資源簡(jiǎn)介

1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題 6 題型分類
一、空間向量研究距離問(wèn)題
1．點(diǎn) P 到直線 l 的距離:
→
已知直線 l 的單位方向向量為 u，A 是直線 l 上的定點(diǎn)，P 是直線 l 外一點(diǎn)，設(shè)向量A P在直線 l 上的投影向量
→
為A Q＝a，則點(diǎn) P 到直線 l 的距離為 a
2－ a·u 2 (如圖)．
2．點(diǎn) P 到平面 α 的距離:
→
|AP·n|
設(shè)平面 α 的法向量為 n，A 是平面 α 內(nèi)的定點(diǎn)，P 是平面 α 外一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到平面 α 的距離為 (如圖)．
|n|
3．兩平行直線間的距離：一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離.
4．直線到平面的距離：直線上任一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.
5．兩平行平面間的距離：一平面上任一點(diǎn)到另一平面的距離．
二、空間向量研究夾角問(wèn)題
1．兩個(gè)平面的夾角：
平面 α 與平面 β 的夾角：平面 α 與平面 β 相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于 90°的二面
角稱為平面 α 與平面 β 的夾角．
2．空間角的向量法解法
角的分類 向量求法 范圍
設(shè)兩異面直線 l1，l2所成的角為 θ，
其方向向量分別為 u，v， π
線線角 (0，|u·v| 2 ]
則 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
|u||v|
設(shè)直線 AB 與平面 α 所成的角為 θ，直線 AB 的
方向向量為 u，平面 α的法向量為 n，則 sinθ＝|cos π
線面角 [0，|u·n| 2 ]
〈u，n〉|＝
|u||n|
設(shè)平面 α 與平面 β 的夾角為 θ，
平面 α，β 的法向量分別為 n1，n2， π
面面角 [0，|n ]1·n2| 2
則 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1||n2|
（一）
點(diǎn)到直線的距離
1、用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟：
(1)求直線的方向向量．
(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．
2、用向量法求點(diǎn)到直線的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn):
(1)不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段;
(2)在直線上可以任意選點(diǎn),但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn);
(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計(jì)算正確.
題型 1：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離
1-1．（2024 高二上·北京大興·期中）如圖，已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1，O為正方形 ADD1A1的
中心，若 P 為平面OD1B內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 P 到直線 A1B1 的距離的最小值為（ ）
A 2
1
． B C 6 3． ． D．
2 2 4 3
1-2．（2024 高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）已知空間三點(diǎn) A 2,1,0 , B 2,1,-1 ,C 1,0,1 ，則點(diǎn)C 到直線 AB 的距離
為 ．
1-3．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點(diǎn) B 到直線 AC1的距離
為（ ）
A 6 B 6 C 6 D 2 6． ． ． ．
3 6 5 3
1-4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是
a，且 AB ^ AD ， A1AB = A1AD = 60°，E 為CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn) E 到直線 AC1的距離為（ ）
A 5． a B 5． a C 5． a D 5． a
10 5 4 3
（二）
點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離
1、用向量法求點(diǎn)面距的步驟：
(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫(xiě)出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．
→
(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(A P，α 內(nèi)兩不共線向量，平面 α 的法向量 n)．
→
|A P·n|(4)求距離 d＝ .
|n|
2、求點(diǎn)到平面的距離的主要方法：
(1)作點(diǎn)到平面的垂線,點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.
(2)在三棱錐中用等體積法求解.
(3)向量法:d=| · || | (n 為平面的法向量,A 為平面上一點(diǎn),MA 為過(guò)點(diǎn) A 的斜線段).
題型 2：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離
2-1．（2024 高二上·陜西西安·期末）在直角梯形 ABCD中， AD∥BC, BC = 2AD = 2AB = 2 2, ABC = 90°，
O 為BD中點(diǎn)，如圖（1）．把△ABD 沿BD翻折，使得平面 ABD ^平面BCD，如圖（2）．
(1)求證：OA ^ CD；
(2)若 M 為線段BC 的中點(diǎn)，求點(diǎn) M 到平面 ACD的距離．
2-2．（2024 高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C 中，CC1 ^ 平面 ABC， AC ^ BC ，
BC = AC = CC1 = 4，D 為 AB1的中點(diǎn)，CB1 交BC1于點(diǎn) E．
(1)證明：CB1 ^ C1D ；
(2)求點(diǎn) E 到平面B1C1D 的距離．
2-3．（2024 高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PD ^底面 ABCD，底面 ABCD是矩形，
uuur uuur
AB = 2AD = 4, PD 4 5= , E 是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)B = 2PF ，則點(diǎn)C 到平面DEF 的距離為（ ）
5
A 3 10 B 2 10 C 10 D 10． ． ． ．
5 5 5 10
2-4．（2024 高二下·云南楚雄·期中）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，E 是線段BC1上靠近點(diǎn) B 的一個(gè)三
等分點(diǎn)，D是 AC1的中點(diǎn)．
(1)證明： A1D / / 平面 AB1E ；
(2)若 AA1 = AB = 6 ，求點(diǎn) A1到平面 AB1E 的距離．
（三）
兩條異面直線所成的角
1、求異面直線夾角的方法
(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進(jìn)而構(gòu)造三角形求解．
→ →
(2)向量法：在兩異面直線 a 與 b 上分別取點(diǎn) A，B 和 C，D，則A B與C D可分別為 a，b 的方向向量，則 cosθ
→ →
|AB·CD|
＝ .
→ →
|AB||CD|
注：用空間向量求兩條直線 1， 2夾角 的步驟與方法：
(1)化為向量問(wèn)題：轉(zhuǎn)化為求兩直線l1，l2的方向向量u,v的夾角；

(2)進(jìn)行向量運(yùn)算：計(jì)算cos , = | | | |的值；
(3)回到圖形問(wèn)題：兩條直線 1, 2夾角 的余弦值cos = |cos , |.
題型 3：利用空間向量求異面直線的夾角
3-1．（2024 高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ BC, AB =1, BC = CC1 = 2 ，建
uuur uuur
立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求 A1B 與B1C 的夾角余弦值.
3-2．（2024 高二上·天津南開(kāi)·期中）如圖，平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = AD = AA1 = 1, A1AB = A1AD = BAD = 60°．
(1)證明： AC1 ^ BD ；
(2)求 AC1的長(zhǎng)；
(3)求直線BD1與 AC 所成角的余弦值．
3-3．（2024 高一下·浙江寧波·期中）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，M 為棱CD的中點(diǎn)， N 為直線BB1上的
異于點(diǎn) B 的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線 A1B 與MN 所成的角的最小值為q ，則 sinq = （ ）
A 10 B 10 C 3 10 D 2 10． ． ． ．
10 5 10 5
3-4．（2024 高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，已知PA ^平面 ABCD，且四邊形
π
ABCD為直角梯形， ABC = BAD = ，PA = AD = 3 ， AB = BC =1 .點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ2
與DP所成的角最小時(shí)，則線段BQ的長(zhǎng)為
（四）
直線與平面所成的角
利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)求直線的方向向量 u；
(3)求平面的法向量 n；
|u·n|
(4)設(shè)線面角為 θ，則 sinθ＝ .
|u||n|
題型 4：利用空間向量求直線與平面所成的角
4-1．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市 2023 屆高三下學(xué)期 3 月教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題）在三棱柱 ABC - A1B1C1
π
中，平面 A1B1BA ^平面 ABC ，側(cè)面 A1B1BA為菱形， ABB1 = ， A1B ^ AC ， AB = AC = 2，E 是 AC 的中3
點(diǎn).
(1)求證： A1B ^ 平面 AB1C ；
(2)點(diǎn) P 在線段 A E
π EP
1 上（異于點(diǎn) A1，E ）， AP 與平面 A1BE 所成角為 ，求 EA 的值.4 1
4-2．（2024·吉林通化·二模）已知四棱錐P - ABCD 的底面為平行四邊形， AD = 2，DC = 4 ， BAD = 60o，
PD ^平面 ABCD，直線 PD 與平面 PAC 所成角為30o ，則PD = （ ）
A B 4 7 C 6 7． 2 2 ． ． D． 7
5 7
4-3．（2024 高二下·甘肅金昌·期中）如圖，已知 AE ^ 平面 ABCD，CF / / AE ， AD / /BC ， AD ^ AB，
AB = AD =1，BC = 2 .若 AE = 2，CF =1，則 BF 與平面BDE 所成角的余弦值為 .
4-4．（2024 高二下·四川成都·期中）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA ^平面 ABCD，
M 為 PC 中點(diǎn)．
(1)求證：PA//平面 MBD；
(2)若 AB = AD = PA = 2 ，求直線 BM 與平面 AMD 所成角的正弦值．
4-5．（2024 高二下·四川成都·期中）如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2 ， AD = 4， AA1 = 3，B1C
交BC1于點(diǎn) E.
(1)證明：直線D1E // 平面 A1BD ；
(2)求 AD 與平面 A1BD 所成角的正弦值.
4-6．（2024·陜西商洛·二模）在四棱錐P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
AP = 2 ，則直線 PB與平面 PCD所成角的正弦值為（ ）
2 5 2A． B 2 3． C． D．
5 5 3 3
4-7．（2024 高二下·江蘇徐州·期中）如圖，圓臺(tái)的下底面圓O1 的直徑為 AB ，圓臺(tái)的上底面圓O2 的直徑為
PQ，C 是弧 AB 上一點(diǎn)，且PA = AC = PC = BC = 2，PB = 2 2 .
(1)求證：PQ ^ AC ；
(2)若點(diǎn)M 是線段O1 Q 上一動(dòng)點(diǎn)，求直線 AP 與平面BCM 所成角的取值范圍.
（五）
兩個(gè)平面的夾角
求兩平面夾角的兩種方法
(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可
轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．
π
(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量 n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉(當(dāng)〈n1，n2〉 ∈ [0， 時(shí)2 ] )
或 π－〈n1，n2〉
注：利用向量方法求二面角的大小時(shí),多采用法向量法,即求出兩個(gè)面的法向量,然后通過(guò)法向
量的夾角來(lái)得到二面角的大小,但利用這種方法求解時(shí),要注意結(jié)合圖形觀察分析,確定二面角
是銳角還是鈍角,不能將兩個(gè)法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來(lái).
題型 5：利用空間向量求二面角
5-1．（山東省濱州市 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PC ^底面
ABCD，四邊形 ABCD是直角梯形， AD ^ DC ， AB / /DC ，PC = AB = 2AD = 2CD = 2，點(diǎn) E 在棱 PB 上．
(1)證明：平面EAC ^平面 PBC；
uuur uuur
(2)當(dāng)BE = 2EP時(shí)，求二面角P - AC - E 的余弦值．
5-2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形 ABCD為菱形， ED ^ 平面 ABCD，F(xiàn)B P ED，
BD = 2ED = 2 2FB .
(1)證明：平面EAC ^平面FAC ；
(2)若 BAD = 60°，求二面角F - AE - C 的大小.
5-3．（2024 高二上·湖北·期末）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AD ^ AB，
AB P DC ，PA ^底面 ABCD，點(diǎn) E 為棱 PC 的中點(diǎn)， AD = DC = AP = 2AB = 2．
(1)證明：BE / /平面 PAD；
PF
(2)在棱 PC 上是否存在點(diǎn) F，使得二面角F - AD - C 10的余弦值為 ，若存在，求出 的值，若不存在，
10 PC
請(qǐng)說(shuō)明理由．
5-4．（2024 高三下·河南·階段練習(xí)）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，四邊形 ABCD為平行四邊形，平面
D1BC ^平面D1BD .
(1)求證：BC ^ BD；
(2)若 AA1 = 2BD = 2BC = 4，探索在棱 AA1上是否存在一點(diǎn)E ，使得二面角E - BD - D1的大小為30o？若存在，
AE
求出 AA 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1
5-5．（2024 高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在四棱錐 S - ABCD中，四邊形 ABCD為正方形， AB = 2 ，DS =1，
平面 ASD ^ 平面 ABCD， SD ^ AD，點(diǎn)E 為DC 上的動(dòng)點(diǎn)，平面BSE與平面 ASD 所成的二面角為q (q 為銳
角 ) ， 則當(dāng)q 取最小值時(shí)，DE = ．
題型 6：利用空間向量求兩個(gè)平面的夾角
6-1．（2024 高二上·湖南郴州·期末）如圖 2，在YABCD 中， AB = 2 ，BC = 3 ， ABC = 30°．將△DAC 沿
AC 翻折，使點(diǎn) D 到達(dá)點(diǎn) P 位置（如圖 3），且平面PAC ^平面PBC ．
(1)求證：平面PAC ^平面 ABC ；
uuur uuur
(2)設(shè) Q 是線段 PB上一點(diǎn)，滿足PQ = mPB ，試問(wèn)：是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)m ，使得平面QAC 與平面PAB的夾
2
角的余弦值為 ，若存在，求出m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4
6-2．（2024 高二上·云南昆明·期末）如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，側(cè)面 ACC1A1 為正方形，
CAB = 90°， AC = AB = 2，M，N 分別為 AB 和BB1的中點(diǎn)，D為棱 AC 上的點(diǎn).
(1)證明： A1M ^ DN ；
(2) 5是否存在點(diǎn) D，使得平面C1DN 與平面 ABB1A1夾角的余弦值為 ？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，
3
求線段 AD 的長(zhǎng).
6-3．（2024 高二下·福建福州·期中）如圖，圓O是VABC 的外接圓，CE ^平面 ABC ， AB 是圓O的直徑，
uuur uuur
CAB = 30°，CE = 2BD，且CE = AB = 2 .
(1)求證：平面 ACE ^ 平面BCED ；
(2)若ME = 2DM ，求平面 ACM 與平面 ACE 夾角的余弦值.
6-4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，BD ^ PC ，四邊形 ABCD是菱形，
ABC = 60°， AB = PA = 1，PB = 2 ，E 是棱PD上的中點(diǎn).
(1)求三棱錐C - BDE 的體積；
(2)求平面PAB與平面 ACE 夾角的余弦值.
6-5．（2024 高一上·吉林·階段練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形 ABCD中，AD =1，AB = 2 ，點(diǎn)M 是邊CD的中點(diǎn)，
將△ADM 沿 AM 翻折到△PAM ，連接 PB，PC ，得到圖②的四棱錐P - ABCM ．
(1)求四棱錐P - ABCM 的體積的最大值；
π ù
(2)設(shè)P - AM - D 的大小為q ，若q 0, ú ，求平面PAM 和平面PBC 夾角余弦值的最小值．è 2
6-6．（2024 高二上·云南昆明·期末）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形，
uuur uuur
ADC 2π= ，PD = DC = 2BC = 4，點(diǎn) E 是線段 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在線段 AP 上且滿足
3 AF = l AP
，PD ^
面 ABCD.
(1)當(dāng)l
1
= 時(shí)，證明：PC //平面 BFE ；
3
(2)當(dāng)l 為何值時(shí)，平面 BFE 與平面 PBD 所成的二面角的正弦值最小？
一、單選題
uuuuv uuuuv
1．（2024 高二下·四川成都·期中）在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1中，AB = BC =1, AA1 = 3 ，則 AD1 與DB1 夾角
的余弦值為（ ）
A 5
1
B 2 5 C D 5． ． ． ．-
5 5 5 5
2．（2024 高二上·貴州銅仁·期末）已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，AB = 2 ，AA1 = 4，點(diǎn)E ，F(xiàn) 分別是 B1C1
和BB1的中點(diǎn)，M 是線段D1F 的中點(diǎn)，則直線 AM 和CE所成角的余弦值為（ ）
A 3 B 11 C 17 187． ． ． D．
6 17 6 17
3．（2024 高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，分別取棱 AA1， A1D1的中
點(diǎn) E，F(xiàn)，點(diǎn) G 為 EF 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) G 到平面 ACD1的距離為（ ）
A 3． B 3． 3 C．1 D．
2 3
4．（2024 高二上·河北邯鄲·期末）在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，PB ^底面 ABCD，
AB = 5 ，BD = PB = 2，則△PCD的重心到平面 PAD 的距離為（ ）
2 1 4 5
A． B． C． D．
9 3 9 18
5．（2024 高二下·福建福州·期中）如圖在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1中， AD = DD1 =1, AB = 3 ，E，F(xiàn)，G 分
別是 AB, BC,CC1棱的中點(diǎn)，P 是底面 ABCD內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線D1P / / 平面EFG 平行，則線段BP的最小
值為（ ）
A 3
1
． B．1 C 3． D．
4 2 2
ur r
6．（2024 高二下·江蘇南京·期中）已知兩平面的法向量分別為m = (0,1,1) ， n = (1,1,1)，則兩平面所成的二面
角的正弦值為（ ）
1
A 6． B 3． C D 2 2． ．
3 3 3 3
r
6.3.4 空間距離的計(jì)算（1））已知平面 α 的一個(gè)法向量 n = (-2,-2,1)，點(diǎn) A(-1,3,0) 在 α 內(nèi)，則P(-2,1,4) 到 α
的距離為（ ）
A．10 B．3
8 10
C． D．
3 3
8．（2024 高二下·福建龍巖·期中）如圖，在圓錐 SO 中， AB 是底面圓O的直徑， SO = AB = 4， AC = BC ，
D為 SO 的中點(diǎn)， N 為 AD 的中點(diǎn)，則點(diǎn) N 到平面 SBC的距離為（ ）
4 5
A． B． C．1 D． 2
3 3
9．（2024 高二下·江西景德鎮(zhèn)·期中）在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別為 AD，BC 的中點(diǎn)，
M 為線段 EF 上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線 A1D與B1M 所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
é1 , 3 10
ù é 3 , 3 10
ù é 2 3 10 ù é3 3 10 ù
A． ê ú B． ê ú C． , D． ,
2 10
ê
2 10 2 10
ú ê ú
5 10
10．（2024 高二下·浙江·階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺(tái)的底面 ABCD是直角梯形， BAD = 90o ， AD//BC ，
AD = AB = 2BC = 2DD1 = 2A1D1，DD1 ^平面 ABCD，E 是側(cè)棱BB1所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，AE 與CA1所成角的
余弦值的最大值為（ ）
A 2 6 B 7 2． ． C 3 10 D 2 5． ．
5 10 10 5
11．（2024 高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）三棱錐O - ABC 中，OA,OB,OC 兩兩垂直且相等，點(diǎn)P,Q 分別是線段BC
1 1
和OA上移動(dòng)，且滿足BP BC ， AQ AO ，則 PQ和OB 所成角余弦值的取值范圍是（ ）
2 2
A [ 3 , 2 5 ] B [ 3 2． ． , ]
3 5 3 2
é 6 2 ù
C．[ 6 , 2 5 ] D． ê ,6 2 ú6 5
12．（2024 高二下·河南周口·階段練習(xí)）在正四棱錐P - ABCD 中，PA = AB = 2，M 為棱 PC 的中點(diǎn)，則異
面直線 AC，BM 所成角的余弦值為（ ）
A 2． B 3． C 6 6． D．
2 3 5 6
13．（2024 高二上·河南平頂山·期末）如圖，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的正方
形， D1D = 3，M，N 分別是 B1C1 ，AB 的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P 是線段 DN 上的動(dòng)點(diǎn)，則 MP 的最小值為（ ）
A 30． B 2 30 C 30． ． D 3 30．
4 5 2 5
14．（2024 高二下·浙江·期中）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB = 2, AA1 = 3，點(diǎn) D 為棱 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 為
uuur uuur
AC π線段 1 （不與C 點(diǎn)重合）上的點(diǎn)，且滿足 A1E = mEC(m > 0)，當(dāng)二面角E - AD - C 的平面角為 時(shí)，實(shí)數(shù)4
m 的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2024 高二上·浙江金華·期末）襄陽(yáng)一橋全稱“襄陽(yáng)江漢大橋”，于 1970 年正式通車，在和襄陽(yáng)城長(zhǎng)達(dá) 53
年的相處里，于襄陽(yáng)人來(lái)說(shuō)一橋早已無(wú)可替代.江漢大橋由主橋架 上下水平縱向聯(lián)結(jié)系 橋門(mén)架和中間橫撐
架以及橋面系組成，下面是一橋模型的一段，它是由一個(gè)正方體和一個(gè)直三棱柱構(gòu)成.其中 AB=BH，那么直
線 AH 與直線 IG 所成角的余弦值為（ ）
3 3 1 1A．- B． C．- D．
2 2 2 2
16．（2024 高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）如圖，棱長(zhǎng)均相等的三棱錐P - ABC 中，點(diǎn)D是棱PC 上的動(dòng)點(diǎn)（不含
端點(diǎn)），設(shè)CD = x ，二面角 A - BD - C 的大小為q .當(dāng) x 增大時(shí)，（ ）
A．q 增大 B．q 先增大后減小
C．q 減小 D．q 先減小后增大
17．（2024·新疆阿勒泰·一模）四棱錐P - ABCD 中， AB = BC = 2 ，其余各條棱長(zhǎng)均為 1，則直線PA與直
線BC 所成角的余弦值為（ ）
1
A B 2 2 6． ． C． D．
3 3 6 3
18．（2024 高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD， BAD = 90°，
PA = AB = BC 1= AD = 1，BC / / AD ，已知 Q 是棱PD上靠近點(diǎn) P 的四等分點(diǎn)，則CQ與平面PAB所成角的
2
正弦值為（ ）．
1
A 5． B 2 5 C 2 29． ． D．
5 5 29 6
19．（2024 高二下·陜西漢中·期末）如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中， P 為體對(duì)角線B1D上一點(diǎn)，且
DP = 2PB1 ，則異面直線 AD1 和CP所成角的余弦值為（ ）
A．0
3 4
B C 3． ． D．
5 5 2
二、多選題
20．（江蘇省淮安市淮海中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期收心考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體
ABCD - A1B1C1D1中（ ）
A． AC 與BD1的夾角為60° B．二面角D - AC - D1的平面角的正切值為 2
C． AB1與平面 ACD
3
1所成角的正切值 2 D．點(diǎn)D到平面 ACD1的距離為
3
21．（2024 高二上·山東青島·期中）如圖，已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2，E，F(xiàn)，G 分別為 AD，
AB， B1C1 的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．三棱錐C - EFG 的體積為 1 B． A1C ^平面 EFG
C． A1D1 // 平面 EFG D
3
．平面 EGF 與平面 ABCD 夾角的余弦值為
6
r
22．（2024 高二下·江西宜春·開(kāi)學(xué)考試）點(diǎn)M 在 z 軸上，它與經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且方向向量為 s = 1, -1,1 的直線 l
的距離為 6 ，則點(diǎn)M 的坐標(biāo)是（　　）
A． 0,0, -3 B． 0,0,3
C． 0,0, 3 D． 0,0, - 3
23．（2024 高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐 A - BCD中，平面 ABC ^ 平面BCD，VABC 與△BCD
均為等腰直角三角形，且 BAC = BCD = 90°，BC = 2，P 是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若線段CD
上存在點(diǎn)Q，使得異面直線 PQ與 AC 成30o 的角，則線段PA的長(zhǎng)度可能為（ ）
A 3． B 2 6 3． C． D．
3 2 3 2
24．（2024 高二上·河南·期中）在三棱錐 A - BCD中，平面 ABD ^平面 BCD，BD ^ CD，BD = CD = 2，△ABD
為等邊三角形，E 是棱 AC 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是棱 AD 上一點(diǎn)，若異面直線 DE 與 BF 14所成角的余弦值為 ，則
28
AF 的值可能為（ ）
2 4 5
A． B．1 C． D．
3 3 3
25．（2024 高二下·江蘇淮安·期中）布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫(huà)了具
有視覺(jué)效果的正方體圖案，如圖 1，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖 2 的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖 3 所
示的空間幾何體.若圖 3 中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為 1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)C1到直線CQ
6
的距離是
3
uuur uuur uuur uuur
B．CQ = -2AB- AD+2AA1
1
C．平面ECG 與平面BC1D的夾角余弦值為 3
D．異面直線CQ與BD所成角的正切值為 17
26．（海南省海口市龍華區(qū)海南華僑中學(xué) 2023 屆高三一模數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體
ABCD - A1B1C1D1中，Q是棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．不存在點(diǎn)Q，使得C1Q//A1C
B．存在點(diǎn)Q，使得C1Q ^ A1C
é 2 6 ù
C．對(duì)于任意點(diǎn)Q，Q到 A1C 的距離的取值范圍為 ê ,
2 3
ú

D．對(duì)于任意點(diǎn)Q，△A1CQ都是鈍角三角形
三、填空題
27．（2024 高二上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1中，AB = AD = 2 ，DD1 = 4 ，則 A1B1
與平面 A1C1D 所成的角的正弦值為 ．
28．（2024 高二下·福建寧德·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G 分別為 DD1，
BD，BB1的中點(diǎn)，則C1E 與 FG 所成的角的余弦值為 .
29．（2024·浙江紹興·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為 4 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，M 是棱 A1A上的動(dòng)點(diǎn)，N 是棱BC
的中點(diǎn).當(dāng)平面D1MN 與底面 ABCD所成的銳二面角最小時(shí)， A1M = .
30．（2024 高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E 為線段 A1B1 的中點(diǎn)，
F 為線段 AB 的中點(diǎn)，則直線 FC 到平面 AEC1的距離為 ．
31．（2024 高二上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 = AB = 2，BC = 1，E
F H 分別是 AB CD A1B1 的中點(diǎn)，則直線 EC 到平面 AFH 的距離為 .
32．（2024 高二上·山東棗莊·期末）在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，O為平面 A1ABB1的中心，E
為BC 的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線 A1E 的距離為 .
33．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）正方體 ABCD - A1B1C1D1中，二面角 A - CC1 - B1的大小為 .
34．（2024 高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知PA ^平面 ABCD，四邊形 ABCD是矩形，PA = AD 為定長(zhǎng)，當(dāng) AB 的
長(zhǎng)度變化時(shí)，異面直線PC 與 AD 所成角的取值范圍是 ．
35．（2024 高一下·浙江溫州·期末）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面
圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美,如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,共可截
去八個(gè)三棱錐,得到八個(gè)面為正三角形,六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線MN 與平面 ABCD所成
角的正弦值為 .
四、解答題
36．（2024 高二上·天津·期中）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD是菱形，
AB = 2 ， BAD = 60o .
(1)求證：BD ^平面PAC ；
(2)若PA = AB，求 PB與 AC 所成角的余弦值.
37．（2024 高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，四棱錐 P - ABCD 中，CD ^平面 PAD ， AB / /CD ， AB =1，
CD = 2，M 為棱PC 上一點(diǎn).
(1)若 M 為PC 的中點(diǎn)，證明：BM / /平面PAD ；
(2)若PA = PD = AD = 2，且PA / / 平面BMD，求直線PC 與平面BMD所成角的正弦值.
38．（2024 高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2，點(diǎn)E 為BB1的中點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)D到平面 AD1E的距離為 d ；
(2)求BC1到平面 AD1E的距離．
39．（2024 高二上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，點(diǎn)D為 A1B 的中點(diǎn)，
AA1 = 3AB = 2 3 ．
(1)證明：BC∥平面 AC1D；
(2)求直線BC 到平面 AC1D的距離．
40．（2024 高二上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐 P - ABC 中， PA ^底面 ABC， BAC = 90o ，點(diǎn) D、
E 分別為棱 PA，PC 的中點(diǎn)，M 是線段 AD 的中點(diǎn)，N 是線段 BC 的中點(diǎn)，PA = AC = 4， AB = 2 .
(1)求證：MN // 平面 BDE；
(2)求直線 MN 到平面 BDE 的距離.
41．（2024 高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，矩形 ADFE 和梯形 ABCD 所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝
∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．
(1)求證：BE∥平面 DCF；
(2)求點(diǎn) B 到平面 DCF 的距離．
42．（2024 高二上·浙江杭州·期中）如圖，C 是以 AB 為直徑的圓 O 上異于 A，B 的點(diǎn)，平面PAC ^平面
PE PF
ABC ，VPAC 為正三角形，E，F(xiàn) 分別是棱PC, PB 上的點(diǎn)，且滿足 = = l(0 < l < 1)．
PC PB
(1)求證：BC ^ AE ；
(2) 21是否存在l ，使得直線 AP 與平面 AEF 所成角的正弦值為 ？若存在，求出l 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)
14
明理由．
43．（2024·新疆·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四棱錐 P - ABCD 中， PA ^菱形 ABCD所在的平面， ABC = 60°，
點(diǎn)E F 分別是BC PC 的中點(diǎn)，M 是線段PD上的點(diǎn).
（1）求證：平面 AEM ^平面PAD ；
2 AB = AP M EM ABF 21
PM
（ ）當(dāng) 時(shí)，是否存在點(diǎn) ，使直線 與平面 所成角的正弦值為 ？若存在，請(qǐng)求出
7 PD
的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
44．（2024 高二下·福建莆田·階段練習(xí)）如圖，四棱錐 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 為直角梯形，AD∥BC，
AB⊥AD，PA⊥平面 ABCD，AD＝5，BC＝2AB＝4，M 為 PC 的中點(diǎn)．
(1)求證：平面 PAC⊥平面 PCD；
(2)若 AM⊥PC，求直線 PB 與面 PCD 所成角的正弦值．
45．（2024 高二下·江蘇常州·期中）如圖，直角梯形 ABCD 與等腰直角三角形 ABP 所在的平面互相垂直，且
AB / /CD ， AB ^ BC ， AP ^ PB ， AB = 2 ，BC = CD =1．
(1)求證： AB ^ PD ；
(2)求直線 PC 與平面 ABP 所成角的余弦值；
AE
(3)線段 PA 上是否存在點(diǎn) E，使得PC / /平面 EBD？若存在，求出 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
AP
46．（2024 高二下·江蘇南京·期末）如圖所示，在三棱錐P - ABC 中，已知PA ^平面 ABC ，平面PAB ^平
面PBC ．
(1)證明：BC ^平面PAB；
(2)若PA = AB = 6，BC = 3，在線段PC 上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)D，使得二面角B - AD - C 的余弦值為
10
，若存在，確定點(diǎn)D的位置；若不存在，說(shuō)明理由．
5
47．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形 ACC1A1與四邊形 BCC1B1是全等的矩形，
AB 2AC 2= = AA1 ．2
(1)若 P 是 AA1的中點(diǎn)，求證:平面 PB1C1⊥平面 PB1C;
(2)若 P 是棱 AA1上的點(diǎn)，直線 BP 與平面 ACC
3 13
1A1所成角的正切值為 ，求二面角 B1﹣PC﹣C1的余弦值．
13
2π
48．（2024·福建福州·二模）如圖 1，在VABC 中， AB = AC = 2, BAC = , E 為BC 的中點(diǎn)，F(xiàn) 為 AB 上一
3
點(diǎn)，且EF ^ AB .將△BEF 沿EF 翻折到VB EF 的位置，如圖 2.
(1)當(dāng) AB = 2 時(shí)，證明：平面B AE ^平面 ABC ；
π
(2)已知二面角B - EF - A的大小為 ，棱 AC 上是否存在點(diǎn)M ，使得直線B E與平面B MF 所成角的正弦值4
10
為 ？若存在，確定M 的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
10
49．（2024·江蘇·二模）如圖，在三棱臺(tái) ABC - A1B1C1中，BA ^ BC ，平面 A1B1BA ^平面 ABC ，二面角B1 - BC - A
的大小為 45°， AB = 2 ，BC = A1B1 = AA1 =1 .
(1)求證： AA1 ^ 平面 ABC；
(2)求異面直線BA1與B1C 所成角的余弦值.
50．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知直三棱柱 ABC - A1B1C1中，側(cè)面 AA1B1B為正方形， AB = BC ，E，F(xiàn) 分
別為 AC 和CC1的中點(diǎn)，D 為棱 A1B1 上的動(dòng)點(diǎn). BF ^ A1B1 .
(1)證明：BF ^ DE；
(2)求平面BB1C1C 與平面 DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此時(shí)點(diǎn) D 的位置.
51．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）在底面 ABCD 為梯形的多面體中. AB∥CD ，BC⊥CD， AB = 2CD = 2 2 ，
∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四邊形 BDEN 為矩形．
(1)求證：BD⊥AE；
(2)線段 EN 上是否存在點(diǎn) Q，使得直線 BE 與平面 QAD 所成的角為 60°？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．若存在，
確定點(diǎn) Q 的位置并加以證明．
52．（2024 高二下·江蘇常州·期中）如圖，圓錐 SO，S 為頂點(diǎn)，O是底面的圓心， AE 為底面直徑，
AE = AS ，圓錐高 SO=6，點(diǎn) P 在高 SO 上，VABC 是圓錐 SO 底面的內(nèi)接正三角形.
(1)若 PO= 6 ，判斷PA和平面PBC 是否垂直，并證明；
(2)點(diǎn) P 在高 SO 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PE和平面PBC 所成角的正弦值最大時(shí)，求三棱錐 P-ABC 的體積.
53．（2024 高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，在RtVAOB 中， AOB π= ，AO = 4，BO = 22 ，RtVAOC 可以通過(guò)
RtVAOB 以直線 AO 為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B - AO - C 是直二面角．動(dòng)點(diǎn)D在線段 AB 上．
(1)當(dāng)D為 AB 的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線 AO 與CD所成角的余弦值；
(2)求CD與平面 AOB所成角的正弦值的最大值．
54．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，平面PAD ^平面 ABCD，PA = PD，底面 ABCD
是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，點(diǎn)E 在棱PC 上，CE = 2PE .
(1)證明：平面BDE ^ 平面 ABCD；
(2)當(dāng)直線 DE 與平面PBD 所成角最大時(shí)，求四棱錐P - ABCD 的體積.
55．（2024 高二下·四川成都·期末）如圖，在四棱錐Q - ABCD中，底面 ABCD是矩形，若 AD = QD = QA = 2，
CD =1，QC = 5 ．
(1)證明：平面QAD ^平面 ABCD；
(2)若 E，F(xiàn) 分別是QC，QD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 在線段 EF 上移動(dòng)，設(shè)q 為直線 BP 與平面 ABCD 所成角，求sinq
的取值范圍．1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題 6 題型分類
一、空間向量研究距離問(wèn)題
1．點(diǎn) P 到直線 l 的距離:
→
已知直線 l 的單位方向向量為 u，A 是直線 l 上的定點(diǎn)，P 是直線 l 外一點(diǎn)，設(shè)向量A P在直線 l 上的投影向量
→
為A Q＝a，則點(diǎn) P 到直線 l 的距離為 a
2－ a·u 2 (如圖)．
2．點(diǎn) P 到平面 α 的距離:
→
|AP·n|
設(shè)平面 α 的法向量為 n，A 是平面 α 內(nèi)的定點(diǎn)，P 是平面 α 外一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到平面 α 的距離為 (如圖)．
|n|
3．兩平行直線間的距離：一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離.
4．直線到平面的距離：直線上任一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.
5．兩平行平面間的距離：一平面上任一點(diǎn)到另一平面的距離．
二、空間向量研究夾角問(wèn)題
1．兩個(gè)平面的夾角：
平面 α 與平面 β 的夾角：平面 α 與平面 β 相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于 90°的二面
角稱為平面 α 與平面 β 的夾角．
2．空間角的向量法解法
角的分類 向量求法 范圍
設(shè)兩異面直線 l1，l2所成的角為 θ，
其方向向量分別為 u，v， π
線線角 (0，|u·v| 2 ]
則 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
|u||v|
設(shè)直線 AB 與平面 α 所成的角為 θ，直線 AB 的
方向向量為 u，平面 α的法向量為 n，則 sinθ＝|cos π
線面角 [0，|u·n| 2 ]
〈u，n〉|＝
|u||n|
設(shè)平面 α 與平面 β 的夾角為 θ，
平面 α，β 的法向量分別為 n1，n2， π
面面角 [0，|n ]1·n2| 2
則 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1||n2|
（一）
點(diǎn)到直線的距離
1、用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟：
(1)求直線的方向向量．
(2)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的長(zhǎng)度．
(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化．
2、用向量法求點(diǎn)到直線的距離時(shí)需注意以下幾點(diǎn):
(1)不必找點(diǎn)在直線上的垂足以及垂線段;
(2)在直線上可以任意選點(diǎn),但一般選較易求得坐標(biāo)的特殊點(diǎn);
(3)直線的方向向量可以任取,但必須保證計(jì)算正確.
題型 1：利用空間向量求點(diǎn)到直線的距離
1-1．（2024 高二上·北京大興·期中）如圖，已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1，O為正方形 ADD1A1的
中心，若 P 為平面OD1B內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 P 到直線 A1B1 的距離的最小值為（ ）
2 1A． B． C 6． D 3．
2 2 4 3
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，列出線面距離公式即可求解.
【詳解】
uuur uuur uuuur
如圖，以 DA, DC, DD 為 x, y, z1 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則有
B(1,1,0), D1(0,0,1), A1(1,0,1), B1(1,1,1)，因?yàn)镺為正方形 ADD1A1的中心，得O(
1 ,0, 1)
2 2 ，
uuuur uuur 1 1 uuuur uuur
A1B1 = (0,1,0) , OB = ( ,1, - ) ，D1B = (1,1, -1)， BB2 2 1
= (0,0,1)
uuur
r ì OB nr× = 0 ì1 x + y 1- z = 0
設(shè)平面OBD1的法向量為n = (x, y,z)

，利用 íuuuur

r ，則 í2 2 ，
D1B × n = 0 x + y - z = 0
r uuuur r
取 x =1，解得 n = (1,0,1)，有 A1B1 ×n = 0，且 A1B1 平面OD1B，則直線 A1B1 //平面OD1B，
uuur
設(shè)直線 A1B1 的到平面OD1B距離為 d ，取直線上一點(diǎn)B1，與平面OD1B上一點(diǎn) B ，則 BB1 = (0,0,1)，
uuur r
BB1 ×n 2
利用空間中點(diǎn)面距離公式有： d = r = .
n 2
故選：A
1-2．（2024 高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）已知空間三點(diǎn) A 2,1,0 , B 2,1,-1 ,C 1,0,1 ，則點(diǎn)C 到直線 AB 的距離
為 ．
【答案】 2
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
uuur uuur
【詳解】易知 AC = -1,-1,1 , AB = 0,0,-1 ，
uuur uuur uuur uuur
cos AC, AB uAuCur ×uA
uuur uuur
則 = u
Bur 3= 6， ，
AC AB 3
sin AC, AB =
3
uuur uuur uuur
故點(diǎn)C 到直線 AB 的距離為 AC ×sin AC, AB = 3 6 = 2 ．
3
故答案為： 2 .
1-3．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，點(diǎn) B 到直線 AC1的距離
為（ ）
A 6 B 6 C 6． ． ． D 2 6．
3 6 5 3
【答案】A
uuuuv uuuuv uuuuv r uuur
【分析】以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 D1A1, D1C1, D1D 為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，取 a = AB，
uuuuv
uv= uAuCuuv1
AC ，
v v v
利用向量法，根據(jù)公式 d = a2 - (a ×u)2 即可求出答案.
1
uuuuv uuuuv uuuuv
【詳解】以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 D1A1, D1C1, D1D 為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D1 - xyz ，
則 A(1,0,1), B(1,1,1),C1(0,1,0)，
uuuv uuuur
\ AB = (0,1,0)， AC1 = (-1,1,-1)．
uuuuv
r uuur v AC 3 3 3 r r r
取 a = AB = (0,1,0) u= uuuuv1 = - , ,- 2 3，
AC 1 è 3 3 3
÷÷，則 a =1， a × u = ，
3
r 2 r r 1 6
則點(diǎn) B 到直線 AC1的距離為 a - (a × u)2 = 1- = ． 3 3
故選：A．
1-4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，以頂點(diǎn) A 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是
a，且 AB ^ AD ， A1AB = A1AD = 60°，E 為CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn) E 到直線 AC1的距離為（ ）
A 5． a B 5． a C 5． a D 5． a
10 5 4 3
【答案】A
【分析】利用基底向量，即可由空間向量的模長(zhǎng)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
uuur r uuur
【詳解】Q在平行六面體 ABCD - A1B C D
uuur ur r
1 1 1中，不妨設(shè) AB = d ， AD = b ， AA1 = c ．
uuuur uuur uuur uuur ur r r uuuurC E 1
r
AC1 = AB + AD + AA1 = d + b + c , 1 =- c，2
ur r r ur r ur
d = b = c = a d b 0,d cr
r
b r 1 1 ， × = × = × c = a a = a22 2 ，
uuuur ur r ur2 r2 r uuuur2 ur r ur r r r 1
所以 AC1 = d + b + c
r = d + b + c + 2d ×b + 2d × c + 2c ×b = 5a， C1E = a，2
uuuur uuuur
C E AC 1
r ur r
1 × 1 = - c × d + b
r 1
+ c =-
2 2
r ur r r r
c × d + c ×b + c r×c = -a2，
uuuur uuuur uuuuur
2
2
E AC
2
d C E C E uAuCuur1 ÷ 1
-a2 5
所以 到直線 1的距離為 = 1 - × = a
2
1 - ÷ = a， AC ÷ 4 10è 1 è 5a
故選：A
（二）
點(diǎn)到平面的距離與直線到平面的距離
1、用向量法求點(diǎn)面距的步驟：
(1)建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．
(2)求點(diǎn)坐標(biāo)：寫(xiě)出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．
→
(3)求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)(A P，α 內(nèi)兩不共線向量，平面 α 的法向量 n)．
→
|A P·n|(4)求距離 d＝ .
|n|
2、求點(diǎn)到平面的距離的主要方法：
(1)作點(diǎn)到平面的垂線,點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離.
(2)在三棱錐中用等體積法求解.
(3) :d=| · |向量法 | | (n 為平面的法向量,A 為平面上一點(diǎn),MA 為過(guò)點(diǎn) A 的斜線段).
題型 2：利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離
2-1．（2024 高二上·陜西西安·期末）在直角梯形 ABCD中， AD∥BC, BC = 2AD = 2AB = 2 2, ABC = 90°，
O 為BD中點(diǎn)，如圖（1）．把△ABD 沿BD翻折，使得平面 ABD ^平面BCD，如圖（2）．
(1)求證：OA ^ CD；
(2)若 M 為線段BC 的中點(diǎn)，求點(diǎn) M 到平面 ACD的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 2 ．
2
【分析】（1）先根據(jù)面面垂直證線面垂直，再由線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；
（2）建系，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.
【詳解】（1）在△ABD 中， AB = AD ，且 O 為BD中點(diǎn)，則OA ^ BD，
平面 ABD ^平面BCD，平面 ABD 平面BCD = BD,OA 平面 ABD，
所以O(shè)A ^ 平面BCD，
且CD 平面BCD，
所以O(shè)A ^ CD .
（2）在直角梯形 ABCD中，BC = 2AD = 2AB = 2 2, ABC = 90° ，
所以BD = CD = 2, BC = 2 2 ，則BD2 + CD2 = BC 2，
∴ CD ^ BD ，
又∵O、M 分別為BD、BC 的中點(diǎn)
∴ OM∥CD ，∴ OM ^ BD
以 O 為原點(diǎn)，以O(shè)B、OM、OA所在直線分別為 x，y，z 軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則O(0,0,0), A(0,0,1), D(-1,0,0), M (0,1,0),C(-1,2,0)，
uuuur uuur uuur
可得MC = (-1,1,0), DC = (0,2,0), DA = (1,0,1) ，
r
平面 ACD的一個(gè)法向量為 n = (x, y, z)，
r uuur
ìn × DC = 2y = 0 r
由 í r uuur ，令 x =1，則 y = 0, z = -1，可得n = (1,0,-1)，
n × DA = x + z = 0
uuuur r
M ACD d | MC × n | 1 2則點(diǎn) 到平面 的距離 = r = = ．| n | 2 2
2-2．（2024 高三下·江西鷹潭·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱 ABC - A1B1C 中，CC1 ^ 平面 ABC， AC ^ BC ，
BC = AC = CC1 = 4，D 為 AB1的中點(diǎn)，CB1 交BC1于點(diǎn) E．
(1)證明：CB1 ^ C1D ；
(2)求點(diǎn) E 到平面B1C1D 的距離．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2) 2
【分析】（1）利用空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直即可求證線線垂直，
（2）利用空間向量即可求解點(diǎn)面距離.
【詳解】（1）由于CC1 ^ 平面 ABC， AC ^ BC ，所以 A1C1, B1C1,CC1兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系，
則C 0,0,4 ,C1 0,0,0 , B1 0,4,0 , A1 4,0,0 , A 4,0,4 , B 0,4,4 , D 2,2, 2 ,
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
CB1 = 0,4,-4 ,C1D= 2,2,2 ，所以CB1 ×C1D=0 + 8 -8 = 0,\CB1 ^ C1D,故CB1 ^ C1D
（2）由題意可知E 是CB1 ，BC1的中點(diǎn)，所以E 0,2,2 ,
ur
設(shè)平面B1C1D 的法向量為m = x, y, z ，則
uuuur uuuur uuuur
C1B1 = 0,4,0 ,C1D= 2,2,2 , C1E= 0,2,2
uuuur
ìC1B1 × m
r
= 4y = 0, ur
故 íuuuur r ，取 x =1 ，則m = 1,0, -1
C1D ×m = 2x + 2y + 2z = 0
ur uuuur
m ×C1E 2
所以點(diǎn) E 到平面B1C1D 的距離為 d = ur = = 2m 2
2-3．（2024 高二上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PD ^底面 ABCD，底面 ABCD是矩形，
4 5 uuur uuurAB = 2AD = 4, PD = , E 是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)B = 2PF ，則點(diǎn)C 到平面DEF 的距離為（ ）
5
A 3 10 2 10 10 10． B． C． D．
5 5 5 10
【答案】B
uuur uuur uuur
【分析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC, DP 的方向分別為 x, y, z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利
用空間向量求解即可.
uuur uuur uuur
【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC, DP 的方向分別為 x, y, z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則D 0,0,0 ,C 0,4,0 , A 2,0,0 , B 2,4,0 , P 4 5 0,0, ，
è 5
÷÷

uuur uuur
因?yàn)镋 是PA的中點(diǎn)，F(xiàn)B = 2PF ，
2 5 2
所以E 1,0, ÷÷ , F ,
4 , 8 5 ，
è 5 è 3 3 15
÷÷

uuur uuur uuur
所以DE = 1,0,
2 5 2 4 8 5
5 ÷÷
，DF = , , ÷ , DC = 0,4,0 ．
è è 3 3 15
r
設(shè) n = x, y, z 是平面DEF 的法向量，
ì r uuur 2 5
n × DE = x + z = 0 5 r
則 í uuur ，令 z = 5 ，得
n = -2,-1, 5 ．
r 2 4 8 5
n × DF = x + y + z = 0 3 3 15
uuur r
DC × n 2 10
故點(diǎn)C 到平面DEF 的距離為 r = ．
n 5
故選：B
2-4．（2024 高二下·云南楚雄·期中）如圖，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，E 是線段BC1上靠近點(diǎn) B 的一個(gè)三
等分點(diǎn)，D是 AC1的中點(diǎn)．
(1)證明： A1D / / 平面 AB1E ；
(2)若 AA1 = AB = 6 ，求點(diǎn) A1到平面 AB1E 的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 6 5
5
【分析】（1）取線段C1E 的中點(diǎn)G ，連接 A1G, DG, A1B ，記 A1B AB1 = F ，連接EF ，證明 DG//AE ，
EF //A1G ，從而可證得平面 A1DG / / 平面 AB1E ，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得證；
uuur uuur
（2）取棱BC 的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，AO 的方向?yàn)?x ， y 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
利用向量法求解即可.
【詳解】（1）取線段C1E 的中點(diǎn)G ，連接 A1G, DG, A1B ，記 A1B AB1 = F ，連接EF ，
因?yàn)镈，G 分別是 AC1，EC1的中點(diǎn)，所以 DG//AE ，
因?yàn)?AE 平面 AB1E ，DG / 平面 AB1E ，所以DG / / 平面 AB1E ，
由題意可知四邊形 ABB1A1是矩形，則F 是 A1B 的中點(diǎn)，
因?yàn)镋 是BG 的中點(diǎn)，所以EF //A1G ，
因?yàn)镋F 平面 AB1E ， A1G / 平面 AB1E ，所以 A1G / / 平面 AB1E ，
因?yàn)镈G, A1G 平面 A1DG ，且DG A1G = G，所以平面 A1DG / / 平面 AB1E ，
因?yàn)?A1D 平面 A1DG ，所以 A1D / / 平面 AB1E ；
uuur uuur
（2）取棱BC 的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B， AO 的方向?yàn)?x ， y 軸的正方向，建立如圖所示的空間
直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?AA1 = AB = 6 ，所以 A1(0, -3 3,6)， A(0, -3 3,0)，B1(3,0,6) ，E(1,0, 2) ，
uuur uuur uuur
則 A1A = (0,0,-6)， AB1 = (3,3 3,6)，B1E = (-2,0, -4)，
r
設(shè)平面 AB1E 的法向量為n = (x, y,z)，
ìnr
uuur
× AB1 = 3x + 3 3y + 6z = 0 r
則 í r uuur ，令 x = 2，則 y = 0, z = -1，所以 n = (2,0, -1)，
n × B1E = -2x - 4z = 0
uuur
A A r×n
故點(diǎn) A1到平面 AB1E
1 6 6 5
的距離 d = r = = ．n 5 5
（三）
兩條異面直線所成的角
1、求異面直線夾角的方法
(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進(jìn)而構(gòu)造三角形求解．
→ →
(2)向量法：在兩異面直線 a 與 b 上分別取點(diǎn) A，B 和 C，D，則A B與C D可分別為 a，b 的方向向量，則 cosθ
→ →
|AB·CD|
＝ .
→ →
|AB||CD|
注：用空間向量求兩條直線 1， 2夾角 的步驟與方法：
(1)化為向量問(wèn)題：轉(zhuǎn)化為求兩直線l1，l2的方向向量u,v的夾角；

(2)進(jìn)行向量運(yùn)算：計(jì)算cos , = | | | |的值；
(3)回到圖形問(wèn)題：兩條直線 1, 2夾角 的余弦值cos = |cos , |.
題型 3：利用空間向量求異面直線的夾角
3-1．（2024 高二下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ BC, AB =1, BC = CC1 = 2 ，建
uuur uuur
立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求 A1B 與B1C 的夾角余弦值.
10
【答案】建系見(jiàn)解析，
5
【分析】根據(jù)題設(shè)條件建系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出相關(guān)向量坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式即可求得.
【詳解】
因?yàn)锽C, BA, BB1兩兩垂直，以 B 為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.
依題意 A1 0,1,2 , B 0,0,0 , B1 0,0,2 ,C 2,0,0 ，
uuur uuur
則 A1B = 0, -1, -2 , B1C = 2,0, -2 ，
uuur uuur
uuur uuur A1B × B1C
則 cosA1B, B1C = uuur uuur
4 10
= = ，
A B B 51 1C 5 ×2 2
uuur uuur
即 A1B B C
10
與 1 的夾角余弦值為 .5
3-2．（2024 高二上·天津南開(kāi)·期中）如圖，平行六面體 ABCD - A1B1C1D1中，
AB = AD = AA1 = 1, A1AB = A1AD = BAD = 60°．
(1)證明： AC1 ^ BD ；
(2)求 AC1的長(zhǎng)；
(3)求直線BD1與 AC 所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 6
(3) 6
6
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】（1）以 AB ， AD ， AA1 為基底表示出 AC1 ，BD，再利用向量的數(shù)量積即可證明；
uuur uuur uuur uuur
（2）以 AB ， AD ， AA1 為基底表示出 AC1 ，再利用向量的模即可求解；
（3）利用向量的數(shù)量積即可求解.
uuur uuur uuur
【詳解】（1）如圖所示：以 AB ， AD ， AA1 為基底，
uuur uuur uuur
則由題意得： AB = AD = AA1 =1，
又Q A1AB = A1AD = BAD = 60°，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
\ AB × AD = AB × AA = AD × AA =1 1 cos 60o 11 1 = ，2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC1 = AB + AD + AA1 ，BD = AD - AB，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur\ AC1 × BD = AB + AD + AA1 × AD - AB
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
= AB × AD - AB + AD - AD × AB + AA1 × AD - AA1 × AD
1
= -1 1 1 1 1+ - + -
2 2 2 2
= 0，
uuuur uuur
即 AC1 ^ BD
故 AC1 ^ BD ；
uuuur uuur uuur uuur
（2）由(1)知 AC1 = AB + AD + AA1 ，
uuuur uuur uuur uuur 2即 AC1 = AB + AD + AA1
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB + AD + AA1 + 2AB × AD + 2AB × AA1 + 2AD × AA1
= 1+1 1 1 1 1+ + + +
2 2 2
= 6 ，
故 AC1的長(zhǎng)為 6 ；
uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
（3）BD1 = BC + CC1 + C1D1 = AD + AA1 - AB ，
uuur uuur uuur
AC = AB + AD ，
uuuur uuur uuur uuur 2BD1 = AD + AA1 - AB
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AD + AA1 + AB + 2AD × AA1 - 2AA1 × AB - 2AD × AB
1 1 1 2 1 1 1= + + + - 2 - 2
2 2 2
= 2 ；
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur 2AC = AB 1+ AD = AB + 2AB × AD + AD = 1+ 2 +1 = 3 ；2
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BD1 × AC = AD + AA1 - AB × AB + AD
uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur
= AD × AB + AD + AA1 × AB + AA1 × AD - AB - AB × AD
1 1 1 1 1= + + + -1-
2 2 2 2
=1；
uuuur uuur uuuur uuur
即 cos BD1, AC u
BuuDur1 × AuuCur 1 6= = =
BD1 × AC 2 3 6 ，
由題意可知直線BD1與 AC 所成角為銳角，
故直線BD1與 AC
6
所成角的余弦值為 .
6
3-3．（2024 高一下·浙江寧波·期中）在正方體 ABCD - A1B1C1D1中，M 為棱CD的中點(diǎn)， N 為直線BB1上的
異于點(diǎn) B 的動(dòng)點(diǎn)，則異面直線 A1B 與MN 所成的角的最小值為q ，則 sinq = （ ）
A 10 B 10 C 3 10 D 2 10． ． ． ．
10 5 10 5
【答案】B
【分析】以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系即可求出.
【詳解】以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 2，可得 A1 0,0,2 , B 2,0,0 , M 1,2,0 ,設(shè) N 2,0, m , m 0
uuur uuuur
所以 A1B = 2,0, -2 ，MN = 1,-2, m ,
設(shè)異面直線MN 與 A1B 所成的角為a ，
uuuur uuur
uuuur uuur MN × A1B 2 - 2m
則 cosa = cosMN , A1B = uuuur uuur =
MN × A1B 8 m2 + 5
1 2 + m
= - .
2 m2 + 5
y 1 2 + m 1 t設(shè) t = 2 + m 2， = - 2 = - ，2 m + 5 2 t 2 - 4t + 9
當(dāng) t = 0, y 1 2= , cosq = ；
2 2
y 1 2 + m 1 t 1 1t 0, = - 2 = - 2 = -當(dāng) 2 m + 5 2 t - 4t + 9 2 t 9+ - 4 ，
t
t 9 4 2 t 9 4 10 y 1 1 3因?yàn)?+ - 或 + - - ，所以
t t max
= + = ，
2 10 5
cosa 3 10的最大值為 ，則此時(shí) sinq =
5 5
故選：B
3-4．（2024 高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，已知PA ^平面 ABCD，且四邊形
π
ABCD為直角梯形， ABC = BAD = ，PA = AD = 3 ， AB = BC =1 .點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ2
與DP所成的角最小時(shí)，則線段BQ的長(zhǎng)為
3
【答案】
2
uuur uuur
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量的夾角公式求出 | cosáCQ, DP |的最大值，從而
確定 Q 點(diǎn)在BP上的位置，即可求得答案.
π
【詳解】因?yàn)镻A ^平面 ABCD年 ABC = BAD = ，所以 AB, AD, AP兩兩垂直,
2
uuur uuur uuur
以{AB, AD, AP}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(1,0,0),C(1,1,0), D(0, 3,0), P(0,0, 3) ,
uuur uuur uuur
因?yàn)锽P = (-1,0, 3) ,設(shè)BQ = lBP = (-l,0, 3l), 0 l 1 ，
uuur uuur uuur uuur
又CB = (0, -1,0)，則CQ = CB + BQ = (-l,-1, 3l) ，
uuur uuur uuur
uuur uuur
又DP = (0, - 3, 3) ，從 cos CQ, DP u
CuuQr × DuuPur 1+ 3lá = = ,
| CQ || DP | 8l 2 + 2
設(shè)1+ 3l = t, t [1,1+ 3] ，
uuur uuur 2
cos2 áCQ, DP 3t 3 7 = =
則 8t 2 -16t +14 14 16- + 8 8
,
t 2 t
7 3 uuur uuur 14
當(dāng)且僅當(dāng) t = ，即l= 時(shí)， | cosáCQ, DP |的最大值為 ,4 4 4
即直線CQ與DP 14所成角的余弦值的最大值為 ，
4
π
而直線CQ與DP所成角的范圍為[0, ]，
2
因?yàn)?y = cosx在[0,
π]上是減函數(shù)，故此時(shí)直線CQ與DP所成角最小，
2
又因?yàn)锽P = 1+ 3 3 3= 2，所以BQ = BP = ，
4 2
3
故答案為：
2
uuur uuur
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)求得CQ, DP的夾角的余弦的最大值，即可確定 Q
點(diǎn)的位置，進(jìn)而求得答案，因此在解決類似問(wèn)題時(shí)，可以嘗試建立空間坐標(biāo)系，利用向量解決問(wèn)題，可以
簡(jiǎn)化題目的難度.
（四）
直線與平面所成的角
利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標(biāo)系；
(2)求直線的方向向量 u；
(3)求平面的法向量 n；
|u·n|
(4)設(shè)線面角為 θ，則 sinθ＝ .
|u||n|
題型 4：利用空間向量求直線與平面所成的角
4-1．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市 2023 屆高三下學(xué)期 3 月教學(xué)情況調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題）在三棱柱 ABC - A1B1C1
π
中，平面 A1B1BA ^平面 ABC ，側(cè)面 A1B1BA為菱形， ABB1 = ， A1B ^ AC ， AB = AC = 2，E 是 AC 的中3
點(diǎn).
(1)求證： A1B ^ 平面 AB1C ；
π EP
(2)點(diǎn) P 在線段 A1E 上（異于點(diǎn) A1，E ）， AP 與平面 A1BE 所成角為 ，求 EA 的值.4 1
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
EP 2
(2) =EA1 5
【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；
(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示線面夾角即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?A1B1BA為菱形，所以 A1B ^ AB1，
又因?yàn)?A1B ^ AC ， AB1， AC 平面 AB1C ， AB1 I AC = A，
所以 A1B ^ 平面 AB1C .
π
（2）取 AB 的中點(diǎn) O，連接B1O，四邊形 A1B1BA為菱形，且 ABB1 = ，3
所以B1O ^ AB .
因?yàn)槠矫?A1B1BA ^平面 ABC ，平面 A1B1BA 平面 ABC = AB，
B1O 平面 A1B1BA，
所以B1O ^平面 ABC ，所以B1O ^ AC ，又因?yàn)?A1B ^ AC ，B1O與 A1B 相交，
所以 AC ^平面 A1B1BA .取BC 中點(diǎn) D，連結(jié)OD ，
以 O 為原點(diǎn)，OB ，OD ，OB1為空間基底建立直角坐標(biāo)系.
則B 1,0,0 ， A -1,0,0 ， A1 -2,0, 3 ，E -1,1,0 ，
uuur uuur
所以 BA1 = -3,0, 3 ，BE = -2,1,0 .
設(shè)平面 A1BE 的一個(gè)法向量為 n = x, y, z ，
uuur
ì n
r
× BA1 = -3x + 3z = 0
所以 í r uuur ，令 x =1，則 z = 3 ， y = 2 ，
n × BE = -2x + y = 0
r
所以 n = 1,2, 3 .
uuur uuur uuur
設(shè) EP = lEA1 ，可得點(diǎn) P -1- l,1- l, 3l ， AP = -l,1- l, 3l .
uuur r
π uuur r AP × n -l + 2 - 2l + 3l
由題意 sin = cos AP,n = uuuur r =4 AP n l 2 + 1- l 2 + 3l 2 8
l= 2
EP 2
解得 或l = 0（舍），即 = .
5 EA1 5
4-2．（2024·吉林通化·二模）已知四棱錐P - ABCD 的底面為平行四邊形，AD = 2，DC = 4 ， BAD = 60o，PD ^
平面 ABCD，直線 PD 與平面 PAC 所成角為30o ，則PD = （ ）
A B 4 7 C 6 7． 2 2 ． ． D． 7
5 7
【答案】C
【分析】根據(jù)題意建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法結(jié)合 PD 與平面 PAC 的線面角，可求出 PD.
【詳解】 AD = 2，DC = AB = 4， BAD = 60o，
由余弦定理得DB2 = DA2 + AB2 - 2DA × AB cos BAD = 4 +16 -8 =12，即 AB = 2 3 ，
則有DB2 + DA2 = AB2，所以DB ^ DA，
uuur uuur uuur
又PD ^平面 ABCD，以 D 為原點(diǎn)，DA, DB, DP 的方向?yàn)?x 軸，y 軸，z 軸正方向建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系，
設(shè)PD = a ，由 AD = 2， AB = 2 3 ，
得D 0,0,0 ， A 2,0,0 ，B 0,2 3,0 ，C -2,2 3,0 ，P 0,0, a ，
uuur uuur uuur
PA = 2,0, -a ， AC = (-4,2 3,0) ，PD = (0,0,-a) ，
uuur
r ìn
r
× PA = 2x - az = 0
設(shè)平面 PAC 的法向量為 n = (x, y, z)， 則 í r uuur ，
n × AC = -4x + 2 3y = 0
z 6 nr令 y = 2 3 ，則 x = 3， = =

，所以 3,2 3,
6
÷ ，a è a
r uuur r
uuur
cos n, PD | n × PD | 6 1= = =
直線 PD 與平面 PAC 所成角為30o ，所以 r
uuur
n × PD 9 12 36
2 ，
+ +
a2
×a
36 1
= 6 7 6 7則有 2 ，解得 a = ， 則 .21a + 36 4 PD =7 7
故選：C.
4-3．（2024 高二下·甘肅金昌·期中）如圖，已知 AE ^ 平面 ABCD，CF / / AE ， AD / /BC ， AD ^ AB，
AB = AD =1，BC = 2 .若 AE = 2，CF =1，則 BF 與平面BDE 所成角的余弦值為 .
2
【答案】
3
uuur
【分析】以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BF 的坐標(biāo)以及平面BDE 的法向量，
根據(jù)向量法，即可得出答案.
【詳解】
uuur uuur uuur
依題意，以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 AB ， AD ，AE為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知可得 A 0,0,0 ，B 1,0,0 ，D 0,1,0 ，C 1, 2,0 ，E 0,0,2 ，F(xiàn) 1,2,1 ，
uuur uuur uuur
則BD = -1,1,0 ， BE = -1,0,2 ，BF = 0,2,1 .
ur
設(shè)m = x, y, z 是平面BDE 的法向量，
uuur r
ìBD × m = 0 ì-x + y = 0
則 íuuur r ，即 í ，
BE × m = 0 -x + 2z = 0
令 x = 2，則 y = 2 ， z =1，
ur
所以m = 2,2,1 是平面BDE 的一個(gè)法向量.
π
設(shè) BF 與平面BDE 所成的角為q ，0 q .
2
uuur ur uuur ur
因?yàn)?BF = 5 ， m = 3，BF × m = 5，
uuur ur uuur urBF ×
則 cos BF , m = uuur u
mr 5 5= =
BF m 5 3 3 ，
uuur ur
所以 sinq = cos BF , m 5= .
3
因?yàn)?
π
q ，
2
cosq 1 sin2 q 2所以 = - = ，
3
2
所以 BF 與平面BDE 所成角的余弦值為 .
3
2
故答案為： .
3
4-4．（2024 高二下·四川成都·期中）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA ^平面 ABCD，M
為 PC 中點(diǎn)．
(1)求證：PA//平面 MBD；
(2)若 AB = AD = PA = 2 ，求直線 BM 與平面 AMD 所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 6
3
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，結(jié)合中位線的性質(zhì)即可得證；
uuuur
（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得BM 和平面 AMD 的法向量，由向量夾角
的計(jì)算公式，可得答案.
【詳解】（1）連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O，連接 OM，
由四邊形 ABCD 為矩形，
可知 O 為 AC 中點(diǎn)，M 為 PC 中點(diǎn)，
所以O(shè)M //PA，
又OM 平面MBD，PA 平面MBD，
所以PA//平面 MBD.
（2）以A 為原點(diǎn)， AB, AD, AP所在直線為 x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則 A 0,0,0 , B 2,0,0 , M 1,1,1 , D 0,2,0 ，
uuuur uuuur uuur
所以BM = -1,1,1 , AM = 1,1,1 , AD = 0,2,0 ，
r
設(shè)平面 AMD 的法向量為n = (x, y,z)，
uuuur
ì n
r
× AM = x + y + z = 0
則 í r uuur ，
n × AD = y = 0
r
令 x =1，則 n = 1,0, -1 ，
設(shè)直線 BM 與平面 AMD 所成角為q ，則
uuuur r uuuur r
sinq = cosáBM , n BM = uuuur × nr 2 6= = ，
BM × n 3 2 3
所以直線 BM 與平面 AMD 6所成角的正弦值為 ．
3
4-5．（2024 高二下·四川成都·期中）如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1中， AB = 2 ， AD = 4， AA1 = 3，B1C
交BC1于點(diǎn) E.
(1)證明：直線D1E // 平面 A1BD ；
(2)求 AD 與平面 A1BD 所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 3 61
61
【分析】（1）利用長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，證明平面CD1B1 // 平面 A1BD ，可得直線D1E // 平面 A1BD ；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面 A1BD 的法向量，利用向量法求 AD 與平面 A1BD 所成角的正弦值.
【詳解】（1）證明：如圖，連接 B1D1，D1C ，
長(zhǎng)方體中，BC //A1D1 且 BC = A1D1，四邊形 BCD1A1 為平行四邊形，
則有BA1 //CD1，又BA1 平面 A1BD ，CD1 平面 A1BD ，
\CD1 //平面 A1BD ，
同理可證BD//B1D1， B1D1 // 平面 A1BD ，
又CD1 I B1D1 = D1 ，CD1, B1D1 平面CD1B1，\平面CD1B1 // 平面 A1BD ，
又D1E 平面CD1B1，\直線D1E // 平面 A1BD ；
（2）以 A 為原點(diǎn)， AB, AD, AA1 分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建系如圖：
得 A(0,0,0) ，D(0,4,0) ， A1(0,0,3) ，B(2,0,0)
uuur uuuur uuur
DB = (2, -4,0)，DA1 = (0, -4,3)， AD = (0, 4,0)，
r
設(shè)平面 A1BD 的一個(gè)法向量為n = (x, y,z)，
r uuur
ìn × DB = 2x - 4y = 0
由 í r uuuur ，令 x = 6，得 y = 3, z = 4，
n × DA1 = -4y + 3z = 0
r
可得平面 A1BD 的一個(gè)法向量為 n = (6,3,4)，
設(shè) AD 與平面 A1BD 所成角大小為q ，
uuur r uuur r
則 sinq = cos AD, n u
A
= uuDr × nr 12 3 61= = ，
| AD || n | 4 61 61
\ AD A BD 3 61與平面 1 所成角的正弦值為 .
61
4-6．（2024·陜西商洛·二模）在四棱錐P - ABCD 中，PA ^底面 ABCD，底面 ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
AP = 2 ，則直線 PB與平面 PCD所成角的正弦值為（ ）
2
A 2 5 B C 2 D 3． ． ． ．
5 5 3 3
【答案】B
【分析】以 AB ， AD ， AP 所在直線分別為 x ， y ， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線面夾角.
【詳解】如圖所示，
以 AB ， AD ， AP 所在直線分別為 x ， y ， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則B 1,0,0 ，C 1,1,0 ，D 0,1,0 ，P 0,0,2 ，
uuur uuur uuur
所以PD = 0,1, -2 ，DC = 1,0,0 ，PB = 1,0, -2 ，
r
設(shè)平面 PCD的一個(gè)法向量為 n = x, y, z ，
uuur
ì PD × n
r
= y - 2z = 0 r
則 íuuur r ，令 z =1，則 n = 0,2,1 ，
DC × n = x = 0
uuur uuur r
設(shè)直線 PB與平面 PCD所成的角為q ，所以 sinq cos PB,n
r
uPuuBr ×n -2 2= = r = = ，PB × n 5 × 5 5
故選：B.
4-7．（2024 高二下·江蘇徐州·期中）如圖，圓臺(tái)的下底面圓O1 的直徑為 AB ，圓臺(tái)的上底面圓O2 的直徑為
PQ，C 是弧 AB 上一點(diǎn)，且PA = AC = PC = BC = 2，PB = 2 2 .
(1)求證：PQ ^ AC ；
(2)若點(diǎn)M 是線段O1 Q 上一動(dòng)點(diǎn)，求直線 AP 與平面BCM 所成角的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
é π , π ù(2) ê 3 2 ú
【分析】（1）取 AC 的中點(diǎn)為E ，則可證明O1E ^ AC ， PQ//O1E ，從而可證得PQ ^ AC ；
uuur uuuur uuur
（2）以 EA, EO1, EP 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的方法求出直線 AP 與平面BCM 所成角的正弦
的函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)的知識(shí)即可求解.
【詳解】（1）取 AC 的中點(diǎn)為E ，連結(jié)PE,O1E,O1O2，
QPC = BC = 2, PB = 2 2 ，\ PC 2 +BC 2 =PB2 ，\PC ^ BC ，
又QC 是以 AB 為直徑的圓O1 上一點(diǎn)，\ BC ^ AC ，
Q AC PC = C ，PC 平面PAC ， AC 平面PAC ，，
\BC ^平面PAC ，Q PE 平面PAC ，\PE ^ BC ，
又Q PA = AC ，E 為 AC 的中點(diǎn)，\PE ^ AC ，
Q AC I BC = C ， AC 平面 ABC ，BC 平面 ABC ，
\PE ^ 平面 ABC ，
在圓臺(tái)O1O2 中，O1O2 ^ 平面 ABC ，
\ PE //O1O2 ，又因?yàn)樵趫A臺(tái)O1O2 中，圓O1 // 圓O2，
\ PE=O1O2 ，所以四邊形O1O2PE 為平行四邊形，
\ PO2 //O1E 且 PO2 =O1E ，
在Rt△ACB 中，O1為 AB 的中點(diǎn)，E 為 AC 中點(diǎn)，
\O1E //BC ，又QBC ^ AC ，\O1E ^ AC ，又QPO2 //O1E ，
\PQ ^ AC .
uuur uuuur uuur
（2）如圖以 EA, EO1, EP 為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，
A(1,0,0),C(-1,0,0), B(-1,2,0),O1(0,1,0), P(0,0, 3),O2 (0,1, 3) ，
uuuur uuuur
QO2Q = PO2 ，\Q(0,2, 3)，
uuuuur uuuur
設(shè)O1M = lO1Q(0≤l ≤1)，則M (0,l+1, 3l) ，
uuur uuuur
BC = (0,-2,0),CM = (1,l +1, 3l) ，
r
設(shè)平面BCM 的法向量為n = (x, y,z)，
r uuurì n × BC = -2y = 0 r uuur
í r uuuur ，取 n = (- 3l,0,1)， AP = -1,0, 3 ，
n ×CM = x + (l +1)y + 3lz = 0
設(shè)直線 AP 與平面BCM 所成角為q ，則
r uuur 3l + 3 2
sinq cos n, AP 3 l + 2l +1 3 1 2 3l +1= < > = = 2 = +
2 3l 2 +1 2 3l +1 2 3 3 3l
2 +1
3 1 2 3l +1
= +
2 3 2 ，3l +1 - 2 3l +1 + 4
令 t = 3l +1，Q0 l 1，\1 t 4，，
f (t) 3 1 2= +
令 2 3 t 1,4t 4 + - 2 ， ，
t
4
因?yàn)楹瘮?shù) y = t + 在 1,2 上單調(diào)遞減，在 2,4 上單調(diào)遞增，
t
4 4 2 2\ 1 1 1 2 2 3\4≤ t + ≤5 \2 t + - 2 3 4 + 4
t ， t ， 3 t + - 2 ，則 3 t + - 2 3 ，t t
f (t) 3 1 2= + é 3 ù
所以 2 3 4 的取值范圍為 ê ,1t + - 2 2 ú
，
t
é ù
即 sinq
3
ê ,1ú ，又q
é0, π ù é πê ú，所以q ê ,
π ù
2 2 3 2 ú
，

é π , πBCM ù所以直線 AP 與平面 所成角的取值范圍
ê
.
3 2 ú
（五）
兩個(gè)平面的夾角
求兩平面夾角的兩種方法
(1)定義法：在兩個(gè)平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可
轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．
π
(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量 n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉(當(dāng)〈n1，n2〉 ∈ [0， ]時(shí)2 )
或 π－〈n1，n2〉
注：利用向量方法求二面角的大小時(shí),多采用法向量法,即求出兩個(gè)面的法向量,然后通過(guò)法向
量的夾角來(lái)得到二面角的大小,但利用這種方法求解時(shí),要注意結(jié)合圖形觀察分析,確定二面角
是銳角還是鈍角,不能將兩個(gè)法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來(lái).
題型 5：利用空間向量求二面角
5-1．（山東省濱州市 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PC ^底面
ABCD，四邊形 ABCD是直角梯形， AD ^ DC ， AB / /DC ，PC = AB = 2AD = 2CD = 2，點(diǎn) E 在棱 PB 上．
(1)證明：平面EAC ^平面 PBC；
uuur uuur
(2)當(dāng)BE = 2EP時(shí)，求二面角P - AC - E 的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 2 2
3
【分析】（1）由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長(zhǎng)，由勾股定理逆定理得到 AC ^ BC ，從而證明出線面
垂直，面面垂直；
（2）解法一：以 C 為原點(diǎn)，CB，CA，CP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)及平面
的法向量，求出二面角的余弦值；
解法二：取 AB 的中點(diǎn) G，連接 CG，以點(diǎn) C 為原點(diǎn)，CG，CD，CP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建
系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)及平面的法向量，求出二面角的余弦值；
【詳解】（1）因?yàn)镻C ^底面 ABCD， AC 平面 ABCD，
所以PC ^ AC ．
因?yàn)?AB = 2 ， AD = CD =1，所以 AC = BC = 2 ．
所以 AC 2 + BC 2 = AB2 ，所以 AC ^ BC ．
又因?yàn)镻C BC = C ，PC 平面 PBC，BC 平面 PBC，
所以 AC ^平面 PBC．
又 AC 平面 EAC，
所以平面EAC ^平面 PBC．
（2）解法一：
以點(diǎn) C 為原點(diǎn)，CB，CA，CP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
C 0,0,0 ，B 2,0,0 ， A 0, 2,0 ，P 0,0,2 ．
設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 x, y, z uuur uuur，因?yàn)锽E = 2EP，所以 x - 2, y, z = 2 -x,-y, 2 - z ，
2 4 2 4
即 x = ， y = 0 ， z = ，所以E ,0, ÷．
3 3 ֏ 3 3
uuur uuur 2 4 所以CA = 0, 2,0 ，CE = ,0, ÷÷．
è 3 3
r uuurr ì n ×CA = 0
設(shè)平面 ACE 的一個(gè)法向量為 n = x, y, z ，則 í r uuur ．
n ×CE = 0
ì 2y = 0

所以 í 2 4 ，取 x = 2 2 ，則 y = 0 ， z = -1．
x + z = 0
3 3
r
所以平面 ACE 的一個(gè)法向量為 n = 2 2,0,-1 ．
uuur
又因?yàn)锽C ^平面 PAC，所以平面 PAC 的一個(gè)法向量為CB = 2,0,0 ．
設(shè)平面 PAC 與平面 ACE 的夾角為q ，
r uuur 2 2 2
則 cosq = cos n,CB
2 2
= =
2 22 2 + -1 2 2 3
．
所以，平面 PAC ACE 2 2與平面 夾角的余弦值為 ．
3
解法二：
取 AB 的中點(diǎn) G，連接 CG，以點(diǎn) C 為原點(diǎn)，CG，CD，CP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所
示
的空間直角坐標(biāo)系，則C 0,0,0 ，B 1, -1,0 ， A 1,1,0 ，P 0,0,2 ．
設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 x, y, z uuur uuur，因?yàn)锽E = 2EP，所以 x -1, y +1, z = 2 -x,-y, 2 - z ，
1 1 4 1 1 4
即 x = ， y = - ， z = ，所以E ,- , ．
3 3 3 ֏ 3 3 3
uuur uuur 1 1 4
所以CA = 1,1,0 CE = ,- , ， ．
è 3 3 3 ÷
r uuurr ìn ×CA = 0
設(shè)平面 ACE 的一個(gè)法向量為 n = x, y, z ，則 í r uuur ．
n ×CE = 0
ìx + y = 0
3
所以 í1 ，取 x = 3，則 y=- 3， z = - ．
x
1 4
- y + z = 0 2
3 3 3
r 3
所以，平面 ACE 的一個(gè)法向量為 n = 3, -3, - 2 ÷
．
è
uuur
又因?yàn)锽C ^平面 PAC，所以平面 PAC 的一個(gè)法向量為CB = 1,-1,0 ．
設(shè)平面 PAC 與平面 ACE 的夾角為q ，
r uuur 3 1+ -3 -1
cosq = cos n,CB 2 2= =
則 3 232 + -3 2 + -
3 ．
÷ 1
2 + -1 2
è 2
所以，平面 PAC 與平面 ACE 2 2夾角的余弦值為
3
5-2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形 ABCD為菱形， ED ^ 平面 ABCD，F(xiàn)B P ED，
BD = 2ED = 2 2FB .
(1)證明：平面EAC ^平面FAC ；
(2)若 BAD = 60°，求二面角F - AE - C 的大小.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
π
(2)
4
【分析】（1）根據(jù)線面垂直得線線垂直，進(jìn)而由線段的長(zhǎng)度得勾股定理，證明線線垂直，即可得線面垂直
證明面面垂直.
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角即可求解二面角大小.
【詳解】（1）設(shè) BD 交 AC 于點(diǎn) O，連接 EO，F(xiàn)O，
因?yàn)樗倪呅?ABCD 為菱形，所以 AC ^ BD .
因?yàn)?ED ^平面 ABCD,AC 平面 ABCD，所以 AC ^ ED .
又ED I BD = D，ED, BD 平面 BDEF，所以 AC ^平面 BDEF；
又EO 平面 BDEF，所以 AC ^ EO .
設(shè) FB=1，由題意得 ED=2，BD = 2 2, DO = BO = 2 .
因?yàn)?FB//ED，且 ED ^ 面 ABCD，則 FB ^平面 ABCD，
而OB,OD 平面 ABCD，故OB ^ FB，OD ^ ED ，
所以O(shè)F = OB2 + BF 2 = 3 ，EO = ED2 + DO2 = 6 ，
EF = BD2 + ED - BF 2 = 8 +1 = 3.
因?yàn)镋F 2 = OE2 + OF 2 ，所以EO ^ FO .
因?yàn)镺F AC = O，OF , AC 平面 ACF，所以 EO ^平面 ACF.
又 EO 平面 EAC，所以平面 EAC ^平面 FAC.
（2）取 EF 中點(diǎn) G，連接 OG，所以 OG//ED，OG ^底面 ABCD.
uuur uuur uuur
以 O 為原點(diǎn)，以O(shè)A,OB,OG 分別為 x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?BAD = 60°，由（1）中所設(shè)知， AB = AD = 2 2 ，
所以，OA = OC = 6 ,
所以 A( 6,0,0), F (0, 2,1), E(0,- 2,2),C(- 6,0,0).
uuur uuur uuur
所以FA = ( 6,- 2, -1)，EA = ( 6, 2, -2)，EC = (- 6, 2, -2) ，
ur
設(shè)平面 FAE 的一個(gè)法向量為m = (x, y, z)，
r uuurì m × FA = 0 ì 6x - 2y - z = 0 ì x = 3y
則 í r uuur í í ，
m × EA = 0 6x + 2y - 2z = 0 z = 2 2y
r
所以m = ( 3,1, 2 2)；
r
平面 AEC 的一個(gè)法向量為 n = (a,b,c) ，
uuur
ìn × EC = 0 ì- 6a + 2b - 2c = 0 ì a = 0
則 í
nr
uuur í í ，
× EA = 0 6a + 2b - 2c = 0 b = 2c
r
所以 n = (0, 2,1)；
r
所以 cos m, n
r 3 2 2
= = ，
3 3+1+ (2 2)2 2
由圖形可知二面角F - AE - C 的平面角為銳角，
π
所以二面角F - AE - C 的大小為 .
4
5-3．（2024 高二上·湖北·期末）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， AD ^ AB，
AB P DC ，PA ^底面 ABCD，點(diǎn) E 為棱 PC 的中點(diǎn)， AD = DC = AP = 2AB = 2．
(1)證明：BE / /平面 PAD；
PF
(2)在棱 PC 10上是否存在點(diǎn) F，使得二面角F - AD - C 的余弦值為 ，若存在，求出 的值，若不存在，
10 PC
請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
PF 1
(2)存在， =
PC 4
【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形 ABEG 為平行四邊形，從而證明 AG / / BE ，線面平行；
uuur uuur
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PF = lPC = 2l, 2l,-2l ,0 l 1 1，利用二面角大小列出方程，求出l = ，
4
得到答案.
【詳解】（1）在 PD 上找中點(diǎn) G，連接 AG，EG，如圖：
∵G 和 E 分別為 PD 和 PC 的中點(diǎn)，
∴ EG / /CD，且EG
1
= CD ，
2
又∵底面 ABCD 是直角梯形，CD = 2AB ， AB / /CD ，
∴ AB / /GE 且 AB = GE ．即四邊形 ABEG 為平行四邊形，
∴ AG / /BE ，
∵ AG 平面 PAD，BE 平面 PAD，
∴ BE / /平面 PAD；
（2）因?yàn)镻A ^平面 ABCD， AB, AD 平面 ABCD，
所以 PA ^ AB, PA ^ AD ，又 AB ^ AD ，
以 A 為原點(diǎn)，以 AB 所在直線為 x 軸，AD 所在直線為 y 軸，AP 所在直線為 z 軸，建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系，
uuur
可得B 1,0,0 ，C 2,2,0 ，D 0,2,0 ，P 0,0,2 ，PC = 2,2,-2 ，
uuur uuur
由 F 為棱 PC 上一點(diǎn)，設(shè)PF = lPC = 2l, 2l,-2l ,0 l 1，
uuur uuur uuur uuur
AF = AP + PF = 2l, 2l, 2 - 2l ， AD = 0,2,0
r
設(shè)平面 FAD 的法向量為 n = a,b,c ，
r uuur
ìn × AF = 0 ì2la + 2lb + 2 - 2l c = 0
由 í r uuur 可得 í ，解得：b = 0，
n × AD = 0 2b = 0
r
令 c = l ，則 a = l -1，則 n = l -1,0,l ，
r
取平面 ADC 的法向量為m = 0,0,1 ，
ur r
m × n l
則二面角F - AD - C 的平面角a 滿足： cosa ur r
10
= = = ,
m × n l -1 2 + l 2 10
1 1
解得：8l 2 + 2l -1 = 0，解得：l = 或l = - （舍去），4 2
PF 1
故存在滿足條件的點(diǎn) F，此時(shí) = ．
PC 4
5-4．（2024 高三下·河南·階段練習(xí)）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，四邊形 ABCD為平行四邊形，平面
D1BC ^平面D1BD .
(1)求證：BC ^ BD；
(2)若 AA1 = 2BD = 2BC = 4，探索在棱 AA1上是否存在一點(diǎn)E ，使得二面角E - BD - D1的大小為30o？若存在，
AE
求出 AA 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.1
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 3
2
【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，證明出結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出 AE = l 0 l 4 ，求出兩平面的法向量，根據(jù)二面角列出方程，求出l
的值，得到答案.
【詳解】（1）證明：由題意知DD1 ^平面 ABCD, BC 平面 ABCD，所以DD1 ^ BC .
過(guò)D在平面D1BD 內(nèi)作直線DG ^ D1B 交D1B于點(diǎn)G ，
因?yàn)槠矫鍰1BC ^平面D1BD ，平面D1BC 平面D1BD = D1B, DG 平面D1BD ，
所以DG ^ 平面D1BC .
又BC 平面D1BC ，所以DG ^ BC .
因?yàn)镈1D DG = D, D1D, DG 平面D1BD ，所以BC ^平面D1BD ，
又BD 平面D1BD ，所以BC ^ BD .
（2）由（1）知BC ^ BD，因?yàn)镈A / /BC ，所以 AD ^ DB ，
又DD1 ^平面 ABCD，且DA, DB 平面 ABCD，所以DD1 ^ DA, DD1 ^ DB，
故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA, DB, DD1分別為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系D - xyz ，
uuur uuur
設(shè) AE = l 0 l 4 ，則E 2,0,l , B 0,2,0 ，故DE = 2,0,l , DB = 0,2,0 .
ur
平面BDD1的一個(gè)法向量為m = 1,0,0 ，
uuur
r ìnr × DB = 2y = 0
設(shè)平面BDE 的一個(gè)法向量 n = x, y, z ，則 í
nr
uuur ，
× DE = 2x + lz = 0
r
令 z = 2 ，則 y = 0, x = -l ，所以 n = -l,0, 2 ，
ur r
ur r m × n -l
所以 cos m,n = ur r
3
= = ，解得l = 2 3 （負(fù)根舍），
m × n l 2 + 4 2
所以在棱 AA
AE 2 3 3
1存在點(diǎn)E ，使得二面角E - BD - D1的大小為30o，且 = = .AA1 4 2
5-5．（2024 高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在四棱錐 S - ABCD中，四邊形 ABCD為正方形， AB = 2 ，DS =1，
平面 ASD ^ 平面 ABCD， SD ^ AD，點(diǎn)E 為DC 上的動(dòng)點(diǎn)，平面BSE與平面 ASD 所成的二面角為q (q 為銳
角 ) ， 則當(dāng)q 取最小值時(shí)，DE = ．
2
【答案】 /0.4
5
【分析】首先以D - xyz 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DE = a，其中0 a 2 ，求出平面 ASD 和平面BSE的
uuur r uuur
一個(gè)法向量DC 和m ，由條件得出 cosq = cosr , DC> ，化簡(jiǎn)求出最大值即可得出q 取最小值時(shí)DE 的長(zhǎng)．
【詳解】解：因?yàn)槠矫?ASD ^ 平面 ABCD，平面 ASD I平面 ABCD = AD ，且 SD ^ AD， SD 平面 ASD ，
所以 SD ^ 平面 ABCD，
又因?yàn)镃D 平面 ABCD，
所以 SD ^ CD ，
又CD ^ AD ，
故以D - xyz 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)DE = a，其中0 a 2 ，
所以D 0,0,0 , S 1,0,0 , A 0,2,0 , B 0,2,2 , E 0,0,a ,C 0,0,2 ，
因?yàn)?SD ^ CD ，CD ^ AD ，又 SD I AD = D，且 SD 、 AD 均在平面 ASD 內(nèi)，
所以CD ^平面 ASD ，
uuur
所以易得DC = 0,0,2 是平面 ASD 的一個(gè)法向量，
uur uur
而 SB = -1,2,2 , SE = -1,0, a ，
r
設(shè)平面BSE的法向量為m = x, y, z ，
r uurì m·SB = 0 ì-x + 2y + 2z = 0 mr a, a - 2 所以 í r uur í x az 0, ，取 z =1，則
= ,1 ，
m·SE = 0 - + =

è 2 ÷
uuur
cosq r= cos 2 1 1= = =
2
所以 5 2 5 2 2 9 ，
2 × a2 a - 2+1+ ÷ a - a + 2 (a - ) +
è 2 4 4 5 5
當(dāng)q 取最小值時(shí)， cosq 5 2 9取最大，即分母 (a - )2 + 取最小值，
4 5 5
2
又0 a 2 ，當(dāng) a = 時(shí)，分母最小，
5
a 2故 = 時(shí)， cosq 最大，
5
2
故答案為： ．
5
題型 6：利用空間向量求兩個(gè)平面的夾角
6-1．（2024 高二上·湖南郴州·期末）如圖 2，在YABCD 中， AB = 2 ，BC = 3 ， ABC = 30°．將△DAC 沿
AC 翻折，使點(diǎn) D 到達(dá)點(diǎn) P 位置（如圖 3），且平面PAC ^平面PBC ．
(1)求證：平面PAC ^平面 ABC ；
uuur uuur
(2)設(shè) Q 是線段 PB上一點(diǎn)，滿足PQ = mPB ，試問(wèn)：是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)m ，使得平面QAC 與平面PAB的夾
2
角的余弦值為 ，若存在，求出m 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
1
(2)存在，m =
2
【分析】（1）利用余弦定理求出 AC 的長(zhǎng)，由勾股定理得CB ^ CA，過(guò)點(diǎn)A 作 AM ^ PC ，然后利用面面垂
直的性質(zhì)定理及判定定理證明即可，
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量建立關(guān)系式分析即可.
2
【詳解】（1）在VABC 中，由余弦定理得 AC 2 = 3 3+12 - 2 3 1 =1，
2
2
\ AC 2 + BC 2 =12 + 3 = 4 = AB2 ，
\CB ^ CA，
過(guò)點(diǎn)A 作 AM ^ PC 交PC 于點(diǎn)M ，如圖所示，
又平面PAC ^平面PBC ，且平面PAC I平面 PBC = PC
由 AM 平面PAC ，
所以 AM ^ 平面PBC ，又BC 平面PBC ，
所以 AM ^ BC ，又BC ^ AC ， AC AM = A
所以BC ^平面PAC ，又BC 平面 ABC ，
所以平面PAC ^平面 ABC ．
（2）由題知DA ^ AC ，即PA ^ AC ，
由（1）知PA ^ BC ，且 AC IBC = C
PA ^平面 ABC ，所以以 A 為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則P 0,0, 3 3 1 ， B(0,2,0)，C , ,02 2 ÷÷è
uuur uuur uuur uuur uuur
\ AQ = AP + PQ = AP + mPB = 0,0, 3 + m 0,2, - 3 = 0,2m, 3 1- m
ur
設(shè) n1 = (x, y, z)為平面QAC 的法向量，
ur uuur ur uuur
ìn1 ^ AC ì n1 × AC = 0 ì 3x + y = 0
由 íur uuur íur uuur

í ，
n1 ^ AQ n1 × AQ = 0 2my + 3 1- m z = 0
ur
令 y = 3 得 n1 = -1, 3,
2m
，
è m -1÷
ur 2m 2
且 n1 = 4 + ÷ ，
è m -1
ur
又易得平面PAB的法向量為 n1(1,0,0)，
ur uur -1
cos n 2 21,n2 = = m
1
=
由 4
4 2m
2
+
4 2 ，

è m -1÷
1 2
故存在實(shí)數(shù)m = 使得平面QAC 與平面PAB的夾角的余弦值為 ．
2 4
6-2．（2024 高二上·云南昆明·期末）如圖，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，側(cè)面 ACC1A1 為正方形，
CAB = 90°， AC = AB = 2，M，N 分別為 AB 和BB1的中點(diǎn)，D為棱 AC 上的點(diǎn).
(1)證明： A1M ^ DN ；
(2)是否存在點(diǎn) D 5，使得平面C1DN 與平面 ABB1A1夾角的余弦值為 ？如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，
3
求線段 AD 的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
6
(2)存在點(diǎn)D， AD = 滿足條件
5
【分析】(1)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明求解；
(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示面面夾角的余弦值，即可求解.
【詳解】（1）證明：由題意， AB ， AC ， AA1兩兩垂直，以 A 為原點(diǎn)，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 A - xyz ，
設(shè) AD = a 0 a 2 ，則D 0, a,0 ， A1 0,0,2 ，M 1,0,0 ， N 2,0,1
uuuur uuur
所以 A1M = 1,0, -2 ，DN = 2,-a,1
uuuur uuur
因?yàn)?A1M × DN =1 2 - a 0 - 2 1 = 0，
所以 A1M ^ DN .
ur
（2）由題意， AC ^平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1的一個(gè)法向量為m = 0,1,0 ，
uuuur uuur
因?yàn)镃1 0,2,2 ，所以C1D = 0,a - 2,-2 ，DN = 2,-a,1 ，
r
設(shè)平面C1DN 的法向量為 n = x, y, z ，
r uuuur
ìn ×C1D = a - 2 y - 2z = 0
則 í r uuur ，
n × DN = 2x - ay + z = 0
r
令 y = 4 ，則 n = a + 2,4,2a - 4 ，
設(shè)平面 ABB1A1與平面C1DN 的夾角為q ，則
ur r
ur r m × n
cosq 4 5= cos m, n = r ur = = ，
n × m 1 a + 2 2 +16 + 2a - 4 2 3
6
整理得， 25a2 - 60a + 36 = 5a - 6 2 = 0，解得 a = ，
5
所以存在點(diǎn)D， AD
6
= 滿足條件.
5
6-3．（2024 高二下·福建福州·期中）如圖，圓O是VABC 的外接圓，CE ^平面 ABC ， AB 是圓O的直徑，
uuur uuur
CAB = 30°，CE = 2BD，且CE = AB = 2 .
(1)求證：平面 ACE ^ 平面BCED ；
(2)若ME = 2DM ，求平面 ACM 與平面 ACE 夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) 2 5
5
【分析】（1）利用線面垂直證明BC ^平面 ACE ，再通過(guò)面面垂直即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)坐標(biāo)，得出面 ACM 與面 ACE 的法向量，即可求出兩個(gè)面夾角的余
弦值.
【詳解】（1）由題意及圖證明如下，
在圓O中， AB 為直徑，
∴ ACB = 90°, AC ^ BC ，
∵ CE ^平面 ABC , AC 平面 ABC , BC 平面 ABC ,
∴ EC ^ BC ，AC ^ CE ，
Q AC EC = C, AC 平面 ACE , EC 面 ACE ，
∴ BC ^平面 ACE , 又BC 平面BCDE ,
∴平面 AEC ^平面BCED .
（2）由題意及（1）得，
在 A - BCDE 中， AC ^ BC, AC ^ CE, BC ^ CE
在VABC 中，CE = AB = 2， CAB = 30°，
∴ BC 1= AB 3=1, AC = AB = 3 ，
2 2
uuur uuur
∵ CE = 2BD，
∴ BD
1
= CE =1
2
建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，
∵ ME = 2DM ，
∴ A 3,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,0,0 , D 0,1,1 , E 0,0,2 , M 0, 2 , 4 ,O 3 13 3 ÷ , ,0è 2 2 ÷÷，è
uuur uuur uuuur則CB = 0,1,0 ,CA = 3,0,0 ,CM 0, 2= , 4 ÷，
è 3 3
uuur
在面 ACE 中，其一個(gè)法向量為CB = 0,1,0 ，
r
在面 ACM 中，設(shè)其一個(gè)法向量為 n = x, y, z ，
r uuurì n ì×CA = 0 3x = 0 ì x = 0 uuuur 則 í r ，即 í2 4 ，解得： íz 1
，
n ×CM = 0 y + z = 0 3 3
= - y
2
r
∴當(dāng) y = 2 時(shí)， n = 0,2, -1 ，
設(shè)面 ACE 與面 ACM 所成角為q ，
uuur r
CB × n 0 +1 2 + 0
cosq uuur r 2 5= = =
CB × n 0 +12 + 0 0 + 22 + -1 2 5
6-4．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，BD ^ PC ，四邊形 ABCD是菱形，
ABC = 60°， AB = PA = 1，PB = 2 ，E 是棱PD上的中點(diǎn).
(1)求三棱錐C - BDE 的體積；
(2)求平面PAB與平面 ACE 夾角的余弦值.
【答案】(1) 3
24
(2) 7
7
【分析】（1）證明PA ^平面 ABCD，由VC-BDE = VE-CBD 計(jì)算三棱錐C - BDE 的體積；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值.
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?ABCD是菱形，所以BD ^ AC .
又BD ^ PC ， AC, PC 平面PAC ，且 AC I PC = C ，所以BD ^平面PAC .
因?yàn)镻A 平面PAC ，所以BD ^ PA .
因?yàn)?AB = PA =1, PB = 2 ，所以PB2 = AB2 + PA2 ，所以 AB ^ PA .
因?yàn)?AB, BD 平面 ABCD，且 AB I BD = B，所以PA ^平面 ABCD .
ABCD d 1 PA 1因?yàn)镋 是棱PD上的中點(diǎn)，所以E 到平面 的距離 E = = ，2 2
四邊形 ABCD是菱形， ABC = 60o ， AB = PA = 1，
則△CBD中， BCD =120o ，BC = CD =1 S 1 3， VCBD = BC ×CD ×sin BCD = ，2 4
∵V 1 1 3 1 3 3C-BDE = VE-CBD = S CBD × dE = = ，∴三棱錐C - BDE 的體積為 .3 △ 3 4 2 24 24
（2）取棱CD的中點(diǎn)F ，連接 AF ，則有 AF ^ CD ，因?yàn)?AB//CD ，則 AF ^ AB .
uuur uuur uuur
AB, AF , AP兩兩垂直，故以A 為原點(diǎn)，分別以 AB, AF , AP的方向?yàn)?x, y, z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

因 AB =1，則 A 0,0,0 ,C 1 , 3 ,0÷ , D
-1, 3 ,0÷ , P 0,0,1 .
è 2 2 è 2 2
-1 3 1 uuur 1 3 uuur -1 3 1
因E 是棱PD上的中點(diǎn)，則E , , ÷ , AC =4 4 2
, ,0÷ , AE = , , ÷ .
è è 2 2 è 4 4 2
ì r uuur x 3y
r n × AC = + = 0
設(shè)平面 ACE 的法向量為 n = x, y, z 2 2，則 í uuur ， nr AE -x 3y z × = + + = 0 4 4 2
r
令 x = 3 ，則 y = -1, z = 3 ，得 n = 3, -1, 3 .
r
平面PAB的一個(gè)法向量為m = 0,1,0 .
nr × mr
設(shè)平面PAB與平面 ACE 的夾角為q ，則cosq = cos n
r,mr 7=
nr mr
= .
7
7
故平面PAB與平面 ACE 夾角的余弦值為 .
7
6-5．（2024 高一上·吉林·階段練習(xí)）如圖①所示，長(zhǎng)方形 ABCD中，AD =1，AB = 2 ，點(diǎn)M 是邊CD的中點(diǎn)，
將△ADM 沿 AM 翻折到△PAM ，連接 PB，PC ，得到圖②的四棱錐P - ABCM ．
(1)求四棱錐P - ABCM 的體積的最大值；
π ù
(2)設(shè)P - AM - D 的大小為q ，若q 0, ú ，求平面PAM 和平面PBC 夾角余弦值的最小值．è 2
(1) 2【答案】
4
(2) 11
11
【分析】（1）取 AM 的中點(diǎn) G，連接 PG，即當(dāng)平面PAM ^平面 ABCM 時(shí)，P 點(diǎn)到平面 ABCM 的距離最大，
即可得到結(jié)果；
（2）連接 DG，過(guò)點(diǎn) D 作DZ ^平面 ABCD，以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別 DA 以 DC，DZ 所在直線為 x 軸，y 軸，
z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及法向量，列出方程，即可得到結(jié)
果.
【詳解】（1）取 AM 的中點(diǎn)G ，連接PG ，因?yàn)镻A = PM ，則PG ^ AM ，
當(dāng)平面PAM ^平面 ABCM 時(shí)，P 點(diǎn)到平面 ABCM 的距離最大，四棱錐P - ABCM 的體積取得最大值，此時(shí)
PG ^平面 ABCM 1 2，且PG = AM = ，
2 2
底面 ABCM 為梯形， SABCM = 1+ 2 1
1 3
= ，
2 2
1 3 2 2
則四棱錐P - ABCM 的體積最大值為 = .
3 2 2 4
（2）連接DG ，因?yàn)镈A = DM ，所以DG ^ AM ，所以 PGD 為P - AM - D 的平面角，即 PGD = q ，
過(guò)點(diǎn)D作DZ ^平面 ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以 DA，DC，DZ 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 A 1,0,0 ，M 0,1,0 ，C 0,2,0 ，
過(guò) P 作PH ^ DG于點(diǎn) H ，由題意得PH ^平面 ABCM ，
P x , y , z PG 2 PH 2 sinq GH 2設(shè) 0 0 0 ，因?yàn)?= ，所以 = ， = cosq ，DH 2= 1- cosq ，
2 2 2 2
2
所以 x0 = y0 = 1- cosq
2 1
= 1- cosq ， z 2= sinq ，
2 2 2 0 2
1
所以P 1- cosq ,
1 1 2- cosq , sinq ÷÷ ，
è 2 2 2
uuuur uuur
所以 AM = -1,1,0 ，PA 1+ cosq cosq -1 2= , , - sinq ÷÷ ，
è 2 2 2
ur ì-x1 + y1 = 0
設(shè)平面 PAM 的法向量為 n1 = x1, y1, z1

，則 í1+ cosq x cosq -1 y 2 sinq
，
1 + 2 2 1
- z1 = 02
ur
令 z1 = 2 ，則 n1 = tanq , tanq , 2 ，
uur
設(shè)平面PBC 的法向量為 n2 = x2 , y2 , z2 ，
uuur uuur
PC cosq -1, cosq + 3 2

因?yàn)镃B = 1,0,0 ， = , - sinq ，
è 2 2 2 ÷
÷

ìx2 = 0
則 ícosq -1 ，令 yx cosq + 3 2+ y - z sinq = 0 2
= 2 sinq ，
2 2 2 2 2 2
uur
可得 n2 = 0, 2 sinq ,3 + cosq ，
設(shè)兩平面夾角為a ，
ur uur sin
2 q
n ×n 2 + 3 2 + 2 cosq
則 1 2 cosq 3cosq +1cosa = ur uur = =
n × n 2 21 2 2 tan q + 2 sin q + 6cosq +10 11- cos2 q + 6cosq
3 cosq 1+
3 3= =
1 2 20 1 80 80 20
- cosq +
+ ÷ cosq +

÷ + 2 + -1
è 3 3 è 3 9 9 cosq 1+
1
÷ 3 cosq +

÷
è 3 è 3
t 1=
令 1 ，q
π
ù
3 ù
cosq +
0, ，所以 t ,3 ，
3 è 2
ú è 4 ú
所以 cosa
9
=
2 ，80t + 60t - 9
3
因?yàn)?y = 80t 2 + 60t - 9的對(duì)稱軸為 t = - ，
8
11
所以當(dāng) t = 3時(shí)， cosa 有最小值 ，
11
所以平面PAM 和平面PBC 11夾角余弦值的最小值為 ．
11
6-6．（2024 高二上·云南昆明·期末）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形，
2π uuur uuur
ADC = ，PD = DC = 2BC = 4，點(diǎn) E 是線段 AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) F 在線段 AP 上且滿足
3 AF = l AP
，PD ^
面 ABCD.
(1)當(dāng)l
1
= 時(shí)，證明：PC //平面 BFE ；
3
(2)當(dāng)l 為何值時(shí)，平面 BFE 與平面 PBD 所成的二面角的正弦值最小？
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解
1
(2) l =
2
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；
（2）建系，利用空間向量求二面角，并結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算.
【詳解】（1）設(shè) AC I BE = M ，
AM AE 1
因?yàn)?AE // BC ，則 = = ，
CM CB 2
l 1
uuur 1 uuurAF AP AM AF 1若 = ，即 = ，可得 = = ，
3 3 CM PF 2
所以MF // PC ，
MF 平面 BFE ，PC 平面 BFE ，
故PC //平面 BFE .
（2）連接DB，
由題意可得： AB = 2AD = 4, BAD = 60°，
1
在△ABD 2 2 2中，由余弦定理 DB = AB + AD - 2AB × AD × cos BAD = 16 + 4 - 2 4 2 = 122 ，
即DB = 2 3 ，可得 AB2 = AD2 + DB2，則 AD ^ BD ，
且PD ^面 ABCD，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則 A 2,0,0 , B 0,2 3,0 P 0,0,4 , E 1,0,0 ，
uuur uur
可得 AP = -2,0,4 , EB = -1,2 3,0 ，
uuur
設(shè)點(diǎn)F a,b,c ，則 AF = a - 2,b,c ，
ìa - 2 = -2l ìa = 2 - 2l
uuur uuur
因?yàn)?AF = l AP ，則 íb = 0 ，解得 íb = 0 ，即F 2 - 2l,0, 4l ，

c = 4l c = 4l
uuur
可得EF = 1- 2l,0, 4l ，
r uuurr ìn × EF = 1- 2l x + 4lz = 0
設(shè)平面 BFE 的法向量為 n = x, y, z ，則 í r uuur ，
n × EB = -x + 2 3y = 0
r
令 x = 4 3l ，則 z = 3 2l -1 , y = 2l ，即 n = 4 3l, 2l, 3 2l -1 ，
ur
由題意可得：平面PBD 的法向量m = 1,0,0 ，
設(shè)平面 BFE 與平面 PBD 所成的二面角為q ，
r ur
r ur n × m
則 cosq = cos n,m
4 3l 4 3l
= r ur = = ，
n × m 1 48l 2 + 4l 2 + 3 2l -1 2 64l 2 -12l + 3
由題意可知：l 0,1 ，則有：
當(dāng)l = 0時(shí)，則 cosq = 0 ；
4 3
當(dāng)l 0,1 cosq =時(shí)，則 3 12 ，
2 - + 64l l
因?yàn)閘 0,1 1，則 1,+ ，
l
1 3 12 1
關(guān)于 的二次函數(shù) y = 2 - + 64開(kāi)口向上，對(duì)稱軸 = 2，l l l l
1 2 l 1 3 12當(dāng) = ，即 = 時(shí)， 2 - + 64
3 12
取到最小值52，即 2 + + 64 52，l 2 l l l l

cosq 0, 2 39
ù
可得 ；
è 13
ú

é 2 39 ù
綜上所述： cosq ê0, .
13
ú

l 1= cosq 2 39 sinq 13所以當(dāng) 時(shí)， 取到最大值 ， 取到最小值 .
2 13 13
即當(dāng)l
1
= 時(shí)，平面 BFE 與平面 PBD 所成的二面角的正弦值最小.
2
一、單選題
uuuuv uuuuv
1．（2024 高二下·四川成都·期中）在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1中，AB = BC =1, AA1 = 3 ，則 AD1 與DB1 夾角
的余弦值為（ ）
1
A 5 2 5 5． B． C． D．
5 5 5
-
5
【答案】A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式求解即可.
【詳解】以 A1為坐標(biāo)原點(diǎn)， A1B1 為 x 軸， A1D1為 y 軸， AA1為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A 0,0, 3 ,
D1 0,1,0 , D 0,1, 3 , B1 1,0,0 ,
uuuur uuuur
∴ AD1 = 0,1, - 3 , DB1 = 1,-1,- 3 ,
uuuur uuuur uuuur uuuur
∴ cos AD , DB
A
= uuuDur1 × DuuB1 1 uu1r
0 -1+ 3 5
= =
AD1 × DB1 2 5 5
,
故選：A .
2．（2024 高二上·貴州銅仁·期末）已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，AB = 2 ，AA1 = 4，點(diǎn)E ，F(xiàn) 分別是 B1C1
和BB1的中點(diǎn)，M 是線段D1F 的中點(diǎn)，則直線 AM 和CE所成角的余弦值為（ ）
A 3． B 11． C 17 D 187． ．
6 17 6 17
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可.
【詳解】如圖
建立空間直角坐標(biāo)系，則 A 2,0,0 ，D1 0,0,4 ，C 0,2,0 ，E 1,2,4 ，F(xiàn) 2,2,2 ，
uuuur uuur
則M 1,1,3 ， AM = -1,1,3 ，CE = 1,0,4 ，
uuuur uuur uuuur uuur
cos AM ,CE uAuMuur ×CE則 = uuur
-1+12 187
= =
AM CE 11 17 17 ，
187
所以異面直線 AM 和CE所成角的余弦值為 .
17
故選：D.
3．（2024 高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，分別取棱 AA1， A1D1的中
點(diǎn) E，F(xiàn)，點(diǎn) G 為 EF 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) G 到平面 ACD1的距離為（ ）
A 3 B 3． ． 3 C．1 D．
2 3
【答案】D
【分析】利用等體積法或向量法進(jìn)行計(jì)算即可求解.
【詳解】
如圖所示，Q點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是 AA1， A1D1的中點(diǎn)，
因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為 2，所以， AD1 = AC = CD1 = 2 2 ，
∴ EF / / 平面 ACD1，點(diǎn) G 到平面 ACD1的距離即為點(diǎn) E 或 F 到平面 ACD1的距離．
方法 1：等體積法
1
∵ 1 3△ACD1為等邊三角形，∴ S S = 1 2 =1△ACD = 2 2 2 2 = 2 3，2 2 △FAD
，
1 1 2
設(shè) F 到平面 ACD1的距離為 d，
V 1 1∵ 3F - ACD = V1 C-FAD ，∴ S d = S1 3 △ACD1 3 △FAD
2，解得 d = ．
1 3
方法 2：向量法
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
uuur uuuur
A(2,0,0)，C(0, 2,0)，D1(0,0,2)， AC = (-2,2,0)， AD1 = (-2,0,2)，
uuur
r ì AC ×nr = 0 ì-2x + 2y = 0
設(shè)平面 ACD1的法向量為n = (x, y,z)

，則有 íuuuur ，得 í ，
AD
r
× n = 0 -2x + 2z = 01
r uuur
可求得平面 ACD1的法向量為 n = 1,1,1 ， AF = -1,0,2 ，
r uuur
n × AF
∴ d = r
3
=
n 3
．
故選：D
4．（2024 高二上·河北邯鄲·期末）在四棱錐P - ABCD 中，底面 ABCD 為菱形，PB ^底面 ABCD，
AB = 5 ，BD = PB = 2，則△PCD的重心到平面 PAD 的距離為（ ）
2 1 4 5
A． B． C． D．
9 3 9 18
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，直接建系，利用法向量，可求解.
【詳解】設(shè) AC 與 BD 交于點(diǎn) O，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
uuur uuur
則 A 2,0,0 ，C -2,0,0 ，D 0,1,0 ，P 0, -1,2 ， AD = -2,1,0 ，PA = 2,1,-2 .
ì mr
uuur
r × AD = -2x + y = 0,m x, y, z mr設(shè)平面 PAD 的法向量為 = ，則 í r uuur 令 x =1，得 = 1,2,2 .
m × PA = 2x + y - 2z = 0,
-2 + 0 + 0 0 +1-1 0 + 0 + 2 2 2
因?yàn)椤鱌CD的重心 G 的坐標(biāo)為 , , ÷，即 - ,0, ，
è 3 3 3 è 3 3 ÷
uuur
PG 2 4 所以 = - ,1,-3 3 ÷，è
uuur
PG mr× 4
故點(diǎn) G 到平面 PAD 的距離為 r = .m 9
故答案為：C
5．（2024 高二下·福建福州·期中）如圖在長(zhǎng)方體 ABCD - A1B1C1D1中， AD = DD1 =1, AB = 3 ，E，F(xiàn)，G 分
別是 AB, BC,CC1棱的中點(diǎn)，P 是底面 ABCD內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線D1P / / 平面EFG 平行，則線段BP的最小
值為（ ）
A 3 B 1 C 3
1
． ． ． D．
4 2 2
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，設(shè)P m,n,0 ，建立方程，表達(dá)出BP，求出最小值.
【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC, DD1分別為 x, y, z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

AD = DD1 =1, AB = 3 ，D1 0,0,1 , E 1,
3 ,0÷÷ , F
1 , 3,0 ,G 0, 3, 1 ÷ ÷ , B 1, 3,02 2 ，è è è 2
r
設(shè)P m,n,0 ，平面EFG 的法向量為 a = x, y, z ，
ìuuur
EF ar
1 3 1 3
× = - , ,0÷÷ × x, y, z = - x + y = 0 è 2 2 2 2
則 í ，
uuur
EG ×a
r 3 1 3 1
= -1, , ÷÷ × x, y, z = -x + y + z = 0
è 2 2 2 2
r
令 y =1得 x = 3, z = 3 ，故 a = 3,1, 3 ，
uuuur r
由D1P × a = m,n, -1 × 3,1, 3 = 3m + n - 3 = 0 ，則 n = 3 - 3m，
考慮 xOy 平面內(nèi)，由兩點(diǎn)間距離公式得
2
2 2
BP = m -1 2 + n - 3 = m -1 2 + 3 - 3m - 3 = 4 m 1 3- ÷ + ，
è 4 4
m 1= 3當(dāng) 時(shí)，取得最小值，最小值為 .
4 2
故選：C
ur r
6．（2024 高二下·江蘇南京·期中）已知兩平面的法向量分別為m = (0,1,1) ， n = (1,1,1)，則兩平面所成的二面
角的正弦值為（ ）
A 6 1． B 3． C． D 2 2．
3 3 3 3
【答案】B
ur r 6 3
【分析】根據(jù)題意求得 cos m,n = ，設(shè)兩平面所成的二面角為q ，求得 sinq = ，即可求解.
3 3
ur r
【詳解】由兩平面的法向量分別為m = (0,1,1) ， n = (1,1,1)，
ur r ur r
可得 cos m, n
m
= ur × nr 0 1+1 1+1 1 6= =
m n 2 3 3 ，
設(shè)兩平面所成的二面角為q ，其中q [0,p ]，可得 sinq = 1- cos2 q 3= .
3
3
即兩平面所成的二面角的正弦值為 .
3
故選：B.
r
7．（6.3.4 空間距離的計(jì)算（1））已知平面 α 的一個(gè)法向量 n = (-2,-2,1)，點(diǎn) A(-1,3,0) 在 α 內(nèi)，則P(-2,1,4)
到 α 的距離為（ ）
A．10 B．3
8 10
C． D．
3 3
【答案】D
uuur r
uuur AP ×n
【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得 AP ，再由 P 平面a 的距離 d = r 即可求解.
n
uuur r
【詳解】由題意，得 AP = -1, -2,4 ，又知平面a 的一個(gè)法向量 n = (-2,-2,1)，
uuur r
AP × n
a 2 + 4 + 4 10則 P 到平面 的距離 d = r = =2 2 2 3 ，n (-2) + (-2) +1
故選：D.
8．（2024 高二下·福建龍巖·期中）如圖，在圓錐 SO 中， AB 是底面圓O的直徑， SO = AB = 4， AC = BC ，
D為 SO 的中點(diǎn)， N 為 AD 的中點(diǎn)，則點(diǎn) N 到平面 SBC的距離為（ ）
4 5
A． B． C．1 D． 2
3 3
【答案】B
【分析】以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC 、OA、OS 所在直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間
向量法可求得點(diǎn) N 到平面 SBC的距離.
【詳解】因?yàn)?AC = BC ，O為 AB 的中點(diǎn)，則OC ^ AB，
由圓錐的幾何性質(zhì)可知 SO ^ 平面 ABC ，
以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC 、OA、OS 所在直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則 S 0,0,4 、B 0, -2,0 、C 2,0,0 、 A 0,2,0 、D 0,0,2 、 N 0,1,1 ，
r uuur uuur
設(shè)平面 SBC的法向量為 n = x, y, z ，BC = 2,2,0 ，BS = 0,2,4 ，
ìnr
uuur
× BC = 2x + 2y = 0 r
則 í r uuur ，取 y = -2，可得 n = 2, -2,1 ，
n × BS = 2y + 4z = 0
uuur r
uuur BN ×n -6 +1 5
又因?yàn)锽N = 0,3,1 ，所以，點(diǎn) N 到平面 SBC的距離為 d = r = = .
n 3 3
故選：B.
9．（2024 高二下·江西景德鎮(zhèn)·期中）在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別為 AD，BC 的中點(diǎn)，
M 為線段 EF 上的一動(dòng)點(diǎn)，則直線 A1D與B1M 所成角的余弦值的取值范圍是（ ）
é1 3 10 ù é 3 3 10 ù é 2 3 10 ù é3 3 10 ù
A． ê , ú B． ê , C． , D． ,
2 10 2 10
ú ê
2 10
ú ê ú
5 10
【答案】C
【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線夾角的余弦值即可.
【詳解】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系D - xyz ，
所以 A1(2,0, 2)，B1(2, 2, 2) ，M (1,m,0)且0 m 2，
uuuur uuuur
則DA1 = (2,0, 2)，MB1 = (1, 2 - m, 2)，
uuuur uuuur uuuur uuuur
所以 | cos DA1, MB
| D
1 |= uuu
Aur1 × MuuBuu1r | 3=
| DA1 || MB1 |
，
2 5 + (2 - m)2
2
當(dāng)m = 0，夾角余弦值最小為 ，當(dāng)m = 2 3 10，夾角余弦值最大為 ，
2 10
é ù
所以直線 A D B M
2 3 10
1 與 1 所成角的余弦值的取值范圍是 ê , .
2 10
ú

故選：C
10．（2024 高二下·浙江·階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺(tái)的底面 ABCD是直角梯形， BAD = 90o ， AD//BC ，
AD = AB = 2BC = 2DD1 = 2A1D1，DD1 ^平面 ABCD，E 是側(cè)棱BB1所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，AE 與CA1所成角的
余弦值的最大值為（ ）
A 2 6． B 7 2． C 3 10 D 2 5． ．
5 10 10 5
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線所成角的余弦值.
【詳解】以 A 為原點(diǎn)，AB 為 x 軸，AD 為 y 軸，過(guò) A 垂直平面 ABCD的直線為 z 軸，建立如圖所示的空間
直角坐標(biāo)系，
設(shè) AD = AB = 2BC = 2DD1 = 2A1D1 = 2，
則 A 0,0,0 , B 2,0,0 ,C 2,1,0 , D 0,2,0 A 3 ， 1 0,1,1 , B1 1,1,1 ,C1 1, ,12 ÷ , D1 0,2,1 ，è
uuur
CA1 = -2,0,1 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
設(shè)BE = lBB1 ， AE = AB + BE = AB + lBB1 = 2,0,0 + l -1,1,1 = 2 - l,l,l ，
uuur uuur
uuur uuur AE ×CA1 -4 + 2l + l 3l - 4
設(shè) AE 與CA1所成角為q ，則 cosq = cos AE,CA1 = uuur uuur = =2 2 ，AE × CA 2 21 2 - l + l + l 5 3l - 4l + 4 5
3l - 4 2 2
設(shè) = k 2 ，則有 9 -15k l + 20k - 24 l +16 - 20k = 0，5 3l - 4l + 4
由l 2存在，則D = 20k - 24 - 4 9 -15k 16 - 20k 0，
9 9
解得0 k ，即 k 的最大值為 ，
10 10
所以 AE 與CA 3 101所成角的余弦值的最大值為 .10
故選：C
11．（2024 高二下·全國(guó)·單元測(cè)試）三棱錐O - ABC 中，OA,OB,OC 兩兩垂直且相等，點(diǎn)P,Q 分別是線段BC
BP 1和OA上移動(dòng)，且滿足 BC ， AQ
1
AO ，則 PQ和OB 所成角余弦值的取值范圍是（ ）
2 2
A [ 3 , 2 5． ] B．[ 3 , 2 ]
3 5 3 2
6 2 5 é 6 , 2
ù
C．[ , ] D． ê
6 5 6 2
ú

【答案】C
x, y, z uuur uuur【分析】分別以O(shè)A，OB，OC 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)BP = lBC ，得出P 0,2 - 2l, 2l ，設(shè)
uuur uuur 2 - 2l
Q m,0,0 ，從而得出 cos PQ,OB = m, t2 2 2 ，設(shè)1- l = t ，結(jié)合參數(shù) 的范圍得出答案.m + 4(1- l) + 4l
【詳解】由OA，OB，OC 兩兩垂直且相等,分別以O(shè)A，OB，OC 為 x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
如圖所示，不妨取OA = 2．則B 0,2,0 ，C 0,0,2 ．
uuur uuur設(shè)P 0, y, z 0 l 1 ，BP = lBC ， ÷．
è 2
則 0, y - 2, z = l 0,-2,2 = 0,-2l, 2l ，
ìy - 2 = -2l
\í 解得 y = 2 - 2l ， z = 2l ．\P 0,2 - 2l, 2l
z
．
= 2l
uuur
設(shè)Q m,0,0 ， 1≤m≤ 2 ，則PQ = m, 2l - 2, -2l ，
uuur uuur
uuur uuur uuur PQ ×OB 2 - 2l
又OB = 0,2,0 ， cos PQ,OB = uuur uuuur = ．
PQ | OB | m2 + 4(1- l)2 + 4l 2
1
設(shè)1- l = t ，則 t 1，
2
uuur uuur
cos PQ,OB 2t 2= =
2 2 2 2
所以 m + 4(1- t) + 4t m 1 2 ，
÷ + 4( -1) + 4
è t t
1 t 1 1 1 m由 ，則 2，1 m 2，則1 4，
2 t t
2
當(dāng) t = 1,m = 1 1時(shí)， =1 m m 1， = 1同時(shí)達(dá)到最小值，此時(shí) ÷ + 4( -1)2 + 4 取得最小值 5 ， t t è t t
uuur uuur 2 5
所以 cos PQ,OB 有最大值 ，此時(shí)P 0, 2,0 , Q 1,0,0 ；
5
1 1 m m 2t = ,m = 2 = 2 = 4 1時(shí)， ， 同時(shí)達(dá)到最大值，此時(shí) 2 + 4( -1) + 4 取得最大值 2 6 ， 2 t t è t ÷ t
uuur uuur
所以 cos PQ,OB 6有最小值 ，此時(shí)P 0,1,1 ，Q 2,0,0 ；
6
é 6 2 5 ù
綜上可得： PQ和OB 所成角余弦值的取值范圍是 ê , ．
6 5
ú

故選：C.
12．（2024 高二下·河南周口·階段練習(xí)）在正四棱錐P - ABCD 中，PA = AB = 2，M 為棱 PC 的中點(diǎn)，則異
面直線 AC，BM 所成角的余弦值為（ ）
A 2 B 3． ． C 6． D 6．
2 3 5 6
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線 AC，BM 的方向向量，利
用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與異面直線所成角的關(guān)系即可求解.
uuur uuur uuur
【詳解】設(shè) AC，BD 交于點(diǎn) O，以 O 為原點(diǎn)，OA，OB，OP 方向分別為 x 軸、y 軸、z 軸的正方向，建立
空間直角坐標(biāo)系O - xyz ，如圖所示，
則 A 2,0,0 , C - 2,0,0 P 0,0, 2 M 2， ， - ,0,
2
2 2 ÷÷
，B 0, 2,0 ，
è
uuuur 2 2 uuur
所以BM = - , - 2, ÷÷， AC = -2 2,0,0 ，
è 2 2
設(shè)異面直線 AC，BM 所成角為q ，則
uuur uuuur
uuur uuuur AC × BM
cosq = cos AC, BM = uuur uuuur 2 6= = ．
AC BM 2 2 3 6
故選：D．
13．（2024 高二上·河南平頂山·期末）如圖，在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的正方
形， D1D = 3，M，N 分別是 B1C1 ，AB 的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn) P 是線段 DN 上的動(dòng)點(diǎn)，則 MP 的最小值為（ ）
A 30 B 2 30 C 30 3 30． ． ． D．
4 5 2 5
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式表示 MP ，利用二次函數(shù)求值域，即
可得到本題答案.
【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA, DC, DD1所在直線為 x 軸， y 軸， z 軸，建立如圖所示的空間直角
坐標(biāo)系.
因?yàn)榈酌?ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的正方形， D1D = 3，所以M (1, 2,3)，
∵點(diǎn) P 在 xOy 平面上，∴設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x, y,0 , y 0,1 ，
x AD
∵ P 在DN 上運(yùn)動(dòng)，∴ = = 2y AN ，∴
x = 2y ，∴點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (2y, y,0)，
2
∴ MP = 1- 2y 2 + 2 - y 2 + 3 - 0 2 = 5y2 -8y +14 = 5 y 4 54 - 5 ÷ +
，
è 5
∵ y 0,1 4，∴當(dāng) y = 時(shí)， MP 3 30取得最小值 .
5 5
故選：D
14．（2024 高二下·浙江·期中）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB = 2, AA1 = 3，點(diǎn) D 為棱 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 為
uuur uuur
線段 A1C
π
（不與C 點(diǎn)重合）上的點(diǎn)，且滿足 A1E = mEC(m > 0)，當(dāng)二面角E - AD - C 的平面角為 時(shí)，實(shí)數(shù)4
m 的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出兩個(gè)平面的法向量，結(jié)合二面角的平面角的余弦值建立方
程即可算出.
【詳解】過(guò)點(diǎn)A 在平面 ABC 內(nèi)作 Ax ^ AC ，
則以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 Ax, AC, AA 為 x, y, z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz ，如圖所示：
則 A1(0,0,3),C(0,2,0)，B( 3,1,0)
3 3
，根據(jù)點(diǎn) D 為棱 BC 的中點(diǎn)得D( , ,0) ，
2 2
uuur uuur
設(shè)E a,b,c ，由 A1E = mEC 得，
a,b,c - 3 = m -a, 2 - b, -c ，即E 0,
2m , 3 ，
è m +1 m +1÷
uuur
AD 3 3
uuur
則 = , ,0 AE
0, 2m 3， = ,

，
è 2 2 ÷
÷
è m +1 m +1
÷

r
設(shè)平面 ADE 的法向量為 n = x, y, z ，
r uuuv
ì 3
ìn × x
3
+ y = 0
則 í r u
AuDuv = 0 í 2 2，即 ，
n × AE = 0 2m y 3+ z = 0
m +1 m +1
2m
令 x = 3 ，則 y = -1, z
2m r
= ，所以 n =

3
3，-1, ÷，
è 3
ur
易知平面 ADC 的一個(gè)法向量為m = 0,0,1 ，
2m
cosq m
r r
× n 3
所以 = mr nr
=
× 2 ，4m
+ 4
9
π
由二面角E - AD - C 的平面角為 ，
4
所以 cosánr,mr π 2 = cos = ，
4 2
2m 2m
3 3 2
所以 = =2 ，解得m = 3 .4m 4 4m
2 2
+ + 4
9 9
故選：C.
15．（2024 高二上·浙江金華·期末）襄陽(yáng)一橋全稱“襄陽(yáng)江漢大橋”，于 1970 年正式通車，在和襄陽(yáng)城長(zhǎng)達(dá) 53
年的相處里，于襄陽(yáng)人來(lái)說(shuō)一橋早已無(wú)可替代.江漢大橋由主橋架 上下水平縱向聯(lián)結(jié)系 橋門(mén)架和中間橫撐
架以及橋面系組成，下面是一橋模型的一段，它是由一個(gè)正方體和一個(gè)直三棱柱構(gòu)成.其中 AB=BH，那么直
線 AH 與直線 IG 所成角的余弦值為（ ）
3 3 1 1A．- B． C．- D．
2 2 2 2
【答案】D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角余弦值.
【詳解】以 E 為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB，ED，EI 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè) AB = BH = a ，則 A a,-a,0 , H a,0,a , I 0,0,a ,G a,a,a ，
uuur uur
AH = 0, a, a , IG = a, a,0 ，設(shè)直線 AH 與直線 IG 所成角為q ，
uuur uur
uuur uur AH × IG 0, a, a × a, a,0 2
則 cosq = cos AH , IG = uuur uur
a 1
= = 2 = ，AH × IG 2a × 2a 2a 2
1
故直線 AH 與直線 IG 所成角的余弦值為 .
2
故選：D.
16．（2024 高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）如圖，棱長(zhǎng)均相等的三棱錐P - ABC 中，點(diǎn)D是棱PC 上的動(dòng)點(diǎn)（不含
端點(diǎn)），設(shè)CD = x ，二面角 A - BD - C 的大小為q .當(dāng) x 增大時(shí)，（ ）
A．q 增大 B．q 先增大后減小
C．q 減小 D．q 先減小后增大
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量數(shù)量積求解.
【詳解】由題意，三棱錐P - ABC 是正四面體，以△PBC 的重心為原點(diǎn)，BC 邊的中線 PG 為 x 軸，
OA 為 z 軸，過(guò) O 點(diǎn)平行于 BC 的直線為 y 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
設(shè)三棱錐 P-ABC 的棱長(zhǎng)為 2 3 ，則有：OA2 = AP2 - PO2 =12 - 22 = 8 ，
B -1, - 3,0 , A 0,0,2 2 ,C -1, 3,0 , P 2,0,0 D 3 x 1, 2 3 - x ， - ,0÷÷ ，
è 2 2
uuur uuur 3 2 3 - x AB = -1, - 3, -2 2 , AD = x -1, ,-2 2 ，
è 2 2 ÷
÷

r uuur ì -t - 3y - 2 2z = 0ur ìm·AB = 0
設(shè)m = t, y, z 是平面 ABD 的一個(gè)法向量，則有 í r uuur ，即 í 3 ，令
m·AD = 0 x -1÷÷ t
2 3 - x
+ ÷÷ y - 2 2z = 0
è 2 è 2
ur
y = - 3x ，解得 t = 4 3 - x, z = 2x - 6,\m = 4 3 - x,- 3x, 2x - 6 ，
r
顯然 n = 0,0,1 是平面 PBC 的一個(gè)法向量，
ur r
mgn 2x - 6cosq ur r 1 2x
2 - 4 3x + 6
\ = = =
m g n 2 2 24 3 - x + 3x + 2x - 6 6 x
2 - 2 3x + 9
1 12
= 2 -
6 2 ；x - 3 + 6
顯然當(dāng) x = 3 時(shí)（x 的取值范圍是0 < x < 2 3 ）， cosq q
π
最小， = ，
2
當(dāng) x > 3 時(shí)， cosq 變大，二面角為銳角，q 變小，
x < 3 時(shí)， cosq 變大，二面角為鈍角，即q 變小；
綜上q 減小.
故選：C.
17．（2024·新疆阿勒泰·一模）四棱錐P - ABCD 中， AB = BC = 2 ，其余各條棱長(zhǎng)均為 1，則直線PA與直
線BC 所成角的余弦值為（ ）
1
A 2 2 6． B． C． D．
3 3 6 3
【答案】C
2 2 2 6
【分析】設(shè)四邊形 ABCD的半徑為 r ，求得 2r = 3 和 sin ADC = ，進(jìn)而求得 AC = ，在VPAC 中，
3 3
uuur r uuur r uuur r
由余弦定理可得 cos APC
1
= - ，設(shè)PA = a, PB = b, PC = c，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.3
【詳解】如圖（1）所示，四棱錐P - ABCD 中， AB = BC = 2 ，其余各條棱長(zhǎng)均為 1，
所以點(diǎn) P 在底面 ABCD內(nèi)的射影為底面四邊形 ABCD的外接圓的圓心，
即四邊形 ABCD為圓內(nèi)接四邊形，如圖（2）所示
根據(jù)四邊形 ABCD的對(duì)稱性，可得BD為外接圓的直徑，所以 BAD = 90o ，
設(shè)四邊形 ABCD的半徑為 r ，
在直角△ABD 中，可得 2r = BD = AD2 + BD2 = 12 + ( 2)2 = 3 ，
2 1
設(shè) ADB = q ，可得 sinq = , cosq = ，
3 3
sin ADC sin 2q 2sinq cosq 2 2所以 = = = ，
3
可得 AC 2 2 2 6= 2r sin ADC = 3 = ，
3 3
2 2 2 6 2
在VPAC 1 +1 - ( )中，由余弦定理可得 2 2 2cos APC PA + PC - AC 3 1 ， = = = -
2PA × PC 2 1 1 3
uuur r uuur r uuur r r r r r r r 1
設(shè)PA = a, PB = b, PC = c，且 a,b = b,c = 90o , cos a,c = - ，3
uuur uuur r r r r r r r r r uuur uuur
可得PA × BC = a × (c - b) = a ×c - a ×b =1 1 cos a,c - 0
1
= - ， PA =1, BC = 2 ，
3
1
uuur uuur uuur uuur -
則 cos PA, BC uPuurA × BC= uuur 3 2= = - ，
PA × BC 1 2 6
設(shè)異面直線PA與直線BC 所成角的范圍為q ，其中0o < q 90o ，所以 cosq 2= ，
6
所以直線PA 2與直線BC 所成角的余弦值為 .
6
故選：C.
18．（2024 高二下·江蘇宿遷·期中）如圖，在四棱錐P - ABCD 中，PA ^平面 ABCD， BAD = 90°，
PA = AB = BC 1= AD = 1，BC / / AD ，已知 Q 是棱PD上靠近點(diǎn) P 的四等分點(diǎn)，則CQ與平面PAB所成角的
2
正弦值為（ ）．
A 5 B 2 5 C 2 29
1
． ． ． D．
5 5 29 6
【答案】C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)C 、Q的坐標(biāo)，求出平面PAB的法向量，最后求出CQ與平面PAB
所成角的正弦值.
【詳解】
Q PA ^平面 ABCD， BAD = 90°，
\以A 為坐標(biāo)原點(diǎn)， AD, AB, AP 所在直線分別為 x 軸、 y 軸、 z 軸，
1 3 uuur 1 3
建立空間直角坐標(biāo)系，則C 1,1,0 ，Q ,0, ÷ .\CQ = - ,-1,2 4 ÷ .è è 2 4
r
易知平面PAB的法向量 n = 1,0,0 .
設(shè)CQ與平面PAB所成角為q ，
uuur r 1
uuur r CQ × n -
則 sinq = cos CQ, n = uuur r
2 29
= 2 = .
CQ n 29 29
16
故選：C.
19．（2024 高二下·陜西漢中·期末）如圖，在正方體 ABCD - A1B1C1D1中， P 為體對(duì)角線B1D上一點(diǎn)，且
DP = 2PB1 ，則異面直線 AD1 和CP所成角的余弦值為（ ）
0 3 4A B C D 3． ． ． ．
5 5 2
【答案】A
【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC 、DD1所在直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方
體 ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，利用空間向量法可求得異面直線 AD1 和CP所成角的余弦值.
【詳解】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC 、DD1所在直線分別為 x 、 y 、 z 軸建立如下圖所示的空間直角坐
標(biāo)系，
設(shè)正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，
則 A 3,0,0 、D1 0,0,3 、C 0,3,0 、D 0,0,0 、B1 3,3,3 ，
uuur uuur uuur uuur uuuur
CP = CD + DP 2 2= CD + DB1 = 0, -3,0 + 3,3,3 = 2,-1,2 ，3 3
uuuur uuuur uuur
uuuur uuur
AD ×CP
AD1 = -3,0,3 ，所以， cos AD1,CP = uuuur
1 uuur = 0
AD1 × CP
，
因此，異面直線 AD1 和CP所成角的余弦值為0 .
故選：A.
二、多選題
20．（江蘇省淮安市淮海中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期收心考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長(zhǎng)為 1 的正方體
ABCD - A1B1C1D1中（ ）
A． AC 與BD1的夾角為60° B．二面角D - AC - D1的平面角的正切值為 2
C． AB1與平面 ACD
3
1所成角的正切值 2 D．點(diǎn)D到平面 ACD1的距離為
3
【答案】BCD
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則 A 1,0,0 ,C 0,1,0 , B 1,1,0 , D1 0,0,1 , B1 1,1,1 ，
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
∴ AC = -1,1,0 , BD = -1, -1,1 ， AC × BD = 0，即 AC ^ BD o1 1 1 ， AC 與BD1的夾角為90 ，故 A 錯(cuò)誤；
uuur uuuur
設(shè)平面 ACD
r
1的法向量為m = x, y, z ， AC = -1,1,0 , AD1 = -1,0,1 ，
r uuur
ìm × AC = -x + y = 0 r
所以 í r uuuur ，令 x =1，則m = 1,1,1 ，
m × AD1 = -x + z = 0
r
平面DAC 的法向量可取 n = 0,0,1 ，二面角D - AC - D1的平面角為q ，
r r 1
則 cosq = cos m, n = ，所以 sinq = cos mr , nr 2= , tanq = 2 ，故 B 正確；
3 3
uuur
因?yàn)?AB1 = 0,1,1 ，設(shè) AB1與平面 ACD1所成角為a ，
uuur
則 sina = cos AB mr 2 61 × = = , cosa
3
= , tana = 2 ，故 C 正確；
2 × 3 3 3
uuur
因?yàn)镈A = 1,0,0 ，設(shè)點(diǎn)D到平面 ACD1的距離為 d ，則
uuur r
d DA × m 1 3= r = = ，故 D 正確.m 3 3
故選：BCD.
21．（2024 高二上·山東青島·期中）如圖，已知正方體 ABCD - A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2，E，F(xiàn)，G 分別為 AD，
AB， B1C1 的中點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（ ）
A．三棱錐C - EFG 的體積為 1 B． A1C ^平面 EFG
C． A1D1 // 平面 EFG D
3
．平面 EGF 與平面 ABCD 夾角的余弦值為
6
【答案】AB
【分析】根據(jù)錐體體積公式求得三棱錐C - EFG 的體積.建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷 BCD 選項(xiàng)的
正確性.
1 1 1 1 3
【詳解】A 選項(xiàng)， SVCEF = 2 2 - 1 1- 1 2 - 1 2 = 4 - -1-1 = ，2 2 2 2 2
V 1 3所以 C-EFG = VG-CEF = 2 =1，A 選項(xiàng)正確.3 2
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
A1 2,0,2 ,C 0,2,0 , D1 0,0,2 , E 1,0,0 , F 2,1,0 ,G 1,2,2 ，
uuur uuuur uuur uuur
A1C = -2,2, -2 , A1D1 = -2,0,0 , EF = 1,1,0 , EG = 0,2,2 ,
uuur uuur uuur uuur
A1C × EG = 0, A1C × EF = 0 ，所以 A1C ^ EG, A1C ^ EF ，
由于EG EF = E, EG, EF 平面FEG ，所以 A1C ^平面EFG ，B 選項(xiàng)正確.
uuur
平面EFG 的一個(gè)法向量為 A1C = -2,2, -2 ，
uuuur uuur
A1D1 × A1C = 4 0，所以 A1D1與平面EFG 不平行，C 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
r
平面 ABCD的法向量為 n = 0,0,1 ，
設(shè)平面EFG 于平面 ABCD的夾角為q ，
uuur r
cosq uAu1uC × n 2 3則 = r r = = ，D 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
A1C × n 2 3 3
故選：AB
r
22．（2024 高二下·江西宜春·開(kāi)學(xué)考試）點(diǎn)M 在 z 軸上，它與經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且方向向量為 s = 1, -1,1 的直線 l
的距離為 6 ，則點(diǎn)M 的坐標(biāo)是（　　）
A． 0,0, -3 B． 0,0,3
C． 0,0, 3 D． 0,0, - 3
【答案】AB
uuuur
【分析】設(shè)M 0,0,m ，表示出OM ，再由點(diǎn)到直線的距離公式得到 ，解得即可.
uuuur r
【詳解】設(shè)M 0,0,m ，則OM = 0,0, m ，又直線 l的方向向量為 s = 1, -1,1 ，
uuuur uuuur r
2
2
M l d OM OM
2
所以點(diǎn) 直線 的距離 = - r × s ÷ m2 m= - = 6 ，
÷ 3
è s
所以m = ±3，則M 0,0,3 或M 0,0, -3 .
故選：AB
23．（2024 高二上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐 A - BCD中，平面 ABC ^ 平面BCD，VABC 與△BCD
均為等腰直角三角形，且 BAC = BCD = 90°，BC = 2，P 是線段 AB 上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若線段CD
上存在點(diǎn)Q，使得異面直

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