資源簡介

3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 10 題型分類
一、雙曲線的性質(zhì)
x2 y2 y2 x2
標(biāo)準(zhǔn)方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
圖形
范圍 x≥a 或 x≤－a y≤－a 或 y≥a
對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo) A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
性質(zhì) b a
漸近線 y＝± x y＝± x
a b
c
離心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
a
a，b，c 間的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
二、等軸雙曲線
實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線方程是 y＝±x，離心率為 2.
三、直線與雙曲線的位置關(guān)系
設(shè)直線 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
雙曲線 C： － ＝1(a>0，b>0)，②
a2 b2
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b
(1)當(dāng) b2－a2k2＝0，即 k＝± 時(shí)，直線 l 與雙曲線 C 的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．
a
b
(2)當(dāng) b2－a2k2≠0，即 k≠± 時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
a
Δ>0 直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
Δ＝0 直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；
Δ<0 直線與雙曲線有 0 個(gè)公共點(diǎn)．
四、弦長公式
若 斜 率 為 k(k≠0) 的 直 線 與 雙 曲 線 相 交 于 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 兩 點(diǎn) ， 則 |AB| ＝
1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2].
（一）
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
1．由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)
(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵．
(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定 a，b 的值．
(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)．
2．由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注
意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式．
(2)巧設(shè)雙曲線方程的技巧：漸近線為 ax±by＝0 的雙曲線方程可設(shè)為 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
題型 1：由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)
1-1．【多選】（2024 高二下·山東臨沂·期末）已知雙曲線C : x2 - y2 = 1，則（ ）
A．實(shí)軸長為 1 B．虛軸長為 2
C．離心率 e = 2 D．漸近線方程為 x ± y = 0
【答案】BCD
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解.
【詳解】由C : x2 - y2 = 1可知， a = b =1,c = 2 ，故實(shí)軸長為 2a = 2，虛軸長為 2b = 2，
c b
離心率 e = = 2 ，漸近線方程為 y = ± x = ±x，即 x ± y = 0 .
a a
故選：BCD
2
1-2．【多選】（2024 x高二上·福建福州·期末）已知雙曲線 - y2 = m2 m 0 ，則不因m 的值改變而改變的是
3
（ ）
A．焦距 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)
C．離心率 D．漸近線方程
【答案】CD
【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，表示出 a,b,c，求得焦距、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率以及漸近線方程，可得答案.
x2 y2 m2 x
2 y2
【詳解】由方程 - = ，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 2 2 2
3 3m2
- 2 =1，即 a = 3m ,b = m ，m
c2 = a2 + b2 = 4m2，
則焦距為 4 m ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ± 3 m ,0 ，離心率 e c 3 3= = ，漸近線方程為 y = ± x .
a 2 3
故選：CD.
y2 x21-3．【多選】（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）下列關(guān)于雙曲線 - =1說法正確的是（ ）
9 4
A．實(shí)軸長為 6 B．與雙曲線 4y2 - 9x2 =1有相同的漸近線
2 2
C y x．焦點(diǎn)到漸近線距離為 4 D．與橢圓 + =1有同樣的焦點(diǎn)
15 2
【答案】ABD
【分析】先求出雙曲線的基本量，然后逐一分析每個(gè)選項(xiàng)是否正確.
y2 x2
【詳解】由題意，雙曲線 - =1滿足 a2 = 9,b2 = 4，即 a = 3,b = 2，于是 2a = 6，故 A 選項(xiàng)正確；
9 4
y y a x 3雙曲線的焦點(diǎn)在 軸上，故漸近線方程為： = ± = ± x，而雙曲線 4y2 - 9x2 =1焦點(diǎn)也在 y 軸，
b 2
1
3
故漸近線為 y = ± 21 x = ± x ，即它們漸近線方程相同，B 選項(xiàng)正確；2
3
y2 x2
- =1焦點(diǎn)為 0, ± 13 3，不妨取其中一個(gè)焦點(diǎn) 0, 13 和一條漸近線 y = x，
9 4 2
2 13
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，焦點(diǎn)到漸近線距離為： = 2 ，C 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
32 + (-2)2
y2 x2
橢圓 + =1的焦點(diǎn)為 0, ± 13 ，根據(jù) C 選項(xiàng)可知，橢圓和雙曲線焦點(diǎn)一樣，D 選項(xiàng)正確.
15 2
故選：ABD
題型 2：由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
2 2 5
2-1．（2024 x y高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知雙曲線 2 - =1的離心率 e = ，實(shí)半軸長為 4，則雙曲線a b2 4
的方程為 .
x2 y2
【答案】 - =1
16 9
【分析】由離心率求出 c，再由 c2 = a2 + b2 求出b 可得雙曲線方程．
ì c 5
=
a 4 2 2
【詳解】由已知可得 ía = 4 ,即得b = 3 ,
x y
所以雙曲線方程為: - ＝1.
c2 = a
2 + b2 16 9

x2 y2
故答案為: - =1 .
16 9
2 2
2-2．（2024 高二· · x y全國 課后作業(yè)）與雙曲線 - = 1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn) 3 2,2 的雙曲線方程為 ．
16 4
x2 y2
【答案】 - =1
12 8
x2 y2
【分析】設(shè)雙曲線方程為 - =1，將點(diǎn) 3 2,2 代入，解得 k ，即可求解．
16 - k 4 + k
x2 y2
【詳解】解：設(shè)雙曲線方程為 - =1 -4 < k <16 ，將點(diǎn) 3 2,2 代入，
16 - k 4 + k
18 4
即 - =1，解得 k = 4或 k = -14（舍去），
16 - k 4 + k
x2 y2
故所求雙曲線方程為 - =1．
12 8
x2 y2
故答案為： - =1
12 8
2 2
2-3．（2024 · y x高二下 廣東佛山·階段練習(xí)）一雙曲線的虛軸長為 4，離心率與橢圓 + =1的離心率互為倒
4 3
數(shù)，且焦點(diǎn)所在軸相同，則該雙曲線的方程為（ ）
2 2 2 2
A 3x y 3y x． - =1 B． - =1
16 16 16 16
3y2 2 2 2C x 3x y． - =1 D． - =1
4 4 4 4
【答案】C
1
【分析】由橢圓方程可確定焦點(diǎn)在 y 軸上且離心率 e = ，從而得雙曲線的焦點(diǎn)也在 y 軸上，離心率 e = 2，
2
再結(jié)合離心率公式及所求雙曲線的虛軸長為 4，即可求得雙曲線的方程.
y2 x2 1
【詳解】解：因?yàn)闄E圓 + =1的焦點(diǎn)在 y 軸上，離心率 e = ，
4 3 2
所以所求雙曲線的焦點(diǎn)也在 y 軸上，離心率 e = 2，
c
即 = 2，所以 c2a = 4a
2 ，
又因?yàn)殡p曲線的虛軸長為 4，
即 2b = 4，所以b = 2 ，
即 c2 - a2 = 3a2 = 4，
a2 4所以 = ，
3
3y2 x2
所以所求雙曲線的方程為： - =1.
4 4
故選：C.
2-4．（2024 高二上·遼寧營口·期末）過點(diǎn) 2,3 且與橢圓5x2 + 9y2 = 45有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（ ）
2
A x2 y 1 B x
2 2
y2 1 C x y
2 2 2
． - = ． - = ． - =1 D x y． - = 1
3 9 2 9 9 5
【答案】A
【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ±2,0 ，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn) 2,3 可求雙曲線的方程.
x2 y2
【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1，故 c = 9 - 5 = 2，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ±2,0 .
9 5
x2 y2
設(shè)雙曲線的方程為 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，a b
ì 4 9
2 - =1故 ía b2 ，解得 a2 =1,b2 = 3，
a2 + b2 = 4
y2
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 - =1.
3
故選:A.
（二）
求雙曲線的漸近線與離心率
雙曲線的漸近線、離心率：
x2 y2 y2 x2
雙曲線的方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
a,b,c 的關(guān)系 c2＝a2＋b2
c
性 離心率 e＝ ∈(1，＋∞)
a
質(zhì)
b a
漸近線 y＝± x y＝± x
a b
求雙曲線離心率的方法
c
(1)直接法：若可求得 a，c，則直接利用 e＝ 得解．
a
(2)解方程法：若得到的是關(guān)于 a，c 的齊次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 為常數(shù)，且
p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
題型 3：雙曲線的漸近線問題
x2 y23-1．（2024 高二上·河北保定·期中）雙曲線 - = -3的漸近線方程為（ ）
2 4
1
A． y = ± 2x B． y = ±2x C 2． y = ± x D． y = ± x
2 2
【答案】A
x2 y2
【詳解】由題可知：該雙曲線的方程為 - = 0 y = ± 2x
2 4
故選：A
2 2
3-2．（2024
x y
高二下·河南平頂山·期末）雙曲線C : - = 1的右焦點(diǎn)到 C 的一條漸近線的距離為（ ）
9 4
A．2 B． 5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】由雙曲線方程求出漸近線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可求出結(jié)果.
【詳解】依題意得 a2 = 9，b2 = 4 ， c2 = a2 + b2 =13，
所以 a = 3，b = 2 ， c = 13 ，
2
所以漸近線方程為 y = ± x，右焦點(diǎn)為 ( 13,0)，
3
所以點(diǎn) ( 13,0)到漸近線 2x - 3y = 0
2 13
的距離為 = 2 .
4 + 9
故選：A
2
3-3 2024 · · x y
2
．（ 高二下 四川達(dá)州 期末）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的離心率為 2，則它的漸近線方程為a b
（ ）
A． y = ± 3x B． y = ± 2x C． y = ±x D y 2． = ± x
2
【答案】A
b
【分析】由離心率為 2，利用雙曲線的性質(zhì)可得 = 3，由此可得漸近線的方程．
a
x2 y2 b
【詳解】由 2 - 2 =1得雙曲線的漸近線方程為 y = ± x．a(chǎn) b a
∵雙曲線的離心率為 2，
c a2 + b2 b2 b∴ = = 1+ 2 = 2，解得 = 3，a a a a
∴雙曲線的漸近線方程為 y = ± 3x ．
故選：A．
2
3-4．（2024 高三下·湖南· y階段練習(xí)）已知F 21, F2 為雙曲線 x - =1(b > 0)的左、右焦點(diǎn)，過F1作直線 y = -bxb2
的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于B,C 兩點(diǎn)（如圖）.若VCBF2 構(gòu)成以 BCF2 為頂角的等腰三角形，則雙
曲線的漸近線方程為 .
【答案】 y = ± 3 +1 x
【分析】由題意可得 CB = CF2 ，再結(jié)合雙曲線的定義可求得 BF1 = 2a = 2， BF2 = 4a = 4，由余弦定理可
4c2 -12 1 1
得 cos BF1F2 = ，由F1C 與漸近線 y = -bx 垂直，于是 kF = ，即 tan BF F = ，從而得8c 1C b 1 2 b
2
cos BF F b= b 4c -121 2 ，進(jìn)而可得 = ，從而可解.c c 8c
【詳解】由題意可得 CB = CF2 ，由雙曲線的定義及點(diǎn)C 在右支上，
CF1 - CF2 = CB + BF1 - CF2 = BF1 = 2a = 2，
又點(diǎn) B 在左支上，則 BF2 - BF1 = 2a = 2，則 BF2 = 4a = 4，
BF F cos BF F (2a)
2 + (2c)2 - (4a)2 c2 - 3
在△ 1 2 中，由余弦定理可得 1 2 = = ，8ac 2c
而F
1 1 b
1C 與漸近線 y = -bx 垂直，于是 kF C = ，即 tan BF1F2 = ，從而得 cos BF1F2 = ，1 b b c
b c2 - 3 b a2 + b2 - 3
所以 = ，即 = ，化簡得b2 - 2b - 2 = 0，解得b =1+ 3，
c 2c c 2c
所以雙曲線的漸近線方程為 y = ± 3 +1 x .
故答案為： y = ± 3 +1 x
2
3-5．（2024· y江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若雙曲線 x2 - 2 =1(b > 0)經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近b
線方程是 .
【答案】 y = ± 2x .
【分析】根據(jù)條件求b ，再代入雙曲線的漸近線方程得出答案.
2
【詳解】由已知得32 4- 2 =1，b
解得b = 2 或b = - 2 ，
因?yàn)閎 > 0，所以b = 2 .
因?yàn)?a =1，
所以雙曲線的漸近線方程為 y = ± 2x .
【點(diǎn)睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲
線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的 a,b密切相關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化 1 為 0，即得漸近線方程.
2 2
3-6．（2024 高二下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)F1, F2 是雙曲線C :
x y
2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦a b
點(diǎn)，雙曲線C 的右支上存在一點(diǎn) B 滿足BF1 ^ BF2 , BF1與雙曲線C 的左支的交點(diǎn)A 平分線段BF1，則雙曲線C
的漸近線斜率為（ ）
A．±3 B．±2 3 C．± 13 D．± 15
【答案】B
【分析】設(shè) AB = AF1 = x ，則 BF1 = 2x ，由雙曲線的定義得 BF2 = 2x - 2a ， AF2 = x + 2a，
根據(jù)BF1 ^ BF2，列出方程求得 BF1 = 6a, BF2 = 4a，在直角△BF1F2 中，利用勾股定理求得 c2 =13a2 ，進(jìn)而
求得雙曲線C 的漸近線．
【詳解】設(shè) AB = AF1 = x(x > 0)，則 BF1 = 2x ，
由雙曲線的定義得 BF2 = 2x - 2a ， AF2 = x + 2a，
又由BF1 ^ BF2得 AF
2 =| AB |2 + BF 2，即 (x + 2a)2 = x22 2 + (2x - 2a)
2 ，解得 x = 3a ，所以 BF1 = 6a, BF2 = 4a，
2 2 2
在直角△BF1F2 中，由勾股定理得 F1F2 = BF1 + BF
2 2 2
2 ，即 (2c) = (6a) + (4a) ，
2
整理得 c2 =13a2 ，則b2 = c2 - a2 =12a2，雙曲線C b的漸近線斜率為±
a2
= ±2 3 ．
故選：B．
題型 4：雙曲線的離心率問題
x2 24-1．（2024 高二上· · y江蘇 期末）設(shè) k 為實(shí)數(shù)，已知雙曲線 - = 1的離心率 e (2,3)，則 k 的取值范圍為
4 k
【答案】 (12,32)
【分析】根據(jù)雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可
x2 y2
【詳解】因?yàn)?- = 1表示雙曲線的方程，
4 k
所以有 k > 0 ，因此 a = 2,b = k ,c = a2 + b2 = 4 + k ，
c 4 + k
因?yàn)?e = = ，
a 2
e 2,3 2 4 + k所以由 < < 3 4 < 4 + k < 6
2
16 < 4 + k < 36 12 < k < 32，
即 k 的取值范圍為 (12,32) ，
故答案為： (12,32) .
4-2．（2024 高二下·湖南衡陽·期末）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，
即任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在
2
. C : x y
2
一個(gè)圓上時(shí)等號成立 已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線 C 上關(guān)于a b
π
原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)A ，B 滿足 AB × F1F2 = AF1 × BF2 + AF2 × BF1 ，若 AF1F2 = ，則雙曲線C 的離心率 .6
【答案】 3 +1 /1+ 3
【分析】由題意可得四邊形 AF1BF2 為平行四邊形，根據(jù) AB × F1F2 = AF1 × BF2 + AF2 × BF1 及托勒密定理可
得四邊形 AF1BF2 為矩形．利用雙曲線的定義、直角三角形的邊角關(guān)系即可得出結(jié)論．
x2 y2
【詳解】由雙曲線 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2及雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)A ，a b
B ，
則 OA = OB ， OF1 = OF2 ，可得四邊形 AF1BF2 為平行四邊形，
又 AB × F1F2 = AF1 × BF2 + AF2 × BF1 及托勒密定理，可得四邊形 AF1BF2 為矩形．
設(shè) | AF1 |= m， BF1 = n(m > n)，
在RtVAF1F
π
2 中， AF1F2 = ，6
則m - n = 2a ， n = m × tan
π
6 ，
\n = c ，m = 3c ，m = c + 2a ，
\ c3c = c + 2a ，解得 = 3 +1．a(chǎn)
\雙曲線的離心率為 3 +1．
故答案為： 3 +1．
x2 24-3 y 3 2．（2024 高二上·陜西寶雞·期末）已知雙曲線 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的離心率為 ，則其漸近線方程為a b 4
（ ）
1 1
A． y 2= ± x B． y 2= ± x C． y = ± x D． y = ± x
2 4 4 2
【答案】B
3 2 b 2
【解析】由雙曲線的離心率為 ，結(jié)合離心率的定義，求得 = ，即可求得漸近線的方程.
4 a 4
x2 y2 3 2
【詳解】由題意，雙曲線 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的離心率為 ，a b 4
c 3 2 c2 b 9 b 2
可得 = ，即 2 =1+ ( )
2 = ，解得 = ，
a 4 a a 8 a 4
2
即雙曲線的漸近線的方程為 y = ± x .
4
故選：B.
2 2 π
4-4．（2024
x y
高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線 2 - 2 = 1 a > b > 0 兩條漸近線的夾角為 ，則此雙曲線的a b 3
離心率為（ ）
A．2 B 4 3 C 2 3 D 4 3． ． ．
3 3 3
【答案】C
b π b2
【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，可得 = tan ，再根據(jù)
a 6 e = 1+
即可求解.
a2
x2 y2
【詳解】∵雙曲線 2 - 2 = 1 a > b > 0
b
的漸近線方程為 y = ± x，
a b a
2 2 π
∴ x y由雙曲線 2 - 2 = 1 a > b > 0
b π 3
兩條漸近線的夾角為 ，可得 .
a b 3
= tan =
a 6 3
c b2∴ e 1 2 3雙曲線的離心率為 = = + = .
a a2 3
故選：C.
2 2
4-5．（2024 高三下·貴州黔東南·階段練習(xí)）已知雙曲線C : x y2 - 2 =1 a > b > 0 的一條漸近線被圓a b
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 4 15截得的弦長為 ，則雙曲線C 的離心率為 .
5
10 1
【答案】 / 10
3 3
【分析】先求漸近線方程，再根據(jù)弦長可求 a,b的關(guān)系，故可求雙曲線的離心率.
x2 y2
【詳解】雙曲線C : 2 - 2 =1 a > b > 0 的漸近線的方程為 ay ± bx = 0 .a b
圓 x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 x - 2 2的標(biāo)準(zhǔn)方程為： + y - 2 2 = 4，
故該圓的圓心為 2,2 ，半徑為 2，
2a ± 2b
而圓心到漸近線的距離為 ，
a2 + b2
2
2a ± 2b 4 15
故漸近線被該圓截得的弦長為 2 4 - 2 ÷ = ，è a + b2 5
整理得到：3a2 -10ab +3b2 = 0或3a2 +10ab + 3b2 = 0，
2
a > b > 0 a = 3b c = 1+ b 10而 ，故 ，故離心率為 ÷ = .a è a 3
10
故答案為： .
3
4-6 2024 · · C : x
2 y2
．（ 高二下 四川涼山 期末）已知雙曲線 - =1，（ a > 0，b > 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，
a2 b2
F2，過點(diǎn)P -a,0 3作一條斜率為 的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn) M，且 PF2 = F2M ，則雙曲線 C 的
3
離心率為 .
4
【答案】 /113 3
【分析】由雙曲線的焦半徑公式結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】
2
M x x0 y
2
如圖所示，設(shè) 00 , y0 , F2 c,0 ，則 a2 - 2 =1，b
b2
所以 MF2 = x0 - c
2 + y20 = 1+ x
2
2 ÷ 0 - 2cx0 + c
2 - b2 = ex - a 20 = ex0 - a ，
è a
又 M 在第一象限，即 x0 > a ，故 MF2 = ex0 - a ，
因?yàn)?MPF2 = 30° ，過 M 作MD ^ x軸于 D， PF2 = F2M MF2D = 60°，
故 PF2 = a + c = MF2 = 2 F2D D
3 a
c + ,0

÷，
è 2 2
x 3c + a 3c + a c= × - a = a + c 3c2 - ac - 4a2即 0 ，故 = 0 3e
2 - e - 4 = 0 ，
2 2 a
4
解之得 e = （負(fù)值舍去）.
3
4
故答案為：
3
4-7．（2024 高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 為C 上一點(diǎn)，且
F1PF2 = 60°
7
， PF1 = l PF2 l > 1 ，若C 的離心率為 ，則l 的值為（ ）
2
A．3 B． 3 C．2 D． 2
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出 PF1 , PF2 ，結(jié)合余弦定理可得答案.
【詳解】因?yàn)?PF1 = l PF2 ，由雙曲線的定義可得 PF1 - PF2 = l -1 PF2 = 2a ，
PF 2a 2al所以 2 = ， PF1 = ；l -1 l -1
4a24c2 + 4l
2a2 - 2 2a ×2la ×cos 60°
因?yàn)?F1PF2 = 60° ,由余弦定理可得 = ，l -1 2
4c2 4a
2 + 4l 2a2 - 4la2 2 c2 1+ l 2 - l 7
整理可得 = 2 ，所以
e = 2 = 2 =l -1 a ，l -1 4
1
即3l 2 -10l + 3 = 0 ,解得l = 3或l = ,又因?yàn)閘 > 1 ,即l = 3 .
3
故選：A
2 2
4-8．（2024· · x y河北 三模）已知雙曲線C : - = l （其中m > 0,l 0），若l < 0 ，則雙曲線C 離心率的取
m m +1
值范圍為（ ）
A． 1, 2 B． 2,+ C． 1,2 D． 2, +
【答案】A
【分析】先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)離心率的定義，用m 表示出離心率，進(jìn)而可得其取值范圍.
x2C : y
2
【詳解】由雙曲線 - = l （其中m > 0,l < 0 ），
m m +1
y2 x2
得 - =1
-l m +1 ，-lm
-l
e m +1 - lm 2m +1 2 m +1 -1 1則雙曲線C 離心率 = = = = 2 -
-l ，m +1 m +1 m +1 m +1
1
因?yàn)閙 > 0，所以m +1 >1，則0 < <1，
m +1
所以1< 2
1
- < 2，
m +1
所以1 < e < 2 ，即雙曲線C 離心率的取值范圍為 1, 2 .
故選：A.
2 2
4-9．（2024·安徽合肥· x y模擬預(yù)測）雙曲線 2 - 2 =1（ a > 2，b > 0）的焦距為 2c c > 0 ，已知點(diǎn) A a,0 ，a b
B 0,b ，點(diǎn) 2,0 4到直線 AB 的距離為 d1 ，點(diǎn) -2,0 到直線 AB 的距離為 d2 ，且 d1 + d2 c ，則雙曲線離心5
率的取值范圍為（ ）
é 2 ù é 5 ù é, 2 10
ù
A． ê ú B． ê , 5ú C． , 102 2 ê 2 ú
D． é 3,2 3ù

【答案】B
2ab 4
【分析】首先表示出直線 AB 的方程，利用距離公式表示出 d1 ，d2 ，依題意可得 c ，再根據(jù) a、b 、cc 5
的關(guān)系得到關(guān)于 e的不等式，解得即可.
x y
【詳解】依題意直線 AB ： + =1，即bx + ay - ab = 0，又 a > 2，
a b
2b - ab b a - 2 -2b - ab b a + 2
所以 d1 = = ， d2 = =
a2 + b2 a2 + b2 a2
，
+ b2 a2 + b2
b a - 2 b a + 2d d 2ab 4所以 1 + 2 = + = c 22 2 2 2 c 5 ，所以5 c - a
2 ×a 2c2 ，
a + b a + b
25 c2 - a2即 ×a2 4c4，即 4e4 5- 25e2 + 25 0 e2，解得 5，4
é
e 5
ù
又 e >1，所以 ê , 5ú .
2
故選：B
2 2
4-10．（2024 高三下·河南洛陽· y x開學(xué)考試）已知雙曲線C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的上下焦點(diǎn)分別為Fa b 1
, F2 ，點(diǎn)
M 在C 的下支上，過點(diǎn)M 作C 的一條漸近線的垂線，垂足為D，若 MD > F1F2 - MF1 恒成立，則C 的離
心率的取值范圍為（ ）

A． 1,
5 5
÷ B． , 2

÷ C． 1,2
5 ,+ D．
3 3 ÷è è è 3
【答案】A
【分析】過點(diǎn)F2作漸近線的垂線，垂足為E ，則 EF2 = b，再根據(jù)雙曲線的定義得
MD + MF1 = MD + MF2 + 2a EF2 + 2a ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為 2a + b > 2c 恒成立，再根據(jù)齊次式求解即可.
【詳解】如圖，過點(diǎn)F2作漸近線的垂線，垂足為E ，
| F F |= 2c F y a
bc
設(shè) 1 2 ，則點(diǎn) 2到漸近線 = ± x的距離 EF2 = = b .b a2 + b2
由雙曲線的定義可得 MF1 - MF2 = 2a ，故 MF1 = MF2 + 2a ，
所以 MD + MF1 =| MD | + MF2 + 2a EF2 + 2a = b + 2a ，即 MD + MF1 的最小值為 2a + b ，
因?yàn)?MD > F1F2 - MF1 恒成立，
所以 | MD | + MF1 > F1F2 恒成立，即 2a + b > 2c 恒成立，
所以，b > 2c - 2a，即b2 > 4c2 + 4a2 - 8ac，即 c2 - a2 > 4c2 + 4a2 - 8ac ，
5
所以，3c2 + 5a2 - 8ac < 0，即3e2 - 8e + 5 < 0，解得1 < e < .
3
故選：A.
（三）
直線與雙曲線的位置關(guān)系
直線與雙曲線的位置關(guān)系
設(shè)直線 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
雙曲線 C： － ＝1(a>0，b>0)，②
a2 b2
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b
(1)當(dāng) b2－a2k2＝0，即 k＝± 時(shí)，直線 l 與雙曲線 C 的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．
a
b
(2)當(dāng) b2－a2k2≠0，即 k≠± 時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
a
Δ>0 直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
Δ＝0 直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；
Δ<0 直線與雙曲線有 0 個(gè)公共點(diǎn)．
題型 5：直線與雙曲線的位置關(guān)系
5-1．（2024 高二上·全國·單元測試）討論直線 l : y = kx +1與雙曲線C : x2 - y2 = 1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【答案】答案見解析
【分析】聯(lián)立方程組得到 (1- k 2 )x2 - 2kx - 2 = 0，結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，分類討論，即可求解.
ìy = kx +1
【詳解】聯(lián)立方程組 í (1- k 22 )x
2 - 2kx - 2 = 0
x - y
2 1，整理得 ，=
當(dāng)1- k 2 = 0時(shí)，即 k = ±1時(shí)，具體為：當(dāng) k =1時(shí)， x = -1；當(dāng) k = -1時(shí)， x =1；此時(shí)直線與雙曲線有一個(gè)交
點(diǎn)；
當(dāng)1- k 2 0時(shí)，即 k ±1時(shí)，可得D = 4k 2 + 8(1- k 2 ) = 8 - 4k 2，
由D > 0，即8 - 4k 2 > 0，可得- 2 < k < 2 且 k ±1，此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；
由D = 0，即8 - 4k 2 = 0，可得 k = ± 2 ，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
由D > 0，即8 - 4k 2 < 0，可得 k < - 2 或 k > 2 ，此時(shí)直線與雙曲線沒有交點(diǎn)；
綜上可得：
當(dāng) k (- 2,-1) U (-1,1) U (1, 2)時(shí)，直線 l與雙曲線C 有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng) k = ± 2 或 k = ±1時(shí)，直線 l與雙曲線C 有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng) k (- ,- 2) U ( 2,+ )時(shí)，直線 l與雙曲線C 沒有公共點(diǎn).
2 2
5-2．（2024·上海崇明·
x y
模擬預(yù)測）雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 與直線 y = 2x無公共點(diǎn)，則雙曲線 C 的離a b
心率的取值范圍為 ．
【答案】 1, 5ù
【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求得 a,b的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，即可容易求得離心率范圍.
x2 y2 b
【詳解】雙曲線C : - =1 a > 0,b > 0 的漸近線方程為 y = ± x
a2 2
，
b a
x2 y2Q若雙曲線 - =1(a > 0,b > 0) 與直線 y = 2x無公共點(diǎn)，
a2 b2
\ b b等價(jià)為雙曲線的漸近線 y = x 的斜率 2，即b 2a ，
a a
即b2 4a2，即 c2 - a2 4a2 ，即 c2 5a2 ，則 c 5a ，則 e 5 ，
Q e >1，\離心率滿足1< e 5 ，
即雙曲線離心率的取值范圍是 1, 5ù .
故答案為： 1, 5ù .
5-3．（2024 高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）直線 y = kx -1與雙曲線 x2 - y2 =1的左支交于不同兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的
取值范圍為 ．
【答案】 - 2, -1
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元得 (1- k 2 )x2 +2kx - 2 = 0，依題意可得該方程有兩個(gè)不等且小于-1的
根，即可得到不等式組，解得即可.
ìy = kx -1
【詳解】由 í y2 2 ，消去 整理得 (1- k 2 )x2 +2kx - 2 = 0x y 1 ， - =
ì1- k 2 0

Δ = 4k 2 + 8 1- k 2 > 0

因?yàn)樵摲匠逃袃蓚€(gè)不等且小于-1的根，所以 íx x -2k1 + 2 = 2 < 0
，
1- k

x x -21 2 = 2 > 0 1- k
解得- 2 < k < -1，
所以實(shí)數(shù) k 的取值范圍為 - 2, -1 .
故答案為： - 2, -1
5-4．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C ：x2 - 2y2 =1上點(diǎn)P( 3,1) ．求雙曲線C 在點(diǎn) P 處的切線 l的方
程．
【答案】 3x - 2y -1 = 0 .
【分析】將雙曲線在某點(diǎn)的切線方程轉(zhuǎn)化為曲線在某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求出在某點(diǎn)的切線斜率，進(jìn)
一步求出切線的方程.
2
【詳解】由C : x2 - 2 y2 = 1 x -1可得 y = ± ，
2
2
根據(jù)題目條件，可知求曲線 y x -1= 在點(diǎn) P ( 3,1)處的切線 l的方程，
2
1
-
1 x2 -1 2y x x= ÷ =2 è 2 2 x2 -1
2
∴ y x -1曲線 = 在點(diǎn) P ( 3,1)處的切線斜率為 k = 3
2 2
2
∴ y x -1曲線 = 在點(diǎn) P ( 3,1) 3處的切線方程為 y = (x - 3) +1
2 2
化簡得 3x - 2y -1 = 0
∴雙曲線 C 在點(diǎn) P 處的切線 l的方程為 3x - 2y -1 = 0．
題型 6：求相交弦長
2 2
6-1．（2024
x y
高二上·四川涼山·期末）已知雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的實(shí)軸長為 2，右焦點(diǎn)為 5,0 .a b
(1)求雙曲線C 的方程；
(2)已知直線 y = x + 2 與雙曲線C 交于不同的兩點(diǎn)A ， B ，求 AB .
y2
【答案】(1) x2 - =1
4
(2) 4 14
3
【分析】（1）根據(jù)實(shí)軸長可求 a，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可求 c，然后可得方程；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式可求答案.
【詳解】（1）由已知 2a = 2， a =1，
又 c = 5 ，則b = c2 - a2 = 2，
y2
所以雙曲線方程為 x2 - =1.
4
ì y = x + 2

（2）由 í 22 y ，得3x
2 - 4x -8 = 0，
x - =1 4
Δ = -4 2則 - 4 3 -8 =112 > 0，
設(shè) A x1, y1 ，B x2 , y x x
4 x 82 ，則 1 + 2 = ，3 1
x2 = - ，3
AB 1 12 x x 2 112 4 14所以 = + 1 - 2 = = .3 3
2 2
6-2．（2024 高二下·湖南湘潭·期末）已知雙曲線C : y x2 - 2 =1(a > 0,b > 0)
2 3
的一條漸近線方程為 y = x，
a b 3
焦距為 2 7 .
(1)求雙曲線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過P(0, 4)的直線 l 交雙曲線 C 于 A，B 兩點(diǎn)，且△OAB的面積為 24 5 ，求直線 l 的方
程.
y2 x2
【答案】(1) - =1
4 3
(2) y = ±x + 4 y 2 855或 = ± x + 4
45
【分析】（1 a 2 3）根據(jù) = ，2c = 2 7 ，以及 a2 + b2 = c2，求解即可；
b 3
（2）設(shè)直線 AB 的方程為 y = kx + 4與橢圓聯(lián)立，利用弦長公式表示 | AB |，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解高，
即可根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解.
【詳解】（1 a 2 3）由題意得： = ，2c = 2 7 ， a2 + b2 = c2，
b 3
解得： c = 7 ， a = 2，b = 3 ，
y2 x2\雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1．
4 3
（2）由題意可知，直線 AB 的斜率一定存在，
設(shè)直線 AB 的方程為 y = kx + 4， A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2 )，
ìy = kx + 4

聯(lián)立方程組 í y2 x2 ，消去 y 整理得 (3k 2 - 4)x2 + 24kx + 36 = 0，
- =1 4 3
ì

2
Δ = 24k - 4 36(3k 2 - 4) > 0

則 íx x
-24k
1 + 2 = 3k 2
，
- 4
x x 36 1 2 =
3k
2 - 4
3k 2 - 4 0
2 2
| AB |= 1+ k 2 × (x1 + x2 )
2 4x -24k- 1x2 = 1+ k
2 × 2 ÷ - 4
36
× 2 = 12 1
4 + k
+ k 2 ×
è 3k - 4 3k - 4 3k 2 - 4
4
原點(diǎn)到直線 AB 的距離為 d = 2 ，1+ k
1 2 2
所以 SVAOB = AB d
1 4 12 1 k 2 4 + k 24 4 + k= + × = = 24 5
2 2 1+ k 2
，
3k 2 - 4 3k 2 - 4
2 k 2 76解得 k =1或 = ，故 k = ±1, k 2 855或45 = ±
，
45
故直線方程為 y = ±x + 4 y 2 855或 = ± x + 4
45
6-3．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知雙曲線 C 兩條準(zhǔn)線之間的距離為 1，離心率為 2，直線 l 經(jīng)過 C 的右
焦點(diǎn)，且與 C 相交于 A、B 兩點(diǎn).
(1)求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線 l 與該雙曲線的漸近線垂直，求 AB 的長度.
y2
【答案】(1) x2 - =1
3
(2)3
【分析】
（1）根據(jù)雙曲線的準(zhǔn)線方程公式，結(jié)合雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線 l 的方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、雙曲線弦長公式進(jìn)
行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)橹本€ l 經(jīng)過 C 的右焦點(diǎn)，
所以該雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，
因?yàn)殡p曲線 C 兩條準(zhǔn)線之間的距離為 1，
a2 a2 2
所以有 - - ÷ =1
a 1
= ，
c è c c 2
又因?yàn)殡x心率為 2，
c
= 2 a 1 = a
2 1
所以有 代入 = 中，可得 a =1,c = 2 b2 = c2 - a2 = 4 -1 = 3，
a c 2 c 2
2
∴C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x2 y- =1；
3
（2）
由上可知：該雙曲線的漸近線方程為 y = ± 3x ，
3
所以直線 l 的斜率為± ，由于雙曲線和兩條直線都關(guān)于 y 軸對稱，
3
所以兩條直線與雙曲線的相交弦相等.
又因?yàn)橹本€斜率的絕對值小于漸近線斜率的絕對值，
3
所以直線與雙曲線交于左右兩支，因此不妨設(shè)直線 l 的斜率為 ，
3
方程為 y
3
= x - 2 與雙曲線方程聯(lián)立為：
3
ì 2
x2 y - =1 3
í 8x2 + 4x -13 = 0，
y 3 = x - 2 3
設(shè) A x1, y1 , B x2 , y
1 13
2 ，則有 x1 + x2 = - , x1x2 = - ，2 8
2
3 AB 1 x x 2 3 x x 2 2 3 x x 2 4x x 2 3 1 4 13= + - = - = + - = - 3 ÷÷ 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 4 - ÷ = 3.è è 8
6-4．（2024 高二上·遼寧·期末）已知雙曲線 C 的漸近線為 y = ± 3x ，且過點(diǎn)M 1, 2 ．
(1)求雙曲線 C 的方程；
(2)若直線 y = ax +1與雙曲線 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OA 與 OB 垂直，求 a 的值以及弦長
AB ．
【答案】(1) 3x2 - y2 =1
(2) a = ±1， AB = 10
【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線方程為 3 x 2 - y 2 = l ，代入M 1, 2 可求得l ，整理可得結(jié)果；
2a -2 uuur uuur（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè) A x1, y1 ，B x2 , y2 ，故可得 x1 + x2 = 2 ，x1x2 = ，利用3- a 3- a2 OA ^ OB
列等式可求得 a = ±1，然后利用弦長公式求 AB 即可
【詳解】（1）由雙曲線漸近線方程為 y = ± 3x ，可設(shè)雙曲線方程為： 3 x 2 - y 2 = l ，
又雙曲線過點(diǎn)M 1, 2 ，\l = 3- 2 =1
\雙曲線的方程為：3x2 - y2 =1
ìy = ax +1
（2）設(shè) A x1, y1 B x , y 2 2 2， 2 2 ，聯(lián)立 í 2 2 ，化為 3-a x -2ax-2 = 0 3- a 0 ．
3x - y =1
∵直線 y = ax +1 2與雙曲線 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，∴ D = 4a + 8 3 - a2 > 0 ，化為 a2 < 6．
x x 2a -2∴ 1 + 2 = 2 ， x3 - a 1
x2 = （*）3- a2
uuur uuur uuur uuur
∵ OA ^ OB，∴ OA ×OB = 0 ．∴ x1x2 + y1 y2 = 0，
又 y1 = ax1 +1， y2 = ax2 +1，∴ 1 + a2 x1x2 + a x1 + x2 + 1 = 0，
-2
* 1+ a
2
把（ ）代入上式得 2a
2
+ +1 = 0，化為 a2 =1．滿足D > 0．∴ a = ±1．
3 - a2 3 - a2
由弦長公式可得 AB = 1+ a2 (x 21 + x2 ) - 4x1x2 = 2 5 = 10
（四）
雙曲線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法
1、雙曲線的中點(diǎn)弦結(jié)論：
x2 y2
若直線 l (不平行于 y 軸)過雙曲線上 － ＝1(a>b>0)兩點(diǎn) A 、 B ，其中 AB中點(diǎn)為 P(x0，y ) ，則a2 b2 0
2
有 = 0 2 .0
2、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和雙曲線方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二
次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.
3．點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，然后作差，
構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系．
題型 7：雙曲線的中點(diǎn)弦問題
2
7-1．（2024 高二下·湖北孝感·期中）過點(diǎn)P 2,1 y的直線 l與雙曲線 x2 - =1相交于 A, B兩點(diǎn)，若 P 是線段 AB
3
的中點(diǎn)，則直線 l的方程是（ ）
A．6x - y -11 = 0 B．6x + y -13 = 0
C． 2x - 3y -1 = 0 D．3x - 2y - 4 = 0
【答案】A
【分析】利用點(diǎn)差法求解.
ì 2
x 2 y1 1
- =1
【詳解】解：設(shè) A x1, y , B x , y 31 1 1 ，則 í ，
x 2 y
2
- 2 =1 2 3
k y1 - y2
3 x1 + x2 3 2
兩式相減得直線的斜率為 = = = = 6 ，
x1 - x2 y1 + y2 1
又直線 l過點(diǎn)P 2,1 ，
所以直線 l的方程為6x - y -11 = 0，
經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí) l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).
故選：A
2 2
7-2．（2024·河南·三模）已知直線 l : 4x - 2y - 7 = 0 x y與雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的兩條漸近線分別交于a b
點(diǎn)A ， B （不重合）， AB 的垂直平分線過點(diǎn) 3,0 ，則雙曲線C 的離心率為（ ）
A 2 3 B 5 -1 C D 6． ． ． 3 ．
3 2 2
【答案】D
【分析】首先求出 AB 的垂直平分線的方程，即可求出 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè) ( 1, 1)， ( 2, 2)，利用點(diǎn)差法
b2 1
得到 2 = ，最后利用離心率公式計(jì)算可得.a 2
【詳解】因?yàn)橹本€ l : 4x - 2y - 7 = 0，所以 kl = 2，
1
由題可知 AB 的垂直平分線的方程為 y = - x - 3 ，
2
ìx = 2
1 1
將 y = - x - 3 與 4x - 2y - 7 = 0 聯(lián)立可得 ，即 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 2, ．
2 íy 1= è 2
÷

2
ì x2 21 y1
2
- 2 = 0
設(shè) ( 1, 1)， ( 2,
a b
2)，則 í 2 2 ，且 x1 + x2 = 4， y + y =1，
x2 y
1 2
- 2

= 0
a2 b2
x1 + x2 x1 - x2 y + y y - y 兩式作差可得 - 1 2 1 2 = 0 ，
a2 b2
y1 + y2 y1 - y2 b
2 2
即 × =
b 1 1
2 ，所以x x x = 2 =
，
1 + 2 1 - x2 a a2 4 2
b2
則雙曲線C 的離心率為 1 6+ 2 = ．a(chǎn) 2
故選：D
2
7-3．（2024 高二下·陜西榆林· y期末）已知 A, B為雙曲線 x2 - =1上兩點(diǎn)，且線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 -1, -4 ，
9
則直線 AB 的斜率為（ ）
3 9 9 3
A． B． C．- D．-
2 4 4 2
【答案】B
【分析】設(shè)出 A(x1, y1), B( x2, y2)，利用點(diǎn)差法即可求出結(jié)果.
2 2
【詳解】設(shè) A(x , y ), B( x , y )，則有 x2 y1 y1 1 2 2 1 - = 1， x2 22 - = 1，9 9
1
兩式相減得到 (x1 - x2 )(x1 + x2 ) - (y1 - y2 )(y1 + y2 ) = 0，9
又線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 -1, -4 ，
1 y2 - y1 9
所以 (x1 - x2 )(-2) - (y1 - y2 )(-8) = 0，得到 =x - x 4 ，9 2 1
9
所以 AB 的斜率為 .
4
故選：B.
（五）
雙曲線的綜合問題
雙曲線的綜合問題最終仍體現(xiàn)在直線與雙曲線軌跡、向量的應(yīng)用及參數(shù)范圍的探求上，直線與
雙曲線方程聯(lián)立后，要注意二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.另外，設(shè)而不求、韋達(dá)定理、消參也是常
用的方法，在解題時(shí)，應(yīng)有意識地運(yùn)用這些方法，達(dá)到熟練掌握的程度.
題型 8：雙曲線的定點(diǎn)、定值問題
8-1 2024 · · x
2 y2
．（ 高三下 上海閔行 階段練習(xí)）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左右頂點(diǎn)分別為a b
A, B, A -2,0 .直線 l : x =1和兩條漸近線交于點(diǎn)E, F ,點(diǎn)E 在第一象限且EF = 2 3 , P 是雙曲線上的任意一點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在點(diǎn) P 使得DOEP 為直角三角形？若存在,求出點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)；
(3)直線PA, PB與直線 l分別交于點(diǎn)M , N ,證明：以MN 為直徑的圓必過定點(diǎn).
x2 y2
【答案】(1) - =1 ；(2)4 個(gè)；(3)證明過程見解析.
4 12
【分析】(1)根據(jù) A -2,0 ,可知 a ,根據(jù)題意求出點(diǎn)E, F 的坐標(biāo),根據(jù)EF = 2 3 ,求出b ,這樣可求出雙曲線的標(biāo)
準(zhǔn)方程；
(2)分類討論以O(shè), E, P三點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)能否構(gòu)成直角三角形,最后確定點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)；
(3)設(shè)出點(diǎn) P 的坐標(biāo),根據(jù)三點(diǎn)共線,結(jié)合斜率公式可以求出點(diǎn)M , N 的坐標(biāo),進(jìn)而可求出以MN 為直徑的圓,最后
根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可以判斷出該圓所過的定點(diǎn).
【詳解】(1)因?yàn)?A -2,0 ,所以 a = 2 b,雙曲線的漸近線方程為： y = ± x ,由題意可知：
2
E 1, b , F 1, b- , x
2 y2
÷ ÷ 而2 EF = 2 3 所以b = 2 3
,因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為： - =1；
è è 2 4 12
(2) 3因?yàn)橹本€OE 的斜率為 3 ,所以與直線OE 垂直的直線的斜率為- ,設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為： (x0 , y0 ) ,則有
3
x 20 y
2
- 0 =1 .
4 12
ì 3 ì 3
x0 = - 3 x0 = 3y 2 2
當(dāng)OE ^ OP時(shí),所以 0
3 x0 y0 2 2= - 且 - =1 ,解得
x 3 í
或 í 此時(shí)存在 2 個(gè) P 點(diǎn)；
0 4 12
y
6 6
0
= y0 = -2 2
y - 3 3 2 2
當(dāng)OE ^ EP 時(shí), 0 = - x y所以 且 0 - 0 =1 , 2y 20 - 6 3y0 + 9 = 0 ,
3 3 + 3 3 3 - 3
解得 或
x -1 3 x = x4 12 0 2 0
= ,此時(shí)
0 2
存在 2 個(gè) P 點(diǎn)；
2
1
2
3
當(dāng)PE ^ OP 時(shí),此時(shí) P 點(diǎn)是以線段OE 為直徑圓上,圓的方程為： x - ÷ + y - ÷÷ =1 ,與雙曲線方程聯(lián)立,無è 2 è 2
實(shí)數(shù)解,
綜上所述：點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)為 4 個(gè)；
(3)設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (m, n) , 3m2 - n2 =12 .
因?yàn)镻, A, M
n y 3n
三點(diǎn)共線,所以直線PA, PM 的斜率相等,即 = M yM =m + 2 3 m + 2
因?yàn)?P, B, N
n y n
三點(diǎn)共線,所以直線PB, BN 的斜率相等,即 = M yN = , 所以MN 的中點(diǎn)坐標(biāo)為：m - 2 -1 2 - m

1,
4n - nm
è 4 - m2 ÷
| MN | 4n - 4nm
2 2
= 2 ,所以以MN
4n - nm 2n - 2nm
為直徑的圓的方程為：
4 (x -1)
2 + y - = ,即
- m 4 - m2 ÷ 4 - m2 ÷è è
(x -1)2 y2 6(4 - m)+ + y - 9 = 0
n
令 y = 0 x = 4 或 x = -2 ,因此該圓恒過 (-2,0), (4,0)兩點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程,考查了關(guān)于圓過定點(diǎn)問題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
x2 y28-2．（2024 高二上·全國·期中）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 過點(diǎn) A -3,2 ，且離心率 e = 5a b
(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)如果 B ，C 為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線 AB 與直線 AC 的斜率互為相反數(shù)，證明直線BC 的斜率為定值，并
求出該定值.
x2 y2
【答案】(1) - =1
8 32
(2)證明見解析，6
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率及雙曲線過點(diǎn)A 可得方程；
（2）設(shè)點(diǎn) B 與點(diǎn)C 的坐標(biāo)，根據(jù)直線 AB 與直線 AC 的斜率互為相反數(shù)，可得直線BC 的斜率.
ì 9 4
- =1 a2 b2
【詳解】（1）由題意 í 2 ，解得 a
2 = 8，b2 = 32，
c
= 1
b
+ 2 = 5 a a
x2 y2
故雙曲線方程為 - =1
8 32
（2）設(shè)點(diǎn)B x1, y1 ，C x2 , y2 ，
設(shè)直線 AB 的方程為 y - 2 = k x + 3 ，
2 2
代入雙曲線方程，得 4 - k x - 2k 3k + 2 x - 3k + 2 2 - 32 = 0，
6k 23 x + 4k 3k
2 + 4k +12 2k 2 + 24k + 8
\- + 1 = 2 ， x = ， y = ，4 - k 1 4 - k 2 1 4 - k 2

B 3k
2 + 4k +12 2, 2k + 24k + 8

\
è 4 - k
2 4 - k 2 ÷

C 3k
2 - 4k +12 2
同理 2 ,
2k - 24k + 8
4 - k 4 - k 2 ÷
，
è
k 48k\ BC = = 6 .8k
2 2
8-3．（2024 高三上·浙江紹興· x y期末）已知雙曲線C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的離心率為 2，右焦點(diǎn)F 到其中一a b
條漸近線的距離為 3 .
(1)求雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
1
(2)過右焦點(diǎn)F 作直線 AB 交雙曲線于 A, B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A 作直線 l : x = 的垂線，垂足為M ，求證直線MB過
2
定點(diǎn).
2
【答案】(1) x2 y- =1
3
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得b = 3 ，進(jìn)而根據(jù) a,b,c的關(guān)系即可求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求解直線MB的方程，即可求解過定點(diǎn).
【詳解】（1）由題意，設(shè)右焦點(diǎn)F 的坐標(biāo)為 c,0 ，
雙曲線C 的漸近線方程為：bx ± ay = 0 ，
bc bc
右焦點(diǎn)F 到其中一條漸近線的距離為 = = b2 2 c ，可得b = 3 ，a + b
c 2 2 2
又因?yàn)?e = = 2,a + b = c ，解得 a = 1,c = 2 ，
a
2
故雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 y- =1.
3
1
（2）當(dāng)直線 AB 的斜率不為 0 時(shí)，設(shè) A x1, y1 , B x2 , y2 , lAB : x = my + 2，則M , y2 1 ÷è
ìx = my + 2

聯(lián)立方程組 í y22 ，得3(my + 2)
2 - y2 = 3
x - =1 3
3m2整理得： -1 y2 +12my + 9 = 0 .
ì Δ = 12m 2 - 4 \ 3m
2 -1 9 > 0 12m 9
í ，且 y1 + y2 = - 2 , y1 × y2 = 2
3m2 -1 0 3m -1 3m -1
y1 + y2 12m 4 m y y 3\ = - = - 1 2， == -y ,1y2 9 3 y1 + y2 4m
Ql : y y y2 - yMB - = 1

1 1 x
1 y - y 1
- ÷ y = 0 -y =
2 1 x -
x - è 2 ，令 得，
1 1 ÷
2 x2 - è
2
2 2
x 1 my 31 2 - 2 + -my
3
1y2 - y1
\ x - = -y1 × 2 = -y × 2 = 22 y2 - y
1
1 y2 - y1 y2 - y1
3
-m -

÷ y1 + y2
3
- y 3 3
4m 2 1 y2 - y1 3 5= è = 4 4 = \ x = ，
y2 - y1 y2 - y1 4 4
5
\ 直線MB過定點(diǎn)D ,04 ÷
.
è
5
當(dāng)直線 AB 的斜率為 0 時(shí)，此時(shí)直線 AB : y = 0 ，此時(shí)M , B x

均在 軸上，故直線MB過定點(diǎn)D ,04 ÷
.
è
D 5 ,0 綜上：直線MB過定點(diǎn) 4 ÷
.
è
2 2
8-4．（2024 · x y高二下 全國·開學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C ： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）的左、右a b
焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)
AB
2，點(diǎn) P 在雙曲線C 上，A ， B 分別是線段PF1，PF2 的中點(diǎn)，且 = 2 ，a
OA - OB = 3．
(1)求雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)M -3,0 ，N 3,0 ，當(dāng) P 與M ，N 不重合時(shí)，設(shè)直線PM ，PN 的斜率分別為 k1，k2 ，證明：k1k2
為定值．
x2(1) y
2
【答案】 - =1
9 27
(2)證明見解析
【分析】（1）由 OA - OB = 3可得 PF2 - PF1 = 6，即可求出 a
AB
，然后由 = 2 可求出 c，即可得到答案；
a
y y
（2）設(shè)P x0 , y0 0 0，然后可得 k1k2 = ×x + 3 x - 3 ，結(jié)合雙曲線的方程可證明.0 0
【詳解】（1）因?yàn)锳 ， B ，O分別是線段PF1，PF2 ，F(xiàn)1F2 的中點(diǎn)，
1 1
所以 OA = PF2 ， OB = PF2 2 1
．
因?yàn)?OA - OB = 3，所以 PF2 - PF1 = 6，
所以由雙曲線的定義知 2a = 6，解得 a = 3．
設(shè)雙曲線C 的半焦距為 c（ c > 0）．
AB c
因?yàn)?= 2 ，所以 = 2，
a a
所以 c = 6，所以b2 = c2 - a2 = 27．
x2 y2
所以雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1．
9 27
2 2
（2）設(shè)P x0 , y0 （ x0 ±3 x y），則 0 - 0 =1，9 27
2
3x2所以 0 - y
2 = 27 3x2 2 y0 ，所以 2 00 - 27 = y0 ，所以 x0 - 9 = ．3
y y
因?yàn)镸 -3,0 ， N 3,0 0 0，所以 k1 = , k2 =x0 + 3 x - 3
，
0
y y y2
所以 k1k2 = 0 × 0 = 0 = 3，為定值．x0 + 3 x
2
0 - 3 x0 - 9
題型 9：雙曲線的向量問題
x2 y29-1．（2024 高二上·安徽滁州·期末）已知雙曲線C ： - =1（ a > 0，b > 0）的左頂點(diǎn)為 A -1,0 2 2 ，A 到a b
C 3的一條漸近線的距離為 ．
2
(1)求C 的方程；
uuuur uuur
(2)過點(diǎn)P 2,0 的直線 l與C 交于M ， N 兩點(diǎn)，求 AM × AN 的值．
2
【答案】(1) x2 y- =1
3
(2)0
【分析】（1）由題意知 a =1，取雙曲線的一條漸近線，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到 a與b 關(guān)系式，
從而求得b ，進(jìn)而可求得C 的方程；
uuuur uuur
（2）當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，直線 l的方程為 x = 2，則可得到M ， N 的坐標(biāo)，進(jìn)而可直接求解 AM × AN
的值；當(dāng)直線 l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l的方程為 y = k x - 2 ，M x1, y1 ，N x2 , y2 ，聯(lián)立直線 l的方程和C
uuuur uuur
的方程可得到關(guān)于 x 的一元二次方程，從而可得到 x1 + x2 ， x1x2 ，代入即可求解 AM × AN 的值，綜上，即可
uuuur uuur
得到 AM × AN 的值．
【詳解】（1）由題意知 a =1，C 的一條漸近線方程為 y
b
= x ，即bx - ay = 0 ，
a
b b 3
所以A 到C 的一條漸近線的距離為 ，所以 = ，
a2 + b2 a2 + b2 2
2
又 a =1 y，解得b = 3 ，所以C 的方程為 x2 - =1．
3
（2）當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，直線 l的方程為 x = 2，易得M 2,3 ， N 2, -3 或M 2, -3 ， N 2,3 ，
uuuur uuur
所以 AM × AN = 3,3 × 3,-3 = 0；
當(dāng)直線 l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l的方程為 y = k x - 2 ，M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
ì 2
x2
y
- =1
3 2 2聯(lián)立 í ，得 3- k x + 4k 2x - 4k 2 - 3 = 0，
y = k x - 2
ì 3- k
2 0
所以 í 2 2 2 2 ，解得 k ± 3 ， Δ = 4k - 4 3 - k -4k - 3 > 0
4k 2 -4k 2 - 3
所以 x1 + x2 = - 3- k 2
， x1x2 = ，3- k 2
uuuur uuur
所以 AM × AN = x1 +1, y1 × x 22 +1, y2 = x1 +1 x2 +1 + y1 y2 = x1x2 + x1 + x2 +1+ k x1 - 2 x2 - 2
2 2
= 1+ k 2 2 x1x2 + 1- 2k x1 + x2 +1+ 4k 2 1 k 2 -4k - 3= + × 2 + 1- 2k 2 4k× - +1+ 4k 2 = 0．3 - k è 3 - k 2 ÷
uuuur uuur
綜上， AM × AN = 0．
2 2
9-2 2024 x y 3．（ 高二上·浙江杭州·期末）已知雙曲線 C： 2 -a b2
=1 a > 0,b > 0 的漸近線方程為 y = ± x，且
3
過點(diǎn) 6,1 ．
(1)求雙曲線 C 的方程；
uuuur uuur r
(2)若 F 是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q 是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn) F，Q 的直線 l 與 y 軸交于點(diǎn) M，且MQ + 2QF = 0，
求直線 l 的斜率．
2
【答案】(1) x - y2 =1
3
(2) k 39= ±
6
3
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程為 y = ± x和雙曲線過點(diǎn) 6,1 ，聯(lián)立求解；
3
uuuur uuur r
（2）由題意設(shè)直線方程為 y = k x - 2 ，令 x = 0，得到 M 的坐標(biāo)，設(shè)Q x, y ，根據(jù)MQ + 2QF = 0，用 k 表
示點(diǎn) Q 的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn) Q 在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.
x2 y2 3
【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的漸近線方程為 y = ± x，a b 3
b 3
所以 = ，
a 3
x2 y2
又因?yàn)殡p曲線 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 過點(diǎn) 6,1 ，a b
6 1
所以 2 - 2 = 1，解得 a2 = 3,b2 =1a b ，
x2
所以雙曲線的方程為 - y2 =1；
3
（2）由（1）知： c2 = a2 + b2 = 4，則F 2,0 ，
由題意設(shè)直線方程為 y = k x - 2 ，令 x = 0，得 y = -2k ，則M 0, -2k ，
uuuur uuur
設(shè)Q x, y ，則MQ = x, y + 2k ,QF = 2 - x,-y ，
uuuur uuur r
因?yàn)镸Q + 2QF = 0，
4 - x = 0
所以 x, y 2k 2 2 x, y 0 ì+ + - - = ，則 í ，
-y + 2k = 0
ìx = 4
解得 í ，因?yàn)辄c(diǎn) Q 在雙曲線上，
y = 2k
16
- 4k 2 =1 k 39所以 ，解得3 = ±
，
6
39
所以直線 l 的斜率為 k = ± .
6
9-3．（2024 高二上·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，存在兩定點(diǎn)M -1,0 ，N 1,0 與一動(dòng)點(diǎn) A.已
知直線MA與直線 NA的斜率之積為 3.
(1)求 A 的軌跡G；
(2)記G的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 .過定點(diǎn) 0,1 的直線 l交G于 P 、Q兩點(diǎn).若 P 、Q兩點(diǎn)滿足
uuur uuuur uuur uuuurPF1 + PF2 × QF1 + QF2 = 216，求 l的方程.
2
【答案】(1) x2 y- =1 x ±1
3
(2) y 163x 1 163= + 或 y = - x + 1 .
51 51
【分析】（1）設(shè) A x, y ，表示出直線MA與直線MB的斜率，由題可得 A 的軌跡G；
y2
（2）設(shè)過定點(diǎn) 0,1 的直線 l方程為 y = kx +1，將其與 x2 - =1 x ±1 聯(lián)立，后由
3
uuur uuuur uuur uuuurPF1 + PF2 × QF1 + QF2 = 216及韋達(dá)定理可得答案.
2
【詳解】（1）設(shè) A x, y y y，由題意 × = 3，化簡可得 x2 y- =1
x +1 x -1 3
2
所以 A y的軌跡為 x2 - =1 x ±1 .
3
2
（2 y）由題設(shè)過定點(diǎn) 0,1 的直線 l方程為 y = kx +1，將其與 x2 - =1 x ±1
3
ìy = kx +1
2 2
聯(lián)立有： í y2 ，消去 y 得： 3 - k x - 2kx - 4 = 0
x
2 - =1 x ±1
3
因 l交G于 P 、Q兩點(diǎn)，則
ì3- k 2 0
í k -2, - 3 - 3, 3 3,2 .
4k
2 16 3 + - k 2 > 0
設(shè)P x1, y1 ，Q x2 , y 2k -42 ，則由韋達(dá)定理有： x1 + x2 = 2 ，x1x2 = .3 - k 3 - k 2
uuur uuur
又F1 -2, 0 ，F(xiàn)2 2, 0 ，則PF1 = -2 - x1, -y1 ，PF2 = 2 - x1, -y1 ，
uuur uuur
QF1 = -2 - x2, -y2 ，QF2 = 2 - x2, -y2 ，
uuur uuuur uuur uuuur則 PF1 + PF2 × QF1 + QF2 = 216 4 x1x2 + y1y2 = 216 .
3 - 3k 2
又 y1 y2 = kx1 + 1 kx 22 + 1 = k x1x2 + k x1 + x2 + 1 = 2 ，3 - k
2
4 x x + y y = 216 -1 - 3k = 54 k 1631 2 1 2 ，解得 = ± ，3 - k 2 51
l y 163則 的方程為： = x 1 y 163+ 或 = - x + 1 .
51 51
2 2
9-4．（2024 高二上· y x廣東深圳·期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知雙曲線 C： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）a b
3
的一條漸近線為 y = x ，且點(diǎn) P 3, 2 在 C 上．
3
(1)求 C 的方程；
uuur uuur
(2)設(shè) C 的上焦點(diǎn)為 F，過 F 的直線 l 交 C 于 A，B 兩點(diǎn)，且 AF = 7BF ，求 l 的斜率．
2
【答案】(1) y2 x- =1
3
(2) 2 5±
5
【分析】（1）利用漸近線方程可得b = 3a，再將點(diǎn) P 3, 2 代入即可求得結(jié)果；（2）設(shè)出直線方程并與雙
曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理并根據(jù)向量定比即可求得 l 的斜率．
a 3 a
【詳解】（1）由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，其漸近線方程為 y = ± x，所以
b =
，
3 b
可得b2 = 3a2 ，
2 3
將 P 3, 2 代入可得 2 - 2 =1，解得 a2 =1,b2 = 3；a b
x2
所以雙曲線 C 的方程為 y2 - =1.
3
（2）由（1）可知，上焦點(diǎn)F (0, 2)，
設(shè)直線 l 的斜率為 k ， A x1, y1 , B x2 , y2 ，則直線 l 的方程為 y = kx + 2，
ì 2
y2
x
- =1
聯(lián)立 í 3 整理得 3k 2 -1 x2 +12kx + 9 = 0；
y = kx + 2
所以 x
12k
1 + x2 = - 2 , x1x
9
=
3k -1 2 3k 2 -1
uuur uuur
又 AF = 7BF ，即 -x1, 2 - y1 = 7 -x2 , 2 - y2 ，可得 x1 = 7x2 ，
ìx 12k 2
1
+ x2 = 8x2 = - 3k 2 -1 é 3k ù 9
ê- ú = k 2 5所以 í ，即 ，解得 = ± ；
x x = 7x 2 9= ê 2 3k 2 -1 ú 7 3k 2 -1 5
1 2 2 3k 2 -1
2 5
所以直線 l 的斜率為±
5
題型 10：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用
10-1．（2024 高三上·河南·階段練習(xí)）人利用雙耳可以判定聲源在什么方位，聽覺的這種特性叫做雙耳定位
效應(yīng)（簡稱雙耳效應(yīng)）．根據(jù)雙耳的時(shí)差，可以確定聲源 P 必在以雙耳為左右焦點(diǎn)的一條雙曲線上．又若聲
源 P 所在的雙曲線與它的漸近線趨近，此時(shí)聲源 P 對于測聽者的方向偏角a ，就近似地由雙曲線的漸近線與
虛軸所在直線的夾角來確定．一般地，甲測聽者的左右兩耳相距約為 20cm ，聲源 P 的聲波傳及甲的左、右
兩耳的時(shí)間差為3 10-5 s，聲速為334m/s，則聲源 P 對于甲的方向偏角a 的正弦值約為（ ）
A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05
【答案】D
cosa b sina 1=
【解析】由已知求出 2a、焦距 2c，利用 = 可得 2 可得答案.
sina a 1 b+
a2
【詳解】設(shè)兩耳所在雙曲線的實(shí)軸長為 2a，焦距為 2c，虛軸長為 2b，
則 2a = 3 10-5
π b
334 = 0.01002 m ， 2c = 0.2 m ，由題意 tan -a ÷ = ，
è 2 a
cosa b 1 a 2a 0.01002
= sina = = = = = 0.0501 0.05所以 ，所以 2 ．
sina a 1 b+ c 2c 0.2
a2
故選：D．
10-2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告；正西、正北兩
個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比其它兩觀測點(diǎn)晚 2s，已知各觀測點(diǎn)到該中心的距
離是 680m，則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（ ）處(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為 340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一
平面上)
A．西偏北 45°方向，距離 340 3 m B．東偏南 45°方向，距離 340 3 m
C．西偏北 45°方向，距離 170 3 m D．東偏南 45°方向，距離 170 3 m
【答案】A
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由條件確定該巨響發(fā)生的軌跡，聯(lián)立方程組求其位置.
【詳解】如圖，
以接報(bào)中心為原點(diǎn)O，正東、正北方向?yàn)?x 軸、 y 軸正向，建立直角坐標(biāo)系．設(shè) A、B、C 分別是西、東、
北觀測點(diǎn)，則 A（- 680，0），B（680，0），C（0，680）.
設(shè)P（x，y）為巨響為生點(diǎn)，由 A、C 同時(shí)聽到巨響聲，得 PA = PC ，故 P 在 AC 的垂直平分線PO上，PO
的方程為 y = -x ，因 B 點(diǎn)比A 點(diǎn)晚 2s聽到爆炸聲，故， PB - PA = 340 2 = 680
x2 y2
由雙曲線定義知 P 點(diǎn)在以 A、B為焦點(diǎn)的雙曲線左支 2 - 2 ＝1(x < 0)上，a b
依題意得 a = 340，c = 680，\b2 = c2 - a2 = 6802 - 3402 = 3 3402 ,
x2 y2
故雙曲線方程為 y = -x2 - ＝1，將 代入上式，得 x=±170 6，Q x < 0，\ x=-170 6，y=170 6 ，340 3 3402
即P(-170 6，170 6)，
故PO＝340 3 .
故巨響發(fā)生在接報(bào)中心的西偏北 450距中心340 3m 處．
故選：A.
10-3．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)．如圖，從
雙曲線右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)F1．已
知雙曲線的方程為 x2 - y2 =1，則當(dāng)入射光線F2P 和反射光線PE互相垂直時(shí)（其中 P 為入射點(diǎn)）， F1F2P 的
大小為（ ）
p p p 5p
A． B． C． D12 ．6 3 12
【答案】D
【分析】設(shè) PF2 = m m > 0 ，則 PF1 = 2 + m ，勾股定理求 m，應(yīng)用和角余弦公式求 F1F2P 的大小.
【詳解】由 x2 - y2 =1得： a =1，b =1， c = 2 ．
設(shè) PF2 = m m > 0 ，則 PF1 = 2 + m ．
2
所以m2 + m + 2 2 = 2 2 ，解得m = 3 -1（m = - 3 -1舍去），
PF
所以 cos
3 -1 6 - 2
F1F2P =
2 = = ， F
F F 2 2 4 1
F2P (0,p )，
1 2
cos 5π = cos(π π+ ) = cos π cos π - sin π sin π 6 - 2= ，
12 4 6 4 6 4 6 4
5p
所以 F1F2P = ．12
故選：D．
2 2
10-4．（2024 高三上·河南· y x階段練習(xí)）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線 - =1的圖象的一部分，
16 m
當(dāng)拱頂 M 到水面的距離為 4 米時(shí)，水面寬 AB 為 4 3 米，則當(dāng)水面寬度為 4 6 米時(shí)，拱頂 M 到水面的距離
為（ ）
A．4 米 B． 8 2 - 4 米 C． 2 6 - 4 米 D． 4 7 - 4 米
【答案】D
【分析】將 A -2 3, -8 代入雙曲線得到m = 4 ，當(dāng) x = -2 6 得到 y = -4 7 ，得到答案.
64 12 y2 x2
【詳解】根據(jù)題意：M 0,-4 ， A -2 3, -8 ，故 - =1，解得m = 4 ，即 - =1，16 m 16 4
當(dāng)水面寬度為 4 6 米時(shí)，即 x = -2 6 時(shí)， y = -4 7 ，
拱頂 M 到水面的距離為 4 7 - 4 .
故選：D
一、單選題
2 2
1 x y．（2024 高三下·江西·階段練習(xí)）已知雙曲線C : - =1 a > 0 ，下列結(jié)論正確的是（ ）
2a a
1
A．C 的實(shí)軸長為 2a B．C 的漸近線方程為 y = ± x2
C C 6． 的離心率為 D．C 的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 5a ,0
2
【答案】C
【分析】求出實(shí)半軸、虛半軸、半焦距，即可按定義逐個(gè)判斷.
【詳解】對 A，C 的實(shí)軸長為 2 2a ，A 錯(cuò)；
對 B，C 的漸近線方程為 y
a 2
= ± x = ± x，B 錯(cuò)；
2a 2
2a + a 6
對 C，C 的離心率為 = ，C 對；
2a 2
對 D，C 的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ± 3a ,0 ，D 錯(cuò).
故選：C
2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的離心率為 5 ，則它的漸近線
方程為（ ）
A． y = ±2x B 5． y = ± x
2
1
C． y = ± x D． y = ± 6x
2
【答案】C
b
【分析】根據(jù)離心率求出 ，再根據(jù)雙曲線的漸近線方程即可得解.
a
y2 x2
【詳解】設(shè)雙曲線的方程為 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，a b
c b2 b2 b
因?yàn)?= 1+ 2 = 5 ，所以 2 = 4，則 = 2，a a a a
a 1
所以漸近線方程為 y = ± x = ± x .
b 2
故選：C.
3．（2024 高二下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）雙曲線9x2 -16y2 =144的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． (- 7,0), ( 7,0) B． (0,- 7),(0, 7)
C． (-5,0), (5,0) D． (0, -5), (0,5)
【答案】C
【分析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】因?yàn)殡p曲線方程為9x2 -16y2 =144，
x2 y2
化為標(biāo)準(zhǔn)方程為： - =1，所以 c2 = 16 + 9 = 25，
16 9
由于焦點(diǎn)在 x 軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為： (-5,0), (5,0) .
故選：C.
2 2
4．（2024· x y河北滄州·模擬預(yù)測）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，O為原點(diǎn)， A, B分別為該雙曲線的左，a b
右頂點(diǎn)F1, F2 分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，第二象限內(nèi)的點(diǎn) P 在雙曲線的漸近線上，OP 為 APF2的平分
線，且線段 OP 的長為焦距的一半，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 2 3
【答案】C
π
【分析】根據(jù)已知條件求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 -a,b ，得 PAF2 = ，再根據(jù)OP 為 APF2的平分線，推出2
POA π= b， - = - 3a ，由此可得離心率.3
【詳解】因?yàn)镺P 為 APF2的平分線，所以 APO = F2PO ，
又因?yàn)?OP = OF2 = c，所以 OF2P = F2PO，
P(x , y ) y b設(shè) 0 0 ，因?yàn)辄c(diǎn) P 在漸近線 = - x上，所以 y
b
0 = - x ，a a 0
2
因?yàn)?OP = c，所以 x2 20 + y0 = c x
2 b+ x2 = c x2，所以 0 0 ，所以 0 = a
2
2 ，a
又點(diǎn) P 在第二象限內(nèi)，所以 x0 = -a ， y0 = b ，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 -a,b ，
π π π
所以 PAF2 = ，所以 PAF2 + 3 APO = π APO = ，所以 POA = ，2 6 3
b 2π b b2
所以- = tan = - 3 = 3 ，可得
a 3 a e = 1+ = 2
，
a2
故選：C.
5．（2024 高二下·河南·階段練習(xí)）已知雙曲線 x2 - y2 = 2 ，點(diǎn)F1, F2 為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為雙曲線上一點(diǎn)，若
F1PF2 = 60°，則三角形F1PF2 的面積為（ ）
A．2 B． 2 2 C． 3 D． 2 3
【答案】D
S b
2 sinq b2
= =
【分析】利用三角形面積公式、余弦定理，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得 VF1PF2 1- cosq tan q ，即可求面積
.
2
1
【詳解】設(shè)q = F1PF2 = 60°，則 SVF PF = | PF1 || PF2 | sinq ，1 2 2
PF 2 + PF 21 2 - F F
2
1 2 (| PF1 | - | PF2 |)
2 + 2 | PF || PF | - | F F |2
而cosq = = 1 2 1 2 ，且 || PF1 | - | PF2 ||= 2a,| F F |= 2c，2 PF1 PF2 2 | PF || PF |
1 2
1 2
| PF || PF | 2b
2
所以 1 2 = ，1- cosq
2 2
S b sinq b 2
故 VF PF
= = = = 2 3
1 2 1- cosq tan q tan 30° ，
2
故選：D.
2 2
6．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）已知雙曲線C : x y- =1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F
16 9 2
，直線 y = kx 與雙曲線
C 交于A ， B 兩點(diǎn)，若 AB = F1F2 ，則VABF1 的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【答案】C
【分析】由已知可得四邊形 AF1BF2 為矩形，從而可得 AF1 ^ BF1， BF1 = AF2 ，由雙曲線的性質(zhì)可求得 c，
從而可得 AB = F1F2 ，利用勾股定理及雙曲線的定義可求得 AF1 BF1 ，由三角形面積公式即可得解．
【詳解】直線 y = kx 與雙曲線C 交于A ， B 兩點(diǎn)，若 AB = F1F2 ，
則四邊形 AF1BF2 為矩形，所以 AF1 ^ BF1， BF1 = AF2 ，
x2 y2
由雙曲線C : - =1可得 a = 4，b = 3，則 c = a2 + b216 9 = 16 + 9 = 5
，
所以 AB = F1F2 = 2c = 10
2 2 2
，所以 AF1 + BF1 = AB = 100，
又 AF1 - BF1 = AF1 - AF2 = 2a = 8，
2 2
所以 AF1 + BF1 - 2 AF1 BF1 = 64 ，解得 AF1 BF1 = 18，
1
所以 SV ABF = AF BF = 91 2 1 1 ．
故選：C．
二、多選題
7．（2024 高二上·山西太原·期末）直線 l : y = k(x - 2)與雙曲線C : x2 - y2 = 2的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則
k 的可能取值為（ ）
1
A．0 B．1 C． 2 D．
2
【答案】AD
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程，由韋達(dá)定理結(jié)合方程根的情況列出不等式，求解可得 k 的范圍，判斷選
項(xiàng)即可.
ìy = k(x - 2)
【詳解】聯(lián)立 í 2 2 ，消去 y 得， (1- k
2 )x2 + 4k 2x - 4k 2 - 2 = 0 .
x - y = 2
因?yàn)橹本€ l與雙曲線C 的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，
所以方程 (1- k 2 )x2 + 4k 2x - 4k 2 - 2 = 0有一正一負(fù)根，
ì 1- k 2 0

所以 í-4k 2 - 2 ，整理得1- k 2 > 0，解得-1 < k <1.
< 0 1- k 2
所以 k 的取值范圍為-1 < k <1，故 A，D 符合題意.
故選：AD.
三、填空題
y2 x2
8．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）直線 y = -x + 4與雙曲線 - =1上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ．
16 9
【答案】2
【分析】直接解方程組，求得直線和雙曲線上支的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.
ìy = -x + 4
2 2 2 x 72 72 100【詳解】由 í y x ，可得 7x + 72x = 0，解得 = - 或 x = 0．當(dāng) x = - 時(shí)， y = ；當(dāng) x = 0時(shí)，
- =1 7 7 7
16 9
y = 4 ，所以直線 y = -x + 4與雙曲線上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2．
故答案為：2
9．（2024 高二上·廣西北海·期末）若直線 l 過點(diǎn) (-1,2)，且與雙曲線9x2 - y2 = 9有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿
足條件的直線有 條．
【答案】4
【分析】分情況討論直線有斜率和無斜率，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)即可求解直線的
條數(shù).
【詳解】當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線為 x=-1，與曲線9x2 - y2 = 9有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為 y = k(x +1) + 2，代入曲線方程整理得
9 - k 2 x2 - 2k 2 + 4k x - k 2 + 4k +13 = 0 ，若9 - k 2 = 0，則 k = ±3，此時(shí)有兩條分別平行于雙曲線的兩條漸
近線的直線，與曲線9x2 - y2 = 9有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；
2 13當(dāng)9 - k 0時(shí)，則由D =144k + 468 = 0，得 k = - ，此時(shí)有一條直線與曲線9x2 - y2 = 9相切，有且只有一4
個(gè)公共點(diǎn)．綜上，這樣的直線共有 4 條．
故答案為：4
10．（2024 高二下·上海徐匯·期中）已知直線 l : y = tx + 2 和雙曲線C : x2 - y2 = 8，若 l 與 C 的右支交于不同
的兩點(diǎn)，則 t 的取值范圍是 ．
6
【答案】 (- , -1)
2
【分析】聯(lián)立直線 l與雙曲線C 的方程，利用判別式及韋達(dá)定理求解作答.
ìy = tx + 2
【詳解】由 í 22 2 消去 y 得： (t -1)x
2 + 4tx +12 = 0
x y 8 ，由于 l 與 C 的右支交于不同的兩點(diǎn)， - =
則直線 l與雙曲線C 的兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為正，且不等，
ì
Δ =16t 2 - 48(t 2 -1) > 0

4t 6
于是 í- 2 > 0 ，解得- < t < -1，
t -1 2
12
2 > 0 t -1
所以 t 6的取值范圍是 (- , -1) .
2
6
故答案為： (- , -1)
2
11．（2024 高二下·安徽六安·開學(xué)考試）已知直線 y = ax +1與雙曲線3x2 - y2 =1相交于 A，B 兩點(diǎn)，若 A，B
兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ．
【答案】 3 < a < 6
【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程，根據(jù)一元二次方程根的分布即可求解.
ìy = ax +1, 2 2
【詳解】由 í 2 2 得 3-a x -2ax-2 = 0，
3x - y =1,

, 3
ù
方程在 - - ú有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，
è 3
ì3 - a2 0

Δ = 4a
2 + 8(3- a2 ) > 0

所以 íx -2 ,解得 .
1
x2 = > 0 3 < a < 63- a2
2a
x1 + x2 = < 0, 3- a2
故答案為： 3 < a < 6 .
2 2
12 x y．（2024·北京平谷·一模）已知雙曲線 + =1的離心率為 2，則實(shí)數(shù)m = ．
m 3
【答案】-9
c 2 b m
【分析】由題知m < 0， a2 = 3,b2 = -m，所以 e = = 1+
a a ÷
= 1- = 2，求解即可得出答案.
è 3
2
m < 0 x y
2
【詳解】由題知， ，則方程 + =1表示焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線，
m 3
2
所以 a2 = 3,b2 = -m，則 e c b m= = 1+
a ÷
= 1- = 2，
è a 3
m
所以1- = 4，解得：m = -9 .
3
故答案為：-9 .
2 2
13．（2024 高二下·福建泉州·期末）已知直線 y = x x y是雙曲線C : a > 0,b > 0
a2
- 2 =1（ ）的一條漸近線，則b
C 的離心率為 .
【答案】 2
b
【分析】根據(jù)漸近線方程得到 =1，然后代入離心率公式求解.
a
x2 y2
【詳解】因?yàn)橹本€ y = x 是雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的一條漸近線，a b
b 2
=1 C c b 所以 ，所以 的離心率為
a e = = 1+ ÷ = 2
.
a è a
故答案為： 2
2 2
14 x y．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）過雙曲線 - =1的右焦點(diǎn)作傾斜角為 30°的直線 l，直線 l 與雙曲線
3 6
交于不同的兩點(diǎn) A，B，則 AB 的長為 ．
16 3
【答案】
5
【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交，由韋達(dá)定理以及弦長公式即可求解.
ì x2 y2
2 2 - =1x y 3 6
【詳解】雙曲線 - =1 3的右焦點(diǎn)為F2 3,0 ，所以直線 l 的方程為 y = (x - 3) ．由 í ，得3 6 3 y 3 = (x - 3) 3
2 A x , y B x , y x x 6 x x 275x + 6x - 27 = 0．設(shè) 1 1 ， 2 2 ，則 1 + 2 = - ， 1 2 = - ，5 5
2
1 2
所以 AB = 1+ ÷ é x1 + x2 - 4x ù1x2 = 1
1 6 4 27 16 3+ - ÷ - - ÷ = ．
è 3 3 è 5 è 5 5
16 3
故答案為：
5
2 2
【點(diǎn)睛】若直線 l : y = kx + m x y與雙曲線 - =1（ a > 0，b > 0）交于 A x1, y1 ，B x2 , y2 2 2 兩點(diǎn)，則a b
1
AB = 1+ k 2 x1 - x2 或 AB = 1+ 2 y1 - y2 （ k 0）．k
15．（2024 高二下·四川南充·階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn) A 2, -1 且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為
x2 2【答案】
3 -
y
3 =1
【分析】采用待定系數(shù)法，將A 點(diǎn)坐標(biāo)代入所假設(shè)的雙曲線方程即可求得結(jié)果.
2 2
【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為： x - y = l l R,l 0 ，
Q 2, -1 \l = 22 - -1 2雙曲線經(jīng)過點(diǎn) ， = 3，
2
\ y
2
所求雙曲線方程為： x
3 - 3 =1
.
故答案為： x
2 2
3 -
y =1 .3
16．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）雙曲線9x2 -16y2 =144的一條弦的中點(diǎn)為 A 8,3 ，則此弦所在的直線方程
為 .
【答案】3x - 2y -18 = 0
【分析】設(shè)弦的兩端分別為B x1, y1 ，C x2 , y2 ，代入雙曲線方程相減，利用中點(diǎn)坐標(biāo)可求得弦所在直線的
斜率從而得到直線方程.
【詳解】由雙曲線的對稱性可得此弦所在的直線斜率存在，
設(shè)弦的兩端分別為B x1, y1 ，C x2 , y2 ，
ì9x2 -16y21 1 =144
則有 í 2 2 ，兩式相減得9 x21 - x22 -16 y21 - y22 = 0，
9x2 -16y2 =144
所以9 x1 + x2 x1 - x2 -16 y1 + y2 y1 - y2 = 0，
ìx + x =16
又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為 A 8,3 1 2，所以 íy ， 1 + y2 = 6
k y= 1 - y2
9 x + x 3
故直線斜率 =
1 2 =
x1 - x2 16 y
，
1 + y2 2
3
則所求直線方程為 y - 3 = x -8 ，整理得3x - 2y -18 = 0，
2
ì3x - 2y -18 = 0
由 í 22 2 得 y - 6y -15 = 0
9x -16y =144
，
D = -6 2 - 4 1 -15 = 96 > 0，故該直線滿足題意，
故答案為：3x - 2y -18 = 0
x2 y217．（2024 高二上·河南平頂山·期末）已知雙曲線 C： - =1(a > 0,b > 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) ，
a2 b2 2
其中F2與拋物線 y2 = 8x的焦點(diǎn)重合，點(diǎn) P 在雙曲線 C 的右支上，若 PF1 - PF2 = 2，且 F1PF2 = 60°，則VF1PF2
的面積為 .
【答案】3 3
【分析】結(jié)合題目條件與余弦定理，先算出PF1 × PF2 的值，然后代入三角形的面積公式
S 1VF PF = PF1 × PF2 sin F1PF2 ，即可得到本題答案.1 2 2
【詳解】由雙曲線右焦點(diǎn)F2與拋物線 y2 = 8x的焦點(diǎn)重合，可得F2 (2,0)，所以 F1F2 = 4，
設(shè) PF1 = r1, PF2 = r2 ，則 r1 - r2 = 2 ，
2 2 2 2 2 1
因?yàn)?F1F2 | = PF1 | + | PF2 | -2 PF1 × PF2 ×cos F1PF2 ，所以 r1 + r2 - 2r1r2 =16，2
則 (r 21 - r2 ) + r1r2 =16，解得 r1r2 =12，
1
所以， SVF PF = r1r2 sin 60° = 3 3 .1 2 2
故答案為：3 3
2 2
18．（2024· x y河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知雙曲線C ： - 2 =1（b > 0）的離心率為 3，焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2 b 2
，
點(diǎn) P 在雙曲線C 上.若VPF1F2的周長為14 2 ，則VPF1F2的面積是 .
【答案】 4 14
【分析】設(shè) PF1 = m, PF2 = n，由VPF1F2的周長為14 2 ，得到m + n + 2c =14 2 ，再由雙曲線的定義得到
m - n = 2a = 2 2 ，聯(lián)立解得 m，n，然后在VPF1F2中，利用余弦定理和三角形面積公式求解.
【詳解】解：設(shè) PF1 = m, PF2 = n，
x2 y2
因?yàn)殡p曲線C ： - 2 =1（b > 0）的離心率為 3，2 b
c
所以 = 3，即
a c = 3a = 3 2
，
又VPF1F2的周長為14 2 ，
所以m + n + 2c =14 2 ，
由雙曲線的定義得m - n = 2a = 2 2 ，
解得 m = 5 2,n = 3 2 ，
2 2 2
由余弦定理得 cos F PF m + n - 4c 1 1 2 = = - ，2mn 15
則 sin 4 14 F1PF2 = ，15
所以 S 1VF PF = mnsin F AF
1 5 2 3 2 4 14 = = 4 14 ，
1 2 2 1 2 2 15
故答案為： 4 14
19 2024 · · F F x
2 y2
．（ 高二下 湖北宜昌 階段練習(xí)）已知 1， 2是雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)a b
F1且與 x 軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A ，且A 在第三象限，四邊形 F1AF2B為平行四邊形，
a 為直線BF1的傾斜角，若a
p p , ÷ ，則該雙曲線離心率的取值范圍是 .
è 4 3
【答案】 5, 13
【分析】由題意，根據(jù)雙曲線的對稱性得到點(diǎn) B 也在雙曲線的漸近線上，且 B 在第一象限，從而得到
bcB c,
bc p p
÷，再a 為直線BF1的傾斜角，且a , ÷ ，在RtVBF1F2 中，由
è a è 4 3 tana a
b
= = 求解.
2c 2a
【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)F1且與 x 軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A ，且A 在第三象限，四邊
形F1AF2B為平行四邊形，
所以由雙曲線的對稱性可知點(diǎn) B 也在雙曲線的漸近線上，且 B 在第一象限，
因?yàn)?AF1 ^ x

，所以 BF2 ^ x ，則B c,
bc
a ÷，è
因?yàn)閍
p
為直線BF1的傾斜角，且a ,
p
÷ ，
è 4 3
bc
所以在RtVBF1F2 中， tana a b ，且 tana 1, 3= = ，
2c 2a
1 b b
2 c2 2
則 < < 3 ，即 4 - a<
2a a2
<12，即 4 < <12，
a2
即5 < e2 <13，解得 5 < e < 13，
所以該雙曲線離心率的取值范圍是 5, 13 ，
故答案為： 5, 13
2 2
20．（2024·安徽合肥· x y模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn) F 為雙曲線C : - =1的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn) O 且斜率 k 3 的
m +1 3- m
直線與雙曲線 C 交于 A B 兩點(diǎn)，AF 的中點(diǎn)為 P，BF 的中點(diǎn)為 Q.若OP ^ OQ，則雙曲線 C 的離心率 e 的取
值范圍是 .
【答案】 é 3 +1, +
【分析】先根據(jù)雙曲線的對稱性得四邊形 AFBF2 為平行四邊形，再結(jié)合OP ^ OQ得△BFF2為直角三角形，
e 1=
設(shè)直線 AB 傾斜角為2q ，從而求得離心率 2sin π -q ，求解函數(shù)的值域即可得范圍. 4 ÷è
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，根據(jù)雙曲線方程知， c2 = (m +1) + (3- m) = 4，則 c = 2 .
因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，由對稱性，原點(diǎn)O平分線段 AB ，
又原點(diǎn)O平分線段F2，所以四邊形 AFBF2 為平行四邊形.
在△ABF 和△ABF2 中，分別有中位線，OP∥BF ，OQ P AF ，
因?yàn)镺P ^ OQ，所以 AF ^ BF ，所以四邊形 AFBF2 為矩形，△BFF2為直角三角形.
π π
不妨設(shè) B 在第一象限，設(shè)直線 AB 傾斜角為2q ，則 2q
é
ê , ÷，且 OFB = OBF = q ， 3 2
在 Rt△BFF2中可得： 2a = BF - BF2 = 4cosq - 4sinq ，
e c 2 1= = =
所以 a 2cosq - 2sinq 2sin π -q ，
è 4 ÷
2q é π π 因?yàn)? ê , ÷，所以q
é π , π ÷，
3 2 ê 6 4
f q 1= é π π
又 2sin π q 在q ê ,- 上為增函數(shù)， 4 ÷ 6 4
÷

è
e 1= é 3 +1,+ 所以 2sin π -q . ÷
è 4
故答案為： é 3 +1, +
x2 y221．（2024 高二下·福建福州·期中）已知雙曲線C : - = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1, F2 ，雙曲a b2 2
線的左頂點(diǎn)為A，以F1F2 為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，若 AQ 3 AP ，
則該雙曲線的離心率的取值范圍是 .
【答案】 (1, 6 ]
2
b
【分析】以F F 為直徑的圓的方程為 x2 + y21 2 = c2 ，不妨設(shè)雙曲線的這條漸近線方程為 y = x ，a
聯(lián)立可得 P，Q 兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由 AQ 3 AP 可得該雙曲線的離心率的取值范圍.
【詳解】依題意可得，以F F 為直徑的圓的方程為 x2 + y21 2 = c2 ，
b
不妨設(shè)雙曲線的這條漸近線方程為 y = x ，
a
ìy b = x ìx = a ìx = -a
由 í a ，得： í 或 í ，所以Q(a,b), P(-a, -b)，
x2 + y2 = c
2 y = b y = -b
雙曲線的左頂點(diǎn)為A ，則 A(-a,0) ，
所以 AQ = (a + a)2 + b2 = 4a2 + b2 ， AP = (-a + a)2 + b2 = b ，
因?yàn)?AQ 3 AP ，所以 4a2 + b2 3b，化簡得 a2 2b2 ，
2
所以 a2 2(c2 - a2 ) e2 a 3，所以 = ，所以 e 6 ，
c2 2 2
又 e >1，所以 e (1, 6 ] .
2
(1, 6故答案為： ]
2
四、解答題
22．（2024 高二下·四川資陽·期末）解答下列兩個(gè)小題：
2 2
（1 E x y）雙曲線 ： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 離心率為 2 ，且點(diǎn) 2, 2 在雙曲線E 上，求E 的方程；a b
2 2
（2
x y
）雙曲線C 實(shí)軸長為 2，且雙曲線C 與橢圓 + =1的焦點(diǎn)相同，求雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程．
8 4
x2 y2 y2
【答案】（1） - =1；（2） x2 - =1.
2 2 3
【分析】（1）由 e = 2 可得 c = 2a ，再將點(diǎn) 2, 2 代入方程，聯(lián)立解出答案，可得答案.
x2 y2
（2）先求出橢圓 + =1的焦點(diǎn) ±2,0 ，則雙曲線C 的焦點(diǎn)在 x 軸上，由條件可得 2a = 2，且
8 4
a2 + b2 = 4，從而得出答案.
c
【詳解】（1）由 e = 2 ，得 = 2 ，即a c = 2a
，
2 2 2 2又b = c - a = 2a - a2 = a2 ，即 a = b，
x2 y2 4 2
雙曲線E 的方程即為 2 - 2 =1，點(diǎn) 2, 2 坐標(biāo)代入得 2 - 2 =1，解得a2 = 2．a(chǎn) a a a
x2 y2
所以，雙曲線E 的方程為 - =1．
2 2
x2 y2
（2）橢圓 + =1的焦點(diǎn)為 ±2,0 ，
8 4
x2 y2
設(shè)雙曲線C 的方程為 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，a b
所以 2a = 2，且 a2 + b2 = 4，
所以 a =1，b2 = 3
2
所以，雙曲線C 的方程為 x2 y- =1．
3
2 2
23．（2024· · x y湖南 模擬預(yù)測）已知雙曲線C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的其中一個(gè)焦點(diǎn)為 5,0 ，一條漸近線方a b
程為 2x - y = 0
（1）求雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
3p
（2）已知傾斜角為 的直線 l與雙曲線C 交于 A, B兩點(diǎn)，且線段 AB 的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 4，求直線 l的方程.
4
y2
【答案】（1） x2 - =1（2） x + y - 3 = 0
4
【分析】（1）由題意，聯(lián)立方程求出 c,a,b，即可得到雙曲線方程；
（2）利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)斜式求出直線方程即可.
【詳解】（1）由焦點(diǎn)可知 c = 5 ，
又一條漸近線方程為 2x - y = 0
b
所以 = 2，
a
由 c2 = a2 + b2 可得5 = a2 + 4a2 ,解得 a2 =1，b2 = 4 ，
y2
故雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 - =1
4
（2）設(shè) A(x1, y1), B( x2, y2)，AB 中點(diǎn)的坐標(biāo)為 (x0 , 4)
y 2 2
則 x 2 - 1 =1①， x 2 y21 2 - =1②，4 4
2 2
② - ① y y得： x 2 - x 2 = 2 - 12 1 ，4 4
k 4x= 0 4x= 0即 = x0 ，又 k = tan
3p
= -1
y0 4 4
，
所以 x0 = -1，
所以直線 l的方程為 y - 4 = -(x +1)，即 x + y - 3 = 0
2 2
24．（2024 y x高二下·四川資陽·期末）已知雙曲線C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的一條漸近線方程為 y = 2x，一個(gè)a b
焦點(diǎn)到該漸近線的距離為 1.
(1)求C 的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)M 1,4 的直線 l交C 于 A, B兩點(diǎn)，且M 為線段 AB 的中點(diǎn)，求 l的方程.
2
【答案】(1) y - x2 =1
4
(2) y = x + 3
a
【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程得到漸近線方程，即可得到 = 2，再由點(diǎn)到線的距離公式求出 c，最后根據(jù)
b
c2 = a2 + b2 計(jì)算可得；
（2）設(shè) A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直線 l的斜率為 k ，利用點(diǎn)差法計(jì)算可得；
y2 x2 a
【詳解】（1）解：雙曲線C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的漸近線為 y = ± x，即 ax ± by = 0，a b b
a
所以 = 2，
b
-c
又焦點(diǎn) 0,c 到直線 y = 2x的距離 d = =12 2 ，所以 c = 5 ，2 + -1
2
又 c2 = a2
y
+ b2 ，所以 a2 = 4，b2 = 1，所以雙曲線方程為 - x2 =1
4
（2）解：設(shè) A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直線 l的斜率為 k ，則 x1 + x2 = 2， y1 + y2 = 8，
y 2 y 2
所以 1 - x 2 =1， 2 - x 21 2 =1，4 4
y 2 y 21 2 x 2 x 2 0 y1 + y2 y1 - y2 兩式相減得 - - 1 + 2 = ，即 = x + x x - x 4 4 4 1 2 1 2
y1 + y2 y1 - y2
即 = 4 x x x x ，所以 4k = 4，解得 k =1，1 + 2 1 - 2
所以直線 l的方程為 y - 4 = x -1，即 y = x + 3，
經(jīng)檢驗(yàn)直線 l : y = x + 3與雙曲線C 有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，
所以直線 l的方程為 y = x + 3 .
2 p
25．（2024 y高二·全國·課后作業(yè)）過雙曲線 x2 - =1的左焦點(diǎn)F ，作傾斜角為 的直線 l .
3 6
(1)求證： l與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A, B；
(2)求線段 AB 的中點(diǎn)M 的坐標(biāo)和 AB .
【答案】(1)證明見解析
1 3 3
(2) M ,4 4 ÷÷
， AB = 3
è
【分析】（1）由雙曲線方程可得F ，進(jìn)而得到 l方程；將 l與雙曲線聯(lián)立，由D > 0可得結(jié)論；
x + x
（2）由（1）可得韋達(dá)定理的形式，將 xM = 1 2 代入 l方程即可求得M 點(diǎn)坐標(biāo)；利用弦長公式可求得2
AB .
3
【詳解】（1）由雙曲線方程知：F -2,0 ，則 l : y = x + 2 ，
3
ì 3
y = x + 2 3
由 í 22 得：8x - 4x -13 = 0，則D =16 - 32 -13 = 432 > 0，

x
2 y- =1
3
\l 與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A, B .
（2）設(shè) A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
ì
x1 + x
1
=
2 x + x 1 3 1 3 3
由（1 2）得： í ，\ x 1 2 M = = ，\ yM = + 2÷ = ；
x1x
13
2 = -
2 4 3 è 4 4
8

M 1 , 3 3

\ 4 4 ÷÷
；
è
AB 1 1 x x 2 4x 2 3 1 13= + × 1 + 2 -3 1x2 = + = 3
.
3 4 2
26．（2024 高二上·江蘇連云港·期末）已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-3,0) ，F(xiàn)2 (3,0)，且該雙曲線過點(diǎn)P(2, -2 6)．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過左焦點(diǎn)F1作斜率為 2 6 的弦 AB，求 AB 的長；
(3)在（2）的基礎(chǔ)上，求VF2 AB 的周長．
y2
【答案】(1) x2 - =1
8
(2)25
(3)54
【分析】（1）雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)出雙曲線方程，把已知條件代入解方程組即可；
（2）寫出直線 AB 的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式求得；
（3）由雙曲線的定義及弦長 AB 得出VF2 AB 的周長．
x2 y2
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)雙曲線方程為 2 - 2 =1，a b
ìa2 + b2 = 9
ìa2 =1 y2
由題意得 í 4 24 ，解得 í 2 ，所以雙曲線方程為 x
2 - =1.
a2
-
b2
=1 b = 8 8
（2）依題意得直線 AB 的方程為 y = 2 6(x + 3)，設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2 ) .
ìy = 2 6(x + 3)

聯(lián)立 í y2 ，得2 x
2 + 9x +14 = 0，
x - =1
8
x1+x2 = - 9，且 x1x2 =14，
所以 AB = 1+ k 2 x1 - x2 = 1+ 24 × x
2
1 + x2 - 4x1x2 =5 81- 56=25 .
（3）由（2）知 A，B 兩點(diǎn)都在雙曲線左支上，且 a =1，
由雙曲線定義， AF2 - AF1 = BF2 - BF1 = 2a ，
從而 AF2 + BF2 = 4a + AF1 + BF1 = 4a + AB ，
VF2 AB 的周長為 AF2 + BF2 + AB = 4a + 2 AB = 4 + 50 = 54．
27．（2024 高二上·甘肅慶陽·期末）在①C 的漸近線方程為 y = ±x ②C 的離心率為 2 這兩個(gè)條件中任選一
個(gè)，填在題中的橫線上，并解答．
已知雙曲線 C 的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)P 2, - 2 在 C 上，且______．
(1)求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知 C 的右焦點(diǎn)為 F，直線 PF 與 C 交于另一點(diǎn) Q，不與直線 PF 重合且過 F 的動(dòng)直線 l 與 C 交于 M，N
兩點(diǎn)，直線 PM 和 QN 交于點(diǎn) A，證明：A 在定直線上．
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
x2 y2
【答案】(1) - =1
2 2
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)①②提供的漸近線方程和離心率得出 a,b,c之間的關(guān)系，再利用P 2, - 2 在雙曲線上即
可求得 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)坐標(biāo)位置可利用對稱性求得 Q 點(diǎn)坐標(biāo)，分別別寫出直線 PM 和 QN 的直線
方程，求得交點(diǎn) A 的坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)定理即可證明.
【詳解】（1）選①
b
因?yàn)?C 的漸近線方程為 y = ±x，所以 =1，
a
故可設(shè) C 的方程為 x2 - y2 = l ，
代入點(diǎn) P 的坐標(biāo)得 22 - (- 2)2 = l ，可得l = 2，
x2 y2
故 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1．
2 2
選②．
b 2
因?yàn)?C 的離心率為 2 ，所以 1+ ÷ = 2 ，得 a = b，
è a
故可設(shè) C 的方程為 x2 - y2 = l ，
代入點(diǎn) P 的坐標(biāo)得 22 - (- 2)2 = l ，可得l = 2，
x2C y
2
故 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 - =1．
2 2
（2）由（1）可知 F 的坐標(biāo)為 2,0 ，由雙曲線的對稱性，可知點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 2, 2 ．
設(shè)點(diǎn) M，N 的坐標(biāo)分別為M (x1 , y1 ), N (x2 , y2 )，直線 l 的方程為 y = k x - 2 ，
2 2 2 2
聯(lián)立直線和雙曲線方程得 k -1 x - 4k x + 4k + 2 = 0，
2 2
所以 x1 + x
4k x x 4k + 22 = 2 ， 1 2 = ，k -1 k 2 -1
k x - 2 + 2 2 2 2
直線 PM： y

= 1 (x - 2) - 2 ，即 y = k + ÷÷ x - 2k - - 2 ，x1 - 2 è x1 - 2 x1 - 2
k x - 2 - 2 2 2 2 2直線 QN： y = (x - 2) + 2 ，即 y = k - ÷÷ x - 2k + + 2 ，x2 - 2 è x2 - 2 x2 - 2
1 1 x 2 1 1

消去 y，得 + ÷ = + +1÷ ，
è x1 - 2 x2 - 2 è x1 - 2 x2 - 2
整理得 x1 + x2 - 4 x = 2 x1x2 - x1 - x2 ，
2 x x - x - x
則 x = 1 2 1 2 ．
x1 + x2 - 4
4k 2 + 2 4k 2
x x 2 - 2
因?yàn)?1 2
- x1 - x2 k -1 k -1 2 1= = = 1
x1 + x2 - 4 4k
2 ，所以 A 的橫坐標(biāo)為 ．4 2
k 2
- 4
-1
故 A 在定直線 x =1上．
2 2
28．（2024· · x y湖北 二模）已知雙曲線 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的離心率為 2 ，過點(diǎn)E 1,0 的直線 l 與 C 左a b
右兩支分別交于 M，N 兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．
(1)若點(diǎn) P 為線段 MN 的中點(diǎn)，求直線 OP 與直線 MN 斜率之積（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(2)若 A，B 為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且 AB = 4，試判斷直線 AN 與直線 BM 的交點(diǎn) G 是否在定直線上，若是，
求出該定直線，若不是，請說明理由
【答案】(1)1
(2)是在定直線上，定直線 x = 4
【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組得到 a = b，設(shè)M x1, y1 ， N x2 , y2 ，P(x0 , y0 )，利用點(diǎn)差法即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出 A -2,0 ，B(2,0)，設(shè)直線 l： x =1+ ty， t 0，設(shè)M x1, y1 ， N x2 , y2 ，聯(lián)立
直線與曲線方程，利用韋達(dá)定理聯(lián)立直線 AN 與直線 BM 的方程得出 x = 4，進(jìn)而得證.
ì e c = = 2
【詳解】（1）由題意得 í a ，所以 a = b，
c
2 = a2 + b2
設(shè)M x1, y1 ， N x2 , y2 ，P(x0 , y0 )，
ì x 2 21 y1
- =1 a2 b2
則 í ，
x
2
2 y
2
- 2 =1
a2 b2
y - y 2 2
作差得 1 2
b x + x
= × 1 2
b x
2 = 2 ×
0
x ，1 - x2 a y1 + y2 a y0
y 2
又 MN 的斜率 k = 1
- y2 b x y
MN = ×
0 k = 0
x ， OP ，1 - x a
2 y x2 0 0
b2
所以 kMN kOP = 2 = 1 .a
（2）∵ 2a = 4，∴ a = b = 2， A -2,0 ，B(2,0)，
直線 l： x =1+ ty， t 0，
設(shè)M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
ìx =1+ ty t 0 2 2
聯(lián)立 í 2 2 得 t -1 y + 2ty - 3 = 0，
x - y = 4
ì
V=16t 2 -12 > 0, t 2 -1 0, t 0

y y -2t 3 y + y 所以 í 1 + 2 = ，所以 1 2 ，
t
2 ty y =-1 1 2 2

y1y
-3
=
2 t 2 -1
y
設(shè)直線 AN 2： y = x
y
+ 2 ，BM 1： y = x - 2 x2 + 2 x1 - 2
，
9 3
x + 2 y1 x2 + 2 y1 ty2 + 3 ty1y + 3y y1 + y所以 = = = 1 = 2 2
2
= 3
x - 2 x1 - 2 y2 ty1 -1 y2 ty1y2 - y 3 1
，
2 y
2 1
+ y
2 2
所以 x = 4．故存在定直線 x = 4，使直線 AN 與直線 BM 的交點(diǎn) G 在定直線上．
2 2
29．（2024 ·
x y
高二上 重慶北碚·階段練習(xí)）雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的漸近線方程為 y = 2x，一個(gè)焦點(diǎn)a b
到該漸近線的距離為 2．
(1)求 C 的方程；
(2)是否存在直線 l，經(jīng)過點(diǎn)M 1,4 且與雙曲線 C 于 A，B 兩點(diǎn)，M 為線段 AB 的中點(diǎn)，若存在，求 l 的方程：
若不存在，說明理由．
y2
【答案】(1) x2 - =1
4
(2)存在； y = x + 3 .
b
【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程得到漸近線方程，即可得到 = 2，再由點(diǎn)到線的距離公式求出 c，最后根據(jù)
a
c2 = a2 + b2 計(jì)算可得；
（2）設(shè) A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直線 l的斜率為 k ，利用點(diǎn)差法計(jì)算可得；
x2 y2 b
【詳解】（1）雙曲線C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的漸近線為 y = ± x，a b a
b
因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為 y = 2x，所以 = 2，
a
2c
又焦點(diǎn) c,0 到直線 y = 2x的距離 d = = 22 ，所以 c = 5
，
2 + -1 2
2
又 c2 = a2 + b2 ，所以 a2 =1，b2
y
= 4 ，所以雙曲線方程為 x2 - =1
4
（2）假設(shè)存在，由題意知：直線的斜率存在，設(shè) A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直線 l的斜率為 k ，則 x1 + x2 = 2，
y1 + y2 = 8，
x 2 y
2 y 2
所以 1 -
1 =1， x 2 22 - =1，4 4
y 2 y 2 y + y y - y
兩式相減得 x 2 2 1 2 1 2 1 21 - x2 - + = 0，即 = x + x x - x 4 4 4 1 2 1 2
y1 + y2 y1 - y2
即 = 4 x x x x ，所以 4k = 4，解得 k =1，1 + 2 1 - 2
所以直線 l的方程為 y - 4 = x -1，即 y = x + 3，
3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 10 題型分類
一、雙曲線的性質(zhì)
x2 y2 y2 x2
標(biāo)準(zhǔn)方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
圖形
范圍 x≥a 或 x≤－a y≤－a 或 y≥a
對稱性 對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo) A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
性質(zhì) b a
漸近線 y＝± x y＝± x
a b
c
離心率 e＝ ，e∈(1，＋∞)，其中 c＝ a2＋b2
a
a，b，c 間的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
二、等軸雙曲線
實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線，它的漸近線方程是 y＝±x，離心率為 2.
三、直線與雙曲線的位置關(guān)系
設(shè)直線 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
雙曲線 C： － ＝1(a>0，b>0)，②
a2 b2
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b
(1)當(dāng) b2－a2k2＝0，即 k＝± 時(shí)，直線 l 與雙曲線 C 的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．
a
b
(2)當(dāng) b2－a2k2≠0，即 k≠± 時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
a
Δ>0 直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
Δ＝0 直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；
Δ<0 直線與雙曲線有 0 個(gè)公共點(diǎn)．
四、弦長公式
若 斜 率 為 k(k≠0) 的 直 線 與 雙 曲 線 相 交 于 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) 兩 點(diǎn) ， 則 |AB| ＝
1＋k2 [ x1＋x2 2－4x1x2].
（一）
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
1．由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)
(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解決此類題的關(guān)鍵．
(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置，確定 a，b 的值．
(3)由 c2＝a2＋b2求出 c 的值，從而寫出雙曲線的幾何性質(zhì)．
2．由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)根據(jù)雙曲線的某些幾何性質(zhì)求雙曲線方程，一般用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為解方程(組)，但要注
意焦點(diǎn)的位置，從而正確選擇方程的形式．
(2)巧設(shè)雙曲線方程的技巧：漸近線為 ax±by＝0 的雙曲線方程可設(shè)為 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．
題型 1：由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)
1-1．【多選】（2024 高二下·山東臨沂·期末）已知雙曲線C : x2 - y2 = 1，則（ ）
A．實(shí)軸長為 1 B．虛軸長為 2
C．離心率 e = 2 D．漸近線方程為 x ± y = 0
2
1-2 x．【多選】（2024 高二上·福建福州·期末）已知雙曲線 - y2 = m2 m 0 ，則不因m 的值改變而改變的是
3
（ ）
A．焦距 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)
C．離心率 D．漸近線方程
2 2
1-3．【多選】（2024 · y x高二上 江蘇鹽城·期末）下列關(guān)于雙曲線 - =1說法正確的是（ ）
9 4
A．實(shí)軸長為 6 B．與雙曲線 4y2 - 9x2 =1有相同的漸近線
2 2
C．焦點(diǎn)到漸近線距離為 4 D y x．與橢圓 + =1有同樣的焦點(diǎn)
15 2
題型 2：由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
x2 y2 52-1．（2024 高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知雙曲線 2 - 2 =1的離心率 e = ，實(shí)半軸長為 4，則雙曲線a b 4
的方程為 .
x2 y22-2．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）與雙曲線 - = 1有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn) 3 2,2 的雙曲線方程為 ．
16 4
2 2
2-3．（2024 y x高二下·廣東佛山·階段練習(xí)）一雙曲線的虛軸長為 4，離心率與橢圓 + =1的離心率互為倒
4 3
數(shù)，且焦點(diǎn)所在軸相同，則該雙曲線的方程為（ ）
A 3x
2 y2 1 B 3y
2 x2
． - = ． - =1
16 16 16 16
C 3y
2 x2 3x2 y2
． - =1 D． - =1
4 4 4 4
2-4．（2024 高二上·遼寧營口·期末）過點(diǎn) 2,3 且與橢圓5x2 + 9y2 = 45有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（ ）
y2 2 2 2 2 2A． x2 - =1 B x x y x y． - y2 =1 C． - =1 D． - = 1
3 9 2 9 9 5
（二）
求雙曲線的漸近線與離心率
雙曲線的漸近線、離心率：
x2 y2 y2 x2
雙曲線的方程 － ＝1(a>0，b>0) － ＝1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
a,b,c 的關(guān)系 c2＝a2＋b2
c
性 離心率 e＝ ∈(1，＋∞)
a
質(zhì)
b a
漸近線 y＝± x y＝± x
a b
求雙曲線離心率的方法
c
(1)直接法：若可求得 a，c，則直接利用 e＝ 得解．
a
(2)解方程法：若得到的是關(guān)于 a，c 的齊次方程 pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r 為常數(shù)，且
p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于 e 的方程 pe2＋q·e＋r＝0 求解．
題型 3：雙曲線的漸近線問題
2 2
3-1．（2024 x y高二上·河北保定·期中）雙曲線 - = -3的漸近線方程為（ ）
2 4
A y = ± 2x B y = ±2x C y 2． ． ． = ± x D． y
1
= ± x
2 2
2 2
3-2．（2024 高二下·河南平頂山·
x y
期末）雙曲線C : - = 1的右焦點(diǎn)到 C 的一條漸近線的距離為（ ）
9 4
A．2 B． 5 C．3 D．4
2 2
3-3．（2024 · x y高二下 四川達(dá)州·期末）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的離心率為 2，則它的漸近線方程為a b
（ ）
A． y = ± 3x B． y = ± 2x C． y = ±x D． y 2= ± x
2
2
3-4．（2024 高三下·湖南· y階段練習(xí)）已知F1, F2 為雙曲線 x2 - 2 =1(b > 0)的左、右焦點(diǎn)，過F1作直線 y = -bxb
的垂線分別交雙曲線的左、右兩支于B,C 兩點(diǎn)（如圖）.若VCBF2 構(gòu)成以 BCF2 為頂角的等腰三角形，則雙
曲線的漸近線方程為 .
2
3-5．（2024· y江蘇）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若雙曲線 x2 - 2 =1(b > 0)經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近b
線方程是 .
2 2
3-6 x y．（2024 高二下·江西贛州·階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)F1, F2 是雙曲線C : a2
-
b2
= 1(a > 0,b > 0)的左、右焦
點(diǎn)，雙曲線C 的右支上存在一點(diǎn) B 滿足BF1 ^ BF2 , BF1與雙曲線C 的左支的交點(diǎn)A 平分線段BF1，則雙曲線C
的漸近線斜率為（ ）
A．±3 B．±2 3 C．± 13 D．± 15
題型 4：雙曲線的離心率問題
2 2
4-1．（2024 高二上·江蘇· x y期末）設(shè) k 為實(shí)數(shù)，已知雙曲線 - = 1的離心率 e (2,3)，則 k 的取值范圍為
4 k
4-2．（2024 高二下·湖南衡陽·期末）古希臘數(shù)學(xué)家托勒密在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》，里給出了托勒密定理，
即任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于等于兩組對邊的乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)同在
x2 y2
一個(gè)圓上時(shí)等號成立.已知雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線 C 上關(guān)于a b
π
原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)A ，B 滿足 AB × F1F2 = AF1 × BF2 + AF2 × BF1 ，若 AF1F2 = ，則雙曲線C 的離心率 .6
2 2
4-3．（2024 高二上· x y陜西寶雞·期末）已知雙曲線 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)
3 2
的離心率為 ，則其漸近線方程為
a b 4
（ ）
1 1
A． y 2 2= ± x B． y = ± x C． y = ± x D． y = ± x
2 4 4 2
2 2 π
4-4．（2024
x y
高二上·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線 2 - 2 = 1 a > b > 0 兩條漸近線的夾角為 ，則此雙曲線的a b 3
離心率為（ ）
A．2 B 4 3 C 2 3 D 4 3． ． ．
3 3 3
2
4-5 2024 · · C : x y
2
．（ 高三下 貴州黔東南 階段練習(xí)）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > b > 0 的一條漸近線被圓a b
x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0 4 15截得的弦長為 ，則雙曲線C 的離心率為 .
5
2 2
4-6．（2024 · x y高二下 四川涼山·期末）已知雙曲線C : 2 - 2 =1，（ a > 0，b > 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，a b
F2，過點(diǎn)P -a,0 3作一條斜率為 的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn) M，且 PF2 = F2M ，則雙曲線 C 的
3
離心率為 .
4-7．（2024 高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 為C 上一點(diǎn)，且
F1PF2 = 60°
7
， PF1 = l PF2 l > 1 ，若C 的離心率為 ，則l 的值為（ ）
2
A．3 B． 3 C．2 D． 2
2 2
4-8．（2024· · x y河北 三模）已知雙曲線C : - = l （其中m > 0,l 0），若l < 0 ，則雙曲線C 離心率的取
m m +1
值范圍為（ ）
A． 1, 2 B． 2,+ C． 1,2 D． 2, +
2 2
4-9 x y．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）雙曲線 2 - 2 =1（ a > 2，b > 0）的焦距為 2c c > 0 ，已知點(diǎn) A a,0 ，a b
B 0,b ，點(diǎn) 2,0 4到直線 AB 的距離為 d1 ，點(diǎn) -2,0 到直線 AB 的距離為 d2 ，且 d1 + d2 c ，則雙曲線離心5
率的取值范圍為（ ）
é 2 ù é ù é ù
A． ê , 2
5
ú B． ê , 5
10
ú C． ê , 10 ú D． é 3,2 3ù2 2 2
2 2
4-10．（2024 高三下· y x河南洛陽·開學(xué)考試）已知雙曲線C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的上下焦點(diǎn)分別為F1, F2 ，點(diǎn)a b
M 在C 的下支上，過點(diǎn)M 作C 的一條漸近線的垂線，垂足為D，若 MD > F1F2 - MF1 恒成立，則C 的離
心率的取值范圍為（ ）
1, 5 5 5 A． B． , 23 ÷ 3 ÷
C． 1,2 D． ,+ 3 ÷è è è
（三）
直線與雙曲線的位置關(guān)系
直線與雙曲線的位置關(guān)系
設(shè)直線 l：y＝kx＋m(m≠0)，①
x2 y2
雙曲線 C： － ＝1(a>0，b>0)，②
a2 b2
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
b
(1)當(dāng) b2－a2k2＝0，即 k＝± 時(shí)，直線 l 與雙曲線 C 的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)．
a
b
(2)當(dāng) b2－a2k2≠0，即 k≠± 時(shí)，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
a
Δ>0 直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；
Δ＝0 直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；
Δ<0 直線與雙曲線有 0 個(gè)公共點(diǎn)．
題型 5：直線與雙曲線的位置關(guān)系
5-1．（2024 高二上·全國·單元測試）討論直線 l : y = kx +1與雙曲線C : x2 - y2 = 1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
2 2
5-2．（2024·上海崇明·模擬預(yù)測）雙曲線C : x y- =1 a > 0,b > 0 與直線 y = 2x2 2 無公共點(diǎn)，則雙曲線 C 的離a b
心率的取值范圍為 ．
5-3．（2024 高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）直線 y = kx -1與雙曲線 x2 - y2 =1的左支交于不同兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的
取值范圍為 ．
5-4．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C ：x2 - 2y2 =1上點(diǎn)P( 3,1) ．求雙曲線C 在點(diǎn) P 處的切線 l的方
程．
題型 6：求相交弦長
2 2
6-1．（2024 高二上·
x y
四川涼山·期末）已知雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的實(shí)軸長為 2，右焦點(diǎn)為 5,0 .a b
(1)求雙曲線C 的方程；
(2)已知直線 y = x + 2 與雙曲線C 交于不同的兩點(diǎn)A ， B ，求 AB .
2 2
6-2．（2024 高二下·湖南湘潭· y x期末）已知雙曲線C : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)
2 3
的一條漸近線方程為 y = x，
a b 3
焦距為 2 7 .
(1)求雙曲線 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，過P(0, 4)的直線 l 交雙曲線 C 于 A，B 兩點(diǎn)，且△OAB的面積為 24 5 ，求直線 l 的方
程.
6-3．（2024·新疆喀什·模擬預(yù)測）已知雙曲線 C 兩條準(zhǔn)線之間的距離為 1，離心率為 2，直線 l 經(jīng)過 C 的右
焦點(diǎn)，且與 C 相交于 A、B 兩點(diǎn).
(1)求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線 l 與該雙曲線的漸近線垂直，求 AB 的長度.
6-4．（2024 高二上·遼寧·期末）已知雙曲線 C 的漸近線為 y = ± 3x ，且過點(diǎn)M 1, 2 ．
(1)求雙曲線 C 的方程；
(2)若直線 y = ax +1與雙曲線 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 OA 與 OB 垂直，求 a 的值以及弦長
AB ．
（四）
雙曲線的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法
1、雙曲線的中點(diǎn)弦結(jié)論：
x2 y2
若直線 l (不平行于 y 軸)過雙曲線上 － ＝1(a>b>0)兩點(diǎn) A 、 B ，其中 AB中點(diǎn)為 P(x
a2 b2 0
，y0 ) ，則
=
2
有 0 2 .0
2、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和雙曲線方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二
次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決.
3．點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，然后作差，
構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系．
題型 7：雙曲線的中點(diǎn)弦問題
2
7-1．（2024 y高二下·湖北孝感·期中）過點(diǎn)P 2,1 的直線 l與雙曲線 x2 - =1相交于 A, B兩點(diǎn)，若 P 是線段 AB
3
的中點(diǎn)，則直線 l的方程是（ ）
A．6x - y -11 = 0 B．6x + y -13 = 0
C． 2x - 3y -1 = 0 D．3x - 2y - 4 = 0
2 2
7-2．（2024·河南·三模）已知直線 l : 4x - 2y - 7 = 0與雙曲線C : x y2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的兩條漸近線分別交于a b
點(diǎn)A ， B （不重合）， AB 的垂直平分線過點(diǎn) 3,0 ，則雙曲線C 的離心率為（ ）
A 2 3 B 5 -1 C 6． ． ． 3 D．
3 2 2
2
7-3．（2024 高二下·陜西榆林·期末）已知 A, B為雙曲線 x2 y- =1上兩點(diǎn)，且線段 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 -1, -4 ，
9
則直線 AB 的斜率為（ ）
3 9 9 3
A． B． C．- D．-
2 4 4 2
（五）
雙曲線的綜合問題
雙曲線的綜合問題最終仍體現(xiàn)在直線與雙曲線軌跡、向量的應(yīng)用及參數(shù)范圍的探求上，直線與
雙曲線方程聯(lián)立后，要注意二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況.另外，設(shè)而不求、韋達(dá)定理、消參也是常
用的方法，在解題時(shí)，應(yīng)有意識地運(yùn)用這些方法，達(dá)到熟練掌握的程度.
題型 8：雙曲線的定點(diǎn)、定值問題
2 2
8-1．（2024 x y高三下·上海閔行·階段練習(xí)）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左右頂點(diǎn)分別為a b
A, B, A -2,0 .直線 l : x =1和兩條漸近線交于點(diǎn)E, F ,點(diǎn)E 在第一象限且EF = 2 3 , P 是雙曲線上的任意一點(diǎn).
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在點(diǎn) P 使得DOEP 為直角三角形？若存在,求出點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)；
(3)直線PA, PB與直線 l分別交于點(diǎn)M , N ,證明：以MN 為直徑的圓必過定點(diǎn).
2 2
8-2．（2024 x y高二上·全國·期中）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 過點(diǎn) A -3,2 ，且離心率 e = 5a b
(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(2)如果 B ，C 為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線 AB 與直線 AC 的斜率互為相反數(shù)，證明直線BC 的斜率為定值，并
求出該定值.
2 2
8-3．（2024 x y高三上·浙江紹興·期末）已知雙曲線C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的離心率為 2，右焦點(diǎn)F 到其中一a b
條漸近線的距離為 3 .
(1)求雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過右焦點(diǎn)F 作直線 AB 交雙曲線于 A, B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A 作直線 l : x
1
= 的垂線，垂足為M ，求證直線MB過
2
定點(diǎn).
2 2
8-4．（2024 高二下·全國· x y開學(xué)考試）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C ： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）的左、右a b
AB
焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 在雙曲線C 上，A ， B 分別是線段PF1，PF2 的中點(diǎn)，且 = 2 ，a
OA - OB = 3．
(1)求雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)M -3,0 ， N 3,0 ，當(dāng) P 與M ， N 不重合時(shí)，設(shè)直線PM ，PN 的斜率分別為 k1， k2 ，證明： k1k2
為定值．
題型 9：雙曲線的向量問題
2 2
9-1．（2024 高二上·安徽滁州· C x y期末）已知雙曲線 ： - =1（ a > 0，b > 0）的左頂點(diǎn)為 A -1,0 2 2 ，A 到a b
C 3的一條漸近線的距離為 ．
2
(1)求C 的方程；

(2)過點(diǎn)P 2,0 的直線 l與C 交于M ， N 兩點(diǎn)，求 AM × AN 的值．
2 2
9-2．（2024 · x y 3高二上 浙江杭州·期末）已知雙曲線 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的漸近線方程為 y = ± x，且a b 3
過點(diǎn) 6,1 ．
(1)求雙曲線 C 的方程；

(2)若 F 是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q 是雙曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn) F，Q 的直線 l 與 y 軸交于點(diǎn) M，且MQ + 2QF = 0，
求直線 l 的斜率．
9-3．（2024 高二上·江蘇蘇州·期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，存在兩定點(diǎn)M -1,0 ，N 1,0 與一動(dòng)點(diǎn) A.已
知直線MA與直線 NA的斜率之積為 3.
(1)求 A 的軌跡G；
(2)記G的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2 .過定點(diǎn) 0,1 的直線 l交G于 P 、Q兩點(diǎn).若 P 、Q兩點(diǎn)滿足
PF1 + PF2

× QF1 + QF2 = 216，求 l的方程.
2 2
9-4．（2024 高二上·廣東深圳·期末）在平面直角坐標(biāo)系 xOy y x中，已知雙曲線 C： 2 - 2 =1（ a > 0，b > 0）a b
3
的一條漸近線為 y = x ，且點(diǎn) P 3, 2 在 C 上．
3
(1)求 C 的方程；

(2)設(shè) C 的上焦點(diǎn)為 F，過 F 的直線 l 交 C 于 A，B 兩點(diǎn)，且 AF = 7BF ，求 l 的斜率．
題型 10：雙曲線的實(shí)際應(yīng)用
10-1．（2024 高三上·河南·階段練習(xí)）人利用雙耳可以判定聲源在什么方位，聽覺的這種特性叫做雙耳定位
效應(yīng)（簡稱雙耳效應(yīng)）．根據(jù)雙耳的時(shí)差，可以確定聲源 P 必在以雙耳為左右焦點(diǎn)的一條雙曲線上．又若聲
源 P 所在的雙曲線與它的漸近線趨近，此時(shí)聲源 P 對于測聽者的方向偏角a ，就近似地由雙曲線的漸近線與
虛軸所在直線的夾角來確定．一般地，甲測聽者的左右兩耳相距約為 20cm ，聲源 P 的聲波傳及甲的左、右
兩耳的時(shí)間差為3 10-5 s，聲速為334m/s，則聲源 P 對于甲的方向偏角a 的正弦值約為（ ）
A．0.004 B．0.04 C．0.005 D．0.05
10-2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測點(diǎn)的報(bào)告；正西、正北兩
個(gè)觀測點(diǎn)同時(shí)聽到了一聲巨響，正東觀測點(diǎn)聽到的時(shí)間比其它兩觀測點(diǎn)晚 2s，已知各觀測點(diǎn)到該中心的距
離是 680m，則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（ ）處(假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為 340m/s，相關(guān)各點(diǎn)均在同一
平面上)
A．西偏北 45°方向，距離 340 3 m B．東偏南 45°方向，距離 340 3 m
C．西偏北 45°方向，距離 170 3 m D．東偏南 45°方向，距離 170 3 m
10-3．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)．如圖，從
雙曲線右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)F1．已
知雙曲線的方程為 x2 - y2 =1，則當(dāng)入射光線F2P 和反射光線PE互相垂直時(shí)（其中 P 為入射點(diǎn)）， F1F2P 的
大小為（ ）
p p p 5p
A． B C12 ． ． D．6 3 12
2 2
10-4 y x．（2024 高三上·河南·階段練習(xí)）如圖所示，某拱橋的截面圖可以看作雙曲線 - =1的圖象的一部分，
16 m
當(dāng)拱頂 M 到水面的距離為 4 米時(shí)，水面寬 AB 為 4 3 米，則當(dāng)水面寬度為 4 6 米時(shí)，拱頂 M 到水面的距離
為（ ）
A．4 米 B． 8 2 - 4 米 C． 2 6 - 4 米 D． 4 7 - 4 米
一、單選題
2 2
1．（2024 x y高三下·江西·階段練習(xí)）已知雙曲線C : - =1 a > 0 ，下列結(jié)論正確的是（ ）
2a a
1
A．C 的實(shí)軸長為 2a B．C 的漸近線方程為 y = ± x2
C C 6． 的離心率為 D．C 的一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 5a ,0
2
2．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的離心率為 5 ，則它的漸近線
方程為（ ）
A y = ±2x B y 5． ． = ± x
2
1
C． y = ± x D． y = ± 6x
2
3．（2024 高二下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）雙曲線9x2 -16y2 =144的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A． (- 7,0), ( 7,0) B． (0,- 7),(0, 7)
C． (-5,0), (5,0) D． (0, -5), (0,5)
2 2
4．（2024· x y河北滄州·模擬預(yù)測）已知雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，O為原點(diǎn)， A, B分別為該雙曲線的左，a b
右頂點(diǎn)F1, F2 分別為該雙曲線的左、右焦點(diǎn)，第二象限內(nèi)的點(diǎn) P 在雙曲線的漸近線上，OP 為 APF2的平分
線，且線段 OP 的長為焦距的一半，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 2 3
5．（2024 高二下·河南·階段練習(xí)）已知雙曲線 x2 - y2 = 2 ，點(diǎn)F1, F2 為其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為雙曲線上一點(diǎn)，若
F1PF2 = 60°，則三角形F1PF2 的面積為（ ）
A．2 B． 2 2 C． 3 D． 2 3
2
6 2024· · C : x y
2
．（ 安徽六安 模擬預(yù)測）已知雙曲線 - =1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線 y = kx 與雙曲線16 9
C 交于A ， B 兩點(diǎn)，若 AB = F1F2 ，則VABF1 的面積等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
二、多選題
7．（2024 高二上·山西太原·期末）直線 l : y = k(x - 2)與雙曲線C : x2 - y2 = 2的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則
k 的可能取值為（ ）
1
A．0 B．1 C． 2 D．
2
三、填空題
y2 x2
8．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）直線 y = -x + 4與雙曲線 - =1上支的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ．
16 9
9．（2024 高二上·廣西北?！て谀┤糁本€ l 過點(diǎn) (-1,2)，且與雙曲線9x2 - y2 = 9有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿
足條件的直線有 條．
10．（2024 高二下·上海徐匯·期中）已知直線 l : y = tx + 2 和雙曲線C : x2 - y2 = 8，若 l 與 C 的右支交于不同
的兩點(diǎn)，則 t 的取值范圍是 ．
11．（2024 高二下·安徽六安·開學(xué)考試）已知直線 y = ax +1與雙曲線3x2 - y2 =1相交于 A，B 兩點(diǎn)，若 A，B
兩點(diǎn)在雙曲線的左支上，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ．
2 2
12．（2024·北京平谷· x y一模）已知雙曲線 + =1的離心率為 2，則實(shí)數(shù)m = ．
m 3
2 2
13．（2024 高二下·福建泉州·期末）已知直線 y = x 是雙曲線C : x y- =1（ a > 0,b > 02 2 ）的一條漸近線，則a b
C 的離心率為 .
14 x
2 y2
．（2024 高二上·全國·課后作業(yè)）過雙曲線 - =1的右焦點(diǎn)作傾斜角為 30°的直線 l，直線 l 與雙曲線
3 6
交于不同的兩點(diǎn) A，B，則 AB 的長為 ．
15．（2024 高二下·四川南充·階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn) A 2, -1 且對稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的方程為
16．（2024 高二·全國·課后作業(yè)）雙曲線9x2 -16y2 =144的一條弦的中點(diǎn)為 A 8,3 ，則此弦所在的直線方程
為 .
2 2
17．（2024 高二上· x y河南平頂山·期末）已知雙曲線 C： 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) ，a b 2
其中F2與拋物線 y2 = 8x的焦點(diǎn)重合，點(diǎn) P 在雙曲線 C 的右支上，若 PF1 - PF2 = 2，且 F1PF2 = 60°，則VF1PF2
的面積為 .
2 2
18．（2024· x y河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）已知雙曲線C ： - 2 =1（b > 0）的離心率為 3，焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) ，2 b 2
點(diǎn) P 在雙曲線C 上.若VPF1F2的周長為14 2 ，則VPF1F2的面積是 .
2 2
19．（2024 x y高二下·湖北宜昌·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)a b
F1且與 x 軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A ，且A 在第三象限，四邊形 F1AF2B為平行四邊形，
a p p 為直線BF1的傾斜角，若a , ÷ ，則該雙曲線離心率的取值范圍是 .
è 4 3
2 2
20 x y．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn) F 為雙曲線C : - =1的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn) O 且斜率 k 3 的
m +1 3- m
直線與雙曲線 C 交于 A B 兩點(diǎn)，AF 的中點(diǎn)為 P，BF 的中點(diǎn)為 Q.若OP ^ OQ，則雙曲線 C 的離心率 e 的取
值范圍是 .
2 2
21．（2024 高二下· · x y福建福州 期中）已知雙曲線C : - = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦點(diǎn)分別為F
a2 b2 1
, F2 ，雙曲
線的左頂點(diǎn)為A，以F1F2 為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于P，Q兩點(diǎn)，其中點(diǎn)Q在y軸右側(cè)，若 AQ 3 AP ，
則該雙曲線的離心率的取值范圍是 .
四、解答題
22．（2024 高二下·四川資陽·期末）解答下列兩個(gè)小題：
1 x
2 y2
（ ）雙曲線E ： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 離心率為 2 ，且點(diǎn) 2, 2 在雙曲線E 上，求E 的方程；a b
2 2
（2 C x y）雙曲線 實(shí)軸長為 2，且雙曲線C 與橢圓 + =1的焦點(diǎn)相同，求雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程．
8 4
2 2
23．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知雙曲線C : x y- = 1(a > 0,b > 0)的其中一個(gè)焦點(diǎn)為 5,0 ，一條漸近線方
a2 b2
程為 2x - y = 0
（1）求雙曲線C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
3p
（2）已知傾斜角為 的直線 l與雙曲線C 交于 A, B兩點(diǎn)，且線段 AB 的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 4，求直線 l的方程.
4
24 2024 · · C : y
2 x2
．（ 高二下 四川資陽 期末）已知雙曲線 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的一條漸近線方程為 y = 2x，一個(gè)a b
焦點(diǎn)到該漸近線的距離為 1.
(1)求C 的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)M 1,4 的直線 l交C 于 A, B兩點(diǎn)，且M 為線段 AB 的中點(diǎn)，求 l的方程.
2 p
25．（2024 高二·全國· y課后作業(yè)）過雙曲線 x2 - =1的左焦點(diǎn)F ，作傾斜角為 的直線 l .
3 6
(1)求證： l與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A, B；
(2)求線段 AB 的中點(diǎn)M 的坐標(biāo)和 AB .
26．（2024 高二上·江蘇連云港·期末）已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-3,0) ，F(xiàn)2 (3,0)，且該雙曲線過點(diǎn)P(2, -2 6)．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過左焦點(diǎn)F1作斜率為 2 6 的弦 AB，求 AB 的長；
(3)在（2）的基礎(chǔ)上，求VF2 AB 的周長．
27．（2024 高二上·甘肅慶陽·期末）在①C 的漸近線方程為 y = ±x ②C 的離心率為 2 這兩個(gè)條件中任選一
個(gè)，填在題中的橫線上，并解答．
已知雙曲線 C 的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，點(diǎn)P 2, - 2 在 C 上，且______．
(1)求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知 C 的右焦點(diǎn)為 F，直線 PF 與 C 交于另一點(diǎn) Q，不與直線 PF 重合且過 F 的動(dòng)直線 l 與 C 交于 M，N
兩點(diǎn)，直線 PM 和 QN 交于點(diǎn) A，證明：A 在定直線上．
注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．
2 2
28．（2024· x y湖北·二模）已知雙曲線 C： 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的離心率為 2 ，過點(diǎn)E 1,0 的直線 l 與 C 左a b
右兩支分別交于 M，N 兩個(gè)不同的點(diǎn)（異于頂點(diǎn)）．
(1)若點(diǎn) P 為線段 MN 的中點(diǎn)，求直線 OP 與直線 MN 斜率之積（O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(2)若 A，B 為雙曲線的左右頂點(diǎn)，且 AB = 4，試判斷直線 AN 與直線 BM 的交點(diǎn) G 是否在定直線上，若是，
求出該定直線，若不是，請說明理由
2 2
29．（2024
x y
高二上·重慶北碚·階段練習(xí)）雙曲線C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的漸近線方程為 y = 2x，一個(gè)焦點(diǎn)a b
到該漸近線的距離為 2．
(1)求 C 的方程；
(2)是否存在直線 l，經(jīng)過點(diǎn)M 1,4 且與雙曲線 C 于 A，B 兩點(diǎn)，M 為線段 AB 的中點(diǎn)，若存在，求 l 的方程：
若不存在，說明理由．
2 2
30．（2024 x y高二下·江西萍鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知雙曲線C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦點(diǎn)為 F ( 6,0) ，且 C 的a b
一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)D( 2,1) .
(1)求 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在過點(diǎn) P(2,1)的直線 l 與 C 交于不同的 A，B 兩點(diǎn)，且線段 AB 的中點(diǎn)為 P.若存在，求出直線 l 的方
程；若不存在，請說明理由.
2
31．（2024· · y浙江 二模）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C ： x2 - =1的左、右焦點(diǎn)，A 是C 上一點(diǎn)，線段 AF2 與8
C 交于 B 點(diǎn).
(1)證明： AB BF2 ；
(2)若VABF1 的面積為 8，求直線 AB 的斜率.
32．（2024 高二下·上海寶山·期中）已知雙曲線C : x2 - y2 = 1，及直線 l : y = kx -1.
(1)若 l與C 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的值；
(2)若 l與C 的左右兩支分別交于 A、B 兩點(diǎn)，且△OAB的面積為 2 ，求實(shí)數(shù) k 的值.
2 2
33．（2024 高二上·遼寧沈陽· x y期末）已知雙曲線C : - =1 a,b > 0 經(jīng)過點(diǎn)M 2,32 2 ，它的左焦點(diǎn)為F1，且a b
F1到其漸近線的距離是 3．
(1)求C 的方程；
1
(2)過點(diǎn)M 的直線 l交C 左支于一點(diǎn) N ，且 l的斜率是 ，求 MN 長．
2

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