資源簡介

第 01 講 圖形的軸對稱（1 個知識點+7 大題型+18 道強化訓練）
課程標準 學習目標
1.圖形的軸對稱概念； 1、通過學習軸對稱圖形和關于直線對稱，進一步認識
2.生活中的軸對稱現象； 幾何圖形的本質特征。
2、通過學習軸對稱圖形和關于直線對稱的區別和聯系，
進一步發展學生抽象概括能力。
知識點 01：軸對稱圖形相關概念
1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，
這條直線就是它的對稱軸。 這時，我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。
2.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條
直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點。
3. 軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系：
區別：①軸對稱圖形說的是一個具有特殊形狀 的圖形；軸對稱說的是兩個圖形的一種
特殊位置關系。
②軸對稱是對兩個圖形說的，而軸對稱圖形是對一個圖形說的。
聯系：①都沿某條直線對折，圖形重合。
②如把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形的
兩部分分別看作兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱。
軸對稱和軸對稱圖形的性質
軸對稱的性質：
垂直平分線：垂直并且評分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
① 由一個平面圖形可以得到它關于一條直線 L 成軸對稱的圖形，這個圖形與原圖形全等（即形狀、大
小完全相同）
② 新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關于直線 L 的對稱點。
③ 連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分。
A'
H
I
D D'
J B'
K C'
軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
【即學即練 1】下列圖形不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的
圖形叫做軸對稱圖形，逐一判斷即可．
【詳解】解：A 選項圖形是軸對稱圖形，故不符合題意；
B 選項圖形是軸對稱圖形，故不符合題意；
C 選項圖形是軸對稱圖形，故不符合題意；
D 選項圖形不是軸對稱圖形，故符合題意．
故選 D．
【點睛】此題考查的是軸對稱圖形的識別，掌握軸對稱圖形的定義是解題關鍵．
【即學即練 2】如圖，VABC 與VA B C 關于直線 l 對稱，且 A = 78°， C = 48°，則 C 的度數是（　　）
A． 48° B．54° C．74° D．78°
【答案】A
【分析】根據成軸對稱的個圖形對應角相等的性質，即可進行解答．
【詳解】解：∵VABC 與VA B C 關于直線 l 對稱， C = 48°，
∴ C = C = 48°，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的性質，解題的關鍵是掌握成軸對稱的兩個圖形對應角相等．
題型 01 軸對稱圖形的識別
1．下列圖形中，是軸對稱圖形，并且只有 3 條對稱軸的是（ ）
A．圓 B．正方形 C．梯形 D．等邊三角形
【答案】D
【分析】此題考查了軸對稱圖形，根據軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全
重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；據此判斷即可．
【詳解】解：A． 圓有無數條對稱軸，故此選項不符合題意；
B． 正方形有 4 條對稱軸，故此選項不符合題意；
C． 梯形中的等腰梯形是軸對稱圖形，只有 1 條對稱軸，故此選項不符合題意；
D．等邊三角形有 3 條對稱軸，故此選項符合題意．
故選：D．
2．下列五種圖形：①線段 ②角 ③平行四邊形 ④正方形 ⑤等腰三角形，是軸對稱圖形的有 ．（填
序號）
【答案】①②④⑤
【分析】該題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
根據軸對稱圖形的概念求解，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱
圖形，這條直線叫做對稱軸．
【詳解】解：根據軸對稱圖形的定義可知：線段、角、正方形、等腰三角形是軸對稱圖形；平行四邊形不
是軸對稱圖形．
故是軸對稱圖形的有①②④⑤．
故答案為：①②④⑤．
3．習近平主席提到“人不負青山，青山定不負人”，一語道出“人與自然和諧共生”的至簡大道．如圖有關環
保的四個圖形中，不是軸對稱圖形的是 ，（填序號）
　 　　 　　
【答案】①③④
【分析】根據軸對稱圖形的定義，即可進行解答．
【詳解】解：①不是軸對稱圖形，符合題意；
②是軸對稱圖形，不符合題意；
③不是軸對稱圖形，符合題意；
④不是軸對稱圖形，符合題意；
綜上：不是軸對稱圖形的有①③④；
故答案為：①③④．
【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形：一個圖形沿一條直線折疊，
直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．
4．如圖①②③所示的圖案是用黑白兩種顏色的正方形紙片拼成的．
(1)如圖①所示的圖案是軸對稱圖形嗎？若是，有幾條對稱軸？
(2)如圖②，③所示圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？
(3)請你推斷，按此規律下去，第 n 個圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？
【答案】(1)圖案是軸對稱圖形，有 4 條對稱軸
(2)圖②是軸對稱圖形，都有 2 條對稱軸；圖③是軸對稱圖形，有 2 條對稱軸
(3)第 n 個圖案是軸對稱圖形，有 2 條對稱軸
【分析】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個
圖形叫做軸對稱圖形．
根據軸對稱圖形的概念判斷即可．
【詳解】（1）圖案是軸對稱圖形，有 4 條對稱軸；
（2）圖②是軸對稱圖形，都有 2 條對稱軸；圖③是軸對稱圖形，有 2 條對稱軸．
（3）第 n 個圖案是軸對稱圖形，有 2 條對稱軸．
題型 02 成軸對稱的兩個圖形的識別
1．下列各組圖形中，右邊的圖形與左邊的圖形成軸對稱的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】本題考查軸對稱的定義，熟練掌握軸對稱的定義是關鍵，根據軸對稱的定義：“如果兩個平面圖形
沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，則這兩個圖形成軸對稱”，進行逐一判斷即可．
【詳解】解：②③是軸對稱，①④不是軸對稱，
故選：B．
2．下列同類型的每個網格中均有兩個三角形，其中一個三角形可以由另一個進行軸對稱變換得到的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據軸對稱的定義：將兩個物體沿一條直線對折完全重合是軸對稱直接判斷即可得到答案；
【詳解】解：由圖形可得，
A 選項圖形中一個三角形不可以由另一個進行軸對稱變換得到，
B 選項圖形中一個三角形可以由另一個進行軸對稱變換得到，
C 選項圖形中一個三角形不可以由另一個進行軸對稱變換得到，
D 選項圖形中一個三角形不可以由另一個進行軸對稱變換得到，
故選：B；
【點睛】本題考查軸對稱的定義：將兩個物體沿一條直線對折完全重合是軸對稱．
3．下列語句：（1）軸對稱圖形的對應線段相等，對應角相等；（2）成軸對稱的兩個圖形必在對稱軸的異側：
（3）等邊三角形是軸對稱圖形，且有三條對稱軸．其中正確的有 個．
【答案】2
【分析】根據軸對稱圖形性質來判斷，如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重
合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸，即可得出答案．
【詳解】（1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形，軸對稱圖形對應線段相等，對應角相等，說法正確；
（2）成軸對稱的兩個圖形的對稱軸可能在圖形中間，說法不正確；
（3）等邊三角形三邊相等，角相等，是軸對稱圖形且有三條對稱軸，說法正確，
故答案為：2
【點睛】本題考查了軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的性質，對稱軸數量的判斷是解題關鍵．
4．把一個圖形沿著 折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形 關于這條直
線 ．這條直線叫做 ．折疊后重合的點叫對應點，也叫 ．
【答案】 某一條直線 成軸對稱 成軸對稱 對稱軸 對稱點
5．如圖，與圖形 A 成軸對稱的是哪個圖形？作出它們的對稱軸．
A． B． C．
D．
【答案】圖形 B，對稱軸見解析
【分析】根據成軸對稱的概念可作答．
【詳解】解：根據軸對稱的概念：把其中的一個圖形沿著某條直線折疊，能夠與另一個圖形重合，則圖形 B
與它構成軸對稱；
對稱軸如圖：
【點睛】考查了軸對稱的概念，注意軸對稱和軸對稱圖形的區別：軸對稱指的是兩個圖形；軸對稱圖形指
的是一個圖形．
題型 03 根據成軸對稱圖形的特征進行判斷
1．下列說法錯誤的是（ ）
A．關于某條直線對稱的兩個三角形一定全等 B．軸對稱圖形至少有一條對稱軸
C．全等三角形一定能關于某條直線對稱 D．角是關于它的平分線對稱的圖形
【答案】C
【分析】本題考查了軸對稱的性質，根據軸對稱的定義和性質逐一分析四個選項的正誤，由此即可得出結
論．熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：A、關于某條直線對稱的兩個三角形一定全等，正確，故本選項不符合題意；
B、軸對稱圖形至少有一條對稱軸，正確，故本選項不符合題意；
C、兩全等三角形不一定關于某條直線對稱，錯誤，故本選項符合題意；
D、角是關于它的平分線對稱的圖形，正確，故本選項不符合題意．
故選：C．
2．如圖，VABC 與VA B C 關于直線MN 對稱，BB 交MN 于點O，則下列結論不一定正確的是（　　）
A． AC = A C B．BO = B O C． AA ^ MN D． AB∥B C
【答案】D
【分析】本題考查了軸對稱的性質，根據軸對稱的性質：成軸對稱的兩個圖形的對應邊相等，對應角相等，
對稱軸垂直平分對應點連接的線段，據此即可求解，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵VABC 與VA B C 關于直線MN 對稱，
∴ AC = A C ， AA ^ MN ，BO = B O， AB 與B C 不一定平行，
故A，B，C項一定正確，D 項不一定正確，
故選：D ．
3．已知點A 與點 A ，點 B 與點B 都關于直線 l成軸對稱，并且點A 、 B 所在的直線與點 A 、B 所在的直線
相交于點 P ，連接 AA ，判斷下列結論：① AB = A B ；②點 P 在直線 l上；③直線 l ^ AA ；④PA = PA，其
中正確的結論有 （只填寫序號）．
【答案】①②③④
【分析】本題考查了軸對稱的性質，解題關鍵是熟記對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線以及
軸對稱的對應線段或對應線段的延長線相交，交點在對稱軸上．
【詳解】解：由題意可知， AB 與 A B 關于直線 l成軸對稱，
\ AB = A B ，點 P 在直線 l上，直線 l ^ AA ，PA = PA，
即正確的結論有①②③④，
故答案為：①②③④．
4．如圖， A = 20° ， C = 60°，VABC 與VA B C 關于直線 l對稱，則 B = ．
【答案】100°/100 度
【分析】先根據軸對稱的性質得出△ABC≌△A B C ，由全等三角形的性質可知 C = C ，再由三角形內
角和定理可得出 B 的度數．
【詳解】解：QVABC 與VA B C 關于直線 l對稱，
∴△ABC≌△A B C ，
\ C = C = 60°，
Q A = 20° ，
\ B =180° - A - C =180° - 20° - 60° =100°．
故答案為：100°．
【點睛】本題考查的是軸對稱的性質、全等三角形的性質及三角形內角和定理，熟練掌握軸對稱的性質及
三角形內角和定理是解答此題的關鍵．
5．如圖，已知VABC 的三個頂點在格點上．
(1)畫出△A1B1C1， 使它與VABC 關于直線MN 對稱；
(2)在直線MN 上找出一點 D， 使得 BDM = CDN ，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作軸對稱圖形，軸對稱的性質，對頂角相等，掌握軸對稱圖形的性質，是解答本題的
關鍵．
（1）先畫出點 A、B、C 關于直線MN 對稱點 A1、B1、C1，再依次連接即可；
（2）連接BC1交直線MN 與點 D，點 D 即為所求．
【詳解】（1）解：如圖所示：△A1B1C1如圖所示：
（2）解：如圖所示，點 D 即為所求，
由軸對稱的性質可知， CDN = C1DN ，
∵ BDM = C1DN ，
∴ BDM = CDN ．
題型 04 根據成軸對稱圖形的特征進行求解
1．如圖，四邊形 ABCD中，AB = AD ，點 B 關于 AC 的對稱點 B’恰好落在CD上，若 BAD =100°，則 ACB
的度數為（ ）
A．30° B． 40° C．50° D．60°
【答案】B
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，等腰三角形的性質以及直角三角形的性質，解題時注意：如果兩
個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．連接 BE ，過 A 作 AF ^ CD
1
于 F，得到 AD = AE ，依據 CAB = CAE ， DAF = EAF ，即可得出 CAF = BAD = 50°，再根據直
2
角三角形兩銳角互余，即可得到 ACB = ACD = 40°．
【詳解】解：如圖，連接 BE ，過 A 作 AF ^ CD 于 F，
∵點 B 關于 AC 的對稱點 E 恰好落在CD上，
∴ AC 垂直平分 BE ，
∴ AB = AE ，
∴ CAB = CAE ，
∵ AB = AD ，
∴ AE = AD，
又∵ AF ^ CD ，
∴ DAF = EAF ，
CAF 1∴ = BAD = 50°，
2
又∵ AFC = 90°，
∴ ACB = ACD = 40°，
故選：B．
2．如圖，在五邊形 ABCDE 中， BAE = 142°， B = E = 90°， AB = BC ， AE = DE ．在BC ，DE 上分別
找一點M ， N ，使得VAMN 的周長最小時，則 AMN + ANM 的度數為（　　）
A．76° B．84° C．96° D．109°
【答案】A
【分析】本題考查了最短路線問題．延長 AB 至 A ，使 A B = AB，延長 AE 至 A ，使 A E = AE，則BC 垂
直平分 AA ，DE 垂直平分 AA ，所以 AM = A M ， A N = AN ，VABC 的周長為 AM + MN + AN ，要使其周
長最小，即使 A M + MN + A N 最小，設 MAA = x，則 AMN = 2x，設 NAA = y ，則 ANM = 2y ，在△AA A
中，利用三角形內角和定理，可以求出 x + y = 38°，進一步可以求出 AMN + ANM 的值．
【詳解】解：如圖，延長 AB 至 A ，使 A B = AB，
延長 AE 至 A ，使 A E = AE，
則BC 垂直平分 AA ，DE 垂直平分 AA ，
\ AM = A M ， AN = A N ，
根據兩點之間，線段最短，
當 A ，M ， N ， A 四點在一條直線時， A M + MN + NA 最小，
則 AM + MN + AN 的值最小，
即VAMN 的周長最小，
Q AM = A M ， AN = A N ，
\可設 MAA = MA A = x ， NAA = NA A = y ，
在△AA A 中， x + y = 180° - BAE = 180° -142° = 38°，
Q AMN = MAA + MA A = 2x ， ANM = 2y ，
\ AMN + ANM = 2x + 2y = 76°，
故選：A．
3．如圖，三條邊分別是 6 厘米、8 厘米、10 厘米的直角三角形，將它的直角邊對折到斜邊上去，與斜邊相
重合，則圖中陰影部分的面積是( )平方厘米．
【答案】9
【分析】此題主要根據等高的兩個三角形的面積比等于底的長度的比，由此求面積的比．此題很明顯，原
直角三角形被分成了三部分，因它們都是直角三角形，依據題目條件可以先找出它們的面積比，再根據總
1
面積是： SVABC = 6 8 = 24平方厘米，然后求解即可．2
1
【詳解】解：由題意可以知道： SVABC = 6 8 = 24（平方厘米）2
SVAEC = SVADE ， SVADE 和 S△BDE 等高，
所以， SVBDE :SV ADE = BD:AD = 10 - 6 :6 = 2:3
所以， SVBDE : SVADE : SVACE = 2 : 3: 3；
SVADE = 24 2 + 3+ 3 3 = 9（平方厘米）
答：圖中陰影部分面積是 9 平方厘米．
故答案為：9
4．如圖，△APT 與△CPT 關于直線PT 對稱， A = APT ，延長 AT 交PC 于點 F，當 A = °時，
FTC = C ．
【答案】36
【分析】本題考查軸對稱的性質，三角形內角和定理，三角形的外角的性質等知識，證明
APF = AFP = 2 A，利用三角形內角和定理構建方程求解即可．
【詳解】解：QVAPT 與△CPT 關于直線PT 對稱，
\ A = C，TA = TC， APT = CPT ，
Q A = APT ，
\ A = C = APT = CPT ，
Q FTC = C，
\ AFP = C + FTC = 2 C = 2 A，
Q A + APF + AFP =180°，
\5 A =180°，
\ A = 36°，
故答案為：36．
5．如圖，在正方形網格上有一個VABC ．
(1)畫VABC 關于直線MN 的對稱圖形（不寫畫法）；
(2)若網格上的每個小正方形的邊長為 1，求VABC 的面積．
(3)在直線MN 上求作一點 P，使PA + PB 最小．
【答案】(1)見解析
(2)8.5
(3)見解析
【分析】本題考查了作圖—軸對稱變化、軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質是解決本題的關鍵．
（1）先找出點A 、點 B 、點C 關于直線MN 的對稱點，再依次連接對稱點即可．
（2）先求出VABC 所在的長方形的面積，再求出長方形里其他三個直角三角形的面積，用長方形的面積減
去三個直角三角形的面積即可．
（3）先找出點A 關于直線MN 的對稱點 A ，連接BA 與直線MN 相交于點 P ，即PA + PB 的最小值就是線段
BA 的長度．
【詳解】（1）解：如圖，VA B C 即為所求；
1
（2）解：VABC 的面積 = 4 5 - 1 4
1
- 1 1 4 - 3 5 = 20 - 2 - 2 - 7.5 = 8.5
2 2 2 ．
（3）解：如圖，點 P 即為所求．
PA + PB = PA + PB A B，故PA + PB 最小為 A B．
題型 05 臺球桌面上的軸對稱問題
1．如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的
方向被擊出（球可以經過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（　　）
A．1 號袋 B．2 號袋 C．3 號袋 D．4 號袋
【答案】B
【分析】本題考查了生活中的軸對稱現象，利用軸對稱的性質是解題的關鍵. 根據網格結構利用軸對稱的性
質作出球的運動路線，即可進行判斷．
【詳解】解：如圖所示，根據軸對稱的性質可知，臺球走過的路徑為：
\ 該球最后落入 2 號袋．
故選：B．
2．數學在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數學問題，如圖所示， 1 = 2，若 3 = 35°，
為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證 1為（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】C
【分析】根據圖形得出 2的度數，即可求出 1的度數．
【詳解】解：Q 2 + 3 = 90°， 3 = 35°，
\ 2 = 55°，
Q 1 = 2，
\ 1 = 55° ，
故選：C．
【點睛】本題考查了臺球桌上的軸對稱問題，利用數形結合的思想解決問題是解題關鍵．
3．如圖，桌球的桌面上有 M，N 兩個球，若要將 M 球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中 N 球，則 A，B，
C，D，4 個點中，可以反彈擊中 N 球的是 點．
【答案】D
【分析】本題考查了軸對稱的知識，注意結合圖形解答，不要憑空想象，實際操作一下．
【詳解】解：如圖，
可以瞄準點D擊球．
故答案為：D．
4．如圖，在 8×4 的長方形 ABCD 網格中，每個網格的頂點叫格點．一發光電子位于 AB 邊上格點 P 處，將
發光電子沿 PR 方向發射（其中∠PRB=45°），碰撞到長方形的 BC 邊時發生反彈，設定此時為發光電子第 1
次與長方形的邊碰撞（點 R 為第 1 次碰撞點）．發光電子碰撞到長方形的邊時均發生反彈，若發光電子與長
方形的邊共碰撞了 2021 次，則它與 AB 邊碰撞次數是
【答案】673
【分析】如圖，根據反射角與入射角的定義可以在格點中作出圖形，可以發現，在經過 6 次反射后，發光
電子回到起始的位置，即可求解．
【詳解】解：如圖，
根據圖形可以得到：每 6 次反彈為一個循環組依次循環，
經過 6 次反彈后動點回到出發點，且每次循環它與 AB 邊的碰撞有 2 次，
∵2021÷6=336…5，
當點 P 第 2021 次碰到長方形的邊時為第 336 個循環組后的第 5 次反彈，
∴它與 AB 邊的碰撞次數是=336×2+1=673 次，
故答案為：673．
【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質，作出圖形，觀察出每 6 次反彈為一個循環組依次循環是解題的關
鍵．
5．【問題初探】數學課上，老師和學生做數學書 39 頁的做一做的內容
如圖，打臺球時，選擇適當的方向擊打白球，白球反彈后擊打紅球，紅球會直接入袋，此時，
2 + 3 = 90°, 1 = 2．
（1）若 l = 60°，則 3 = _____ °；
（2） ADE 的余角是_________；
【學科融合】
物理學中把經過入射點O并垂直于反射面的直線ON 叫做法線，入射光線與法線的夾角 i叫做入射角，反射
光線與法線的夾角 r 叫做反射角（如圖①）．由此可以歸納出如下的規律：在反射現象中，反射光線、入射
光線和法線都在同一平面內；反射光線、入射光線分別位于法線兩側：反射角等于入射角．這就是光的反
射定律（rfectionlaw）．
【數學推理】
（3）如圖 1，有兩塊平面鏡OM ,ON ，且OM ^ ON ，入射光線 AB 經過兩次反射，得到反射光線CD．由
以上光的反射定律，可知入射角與反射角相等，進而可以推得他們的余角也相等，即：
1 = 2, 3 = 4．在這樣的條件下，求證： AB∥CD．
【嘗試探究】
（4）兩塊平面鏡OM ,ON ，且 MON = ，入射光線 AB 經過兩次反射，得到反射光線CD．如圖 2，光線
AB 與CD相交于點E ，則 BEC = _________；（用含有字母 的式子表示）
【答案】（1）30；（2） ADE 的余角是： ADC, 3；（3）見解析（4）180° - 2 ；
【分析】（1）根據軸對稱性質求解即可；
（2）根據余角的定義求解即可；
（3）根據反射定律得 1 = 2， 3= 4，又∠2 +∠3 = 90°，得出 DCB + ABC =180°，由平行線的判定
即可得出結論；
（4）根據 1 = 2， 3= 4， 2 + 3 =180° - ，得出 1+ 4 =180° - ，根據
1+ 2 + ABC + 3 + 4 + DCB =180° +180° = 360°，證得 ABC + DCB = 2 ，根據三角形內角和定理求
解即可．
【詳解】解：（1）由題意得： 2 = 1 = 60°，CD ^ EF ，
∴ CDF = 2 + 3 = 90°，
∴ 3 = 90° - 2 = 90° - 60° = 30°．
（2）證明：∵CD ^ EF
∴ CDE = ADE + ADC = 90°， CDF = 2 + 3 = 90°，
∵ ADE = 2
∴ ADE + 3 = 90°
∴ ADE 的余角是 ADC ， 3．
（3）QOM ^ ON ，
∴ MON = 90°，
∴∠2 +∠3 = 90°，
由反射定律得： 1 = 2， 3= 4，
∴ 1+ 2 + 3 + 4 = 2( 2 + 3) =180°，
∵ 1+ ABC + 2 + 3 + BCD + 4 = 180° +180° = 360°，
∴ ABC + BCD =180°，
∴ AB∥CD ；
（4）Q 1 = 2， 3= 4， 2 + 3 =180° - ，
\ 1+ 4 =180° - ，
Q 1+ 2 + ABC + 3 + 4 + DCB = 180° +180° = 360°，
\ ABC + DCB = 2 ，
Q BEC + ABC + DCB = 180°，
\ BEC = 180° - 2 ．
【點睛】本題考查了余角的定義，平行線的判定，軸對稱的性質，反射定律，三角形內角和定理，熟練掌
握余角的定義：兩角的和等于 90 度，這兩角互為余角，平行線的判定定理是解題的關鍵．
題型 06 軸對稱中的光線反射問題
1．如圖，兩條平行直線 a，b，從點光源 M 射出的光線射到直線 a 上的 A 點，入射角為15°，然后反射光線
射到直線 b 上的 B 點，當這束光線繼續從 B 點反射出去后，反射光線與直線 b 所夾銳角的度數為（　　）
A．30° B． 25° C． 20° D．15°
【答案】D
【分析】本題考查軸對稱的性質和平行線的性質，根據“入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的
夾角相等”得到 =15°，由平行線的性質可得 ABC = 15°，即可得出結論．熟練掌握平行線的性質是解題
的關鍵．
【詳解】解：如圖，
∵從點光源M 射出的光線射到直線 a上的 A 點，入射角為15°，然后反射光線射到直線b 上的 B 點，
∴ =15°，
∵ a∥b，
∴ ABC = =15° ，
∴當這束光線繼續從 B 點反射出去后，反射光線與直線b 的夾角度數為15°．
故選：D
2．如圖，在空心圓柱口放置一面平面鏡EF ，EF 與水平線CD的夾角 EBC = 70°，入射光線 AB 經平面鏡
反射后反射光線為 BM （點A ，B ，C ，D，E ，F ，M 在同一豎直平面內），已知 ABE = FBM ．若要
使反射光線恰好垂直于圓柱底面射出，則需要把入射光線 AB 與水平線CD的夾角 ABC 的度數調整為
（　　）
A．35° B． 40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】本題主要考查了垂線和角的計算，軸對稱的性質；根據已知可得 CBM = 90°，進而求得 FBM ，
根據對稱可得 ABE = 20°，進而即可求解．
【詳解】解：由題意，知 CBM = 90°，
∴ FBM =180° - 70° - 90° = 20°．
∴ ABE = 20°．
∴ ABC = EBC - ABE = 70° - 20° = 50°，
故選：C．
3．如圖，球沿圖中箭頭方向擊出后碰到桌子的邊緣會反彈，其中 1叫做入射角， 2叫做反射角，如果每
次的入射角總是等于反射角，那么球最后將落入桌子四個頂角處的球袋中的 ．
【答案】C 號袋
【分析】根據每次的入射角總是等于反射角畫出球運動的路線，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，球最后將落入桌子四個頂角處的球袋中C 號袋．
故答案為：C 號袋．
【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質，解題的關鍵是根據題意畫出球運動的路線．
4．如圖，一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB 、OA反射后，沿EF 方向射出，已知 AOB =120°，
CDB = 20°，則 AEF = ．
【答案】40°/40 度
【分析】根據入射角等于反射角，可得 CDB = EDO, DEO = AEF ，根據三角形內角和定理求得
OED = 40°，進而即可求解．
【詳解】解：依題意， CDB = EDO, DEO = AEF ，
∵ AOB =120°， CDB = 20°，
\ CDB = EDO = 20°，
∴ OED =180 - ODE - AOB = 40°，
\ AEF = DEO = 40°．
故答案為：40°．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質，三角形內角和定理的應用，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
5．如圖所示，一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB ，OA反射后，沿EF 方向射出．
(1)畫出DE ，EF ．
(2)若 AOB =120°， CDB = 20°，則 AEF = ________．
【答案】(1)見解析
(2) 40°
【分析】本題考查了軸對稱的性質，三角形內角和定理的應用，掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
（1）根據軸對稱的性質即可作圖；
（2）根據入射角等于反射角，可得 CDB = EDO， DEO = AEF ，根據三角形內角和定理求得 OED = 40°，
進而即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，DE ，EF 即為所求，
；
（2）解：由軸對稱的性質可知 CDB = EDO = 20°．
在VOED 中， OED =180° - AOB - EDO =180° -120° - 20° = 40°．
由軸對稱性質，得 AEF = OED = 40°．
故答案為： 40°．
題型 07 折疊問題
1．如圖，把VABC 紙片沿 DE 折疊，當點 A 落在四邊形 BCED 的外面時，此時測得 1 =112°， A = 40° ，
則 2的度數為（ ）
A．32° B．33° C．34° D．36°
【答案】A
【分析】本題主要考查了折疊的性質，三角形外角的性質等知識點，熟練掌握三角形外角的性質是解題的
關鍵．
根據折疊的性質得出 A = A = 40°，根據三角形外角的性質得出 DOA = 1- A = 72°，再次利用三角形
外角的性質即可求出 2的度數．
【詳解】解：如圖，設 A D 與 AC 交于點O，
Q A = 40°，
\根據折疊的性質， A = A = 40°，
Q 1 = DOA + A， 1 =112°，
\ DOA = 1- A =112° - 40° = 72°，
Q DOA = A + 2，
\ 2 = DOA - A = 72° - 40° = 32°，
故選：A ．
2．如圖，在長方形 ABCD中， AD =16 ， AB = 8，點M 、 N 分別在 AD 、BC 上，將長方形 ABCD沿MN
折疊，使點A ， B 分別落在長方形 ABCD外部的點 A ，B 處，則陰影部分的圖形的周長為（ ）
A．12 B． 24 C． 48 D．56
【答案】C
【分析】此題考查的是求陰影部分的周長，掌握周長的定義和折疊的性質是解決此題的關鍵．根據周長的
定義和折疊的性質可得出陰影部分的周長即為長方形的周長，從而求出結論．
【詳解】解：根據折疊的性質可得： AM = A M ， AB = A B ，BN = B N ，
則陰影部分圖形的周長為長方形的周長，
∵在長方形 ABCD中， AD =16 ， AB = 8，
長方形的周長為 16 + 8 2 = 48．
故選 C．
3．如圖，在VABC 中，將 B、 C 按如圖所示的方式折疊，點 B、C 均落于邊BC 上的點 Q 處，MN、EF
為折痕，若 A = 82°，則 MQE = ．
【答案】82° /82 度
【分析】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，
位置變化，對應邊和對應角相等，解題的關鍵是利用整體思想得到 MQB + EQC 的度數．
由折疊的性質可知： B = MQB, C = EQC ，根據三角形的內角和為180°，可求出 B + C 的度數，進
而得到 MQB + EQC 的度數，問題得解．
【詳解】解：∵線段MN 、EF 為折痕，
\ B = MQB, C = EQC ，
Q A = 82°，
\ B + C = 180° - 82° = 98° ，
\ MQB + EQC = B + C = 98°，
\ MQE =180° - MQB + EQC =180° - 98° = 82°，
故答案為：82°．
4．如圖，將一張長方形紙片 ABCD沿對角線BD折疊后，點C 落在點 E 處，連接 BE 交 AD 于F ，再將三角
形DEF 沿DF 折疊后，點E 落在點G 處，若DG 剛好平分 ADB，那么 ADB的度數是 ．
【答案】36° /36 度
【分析】此題考查了角的運算，角平分線的定義，折疊的性質，根據折疊可得∠BDC =∠BDE，
EDF = GDF ，由角平分線的定義可得 BDA = GDF + BDG = 2 GDF ，然后根據長方形的性質及角
的運算可得答案，正確掌握折疊的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：由折疊可知，∠BDC =∠BDE， EDF = GDF ，
∵DG 平分 ADB，
∴ BDG = GDF ，
∴ EDF = BDG，
∴ BDE = EDF + GDF + BDG = 3 GDF ，
∴ BDC = BDE = 3 GDF， BDA = GDF + BDG = 2 GDF ，
∵ BDC + BDA = 90° = 3 GDF + 2 GDF = 5 GDF ，
∴ GDF =18°，
∴ ADB = 2 GDF = 2 18° = 36°，
故答案為：36°．
5．如圖，在VABC 中， ∠C = 90o ， B = 20°，點 D 是 AB 邊的中點，點 E 在BC 邊上（不與點 B、C 重
合），連結DE ，將VDEB沿DE 翻折得到VDEF ，點 B 的對應點為點 F．
(1)當 BDE = 20°時， CEF 的大小為 度．
(2)當DF ^ AB 時，求 CEF 的大小．
(3)當DF∥ AC 時，直接寫出 CEF 的大小．
【答案】(1)100
(2)50°
(3) CEF = 70°或110°
【分析】本題考查了軸對稱，三角形的內角和定理與外角的性質，平行線的性質．
（1）由三角形的內角和定理求出 DEB，進而由翻折可求出 DEF ，根據三角形外角的性質即可求出 DEC ，
從而根據角的和差即可解答；
（2）當DF ^ AB 時， BDF = 90°，從而由折疊可得 BDE = FDE = 45°，由三角形的內角和定理與翻折
求出 DEF ，根據三角形外角的性質即可求出 DEC ，從而根據角的和差即可解答；
（3）分兩種情況討論，VBDE 向下翻折或向下翻折，分別求解即可．
【詳解】（1）解：∵ BDE = 20°， B = 20°，
∴ DEB =180° - BDE - B =180° - 20° - 20° =140°，
∵VDEB沿DE 翻折得到VDEF ，
∴ DEF = DEB =140° ，
∵ DEC = B + BDE = 20° + 20° = 40°
∴ CEF = DEF - DEC =140° - 40° =100°．
故答案為：100
（2）解：當DF ^ AB 時， BDF = 90°，
由折疊可得 BDE = FDE ，又 BDE + FDE = BDF = 90°
∴ BDE = 45°，
∴ BED =180° - B - BDE =180° - 20° - 45° =115° ，
∴由折疊可得 DEF =∠DEB = 115°，
∵ DEC = BDE + B = 45° + 20° = 65°，
∴ CEF = DEF - DEC =115° - 65° = 50°．
（3）解：∵ C = 90°， B = 20°，
∴ A =180° - B - C =180° - 20° - 90° = 70°．
①如圖，若VBDE 向下翻折時，
當DF∥ AC 時，∠BDF = A = 70°，
由折疊可得 BDE = FDE ，又 BDE + FDE = BDF = 90°
∴ BDE = 35°，
∴ BED =180° - B - BDE =180° - 20° - 35° =125°，
∴由折疊可得 DEF = DEB =125°，
∵ DEC = BDE + B = 35° + 20° = 55°，
∴ CEF = DEF - DEC =125° - 55° = 70°；
②如圖，若VBDE 向上翻折時，
當DF∥ AC 時， ADF = A = 70°，
∴ BDF =180° - ADF =180° - 70° =110°，
∴ BDE + FDE = 360° - BDF = 250°
由折疊可得 BDE = FDE ，
∴ BDE =125°，
∴ BED =180° - B - BDE =180° - 20° -125° = 35°，
∴由折疊可得 DEF = DEB = 35°，
∴ CEF =180° - DEF - DEB =180° - 35° - 35° =110°；
綜上所述， CEF = 70°或110°．
1．中國“二十四節氣”已被正式列入聯合國救科文組織人類非物質文化遺產代表作品錄.下面四幅作品分別代
表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查軸對稱圖形的識別，解題關鍵在于識別圖形，根據軸對稱圖形的概念如果一個圖形沿一
條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，即可解答．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故選項 A 不符合題意．
B、不是軸對稱圖形，故選項 B 不符合題意．
C、不是軸對稱圖形，故選項 C 不符合題意．
D、是軸對稱圖形，故選項 D 符合題意．
故選：D．
2．如圖，將一個長方形紙條折成如圖所示的形狀，若 2 = 40°，則 1的度數是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．120°
【答案】A
【分析】本題考查了圖形的翻折變換以及平行線的性質，根據圖形得到角度之間的關系是解題的關鍵．先
根據圖形的翻折變換的性質求出 ECF = 2 = 40°，再求出 BCD =180° - 40° - 40° =100°，最后由平行線
的性質即可得出結論．
【詳解】解：延長DC ，如圖所示，
根據折疊可知： ECF = 2 = 40°，
∴ BCD =180° - 40° - 40° =100°，
Q紙條的兩邊互相平行，即 AB∥CD ，
\ 1 =180° - BCD =180° -100° = 80°，
故選：A．
3．如圖，在五邊形 ABCDE 中， BAE = 142°， B = E = 90°， AB = BC ， AE = DE ．在BC ，DE 上分別
找一點M ， N ，使得VAMN 的周長最小時，則 AMN + ANM 的度數為（　　）
A．76° B．84° C．96° D．109°
【答案】A
【分析】本題考查了最短路線問題．延長 AB 至 A ，使 A B = AB，延長 AE 至 A ，使 A E = AE，則BC 垂
直平分 AA ，DE 垂直平分 AA ，所以 AM = A M ， A N = AN ，VABC 的周長為 AM + MN + AN ，要使其周
長最小，即使 A M + MN + A N 最小，設 MAA = x，則 AMN = 2x，設 NAA = y ，則 ANM = 2y ，在△AA A
中，利用三角形內角和定理，可以求出 x + y = 38°，進一步可以求出 AMN + ANM 的值．
【詳解】解：如圖，延長 AB 至 A ，使 A B = AB，
延長 AE 至 A ，使 A E = AE，
則BC 垂直平分 AA ，DE 垂直平分 AA ，
\ AM = A M ， AN = A N ，
根據兩點之間，線段最短，
當 A ，M ， N ， A 四點在一條直線時， A M + MN + NA 最小，
則 AM + MN + AN 的值最小，
即VAMN 的周長最小，
Q AM = A M ， AN = A N ，
\可設 MAA = MA A = x ， NAA = NA A = y ，
在△AA A 中， x + y = 180° - BAE = 180° -142° = 38°，
Q AMN = MAA + MA A = 2x ， ANM = 2y ，
\ AMN + ANM = 2x + 2y = 76°，
故選：A．
4．將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，EN , EM 為折痕，折疊后點 A , B , E 在同一直線上，己知
BEM = 48°，求 A EN 的度數為（ ）
A．32° B．42° C．52° D．64°
【答案】B
【分析】本題主要考查了圖形的折疊問題．根據折疊的性質可得 A EN = AEN , B EM = BEM = 48°，
即可求解．
【詳解】解：由折疊的性質得： A EN = AEN , B EM = BEM = 48°，
A EN 180° - 2 BEM∴ = = 42°．
2
故選：B
5．如圖，在VABC 中， A = 20° ， C = 85°，點 D 在邊 AC 上（如圖 1），先將△ABD 沿著BD翻折，使
點 A 落在點 A 處，A B交 AC 于點 E（如圖 2），再將VBCE 沿著 BE 翻折，點 C 恰好落在BD上的點C 處（如
圖 3），則 BEC 的度數為（ ）
A．60° B．70° C．80° D．85°
【答案】B
【分析】本題考查翻折后對應角相等，三角形的內角和等于180°，根據翻折后對應角相等得到
ABD = DBE 1= CBE = ABC ，利用已知條件和三角形的內角和等于180°，建立等量關系可求的度數．
3
【詳解】解：∵ A = 20° ， C = 85°，
∴ ABC =180° - A - C =180° - 20° -85° = 75°，
由折疊可得 ABD = DBE = CBE
1
= ABC = 25°，
3
∴ BEC = BEC =180° - CBE - C =180° - 25° -85° = 70° ，
故選 B．
6．將VABC 沿著平行于BC 的直線折疊，點 A 落到點 A ，若 C =120°， A = 26° ，則 A DB 的度數為
（ ）
A．108° B．72° C．112° D．120°
【答案】C
【分析】本題主要考查了折疊的性質，三角形內角和定理，平行線的性質，先由三角形內角和定理和平行
線的性質得到 ADE = B = 34° ，再由折疊的性質可得 A DE = ADE = 34°，據此根據平角的定義可得答
案．
【詳解】解：∵ C =120°， A = 26° ，
∴ B =180° - A - C = 34°，
∵DE∥BC ，
∴ ADE = B = 34° ，
由折疊的性質可得 A DE = ADE = 34°，
∴ A DB =180° - A DE - ADE =112°，
故選：C．
7．如圖，在VABC 中，AC = 4cm ，M 是 AB 的中點，MN ^ AB 交 AC 于點 N ，△BCN 的周長是7cm ，則BC
的長為 ．
【答案】3cm /3 厘米
【分析】此題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，由M 是 AB 的中點，MN ^ AB
得MN 垂直平分 AB ，根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得 AN = BN ，由△BCN 的周長
= BN + NC + BC = AC + BC ，最后代入即可求解，解題的關鍵是熟練掌握線段垂直平分線的性質及整體思想
的應用．
【詳解】∵M 是 AB 的中點，MN ^ AB ，
∴MN 垂直平分 AB ，
∴ AN = BN ，
∵△BCN 的周長是7cm ，
∴BN + NC + BC = AC + BC = 7cm，
∵ AC = 4cm ，
∴BC = 3cm，
故答案為：3cm ．
8．將一個長方形按如圖所示的方式折疊，BE、BD為折痕， ABE 比 CBD小30°，則 CBD = ．
【答案】60°/60 度
【分析】本題主要考查了翻折變換的應用，角平分線的定義，平角的定義，由BD、BE為折痕，則可得
A BE = ABE ， DBC = DBC ，再根據 A BE + ABE + DBC + DBC =180°，結合 CBD - ABE = 30°
即可求解，靈活運用翻折變換的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵BD、BE為折痕，
∴BD、BE分別平分 CBC 、 ABA ，
∴ A BE = ABE ， DBC = DBC ，
∵ A BE + ABE + DBC + DBC =180°，
∴ ABE + CBD = 90°，
∵ CBD - ABE = 30°，
∴ CBD = 60°，
故答案為：60°．
9．如圖，在網格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影涂在
圖中標有數字 的格子內．
【答案】3
【分析】本題考查了軸對稱圖形的性質，根據軸對稱的定義，沿著虛線進行翻折后能夠重合，所以陰影應
該涂在標有數字 3 的格子內．
【詳解】解：根據軸對稱的定義，沿著虛線進行翻折后能夠重合，
∴根據題意，陰影應該涂在標有數字 3 的格子內；
故答案為：3．
10．如圖，在VABC 中， B = C = 60°，點D、E 分別在邊 AB 、BC 上，將DBDE 沿直線DE 翻折，使點
B 落在B1處，DB1、EB1分別交邊 AC 于點F 、G ．若 ADF = 80°，則 GEC = °．
【答案】40
【分析】本題主要考查的是翻折變換，由 ADF = 80°，由鄰補角的定義可知 BDB1 = 100°，然后由翻折的性
質可求得 BDE = 50°，VBDE 中由三角形的內角和定理可求得 BED = 70°，然后由翻折的性質可知
BEB1 = 140°，從而可求得 GEC = 40°．
【詳解】
解：Q ADF = 80°，
∴ BDB1 = 100°，
由翻折的性質可知： BDE = B1DE ，
BDE 1 BDB 1\ = 1 = 100° = 50°2 2 ，
Q B = 60°
∴在VBDE 中， BED = 180° - 50° - 60° = 70°．
由翻折的性質可知： BEB1 = 2 70° = 140°
\ GEC = 180° -140° = 40°．
故答案為： 40°．
11．如圖：點 P 為 AOB內一點，分別作出 P 點關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2 交OA于 M，交OB
于 N，P1P2 = 27，則VPMN 的周長為 ．
【答案】27
【分析】本題考查軸對稱的性質，學會用轉化的思想思考問題．證明VPMN 的周長= P1P2 ，可得結論．
【詳解】解：如圖：連接OP1，OP2，OP，
∵P 點關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2 交OA于 M，交OB 于 N，
\ NP = NP2 ，MP = MP1 ，
\△PMN 的周長 = PN + MN + MP = P2 N + NM + MP1 = P1P2 = 27，
故答案為：27．
12．如圖，在VABC 中， C = 27°，點D在 AC 的垂直平分線上，將△ABD 沿 AD 翻折后，使點 B 落在點B1
處，線段B1D與 AC 相交于點E ，則 CED = ．
【答案】81°
【分析】本題主要考查了折疊的性質、線段垂直平分線的性質、三角形的內角和定理等知識點，熟記折疊
的性質是解題的關鍵．根據線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質求出 C = DAC = 27°，根據三角
形外角性質求出 ADB = C + DAC = 54°，根據折疊的性質求出 ADB = ADB1 = 54°，根據平角定義求
出 CDE = 72°，再根據三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：∵點 D 在 AC 的垂直平分線上，
∴ AD = CD ，
∴ C = DAC = 27°，
∴ ADB = C + DAC = 54°，
∵將△ABD 沿 AD 翻折后，使點 B 落在點B1處，
∴ ADB = ADB1 = 54°，
∵ ADB + ADB1 + CDE =180°，
∴ CDE = 72°，
∴ CED =180° - C - CDE = 81°．
故答案為：81°．
13．畫出四邊形EFGH 關于直線MN 的軸對稱圖形．
【答案】圖見詳解
【分析】本題考查作圖—畫軸對稱圖形，熟悉作法是解題關鍵．
找到四個點關于MN 的對稱點，畫出對應點，然后連接即可．
【詳解】解：找對四個點E，F，G，H 關于MN 的對稱點，然后依次連接即可，如圖：
．
14．如圖，DA、CB 是平面鏡前同一發光點 S 發出的經平面鏡反射后的反射光線，請通過畫圖確定發光點 S
的位置，并將光路圖補充完整．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了軸對稱作圖，解題的關鍵是熟練掌握光在入射時，入射角等于反射角；兩條入射
光線的交點處是點光源所在處．作出BC 和 AD 的入射光線，相交處即為點 S 所在位置．
【詳解】解：如圖所示：
15．如圖，在長度為 1 個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點 A、B、C 在小正方形的頂點上．
(1)在圖中畫出與VABC 關于直線 l 成軸對稱的 VA B C
(2)線段CC 被直線 l ；
(3)VA B C 的面積為 ；
(4)在直線 l 上找一點 P， 使PB + PC 的長最短．
【答案】(1)圖見解析
(2)垂直平分
(3)3
(4)圖見解析
【分析】本題考查軸對稱作圖：
（1）利用軸對稱的性質，畫出VA B C 即可；
（2）利用軸對稱的性質，作答即可；
（3）借助網格求面積即可；
（4）利用將軍飲馬模型，畫出點 P 即可．
【詳解】（1）解：如圖，VA B C 即為所求；
（2）∵VABC 和VA B C 關于直線 l 成軸對稱，
∴線段CC 被直線 l 垂直平分；
故答案為：垂直平分；
1 1 1
（3）由圖可知：VA B C 的面積為 4 2 - 2 2 - 1 2 - 1 4 = 3；
2 2 2
（4）如圖，點 P 即為所求；
16．如圖，長方形臺球桌 ABCD上有兩個球 E，F．（保留作圖痕跡，工具不限）
(1)請你設計一條路徑，使得球 F 撞擊臺球桌邊 AB 反射后，撞到球 E；
(2)請你設計一條路徑，使得球 F 連續撞擊臺球桌邊 AB 、BC 反射后，撞到球 E．
【答案】(1) F P E
(2) F M N E
【分析】本題考查軸對稱，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決問題，屬于中考常考題型．
（1）作點 F 關于直線 AB 的對稱點F ，連接EF 交 AB 于 P，連接FP，點 P 即為所求；
（2）作點 F 關于直線 AB 的對稱點F ，點 E 關于BC 的對稱點E ，連接E F 交 AB 于 M，交BC 于 N，連
接FM ，EN ，點 M，N 即為所求．
【詳解】（1）解：如圖 1 中，路徑是F P E ．
（2）解：如圖 2 中，路徑是F M N E ．
17．如圖①②③所示的圖案是用黑白兩種顏色的正方形紙片拼成的．
(1)如圖①所示的圖案是軸對稱圖形嗎？若是，有幾條對稱軸？
(2)如圖②，③所示圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？
(3)請你推斷，按此規律下去，第 n 個圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？
【答案】(1)圖案是軸對稱圖形，有 4 條對稱軸
(2)圖②是軸對稱圖形，都有 2 條對稱軸；圖③是軸對稱圖形，有 2 條對稱軸
(3)第 n 個圖案是軸對稱圖形，有 2 條對稱軸
【分析】本題考查的是軸對稱圖形，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個
圖形叫做軸對稱圖形．
根據軸對稱圖形的概念判斷即可．
【詳解】（1）圖案是軸對稱圖形，有 4 條對稱軸；
（2）圖②是軸對稱圖形，都有 2 條對稱軸；圖③是軸對稱圖形，有 2 條對稱軸．
（3）第 n 個圖案是軸對稱圖形，有 2 條對稱軸．
18．如圖，長方形 ABCD中， BAD = B = D = C = 90°，AD∥BC ，E 為邊BC 上一點，將長方形沿 AE
折疊（ AE 為折痕），使點 B 與點F 重合，EG 平分 CEF 交CD于點G ，過點G 作HG ^ EG 交 AD 于點
H ．
(1)請判斷HG與 AE 的位置關系，并說明理由．
(2)若 CEG = 20°，求 DHG 的度數．
【答案】(1) HG∥ AE，理由見解析
(2) DHG = 70°．
【分析】此題考查了折疊問題及平行線的性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．
（1）根據折疊的性質得 AEB = AEF ，根據角平分線定義及垂直的定義得 AE ^ EG ，最后由平行的判定可
得結論；
（2）由余角的性質得 AEB = 70° ，然后根據平行線的性質可得答案．
【詳解】（1）HG∥ AE，理由如下：
∵長方形沿 AE 折疊，
∴ AEB = AEF ，
∵EG 平分 CEF 交CD于點 G，
∴ FEG = CEG ，
∵ AEB + AEF + FEG + CEG =180°，
∴ AEG = AEF + FEG = 90°，
∴ AE ^ EG ，
∵HG ^ ED ，
∴HG∥ AE；
（2）解：∵ CEG = 20°，
∴ AEB = 70° ，
∵長方形 ABCD中， AD∥BC ，
∴ AEB = DAE = 70° ，
∵HG∥ AE，
∴ DHG = DAE = 70°．第 01 講 圖形的軸對稱（1 個知識點+7 大題型+18 道強化訓練）
課程標準 學習目標
1.圖形的軸對稱概念； 1、通過學習軸對稱圖形和關于直線對稱，進一步認識
2.生活中的軸對稱現象； 幾何圖形的本質特征。
2、通過學習軸對稱圖形和關于直線對稱的區別和聯系，
進一步發展學生抽象概括能力。
知識點 01：軸對稱圖形相關概念
1.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，
這條直線就是它的對稱軸。 這時，我們也說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。
2.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條
直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點。
3. 軸對稱和軸對稱圖形的區別和聯系：
區別：①軸對稱圖形說的是一個具有特殊形狀 的圖形；軸對稱說的是兩個圖形的一種
特殊位置關系。
②軸對稱是對兩個圖形說的，而軸對稱圖形是對一個圖形說的。
聯系：①都沿某條直線對折，圖形重合。
②如把兩個成軸對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；反過來，把軸對稱圖形的
兩部分分別看作兩個圖形，那么這兩個圖形成軸對稱。
軸對稱和軸對稱圖形的性質
軸對稱的性質：
垂直平分線：垂直并且評分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。
① 由一個平面圖形可以得到它關于一條直線 L 成軸對稱的圖形，這個圖形與原圖形全等（即形狀、大
小完全相同）
② 新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關于直線 L 的對稱點。
③ 連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分。
A'
H
I
D D'
J B'
K C'
軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.
【即學即練 1】下列圖形不是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【即學即練 2】如圖，VABC 與VA B C 關于直線 l 對稱，且 A = 78°， C = 48°，則 C 的度數是（　　）
A． 48° B．54° C．74° D．78°
題型 01 軸對稱圖形的識別
1．下列圖形中，是軸對稱圖形，并且只有 3 條對稱軸的是（ ）
A．圓 B．正方形 C．梯形 D．等邊三角形
2．下列五種圖形：①線段 ②角 ③平行四邊形 ④正方形 ⑤等腰三角形，是軸對稱圖形的有 ．（填
序號）
3．習近平主席提到“人不負青山，青山定不負人”，一語道出“人與自然和諧共生”的至簡大道．如圖有關環
保的四個圖形中，不是軸對稱圖形的是 ，（填序號）
　 　　 　　
4．如圖①②③所示的圖案是用黑白兩種顏色的正方形紙片拼成的．
(1)如圖①所示的圖案是軸對稱圖形嗎？若是，有幾條對稱軸？
(2)如圖②，③所示圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？
(3)請你推斷，按此規律下去，第 n 個圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？
題型 02 成軸對稱的兩個圖形的識別
1．下列各組圖形中，右邊的圖形與左邊的圖形成軸對稱的有（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
2．下列同類型的每個網格中均有兩個三角形，其中一個三角形可以由另一個進行軸對稱變換得到的是
（ ）
A． B． C． D．
3．下列語句：（1）軸對稱圖形的對應線段相等，對應角相等；（2）成軸對稱的兩個圖形必在對稱軸的異側：
（3）等邊三角形是軸對稱圖形，且有三條對稱軸．其中正確的有 個．
4．把一個圖形沿著 折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形 關于這條直
線 ．這條直線叫做 ．折疊后重合的點叫對應點，也叫 ．
5．如圖，與圖形 A 成軸對稱的是哪個圖形？作出它們的對稱軸．
A． B． C．
D．
題型 03 根據成軸對稱圖形的特征進行判斷
1．下列說法錯誤的是（ ）
A．關于某條直線對稱的兩個三角形一定全等 B．軸對稱圖形至少有一條對稱軸
C．全等三角形一定能關于某條直線對稱 D．角是關于它的平分線對稱的圖形
2．如圖，VABC 與VA B C 關于直線MN 對稱，BB 交MN 于點O，則下列結論不一定正確的是（　　）
A． AC = A C B．BO = B O C． AA ^ MN D． AB∥B C
3．已知點A 與點 A ，點 B 與點B 都關于直線 l成軸對稱，并且點A 、 B 所在的直線與點 A 、B 所在的直線
相交于點 P ，連接 AA ，判斷下列結論：① AB = A B ；②點 P 在直線 l上；③直線 l ^ AA ；④PA = PA，其
中正確的結論有 （只填寫序號）．
4．如圖， A = 20° ， C = 60°，VABC 與VA B C 關于直線 l對稱，則 B = ．
5．如圖，已知VABC 的三個頂點在格點上．
(1)畫出△A1B1C1， 使它與VABC 關于直線MN 對稱；
(2)在直線MN 上找出一點 D， 使得 BDM = CDN ，并說明理由．
題型 04 根據成軸對稱圖形的特征進行求解
1．如圖，四邊形 ABCD中，AB = AD ，點 B 關于 AC 的對稱點 B’恰好落在CD上，若 BAD =100°，則 ACB
的度數為（ ）
A．30° B． 40° C．50° D．60°
2．如圖，在五邊形 ABCDE 中， BAE = 142°， B = E = 90°， AB = BC ， AE = DE ．在BC ，DE 上分別
找一點M ， N ，使得VAMN 的周長最小時，則 AMN + ANM 的度數為（　　）
A．76° B．84° C．96° D．109°
3．如圖，三條邊分別是 6 厘米、8 厘米、10 厘米的直角三角形，將它的直角邊對折到斜邊上去，與斜邊相
重合，則圖中陰影部分的面積是( )平方厘米．
4．如圖，△APT 與△CPT 關于直線PT 對稱， A = APT ，延長 AT 交PC 于點 F，當 A = °時，
FTC = C ．
5．如圖，在正方形網格上有一個VABC ．
(1)畫VABC 關于直線MN 的對稱圖形（不寫畫法）；
(2)若網格上的每個小正方形的邊長為 1，求VABC 的面積．
(3)在直線MN 上求作一點 P，使PA + PB 最小．
題型 05 臺球桌面上的軸對稱問題
1．如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的
方向被擊出（球可以經過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（　　）
A．1 號袋 B．2 號袋 C．3 號袋 D．4 號袋
2．數學在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數學問題，如圖所示， 1 = 2，若 3 = 35°，
為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證 1為（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
3．如圖，桌球的桌面上有 M，N 兩個球，若要將 M 球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中 N 球，則 A，B，
C，D，4 個點中，可以反彈擊中 N 球的是 點．
4．如圖，在 8×4 的長方形 ABCD 網格中，每個網格的頂點叫格點．一發光電子位于 AB 邊上格點 P 處，將
發光電子沿 PR 方向發射（其中∠PRB=45°），碰撞到長方形的 BC 邊時發生反彈，設定此時為發光電子第 1
次與長方形的邊碰撞（點 R 為第 1 次碰撞點）．發光電子碰撞到長方形的邊時均發生反彈，若發光電子與長
方形的邊共碰撞了 2021 次，則它與 AB 邊碰撞次數是
5．【問題初探】數學課上，老師和學生做數學書 39 頁的做一做的內容
如圖，打臺球時，選擇適當的方向擊打白球，白球反彈后擊打紅球，紅球會直接入袋，此時，
2 + 3 = 90°, 1 = 2．
（1）若 l = 60°，則 3 = _____ °；
（2） ADE 的余角是_________；
【學科融合】
物理學中把經過入射點O并垂直于反射面的直線ON 叫做法線，入射光線與法線的夾角 i叫做入射角，反射
光線與法線的夾角 r 叫做反射角（如圖①）．由此可以歸納出如下的規律：在反射現象中，反射光線、入射
光線和法線都在同一平面內；反射光線、入射光線分別位于法線兩側：反射角等于入射角．這就是光的反
射定律（rfectionlaw）．
【數學推理】
（3）如圖 1，有兩塊平面鏡OM ,ON ，且OM ^ ON ，入射光線 AB 經過兩次反射，得到反射光線CD．由
以上光的反射定律，可知入射角與反射角相等，進而可以推得他們的余角也相等，即：
1 = 2, 3 = 4．在這樣的條件下，求證： AB∥CD．
【嘗試探究】
（4）兩塊平面鏡OM ,ON ，且 MON = ，入射光線 AB 經過兩次反射，得到反射光線CD．如圖 2，光線
AB 與CD相交于點E ，則 BEC = _________；（用含有字母 的式子表示）
題型 06 軸對稱中的光線反射問題
1．如圖，兩條平行直線 a，b，從點光源 M 射出的光線射到直線 a 上的 A 點，入射角為15°，然后反射光線
射到直線 b 上的 B 點，當這束光線繼續從 B 點反射出去后，反射光線與直線 b 所夾銳角的度數為（　　）
A．30° B． 25° C． 20° D．15°
2．如圖，在空心圓柱口放置一面平面鏡EF ，EF 與水平線CD的夾角 EBC = 70°，入射光線 AB 經平面鏡
反射后反射光線為 BM （點A ，B ，C ，D，E ，F ，M 在同一豎直平面內），已知 ABE = FBM ．若要
使反射光線恰好垂直于圓柱底面射出，則需要把入射光線 AB 與水平線CD的夾角 ABC 的度數調整為
（　　）
A．35° B． 40° C．50° D．60°
3．如圖，球沿圖中箭頭方向擊出后碰到桌子的邊緣會反彈，其中 1叫做入射角， 2叫做反射角，如果每
次的入射角總是等于反射角，那么球最后將落入桌子四個頂角處的球袋中的 ．
4．如圖，一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB 、OA反射后，沿EF 方向射出，已知 AOB =120°，
CDB = 20°，則 AEF = ．
5．如圖所示，一束光沿CD方向，先后經過平面鏡OB ，OA反射后，沿EF 方向射出．
(1)畫出DE ，EF ．
(2)若 AOB =120°， CDB = 20°，則 AEF = ________．
題型 07 折疊問題
1．如圖，把VABC 紙片沿 DE 折疊，當點 A 落在四邊形 BCED 的外面時，此時測得 1 =112°， A = 40° ，
則 2的度數為（ ）
A．32° B．33° C．34° D．36°
2．如圖，在長方形 ABCD中， AD =16 ， AB = 8，點M 、 N 分別在 AD 、BC 上，將長方形 ABCD沿MN
折疊，使點A ， B 分別落在長方形 ABCD外部的點 A ，B 處，則陰影部分的圖形的周長為（ ）
A．12 B． 24 C． 48 D．56
3．如圖，在VABC 中，將 B、 C 按如圖所示的方式折疊，點 B、C 均落于邊BC 上的點 Q 處，MN、EF
為折痕，若 A = 82°，則 MQE = ．
4．如圖，將一張長方形紙片 ABCD沿對角線BD折疊后，點C 落在點 E 處，連接 BE 交 AD 于F ，再將三角
形DEF 沿DF 折疊后，點E 落在點G 處，若DG 剛好平分 ADB，那么 ADB的度數是 ．
5．如圖，在VABC 中， ∠C = 90o ， B = 20°，點 D 是 AB 邊的中點，點 E 在BC 邊上（不與點 B、C 重
合），連結DE ，將VDEB沿DE 翻折得到VDEF ，點 B 的對應點為點 F．
(1)當 BDE = 20°時， CEF 的大小為 度．
(2)當DF ^ AB 時，求 CEF 的大小．
(3)當DF∥ AC 時，直接寫出 CEF 的大小．
1．中國“二十四節氣”已被正式列入聯合國救科文組織人類非物質文化遺產代表作品錄.下面四幅作品分別代
表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，將一個長方形紙條折成如圖所示的形狀，若 2 = 40°，則 1的度數是（ ）
A．80° B．90° C．100° D．120°
3．如圖，在五邊形 ABCDE 中， BAE = 142°， B = E = 90°， AB = BC ， AE = DE ．在BC ，DE 上分別
找一點M ， N ，使得VAMN 的周長最小時，則 AMN + ANM 的度數為（　　）
A．76° B．84° C．96° D．109°
4．將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，EN , EM 為折痕，折疊后點 A , B , E 在同一直線上，己知
BEM = 48°，求 A EN 的度數為（ ）
A．32° B．42° C．52° D．64°
5．如圖，在VABC 中， A = 20° ， C = 85°，點 D 在邊 AC 上（如圖 1），先將△ABD 沿著BD翻折，使
點 A 落在點 A 處，A B交 AC 于點 E（如圖 2），再將VBCE 沿著 BE 翻折，點 C 恰好落在BD上的點C 處（如
圖 3），則 BEC 的度數為（ ）
A．60° B．70° C．80° D．85°
6．將VABC 沿著平行于BC 的直線折疊，點 A 落到點 A ，若 C =120°， A = 26° ，則 A DB 的度數為
（ ）
A．108° B．72° C．112° D．120°
7．如圖，在VABC 中，AC = 4cm ，M 是 AB 的中點，MN ^ AB 交 AC 于點 N ，△BCN 的周長是7cm ，則BC
的長為 ．
8．將一個長方形按如圖所示的方式折疊，BE、BD為折痕， ABE 比 CBD小30°，則 CBD = ．
9．如圖，在網格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影涂在
圖中標有數字 的格子內．
10．如圖，在VABC 中， B = C = 60°，點D、E 分別在邊 AB 、BC 上，將DBDE 沿直線DE 翻折，使點
B 落在B1處，DB1、EB1分別交邊 AC 于點F 、G ．若 ADF = 80°，則 GEC = °．
11．如圖：點 P 為 AOB內一點，分別作出 P 點關于OA、OB的對稱點P1，P2，連接P1P2 交OA于 M，交OB
于 N，P1P2 = 27，則VPMN 的周長為 ．
12．如圖，在VABC 中， C = 27°，點D在 AC 的垂直平分線上，將△ABD 沿 AD 翻折后，使點 B 落在點B1
處，線段B1D與 AC 相交于點E ，則 CED = ．
13．畫出四邊形EFGH 關于直線MN 的軸對稱圖形．
14．如圖，DA、CB 是平面鏡前同一發光點 S 發出的經平面鏡反射后的反射光線，請通過畫圖確定發光點 S
的位置，并將光路圖補充完整．
15．如圖，在長度為 1 個單位長度的小正方形組成的正方形網格中，點 A、B、C 在小正方形的頂點上．
(1)在圖中畫出與VABC 關于直線 l 成軸對稱的 VA B C
(2)線段CC 被直線 l ；
(3)VA B C 的面積為 ；
(4)在直線 l 上找一點 P， 使PB + PC 的長最短．
16．如圖，長方形臺球桌 ABCD上有兩個球 E，F．（保留作圖痕跡，工具不限）
(1)請你設計一條路徑，使得球 F 撞擊臺球桌邊 AB 反射后，撞到球 E；
(2)請你設計一條路徑，使得球 F 連續撞擊臺球桌邊 AB 、BC 反射后，撞到球 E．
17．如圖①②③所示的圖案是用黑白兩種顏色的正方形紙片拼成的．
(1)如圖①所示的圖案是軸對稱圖形嗎？若是，有幾條對稱軸？
(2)如圖②，③所示圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？
(3)請你推斷，按此規律下去，第 n 個圖案是否是軸對稱圖形？若是，有幾條對稱軸？
18．如圖，長方形 ABCD中， BAD = B = D = C = 90°，AD∥BC ，E 為邊BC 上一點，將長方形沿 AE
折疊（ AE 為折痕），使點 B 與點F 重合，EG 平分 CEF 交CD于點G ，過點G 作HG ^ EG 交 AD 于點
H ．
(1)請判斷HG與 AE 的位置關系，并說明理由．
(2)若 CEG = 20°，求 DHG 的度數．

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