資源簡介

第 04 講 三角形全等的判定（4 個知識點+14 大題型+18 道強化
訓練）
課程標準 學習目標
1.經歷探索三角形全等條件的過程，掌握和
會用“邊邊邊”“邊角邊”和“角邊角”“角角邊” 1.經歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會用“邊邊
和“斜邊、直角邊”條件判定兩個三角形全 邊”“邊角邊”和“角邊角”“角角邊”和“斜邊、直角邊”條件
等； 判定兩個三角形全等；
2. 使學生經歷探索三角形全等的過程，體 2. 使學生經歷探索三角形全等的過程，體驗操作、歸
驗操作、歸納得出數學結論的方法. 納得出數學結論的方法.
3. 通過探究三角形全等的條件的活動，培 3. 通過探究三角形全等的條件的活動，培養學生觀察
養學生觀察分析圖形的能力及運算能力，培 分析圖形的能力及運算能力，培養學 生樂于探索的良
養學 生樂于探索的良好品質以及發現問題 好品質以及發現問題的能力.
的能力.
知識點一、全等三角形的判定
一、全等三角形判定 1——“邊邊邊”
定理 1：三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.
要點詮釋：如圖，如果 A ' B '＝AB， A 'C '＝AC， B 'C '＝BC，則△ABC≌△ A ' B 'C ' .
二、全等三角形判定 2——“邊角邊”
定理 2：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.
要點詮釋：如圖，如果 AB ＝ A ' B '，∠A＝∠ A '，AC ＝ A 'C '，則△ABC≌△ A ' B 'C ' .
注意：1. 這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.
2. 有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.
如圖，△ABC 與△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 與△ABD 不完全重合，故不
全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.
三、全等三角形判定 3——“角邊角”
定理 3：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.
要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠ A '，AB＝ A ' B '，∠B＝∠ B '，則△ABC≌△ A ' B 'C ' .
四、全等三角形判定 4——“角角邊”
定理 4：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）
要點詮釋：由三角形的內角和等于 180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個
三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.
2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.
如圖，在△ABC 和△ADE 中，如果 DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC
和△ADE 不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.
要點三、判定方法的選擇
1.選擇哪種判定方法，要根據具體的已知條件而定，見下表：
已知條件 可選擇的判定方法
一邊一角對應相等 SAS AAS ASA
兩角對應相等 ASA AAS
兩邊對應相等 SAS SSS
2.如何選擇三角形證全等
（1）可以從求證出發，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可
以證這兩個三角形全等；
（2）可以從已知出發，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；
（3）由條件和結論一起出發，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.
3.三角形證全等思路
ì ì找夾角 SAS

已知兩邊í找直角 HL
找另一邊 SSS
ì邊為角的對邊 找任一角 AAS

ì找夾角的另一邊 SAS
í已知一邊一角í
邊為角的鄰邊í找夾邊的另一角 ASA

找邊的對角 AAS
ì找夾邊 ASA
已知兩角í
找任一邊 AAS


知識點 02：靈活運用全等判定定理
2、靈活運用全等判定定理
（1）判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此
在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。
（2）要善于發現和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。
（3）要善于靈活選擇適當的方法判定兩個三角形全等。
已知條件中有兩角對應相等，可找：
①夾邊相等（ASA） ②任一組等角的對邊相等(AAS)
已知條件中有兩邊對應相等，可找
①夾角相等(SAS) ②第三組邊也相等(SSS)
已知條件中有一邊一角對應相等，可找
①任一組角相等(AAS 或 ASA) ②夾等角的另一組邊相等(SAS)
【即學即練 1】
1．（23-24 七年級下·廣東深圳·期末）油紙傘是漢族古老的傳統用品之一．圖 1 是一把油紙傘實物圖，圖 2
1
為其傘骨示意圖．已知 AB = AC ， AE = AB，AF
1
= AC，ED = FD，那么VAED≌VAFD 的依據是（
3 3 ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】本題主要考查了利用SSS證明三角形全等，根據題意可得出 AE = AF ，結合已知條件ED = FD，
AD = AD可得出VAED≌VAFD SSS ．
【詳解】解：∵ AB = AC ， AE
1
= AB，AF 1= AC ，
3 3
∴ AE = AF ，
又∵ED = FD， AD = AD
∴VAED≌VAFD SSS ，
∴VAED≌VAFD 的依據是SSS，
故選 A．
【即學即練 2】
2．（23-24 七年級下·廣東河源·期末）如圖，已知△ABC 的三條邊和三個角，則下面甲、乙、丙三個三角形
中不能證明和 VABC 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙
【答案】B
【分析】本題主要考查全等三角形的判定定理，熟練掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意對應二
字的理解很重要．甲只有 2 個已知條件，缺少判定依據；乙可根據SAS判定與VABC 全等；丙可根據AAS
判定與VABC 全等，可得答案．
【詳解】解：甲三角形只知道一條邊長、一個內角度數無法判斷是否與VABC 全等；
乙三角形夾50°內角的兩邊分別與已知三角形對應相等，故乙與VABC 全等；
丙三角形72°內角及所對邊與VABC 對應相等且均有50°內角，可根據AAS判定乙與VABC 全等；
則不能證明和 VABC 全等的是甲，
故選：B
【即學即練 3】
3．（23-24 七年級下·重慶北碚·期末）如圖點 B ， F ，C ， E 在同一條直線上，點A ， D在直線 BE 的兩側，
ACB = DFE ，BC = EF ，添加一個適當的條件后，仍不能使得△ABC ≌△DEF （ ）
A． AB = DE B． AB∥DE
C． A = D D． AC = DF
【答案】A
【分析】此題考查了平行線的性質及三角形全等的判定定理，熟練掌握定理，并能通過定理去判斷條件是
否符合全等是解決此題的關鍵．根據平行線的性質及全等三角形的判定逐項判定即可．
【詳解】解：若添加 AB = DE ，則不能判定△ABC ≌△DEF ，故選項A 符合題意；
若添加 AB∥DE ，則 B = E，可以判斷△ABC ≌△DEF （ASA），故選項B不符合題意；
若添加 A = D ，可以判斷△ABC ≌△DEF （AAS），故選項C 不符合題意；
若添加 AC = DF ，可以判斷△ABC ≌△DEF （SAS），故選項D 不符合題意；
故選：A ．
【即學即練 4】
4．（23-24 七年級下·廣東佛山·期末）如圖， AD 平分 BAC, BD ^ AD ，若VABC 的面積是 9，則△ADC 的
面積是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】D
【分析】本題考查了角平分線定義，全等三角形的判定與性質，根據中線求三角形面積，解題的關鍵是：
作輔助線構造全等三角形．
延長BD交 AC 于點E ，通過證明VABD≌VAED ASA ，得到BD = DE，根據三角形中線的性質，即可求解，
【詳解】解：延長BD交 AC 于點E ，
Q AD 平分 BAC ，
\ BAD = EAD，
又Q AD ^ BD 于點D，
\ ADB = ADE = 90°，
ì BAD = EAD
在△ABD 和△AED

中， í AD = AD

ADB = ADE
\VABD≌VAED ASA ，
\BD = DE ，
S 1 S 1\ VADE = VABE ， SVCDE = S2 2 VCBE
，
S 1 1\ VADC = S2 VABC
= 9 = 4.5，
2
故選：D．
【即學即練 5】
5．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖，點A 、 B 分別在邊OC 、OD 上， AD 與BC 交于點E ，
AD = BC ， D = C ，若OC = 5，OB = 2 ，則BD的長為（ ）
A．5 B．2 C．3 D．7
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，ASA，
ASA，SSS，SAS，HL．證明△AOD≌△BOC ，得出OD = OC = 5，求出結果即可．
【詳解】解：∵ AD = BC ， D = C ， O = O ，
∴△AOD≌△BOC ，
∴OD = OC = 5，
∵OB = 2 ，
∴BD = OD - OB = 5 - 2 = 3．
故選：C．
【即學即練 6】
6．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在VABC 與△AEF 中，A、C、E 三點在一條直線上，
AEF + BAF =180°， BCE = BAF ， AB = AF ，若BC = 24，EF =14，則CE的長為（ ）
A．10 B．14 C．24 D．8
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明兩個三角形全等是關鍵；證明VABC≌VFAE，由全等
三角形對應邊相等即可求解．
【詳解】解：Q AEF + BAF =180°， BCE = BAF ，
\ AEF + BCE =180°；
Q BCE + BCA =180°，
\ BCA = AEF ；
Q BCE = B + BAC = BAF ， BAF = BAC + FAE ，
\ B = FAE ；
Q AB = AF ， AC = EF =14，
\△ABC≌△FAE(AAS) ，
\ AE = BC = 24，
\CE = AE - AC = 24 -14 =10；
故選：A．
知識點 03：垂直平分線
3、線段的垂直平分線(中垂線)：垂直并平分一條線段的直線。
中垂線性質：線段的中垂線上的點到線段兩端點的距離相等。
逆定理：到線段兩端的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
【即學即練 7】
7．（23-24 七年級下·山東棗莊·期末）如圖，OC 平分 AOB ，在OC 上取一點 P ，過 P 作PD ^ OB ，垂足
為D，點M 是射線OA上一動點，連接PM ，若 PD = 7 cm ，則PM 的長度不可能是（ ）
A．9cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm
【答案】D
【分析】本題考查角平分線的性質、垂線段最短，根據角平分線的性質作出圖形轉化線段是解決問題的關
鍵．過點 P 作PN ^ OA，如圖所示，由角平分線的性質可得PD = PN = 7cm，根據點與直線上各點的距離中
垂線段最短可得PM PN = 7cm，從而得到答案．
【詳解】解：過點 P 作PN ^ OA，如圖所示：
Q OC 平分 AOB ，點 P 是射線OC 上一點，PD ^ OB 于點D， PD = 7 cm ，
\由角平分線性質可得PD = PN = 7cm，
Q點M 是射線OA上一動點，
\由點與直線上各點的距離中垂線段最短可得PM PN = 7cm，
\綜合四個選項可知，PM 的長度不可能是6 cm ，
故選：D．
【即學即練 8】
8．（23-24 八年級下·湖南邵陽·期末）如圖，在VABC 中， C = 90°， B = 30°， AD 是 BAC 的平分線，
若 AD = 4，則點 D 到 AB 邊的距離等于（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】此題考查的是直角三角形的性質和角平分線的性質，掌握直角三角形的兩個銳角互余、30°所對的
直角邊是斜邊的一半和角平分線的性質是解決此題的關鍵．過點 D 作DE ^ AB于 E，根據直角三角形的兩
個銳角互余求出 BAC ，然后根據角平分線的定義和性質可得DC = DE = 2 ，即可求出結論．
【詳解】解：∵ C = 90°， B = 30°，
∴ BAC = 90° - 30° = 60°，
又∵ AD 是 BAC 的平分線，
∴ BAD = CAD = 30°，
∴CD
1
= AD = 2，
2
如圖，過點 D 作DE ^ AB于 E
∵ AD 是 BAC 的角平分線，DE ^ AB， C = 90°，
∴DC = DE = 2 ，
∴點 D 到 AB 邊的距離等于 2；
故選 D．
知識點 04：角平分線
4、角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
逆定理：角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
【即學即練 9】
9．（21-22 八年級上·黑龍江佳木斯·期中）在平面內，有一個點到三角形三個頂點的距離相等，則這個點一
定是三角形（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三條高線的交點
C．三條中線的交點 D．三條邊垂直平分線的交點
【答案】D
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，關鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點
的距離相等．根據線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等可得答
案．
【詳解】解：平面內，有一點到三角形三頂點的距離相等，則這點一定是三角形的三邊垂直平分線的交點，
故選：D．
【即學即練 10】
10．（23-24 七年級下·陜西西安·期末）在 VABC 中， AB，AC 的垂直平分線 FD，GE 分別交 BC 于點 D，E，
若 B = 30°， C = 48°，則 DAE 的度數為（ ）
A． 26° B．15° C． 24° D．30°
【答案】C
【分析】本題考查了線段的垂直平分線的性質，三角形內角和定理，由垂直平分線的性質得到
BAD = B = 30°， CAE = C = 48°，再根據三角形內角和定理得到 BAC = 102°，即可求解，掌握線段
的垂直平分線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵FD垂直平分 AB ，，
∴BD = AD ，
又∵ B = 30°，
∴ BAD = B = 30°，
∵GE 垂直平分 AC ，，
∴ AE = CE ，
又∵ C = 48°，
∴ CAE = C = 48°，
∵ B = 30°， C = 48°，
∴ BAC =180° - B - C =102°，
∴ DAE = BAC - BAD - CAE =102° - 30° - 48° = 24°，
故選：C．
題型 01 用 SSS 證明三角形全等
1．（23-24 七年級下·山西晉中·期末）如圖1是某款雨傘的實物圖，圖 2是該雨傘部分骨架示意圖．測得
AB = AC ，點E ，F 分別是 AB ， AC 的三等分點，ED = FD，那么VAED≌VAFD 的依據是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【分析】本題考查全等三角形的應用，由點 E ， F 分別是 AB ， AC 的三等分點， AB = AC ，得出 AE = AF ，
根據三邊對應相等，證明VAED≌VAFD ．解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定定理．
【詳解】解：∵點E ，F 分別是 AB ， AC 的三等分點，
AE 1∴ = AB ， AF
1
= AC ，
3 3
∵ AB = AC ，
∴ AE = AF ，
在△AED 與△AFD中，
ìAE = AF

íED = FD ，

AD = AD
∴△AED≌△AFD SSS ．
故選：D．
2．（23-24 八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，VDEF 的 3 個頂點分別在小正方形的頂點（格點）上，這
樣的三角形叫做格點三角形，若在圖中再畫 1 個格點VABC （不包括△DEF ) ），使VABC 和VDEF 全等，這
樣的格點三角形能畫 個．
【答案】3
【分析】本題考查的是用SSS判定兩三角形全等．認真觀察圖形可得答案．
【詳解】解：如圖所示，可作 3 個全等的三角形．
△DEF≌△B1C1A1，△DEF≌△BAC2，△DEF≌△ABC3，
故答案為：3．
【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖、全等三角形的判定，注意觀察圖形，數形結合是解決本題的關鍵．
3．（21-22 八年級上·四川眉山·期中）如圖，已知點 C，F 在直線 AD 上，AB = DE，CD = AF，BC = EF ．求
證：△ABC ≌△DEF ．
【答案】見解析
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定．首先根據CD = AF 可得 AC = DF ，可利用SSS證明
△ABC ≌△DEF ．
【詳解】證明：∵CD = AF ，
∴CD + CF = AF + CF ，即 AC = DF ，
在VABC 和VDEF 中，
ìBC = EF

íAB = DE ，

AC = DF
∴△ABC ≌△DEF SSS ．
題型 02 全等的性質與 SSS 綜合
1．（22-23 八年級上·江蘇無錫·期中）工人師傅常用角尺平分一個任意角．作法如下：如圖所示， AOB 是
一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM = ON ，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與 M，N 重合，過
角尺頂點 C 的射線OC 即是 AOB 的平分線．這種作法的道理是（　　）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
【答案】B
【分析】
本題考查了全等三角形的判定及性質．要熟練掌握確定三角形的判定方法，利用數學知識解決實際問題是
一種重要的能力，要注意培養．由三邊相等得VCOM≌VCON ，即由SSS判定三角全等．做題時要根據已知
條件結合判定方法逐個驗證．
【詳解】
解：由圖可知，CM = CN ，
在VCOM 和VCON 中，
ìCM = CN

íOM = ON ，

OC = OC
\VCOM≌VCON (SSS) ，
\ AOC = BOC ，
即OC 即是 AOB 的平分線．
故選：B
2．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在VABC 的上方有一點D，連接 AD ，CD，AB = AD ，CB = CD ，
BCD = 50°，則 ACB 的度數為 °．
【答案】 25
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，根據題意直接證明△ABC≌△ADC ，即可得出
ACB = ACD 1= BCD，即可求解．
2
【詳解】解：在△ABC，△ADC 中，
ìAB = AD

íAC = AC ，

CB = CD
∴VABC≌VADC SSS ，
又 BCD = 50°，
∴ ACB = ACD
1
= BCD = 25°，
2
故答案為： 25．
3．（2024·四川內江·中考真題）如圖，點A 、D、 B 、E 在同一條直線上， AD = BE ， AC = DF ，
BC = EF
(1)求證：△ABC ≌△DEF ；
(2)若 A = 55°， E = 45°，求 F 的度數．
【答案】(1)見解析
(2)80°
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練地掌握全等三角形的判定和性質是解決本題的關
鍵.
（1）先證明 AB = DE ，再結合已知條件可得結論；
（2）證明 A = FDE = 55°，再結合三角形的內角和定理可得結論.
【詳解】（1）證明：∵ AD = BE
∴ AD + DB = BE + DB ，即 AB = DE
∵ AC = DF ，BC = EF
∴VABC≌VDEF SSS
（2）∵△ABC ≌△DEF ， A = 55°，
∴ A = FDE = 55°，
∵ E = 45°，
∴ F =180o - FDE - E = 80°
題型 03 用 SAS 證明三角形全等
1．（24-25 七年級上·山東·隨堂練習）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A ， B 的距離，可先在地上取一個點
C ，從點C 不經過池塘可以直接到達點A 和 B ．連接 AC 并延長到點D，使CD = CA．連接BC 并延長到點
E ，使CE = CB ．連接DE ，根據兩個三角形全等，那么量出DE 的長就是A ， B 的距離．判斷圖中兩個三
角形全等的依據是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，ASA，
ASA，SSS，SAS，HL．利用“邊角邊”證明VDEC 和VABC 全等，再根據全等三角形對應邊相等可得到
DE = AB ．
【詳解】證明：在VDEC 和VABC 中，
ìEC = BC

í ECD = BCA，

DC = AC
\VDEC≌VABC SAS ，
\DE = AB．
故選：A．
2．（23-24 七年級下·四川成都·期末）某數學興趣小組的同學打算測量一個小口圓形容器內徑時遇到了困難，
小組同學們借用學習過的三角形全等的知識合作制作了特制工具測量器．如圖所示，將等長的鋼條 AD 和BC
的中點O焊接在一起，制作了一把“ X 形卡鉗”．根據“ X 形卡鉗”的制作原理能判斷△ABO≌△DCO ，從而
測量出 AB 的長就等于內徑CD 的長．請寫出VABO≌VDCO 的理由： ．
【答案】SAS
【分析】本題考查全等三角形的應用，解題的關鍵是利用全等三角形的性質解決實際問題．根據全等三角
形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解：∵ AD = BC ，O 是 AD、BC 的中點，
∴ AO = DO = BO = CO，
在VAOB和△DOC 中，
ìOA = OD

í AOB = DOC ，

BO = CO
\VAOB≌VDOC(SAS) ，
故選：SAS．
3．（23-24 八年級上·天津寧河·期中）如圖，已知 AD = AB，AC = AE， DAB = CAE，連接DC，BE．
(1)求證： VBAE ≌VDAC ；
(2)若 CAD =135°， D = 20°，求 E的度數．
【答案】(1)見解析
(2) E = 25°
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質；
（1）根據題意由 DAB + BAC = CAE + BAC ，可得 DAC = BAE，即可求證；
（2）由VBAE≌VDAC SAS ，可得 E = C ，再由內角和為180°即可求解．
【詳解】（1）證明：∵ DAB = CAE ，
∴ DAB + BAC = CAE + BAC ，
∴ DAC = BAE，
又∵ AD = AB，AC = AE，
∴VBAE≌VDAC SAS ；
（2）∵VBAE≌VDAC SAS ，
∴ E = C ，
∵ CAD =135°， D = 20°，
∴ C =180° - CAD - D =180° -135° - 20° = 25°，
∴ E = C = 25°．
題型 04 全等的性質與 SAS 綜合
1．（23-24 七年級下·四川宜賓·期末）如圖，在VABC 中， C = 90°， AC = 4，BC = 3， AB = 5，P、D 分
別是 AC、AB 上的動點，則BP + PD的最小值為（ ）
A．3 B．3.6 C． 4.2 D． 4.8
【答案】D
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，垂線段最短，延長BC 到 E 使得BC = CE ，連接
AE，PE ，證明VBPC≌VEPC 得到EP = BP，則當E、P、D三點共線且ED ^ AB 時，EP + PD的值最小，
即此時BP + PD的值最小，最小值為ED的長，利用等面積法求出ED的長即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，延長BC 到 E 使得BC = CE ，連接 AE，PE ，
∵ ACB = 90°，
∴ ACB = ACE = 90° ，
又∵CP = CP，
∴VBPC≌VEPC ，
∴EP = BP，
∴BP + PD = EP + PD ，
∴當E、P、D三點共線且ED ^ AB 時，EP + PD的值最小，即此時BP + PD的值最小，最小值為ED的長，
1 1
∵ S△ABE = AB × DE = BE × AC ，2 2
3+ 3 4
∴DE AC × BE = = = 4.8，
AB 5
故選：D．
2．（23-24 七年級下·四川成都·期中）如圖，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BD是高，E 是VABC 外一點，
BE = BA， E = C ，若DE = 5， AD =12 ，BD > DE，則△BDE 的面積為 ．
【答案】30
【分析】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，作出輔助線，根據SAS證明VABF ≌VBED 全等，是解
1
題的關鍵．根據SAS證明△ABF 與VBED全等，BF = DE = 5，然后利用 SVBDE = SVABF = BF × AD代數求解2
即可．
【詳解】解：∵BD是高，
∴ ADB = BDC = 90°，
∵ ABD + BAD = BAD + C = 90°，
∴ ABD = C = E ，
在BD上截取BF = DE，如圖所示：
在△ABF 與VBED中
ìAB = BE

í ABD = E ，

BF = DE
∴VABF≌VBED SAS ，
∴BF = DE = 5，
∴ S
1
VBDE = SVABF = BF × AD
1
= 5 12 = 30．
2 2
故答案為：30．
3．（23-24 七年級下·山西運城·期末）如圖，點C ，F 在線段 BE 上， AB∥DE ， AB = DE ，BF = EC ，試
說明：
(1)△ABC ≌△DEF ；
(2) AC∥DF ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，平行線的判定：
（1）利用SAS證明△ABC ≌△DEF 即可；
（2）根據△ABC ≌△DEF ，推出 ACF = DFC ，即可得出結論．
【詳解】（1）解：因為 AB∥DE ，
所以 B = E．
因為BF = EC ，
所以BF - CF = EC - CF
即BC = EF ．
因為 AB = DE ．
所以△ABC ≌△DEF
（2）由（1）知△ABC ≌△DEF ；
所以 ACB = DFE ．
因為 ACB + ACF =180°， DFE + DFC = 180°
所以 ACF = DFC ．
所以 AC∥DF ．
題型 05 用 ASA(AAS)證明三角形全等
1．（23-24 八年級下·廣東梅州·階段練習）如圖，要測量河兩岸相對的兩點A 、B 的距離，先在 AB 的垂線BF
上取兩點C 、D，使BC = CD ，再作出BF 的垂線DE ，使點A 、C 、E 在同一條直線上，則可以說明
VABC≌VEDC ，得 AB = DE ，因此測得DE 的長就是 AB 的長，判定VABC≌VEDC ，最恰當的理由是(　　)
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形判定先根據題意及圖像挖掘出相等的邊或角，再根據全等三角形的判定方
法即得．
【詳解】解：Q AB是BF 的垂線，BF 是DE 的垂線
\∠B=∠CDE = 90°
Q ACB 與 ECD 互為對頂角
\ ACB = ECD
在VABC 與△EDC 中
ì B = CDE

íBC = CD

ACB = ECD
\ VABC≌VEDC ASA
\判定三角形全等的方法是：ASA．
故選：D．
2．（23-24 八年級上·河南周口·期中）如圖，在VABC 中，AD 是BC 邊上的高，BE 是 AC 邊上的高，且 AD、BE
交于點 F，若BF = AC,CD = 4, BD =10，則線段 AF 的長為 ．
【答案】6
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，利用AAS證明△BDF ≌△ADC ，得DF = CD = 4，
AD = BD =10，即可得出答案．
【詳解】解：Q AD 是BC 邊上的高， BE 是 AC 邊上的高，
\ ADB = AEB = 90° ，
Q AFE = BFD ，
\ CAD = DBF ，
在VBDF 和△ADC 中，
ì BDF = ADC

í DBF = DAC ，

BF = AC
\VBDF≌VADC AAS ，
\DF = CD = 4, AD = BD =10 ，
\ AF = AD - DF =10 - 4 = 6 ．
故答案為：6．
3．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ， AE ^ CE 于點 E，BD ^ CE于點
D．
(1)求證：VACE≌VCBD；
(2)若 AE = 5， BD = 2，求DE 的長度．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法，是解題的關鍵：
（1）同角的余角相等，得到 CAE = DCB ，利用AAS證明VACE≌VCBD即可；
（2）根據全等三角形的性質進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵ AE ^ CE ，BD ^ CE，
∴ AEC = BDC = 90°，
∵ ACB = 90°，
∴ CAE = DCB = 90° - ACD ，
又∵ AC = BC ，
∴VACE≌VCBD；
（2）∵VACE≌VCBD，
∴CD = AE = 5，CE = BD = 2，
∴DE = CD - CE = 3．
題型 06 全等的性質與 ASA(AAS)綜合
1．（23-24 七年級下·山西運城·期末）如圖，小馬用高度都是 2cm 的 10 個相同長方體小木塊壘了兩面與地面
垂直的木墻 AD 與 BE ，木墻之間剛好可以放進一個直角三角板，且直角三角板斜邊的兩個端點分別與點
A，B 重合，直角三角板的直角頂點C 與點D，E 均在水平地面上，點 A，B，C ，D，E 在同一豎直平面
內．已知 AC = BC ， ACB = 90°，則兩面木墻之間的距離為（ ）
A．30cm B． 24cm C． 20cm D．18cm
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證明△ACD≌△CBE AAS ，得出CD = BE =14cm ，
CE = AD = 6cm，即可得解．
【詳解】解：由題意得： ADC = CEB = ACB = 90°， AD = 6cm ，BE =14cm，
∴ ACD + BCE = DAC + ACD = 90°，
∴ BCE = DAC ，
∵ AC = CB，
∴△ACD≌△CBE AAS ，
∴CD = BE =14cm ，CE = AD = 6cm，
∴DE = CD + CE =14 + 6 = 20cm，
故選：C．
2．（23-24 七年級下·寧夏中衛·期末）如圖，在VABC 中，AB = AC ，D 是 AB 邊的中點，E 是 AC 邊上一點，
過點 B 作BF∥ AC ，交ED的延長線于點 F，若 AD = 6，BF = 9 ，求CE的長 ．
【答案】3
【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．根據AAS
可證明VADE≌VBDF ，得出 AE = BF = 9，則可求出答案．
【詳解】解：∵BF∥ AC
∴ F = AED ，
∵D 為 AB 的中點，
∴ AD = BD ，
在VADE 和VBDF 中，
ì AED = F

í ADE = BDF ，

AD = BD
∴△ADE≌△BDF (AAS)，
∴ AE = BF = 9，
∵ AB = AC ，
∴ AC = 2AD = 12，
∴CE = AC - AE = 12 - 9 = 3．
故答案為：3．
3．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖所示，在VABC 和VADE 中， AED = BCA，BC = DE ，
AC = AE ．過A 作 AG ^ DE 于點G ，BC 的延長線與DE 交于點F ，連接 AF ．
【問題提出】（1）試說明： AB = AD ；
5
【問題解決】（2）延長FE至點 H ，使EH = CF ，連接 AH ，若FG = ， AG = 4，求四邊形 ACFE的面積．
2
【答案】（1）詳見解析；（2）10
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定：
（1）只需要證明VACB≌VAED SAS 即可證明 AB = AD ；
（2）先證明VACF≌VAEH SAS ，得到 AF = AH ， S△ACF = S△AEH ，再由三線合一定理得到
FH 2FG 2 5 1= = = 5，據此求出 S△AFH = FH AG = 10，則四邊形 ACFE的面積2 2
= S△ACF + S△AFE = S△AEH + S△AEF = S△AFH =10．
【詳解】解：（1）在△ACB和△AED 中，
ì BC = DE,

í BCA = AED,

AC = AE,
∴VACB≌VAED SAS ，
∴ AB = AD ．
（2）∵ ACB = AED，
∴ ACF = AEH ，
在△ACF 和△AEH 中，
ì AC = AE

í ACF = AEH

CF = EH
∴VACF≌VAEH SAS ，
∴ AF = AH ， S△ACF = S△AEH ，
∵ AG ^ FH ，
FH 2FG 2 5∴ = = = 5，
2
S 1∴ △AFH = FH
1
AG = 5 4 =10，
2 2
∴四邊形 ACFE的面積= S△ACF + S△AFE = S△AEH + S△AEF = S△AFH =10．
題型 07 添加條件使三角形全等
1．（23-24 七年級下·山東棗莊·期末）如圖， B ，E ，C ，F 四點在同一條直線上， AC = DE ，
ACB = DEF ，添加一個條件，不一定能使△ABC ≌△DFE 的是（ ）
A．BE = FC B． B = F C． AB = DF D． A = D
【答案】C
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．根據全等三角形的判定定理，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、添加BE = FC ，則BC = EF ，可利用邊角邊證明△ABC ≌△DFE ，故本選項不符合題意；
B、添加 B = F ，可利用角角邊證明△ABC ≌△DFE ，故本選項不符合題意；
C、添加 AB = DF ，滿足邊邊角，無法證明△ABC ≌△DFE ，故本選項符合題意；
D、添加 A = D ，可利用角邊角證明△ABC ≌△DFE ，故本選項不符合題意；
故選：C
2．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，VABC 中，D 是 AB 上一點，CF ∥ AB，D、E、F 三點共線，請
添加一個條件 ，使得 AE = CE ．（只添一種情況即可）
【答案】DE = EF 或 AD = CF （答案不唯一）
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定解答．根
據題目中的條件和全等三角形的判定，可以寫出添加的條件，注意本題答案不唯一．
【詳解】解：∵CF ∥ AB
∴ A = ECF ， ADE = CFE ，
∴添加條件DE = EF ，可以使得VADE≌VCFE AAS ，
添加條件 AD = CF ，也可以使得VADE≌VCFE ASA ，
∴ AE = CE ；
故答案為：DE = EF 或 AD = CF （答案不唯一）．
3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點 A、B、C、D 在同一條直線上， AE∥BF ， AE = BF ．
若________，則 AB = CD．
請從①CE∥DF ；②CE = DF ；③ E = F 這 3 個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并
說明理由．
【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析
【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質，①根據平行線的性質得出 A = FBD, D = ECA，再由
全等三角形的判定和性質得出 AC = BD，結合圖形即可證明；②得不出相應的結論；③根據全等三角形的
判定得出VAEC≌VBFD(SAS) ，結合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．
【詳解】解：選擇①CE∥DF ；
∵ AE∥BF ，CE∥DF ，
∴ A = FBD, D = ECA，
∵ AE = BF ，
∴VAEC≌VBFD(AAS)，
∴ AC = BD，
∴ AC - BC = BD - BC ，即 AB = CD；
選擇②CE = DF ；
無法證明△AEC ≌△BFD ，
無法得出 AB = CD；
選擇③ E = F ；
∵ AE∥BF ，
∴ A = FBD ，
∵ AE = BF ， E = F ，
∴VAEC≌VBFD ASA ，
∴ AC = BD，
∴ AC - BC = BD - BC ，即 AB = CD；
故答案為：①或③（答案不唯一）
題型 08 靈活選用判定方法證全等
1．（23-24 七年級下·廣東揭陽·期末）在數學課上，老師給出三條邊長分別為 a，b，c 的VABC ，其三個內
角的度數如圖所示．下面是 4 名同學用不同方法畫出的 4 三角形，則根據圖中已知的條件判斷，其中不一
定與VABC 全等的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的判定定理，根據全等三角形的判定條件進行逐項分析即可．
【詳解】解：A、根據“SAS ”可證明與原三角形全等，不符合題意；
B、根據“ ASA ”可證明與原三角形全等，不符合題意；
C、與原三角形形成“邊邊角”對應相等，但是“邊邊角”對應相等的兩個三角形不一定全等，符合題意；
D. 根據“SSS ”可證明與原三角形全等，不符合題意．
故選：C．
2．（2024 八年級·全國·競賽）下圖網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點，以
格點為頂點的三角形稱為格點三角形．VABC 就是一個格點三角形，在如圖給定的網格中，能夠畫出
個與VABC 全等的格點三角形（不包括VABC ）．
【答案】119
【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質，理解并掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．
理解圖示，根據全等三角形的判定和性質即可求解．
【詳解】解：每相鄰的兩行有 28個，每相鄰的兩列有 4個，
∴共有3 28 + 4 9 -1 =119 （個）．
3．（23-24 八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在VABC 和VDEF 中， B ，E ，C ，F 在同一條直線上．下面
四個條件：① AB = DE ；② AB∥DE ；③BE = CF ；④ A = D ．
(1)請選擇其中的三個作為條件，另一個作為結論，組成一個真命題（寫出兩種情況即可，填序號）．
①已知：_____________；求證：__________；
②已知：_____________；求證：_____________；
(2)在（1）的條件下，選擇一種情況進行證明．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)證明見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關鍵．
（1）根據兩三角形全等的判定條件，選擇合適的條件即可；
（2）根據（1）中所選的條件，進行證明即可．
【詳解】（1）解：①根據題意可得已知： AB = DE ， AB∥DE ，BE = CF ，求證 A = D ；
②根據題意可得已知： AB = DE ， AB∥DE ， A = D ，求證BE = CF ；
（2）解：選擇①②③，證明④
∵ AB∥DE ，
∴ B = E，
∵BE = CF ，
∴BE + CE = CF + CE ，即BC = EF ，
又∵ AB = DE ，
∴△ABC≌△DEF SAS ，
∴ A = D ；
選擇①②④，證明③
∵ AB∥DE ，
∴ B = E，
又∵ AB = DE ， A = D ，
∴△ABC≌△DEF ASA ，
∴BE = CF ，
∴BE + CE = CF + CE ，即BC = EF 。
題型 09 全等三角形綜合問題
1．（22-23 八年級上·重慶江北·期末）如圖，在VABC中， A = 60°， ABC 和 ACB 的平分線BD、CE相
交于點O，BD交 AC 于點D，CE交 AB 于點E ，若已知DABC周長為 20，BC = 7， AE : AD = 4 : 3，則 AE
長為（　　）
18 24 26
A． B． C7 ． D．47 7
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題
的關鍵．
【詳解】解：如圖，在BC 上截取 BH = BE ，連接OH ，
Q BD平分 ABC ，CE平分 ACB ，
\ ABD = CDB ， ACE = BCE ，
Q A = 60°，
\ ABC + ACB = 120°，
\ DBC + BCE = 60°，
\ BOC =120°，
\ BOE = COD = 60°，
在VBOE和VBOH 中，
ìBE = BH

í ABD = CBD ，

BO = BO
\VBOE≌VBOH SAS ，
\ EOB = BOH = 60°，
\ COD = COH = 60°，
在VCOD和VCOH 中，
ì ACE = BCE

íOC = OC ，

COD = COH
\VCOD≌VCOH ASA ，
\CD = CH ，
\BE + CD = BH + CH = BC = 7 ，
QVABC 周長為 20，
\ AB + AC + BC = 20 ，
\ AE + AD = 6，
Q AE : AD = 4 : 3，
\ AE 4 24= 6 = ．
7 7
故選：B．
2．（23-24 七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：如圖，在VABC 中，AD 平分 BAC 交BC 于點 D，且
AB = AC + CD，若BD = 5，CD = 2，則 AB = ．
10
【答案】 /3
1
3 3
【分析】本題考查了角平分線的性質，全等三角形判定與性質，作DM ^ AB, DN ^ AC ，垂足分別為 M、
N，借助面積得出 AB : AC = 5 : 2，在 AB 上截取 AE = AC ，連接DE ，證出CD = DE ，列出方程并解方程即
可解決．
【詳解】解：作DM ^ AB, DN ^ AC ，垂足分別為 M、N，
Q AD 平分 BAC ，
\DM = DN ，
QBD = 5，CD = 2，
\SVADB : SVADC = 5 : 2 ，
1 AB × DM
\ 2 51 = ，AC × DN 2
2
\ AB : AC = 5 : 2 ，
在 AB 上截取 AE = AC ，連接DE ，
Q DAE = DAC, AD = AD ，
\△ADE≌△ADC ，
\CD = DE
Q AB = AC + CD, AB = AE + BE
\BE = DE = CD = 2
設 AC = 2x，則 AB = 5x，
\2 + 2x = 5x，
2
解得： x = ，
3
\ AC 4= ，
3
\ AB = AC + CD 4= + 2 10= ，
3 3
10
故答案為： ．
3
3．（23-24 七年級下·河南鄭州·期末）已知在 VABC 中， C = 90°， AC = 5， BC = 8．點 D 為邊 BC 上一點，
且BD = AC ，過點 B 作射線BP ^ BC ，動點 E 從點 B 出發，以 1 個單位/秒的速度沿射線BP的方向運動，
連接DE ．
(1)如圖 1，當BE = CD時，線段 AD 與DE 相等嗎 請說明理由．
(2)當線段DE 與△ABD 的其中一邊垂直時，求出點 E 運動的時間 t 的值．
【答案】(1)相等，理由見解析
(2)3 或 8
【分析】本題考查三角形全等的判定和性質，同角的余角相等．熟練掌握三角形全等的判定定理和性質定
理是解題關鍵．
（1）證明VACD≌VDBE SAS ，即得出 AD = DE ；
（2）分類討論：當DE ^ AD 時和DE ^ AB時，分別證明VACD≌VDBE ASA ，VACB≌VDBE AAS 即可
求解．
【詳解】（1）解：相等，理由如下：
∵BD = AC ， ACD = DBE = 90°，BE = CD，
∴VACD≌VDBE SAS ，
∴ AD = DE ；
（2）解：分類討論：當DE ^ AD 時，如圖，
∵DE ^ AD ，
∴ ADC + BDE = 90°．
∵ C = 90°，
∴ CAD + ADC = 90°，
∴ CAD = BDE ．
又∵ ACD = DBE = 90°，BD = AC ，
∴VACD≌VDBE ASA ，
∴BE = CD = BC - BD = BC - AC = 3，
∴ t = 3 1 = 3；
當DE ^ AB時，如圖，
∵DE ^ AB，
∴ ABE + BED = 90°．
∵BP ^ BC ，
∴ ABC + ABE = 90°，
∴ ABC = BED ．
又∵ ACB = DBE = 90°，BD = AC ，
∴VACB≌VDBE AAS ，
∴BE = BC = 8，
∴ t = 8 1 = 8．
綜上可知 t 的值為 3 或 8．
題型 10 角平分線的性質定理
1．（23-24 八年級下·陜西西安·期末）如圖，OP平分 AOB， PC ^ OA于點C ，點 D在OB上．若 PC = 2，
OD = 5，則VPOD的面積為（　　）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，過點 P 作PE ^ OB 于 E，根據角平分線
上的點到角的兩邊距離相等可得，即可解答．
【詳解】解：過點 P 作PE ^ OB 與點 E，
∵OP平分 AOB， PC ^ OA，PE ^ OB ，
∴PE=PC=2，
∵OD = 5，
1 1
∴則VPOD的面積為： OD × PE = 5 2 = 5，
2 2
故選：C
2．（23-24 七年級下·寧夏銀川·期末）如圖， AD 是VABC 的角平分線，DE ^ AB于點 E，且
DE = 3cm, AB = 4cm, AC = 6cm．則VABC 的面積為 cm2 ．
【答案】15
【分析】本題主要考查了角平分線的定理，過點D作DF ^ AC ，根據角平分線的性質得DE = DF = 3cm，
再結合三角形的面積公式即可求解，根據題意和角平分線的定理得到DE = DF = 3cm是解答本題的關鍵．
【詳解】解：過點D作DF ^ AC ，
∵ AD 是VABC 的角平分線，DE ^ AB于點 E，
∴DE = DF = 3cm，
∴ SVABC = SVABD + SVACD
1
= AB × DE 1+ AC × DF
2 2
1 1
= 4 3 + 6 3
2 2
= 15cm2 ，
故答案為：15．
3．（24-25 八年級上·全國·單元測試）如圖，在VABC 中，點D在BC 邊上，連接 AD ，有 BAD =100°， ABC
的平分線 BE 交 AC 于點E ，過點E 作EF ^ AB交BA的延長線于點F ，且 AEF = 50°， C =10°，連接
DE ．求 EDC 的度數．
【答案】65°
【分析】此題考查了角平分線的性質，理解角平分線上的點到角的兩邊距離相等，到角兩邊距離相等的點
在角的平分線上是解答此題的關鍵．過點E 作EG ^ AD于點G ，EH ^ BC 于點 H ，先通過計算得出
FAE = CAD = 40°，根據角平分線的性質得 EF = EG ，EF = EH ，進而得EG = EH ，據此根據角平分線的
性質可得出結論
【詳解】解：如圖，過點E 作EG ^ AD于點G ，EH ^ BC 于點 H ，
QEF ^ AB ， AEF = 50°，
\ FAE = 90° - 50° = 40°，
Q BAD =100°，
\ CAD =180° -100° - 40° = 40°，
\ FAE = CAD = 40°，即 AC 為 DAF 的平分線．
又EF ^ AB，EG ^ AD，
\EF = EG．
QBE 是 ABC 的平分線，
\EF = EH ，
\EG = EH ，
\點E 在 ADC 的平分線上，
\DE 平分 ADC ．
\ EDC 1 = ADC 1= 180° - 40° -10° = 65°
2 2
題型 11 角平分線的判定定理
1．（23-24 八年級下·陜西榆林·期末）如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°，點D在BC 上，連接 AD ，
S△ACD : S△ABD = AC : AB，若 B = 54°，則 BAD 的度數為（ ）
A． 20° B．16° C．18° D．36°
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的判定以及三角形的內角和性質，根據
S 1 1△ACD = AC CD，S△ABD = AB DH ，以及 S△ACD : S△ABD = AC : AB，得出CD = DH ，證明 AD 是 CAB2 2
的角平分線，結合 C = 90°， B = 54°，得出 CAB =180° - 90° - 54° = 36°，即可作答．
【詳解】解：如圖：過點 D 作DH ^ AB
∵ C = 90°
1 1
∴ S△ACD = AC CD，S△ABD = AB DH2 2
∵ S△ACD : S△ABD = AC : AB
∴CD = DH
∴ AD 是 CAB 的角平分線
∴ BAD
1
= CAB
2
∵ C = 90°， B = 54°
∴ CAB =180° - 90° - 54° = 36°
∴ BAD 的度數為18°
故選：C．
2．（2024·北京東城·一模）在Rt△ABC 中， A = 90°，點 D 在 AC 上，DE ^ BC 于點 E，且DE = DA，連
接DB．若 C = 20°，則 DBE 的度數為 °．
【答案】35
【分析】本題考查三角形內角和定理及角平分線的判定定理，熟練應用角平分線的判定定理是解題關鍵，
先證 ABD = EBD ，再求出 ABC = 90° - 20° = 70°即可求出結論．
【詳解】解：∵ DE ⊥ AB ， A = 90°，且DE = DA，
\ ABD = EBD ，
Q A = 90°， C = 20°，
\ ABC = 90° - 20° = 70°
DBE 1\ = 70°= 35°，
2
故答案為：35．
3．（2023·遼寧大連·模擬預測）判斷下面的證明過程是否正確，并說明理由．
已知：如圖，點D是射線 AP 上的一點，點E 、F 分別在 AB 、 AC 上，且DE＝DF ．
求證： AP 平分 BAC ．
證明：∵點D是射線 AP 上一點，且DE＝DF （已知），∴ AP 平分 BAC （在一個角的內部且到角兩邊距離
相等的點，在這個角的平分線上）．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查了角平分線的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關鍵．
根據角平分線的判定方法補充條件解答即可．
【詳解】解：不正確．需添加條件，DF ^ AC ，DE ^ AB，
證明：∵點D是射線 AP 上一點，且DE = DF ，DF ^ AC ，DE ^ AB，（已知），
∴ AP 平分 BAC （在一個角的內部且到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上）．
題型 12 角平分線性質的實際應用
1．（24-25 八年級上·江蘇·假期作業）如圖，直線 l、l 、l 表示三條相互交叉的公路，現計劃建一個加油站，
要求它到三條公距離相等，則可供選擇的地址有（ ）
A．一處 B．二處 C．三處 D．四處
【答案】D
【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，由三角形內角平分線的交點到三角形
三邊的距離相等，可得三角形內角平分線的交點滿足條件；然后利用角平分線的性質，可證得三角形兩條
外角平分線的交點到其三邊的距離也相等，可得可供選擇的地址有 4 個．
【詳解】解：作直線 l、l 、l 所圍成的三角形的外角平分線和內角平分線，
如圖所示：外角平分線分別相交于點P1,P2 ,P3 ，
且內角平分線相交于點P4，
∴角平分線的性質可得到這 4 個點到三條公路的距離分別相等．
故選：D．
2．（2023·福建福州·模擬預測）如圖，在VABC 中，點O是 ABC ， ACB 的平分線的交點，AB + BC + AC =12，
過O作OD ^ BC 于點D，且OD = 2，則VABC 的面積是 ．
【答案】12
【分析】過點 O 作OE ^ AB于點 E，OF ^ AC 于點 F，連接OA，然后根據角平分線的性質定理及三角形的
面積計算公式可求解．
【詳解】解：過點 O 作OE ^ AB于點 E，OF ^ AC 于點 F，連接OA，如圖所示：
∵BO平分 ABC,OD ^ BC ，
∴OD = OE ，
同理可得：OD = OF ，
∵OD = 2，
∴OD = OE = OF = 2，
∵ AB + AC + BC = 12，
S 1∴ VABC = AB ×OE
1
+ AC ×OF 1+ BC ×OD 1= AB + BC + AC ×OD =12；
2 2 2 2
故答案為：12．
【點睛】本題主要考查角平分線的性質定理，熟練掌握角平分線的性質定理是解題的關鍵．
3．（22-23 七年級下·山東淄博·期末）如圖，某地有兩個村莊M ， N ，和兩條相交的公路OA，OB，現計
劃在 AOB 內修建一個物資倉庫 P ，希望倉庫到兩個村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請你確
定物資倉庫 P 的位置．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）
【答案】見詳解
【分析】先連接MN ，根據線段垂直平分線的性質作出線段的垂直平分線，再作 AOB 的平分線兩者交于
點 P，點 P 即為所求．
【詳解】連接MN ，作線段MN 的垂直平分線，與 AOB 的平分線交于點 P，則點 P 到點M ，N 的距離相
等，到OA，OB的距離相等，作圖如下，點 P 即為所求，
【點睛】本題考查了角平分線的性質定理和線段垂直平分線的性質，掌握其性質是解題的關鍵．
題型 13 垂直平分線的性質
1．（23-24 八年級下·四川成都·期末）如圖，DE 是VABC 的邊BC 的垂直平分線，分別交邊 AB ，BC 于點
D，E ，連接CD ，且 AB = 9， AC = 6 ，則VACD的周長是 ( 　　 )
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，由DE 是VABC 的邊BC 的垂直平分線，可得DB = DC ，則所求
VACD的周長= AB + AC ，再將已知代入即可．
【詳解】解：QDE 是VABC的邊BC 的垂直平分線，
\DB = DC ，
\VACD 的周長 = AD + AC + CD = AD + BD + AC = AB + AC ，
Q AB = 9， AC = 6 ，
\VACD 的周長= 9 + 6 =15，
故選：B．
2．（24-25 八年級上·全國·單元測試）如圖，在VABC 中， AB 的垂直平分線DM 交BC 于點D，邊 AC 的垂
直平分線EN 交BC 于點E ．已知VADE 的周長為8cm ，則BC 的長為 ；
【答案】8cm
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質．利用線段垂直平分線的性質“線段垂直平分線上的點到線
段兩個端點的距離相等”可得 AD = BD, AE = CE ，然后利用VADE 的周長為8cm 和等量代換可得 BC = 8cm ，
即可解答．
【詳解】解：∵ AB 的垂直平分線DM 交BC 于點D，邊 AC 的垂直平分線EN 交BC 于點E ．
∴ AD = BD, AE = CE ，
∵VADE 的周長為8cm ，
\ AD + DE + AE = 8cm ，
\ BD + DE + EC = 8cm，
\BC = 8cm ，
∴BC 的長為8cm ；
故選：8cm ．
3．（2024 七年級下·全國·專題練習）如圖，VABC 中， EF 垂直平分 AC ，交 AC 于點 F，交BC 于點 E，
AD ^ BC ，垂足為 D，且BD = DE，連接 AE ．
(1)求證： AB = EC ；
(2)若VABC 的周長為 20cm ， AC = 7cm ，則DC 的長為多少？
【答案】(1)見解析
13
(2) cm
2
【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質：
（1）根據線段垂直平分線的性質可得 AE = EC ， AB = AE ，等量代換可得 AB = EC ；
（2）先根據已知條件得出 AB + BC = 13cm，再通過等量代換得出 AB + BD = DE + EC = DC ，進而得出
AB + BC = AB + BD + DC = 2DC =13cm ，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵ EF 垂直平分 AC ，
∴ AE = EC ，
∵ AD ^ BC ，BD = DE，
∴ AB = AE ，
∴ AB = EC ；
（2）解：∵VABC 的周長為 20cm ，
∴ AB + BC + AC = 20cm，
∵ AC = 7cm ，
∴ AB + BC = 13cm，
∵ AB = EC，BD = DE ，
∴ AB + BD = DE + EC = DC ，
∵ AB + BC = AB + BD + DC = 2DC =13cm ，
∴DC
13
= cm．
2
題型 14 垂直平分線的判定
1．（23-24 八年級上·湖南益陽·期末）如圖，在VABC 中，E 為 AB 邊的中點，過點 E 作ED ^ AB 交BC 于點
D，若 AE = 3，△ADC 的周長為 20，則VABC 的周長為（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
【答案】C
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定和性質，根據題意可得ED垂直平分 AB ， AB = 2AE = 6，
進而得到BD = AD ，再由△ADC 的周長為 20，推出BC + AC = 20，據此可得答案．
【詳解】解；∵E 為 AB 邊的中點，ED ^ AB ，
∴ED垂直平分 AB ， AB = 2AE = 6，
∴BD = AD ，
∵△ADC 的周長為 20
∴ AD + CD + AC = 20，
∴BD + CD + AC = 20，
∴BC + AC = 20，
∴VABC 的周長= AB + AC + BC = 20 + 6 = 26，
故選；C．
2．（18-19 八年級上·廣東潮州·期中）如圖， AD 是VABC 的角平分線，DE 、DF 分別是△ABD 和VACD的
高，則下列結論：
① EF 垂直平分 AD ；② AD ^ EF ；③ AE + DF = AF + DE ；④O為 EF 的中點．其中一定正確的是
（填序號）
【答案】②③④
【分析】如果OA = OD，則 AE = DE ， AF = DF ， A = 90°，即可判斷①．根據VAED≌VAFD ，判斷出
AE = AF ，DE = DF，即可判斷出 AE + DF = AF + DE 成立，即可判斷③；然后根據全等三角形的判定方法，
判斷出△AEO≌△AFO，即可判斷出 AD ^ EF ， EO = FO ，即可判斷②④．
【詳解】解：如果 EF 垂直平分 AD ，
則點 O 是 AD 的中點，
∵DE、DF 分別是△ABD 和VACD的高，
∴ AE = DE ， AF = DF ，
∴ EAD = FAD = 45°，
∴ A = 90°，不符合題意；
∴①不正確；
∵ AD 是VABC 的角平分線，
∴ EAD = FAD ，
在△AED 和△AFD中，
ì EAD = FAD

í AED = AFD = 90° ，

AD = AD
∴△AED≌△AFD AAS ，
∴ AE = AF，DE = DF ，
∴ AE + DF = AF + DE ，
∴③正確；
在△AEO 和VAFO 中，
ìAE = AF

í EAO = FAO，

AO = AO
∴VAEO≌VAFO SAS ，
∴ EO = FO ，
∴O為 EF 的中點，
∴④正確．
又∵ AE = AF ，
∴ AO 是 EF 的中垂線，
∴ AD ^ EF ，
∴②正確；
綜上，正確的是：②③④．
故答案為：②③④．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，垂直平分線的判定和性質，準確分
析判斷是解題的關鍵．
3．（23-24 八年級下·陜西渭南·期中）如圖，E 是VABC 邊 AB 的延長線上一點， BCE = A + ACB．求證：
點E 在BC 的垂直平分線上．
【答案】見解析．
【分析】題考查了三角形的外角性質，線段垂直平分線的判定，由三角形的外角性質得到
EBC = A + ACB，結合已知推出 BCE = EBC ，得到BE = CE ，即可得到結論．
【詳解】證明：∵ BCE = A + ACB， EBC = A + ACB，
∴ BCE = EBC ，
∴BE = CE ，
∴點 E 在BC 的垂直平分線上．
A 夯實基礎
1．（23-24 七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖是用直尺和圓規作已知角的平分線的示意圖，則說明△ADF
和VADE 的全等的依據是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線的尺規作法和全等三角形的判定．掌握SSS證明三角形全等是關鍵．
根據尺規作圖痕跡可得，兩個三角形對應邊相等，進而可得答案
【詳解】解：從角平分線的作法得出，△AFD與△AED 的三邊全部相等，
則VAFD≌VAED SSS ．
故選：A．
2．（23-24 七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖，OC 平分 AOB ，點 P 是射線OC 上一點，PM ^ OB 交于
點 M，點 N 是射線OA上的一個動點，連接PN ．若PM = 6，則PN 的長度不可能是（ ）
A．18 B．7.2 C．6 D． 4.5
【答案】D
【分析】本題考查角平分線的性質、垂線段最短，根據角平分線的性質作出圖形轉化線段是解決問題的關
鍵．
過點 P 作PD ^ OA，如圖所示，由角平分線的性質可得PD = PM = 6，根據點與直線上各點的距離中垂線段
最短可得PN PD = 6，從而得到答案．
【詳解】解：過點 P 作PD ^ OA，如圖所示：
Q OC 平分 AOB ，點 P 是射線OC 上一點，PM ^ OB 于點M ，PM = 6，
\由角平分線性質可得PD = PM = 6，
Q點 N 射線OA上的一個動點，連接PN ，
\由點與直線上各點的距離中垂線段最短可得PN PD = 6，
\綜合四個選項可知，PN 的長度不可能是 4.5，
故選：D．
3．（23-24 七年級下·山西太原·期末）如圖， 1 = 2， AD = AB ，要使VADE≌VABC ，則可添加的一個條
件是 （寫出一個即可）．
【答案】 AE = AC （答案不唯一）
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關鍵，全等三角形的判
定定理有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL．
【詳解】解：添加條件 AE = AC ，理由如下：
∵ 1 = 2，
∴ 1+ BAE = 2 + BAE ，即 BAC = DAE ，
又∵ AD = AB ， AE = AC ，
∴VADE≌VABC SAS ，
故答案為： AE = AC （答案不唯一）．
4．（23-24 八年級上·浙江紹興·期末）如圖，已知點 E, F 在 AC 上， AE = CF ， BE∥ DF ，添加一個條件，
使△ADF ≌△CBE ．你所添加的條件是 ．（只需寫一個即可）
【答案】 A = C （答案不唯一）
【分析】本題考查全等三角形的判定．根據 AE = CF 得 AF = CE ，由 BE∥ DF ，得 DFA = BEC ，因此，
只要再添加一組對應角相等即可．
【詳解】解：Q AE = CF
\ AE + EF = CF + EF
即 AF = CE
Q BE∥ DF
\ DFA = BEC
因此，只要再添加一組對應角相等即 A = C 即可，
證明如下：
在DADF 和△CBE 中
ì A = C

íAF = CE

DFA = BEC
\△ADF ≌△CBE （ASA）．
故答案為： A = C ．
5．（2024·陜西·模擬預測）如圖，在 VABC 中，點 D在邊 BC 上， BD = AC ， DE = CB， DE∥ AC ．求證：
BED = ABC ．
【答案】見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，證△BDE ≌△ACB 即可求解．
【詳解】證明：∵DE∥ AC ，
∴ BDE = ACB ，
∵BD = AC ，DE = CB，
∴△BDE ≌△ACB ，
∴ BED = ABC ．
6．（23-24 七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，D是VABC 邊 AB 上的一點，點E 是 AC 的中點，連接DE
并延長至點F ，使EF = DE ，連接CF ．試說明：CF = AD．
【答案】見解析
【分析】此題考查了全等三角形的判定與性質，由 AE = CE ，DE = FE ，夾角為對頂角，利用SAS得到
VAED≌VCEF ，利用全等三角形對應邊相等得到 AD = CF ．
【詳解】證明：在△AED 和△CEF 中，
ìAE = CE

í AED = CEF ，

DE = FE
\△AED≌△CEF (SAS) ，
\ AD = CF
B 能力提升
1．（23-24 七年級下·遼寧沈陽·階段練習）小軒用如圖所示的方法測量小河的寬度．他利用適當的工具，使
AB∥CD, BO = OC ，點 A、O、D在同一直線上，就能保證△ABO≌△DCO ，從而可通過測量CD 的長度得
知小河的寬度 AB ．在這個問題中，可作為證明△ABO≌△DCO 的依據的是（ ）
A．SAS 或 SSS B．AAS 或 SSS
C．ASA 或 AAS D．ASA 或 SAS
【答案】C
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法求解即可．
【詳解】根據題意可知 AOB = DOC ．
∵ AB∥CD ，
∴ ABO = DCO， BAO = CDO．
方法一：
在VABO 和VDCO中
ì ABO = DCO

í BAO = CDO

BO = CO
∴△ABO≌△DCO AAS ．
方法二：
在VABO 和VDCO中
ì ABO = DCO

íBO = CO

AOB = DOC
∴△ABO≌△DCO ASA ．
故選：C
2．（23-24 七年級下·四川成都·期末）如圖，在VABC 和VDEF 中，點 B，F，C，E 在同一直線上，
B = E, BF = CE ，只添加一個條件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A． AB = DE B． AC = DF C． A = D D． ACB = DFE
【答案】B
【分析】本題考查添加條件證明三角形全等，根據全等三角形的判定方法逐一進行判斷即可．
【詳解】解：∵ B = E, BF = CE ，
∴BF + CF = CE + CF ，即：BC = EF ，
當 AB = DE 時，SAS可以證明△ABC ≌△DEF ；故選項 A 不符合題意；
當 AC = DF 時，不能判定△ABC ≌△DEF ；故選項 B 符合題意；
當 A = D 時，AAS可以證明△ABC ≌△DEF ；故選項 C 不符合題意；
當 ACB = DFE 時，ASA可以證明△ABC ≌△DEF ；故選項 D 不符合題意；
故選 B．
3．（23-24 九年級下·重慶開州·階段練習）如圖，在RtVABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，點D為BC 上一
點，連接 AD ．過點 B 作 BE ^ AD于點 E ，過點C 作CF ^ AD 交 AD 的延長線于點 F ．若 BE = 5，CF = 2，
則EF 的長度為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，先證明VABE≌VCAF (AAS)，根據
全等三角形的性質可得 AF = BE = 5， AE = CF = 2，進一步可得 EF 的長．
【詳解】QBE ^ AD ，CF ^ AD ，
\ BEA = AFC = 90°，
\ BAE + ABE = 90°，
Q BAC = 90°，
\ BAE + FAC = 90°，
\ FAC = ABE ，
在VABE 和VCAF 中，
ì BEA = AFC

í ABE = FAC ，

AB = AC
∴VABE≌VCAF (AAS)，
\ AF = BE ， AE = CF ，
QBE = 5，CF = 2 ，
\ AF = BE = 5， AE = CF = 2，
\EF = AF - AE = 5 - 2 = 3，
故答案為：3．
4．（23-24 七年級下·河南鄭州·期末）如圖，VABC 中， AC 的垂直平分線交BC 于點 E，若VABE 的周長
14，VABC 的周長 24，則CD = ．
【答案】5
【分析】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質定理．根據線段的垂直平分線的性質可得 AD = CD ，
AE = CE ，從而得到 AB + BE + CE = AB + BC =14，然后根據VABC 的周長 24，求出 AC =10，即可求解．
【詳解】解：∵DE 垂直平分 AC ，
∴ AD = CD ， AE = CE ，
∴ AE + BE = BE + EC = BC ，
∵VABE 的周長為 14，
∴ AB + BE + CE = AB + BC =14，
∴VABC 的周長是 AB + BC + AC =14 + AC = 24，
∴ AC =10，
CD 1∴ = AC = 5．
2
故答案為：5．
5．（23-24七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，VABC 和VDEF 中，點 A，D，B，E 在一條直線上， ABC = DEF ．
(1)給出以下 3 個條件：① AD = BE ，② AC∥DF ，③ C = F 從中選擇兩個作為條件，另外一個作為結
論．你選擇的條件是______，結論是______（填序號）．
(2)請證明你的結論．
【答案】(1)①②，③（答案不唯一）
(2)見解析
【分析】此題考查了平行線的性質、全等三角形的判定與性質，熟練運用平行線的性質、全等三角形的判
定與性質是解題的關鍵．
（1）選擇的條件是①②，結論是③；或條件是①③，結論是②；
（2）根據平行線的性質求出 A = EDF ，利用ASA證明△ABC ≌△DEF ，根據全等三角形的性質即可得
解；
或利用AAS證明△ABC ≌△DEF ，根據全等三角形的性質即可得證．
【詳解】（1）解：選擇的條件是①②，結論是③；或條件是①③，結論是②；
故答案為：①②，③；①③，②；
（2）證明：若選擇的條件是①②，結論是③，
∵ AC∥DF ，
\ A = EDF ，
Q AD = BE ，
\ AD + BD = BE + BD ，
即 AB = DE ，
在VABC 和VDEF 中，
ì A = EDF

íAB = DE ，

ABC = DEF
\VABC≌VDEF ASA ，
∴ C = F ；
若選擇的條件是①③，結論是②，
Q AD = BE ，
\ AD + BD = BE + BD ，
即 AB = DE ，
在VABC 和VDEF 中，
ì C = F

í ABC = DEF ，

AB = DE
\VABC≌VDEF AAS ，
\ A = EDF ，
∴ AC∥DF ．
6．（2024·浙江舟山·一模）如圖，在VABC 中， B = 40°， C = 25°，過點A 作 AD ^ BC ，垂足為D，延
長DA至E ．使得 AE = AC ．在邊 AC 上截取 AF = AB ，連結EF ．
(1)求∠EAF 的度數．
(2)求證：EF = BC ．
【答案】(1)115°
(2)見解析
【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質；
（1）根據 AD ^ BC 得出 ADC = 90°，進而根據三角形外角的性質可得出答案；
（2）證明VEAF≌VCAB SAS ，根據全等三角形的性質即可得出EF = CB．
【詳解】（1）解：Q AD ^ BC ．
\ ADC = 90°．
Q C = 25°，
\ EAF = ADC + C =115°；
（2）證明：在VABC中， B = 40°， C = 25°，
\ CAB =180° - B - C =115°．
\ EAF = CAB ．
在VEAF 和VCAB 中，
ìAE = AC

í EAF = CAB，

AF = AB
\VEAF≌VCAB SAS ，
\EF = CB ．
C 綜合素養
1．（23-24 七年級下·安徽宿州·期末）如圖，將兩塊相同的三角板（含30°角）按圖中所示位置擺放，若 BE
交CF 于點D, AC 交 BE 于點M , AB交CF 于點 N ，則下列結論中錯誤的是（ ）
A． EAC = FAB B．CM = BN
C．VACN≌VABM D．FN = DN
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
由△ABE≌△AFC ，根據全等三角形的性質可得 EAB = CAF , AC = AB, C = B，繼而可得
EAC = FAB，可判斷 A 正確；利用 ASA可證明VACN≌VABM ，可判斷 C 正確；根據全等三角形的性質
可得 AM = AN ，可判斷 B 正確，無法得到FN = DN ，由此即可得答案．
【詳解】解：∵△ABE≌△AFC ，
\ EAB = FAC, AC = AB, C = B，
\ EAB - CAB = FAC - CAB，
∴ EAC = FAB，故選項 A 正確；
在△ACN 與VABM 中
ì CAN = BAM

íAC = AB ，

C = B
∴VACN≌VABM ASA ，故選項 C 正確；
∴ AM = AN ，
∵ AC - AM = AB - AN ，
∴CM = BN ，故選項 B 正確；
無法得到FN = DN ，故選項 D 錯誤．
故選：D．
2．（23-24 七年級下·上海浦東新·期末）如圖，在△ACB中， ACB = 90°，VABC 的角平分線 AD 、BE 相交
于點 P ，過 P 作PF ^ AD 交BC 的延長線于點F ，交 AC 于點 H ． 有下列結論：① APB =135°；②
△ABP≌△FBP；③ AHP = ABC ；④ AH + BD = AB ；其中正確的個數是（　　）
A．1個 B． 2個 C．3個 D． 4個
【答案】C
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，根據三角形內角和以及角平分線的定義得
PAB + PBA = 45°，繼而得出 APB的度數，即可判斷①；推出 APB = FPB，根據ASA證明即可，即
可判斷②；證明VPAH≌VPFD ASA ，得 AH = FD ， AHP = FDP ，根據外角的性質可判斷③；通過等
量代換可判斷④．證明三角形全等是解題的關鍵．
【詳解】解：在VABC 中， ACB = 90°，
∴ CAB + CBA = 90°，
∵ AD 、 BE 分別平分 CAB 、 CBA，
PAC PAB 1∴ = = CAB ， PBF = PBA
1
= CBA，
2 2
∴ PAB
1 1
+ PBA = CAB + CBA = 90° = 45°，
2 2
∴ APB =180° - PAB + PBA =180° - 45° =135°，故結論①正確；
∴ BPD =180° - APB =180° -135° = 45°，
又∵PF ^ AD ，
∴ FPA = FPD = 90°，
∴ FPB = FPD + BPD = 90° + 45° =135°，
∴ APB = FPB，
在VABP和VFBP 中，
ì APB = FPB

íPB = PB ，

PBA = PBF
∴VABP≌VFBP ASA ，故結論②正確；
∴ BAP = BFP， AB = FB，PA = PF ，
∴ PAH = PFD，
在VPAH 和VPFD中，
ì PAH = PFD

íPA = PF ，

APH = FPD
∴VPAH≌VPFD ASA ，
∴ AH = FD ， AHP = FDP ，
∵ FDP 是△ABD 的外角，
∴ FDP > ABC ，
∴ AHP > ABC ，故結論③錯誤；
又∵ AH = FD ， AB = FB，
∴ AB = FB = FD + BD = AH + BD，
即 AH + BD = AB ，故結論④正確，
∴正確的個數是3個．
故選：C．
3．（24-25 八年級上·全國·假期作業）如圖，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ，BD ^ CE
于D， AE ^ CE 于E ，DE = 4cm，BD = 6cm，則 AE 的長是 cm．
【答案】2
【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
先證明VACE≌VCBD可得CE = BD = 6，再根據線段的和差計算即可．
【詳解】解：Q ACB = 90°，BD ^ CE，
\ ACE = CBD，
在△ACE和△CBD中，
ì ACE = CBD

í AEC = CDB ，

AC = BC
\VACE≌VCBD AAS ，
\CE = BD = 6 ，
∴ AE = CD = CE - DE = 2cm．
故答案為：2．
4．（23-24 七年級下·遼寧遼陽·期末）如圖，在四邊形 ABCD中， AB = AD ， BAD =140°， AB ^ CB于點
B， AD ^ CD 于點 D，E、F 分別是CB、CD 上的點，且 EAF = 70°，下列說法①DF = BE ；②FA平分
DFE ；③ AE 平分 FAB；④CF + CE > FD + EB ．其中正確的是 ．（填寫正確的序號）
【答案】②④/④②
【分析】此題重點考查三角形的三邊關系、全等三角形的判定與性質等知識，正確地作出輔助線并且證明
△EAG≌△EAF 是解題的關鍵．
由 E、F 分別是CB、CD 上的任意點，可知DF 與 BE 不一定相等，可判斷①錯誤；延長CB到點 G，使
BG = DF ，連接 AG ，先證明△ABG≌△ADF ，得 AG = AF， BAG = DAF， G = AFD，由
BAD =140°， EAF = 70°，可以推導出 EAG = 70°，則 EAG = EAF ，即可證明△EAG≌△EAF ，得
G = AFE ，因為 AEB = AEF ，所以 AFD = AFE ，可判斷②正確，③錯誤；由CF + CE＞EF ，且
EF = FD + EB ，得CF + CE > FD + EB ，可判斷④正確，于是得到問題的答案．
【詳解】解：∵E、F 分別是CB、CD 上的任意點，
∴DF 與 BE 不一定相等，
故①錯誤；
延長CB到點 G，使BG = DF ，連接 AG ，則 ABG =180° - ABE = 90°，
∴ ABG = D ，
在VABG 和△ADF 中，
ì AB = AD

í ABG = D ，

BG = DF
∴△ABG≌△ADF SAS ，
∴ AG = AF， BAG = DAF， G = AFD
∵ BAD =140°， EAF = 70°，
∴ EAG = BAE + BAG = BAE + DAF = BAD - EAF = 70° ，
∴ EAG = EAF ，
在△EAG 和△EAF 中，
ì AG = AF

í EAG = EAF ，

AE = AE
∴VEAG≌VEAF SAS ，
∴ G = AFE， AEB = AEF，EG = EF ， FAE = EAG，
∴ AFD = AFE，BE + DF = BE + BG = EG = EF ， FAE > BAE ，
故②正確，③錯誤；
∵CF + CE > EF，EF = FD + EB ，
∴CF + CE > FD + EB ，
故④正確，
故答案為：②④．
5．（2024 七年級下·浙江·專題練習）【基礎鞏固】如圖 1，已知 AC ^ AB，BD ^ AB 垂足分別為點 A，B．若
AC = PB，
AP = BD，探究PC 與PD的關系，并說明理由．
【嘗試應用】如圖 2， AB = 9cm，AC ^ AB，BD ^ AB 垂足分別為點 A，B， AC = 7cm ．點 P 在線段 AB 上
以 2cm/s的速度由點 A 向點 B 運動，同時點 Q 在射線BD上以同樣的速度運動，它們運動的時間為（t s）（當
點 P 運動結束時，點 Q 運動隨之結束）．當 t =1時，判斷此時線段PC 和線段 PQ的關系，并說明理由．
【拓展提高】如圖 3，在【嘗試應用】的基礎上，把“ AC ^ AB，BD ^ AB ”改為“ CAB = DBA ”，若點 Q
的運動速度為 xcm / s ，其它條件不變，當點 P，Q 運動到何處時有△ACP與VBPQ全等，求出相應的 x 的
值．
【答案】基礎鞏固：PC = PD，PC ^ PQ，理由見解析；嘗試運用：PC = PD，PC ^ PQ；拓展提高當△ACP
28
與VBPQ全等時的 x 值為 2 或
9
【分析】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是根據SAS證明△ACP≌△BQP ，解決此題的是注意分
類討論．
基礎鞏固：根據SAS證明VACP≌VBPD ，進而解答即可；
嘗試應用：根據SAS證明△ACP≌△BPQ ，進而解答即可；
拓展提高：根據全等三角形的性質得出方程解答即可，注意分類．
【詳解】解：基礎鞏固：PC = PD，PC ^ PQ．
理由：Q AC ^ AB，BD ^ AB，
\ A = B = 90°，
Q AP = BD ， AC = BP，
在△ACP與△ BPD中，
ìAC = BP

í A = B

AP = BD
\VACP≌VBPD SAS ，
\PC = PD，
\ C = BPQ ，
\ C + APC = 90° ，
\ APC + BPQ = 90°，
\ CPQ = 90°，
\PC ^ PQ ；
嘗試運用：
PC = PD，PC ^ PQ．
當 t =1s 時， AP = 2cm，BQ = 2cm，
\ AP = BQ，
Q AB = 9cm ，
\BP = 7cm = AC ，
由基礎鞏固中的結論可知：PC = PQ，PC ^ PQ；
拓展提高
①若設運動時間為 ys時△ACP≌△BPQ ，
則 AC = BP = 7cm，AP = BQ，
可得：7 = 9 - 2y ， 2y = xy，
\ x = 2，y =1；
②若設運動時間為 ys時，△ACP≌△BQP ，
則 AC = BQ，AP = BP，可得：7 = xy， 2y = 9 - 2y ，
x 28 9\ = ， y = ，
9 4
綜上所述，當△ACP與VBPQ
28
全等時的 x 值為 2 或 ．
9
6．（23-24 七年級下·山東濟南·期中）閱讀下列材料，完成相應任務．
數學活動課上，老師提出了如下問題：
如圖 1，已知VABC 中， AD 是BC 邊上的中線．求證： AB + AC＞2AD
智慧小組的證法如下：
證明：如圖 2，延長 AD 至 E，使DE = AD，
∵ AD 是BC 邊上的中線，
∴BD = CD，
ìBD = CD

在△BDE 和△CDA 中， í BDE = CDA，

DE = DA
∴△BDE≌△ CDA（依據 1），
∴BE = CA，
在VABE 中， AB + BE＞AE （依據 2），
∴ AB + AC＞2AD ．
(1)任務一：上述證明過程中的“依據 1”和“依據 2”分別是指：
依據 1： ；依據 2： ．
【歸納總結】
上述方法是通過延長中線 AD ，使DE = AD，構造了一對全等三角形，將 AB ， AC ， AD 轉化到一個三角
形中，進而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關
系．
(2)任務二：如圖 3， AB = 6， AC = 8，則 AD 的取值范圍是 ；
A．6＜AD＜8； B． 6 AD 8； C． 1＜AD＜7
(3)任務三：利用“倍長中線法”，解決下列問題．
1
如圖 4，RtVABC 中， BAC = 90°，D 為BC 中點，求證： AD = BC ．
2
【答案】(1)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等；三角形任意兩邊的和大于第三邊
(2)C
(3)見解釋
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的性質．掌握題目中“倍長中線法”是解題的關鍵．
（1）掌握全等三角形的判定與性質，三角形的性質即可．
（2）利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”求解即可．
（3）判斷△BDA≌△CDF ，VABC≌VCFA即可．
【詳解】（1）解：依據 1：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（或“邊角邊”或“SAS ”）；
依據 2：三角形兩邊的和大于第三邊；
故答案為：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等；三角形任意兩邊的和大于第三邊．
（2）
解：如圖，延長 AD 至點E ，使DE = AD ,連接CE．
Q AD 是BC 的中線，
\ BD = CD ,
在△ABD 與VECD 中，
ì AD = ED

í ADB = EDC ,

BD = CD
\ VABD≌VCDE SAS ，
\ AB = EC = 6 ,
在△ACE中， AC - CE＜AE＜AC + CE ，
即8- 6＜2AD＜8 + 6，
\1＜AD＜7 ．
故選：C．
（3）證明：如圖 4，延長 AD 至 F，使 AD = DF 連接CF ，
Q D是BC 的中點，
∴BD = CD ,
又Q ADB = CDF
∴△BDA≌△CDF SAS ，
\ B = DCF ， AB = CF ，
∵ BAC = 90°，
∴ B + ACB = 90° ,
\ DCF + ACB = 90° ,
即 ACF = BAC ，
又∵ AC = CA，
∴VABC≌VCFA SAS ，
∴ AF = BC ，
AD 1 AF 1∴ = = BC ．
2 2第 04 講 三角形全等的判定（4 個知識點+14 大題型+18 道強化
訓練）
課程標準 學習目標
1.經歷探索三角形全等條件的過程，掌握和
會用“邊邊邊”“邊角邊”和“角邊角”“角角邊” 1.經歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會用“邊邊
和“斜邊、直角邊”條件判定兩個三角形全 邊”“邊角邊”和“角邊角”“角角邊”和“斜邊、直角邊”條件
等； 判定兩個三角形全等；
2. 使學生經歷探索三角形全等的過程，體 2. 使學生經歷探索三角形全等的過程，體驗操作、歸
驗操作、歸納得出數學結論的方法. 納得出數學結論的方法.
3. 通過探究三角形全等的條件的活動，培 3. 通過探究三角形全等的條件的活動，培養學生觀察
養學生觀察分析圖形的能力及運算能力，培 分析圖形的能力及運算能力，培養學 生樂于探索的良
養學 生樂于探索的良好品質以及發現問題 好品質以及發現問題的能力.
的能力.
知識點一、全等三角形的判定
一、全等三角形判定 1——“邊邊邊”
定理 1：三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.
要點詮釋：如圖，如果 A ' B '＝AB， A 'C '＝AC， B 'C '＝BC，則△ABC≌△ A ' B 'C ' .
二、全等三角形判定 2——“邊角邊”
定理 2：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.
要點詮釋：如圖，如果 AB ＝ A ' B '，∠A＝∠ A '，AC ＝ A 'C '，則△ABC≌△ A ' B 'C ' .
注意：1. 這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.
2. 有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.
如圖，△ABC 與△ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC 與△ABD 不完全重合，故不
全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.
三、全等三角形判定 3——“角邊角”
定理 3：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.
要點詮釋：如圖，如果∠A＝∠ A '，AB＝ A ' B '，∠B＝∠ B '，則△ABC≌△ A ' B 'C ' .
四、全等三角形判定 4——“角角邊”
定理 4：兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）
要點詮釋：由三角形的內角和等于 180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個
三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.
2.三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.
如圖，在△ABC 和△ADE 中，如果 DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC
和△ADE 不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.
要點三、判定方法的選擇
1.選擇哪種判定方法，要根據具體的已知條件而定，見下表：
已知條件 可選擇的判定方法
一邊一角對應相等 SAS AAS ASA
兩角對應相等 ASA AAS
兩邊對應相等 SAS SSS
2.如何選擇三角形證全等
（1）可以從求證出發，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可
以證這兩個三角形全等；
（2）可以從已知出發，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；
（3）由條件和結論一起出發，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構造全等三角形.
3.三角形證全等思路
ì ì找夾角 SAS

已知兩邊í找直角 HL
找另一邊 SSS
ì邊為角的對邊 找任一角 AAS

ì找夾角的另一邊 SAS
í已知一邊一角í
邊為角的鄰邊í找夾邊的另一角 ASA

找邊的對角 AAS
ì找夾邊 ASA
已知兩角í
找任一邊 AAS


知識點 02：靈活運用全等判定定理
2、靈活運用全等判定定理
（1）判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此
在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。
（2）要善于發現和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。
（3）要善于靈活選擇適當的方法判定兩個三角形全等。
已知條件中有兩角對應相等，可找：
①夾邊相等（ASA） ②任一組等角的對邊相等(AAS)
已知條件中有兩邊對應相等，可找
①夾角相等(SAS) ②第三組邊也相等(SSS)
已知條件中有一邊一角對應相等，可找
①任一組角相等(AAS 或 ASA) ②夾等角的另一組邊相等(SAS)
【即學即練 1】
1．（23-24 七年級下·廣東深圳·期末）油紙傘是漢族古老的傳統用品之一．圖 1 是一把油紙傘實物圖，圖 2
1
為其傘骨示意圖．已知 AB = AC ， AE = AB，AF
1
= AC，ED = FD，那么VAED≌VAFD 的依據是（
3 3 ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【即學即練 2】
2．（23-24 七年級下·廣東河源·期末）如圖，已知△ABC 的三條邊和三個角，則下面甲、乙、丙三個三角形
中不能證明和 VABC 全等的是（ ）
A．甲和乙 B．只有甲 C．只有乙 D．只有丙
【即學即練 3】
3．（23-24 七年級下·重慶北碚·期末）如圖點 B ， F ，C ， E 在同一條直線上，點A ， D在直線 BE 的兩側，
ACB = DFE ，BC = EF ，添加一個適當的條件后，仍不能使得△ABC ≌△DEF （ ）
A． AB = DE B． AB∥DE
C． A = D D． AC = DF
【即學即練 4】
4．（23-24 七年級下·廣東佛山·期末）如圖， AD 平分 BAC, BD ^ AD ，若VABC 的面積是 9，則△ADC 的
面積是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【即學即練 5】
5．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖，點A 、 B 分別在邊OC 、OD 上， AD 與BC 交于點E ，
AD = BC ， D = C ，若OC = 5，OB = 2 ，則BD的長為（ ）
A．5 B．2 C．3 D．7
【即學即練 6】
6．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖，在VABC 與△AEF 中，A、C、E 三點在一條直線上，
AEF + BAF =180°， BCE = BAF ， AB = AF ，若BC = 24，EF =14，則CE的長為（ ）
A．10 B．14 C．24 D．8
知識點 03：垂直平分線
3、線段的垂直平分線(中垂線)：垂直并平分一條線段的直線。
中垂線性質：線段的中垂線上的點到線段兩端點的距離相等。
逆定理：到線段兩端的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
【即學即練 7】
7．（23-24 七年級下·山東棗莊·期末）如圖，OC 平分 AOB ，在OC 上取一點 P ，過 P 作PD ^ OB ，垂足
為D，點M 是射線OA上一動點，連接PM ，若 PD = 7 cm ，則PM 的長度不可能是（ ）
A．9cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm
【即學即練 8】
8．（23-24 八年級下·湖南邵陽·期末）如圖，在VABC 中， C = 90°， B = 30°， AD 是 BAC 的平分線，
若 AD = 4，則點 D 到 AB 邊的距離等于（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
知識點 04：角平分線
4、角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
逆定理：角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
【即學即練 9】
9．（21-22 八年級上·黑龍江佳木斯·期中）在平面內，有一個點到三角形三個頂點的距離相等，則這個點一
定是三角形（ ）
A．三條角平分線的交點 B．三條高線的交點
C．三條中線的交點 D．三條邊垂直平分線的交點
【即學即練 10】
10．（23-24 七年級下·陜西西安·期末）在 VABC 中， AB，AC 的垂直平分線 FD，GE 分別交 BC 于點 D，E，
若 B = 30°， C = 48°，則 DAE 的度數為（ ）
A． 26° B．15° C． 24° D．30°
題型 01 用 SSS 證明三角形全等
1．（23-24 七年級下·山西晉中·期末）如圖1是某款雨傘的實物圖，圖 2是該雨傘部分骨架示意圖．測得
AB = AC ，點E ，F 分別是 AB ， AC 的三等分點，ED = FD，那么VAED≌VAFD 的依據是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．（23-24 八年級上·江蘇南京·階段練習）如圖，VDEF 的 3 個頂點分別在小正方形的頂點（格點）上，這
樣的三角形叫做格點三角形，若在圖中再畫 1 個格點VABC （不包括△DEF ) ），使VABC 和VDEF 全等，這
樣的格點三角形能畫 個．
3．（21-22 八年級上·四川眉山·期中）如圖，已知點 C，F 在直線 AD 上，AB = DE，CD = AF，BC = EF ．求
證：△ABC ≌△DEF ．
題型 02 全等的性質與 SSS 綜合
1．（22-23 八年級上·江蘇無錫·期中）工人師傅常用角尺平分一個任意角．作法如下：如圖所示， AOB 是
一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM = ON ，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與 M，N 重合，過
角尺頂點 C 的射線OC 即是 AOB 的平分線．這種作法的道理是（　　）
A．HL B．SSS C．SAS D．ASA
2．（23-24七年級下·陜西西安·階段練習）如圖，在VABC 的上方有一點D，連接 AD ，CD，AB = AD ，CB = CD ，
BCD = 50°，則 ACB 的度數為 °．
3．（2024·四川內江·中考真題）如圖，點A 、D、 B 、E 在同一條直線上， AD = BE ， AC = DF ，
BC = EF
(1)求證：△ABC ≌△DEF ；
(2)若 A = 55°， E = 45°，求 F 的度數．
題型 03 用 SAS 證明三角形全等
1．（24-25 七年級上·山東·隨堂練習）如圖，有一池塘，要測池塘兩端A ， B 的距離，可先在地上取一個點
C ，從點C 不經過池塘可以直接到達點A 和 B ．連接 AC 并延長到點D，使CD = CA．連接BC 并延長到點
E ，使CE = CB ．連接DE ，根據兩個三角形全等，那么量出DE 的長就是A ， B 的距離．判斷圖中兩個三
角形全等的依據是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
2．（23-24 七年級下·四川成都·期末）某數學興趣小組的同學打算測量一個小口圓形容器內徑時遇到了困難，
小組同學們借用學習過的三角形全等的知識合作制作了特制工具測量器．如圖所示，將等長的鋼條 AD 和BC
的中點O焊接在一起，制作了一把“ X 形卡鉗”．根據“ X 形卡鉗”的制作原理能判斷△ABO≌△DCO ，從而
測量出 AB 的長就等于內徑CD 的長．請寫出VABO≌VDCO 的理由： ．
3．（23-24 八年級上·天津寧河·期中）如圖，已知 AD = AB，AC = AE， DAB = CAE，連接DC，BE．
(1)求證： VBAE ≌VDAC ；
(2)若 CAD =135°， D = 20°，求 E的度數．
題型 04 全等的性質與 SAS 綜合
1．（23-24 七年級下·四川宜賓·期末）如圖，在VABC 中， C = 90°， AC = 4，BC = 3， AB = 5，P、D 分
別是 AC、AB 上的動點，則BP + PD的最小值為（ ）
A．3 B．3.6 C． 4.2 D． 4.8
2．（23-24 七年級下·四川成都·期中）如圖，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BD是高，E 是VABC 外一點，
BE = BA， E = C ，若DE = 5， AD =12 ，BD > DE，則△BDE 的面積為 ．
3．（23-24 七年級下·山西運城·期末）如圖，點C ，F 在線段 BE 上， AB∥DE ， AB = DE ，BF = EC ，試
說明：
(1)△ABC ≌△DEF ；
(2) AC∥DF ．
題型 05 用 ASA(AAS)證明三角形全等
1．（23-24 八年級下·廣東梅州·階段練習）如圖，要測量河兩岸相對的兩點A 、B 的距離，先在 AB 的垂線BF
上取兩點C 、D，使BC = CD ，再作出BF 的垂線DE ，使點A 、C 、E 在同一條直線上，則可以說明
VABC≌VEDC ，得 AB = DE ，因此測得DE 的長就是 AB 的長，判定VABC≌VEDC ，最恰當的理由是(　　)
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
2．（23-24 八年級上·河南周口·期中）如圖，在VABC 中，AD 是BC 邊上的高，BE 是 AC 邊上的高，且 AD、BE
交于點 F，若BF = AC,CD = 4, BD =10，則線段 AF 的長為 ．
3．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ， AE ^ CE 于點 E，BD ^ CE于點
D．
(1)求證：VACE≌VCBD；
(2)若 AE = 5， BD = 2，求DE 的長度．
題型 06 全等的性質與 ASA(AAS)綜合
1．（23-24 七年級下·山西運城·期末）如圖，小馬用高度都是 2cm 的 10 個相同長方體小木塊壘了兩面與地面
垂直的木墻 AD 與 BE ，木墻之間剛好可以放進一個直角三角板，且直角三角板斜邊的兩個端點分別與點
A，B 重合，直角三角板的直角頂點C 與點D，E 均在水平地面上，點 A，B，C ，D，E 在同一豎直平面
內．已知 AC = BC ， ACB = 90°，則兩面木墻之間的距離為（ ）
A．30cm B． 24cm C． 20cm D．18cm
2．（23-24 七年級下·寧夏中衛·期末）如圖，在VABC 中，AB = AC ，D 是 AB 邊的中點，E 是 AC 邊上一點，
過點 B 作BF∥ AC ，交ED的延長線于點 F，若 AD = 6，BF = 9 ，求CE的長 ．
3．（23-24 七年級下·陜西榆林·期末）如圖所示，在VABC 和VADE 中， AED = BCA，BC = DE ，
AC = AE ．過A 作 AG ^ DE 于點G ，BC 的延長線與DE 交于點F ，連接 AF ．
【問題提出】（1）試說明： AB = AD ；
5
【問題解決】（2）延長FE至點 H ，使EH = CF ，連接 AH ，若FG = ， AG = 4，求四邊形 ACFE的面積．
2
題型 07 添加條件使三角形全等
1．（23-24 七年級下·山東棗莊·期末）如圖， B ，E ，C ，F 四點在同一條直線上， AC = DE ，
ACB = DEF ，添加一個條件，不一定能使△ABC ≌△DFE 的是（ ）
A．BE = FC B． B = F C． AB = DF D． A = D
2．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，VABC 中，D 是 AB 上一點，CF ∥ AB，D、E、F 三點共線，請
添加一個條件 ，使得 AE = CE ．（只添一種情況即可）
3．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點 A、B、C、D 在同一條直線上， AE∥BF ， AE = BF ．
若________，則 AB = CD．
請從①CE∥DF ；②CE = DF ；③ E = F 這 3 個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結論成立，并
說明理由．
題型 08 靈活選用判定方法證全等
1．（23-24 七年級下·廣東揭陽·期末）在數學課上，老師給出三條邊長分別為 a，b，c 的VABC ，其三個內
角的度數如圖所示．下面是 4 名同學用不同方法畫出的 4 三角形，則根據圖中已知的條件判斷，其中不一
定與VABC 全等的是（ ）
A． B． C．
D．
2．（2024 八年級·全國·競賽）下圖網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點，以
格點為頂點的三角形稱為格點三角形．VABC 就是一個格點三角形，在如圖給定的網格中，能夠畫出
個與VABC 全等的格點三角形（不包括VABC ）．
3．（23-24 八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在VABC 和VDEF 中， B ，E ，C ，F 在同一條直線上．下面
四個條件：① AB = DE ；② AB∥DE ；③BE = CF ；④ A = D ．
(1)請選擇其中的三個作為條件，另一個作為結論，組成一個真命題（寫出兩種情況即可，填序號）．
①已知：_____________；求證：__________；
②已知：_____________；求證：_____________；
(2)在（1）的條件下，選擇一種情況進行證明．
題型 09 全等三角形綜合問題
1．（22-23 八年級上·重慶江北·期末）如圖，在VABC中， A = 60°， ABC 和 ACB 的平分線BD、CE相
交于點O，BD交 AC 于點D，CE交 AB 于點E ，若已知DABC周長為 20，BC = 7， AE : AD = 4 : 3，則 AE
長為（　　）
18 24 26
A． B． C7 ． D．47 7
2．（23-24 七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：如圖，在VABC 中，AD 平分 BAC 交BC 于點 D，且
AB = AC + CD，若BD = 5，CD = 2，則 AB = ．
3．（23-24 七年級下·河南鄭州·期末）已知在 VABC 中， C = 90°， AC = 5， BC = 8．點 D 為邊 BC 上一點，
且BD = AC ，過點 B 作射線BP ^ BC ，動點 E 從點 B 出發，以 1 個單位/秒的速度沿射線BP的方向運動，
連接DE ．
(1)如圖 1，當BE = CD時，線段 AD 與DE 相等嗎 請說明理由．
(2)當線段DE 與△ABD 的其中一邊垂直時，求出點 E 運動的時間 t 的值．
題型 10 角平分線的性質定理
1．（23-24 八年級下·陜西西安·期末）如圖，OP平分 AOB， PC ^ OA于點C ，點 D在OB上．若 PC = 2，
OD = 5，則VPOD的面積為（　　）
A．10 B．6 C．5 D．3
2．（23-24 七年級下·寧夏銀川·期末）如圖， AD 是VABC 的角平分線，DE ^ AB于點 E，且
DE = 3cm, AB = 4cm, AC = 6cm．則VABC 的面積為 cm2 ．
3．（24-25 八年級上·全國·單元測試）如圖，在VABC 中，點D在BC 邊上，連接 AD ，有 BAD =100°， ABC
的平分線 BE 交 AC 于點E ，過點E 作EF ^ AB交BA的延長線于點F ，且 AEF = 50°， C =10°，連接
DE ．求 EDC 的度數．
題型 11 角平分線的判定定理
1．（23-24 八年級下·陜西榆林·期末）如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°，點D在BC 上，連接 AD ，
S△ACD : S△ABD = AC : AB，若 B = 54°，則 BAD 的度數為（ ）
A． 20° B．16° C．18° D．36°
2．（2024·北京東城·一模）在Rt△ABC 中， A = 90°，點 D 在 AC 上，DE ^ BC 于點 E，且DE = DA，連
接DB．若 C = 20°，則 DBE 的度數為 °．
3．（2023·遼寧大連·模擬預測）判斷下面的證明過程是否正確，并說明理由．
已知：如圖，點D是射線 AP 上的一點，點E 、F 分別在 AB 、 AC 上，且DE＝DF ．
求證： AP 平分 BAC ．
證明：∵點D是射線 AP 上一點，且DE＝DF （已知），∴ AP 平分 BAC （在一個角的內部且到角兩邊距離
相等的點，在這個角的平分線上）．
題型 12 角平分線性質的實際應用
1．（24-25 八年級上·江蘇·假期作業）如圖，直線 l、l 、l 表示三條相互交叉的公路，現計劃建一個加油站，
要求它到三條公距離相等，則可供選擇的地址有（ ）
A．一處 B．二處 C．三處 D．四處
2．（2023·福建福州·模擬預測）如圖，在VABC 中，點O是 ABC ， ACB 的平分線的交點，AB + BC + AC =12，
過O作OD ^ BC 于點D，且OD = 2，則VABC 的面積是 ．
3．（22-23 七年級下·山東淄博·期末）如圖，某地有兩個村莊M ， N ，和兩條相交的公路OA，OB，現計
劃在 AOB 內修建一個物資倉庫 P ，希望倉庫到兩個村莊的距離相等，到兩條公路的距離也相等，請你確
定物資倉庫 P 的位置．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）
題型 13 垂直平分線的性質
1．（23-24 八年級下·四川成都·期末）如圖，DE 是VABC 的邊BC 的垂直平分線，分別交邊 AB ，BC 于點
D，E ，連接CD ，且 AB = 9， AC = 6 ，則VACD的周長是 ( 　　 )
A．12 B．15 C．16 D．18
2．（24-25 八年級上·全國·單元測試）如圖，在VABC 中， AB 的垂直平分線DM 交BC 于點D，邊 AC 的垂
直平分線EN 交BC 于點E ．已知VADE 的周長為8cm ，則BC 的長為 ；
3．（2024 七年級下·全國·專題練習）如圖，VABC 中， EF 垂直平分 AC ，交 AC 于點 F，交BC 于點 E，
AD ^ BC ，垂足為 D，且BD = DE，連接 AE ．
(1)求證： AB = EC ；
(2)若VABC 的周長為 20cm ， AC = 7cm ，則DC 的長為多少？
題型 14 垂直平分線的判定
1．（23-24 八年級上·湖南益陽·期末）如圖，在VABC 中，E 為 AB 邊的中點，過點 E 作ED ^ AB 交BC 于點
D，若 AE = 3，△ADC 的周長為 20，則VABC 的周長為（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
2．（18-19 八年級上·廣東潮州·期中）如圖， AD 是VABC 的角平分線，DE 、DF 分別是△ABD 和VACD的
高，則下列結論：
① EF 垂直平分 AD ；② AD ^ EF ；③ AE + DF = AF + DE ；④O為 EF 的中點．其中一定正確的是
（填序號）
3．（23-24 八年級下·陜西渭南·期中）如圖，E 是VABC 邊 AB 的延長線上一點， BCE = A + ACB．求證：
點E 在BC 的垂直平分線上．
A 夯實基礎
1．（23-24 七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖是用直尺和圓規作已知角的平分線的示意圖，則說明△ADF
和VADE 的全等的依據是（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
2．（23-24 七年級下·廣東佛山·階段練習）如圖，OC 平分 AOB ，點 P 是射線OC 上一點，PM ^ OB 交于
點 M，點 N 是射線OA上的一個動點，連接PN ．若PM = 6，則PN 的長度不可能是（ ）
A．18 B．7.2 C．6 D． 4.5
3．（23-24 七年級下·山西太原·期末）如圖， 1 = 2， AD = AB ，要使VADE≌VABC ，則可添加的一個條
件是 （寫出一個即可）．
4．（23-24 八年級上·浙江紹興·期末）如圖，已知點 E, F 在 AC 上， AE = CF ， BE∥ DF ，添加一個條件，
使△ADF ≌△CBE ．你所添加的條件是 ．（只需寫一個即可）
5．（2024·陜西·模擬預測）如圖，在 VABC 中，點 D在邊 BC 上， BD = AC ， DE = CB， DE∥ AC ．求證：
BED = ABC ．
6．（23-24 七年級下·陜西咸陽·階段練習）如圖，D是VABC 邊 AB 上的一點，點E 是 AC 的中點，連接DE
并延長至點F ，使EF = DE ，連接CF ．試說明：CF = AD．
B 能力提升
1．（23-24 七年級下·遼寧沈陽·階段練習）小軒用如圖所示的方法測量小河的寬度．他利用適當的工具，使
AB∥CD, BO = OC ，點 A、O、D在同一直線上，就能保證△ABO≌△DCO ，從而可通過測量CD 的長度得
知小河的寬度 AB ．在這個問題中，可作為證明△ABO≌△DCO 的依據的是（ ）
A．SAS 或 SSS B．AAS 或 SSS
C．ASA 或 AAS D．ASA 或 SAS
2．（23-24 七年級下·四川成都·期末）如圖，在VABC 和VDEF 中，點 B，F，C，E 在同一直線上，
B = E, BF = CE ，只添加一個條件，不能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A． AB = DE B． AC = DF C． A = D D． ACB = DFE
3．（23-24 九年級下·重慶開州·階段練習）如圖，在RtVABC 中， BAC = 90°， AB = AC ，點D為BC 上一
點，連接 AD ．過點 B 作 BE ^ AD于點 E ，過點C 作CF ^ AD 交 AD 的延長線于點 F ．若 BE = 5，CF = 2，
則EF 的長度為 ．
4．（23-24 七年級下·河南鄭州·期末）如圖，VABC 中， AC 的垂直平分線交BC 于點 E，若VABE 的周長
14，VABC 的周長 24，則CD = ．
5．（23-24七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，VABC 和VDEF 中，點 A，D，B，E 在一條直線上， ABC = DEF ．
(1)給出以下 3 個條件：① AD = BE ，② AC∥DF ，③ C = F 從中選擇兩個作為條件，另外一個作為結
論．你選擇的條件是______，結論是______（填序號）．
(2)請證明你的結論．
6．（2024·浙江舟山·一模）如圖，在VABC 中， B = 40°， C = 25°，過點A 作 AD ^ BC ，垂足為D，延
長DA至E ．使得 AE = AC ．在邊 AC 上截取 AF = AB ，連結EF ．
(1)求∠EAF 的度數．
(2)求證：EF = BC ．
C 綜合素養
1．（23-24 七年級下·安徽宿州·期末）如圖，將兩塊相同的三角板（含30°角）按圖中所示位置擺放，若 BE
交CF 于點D, AC 交 BE 于點M , AB交CF 于點 N ，則下列結論中錯誤的是（ ）
A． EAC = FAB B．CM = BN
C．VACN≌VABM D．FN = DN
2．（23-24 七年級下·上海浦東新·期末）如圖，在△ACB中， ACB = 90°，VABC 的角平分線 AD 、 BE 相交
于點 P ，過 P 作PF ^ AD 交BC 的延長線于點F ，交 AC 于點 H ． 有下列結論：① APB =135°；②
△ABP≌△FBP；③ AHP = ABC ；④ AH + BD = AB ；其中正確的個數是（　　）
A．1個 B． 2個 C．3個 D． 4個
3．（24-25 八年級上·全國·假期作業）如圖，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC ，BD ^ CE
于D， AE ^ CE 于E ，DE = 4cm，BD = 6cm，則 AE 的長是 cm．
4．（23-24 七年級下·遼寧遼陽·期末）如圖，在四邊形 ABCD中， AB = AD ， BAD =140°， AB ^ CB于點
B， AD ^ CD 于點 D，E、F 分別是CB、CD 上的點，且 EAF = 70°，下列說法①DF = BE ；②FA平分
DFE ；③ AE 平分 FAB；④CF + CE > FD + EB ．其中正確的是 ．（填寫正確的序號）
5．（2024 七年級下·浙江·專題練習）【基礎鞏固】如圖 1，已知 AC ^ AB，BD ^ AB 垂足分別為點 A，B．若
AC = PB，
AP = BD，探究PC 與PD的關系，并說明理由．
【嘗試應用】如圖 2， AB = 9cm，AC ^ AB，BD ^ AB 垂足分別為點 A，B， AC = 7cm ．點 P 在線段 AB 上
以 2cm/s的速度由點 A 向點 B 運動，同時點 Q 在射線BD上以同樣的速度運動，它們運動的時間為（t s）（當
點 P 運動結束時，點 Q 運動隨之結束）．當 t =1時，判斷此時線段PC 和線段 PQ的關系，并說明理由．
【拓展提高】如圖 3，在【嘗試應用】的基礎上，把“ AC ^ AB，BD ^ AB ”改為“ CAB = DBA ”，若點 Q
的運動速度為 xcm / s ，其它條件不變，當點 P，Q 運動到何處時有△ACP與VBPQ全等，求出相應的 x 的
值．
6．（23-24 七年級下·山東濟南·期中）閱讀下列材料，完成相應任務．
數學活動課上，老師提出了如下問題：
如圖 1，已知VABC 中， AD 是BC 邊上的中線．求證： AB + AC＞2AD
智慧小組的證法如下：
證明：如圖 2，延長 AD 至 E，使DE = AD，
∵ AD 是BC 邊上的中線，
∴BD = CD，
ìBD = CD

在△BDE 和△CDA 中， í BDE = CDA，

DE = DA
∴△BDE≌△ CDA（依據 1），
∴BE = CA，
在VABE 中， AB + BE＞AE （依據 2），
∴ AB + AC＞2AD ．
(1)任務一：上述證明過程中的“依據 1”和“依據 2”分別是指：
依據 1： ；依據 2： ．
【歸納總結】
上述方法是通過延長中線 AD ，使DE = AD，構造了一對全等三角形，將 AB ， AC ， AD 轉化到一個三角
形中，進而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關
系．
(2)任務二：如圖 3， AB = 6， AC = 8，則 AD 的取值范圍是 ；
A．6＜AD＜8； B． 6 AD 8； C． 1＜AD＜7
(3)任務三：利用“倍長中線法”，解決下列問題．
如圖 4，RtVABC
1
中， BAC = 90°，D 為BC 中點，求證： AD = BC ．
2

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