資源簡介

第 02 講 定義、命題與證明（2 個知識點+5 大題型+18 道強化
訓練）
課程標準 學習目標
1.理解定義與命題的概念；
2.分清命題的條件和結論，會把命題改 1.理解定義與命題的概念；
寫成“如果……那么……”的形式，并能 2.分清命題的條件和結論，會把命題改寫成“如
判斷命題的真假； 果……那么……”的形式，并能判斷命題的真假；
3.會用反例說明一個命 3.會用反例說明一個命題是假命題。
題是假命題。
知識點 01：定義與命題
1.定義：能清楚地規定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義。
2.命題：定義：判斷某一件事情的句子
結構：由條件和結論兩部分組成。
句式改寫：如果……那么……
分類：真命題 通過推理的方式來判斷、人們經過長期實踐公認為正確的
假命題 通過舉反例(具備命題的條件但不具備命題的結論的實例)
3.互逆命題 原命題、逆命題 互逆定理 原定理、逆定理
每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題不一定是真命題。
【即學即練 1】
1．（23-24 七年級下·山東日照·期末）下列命題中真命題是（ ）
A．同旁內角互補
B．相等的角是對頂角
C．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行
D．平移前后圖形的對應點所連線段一定平行
【答案】C
【分析】本題考查了判斷真假命題，根據平行線的性質，對頂角相等，平移的性質逐項分析判斷，即可求
解．
【詳解】解：A. 兩直線平行，同旁內角互補，故原命題是假命題，不符合題意；
B. 相等的角不一定是對頂角，故原命題是假命題，不符合題意；
C. 在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，是真命題，符合題意；
D. 平移前后圖形的對應點所連線段一定平行（或在同一直線上），故原命題是假命題，不符合題意；
故選：C．
知識點 02：證明
證明：從命題的條件出發，根據已知的定義、基本事實、定理(包括推論)、一步一步推得
結論成立的推理過程。
證明幾何命題的格式：(1)按題意畫出圖形(2)分清命題的條件和結論，結合圖形，在已知
中寫出條件，在求證中寫出結論(3)在證明中寫出推理過程。
在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫
成虛線。
【即學即練 2】
2．（22-23 七年級下·江蘇無錫·階段練習）甲和乙玩一個猜數游戲，規則如下：已知五張紙牌上分別寫有 2、
3、4、5、6 五個數字，現甲、乙兩人分別從中各自隨機取一張，然后根據自己手中的數推測誰手上的數更
大，甲看了看自己手中的數，想了想說：我不知道誰手中的數更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：
我也不知道誰手中的數更大。假設甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中的數是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．不能確定
【答案】B
【分析】先分析甲手中的數，根據甲不知道誰手中的數更大，推出甲手中的數不可能為 2 和 6，再根據乙也
不知道誰手中的數更大，即可推出乙手中的數不可能為 3 和 5，即可得出答案
【詳解】五張紙牌上分別寫有 2、3、4、5、6 五個數字，
∵甲看了看自己手中的數，想了想說：我不知道誰手中的數更大，
∴甲手中的數可能為 3，4，5，
∵乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：我也不知道誰手中的數更大．
∴乙手中的數不可能是 3，5，只能是 4．
故選：B．
【點睛】本題考查邏輯推理，考查簡單的合情推理，根據題目意思分析判斷是解題的關鍵．
題型 01 判斷是否是命題
1．（23-24 七年級下·湖南湘西·期末）下列語句，不是命題的是（ ）
A．兩點之間線段最短 B．在同一個平面內兩直線不平行就相交
C．連接 A，B 兩點 D．對頂角相等
【答案】C
【分析】本題考查了命題：判斷一件事情的語句叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命
題．命題都是由題設和結論兩部分組成的．根據命題的定義對各選項進行判斷即可．
【詳解】解：A．兩點之間線段最短，是命題；
B．在同一個平面內兩直線不平行就相交，是命題；
C．連接 A，B 兩點，為描述性語言，不是命題；
D．對頂角相等，是命題．
故選：C．
2．（23-24 七年級下·遼寧鞍山·期中）下面的語句中，哪個不是命題（ ）
A．任何一個三角形一定有一個角是直角
B．對頂角相等
C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
D．過直線 m 外一點 A 作 m 的平行線 AB
【答案】D
【分析】本題考查了命題的定義，根據判斷一件事情的語句，叫做命題，命題由題設和結論兩部分組成，
題設是已知事項，結論是由題設事項推出的事項，逐一判斷即可．
【詳解】解：A、如果一個圖形是三角形，那么一定有一個角是直角，是一個假命題，故不符合題意；
B、如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等，是一個真命題，故不符合題意；
C、如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，是一個真命題，故不符合題意；
D、過直線 m 外一點 A 作 m 的平行線 AB ，這不是命題，故符合題意；
故選：D．
3．（19-20 八年級上·廣東清遠·期末）命題：①鄰補角互補；②對頂角相等；③同旁內角互補；④兩點之間
線段最短．其中真命題是 （填序號）．
【答案】①②④
【分析】根據鄰補角互補，對頂角相等的性質，線段的性質對各小題分析判斷后即可求解．
【詳解】解：①鄰補角互補，正確；
②對頂角相等，正確；
③被截線不平行則同旁內角不互補，故本小題錯誤；
④兩點之間線段最短，是線段的性質，正確；
正確的有①②④，
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了命題與定理的知識，是對基礎知識的綜合考查，熟記概念與性質是解題的關鍵．
4．（21-22 七年級下·全國·課前預習）下列語句在表述形式上，有什么共同特點？
（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；
（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；
（3）對頂角相等；
（4）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式．
你的發現：這些語句都是對一件事情作出了 ．
像這樣判斷一件事情的語句，叫作 ．
注意：①只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是 ．
②如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就 命題．
【答案】 判斷 命題 命題 不是
5．（22-23 八年級上·全國·課后作業）下列句子中，哪些是命題？哪些不是命題？
(1)將 27 開立方．
(2)任意三角形的三條中線相交于一點嗎？
(3)銳角小于直角．
(4) a < 0 （a 為實數）．
【答案】(1)不是命題
(2)不是命題
(3)是命題
(4)是命題
【分析】根據命題的定義進行逐一判斷即可．
【詳解】（1）解：將 27 開立方不是命題；
（2）解：任意三角形的三條中線相交于一點嗎？不是命題；
（3）解：銳角小于直角是命題；
（4）解： a < 0 （a 為實數）是命題．
【點睛】本題主要考查了命題的定義， 一般地，在數學中把用語言，符號或式子表達的，可以判斷真假的
陳述句叫做命題．
題型 02 判斷命題的真假
1．（23-24 七年級下·遼寧營口·期末）下列語句中是真命題的是（ ）
A．如果 | a |=| b |，那么 a = b B．任何一個正數的平方都大于這個數
C．內錯角相等，兩直線平行 D．在同一平面內，垂直于同一直線的兩條線互相垂直
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的判定，絕對值，平方的性質，熟練掌握相關判定和性質是解題的關鍵．
根據平行線的判定、絕對值、平方的性質直接進行判斷即可．
【詳解】解：A、如果 | a |=| b |，那么 a = b或 a = -b ，原命題是假命題；
B、一個正數的平方不一定大于這個正數，如0.1，原命題是假命題；
C、內錯角相等，兩直線平行，是真命題；
D、在同一平面內，垂直于同一直線的兩條線互相平行，原命題是假命題；
故選：C．
2．（23-24 七年級下·湖南株洲·期末）下列命題中，①同旁內角互補；②對頂角相等；③過直線外一點有且
只有一條直線與已知直線平行；④連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．真命題的個
數有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】C
【分析】本題考查判斷命題的真假，根據平行線的性質，對頂角，以及垂線段最短等知識，逐一進行判斷
即可．
【詳解】解：兩直線平行，同旁內角互補；故①為假命題；
對頂角相等，故②為真命題；
過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故③為真命題；
連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，故④為真命題；
故選 C．
3．（24-25 八年級上·江蘇·假期作業）在同一平面內，有三條直線 a，b，c，下列說法：①若 a 與 b 相交，b
r r
與 c 相交，則 a 與 c 相交；②若 a P b ，b P c ，則 a P c；③若 a ^ b，b ^ c，則 a ^ c ．其中正確命題
是 ．（填序號）
【答案】②
【分析】此題主要考查了平行公理和推論，命題的真假．熟練掌握同一平面內兩條直線的位置關系是解題
的關鍵．
根據在同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行；如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直
線也互相平行，對各選項進行判斷即可．
【詳解】解：在同一平面內，有三條直線 a，b，c，
①若 a 與 b 相交，b 與 c 相交，則 a 與 c 不一定相交，故原命題不正確；
②若 a P b ，b P c ，則 a P c；，故原命題正確；
r r
③若 a ^ b，b ^ c，則 a P c，故原命題不正確．
故答案為：②．
4．（23-24 七年級下·內蒙古呼和浩特·期中）下列命題中是真命題的有 ．（填序號）
r r
①如果 a ^ b， c ^ b ，則 a ^ c ；
②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
③同位角相等；
④同旁內角互補，則它們的角平分線互相垂直；
⑤互補的兩個角是鄰補角；
⑥過一點畫已知直線的垂線可以畫而且只能畫一條；
⑦有理數和數軸上的點一一對應．
【答案】④
【分析】本題考查真假命題的判斷，涉及垂直性質、平行線的判定與性質、有理數與數軸、鄰補角定義、
角平分線的定義等性質，根據相關知識逐個判斷即可．
r r
【詳解】解：①如果 a ^ b，c ^ b ，未添加條件“在同一平面內”，無法判斷 a 與 c 的關系，故①中命題是假
命題；
②在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故②中命題是假命題；
③兩直線平行，同位角相等，故③中命題是假命題；
④如圖， AMN + BNM = 180°，MP 平分 AMN， NP 平分 BNM ，
∴ PMN
1
= AMN ， PNM
1
= BNM ，
2 2
∴ PMN + PNM
1
= AMN + BNM = 90°，
2
∴ P =180° - PMN + PNM = 90°，即MP ^ NP，
∴同旁內角互補，則它們的角平分線互相垂直，故④中命題是真命題；
⑤互補的兩個角不一定是鄰補角，故⑤中命題是假命題；
⑥在同一平面內，過一點畫已知直線的垂線可以畫而且只能畫一條，故⑥中命題是假命題；
⑦有理數和數軸上的點不是一一對應，故⑦中命題是假命題．
故答案為：④．
5．（23-24 七年級下·河北邢臺·階段練習）命題：絕對值相等的兩個數相等．
(1)請將上述命題改寫成“如果……，那么……”，并指出這個命題的條件與結論；
(2)判斷這個命題是真命題還是假命題．
【答案】(1)見解析；
(2)假命題．
【分析】（1）根據命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設，“那么”后面解的
部分是結論解答；
（ 2）根據有關性質與定理，對命題的真假進行判斷，如果是假命題，再舉出反例即可；
【詳解】（1）如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數也相等；
命題的條件是：兩個數的絕對值相等；結論：這兩個數也相等；
（2）如果兩個數的絕對值相等，那么這兩個數相等；是假命題，
反例： 6 = -6 ，但6 -6，假命題．
題型 03 舉例說明假（真）命題
1．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）判斷命題“如果 x2 > 0， 那么 x > 0 ” 是假命題，只需舉出一個反例，
則所舉反例中 x 的值可以為（ ）
A．15 B．0.8 C．-2 D．0
【答案】C
【分析】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一
個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．反例中的 x
滿足 x < 0 ，使 x2 > 0，從而對各選項進行判斷．
【詳解】解：當 x = -2時，滿足 x < 0 ，但 x2 = 4 > 0，
所以判斷命題“如果 x2 > 0， 那么 x > 0 ”是假命題，舉出 x = -2．
故選：C．
2．（23-24 七年級下·甘肅隴南·階段練習）下列選項可以用來說明命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的是
（　?。?br/>A． A = 30°, B = 40° B． A = 30°, B = 80°
C． A = 30°, B = 90° D． A = 30°, B =100°
【答案】A
【分析】本題考查說明一個命題是假命題．比較簡單，只需要條件符合，結論不符即可．說明是假命題只
要舉出兩個銳角的和不是鈍角即可．
【詳解】解：A． A = 30°, B = 40°，則 A + B = 70°，能說明；
B． A = 30°, B = 80°，則 A + B = 110°，不能說明；
C． A = 30°, B = 90°， B不是銳角，不可以說明；
D． A = 30°, B =100° ， B不是銳角，不能說明；
故選：A．
3．（23-24 七年級下·浙江臺州·期末）能說明命題“若 a > b，則 a2 > b2 ”是假命題的一個反例可以是：
a = ，b = ．
【答案】 a =1（答案不唯一） b = -2（答案不唯一）
【分析】本題考查的是命題的證明和判斷，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要
推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．根據舉反例時需滿足題設，而不滿足結
論求解即可．
【詳解】解：證明命題“若 a > b，則 a2 > b2 ”是假命題的一個反例可以是： a =1，b = -2，
故答案為： a =1，b = -2（答案不唯一）．
4．（23-24 七年級下·北京門頭溝·期末）可以用一個 a 的值說明命題“如果 a2 > 4，那么 a > 2 ”是假命題，這
個值可以是a = ．
【答案】-10（答案不唯一）．
【分析】本題考查的是命題的證明和判斷，任何一個命題非真即假．要說明一個命題的正確性，一般需要
推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．熟知這些知識點是解題的關鍵．根據有
理數的乘方法則計算，判斷即可得出結果．
【詳解】解：當 a = -10 時，滿足 a2 > 4，但不滿足 a > 2，
所以 a = -10 可作為說明命題“如果 a2 > 4，那么 a > 2 ”是假命題的一個反例．
故答案為：-10（答案不唯一）．
5．（23-24 七年級下·河南周口·階段練習）（1）判斷下列命題是真命題還是假命題？如果是假命題，請舉一
反例．
①兩個銳角的和是銳角；
②0 既不是正數，也不是負數．
（2）如圖，已知鈍角 AOB ，點D在射線OB上，畫直線DE ^ OB及DF ^ OA，垂足為F ．
【答案】（1）①假命題，見解析；②真命題；（2）見解析
【分析】本題考查的是真假命題的判斷，畫已知直線的垂線，掌握判斷命題真假的方法與熟練的利用工具
畫已知直線的垂線是解本題的關鍵．
（1）①舉反例判斷兩個銳角的和是銳角是假命題即可，②根據 0 的特點可判斷；
（2）利用三角板或其他含有直角的工具畫圖即可．
【詳解】解：（1）①假命題，
反例： A = 40°, B = 60°，但 A + B =100° > 90°，是鈍角，
②真命題．
（2）如圖，DE ，DF 即為所求．
．
題型 04 寫出命題的題設與結論
1．（2021 七年級下·全國·專題練習）命題“等角的余角相等”中的余角是（　　）
A．結論的一部分
B．題設的一部分
C．既不屬于結論也不屬于題設
D．同屬于題設和結論部分
【答案】B
【分析】根據命題題設與結論的定義：題設是已知事項，結論是已知事項推出的事項，進行逐一判斷即可．
【詳解】解：“等角的余角相等”中題設是：兩個等角的余角，結論是：相等，
故選 B．
【點睛】本題主要考查了命題的題設與結論，熟知定義是解題的關鍵．
2．（21-22 七年級下·河北邢臺·期中）命題是能夠判斷真假的語句，命題一般都有題設與結論．命題“垂直于
同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是（ ）．
A．兩條直線互相平行 B．兩條直線互相垂直
C．同一條直線 D．兩條直線垂直于同一條直線
【答案】D
【分析】根據命題的概念解答即可．
【詳解】命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是兩條直線垂直于同一條直線，故 D 正確，
符合題意．
故選：D
【點睛】本題考查命題的概念，熟記概念是關鍵．
3．（23-24 七年級下·山東德州·期中）請將“等角的補角相等”請改寫成“如果，那么”的形式 ．
【答案】如果兩個角是等角的補角，那么這兩個角相等
【分析】本題考查了命題的改寫，根據題意，找出題設和結論，運用命題的結果進行改寫即可求解，掌握
命題的組成元素是解題的關鍵．
【詳解】解：等角的補角相等，題設是：等角的補角，結論是：補角相等，
∴改寫的形式為：如果兩個角是等角的補角，那么這兩個角相等，
故答案為：如果兩個角是等角的補角，那么這兩個角相等 ．
4．（23-24 七年級下·甘肅定西·階段練習）命題“鄰補角互補”的題設是 ，結論是 ，它是一個
（填“真”或“假”）命題．
【答案】 兩個角互為鄰補角 這兩個角互補 真
【分析】本題考查命題與定理、判斷命題的真假，把命題改寫成“如果…，那么…”的形式，然后根據如果的
后面是題設，那么的后面是結論寫出即可．把命題改寫成“如果…，那么…”的形式是解題的關鍵．
【詳解】解：命題“鄰補角互補”可以改寫為：如果兩個角互為鄰補角，那么這兩個角互補；
則題設是：兩個角互為鄰補角，結論是：這兩個角互補.這是一個真命題，
故答案為：兩個角互為鄰補角；這兩個角互補；真.
5．（23-24 七年級下·廣西防城港·階段練習）已知① 1 = 58°， ② 2 = 58°， ③ 3 =122° ， ④ a∥b， 請
選 2 個作為題設， 1 個作為結論，構成一個真命題，并證明．
題設： ___________， 結論___________．
證明：
【答案】題設：② ③， 結論：④；證明見解析（答案不唯一）
【分析】本題考查了命題與定理的知識，平行線的判定與性質，根據平行線的判定與性質，結合所給條件
即可作出判斷．
【詳解】題設：② 2 = 58°， ③ 3 =122° ， 結論：④ a∥b，
證明：∵ 2 = 58°， 3 =122° ，
∴ 2 + 3 = 58° +122° =180°，
∴ a∥b．
題型 05 證明
1．（20-21 八年級·全國·假期作業）布魯斯先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網球選手．這四
人中有以下情況：①最佳選手的孿生同胞與最差選手性別不同：②最佳選手與最差選手年齡相同．則這四
人中最佳選手是（　　）
A．布魯斯先生 B．布魯斯先生的妹妹
C．布魯斯先生的兒子 D．布魯斯先生的女兒
【答案】D
【分析】根據題意，可以判斷出其中的三個人年齡相同，再根據實際可知其中年齡相同的三個人是布魯斯
先生的兒子、女兒和妹妹，從而可以得到最差選手和最佳選手，本題得以解決．
【詳解】由①和②可知，最佳選手的孿生同胞與最差選手不是同一個人，因此一定是其中的三個人的年齡
相同，布魯斯先生很顯然比他的兒子和女兒大，則其中年齡相同的三個人是布魯斯先生的兒子、女兒和妹
妹，由此，布魯斯先生的兒子和女兒必定是①中所指的孿生同胞，所以，布魯斯先生的兒子或女兒是最佳
選手，最差選手是布魯斯先生的妹妹，由①知，最佳選手的孿生同胞一定是布魯斯先生的兒子，則最佳選
手就是布魯斯先生的女兒．
故選：D．
【點睛】本題考查了推理和論證，解題的關鍵是明確題意，能夠寫出正確的推理過程．
2．（2019·重慶沙坪壩·二模）某超市（商場）失竊，大量的商品在夜間被罪犯用汽車運走．三個嫌疑犯被警
察局傳訊，警察局已經掌握了以下事實：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案時總得有甲作從
犯；（3）乙不會開車．在此案中，能肯定的作案對象是（　?。?br/>A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙
【答案】C
【分析】根據大量的商品在夜間被罪犯用汽車運走和條件（3）可知，案犯顯然不是乙；根據條件（1）可
知作案對象一定在甲、丙中間，或兩人都是嫌犯．由（2）得，若丙作案，那么甲必作案，但是沒有證據能
夠直接證明丙一定作案，所以嫌疑犯必是甲．
【詳解】解：由于“大量的商品在夜間被罪犯用汽車運走”，根據條件（3）可知：乙肯定不是主犯；
根據（1）可知：嫌疑犯必在甲和丙之間；
由（2）知：若丙作案，則甲必作案；
由于沒有直接證明丙作案的證據，因此根據（1）（2）可以確定的是甲一定是嫌疑犯．
故選 C．
【點睛】本題考查了推理與證明，解決問題的關鍵是讀懂題意，能夠運用排除法分析解決此類問題．
3．（2022·北京海淀·三模）描金又稱泥金畫漆，是一種傳統工藝美術技藝．起源于戰國時期，在漆器表面，
用金色描繪花紋的裝飾方法，常以黑漆作底，也有少數以朱漆為底．描金工作分為兩道工序，第一道工序
是上漆，第二道工序是描繪花紋．現甲、乙兩位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由
甲上漆，再由乙描繪花紋．每道工序所需的時間 ( 單位：小時 )如下：
原料
時間 原料A 原料 B 原料C
工序
上漆 10 16 13
描繪花紋 15 8 12
則完成這三件原料的描金工作最少需要 小時．
【答案】 47
【分析】根據分析，甲按A 、C 、 B 的順序，乙中途不會出現停頓進行解答即可．
【詳解】甲按A 、C 、 B 的順序，完成這三件原料的描金工作最少需要10 +13 +16 + 8 = 47（小時），
故答案為： 47．
【點睛】此題考查推理與論證，關鍵是得出工作順序．
4．（20-21 七年級下·福建莆田·期末）現有一個三位數密碼鎖，已知以下 3 個條件，可以推斷正確的密碼
是 ．
① 只有一個號碼正確且位置正確
② 只有兩個號碼正確且位置都不正確
③ 三個號碼都不正確
【答案】520
【分析】根據題意分析分析推理即可，由①結合③可以確定第三位數字為 0，由②，③可以確定前兩個數為
5,2，據此分析即可．
【詳解】根據①，③可知正確的號碼是 0，位置是第三位，由②，③可知正確的號碼是 5,2，位置分別為第
一位和第二位，所以正確的密碼是 520．
【點睛】本題考查了邏輯推理，根據題意結合所給信息推導出各位數字是解題的關鍵．
5．（22-23 八年級上·全國·課后作業）已知：如圖，在 VABC 中， C = 90°， B = 54°， ADC = 72°．求證：
AD 平分 BAC ．
【答案】見詳解
【分析】根據三角形內角和定理以及外角的性質，求出 BAD =18°，∠DAC =18°，進而即可得到結論．
【詳解】證明：∵在VABC 中， C = 90°， B = 54°， ADC = 72°，
∴∠BAD =∠ADC -∠B = 72° - 54° =18°，∠DAC =180° - 90° - 72° =18° ，
∴ BAD = CAD ，
∴ AD 平分 BAC ．
【點睛】本題主要考查角平分線的定義，三角形內角和定理以及外角的性質，熟練掌握三角形內角和定理
以及外角的性質，是關鍵．
A 夯實基礎
1．（23-24 七年級下·四川廣安·期末）對于命題“如果 a > b，那么 a2 > b2 ”能說明它是假命題的反例是（ ）
A． a = 2，b =1 B． a = 3，b = -2
C． a = 2，b = -1 D． a = -1，b = -2
【答案】D
【分析】本題考查了舉反例說明假命題，舉的反例要滿足命題的條件，但不滿足命題結論，據此判斷即可．
【詳解】解：顯然前三個選項中的例子既符合命題的條件，也符合命題的結論，不是舉反例；選項 D 中例
子符合命題條件，即 a > b，但 a2 =1 < b2 = 4 ，不符合命題結論，故是反例；
故選：D．
2．（23-24 七年級下·湖北咸寧·期末）已知在同一平面內的三條直線 a，b，c，下列命題中錯誤的是（ ）
r r
A． a∥b，b∥c，那么 a∥c B．如果 a ^ b，b ^ c，那么 a ^ c
r r r r
C．如果 a ^ b，b ^ c，那么 a∥c D．如果 a ^ b， a∥c ，那么b ^ c
【答案】B
【分析】本題考查了平行公理推論的應用，如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行；同
一平面內，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，熟記相關結論即可．
【詳解】解：∵如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行，故 A 正確，不符合題意；
∵同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線互相平行，故 B 錯誤，符合題意，C 正確，不符合題意；
∵如果一條直線垂直于另一條直線，則該直線垂直于這條直線的平行直線，故 D 正確，不符合題意；
故選： B．
3．（23-24 七年級下·北京昌平·期末）已知命題“同位角相等”，這個命題是 命題．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本題主要考查了平行線的性質及真假命題的判斷．正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題．要
說明一個命題是真命題，必須一步一步有根有據的證明；要說明一個命題是假命題，只需要舉一個反例即
可．掌握判斷真假命題的方法是解題的關鍵，根據平行線的性質判斷即可．
【詳解】解：兩直線平行時，同位角相等；兩直線不平行時，同位角不相等．因此命題“同位角相等”不一定
成立，是假命題．
故答案為：假．
4．（23-24 七年級下·四川自貢·期中）將命題“在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”改寫
為“如果…那么…”的形式，可寫為 ．
【答案】如果在同一平面內，兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行
【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題，命題由題設和結論兩部分組成；準確找出題設
和結論是解題關鍵．根據命題題設為：在同一平面內，兩條直線都垂直于同一條直線；結論為這兩條直線
互相平行得出即可．
【詳解】解：因為命題題設為：在同一平面內，兩條直線都垂直于同一條直線；結論為：這兩條直線互相
平行；
所以“在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”改寫成“如果…，那么…”的形式為：“如果，
在同一平面內，兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行”；
故答案為：如果在同一平面內，兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行．
5．（23-24 七年級下·全國·課后作業）把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并寫出它們的題設和
結論．
(1)有兩個角為60°的三角形是等邊三角形；
(2)兩個連續偶數相差 2
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了寫出命題的題設與結論，正確理解命題內容即可.
（1）根據命題內容即可求解；
（2）根據命題內容即可求解；
【詳解】（1）解：如果一個三角形中有兩個角為60°，那么這個三角形是等邊三角形．
題設：一個三角形中有兩個角為60°；
結論：這個三角形是等邊三角形．
（2）解：如果兩個數是連續的偶數，那么這兩個數相差 2．
題設：兩個數是連續的偶數；
結論：這兩個數相差 2．
6．（2023 七年級下·江蘇·專題練習）將下列命題改寫成“如果…，那么…”的形式．
(1)兩直線平行，內錯角相等；
(2)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和；
(3)等腰三角形的兩底角相等．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查的是命題與定理，熟知命題寫成“如果…，那么…”的形式，清楚命題的題設與結論是解答
此題的關鍵．
【詳解】（1）解：如果兩直線平行，那么內錯角相等；
（2）解：如果一個角是三角形的外角，那么它等于它不相鄰的兩個內角的和；
（3）解：如果一個三角形是等腰三角形，那么它的兩底角相等．
B 能力提升
1．（23-24 七年級下·河北滄州·期末）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B．和為180°的兩個角是鄰補角
C．相等的兩個角是對頂角
D．在同一平面內，若 a∥b，b∥c，則 a∥c
【答案】D
【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假
關鍵是要熟悉課本中的性質定理．根據平行公理的推論、鄰補角的概念、對頂角的概念、平行線的性質判
斷即可．
【詳解】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項說法是假命題，不符合題意；
B、和為180°的兩個角不一定是鄰補角，故本選項說法是假命題，不符合題意；
C、相等的兩個角不一定是對頂角，例如等腰直角三角形的兩銳角相等，不是對頂角，故本選項說法是假命
題，不符合題意；
D、在同一平面內，若 a∥b，b∥c，則 a∥c ，是真命題，符合題意；
故選：D
2．（20-21 八年級上·浙江杭州·階段練習）小王、小陳、小張當中有一人做了一件好事，另兩人也都知道是
誰做了這件事．老師在了解情況時，他們三人分別說了下面幾句話：
小陳：“我沒做這件事．”“小張也沒做這件事．”
小王：“我沒做這件事．”“小陳也沒做這件事．”
小張：“我沒做這件事．”“我也不知道誰做了這件事．”
已知他們每人都說了一句假話，一句真話，做好事的人是（ ）
A．小王 B．小陳 C．小張 D．不能確定
【答案】B
【分析】根據題意對小陳說的兩句話來假設真假，再對后面兩人說的話逐一分析，得出矛盾的即假設不成
立，不矛盾的則符合條件．
【詳解】解：1、假設小陳說“我沒做這件事”是真話，則“小張也沒做這件事”是假話，從這里可以得出做好
事的就是小張；假設小王說“我沒做這件事”是真話，則“小陳也沒做這件事”是假話，從這里可以得出做好事
的就是小陳，與小陳的假設矛盾；
2、假設小陳說“我沒做這件事”是假話，則“小張也沒做這件事”是真話，從這里可以得出做好事的就是小陳；
假設小王說“我沒做這件事”是真話，則“小陳也沒做這件事”是假話，從這里可以得出做好事的就是小陳；符
合；假設小張說“我沒做這件事”是真話，則“也不知道誰做了這件事”是假話，符合；
∴做好事的是小陳，
故選 B．
【點睛】邏輯推理問題，用到的數學知識不多，主要依靠對已知條件的分析，尋找適當的突破口，常用枚
舉、歸謬等方法．
3．（22-23 八年級上·四川眉山·期末）用反證法證明“已知，a > b,b > c．求證：a > c ”．第一步應先假設 ．
【答案】 a c
【分析】用反證法證明問題的關鍵是清楚結論的反面是什么，寫出與條件相反的假設即可
【詳解】解： “已知， a > b,b > c．求證： a > c ”．第一步應先假設 a c．
故答案為： a c．
【點睛】本題考查的是反證法的應用，解題的關鍵是要懂得反證法的意義及步驟．在假設結論不成立時，
要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必
須一一否定．
4、（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）命題“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命題是 命題．（選填“真”或
“假”）
【答案】假
【分析】本題主要考查命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．先根據逆命題的概念
寫出原命題的逆命題，再根據有理數的平方、有理數的大小比較法則判斷即可．
【詳解】解：命題“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命題是如果 x2 1，那么 x 1，是假命題，
例如：當 x = -2時， (-2)2 >1，而-2 < 1，
故答案為：假．
5．（23-24 七年級下·河北邯鄲·階段練習）已知命題“兩直線平行，同旁內角互補”．
(1)寫出該命題的題設和結論，并將其改寫成“如果……那么……”的形式；
(2)嘉淇想證明該命題，下面是她的解題過程，請將其補全，并在括號內填上推理的根據．
如圖，已知直線 AB P CD，直線 EF 截 AB ，CD 于點 M，N．
求證 AMN +　　=180°．
證明：∵ AB P CD（已知），
∴ AME = CNM （ 　　）．
∵ AME + 　　=180°（平角的定義），
∴ AMN +　　=180°（ 　　）．
【答案】(1)該命題的題設是“兩直線平行”，結論是“同旁內角互補”，改成“如果……那么……”的形式是：如
果兩直線平行，那么同旁內角互補
(2) CNM ；兩直線平行，同位角相等； AMN； CNM ；等量代換
【分析】本題考查了命題，平行線的性質等知識，
（1）確定題設是“兩直線平行”，結論是“同旁內角互補”，按要求表述即可；
（2）根據兩直線平行，同位角相等可得 AME = CNM ，再結合平角的定義，即可證明．
【詳解】（1）該命題的題設是“兩直線平行”，結論是“同旁內角互補”，
改成“如果……那么……”的形式是：如果兩直線平行，那么同旁內角互補；
（2）如圖，已知直線 AB P CD，直線 EF 截 AB ，CD 于點 M，N．
求證 AMN + CNM =180° ．
證明：∵ AB P CD（已知），
∴ AME = CNM （兩直線平行，同位角相等）．
∵ AME + AMN =180°（平角的定義），
∴ AMN + CNM =180° （等量代換）．
故答案為： CNM ；兩直線平行，同位角相等； AMN； CNM ；等量代換．
70．（22-23 八年級上·全國·課后作業）已知：如圖，VABC 的兩條高線 BE 、CF 相交于點 O．求證：
BOC =180° - A．
證明：∵ BE 、CF 是VABC 的兩條高線（　　），
\ OEC = BFC = 90°（　　）
Q ACF + A = BFC = 90°（　?。?，
\ ACF = 90° - A．
\ BOC = OEC + ACF = 90° + 90° - A =180° - A．
【答案】已知；三角形高的定義；三角形外角的性質
【分析】根據三角形高的定義得到 OEC = BFC = 90°，根據三角形外角的性質得到 ACF = 90° - A，
則 BOC = OEC + ACF = 90° + 90° - A = 180° - A．
【詳解】證明：∵ BE 、CF 是VABC 的兩條高線（已知），
∴ OEC = BFC = 90°（三角形高的定義）
∵ ACF + A = BFC = 90°（三角形外角的性質），
∴ ACF = 90° - A．
∴ BOC = OEC + ACF = 90° + 90° - A = 180° - A，
故答案為：已知；三角形高的定義；三角形外角的性質．
【點睛】本題主要考查了三角形高的定義，三角形外角的性質，熟知三角形的一個外角等于與其不相鄰的
兩個內角之和是解題的關鍵．
C 綜合素養
1．（23-24 七年級下·河北石家莊·期末）下列命題中：
①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③若 1 = 40°，
2的兩邊與 1的兩邊分別平行，則 2 = 40°或140°；④在同一平面內，若b ^ c， a ^ c ，則b∥a．其中
假命題的個數是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．0
【答案】C
【分析】本題主要考查了判斷命題的真假，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質．
根據平行線的性質及判定，逐個判斷各個命題的真假即可．
【詳解】①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；故該命題是假命題；
②在同一平面內，過直線外的點的直線才與已知直線平行．如果這一點不在直線外，不是相交就是重合．所
以過一點有且只有一條直線與已知直線平行是錯誤的．該命題是假命題；
③若 1 = 40°， 2的兩邊與 1的兩邊分別平行，則 2 = 40°或140°，如圖所示，該是真命題；
，
④在同一平面內，若b ^ c， a ^ c ，則b∥a．垂直于同一直線的兩條直線互相平行，是真命題；
綜上所述：是真命題的有③④；
故選：C．
2．（23-24 七年級下·北京通州·期末）已知有理數 a，b，下列命題中是真命題的有（ ）
①如果 ab = 0，那么 a = 0或b = 0；
②如果 a2 = b2 ，那么 a = b；
③如果 a < b < 0，那么 ab > 0；
④如果 a > b ，那么 a + b 的符號與 a 的符號相同；
1 1
⑤如果a > b > 0，那么 > ．
a b
A．①②④ B．②③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【分析】本題考查了命題真假的判定，解題的關鍵是掌握有理數加法、乘法、乘方法則，有理數大小的比
較，難度一般．
根據有理數加法、乘法、乘方法則，有理數大小的比較，逐個判斷即可．
【詳解】解：①如果 ab = 0，那么 a = 0或b = 0，正確，故①是真命題；
②如果 a2 = b2 ，那么 a = b或 a = -b ，原命題錯誤，故②假命題；
③如果 a < b < 0，那么 ab > 0，正確，故③是真命題；
④如果 a > b ，那么 a + b 的符號與 a 的符號相同，正確，故④是真命題；
1 1
⑤如果 a > b >1，那么 < ，如果1 > a > b > 0 1 1，那么 a < b ，原命題錯誤，故⑤假命題；a b
∴是真命題的有①③④．
故選：C．
3．（23-24 七年級下·吉林四平·期末）給出下列 5 個命題：①垂線段最短；②兩條直線被第三條直線所截，
內錯角相等；③互補的角是鄰補角；④同旁內角相等，兩直線平行；⑤同旁內角的兩個角的平分線互相垂
直．其中是真命題的是 ．（填寫命題的序號即可）
【答案】①
【分析】本題考查了真命題，平行線的判定與性質，垂線段最短，熟練掌握平行線的判定與性質及垂線段
最短是解題的關鍵．根據平行線的判定與性質及垂線段最短公理，即可判斷答案．
【詳解】①是公理,正確；
②忽略了兩條直線必須是平行線，故②錯誤；
③舉反例，兩直線平行，同旁內角互補，顯然這兩個角不是鄰補角，故③錯誤；
④“同旁內角互補，兩直線平行”，故④不符合平行線的判定，是錯誤的；
⑤當同旁內角互補時，它們的角的平分線才互相垂直，故⑤錯誤；
所以真命題是①．
故答案為：①．
4．（23-24 七年級下·安徽阜陽·階段練習）有下列說法：①內錯角相等；②直線外一點到這條直線的垂線段，
叫做點到直線的距離；③數軸上的點與有理數一一對應；④ “畫線段 AB = 3cm ”是命題．其中不正確的說法
的是 （. 把所有正確結論的序號都選上）
【答案】①②③④
【分析】本題考查了命題及真假判斷，根據實數與數軸、平行線的性質、點到直線的距離的概念判斷即可，
熟記正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，熟練掌握判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質
定理．
【詳解】①兩直線平行，內錯角相等，原說法錯誤；
②直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，原說法錯誤；
③數軸上的點與實數一一對應，原說法錯誤；
④畫線段“ AB = 3cm ”不是命題，原說法錯誤，
故答案為：①②③④．
5．（19-20 七年級下·山東濱州·階段練習）在小學四年級我們學過三角形的內角和等于 180°；科學實驗又證
明，平面鏡反射光線的規律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等．利用上述知
識進行下面的探究活動：
（一）探究：
（1）如圖，一束光線 m 射到平面鏡 a 上，被 a 反射到平面鏡 b 上，又被平面鏡 b 反射．若被平面鏡 b 反射
出的光線 n 平行于 m，且∠1＝50°，則∠2＝________，∠3＝________．
（2）在（1）中，若∠1＝40°，則∠3＝________；若∠1＝55°，則∠3＝________．
（二）猜想：
（3）由（1）（2），請你猜想：當∠3＝________時，任何射到平面鏡 a 上的光線 m 經過平面鏡 a 和 b 的兩
次反射后，入射光線 m 與反射光線 n 總是平行的．
（三）（4）證明：請證明你的上述猜想．
【答案】（1）100°；90°；（2）90°；90°；（3）90°；（4）見解析
【分析】（1）如圖，根據入射角等于反射角可求得∠1=∠4，∠5=∠6，進而求得∠7=80°，再由 m∥n 求出
∠2=100°，進而求得∠5=40°，根據三角形內角和為 180°即可求得答案；
（2）結合（1）中過程可得∠3=90°；
（3）根據（1）（2）結論，猜想當∠3=90°時，m∥n；
（4）由∠3=90°證得∠2 與∠7 互補即可．
【詳解】(一)(1)如圖，∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠4，∠5=∠6，
∴∠7=180°-∠1-∠4=80°，
∵m∥n，
∴∠7+∠2=180°，
∴∠2=180°-∠7=100°，
∴∠5=∠6=（180°-100°）÷2=40°
根據三角形的內角和為 180°，得:
∠3=180°-∠4-∠5=90°,
故答案為：100°,90°；
(2)由（1）可知∠3 的度數都是 90°，
故答案為：90°，90°；
(二)（3）由（1）（2）可猜想：當∠3=90°時，m∥n，
故答案為：90°；
(三)（4）證明：當∠3=90°時，.m∥n.
理由如下：
∵ ∠ 3=90°，
∴ ∠ 4+∠ 5=180° 90°=90°，
∵∠ 1=∠ 4，∠ 5=∠ 6，
∴ ∠ 1+∠ 4+∠ 5+∠ 6=2×90°=180°，
∴ ∠ 7+∠ 2=180° (∠ 1+∠ 4)+180° (∠ 5+∠ 6)=180°，
∴ m∥n．
【點睛】本題考查平行線的判定與性質，還涉及入射角等于反射角、平角定義、三角形的內角和定理等知
識，解答的關鍵是認真審題，掌握入射角等于反射角這一重要性質，利用平行線的性質得出∠3=90°，進而
利用特殊到一般，歸納與類比、猜想與證明的解題方法解決問題．
6．（23-24 七年級下·河南安陽·期中）如圖，現有下面三個條件： AB ^ BC ，CD ^ BC ；BE P CF ；
1 = 2．
(1)請從中選擇兩個作為題設，剩下的一個作為結論，組成一個真命題．（寫成“如果……那么……”的形式）
(2)對（1）中的命題進行求證．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了命題與定理，平行線的性質，垂直的性質等知識點，
(1)可以把前兩個條件作為題設，第三個條件作為結論，即可得解；
(2)由于 AB ^ BC ，CD ^ BC 得到 ABC = DCB = 90°，利用平行線的性質得到 EBC = FCB，進而可得
到 ABC - EBC = DCB - FCB，即有 1 = 2；
熟練掌握其性質是解決此題的關鍵．
【詳解】（1）如果 AB ^ BC ，CD ^ BC ，BE∥CF ，那么 1 = 2．
（2）證明：∵ AB ^ BC ，CD ^ BC ，
∴ ABC = DCB = 90°，
又∵BE∥CF ，
∴ EBC = FCB，
∴ ABC - EBC = DCB - FCB，
即 1 = 2．第 02 講 定義、命題與證明（2 個知識點+5 大題型+18 道強化
訓練）
課程標準 學習目標
1.理解定義與命題的概念；
2.分清命題的條件和結論，會把命題改 1.理解定義與命題的概念；
寫成“如果……那么……”的形式，并能 2.分清命題的條件和結論，會把命題改寫成“如
判斷命題的真假； 果……那么……”的形式，并能判斷命題的真假；
3.會用反例說明一個命 3.會用反例說明一個命題是假命題。
題是假命題。
知識點 01：定義與命題
1.定義：能清楚地規定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義。
2.命題：定義：判斷某一件事情的句子
結構：由條件和結論兩部分組成。
句式改寫：如果……那么……
分類：真命題 通過推理的方式來判斷、人們經過長期實踐公認為正確的
假命題 通過舉反例(具備命題的條件但不具備命題的結論的實例)
3.互逆命題 原命題、逆命題 互逆定理 原定理、逆定理
每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題不一定是真命題。
【即學即練 1】
1．（23-24 七年級下·山東日照·期末）下列命題中真命題是（ ）
A．同旁內角互補
B．相等的角是對頂角
C．在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行
D．平移前后圖形的對應點所連線段一定平行
知識點 02：證明
證明：從命題的條件出發，根據已知的定義、基本事實、定理(包括推論)、一步一步推得
結論成立的推理過程。
證明幾何命題的格式：(1)按題意畫出圖形(2)分清命題的條件和結論，結合圖形，在已知
中寫出條件，在求證中寫出結論(3)在證明中寫出推理過程。
在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫
成虛線。
【即學即練 2】
2．（22-23 七年級下·江蘇無錫·階段練習）甲和乙玩一個猜數游戲，規則如下：已知五張紙牌上分別寫有 2、
3、4、5、6 五個數字，現甲、乙兩人分別從中各自隨機取一張，然后根據自己手中的數推測誰手上的數更
大，甲看了看自己手中的數，想了想說：我不知道誰手中的數更大；乙聽了甲的判斷后，思索了一下說：
我也不知道誰手中的數更大。假設甲、乙所作出的推理都是正確的，那么乙手中的數是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．不能確定
題型 01 判斷是否是命題
1．（23-24 七年級下·湖南湘西·期末）下列語句，不是命題的是（ ）
A．兩點之間線段最短 B．在同一個平面內兩直線不平行就相交
C．連接 A，B 兩點 D．對頂角相等
2．（23-24 七年級下·遼寧鞍山·期中）下面的語句中，哪個不是命題（ ）
A．任何一個三角形一定有一個角是直角
B．對頂角相等
C．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行
D．過直線 m 外一點 A 作 m 的平行線 AB
3．（19-20 八年級上·廣東清遠·期末）命題：①鄰補角互補；②對頂角相等；③同旁內角互補；④兩點之間
線段最短．其中真命題是 （填序號）．
4．（21-22 七年級下·全國·課前預習）下列語句在表述形式上，有什么共同特點？
（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；
（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補；
（3）對頂角相等；
（4）等式兩邊都加同一個數，結果仍是等式．
你的發現：這些語句都是對一件事情作出了 ．
像這樣判斷一件事情的語句，叫作 ．
注意：①只要對一件事情作出了判斷，不管正確與否，都是 ．
②如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就 命題．
5．（22-23 八年級上·全國·課后作業）下列句子中，哪些是命題？哪些不是命題？
(1)將 27 開立方．
(2)任意三角形的三條中線相交于一點嗎？
(3)銳角小于直角．
(4) a < 0 （a 為實數）．
題型 02 判斷命題的真假
1．（23-24 七年級下·遼寧營口·期末）下列語句中是真命題的是（ ）
A．如果 | a |=| b |，那么 a = b B．任何一個正數的平方都大于這個數
C．內錯角相等，兩直線平行 D．在同一平面內，垂直于同一直線的兩條線互相垂直
2．（23-24 七年級下·湖南株洲·期末）下列命題中，①同旁內角互補；②對頂角相等；③過直線外一點有且
只有一條直線與已知直線平行；④連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．真命題的個
數有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
3．（24-25 八年級上·江蘇·假期作業）在同一平面內，有三條直線 a，b，c，下列說法：①若 a 與 b 相交，b
r r
與 c 相交，則 a 與 c 相交；②若 a P b ，b P c ，則 a P c；③若 a ^ b，b ^ c，則 a ^ c ．其中正確命題
是 ．（填序號）
4．（23-24 七年級下·內蒙古呼和浩特·期中）下列命題中是真命題的有 ．（填序號）
r r
①如果 a ^ b， c ^ b ，則 a ^ c ；
②在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行；
③同位角相等；
④同旁內角互補，則它們的角平分線互相垂直；
⑤互補的兩個角是鄰補角；
⑥過一點畫已知直線的垂線可以畫而且只能畫一條；
⑦有理數和數軸上的點一一對應．
5．（23-24 七年級下·河北邢臺·階段練習）命題：絕對值相等的兩個數相等．
(1)請將上述命題改寫成“如果……，那么……”，并指出這個命題的條件與結論；
(2)判斷這個命題是真命題還是假命題．
題型 03 舉例說明假（真）命題
1．（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）判斷命題“如果 x2 > 0， 那么 x > 0 ” 是假命題，只需舉出一個反例，
則所舉反例中 x 的值可以為（ ）
A．15 B．0.8 C．-2 D．0
2．（23-24 七年級下·甘肅隴南·階段練習）下列選項可以用來說明命題“兩個銳角的和是鈍角”是假命題的是
（　　）
A． A = 30°, B = 40° B． A = 30°, B = 80°
C． A = 30°, B = 90° D． A = 30°, B =100°
3．（23-24 七年級下·浙江臺州·期末）能說明命題“若 a > b，則 a2 > b2 ”是假命題的一個反例可以是：
a = ，b = ．
4．（23-24 七年級下·北京門頭溝·期末）可以用一個 a 的值說明命題“如果 a2 > 4，那么 a > 2 ”是假命題，這
個值可以是a = ．
5．（23-24 七年級下·河南周口·階段練習）（1）判斷下列命題是真命題還是假命題？如果是假命題，請舉一
反例．
①兩個銳角的和是銳角；
②0 既不是正數，也不是負數．
（2）如圖，已知鈍角 AOB ，點D在射線OB上，畫直線DE ^ OB及DF ^ OA，垂足為F ．
題型 04 寫出命題的題設與結論
1．（2021 七年級下·全國·專題練習）命題“等角的余角相等”中的余角是（　?。?br/>A．結論的一部分
B．題設的一部分
C．既不屬于結論也不屬于題設
D．同屬于題設和結論部分
2．（21-22 七年級下·河北邢臺·期中）命題是能夠判斷真假的語句，命題一般都有題設與結論．命題“垂直于
同一條直線的兩條直線互相平行”的題設是（ ）．
A．兩條直線互相平行 B．兩條直線互相垂直
C．同一條直線 D．兩條直線垂直于同一條直線
3．（23-24 七年級下·山東德州·期中）請將“等角的補角相等”請改寫成“如果，那么”的形式 ．
4．（23-24 七年級下·甘肅定西·階段練習）命題“鄰補角互補”的題設是 ，結論是 ，它是一個
（填“真”或“假”）命題．
5．（23-24 七年級下·廣西防城港·階段練習）已知① 1 = 58°， ② 2 = 58°， ③ 3 =122° ， ④ a∥b， 請
選 2 個作為題設， 1 個作為結論，構成一個真命題，并證明．
題設： ___________， 結論___________．
證明：
題型 05 證明
1．（20-21 八年級·全國·假期作業）布魯斯先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網球選手．這四
人中有以下情況：①最佳選手的孿生同胞與最差選手性別不同：②最佳選手與最差選手年齡相同．則這四
人中最佳選手是（　　）
A．布魯斯先生 B．布魯斯先生的妹妹
C．布魯斯先生的兒子 D．布魯斯先生的女兒
2．（2019·重慶沙坪壩·二模）某超市（商場）失竊，大量的商品在夜間被罪犯用汽車運走．三個嫌疑犯被警
察局傳訊，警察局已經掌握了以下事實：（1）罪犯不在甲、乙、丙三人之外；（2）丙作案時總得有甲作從
犯；（3）乙不會開車．在此案中，能肯定的作案對象是（　?。?br/>A．嫌疑犯乙 B．嫌疑犯丙 C．嫌疑犯甲 D．嫌疑犯甲和丙
3．（2022·北京海淀·三模）描金又稱泥金畫漆，是一種傳統工藝美術技藝．起源于戰國時期，在漆器表面，
用金色描繪花紋的裝飾方法，常以黑漆作底，也有少數以朱漆為底．描金工作分為兩道工序，第一道工序
是上漆，第二道工序是描繪花紋．現甲、乙兩位工匠要完成A ，B ，C 三件原料的描金工作，每件原料先由
甲上漆，再由乙描繪花紋．每道工序所需的時間 ( 單位：小時 )如下：
原料
時間 原料A 原料 B 原料C
工序
上漆 10 16 13
描繪花紋 15 8 12
則完成這三件原料的描金工作最少需要 小時．
4．（20-21 七年級下·福建莆田·期末）現有一個三位數密碼鎖，已知以下 3 個條件，可以推斷正確的密碼
是 ．
① 只有一個號碼正確且位置正確
② 只有兩個號碼正確且位置都不正確
③ 三個號碼都不正確
5．（22-23 八年級上·全國·課后作業）已知：如圖，在 VABC 中， C = 90°， B = 54°， ADC = 72°．求證：
AD 平分 BAC ．
A 夯實基礎
1．（23-24 七年級下·四川廣安·期末）對于命題“如果 a > b，那么 a2 > b2 ”能說明它是假命題的反例是（ ）
A． a = 2，b =1 B． a = 3，b = -2
C． a = 2，b = -1 D． a = -1，b = -2
2．（23-24 七年級下·湖北咸寧·期末）已知在同一平面內的三條直線 a，b，c，下列命題中錯誤的是（ ）
r r
A． a∥b，b∥c，那么 a∥c B．如果 a ^ b，b ^ c，那么 a ^ c
r r r r
C．如果 a ^ b，b ^ c，那么 a∥c D．如果 a ^ b， a∥c ，那么b ^ c
3．（23-24 七年級下·北京昌平·期末）已知命題“同位角相等”，這個命題是 命題．（填“真”或“假”）
4．（23-24 七年級下·四川自貢·期中）將命題“在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”改寫
為“如果…那么…”的形式，可寫為 ．
5．（23-24 七年級下·全國·課后作業）把下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并寫出它們的題設和
結論．
(1)有兩個角為60°的三角形是等邊三角形；
(2)兩個連續偶數相差 2
6．（2023 七年級下·江蘇·專題練習）將下列命題改寫成“如果…，那么…”的形式．
(1)兩直線平行，內錯角相等；
(2)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角的和；
(3)等腰三角形的兩底角相等．
B 能力提升
1．（23-24 七年級下·河北滄州·期末）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等
B．和為180°的兩個角是鄰補角
C．相等的兩個角是對頂角
D．在同一平面內，若 a∥b，b∥c，則 a∥c
2．（20-21 八年級上·浙江杭州·階段練習）小王、小陳、小張當中有一人做了一件好事，另兩人也都知道是
誰做了這件事．老師在了解情況時，他們三人分別說了下面幾句話：
小陳：“我沒做這件事．”“小張也沒做這件事．”
小王：“我沒做這件事．”“小陳也沒做這件事．”
小張：“我沒做這件事．”“我也不知道誰做了這件事．”
已知他們每人都說了一句假話，一句真話，做好事的人是（ ）
A．小王 B．小陳 C．小張 D．不能確定
3．（22-23 八年級上·四川眉山·期末）用反證法證明“已知，a > b,b > c．求證：a > c ”．第一步應先假設 ．
4、（23-24 七年級下·江蘇泰州·期末）命題“如果 x 1，那么 x2 1”的逆命題是 命題．（選填“真”或
“假”）
5．（23-24 七年級下·河北邯鄲·階段練習）已知命題“兩直線平行，同旁內角互補”．
(1)寫出該命題的題設和結論，并將其改寫成“如果……那么……”的形式；
(2)嘉淇想證明該命題，下面是她的解題過程，請將其補全，并在括號內填上推理的根據．
如圖，已知直線 AB P CD，直線 EF 截 AB ，CD 于點 M，N．
求證 AMN +　　=180°．
證明：∵ AB P CD（已知），
∴ AME = CNM （ 　?。?br/>∵ AME + 　　=180°（平角的定義），
∴ AMN +　　=180°（ 　?。?br/>6．（22-23 八年級上·全國·課后作業）已知：如圖，VABC 的兩條高線 BE 、CF 相交于點 O．求證：
BOC =180° - A．
證明：∵ BE 、CF 是VABC 的兩條高線（　　），
\ OEC = BFC = 90°（　?。?br/>Q ACF + A = BFC = 90°（　?。?，
\ ACF = 90° - A．
\ BOC = OEC + ACF = 90° + 90° - A =180° - A．
C 綜合素養
1．（23-24 七年級下·河北石家莊·期末）下列命題中：
①兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；②過一點有且只有一條直線與已知直線平行；③若 1 = 40°，
2的兩邊與 1的兩邊分別平行，則 2 = 40°或140°；④在同一平面內，若b ^ c， a ^ c ，則b∥a．其中
假命題的個數是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．0
2．（23-24 七年級下·北京通州·期末）已知有理數 a，b，下列命題中是真命題的有（ ）
①如果 ab = 0，那么 a = 0或b = 0；
②如果 a2 = b2 ，那么 a = b；
③如果 a < b < 0，那么 ab > 0；
④如果 a > b ，那么 a + b 的符號與 a 的符號相同；
1 1
⑤如果a > b > 0，那么 > ．
a b
A．①②④ B．②③⑤ C．①③④ D．①④⑤
3．（23-24 七年級下·吉林四平·期末）給出下列 5 個命題：①垂線段最短；②兩條直線被第三條直線所截，
內錯角相等；③互補的角是鄰補角；④同旁內角相等，兩直線平行；⑤同旁內角的兩個角的平分線互相垂
直．其中是真命題的是 ．（填寫命題的序號即可）
4．（23-24 七年級下·安徽阜陽·階段練習）有下列說法：①內錯角相等；②直線外一點到這條直線的垂線段，
叫做點到直線的距離；③數軸上的點與有理數一一對應；④ “畫線段 AB = 3cm ”是命題．其中不正確的說法
的是 （. 把所有正確結論的序號都選上）
5．（19-20 七年級下·山東濱州·階段練習）在小學四年級我們學過三角形的內角和等于 180°；科學實驗又證
明，平面鏡反射光線的規律是射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等．利用上述知
識進行下面的探究活動：
（一）探究：
（1）如圖，一束光線 m 射到平面鏡 a 上，被 a 反射到平面鏡 b 上，又被平面鏡 b 反射．若被平面鏡 b 反射
出的光線 n 平行于 m，且∠1＝50°，則∠2＝________，∠3＝________．
（2）在（1）中，若∠1＝40°，則∠3＝________；若∠1＝55°，則∠3＝________．
（二）猜想：
（3）由（1）（2），請你猜想：當∠3＝________時，任何射到平面鏡 a 上的光線 m 經過平面鏡 a 和 b 的兩
次反射后，入射光線 m 與反射光線 n 總是平行的．
（三）（4）證明：請證明你的上述猜想．
6．（23-24 七年級下·河南安陽·期中）如圖，現有下面三個條件： AB ^ BC ，CD ^ BC ；BE P CF ；
1 = 2．
(1)請從中選擇兩個作為題設，剩下的一個作為結論，組成一個真命題．（寫成“如果……那么……”的形式）
(2)對（1）中的命題進行求證．

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