0可判斷 A；過三點A 、M 、D1
的正方體 ABCD - A1B1C1D1的截面為以MQ, AD1為底的等腰梯形，求出截面面積可判斷 B；設四面體 A1C1BD
的側面積為S ，其內切球的半徑為 r ，球心為O，由VA C = 4V ,
1 Sh = 4 1 Sr r
1 1BD O- A1C1B 即 ，求出 可判斷 C；由3 3
1 2
分析可得， P 的軌跡是 (x - ) + (y
1
- )2 3= 被四邊形 ABCD截得的 4 段圓弧，求解可判斷 D.
2 2 10
【詳解】對于 A，以 D 為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
uuuur uuuur
設P x, y,0 ，則D1 0,0,1 ， A 1,0,0 ，D1P = x, y,-1 ， AD1 = -1,0,1 ；
uuuur uuuur
若D1P ^ AD1，則D1P × AD1 = 0，即 x=-1，與題意矛盾，所以 A 錯誤；
對于 B，取BB1中點Q，連接D1M , MQ, AQ，因為D1A / /MQ ，
所以可得A 、M 、D1、Q四點共面，
所以過三點A 、M 、D1的正方體 ABCD - A1B1C1D1的截面為以MQ, AD1為底的等腰梯形，
AD1 = 2, MQ
2
= , D1M
5
= D 21C1 + C
2
1M = ，2 2
過點Q作QH ^ D A AD，所以 AH = 1 - MQ 21 = ，
2 4
2 2

所以梯形的高為QH 5 2 3 2= ÷÷ - ÷÷ = ，
è 2 è 4 4

S 1 2

所以， = + 2
3 2 9
= ，故 B 正確；
2 è 2 ÷
÷
4 8
對于 C，如下圖知：四面體 A1C1BD 的體積為正方體體積減去四個三棱錐的體積，
可知四面體 A1C1BD 是棱長為 2 的正四面體，
取△A1DC1 的外心O1，連接BO1，則BO1 ^平面 A1DC1，
2
2AO 2
2
AO 6 6 2 3則 1 1 = ，則 1 1 = ，所以BO1 = 2 -sin 60 3 ° 3 ÷÷ = ，è 3
2 3
所以四面體 A1C1BD 的高BO1 = h = ，3
設四面體 A1C1BD 的側面積為S ，其內切球的半徑為 r ，球心為O，
QV 1 1A1C1BD = 4VO- A C ,\ Sh = 4 Sr ，1 1B 3 3
r h 3即 = = ， S 4p r 2
p
= = ，所以 C 正確；
4 6 3
1 uuur 1 uuuur uuur
對于 D， N 1,1, ÷， NP = x -1, y -1,- ÷ ，∵ D1P ^ NP ，∴ D1P × NP = 05 ，è è 5
2 2
即 x x -1 + y y -1 1+ = 0 x 1 y 1 3，可得軌跡為圓： - ÷ + -
= ，
5 è 2 ÷ è 2 10
1 1 30 1 1
所以，圓心 ,2 2 ÷
， r = > AB = ，又 x, y 0,1 ，
è 10 2 2
(x 1 2 1 2 3所以，軌跡為圓： - ) + (y - ) = 被四邊形 ABCD截得的 4 段圓弧，
2 2 10
所以 D 錯誤；
故選：BC.
20．（2024 高三上·福建福州·開學考試）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 為 AA1中點，若直線EF / /平面
A1BC1，則點 F 的位置可能是（ ）
A．線段CC1中點 B．線段BC 中點 C．線段CD中點 D．線段C1D1中點
【答案】ABD
【分析】建立空間坐標系，求出平面 A1BC1的法向量，由線面平行的向量求法依次判斷選項即可.
【詳解】
如圖，以D為原點，DA, DC, DD1所在直線為 x, y, z軸建立空間直角坐標系，設CC1, BC,CD,C1D1 的中點分別為
M , N , P,Q，
不妨設棱長為 2，則 A1 2,0,2 , B 2,2,0 ,C1 0,2,2 , E 2,0,1 , M 0,2,1 , N 1,2,0 , P 0,1,0 ,Q 0,1,2 ，
uuur uuuur r v uuuvì
A1B = 0,2,-2 , A1C1 = -2,2,0 ，設平面 A1BC1的法向量 n = x, y, z
n × uAu1uBuv= 2y - 2z = 0，則 í ，
n
v × A1C1 = -2x + 2y = 0
r uuuur uuur uuur uuur
令 y =1，則 n = 1,1,1 ，又EM = -2,2,0 , EN = -1,2, -1 , EP = -2,1, -1 , EQ = -2,1,1 ，
uuuur r uuur r
則EM × n = -2 1+ 2 1 = 0, EN ×n = -1 1+ 2 1-1 1 = 0，
uuur r uuur r
EP ×n = -2 1+1 1-1 1 = -2, EQ ×n = -2 1+1 1+1 1 = 0，
又EM , EN , EQ 平面 A1BC1，則EM , EN , EQ 都平行于平面 A1BC1，即若直線EF / /平面 A1BC1，
則點 F 的位置可能是線段CC1中點，線段BC 中點或線段C1D1中點.
故選：ABD.
21．（2024 高二下·江蘇鹽城·期中）點 P 在正方體 ABCD - A1B1C1D1的側面CDD1C1 及其邊界上運動，并保持
BP ^ A1C ，若正方體邊長為 ，則 A1P 的可能取值是（ ）
A 3 7． B． C． 2 D． 3
2 2
【答案】BC
【分析】以點D為坐標原點，DA、DC 、DD1所在直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立空間直角坐標系，設
uuur
P 0, y, z 0 y 1,0 z 1 ，由已知條件可得出 y = z，利用二次函數的基本性質求出 A1P 的取值范圍，即
可得出合適的選項.
【詳解】以點D為坐標原點，DA、DC 、DD1所在直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立如下圖所示的空間直角坐
標系，
則點 A1 1,0,1 、C 0,1,0 、B 1,1,0 ，設點P 0, y, z 0 y 1,0 z 1 ，
uuur uuur
A1C = -1,1, -1 ，BP = -1, y -1, z ，
uuur uuur
因為BP ^ A1C ，則 A1C × BP =1+ y -1- z = y - z = 0，所以， y = z，
uuur 2 2 2 2 1
2
3 é 6 ù
所以， A1P = -1 + y + y -1 = 2y - 2y + 2 = 2 y - ÷ + , 2 .
è 2 2
ê 2 ú
故選：BC.
三、填空題
ur
22．（2024 高二上·上海徐匯·期末）已知直線 l的一個方向向量 d = 2,3,5 ，平面 α 的一個法向量
r
n = 4, m, n ，若 l ^ a ，則m + n = ．
【答案】16
ur r
【分析】根據 l ^ a ，可得 d ∕ ∕ n ，從而可求得m, n，即可得解.
【詳解】因為 l ^ a ，
ur r
所以 d ∕ ∕ n ，
4 m n
所以 = = ，解得m = 6, n =10 ，
2 3 5
所以m + n = 16 .
故答案為：16 .
23．（山東省東營市廣饒縣第一中學 2023-2024 學年高二上學期 10 月月考數學試題）如圖，在正方體中，O
為底面的中心，P 為所在棱的中點，M，N 為正方體的頂點．則滿足MN ^ OP的是 （填寫正
確的序號）
【答案】①③
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量分析判斷即可.
【詳解】設正方體的棱長為 2，
對于①，如圖建立空間直角坐標系，則M (2,0,0), N (0,0, 2), P(2,0,1),O(1,1,0)，
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以MN = (-2,0,2),OP = (1, -1,1) ，所以MN ×OP = -2 + 0 + 2 = 0 ，所以MN ^ OP，即MN ^ OP，所以①正
確，
對于②，如圖建立空間直角坐標系，則M (0, 2,0), N (0,0, 2), P(2,1, 2),O(1,1,0)，
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以MN = (0, -2,2),OP = (1,0, 2)，所以MN ×OP = 0 + 0 + 4 0，所以MN 與OP 不垂直，即MN 與OP 不垂直，
所以②錯誤，
對于③，如圖建立空間直角坐標系，則M (2, 2, 2), N (0, 2,0), P(0,0,1),O(1,1,0)，
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以MN = (-2,0, -2),OP = (-1, -1,1)，所以MN ×OP = 2 + 0 - 2 = 0，所以MN ^ OP，即MN ^ OP，所以③正
確，
對于④，如圖建立空間直角坐標系，則M (2,0, 2), N (0, 2, 2), P(0, 2,1),O(1,1,0)，
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
所以MN = (-2,2,0),OP = (-1,1,1) ，所以MN ×OP = 2 + 2 + 0 0，所以MN 與OP 不垂直，即MN 與OP 不垂直，
所以④錯誤，
故答案為：①③
r
24．（2024 高二下·江蘇·階段練習）已知直線 l 的方向向量為 e = -1,1,2 ，平面 α 的法向量為
r
n (1= ,l,-1) l R ，若 l⊥α，則實數 λ 的值為 ．
2
1
【答案】- / -0.5
2
r r
【分析】根據題意可得 e與 n共線，結合空間向量共線的坐標關系分析運算.
r r
【詳解】因為 l⊥α，所以 e與 n共線，
r r
mnr 1 則存在實數 m 使得 e = mn ，且 = m,lm,-m÷，
è 2
ì1
m = -12 ìm = -2
可得 ílm =1

，解得 í 1 ，
l = -
-m = 2 2

1
故答案為：- .
2
r
25．（2024 高二上·吉林遼源·期末）設直線 l 的方向向量為m = (1, -2, z) ，平面a 的一個法向量為
r
n = (2,-1,1)，．若直線 l//平面a ，則實數 z 的值為 ．
【答案】-4
【分析】根據直線 l//平面a ，則直線 l 的方向向量與平面a 的一個法向量垂直，即兩向量點乘為 0.
【詳解】若直線 l//平面a ，則直線 l 的方向向量與平面a 的一個法向量垂直，
ur r
由此可得m × n = 2 + 2 + z = 0 ，解得 z = -4 .
故答案為：-4
r r
26．（2024 高二下·江蘇·課后作業）已知u = a + b,a - b, 2 是直線 l 的一個方向向量， n = 2,3,1 是平面 α 的
一個法向量，若 l⊥α，則 a，b 的值分別為 .
【答案】5,-1
【分析】根據空間線面垂直結合空間向量運算求解.
r r
【詳解】∵l⊥α，則u ∥ n，
a + b a - b 2
則 = = ，解得 a = 5,b = -1.
2 3 1
故答案為：5,-1.
27．（2024 高二·全國·課后作業）如圖，在四棱錐 E - ABCD中，平面 ADE ^平面 ABCD，O，M 分別為 AD，
DE 的中點，四邊形 BCDO 是邊長為 1 的正方形，AE = DE ，AE ^ DE．點 N 在直線 AD 上，若平面BMN ^
平面 ABE ，則線段 AN 的長為 ．
5 2
【答案】 /1
3 3
【分析】連接 EO，證明 OB，OD，OE 兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.
【詳解】連接 EO，因 AE = DE ，則EO ^ AD ，而EO 平面 ADE ，且平面 ADE ^平面 ABCD，
平面 ADE 平面 ABCD = AD ，于是得EO ^平面 ABCD，又OB 平面 ABCD，OD 平面 ABCD，
即有EO ^ OB ，EO ^ OD，而四邊形 BCDO 是邊長為 1 的正方形，
uuuv uuuv uuuv
以 O 為原點，OB,OD,OE 的方向分別為 x，y，z 軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖，
因 AE = DE ， AE ^ DE，則OE = OA = OD = OB =1，
則O(0,0,0), M (0,
1 , 1), A(0, -1,0), E(0,0,1), D(0,1,0), B(1,0,0)，
2 2
uuuv uuuv 1 1 uuuv uuur
設 N (0,l,0) ， NB = (1, -l,0), MB = (1,- ,- ), AE = (0,1,1)，BE = (-1,0,1)，
2 2
ìnv
uuuv
MB a 1 b 1r × = - - c = 0 r
設平面 BMN 的一個法向量 n = (a,b,c) ，則 í 2 2 a = l
nv
uuuv ，令 ，得 n = (l,1, 2l -1) ，
× NB = a - lb = 0
uuuv
ur ìmv × uAuEuv = y + z = 0
ur
設平面 ABE 的一個法向量m = (x, y, z)，則 í v ，令 x =1，得m = (1,-1,1)，
m × BE = -x + z = 0
ur r 2
因為平面BMN ^ 平面 ABE，則有m × n = 0，即l -1+ 2l -1 = 0 ，解得l = ，3
5
所以線段 AN 的長為 ．
3
5
故答案為：
3
28．（2024 高二下·江蘇南京·期末）正方體 ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為 1，點 M 在線段 CC1上，且
uuuur uuuur
MC1 = 2CM ．點 P 在平面 A1B1C1D1上，且 AP⊥平面 MBD1，則線段 AP 的長為 ．
14 1
【答案】 / 14
3 3
uuuv uuuuv
ì
【分析】分別以DA, DC, DD1為 x, y, z
AP × BD1 = 0
軸建立空間直角坐標系，設P(x, y,1) ，由 íuuuv uuuuv 求出 P 點坐標后
AP × BM = 0
可得線段 AP 的長．
【詳解】如圖，分別以DA, DC, DD1為 x, y, z軸建立空間直角坐標系，則 A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0) ，D1(0,0,1)，
C1(0,1,1) ，
uuuur uuuur 1
MC1 = 2CM ，則M 是靠近C 的線段CC1的三等分點，M (0,1, ) ，3
uuuur uuuur 1
BD1 = (-1,-1,1) ，BM = (-1,0, )，3
uuur
P 在平面 A1B1C1D1上，設P(x, y,1) ，則 AP = (x -1, y,1) ，
uuuv uuuuv
ì ìx 4AP × BD1 =1- x - y +1 = 0 =
由 AP⊥ 3平面 MBD1，得 íuuuv uuuuv 1 ，解得 í 2 ， AP × BM =1- x + = 0 3 y = 3
uuur 1 2 uuur 1 2 14
所以 AP = ( , ,1)， AP = ( )2 + ( )2 +12 = ．
3 3 3 3 3
14
故答案為： ．
3
四、解答題
29．（2024 高一·全國·專題練習）如圖所示，正四棱 ABCD - A1B1C1D1的底面邊長 1，側棱長 4， AA1中點為
E ，CC1中點為F ．求證：平面BDE / / 平面B1D1F .
【答案】證明見解析
【分析】以A 為原點， AB ， AD ， AA1所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證DE / /FB1，
同理BD // B1D1，再結合面面平行判定定理即可證明結論.
【詳解】以A 為原點， AB ， AD ， AA1所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，如圖
則 B(1 ,0, 0) ， D(0 ,1, 0) ，E(0 ,0, 2) ， B1(1,0, 4) ， D1(0 ,1, 4) ， F (1 ,1, 2) ，
uuur uuur
Q DE = FB1 = (0, -1,2)，\DE / /FB1 ，同理BD // B1D1，
QDE 平面B1D1F ，FB1 平面B1D1F ，\DE / /平面B1D1F ，
QBD 平面B1D1F ，B1D1 平面B1D1F ，\ BD / / 平面B1D1F ，
又DE BD = D, DE, BD 平面BDE
\平面BDE 與平面B1D1F 平行．
30．（2024 高二·全國·課后作業）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點 E，F 分別是正方形 A1B1C1D1和正方形B1C1CB
的中心．求證：
(1) AC1 ^平面 A1BD ；
(2) EF // 平面 A1BD ；
(3)平面B1EF∥平面 A1BD ．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解

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