資源簡介

3.3.1 拋物線及其標準方程 5 題型分類
一、拋物線的定義
1．定義：平面內與一定點 F 和一條定直線 l(不經過點 F)距離相等的點的軌跡．
2．焦點：定點 F.
3．準線：定直線 l.
二、拋物線的標準方程
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2＝2px(p>0) (p，02 ) px＝－2
y2
p
＝－2px(p>0) ( p－ ，0) x＝2 2
p
x2＝2py(p>0) ( p0，2) y＝－2
x2
p
＝－2py(p>0) ( p0，－2) y＝2
（一）
拋物線定義的理解
拋物線的定義
1．拋物線的定義：平面內與一定點 F 和一條定直線 l(不經過點 F)距離相等的點的軌跡．集合
表示：P = M MF = d , d為點M到準線l的距離 .其中定點 F 為焦點，定直線 l 為準線.
2.拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互
轉化，這也是利用拋物線定義解題的實質．
題型 1：拋物線定義的理解
1-1．（2024·上海浦東新·模擬預測）若拋物線 x2 = 28y上一點 (x0 , y0 )到焦點的距離是該點到 x 軸距離的 3 倍，
則 y0 = .
7
【答案】 /3.5
2
【分析】由題意列出方程，求出 y
7
0 = .2
p =14 y p 7【詳解】由題知： ，故由焦半徑公式得： 0 = 3y0 y0 = .2 2
7
故答案為： .
2
1-2．（2024 高二下·四川瀘州·期末）已知拋物線C : y2 = 8x 的焦點為 F，點 P 在 C 上，若點Q 6,3 ，則△PQF
周長的最小值為（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】由拋物線的定義結合三點共線取得最小值.
【詳解】 y2 = 2 4x ，故F 2,0 ,
記拋物線C 的準線為 l，則 l： x = -2，
記點 P 到 l的距離為 d ，點Q 6,3 到 l的距離為d ，
則 PQ PF QF = PQ d 6 - 2 2 3- 0 2 d 5 = 8 5 =13 .
故選：A.
1-3．（2024·海南·模擬預測）已知直線 l1 : 4x - 3y 6 = 0和直線 l2 : x = -2，拋物線 y2 = 4x上一動點 P 到直線
l1和 l2距離之和的最小值是（ ）
A 3 5
16
． 1 B．2 C． D．3
5 5
【答案】D
【分析】根據拋物線的定義可得動點 P 到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值為焦點F 到直線
l1 : 4x - 3y 6 = 0的距離加 1，由點到直線的距離公式計算可得選項.
【詳解】由題可知 x = -1是拋物線 y2 = 4x的準線，設拋物線的焦點為F ，則F 1,0 ，
所以動點 P 到 l2的距離等于 P 到 x = -1的距離加 1，即動點 P 到 l2的距離等于 PF 1.
所以動點 P 到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值為焦點F 到直線 l1 : 4x - 3y 6 = 0的距離加 1，
4 - 0 6
即其最小值是 1 = 3 .
5
故選：D
1-4．（2024 高二上·陜西西安·期末）若拋物線 y2 = 4x上一點 P 到 x 軸的距離為 2 3 ，則點 P 到拋物線的焦
點F 的距離為 ．
【答案】4
【分析】根據拋物線的定義計算焦半徑即可.
2
【詳解】由題意可得， p = 2 ，P 縱坐標為 y = 2 3 P x yP ，由其解析式可得 橫坐標為 PP = = 3，4
p
由拋物線定義知 PF = xP = 4 .2
故答案為：4
1-5．（2024 高二下·陜西榆林·期末）已知拋物線C : y2 = 4x 的焦點為F ，點M 在C 上，若M 到直線 x = -3
的距離為 7，則 MF = .
【答案】5
【分析】根據題意轉化為點M 到準線 x = -1的距離為5，結合拋物線的定義，即可求解.
【詳解】由拋物線C : y2 = 4x 的焦點為F (1,0)，準線方程為 x = -1，
因為點M 在C 上，且M 到直線 x = -3的距離為7 ，
可得M 到直線 x = -1的距離為7 - 2=5，即點M 到準線的距離為5，
根據拋物線的定義，可得點M 到焦點的距離等于點M 到準線的距離，
所以 MF = 5 .
故答案為：5 .
1-6．（2024 高二下·云南曲靖·期末）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點F 到其準線的距離為 4, M 是拋物
線C 上一點，若 A 2,3 ，則 MF MA 的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】由拋物線的焦點坐標求得 p ，設M , A在準線 l上的射影為M1, A1，利用拋物線的定義進行轉化后易
得最小值．
【詳解】由焦點F 到其準線的距離為 4, 得 p = 4 ；
設M , A在準線 l : x = -2上的射影為M1, A1如圖,
則 MA MF = MA MM1 AA1 = 2+2=4，
當且僅當 A1, M , A共線時取得等號．所以所求最小值是 4．
故選：D．
1-7．（2024·西藏日喀則·一模）已知點 P 為拋物線 y2 = 2 p（x p > 0）上一動點，點 Q 為圓C : (x 2)2 (y - 4)2 =1
上一動點，點 F 為拋物線的焦點，點 P 到 y 軸的距離為 d，若 PQ d 的最小值為 3，則 p =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由拋物線的定義，數形結合可知當C,Q, P, F 共線，且P,Q 在線段CF 上時， PQ PF 最短，此時
PQ d 有最小值，列方程即可求解.
【詳解】圓C : (x 2)2 (y - 4)2 =1的圓心C(-2,4)，半徑 r =1，
p
拋物線 y2 = 2 p（x p 0 > ）的焦點為 ,0

÷，準線為 x
p
= - ，
è 2 2
p
則由拋的線的定義可知點 P 到 y 軸的距離為 d = PF - ，
2
所以 PQ
p
d = PQ PF - ，
2
由圖可知，當C,Q, P, F 共線，且P,Q 在線段CF 上時， PQ PF 最短，
p 2
而 CF = 22 ÷
16 ，
è
因為 PQ PF
p p
- = CF - r - = 3，
2 2
p 2 p
所以 22 ÷
16 -1- = 3，解得 p = 2 ，
è 2
故選：B
1-8．（2024 高三下· 2河南開封·期末）已知拋物線E : x2 = 4y ，圓C : x2 y - 3 =1，P 為E 上一點，Q為C
上一點，則 PQ 的最小值為（ ）
A．5 B． 2 2 -1 C．2 2 D．3
【答案】B
【分析】先利用配方法求得 P 到圓心C 的最小距離，從而求得 P 到Q的最小距離.
【詳解】由題意知C(0,3)， r =1，設P x0 , y0 ，則x 20 = 4y 0，
所以 PC = x2 2 20 y0 - 3 = y0 - 2y0 9 = y0 -1
2 8 ，
故當 y0 =1時， PC = 2 2min ，
所以 PQ = PC - r = 2 2 -1min min .
故選：B.
（二）
求拋物線的標準方程
用待定系數法求拋物線標準方程的步驟
注意：當拋物線的類型沒有確定時，可設方程為 y2＝mx(m≠0)或 x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討
論情況的個數．
題型 2：求拋物線的標準方程
2-1．（2024 高二上·全國·課后作業）頂點在原點、坐標軸為對稱軸的拋物線，過點 -1,2 ，則它的方程是
（ ）
A． y = 2x2 或 y2 = -4x B． y2 = -4x 或 x2 = 2 y
C． x2
1
= - y D． y2 = -4x
2
【答案】A
【分析】分焦點在 x 軸和 y 軸上討論，并利用待定系數法即可得到答案.
【詳解】當拋物線的焦點在 x 軸上時，
設拋物線的方程為 y2 = -2 px( p > 0) ．
因為拋物線過點 -1,2 ，
22所以 = -2 p -1 ，所以 p = 2 ．
所以拋物線的方程為 y2 = -4x ；
當拋物線的焦點在 y 軸上時，
因為拋物線過點 -1,2 ，
設拋物線的方程為 x2 = 2 py( p > 0) ，
因為拋物線過點 -1,2 ，
1
所以 (-1)2 = 2 p 2，所以 p = ，
4
x2 1所以拋物線的方程為 = y，即 y = 2x2 ，
2
綜上拋物線的方程為 y = 2x2 或 y2 = -4x .
故選：A.
2-2．（2024 高二下·陜西榆林·階段練習）以 x 軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點P 1,m 到焦點的
距離為 3，則拋物線的方程是（ ）
A． y = 8x2 B． y =12x2 C． y2 = 8x D． y2 =12x
【答案】C
【分析】利用拋物線的定義求解．
【詳解】根據題意，可設拋物線的方程為 y2 = 2 px( p > 0)，
p
由拋物線的定義知1 = 32 ，即
p = 4 ，
所以拋物線方程為 y2 = 8x．
故選：C．
2-3．（2024·河南新鄉·三模）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點為 F，C 上一點M x0 , x0 x0 0 滿足
| MF |= 5，則拋物線 C 的方程為（ ）
A． y2 = 2x B． y2 = x C． y2 = 8x D． y2 = 4x
【答案】D
【分析】根據點M x0 , x0 x0 0 為拋物線上一點，代入拋物線方程，再由 | MF |= 5，利用拋物線的定義求
解.
2
【詳解】解：依題意得 x0 = 2 px0 ，
因為 x0 0，所以 x0 = 2 p .
又 | MF |
p
= x0 = 5，解得 p = 2 ，2
所以拋物線C 的方程為 y2 = 4x .
故選：D
2-4．（2024 高二下·云南保山·期末）過點 1, -4 ，且焦點在 y 軸上的拋物線的標準方程是 .
【答案】 x2
1
= - y
4
【分析】利用待定系數法，設出拋物線方程，把點代入求解即可.
【詳解】設方程為 x2 = ny(n 0)，則有12 = n(-4) ，
n 1= - x2 1解得 ，即有 = - y .
4 4
2 1
故答案為： x = - y .
4
2-5．（2024 高二下·陜西漢中·期中）已知拋物線的焦點在 y 軸上，頂點在坐標原點 O，且經過點P x0 , 2 ，
若點 P 到該拋物線焦點的距離為 4，則該拋物線的方程為 ．
【答案】 x2 = 8y
【分析】利用待定系數法直接求解.
【詳解】因為拋物線的焦點在 y 軸上，頂點在坐標原點 O，且經過點P x0 , 2 ，
所以可設拋物線： x2 = 2 py .
p
由拋物線的定義可得： 2 = 4，解得： p = 4 .
2
所以拋物線的方程為： x2 = 8y .
故答案為： x2 = 8y .
題型 3：根據拋物線方程求焦點和準線
3-1．（2024·青海西寧·二模）已知函數 y = loga 3x - 2 2（ a > 0且 a 1）的圖像過定點 A，若拋物線 y2 = 2 px
也過點 A，則拋物線的準線方程為 .
【答案】x=-1
【分析】先求出 A 點的坐標，再求出 p 即可.
【詳解】因為函數 y =loga x 經過定點 1,0 ，所以函數 y = loga 3x - 2 2 經過
定點 A 1,2 ，將它代入拋物線方程得 22 = 2 p 1 ，解得 p = 2 ，
所以其準線方程為 x=-1；
故答案為： x = -1 .
3-2．（2024 高二下·上海浦東新·期末）拋物線 y2 = ax a 0 的準線方程是 ．
a
【答案】 x = -
4
【分析】根據拋物線的方程即得.
【詳解】因為拋物線的方程為 y2 = ax a 0 ，
2 a所以拋物線 y = ax a 0 的準線方程是 x = - .
4
x a故答案為： = - .
4
3-3．（2024 高三上·四川內江·期末）拋物線 y2 = -4x 的焦點坐標是（ ）
A． 1,0 B． -1,0
C． 0, -1 D． 0,1
【答案】B
【分析】根據拋物線的標準方程即可求解焦點坐標.
【詳解】由 y2 = -4x 得 2 p = -4,\ p = -2 ，故焦點為 -1,0 ，
故選：B
（三）
利用拋物線定義解決軌跡問題
求軌跡方程的常用方法
(1)直接法
設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據幾何條件直接轉換成 x，y 間的關系式；
(2)定義法
若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數法求出軌跡方程；
(3)相關點法(代入法)
有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉
移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去．
題型 4：利用拋物線定義解決軌跡問題
4-1．（2024 高三下·江西·階段練習）設圓O : x2 y2 = 4 與 y 軸交于 A，B 兩點（A 在 B 的上方），過 B 作
圓 O 的切線 l，若動點 P 到 A 的距離等于 P 到 l 的距離，則動點 P 的軌跡方程為（ ）
A． x2 = 8y B． x2 =16y C． y2 = 8x D． y2 =16x
【答案】A
【分析】根據題意分別求得A ， B 的坐標與切線 l，再根據拋物線的定義即可求得動點 P 的軌跡方程．
【詳解】因為圓O : x2 y2 = 4 與 y 軸交于A ， B 兩點（A 在 B 的上方），
所以 A(0, 2)， B(0,-2)，
又因為過 B 作圓O的切線 l，
所以切線 l的方程為 y = -2，
因為動點 P 到A 的距離等于 P 到 l的距離，
所以動點 P 的軌跡為拋物線，且其焦點為 (0,2)，準線為 y=- 2 ，
所以 P 的軌跡方程為 x2 = 8y．
故選：A.
4-2 2．（2024 高二上·全國·課前預習）已知動點M x, y 的坐標滿足 x - 2 y2 = x 2 ，則動點M 的軌跡
方程為 ．
【答案】 y2 = 8x
x - 2 2【分析】將 y2 轉化為動點M 到點F 2,0 的距離， x 2 轉化為動點M 到直線 l : x = -2的距離，
再根據拋物線的定義，即可求出結果.
2
【詳解】設 F 2,0 ，直線 l : x = -2，則動點M 到點F 的距離為 x - 2 y2 ，動點M 到直線 l : x = -2，的距離
為 x 2 ，又因為 x - 2 2 y2 = x 2 ，
所以動點 M 的軌跡是以F 2,0 為焦點， x = -2為準線的拋物線，其軌跡方程為 y2 = 8x．
故答案為： y2 = 8x
4-3．（2024 高三·全國·專題練習）已知點F 0,2 ，過點P 0, - 2 且與 y 軸垂直的直線為 l1， l2 ^ x軸，交 l1
于點 N，直線 l 垂直平分 FN，交 l2于點 M. 求點 M 的軌跡方程；
【答案】 x2 = 8y
【分析】由拋物線的定義求解即可.
【詳解】
由題意得 FM = MN ，即動點 M 到點F 0,2 的距離和到直線 y=- 2 的距離相等，
所以點 M 的軌跡是以F 0,2 為焦點，直線 y=- 2 為準線的拋物線，
根據拋物線定義可知點 M 的軌跡方程為 x2 = 8y；
4-4．（2024 高三·全國·專題練習）動點M x, y 到 y 軸的距離比它到定點 2,0 的距離小 2，求動點M x, y
的軌跡方程．
【答案】 y = 0 x < 0 或 y2 = 8x．
【分析】由動點 M 到 y 軸的距離比它到定點 2,0 的距離小 2，利用拋物線的定義求解.
【詳解】解：∵動點 M 到 y 軸的距離比它到定點 2,0 的距離小 2，
∴動點 M 到定點 2,0 的距離與它到定直線 x = -2的距離相等．
∴動點 M 到軌跡是以 2,0 為焦點， x = -2為準線的拋物線，且 p = 4 ．
∴拋物線的方程為 y2 = 8x，
又∵x 軸上點 0,0 左側的點到 y 軸的距離比它到 2,0 點的距離小 2，
∴M 點的軌跡方程為 y = 0 x < 0 ②．
綜上，得動點 M 的軌跡方程為 y = 0 x < 0 或 y2 = 8x．
（四）
拋物線方程的實際應用
求解拋物線實際應用題的步驟：
題型 5：拋物線方程的實際應用
5-1．（2024 高二下·吉林長春·開學考試）數學與建筑的結合造就建筑藝術，如圖，吉林大學的校門是一拋
物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線 y = ax2的一部分，其焦點坐標
為 0, -2 ．校門最高點到地面距離約為 18.2 米，則校門位于地面寬度最大約為（ ）
A．18 米 B．21 米 C．24 米 D．27 米
【答案】C
【分析】將拋物線方程化為標準式，根據焦點坐標求出 a的值，即可得到拋物線方程，再令 y = -18.2求出 x
的估值，從而得解.
【詳解】依題意知，拋物線 y = ax2，即 x2
1
= y ，
a
因為拋物線的焦點坐標為 0, -2 1，所以 = -2 1，所以a = - ，
4a 8
y 1所以拋物線方程為 = - x2 ，
8
令 y = -18.2，則 x2 =145.6 144，解得 x ±12，
所以校門位于地面寬度最大約為 24米.
故選：C.
5-2．（2024 高三下·河北·階段練習）圖中是拋物線形拱橋，當水面在m 時，拱頂距離水面 2 米，水面寬度
為 8 米，則當水面寬度為 10 米時，拱頂與水面之間的距離為（ ）
25 25 25 25
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2 4 6 8
【答案】D
【分析】以拱頂為坐標原點，建立直角坐標系，設拱橋所在拋物線的方程為 x2 = -2 py( p > 0)，根據拋物線
過點 4, -2 ，求出 p 的值，即可得到拋物線方程，再令 x = 5，求出 y 的值，即可得解.
【詳解】以拱頂為坐標原點，建立直角坐標系，
可設拱橋所在拋物線的方程為 x2 = -2 py( p > 0)，
又拋物線過點 4, -2 ，則16 = 4 p，解得 p = 4 ，
25
則拋物線的方程為 x2 = -8y ，當 x = 5時， y = - ，
8
25
故當水面寬度為10米時，拱頂與水面之間的距離為 米.
8
故選：D
5-3．（2024 高三下·陜西榆林·階段練習）有一個隧道內設雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構成，
如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為
0.7m，若行車道總寬度為 7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為 m.
【答案】3.8
【分析】由題意，建立平面直角坐標系，明確點的坐標，求出拋物線方程，可得答案.
【詳解】由題意，如圖建系：
則E -4.8, -4.8 ，F 4.8,-4.8 ，D -4.8, -7.2 ，C 4.8,-7.2 ，
2 1 5
如圖可設，拋物線方程為 y = ax2，將E 代入，可得-4.8 = a × 4.8 ，求得 a = - = - ，
4.8 24
5 2
故拋物線方程為 y = - x ，
24
5
將 x = 3.6 2代入拋物線方程，可得 y = - 3.6 = -2.7 ，
24
7.2 - 0.7 - 2.7 = 3.8 .
故答案為：3.8.
5-4．（2024·河南·模擬預測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特
征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3cm ，碗蓋口直徑為8cm ，碗體口直徑
為10cm，碗體深6.25cm，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）
（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8.25cm
【答案】C
【分析】如圖建立平面直角坐標系，設碗體的拋物線方程為 x2 = 2 py （ p > 0），將點 5,6.25 代入求出 p ，
即可得到拋物線方程，設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為 h cm ，則兩拋物線在第一象
限的交點為 4, h - 3 ，代入方程計算可得.
【詳解】以碗體的最低點為原點，向上方向為 y 軸，建立直角坐標系，如圖所示．
設碗體的拋物線方程為 x2 = 2 py （ p > 0），將點 5,6.25 代入，得52 = 2 p 6.25，
解得 p = 2 ，則 x2 = 4y，
設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為 h cm ，
2
則兩拋物線在第一象限的交點為 4, h - 3 ，代入到 x2 = 4y，解得 4 = 4 h - 3 ，解得 h = 7．
故選：C
一、單選題
1．（2024 高二下·湖北·期中）已知VABC 的頂點都在拋物線 y2 = 4x上，且VABC 的重心為拋物線的焦點
uuur uuur uuur
F，則 AF BF CF = （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【分析】根據重心坐標公式以及拋物線的焦半徑公式即可求解.
【詳解】由題意得 p = 2 , F 1,0 ，設 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，C x3 , y3 ，
x x x
QF 點是VABC

的重心，\F 1 2 3 ,
y1 y2 y3
÷，\ x1 x2 x3 = 3，
è 3 3
uuur uuur uuur
根據拋物線的定義可得 AF BF CF
p p p 3p
= x1 x2 x3 = x1 x x2 2 2 2 3
= 6 .
2
故選：B.
2．（2024 高二下·廣東東莞·階段練習）一種衛星接收天線（如圖 1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物
線的一部分（如圖 2），已知該衛星接收天線的口徑 AB = 8米，深度MO =1米，信號處理中心F 位于焦點
處，以頂點O為坐標原點，建立如圖 2 所示的平面直角坐標系 xOy ，則該拋物線的方程為（ ）
A． y2 = 8x B． y2 =16x C． y = 8x2 D． y =16x2
【答案】B
【分析】結合圖形知拋物線經過 A(1, 4)，設出拋物線方程 y2 = 2 px( p > 0)，求出 p 即可.
【詳解】由題意，結合圖形可知， A(1, 4)，由于該拋物線開口向右，可設 y2 = 2 px( p > 0)，即 42 = 2 p 1，
解得 p = 8，于是 y2 =16x .
故選：B
3．（2024 高二下·河南南陽·階段練習）拋物線 C： x2 = 4ay 過點 (-2,1) ，則 C 的準線方程為（ ）
A． y =1 B． y = -1 C． x =1 D． x = -1
【答案】B
【分析】先求得參數 a 的值，進而求得 C 的準線方程.
2
【詳解】拋物線 C： x2 = 4ay 過點 (-2,1) ，則 -2 = 4a，解之得 a =1，
則拋物線 C 方程為 x2 = 4y，則 C 的準線方程為 y = -1
故選：B
1
4．（2024 2高二下·江西萍鄉·階段練習）拋物線 y = x的焦點到其準線的距離為（ ）
4
1 1 1
A． B
1
． 4 C． D．2 8 16
【答案】C
【分析】根據拋物線的標準方程和幾何性質，即可求解.
【詳解】由拋物線 y2
1
= x 1，可得 2 p = ，所以 p
1
= ，
4 4 8
1
所以拋物線的焦點坐標為F ( ,0)
1
，準線方程為 x = -
16 16
1
所以該拋物線的焦點到其準線的距離為 .
8
故選：C.
5．（2024·四川成都·三模）若拋物線C : x2 = 2 py( p > 0)上的點 P 到焦點的距離為 8，到 x 軸的距離為 6，則
拋物線C 的標準方程是（ ）
A． x2 = 4y B． x2 = 6y C． x2 = 8y D． x2 =16y
【答案】C
【分析】利用拋物線定義即可求得 p，然后可得方程.
6 p【詳解】由拋物線定義可得： = 8，解得 p = 4 ，所以拋物線C 的標準方程為 x2 = 8y .
2
故選：C
6．（2024 高二下·四川涼山·期末）已知拋物線 y2 = 4x上一點 P 到 y 軸的距離為 2，焦點為 F，則 PF =
（ ）
A．2 B．3 C． 5 D． 2 2
【答案】B
【分析】求出拋物線的準線方程，再利用拋物線的定義得解.
【詳解】由題得拋物線的準線方程為 x = -1，
所以點 P 到準線的距離為 2 1 = 3，
由拋物線的定義得 PF = 3.
故選：B
7．（2024 高二上·浙江嘉興·期末）已知F 是拋物線C ：y2 = 2 px的焦點，點P 2, t 在C 上且 PF = 4，則F
的坐標為（ ）
A． 2,0 B． -2,0 C． 4,0 D． -4,0
【答案】A
【分析】由 PF = 4結合拋物線的定義可求出 p 的值，進而可求F 的坐標.
p
【詳解】因為F 是拋物線C ： y2

= 2 px的焦點，所以F ,02 ÷，è
又 PF = 4
p
，由拋物線的定義可知 PF = 2 = 4，解得 p = 4 ，所以F 2,0 .
2
故選：A
8．（2024 高二下·寧夏銀川·階段練習）若點 A( 2, -1)在拋物線 y px2 = 0上，則該拋物線的準線方程為
（ ）
y 1 y 1 x 1 1A． = B． = C． = D． x =
2 8 2 8
【答案】A
【分析】將點 A( 2, -1)的坐標代入拋物線方程可求出 p ，從而可得拋物線的方程，進而可求出其準線方
程.
【詳解】因為點 A( 2, -1)在拋物線 y px2 = 0上，
所以-1 2 p = 0
1
，得 p = ，
2
所以拋物線方程為 x2 = -2y ，
1
所以拋物線的準線方程為 y = ，
2
故選：A
9．（2024 高二下·陜西西安·期末）已知拋物線C : y2 = 8x 的焦點為 F，點M 2, t 在 C 上，則 MF =（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】根據拋物線焦半徑公式直接計算即可.
【詳解】點M 2, t 在 C： y2 = 8x上，設x0 = 2，
而拋物線C : y2 = 8x 的焦點坐標為F 2,0 ，故 p = 2 ，
則 MF = x0 p = 2 2 = 4 .
故選：D
10．（2024 高二下·福建泉州·期中）拋物線 y2 = 2 px繞其頂點逆時針旋轉90°之后，得到的圖象正好對應拋
物線 y = 2x2 ，則 p =（ ）
1
A．- B
1
． 4 C．1 D．-14
【答案】B
【分析】采用逆向思考：即將拋物線 y = 2x2 將其繞頂點順時針方向旋轉90°，得到拋物線 y2 = 2 px，進而即
可求得 p 的值.
2 x2 1【詳解】拋物線 y = 2x 即 = y的開口向上，將其繞頂點順時針方向旋轉90°，得到的拋物線 y2 = 2 px，
2
開口向右，其方程為 y2
x
= ，則 p
1
= ，
2 4
故選：B.
11．（2024 2高二上·湖北·期末）設點 F 是拋物線 y = 2 px p > 0 的焦點，l 是該拋物線的準線，過拋物線上
一點 A 作準線的垂線 AB，垂足為 B，射線 AF 交準線 l 于點 C，若 AB = 2 ， BC = 2 3 ，則拋物線的方程
為（ ）
A． y2 = x B． y2 = 2x
C． y2
1
= 4x D． y2 = x
2
【答案】B
【分析】根據已知條件，結合拋物線的定義及性質，即可求解.
【詳解】解：由題意得：
BC
AB = 2 ， BC = 2 3 ， AB ^ BC ，所以 tan CAB = = 3AB
可得 CAB = 60°，由拋物線的定義得 AB = AF
1 1
所以△ABF 是等邊三角形，所以 p = BF = AB =1，所以拋物線的方程是 y2 = 2x．
2 2
故選：B
12．（2024 高二下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）經過點P(4,-2)的拋物線的標準方程是（ ）
A． y2 = x 或 x2 = y B． y2 = -x 或 x2 = 8y
C． x2 = -8y 或 y2 = x D． x2 = -8y 或 y2 = -x
【答案】C
【分析】設拋物線的標準方程，將點的坐標代入，求得參數的值，即得答案.
【詳解】設拋物線的方程為 y2 = 2 px, ( p > 0)或 x2 = -2 p y, ( p > 0) ，
將點P(4,-2)代入，可得 4 = 8 p 或16 = 4 p ，
1
解得 p = 或 p = 4，
2
故拋物線的標準方程為 y2 = x 或 x2 = -8y ，
故選：C
13．（2024 高二下·四川南充·期中）準線方程為 y = 4 的拋物線的標準方程是（ ）
A． y2 =16x B． y2 = 8x
C． x2 =16y D． x2 = -16y
【答案】D
p
【分析】根據拋物線的準線方程可得其焦點在 y 軸負半軸上，且- = 4，由拋物線的標準方程可得答案.
2
【詳解】根據題意，拋物線的準線方程為 y = 4 ，
即其焦點在 y
p
軸負半軸上，且- = 4，得 p = -8，
2
故其標準方程為： x2 = -16y .
故選：D.
14．（2024·安徽滁州·二模）已知P m, 2 為拋物線C : y2 = -2 px( p > 0) 上一點，點 P 到C 的焦點的距離為
2，則C 的焦點坐標為（ ）
1 1 3A ． - ,0 B．4 ÷
- ,0÷ C． -1,0 D． - ,0÷
è è 2 è 2
【答案】C
2 p
【分析】根據點在拋物線上可得m = - p ，利用拋物線定義可得
- m = 2，即可求得 p 的值，即可求得答案,
2
2
【詳解】由題意可知， 4 = -2 pm ，所以m = - ;p
p
又知拋物線C 的準線方程為 x = 2 ，
p p 2
根據拋物線的定義可知， - m = = 22 2 p ，整理得
p2 - 4 p 4 = 0，解得 p = 2 ，
所以C 的焦點坐標為 -1,0 ，
故選：C．
15．（2024 高二下·廣東廣州·期末）已知拋物線 x = 2y2 上的點M 到其焦點的距離為 2，則點M 的橫坐標是
（ ）
3 7 15 31
A． B． C． D．
2 4 8 16
【答案】C
【分析】利用拋物線的定義可求得點M 的橫坐標.
2 x
【詳解】設點M 的橫坐標為 x0 ，拋物線的標準方程為 y = ，該拋物線的準線方程為 x
1
= - ，
2 8
因為拋物線 x = 2y2
1 15
上的點M 到其焦點的距離為 2，則 x0 = 2，解得 x0 = .8 8
故選：C.
16．（2024 高二上·四川涼山·期末）F 是拋物線 y2 = 4x的焦點，點 A 1,3 ，P 為拋物線上一點，P 到直線 x=-1
的距離為 d ，則 d PA 的最小值是（ ）
A． 2 B．1 2 C．3 D．1 3
【答案】C
【分析】根據拋物線定義有 d PA = PF PA ，數形結合判斷其最小值.
【詳解】由題設，拋物線焦點F (1,0)，準線為 x = -1，故 d =| PF |，
如上圖： d PA = PF PA AF = 3，僅當F , P, A共線且 P 在F , A兩點之間時等號成立.
故選：C
17．（2024 高二上·云南楚雄·期末）已知拋物線C ： x2 = -20y 的焦點為F ，拋物線C 上有一動點 P ，且
Q -3, -6 ，則 PF PQ 的最小值為（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
【答案】C
【分析】根據 PF PQ = PT PQ ，再結合圖形求解即可.
【詳解】因為拋物線C ： x2 = -20y ，所以拋物線C 的準線為 x = 5，
記拋物線C 的準線為 l，作PT ^ l 于T ，如圖所示：
因為 PF PQ = PT PQ ，Q -3, -6 ，
所以當 P ，Q，T 共線時， PF PQ 有最小值，最小值為6 5 =11.
故選：C.
18．（2024 高二上·四川瀘州·期末）動點 P 在拋物線 x2 = 4y上，則點 P 到點C 0,4 的距離的最小值為
（ ）
1
A． 3 B． 2 3 C． 32 D．12
【答案】B
【分析】設出點 P 坐標，用兩點間距離公式表達出點 P 到點C 0,4 的距離，配方后求出最小值.
2 2
2
【詳解】設 P x,
x x 1 2
÷，則 PC = x2 - 4 = x2 -8 12 ，當 x2 = 8時， PC 取得最小值，最小值
è 4 è 4
÷
16
為 2 3
故選：B
19．（2024 高二下·河南焦作·開學考試）已知點 A 是拋物線 x2 = 2 y 上的點，點 B(0,3) ，則 | AB |的最小值為
（ ）
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
【答案】A
【分析】設 A(m,n)為拋物線上一點，由兩點間距離公式及二次函數求最值即可.
【詳解】設 A(m,n)，則m2 = 2n ，則 | AB |2 = m2 (n - 3)2 = n2 - 4n 9 = (n - 2)2 5，
所以當 n = 2時， | AB |取得最小值 5 ．
故選：A
20．（2024·浙江·二模）已知直線 l1 : 3x - 4y - 6 = 0 和直線 l2 : y = -2，拋物線 x2 = 4y上一動點 P 到直線 l1直
線 l2的距離之和的最小值是（ ）
11 37
A．2 B．3 C． D．
5 16
【答案】B
【分析】根據拋物線的定義可得 d1 d2 = d1 PF 1，結合圖象分析求解.
【詳解】由題意可得：拋物線 x2 = 4y的焦點F 0,1 ，準線 l : y = -1，
設動點 P 直線 l, l1, l2的距離分別為 d , d1, d2 ，
3 0 - 4 1- 6
點F 到直線 l 的距離分別為 d = = 21 3 32 -4 2
，
則 d2 = d 1 = PF 1，可得 d1 d2 = d1 PF 1 d3 1 = 3，
當且僅當點 P 在點F 到直線 l1的垂線上且 P 在F 與 l1之間時，等號成立，
動點 P 到直線 l1直線 l2的距離之和的最小值是 3.
故選：B.
21．（2024 高二下·陜西漢中·期末）過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的
2
通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓 x 1 y - 2 2 = 4的一條
2
通徑與拋物線 y = 2 px p > 0 的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則 p =（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
【答案】C
【分析】根據圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，可得拋物線 y2 = 2 px經過點 1,2 ，從而可得答
案.
【詳解】因為圓 x 1 2 y - 2 2 = 4 2的一條通徑與拋物線 y = 2 px p > 0 的通徑恰好構成一個正方形的一組
鄰邊，
2
而拋物線 y = 2 px p > 0 的通徑與 x 軸垂直，
所以圓 x 1 2 y - 2 2 = 4的這條通徑與 y 軸垂直，
且圓的通徑的右端點就是拋物線通徑的上端點，
因為圓 x 1 2 y - 2 2 = 4的圓心為 -1,2 ，半徑為 2，所以該圓與 y 軸垂直的通徑的右端點為 1,2 ，
即拋物線 y2 = 2 px經過點 1,2 ，則 4 = 2 p ，即 p = 2 .
故選：C.
π
22．（2024·重慶萬州·模擬預測）過拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點 F ，作傾斜角為 的直線 l交C 于 A ，
6
B 2 21兩點，交C 的準線于點M ，若 OM = （O為坐標原點），則線段 AB 的長度為（ ）
3
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【分析】將直線 AB 的方程與準線方程聯立，求得點M 的坐標，可求出 p = 4 ，然后將直線 AB 的方程與拋
物線的方程聯立，利用韋達定理結合拋物線的焦點弦長公式即可求解
F p【詳解】拋物線C 的焦點為 ,0
p
÷，準線方程為 x = - ，
è 2 2
π p 3 p
直線 AB 的方程為 y = tan x - ÷ = x - ，6 ÷è 2 3 è 2
ì
x
p
= - ìx p= -
2 2 p 3
聯立 í 可得 í ，即點M - ,- p3 ÷ p 3 2 3 ÷
，
y = x - è
3
y = - p
è 2 ÷ 3
2 2
OM p= -
3 2 21
所以 ÷ - p ÷
p > 0
÷ = ，因為 ，所以
p = 4 ，
è 2 è 3 3
3
所以直線 AB 的方程為 y = x - 2 ，拋物線C : y2 = 8x ，設點 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，3
ì
y 3= x - 2
聯立 í 3 可得 x2 - 28x 4 = 0，
y2 = 8x
由韋達定理可得 x1 x2 = 28，則 AB = x1 x2 p = 32
故選：D
23．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知拋物線T : x2 = 4y ，F 為拋物線的焦點，P 為拋物線上一點，過點 P
作 PQ 垂直于拋物線的準線，垂足為 Q，若 PF = QF ，則△PFQ 的面積為（ ）
A．4 B． 2 3 C． 4 3 D．8 3
【答案】C
【分析】設點 P 的坐標為 m, n ，由題意△PFQ 為等邊三角形，求得點 P 的坐標及 PF ，從而可得 SVPFQ．
【詳解】拋物線的準線方程為 y＝－1，焦點為F 0,1 ，
設點 P 的坐標為 m, n ，則點 Q 的坐標為 m,-1 ， PQ = n 1，
由拋物線的定義知 PF = PQ = n 1，因為 PF = QF = m2 4 ，
2 n 1所以△PFQ 為等邊三角形，所以 n 1 = m 4 ，又 = m2 ，4
所以m = ±2 3 ，n＝3，所以點 P 的坐標為 ±2 3,3 ，
3
所以 PF = 4，所以 S△PFQ = 4
2 = 4 3 ．
4
故選：C．
24．（2024 高二上·內蒙古巴彥淖爾·期末）點F 是拋物線 y2 = 8x的焦點，直線 l為拋物線的準線，點M 為
直線 l上一動點，點Q在以M 為圓心，1為半徑的圓上，點 P 在拋物線 y2 = 8x上，則 | PF | - | PQ |的最大值
為（ ）
A 2． B．1 C． 2 D． 32
【答案】B
【分析】根據拋物線的定義可得 | PF | - | PQ |=| PN | - | PQ |，利用 | PQ | | PM | - | QM |，從而得到
| PF | - | PQ | | PN | - | PM | 1 1，即可求解.
【詳解】
如圖，過點 P 作PN ^ l 于點 N，根據拋物線的定義可得： PF = PN ，
所以 | PF | - | PQ |=| PN | - | PQ |，而 | PQ | | PM | - | QM |=| PM | -1
所以 | PF | - | PQ |=| PN | - | PQ | | PN | - | PM | 1 1.
當且僅當點 Q、點 N、點 M 在同一條直線上時等號成立，所以 | PF | - | PQ |有最大值 1.
故選：B
二、多選題
2
25．（2024 y高二下·廣西·期中）已知雙曲線C : x2 - =1的左、右焦點分別為F1, F2 ，拋物線 y2 = 2 px( p > 0)3
的焦點與雙曲線 C 的一個焦點重合，點 P 是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（ ）
A． p = 4 B．VF1PF2的周長為 16
VF PF 6C． 1 2的面積為 2 6 D． cos F1PF2 = 7
【答案】AB
【分析】根據雙曲線的焦點即可求解拋物線的定義，即可判斷 A，聯立雙曲線方程與拋物線方程，即可求
解交點坐標，利用點點距離即可求解長度，即可判斷 BC,由余弦定理即可判斷 D.
【詳解】由已知，雙曲線右焦點F2 (2,0)，即 p = 4 ，故 A 項正確．且拋物線方程為 y2 = 8x．
ì y2
x2 - =1
對于 B 項，聯立雙曲線與拋物線的方程 í 3 ，
2
y = 8x
1
整理可得．3x2 -8x - 3 = 0，解得 x = 3或 x = - （舍去負值），
3
所以 x = 3，代入 y2 = 8x可得， y = ±2 6 ．
設 P(3,2 6) ，又F1(-2,0)，所以 PF1 = (-2 - 3)
2 (0 - 2 6)2 = 7 ， PF2 = 7 - 2 = 5， F1F2 = 4，則VF1PF2的
周長為 16，故 B 項正確；
1 1
對于 C 項，易知 SVF PF = F2F2 2 6 = 4 2 6 = 4 6 ，故 C 項錯誤；1 2 2 2
PF 2 PF 2 - F F 2 2 2 2
對于 D 項，由余弦定理可得， cos F PF = 1 2 1 2
7 5 - 4 29 6
1 2 = = ，故 D 項錯誤．2 PF1 PF2 2 7 5 35 7
故選：AB
26．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）下列說法中，正確的有（ ）
A．過點 1,0 并且傾斜角為 0°的直線方程為 x =1
1
B 2 2．雙曲線 x - y =1
1
的漸近線方程為 y = ± x
4 2
C．點 1,2 關于 y = x 的對稱點坐標為 2,1
1
D．拋物線 x = 2y2 的準線方程是 x = -
2
【答案】BC
【分析】
根據直線傾斜角寫出方程判斷 A，根據雙曲線方程得出漸近線方程判斷 B，由點關于直線對稱判斷 C，根據
拋物線方程求準線方程判斷 D.
【詳解】對 A，過點 1,0 并且傾斜角為 0°的直線方程為 y = 0 ，故錯誤；
x2 1
對 B，雙曲線 - y2 =1的漸近線方程為 y = ± x ，故正確；
4 2
ì y - 2
= -1
對 C，設點 1,2 關于 y = x 的對稱點坐標為 x, y x -1，則由 í y 2 x 1解得 x = 2, y =1，故正確； =
2 2
D y2
1
對 ，拋物線 = x， 2 p
1 1
= ，準線方程為 x = - ，故錯誤.
2 2 8
故選：BC
27．（2024 高二上·廣西河池·期末）已知拋物線C : y2 = 6x的焦點為F ，點M (x0 , y0 )在拋物線C 上，若
MF 9= ,O 為坐標原點，則（ ）
2
A．點F 的坐標為 0,1 B． x0 = 3
C． y0 = 2 3 D． OM = 3 3
【答案】BD
【分析】先求出拋物線的焦點坐標，再利用拋物線的定義結合已知可求出點M 的坐標，從而可得答案.
F 3【詳解】由題可知 ,0

2 ÷
，
è
9
因為點M (x0 , y0 )在拋物線C 上，且 MF = ，2
3 9 2
所以 MF = x0 = , y0 = 6x0 ，2 2
解得 x0 = 3, y0 = ±3 2 ，
所以 OM = x2 20 y0 = 9 18 = 3 3 ，
故選：BD.
三、填空題
28．（2024 高二上·全國·課后作業）點M (5,3)到拋物線 x2 = ay(a > 0)的準線的距離為 6，那么拋物線的方
程是 ．
【答案】 x2 =12y
【分析】利用拋物線定義可得答案.
a a
【詳解】當 a > 0時，準線 y = - ，由已知得3 = 6，所以 a =12，所以拋物線方程為 x2 =12y ．
4 4
故答案為： x2 =12y .
29．（2024 高三·全國·專題練習）已知拋物線C 同時滿足以下三個條件
① C 2的頂點在坐標原點；② C 的對稱軸為坐標軸；③ C 的焦點F 在圓 x - 2 y2 = 9上．
則C 的方程為 ．（寫出一個滿足題意的即可），
【答案】x2 = -4 5y（答案不唯一，只需填寫 x2 = -4 5y或 x2 = 4 5y 或 y2 = -4x 或 y2 = 20x中的任意一個）
【分析】根據拋物線焦點在坐標軸上，分別將 x = 0、 y = 0 代入圓的方程，可求得焦點坐標，由此可得拋物
線方程.
【詳解】由已知得：拋物線C 的焦點F 在坐標軸上；
2
若拋物線的焦點在 y 軸上，將 x = 0代入 x - 2 y2 = 9可得： y = ± 5 ，
\拋物線的焦點為 0, - 5 ， 0, 5 ；
當拋物線的焦點為 0, - 5 時，拋物線的方程為 x2 = -4 5y；
當拋物線的焦點為 0, 5 時，拋物線的方程為 x2 = 4 5y ；
若拋物線的焦點在 x 軸上，將 y = 0 x - 2 2代入 y2 = 9可得： x=-1或 x = 5，
\拋物線的焦點為 -1,0 ， 5,0 ；
當拋物線的焦點為 -1,0 時，拋物線的方程為 y2 = -4x ；
當拋物線的焦點為 5,0 時，拋物線的方程為 y2 = 20x；
則可同時滿足三個條件的拋物線C 的方程為 x2 = -4 5y或 x2 = 4 5y 或 y2 = -4x 或 y2 = 20x．
故答案為： x2 = -4 5y（答案不唯一，只需填寫 x2 = -4 5y或 x2 = 4 5y 或 y2 = -4x 或 y2 = 20x中的任意一
個）．
9
30．（2024 高二下·湖北·階段練習）拋物線 y = 2x2 上的點A 到焦點F 的距離為 ，則點A 的縱坐標為 .
8
【答案】1
【分析】根據焦半徑公式，代入求值.
2 1 1
【詳解】拋物線 x = y， p = ，設點 A x0 , y0 ，2 4
p 1 9
依題意可知， y0 = y0 = ，得 y0 =1，2 8 8
故答案為：1
31．（2024 高二下·河南南陽·階段練習）已知拋物線 x2 = 2 y 的焦點為 F，點 M（3，6），點 Q 在拋物線上，
則 MQ QF 的最小值為 ．
13
【答案】
2
【分析】根據拋物線的定義可求出結果.
1
【詳解】拋物線 x2 = 2 y 的準線方程為 y = - ，
2
1
過Q作準線 y = - 的垂線，垂足為 N ，則 | QF |=| QN |，
2
所以 MQ QF =| MQ | | QN | | MN |
1 13
= 6 = .當且僅當MQ 與準線垂直時，取等號.
2 2
所以 MQ QF
13
的最小值為 .
2
13
故答案為： .
2
32．（2024· 2江蘇揚州·模擬預測）已知點 P 在拋物線 y2 = 4x上，點Q在圓 x - 5 y2 =1上，則 PQ長度的
最小值為 .
【答案】3
【分析】根據拋物線和圓的對稱性，結合圓的性質、兩點間距離公式、配方法進行求解即可.
【詳解】因為拋物線和圓都關于橫軸對稱，所以不妨設 P(m, 2 m)(m 0)，
設圓 x - 5 2 y2 =1的圓心坐標為： A(5,0) ，半徑為 1，
因此PA = (m - 5)2 (2 m)2 = (m - 3)2 16 ，當m = 3時，PAmin = 16 = 4，
所以 PQ長度的最小值為 4 -1 = 3，
故答案為：3
33．（2024·吉林·模擬預測）拋物線 y2 = 4x上任意一點 P 到點M 5,0 的距離最小值為 .
【答案】 4
【分析】設P(m, n) （m 0），則 PM = (m - 5)2 n2 ，將 n2 = 4m 代入化簡可求出其最小值
【詳解】設P(m, n) ，則 PM = (m - 5)2 n2 ，
因為 n2 = 4m ，
所以 PM = (m - 5)2 n2 = m2 -10m 25 4m
= (m - 3)2 16 4，當m = 3時取得最小值 4，
故答案為：4
34．（2024·河北石家莊·模擬預測）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發現：“平面內
到兩個定點 A，B 的距離之比為定值l l 1 的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為
6
阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系 xOy 中， A -3,1 , B -3,6 ，點 P 是滿足l = 的阿氏
3
圓上的任一點，若拋物線 y
1
= x2 的焦點為F ，過點F 的直線與此阿氏圓相交所得的最長弦與最短弦的和
6
為 .
【答案】10 6 123
【分析】由阿氏圓的定義得到點 P 的軌跡方程，即阿氏圓的方程，然后由圓的性質即可求解.
PA 6
【詳解】設P x, y ，由阿氏圓的定義可得 = ，
PB 3
(x 3)2 (y -1)2 2
即 2 2 = ，化簡得 x
2 y2 6x 18y - 60 = 0 .
(x 3) (y - 6) 3
所以 (x 3)2 (y 9)2 =150，所以點 P 在圓心為 -3, -9 ，半徑為5 6 的圓上，
C : y 1= x2 . F 因為拋物線 的焦點為F 所以 0,
3
÷，6 è 2
2
因為 (0 3)2 3 477 9

÷ = <150 .所以點F 在圓 (x 3)
2 (y 9)2 =150內，
è 2 4
F 477 477因為點 到與圓心的距離為 = ，
4 2
477
所以過點F 的最短弦長為 2 150 - = 123 ，過點F 的最長弦長為 2 150 =10 6 ，
4
所以過點F 的最長弦與最短弦的和為10 6 123 .
故答案為：10 6 123
35．（2024·江蘇無錫·三模）已如P 3,3 ，M 是拋物線 y2 = 4x上的動點（異于頂點），過M 作圓
C : x - 2 2 y2 = 4的切線，切點為A ，則 MA MP 的最小值為 .
【答案】3
【分析】設出點M 的坐標，結合圓的切線的性質求出 | MA |，再借助式子幾何意義作答.
2
【詳解】依題意，設M (x0 , y0 ), x 2 20 > 0，有 y0 = 4x0 ，圓C : (x - 2) y = 4 的圓心C(2,0) ，半徑 r = 2，
于是 | MA |= | MC |2 -r 2 = (x0 - 2)
2 y20 - 4 = x
2
0 = x0 ，
因此 MA MP = x0 MP ，表示拋物線C 上的點M 到 y 軸距離與到定點 P 的距離的和，
而點 P 在拋物線C 內，當且僅當M 是過點 P 垂直于 y 軸的直線與拋物線C 的交點時， x0 MP 取得最小值
3，
所以 MA MP 的最小值為 3.
故答案為：3.
36．（2024 高二下·江蘇南京·期末）已知拋物線 C： y2 = 4x的焦點為 F，準線為 l，經過點 F 的直線與拋物
uuur uuuur uuuur uuur
線 C 相交 A，B 兩點， l與 x 軸相交于點 M，若 AQ = QM ， AM = 2 BQ ，則 AF - BF = .
【答案】4
【分析】先判定 AB⊥MB，利用垂直關系得出 A、B 坐標結合拋物線焦半徑公式計算即可.
【詳解】
2 2
由題意易知M -1,0 y，可設 l : x = ky 1, A 1 AB , y1 ÷ , B
y2
, y2 ÷，
è 4 è 4
uuur uuuur uuur uuuur 1 uuur 1 uuuur uuur
由 AQ = QM ，可得 Q 為 AM 中點，則BQ = BM MA = BM BA2 2 ，
uuuur uuur
uuur 2 uuuur uuur 2 uuur 2 uuuur 2 uuuur2 uuuur uuur 2 uuuur uuur又由 AM = 2 BQ 可得: 2BQ = BM BA = 4 BQ = AM = AM = BM - BA BM × BA = 0，
即 MBA = 90o ，由題意可知直線 AB、BM 的斜率存在，

y - y ÷ k 1 2 0 - y
÷
2 y
2
2 故 AB × kMB = -1 2 2 ÷ 2 ÷ = -1 y1 y2 1 4y = 0
y1 y y
÷ 2 ，
- 2 ÷ -1- 2 ÷ è
4
è 4 4 ÷ ÷ è 4
ìx = ky 1
聯立拋物線與直線 AB 可得 í 2 y
2 - 4ky - 4 = 0 y1 × y2 = -4,
y = 4x
4 2 2 2 4
所以有 y2 16y2 -16 = 0 y2 = 4 5 -8, y1 = 5 - 2
y2 y2 y2 2
由拋物線定義得 AF - BF = 1 1- 2 1 = 1
y2 1
÷ - = - 5 - 24 4 4 4 = 4，è 5 - 2
故答案為：4
37．（2024 高三·全國·專題練習）已知點 M -3,2 是坐標平面內一定點， 若拋物線 y2 = 2x的焦點為 F ，
點Q是拋物線上的一動點， 則 MQ - QF 的最小值是 .
5
【答案】 / 2.5
2
【分析】根據拋物線的性質，做出圖像即可得到當MQ 平行于 x 軸時， MQ - QF 取得最小值，從而得到結
果.
【詳解】
1
拋物線的準線方程為 x = - ，
2
過點Q作QQ 垂直準線于點Q ，
MQ - QF = MQ - QQ
顯然，當MQ 平行于 x 軸時，
MQ - QF 取得最小值，此時Q 2,2 ，
此時 MQ - QF 2 3 2
1 5
= - =
2 2
5
故答案為: .
2
四、解答題
38．（2024 高二上·江蘇淮安·期末）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的準線與 x 軸交于點M -1,0 ．
（1）求拋物線 C 的方程；
（2）若過點 M 的直線 l 與拋物線 C 相切，求直線 l 的方程．
【答案】（1） y2 = 4x；（2） x - y 1 = 0 或 x y 1 = 0
p
【解析】（1）利用準線方程 x = - 求解
2
（2）設出直線方程，與拋物線方程聯立，利用D = 0求解.
p
【詳解】（1）C : y2 = 2 px( p > 0) 的準線 x = - 過M -1,0
2
p
故- = -1，則 p = 2
2
拋物線方程為 y2 = 4x
（2）設切線方程為 x = my -1
與拋物線方程聯立有 y2 - 4my 4 = 0
D = 4m 2 -16 = 0
故m = ±1
故直線 l 的方程為： x - y 1 = 0 或 x y 1 = 0
【點睛】求拋物線的切線方程的方法：
方法一：將拋物線轉化為二次函數，然后利用導數求解切線方程，這在開口朝上的拋物線中經常用到。
方法二：設切線的方程，與拋物線的方程聯立，采用判別式法求解．
39．（2024 高二上·浙江杭州·期中）動點 P(x, y) 與定點F (1,0)的距離等于點 P 到直線 x=-1的距離，設動點
P 的軌跡為曲線C ．
(1)求曲線C 的方程；
(2)經過定點M (3,1) 直線 l與曲線C 交于 A, B兩點，且點 M 是線段 AB 的中點，求直線 l的方程．
【答案】(1) y2 = 4x
(2) y = 2x - 5
【分析】(1)根據拋物線的定義直接求解；(2)利用點差法求出 l的斜率即可求解.
【詳解】（1）根據拋物線的定義可知，動點 P 的軌跡為拋物線，
且該拋物線以F (1,0)
p
為焦點，所以 =1,所以 p = 2 ，
2
所以曲線C 的方程為 y2 = 4x .
（2）若直線 l垂直于 x 軸，則 AB 的中點在 x 軸上，不滿足題意，
若直線 l不垂直于 x 軸，設 A(x1, y1), (x2 , y2 ) ，且 y1 y2 = 2，
ìy2 = 4x
因為 A, B C 1 1在曲線 上，所以 í 2 ，兩式相減得，
y2 = 4x2
y - y 4
( y1 y2 )( y - y ) = 4(x - x )
1 2
1 2 1 2 ，所以 = = 2x1 - x
，
2 y1 y2
即 kAB = 2，所以 l的方程為 y -1 = 2(x - 3)整理得 y = 2x - 5 .
40．（2024 高二下·四川內江·期中）分別求適合下列條件的方程：
(1)長軸長為 10，焦距為 4 的橢圓標準方程；
(2)經過點P -2, -4 的拋物線的標準方程.
x2 y2 y2 x2
【答案】(1) =1或 =1
25 21 25 21
(2) y2 = -8x 或 x2 = -y
【分析】（1）根據長軸和焦距的定義求出 a、c，進而求出 b，即可求解；
（2）設拋物線方程為 y2 = -2 px( p > 0) 或 x2 = -2my(m > 0)，將點 P 坐標代入，即可求解.
【詳解】（1）設橢圓的長軸長為 2a a > 0 ，焦距為 2c c > 0
由條件可得 2a =10,2c = 4 .所以 a = 5,c = 2 .
所以b2 = a2 - c2 = 25 - 4 = 21，
x x
2 y2
當橢圓的焦點在 軸上時，標準方程為 =1；
25 21
y2 x2
當橢圓的焦點在 y 軸上時，標準方程為 =1.
25 21
（2）當拋物線的焦點在 x 軸上時，可設所求拋物線的標準方程為 y2 = -2 px( p > 0) ，
將點 P 的坐標代入拋物線的標準方程得16 = 4 p p = 4，
此時，所求拋物線的標準方程為 y2 = -8x ；
當拋物線的焦點在 y 軸上時，可設所求拋物線的標準方程為 x2 = -2my(m > 0)，
1
將點 P 的坐標代入拋物線的標準方程得 4 = 8m，解得m = ，
2
此時，所求拋物線的標準方程為 x2 = -y .
綜上所述，所求拋物線的標準方程為 y2 = -8x 或 x2 = -y .
41．（2024 高二上·全國·課后作業）已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程：
(1) y2 = 6x ；
(2) 2y2 5x = 0．
3 3
【答案】(1) 焦點為 ,02 ÷ ，準線方程為
x = - ；
è 2
5 5
(2) - ,0 焦點為 x =
è 8 ÷
，準線方程為 ．
8
【分析】（1）根據拋物線標準方程即可判斷焦點位置及 p = 3，進而寫出焦點坐標和準線方程；
5
（2 2）將拋物線 2y2 5x = 0化成標準方程可得 y = - x2 ，即可寫出焦點坐標和準線方程；
【詳解】（1）由拋物線方程為 y2 = 6x ，可得 p = 3，且焦點在 x 軸正半軸上，
3 3
所以可得其焦點為 ,02 ÷ ，準線方程為
x = - ；
è 2
5
（2 2）將 2y2 5x = 0化成標準方程為 y = - x2 ，
p 5可得 = ，且焦點在 x 軸負半軸上，
4
5 5
所以焦點為 - ,08 ÷，準線方程為
x = .
è 8
42．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）已知直線 l 與拋物線 C： x2 = 4y交于 A，B 兩點．
(1)若直線 l 過拋物線 C 的焦點，線段 AB 中點的縱坐標為 2，求 AB 的長；
(2)若直線 l 經過點
uuur uuur
0,2 ，求OA ×OB 的值．
【答案】(1)6
(2)-4
【分析】（1）設 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，根據中點坐標公式可得 y1 y2 = 4 ，利用拋物線的定義求焦點弦即可；
（2）易知直線 l斜率必存在，設為 y = kx 2，聯立拋物線方程，利用韋達定理，結合平面向量數量積的坐
標表示即可求解.
【詳解】（1）設 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，線段 AB 中點設為 (x0 , 2) ，則 y1 y2 = 4 ，
由題意，拋物線C 的焦點為( 0, 1)， p = 2 ，
p p
根據拋物線的定義得 AB = y1 y2 = y1 y2 p = 4 2 = 6；2 2
（2）當直線 l斜率不存在時， l : x = 0，與拋物線只有一個交點，不符合題意.
所以直線 l斜率必存在，設為 y = kx 2，
ì x2 = 4y
與拋物線聯立得： í ， x2 - 4kx -8 = 0，得 x1x2 = -8，
y = kx 2
uuur uuur 2 2
所以OA ×OB = x1x2 y1y2 = x1x
x1 x2
2 = -8
64
= -4 .
16 16
1
43．（2024 高三下·湖南·階段練習）已知O為坐標原點，拋物線C : y2 = 2 px(0 < p < 2)上一點P , 2p ÷到è
3
拋物線焦點的距離為 ，若過點M 2,0 的直線 l與拋物線C : y2 = 2 px交于A ， B 兩點．
2
(1)證明：OA ^ OB；
(2)若 l與坐標軸不平行，且A 關于 x 軸的對稱點為D，圓 N : x2 y2 4x - 2y 3 = 0，證明：直線BD恒與圓
N 相交．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）首先根據拋物線的焦半徑公式，求出拋物線的方程，分兩種情況討論，當直線 l ^ x軸時和直
線 l與 x 軸不垂直時，分別求出 kOA ×kOB ，即可證明；
（2）結合（1）設D的坐標為 x1,-y1 ，根據B, D的坐標寫出直線BD的方程，整理后代入 y1y2 = -4，即可
得出直線BD恒過點 -2,0 ，結合點 -2,0 在圓內即可證明．
P 1 3【詳解】（1）證明：因為點 , 2 ÷到拋物線焦點的距離為 ，
è p 2
3 1 p
所以 = 2 p 2 ，解得
p = 1或 p = 2 ，
又因為0 < p < 2，
所以 p = 1，故拋物線方程為 y2 = 2x，
當直線 l ^ x軸時，可得 A 2,2 , B 2, -2 ，
k k 2 - 0 -2 - 0此時 OA × OB = = -1，所以OA ^ OB；2 - 0 2 - 0
當直線 l與 x 軸不垂直時，設 l的方程為 y = k x - 2 (k 0) ，設 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
代入 y2 = 2x 2得 ky - 2y - 4k = 0 k 0 ，
2
則 y1y2 = -4 y， x 1 y2 ，1x2 = = 44
y y -4
所以 kOA × k 1 2OB = × = = -1x x 4 ，1 2
所以OA ^ OB，
綜上，OA ^ OB．
（2）證明：由于 A, D關于 x 軸對稱，結合（1），故D的坐標為 x1,-y1 ，
y2 y1 y2 y1 y
2
1
所以直線BD y y1 = x - x1 = 2 2 x -的方程為 x - x y y 2 ÷è ，即 2x y1 - y2 y - y1 y2 = 0，2 1 2 - 1
2 2
由（1）得 y1y2 = -4，所以 2x y1 - y2 y 4 = 0，
可得直線BD恒過點 -2,0 ，
因為圓 N 的方程 x2 y2 4x - 2y 3 = 0 2，且 (-2) 02 4 -2 - 0 3 < 0，
所以點 -2,0 在圓 N 內部，
所以直線BD恒與圓 N 相交．
44．（2024 高二·全國·專題練習）已知拋物線C : x2 = 2 py( p > 0)上一點P 6, y0 到焦點F 的距離
| PF |= 2 y0 ．求拋物線C 的方程；
【答案】 x2 =12y
ì
2y
p
0 = y0
2
【分析】由題知 í36 = 2 py0 ，進而解方程即可得答案；

p > 0

【詳解】因為拋物線C : x2 = 2 py( p > 0)上一點P 6, y0 到焦點F 的距離 PF = 2y0，
p
所以拋物線的定義得 PF = y0 ，2
ì2y y p 0 = 0
2 ìy0 = 3
所以 í36 = 2 py0 ，解得 í p 6 ． p > 0
=


所以拋物線的方程為 x2 =12y ；3.3.1 拋物線及其標準方程 5 題型分類
一、拋物線的定義
1．定義：平面內與一定點 F 和一條定直線 l(不經過點 F)距離相等的點的軌跡．
2．焦點：定點 F.
3．準線：定直線 l.
二、拋物線的標準方程
圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程
y2＝2px(p>0) (p，02 ) px＝－2
y2
p
＝－2px(p>0) ( p－ ，0) x＝2 2
p
x2＝2py(p>0) ( p0，2) y＝－2
x2
p
＝－2py(p>0) ( p0，－2) y＝2
（一）
拋物線定義的理解
拋物線的定義
1．拋物線的定義：平面內與一定點 F 和一條定直線 l(不經過點 F)距離相等的點的軌跡．集合
表示：P = M MF = d , d為點M到準線l的距離 .其中定點 F 為焦點，定直線 l 為準線.
2.拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互
轉化，這也是利用拋物線定義解題的實質．
題型 1：拋物線定義的理解
1-1．（2024·上海浦東新·模擬預測）若拋物線 x2 = 28y上一點 (x0 , y0 )到焦點的距離是該點到 x 軸距離的 3 倍，
則 y0 = .
1-2．（2024 高二下·四川瀘州·期末）已知拋物線C : y2 = 8x 的焦點為 F，點 P 在 C 上，若點Q 6,3 ，則△PQF
周長的最小值為（ ）．
A．13 B．12 C．10 D．8
1-3．（2024·海南·模擬預測）已知直線 l1 : 4x - 3y + 6 = 0和直線 l : x = -2，拋物線 y22 = 4x上一動點 P 到直線
l1和 l2距離之和的最小值是（ ）
A 3 5
16
． +1 B．2 C． D．3
5 5
1-4．（2024 高二上·陜西西安·期末）若拋物線 y2 = 4x上一點 P 到 x 軸的距離為 2 3 ，則點 P 到拋物線的焦
點F 的距離為 ．
1-5．（2024 高二下·陜西榆林·期末）已知拋物線C : y2 = 4x 的焦點為F ，點M 在C 上，若M 到直線 x = -3
的距離為 7，則 MF = .
1-6．（2024 高二下·云南曲靖·期末）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點F 到其準線的距離為 4, M 是拋物
線C 上一點，若 A 2,3 ，則 MF + MA 的最小值為（ ）
A．8 B．6 C．5 D．4
1-7．（2024·西藏日喀則·一模）已知點 P 為拋物線 y2 = 2 p（x p > 0）上一動點，點 Q 為圓C : (x + 2)2 + (y - 4)2 =1
上一動點，點 F 為拋物線的焦點，點 P 到 y 軸的距離為 d，若 PQ + d 的最小值為 3，則 p =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1-8．（2024 高三下·河南開封·期末）已知拋物線E : x2 = 4y ，圓C : x2 + y - 3 2 =1， P 為E 上一點，Q為C
上一點，則 PQ 的最小值為（ ）
A．5 B． 2 2 -1 C．2 2 D．3
（二）
求拋物線的標準方程
用待定系數法求拋物線標準方程的步驟
注意：當拋物線的類型沒有確定時，可設方程為 y2＝mx(m≠0)或 x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討
論情況的個數．
題型 2：求拋物線的標準方程
2-1．（2024 高二上·全國·課后作業）頂點在原點、坐標軸為對稱軸的拋物線，過點 -1,2 ，則它的方程是
（ ）
A． y = 2x2 或 y2 = -4x B． y2 = -4x 或 x2 = 2 y
1
C． x2 = - y D． y2 = -4x
2
2-2．（2024 高二下·陜西榆林·階段練習）以 x 軸為對稱軸，原點為頂點的拋物線上的一點P 1,m 到焦點的
距離為 3，則拋物線的方程是（ ）
A． y = 8x2 B． y =12x2 C． y2 = 8x D． y2 =12x
2-3．（2024·河南新鄉·三模）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦點為 F，C 上一點M x0 , x0 x0 0 滿足
| MF |= 5，則拋物線 C 的方程為（ ）
A． y2 = 2x B． y2 = x C． y2 = 8x D． y2 = 4x
2-4．（2024 高二下·云南保山·期末）過點 1, -4 ，且焦點在 y 軸上的拋物線的標準方程是 .
2-5．（2024 高二下·陜西漢中·期中）已知拋物線的焦點在 y 軸上，頂點在坐標原點 O，且經過點P x0 , 2 ，
若點 P 到該拋物線焦點的距離為 4，則該拋物線的方程為 ．
題型 3：根據拋物線方程求焦點和準線
3-1．（2024·青海西寧·二模）已知函數 y = loga 3x - 2 + 2（ a > 0且 a 1）的圖像過定點 A，若拋物線 y2 = 2 px
也過點 A，則拋物線的準線方程為 .
3-2．（2024 高二下·上海浦東新·期末）拋物線 y2 = ax a 0 的準線方程是 ．
3-3．（2024 高三上·四川內江·期末）拋物線 y2 = -4x 的焦點坐標是（ ）
A． 1,0 B． -1,0
C． 0, -1 D． 0,1
（三）
利用拋物線定義解決軌跡問題
求軌跡方程的常用方法
(1)直接法
設出曲線上動點的坐標為(x，y)后，可根據幾何條件直接轉換成 x，y 間的關系式；
(2)定義法
若動點運動的幾何條件滿足某種已知曲線的定義，可用待定系數法求出軌跡方程；
(3)相關點法(代入法)
有些問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規律運動而形成的，只要把所求動點的坐標“轉
移”到另一個動點在運動中所遵循的條件中去．
題型 4：利用拋物線定義解決軌跡問題
4-1．（2024 高三下·江西·階段練習）設圓O : x2 + y2 = 4 與 y 軸交于 A，B 兩點（A 在 B 的上方），過 B 作
圓 O 的切線 l，若動點 P 到 A 的距離等于 P 到 l 的距離，則動點 P 的軌跡方程為（ ）
A． x2 = 8y B． x2 =16y C． y2 = 8x D． y2 =16x
4-2．（2024 高二上·全國·課前預習）已知動點M x, y x - 2 2的坐標滿足 + y2 = x + 2 ，則動點M 的軌跡
方程為 ．
4-3．（2024 高三·全國·專題練習）已知點F 0,2 ，過點P 0, - 2 且與 y 軸垂直的直線為 l1， l2 ^ x軸，交 l1
于點 N，直線 l 垂直平分 FN，交 l2于點 M. 求點 M 的軌跡方程；
4-4．（2024 高三·全國·專題練習）動點M x, y 到 y 軸的距離比它到定點 2,0 的距離小 2，求動點M x, y
的軌跡方程．
（四）
拋物線方程的實際應用
求解拋物線實際應用題的步驟：
題型 5：拋物線方程的實際應用
5-1．（2024 高二下·吉林長春·開學考試）數學與建筑的結合造就建筑藝術，如圖，吉林大學的校門是一拋
物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線 y = ax2的一部分，其焦點坐標
為 0, -2 ．校門最高點到地面距離約為 18.2 米，則校門位于地面寬度最大約為（ ）
A．18 米 B．21 米 C．24 米 D．27 米
5-2．（2024 高三下·河北·階段練習）圖中是拋物線形拱橋，當水面在m 時，拱頂距離水面 2 米，水面寬度
為 8 米，則當水面寬度為 10 米時，拱頂與水面之間的距離為（ ）
25 25 25 25
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
2 4 6 8
5-3．（2024 高三下·陜西榆林·階段練習）有一個隧道內設雙行線公路，其截面由一長方形和拋物線構成，
如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設為平頂）與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少為
0.7m，若行車道總寬度為 7.2m，則車輛通過隧道時的限制高度為 m.
5-4．（2024·河南·模擬預測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特
征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為3cm ，碗蓋口直徑為8cm ，碗體口直徑
為10cm，碗體深6.25cm，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）
（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8.25cm
一、單選題
1．（2024 高二下·湖北·期中）已知VABC 的頂點都在拋物線 y2 = 4x上，且VABC 的重心為拋物線的焦點
uuur uuur uuur
F，則 AF + BF + CF = （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
2．（2024 高二下·廣東東莞·階段練習）一種衛星接收天線（如圖 1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物
線的一部分（如圖 2），已知該衛星接收天線的口徑 AB = 8米，深度MO =1米，信號處理中心F 位于焦點
處，以頂點O為坐標原點，建立如圖 2 所示的平面直角坐標系 xOy ，則該拋物線的方程為（ ）
A． y2 = 8x B． y2 =16x C． y = 8x2 D． y =16x2
3．（2024 高二下·河南南陽·階段練習）拋物線 C： x2 = 4ay 過點 (-2,1) ，則 C 的準線方程為（ ）
A． y =1 B． y = -1 C． x =1 D． x = -1
1
4．（2024 高二下· 2江西萍鄉·階段練習）拋物線 y = x的焦點到其準線的距離為（ ）
4
1
A B 1
1 1
． ． 4 C． D．2 8 16
5．（2024·四川成都·三模）若拋物線C : x2 = 2 py( p > 0)上的點 P 到焦點的距離為 8，到 x 軸的距離為 6，則
拋物線C 的標準方程是（ ）
A． x2 = 4y B． x2 = 6y C． x2 = 8y D． x2 =16y
6．（2024 高二下·四川涼山·期末）已知拋物線 y2 = 4x上一點 P 到 y 軸的距離為 2，焦點為 F，則 PF =
（ ）
A．2 B．3 C． 5 D． 2 2
7．（2024 高二上·浙江嘉興·期末）已知F 是拋物線C ：y2 = 2 px的焦點，點P 2, t 在C 上且 PF = 4，則F
的坐標為（ ）
A． 2,0 B． -2,0 C． 4,0 D． -4,0
8．（2024 高二下·寧夏銀川·階段練習）若點 A( 2, -1)在拋物線 y + px2 = 0上，則該拋物線的準線方程為
（ ）
1 1 1 1
A． y = B． y = C． x = D． x =
2 8 2 8
9．（2024 高二下·陜西西安·期末）已知拋物線C : y2 = 8x 的焦點為 F，點M 2, t 在 C 上，則 MF =（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
10．（2024 高二下·福建泉州·期中）拋物線 y2 = 2 px繞其頂點逆時針旋轉90°之后，得到的圖象正好對應拋
物線 y = 2x2 ，則 p =（ ）
1
A．- B
1
． 4 C．1 D．-14
11 2．（2024 高二上·湖北·期末）設點 F 是拋物線 y = 2 px p > 0 的焦點，l 是該拋物線的準線，過拋物線上
一點 A 作準線的垂線 AB，垂足為 B，射線 AF 交準線 l 于點 C，若 AB = 2 ， BC = 2 3 ，則拋物線的方程
為（ ）
A． y2 = x B． y2 = 2x
2 y2 1C． y = 4x D． = x
2
12．（2024 高二下·內蒙古呼倫貝爾·階段練習）經過點P(4,-2)的拋物線的標準方程是（ ）
A． y2 = x 或 x2 = y B． y2 = -x 或 x2 = 8y
C． x2 = -8y 或 y2 = x D． x2 = -8y 或 y2 = -x
13．（2024 高二下·四川南充·期中）準線方程為 y = 4 的拋物線的標準方程是（ ）
A． y2 =16x B． y2 = 8x
C． x2 =16y D． x2 = -16y
14．（2024·安徽滁州·二模）已知P m, 2 為拋物線C : y2 = -2 px( p > 0) 上一點，點 P 到C 的焦點的距離為
2，則C 的焦點坐標為（ ）
1 1
A - ,0 B - ,0 C -1,0 D 3 ． ÷ ．4 2 ÷ ． ． - ,0÷è è è 2
15．（2024 高二下·廣東廣州·期末）已知拋物線 x = 2y2 上的點M 到其焦點的距離為 2，則點M 的橫坐標是
（ ）
3 7 15 31
A． B． C． D．
2 4 8 16
16．（2024 高二上·四川涼山·期末）F 是拋物線 y2 = 4x的焦點，點 A 1,3 ，P 為拋物線上一點，P 到直線 x=-1
的距離為 d ，則 d + PA 的最小值是（ ）
A． 2 B．1+ 2 C．3 D．1+ 3
17．（2024 高二上·云南楚雄·期末）已知拋物線C ： x2 = -20y 的焦點為F ，拋物線C 上有一動點 P ，且
Q -3, -6 ，則 PF + PQ 的最小值為（ ）
A．8 B．16 C．11 D．26
18．（2024 高二上·四川瀘州·期末）動點 P 在拋物線 x2 = 4y上，則點 P 到點C 0,4 的距離的最小值為
（ ）
1
A． 3 B． 2 3 C． 32 D．12
19．（2024 高二下·河南焦作·開學考試）已知點 A 是拋物線 x2 = 2 y 上的點，點 B(0,3) ，則 | AB |的最小值為
（ ）
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
20．（2024·浙江·二模）已知直線 l1 : 3x - 4y - 6 = 0 和直線 l2 : y = -2，拋物線 x2 = 4y上一動點 P 到直線 l1直
線 l2的距離之和的最小值是（ ）
11 37
A．2 B．3 C． D．
5 16
21．（2024 高二下·陜西漢中·期末）過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的
2 2
通徑，清代數學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓 x +1 + y - 2 = 4的一條
2
通徑與拋物線 y = 2 px p > 0 的通徑恰好構成一個正方形的一組鄰邊，則 p =（ ）
1
A． B．1 C．2 D．4
2
22．（2024·重慶萬州·模擬預測）過拋物線C : y2
π
= 2 px( p > 0) 的焦點 F ，作傾斜角為 的直線 l交C 于 A ，
6
B 2 21兩點，交C 的準線于點M ，若 OM = （O為坐標原點），則線段 AB 的長度為（ ）
3
A．8 B．16 C．24 D．32
23．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知拋物線T : x2 = 4y ，F 為拋物線的焦點，P 為拋物線上一點，過點 P
作 PQ 垂直于拋物線的準線，垂足為 Q，若 PF = QF ，則△PFQ 的面積為（ ）
A．4 B． 2 3 C． 4 3 D．8 3
24．（2024 高二上·內蒙古巴彥淖爾·期末）點F 是拋物線 y2 = 8x的焦點，直線 l為拋物線的準線，點M 為
直線 l上一動點，點Q在以M 為圓心，1為半徑的圓上，點 P 在拋物線 y2 = 8x上，則 | PF | - | PQ |的最大值
為（ ）
A 2． B．1 C．
2 2 D． 3
二、多選題
2
25．（2024 y高二下·廣西·期中）已知雙曲線C : x2 - =1的左、右焦點分別為F , F ，拋物線 y21 2 = 2 px( p > 0)3
的焦點與雙曲線 C 的一個焦點重合，點 P 是這兩條曲線的一個公共點，則下列說法正確的是（ ）
A． p = 4 B．VF1PF2的周長為 16
6
C．VF1PF2的面積為 2 6 D． cos F1PF2 = 7
26．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）下列說法中，正確的有（ ）
A．過點 1,0 并且傾斜角為 0°的直線方程為 x =1
1
B x2 2
1
．雙曲線 - y =1的漸近線方程為 y = ± x
4 2
C．點 1,2 關于 y = x 的對稱點坐標為 2,1
1
D．拋物線 x = 2y2 的準線方程是 x = -
2
27．（2024 高二上·廣西河池·期末）已知拋物線C : y2 = 6x的焦點為F ，點M (x0 , y0 )在拋物線C 上，若
MF 9= ,O 為坐標原點，則（ ）
2
A．點F 的坐標為 0,1 B． x0 = 3
C． y0 = 2 3 D． OM = 3 3
三、填空題
28．（2024 高二上·全國·課后作業）點M (5,3)到拋物線 x2 = ay(a > 0)的準線的距離為 6，那么拋物線的方
程是 ．
29．（2024 高三·全國·專題練習）已知拋物線C 同時滿足以下三個條件
① C 的頂點在坐標原點；② C 的對稱軸為坐標軸；③ C 的焦點F 在圓 x - 2 2 + y2 = 9上．
則C 的方程為 ．（寫出一個滿足題意的即可），
9
30．（2024 高二下·湖北·階段練習）拋物線 y = 2x2 上的點A 到焦點F 的距離為 ，則點A 的縱坐標為 .
8
31．（2024 高二下·河南南陽·階段練習）已知拋物線 x2 = 2 y 的焦點為 F，點 M（3，6），點 Q 在拋物線上，
則 MQ + QF 的最小值為 ．
32．（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知點 P 在拋物線 y2 = 4x上，點Q在圓 x - 5 2 + y2 =1上，則 PQ長度的
最小值為 .
33．（2024·吉林·模擬預測）拋物線 y2 = 4x上任意一點 P 到點M 5,0 的距離最小值為 .
34．（2024·河北石家莊·模擬預測）希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得 阿基米德齊名.他發現：“平面內
到兩個定點 A，B 的距離之比為定值l l 1 的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為
阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系 xOy 中， A -3,1 , B -3,6 6，點 P 是滿足l = 的阿氏
3
y 1= x2圓上的任一點，若拋物線 的焦點為F ，過點F 的直線與此阿氏圓相交所得的最長弦與最短弦的和
6
為 .
35．（2024·江蘇無錫·三模）已如P 3,3 ，M 是拋物線 y2 = 4x上的動點（異于頂點），過M 作圓
C : x - 2 2 + y2 = 4的切線，切點為A ，則 MA + MP 的最小值為 .
36．（2024 高二下·江蘇南京·期末）已知拋物線 C： y2 = 4x的焦點為 F，準線為 l，經過點 F 的直線與拋物
uuur uuuur uuuur uuur
線 C 相交 A，B 兩點， l與 x 軸相交于點 M，若 AQ = QM ， AM = 2 BQ ，則 AF - BF = .
37．（2024 高三·全國·專題練習）已知點 M -3,2 是坐標平面內一定點， 若拋物線 y2 = 2x的焦點為 F ，
點Q是拋物線上的一動點， 則 MQ - QF 的最小值是 .
四、解答題
38．（2024 高二上·江蘇淮安·期末）已知拋物線C : y2 = 2 px( p > 0) 的準線與 x 軸交于點M -1,0 ．
（1）求拋物線 C 的方程；
（2）若過點 M 的直線 l 與拋物線 C 相切，求直線 l 的方程．
39．（2024 高二上·浙江杭州·期中）40．（2024 高二下·四川內江·期中）分別求適合下列條件的方程：
(1)長軸長為 10，焦距為 4 的橢圓標準方程；
(2)經過點P -2, -4 的拋物線的標準方程.
41．（2024 高二上·全國·課后作業）已知拋物線的標準方程如下，分別求其焦點和準線方程：
(1) y2 = 6x ；
(2) 2y2 + 5x = 0．
42．（2024 高二上·江蘇鹽城·期末）已知直線 l 與拋物線 C： x2 = 4y交于 A，B 兩點．
(1)若直線 l 過拋物線 C 的焦點，線段 AB 中點的縱坐標為 2，求 AB 的長；
(2)若直線 l 經過點
uuur uuur
0,2 ，求OA ×OB 的值．
1
43．（2024 高三下·湖南·階段練習）已知O為坐標原點，拋物線C : y2 = 2 px(0 < p < 2)上一點P , 2 到
è p
÷

3
拋物線焦點的距離為 ，若過點M 2,0 的直線 l與拋物線C : y2 = 2 px交于A ， B 兩點．
2
(1)證明：OA ^ OB；
(2)若 l與坐標軸不平行，且A 關于 x 軸的對稱點為D，圓 N : x2 + y2 + 4x - 2y + 3 = 0，證明：直線BD恒與圓
N 相交．
44．（2024 高二·全國·專題練習）已知拋物線C : x2 = 2 py( p > 0)上一點P 6, y0 到焦點F 的距離
| PF |= 2 y0 ．求拋物線C 的方程；

展開更多......

收起↑