資源簡介

3.3.2 拋物線的簡單幾何性質 8 題型分類
一、拋物線的簡單幾何性質
y2＝
類型 y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
2px(p>0)
圖象
p p p p
焦點 F( ，0 ) F(－ ，0) F(0， F 0，－2 2 2 ) ( 2)
p p p p
準線 x＝－ x＝ y＝－ y＝
2 2 2 2
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
性質
對稱軸 x 軸 y 軸
頂點 O(0,0)
離心率 e＝1
開口方向 向右 向左 向上 向下
二、焦半徑公式
設拋物線上一點 P 的坐標為 (x0 , y0 ) ，焦點為 F .
1．拋物線 y2 = 2 px( p > 0) ， PF = x p0 + = x
p
2 0
+ .
2
2．拋物線 y2 = -2 px( p > 0) ， PF x p p= 0 - = -x0 + .2 2
3．拋物線 x2 = 2 py( p > 0) ， PF y p p= 0 + = y0 + .2 2
4．拋物線 x2 = -2 py( p > 0) ， PF = y p p0 - = -y0 + .2 2
三、直線與拋物線的位置關系
直線 y＝kx＋b 與拋物線 y2＝2px(p>0)的交點個數決定于關于 x {y＝kx＋b，的方程組 y2＝2px 解的
個數，即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的個數．
當 k≠0 時，
若 Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；
若 Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；
若 Δ<0，直線與拋物線沒有公共點．
當 k＝0 時，直線與拋物線的軸平行或重合，直線與拋物線有 1 個公共點．
四、直線與拋物線相交弦長問題
1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為 2p.
2．拋物線的焦點弦：過拋物線 y2＝2px(p>0)的焦點 F 的一條直線與它交于兩點 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則
p2
①y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
4
②|AB |＝x1＋x2＋p；
1 1 2
③ ＋ ＝ .
|AF | |BF | p
（一）
拋物線的簡單幾何性質
把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質
1．開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準二次項是 x 還是 y，一次項的系數是正
還是負．
2．關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸．
3．定值：焦點到準線的距離為 p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為 2p；離心率恒
等于 1.
題型 1：研究拋物線的幾何性質
2 2
1-1 x y．（2024·江蘇·一模）若拋物線 y2 = 2 px的焦點與雙曲線 - =1的右焦點重合，則 p 的值 ．
6 3
1-2．（2024 高二上·湖北孝感·期中）對拋物線 y = 4x2 ，下列描述正確的是
1
A．開口向上，焦點為( 0, 1) B．開口向上，焦點為 (0, )
16
1
C．開口向右，焦點為 (1,0) D．開口向右，焦點為 (0, )
16
1
1-3．（2024 2高二上·江蘇揚州·期中）對拋物線 y = x ，下列描述正確的是（ ）
8
A．開口向上，焦點為 0，2 1B ．開口向上，焦點為 0， ÷
è 32
1
C．開口向右，焦點為 2，0 D．開口向右，焦點為 ，0÷
è 32
1-4．（2024 高二下·四川廣安·階段練習）拋物線 C 與拋物線 x2 = 4y關于 x 軸對稱，則拋物線 C 的準線方程
是（ ）
A． y = -1 B． y=- 2 C． y =1 D． y = 2
題型 2：求拋物線的標準方程
2-1．（24-25 高三上·黑龍江·階段練習）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點為F ，若拋物線上一點M 滿足
| MF |= 2， OFM = 60°，則 p =（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2-2．（2024 高二·全國·專題練習）拋物線C 的頂點為坐標原點O，焦點在 x 軸上，直線 l：x =1交C 于 P ，Q
兩點，且OP ^ OQ．求C 的方程．
2-3．（2024 高二下·河北張家口·開學考試）過拋物線C ： y2 = 2 px（ p > 0）的頂點O，且傾斜角為 60°的直
線與拋物線的另一個交點為A ，若 OA = 8，則拋物線的方程為 ．
1
2-4．（24-25 2高三上·河南焦作·開學考試）已知點 A 2 p +1,3p + ÷在拋物線C : x = 2 py p > 0 上，則 C 的
è 4
焦點與點 1,2 之間的距離為（ ）
A．4 B． 5 C．2 D． 2
（二）
直線與拋物線位置關系的判斷
直線與拋物線的位置關系
直線 y＝kx＋b與拋物線 y2＝2px(p>0) y＝kx＋b，的交點個數決定于關于 x的方程組{y2 2px 解的個數，＝
即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的個數．
當 k≠0 時，Δ>0，兩個交點；Δ＝0，一個交點；Δ<0，無交點．
當 k＝0 時，直線與拋物線的軸平行或重合，直線與拋物線有 1 個公共點．
注：判斷直線與拋物線位置關系時：設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論，
求解交點時不要忽略二次項系數為 0 的情況．
題型 3：直線與拋物線位置關系的判斷及應用
3-1．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線C : x2 = 2 py( p > 0),C 的一條切線方程為 x - y -1 = 0，則C 的準線方
程為 ．
3-2．（2024 高一下·陜西渭南·期末）已知拋物線 y2 =16x 與直線 y = kx +1有且僅有一個交點，則 k = （ ）
A．4 B．2 C．0 或 4 D．8
3-3．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 l : y = k(x +1) ，拋物線C : y2 = 4x ，l 與C 有一個公共點的直線
有（ ）
A．1 條 B．2 條 C．3 條 D．1 條、2 條或 3 條
（三）
直線與拋物線的相交問題
直線與拋物線相交弦長問題
1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為 2p.
2．拋物線的焦點弦：過拋物線 y2＝2px(p>0)的焦點 F 的一條直線與它交于兩點 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則
p2
①y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
4
②|AB |＝x1＋x2＋p；
1 1 2
③ ＋ ＝ .
|AF | |BF | p
注：直線與拋物線的位置關系
1
(1)一般弦長：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋ |y2 1－y2|.k
(2)焦點弦長：|AB|＝x1＋x2＋p.
題型 4：直線與拋物線的相交弦長問題
4-1．（2024 高二下·安徽滁州·開學考試）已知動圓C 過定點F 1，0 ，且與直線 l1： x = -1相切，圓心C 的軌
跡為E ．
(1)求動點C 的軌跡方程；
(2)過點 2 0 π， 作傾斜角為 的直線 l2交軌跡E 于A ， B 兩點，求 AB ．3
4-2．（2024 高二上·浙江寧波·期末）已知拋物線C：y2 = 6x ，過點 P(2，1)的直線 l交拋物線于 A、B兩點，且
弦 AB 被點 P 平分.
(1)求直線 l的方程；
(2)求弦 AB 的長度.
4-3．（2024 高二上·廣東清遠·期末）已知拋物線 y2 = 2 px( p > 0)的準線方程為 x=-1 .
(1)求 p 的值；
(2)直線 y = x - 2交拋物線于A 、 B 兩點，求弦長 AB .
題型 5：拋物線的焦點弦
5-1．（2024 高二下·湖北孝感·開學考試）已知曲線 C 位于 y 軸右側，且曲線 C 上任意一點 P 與定點F 1,0
的距離比它到 y 軸的距離大 1．
(1)求曲線 C 的軌跡方程；
(2)若直線 l 經過點 F，與曲線 C 交于 A，B 兩點，且 | AB |= 8，求直線 l 的方程．
5-2．（2024·遼寧朝陽·模擬預測）過拋物線C ： y2 = 2 px焦點F 的直線與C 交于A ， B 兩點，過點 B 向拋物
線C 的準線作垂線，垂足為D -1, -1 ，則 AB =（ ）
17 25
A． B． C．18 D．20
4 4
5-3．（2024·全國·模擬預測）已知點P a,b a > 0,b > 0 2在拋物線C : y = 2 px p > 0 上，記O為坐標原點，
OP 3= ，以 P 為圓心， OP 為半徑的圓與拋物線C 的準線相切．
2
(1)求拋物線C 的方程；
(2)記拋物線C 的焦點為F ，過點F 作直線 l與直線PF 垂直，交拋物線C 于A ， B 兩點，求弦 AB 的長．
（四）
拋物線的中點弦
1、拋物線的中點弦結論：

若直線 l與拋物線 2 = 2 ( > 0)相交于兩點 A 、 B ， AB中點為 P(x0，y0 ) ，則有 = .0
2、根與系數關系法：聯立直線方程和拋物線方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二
次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
3、點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入拋物線方程，然后作差，
構造出中點坐標和斜率的關系．
題型 6：求拋物線的中點弦
6-1．（2024 高二上·吉林遼源·期中）已知頂點在原點，焦點在 y 軸上的拋物線過點P 2,1 ．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過點Q 1,1 作直線交拋物線于 A、B 兩點，使得 Q 恰好平分線段 AB，求直線 AB 的方程．
6-2．（2024 高二上·陜西·期末）已知拋物線C : y2 = -2 px( p > 0), A -6, y0 是拋物線C 上的點，且 AF =10 .
(1)求拋物線C 的方程；
(2)已知直線 l交拋物線C 于M , N 兩點，且MN 的中點為 -4,2 ，求直線 l的方程.
6-3．（2024 高二上·陜西咸陽·期末）已知拋物線 y2 = 8x，過點P 3,2 引拋物線的一條弦，使它恰在點 P 處
被平分，則這條弦所在的直線 l的方程為（ ）
A． 2x - y - 4 = 0 B． 2x + y - 4 = 0
C． 2x - y + 4 = 0 D． 2x + y + 4 = 0
（五）
拋物線的綜合問題
1．解決拋物線綜合問題的基本策略：可以從直線、拋物線的方程出發，結合解一元二次方程，
經過邏輯推理和數學運算，從代數法的角度推證結論．
2．求距離的最值，常見的解題思路：一是利用拋物線的標準方程進行消元代換，得到有關距
離的含變量的代數式，以計算函數最值來解決，體現了數學計算的核心素養；二是利用數形結
合轉化兩平行線間距離求得，體現了邏輯推理素養，提升直觀想象能力．
題型 7：拋物線的定值、定點問題
7-1．（2024· 2陜西咸陽·模擬預測）已知點F 是拋物線C ：y = 2 px p > 0 的焦點，縱坐標為 2 的點 N 在C 上，
以F 為圓心、 NF 為半徑的圓交 y 軸于D，E ， DE = 2 3 .
(1)求拋物線C 的方程；
(2)過 -1,0 作直線 l與拋物線C 交于A ， B ，求 kNA + kNB 的值.
7-2．（2024 高二下·河北·期末）已知 B 為拋物線 2 = 2 2上一點， A 2,0 ， B 為 AC 的中點，設C 的軌跡
為曲線E ．
(1)求曲線E 的方程；
(2)過點F 1,0 作直線交曲線 E 于點 M、N，點 P 為直線 l： x=-1上一動點．問是否存在點 P 使△MNP為正
三角形？若存在，求出點 P 坐標；若不存在，請說明理由．
7-3．（2024· 2河南信陽·三模）已知拋物線C1 : y = 2 px p > 0 上一點Q 1, a 到焦點的距離為 3.
(1)求 a， p 的值；
(2)設 P 為直線 x=-1上除 -1, - 3 ， -1, 3 2兩點外的任意一點，過 P 作圓C2 : x - 2 + y2 = 3的兩條切線，
分別與曲線C1相交于點A ， B 和C ，D，試判斷A ， B ，C ，D四點縱坐標之積是否為定值？若是，求該
定值；若不是，請說明理由.
7-4．（2024 高二下·四川資陽·期末）過點K (0, -1) 作拋物線G : x2 = 2 py( p > 0)在第一象限部分的切線，切點
為 A，F 為G 的焦點，O為坐標原點，△OAF 的面積為 1．
(1)求G 的方程；
(2)過點P(0, 2)作兩條互相垂直的直線 l1和 l2， l1交G 于 C，D 兩點， l2交G 于 P，Q 兩點，且 M，N 分別為
線段 CD 和 PQ 的中點．直線 MN 是否恒過一個定點？若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由．
題型 8：拋物線的向量問題
8-1．（2024 高二下·四川內江·期中）已知點F 0,2 ，直線 l : y = -2交 y 軸于點 H，點 M 是 l 上的動點，過
點 M 且垂直于 l 的直線與線段 MF 的垂直平分線交于點 P．
(1)求點 P 的軌跡 C 的方程：
uuur uuur
(2)若 A、B 為軌跡 C 上的兩個動點，且OA ×OB = -16，證明直線 AB 必過定點，并求出該定點．
3 1
8-2．（2024·甘肅定西·模擬預測）已知點 M 到點F 0, 2 ÷的距離比它到直線 l：
y = -2的距離小 ，記動點 M
è 2
的軌跡為 E.
(1)求 E 的方程；
(2)若過點 F 的直線交 E 于 A x1, y1 ，B x2 , y2 兩點，則在 x 軸的正半軸上是否存在點 P，使得 PA，PB 分
uuur uuur
別交 E 于另外兩點 C，D，且 AB = 3CD ？若存在，請求出 P 點坐標，若不存在，請說明理由.
一、單選題
1．（2024·河南安陽·模擬預測）已知拋物線C : y2 = 4x 與圓E : (x -1)2 + y2 = 4 交于 A，B 兩點，則 | AB |=
（ ）
A．2 B． 2 2 C．4 D．4 2
2 x
2 y2
．（2024 高二上·江蘇南通·期末）已知 P 為雙曲線C : - =1與拋物線 y2 = 2x的交點，則 P 點的橫坐標
3 3
為（ ）
A．3 B．2 C． 6 D．-1
3．（2024 高二·全國·課后作業）直線 y = k x -1 + 2與拋物線 x2 = 4y的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
4．（2024·北京海淀·二模）已知拋物線C : y2 = 4x ，經過點 P 的任意一條直線與 C 均有公共點，則點 P 的坐
標可以為（ ）
A．( 0, 1) B． (1, -3) C． (3, 4) D． (2,-2)
5．（2024 2高二上·貴州銅仁·期末）過拋物線 y = 2 px p > 0 的焦點F 作直線，交拋物線于 A x0 , y1 ，
B 5 - x0 , y2 兩點，若 AB = 8，則 p =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024 高二上·全國·課后作業）拋物線的頂點在原點，對稱軸是 x 軸，拋物線上的點 (-5, m)到焦點的距
離是 6，則拋物線的方程為（ ）
A． y2 = -2x B． y2 = -4x
C． y2 = 2x D． y2 = -4x 或 y2 = -36x
7．（2024 高二下·河南焦作·期末）已知拋物線 C： y2 = 4x的焦點為 F，A 是 C 上一點，O 為坐標原點，若
AF = OF + 3，則VAOF 的面積為（ ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D．6
8．（2024 高二上·陜西渭南·期末）設F 為拋物線C : y2 = 4x 的焦點，過點F 的直線 l交C 于 A x1, y1 , B x2 , y2
兩點，若 AB = 8 2 2，則 y1 + y2 =（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
9．（2024·河北·三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數學發
展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質．已知拋物線
y2 = 4x，過焦點的弦 AB 的兩個端點的切線相交于點M ，則下列說法正確的是（ ）
A．M 點必在直線 x = -2上，且以 AB 為直徑的圓過M 點
B．M 點必在直線 x=-1上，但以 AB 為直徑的圓不過M 點
C．M 點必在直線 x = -2上，但以 AB 為直徑的圓不過M 點
D．M 點必在直線 x=-1上，且以 AB 為直徑的圓過M 點
10．（2024 高二上·廣西河池·期末）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行
于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線
y2 =16x 的焦點為F ，一條平行于 x 軸的光線從點P 4,4 2 射出，經過拋物線上的點A 反射后，再經拋物
線上的另一點 B 射出，則VPAB 的面積為（ ）
A．4 B． 6 2 C．12 2 D． 24 2
1
11．（2024 2高二下·福建泉州·期末）已知拋物線 Γ：y = x4 的焦點為F ，過F 的直線 l交G于點
A, B，分別在
1 1
點 A, B處作G的兩條切線，兩條切線交于點 P ，則 +PA 2 PB 2 的取值范圍是（ ）
A． 0,1 B ． 0,
1 ù 1 1 1 ù
ú C
ù
2 ．
0, D． ,
è è 4ú è 4 2ú
12．（2024 高二下·浙江·期末）過點G 2,2 作兩條直線分別交拋物線 y2 = 2x于A ，B 兩點，記直線GA，GB
的斜率分為 k1， k2 ，若 k1 + k2 = 5， k1 × k2 = -2，則直線 AB 的方程為（ ）
A．2x + 9 y +12 = 0 B．2x - 9 y -12 = 0
C．4x +18y +13 = 0 D．4x -18y -13 = 0
二、多選題
13．（2024 高二上·全國·課后作業）（多選）設拋物線 y2 = 8x的準線與 x 軸交于點 Q，若過點 Q 的直線 l 與
拋物線有公共點，則直線 l 的斜率可以是（　　）
A． - 2 B． -1
C．1 D．2
14．（2024 2高二下·安徽·期末）已知O為坐標原點，拋物線C : y = 2 px p > 0 的焦點F 到其準線的距離為
4，過點F 作直線 l交C 于M ， N 兩點，則（ ）
π
A．C 的準線為 x = -2 B． MON 的大小可能為
2
C． MN 的最小值為 8 D． MF NF = 2 MF + NF
15．（2024 高二下·湖北襄陽·階段練習）已知拋物線C : x2 = 4 y的焦點為 F，點 P 為 C 上任意一點，若點
M 1,3 ，下列結論錯誤的是（ ）
A． PF 的最小值為 2
B．拋物線 C 關于 x 軸對稱
C．過點 M 與拋物線 C 有一個公共點的直線有且只有一條
D．點 P 到點 M 的距離與到焦點 F 距離之和的最小值為 4
16．（2024 高二上·安徽阜陽·期末）若直線 y = k x +1 與拋物線 x2 = 2 y 只有一個交點，則 k 的可能取值為
（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．0
17．（2024 2高三下·安徽·開學考試）若經過點P 1,3 的直線與拋物線C : y = 2 px p > 0 恒有公共點，則 C 的
準線可能是（ ）．
A． x = -2 B． x = -3
C． x = - 2 D． x = -2 2
18．（2024 高二· 2全國·課后作業）經過拋物線 y = 2 px p > 0 的焦點F 的直線交拋物線于A ， B 兩點，設
A x1, y1 ，B x2 , y2 ，則下列說法中正確的是（ ）
1 1 2
A．當 AB 與 x 軸垂直時， AB 最小 B． + =AF BF p
p
C 2．以弦 AB 為直徑的圓與直線 x = - 相離 D． y1 y2 2
= - p
三、填空題
19．（2024 高二上·湖南長沙·階段練習）已知直線 l 過拋物線 C： y2 = 4x的的焦點且與 C 交于 A，B 兩點，
線段 AB 中點的橫坐標 3，則 AB = ．
20．（2024 高二上·全國· 2課后作業）過拋物線 y = 2 px p > 0 的焦點作一直線交拋物線于 A x1, y1 、B x2 , y2
兩點，則 kOAkOB 的值是 ．
3π
21．（2024高三下·上海寶山·期中）過拋物線 x2 = 4y的焦點且傾斜角為 的直線被拋物線截得的弦長為 .
4
22．（2024 高二下·安徽·期末）已知拋物線 y2 = 2 px( p > 0)的焦點為F ，過F 的動直線 l與拋物線交于 A, B
兩點，滿足 AB = 4的直線 l有且僅有一條，則 p = ．
23．（2024 高二上·甘肅慶陽·期末）已知點P 2,1 ，若拋物線 y2 = 4x的一條弦 AB 恰好是以 P 為中點，則弦
AB 所在直線方程是 ．
24．（2024 高二下·湖北孝感·階段練習）已知 M 是拋物線 y2 = 6x 上一點，則點 M 到直線3x - 4y +12 = 0的最
短距離為 ．
25．（2024 2高二下·山東青島·期中）在坐標平面 xOy 內，拋物線C : x = 2 py p > 0 的準線為 l : y = -1，點
P x0 , y0 0 < y0 <1 是C 上一點，且PP ^ l ，垂足為P ，連接OP 交C 于點Q，則直線 PQ在 y 軸上的截距
O PQ 3
PQ
為 ；若點 到 的距離為 ，則 =
2 PP
.
26．（2024·全國·模擬預測）已知在四面體 ABCD中，AB 2 3= AC = BC = BD = CD = AD = 2，點 E 在VABC
3
內運動（含邊界位置），記平面 ABC 與平面BCD所成的角為a ，若 4S△ADE ×sina = 3S△BCE ×sin DAE ，則 SVBCE
的最大值為 .
四、解答題
27．（2024 高二上·全國·課后作業）根據下列條件寫出拋物線的標準方程：
（1）焦點是F 3,0 ；
（2）準線方程是 x
1
= - ；
4
（3）焦點到準線的距離是 2．
28．（2024 高二上· 2陜西延安·期末）已知拋物線C ： y = 2 px p > 0 的準線方程為 x=-1．
(1)求拋物線C 的方程；
(2)直線 l： y = x -1交拋物線C 于A 、 B 兩點，求弦長 AB ．
29．（2024 高二上·全國·課前預習）設直線 l : y = kx +1，拋物線C : y2 = 4x ，當 k 為何值時，l與C 相切 ？相
交？相離？
30．（2024 高二下·陜西漢中·期末）在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 y2 = 2 px( p > 0)上一點 P 的橫坐標為
4，且點 P 到焦點 F 的距離為 5．
(1)求拋物線的方程；
uuur uuur
(2) 9若直線 l : x = my + t交拋物線于 A，B 兩點（位于對稱軸異側），且OA ×OB = ，求證：直線 l 必過定點．
4
31．（2024· 2河北唐山·二模）已知拋物線C ：y = 2 px p > 0 的焦點為F ，A 為C 上一點，B 為準線 l上一點，
uuur uuur
BF = 2FA ， AB = 9
(1)求C 的方程；
(2) M ， N ，E x0 ,-2 是C 上的三點，若 kEM + kEN =1，求點E 到直線MN 距離的最大值．
32．（2024 高二下·廣東汕尾·期末）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 過點 a, 2 a （ a > 0）．
(1)求 C 的方程；
(2)若斜率為 3的直線過 C 的焦點，且與 C 交于 A，B 兩點，求線段 AB 的長度．
33 2024 · · x
2
．（ 高三 全國 專題練習）已知橢圓 + y2 =1，設直線 l 同時與橢圓和拋物線 y2 = 4x各恰有一個公
2
共交點，求直線 l 的方程．
34．（2024 2高二下·上海浦東新·期中）已知拋物線 y = 2 px p > 0 ，其焦點 F 到準線的距離為 2.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若 O 為坐標原點，斜率為 2 且過焦點 F 的直線 l 交此拋物線于 A、B 兩點，求VAOB 的面積.
35．（2024 高二上·廣西北海·期末）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) ，其準線方程為 x = -2．
(1)求拋物線C 的方程；
(2)不過原點O的直線 l : y = x + m與拋物線交于不同的兩點P,Q ，且OP ^ OQ，求m 的值．
36．（2024 高二上·山東濱州·期中）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點為 F ，點 P x0，y0 在拋物線 C 上，
且 | PF |= x0 +1.
(1)求拋物線 C 的標準方程；
(2)若直線 l : x - y - 2 = 0與拋物線C 交于 A, B兩點，求△ABF 的面積.
37．（2024 2高二上·河南·階段練習）已知拋物線C : y = 2 px p > 0 ，其焦點 F 到其準線的距離為 2，過焦點
F 且傾斜角為 45°的直線 l 交拋物線 C 于 A，B 兩點，
(1)求拋物線 C 的方程及其焦點坐標；
(2)求 AB ．
38．（2024 高三上·四川內江·期末）已知直線 l與拋物線C : y2 = 8x 相交于A 、 B 兩點.
(1)若直線 l過點Q 4,1 ，且傾斜角為 45o ，求 AB 的值；
(2)若直線 l過點Q 4,1 ，且弦 AB 恰被Q平分，求 AB 所在直線的方程.
39 2．（2024 高三下·貴州黔東南·階段練習）已知拋物線C : y = 2 px 0 < p < 8 的焦點為F ，點M 4,0 ，點E
在C 上，且△EFM 是以E 為頂點的等腰三角形，其周長為 10.
(1)求拋物線C 的標準方程；
(2)若過點M 的直線與C 交于 A， B 兩點，點 N 4,4 與 A， B 不共線，判斷是否存在實數 t，使得直線 AN ，
BN 與直線 x = t 交于點 P ，Q，且以線段 PQ為直徑的圓過原點，若存在，求出 t的值；若不存在，請說明
理由.
40．（2024 高二上·云南大理·期末）在平面直角坐標系 xOy 中，已知拋物線C ： y2 = 2 px經過點 A 1,2 ，直
線 l： y = kx + b與拋物線 C 交于 M，N 兩點.
(1)求拋物線 C 的方程；
(2)當 AM ^ AN 時，若對任意滿足條件的實數 k ，都有b = mk + n（m，n 為常數），求m + n的值.
41．（2024 高二下·貴州黔東南·階段練習）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點F 關于拋物線C 的準線的對
稱點為P(-9,0)．
(1)求拋物線C 的方程；
(2)過點F 作斜率為 4 直線 l，交拋物線C 于A ， B 兩點，求 AB ．
42．（2024 高二上·全國·課后作業）直線 l : y = 2x +1與拋物線 y2 =12x交于 A x1, y1 , B x2 , y2 兩點，求線段
AB 的長．
43．（2024 2高二下·四川達州·期末）已知拋物線E : y = 2 px p > 0 上任意一點 M 到焦點 F 的距離比 M 到 y
軸的距離大 1．
(1)求 E 的標準方程；
(2) l1 I l2 = F ， l1 ^ l2， l1交 E 于 A，C 兩點， l2交 E 于 B，D 兩點．求四邊形 ABCD 的面積的最小值．
44．（2024 高二下·浙江杭州·期末）設拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) ，過焦點F 的直線與拋物線C 交于點
A x1, y1 ，B x2 , y2 .當直線 AB 垂直于 x 軸時， AB = 2 .
(1)求拋物線C 的標準方程.
(2)已知點P 1,0 ，直線 AP ，BP分別與拋物線C 交于點C ，D .
①求證：直線CD過定點；
②求VPAB 與△PCD面積之和的最小值.
45．（2024·河北衡水·模擬預測）已知點M (1,-2) 在拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 上，過點 N (0, -1)的直線 l與C 相
交于 A, B兩點，直線MA, MB分別與 y 軸相交于點D, E .
(1)當弦 AB 的中點橫坐標為 3 時，求 l的一般方程;
uuur uuur uuur uuur mn
(2)設O為原點，若DN = mON , EN = nON ，求證: 為定值.
m + n
46．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，直線 l : x = -2與 x 軸交于點A ，過 l右側
的點 P 作PM ^ l，垂足為M ，且 PA = PM + OA ．
(1)求點 P 的軌跡C 的方程；
uuur uuur
(2)過點B 1,0 的動直線 l 交軌跡C 于 S ,T ，設Q -3,0 ，證明：QS ×QT 為定值．
47．（2024·福建福州·二模）已知拋物線 E： y2 = 2 px（p>0），過點 -2,0 的兩條直線 l1，l2分別交 E 于 AB
2
兩點和 C，D 兩點．當 l1的斜率為 時， AB = 13.3
(1)求 E 的標準方程：
(2)設 G 為直線 AD 與 BC 的交點，證明：點 G 必在定直線上．
48．（2024·
2
陜西西安·一模）已知拋物線C1：x2 = 2 py( p > 0)和圓C 22： x +1 + y = 2，傾斜角為 45°的直線 l1過C1
的焦點且與C2 相切．
(1)求 p 的值：
uuuur uuur uuur
(2)點 M 在C1的準線上，動點 A 在C1上，C1在 A 點處的切線 l2交 y 軸于點 B，設MN = MA + MB ，求證：
點 N 在定直線上，并求該定直線的方程．3.3.2 拋物線的簡單幾何性質 8 題型分類
一、拋物線的簡單幾何性質
y2＝
類型 y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
2px(p>0)
圖象
p p p p
焦點 F( ，0 ) F(－ ，0) F(0， F 0，－2 2 2 ) ( 2)
p p p p
準線 x＝－ x＝ y＝－ y＝
2 2 2 2
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
性質
對稱軸 x 軸 y 軸
頂點 O(0,0)
離心率 e＝1
開口方向 向右 向左 向上 向下
二、焦半徑公式
設拋物線上一點 P 的坐標為 (x0 , y0 ) ，焦點為 F .
1．拋物線 y2 = 2 px( p > 0) ， PF = x p0 + = x
p
2 0
+ .
2
2．拋物線 y2 = -2 px( p > 0) ， PF x p p= 0 - = -x0 + .2 2
3．拋物線 x2 = 2 py( p > 0) ， PF y p p= 0 + = y0 + .2 2
4．拋物線 x2 = -2 py( p > 0) ， PF = y p p0 - = -y0 + .2 2
三、直線與拋物線的位置關系
直線 y＝kx＋b 與拋物線 y2＝2px(p>0)的交點個數決定于關于 x {y＝kx＋b，的方程組 y2＝2px 解的
個數，即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的個數．
當 k≠0 時，
若 Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；
若 Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；
若 Δ<0，直線與拋物線沒有公共點．
當 k＝0 時，直線與拋物線的軸平行或重合，直線與拋物線有 1 個公共點．
四、直線與拋物線相交弦長問題
1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為 2p.
2．拋物線的焦點弦：過拋物線 y2＝2px(p>0)的焦點 F 的一條直線與它交于兩點 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則
p2
①y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
4
②|AB |＝x1＋x2＋p；
1 1 2
③ ＋ ＝ .
|AF | |BF | p
（一）
拋物線的簡單幾何性質
把握三個要點確定拋物線的簡單幾何性質
1．開口：由拋物線標準方程看圖象開口，關鍵是看準二次項是 x 還是 y，一次項的系數是正
還是負．
2．關系：頂點位于焦點與準線中間，準線垂直于對稱軸．
3．定值：焦點到準線的距離為 p；過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為 2p；離心率恒
等于 1.
題型 1：研究拋物線的幾何性質
2 2
1-1．（2024·江蘇·一模）若拋物線 y2 = 2 px x y的焦點與雙曲線 - =1的右焦點重合，則 p 的值 ．
6 3
【答案】6
x2 y2
【詳解】試題分析：根據題意，由于雙曲線 - =1的 a2 = 6,b2 = 3,c2 = a2 +b2 = 9\c = 3右焦點坐標為
6 3
p p
（3,0），因此可知拋物線 y2 = 2 px的焦點（ ,0）= ( 3,0)\ = 3\ p = 6 ,故答案為 6
2 2
考點：考查了拋物線與雙曲線的性質．.
點評：解決該試題的關鍵是利用雙曲線的右焦點坐標得到拋物線的焦點坐標，然后得到參數 p 的值，屬于
基礎題．
1-2．（2024 高二上·湖北孝感·期中）對拋物線 y = 4x2 ，下列描述正確的是
1
A．開口向上，焦點為( 0, 1) B．開口向上，焦點為 (0, )
16
1
C．開口向右，焦點為 (1,0) D．開口向右，焦點為 (0, )
16
【答案】B
y 2
【詳解】解：因為拋物線 y = 4x2 ，可知化為標準式為拋物線 = x ，2p=1/4，故焦點在 y 軸上，開口向上，
4
1
焦點坐標為 (0, ) ，選 B
16
1
1-3．（2024 2高二上·江蘇揚州·期中）對拋物線 y = x ，下列描述正確的是（ ）
8
A
1
．開口向上，焦點為 0，2 B．開口向上，焦點為 0，32 ÷è
1
C．開口向右，焦點為 2，0 D．開口向右，焦點為 ，0
è 32 ÷
【答案】A
【解析】將拋物線方程改寫為標準方程形式 x2 = 8y，則可根據該方程判斷開口方向，以及焦點坐標.
【詳解】由題知，該拋物線的標準方程為 x2 = 8y，
則該拋物線開口向上，焦點坐標為 0,2 .
故選：A.
1-4．（2024 高二下·四川廣安·階段練習）拋物線 C 與拋物線 x2 = 4y關于 x 軸對稱，則拋物線 C 的準線方程
是（ ）
A． y = -1 B． y=- 2 C． y =1 D． y = 2
【答案】C
【分析】由題意求得拋物線 C 的方程，即可得出拋物線 C 的準線方程.
【詳解】∵拋物線 C 與拋物線 x2 = 4y關于 x 軸對稱，
∴拋物線 C 的方程為 x2 = -4y，
∴拋物線 C 的準線方程是 y =1.
故選：C.
題型 2：求拋物線的標準方程
2-1．（24-25 高三上·黑龍江·階段練習）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點為F ，若拋物線上一點M 滿足
| MF |= 2， OFM = 60°，則 p =（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根據拋物線定義及焦點與準線距離列方程求參數即可.
【詳解】
過M 分別向 x 軸和準線做垂線,垂足分別為 A, N ，
根據拋物線定義，有 MF = MN = 2，
所以 p =| MN | + | MF | ×cos 60° = 3 .
故選：A
2-2．（2024 高二·全國·專題練習）拋物線C 的頂點為坐標原點O，焦點在 x 軸上，直線 l： x =1交C 于 P ，Q
兩點，且OP ^ OQ．求C 的方程．
【答案】 y2 = x
【分析】設出拋物線方程，根據題目條件求出參數，即可得出方程.
【詳解】設拋物線C 的方程為 y2 = 2 px（ p > 0）．
由題意知P 1, 2 p ，Q 1, - 2 p ，
因為OP ^ OQ，
uuur uuur
則OP ×OQ = 0 ，
uuur uuur
即OP ×OQ =1- 2 p = 0，
1
解得 p = ．
2
所以拋物線C 的方程為 y2 = x ．
2-3．（2024 高二下·河北張家口·開學考試）過拋物線C ： y2 = 2 px（ p > 0）的頂點O，且傾斜角為 60°的直
線與拋物線的另一個交點為A ，若 OA = 8，則拋物線的方程為 ．
【答案】 y2 =12x
【分析】過點A 向 x 軸作垂線，求得A 坐標，即可求解.
【詳解】過點A 向 x 軸作垂線，垂足記為 B ,
由題意可知 OB = 4, AB = 4 3 ，所以點A 坐標為 4,4 3 ，
代入拋物線方程得 48 = 8p ，所以 p = 6
故答案為： y2 =12x
1
2-4 2．（24-25 高三上·河南焦作·開學考試）已知點 A 2 p +1,3p + ÷在拋物線C : x = 2 py p > 0 上，則 C 的
è 4
焦點與點 1,2 之間的距離為（ ）
A．4 B． 5 C．2 D． 2
【答案】D
【分析】根據A 在拋物線上可求 p 的值，求出焦點坐標后結合距離公式可得正確的選項.
2
【詳解】因為A 在拋物線上，故 2 p +1 = 2 p 3p 1+ 4 ÷，è
2 2 p 2 7 p
整理得到： 4 p + 4 p +1 = 6 p + 即 2 p - -1 = 0 ，
2 2
解得 p = 2 p 1或 = - （舍），故焦點坐標為( 0, 1)4 ，
故所求距離為 12 + 2 -1 2 = 2 ，
故選：D.
（二）
直線與拋物線位置關系的判斷
直線與拋物線的位置關系
y＝kx＋b，
直線 y＝kx＋b與拋物線 y2＝2px(p>0)的交點個數決定于關于 x的方程組{y2 2px 解的個數，＝
即二次方程 k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 解的個數．
當 k≠0 時，Δ>0，兩個交點；Δ＝0，一個交點；Δ<0，無交點．
當 k＝0 時，直線與拋物線的軸平行或重合，直線與拋物線有 1 個公共點．
注：判斷直線與拋物線位置關系時：設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論，
求解交點時不要忽略二次項系數為 0 的情況．
題型 3：直線與拋物線位置關系的判斷及應用
3-1．（2024·全國·模擬預測）已知拋物線C : x2 = 2 py( p > 0),C 的一條切線方程為 x - y -1 = 0，則C 的準線方
程為 ．
【答案】 y +1 = 0
ìx2 =2py
【分析】由 í ，消去 y 得 x2 - 2 px + 2 p = 0，由D = 0求出 ，從而求得準線方程．
x- y- 1=0
ìx2 =2py
【詳解】由 í ，消去 y 得 x2 - 2 px + 2 p = 0，
x- y- 1=0
2
由題意D = -2 p - 4 2 p = 0，解得 p=2，
則拋物線方程為： x2 = 4y，
所以拋物線的準線方程為： y = -1，即 y +1 = 0．
故答案為： y +1 = 0．
3-2．（2024 高一下·陜西渭南·期末）已知拋物線 y2 =16x 與直線 y = kx +1有且僅有一個交點，則 k = （ ）
A．4 B．2 C．0 或 4 D．8
【答案】C
ì y2 =16x
k 2 2【分析】聯立 í 得： x + 2k -16 x +1 = 0，再分 k = 0與 k 0討論即可求解
y = kx +1
ì y2 =16x 2
【詳解】聯立 í 得： k x2 + 2k -16 x +1 = 0，
y = kx +1
1
當 k = 0

時，交點為 ,1÷，滿足題意；
è16
當 k 0時，由D = 2k -16 2 - 4k 2 = 0，解得 k = 4，
綜上可知： k = 0或 k = 4，
故選：C
3-3．（2024 高二上·全國·課后作業）已知直線 l : y = k(x +1) ，拋物線C : y2 = 4x ，l 與C 有一個公共點的直線
有（ ）
A．1 條 B．2 條 C．3 條 D．1 條、2 條或 3 條
【答案】C
【分析】將直線方程和拋物線方程聯立，使得方程僅有一個實數根，求出對應的 k 的取值個數即可.
【詳解】聯立直線 l : y = k(x +1) 和拋物線C : y2 = 4x 方程可得 k 2(x +1)2 = 4x，
2 2 2
整理可得 k x + 2k - 4 x + k 2 = 0，
直線 l 與C 有一個公共點等價于方程只有一個實數根，
當 k = 0時，方程為-4x = 0僅有一解，符合題意；
k 0 k 2x2 2 2當 時，一元二次方程 + 2k - 4 x + k = 0僅有一解，
即D = 2k 2 2- 4 - 4k 2 × k 2 = 0，解得 k = ±1，
所以滿足題意得直線有三條，即 y = 0 ， y = x +1和 y=- x- 1.
故選：C
（三）
直線與拋物線的相交問題
直線與拋物線相交弦長問題
1．拋物線的通徑(過焦點且垂直于軸的弦)長為 2p.
2．拋物線的焦點弦：過拋物線 y2＝2px(p>0)的焦點 F 的一條直線與它交于兩點 A(x1，y1)，
B(x2，y2)，則
p2
①y1y2＝－p2，x1x2＝ ；
4
②|AB |＝x1＋x2＋p；
1 1 2
③ ＋ ＝ .
|AF | |BF | p
注：直線與拋物線的位置關系
1
(1)一般弦長：|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋ |y1－y2|.
k2
(2)焦點弦長：|AB|＝x1＋x2＋p.
題型 4：直線與拋物線的相交弦長問題
4-1．（2024 高二下·安徽滁州·開學考試）已知動圓C 過定點F 1，0 ，且與直線 l1： x = -1相切，圓心C 的軌
跡為E ．
(1)求動點C 的軌跡方程；
π
(2)過點 2，0 作傾斜角為 的直線 l2交軌跡E 于A ， B 兩點，求 AB ．3
【答案】(1) y2 = 4x
(2) 8 7
3
【分析】（1）設C x, y ，利用題中條件建立等式，可求動點C 的軌跡方程；
（2）直線與曲線聯立方程組，利用韋達定理和弦長公式計算弦長.
【詳解】（1）設C x，y ，由動圓C 過定點F 1，0 ，且與直線 l1： x = -1相切，
\ (x -1)2 + y2 = x +1 ，整理得 y2 = 4x，
故動點C 的軌跡方程為 y2 = 4x．
（2）設 A x1，y1 ，B x2，y2 ，直線 l2的方程為 y = 3 x - 2 ，
ì y = 3 x - 2 ì x1 + x
16
2 =
則由 í 2 ，整理得3x
2 -16x +12 = 0 ,\í 3 ，
y = 4x x1x2 = 4
AB (x x )2 (y y )2
2
1 3 (x x )2 4x x 8 7\ = 1 + 2 + 1 + 2 = + 1 + 2 - 1 2 = ．3
4-2．（2024 高二上·浙江寧波·期末）已知拋物線C：y2 = 6x ，過點 P(2，1)的直線 l交拋物線于 A、B兩點，且
弦 AB 被點 P 平分.
(1)求直線 l的方程；
(2)求弦 AB 的長度.
【答案】(1) y = 3x - 5
2
(2) 110.
3
【分析】（1）由點差法得出斜率，再寫出方程；
（2）聯立直線和拋物線方程，由韋達定理以及弦長公式求出弦 AB 的長度.
【詳解】（1）設 A x1, y1 , B x2 , y2 則 y1 + y2 = 2，
ìy21 = 6x
由 í 12 ，可得 y1 - y2 y1 + y2 = 6 x1 - x2
y2 = 6x2
k y1 - y 6所以 l = 2 = = 3，得直線 l的方程為 y = 3x - 5x .1 - x2 y1 + y2
ì y2 = 6x
（2）聯立方程 í ，得 y2 - 2y -10 = 0，
y = 3x - 5
得 y1 + y2 = 2, y1 y2 = -10，所以
AB 1 1= + 2 y
1
k 1
- y2 = 1+ y + y 2 - 4y y 2= 110.
AB 9 1 2 1 2 3
4-3．（2024 高二上·廣東清遠·期末）已知拋物線 y2 = 2 px( p > 0)的準線方程為 x=-1 .
(1)求 p 的值；
(2)直線 y = x - 2交拋物線于A 、 B 兩點，求弦長 AB .
【答案】(1)2；
(2) 4 6 .
【分析】（1）根據給定拋物線方程，求出其準線方程即可計算作答；
（2）聯立直線 y = x - 2與拋物線方程，結合韋達定理求出弦長作答.
【詳解】（1）拋物線 y2
p p
= 2 px( p > 0)的準線方程為 x = - ，依題意，- = -1，解得 p = 2 ，
2 2
所以 p 的值為 2.
（2）由（1）知，拋物線 y2 = 4x，設點 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
ìy = x - 2
由 íy2 消去 y 得：
2
= 4x x -8x + 4 = 0，D = 8
2 - 4 4 = 48 > 0，則 x1 + x2 = 8， x1x2 = 4，

2 2
所以 AB = x1 - x2 + y1 - y2
= x1 - x
2
2 + x1 - x2
2
= 2 × (x + x 21 2 ) - 4x1x2
= 2 × 82 - 4 4
= 4 6 .
題型 5：拋物線的焦點弦
5-1．（2024 高二下·湖北孝感·開學考試）已知曲線 C 位于 y 軸右側，且曲線 C 上任意一點 P 與定點F 1,0
的距離比它到 y 軸的距離大 1．
(1)求曲線 C 的軌跡方程；
(2)若直線 l 經過點 F，與曲線 C 交于 A，B 兩點，且 | AB |= 8，求直線 l 的方程．
【答案】(1) y2 = 4x(x > 0) ；
(2) x + y -1 = 0 或 x - y -1 = 0．
【分析】(1)根據題意可知曲線 C 的軌跡為拋物線，進而可知 p = 2 ，即可得軌跡方程；
(2)設直線方程為 y = k(x -1)，聯立直線與拋物線方程借助韋達定理求得弦長的表達式，解出 k = ±1，進而得
直線方程.
【詳解】（1）由題意動點P(x, y)(x > 0)與定點F (1,0)的距離和它到直線 x=-1的距離相等，
p
所以，曲線 C 是以 F 為焦點，直線 x=-1為準線的拋物線（去掉頂點）， =1, p = 2，
2
所以曲線 C 的軌跡方程是 y2 = 4x(x > 0) ；
（2）若直線 AB 斜率不存在，則 | AB |= 4不合題意，因此直線 AB 斜率存在，
設直線 AB 方程為 y = k(x -1) 2 2 2 2，代入曲線 C 方程整理得 k x - 2k + 4 x + k = 0，
2
設 A x1, y1 , B x , y 2k + 4 42 2 ，則 x1 + x2 = 2 = 2 + 2 ，k k
| AB |=| AF | + | BF |= x1 + x
4
2 + p = 2 + 2 + 2 = 8,k = ±1，k
所以直線 AB 方程為 y = ±(x -1)，即 x + y -1 = 0 或 x - y -1 = 0．
5-2．（2024·遼寧朝陽·模擬預測）過拋物線C ： y2 = 2 px焦點F 的直線與C 交于A ， B 兩點，過點 B 向拋物
線C 的準線作垂線，垂足為D -1, -1 ，則 AB =（ ）
17 25
A． B． C．18 D．20
4 4
【答案】B
【分析】依題意拋物線的準線為 x = -1，即可求出 p ，從而求出拋物線方程，再由 yB = -1，求出 xB ，從而
求出直線 AB 的方程，聯立直線與拋物線方程，求出 xA，再根據焦半徑公式計算可得.
p
【詳解】依題意拋物線的準線為 x = -1，即- = -1，解得 p = 2 ，
2
所以拋物線方程為 y2 = 4x，則焦點為F 1,0 ，又 yB = -1 2
1
，所以 -1 = 4xB，解得 xB = ，4
1
所以B , -1

÷，
è 4
k -1 4BF = 1 = - 4所以 1 3 ，所以直線 AB 的方程為 y = - x -1- ，
4 3
ìy2 = 4x
1
由 í 4 ，消去 y 整理得 4x
2 -17x + 4 = 0，解得 x1 = 、 x2 = 4 ，
y = - x -1 4 3
即 xA = 4，
所以 AB = x
1 25
A + xB + p = + 4 + 2 = .4 4
故選：B
5-3．（2024·全國·模擬預測）已知點P a,b a > 0,b > 0 2在拋物線C : y = 2 px p > 0 上，記O為坐標原點，
OP 3= ，以 P 為圓心， OP 為半徑的圓與拋物線C 的準線相切．
2
(1)求拋物線C 的方程；
(2)記拋物線C 的焦點為F ，過點F 作直線 l與直線PF 垂直，交拋物線C 于A ， B 兩點，求弦 AB 的長．
【答案】(1) y2 = 4x
(2)36
ì a2 b2 3 + =
22
【分析】（1）首先得到拋物線的準線方程，依題意可得 íb = 2 pa ，解得 a、b 、 p ，即可得解；

a p 3+ =
2 2
1
（2）由（1）可得 P , 2 ÷，F2 1,0 ，即可求直線 l的方程，聯立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，è
由焦點弦公式計算可得.
p p
【詳解】（1）拋物線C : y2 = 2 px p > 0 的焦點為F ,0 ，準線方程為 x = - ，
è 2 ÷ 2
ì a2 3
ì
+ b2 = a
1
= ì
2 a
3
=
2 2
2
依題意可得 íb = 2 pa ，解得 íb = 2 或 íb = 0 ，又 a > 0、b > 0、 p > 0，

a p 3

+ =
p = 2 p = 0
2 2
ì 1
a = 2

所以 íb = 2 ，所以拋物線方程為 y2 = 4x .

p = 2

P 12 1 k
2 - 0
=
（ ）由（ ）可得 , 2 ÷，F 1,0 ， PF2 1
= -2 2
，
è -1
2
-1 2
因為直線 l ^直線PF ，所以 kl = = ，kPF 4
2
所以直線 l的方程為 y = x -1 ，即 x = 2 2y +1，
4
ì x = 2 2y +1
由 í ，消去 x 整理得 y2 -8 2y - 4 = 0，
y
2 = 4x
設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，所以 y1 + y2 = 8 2 ，
所以 x1 + x2 = 2 2 y1 + y2 + 2 = 2 2 8 2 + 2 = 34，
所以 AB = x1 + x2 + p = 36 .
（四）
拋物線的中點弦
1、拋物線的中點弦結論：

若直線 l與拋物線 2 = 2 ( > 0)相交于兩點 A 、 B ， AB中點為 P(x0，y0 ) ，則有 = .0
2、根與系數關系法：聯立直線方程和拋物線方程構成方程組，消去一個未知數，利用一元二
次方程根與系數的關系以及中點坐標公式解決.
3、點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入拋物線方程，然后作差，
構造出中點坐標和斜率的關系．
題型 6：求拋物線的中點弦
6-1．（2024 高二上·吉林遼源·期中）已知頂點在原點，焦點在 y 軸上的拋物線過點P 2,1 ．
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過點Q 1,1 作直線交拋物線于 A、B 兩點，使得 Q 恰好平分線段 AB，求直線 AB 的方程．
【答案】(1) x2 = 4y
(2) x - 2y +1 = 0
【分析】（1）設出拋物線的標準方程為 x2 = 2 py ，代入已知點的坐標求得參數 p ，得拋物線方程；
（2）設點 A x1, y1 , B x2 , y2 ，代入拋物線方程相減求得直線斜率后可得直線方程．
【詳解】（1）因為頂點在原點，焦點在 y 軸上的拋物線過點P 2,1 ，
所以拋物線的焦點在 y 軸正半軸，設其方程為 x2 = 2 py ，
將點P 2,1 代入可得 4 = 2 p ，所以 p = 2 ，
所以拋物線的標準方程為 x2 = 4y，
1
（2）拋物線 x2 = 4y中， x = 2時， y = <1， P 在拋物線內部，可以為弦的中點．
2
設點 A x1, y1 , B x2 , y2 ，直線 AB 斜率為 k
點 A x1, y1 , B x2 , y 2 22 在拋物線上，所以 x1 = 4y1, x2 = 4y2
2 2
所以 x1 - x2 = 4 y1 - y k
x1 + x2 1
2 ，即 = = ，4 2
所以直線方程為 x - 2y +1 = 0．
經檢驗，直線 x - 2y +1 = 0符合題意.
6-2．（2024 高二上·陜西·期末）已知拋物線C : y2 = -2 px( p > 0), A -6, y0 是拋物線C 上的點，且 AF =10 .
(1)求拋物線C 的方程；
(2)已知直線 l交拋物線C 于M , N 兩點，且MN 的中點為 -4,2 ，求直線 l的方程.
【答案】(1) y2 = -16x
(2) y = -4x -14
【分析】（1）根據 AF 的長，由幾何知識即可求出拋物線C 的方程；
（2）設出兩點坐標和直線的斜率，將兩點代入拋物線方程，由點差法求出斜率，根據MN 的中點即可求出
直線 l的方程.
【詳解】（1）由題意，
在拋物線C : y2 = -2 px( p > 0) 中， AF =10，
由幾何知識得，
AF 6 p= + =10 ，
2
解得： p = 8，
故拋物線C 的方程為：C : y2 = -16x .
（2）由題意及（1）得，
直線 l的斜率存在，設直線 l的斜率為 k, M x1, y1 , N x2 , y2 ，
ì y21 = -16xí 1則 2 ，
y2 = -16x2
2 2
兩式相減得 y1 - y2 = -16 x1 - x2 ，
y1 - y2 16
整理得 = -x ，1 - x2 y1 + y2
因為MN 的中點為 -4,2 ，\ y1 + y2 = 4
k y1 - y2 16∴ = = - = -4x1 - x 4
，
2
∴直線 l的方程為： y - 2 = -4 x + 4 ，
即 y = -4x -14，經檢驗，滿足題意.
6-3．（2024 高二上·陜西咸陽·期末）已知拋物線 y2 = 8x，過點P 3,2 引拋物線的一條弦，使它恰在點 P 處
被平分，則這條弦所在的直線 l的方程為（ ）
A． 2x - y - 4 = 0 B． 2x + y - 4 = 0
C． 2x - y + 4 = 0 D． 2x + y + 4 = 0
【答案】A
【分析】設直線與拋物線的交點坐標，代入拋物線方程點差法求解斜率，進一步利用點斜式方程求出直線
方程
【詳解】易知直線 l 的斜率存在，設直線的斜率為 k，直線 l 交拋物線于 M，N 兩點，
ì 2
設M x1, y1 , N x2 , y2
y1 = 8x1
，則 í 2 ，兩式相減得 y
2
1 - y
2
2 = 8 x1 - x2 ，
y2 = 8x2
y1 - y2 8
整理得 =x - x y + y ，因為 MN 的中點為
P 3,2 ，則 y1 + y2 = 4 ，
1 2 1 2
y - y 8
所以 k = 1 2 = = 2x x 4 ，所以直線 l 的方程為
y - 2 = 2 x - 3 即 y - 2 = 2 x - 3
1 -
.
2
故選：A
（五）
拋物線的綜合問題
1．解決拋物線綜合問題的基本策略：可以從直線、拋物線的方程出發，結合解一元二次方程，
經過邏輯推理和數學運算，從代數法的角度推證結論．
2．求距離的最值，常見的解題思路：一是利用拋物線的標準方程進行消元代換，得到有關距
離的含變量的代數式，以計算函數最值來解決，體現了數學計算的核心素養；二是利用數形結
合轉化兩平行線間距離求得，體現了邏輯推理素養，提升直觀想象能力．
題型 7：拋物線的定值、定點問題
7-1 2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知點F 是拋物線C ：y = 2 px p > 0 的焦點，縱坐標為 2 的點 N 在C 上，
以F 為圓心、 NF 為半徑的圓交 y 軸于D，E ， DE = 2 3 .
(1)求拋物線C 的方程；
(2)過 -1,0 作直線 l與拋物線C 交于A ， B ，求 kNA + kNB 的值.
【答案】(1) y2 = 4x
(2)2
【分析】（1）根據焦半徑公式和圓的弦長公式可解；
（2）設直線方程為 x = my -1，聯立拋物線方程，利用韋達定理可得.
2
【詳解】（1）由題知， N 點的橫坐標為 p ，
NF p 2∴ = +
p
2 p ，
OF = ，
2
2
DE 2 22
∴ NF 2 = DF 2 = OF 2 + ÷ ，∴
p
÷ + 3 p 2 = + ÷ ，解得 p = 2 ，
è 2 è 2 è 2 p
∴拋物線C 的方程為 y2 = 4x .
（2）由（1）知 N 1,2 ，設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直線 AB 的方程為 x = my -1，
代入 y2 = 4x，整理得 y2 - 4my + 4 = 0，∴ D = 4m 2 - 4 4 > 0，即m2 >1，
∴ y1 + y2 = 4m ， y1 y2 = 4，
k k y1 - 2 y - 2 y - 2 y - 2∴ NA + NB = + 2 = 1 + 2x1 -1 x2 -1 my1 - 2 my2 - 2
2my1 y2 - 2 1+ m y1 + y2 + 8= 8m - 2 1+ m 4m + 8
m2 y y - 2m y + y + 4 = 2 = 2 .1 2 1 2 4m - 2m 4m + 4
7-2．（2024 高二下·河北·期末）已知 B 為拋物線 2 = 2 2上一點， A 2,0 ， B 為 AC 的中點，設C 的軌跡
為曲線E ．
(1)求曲線E 的方程；
(2)過點F 1,0 作直線交曲線 E 于點 M、N，點 P 為直線 l： x=-1上一動點．問是否存在點 P 使△MNP為正
三角形？若存在，求出點 P 坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1) y2 = 4x
(2)存在；P(-1, ±8 2)
【分析】
（1）設C x, y x + 2，表達出B ,
y
÷，代入拋物線方程中，求出C 的軌跡方程；
è 2 2
（2）設出直線 MN： x = my +1，聯立拋物線方程，根據等邊三角形，得到方程，求出 m ，進而得到
P(-1, ±8 2) .
x + 2 y
【詳解】（1）設C x, y ，則B ,
è 2 2 ÷
2
y x + 2
因為點 B 在拋物線 2 = 2 2上，即 ÷ = 2 - 2，
è 2 2
化簡得 y2 = 4x，所以曲線 E 的方程為 y2 = 4x．
（2）
假設存在點P -1, y0 使△MNP為正三角形．
當 MN 垂直于 y 軸時，不符合題意；
當 MN 不垂直于 y 軸時，
設直線 MN： x = my +1，MN 的中點為K s, t ，
ìy2 = 4x
聯立 í 得： y2 - 4my - 4 = 0，
x = my +1
∴ D =16m2 +16 ， y1 + y2 = 4m ， y1y2 = -4，
∴ MN = 1+ m2 y1 + y
2
2 - 4y1 y2 = 4 m2 +1 ，
t y1 + y∴ = 2 = 2m， s = 2m2 +1，
2
∴ PK = 1+ (-m)2 2m2 +1- (-1) = 1+ m2 2m2 + 2 ，
∵△MNP 3為正三角形，∴ MN = PK ，
2
即 4 m2 +1 3 = 1+ m2 2m2 + 2 ，2
∴ m = ± 2 ，
PK： y - 2m = -m x - 2m2 -1 ，令 x=-1，
∴ y0 = m 2m2 + 2 + 2m = m 2m2 + 4 = ±8 2
所以存在點P(-1, ±8 2) 使△MNP為正三角形．
7-3．（2024· 2河南信陽·三模）已知拋物線C1 : y = 2 px p > 0 上一點Q 1, a 到焦點的距離為 3.
(1)求 a， p 的值；
(2)設 P 為直線 x=-1上除 -1, - 3 2， -1, 3 兩點外的任意一點，過 P 作圓C2 : x - 2 + y2 = 3的兩條切線，
分別與曲線C1相交于點A ， B 和C ，D，試判斷A ， B ，C ，D四點縱坐標之積是否為定值？若是，求該
定值；若不是，請說明理由.
【答案】(1) a = ±2 2 ， p = 4
(2)定值為 64
【分析】（1）根據拋物線的定義求出 p，利用兩點距離公式求出 a；
（2）設切線方程，聯立方程韋達定理，結合直線與圓相切得到斜率關系，從而求解縱坐標之積為定值.
p
【詳解】（1）根據拋物線的定義，Q 1, a 到準線 x = - 的距離為 3，
2
∴1 p+ = 3，∴ p = 42 ；
∴拋物線的焦點坐標為 2,0 ，∴ 1+ a2 = 3，∴ a = ±2 2 ；
（2）設P -1, y0 ，過點 P 的直線方程設為 l : y - y0 = k x +1 ，
ì y2 = 8x
í ky2由
y - y0 = k
得， -8y + 8y0 + 8k = 0x 1 ，+
若直線 AB ，CD的斜率分別為 k1， k2 ，設A ， B ，C ，D的縱坐標分別為 y1 ， y2 ， y3 ， y4 ，
8 y + k 8 y + k
∴ y1 y
0 1
2 = ， y3 y

4 =
0 2
，
k1 k2
3k + y
∵ C 0 22 到 l的距離 d = = 3 ，∴ 6k + 6y0k + y
2
1+ k 2 0
- 3 = 0，
y2∴ k + k = -y k k 0 - 31 2 0 ， 1 2 = ，6
64 é k1k2 + k1 + k2 y0 + y
2 2
0 ù 64 k1k2 - y0 + y2 ∴ y y 01 2 y3 y4 = = = 64，k1k2 k1k2
∴ A ， B ，C ，D四點縱坐標之積為定值，且定值為 64.
7-4．（2024 高二下·四川資陽·期末）過點K (0, -1) 作拋物線G : x2 = 2 py( p > 0)在第一象限部分的切線，切點
為 A，F 為G 的焦點，O為坐標原點，△OAF 的面積為 1．
(1)求G 的方程；
(2)過點P(0, 2)作兩條互相垂直的直線 l1和 l2， l1交G 于 C，D 兩點， l2交G 于 P，Q 兩點，且 M，N 分別為
線段 CD 和 PQ 的中點．直線 MN 是否恒過一個定點？若是，求出該定點坐標；若不是，說明理由．
【答案】(1) x2 = 4y
(2)直線 MN 恒過定點 (0, 4)．
【分析】（1）利用導數求解切線方程，即可得切點坐標，由面積公式即可求解 p = 2 ，
（2）聯立直線與拋物線的方程得韋達定理，結合中點坐標公式可得 M，N 的坐標，即可由點斜式求解直線
的方程，化簡即可求解.
x
【詳解】（1）由題， y = p ，
x0 2
設切點 A x0 , y0 ，則切線方程為 y - y0 = x - x0 ， x0 = 2 pyp 0 ,
x
K (0, -1) 0的坐標代入，得-1- y0 = -xp 0 ，解得 y0 =1，由于 x0 > 0，所以 x0 = 2 p ，
由△OAF
1 p
的面積 S = × × 2 p =1，解得 p = 2 ，
2 2
所以G 的方程為 x2 = 4y．
（2）由題意可知，直線 l1和 l2斜率都存在且均不為 0，
設直線 l1的方程為 y = kx + 2
1
，則直線 l2的方程為 y = - x + 2 ，k
ìy = kx + 2,
聯立方程組 í y 2x2 = 4y
消去 并整理得， x - 4kx -8 = 0，
則D = (-4k)2 + 32 =16k 2 + 32 > 0，
設C x1, y1 ，D x2 , y2 ，則 x1 + x2 = 4k ， x1 × x2 = -8，
所以 y1 + y2 = k x + x 21 2 + 4 = 4k + 4，
因為M 為 CD 中點，所以M 2k, 2k 2 + 2 ，
2
同理可得 N - ,
2
+ 2 ，
è k k 2 ÷
2k 2 + 2 - 2 2 + 2÷
所以，直線 MN 的方程為 y - 2k 2 + 2 = è k 2 × (x - 2k)
1
= k - ÷ × (x - 2k)，
2k + è k
k
y k 1 整理得 = - ÷ x + 4，所以，直線 MN 恒過定點 (0, 4)．
è k
【點睛】圓錐曲線中定點問題的兩種解法
（1）引進參數法：先引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量，再研究變化的量與參數何時沒有關
系，找到定點.
（2）特殊到一般法：先根據動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.
技巧：若直線方程為 y - y0 = k x - x0 ,則直線過定點 x0 , y0 ;
若直線方程為 y = kx + b (b 為定值),則直線過定點 0,b .
題型 8：拋物線的向量問題
8-1．（2024 高二下·四川內江·期中）已知點F 0,2 ，直線 l : y = -2交 y 軸于點 H，點 M 是 l 上的動點，過
點 M 且垂直于 l 的直線與線段 MF 的垂直平分線交于點 P．
(1)求點 P 的軌跡 C 的方程：
uuur uuur
(2)若 A、B 為軌跡 C 上的兩個動點，且OA ×OB = -16，證明直線 AB 必過定點，并求出該定點．
【答案】(1) x2 = 8y
(2)證明見解析，定點 (0, 4)
【分析】（1）根據拋物線定義寫出點 P 軌跡 C 的方程；
（2）設 AB : y = kx + b, A(x1, y1), B(x2 , y2 )，聯立拋物線應用韋達定理，根據向量數量積的坐標表示列方程求
參數 b，即可證直線過定點及其坐標.
【詳解】（1）由題意 | PF |=| PM |，則點 P 的軌跡是以F (0, 2)為焦點， l為準線的拋物線，
所以軌跡方程C : x2 = 8y .
（2）設直線 AB : y = kx + b, A(x1, y1), B(x2 , y2 )，
ìy = kx + b
聯立 í 2 x
2 -8kx -8b = 0
x ，而
2
= 8y D > 0 2k + b > 0 ①，
x 2 2∴ x x = -8b，則 y y = 1 x× 2 = b21 2 1 2 ，8 8
uuur uuur
由OA ×OB = -16 x1x2 + y1 y2 = -16，即b2 -8b +16 = 0 b = 4滿足①式，
∴直線 AB ： y = kx + 4必過點 (0, 4) .
3 1
8-2．（2024·

甘肅定西·模擬預測）已知點 M 到點F 0, ÷的距離比它到直線 l：y = -22 的距離小 ，記動點 Mè 2
的軌跡為 E.
(1)求 E 的方程；
(2)若過點 F 的直線交 E 于 A x1, y1 ，B x2 , y2 兩點，則在 x 軸的正半軸上是否存在點 P，使得 PA，PB 分
uuur uuur
別交 E 于另外兩點 C，D，且 AB = 3CD ？若存在，請求出 P 點坐標，若不存在，請說明理由.
【答案】(1) x2 = 6y

P 3 2

(2) ,02 ÷÷è
3 3
【分析】（1

）根據點 M 到點F 0, l2 ÷的距離等于它到直線 ：
y = - 的距離，結合拋物線的定義得出拋物線
è 2
E 的標準方程；
uuur uuur2 2（ ）設C x3 , y3 , P x0 ,0 ，由PA = 3PC 結合拋物線方程得出 x1, x2 是方程 x - 2x 20x - 2x0 = 0的兩根，設直線
y kx 3AB 的方程為 = + ，并與拋物線方程 x2 = 6y 聯立結合韋達定理得出點 P 坐標.
2
3 1
【詳解】（1）因為點 M 到點F 0, 2 ÷的距離比它到直線 l：
y = -2的距離小 ，
è 2
F 0, 3 3所以點 M 到點 2 ÷的距離等于它到直線 l：
y = - 的距離，
è 2
3 3
則點 M 的軌跡為以F 0, 2 ÷為焦點，以
y = - 為準線的拋物線，
è 2
則曲線 E 的方程為 x2 = 6y .
（2）設C x3 , y3 , P x0 ,0 x0 > 0 ，
uuur uuur uuur uuur
由 AB = 3CD 得： AB//CD ，且 AB = 3 CD ，得PA = 3PC ，
即 x - x , y = 3 x - x , y x，所以 x = 1 + 2x0 y11 0 1 3 0 3 3 , y3 = ，3 3
2 2
代入拋物線方程 x2 = 6y x1 + 2x0 ，得 ÷ = 6y3 = 2y
x
= 11 ，
è 3 3
2
整理得 x1 - 2x0x1 - 2x
2 = 0 2 20 ，同理可得 x2 - 2x0x2 - 2x0 = 0
故 x1, x 22 是方程 x - 2x0x - 2x
2
0 = 0的兩根，D =12x
2
0 > 0，
由韋達定理可得 x1 + x2 = 2x0 , x1x2 = -2x
2
0 ①，
3
由題意，直線 AB 的斜率一定存在，故設直線 AB 的方程為 y = kx + ，
2
與拋物線方程 x2 = 6y 聯立可得 x2 - 6kx - 9 = 0，
易得D > 0，由韋達定理可得 x1 + x2 = 6k, x1x2 = -9 ②，
①② x 3 2 ,k 2由 可得 0 = = ，2 2
3 2
故在 x 軸的正半軸上存在一點P ,02 ÷÷
滿足條件.
è
一、單選題
1．（2024·河南安陽·模擬預測）已知拋物線C : y2 = 4x 與圓E : (x -1)2 + y2 = 4 交于 A，B 兩點，則 | AB |=
（ ）
A．2 B． 2 2 C．4 D．4 2
【答案】C
【分析】先聯立拋物線與圓求出 A，B 橫坐標，再代入拋物線求出縱坐標即可求解.
ì y
2 = 4x
【詳解】由對稱性易得 A，B 橫坐標相等且大于 0，聯立 í 得 x22 2 + 2x - 3 = 0 ，解得
x -1 + y = 4
x1 = -3, x2 =1，
則 xA = xB =1，將 x =1代入 y2 = 4x可得 y = ±2，則 | AB |= 4 .
故選：C.
2 2
2．（2024 · x y高二上 江蘇南通·期末）已知 P 為雙曲線C : - =1與拋物線 y2 = 2x的交點，則 P 點的橫坐標
3 3
為（ ）
A．3 B．2 C． 6 D．-1
【答案】A
【分析】根據給定條件，聯立方程組并求解判斷作答.
ìy2 = 2x ìx = 3
【詳解】依題意， 2x = y2 0

，則由 í 2 2 解得 í ，
x - y = 3 y = ± 6
所以 P 點的橫坐標為 3.
故選：A
3．（2024 高二·全國·課后作業）直線 y = k x -1 + 2與拋物線 x2 = 4y的位置關系為（　　）
A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定
【答案】A
【分析】直線 y = k x -1 + 2過定點 1,2 ，在拋物線 x2 = 4y內部，即可得出結論．
【詳解】直線 y = k x -1 + 2過定點 1,2 ，
∵12 < 4 2，
∴ 1,2 在拋物線 x2 = 4y內部，
∴直線 y = k x -1 + 2與拋物線 x2 = 4y相交，
故選：A．
4．（2024·北京海淀·二模）已知拋物線C : y2 = 4x ，經過點 P 的任意一條直線與 C 均有公共點，則點 P 的坐
標可以為（ ）
A．( 0, 1) B． (1, -3) C． (3, 4) D． (2,-2)
【答案】D
【分析】根據點與拋物線的位置即可求解.
【詳解】 0,1 在 y 軸上，所以 0,1 在拋物線外部，
將 x =1代入拋物線C : y2 = 4x 中，則 y = 2 < 3，所以 (1, -3)在拋物線外部，
將 x = 3代入拋物線C : y2 = 4x 中，則 y = 2 3 < 4，所以 (3, 4) 在拋物線外部，
將 x = 2代入拋物線C : y2 = 4x 中，則 y = 2 2 > 2，所以 (2,-2)在拋物線內部，
將選項中的點分別在直角坐標系中畫出來，只有點D 2, -2 在拋物線內部，故當點 P 位于點D 2, -2 處，此
時經過點 P 的任意一條直線與 C 均相交，故均有公共點，
故選：D
5．（2024 2高二上·貴州銅仁·期末）過拋物線 y = 2 px p > 0 的焦點F 作直線，交拋物線于 A x0 , y1 ，
B 5 - x0 , y2 兩點，若 AB = 8，則 p =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
p
如圖所示，由題得F ( ,0)，利用拋物線的定義化簡 AB =| AF | + | BF |= 8即得解.
2
p p
【詳解】如圖所示，由題得F ( ,0)，拋物線的準線方程為 x = - .
2 2
所以 AB = AF BF x
p p
+ = 0 + + 5 - x0 + = 8,\ p = 3 .2 2
故選：C
6．（2024 高二上·全國·課后作業）拋物線的頂點在原點，對稱軸是 x 軸，拋物線上的點 (-5, m)到焦點的距
離是 6，則拋物線的方程為（ ）
A． y2 = -2x B． y2 = -4x
C． y2 = 2x D． y2 = -4x 或 y2 = -36x
【答案】B
p
【分析】由已知，拋物線開口向左，設其方程為 y2 = -2 px ，則準線方程為 x = 2 ，由條件結合拋物線的定
義求出 p 的值即可.
p
【詳解】由已知，拋物線開口向左，設其方程為 y2 = -2 px , p > 0，則準線方程為 x = 2 ，
p
由拋物線的定義知，點 (-5,m)到焦點的距離是 + 5 = 6，所以 p = 2 ，
2
所以拋物線的方程是： y2 = -4x ，
故選：B.
7．（2024 高二下·河南焦作·期末）已知拋物線 C： y2 = 4x的焦點為 F，A 是 C 上一點，O 為坐標原點，若
AF = OF + 3，則VAOF 的面積為（ ）
A． 3 B．3 C． 2 3 D．6
【答案】A
【分析】利用題目所給的條件，計算出 A 點的坐標可得答案.
【詳解】依題意作下圖：
設 A x1, y1 ，F 1,0 ，所以 AF = OF + 3 = 4 = x1 +1，
可得 x1 = 3 2，由 y1 = 4 3 =12，解得 y1 = ±2 3 ，所以 A 3, ±2 3 ，
S 1 1所以 VOFA = × OF × y1 = 1 2 3 = 3 .2 2
故選：A.
8．（2024 高二上·陜西渭南·期末）設F 為拋物線C : y2 = 4x 的焦點，過點F 的直線 l交C 于 A x1, y1 , B x2 , y2
2 2
兩點，若 AB = 8，則 y1 + y2 =（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】由拋物線的定義可得 x1 + x2 = 6，結合 A x1, y1 , B x2 , y2 在拋物線C : y2 = 4x 上，即可得解.
【詳解】由拋物線C : y2 = 4x 可知 p = 2 ，
由拋物線的定義可得 AB = x1 + x2 + p = x1 + x2 + 2 = 8，即 x1 + x2 = 6，
又 A x 2 21, y1 , B x2 , y2 在拋物線C : y2 = 4x 上，\ y1 = 4x1, y2 = 4x2 ，
\ y2 + y21 2 = 4 x1 + x2 = 24 .
故選：D.
9．（2024·河北·三模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數學發
展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊藏著很多性質．已知拋物線
y2 = 4x，過焦點的弦 AB 的兩個端點的切線相交于點M ，則下列說法正確的是（ ）
A．M 點必在直線 x = -2上，且以 AB 為直徑的圓過M 點
B．M 點必在直線 x=-1上，但以 AB 為直徑的圓不過M 點
C．M 點必在直線 x = -2上，但以 AB 為直徑的圓不過M 點
D．M 點必在直線 x=-1上，且以 AB 為直徑的圓過M 點
【答案】D
【分析】
結合導數幾何意義可證得過拋物線 y2 = 4x上一點 x0 , y0 的切線方程為 y0 y = 2 x + x0 ，由此可確定在 A, B
處的切線方程，進而結合M 點坐標得到直線 AB 方程，代入 F 1,0 可知點M 必過直線 x = -1；結合韋達定
理可得 kMA × kMB = -1，知MA ^ MB ，由此可得結論.
【詳解】設 x0 , y 為拋物線 y20 = 4x上一點，
1
當 y0 > 0時，由 y = 2 x 得： y
1
= ，在 x \ y - y = x - x
x 0
, y0 處的切線方程為： 0 x 0 ，0
2 y y x y
2
0 y2
即 - 0 = - ÷，\ y0 y = 2x + 0 = 2 x + xy 4 0 ；0 è 2
同理可得：當 y0 < 0 時，在 x0 , y0 處的切線方程切線方程為 y0 y = 2 x + x0 ；
經檢驗，當 x0 = 0， y0 = 0時，切線方程為 x = 0，滿足 y0 y = 2 x + x0 ，
\過拋物線 y2 = 4x上一點 x0 , y0 的切線方程為： y0 y = 2 x + x0 ；
設 A x1, y1 , B x2 , y2 , M x3 , y3 ，
ìy y = 2 x + x
則拋物線在 A, B處的切線方程為 y1y = 2 x + x y y = 2 x + x
1 3 3 1
1 和 2 2 ，\í
y
，
2 y3 = 2 x3 + x2
\點 A, B滿足直線方程： yy3 = 2 x + x3 ，又直線 AB 過焦點F 1,0 ，
\2 1+ x3 = 0，解得： x3 = -1，\ M 點必在直線 x = -1上；AC 錯誤；
由題意知： y1 0 ， y2 0，
Qk 2 2 4MA = ， kMB = ，\ky y MA
× kMB = y y ；1 2 1 2
設直線 AB 方程為： x = ty +1，
ìx = ty +1
由 í 得： y22 - 4ty - 4 = 0 ，\ y yy = 4x 1 2
= -4 ，\kMA × kMB = -1，即MA ^ MB ，

\以 AB 為直徑的圓過M 點；B 錯誤，D 正確.
故選：D.
10．（2024 高二上·廣西河池·期末）拋物線有如下光學性質：過焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行
于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線
y2 =16x 的焦點為F ，一條平行于 x 軸的光線從點P 4,4 2 射出，經過拋物線上的點A 反射后，再經拋物
線上的另一點 B 射出，則VPAB 的面積為（ ）
A．4 B． 6 2 C．12 2 D． 24 2
【答案】C
【分析】由題意求出A 點坐標，根據直線 AB 過焦點的直線，聯立拋物線方程求出 B 點的橫坐標，根據拋物
線的焦點弦的弦長公式求解即可.
2
【詳解】因為P 4,4 2 ，所以 yA = yP = 4 2 y，所以 xA = A = 2，16
所以 A 2,4 2 ，又F 4,0 ，所以 lAB : y 0 4 2 - 0- = (x - 4），2 - 4
ì
即 lAB : y = -2 2 x 4
y = -2 2 x - 4 ,- ，又 í ，
y
2 =16x,
所以 x2 -10x +16 = 0，解得 x = 2或 x = 8，所以 xB = 8，
又因為 AB = AF + BF = xA + xB + p = 2 + 8 + 8 =18，
8 2 + 4 2 -8 2點P 4,4 2 4 2到直線 lAB : y = -2 2 x - 4 的距離 d = = ，
(2 2)2 +1 3
VPAB S 1 AB d 1所以 的面積 = × = 18 4 2 =12 2 .
2 2 3
故選：C .
1
11．（2024 高二下·福建泉州· Γ：y = x2期末）已知拋物線 4 的焦點為F ，過F 的直線 l交G于點
A, B，分別在
1 1
點 A, B處作G的兩條切線，兩條切線交于點 P ，則 +PA 2 PB 2 的取值范圍是（ ）
A 0,1 B 0, 1 ù 1 ù 1 1 ù． ． C2ú ． 0, ú D．è 4
,
è è 4 2ú
【答案】C
【分析】
設直線 l的方程為 y = kx +1，A x1, y1 , B x2 , y2 ，與拋物線聯立可得 x1 + x2 = 4k, x1x2 = -4，再利用求曲線上
一點的切線方程得過 A, B與G相切的直線方程，再利用兩條直線的交點坐標得 P 2k, -1 ，再利用兩點間的
距離公式計算得結論.
【詳解】顯然直線 l的斜率存在，因此設直線 的方程為 y = kx +1， A x1, y1 , B x2 , y2 ，
ìy = kx +1 2
由 í 2x2 = 4y 得 x - 4kx - 4 = 0，因此
D = -4k +16 =16k 2 +16 > 0，

故 x1 + x2 = 4k, x1x2 = -4 .
y x
2 2
因為 = ，所以過 A, B G x x x x x x與 相切的直線方程分別為： y = 1 - 1 、 y = 2 - 2 ，
2 2 4 2 4
ì
y x x x
2
= 1 - 1 ìx x1 + x= 2 = 2k,
2 4 2
因此由 í 得 í ，即P 2k, -1 ，
y x2x x
2
= - 2 y
x x
= 1 2 = -1
2 4 4
1 1 1 1
所以 PA 2
+ =
PB 2 x - 2k 2
+
1 + kx1 + 2
2 x2 - 2k
2 + kx + 2 22
1 1
= +
k 2 +1 x21 + 4 k 2 +1 x22 + 4
x21 + x
2
2 + 8 x1 + x
2
2 - 2x1x2 + 8=
k 2 +1 x2 + 4 =x2 + 4 k 21 2 +1 é x2 2 2 2 ù1 x2 + 4 x1 + x2 +16
16k 2 +16 1
= 2 = 2 4 k 2 +1 .64 k +1
因為 k R ，所以 4 k 2 +1 1 1 4，因此0 < 4 k 2 +1 4 ，
1 1 1 ù
所以 + 0,PA 2 PB 2 的取值范圍是 .è 4ú
故選:C.
12．（2024 高二下·浙江·期末）過點G 2,2 作兩條直線分別交拋物線 y2 = 2x于A ，B 兩點，記直線GA，GB
的斜率分為 k1， k2 ，若 k1 + k2 = 5， k1 × k2 = -2，則直線 AB 的方程為（ ）
A．2x + 9 y +12 = 0 B．2x - 9 y -12 = 0
C．4x +18y +13 = 0 D．4x -18y -13 = 0
【答案】A
【分析】設直線 AB 的方程為： x = my + n ， A x1, y1 , B x2 , y2 ，與拋物線聯立得到 y1 + y2 , y1 × y2，由斜率公
式表示出 k1 + k2 ,k1 × k2 結合韋達定理化簡可得8m - 5n + 6 = 0 ，n - 2m - 3 = 0，解方程求出m, n，即可求出直線
AB 的方程.
【詳解】因為點G 2,2 作兩條直線分別交拋物線 y2 = 2x于A ， B 兩點，
G 2,2 在拋物線 y2 = 2x上，所以直線 AB 斜率一定不為0 ，
設直線 AB 的方程為： x = my + n ，設 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
與 y2 = 2x聯立方程可得： y2 = 2my + 2n，即 y2 -2my-2n = 0，
所以 y1 + y2 = 2m, y1 × y2 = -2n，
k k y1 - 2 y2 - 2 y1 - 2 y2 - 2 2 21 + 2 = + = + = +則 x1 - 2 x2 - 2 y
2 y21 - 2 2 - 2 y1 + 2 y2 + 2
2 2
2 y2 + 2 + 2 y1 + 2 2 y1 + y2 + 8= =
y1 + 2 y2 + 2 y1 × y2 + 2 y1 + y2 + 4
2 ×2m + 8 2m + 4
= = = 5，所以8m - 5n + 6 = 0 ①，
-2n + 4m + 4 -n + 2m + 2
k k y× = 1 - 2 y - 2 2 2 41 2 × 2 = × =
4
x 2 x 2 y 2 y 2 y y 2 y y 4 = = -21 - 2 - 1 + ，2 + 1 × 2 + 1 + 2 + -2n + 4m + 4
9
所以 n - 2m - 3 = 0 ②，由①②可得： n = -6, m = - ，
2
x 9所以 = - y - 6，故2x + 9 y +12 = 0 .
2
故選：A.
二、多選題
13．（2024 高二上·全國·課后作業）（多選）設拋物線 y2 = 8x的準線與 x 軸交于點 Q，若過點 Q 的直線 l 與
拋物線有公共點，則直線 l 的斜率可以是（　　）
A． - 2 B． -1
C．1 D．2
【答案】BC
【分析】設直線方程，并與拋物線聯立方程，再用根的判別式來處理，即可求得斜率范圍.
【詳解】Q拋物線 y2 = 8x的準線與 x 軸交于點 Q，
\準線為 x = - 2，Q 點的坐標 -2,0 ，
又直線 l 過點 Q，且斜率必存在，
\可設 l： y = k x + 2 ，
ìy = k x + 2 k 2x2聯立 í 2 ，可得 + 4 k 2 - 2 x + 4k 2 = 0，
y = 8x
當 k = 0時，得 x = 0，即交點為 0,0 ，
當 k 0時，由D 0得，即16 k 2 2- 2 -16k 4 0 ，
解得，-1 k < 0或0 < k 1，
綜上，k 的取值范圍是 -1,1 ．
故選：BC.
14．（2024 高二下·安徽·期末）已知O為坐標原點，拋物線C : y2 = 2 px p > 0 的焦點F 到其準線的距離為
4，過點F 作直線 l交C 于M ， N 兩點，則（ ）
π
A．C 的準線為 x = -2 B． MON 的大小可能為
2
C． MN 的最小值為 8 D． MF NF = 2 MF + NF
【答案】ACD
【分析】利用韋達定理以及拋物線的弦長公式、焦半徑公式求解.
【詳解】由題意得， p = 4 ，則C 的準線為 x = -2，故 A 正確；
F (2,0) ,設 l : x = my + 2, M (x1, y1), N (x2 , y2 ),
ìy2 = 8x
í ，整理得， y2 -8my -16 = 0，
x = my + 2
所以 y1 + y2 = 8m, y1y2 = -16 ，
x1 + x2 = m(y1 + y2 ) + 4 = 8m
2 + 4, x1x2 = m
2 y1 y2 + 2m(y1 + y2 ) + 4 = 4 ，
uuuur uuur
OM ×ON = x1x2 + y1 y2 = 4 -16 = -12 < 0，
所以 MON
π
> ，故 B 錯誤；
2
MN = 1+ m2 (y 21 + y2 ) - 4y1 y2 = 8(m
2 +1) 8，
當m = 0時， MN 的最小值為 8，故 C 正確；
1 1 1 1 1 1 x + x
+ = + = + = 1 2
+ 4 1
=
∵ MF NF x p x p+ + x1 + 2 x2 + 2 x1x2 + 2(x1 + x2 ) + 4 2 ，1 2 2 2
∴ MF NF = 2 MF + NF ，故 D 正確.
故選：ACD.
15．（2024 高二下·湖北襄陽·階段練習）已知拋物線C : x2 = 4 y的焦點為 F，點 P 為 C 上任意一點，若點
M 1,3 ，下列結論錯誤的是（ ）
A． PF 的最小值為 2
B．拋物線 C 關于 x 軸對稱
C．過點 M 與拋物線 C 有一個公共點的直線有且只有一條
D．點 P 到點 M 的距離與到焦點 F 距離之和的最小值為 4
【答案】AB
【分析】根據焦半徑公式結合條件判斷 A，由拋物線的對稱性判斷 B，由直線與拋物線的位置關系判斷 C，
結合拋物線的定義，把 PF 轉化為 P 到準線的距離后可求得題中距離和的最小值判斷 D．
【詳解】設P(x0 , y0 )，則x 20 = 4y ， y0 00 ，又拋物線的焦點為F (0,1)，
對 A，由題可知 PF = y0 +1 1， y0 = 0時，等號成立，所以 PF 的最小值是 1，A 錯；
對 B，拋物線的焦點在 y 軸上，拋物線關于 y 軸對稱，B 錯；
對 C，由題知點M 在拋物線的內部（含有焦點的部分），因此過M 與對稱軸平行的直線與拋物線只有一個
公共點，其他直線與拋物線都有兩個公共點，C 正確；
對 D，記拋物線的準線為 l，準線方程為 y = -1，
過 P 作PH ^ l 于 H ，過M 作MN ^ l 于 N ，則 PF = PH ， PM + PF = MP + PH ，
所以當M , P, H 三點共線，即 H 與 N 重合時， PM + PF 最小，最小值為3+1 = 4．D 正確．
故選：AB．
16．（2024 高二上·安徽阜陽·期末）若直線 y = k x +1 與拋物線 x2 = 2 y 只有一個交點，則 k 的可能取值為
（ ）
A．2 B．-2 C．-4 D．0
【答案】BD
【分析】聯立方程，根據題意可得D = 0，由此即可得解.
ìx2 = 2y
【詳解】聯立 í y 2y = k x 1 ，消去 可得+ x - 2kx - 2k = 0，
∵直線 y = k x +1 與拋物線 x2 = 2 y 只有一個交點，
\Δ = 4k 2 + 8k = 0,\k = 0或 k = -2 .
故選：BD.
17 2．（2024 高三下·安徽·開學考試）若經過點P 1,3 的直線與拋物線C : y = 2 px p > 0 恒有公共點，則 C 的
準線可能是（ ）．
A． x = -2 B． x = -3
C． x = - 2 D． x = -2 2
【答案】BD
【分析】由題意得，點P 1,3 在拋物線上或其內部，則 2 p 3，求出 p 的范圍，即可得出答案.
9
【詳解】由題意得，點P 1,3 在拋物線上或其內部，則32 2 p，2 p 3，解得 p ，
2
p 9
∴其準線為 x = - - .
2 4
故選:BD．
18 2．（2024 高二·全國·課后作業）經過拋物線 y = 2 px p > 0 的焦點F 的直線交拋物線于A ， B 兩點，設
A x1, y1 ，B x2 , y2 ，則下列說法中正確的是（ ）
1 1 2
A．當 AB 與 x 軸垂直時， AB 最小 B． + =AF BF p
p
C 2．以弦 AB 為直徑的圓與直線 x = - 相離 D． y1 y2 = - p2
【答案】ABD
【分析】先設直線 AB 的方程，聯立拋物線，可得 D.
用拋物線焦點弦公式表示 AB ，可得 A.
1 1
利用拋物線定義，可表示 +AF BF ，可證 B.
利用拋物線定義，結合圖像位置關系可判斷 C.
【詳解】
p
如圖，設直線 AB 為 x = my + ，
2
聯立 y2 = 2 px，
y2 = 2 p p 得 2 my + ÷，即 y - 2 pmy - p2 = 0，
è 2
所以 y1 + y2 = 2 pm， y1 y2 = - p
2
，
故 D 正確，
AB x p p= 1 + x2 + p = my1 + + my2 + + p = m y1 + y2 + 2 p ，2 2
將 y1 + y2 = 2 pm代入得 AB = 2m
2 p + 2 p ，
故當m = 0時， AB 取得最小值 2 p ，此時直線 AB 與 x 軸垂直，故 A 正確，
1 1 1 1 1 1 m y1 + y2 + 2 p+ = + = + =
AF BF x p+ x p+ my1 + p my + p m
2 y y + mp y + y + p2 ，2 1 2 1 2
1 2 2 2
代入 y1 + y2 = 2 pm， y1 y2 = - p
2
，
1 1 2m2 p + 2 p 2
得 + =AF BF m2 p2 + p2
=
p ，故 B 正確，
AB
設 AB 的中點為M ，則以弦 AB 為直徑的圓的圓心為M ，半徑為
2
分別過 A, B, M 作拋物線的垂線，垂足分別為P,Q, S ,
由拋物線的定義知 AP = AF ， BF = BS ，
MQ 1 AP BS 1則 = + = AF + BF 1= AB ,
2 2 2
p
故以弦 AB 為直徑的圓與直線 x = - 相切，C 錯誤，
2
故選：ABD
三、填空題
19．（2024 高二上·湖南長沙·階段練習）已知直線 l 過拋物線 C： y2 = 4x的的焦點且與 C 交于 A，B 兩點，
線段 AB 中點的橫坐標 3，則 AB = ．
【答案】8
【分析】根據焦點半徑公式得焦點弦長，由此計算．
【詳解】設 A(x1, y1), B( x2, y2)，則 x1 + x2 = 2 3 = 6，拋物線 y2 = 4x中 2 p = 4, p = 2，
所以 AB = x
p p
1 + + x2 + = x1 + x2 + p = 6 + 2 = 8．2 2
故答案為：8．
20．（2024 高二上·全國· 2課后作業）過拋物線 y = 2 px p > 0 的焦點作一直線交拋物線于 A x1, y1 、B x2 , y2
兩點，則 kOAkOB 的值是 ．
【答案】-4
【分析】設出直線 AB 方程，與拋物線方程聯立得出 y1y2與 x1x2 ，再代入斜率公式即可得出答案.
p
【詳解】由題意知，拋物線焦點坐標為 ,0

÷，從而設直線 AB 的方程為 x = ky
p
+ ，
è 2 2
ì p
x = ky +
聯立方程 í 2 ，得 y2 - 2 pky - p2 = 0，D = 4 p2k 2 + 4 p2 > 0，
y2 = 2 px
2 2 2
y y = - p2 ， x x
y
= 1
y2 p
1 2 1 2 × = .2 p 2 p 4
- p2
所以 k k
y1 y2 y1 y= × = 2 = 2 = -4OA OB x x x p .1 2 1x2 4
故答案為：-4 .
3π
21（．2024高三下·上海寶山·期中）過拋物線 x2 = 4y的焦點且傾斜角為 的直線被拋物線截得的弦長為 .
4
【答案】8
【分析】寫出直線方程，聯立拋物線的方程，運用定義和焦點弦長公式，計算即可得到.
【詳解】拋物線 x2 = 4y的焦點為F 0,1 3π，準線方程為 y = -1，直線 l的傾斜角為 ，
4
設直線 l與拋物線交于M , N 兩點，
則直線 l的方程為 y = -x +1，代入 x2 = 4y得 y2 - 6y +1 = 0，
則M (x1， y1)， N (x2， y2 )， y1 + y2 = 6 ，
則 MN = MF + NF = y1 + y2 + 2 = 8，
故答案為：8
22．（2024 高二下·安徽·期末）已知拋物線 y2 = 2 px( p > 0)的焦點為F ，過F 的動直線 l與拋物線交于 A, B
兩點，滿足 AB = 4的直線 l有且僅有一條，則 p = ．
【答案】2
【分析】根據拋物線定義表示焦點弦，結合通徑公式，即可求解.
p
【詳解】設交點坐標為 A x1, y1 , B x2 , y2 ，過F 的直線為 x = my + ，2
與拋物線聯立可得， y2 - 2 pmy - p2 = 0，故 y1 + y2 = 2 pm．
AB AF BF x x p my p my p= + = 1 + 2 + = 1 + + 2 + + p = m y1 + y2 + 2 p = 2 pm2 + 2 p 2 p ，2 2
故當 AB = 2 p 時，動直線有且僅有一條，即 2 p = 4，故 p = 2 ．
故答案為：2.
23．（2024 高二上·甘肅慶陽·期末）已知點P 2,1 ，若拋物線 y2 = 4x的一條弦 AB 恰好是以 P 為中點，則弦
AB 所在直線方程是 ．
【答案】 2x - y - 3 = 0
【分析】設 A(x1, y1), B( x2, y2)，得 y1 + y2 = 2，代入拋物線方程相減可得直線 AB 斜率，從而得到所求直線方
程．
【詳解】 x = 2時， y = 2 2 >1， P 在拋物線內部（含焦點的部分），
設 A(x1, y1), B( x2, y2)， y1 + y2 = 2，
ìy21 = 4xí 1由 2 ，相減得 y
2
1 - y
2
2 = 4x1 - 4x ，
y2 = 4x
2
2
y
∴ 1
- y2 4 4= = = 2 k = 2
x ，即 AB ，1 - x2 y1 + y2 2
直線 AB 方程為 y -1 = 2(x - 2)，即 2x - y - 3 = 0，
故答案為： 2x - y - 3 = 0．
24．（2024 高二下·湖北孝感·階段練習）已知 M 是拋物線 y2 = 6x 上一點，則點 M 到直線3x - 4y +12 = 0的最
短距離為 ．
4
【答案】 /5 0.8
【分析】設出點 M 的坐標，由點到直線距離公式轉化為一元二次函數求最小值.

M y
2
0
【詳解】設 , y0 ÷，則點 M 到直線3x - 4y +12 = 0的距離
è 6
1 y20 - 4y0 +12
1 y0 - 4
2 + 4
d 2 2 4 ，當
y0 = 4時取等號.= =
5 5 5
4
故答案為：
5
25．（2024 高二下·山東青島· 2期中）在坐標平面 xOy 內，拋物線C : x = 2 py p > 0 的準線為 l : y = -1，點
P x0 , y0 0 < y0 <1 是C 上一點，且PP ^ l ，垂足為P ，連接OP 交C 于點Q，則直線 PQ在 y 軸上的截距
PQ
為 3；若點O到 PQ的距離為 ，則 =PP .2
【答案】 1 4
【分析】（1）由 P 點坐標，得P 坐標，求出直線OP 方程并與拋物線方程聯立，求得點Q坐標和直線 PQ方
程，令 x = 0求出 y 即可；
（2）設直線 PQ的方程為 y = kx +1，由原點到直線 PQ的距離求出直線 PQ方程，再將直線 PQ方程與拋物線
方程聯立求解即可.
【詳解】
∵ 2拋物線C : x = 2 py p > 0 p的準線為 l : y = -1，∴ =1， p = 2 ，
2
∴拋物線C 的方程為 x2 = 4y，
2
∴由題意，P x0 , y0

0 < y0 <1 即P x0 ,
x0
÷，（0 < x20 < 4）∴ P x4 0 ,-1 ，è
1
又∵ O 0,0 ，∴直線OP 的方程為 y = - xx ，0
ìx2 = 4y
4 4
由 íy 1 x，解得
Q - , 2 ÷，
= - xx è 0
x0
0
2
y x- 0
4 x - x∴ 0直線 PQ的方程為 4 x2
= 4 ，（0 < x
2
0 < 4），
- 0 - - x
x2 4 x 00 0
2 2
y x- 0 y
x
-x -
0
4 x0
令 x = 0 4
0
，則 =4 x2
= 4 ，即 ，
- 0 - - x
2 x0 2 x 2 x
2 x 0 - ÷ +
0 ÷ 2 + 0x 4 x 2 ÷0 0 è 0 è x0 2 è x0 2
x2 x 2 x x2
∴ y - 0 = 0 - 0 ÷ =1- 0 ，∴ y =1，4 2 è x0 2 4
∴直線 PQ與 y 軸交于點 0,1 ，直線 PQ在 y 軸上的截距為1.
∵拋物線C 的方程為 x2 = 4y，∴直線 PQ與 y 軸交點為拋物線C 的焦點F ，
易知直線 PQ斜率存在，設直線 PQ的方程為 y = kx +1，即 kx - y +1 = 0，
0 - 0 +1則O 0,0 3到直線 PQ的距離 d = = 3，解得 k = ± ，
k 2 +1 2 3
k 3 PQ y 3由拋物線的對稱性，不妨取 = ，則直線 的方程為 = x +1，
3 3
ìx2 = 4y

由 í ，消去 x ，得3y23 -10y + 3 = 0，
y = x +1
3
設P xP , yP ，（0 < yP <1），Q xQ , y 1Q ，解得 yP = ， yQ = 3，3
1
∴ PP = +1
4 1
= ，且由拋物線焦點弦弦長， PQ = + 3
16
+ 2 = ，
3 3 3 3
PQ
∴ = 4PP .
故答案為：1， 4 .
26．（2024·全國· 2 3模擬預測）已知在四面體 ABCD中，AB = AC = BC = BD = CD = AD = 2，點 E 在VABC
3
內運動（含邊界位置），記平面 ABC 與平面BCD所成的角為a ，若 4S△ADE ×sina = 3S△BCE ×sin DAE ，則 SVBCE
的最大值為 .
【答案】 4 3 - 6
π
【分析】根據二面角的幾何法可得a = ，進而根據三角形面積關系可得EA = h ，即點 E 的軌跡為以點 A
3
為焦點、BC 為準線的拋物線在VABC 內的一段弧MN ，聯立直線與拋物線方程即可利用焦半徑求解.
【詳解】取BC 的中點為O，由于 AB = AC = BC = BD = CD = 2 ，所以OD ^ BC,OA ^ BC ,
所以 AOD 為平面 ABC 與平面BCD所成的角，由于OD = OA = 3, AD = 3,\ AOD
π π
= ,則a = ，
3 3
1
S × AD × AE ×sin DAE 3sin DAE
設點 E BC h △ADE到 的距離為 ，則 = 2 1 = ，即EA = h ，S△BCE BC ×h 4sina
2
故點 E 的軌跡為以點 A 為焦點、BC 為準線的拋物線在VABC 內的一段弧MN （如圖）,
3 3 3
建立如圖所示的直角坐標系，則C - ,1÷÷， A ,0÷÷ , BC : x = - ，
è 2 è 2 2
3 3
故拋物線方程為 y2 = 2 3x, 直線 AC : y = - 3
x - ÷÷，
è 2
x 7 3 -12 x 7 3 +12聯立兩者方程可得 = 或 = （舍去），即當點E 運動到 N , M 的位置時，此時
2 2
1
所以點 E 到BC h 7 3 -12 3的距離 的最大值為 + = 4 3 - 6，故 S
2 2 △BCE
= × BC ×h = 4 3 - 6max max .2
故答案為： 4 3 - 6
四、解答題
27．（2024 高二上·全國·課后作業）根據下列條件寫出拋物線的標準方程：
（1）焦點是F 3,0 ；
1
（2）準線方程是 x = - ；
4
（3）焦點到準線的距離是 2．
【答案】（1） y2 =12x；（2） y2 = x ；（3） y2 = ±4x 或 x2 = ±4y .
【分析】（1）根據拋物線的焦點坐標可寫出拋物線的標準方程；
（2）根據拋物線的準線方程可寫出拋物線的標準方程；
（3）根據拋物線的焦點到準線的距離可寫出拋物線的標準方程.
【詳解】（1）由題意可知拋物線的焦點在 x 軸的正半軸上，設拋物線的標準方程為 y2 = 2 px，
p
則 = 3，可得 p = 6，所以，拋物線的標準方程為 y2 =12x；
2
（2）由題意可知拋物線的焦點在 x 軸的正半軸上，設拋物線的標準方程為 y2 = 2 px，
p 1 1
則- = - ，可得 p = ，因此，拋物線的標準方程為 y2 = x ；
2 4 2
（3）拋物線的焦點到準線的距離為 p = 2 ，
所以，拋物線的標準方程為 y2 = ±4x 或 x2 = ±4y .
28 2．（2024 高二上·陜西延安·期末）已知拋物線C ： y = 2 px p > 0 的準線方程為 x=-1．
(1)求拋物線C 的方程；
(2)直線 l： y = x -1交拋物線C 于A 、 B 兩點，求弦長 AB ．
【答案】(1) y2 = 4x
(2)8
【分析】（1）根據拋物線的準線求得 p ，從而求得拋物線C 的方程.
（2）聯立直線 l的方程和拋物線的方程，根據根與系數關系求得 AB .
2 p
【詳解】（1）由拋物線C ： y = 2 px p > 0 的準線方程為 x=-1，得 =1，\ p = 2．
2
\拋物線C 的方程為 y2 = 4x．
（2）設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
ìy = x -1
由 í yy2 消去 ，得
2
= 4x x - 6x +1 = 0，則
x1 + x2 = 6， x1x2 =1．

又Q直線 l過拋物線C 的焦點，
\ AB = x1 + x2 + 2 = 8．
29．（2024 高二上·全國·課前預習）設直線 l : y = kx +1，拋物線C : y2 = 4x ，當 k 為何值時，l與C 相切 ？相
交？相離？
【答案】當 k =1時， l與C 相切；當 k <1時， l與C 相交； 當 k >1時， l與C 相離.
【分析】聯立直線方程和拋物線方程，分類討論即可.
ìy = kx +1,
【詳解】解：聯立方程，得 í
y
2 = 4x,
消去 y 并整理，得 k 2x2 + (2k - 4)x +1 = 0 .
當 k 0時，方程 k 2x2 + (2k - 4)x +1 = 0為一元二次方程.
所以D = (2k - 4)2 - 4k 2 = 16(1- k) .
當D = 0，即 k =1時， l與C 相切；
當D > 0，即 k <1且 k 0時， l與C 相交；
當D < 0，即 k >1時， l與C 相離.
1
當 k = 0時，直線 l的方程為 y =1，顯然與拋物線C 交于點 ,14 ÷ .è
綜上所述，當 k =1時， l與C 相切；當 k <1時， l與C 相交； 當 k >1時， l與C 相離.
30．（2024 高二下·陜西漢中·期末）在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 y2 = 2 px( p > 0)上一點 P 的橫坐標為
4，且點 P 到焦點 F 的距離為 5．
(1)求拋物線的方程；
uuur uuur
(2) 9若直線 l : x = my + t交拋物線于 A，B 兩點（位于對稱軸異側），且OA ×OB = ，求證：直線 l 必過定點．
4
【答案】(1) y2 = 4x
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意建立關于 p 的等式，解出即可求得拋物線方程；
uuur uuur
（2 9）設出 A, B坐標，聯立直線與拋物線方程，求得 y1 × y2 , x1 × x2 ，根據OA ×OB = ，建立等式求出 t，即可4
得出結果.
【詳解】（1）由題可知，點 P 到拋物線準線的距離為 5，
p
因為拋物線的準線方程為 x = - ，點 P 的橫坐標為 4，
2
p
所以 4 + = 5，解得 p = 2 ，所以拋物線的方程為 y2 = 4x；
2
y2 y2
（2）證明：設 A 1 , y1 ÷ , B4
2 , y2 ÷，且 y1 y2 < 0，
è è 4
ìx = my + t,
聯立 í 2 消去 x 可得 y
2 - 4my - 4t = 0
y = 4x,
，
則Δ =16m2 +16t > 0 ，且 y1 + y2 = 4m, y1 y2 = -4t < 0，即 t > 0，
2 2 y y 2
所以 x × x y1 y2 = × = 1 2 1 2 = t 2 ，4 4 16
uuur uuur
OA OB 9 x x y y 9× = + = t 2
9
由 ，得 1 2 1 2 ，即 - 4t = ，4 4 4
1 9
解得 t = - < 0（舍）或 t = ，故直線 l 的方程為 x = my
9
+ ，
2 2 2
9
所以直線 l 必過定點 ,0÷．
è 2
31．（2024· 2河北唐山·二模）已知拋物線C ：y = 2 px p > 0 的焦點為F ，A 為C 上一點，B 為準線 l上一點，
uuur uuur
BF = 2FA ， AB = 9
(1)求C 的方程；
(2) M ， N ，E x0 ,-2 是C 上的三點，若 kEM + kEN =1，求點E 到直線MN 距離的最大值．
【答案】(1) y2 = 4x
(2) 4 5
AF 1【分析】（1）根據已知條件得到 = AB = 3 uuur uuur，根據 BF = 2FA 得到 xA = p，再結合焦半徑公式即可得到 p = 2 ，3
從而得到 y2 = 4x .
（2）根據題意得到E 1,-2 ，設直線MN 的方程為 x = ty + n ，M x1, y1 ， N x2 , y2 ，與拋物線聯立得到
y y 4 4
4 y + y -16
1 + 2 = 4t ， y1 y2 = -4n
1 2
，根據斜率公式得到 kEM + kEN = + =y 2 y 2 y y 2 y ，從而得到1 - 2 - 1 2 - 1 + y2 + 4
n = -6t + 5，即可得到直線MN 過定點T 5,6 ，再根據當ET ^ MN 時，點E 到直線MN 距離最大求解即可.
【詳解】（1）如圖所示：
uuur uuur 1
由題意可知，因為 BF = 2FA ， AF = AB = 3，3
uuur uuur p p
由 BF = 2FA ， xB = - ， x2 F
= 可得 x
2 A
= p，
p
由拋物線的定義可知， AF = p + = 3，解得 p = 2 ．
2
則C 的方程為 y2 = 4x .
（2）如圖所示：
E x0 ,-2 在拋物線C 上，所以 x0 =1，
設直線MN 的方程為 x = ty + n ，M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
將 x = ty + n 代入 y2 = 4x，得 y2 - 4ty - 4n = 0
則 y1 + y2 = 4t ， y1 y2 = -4n
k y= 1 + 2 y1 + 2 4EM =x -1 y2
=
y - 2 ，同理 k
4
=
1 1 -1 1 EN y
4 2
- 2
4 y + y -16
k k 4 4 1 2 16t -16EM + EN = + = = =1y1 - 2 y2 - 2 y1 y2 - 2 y1 + y2 + 4 -4n -8t + 4
整理得， n = -6t + 5，
直線MN 的方程為 x = ty - 6t + 5，所以直線MN 過定點T 5,6 .
當ET ^ MN 時，點E 到直線MN 距離最大，
ET = 5 -1 2 + 6 + 2 2且最大距離為 = 4 5 ，
經檢驗符合題意.
32．（2024 高二下·廣東汕尾·期末）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 過點 a, 2 a （ a > 0）．
(1)求 C 的方程；
(2)若斜率為 3的直線過 C 的焦點，且與 C 交于 A，B 兩點，求線段 AB 的長度．
【答案】(1) y2 = 4x
16
(2)
3
【分析】（1）由拋物線過點 a, 2 a ，代入原式方程可得拋物線方程；
（2）由直線過拋物線的焦點與已知斜率可求出直線 AB，將直線 AB 與拋物線聯立，利用韋達定理結合拋物
線的定義可得答案.
【詳解】（1）∵拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 過點 a, 2 a (a > 0)，
∴ 2 p × a = 4a ．
又∵ a > 0，∴ 2 p = 4，
上故C 的方程為 y2 = 4x．
（2）設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
由（1）知，拋物線C 的焦點為F 1,0 ，
∵直線 AB 的斜率為 3，且過點F ，
∴直線 AB 的方程為 y = 3 x -1 ，
ìy = 3 x -1 , 2 x x 10聯立 í 2 得3x -10x + 3 = 0，則 1 + 2 = ．3 y = 4x,
AB x x p 10 2 16∴ = 1 + 2 + = + = ，3 3
16
故線段 AB 的長度為 ．
3
x233．（2024 高三·全國·專題練習）已知橢圓 + y2 =1，設直線 l 同時與橢圓和拋物線 y2 = 4x各恰有一個公
2
共交點，求直線 l 的方程．
y 2【答案】 = x + 2 或 y 2= - x - 2
2 2
【分析】根據直線 l 同時與橢圓和拋物線各恰有一個公共交點，可得判別式分別等于 0，即可求直線 l 的方
程．
【詳解】由題，直線 l的斜率存在，并設方程為 y = kx + m ，
ì x2
+ y2 =1
聯立 í 2 整理得 (1+ 2k 2 )x2 + 4kmx + 2m2 - 2 = 0 ，
y = kx + m
由D = 0可得16k 2m2 - 4(1+ 2k 2 )(2m2 - 2) = 0，
整理得m2 - 2k 2 -1 = 0，
ìy2 = 4x
聯立 í 整理得 k 2x2 + (2km - 4)x + m2 = 0，
y = kx + m
由D = 0可得 (2km - 4)2 - 4k 2m2 = 0，
化簡得-16km +16 = 0，則有 km =1，
ìm2 - 2k 2 -1 = 0
í 2k 4 + k 2 -1 = 0 k 2
1
由 可得 解得 = ，
km =1 2
ì ì
k
2 2
= k = -
所以 í 2 或 í 2 ，

m = 2

m = - 2
l y 2 2所以直線 的方程為 = x + 2 或 y = - x - 2 .
2 2
34．（2024 高二下· 2上海浦東新·期中）已知拋物線 y = 2 px p > 0 ，其焦點 F 到準線的距離為 2.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)若 O 為坐標原點，斜率為 2 且過焦點 F 的直線 l 交此拋物線于 A、B 兩點，求VAOB 的面積.
【答案】(1) y2 = 4x
(2) 5
【分析】（1）由題設可得 p = 2 ，即可得寫出拋物線標準方程；
（2）由已知有直線 l為 y = 2(x -1) ，聯立拋物線，應用韋達定理、弦長公式求 | AB |，點線距離公式求 O 到
直線 l的距離，進而求VAOB 的面積.
【詳解】（1）由焦點 F 到準線的距離為 2，即 p = 2 ，故拋物線的標準方程為 y2 = 4x；
（2）由（1）知：F (1,0)，則直線 l為 y = 2(x -1) ，即 2x - y - 2 = 0，
聯立拋物線可得： x2 - 3x +1 = 0，則 xA + xB = 3， xAxB =1，
所以 | AB |= 1+ k 2 × | x 21 - x2 |= 5 (x1 + x2 ) - 4x1x2 = 5，
| -2 | 2 5
又 O 到直線 l的距離 d = =
5 5
，
S 1所以 VOAB = | AB | d = 5 .2
35．（2024 高二上·廣西北海·期末）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) ，其準線方程為 x = -2．
(1)求拋物線C 的方程；
(2)不過原點O的直線 l : y = x + m與拋物線交于不同的兩點P,Q ，且OP ^ OQ，求m 的值．
【答案】(1) y2 = 8x
(2) -8
【分析】（1）由拋物線的準線方程求出 p ，可得拋物線C 的方程；
（2）設P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，聯立直線 l和拋物線C 的方程，消元寫出韋達定理，將OP ^ OQ用坐標表示，
代入韋達定理化簡計算，可得m 的值．
p
【詳解】（1）準線為 x = - = -2，\ p = 4，拋物線C 的方程為 y2 = 8x；
2
ìy
2 = 8x
（2）設P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，聯立 í ，得 x2 + (2m - 8)x + m2 = 0，
y = x + m
D = (2m - 8)2 - 4m2 > 0 ，得m < 2，則 x1 + x2 = 8 - 2m, x1x2 = m
2
，
uuur uuur
因為OP ^ OQ，則OP ×OQ = x1x2 + y1 y2 = 0，
則 x1x2 + y1 y2 = x1x2 + x1 + m x2 + m = 2x1x2 + m x1 + x + m22 = 2m2 + m(8 - 2m) + m2 = 0，即m m + 8 = 0，
\m = -8或m = 0，經檢驗，當m = 0時，直線過坐標原點，不合題意，又m = -8 < 2，符合題意；
綜上，m 的值為-8．
36．（2024 高二上·山東濱州·期中）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點為 F ，點 P x0，y0 在拋物線 C 上，
且 | PF |= x0 +1.
(1)求拋物線 C 的標準方程；
(2)若直線 l : x - y - 2 = 0與拋物線C 交于 A, B兩點，求△ABF 的面積.
【答案】(1) y2 = 4x
(2) 2 3
【分析】（1）根據拋物線的定義求出 p 可得拋物線 C 的標準方程；
（2）先聯立直線與拋物線，求出 | AB |，再求出點F 到直線 l的距離，然后由三角形面積公式可求出結果.
| PF | x p【詳解】（1）由拋物線的定義可得 = 0 + ，2
因為 | PF |= x0 +1
p
，所以 x0 + = x0 +1，解得 p = 2 ，2
故拋物線C 的標準方程為 y2 = 4x .
（2）設 A x1，y1 ，B x2，y2 ，由（1）知F 1，0 .
ìx - y - 2 = 0
由 í 2 ，得 y
2 - 4y -8 = 0，D =16 + 32 = 48 > 0y 4x , =
則 y1 + y2 = 4 ， y1 y2 = -8，
所以 | y1 - y2 |= (y
2
1 + y2 ) - 4y1y2 = 16 + 32 = 4 3 ,
所以 | AB |= (x1 - x2 )
2 + ( y - y )21 2 = (y1 + 2 - y2 - 2)
2 + (y1 - y2 )
2
= 2 | y1 - y2 |= 2 4 3 = 4 6 ,
l d |1- 2 | 2因為點F 到直線 的距離 = = ,
1+1 2
△ABF 1 1 2所以 的面積為 | AB | ×d = 4 6 = 2 3 .
2 2 2
37 2．（2024 高二上·河南·階段練習）已知拋物線C : y = 2 px p > 0 ，其焦點 F 到其準線的距離為 2，過焦點
F 且傾斜角為 45°的直線 l 交拋物線 C 于 A，B 兩點，
(1)求拋物線 C 的方程及其焦點坐標；
(2)求 AB ．
【答案】(1)拋物線 C 的方程為 y2 = 4x．焦點坐標為 1,0 ．
(2)8
【分析】（1）根據焦點 F 到其準線的距離求出 p ，即可求出拋物線 C 的方程及其焦點坐標.
（2）根據直線 l 過焦點 F 且傾斜角為 45°，得出直線 l 的方程，讓直線 l 與拋物線方程聯立，消去 y，設出
A，B 兩點坐標，根據拋物線的定義即可求出 AB .
2
【詳解】（1）由題意在拋物線C : y = 2 px p > 0 中，焦點 F 到其準線的距離為 2，
∴ p = 2 ，
∴拋物線 C 的方程為 y2 = 4x，焦點坐標為 1,0 ．
（2）由題意及（1）得
在拋物線C : y2 = 2 px p > 0 中，過焦點 F 且傾斜角為 45°的直線 l 的方程為 y = x -1，
ìy2 = 4x,
∴聯立方程組 í 消去 y 可得 x2 - 6x +1 = 0，
y = x -1,
設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，則 x1 + x2 = 6，
∴根據拋物線的定義， AB = x1 + x2 + p = 8．
38．（2024 高三上·四川內江·期末）已知直線 l與拋物線C : y2 = 8x 相交于A 、 B 兩點.
(1)若直線 l過點Q 4,1 ，且傾斜角為 45o ，求 AB 的值；
(2)若直線 l過點Q 4,1 ，且弦 AB 恰被Q平分，求 AB 所在直線的方程.
【答案】(1)8 5
(2) 4x - y -15 = 0
【分析】（1）先求直線 l的方程，聯立拋物線的方程，用弦長公式可得 AB .
（2）可用點差法解決中點弦問題.
【詳解】（1）因直線 l的傾斜角為 45o ，所以直線 l的斜率 k = tan 45o =1，
又因直線 l過點Q 4,1 ，
所以直線 l的方程為： y-1= x-4，即 y = x - 3，
聯立 y2 = 8x得 x2 -14x + 9 = 0，
設A xA, y A ，B xB, y B ，
所以 xA + xB =14 ， xA xB = 9 ，
所以 AB = 1+ k 2 é xA + x
2 - 4x x ùB A B = 2 14
2 - 4 9 = 8 5
（2）因A 、 B 在拋物線C : y2 = 8x 上，
所以 y2A = 8x
2
A， yB = 8xB ，
2 2
兩式相減得： yA - yB = 8xA -8xB ，
yA - yB 8 8 8
得 = = = = 4xA - x y
，
B A + yB 2yQ 2
故直線 l的斜率為 4，
所以直線 l的方程為： y -1 = 4 x - 4 ，即 4x - y -15 = 0
39 2．（2024 高三下·貴州黔東南·階段練習）已知拋物線C : y = 2 px 0 < p < 8 的焦點為F ，點M 4,0 ，點E
在C 上，且△EFM 是以E 為頂點的等腰三角形，其周長為 10.
(1)求拋物線C 的標準方程；
(2)若過點M 的直線與C 交于 A， B 兩點，點 N 4,4 與 A， B 不共線，判斷是否存在實數 t，使得直線 AN ，
BN 與直線 x = t 交于點 P ，Q，且以線段 PQ為直徑的圓過原點，若存在，求出 t的值；若不存在，請說明
理由.
【答案】(1) y2 = 4x
(2)存在， t = -4 .
【分析】（1）根據拋物線的標準方程和幾何關系即可求解；（2）設點后，根據長度關系和幾何關系即可求
解.
【詳解】（1）
C : y2 = 2 px 0 < p < 8 p焦點為 ( ,0)，
2
4+ p
三角形 EMF 為等腰三角形，所以 E 點的橫坐標為 2 ，
2
而點 E 在拋物線上，
E 4 p+ p
2
所以 點的縱坐標為 ，
2
2 2
所以 2 EF + MF = 2 p 2 - ÷ + 4 p
p
+ + 4 p- =10
è 4 2 2
解得 p = 2 或 -5 (舍去),
所以 y2 = 4x .
（2）
設 P t, m ，Q t, n
m + n
則以 PQ

為直徑的圓的圓心為 G t, 2 ÷
，
è
若該圓經過原點, 則原點到 G 的距離為 PQ 長度的一半,
2
t 2 + m + n
m - n
即 ÷ = ,
è 2 2
整理得 t 2 = -mn，
設點 A 坐標 (x1, y1) ，點 B 坐標 (x2 , y2 )，直線 AB 直線方程為 x = ay + 4，
ìx = ay + 4
聯立 íy2 ， = 4x
所以 y2 - 4ay -16 = 0，
所以 y1 + y2 = 4a， y1y2 = -16，
AN : y 4 y - 4所以直線 - = 1 (x - 4)x1 - 4
，
y 2又因為 1 = 4x1，
4
所以 y = (x - 4) + 4y1 + 4
，
4(y + t)
令 x = t 得 y = 1y + 4 ，1
m 4(y= 1 + t)即 y + 4 ，1
n 4(y2 + t)同理可得 = y2 + 4
由 t 2 = -mn，
t 2 16(y + t)(y + t)所以 = - 1 2(y1 + 4)(y2 + 4)
，
t 2 y y + 4t 2整理得， 1 2 (y1 + y2 ) +16t
2 = -16 é y1y
2
2 + t(y1 + y2 ) + t ù，
又 y1 + y2 = 4a， y1y2 = -16，
所以整理得 at 2 + 4at =16 - t 2 ，
即 at(t + 4) = (4 + t)(4 - t)，
上式要對任意 a恒成立，
則需要 4 + t = 0，
所以 t = -4 .
40．（2024 高二上·云南大理·期末）在平面直角坐標系 xOy 中，已知拋物線C ： y2 = 2 px經過點 A 1,2 ，直
線 l： y = kx + b與拋物線 C 交于 M，N 兩點.
(1)求拋物線 C 的方程；
(2)當 AM ^ AN 時，若對任意滿足條件的實數 k ，都有b = mk + n（m，n 為常數），求m + n的值.
【答案】(1) y2 = 4x
(2) m + n = -7 .
【分析】（1）將 A 1,2 代入拋物線中，求出 p = 2 ，得到答案；
uuuur uuur
（2）聯立直線 y = kx + b與拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由垂直關系得到 AM × AN = 0，代入兩
根之和，兩根之積，列出方程，求出答案.
【詳解】（1）因為拋物線C ： y2 = 2 px經過點 A 1,2 ，
則 4 = 2 p ，解得 p = 2 ，
故拋物線C 的方程為 y2 = 4x .
（2）設M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
ìy2 = 4x 2 2 2
聯立 í ，可得 k x + 2kb - 4 x + b = 0，
y = kx + b
則D = 2kb - 4 2 - 4k 2b2 > 0，得 kb -1< 0，
x 4 - 2kb
2
且 1 + x
b
2 = k 2
， x1x2 = k 2
，
y 4 - 2kb 4所以 1 + y2 = k x1 + x2 + 2b = + 2b = ，k k
y y kx b kx b k 2 x x kb x 4b1 2 = 1 + 2 + = 1 2 + 1 + x2 + b2 = .k
uuuur uuur
因為 AM ^ AN ，所以 AM × AN = 0，可得 x1 -1 x2 -1 + y1 - 2 y2 - 2 = 0，
即 x1x2 - x1 + x2 +1+ y1y2 - 2 y1 + y2 + 4 = 0，
2
所以5k + 6b -8 k + b2 - 4 = 0，
即 k + b - 2 5k + b + 2 = 0，
解得b = 2 - k 或b = -5k - 2，
當b = 2 - k 時，直線 y = kx + 2 - k 過點 A，不合題意；
所以b = -5k - 2，m = -5， n = -2，
即有m + n = -7 .
41．（2024 高二下·貴州黔東南·階段練習）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點F 關于拋物線C 的準線的對
稱點為P(-9,0)．
(1)求拋物線C 的方程；
(2)過點F 作斜率為 4 直線 l，交拋物線C 于A ， B 兩點，求 AB ．
【答案】(1) y2 =12x
51
(2)
4
【分析】（1）根據對稱的性質進行求解即可；
（2）根據一元二次方程根與系數關系，結合拋物線的定義進行求解即可.
p p
【詳解】（1）該拋物線的焦點坐標為 ,0÷，準線方程為 x = - ，
è 2 2
因為F 關于拋物線C 的準線的對稱點為P(-9,0)，
p p p
所以有 - - ÷ = - - -9 p = 6 y2 =12x ；2 è 2 2
（2）直線 l的方程為 y = 4 x - 3 ，與拋物線方程聯立，得
ìy = 4 x - 3 2
í 2 4x - 27x + 36 = 0，設 A x1, y1 , B xy =12x 2
, y2 ，

27
因此有 x1 + x2 = ，4
則有 AB = AF + BF = x1 - -3 + x2 - -3 = x1 + x2 + 6
27 6 51= + =
4 4
【點睛】關鍵點睛：利用拋物線的定義，結合一元二次方程的根與系數關系是解題的關鍵
42．（2024 高二上·全國·課后作業）直線 l : y = 2x +1與拋物線 y2 =12x交于 A x1, y1 , B x2 , y2 兩點，求線段
AB 的長．
【答案】 | AB |= 15 ．
【分析】直線方程 l : y = 2x +1與拋物線方程聯解得一個關于 x 的一元二次方程，利用根與系數的關系結合曲
線的弦長的公式，可以求出線段 AB 的長度．
【詳解】解：拋物線 y2 =12x，直線 l : y = 2x +1，
將直線方程代入到拋物線方程中，得： (2x +1)2 =12x，
整理得： 4x2 -8x +1 = 0 ，
設 A(x1 ， y1)， B(x2 ， y2 )，
1
由一元二次方程根與系數的關系得： x1 + x2 = 2， x1 × x2 = ，4
所以弦長 AB = 1+ k 2 x1 - x2 = 1+ 4 × 4 -1 = 15 ．
43．（2024 2高二下·四川達州·期末）已知拋物線E : y = 2 px p > 0 上任意一點 M 到焦點 F 的距離比 M 到 y
軸的距離大 1．
(1)求 E 的標準方程；
(2) l1 I l2 = F ， l1 ^ l2， l1交 E 于 A，C 兩點， l2交 E 于 B，D 兩點．求四邊形 ABCD 的面積的最小值．
【答案】(1) y2 = 4x
(2)32
p
【分析】（1）由題意，根據拋物線的定義可知 =1，從而可得拋物線 E 的標準方程；
2
（2）設出 l1, l2 的方程，與拋物線方程聯立，結合韋達定理及拋物線定義求出 | AC |， | BD |，由
S 1ABCD = | AC | × | BD |結合基本不等式求出最小值．2
E : y2 2 px p 0 F p【詳解】（1）拋物線 = > p的焦點 ,02 ÷，準線 x = - ．è 2
∵拋物線上任意一點 M 到焦點 F 的距離比 M 到 y 軸的距離大 1．
p
根據拋物線的定義可知， =1，∴ p = 2 ，
2
∴拋物線 E 的標準方程為 y2 = 4x .
（2）由題可知 l1, l2 均有斜率且斜率不為零，且過焦點F 1,0 ，
設 l1 : x = ky +1 l : x
1
， 2 = - y +1， k 0，設 A x1, y1 ,C x2 , y k 2 ，
ìx = ky +1
由 í ，消 x 可得 y2y2 4x -4ky -4 = 0， =
∴ D = -4k 2 - 4 -4 =16k 2 +16 > 0， y1 + y2 = 4k ，
∴ x1 + x
2
2 = k y1 + y2 + 2 = 4k + 2 ，
∴ | AC |= x + x + p = 4k 21 2 + 4 = 4 k 2 +1 ，
同理可得 | BD |= 4
1 +1 ÷，
è k 2
1
∴ SABCD = | AC | × | BD |= 82
2 1 2 1 2 1 k +1 2 +1÷ = 8 2 + k + 2 ÷ 8 2 + 2 k × 2 ÷÷ = 32，è k è k è k
當且僅當 k = ±1時取等號，
∴四邊形 ABCD 面積的最小值為 32．
44．（2024 高二下·浙江杭州·期末）設拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) ，過焦點F 的直線與拋物線C 交于點
A x1, y1 ，B x2 , y2 .當直線 AB 垂直于 x 軸時， AB = 2 .
(1)求拋物線C 的標準方程.
(2)已知點P 1,0 ，直線 AP ，BP分別與拋物線C 交于點C ，D .
①求證：直線CD過定點；
②求VPAB 與△PCD面積之和的最小值.
【答案】(1)C : y2 = 2x
5
(2)①證明見解析；② .
2
【分析】（1）利用弦長求解 p，即可求解拋物線方程；
（2）（i）設直線方程，與拋物線聯立，韋達定理找到坐標關系，表示出直線方程，即可求出定點；
（ii）利用面積分割法求出兩個三角形面積表達式，然后利用二次函數求最值即可.
p
【詳解】（1）由題意，當直線 AB 垂直于 x 軸時， x1 = ，代入拋物線方程得 y1 = ± p ，則 AB = 2 p ，所以2
2 p = 2，即 p = 1，所以拋物線C : y2 = 2x .
1
（2）（i）設C x3 , y3 ，D x4 , y4 ，直線 AB : x = my + ，2
與拋物線C : y2 = 2x 聯立，得 y2 - 2my -1 = 0，因此 y1 + y2 = 2m ， y1 y2 = -1 .
設直線 AC : x = ny +1，與拋物線C : y2 = 2x 聯立，得 y2 - 2ny - 2 = 0 ，
-2 -2
因此 y1 + y3 = 2n ， y1y3 = -2 ，則 y3 = y .同理可得
y4 = y .1 2
k y3 - y4 y3 - y4 2 2 y y 1CD = = 2 2 = = = -
1 2 =
所以 x3 - x4 y3 y- 4 y + y
-2 -2
3 4 + y1 + y2 2m .
2 2 y1 y2
因此直線CD : x = 2m y - y3 + x3，由對稱性知，定點在 x 軸上，
令 y = 0 得，
2 2
x = -2my y+ x = -2my + 3 -2 1 -2 4m 23 3 3 = -2m + = +2 y ÷1 2 è y1 y1 y
2
1
2 y1 + y2 2 y2 1 y y +1= + 2 = 2 + 2 + 2 ÷ = 2 + 2 × 1 22 = 2，y1 y1 è y1 y1 y1
所以直線CD過定點Q 2,0 .
1 1
（ii）因為 SVPAB = PF × y1 - y2 = y1 - y2 ，2 4
S 1 1 -2 -2 1 1 y - yVPCD = PQ × y3 - y4 = - = - = 1 2 = y1 - y2 ，2 2 y1 y2 y1 y2 y1y2
所以 SVPAB + S
5
VPCD = y1 - y
5
2 = 4m
2 + 4 5 5= m2 +1 ，
4 4 2 2
5
當且僅當m = 0時取到最小值 .
2
45．（2024·河北衡水·模擬預測）已知點M (1,-2) 在拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 上，過點 N (0, -1)的直線 l與C 相
交于 A, B兩點，直線MA, MB分別與 y 軸相交于點D, E .
(1)當弦 AB 的中點橫坐標為 3 時，求 l的一般方程;
uuur uuur uuur uuur mn
(2)設O為原點，若DN = mON , EN = nON ，求證: 為定值.
m + n
【答案】(1) x - y -1 = 0或 2x + 3y + 3 = 0
(2)證明見解析
【分析】（1）先求拋物線的方程，再利用根與系數的關系可得直線的斜率，然后可得方程；
（2）利用向量相等表示出參數，進而通過根與系數的關系整體代入消掉變量即得結果.
【詳解】（1）由點M (1,-2) 在拋物線C : y2 = 2 px上，所以 p = 2 ，
所以拋物線C 的方程為 y2 = 4x .設直線 l的方程為 y = kx -1(k 0), A x1, y1 , B x2 , y2 .
ì y2 = 4x
由 í ，得 k 2x2 - (2k + 4)x +1 = 0 .依題意D = (2k + 4)2 - 4 k 2 1 > 0，
y = kx -1
x x 2k + 4 , x x 1解得 k > -1且 k 0 .且 1 + 2 = = .k 2 1 2 k 2
2k + 4
因為弦 AB 的中點橫坐標為 3，所以 x1 + x2 = 6，即 = 6 ，k 2
2
解得 k =1或 k = - ，所以 l的一般方程為 x - y -1 = 0或 2x + 3y + 3 = 0 .
3
y + 2
（2）直線MA 1的方程為 y + 2 = (x -1)x1 -1
，
1- (k + 2)x
又 y1 = kx 1
1 1- (k + 2)x
1 - ，令 x = 0，得點D的縱坐標為 yD = .所以D 0, 1x1 -1
，
è x1 -1
÷


E 0,1- (k + 2)x同理得點E 的坐標為 2

x -1 ÷
.
è 2
uuur uuur uuur uuur
m 1 y (1+ k)x1 n 1 y (1+ k)x由DN = mON , EN = nON ，得 = + D = - = + = - 2x -1 ， E x -1 .1 2
1 1 1- x1 1- x+ = + 2 1 x1 + x所以 = 2

2 1- = (2k + 4 - 2) = 2
m n (k +1)x1 (k +1)x
.
2 k +1

è x1x
÷
2 k +1
mn 1 1
= = mn 1
所以 m + n 1 1+ 2 ，即 為定值 .
m n m + n 2
46．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系 xOy 中，直線 l : x = -2與 x 軸交于點A ，過 l右側
的點 P 作PM ^ l，垂足為M ，且 PA = PM + OA ．
(1)求點 P 的軌跡C 的方程；
uuur uuur
(2)過點B 1,0 的動直線 l 交軌跡C 于 S ,T ，設Q -3,0 ，證明：QS ×QT 為定值．
【答案】(1) y2 = 4x +12
(2)證明見解析
【分析】（1）根據提意思，設 P(x, y) ，得到M (-2, y)，結合 PA = PM + OA ，利用距離公式化簡，即可求
解曲線C 的方程；
（2）當直線 l 的斜率存在，可設 l : y = k(x -1)，聯立方程組，設 S(x1, y1),T (x2 , y2 ) ，求得
2k 2 + 4 k 2 -12 uuur uuur uuur uuurx1 + x2 = 2 , x1x2 = 2 ，化簡QS ×QT = (1+ k
2)x1x2 + (3- k
2)(x + x ) +9+ k2，代入求得QS ×QT = 0；
k k 1 2
uuur uuur
當直線 l 的斜率不存在，此時 l : x =1，求得 S(1, 4),T (1,-4)，得到QS ×QT = 0，即可求解.
【詳解】（1）由題意，直線 l : x = -2與 x 軸交于點A ，過 l右側的點 P 作PM ^ l，
可得O(0,0), A(-2,0)，設 P(x, y) ，則M (-2, y)，
因為 PA = PM + OA ，可得 (x + 2)2 + y2 = x - (-2) + 2，
即 (x + 2)2 + y2 = x + 4 ，整理得 y2 = 4x +12 .
（2）當直線 l 的斜率存在，可設直線 l : y = k(x -1)，
ìy = k(x -1)
聯立方程組 íy2 4x 12，整理得
k 2x2 - (2k 2 + 4)x + k 2 -12 = 0，
= +
設 S(x1, y1),T (x2 , y2 ) ，
因為直線 l 與曲線C 交于兩點，則D = (2k 2 + 4)2 - 4k 2 (k 2 -12) > 0，
x x 2k
2 + 4 k 2, x x -12且 1 + 2 = = ，k 2 1 2 k 2
uuur uuur
因為Q -3,0 ，可得QS = (x1 + 3, y1),QT = (x2 + 3, y2 )，
uuur uuur
所以QS ×QT = (x1 + 3)(x2 + 3) + y1 y2 = (x1 + 3)(x2 + 3) + k
2 (x1 -1)(x2 -1)
2 2
= (1+ k 2 )x1x2 + (3 - k
2 )(x1 + x2 ) + 9 + k
2 = (1+ k 2 ) k -12 2 + (3- k
2 ) 2k + 4 2 + 9 + k
2
k k
k 2 -12 2
= + (k 2 12) 6k +12- + - (2k 2 + 4) + 9 + k 2
k 2 k 2
=1 12- 2 + k
2 -12 12+ 6 + - 2k 22 - 4 + 9 + k
2 = 0 ；
k k
當直線 l 的斜率不存在，此時直線 l : x =1，
ìx =1
聯立方程組 í 2 ，解得 x = ±4，不妨設 S(1, 4),T (1,-4)，
y = 4x +12
uuur uuur uuur uuur
此時QS = (4, 4),QT = (4, -4) ，可得QS ×QT = 0，
uuur uuur
綜上可得，QS ×QT 為定值0 .
47．（

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