資源簡介

3.2.1 雙曲線及其標準方程 7 題型分類
一、雙曲線的定義
1．定義：平面內與兩個定點 F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡．
2．定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦點：兩個定點 F1，F2.
4．焦距：兩焦點間的距離，表示為|F1F2|.
二、雙曲線標準方程
焦點位置 焦點在 x 軸上 焦點在 y 軸上
圖形
x2 y2 y2 x2
標準方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
焦點 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c 的關系 c2＝a2＋b2
（一）
雙曲線定義的應用
1、雙曲線的定義
（1）定義：平面內與兩個定點 F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌
跡．
（2）定義的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
2、雙曲線定義的應用
(1)已知雙曲線上一點的坐標，可以求得該點到某一焦點的距離，進而根據定義求該點到另一
焦點的距離．
(2)雙曲線中與焦點三角形有關的問題可以根據定義結合余弦定理、勾股定理或三角形面積公
式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用．
題型 1：雙曲線的定義及應用
1-1．（2024 高二下·四川德陽·階段練習）已知點M - 5,0 ，N 5,0 ，動點 P 滿足條件 PM - PN = 4．則
動點 P 的軌跡方程為（ ）
2 2
A x． - y2 =1(x 2) B x． - y2 =（1 x - 2）
2 2
2 2
C x． - y2 =1(x 2) D x． - y2 =1(x -2)
4 4
2 2
1-2 x y．（2024 高三上·遼寧錦州·期末）雙曲線C ： 2 - =1的左右焦點分別為F1，F2，一條漸近線方程為a 12
3x + y = 0，若點M 在雙曲線C 上，且 MF1 = 5，則 MF2 =（ ）
A．7 B．9 C．1 或 9 D．3 或 7
1-3．（2024 高二上·山東青島· P x, y x - 3 2 + y2 - x + 3 2期末）若動點 滿足關系式 + y2 = 4，則點 P 的
軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支
2 2
1-4．（2024 · x y高二下 安徽滁州·開學考試）若雙曲線E : - =1 的左、右焦點分別為F1，F2 ，點 P 在雙曲線9 16
E 上，且 PF1 = 5 ，則 PF2 =（ ）
A．11 B．8 C．1或11 D． 2或8
（二）
求雙曲線的標準方程
1、待定系數法求雙曲線標準方程的方法：
2、求雙曲線的標準方程
(1)用待定系數法求雙曲線的標準方程：若焦點位置不確定，可按焦點在 x 軸和 y 軸上兩種情況
討論求解．
x2 y2
(2)當 mn<0 時，方程 ＋ ＝1 表示雙曲線．
m n
題型 2：求雙曲線的標準方程
2 2
2-1．（2024 高二下·
x y
河南洛陽·階段練習）已知雙曲線 C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦點分別為 F1, F2 ，a b
F1F2 = 4 5 ，點 P 在雙曲線的右支上，若 PF1 - PF2 = b， 則雙曲線 C 的方程為（ ）
y2 x2 y2A． x2 - =1 B． - = 1
4 16 4
x2 y2 2 2C． - =1 D x y． - =1
16 64 4 16
2-2．（2024 高二上·全國·課后作業）根據下列條件，求雙曲線的標準方程：
x2 y2(1)以橢圓 + =1短軸的兩個端點為焦點，且過點 A(4,-5)；
16 9
(2)經過點P(-3,2 7)和Q(-6 2, -7) ．
2-3．（2024·新疆烏魯木齊·二模）2023 年 3 月 27 日，貴州省首屆“美麗鄉村”籃球聯賽總決賽火爆開賽，被
網友稱為“村 BA”.從某個角度觀察籃球（如圖 1），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖 2 所示，籃球的外輪
形狀為圓 O，將籃球表面的粘合線看成坐標軸和雙曲線的一部分，若坐標軸和雙曲線與圓 O 的交點將圓 O
的周長八等分， AB = BC = CD = 2，視 AD 所在直線為 x 軸，則雙曲線的方程為（ ）
2
A x2 7y 1 B 2x2 - y2 =1 C x2 9y
2 3y2
． - = ． ． - =1 D． x2 - =1
9 7 4
2-4．（2024 高二上·全國·課后作業）已知雙曲線過點 -2,0 ，且與橢圓 4x2 + 9y2 = 36有公共焦點，則雙曲線
的標準方程是（ ）
2 2
A y． - x2 x=1 B． - y2 =1
4 4
2 2
C． x2 y- =1 D． y2 x- =1
4 4
2-5．（2024 高三下·貴州·階段練習）已知雙曲線E 的焦點為F1 -1,0 ，F2 1,0 ，過F1的直線 l1與E 的左支相
交于 A, B兩點，過F2的直線 l2與E 的右支相交于C ，D兩點，若四邊形 ABCD為平行四邊形，以 AD 為直徑
的圓過F1， DF1 = AF1 ，則E 的方程為（ ）
2
A． 2x2 - 2y2 =1 B．3x2 3y- =1
2
C 4y
2 2 2
． 4x2 - =1 D 5x 5y． - =1
3 2 3
題型 3：由雙曲線的標準方程求參數
2 2
3-1．（2024 高二上·全國· x y課后作業）“ m >1”是“方程 - =1表示雙曲線”的（ ）
m m -1
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條
件
2 2
3-2．（2024 x y高二下·內蒙古興安盟·階段練習）已知曲線: - =1是雙曲線，則實數 k 的取值范圍是
k + 2 6 - 2k
（ ）
A． (-3,2) B． (-2,3)
C． (- , -3) U (2, + ) D． (- , -2) (3,+ )
2 2
3-3．（2024 x y高三下·湖南岳陽·開學考試）已知 k R ，則“ -2 < k < 3 ”是“方程 - =1表示雙曲線”的
2 - k 2 + k
（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（三）
雙曲線的焦點三角形問題
求雙曲線中的焦點三角形面積的方法
（1）①根據雙曲線的定義求出 PF1 - PF2 = 2a .
②利用余弦定理表示出 PF1 、 PF2 、 F1F2 之間滿足的關系式.
③通過配方，利用整體的思想求出 PF1 × PF2 的值.
1
④利用公式 S = PF1 × PF2 sin F1PF2求得面積.2
1
（2）利用公式 S = F1F2 × yp 求得面積.2
2
（3 b）若雙曲線中焦點三角形的頂角 F1PF2 = q ，則面積 S = .
tan q
2
題型 4：雙曲線的焦點三角形問題
4-1．（2024 高二下·上海浦東新·期中）已知F1，F2為雙曲線C : x2 - y2 = 1的左、右焦點，點 P 在雙曲線 C 上，
PF1 = 2 PF2 ，則 cos F1PF2 = ．
2
4-2 y．（2024 高二下·福建莆田·階段練習）設F1，F2分別是雙曲線C : x2 - 2 =1的左右焦點，過F2作 x 軸的垂b
線與C 交于A ， B 兩點，若VABF1 為正三角形，則VABF1 的面積為（ ）
A． 4 3 B．4 C．3 3 D．3
2
4-3．（2024 高二下·四川資陽· y期末）已知雙曲線C : x2 - 2 =1(m > 0) 的左、右焦點分別為F1，F2，直線 l經m
過F2且與C 的右支相交于 A，B 兩點，若 AB = 2 ，則VABF1 的周長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2 2
4-4．（2024 x y高二下·江西宜春·期末）已知F1，F2分別為雙曲線C ： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦點，左a b
6 15
右頂點分別為 A1, A2 ，離心率為 2，點 P 為雙曲線 C 上一點，直線 A1P，A2P 的斜率之和為 ，VPF1F2的
5
面積為 15 ，則 a =（ ）
A． 2 2 B． 2 C． 2 D．1
2 2
4-5．（2024· x y江西上饒·二模）已知雙曲線 - =1的左、右焦點分別為F1, F2 , P 為雙曲線右支上一點，M4 5
uuuur uuuur
為VPF1F2的內切圓上一點，則F1M × F1F2 取值范圍為（ ）
A． 18,42 B． 24,36
C． 30 - 6 5,30 + 6 5 D． 6 - 6 5,6 + 6 5
題型 5：利用雙曲線定義求點到焦點距離及最值
2 2
5-1．（2024 · x y高二上 北京豐臺·期末）已知F1, F2 是雙曲線 - =1的兩個焦點，點 P 在雙曲線上，若4 6
PF1 = 5 ，則 PF2 =（ ）
A．1 或 9 B．3 或 7 C．9 D．7
2 2
5-2．（2024 高二上·重慶渝中·期末）雙曲線E : x y- =1的左 右焦點是F1、F2，點 P 在雙曲線E 上，若4 3
PF1 = 4，則 PF2 =（ ）
A．8 B．6 C．6 或 2 D．8或0
2 2
5-3 x y．（2024 高二·全國·課后作業）已知雙曲線 - =1在左支上一點 M 到右焦點F1的距離為 18，N 是線
25 9
段MF1 的中點，O 為坐標原點，則 ON 等于（ ）
2
A．4 B．2 C．1 D．
3
題型 6：雙曲線的上的點到焦點和定點距離的和、差最值
2 2
6-1．（2024 高二下·寧夏石嘴山·階段練習）已知 A(6, 4) x y，雙曲線 C： - =1的左焦點為 F，P 是雙曲線 C
4 5
的右支上的動點，則 | PF | - | PA |的最大值是（ ）
A．-1 B． 2 C． 109 D．9
6-2 2024· · A 0,3 7 E : x
2 y2
．（ 江西贛州 一模）已知點 ，雙曲線 - =1的左焦點為F ，點 P 在雙曲線E 的右支
2 7
上運動.當VAPF 的周長最小時， AP + PF = （ ）
A． 6 2 B．7 2 C．8 2 D．9 2
2 2
6-3．（2024 高三下· x y河南許昌·開學考試）已知雙曲線C : - =1的左焦點為F1，M 為雙曲線 C 右支上任
4 5
意一點，D 點的坐標為 3,1 ，則 MD - MF1 的最大值為（ ）
A．3 B．1 C．-3 D．-2
2
6-4 2024 · · x y
2
2 2 2
．（ 高三 全國 專題練習）過雙曲線 2 - =1的左焦點 F 作圓 x + y = a 2 a 3 的一條切線（切a 16
點為 T），交雙曲線右支點于 P，點 M 為線段 FP 的中點，連接 MO，則 MO + MT 的最大值為 ．
（四）
雙曲線的軌跡問題
求軌跡方程的常用方法
(1)直接法
設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據幾何條件直接轉換成 x，y 間的關系式；
(2)定義法
若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數法求出軌跡方程；
(3)相關點法(代入法)
有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉
移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去．
題型 7：求雙曲線的軌跡方程
7-1．（2024 高三·全國·專題練習）如圖，動點M 與兩定點 A(-1,0)、B(1,0)構成△MAB ，且直線MA、MB的
斜率之積為 4，設動點M 的軌跡為C ．求軌跡C 的方程；
7-2．（2024 高二·全國·課后作業）已知VABC 中的兩個頂點是C 0,6 , B 0,-6 ， AB 邊與 AC 邊所在直線的
4
斜率之積是 ，求頂點A 的軌跡．
9
7-3．（2024 高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，動點M x, y 與定點F 5,0 的距離和M 到定直線
l : x 16 5= 的距離的比是常數 ，設動點M 的軌跡為曲線C .求曲線C 的方程；
5 4
7-4．（2024 高二上·廣東廣州·期末）動圓 P 過定點 M(0，2)，且與圓 N： x2 + y + 2 2 = 4 相內切，則動圓圓
心 P 的軌跡方程是（ ）
2 2
A． y2 x- =1 y < 0 B x． y2 - =1
3 3
2 2
C y． - x2 =1 y < 0 D． x2 y+ =1
3 3
2
7-5．（2024· y重慶沙坪壩·模擬預測）已知雙曲線 x2 - =1與直線 l : y = kx + m k ±2 有唯一的公共點M ，
4
過點M 且與 l垂直的直線分別交 x 軸、 y 軸于 A x,0 , B 0, y 兩點．當點M 運動時，點P x, y 的軌跡方程
是（ ）
2
A x x
2
． + y2 =1 y 0 B． - y2 =1 y 0
4 4
x2 4y2C 1 y 0 D x
2 4y2
． + = ． - =1 y 0
25 25 25 25
一、單選題
2 2
1 x y．（2024 高二上·貴州畢節·階段練習）若方程 + =1表示雙曲線，則 k 的取值范圍為（ ）
k - 2 k - 4
A． 0,2 B． 4, + C． 2,4 D． - , 2 4,+
x2 y22．（2024 高二上·全國·課后作業）若點M 在雙曲線 - = 1上，雙曲線的焦點為F1, F2 ，且16 4
MF1 = 3 MF2 ，則 MF2 等于（　　）
A．2 B．4 C．8 D．12
3．（2024 高二上·浙江杭州· C : x2 + y2 + 6x + 8 = 0 C : x2 2期末）已知圓 1 與圓 2 + y - 6x -16 = 0，動圓M 同時與
圓C1及C2 相外切，則動圓圓心M 的軌跡為（ ）
A．橢圓 B．橢圓和一條直線
C．雙曲線和一條射線 D．雙曲線的一支
2 2
4．（2024·青海玉樹· x y模擬預測）已知F1，F2為雙曲線C : - =1的左、右焦點，點 P 是 C 的右支上的一4 2
PF 2
點，則 1 的最小值為（ ）
PF2
A．16 B．18 C．8 + 4 2 D 9 15 2． +
2
2 2
5．（2024 高二下· · y x福建南平 階段練習）已知雙曲線 - =1，直線 l 過其上焦點F2，交雙曲線上支于 A，Bm 2
兩點，且 AB = 4，F1為雙曲線下焦點，VABF1 的周長為 18，則 m 值為（ ）
23 25
A．8 B． C．10 D．
4 4
2 2
6．（2024 · x y高二上 山西晉中·期末）已知雙曲線C : - =1的左焦點為 F ，點 P 是雙曲線C 右支上的一點，
4 4
點M 是圓E : x2 + (y - 2 2)2 =1上的一點，則 PF + PM 的最小值為（ ）
A．5 B．5 + 2 2 C．7 D．8
2 2
7．（2024 高二上·山東濟南·
x y
階段練習）若點 P 是雙曲線C ： - = 1上一點，F1，F2分別為C 的左、右焦4 21
點，則“ PF1 = 8”是“ PF2 = 4 ”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2 2
8．（2024 x y高三·全國·對口高考）若曲線 + =1表示雙曲線，那么實數 k 的取值范圍是（ ）
3+ k 2 - k
A． -3,2 B． - , -3 2, +
C． -2,3 D． - , -2 3, +
2 2
9．（2024 高二上· x y北京石景山·期末）雙曲線 - =1右支上一點 A 到右焦點F1的距離為 3，則點 A 到左焦
16 9
點F2的距離為（ ）
A．5 B．6 C．9 D．11
2 2
10．（2024· x y四川達州·二模）設F1，F2是雙曲線 C： - = 1的左、右焦點，過F2的直線與 C 的右支交于4 3
P，Q 兩點，則 F1P + F1Q - | PQ |=（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
2 2
11．（2024 x y高二上·全國·課后作業）雙曲線 - =1上的點 P 到一個焦點的距離為 11，則它到另一個焦點
25 24
的距離為（　　）
A．1 或 21 B．14 或 36 C．2 D．21
12．（2024 高二上·全國·課后作業）平面內到兩個定點F1, F2 的距離之差的絕對值等于 F1F2 的點的軌跡是
（ ）
A．雙曲線 B．兩條射線 C．一條線段 D．一條直線
2
13．（2024· x河南鄭州·一模）設F1，F2為雙曲線 C： - y2 =1的左、右焦點，Q 為雙曲線右支上一點，點 P3
（0，2）．當 QF1 + PQ 取最小值時， QF2 的值為（ ）
A． 3 - 2 B． 3 + 2 C． 6 - 2 D． 6 + 2
14 2024 · · A 0,4 x
2 y2
．（ 高二上 福建福州 期末）已知 ，雙曲線 - =1的左、右焦點分別為F1，F2，點 P 是雙4 5
曲線左支上一點，則 PA + | PF2 |的最小值為（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
2 2
15．（2024·
x y
山東泰安·二模）已知雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，其一條漸近線方程為 x + 3y = 0，右頂a b
3
點為 A，左，右焦點分別為F1，F2，點 P 在其右支上，點B 3,1 ，三角形 F1AB的面積為1+ ，則當 PF1 - PB
2
取得最大值時點 P 的坐標為（ ）
6 6 6
A． 3- ,1- ÷÷ B． 3+ ,1
6
+
è 2 2 è 2 2 ÷
÷

3
C． 3 + ,1
3 6 + 5 78 ,10 + 78+ D．
è 2 10
÷÷
è 22 22
÷÷

16 2024 · x
2 y2
．（ 高二上 吉林遼源·期末）設 F1，F2是雙曲線 - =1的兩個焦點，P 是雙曲線上的一點，且4 12
3 PF1 = 5 PF2 ，則DPF1F2 的面積等于（ ）
A．24 B．15 2 C．12 5 D．30
2 2
17．（2024 高二上· · x y 2四川成都 期中）若點 P 在曲線C1 : - =1上，點Q在曲線C2 : x - 5 + y2 =1上，點 R16 9
2
在曲線C3 : x + 5 + y2 =1上，則 PQ - PR 的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2 2
18．（2024 · x y高二下 甘肅金昌·期中） P 是雙曲線 - =1 的右支上一點，M、N 分別是圓 (x + 5)2 + y2 =1和
9 16
(x - 5)2 + y2 =4 上的點，則 | PM | - | PN |的最大值為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多選題
2
19 x y
2
．（2024 高二上·新疆克拉瑪依·期中）若方程 + =1所表示的曲線為C ，則下面四個命題中正確的
3- t t -1
是（ ）
A．曲線C 可能是圓
B．若C 為橢圓，則1< t < 3
C．當 t > 2時曲線C 是焦點在 y 軸上的橢圓
D．當 t = 0時曲線C 不是橢圓
20．（2024 高二上·湖南邵陽·期末）已知曲線mx2 + y2 =1（ ）
A．m = -1表示兩條直線 B．m =1表示圓
C．m < 0表示焦點在 y 軸上的雙曲線 D．0 < m <1表示焦點在 x 軸上的橢圓
2 2
21．（2024 高二下·安徽安慶· x y開學考試）方程 + =1表示的曲線可以是（ ）
2a +1 a + 2
A．圓
B．焦點在 y 軸上的雙曲線
C．焦點在 y 軸上的橢圓
D．焦點在 x 軸上的雙曲線
22．（2024 高一下·云南曲靖·期末）已知平面直角坐標系中，點 A -1,0 、B 1,0 ，點 P 為平面內一動點，且
PA - PB = 2a a R ，則下列說法準確的是（ ）
A．當 a = 0時，點 P 的軌跡為一直線
B．當 a =1時，點 P 的軌跡為一射線
C．當 a = -1時，點 P 的軌跡不存在
a 1D．當 = 時，點 P 的軌跡是雙曲線
2
2 2
23．（2024 高二上·浙江湖州· x y期末）已知曲線C 的方程為 + =1 m R ，則（ ）
m 2m + 5
A．曲線C 可以表示圓
B．曲線C 可以表示焦點在 x 軸上的橢圓
C．曲線C 可以表示焦點在 y 軸上的橢圓
D．曲線C 可以表示焦點在 y 軸上的雙曲線
2 2
24．（2024 高二下·安徽· x y開學考試）對于曲線 C： - =1，則下列說法正確的有（ ）
4 - k k -1
A．曲線 C 可能為圓 B．曲線 C 不可能為焦點在 y 軸上的雙曲線
C．若 k <1，則曲線 C 為橢圓 D．若1< k < 2，則曲線 C 為雙曲線
25．（2024 高二上·山西晉中·期末）關于 x 、y 的方程 m -1 x2 + 3 - m y2 = m -1 3 - m m Z 表示的軌跡
可以是（ ）
A．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線
三、填空題
2
26．（2024 x高二上·浙江金華·階段練習）設 P 為雙曲線 - y2 =1上一動點，O 為坐標原點，M 為線段OP 的
4
中點，則點 M 的軌跡方程為 ．
2
27．（2024 高二上· x重慶北碚·階段練習）已知雙曲線 - y2 =1的左右焦點分別為F1 F
3 2
，P 為雙曲線右支上
一點，點Q的坐標為 -2,3 ，則 PQ + PF1 的最小值為 .
2 2
28．（2024 · x y高二下 上海徐匯·期中）已知雙曲線 - =1，F1、F2是其兩個焦點，點 M 在雙曲線上，若4 9
F1MF2 = 60°，則△F1MF2的面積為 ．
2 2
29．（2024 x y高二下·四川遂寧·期末）設雙曲線 - = 1的左、右焦點分別為F1，F2，P 為雙曲線右支上一點，4 3
且 | PF1 |= 3 | PF2 |，則 F1PF2 的大小為 ．
30．（2024 高二·全國·課后作業）到點F1 -4,0 ，F2 4,0 的距離的差的絕對值等于 6 的點的雙曲線的標準方
程為 ．
31．（2024 高二上·山東臨沂·期末）一動圓 P 過定點M -7,0 ，且與已知圓 N：(x - 7)2 + y2 = 36相內切，則
動圓圓心 P 的軌跡方程是 ．
32．（2024 高二上·全國·課后作業）已知雙曲線對稱軸為坐標軸，中心在原點，兩焦點為F1, F2 ，直線 x + y = 6
過雙曲線的一個焦點，P 為雙曲線上一點，且 PF1 =10, PF2 = 4，則雙曲線的方程為 ．
33．（2024 高二·全國·課后作業）動圓M 過點 A 2,0 ，且與圓C：x2 + y2 + 4x + 3 = 0外切，則動圓圓心M 的
軌跡方程是 ．
2 2
34 x y．（2024 高二上·浙江杭州·期末）已知點M 1,2 ，點 P 是雙曲線C : - =1左支上的動點，F2為其右焦9 16
點，N 是圓D : x + 5 2 + y2 =1的動點，則 PM - PN 的最小值為 ．
2
35 x．（2024 高二下·上海松江·期末）已知F 、F 分別是雙曲線C : - y21 2 = 1的左、右焦點，動點 P 在雙曲線4
Q G:x2的左支上，點 為圓 +(y+2)2 =1上一動點，則 | PQ | + | PF2 |的最小值為 .
2 2
36．（2024 高二上·全國· x y專題練習）設雙曲線 - =1的左、右焦點分別為F1，F2，過F1的直線 l交雙曲16 12
線左支于A ， B 兩點，則 AF2 + BF2 的最小值為 ．
37．（2024·北京西城·二模）已知兩點 F1(-1,0), F2 (1,0) ．點 P(cosq ,sinq )滿足 | PF1 | - | PF2 | = 2 ，則VPF1F2的面積
是 ；q 的一個取值為 ．
2 2
38 x y．（2024 高二上·河南南陽·階段練習）已知雙曲線方程為 - =1 m > 0 ，焦距為 8，左 右焦點分別為
m m
F1，F2，點 A 的坐標為 1,2 ，P 為雙曲線右支上一動點，則 PF1 + PA 的最小值為 .
2
39．（2024 高二下·上海松江·期中）從雙曲線 x2 y- =1的左焦點F 引圓 x2 + y2 =1的切線，切點為T ，延長FT
3
交雙曲線右支于 P 點，若M 為線段FP的中點，O為坐標原點，則 MO - MT 的值是 .
2
40．（2024· x海南海口·模擬預測）已知點F1，F2分別是雙曲線 - y2 =1的左右焦點，過F2的直線 l與該雙曲4
線交于 P ，Q兩點（點 P 位于第一象限），點M (x0 , y0 )是△ PF1F2內切圓的圓心，則 x0 = ；若 l的傾斜
p S
角為 ，△ PF1F2的內切圓面積為 S1，△ QF1F
1
2 的內切圓面積為 S3 2
，則 S 為 .2
2
41．（2024·湖北十堰· x二模）已知P x0 , y0 是雙曲線E : - y2 =1上一點，F1、F2分別是雙曲線E 的左、右4
焦點，VPF1F2的周長為12 + 2 5 ，則 cos F1PF2 = ，VPF1F2的面積為 ．
2 2
42．（2024 高三下· · x y上海虹口 期中）過原點的直線 l與雙曲線C : 2 - 2 =1(a,b > 0)的左、右兩支分別交于a b
uuuur uuur uuuur uuur
M ， N 兩點，F 2,0 為C 的右焦點，若FM × FN = 0，且 FM + FN = 2 5 ，則雙曲線C 的方程為 .
四、解答題
43．（2024 高二上·全國·課后作業）求下列動圓的圓心M 的軌跡方程：
(1)與圓C 21 : x + y - 2
2 =1和圓C 22 : x + y + 2
2 = 4都內切；
(2) 2 2與圓C1 : x + 3 + y2 = 9內切，且與圓C2 : x - 3 + y2 =1外切；
(3)在VABC 中，B -3,0 ，C 3,0 16，直線 AB ， AC 的斜率之積為 A .9 ，求頂點 的軌跡方程
44．（2024 高二·全國·專題練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程．
(1)焦點在 x 軸上，a = 2 5 ，經過點 A -5,2 ；
(2)經過 A -7, -6 2 、B 2 7,3 兩點．
2 2
(3)過點P - 2, 2 x y，且與橢圓 + =1有相同焦點雙曲線方程.
9 4
45．（2024 高二·全國·專題練習）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：
(1)兩個焦點的坐標分別是 -5,0 , 5,0 ，雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8；
(2)焦點在 x 軸上，經過點P 4, -2 和點Q 2 6,2 2 ．
(3)經過點P(-3,2 7)和Q(-6 2, -7) ．
x2 y2 5 (4)已知與橢圓 + =1共焦點的雙曲線過點P - , - 6 ÷
49 24 2 ֏
46．（2024 高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系 xOy 中，已知點F1 - 17,0 ，
F2 17,0 , MF1 - MF2 = 2，點M 的軌跡為C .求C 的方程；
47．（2024 高三·全國·專題練習）已知圓A ：（x + 2）2 + y2 = 9，圓 B ：（x - 2）2 + y2 =1，圓C 與圓A 、圓 B 外
切，求圓心C 的軌跡方程 E;

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