資源簡介

2.5.2 圓與圓的位置關系 7 題型分類
一、圓與圓的位置關系
1．圓與圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含．
2．判定方法
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為 r1，r2，兩圓連心線的長為 d，則兩圓的位置關系的判斷
方法如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d 與 r1，r2 |r1－r2|＜d
d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
的關系 ＜r1＋r2
(2)代數法：設兩圓的一般方程為
C ：x21 ＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，
C 2 22：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，
2 2
{x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0，聯立方程得 x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下：
方程組解的個數 2 組 1 組 0 組
兩圓的公共點個數 2 個 1 個 0 個
兩圓的位置關系 相交 內切或外切 外離或內含
二、圓與圓位置關系的應用
設圓 C 2 21：x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圓 C1與 C2的公共弦所在直線的方程．
(1)當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一
結論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的
公共弦所在的直線方程．
(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．
(3)求公共弦長時，幾何法比代數法簡單易求．
三、圓與圓的公切線
1．公切線的條數
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
公切線條數 4 3 2 1 0
2．公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離 d=r 求解.
（一）
圓與圓位置關系的判斷
判斷兩圓的位置關系的兩種方法
(1)幾何法：將兩圓的圓心距 d 與兩圓的半徑之差的絕對值，半徑之和進行比較，進而判斷出
兩圓的位置關系，這是在解析幾何中主要使用的方法．
(2)代數法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據方程組解的個數進而判斷兩圓位
置關系．
題型 1：判斷兩圓的位置關系
1-1．（2024 2 2 2 2高二下·江蘇揚州·開學考試）圓C1 : x + y = 4與圓C2 : x + y + 6x + 8y - 24 = 0 的位置關系為
（ ）．
A．相交 B．內切 C．外切 D．外離
1-2．（2024 2 2高二下·安徽·階段練習）圓C1 : x + y - 6x - 7 = 0與圓C 2 22 : x + y + 2 7 y + 6 = 0的位置關系是
（ ）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內切
1-3．（2024 高二下·江西萍鄉·階段練習）圓 O： x2 + y2 =1與圓 C: x2 + y2 + 6y + 5 = 0的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．外切 D．內切
題型 2：由圓的位置關系求參數
2-1．（2024·河南商丘·模擬預測）已知圓C1 : x
2 + (y - 2)2 = 5，圓C2 過點 2, -1 且與圓C1相切于點 2,1 ，則
圓C2 的方程為 .
2-2 2．（2024 高三下·福建寧德·階段練習）已知圓O1 : (x - m) + (y + 2)
2 = 9與圓O2 : (x + n)
2 + (y + 2)2 =1內切，
則m2 + n2 的最小值為
2-3．（2024 高二上·全國·課后作業）若兩圓 (x +1)2 + y2 = 4和圓 (x - a)2 + y2 =1相交，則 a 的取值范圍是
（ ）
A．0 < a < 2 B．0 < a < 2 或-4 < a < -2
C．-4 < a < -2 D． 2 < a < 4或-2 < a < 0
2-4．（2024 2 2
2 2
高二上·浙江嘉興·期末）已知圓C1： x -1 + y + 2 = r 2 r > 0 與圓C2 ： x - 4 + y - 2 =16
有公共點，則 r 的取值范圍為（ ）
A． 0,1 B． 1,5 C． 1,9 D． 5,9
（二）
圓與圓相交有關的問題
1．圓系方程
一般地過圓 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 與圓 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交點的圓的方程
可設為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出
λ，即可得圓的方程．
2．兩圓相交時，公共弦所在的直線方程
若圓 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 與圓 C 2 22：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，則兩圓公共弦所
在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦長的求法
(1)代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．
(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，
根據勾股定理求解．
4.求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程：經過兩圓的圓心的直線方程．
題型 3：求兩圓公共弦方程及公共弦長
3-1．（2024 高二下·全國·階段練習）已知圓C 2 2 2 2 21： (x +1) + y = r 過圓C2 ： (x - 4) + ( y -1) = 4 的圓心，則兩
圓相交弦的方程為 .
3-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知圓C1： (x - 4)2 + (y - 3)2 =16與圓C 22 ： x + y2 - 2x + 2y - 9 = 0，若兩
圓相交于 A，B 兩點，則 AB =
3-3．（2024·河南·二模）若圓C1 : x
2 + y2 =1 2 2與圓C2 : (x - a) + ( y - b) = 1的公共弦 AB 的長為 1，則直線 AB
的方程為（ ）
A． 2ax + by -1 = 0 B． 2ax + by - 3 = 0
C． 2ax + 2by -1 = 0 D． 2ax + 2by - 3 = 0
3-4．（2024 高二上·遼寧沈陽·期末）已知圓C : x2 + y21 - 2 3x + a = 0
2
與圓C : x22 + y -1 =1有兩個公共點A 、
B ，且 AB = 2 ，則實數 a =（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．0
3-5 2 2．（2024 高二上·湖南張家界·期末）已知兩圓C1 : x + y - 4 y = 0，C2 : (x - 2)
2 + y2 = m2 (m > 0)．
(1) m 取何值時兩圓外切？
(2)當m = 2 時，求兩圓的公共弦所在直線 l的方程和公共弦的長．
（三）
圓與圓的位置關系的應用
1．公切線的條數：由圓與圓的位置關系求解.
2．公切線的方程：由圓心到切線的距離 d=r 求解.
3.與圓有關的最值問題：利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求
解．
題型 4：兩圓的公切線的條數
4-1．（2024 高二上·山東青島· C 2 2 2 2期末）圓 1 : x + y + 2x + 8y -8 = 0 與圓C2 : x + y - 4x - 4y -8 = 0的公切線條
數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4-2．（2024 2 2 2 2高二上·四川遂寧·期末）若圓C1 : (x -1) + y =1與圓C2 : (x - 5) + (y - 3) = 30 - m有且僅有 3 條公
切線，則 m=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．-11
4-3．（2024·
2
廣西北?！ひ荒＃┮阎獔AC1： x - 3 + y + 4 2 =1與C2 ： x - a 2 + y - a + 3 2 = 9恰好有 4 條公切
線，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - ,0 4,+ B． - ,1- 6 U 1+ 6, +
C． 0,4 D． - , -1 3,+
4-4．（2024·山西·模擬預測）已知圓C x2 + y - a 2： = a21 a > 0 的圓心到直線 x - y - 2 = 0 的距離為 2 2 ，
則圓C1與圓C2 ： x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0的公切線共有（ ）
A．0 條 B．1 條 C．2 條 D．3 條
4-5．（2024 高二上·安徽滁州·期末）圓C 21： x + y2 - 6x -10y - 2 = 0與圓C 2 22 ： x + y + 4x +14y + 4 = 0公切線
的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型 5：兩圓的公切線方程
5-1．（2024 高三·全國·專題練習）已知圓C1 : x
2 + y2 = m2 (m > 0)與圓C : x22 + y
2 - 2x - 4y - 20 = 0恰有兩條公
切線，則滿足題意的一個m 的取值為 ；此時公切線的方程為 .
5-2．（2024 高二上·山東聊城·期末）已知圓C ： x2 + y2 =1與圓C ： x21 2 + y2 -8x + 6y + m = 0相內切，則C1與
C2 的公切線方程為（ ）
A．3x - 4y - 5 = 0 B．3x - 4y + 5 = 0
C． 4x - 3y - 5 = 0 D． 4x - 3y + 5 = 0
5-3．（2024·陜西渭南·二模）寫出與圓 x2 + y2 =1和圓 x2 + y2 + 6x -8y + 9 = 0 都相切的一條直線的方
程 .
題型 6：兩圓的公切線長
6-1．（2024 · 2 2 2 2高一 全國·課后作業）求圓C1 : x + y = 4與圓C2 : x + y + 20x + 84 = 0 的內公切線所在直線方程
及內公切線的長．
6-2．（2024 高二上·廣東云浮·期中）已知圓 A 的方程為 x2 + y2 - 2x - 2y - 7 = 0，圓 B 的方程為
x2 + y2 + 2x + 2y - 2 = 0 .
(1)判斷圓 A 與圓 B 是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.
(2)求兩圓的公切線長.
題型 7：與圓有關的最值問題
7-1．（2023 秋·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學?？茧A段練習）已知圓C : x2 + y2 - 2x + m = 0與圓
x + 3 2 + y + 3 2 = 4外切，點 P 是圓 C 上一動點，則點 P 到直線5x +12y + 8 = 0的距離的最大值為
7-2．（2023·全國· 2 2高二專題練習）已知圓 C： x -1 + y - 2 = 5，圓C 是以圓 x2 + y2 =1上任意一點為圓心，
半徑為 1 的圓．圓 C 與圓C 交于 A，B 兩點，則當 ACB 最大時， CC =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
7-3．【多選】（2023 秋·江西萍鄉·高二統考期中）已知圓C 21： x + y2 - 2x = 0與圓C 2 22 ： x + y - 4x - 2y + 4 = 0
相交于A ， B 兩點，下列說法正確的是（ ）
A．直線 AB 的一般式方程為 x + y - 2 = 0
B．公共弦長 AB = 2
C．過A ， B ，C1三點 ( 其中點C1為圓C1的圓心 )的圓的一般方程為 x2 + y2 - 3x - y + 2 = 0
D．同時與圓C1和圓C
3 1 2
2 相內切的最大圓的方程為 (x - )2 + (y - )2 = (1- )2
2 2 2
7-4．【多選】（2023·全國·高三專題練習）設圓 O: x2 + y2 = 4，直線 l : 2x + y + 5 = 0，P 為 l 上的動點．過點 P
作圓 O 的兩條切線 PA，PB，切點為 A，B，則下列說法中正確的是（ ）
A．直線 l 與圓 O 相交
8 4
B ．直線 AB 恒過定點 - , -5 5 ÷è
C．當 P 的坐標為 -2，-1 時， APB最大
D．當 PO × | AB |最小時，直線 AB 的方程為 2x + y + 4 = 0
7-5．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知圓 M 的方程為： x2 + y2 + ax + ay - 2a - 4 = 0 ，（ a R ），點
P 1,1 ，給出以下結論，其中正確的有（ ）
A．過點 P 的任意直線與圓 M 都相交
1
B．若圓 M 與直線 x + y + 2 = 0 無交點，則 a - , + ÷
è 2
C．圓 M 面積最小時的圓與圓 Q： x2 + y2 + 6x -10y +16 = 0有三條公切線
D．無論 a 為何值，圓 M 都有弦長為 2 2 的弦，且被點 P 平分
7-6 2023· · O : x2 + y2 = r 2 O : (x - 3)2 + y2 = r 2．（ 全國 高二專題練習）已知圓 1 1 與圓 2 2 r1, r2 > 0 相交于M , N 兩點，
點M 位于 x 軸上方，且兩圓在點M 處的切線相互垂直.
(1) 2求 r1 + r
2
2 的值；
(2)若直線 l與圓O1 圓O2 分別切于P,Q 兩點，求 | PQ |的最大值.
一、單選題
1．（2024 高二上· 2 2貴州黔東南·期末）已知圓C1 : x + y =1與圓C2 : x - 2
2 + y - 2 2 = r 2 r >1 有兩個交點，
則 r 的取值范圍是（ ）
A． 1, 2 +1 B． 2 2 -1,2 2 +1
C． 1, 2 +1ù D． é 2 2 -1,2 2 +1ù
2 2024 · · C : (x -1)2 + (y + 2)2 =1 C : (x +1)2 + (y - 3)2．（ 高二上 湖南郴州 期末）與兩圓 1 和 2 = 9 都相切的直線有
（ ）條
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024· 2 2 2 2山西·模擬預測）已知圓C1 : x + (y - 2) = 5和C2 : (x + 2) + y = 5交于 A，B 兩點，則 | AB |=（ ）
A． 3 B． 2 3 C． 23 D． 2 23
4．（2024 · 2 2 2 2高二上 安徽蕪湖·階段練習）設圓C1 : x + y - 2x + 4y = 4 ，圓C2 : x + y + 6x + 8y + 24 = 0 ，則圓
C1，C2 的位置（ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．外離
5 2 2 2 2．（2024 高二上·全國·課后作業）已知圓C1：x + y + 2x - 6y +1 = 0與圓C2：x + y - 4x + 2y -11 = 0，求兩
圓的公共弦所在的直線方程（ ）
A．3x + 4y + 6 = 0 B．3x + 4y - 6 = 0
C．3x - 4y - 6 = 0 D．3x - 4y + 6 = 0
6．（2024 高二上·浙江麗水· 2 2期末）若圓C1 : x + y = 4與圓C2 : x
2 + y2 - 2mx + m2 - m = 0外切，則實數m =
（ ）
A．－1 B．1 C．1 或 4 D．4
7．（2024 高二上·福建寧德·期中）圓 (x - 2)2 + y - 2 2 =1 2與圓 x +1 + y + 2 2 = 25的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．內含 D．外離
8 2 2．（2024 高二上·安徽滁州·期末）已知圓C ： x -1 + y + 2 = 4，P 為直線 l： x - 2y + 5 = 0上的一點，過
點 P 作圓C 的切線，切點分別為A ， B ，當 PC × AB 最小時，直線 AB 的方程為（ ）
A． x + 2y - 3 = 0 B． x + 2y - 2 = 0 C． x - 2y - 2 = 0 D． x - 2y - 3 = 0
9．（2024 高二下·河南洛陽· 2 2期末）已知點 P 為直線 y = x +1上的一點，M，N 分別為圓C1： x - 4 + y -1 =1
2
與圓C ： x22 + y - 4 = 1上的點，則 PM | + | PN 的最小值為（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
10 2 2．（2024 高二上·廣西河池·期末）已知點 P 是圓C1 : (x + 2) + (y +10) = 4 上的一點，過點 P 作圓
C2 : (x - 3)
2 + (y - 2)2 =1的切線，則切線長的最小值為（ ）
A． 2 30 -1 B． 2 30 C． 2 30 +1 D． 2 30 + 2
11．（2024·全國·模擬預測）已知圓O1 : (x - 2)
2 + (y - 3)2 = 4 2 2，圓O2 : x + y + 2x + 2y - 7 = 0 ，則同時與圓O1
和圓O2相切的直線有（ ）
A．4 條 B．3 條 C．2 條 D．0 條
12．（2024 2 2 2高二上·上海楊浦·期末）兩個圓C1： x + y + 2ax + a - 4 = 0 a R 與C2 ：
x2 + y2 - 2by -1+ b2 = 0 b R 恰有三條公切線，則 a + b 的最大值為（ ）
A．3 2 B．-3 2 C．6 D．－6
13．（2024 高二上·河北保定· 2 2 2 2期末）若圓C1 : x + y - 2x + 4 y + m = 0與圓C2 : x + y + 2x -1 = 0恰有兩條公共
的切線，則 m 的取值范圍為（ ）
A． (-13,3) B． (3,5) C． (- ,5) D． (- ,3)
14．（2024 高二上·全國·課前預習）圓 x2 + y2 =1 與圓 x2 + y2 + 2x + 2y +1 = 0 的交點坐標為（ ）
A． (1,0) 和 0,1 B． (1,0)和 0, -1
C． (-1,0) 和 0, -1 D． -1,0 和 0,1
15．（2024· 2 2河北唐山·二模）已知圓C 2 21： x + y - 2x = 0，圓C2 ： x - 3 + y -1 = 4，則C1與C2 的位置關
系是（ ）
A．外切 B．內切 C．相交 D．外離
16．（2024 高二上·貴州遵義· 2 2期末）圓C1 : (x + 2) + (y + 4) = 25與圓C2 : (x +1)
2 + y2 = 9 的公切線的條數為
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2024· · O : x2 + y2 =1 O ：x2 2安徽滁州 模擬預測）已知圓 1 與圓 2 + y - 2x + 2y + F = 0 F < 1 相交所
得的公共弦長為 2 ，則圓O2的半徑 r = （ ）
A．1 B． 3 C． 5 或 1 D． 5
18．（2024·廣東茂名·二模）已知平面 xOy 內的動點 P ，直線 l： x sinq + y cosq =1，當q 變化時點 P 始終不
在直線 l上，點Q為eC ： x2 + y2 -8x - 2y +16 = 0 上的動點，則 PQ 的取值范圍為（ ）
A． 17 - 2, 17 B． 17 - 2, 17 + 2ù
C． é 17 - 2, 17 + 2 D． 17 - 2, 17 + 2
uuur uuur
19．（2024·北京通州·模擬預測）在平面直角坐標系內，點 O 是坐標原點，動點 B，C 滿足 | OB |=| OC |= 2 ，
uuur uuur uuur
OB ×OC = 0，A 為線段BC 中點，P 為圓 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 任意一點，則 AP 的取值范圍是（ ）
A． 2,8 B． 3,8 C． 2,7 D． 3,7
20．（2024·北京海淀·二模）已知動直線 l與圓O : x2 + y2 = 4 交于A ， B 兩點，且 AOB =120°．若 l與圓
(x - 2)2 + y2 = 25相交所得的弦長為 t，則 t的最大值與最小值之差為（ ）
A．10 - 4 6 B．1 C． 4 6 -8 D．2
21．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知圓C : (x - 3)2 + (y - 4)2 =1和兩點 A a,0 ，B -a,0 (a > 0) ，若圓 C
上至少存在一點 P，使得 APB > 90°，則實數 a 的取值范圍是（ ）
A． 4,6 B． 4, + C． 4, + D． 6, +
22．（2024 高二上·陜西西安·期末）已知兩圓 x2 + y2 + 6ax + 9a2 - 4 = 0和 x2 + y2 - 2by + b2 - 9 = 0恰有三條公
1 1
切線，若 a R ，b R ，且 ab 0，則 2 + 2 的最小值為（ ）a b
16 32 16 32
A． B． C． D9 ．25 25 9
二、多選題
23．（2024 高二上·云南大理·期末）點 P 在圓C ： x21 + y2 =1上，點Q在圓C ： x2 + y22 - 6x + 4y + 9 = 0上，則
（ ）
A． PQ 的最小值為 13 - 3
B． PQ 的最大值為 13
2
C．兩個圓心所在的直線斜率為-
3
D．兩個圓公共弦所在直線的方程為6x - 4y -10 = 0
24．（2024 高二·全國·課后作業）已知圓 M : x - 2 2 + y -1 2 =1 2，圓 N : x + 2 + y +1 2 =1，則下列是 M，
N 兩圓公切線的直線方程為（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． x - 2y + 5 = 0 D． x - 2y - 5 = 0
25．（2024 高二下·河南·階段練習）已知圓C1 : x
2 + y2 - 6y + 5 = 0 2 2和圓C2 : x + y - 8x + 7 = 0，則下列結論正
確的是（ ）
A．圓C1與圓C2 外切
B．直線 y = x 與圓C1相切
C．直線 y = x 被圓C2 所截得的弦長為 2
D．若M , N 分別為圓C1和圓C2 上一點，則 MN 的最大值為 10
三、填空題
26 2 2 2 2．（2024 高一·全國·課后作業）圓C1 : x + y =1與圓C2 : x + y + 2x + 2y +1 = 0的交點坐標為 .
27．（2024 高二·全國·課后作業）圓 x2 + y2 - 2x - 3 = 0與 x2 + y2 - 4x + 2y + 3 = 0 的交點坐標為 .
28．（2024·廣西玉林·二模）寫出一個半徑為 1，且與圓 (x -1)2 + y2 = 4外切的圓的標準方程： ．
29 2024 · · C : x2 2 2 2 2．（ 高二上 四川資陽 期中）已知圓 1 + y = m (m > 0)與圓C2 : x + y - 2x - 4y -15 = 0 恰有兩條
公切線，則實數m 的取值范圍 ．
30 2 2 2．（2024 高三·天津·專題練習）已知圓C : x + y = 4與圓C : x21 2 + y - a = 9(a > 0) 外切，此時直線
l : x + y - 3 = 0被圓C2 所截的弦長為 ．
31．（2024·天津和平·二模）圓 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 與圓 x2 + y2 = 4的公共弦所在的直線方程為 ．
32．（2024·河南鄭州·一模）經過點P 1,1 以及圓 x2 + y2 - 4 = 0與 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 交點的圓的方程
為 ．
33．（2024 高三下·河南濮陽·開學考試）已知圓C1，C2 的圓心都在坐標原點，半徑分別為1與5．若圓C 的
圓心在 x 軸正半軸上，且與圓C1，C2 均內切，則圓 C 的標準方程為 ．
34．（2024 高二上·貴州遵義·階段練習）圓C1： x2 + y2 + 6x - 4y = 0和圓C 2 22 ： x + y - 6y = 0交于 A，B 兩點，
則線段 AB 的垂直平分線的方程是 .
35．（2024 高二下·廣東廣州·期末）寫出與圓 x - 4 2 + y + 3 2 =16和圓 x2 + y2 =1都相切的一條直線的方
程 .
36．（2024· 2 2 2 2浙江嘉興·二模）已知圓C1 : (x - a) + y = 4與C2 : x + (y - b) =1 a,b R 交于 A, B兩點.若存在
a，使得 AB = 2 ，則b 的取值范圍為 .
37．（2024 高三下·安徽池州·階段練習）已知eM : x2 + y2 - 2x - 2y +1 = 0，直線 l : x + 2y + 2 = 0, P為 l上的動
點，過點 P 作eM 的切線PA, PB，切點為 A, B，當 PM × AB 最小時，直線 AB 的方程為 .
38 2024· · C : x2 2．（ 河北衡水 三模）若圓 1 + y =1和C2 : x
2 1+ y2 - 2 3ax - 2ay - 5a = 0 a > ÷ 有且僅有一條公切
è 2
線，則 a = ；此公切線的方程為
四、解答題
39．（2024 高二上·河北保定·期末）已知圓C1 : x
2 + y2 =10 與圓C2 : x
2 + y2 + 2x + 2y - 7 = 0
(1)求證：圓C1與圓C2 相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線 x + y - 6 = 0 上的圓的方程．
40．（2024 高二上·全國·課后作業）如圖，已知點 A、B 的坐標分別是 (-3,0), (3,0)，點 C 為線段 AB 上任一
點，P、Q 分別以 AC 和 BC 為直徑的兩圓O1，O2 的外公切線的切點，求線段 PQ 的中點的軌跡方程.
41．（2024 高二·全國·課后作業）已知圓M : x2 + y2 =10 和圓 N : x2 + y2 + 2x + 2y -14 = 0，求過兩圓交點，且
面積最小的圓的方程．
42．（2024 高一下·山東臨沂·期末）已知圓C：x2 + y2 - 6x -8y + 21 = 0．
(1)若直線 l1過定點 A 1，1 ，且與圓 C 相切，求直線 l1的方程；
(2)若圓 D 的半徑為 3，圓心在直線 l2：x - y + 2 = 0上，且與圓 C 外切，求圓 D 的方程．
43．（2024 高二上· 2 2 2 2全國·單元測試）求過兩圓C1 : x + y - 2y - 4 = 0和圓C2 : x + y - 4x + 2 y = 0的交點，且
圓心在直線 l : 2x + 4y -1 = 0 上的圓的方程.
44．（2024 高二上·浙江·期中）已知圓O : x2 + y2 =1，圓M : (x - 2)2 + (y -1)2 = 9．
(1)求兩圓的公共弦長；
(2)求兩圓的公切線方程．
45．（2024 高一下·江蘇無錫·期中）已知圓 C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定點 A（m，0），B（0，n），其中
m，n 為正實數．
(1)當 a＝m＝n＝3 時，判斷直線 AB 與圓 C 的位置關系；
(2)當 a＝4 時，若對于圓 C 上任意一點 P 均有 PA＝λPO 成立（O 為坐標原點），求實數 m，λ 的值；
(3)當 m＝2，n＝4 時，對于線段 AB 上的任意一點 P，若在圓 C 上都存在不同的兩點 M，N，使得點 M 是線
段 PN 的中點，求實數 a 的取值范圍．
46．（2024 2 2高二下·上海黃浦·階段練習）已知圓C1 : (x + 3) + (y -1) = 4 和圓C2 : (x - 4)
2 + ( y - 5)2 = r2(r > 0)
(1)若圓C1與圓C2 相交于 A, B兩點，求 r 的取值范圍，并求直線 AB 的方程（用含有 r 的方程表示）
uuur uuur
(2)若直線 l : y = kx +1與圓C1交于P,Q 兩點，且OP ×OQ = 4，求實數 k 的值
47．（2024 高二下·上海黃浦·期中）已知直線 l : x = my -1，圓C : x2 + y2 + 4x = 0 .
(1)證明：直線 l與圓C 相交；
(2)設直線 l與C 的兩個交點分別為A 、 B ，弦 AB 的中點為M ，求點M 的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，設圓C 在點A 處的切線為 l1，在點 B 處的切線為 l2， l1與 l2的交點為Q .證明：Q，A，
B，C 四點共圓，并探究當m 變化時，點Q是否恒在一條定直線上 若是，請求出這條直線的方程；若不是，
說明理由.2.5.2 圓與圓的位置關系 7 題型分類
一、圓與圓的位置關系
1．圓與圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含．
2．判定方法
(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為 r1，r2，兩圓連心線的長為 d，則兩圓的位置關系的判斷
方法如下：
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d 與 r1，r2 |r1－r2|＜d
d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
的關系 ＜r1＋r2
(2)代數法：設兩圓的一般方程為
C ：x21 ＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，
C 2 22：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，
2 2
{x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0，聯立方程得 x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下：
方程組解的個數 2 組 1 組 0 組
兩圓的公共點個數 2 個 1 個 0 個
兩圓的位置關系 相交 內切或外切 外離或內含
二、圓與圓位置關系的應用
設圓 C 2 21：x ＋y ＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓 C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得
(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③
方程③表示圓 C1與 C2的公共弦所在直線的方程．
(1)當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一
結論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的
公共弦所在的直線方程．
(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．
(3)求公共弦長時，幾何法比代數法簡單易求．
三、圓與圓的公切線
1．公切線的條數
與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
公切線條數 4 3 2 1 0
2．公切線的方程
核心技巧：利用圓心到切線的距離 d=r 求解.
（一）
圓與圓位置關系的判斷
判斷兩圓的位置關系的兩種方法
(1)幾何法：將兩圓的圓心距 d 與兩圓的半徑之差的絕對值，半徑之和進行比較，進而判斷出
兩圓的位置關系，這是在解析幾何中主要使用的方法．
(2)代數法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據方程組解的個數進而判斷兩圓位
置關系．
題型 1：判斷兩圓的位置關系
1-1．（2024 2 2 2 2高二下·江蘇揚州·開學考試）圓C1 : x + y = 4與圓C2 : x + y + 6x + 8y - 24 = 0 的位置關系為
（ ）．
A．相交 B．內切 C．外切 D．外離
【答案】B
【分析】由兩圓的位置關系計算即可.
C : x2 + y2 + 6x + 8y - 24 = 0 x + 3 2 2【詳解】由題意可得 2 + y + 4 = 49，
故兩圓的圓心分別為：C1 0,0 ,C2 -3,-4 ，設兩圓半徑分別為 r1, r2，則 r1 = 2, r2 = 7，
易知 r2 - r1 = 5 = C1C2 = -3- 0
2 + -4 - 0 2 ，故兩圓內切.
故選：B
1-2．（2024 高二下·安徽· 2 2階段練習）圓C1 : x + y - 6x - 7 = 0與圓C 2 22 : x + y + 2 7 y + 6 = 0的位置關系是
（ ）
A．外離 B．外切 C．相交 D．內切
【答案】C
【分析】先將兩圓化為標準方程，再根據兩圓的位置關系判定即可.
【詳解】兩圓化為標準形式，可得C1 : (x - 3)
2 + y2 =16 與圓C2 : x
2 + (y + 7)2 =1，
可知半徑 r1 = 4， r2 =1，于是 C1C2 = (3 - 0)
2 + (0 + 7)2 = 4，
而3 = r1 - r2 < 4 < r1 + r2 = 5，故兩圓相交，
故選：C .
1-3．（2024 高二下·江西萍鄉·階段練習）圓 O： x2 + y2 =1與圓 C: x2 + y2 + 6y + 5 = 0的位置關系是（ ）
A．相交 B．相離 C．外切 D．內切
【答案】C
【分析】利用兩圓外切的定義判斷即可.
【詳解】圓O是以O(0,0) 為圓心，半徑 r1 =1的圓，
圓C : x2 + y2 + 6y + 5 = 0改寫成標準方程為 x2 + y + 3 2 = 4，則圓C 是以C(0, -3)為圓心，半徑 r2 = 2的圓，
則 OC = 3， r1 + r2 =3，所以兩圓外切，
故選：C .
題型 2：由圓的位置關系求參數
2-1．（2024· 2河南商丘·模擬預測）已知圓C1 : x + (y - 2)
2 = 5，圓C2 過點 2, -1 且與圓C1相切于點 2,1 ，則
圓C2 的方程為 .
【答案】 (x - 4)2 + y2 = 5
【分析】由兩圓外切，兩圓心所在直線與圓C2 中弦的垂直平分線交點即為C2 ，再求出半徑，即可得圓C2 的
方程.
【詳解】如圖所示：
過點 0,2 和 2,1 的直線方程為 x + 2y - 4 = 0，以點 2, -1 和點 2,1 為端點的線段的垂直平分線為 y = 0 .
ìx + 2y - 4 = 0
由 í 得C2 4,0 ，則圓Cy 0, 2 的半徑 r = 2
2
= +1
2 = 5 ，

所以圓C2 的方程為 (x - 4)2 + y2 = 5 .
故答案為： (x - 4)2 + y2 = 5
2-2．（2024 2 2高三下·福建寧德·階段練習）已知圓O1 : (x - m) + (y + 2) = 9與圓O2 : (x + n)
2 + (y + 2)2 =1內切，
則m2 + n2 的最小值為
【答案】2
【分析】計算兩圓的圓心距，令圓心距等于兩圓半徑之差，結合基本不等式求解最小值即可．
【詳解】圓O1的圓心為 (m,-2)，半徑為 r1 = 3，圓O2的圓心為 (-n,-2) ，半徑為 r2 =1，
\兩圓的圓心距 d =| m + n |，
Q \| m + n |= 2 m2 + n2 + 2mn = 4 4 - m2 2兩圓內切， ，可得 + n = 2mn m2 + n2 ，
所以m2 + n2 2．當且僅當 m = n = 1時，取得最小值，m2 + n2 的最小值為 2．
故答案為：2．
2-3．（2024 高二上·全國·課后作業）若兩圓 (x +1)2 + y2 = 4和圓 (x - a)2 + y2 =1相交，則 a 的取值范圍是
（ ）
A．0 < a < 2 B．0 < a < 2 或-4 < a < -2
C．-4 < a < -2 D． 2 < a < 4或-2 < a < 0
【答案】B
2
【分析】圓 x +1 + y2 = 4與圓 x - a 2 + y2 =1相交，則圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之
和，解不等式．
【詳解】Q圓 x +1 2 + y2 = 4與圓 x - a 2 + y2 =1相交，
\兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，
2 -1< a +1 2即 + 0 < 2 +1，所以1 < a +1 < 3 .
解得0 < a < 2 或-4 < a < -2 .
故選：B
2-4．（2024 高二上·浙江嘉興·期末）已知圓C1： x -1 2 + y + 2 2 = r 2 r > 0 與圓C2 ： x - 4 2 + y - 2 2 =16
有公共點，則 r 的取值范圍為（ ）
A． 0,1 B． 1,5 C． 1,9 D． 5,9
【答案】C
【分析】根據題意得到 r - 4 C1C2 r + 4，再解不等式即可.
【詳解】由題知：C1 1, -2 ， r1 = r ，C2 4,2 ， r2 = 4，
C C = 1- 4 2 + -2 - 2 21 2 = 5 .
因為C1和C2 有公共點，所以 r - 4 C1C2 r + 4，
解得1 r 9 .
故選：C
（二）
圓與圓相交有關的問題
1．圓系方程
一般地過圓 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 與圓 C ：x22 ＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 交點的圓的方程
可設為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出
λ，即可得圓的方程．
2．兩圓相交時，公共弦所在的直線方程
若圓 C1：x2＋y2＋D 2 21x＋E1y＋F1＝0 與圓 C2：x ＋y ＋D2x＋E2y＋F2＝0 相交，則兩圓公共弦所
在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
3．公共弦長的求法
(1)代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．
(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，
根據勾股定理求解．
4.求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程：經過兩圓的圓心的直線方程．
題型 3：求兩圓公共弦方程及公共弦長
3-1．（2024 高二下·全國·階段練習）已知圓C1： (x +1)2 + y2 = r2 過圓C2 ： (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 的圓心，則兩
圓相交弦的方程為 .
【答案】5x + y -19 = 0
【分析】求出 r 2 ，得到圓C1，兩圓相減得到相交弦方程.
【詳解】圓C2 ： (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 的圓心坐標為 4,1 ，
因為圓C 過圓C 的圓心，所以 (4 +1)21 2 +12 = r 2，
所以 r 2 = 26，所以C1： (x +1)2 + y2 = 26，
兩圓的方程相減可得相交弦方程為5x + y -19 = 0 .
故答案為：5x + y -19 = 0 .
3-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知圓C1： (x - 4)2 + (y - 3)2 =16與圓C2 ： x2 + y2 - 2x + 2y - 9 = 0，若兩
圓相交于 A，B 兩點，則 AB =
【答案】 2 7
【分析】根據兩圓相交時公共弦所在直線方程的求法和弦長公式求解.
【詳解】圓C1的方程為 (x - 4)2 + (y - 3)2 =16，即 x2 + y2 -8x - 6y + 9 = 0 ①，
又圓C ： x2 + y22 - 2x + 2y - 9 = 0 ②，
②－①可得兩圓公共弦所在的直線方程為6x + 8y -18 = 0,
24 + 24 -18圓C1的圓心 4,3 到直線的距離 d = = 3，
62 + 82
所以 AB = 2 16 - 9 = 2 7 ．
故答案為: 2 7 .
3-3 2024· · C : x2 2．（ 河南 二模）若圓 1 + y =1與圓C2 : (x - a)
2 + ( y - b)2 = 1的公共弦 AB 的長為 1，則直線 AB
的方程為（ ）
A． 2ax + by -1 = 0 B． 2ax + by - 3 = 0
C． 2ax + 2by -1 = 0 D． 2ax + 2by - 3 = 0
【答案】D
【分析】將兩圓方程相減得到直線 AB 的方程為 a2 + b2 - 2ax - 2by = 0，然后再根據公共弦 AB 的長為1即可
求解.
【詳解】將兩圓方程相減可得直線 AB 的方程為 a2 + b2 - 2ax - 2by = 0，
即 2ax + 2by - a2 - b2 = 0，
因為圓C1的圓心為 (0,0)，半徑為1，且公共弦 AB 的長為1，
則C1(0,0)到直線 2ax + 2by - a2 - b2 = 0
3
的距離為 ，
2
a2 + b2 3
所以 = ，解得 a2 + b2 = 3，
4(a2 + b2 ) 2
所以直線 AB 的方程為 2ax + 2by - 3 = 0，
故選：D.
3-4．（2024 高二上·遼寧沈陽·期末）已知圓C1 : x
2 + y2 - 2 3x + a = 0與圓C : x22 + y -1
2 =1有兩個公共點A 、
B ，且 AB = 2 ，則實數 a =（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．0
【答案】C
【分析】根據一般方程表示圓以及兩圓相交可得出關于 a的不等式組，求出直線 AB 的方程，分析可知直線
AB 經過圓心C2 ，將圓心C2 的坐標代入直線 AB 的方程，可求得實數 a的值，再進行檢驗即可.
【詳解】對于圓C1，有12 - 4a > 0，可得 a < 3，
2
圓C1的標準方程為 x - 3 + y2 = 3- a ，圓心為C1 3,0 ，半徑為 r1 = 3- a ，
圓C2 的圓心為C2 0,1 ，半徑為 r2 =1，且 C1C2 = 2，
因為兩圓有兩個公共點A 、 B ，則 3 - a -1 < C1C2 < 3- a +1，
即 3- a -1 < 2 < 3- a +1，
將兩圓方程作差可得 2 3x - 2y - a = 0，
因為 AB = 2r2 ，則直線 AB 過圓心C2 ，所以，-2 - a = 0，解得 a = -2 ，
滿足 3- a -1 < 2 < 3 - a +1.
因此， a = -2 .
故選：C.
3-5．（2024 2 2 2 2 2高二上·湖南張家界·期末）已知兩圓C1 : x + y - 4 y = 0，C2 : (x - 2) + y = m (m > 0)．
(1) m 取何值時兩圓外切？
(2)當m = 2 時，求兩圓的公共弦所在直線 l的方程和公共弦的長．
【答案】(1) m = 2 2 - 2
(2)兩圓的公共弦所在直線 l的方程為 x - y = 0，兩圓的公共弦的長為 2 2
【分析】（1）兩圓相外切，則兩圓圓心距為兩圓半徑之和，據此可得答案；
（2）將兩圓方程相減，可得公共弦所在直線方程，后可得弦長所在直線與圓C1圓心距離，后可得弦長.
【詳解】（1）因為圓C1的標準方程為 x2 + (y - 2)2 = 4，
所以兩圓的圓心分別為 0,2 ， 2,0 ，半徑分別為 2，m .
當兩圓外切時，圓心距為半徑之和，則 (0 - 2)2 + (2 - 0)2 = 2 + m，結合m > 0，
解得m = 2 2 - 2；
（2）當m = 2 時，圓C2 的一般方程為 x2 + y2 - 4x = 0
兩圓一般方程相減得：4x - 4 y = 0，
所以兩圓的公共弦所在直線 l的方程為 x - y = 0
0 - 2
圓C1圓心 0,2 到 l的距離為 = 212 + (-1)2
故兩圓的公共弦的長為 2 22 - 2 = 2 2 ．
（三）
圓與圓的位置關系的應用
1．公切線的條數：由圓與圓的位置關系求解.
2．公切線的方程：由圓心到切線的距離 d=r 求解.
3.與圓有關的最值問題：利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求
解．
題型 4：兩圓的公切線的條數
4-1．（2024 高二上·山東青島·期末）圓C1 : x
2 + y2 + 2x + 8y -8 = 0 與圓C2 : x
2 + y2 - 4x - 4y -8 = 0的公切線條
數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據兩圓的一般方程求出兩圓圓心、半徑，求出圓心距.根據圓心距與兩半徑之間的關系可得兩圓
相交，即可得出答案.
C x2 + y2 + 2x + 8y -8 = 0 C -1, -4 2
2 + 82 - 4 -8
【詳解】由圓 1方程 ，可得圓心 1 ，半徑 r = = 5；1 2
2 2
由圓C2 方程 x2 + y2 - 4x - 4y -8 = 0 -4 + -4 - 4 -8，可得圓心C2 2,2 ，半徑 r2 = = 4 .2
C C = -1- 2 2 + -4 - 2 2所以， = 3 5 ，且 r1 - r2 =1 < C1C2 < 9 = r1 + r1 2 2，
所以兩圓相交，公切線條數為 2.
故選：C.
4-2 2 2．（2024 高二上·四川遂寧·期末）若圓C1 : (x -1) + y =1與圓C2 : (x - 5)
2 + (y - 3)2 = 30 - m有且僅有 3 條公
切線，則 m=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．-11
【答案】A
【分析】分別求出兩圓的圓心及半徑，再根據圓C1與圓C2 有且僅有 3 條公切線，可得兩圓外切，則
C1C2 = r1 + r2 ，從而可得答案.
C : (x -1)2【詳解】圓 1 + y
2 =1的圓心C1 1,0 ，半徑 r1 =1，
圓C2 : (x - 5)
2 + (y - 3)2 = 30 - m的圓心C2 5,3 ，半徑 r2 = 30 - m ，
因為圓C1與圓C2 有且僅有 3 條公切線，
所以兩圓外切，
則 C1C2 = r1 + r2 ，
ì 5 =1+ 30 - m
即 í ，解得m =14 .
30 - m > 0
故選：A.
4-3．（2024·
2 2
廣西北?！ひ荒＃┮阎獔AC1： x - 3 + y + 4 =1與C2 ： x - a 2 + y - a + 3 2 = 9恰好有 4 條公切
線，則實數 a的取值范圍是（ ）
A． - ,0 4,+ B． - ,1- 6 U 1+ 6, +
C． 0,4 D． - , -1 3,+
【答案】D
【分析】根據兩圓有 4 條公切線，得到兩圓外離，然后根據外離列不等式，解不等式即可得 a的取值范圍.
2 2 2 2
【詳解】因為圓C1： x - 3 + y + 4 =1與C2 ： x - a + y - a + 3 = 9恰好有 4 條公切線，所以圓C1與C2
a - 3 2外離，所以 + a - 3 + 4 2 > 4，解得 a > 3或 a < -1，即實數 a的取值范圍是 - , -1 3,+ .
故選：D.
4-4．（2024·
2
山西·模擬預測）已知圓C ： x21 + y - a = a2 a > 0 的圓心到直線 x - y - 2 = 0 的距離為 2 2 ，
則圓C1與圓C2 ： x2 + y2 - 2x - 4y + 4 = 0的公切線共有（ ）
A．0 條 B．1 條 C．2 條 D．3 條
【答案】B
【分析】先根據題意求得 a = 2，從而得到兩圓的圓心和半徑，進而求得圓心距等于兩半徑的差，得知兩圓
內切，即可知道公切線只有 1 條.
2
【詳解】圓C1： x2 + y - a = a2 的圓心為 0,a ，半徑為 a，
0 - a - 2
所以圓心到直線 x - y - 2 = 0 的距離為 d = = 2 2 ，解得 a = 2或 a = -6 ．
12 +12
因為 a > 0，所以 a = 2 .
所以圓C ： x21 + y - 2 2 = 4的圓心為C1 0,2 ，半徑為 r1 = 2．
圓C ： x2 22 + y - 2x - 4y + 4 = 0的標準方程為 x -1 2 + y - 2 2 =1，
圓心坐標為C2 1,2 ，半徑 r2 =1，
圓心距 d = 0 -1 2 + 2 - 2 2 =1 = r1 - r2，所以兩圓相內切．
所以兩圓的公切線只有 1 條.
故選：B．
4-5．（2024 高二上·安徽滁州·期末）圓C 2 2 2 21： x + y - 6x -10y - 2 = 0與圓C2 ： x + y + 4x +14y + 4 = 0公切線
的條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】首先根據題意得到兩圓相外切，即可得到答案.
2 2
【詳解】根據題意，圓C ： x21 + y2 - 6x -10y - 2 = 0，即 x - 3 + y - 5 = 36，
其圓心為 3,5 ，半徑 r = 6；
圓C ： x2 22 + y + 4x +14y + 4 = 0，即 x + 2 2 + y + 7 2 = 49，
其圓心為 -2, -7 ，半徑R = 7 ，
2 2
兩圓的圓心距 C1C2 = -2 - 3 + -7 - 5 =13 = R + r ，所以兩圓相外切，
其公切線條數有 3 條．
故選：C．
題型 5：兩圓的公切線方程
5-1．（2024 2 2 2 2 2高三·全國·專題練習）已知圓C1 : x + y = m (m > 0)與圓C2 : x + y - 2x - 4y - 20 = 0恰有兩條公
切線，則滿足題意的一個m 的取值為 ；此時公切線的方程為 .
【答案】 5（答案不唯一） y = 2x + 5 5 和 y = 2x - 5 5 （答案與前空的答案有關聯）
【分析】根據兩圓相交，求出圓半徑的取值范圍；再根據圓心到直線切線的距離等于半徑求出切線方程.
【詳解】圓C2 的圓心為 (1, 2)，半徑為 5.
C : x2 + y2 = m2因為圓 1 (m > 0)與圓C2 恰有兩條公切線，所以圓C1與圓C2 相交.即 | 5 - m |< C1C2 < 5 + m .
又 C1C2 = 5 ，所以5 - 5 < m < 5 + 5 ，
所以可取m = 5 (答案不唯一.滿m (5 - 5,5 + 5)即可).
2 2
此時C1 : x + y = 25 .
因為C1的圓心為 (0,0)，半徑為 5，C2 的圓心為 (1, 2)，半徑為 5，
所以可設公切線的方程為 y = kx + b，且與兩圓圓心所在的直線平行，解得 k = 2，
b
又因為 y = kx + b是公切線，所以圓心到直線距離等于半徑，即 = 52 ，解得b = ±5 5 .1+ 2
所以當m = 5時，公切線的方程為 y = 2x + 5 5 和 y = 2x - 5 5 .
故答案為: 5； y = 2x + 5 5 和 y = 2x - 5 5 .
5-2．（2024 高二上·山東聊城·期末）已知圓C ： x2 + y2 =1與圓C ： x2 + y21 2 -8x + 6y + m = 0相內切，則C1與
C2 的公切線方程為（ ）
A．3x - 4y - 5 = 0 B．3x - 4y + 5 = 0
C． 4x - 3y - 5 = 0 D． 4x - 3y + 5 = 0
【答案】D
【分析】由兩圓的位置關系得出m ，進而聯立兩圓方程得出公切線方程.
【詳解】圓C ： x2 + y21 =1的圓心O1(0,0), r1 =1，圓C ： x2 22 + y -8x + 6y + m = 0可化為
(x - 4)2 + (y + 3)2 = 25 - m， m < 25 ，則其圓心為O2 (4,-3)，半徑為 r2 = 25 - m ，
因為圓C1與圓C2 相內切，所以 r2 -1 = O1O2 ，即 r2 = 4
2 + 32 +1 = 6 ，故m = -11.
ìx2 + y2 =1
由 í 4x - 3y + 5 = 0x2 + y2
，可得 ，
-8x + 6y -11 = 0
即C1與C2 的公切線方程為 4x - 3y + 5 = 0 .
故選：D
5-3．（2024·陜西渭南·二模）寫出與圓 x2 + y2 =1和圓 x2 + y2 + 6x -8y + 9 = 0 都相切的一條直線的方
程 .
【答案】 x =1或3x - 4y + 5 = 0或7x + 24y + 25 = 0（三條中任寫一條即可）
【分析】根據兩圓公切線的知識求得正確答案.
【詳解】圓 x2 + y2 =1的圓心為 0,0 ，半徑為 r1 =1；
圓 x2 + y2 + 6x -8y + 9 = 0 的圓心為 -3,4 ，半徑為 r2 = 4；
0,0 與 -3,4 的距離為5 = r1 + r2 ，所以兩圓外切.
過 0,0 與 -3,4 4的直線方程為 y = - x .
3
由圖可知，直線 x =1是兩圓的公切線，
ì
y
4
= - x
y 4
4
由 í 3 解得 = -

，設 A 1, -

，
3 3
÷
è
x =1
4 4
設兩圓的一條公切線方程為 y + = k x -1 , kx - y - - k = 0，
3 3
0,0 kx y 4到直線 - - - k = 0的距離為1，
3
4
- - k
即 3 =1，解得 k
7
= - ，
1+ k 2
24
7 4 7
所以兩圓的一條公切線方程為- x - y - + = 0，即7x + 24y + 25 = 0 .
24 3 24
ìx2 + y2 =1
由 í 兩式相減并化簡得3x - 4y + 5 = 02 ，
x + y
2 + 6x -8y + 9 = 0
所以兩圓的公切線方程為 x =1或3x - 4y + 5 = 0或7x + 24y + 25 = 0 .
故答案為： x =1或3x - 4y + 5 = 0或7x + 24y + 25 = 0（三條中任寫一條即可）
題型 6：兩圓的公切線長
6-1．（2024 2 2 2 2高一·全國·課后作業）求圓C1 : x + y = 4與圓C2 : x + y + 20x + 84 = 0 的內公切線所在直線方程
及內公切線的長．
【答案】3x + 4y +10 = 0或3x - 4y +10 = 0，8
【分析】利用兩圓的圓心在 x 軸得到內公切線的交點 P 也在 x 軸上，再利用幾何性質可求 P 的坐標，最后利
用內公切線和圓相切得到其斜率，從而可求其直線方程.
【詳解】C1 0,0 ，C2 -10,0 ， r1 = 2， r2 = 4．
uuuv 1 uuuuv
設內公切線與連心線C1C2 交于點 P ，則 P 在 x 軸上且C1P = PC2 ．2
P x ,0 x 10 10 設 0 ，可得 0 = - ，P - ,0 ．3 ÷è 3
y = k x 10+ kx y 10設內公切線所在直線方程為 ÷ ，即 - + k = 0．
è 3 3
10 k
3 3由 = 2，得 k = ± ．
1+ k 2
4
所以內公切線所在直線方程為3x + 4y +10 = 0或3x - 4y +10 = 0．
2 2
內公切線的長為 C1C2 - r1 + r2 = 102 - 62 = 8．
【點睛】當兩圓相離時，兩圓有兩條外公切線和內公切線，求它們的直線方程時，應先利用幾何性質求出
外公切線的交點、內公切線的交點，它們和兩圓的圓心在一條直線上，再利用相切求出斜率 k .
6-2．（2024 高二上·廣東云浮·期中）已知圓 A 的方程為 x2 + y2 - 2x - 2y - 7 = 0，圓 B 的方程為
x2 + y2 + 2x + 2y - 2 = 0 .
(1)判斷圓 A 與圓 B 是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.
(2)求兩圓的公切線長.
238
【答案】(1)兩圓相交， 4x + 4y + 5 = 0， ；
4
(2) 7 .
【分析】（1）根據圓心距判斷圓的位置關系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出
弦長；
（2）根據公切線的性質，利用圓心距、半徑差、公切線構成的直角三角形求解.
【詳解】（1）圓 A： x -1 2 + y -1 2 = 9，圓 B ： x +1 2 + y +1 2 = 4，
兩圓心距 AB = (1+1)2 + (1+1)2 = 2 2 ，
∵ 3- 2 < AB = 2 2 < 3+ 2，
∴兩圓相交，
將兩圓方程左、右兩邊分別對應相減得： 4x + 4y + 5 = 0，
此即為過兩圓交點的直線方程.
設兩交點分別為C 、D，則 AB 垂直平分線段CD，
4 1+ 4 1+ 5 13
∵A 到CD的距離 d = = 2 ，
42 + 42 8
∴ CD = 2 r 2A - d
2 238= .
4
（2）設公切線 l切圓 A、圓 B 的切點分別為E ，F ，則四邊形 AEFB是直角梯形.
∴ EF 2 = AB 2 - r - r 2A B = 7，
∴ EF = 7 .
題型 7：與圓有關的最值問題
7-1．（2023 秋·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學?？茧A段練習）已知圓C : x2 + y2 - 2x + m = 0與圓
x + 3 2 + y + 3 2 = 4外切，點 P 是圓 C 上一動點，則點 P 到直線5x +12y + 8 = 0的距離的最大值為
【答案】4
【分析】利用兩圓的外切關系先計算m ，再根據圓上一動點到定直線的距離的最值計算即可.
【詳解】圓C : x2 + y2 - 2x + m = 0 2化為標準方程為 x -1 + y2 =1- m，
可得C 1,0 ，其半徑為 1- m m <1 ，
2 2
圓 x + 3 + y + 3 = 4的圓心為 -3, -3 ，半徑為 2，
2
因為兩圓外切，所以 1- m + 2 = 1+ 3 + 3 2 ，解得m = -8，
可得圓C 的半徑為3，
5 + 0 + 8因為圓心C 1,0 到直線5x +12y + 8 = 0的距離為 =1，
52 +122
則點 P 到直線5x +12y + 8 = 0的距離的最大值為3+1 = 4 .
故答案為：4.
7-2．（2023· · C x -1 2全國 高二專題練習）已知圓 ： + y - 2 2 = 5，圓C 是以圓 x2 + y2 =1上任意一點為圓心，
半徑為 1 的圓．圓 C 與圓C 交于 A，B 兩點，則當 ACB 最大時， CC =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】D
【分析】根據給定條件，結合等腰三角形性質確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.
【詳解】依題意，在VABC 中， | AC |=| BC |= 5 ，如圖，
1 AB π
顯然0 < AB 2， ACB 是銳角， ABsin ACB = 2 = ，又函數 y = sin x

在 0, 2 ÷
上遞增，
2 AC 2 5 è
因此當且僅當公共弦 AB 最大時， ACB 最大，此時弦 AB 為圓C 的直徑，
在Rt△ACC 中， AC C = 90o ,| AC |=1，所以 CC = | AC |2 - | AC |2 = 2 .
故選：D
7-3．【多選】（2023 秋·江西萍鄉·高二統考期中）已知圓C ： x21 + y2 - 2x = 0與圓C ： x2 + y22 - 4x - 2y + 4 = 0
相交于A ， B 兩點，下列說法正確的是（ ）
A．直線 AB 的一般式方程為 x + y - 2 = 0
B．公共弦長 AB = 2
C．過A ， B ，C1三點 ( 其中點C1為圓C1的圓心 )的圓的一般方程為 x2 + y2 - 3x - y + 2 = 0
D．同時與圓C1和圓C
3 1 2
2 相內切的最大圓的方程為 (x - )2 + (y - )2 = (1- )2
2 2 2
【答案】ABC
【分析】兩圓的方程相減可得公共弦所在直線方程；求得圓心到直線的距離，利用弦長等于 2 r 2 - d 2 即可
求得弦長；設過A ， B 兩點的圓的方程將C1 1,0 代入，即可求解；同時與圓C1，圓C2 ，相內切的圓沒有最
大，可判斷ABCD .
【詳解】將圓C ： x2 + y21 - 2x = 0與圓C 2 22 ： x + y - 4x - 2y + 4 = 0相減得 x + y - 2 = 0，
所以直線 AB 的一般式方程為 x + y - 2 = 0，A 正確；
圓心C1 1,0
1- 2 2
，半徑等于1，圓心到直線 x + y - 2 = 0的距離為 d = = ，
2 2
AB = 2 r 2 - d 2 1 2= - ( )2 = 2 ，B正確；
2
過A 2 2 2 2， B 兩點的圓的方程可設為 x + y - 2x + l x + y - 4x - 2y + 4 = 0，
將C1 1,0 代入，可得l =1，
所以過A ， B ，C 三點 ( 其中點C 為圓C 的圓心 )的圓的一般方程為 x2 + y21 1 1 - 3x - y + 2 = 0，C 正確；
同時與圓C1，圓C2 ，相內切的圓沒有最大，D 錯誤．
故選：ABC．
7-4．【多選】（2023·全國·高三專題練習）設圓 O: x2 + y2 = 4，直線 l : 2x + y + 5 = 0，P 為 l 上的動點．過點 P
作圓 O 的兩條切線 PA，PB，切點為 A，B，則下列說法中正確的是（ ）
A．直線 l 與圓 O 相交
8 4
B ．直線 AB 恒過定點 - , -

÷
è 5 5
C．當 P 的坐標為 -2，-1 時， APB最大
D．當 PO × | AB |最小時，直線 AB 的方程為 2x + y + 4 = 0
【答案】BCD
【分析】求出圓心 O 到直線 l的距離 d = 5 .對于 A：由d >r直接判斷；對于 B：設P m,-2m - 5 .求出以OP
8 4
為直徑的圓 D 的方程，得到直線 AB：-m x + 2y + 5y + 4 = 0 .證明直線 AB 恒過定點 - , - . C
è 5 5 ÷
對于 ：先

判斷出
2
要使 APB最大，只需 OPA最大.在直角VOPA中，由 sin OPA = .求出OP最小時 P -2，-1 ，即可判
OP
斷；對于 D：利用面積相等得到要使 PO × | AB |最小，只需 PO 最小，即OP ^ l 時，得到 P 的坐標為
-2，-1 ，求出直線 AB.
【詳解】圓 O: x2 + y2 = 4的半徑 r = 2 .
5
設圓心 O 到直線 l : 2x + y + 5 = 0的距離為 d，則 d = = 5 .
22 +12
對于 A：因為 d = 5 > r ，所以直線 l 與圓 O 相離.故 A 錯誤；
對于 B：P 為 l : 2x + y + 5 = 0上的動點，可設P m,-2m - 5 .
因為 PA，PB 為過點 P 作圓 O 的兩條切線，所以PA ^ OA, PB ^ OB .
所以O, A, P, B四點共圓，其中OP為直徑.
m 2m + 5 2 2
設OP 的中點為D ,-

, OD m 2m + 5÷ 則2 2 = ÷ +
- ,
è ÷è 2 è 2
2 2 2 2

所以圓 D 為 x
m
- + y 2m + 5+ m 2m + 5= 2 2
2 ÷ 2 ÷ ÷
+ - ÷ ，即 x - mx + y + 5 + 2m y = 0 .
è è è 2 è 2
所以直線 AB 為圓 D 和圓 O 的相交弦，兩圓方程相減得：-mx + 5 + 2m y + 4 = 0 .
即直線 AB：-m x + 2y + 5y + 4 = 0 .
ì 8
x + 2y = 0 x = -ì 5 8 , 4 由 í5y 4 0 解得： í ，所以直線 AB 恒過定點
- - ÷ .故 B 正確；
+ = y 4 5 5= - è
5
對于 C：因為VOPA和△OPB 為直角三角形，且 OP = OP , OA = OB ,所以VOPA @VOPB，
所以 OPA = OPB，所以 APB = 2 OPA .
要使 APB最大，只需 OPA最大.
OA 2
在直角VOPA中， sin OPA = = .
OP OP
1
要使 OPA最大,只需 OP 最小，所以當OP ^ l 時， OP = d = 5 最小，此時 kOP × kl = -1，所以 kOP = ，所2
以直線OP : y
1
= x .
2
ì 1
y = x ìx = -2
由 í 2 ，解得： í ，即當 P 的坐標為 -2，-1 y 1 時， APB最大.故 C 正確； 2x + y + 5 = 0 = -
對于 D：因為直線 AB 為圓 D 和圓 O 的相交弦，所以 AB ^ OP ，且 AB 被OP平分.
1
所以四邊形OAPB的面積為 S = PO × | AB | .
2
1
OAPB 2S = 2 PA × | OA |= OP 2 2而四邊形 的面積還可以表示為 VOPA - OA × | OA |= OP
2 - 22 × 2
2
1
所以 S = PO × | AB |= OP
2 - 22 ×2 .
2
要使 PO × | AB |最小，只需 PO 最小，即OP ^ l 時，得到 P 的坐標為 -2，-1 .
所以圓D : x2 + 2x + y2 + y = 0 ,
兩圓相減得到直線 AB： 2x + y + 4 = 0 .故 D 正確.
故選：BCD.
7-5．【多選】（2023·全國·高三專題練習）已知圓 M 的方程為： x2 + y2 + ax + ay - 2a - 4 = 0 ，（ a R ），點
P 1,1 ，給出以下結論，其中正確的有（ ）
A．過點 P 的任意直線與圓 M 都相交
B
1
．若圓 M 與直線 x + y + 2 = 0無交點，則 a - , + ÷
è 2
C．圓 M 面積最小時的圓與圓 Q： x2 + y2 + 6x -10y +16 = 0有三條公切線
D．無論 a 為何值，圓 M 都有弦長為 2 2 的弦，且被點 P 平分
【答案】ACD
【分析】根據點與圓的位置關系判斷 A 選項，通過幾何法判斷直線與圓的位置關系判斷 B 選項，根據圓與
圓的位置關系判斷公切線的條數判斷 C 選項，根據半徑的最小值及垂直弦平分弦判斷 D 選項.
【詳解】因為點代入入圓的方程得12 +12 + a + a - 2a - 4 = -2 < 0 ,所以P 1,1 在圓 M 內，
所以過點 P 的任意直線與圓 M 都相交,A 選項正確;
2 2 a a
M M a a a + a + 8a +16 2a
2 + 8a +16 a a - - + 2
圓 圓心 - ,- ÷ , r = = , M - ,- ÷直線 x + y + 2 = 0 2 2 ,
è 2 2 2 2 è 2 2 d = 12 +12
a a
- - + 2 2
若圓 M 與直線 x + y + 2 = 0無交點， d = 2 2 > r 2a + 8a +16= ,
12 +12 2
a a
- - + 2
2 2 a2 + 4a + 8
1
> , -a + 2 > a
2 + 4a + 8 , a2 - 4a + 4 > a2 + 4a + 8 , a < - ,B 選項錯誤;
12
2
+12 2
2
圓M r 2a + 8a +16= ,當 a = -2 時，圓 M 半徑最小則面積最小,
2
2 2
圓 Q： x2 + y2 + 6x -10y +16 = 0 ,Q 3,5 ,R 6 +10 - 4 16- = = 3 2 ,
2
MQ = 1+ 3 2 + 1- 5 2 = 4 2 = R + r = 2 + 3 2 ,
圓 M 面積最小時的圓 M 與圓 Q 外切所以有三條公切線,C 選項正確;
2
a 2 a + 2
2 + 8
無論 為何值， r 2a + 8a +16

= = 2 , 2r 2 2 ,所以圓 M 都有弦長為 2 2 的弦,
2 2
2
MP a a
2 1 2
= 1+
2 2a + 8a +16
2 ÷
+ 1+ ÷ = a + 2a + 2 , r = ,
è è 2 2 2
d r 2 2 2a
2 + 8a +16 2
= - = - 2 2a + 8a + 8 1= = a2 + 2a + 2 , d = MP ,
4 4 2
因為垂直弦平分弦, 圓 M 都有弦長為 2 2 的弦，且被點 P 平分,故 D 選項正確.
故選:ACD.
7-6 2 2 2．（2023·全國·高二專題練習）已知圓O1 : x + y = r1 與圓O2 : (x - 3)
2 + y2 = r 22 r1, r2 > 0 相交于M , N 兩點，
點M 位于 x 軸上方，且兩圓在點M 處的切線相互垂直.
(1) 2 2求 r1 + r2 的值；
(2)若直線 l與圓O1 圓O2 分別切于P,Q 兩點，求 | PQ |的最大值.
【答案】(1) r 21 + r
2
2 = 9
(2)最大值為 3
【分析】（1）根據切線的性質構造直角三角形，結合勾股定理求解；
（2）平移公切線構造直角三角形，由勾股定理結合基本不等式求解 | PQ |的最大值.
【詳解】（1）如圖，由題意可知O1M 與圓O2 相切，O2M 與圓O1相切，
且MO1 ^ MO2 ，
故 MO 21 + MO
2
2 = 9，
r 2 2即 1 + r2 = 9 .
（2）作O2H ^ O1P于點 H，連接 PQ，
在△O 2 2 21O2H 中， O2H = O1O2 - O1H ，
其中 O2H =| PQ |, O1H = r1 - r2 ，
故 PQ
2 = 9 - r1 - r2
2 = 9 - r 21 - 2r 21r2 + r2 = 2r1r2 ，
2r r r 2 + r 2又 1 2 1 2 = 9，當且僅當 r1 = r2 時取等號，
故 | PQ | 3，
即 | PQ |的最大值為 3.
一、單選題
1．（2024 · 2 2 2 2高二上 貴州黔東南·期末）已知圓C1 : x + y =1與圓C2 : x - 2 + y - 2 = r 2 r >1 有兩個交點，
則 r 的取值范圍是（ ）
A． 1, 2 +1 B． 2 2 -1,2 2 +1
C． 1, 2 +1ù D． é 2 2 -1,2 2 +1ù
【答案】B
【分析】根據兩圓相交的性質直接得出.
【詳解】由題意知，圓心C1 0,0 與圓心C2 2,2 ，
則圓心距 C1C2 = 2 2 ，
因為圓C1與圓C2 有兩個交點，
則圓C1與圓C2 相交，
則 r -1< C1C2 < r +1，
解得 2 2 -1 < r < 2 2 +1．
故選：B.
2．（2024 2 2 2 2高二上·湖南郴州·期末）與兩圓C1 : (x -1) + (y + 2) =1和C2 : (x +1) + (y - 3) = 9 都相切的直線有
（ ）條
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據圓的標準方程確定兩圓的圓心坐標和半徑，由圓與圓的位置即可求解.
【詳解】由題意知，C1(1, -2), r1 =1,C2 (-1,3), r2 = 3，
所以圓心距 d = C1C2 = (1+1)
2 + (-2 - 3)2 = 29 > r1 + r2 = 4 ,
所以兩圓相離，公切線有 4 條.
故選：D.
3．（2024·山西·模擬預測）已知圓C1 : x
2 + (y - 2)2 = 5 C : (x + 2)2和 2 + y
2 = 5交于 A，B 兩點，則 | AB |=（ ）
A． 3 B． 2 3 C． 23 D． 2 23
【答案】B
【分析】
先求得相交弦所在直線方程，然后根據圓的弦長的求法求得 AB .
【詳解】
將 x2 + ( y - 2)2 = 5和 (x + 2)2 + y2 = 5相減得直線 AB : y = -x ，
d 2點 (0,2)到直線 x + y = 0的距離 = = 2 ，
2
所以 AB = 2 5 - 2 = 2 3．
故選：B
4 2 2 2 2．（2024 高二上·安徽蕪湖·階段練習）設圓C1 : x + y - 2x + 4y = 4 ，圓C2 : x + y + 6x + 8y + 24 = 0 ，則圓
C1，C2 的位置（ ）
A．內切 B．相交 C．外切 D．外離
【答案】D
【分析】根據兩圓的一般方程化為標準方程得出其圓心與半徑，根據兩圓圓心距離與兩半徑和與差的比較
即可得出答案.
【詳解】圓C : x21 + y
2 - 2x + 4y = 4 ，化為 x -1 2 + y + 2 2 = 9 ，圓心為 1, -2 ，半徑為 r1 = 3；
C : x2圓 2 + y
2 + 6x + 8y + 24 = 0 ，化為 x + 3 2 + y + 4 2 =1，圓心為 -3, -4 ，半徑為 r2 =1；
1+ 3 2 + -2 + 4 2兩圓心距離為： = 2 5 ，
Qr1 + r2 = 4 < 2 5 ，
\圓C1與C2 外離，
故選：D.
5．（2024 2 2高二上·全國·課后作業）已知圓C1：x + y + 2x - 6y +1 = 0
2 2
與圓C2：x + y - 4x + 2y -11 = 0，求兩
圓的公共弦所在的直線方程（ ）
A．3x + 4y + 6 = 0 B．3x + 4y - 6 = 0
C．3x - 4y - 6 = 0 D．3x - 4y + 6 = 0
【答案】D
【分析】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.
【詳解】將兩個圓的方程相減，得 3x－4y＋6＝0.
故選：D.
6．（2024 高二上·浙江麗水· C : x2 + y2 = 4 C : x2 + y2 - 2mx + m2期末）若圓 1 與圓 2 - m = 0外切，則實數m =
（ ）
A．－1 B．1 C．1 或 4 D．4
【答案】D
【分析】由兩圓的位置關系計算即可.
C : x - m 2【詳解】由條件化簡得 2 + y2 = m,\m > 0，即兩圓圓心為C1 0,0 ,C2 m,0 ，
設其半徑分別為 r1, r2， r1 = 2, r2 = m ，所以有 C1C2 = m = r1 + r2 = 2 + m m = 4 .
故選：D
7．（2024 高二上·福建寧德·期中）圓 (x - 2)2 + y - 2 2 =1與圓 x +1 2 + y + 2 2 = 25的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．內含 D．外離
【答案】B
【分析】根據給定條件，求出兩圓的圓心和半徑，并計算兩圓的圓心距即可判斷作答.
【詳解】圓 (x - 2)2 + y - 2 2 =1的圓心C1(2, 2) ，半徑 r1 =1，
圓 x +1 2 + y + 2 2 = 25的圓心C2(-1,-2) ，半徑 r2 = 5，
于是 | C1C2 |= (-1- 2)
2 + (-2 - 2)2 = 5 (r2 - r1, r2 + r1)，
所以兩圓相交.
故選：B
8．（2024 高二上·
2 2
安徽滁州·期末）已知圓C ： x -1 + y + 2 = 4， P 為直線 l： x - 2y + 5 = 0上的一點，過
點 P 作圓C 的切線，切點分別為A ， B ，當 PC × AB 最小時，直線 AB 的方程為（ ）
A． x + 2y - 3 = 0 B． x + 2y - 2 = 0 C． x - 2y - 2 = 0 D． x - 2y - 3 = 0
【答案】D
【分析】
首先根據題意得到當PC ^ l 時，此時 PC × AB 取得最小值，求出以PC 為直徑的圓的方程為 x2 + y2 = 5，再
求兩圓的公共弦方程即可.
【詳解】
由圓的知識可知， P ，A ， B ，C 四點共圓，且PC ^ AB，
所以 PC × AB = 4SVPAC = 4 PA ，
又 PA = PC 2 - 4 ，當PC ^ l 時，此時 PC 取得最小值，
此時直線PC 的方程為 y + 2 = -2 x -1 ，即 2x + y = 0 ，
ì2x + y = 0 ìx = -1
í ，解得 í ，即P -1, 2 .
x - 2y + 5 = 0 y = 2
所以PC 的中點為 0,0 ， PC = 22 + 42 = 2 5
所以以PC 為直徑的圓的方程為 x2 + y2 = 5，
又圓C 2： x -1 + y + 2 2 = 4，即 x2 + y2 - 2x + 4y +1 = 0，
兩圓的方程相減可得： x - 2y - 3 = 0，即直線 AB 的方程為 x - 2y - 3 = 0．
故選：D
9．（2024 高二下·河南洛陽·期末）已知點 P 為直線 y = x +1上的一點，M，N 分別為圓C1： x - 4 2 + y -1 2 =1
與圓C 22 ： x + y - 4 2 = 1上的點，則 PM | + | PN 的最小值為（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分別求得圓C1,C2 的圓心坐標和半徑，求得 C1C2 = 5，結合圖象，得 | PM | + | PN | 5 - r1 - r2 ，即可
求解.
2 2
【詳解】如圖所示，由圓C1 : (x - 4) + (y -1) =1，可得圓心C1(4,1)，半徑為 r1 =1，
圓C 22 : x + (y - 4)
2 = 1，可得圓心C2 (0, 4) ，半徑為 r2 =1，
可得圓心距 C 21C2 = (4 - 0) + (1- 4)
2 = 5，
如圖， PM PC1 - r1 ， PN PC2 - r2
所以 | PM | + | PN | PC1 + PC2 - r1 - r2 = PC1 + PC2 - 2 C1C2 - 2 = 3，
當M , N ,C1,C2 , P 共線時，取得最小值，
故 | PM | + | PN |的最小值為3 .
故選：B
10．（2024 2 2高二上·廣西河池·期末）已知點 P 是圓C1 : (x + 2) + (y +10) = 4 上的一點，過點 P 作圓
C2 : (x - 3)
2 + (y - 2)2 =1的切線，則切線長的最小值為（ ）
A． 2 30 -1 B． 2 30 C． 2 30 +1 D． 2 30 + 2
【答案】B
【分析】根據兩點間距離公式可得兩圓心之間的距離，根據三點共線可知當P,C1,C2 共線且點 P 在C1C2 之
間時， PC2 最小，由勾股定理即可求解.
2
【詳解】切線長 d = PC2 -1，所以當 PC2 取得最小值時，切線長取得最小值.當P,C1,C2 共線且點 P 在
C1C2 之間時，
PC 22 最小，由于 C2C1 = -2 - 3 + -10 - 2
2 =13 ,所以 PC2 min = C1C2 - 2 = C1C2 - PC1 =11，
所以 d 2min = 11 -1 = 2 30 .
故選：B .
11．（2024· 2全國·模擬預測）已知圓O1 : (x - 2) + (y - 3)
2 = 4 O : x2 2，圓 2 + y + 2x + 2y - 7 = 0 ，則同時與圓O1
和圓O2相切的直線有（ ）
A．4 條 B．3 條 C．2 條 D．0 條
【答案】B
【分析】根據圓的方程，明確圓心與半徑，進而確定兩圓的位置關系，可得答案.
O : x - 2 2【詳解】由圓 1 + y - 3
2 = 4，則圓心O1 2,3 ，半徑 r1 = 2；
O : x2 + y2由圓 2 + 2x + 2y - 7 = 0
2 2
，整理可得 x +1 + y +1 = 9 ，則圓心O2 -1, -1 ，半徑 r2 = 3；
由 O1O2 = 2 +1
2 + 3+1 2 = 5 = r1 + r2 ，則兩圓外切，同時與兩圓相切的直線有 3 條.
故選：B.
12．（2024 2 2 2高二上·上海楊浦·期末）兩個圓C1： x + y + 2ax + a - 4 = 0 a R 與C2 ：
x2 + y2 - 2by -1+ b2 = 0 b R 恰有三條公切線，則 a + b 的最大值為（ ）
A．3 2 B．-3 2 C．6 D．－6
【答案】A
【分析】將圓C1與圓C2 的方程化為標準方程，得出圓心、半徑.由題意可知，兩圓外切，即 C1C2 = r1 + r2 ，
代入整理可得 a2 + b2 = 9，然后根據基本不等式即得.
2
【詳解】由已知可得，圓C1的方程可化為 x + a + y2 = 4，圓心為C1 -a,0 ，半徑 r1 = 2；
圓C 22 的方程可化為 x + y - b 2 =1，圓心為C2 0,b ，半徑 r2 =1 .
因為圓C1與圓C2 恰有三條公切線，所以兩圓外切.
所以有 C1C2 = r + r ，即 a21 2 + b2 = 3，所以 a2 + b2 = 9 .
又 a + b 2 = a2 + b2 + 2ab 2 a2 + b2 =18，當且僅當 a = b時，等號成立，
所以-3 2 a + b 3 2 .
故選：A.
13 2 2．（2024 高二上·河北保定·期末）若圓C1 : x + y - 2x + 4 y + m = 0 C : x
2
與圓 2 + y
2 + 2x -1 = 0恰有兩條公共
的切線，則 m 的取值范圍為（ ）
A． (-13,3) B． (3,5) C． (- ,5) D． (- ,3)
【答案】A
【分析】根據兩圓的公切線性質，結合兩圓的位置關系進行求解即可.
【詳解】由 x2 + y2 - 2x + 4y + m = 0 (x -1)2 + (y + 2)2 = 5 - m 5 - m > 0 m < 5，
所以C1(1, -2)，半徑 5 - m ，
由 x2 + y2 + 2x -1 = 0 (x +1)2 + y2 = 2，所以C2 (-1,0)，半徑為 2 ，
C : x2 2因為圓 1 + y - 2x + 4 y + m = 0與圓C2 : x
2 + y2 + 2x -1 = 0恰有兩條公共的切線，所以這兩個圓相交，
于是有 5 - m - 2 < 1+1 2 + -2 2 < 5 - m + 2 -13 < m < 3，而m < 5，
所以 m 的取值范圍為 (-13,3) ，
故選：A
14．（2024 高二上·全國·課前預習）圓 x2 + y2 =1 與圓 x2 + y2 + 2x + 2y +1 = 0 的交點坐標為（ ）
A． (1,0) 和 0,1 B． (1,0)和 0, -1
C． (-1,0) 和 0, -1 D． -1,0 和 0,1
【答案】C
【分析】聯立兩圓的方程，解方程組，即可求得答案.
ìx2 + y2 =1
【詳解】由 í 2 ,可得 x + y +1 = 0，即 y=- x- 1，
x + y
2 + 2x + 2y +1 = 0
代入 x2 + y2 =1，解得 x = -1或 x = 0，
ìx = -1 ìx = 0
故得 í ,
y = 0
或 í
y = -1
所以兩圓的交點坐標為 (-1,0) 和 0, -1 ,
故選:C
15．（2024·河北唐山·二模）已知圓C ： x2 + y21 - 2x = 0，圓C2 ： x - 3 2 + y -1 2 = 4，則C1與C2 的位置關
系是（ ）
A．外切 B．內切 C．相交 D．外離
【答案】C
【分析】算出兩圓圓心的距離，然后與兩圓半徑之和、差比較即可.
【詳解】圓C1的圓心為 1,0 ， r1 =1
圓C2 的圓心為 3,1 ， r2 = 2
所以 r2 - r1 < C1C2 = 3-1
2 + (1- 0)2 = 5 < r2 + r1
所以圓C1與C2 的位置關系是相交.
故選: C.
16 2024 · · C : (x + 2)2．（ 高二上 貴州遵義 期末）圓 1 + (y + 4)
2 = 25與圓C2 : (x +1)
2 + y2 = 9 的公切線的條數為
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先判斷圓與圓的位置關系，從而可確定兩圓的公切線條數.
2 2
【詳解】圓C1 : (x + 2) + (y + 4) = 25的圓心坐標為 (-2, -4)，半徑為 5；
圓C2 : (x +1)
2 + y2 = 9 的圓心坐標為 (-1,0) ，半徑為 3，
所以兩圓的圓心距為 d = 1+16 = 17 ，
因為5 - 3 < 17 < 5 + 3，所以兩圓相交，
所以兩圓的公切線有 2 條.
故選：B.
17 2024· · O : x2 + y2 =1 O ：x2 2．（ 安徽滁州 模擬預測）已知圓 1 與圓 2 + y - 2x + 2y + F = 0 F < 1 相交所
得的公共弦長為 2 ，則圓O2的半徑 r = （ ）
A．1 B． 3 C． 5 或 1 D． 5
【答案】D
【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，后由垂徑定理結合圓O2圓心與半徑表達式可得答案.
2 2
【詳解】x2 + y 2 = 1與O2：x + y - 2x + 2y + F = 0 F < 1 兩式相減得 l : 2x - 2y - 1 - F = 0 ，即
公共弦所在直線方程.
圓O
2 2
2方程可化為O2 : x - 1 + y + 1 = 2 - F ，可得圓心O2 1, -1 ，O2半徑 r = 2 - F .則圓心O2到 l的
2 + 2 - F - 1 3 - F
距離為 d = = ，
4 + 4 2 2
2 2
2 3 - F 2
半弦長為 ，則有 ÷ + ÷
2 F = -3
÷÷ = r = 2 - F ，解得 或F =1（舍），此時 r = 5
.
2 è 2 2 è 2
故選：D .
18．（2024·廣東茂名·二模）已知平面 xOy 內的動點 P ，直線 l： x sinq + y cosq =1，當q 變化時點 P 始終不
在直線 l上，點Q為eC ： x2 + y2 -8x - 2y +16 = 0 上的動點，則 PQ 的取值范圍為（ ）
A． 17 - 2, 17 B． 17 - 2, 17 + 2ù
C． é 17 - 2, 17 + 2 D． 17 - 2, 17 + 2
【答案】D
【分析】根據題意可分析出點 P 在eO ： x2 + y2 =1，問題轉化為兩圓上兩動點距離的取值范圍即可得解.
0 + 0 -1
【詳解】由原點O到直線 l： x sinq + y cosq =1的距離為 d = =1，
cos2 q + sin2 q
可知直線 l是eO ： x2 + y2 =1的切線，又動直線始終沒有經過點 P ，所以點 P 在該圓內，
因為點Q為eC ： x2 + y2 -8x - 2y +16 = 0 上的動點，且C 4,1 ， r =1，
∴ OC - 2 < PQ < OC + 2，又 | OC |= 42 +12 = 17 ，
即 PQ 的取值范圍為 17 - 2, 17 + 2 ，
故選：D
uuur uuur
19．（2024·北京通州·模擬預測）在平面直角坐標系內，點 O 是坐標原點，動點 B，C 滿足 | OB |=| OC |= 2 ，
uuur uuur uuur
OB ×OC = 0，A 為線段BC 中點，P 為圓 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 任意一點，則 AP 的取值范圍是（ ）
A． 2,8 B． 3,8 C． 2,7 D． 3,7
【答案】A
uuur
【分析】根據題意得 A 為圓O : x2 + y2 =1任意一點，設圓 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 的圓心為 M，從而得到 AP 為
圓 O 與圓 M 這兩圓上的點之間的距離，進而即可求解．
uuur uuur
【詳解】由OB ×OC = 0，則OB ^ OC ，
uuur uuur uuur
又 | OB |=| OC |= 2 ，且 A 為線段BC 中點，則 | OA |=1，
所以 A 為圓O : x2 + y2 =1任意一點，
uuuur
設圓 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 的圓心為 M，則 OM = 5，
uuuur
又 | OM = 5 1+ 2，所以圓 O 與圓 M 相離，
uuur
所以 AP 的幾何意義為圓 O 與圓 M 這兩圓上的點之間的距離，
uuur uuuur uuur uuur
所以 AP = OM + AO + MP = 5 +1+ 2 = 8，
max
uuur uuuur uuur uuur
AP = OM - AO - MP = 5 -1- 2 = 2，
min
uuur
所以 AP 的取值范圍為 2,8 ．
故選：A．
uuur
【點睛】關鍵點點睛：依題意得 AP 的幾何意義為圓 x2 + y2 =1與圓 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 這兩圓上的點之間
的距離是解答此題的關鍵．
20．（2024·北京海淀·二模）已知動直線 l與圓O : x2 + y2 = 4 交于A ， B 兩點，且 AOB =120°．若 l與圓
(x - 2)2 + y2 = 25相交所得的弦長為 t，則 t的最大值與最小值之差為（ ）
A．10 - 4 6 B．1 C． 4 6 -8 D．2
【答案】D
【分析】根據題意當動直線經過圓 (x - 2)2 + y2 = 25的圓心時，可得到弦長的最大值為該圓的直徑，再設線
段 AB 的中點為C ，從而得到動直線 l在圓 x2 + y2 =1上做切線運動，當動直線 l與 x 軸垂直且點C 的坐標為
(-1,0) 時，即可得到弦長的最小值，進而即可求解．
【詳解】由題意可知圓 (x - 2)2 + y2 = 25的圓心 (2,0)在圓O : x2 + y2 = 4 上，
則當動直線經過圓心，即點A 或 B 與圓心 (2,0)重合時，如圖 1，
此時弦長 t取得最大值，且最大值為 tmax = 2 5 =10；
設線段 AB 的中點為C ，
在VAOB 中，由OA = OB = 2，且 AOB =120°，則OC =1，
則動直線 l在圓 x2 + y2 =1上做切線運動，
所以當動直線 l與 x 軸垂直，且點C 的坐標為 (-1,0) 時，如圖 2，
此時弦長 t取得最小值，且最小值為 t 2min = 2 5 - 3
2 = 8，
所以 t的最大值與最小值之差為 2．
故選：D．
【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法：
①幾何法：求圓的半徑 r ，弦心距 d ，則弦長為 t = 2 r 2 - d 2 ；
②代數法：運用根與系數的關系及弦長公式 AB = 1+ k 2 × x1 - x2 ．
21．（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知圓C : (x - 3)2 + (y - 4)2 =1和兩點 A a,0 ，B -a,0 (a > 0) ，若圓 C
上至少存在一點 P，使得 APB > 90°，則實數 a 的取值范圍是（ ）
A． 4,6 B． 4, + C． 4, + D． 6, +
【答案】B
【分析】由題意，圓C ： (x - 3)2 + (y - 4)2 =1與圓 O： x2 + y2 = a2 位置關系為相交，內切或內含，從而求得
實數 a 的取值范圍.
【詳解】圓 C： (x - 3)2 + (y - 4)2 =1的圓心C 3,4 ，半徑 r =1，
∵圓 C 上至少存在一點 P，使得 APB > 90°，
∴圓C ： (x - 3)2 + (y - 4)2 =1與圓 O： x2 + y2 = a2 位置關系為相交，內切或內含，如圖所示，
又圓 O： x2 + y2 = a2 的圓心O 0,0 ，半徑 R = a ，
則 OC < r + R ，即 a +1 > 5，∴ a > 4．
故選：B．
22．（2024 高二上·陜西西安·期末）已知兩圓 x2 + y2 + 6ax + 9a2 - 4 = 0和 x2 + y2 - 2by + b2 - 9 = 0恰有三條公
1 1
切線，若 a R ，b R ，且 ab 0，則 + 的最小值為（ ）
a2 b2
16 32 16 32
A． B． C． D．
25 25 9 9
【答案】A
【分析】確定兩圓圓心和半徑，根據公切線得到兩圓外切，得到9a2 + b2 = 25，變換得到
1 1 1
+
1 1 2 2
2 2 = 2 + 2 ÷ 9a + b ，展開利用均值不等式計算得到答案.a b 25 è a b
【詳解】 x2 + y2 + 6ax + 9a2 - 4 = 0 2，即 x + 3a + y2 = 4，圓心O1 -3a,0 ，R1 = 2；
x2 + y2 - 2by + b2 - 9 = 0，即 x2 + y - b 2 = 9，圓心O2 0,b ，半徑 R2 = 3；
兩圓恰有三條公切線，即兩圓外切，故 O O 2 21 2 = 9a + b = R1 + R2 = 5，
即9a2 + b2 = 25，
1 1 1 1 1 1 b2 9a2 9a2 b2 1
b2 9a2 16
2 + 2 = 2 + 2 ÷ + = 2 +a b 25 è a b 25 a b2
+10÷ 2 × +10÷ = .è 25 è a
2 b2 ÷ 25
b2 9a2 a2 25 25當且僅當 2 =
2
2 ，即 = ，b = 時等號成立.a b 12 4
故選：A
二、多選題
23．（2024 高二上·云南大理·期末）點 P 在圓C ：x21 + y2 =1上，點Q在圓C2 ：x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0上，則
（ ）
A． PQ 的最小值為 13 - 3
B． PQ 的最大值為 13
2
C．兩個圓心所在的直線斜率為-
3
D．兩個圓公共弦所在直線的方程為6x - 4y -10 = 0
【答案】AC
【分析】根據圓心距結合兩圓半徑可判斷兩圓的位置關系，故可判斷 D 的正誤，求出 PQ 的最值后可判斷
AB 的正誤，利用公式可求連心線的斜率，故可判斷 C 的正誤.
【詳解】根據題意，圓C1： x2 + y2 =1，其圓心C1 0,0 ，半徑R = 1，
圓C2 ： x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0，即 x - 3 2 + y + 2 2 = 4 ，其圓心C2 3, -2 ，半徑 r = 2，
則圓心距 C1C2 = 9 + 4 = 13 > R + r = 3，兩圓外離，不存在公共弦，故 D 不正確；
PQ 的最小值為 C1C2 - R - r = 13 - 3，最大值為 C1C2 + R + r = 13 + 3，
故 A 正確，B 不正確；
對于 C，圓心C1 0,0 ，圓心C2 3, -2 ，
-2 - 0 2
則兩個圓心所在直線斜率 k = = - ，故 C 正確，
3- 0 3
故選：AC.
24．（2024 2 2高二·全國·課后作業）已知圓 M : x - 2 + y -1 =1，圓 N : x + 2 2 + y +1 2 =1，則下列是 M，
N 兩圓公切線的直線方程為（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． x - 2y + 5 = 0 D． x - 2y - 5 = 0
【答案】ACD
【分析】先判斷兩圓的位置關系可知，兩圓相離，公切線有四條，然后由圓的方程可知，兩圓關于原點 O
對稱，即可知有兩條公切線過原點 O，另兩條公切線與直線 MN 平行，設出直線方程，再根據點到直線的
距離公式求出直線方程，從而解出．
【詳解】圓 M 的圓心為 M（2，1），半徑 r1 =1．圓 N 的圓心為 N（－2，－1），半徑 r2 =1．圓心距
d = 2 5 > 2，兩圓相離，故有四條公切線．又兩圓關于原點 O 對稱，則有兩條切線過原點 O，設切線方程
2k -1 4
為 y＝kx，則圓心到直線的距離 =1，解得 k＝0 或 k = ，對應方程分別為 y＝0，4x－3y＝0．另兩條
1+ k 2 3
b
1 =1
MN l : y = x y 1= x + b b 5切線與直線 平行，而 MN ，設切線方程為 ，則 ，解得2 2 1 = ±
，切線方程為
1+
4 2
x - 2y + 5 = 0 ， x - 2y - 5 = 0．
故選：ACD．
25．（2024 2高二下·河南·階段練習）已知圓C1 : x + y
2 - 6y + 5 = 0和圓C : x22 + y
2 - 8x + 7 = 0，則下列結論正
確的是（ ）
A．圓C1與圓C2 外切
B．直線 y = x 與圓C1相切
C．直線 y = x 被圓C2 所截得的弦長為 2
D．若M , N 分別為圓C1和圓C2 上一點，則 MN 的最大值為 10
【答案】ACD
【分析】利用配方法，根據兩圓相切、圓的切線性質、垂徑定理、兩圓的位置關系逐一判斷即可.
【詳解】圓C1 : x
2 + y2 - 6y + 5 = 0化為 x2 + (y - 3)2 = 4，圓心坐標為 0,3 ，半徑為 2，
2 2
圓C2 : x + y - 8x + 7 = 0化為 (x - 4)2 + y2 = 9，圓心坐標為 4,0 ，半徑為 3.
因為兩個圓的圓心距為 32 + 42 = 5，等于兩個圓半徑的和，所以兩個圓外切，A 正確.
C 0 - 3 3 2圓 1的圓心到直線 y = x 的距離為 = 2，所以直線 y = x 與圓C1不相切，B錯誤.
2 2
4 - 0
圓C2 的圓心到直線 y = x 的距離為 = 2 2 ，直線 y = x 被圓C2 所截得的弦長為 2 32 - (2 2)2 = 2，C 正
2
確.
若M , N 分別為圓C1和圓C2 上一點，則 MN 的最大值為 2 2 + 2 3 =10，D 正確.
故選：ACD
三、填空題
26．（2024 高一·全國·課后作業）圓C1 : x
2 + y2 =1 2與圓C2 : x + y
2 + 2x + 2y +1 = 0的交點坐標為 .
【答案】 (0, -1), (-1,0)
【分析】將兩個圓的方程聯立，解方程組求解即可.
ì x2 + y2 =1
【詳解】聯立兩個圓的方程： í ，C2 2 1方程帶入C2 ，先得到 x + y + 2x + 2y +1 = 0
ìx + y +1= 0
x + y +1 = 0 ，在聯立 í 2 2 ，得到 x
2 + (-x -1)2 =1，解得 x = 0或 x = -1，對應的 y 值為 y = -1或 y = 0 ，
x + y =1
于是得到兩圓交點： (0, -1), (-1,0) .
故答案為： (0, -1), (-1,0) .
27．（2024 高二·全國·課后作業）圓 x2 + y2 - 2x - 3 = 0與 x2 + y2 - 4x + 2y + 3 = 0 的交點坐標為 .
【答案】 1，- 2 和 3，0
【分析】聯立兩圓的方程即可求解.
ìx2 + y2 - 2x - 3 = 0
【詳解】聯立 í 2 2 ，兩式相減得 x=y + 3，將其代入 x
2 + y2 - 2x - 3 = 0中得 y = 0 或
x + y - 4x + 2y + 3 = 0
ìx = 3 ìx =1y = -2，進而得 íy = 0或 í ， y = -2
所以交點坐標為 1，- 2 ， 3，0
故答案為： 1，- 2 和 3，0
28．（2024·廣西玉林·二模）寫出一個半徑為 1，且與圓 (x -1)2 + y2 = 4外切的圓的標準方程： ．
【答案】 (x - 4)2 + y2 =1（答案不唯一，方程滿足 (x - a)2 + (y - b)2 =1且 (a -1)2 + b2 = 9即可）
【分析】設所求圓的方程為 (x - a)2 + (y - b)2 =1，根據兩圓外切可得 a，b 關系，隨意取一組值即可.
【詳解】依題意可設所求圓的方程為 (x - a)2 + (y - b)2 =1，根據兩圓外切得兩圓的圓心距為
(a -1)2 + b2 =1+ 2，即 (a -1)2 + b2 = 9．
令b = 0，則 a = 4，所求圓的方程可以為 (x - 4)2 + y2 =1.
故答案為： (x - 4)2 + y2 =1（答案不唯一）
29．（2024 2 2 2 2 2高二上·四川資陽·期中）已知圓C1 : x + y = m (m > 0)與圓C2 : x + y - 2x - 4y -15 = 0 恰有兩條
公切線，則實數m 的取值范圍 ．
【答案】 ( 5,3 5)
【分析】根據兩圓相交，列出不等關系，即可求得結果.
【詳解】由 x2 + y2 - 2x - 4y -15 = 0，即 (x -1)2 + (y - 2)2 = 20，
可知圓C2 的圓心為 (1, 2)，半徑為 2 5 ；
因為圓C1與圓C2 恰有兩條公切線，所以圓C1與圓C2 相交，
則 | 2 5 - m |<| C1C2 |< 2 5 + m，∵ | C1C2 |= (1- 0)
2 + (2 - 0)2 = 5，
解得： 5 < m < 3 5 ，即m 的取值范圍是 ( 5,3 5) .
故答案為： ( 5,3 5) .
30．（2024 高三· 2 2
2
天津·專題練習）已知圓C1 : x + y = 4與圓C2 : x
2 + y - a = 9(a > 0) 外切，此時直線
l : x + y - 3 = 0被圓C2 所截的弦長為 ．
【答案】 2 7
【分析】根據兩圓外切，可得圓心距離為半徑之和，可得 a，接著計算C2 到直線的距離，最后根據圓的弦
長公式計算可得結果.
【詳解】由題意可得： a = 2 + 3 = 5，
即圓C : x22 + y - a
2 = 9(a > 0) 的圓心為 (0,5) ，半徑為3，
d 2即圓心到直線 l : x + y - 3 = 0的距離為 = = 2 ，
2
故所截弦長為 2 9 - 2 = 2 7 ．
故答案為： 2 7
31．（2024·天津和平·二模）圓 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 與圓 x2 + y2 = 4的公共弦所在的直線方程為 ．
【答案】 x - y + 2 = 0
【分析】兩式相減，即可得到兩圓公共弦所在的直線方程.
ìx2 + y2 - 4x + 4y -12 = 0
【詳解】聯立 í 2 2 ，兩式相減得 x - y + 2 = 0 .
x + y = 4
故答案為： x - y + 2 = 0
32．（2024·河南鄭州·一模）經過點P 1,1 以及圓 x2 + y2 - 4 = 0與 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 交點的圓的方程
為 ．
【答案】 x2 + y2 + x - y - 2 = 0
【分析】求出兩圓的交點坐標，設出所求圓的一般方程，將三點坐標代入，解出參數，可得答案.
ìx2 + y2 - 4 = 0
【詳解】聯立 í 2 2 ，整理得 y = x + 2 ，
x + y - 4x + 4y -12 = 0
代入 x2 + y2 - 4 = 0，得 x2 + 2x = 0，解得 x = 0或 x = -2，
則圓 x2 + y2 - 4 = 0與 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 交點坐標為 (0, 2), (-2,0)，
設經過點P 1,1 以及 (0, 2), (-2,0)的圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ,
ì2 + D + E + F = 0 ìD =1

則 í4 + 2E + F = 0 ，解得 íE = -1 ，

4 - 2D + F = 0 F = -2
故經過點P 1,1 以及圓 x2 + y2 - 4 = 0與 x2 + y2 - 4x + 4 y -12 = 0 交點的圓的方程為 x2 + y2 + x - y - 2 = 0，
故答案為： x2 + y2 + x - y - 2 = 0
33．（2024 高三下·河南濮陽·開學考試）已知圓C1，C2 的圓心都在坐標原點，半徑分別為1與5．若圓C 的
圓心在 x 軸正半軸上，且與圓C1，C2 均內切，則圓 C 的標準方程為 ．
【答案】 x - 2 2 + y2 = 9
【分析】依題意求出圓心的橫坐標與半徑，即可得解.
C 5 + -1 5 - -1 【詳解】解：依題意可知圓心 的橫坐標為 = 2，半徑為 = 3，
2 2
2
故圓C 的標準方程為 x - 2 + y2 = 9 .
2
故答案為： x - 2 + y2 = 9 .
34．（2024 高二上·貴州遵義·階段練習）圓C 2 2 2 21： x + y + 6x - 4y = 0和圓C2 ： x + y - 6y = 0交于 A，B 兩點，
則線段 AB 的垂直平分線的方程是 .
【答案】 x - 3y + 9 = 0
【分析】由兩圓的方程得兩圓心坐標，兩圓心所在直線的方程即為所求直線方程，
【詳解】圓C1方程為 (x + 3)2 + (y - 2)2 = 13，圓C 2 22 方程為 x + (y - 3) = 9，
則圓心分別為C1(-3,2)，C2 (0,3)，兩圓相交于 A, B兩點，則線段 AB 的垂直平分線即為直線C1C2 ，
k 3- 2 1C C = = ，則直線C1C2 的方程為 y
1
= x + 3
1 2 0 ( 3) 3 ，即
x - 3y + 9 = 0，
- - 3
故答案為： x - 3y + 9 = 0
35．（2024
2 2
高二下·廣東廣州·期末）寫出與圓 x - 4 + y + 3 =16和圓 x2 + y2 =1都相切的一條直線的方
程 .
【答案】 y =1（答案不唯一， 24x + 7 y + 25 = 0或 4x - 3y - 5 = 0均可以）
【分析】先判斷兩圓位置關系，再分情況依次求解可得.
【詳解】圓 x2 + y2 =1的圓心為O 0,0 2 2，半徑為 1；圓 x - 4 + y + 3 =16的圓心為C 4, -3 ，半徑為 4，
圓心距為 OC = 5，所以兩圓外切，
如圖，有三條切線 l1，l2，l3 ，易得切線 l1的方程為 y =1；
3 4 4
因為 l3 ^ OC ，且 kOC = - ，所以 kl = ，設 l3 : y = x + b，即 4x - 3y + 3b = 0，則O 0,0 到 l3 的距離4 3 3 3
3b 5 5
=1，解得b = （舍去）或- ，所以 l3 : 4x - 3y - 5 = 0；5 3 3
ìy 3= - x
可知 l1和 l
3 4
2關于OC : y = - x對稱，聯立 4 ，解得 - ,1 在 l 上，4 í ÷ 2 y =1 è 3
ì y0 +1 3 x
= -
0
l 0,1 OC x , y 2 4 2在 1上取點 ，設其關于 的對稱點為 0 0 ，則 í
y0 -1 3
，
- ÷ = -1 x0 è 4
ì
x
24
= - 7
0 25 - -1 24
解得 í k = 25 = -
y 7
，則 l ，2 24 4
= - - +
7
0 25 25 3
所以直線 l2 : y -1
24 x 4= - + ÷，即 24x + 7 y + 25 = 0，7 è 3
綜上，切線方程為 y =1或 24x + 7 y + 25 = 0或 4x - 3y - 5 = 0 .
故答案為： y =1（答案不唯一， 24x + 7 y + 25 = 0或 4x - 3y - 5 = 0均可以）
36 2024· · C : (x - a)2 + y2 = 4 C : x2 + (y - b)2．（ 浙江嘉興 二模）已知圓 1 與 2 =1 a,b R 交于 A, B兩點.若存在
a，使得 AB = 2 ，則b 的取值范圍為 .
【答案】 é ù - 3, 3
【分析】根據圓與圓相交弦所在直線方程性質求得直線 AB 的方程，利用直線與圓相交弦長公式，求得 a,b
滿足的等式關系，根據方程有解，即可得b 的取值范圍.
【詳解】圓C1 : (x - a)
2 + y2 = 4的圓心C1 a,0 ，半徑 r1 = 2 2 2，圓C2 : x + (y - b) =1的圓心C2 0,b ，半徑
r2 =1
若兩圓相交，則 r1 - r2 < C1C2 < r1 + r2 ，所以1 < a2 + b2 < 3，即1< a2 + b2 < 9，
又兩圓相交弦 AB 所在直線方程為： (x - a)2 + y2 - x2 - (y - b)2 = 4 -1即 2ax - 2by - a2 + b2 + 3 = 0
2a2 - 0 - a2 + b2 + 3
所以圓心C1 a,0 到直線 AB 的距離 d1 = ，圓心C2 0,b 到直線 AB 的距離
4a2 + 4b2
0 - 2b2 - a2 + b2 + 3
d2 = ，
4a2 + 4b2
ì a2 + b2 + 3
= 3
ìd = 3 4a2 + 4b2
則弦長 AB = 2 r 21 - d
2 2
1 = 2 r2 - d
2
2 = 2，所以 í
1 ，則 í ，所以 a2 + b2 = 3，
d 22 = 0 a + b2 - 3
= 0
4a2 + 4b2
若存在 a，使得 AB = 2 ，則b2 3，即- 3 b 3，所以b 的取值范圍為 é ù - 3, 3 .
故答案為： é - 3, 3ù .
37．（2024 高三下·安徽池州·階段練習）已知eM : x2 + y2 - 2x - 2y +1 = 0，直線 l : x + 2y + 2 = 0, P為 l上的動
點，過點 P 作eM 的切線PA, PB，切點為 A, B，當 PM × AB 最小時，直線 AB 的方程為 .
【答案】 x + 2y - 2 = 0
【分析】由題意分析可得 PM × AB = 2 | PM |2 -1，當直線MP ^ l 時， PM × AB 最小，此時求出以MP 為
直徑的圓的方程，兩圓方程聯立即可求得直線 AB 的方程.
【詳解】圓的方程可化為 (x -1)2 + (y -1)2 = 1，則圓心M 1,1 ，半徑 r =1，
1 1+ 2 1+ 2
可得點M 到直線 l的距離為 d = = 5 >1，
12 + 22
所以直線 l與圓相離，
依圓的知識可知，四點 A, P, B, M 四點共圓，且 AB ^ PM ，
所以 PM × AB
1
= 4SVPAM = 4 PA AM = 2 PA = 2 | PM |
2 -1，
2
原題意等價于 PM 取到最小值，
當直線MP ^ l 時， MP = d = 5 ，此時 PM × ABmin 最小.
\MP的直線方程為： y = 2 x -1 +1 = 2x -1，
ìy = 2x -1 ìx = 0
與 l聯立 í P 0, -1
x
，解得：
+ 2y + 2 = 0 í y = -1
，即 ，
1
則MP 的中點為 ,0 ，
è 2 ÷
2 2
1 5
所以以MP 為直徑的圓的方程為 x - ÷ + y
2 = ÷÷ ，即 x
2 + y2 - x -1 = 0 ，
è 2 è 2
兩圓的方程相減可得： x + 2y - 2 = 0，
即直線 AB 的方程為 x + 2y - 2 = 0 .
故答案為： x + 2y - 2 = 0 .
38．（2024· 2 2河北衡水·三模）若圓C1 : x + y =1和C2 : x
2 1+ y2 - 2 3ax - 2ay - 5a = 0 a > 2 ÷
有且僅有一條公切
è
線，則 a = ；此公切線的方程為
【答案】 1 3x + y + 2 = 0
【分析】根據兩圓內切由圓心距與半徑關系列出方程求 a，聯立圓的方程求出切點，根據圓的切線性質得出
斜率即可求解.
【詳解】如圖，
由題意得C1與C
2
2 相內切，又C2 : (x - 3a) + (y - a)
2 = 4a2 + 5a a 1> ÷，
è 2
所以 C1C2 = 3a
2 + a2 = 4a2 + 5a -1，
所以 2a +1 = 4a2 + 5a ，解得 a =1，
所以C2 3,1 k 1 3， C C = = ．1 2 3 3
ì
ìx2 2
3
+ y =1 x = - ,
í 2聯立 2x - 3 + y -1 2 ，解得 í = 9 y 1 = - , 2
3
所以切點的坐標為 - ,
1
- ，
è 2 2 ÷
÷

1 3 x 3

故所求公切線的方程為 y + = - + 2 ÷÷
，即 3x + y + 2 = 0．
2 è
故答案為：1； 3x + y + 2 = 0
四、解答題
39．（2024 2 2 2 2高二上·河北保定·期末）已知圓C1 : x + y =10 與圓C2 : x + y + 2x + 2y - 7 = 0
(1)求證：圓C1與圓C2 相交；
(2)求兩圓公共弦所在直線的方程；
(3)求經過兩圓交點，且圓心在直線 x + y - 6 = 0 上的圓的方程．
【答案】(1)證明見解析
(2) 2x + 2y + 3 = 0
(3) x2 + y2 - 6x - 6y -19 = 0
【分析】（1）根據圓C1與圓C2 圓心距與兩半徑關系證明；
（2）兩圓相交，兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程；
（3）設出經過兩圓交點的圓系方程，圓心坐標代入所在直線即可求解.
1 C : x2 + y2【詳解】（ ）圓 1 =10 ，圓心坐標為C1 0,0 ，半徑 r1 = 10 ，
C : x2圓 2 + y
2 + 2x + 2y - 7 = 0 2化成標準方程為 x +1 + y +1 2 = 9 ，圓心坐標為C2 -1, -1 ，半徑 r2 = 3，
圓心距 C1C
2
2 = 1 +1
2 = 2 ， r1 - r2 < C1C2 < r1 + r2 ，所以圓C1與圓C2 相交.
（2）兩圓方程相減，得 2x + 2y + 3 = 0 ，所以兩圓公共弦所在直線的方程為 2x + 2y + 3 = 0 .
3 2 2 2 2（ ）設所求圓的方程為 x + y + 2x + 2y - 7 + l x + y -10 = 0 l -1 ，即
1+ l x2 + 1+ l y2 + 2x + 2y - 7 -10l 1= 0 ，圓心坐標為 - ,
1
- ÷，代入直線 x + y - 6 = 0 可得
è 1+ l 1+ l
1 1
- - - 6 = 0 4，解得l = - ，所求圓的方程為 x2 + y2 - 6x - 6y -19 = 0
1+ l 1+ l 3
40．（2024 高二上·全國·課后作業）如圖，已知點 A、B 的坐標分別是 (-3,0), (3,0)，點 C 為線段 AB 上任一
點，P、Q 分別以 AC 和 BC 為直徑的兩圓O1，O2 的外公切線的切點，求線段 PQ 的中點的軌跡方程.
【答案】 x2 + 4y2 = 9(-3 < x < 3)
【分析】作出兩圓的內公切線，由圓的知識，內公切線與外公切線的交點，即為 PQ 的中點，再利用切線長
的性質建立幾何關系，化簡即可求出軌跡方程.
【詳解】過 C 作MC ^ AB ，交 PQ于點M ，則MC 是兩圓的內公切線，
因為直線 PQ為兩圓的外公切線，
由切線長知識可得， MC = MQ ， MC = MP ，
所以M 是線段 PQ 的中點，
M (x, y) C(x,0) O (-3 + x 3 + x設 ，則 ， 1 ,0)，O2 ( ,0)，2 2
o
連接O1M ，O1P ，O2M ，O2Q，則 O1PM = O2QM = 90
又因為 MC = MP ， MO1 = MO1 ， MC = MQ ， MO2 = MO2 ,
所以VO1PM≌VO1CM ，VO2QM≌VO2CM ，
所以 O1MP = O1MC ， O2MQ = O2MC ，
O MO = 90o MO 2從而可得 1 2 ，所以 1 + MO
2
2 = O
2
1O2 ，
(x -3 + x- )2所以 + y 2 (x
3 + x
+ - )2 + y 2 (-3 + x 3 + x= - )2 ，
2 2 2 2
所以 x2 + 4y2 = 9 ，
因為點C 是線段 AB 上任一點， AC 和BC 為直徑，
所以-3 < x < 3，
所以線段 PQ 的中點的軌跡方程為 x2 + 4y2 = 9(-3 < x < 3) .
41．（2024 高二·全國·課后作業）已知圓M : x2 + y2 =10 和圓 N : x2 + y2 + 2x + 2y -14 = 0，求過兩圓交點，且
面積最小的圓的方程．
【答案】 (x-1)2 + (y -1)2 = 8
【分析】設兩圓交點為 A、B，則以 AB 為直徑的圓就是所求的圓，聯立兩圓，求得公共弦方程，再求得兩
圓圓心連線的方程，即可求得圓心坐標，根據弦長公式，求得弦 AB 的長，可得圓的半徑，即可得答案.
【詳解】設兩圓交點為 A、B，則以 AB 為直徑的圓就是所求的圓．
ìx2 + y2 =10
聯立 í 2 2 ，可得直線 AB 的方程為 x + y - 2 = 0．
x + y + 2x + 2y -14 = 0
又圓 M 的圓心 (0,0)，圓 N 的圓心 (-1,-1)
所以兩圓圓心連線的方程為 x - y = 0．
ìx + y - 2 = 0
解方程組 í (1,1)
x - y 0
，可得圓心坐標為 ．
=
圓心M (0,0)到直線 AB 的距離為 d = 2 ，圓 M 的半徑為 r = 10 ，
弦 AB 的長為 AB = 2 r 2 - d 2 = 4 2 ，則所求圓的半徑為 2 2 ，
所以所求圓的方程為 (x-1)2 + (y -1)2 = 8．
42．（2024 高一下·山東臨沂·期末）已知圓C：x2 + y2 - 6x -8y + 21 = 0．
(1)若直線 l1過定點 A 1，1 ，且與圓 C 相切，求直線 l1的方程；
(2)若圓 D 的半徑為 3，圓心在直線 l2：x - y + 2 = 0上，且與圓 C 外切，求圓 D 的方程．
【答案】(1) x =1或5x -12y + 7 = 0
(2) (x +1)2 + (y -1)2 = 9 或 (x - 6)2 + (y -8)2 = 9
【分析】（1）由點到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，
（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關系，即可列方程求解.
【詳解】（1）圓C：x2 + y2 - 6x -8y + 21 = 0
化為標準方程為 (x - 3)2 + (y - 4)2 = 4 ，
所以圓 C 的圓心為 3，4 ，半徑為 2．
①若直線 l1的斜率不存在，即直線為 x =1，符合題意．
②若直線 l1的斜率存在，設直線 l1的方程為 y -1 = k x -1 ．即 kx - y - k +1 = 0．
由題意知，圓心 3，4 到已知直線 l1的距離等于半徑 2，
3k - 4 - k +1 2k - 3
所以 = 2 = 2
k 2
，即 ，
+1 k 2 +1
k 5解得 = ，所以直線方程為5x -12y + 7 = 0．
12
綜上，所求直線 l1的方程為 x =1或5x -12y + 7 = 0．
（2）依題意，設D a, a + 2 ．
又已知圓 C 的圓心為 3，4 ，半徑為 2，
由兩圓外切，可知 CD = 3 + 2 = 5，
所以 (a - 3)2 + (a + 2 - 4)2 = 5，
解得 a = -1或 a = 6．所以D -1,1 或D 6,8 ，
所以所求圓 D 的方程為 (x +1)2 + (y -1)2 = 9 或 (x - 6)2 + (y -8)2 = 9．
【點睛】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關系及圓與圓的位置關系，屬于中檔題．
（1）先求出圓心和半徑，然后分成直線斜率存在或不存在兩種情況，利用圓心到直線的距離等于半徑列方程
可求得直線的方程．
（2）設出圓 D 圓心坐標，利用兩圓外切，連心線等于兩圓半徑的和列方程，可求得 a 的值，從而求得圓 D
的方程．
43．（2024 2 2 2 2高二上·全國·單元測試）求過兩圓C1 : x + y - 2y - 4 = 0和圓C2 : x + y - 4x + 2 y = 0的交點，且
圓心在直線 l : 2x + 4y -1 = 0 上的圓的方程.
【答案】 x2 + y2 - 3x + y -1 = 0
【分析】根據過兩圓交點的圓系方程設出所求圓的方程，并求出圓心坐標，把圓心坐標代入直線 l的方程，
從而求出圓的方程.
2 2 2 2
【詳解】設圓的方程為 x + y - 4x + 2y + l(x + y - 2y - 4) = 0 l -1 ，
2
則 1+ l x - 4x + 1+ l y2 + 2 - 2l y - 4l = 0 ，
2 4 2 l -1
即 x + y2 - x
2 - 2l y 4l+ - = 0 ，所以圓心坐標為 ,
1+ l 1+ l 1+ l è1+ l 1
，
+ l ÷
2 , l -1 把圓心坐標 ÷代入 2x + 4y -1 = 0 2
2
得 + 4
l -1
-1 = 0 1，解得l =
è1
，
+ l 1+ l 1+ l 1+ l 3
所以所求圓的方程為 x2 + y2 - 3x + y -1 = 0 ．
44．（2024 高二上·浙江·期中）已知圓O : x2 + y2 =1，圓M : (x - 2)2 + (y -1)2 = 9．
(1)求兩圓的公共弦長；
(2)求兩圓的公切線方程．
【答案】(1) 55
5
(2) x 1 y
3 5
= - 和 = - x -
4 4
【分析】（1）聯立兩圓方程可得公共弦直線方程，求出點O到 l的距離，利用半徑、O到 l的距離、公共弦
長的一半構成的直角三角形可得答案；
1
（2）由圖象、方程特征可知一條公切線為： x=-1；求出直線OM 與 x=-1的交點 -1, - ÷ ，設另一條公切
è 2
1
線的方程為 y + = k(x +1) ，利用點M 2,1 到此公切線的距離解得 k ，可得答案.
2
【詳解】（1）易知圓O的圓心 0,0 ，半徑為 1，圓M 的圓心(2,1)，半徑為 3，
兩圓方程O : x2 + y2 =1 M : x - 2 2、 + y -1 2 = 9 相減可得公共弦直線方程為
l : 4x 3+ 2y + 3 = 0，所以點O到 l的距離為 d 3 5= = ，
16 + 4 10
2

AB 2 12 3 5
55
所以公共弦長為 = - ÷÷ = ；
è 10 5
（2）因為圓O的圓心 0,0 ，半徑為 1，圓M 的圓心(2,1)，半徑為 3，
由圖象可知，有一條公切線為： x=-1，
1
直線OM : y
1
= x與 x=-1

的交點為 -1, -

÷ ，2 è 2
1 1
設另一條公切線的方程為 y + = k x +1 ，也即 kx - y + k - = 0，
2 2
3k 3-
則點M 2,1 3到此公切線的距離 d = 2 = 3，解得： k = - ，
k 2
4
+1
3
所以另一條公切線的方程為： y = - x
5
- ，
4 4
3 5
綜上，兩圓的公切線方程為 x=-1和 y = - x - ．
4 4
45．（2024 高一下·江蘇無錫·期中）已知圓 C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定點 A（m，0），B（0，n），其中
m，n 為正實數．
(1)當 a＝m＝n＝3 時，判斷直線 AB 與圓 C 的位置關系；
(2)當 a＝4 時，若對于圓 C 上任意一點 P 均有 PA＝λPO 成立（O 為坐標原點），求實數 m，λ 的值；
(3)當 m＝2，n＝4 時，對于線段 AB 上的任意一點 P，若在圓 C 上都存在不同的兩點 M，N，使得點 M 是線
段 PN 的中點，求實數 a 的取值范圍．
【答案】(1)相離
(2)m＝3，λ＝2
é17
(3) ê ,
36
÷
9 5
【分析】（1）把 a＝m＝n＝3 分別代入圓與直線方程，由圓心到直線的距離,即可判斷直線與圓的位置關系；
（2 2 2 2）設點 P（x，y），由 PA＝λPO，得 l -1 x + l -1 y2 + 2mx - m2 = 0 ，結合 x +1 2 + y2 = 4，化簡得
2 m - l 2 +1 x - m2 + 3 l 2 -1 = 0 ，由 P 為圓 C 上任意一點，列式求得實數 m，λ 的值；
（3）求出直線方程，由點P, N 的坐標得到點M 的坐標，將點 M，N 的坐標代入圓 C 的方程，利用方程有
解，以及直線 AB 與圓C 相離，即可求解 a 的范圍．
【詳解】（1）當 a＝3 時，圓心為 -1,0 ，半徑為 3，
當 m＝n＝3 時，直線 AB 方程為 x + y - 3 = 0，
-1- 3
∴圓心到直線距離為 d = = 2 2 ，
2
∵ 3 < 2 2 ，∴直線與圓相離；
2 P x y PO x2 y2 PA = x - m 2（ ）設點 （ ， ），則 = + ， + y2 ，
2
∵PA＝λPO，∴ x - m + y2 = l 2 x2 + y2 ，
即 l 2 -1 x2 + l 2 -1 y2 + 2mx - m2 = 0 ，
x +1 2由 + y2 = 4得， x2 + y2 + 2x - 3 = 0，∴ x2 + y2 = 3 - 2x，
代入得， l 2 -1 3- 2x + 2mx - m2 = 0 ，
2 m - l 2 +1 x - m2化簡得 + 3 l 2 -1 = 0 ，
ìm - l
2 +1 = 0
∵P 為圓 C 上任意一點，∴ í
-m2 + 3 l 2 ， -1 = 0
又 m，λ＞0，解得 m＝3，λ＝2；
x y
（3）直線 AB 的方程為 + =1，設P t, 4 - 2t , 0 t 2 ，N（x，y），
2 4
x + t
∵點 M 是線段 PN 的中點，\M , 2
y
- t + ，
è 2 2 ÷
ì x +1 2 + y2 = a

又 M，N 都在圓 C：（x+1）2+y2＝a 上， í x + t 2 2 ，
+1
2 t y÷ + - +

÷ = a
è 2 è 2
ì x +1
2 + y2 = a
即 í ．
x + t + 2
2 + y + 4 - 2t 2 = 4a
∵關于 x，y 的方程組有解，即以（﹣1，0）為圓心， a 為半徑的圓與以 -t - 2,2t - 4 為圓心，2 a 為半徑
的圓有公共點，
∴ a t +1 2 + 2t - 4 2 9a ，
2 2
又 P 為線段 AB 上的任意一點，∴ a t +1 + 2t - 4 9a 對所有0 t 2成立．
2 é36 ù
而 f t = t 7 36+1 2 + 2t - 4 2 = 5 t -
+ 在[0，2]上的值域為 ,17 ，
è 5 ÷ 5 ê 5 ú
ìa 36 17 a 36∴ í 5 ，即 ．
9a 17 9 5
-2 + 0 - 4 36
根據題意可知線段 AB 與圓 C 無公共點，∴ a < ，則 a < ．
5 5
é17 36
故實數 a 的取值范圍為 ê , ． 9 5 ÷
46．（2024 2 2 2 2 2高二下·上海黃浦·階段練習）已知圓C1 : (x + 3) + (y -1) = 4 和圓C2 : (x - 4) + ( y - 5) = r (r > 0)
(1)若圓C1與圓C2 相交于 A, B兩點，求 r 的取值范圍，并求直線 AB 的方程（用含有 r 的方程表示）
uuur uuur
(2)若直線 l : y = kx +1與圓C1交于P,Q 兩點，且OP ×OQ = 4，求實數 k 的值
【答案】(1) 65 - 2, 65 + 2 ；14x + 8y - 35 + r 2 = 0
(2) 3- 5
2
【分析】（1）根據兩圓相交，得到 r - 2 < C1C2 < r + 2，求出 r 的取值范圍，兩圓相減得到相交弦即直線 AB
的方程；
uuur uuur
（2）聯立直線 l : y = kx +1與圓C1，得到兩根之和，兩根之積，利用OP ×OQ = 4求出 k 的值，并結合根的判
別式舍去不合要求的根.
【詳解】（1）圓C1的圓心為 -3,1 ，半徑為 2，圓C2 的圓心為 4,5 ，半徑為 r ，
因為圓C1與圓C2 相交于 A, B兩點，則 r - 2 < (4 + 3)2 + 42 < r + 2 ，
解得 r 65 - 2, 65 + 2 ，
C : (x + 3)2 + (y -1)2 = 4 C : (x - 4)2 + ( y - 5)2 = r21 與 2 (r > 0) 相減得，
直線 AB 的方程為14x + 8y - 35 + r 2 = 0；
ì 2 2
（2）設P x1, y1 ,Q x2 , y
x + 3 + y -1 = 4
2 ，則聯立 í ，
y = kx +1
得 k 2 +1 x2 + 6x + 5 = 0，
則Δ = 36 - 4 5 k 2 +1 > 0 4 k 2 < ，5
6 5
則 x1 + x2 = - k 2
, x x = ，
+1 1 2 k 2 +1
uuur uuur
QOP ×OQ = 4，
\ x 21x2 + y1 y2 = x1x2 + kx1 +1 kx2 +1 = k +1 x1x2 + k x1 + x2 +1
= k 2 +1 5 -6 + k k 2 +1 k 2 +1+1
6k 2 - 6k + 6
= 2 = 4，k +1
k 3- 5 3 + 5解得 = ，或 k = ，
2 2
k 3 + 5
4 3- 5
其中 = 2不滿足 k < ，舍去， k = 滿足要去，
2 5 2
3- 5
則實數 k 的值為 .
2
47．（2024 高二下·上海黃浦·期中）已知直線 l : x = my -1，圓C : x2 + y2 + 4x = 0 .
(1)證明：直線 l與圓C 相交；
(2)設直線 l與C 的兩個交點分別為A 、 B ，弦 AB 的中點為M ，求點M 的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，設圓C 在點A 處的切線為 l1，在點 B 處的切線為 l2， l1與 l2的交點為Q .證明：Q，A，
B，C 四點共圓，并探究當m 變化時，點Q是否恒在一條定直線上 若是，請求出這條直線的方程；若不是，
說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2) x2 + y2 + 3x + 2 = 0 x -2
(3)Q，A，B，C 四點共圓的證明見解析，點 Q 恒在直線 x = 2上，理由見解析
【分析】（1）求出直線恒過的定點，利用點與圓的位置關系判斷即可；
（2）求出圓的圓心坐標，設出 M 的坐標，利用垂徑定理，轉化求解軌跡方程即可；
（3）設點Q x0 , y0 ，證明 Q，A，B，C 四點共圓，求出圓的方程，求出與圓C 相交弦的方程，即為直線 l
的方程，可求點Q坐標的特征．
【詳解】（1）證明：如圖所示，
圓C : x2 + y2 + 4x = 0 x + 2 2，化成標準方程為 + y2 = 4 ，圓心C -2,0 ，半徑為 2，
直線 l : x = my -1過定點P -1,0 ，定點到圓心距離為 1，即P -1,0 在圓內，故直線 l 與圓 C 相交；
（2）l 與 C 的兩個交點分別為 A、B，弦 AB 的中點為 M，
uuuur uuuur
設點M x, y ，由垂徑定理得CM ^ PM ，即 x + 2, y × x +1, y = 0 ，整理得 x2 + y2 + 3x + 2 = 0 ，
直線 l 不過圓心 C，則 x -2 ，
2 2
所以點 M 的軌跡方程為 x + y + 3x + 2 = 0 x -2 ；
（3）依題意有CA ^ AQ，CB ^ BQ，
四邊形 QACB 對角互補，所以 Q，A，B，C 四點共圓， 且 QC 為圓的直徑，
2 2
設Q x , y x，則圓心坐標為 0 - 2 y0 (x + 2) + y0 0 , ÷， 半徑為 0 0 ，
è 2 2 2
2
2 2
x0 - 2 y 0 (x0 + 2)
2 + y2 0
則圓的標準方程為 x - ÷ + y - = ÷ ，
è 2 è 2 ÷ ÷è 2
x2 + y2整理得 + (2 - x0 )x - y0 y - 2x0 = 0，與圓 C 的方程C : x2 + y2 + 4x = 0聯立，
消去二次項得∶ (x0 + 2)x + y0 y + 2x0 = 0，即為直線 l 的方程，
因為直線 l : x = my -1過定點P -1,0 ，所以 2x0 = x0 + 2 ，解得：x0 = 2，
所以當 m 變化時，點 Q 恒在直線 x = 2上．

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