資源簡介

第 05 講 逆命題和逆定理（1 個知識點+5 大題型+18 道強化訓
練）
課程標準 學習目標
1.逆命題逆定理的概念；
1.掌握逆定理與逆命題的概念；
2.證明的過程；
2.學會正確書寫證明過程；
3.互逆命題的概念；
知識點 01：定義、命題與證明
1.定義：能清楚地規定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義。
2.命題：定義：判斷某一件事情的句子
結構：由條件和結論兩部分組成。
句式改寫：如果……那么……
分類：真命題 通過推理的方式來判斷、人們經過長期實踐公認為正確的
假命題 通過舉反例(具備命題的條件但不具備命題的結論的實例)
3.互逆命題 原命題、逆命題 互逆定理 原定理、逆定理
每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題不一定是真命題。
4.證明：從命題的條件出發，根據已知的定義、基本事實、定理(包括推論)、一步一步推得
結論成立的推理過程。
證明幾何命題的格式：(1)按題意畫出圖形(2)分清命題的條件和結論，結合圖形，在已知中
寫出條件，在求證中寫出結論(3)在證明中寫出推理過程。
在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫
成虛線。
【即學即練 1】可取下面哪組值說明“如果 a = b，那么 a = b ”的逆命題是假命題（ ）
A． a = -1，b =1 B． a = -1，b = -1 C． a =1，b = 2 D． a =1，b =1
【答案】A
【分析】先寫出原命題的逆命題，再根據絕對值的性質判斷即可．
【詳解】解：命題“如果 a = b，那么 a = b ”的逆命題是如果 a = b ，那么 a = b，
當 a = -1，b =1時， a = b ，而 a b ，說明如果 a = b ，那么 a = b是假命題，
故選：A．
【點睛】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確理解絕對值的性質是解題的關鍵．
【即學即練 2】（下列命題中，逆命題是真命題的是（　?。?br/>A．對頂角相等 B．全等三角形的面積相等
C．平行四邊形的對角線互相平分 D．如果 a = b，那么 a2 = b2
【答案】C
【分析】利用對頂角定義、全等三角形性質和判定、平行四邊形的判定和等式基本性質進行判斷即可．
【詳解】解：A、“對頂角相等”的逆命題是“相等的角為對頂角”，錯誤，為假命題，不符合題意；
B、“全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形全等”，錯誤，為假命題，不符合題意；
C、“平行四邊形的對角線互相平分”的逆命題是“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”，正確，為真命題，
符合題意；
D、“如果 a = b，那么 a2 = b2 ”的逆命題是“如果 a2 = b2 ，那么 a = b ”，錯誤，為假命題．
故選：C．
【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解有關的定義及定理．
題型 01 寫出一個命題的已知、求證及證明過程
1．命題：在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線互相平行，畫出圖形，寫出該命題的已知、求證，并
證明．
【答案】見解析
【分析】本題考查命題與證明，平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定定理，屬于中考?？?br/>題型．
寫出已知，求證，根據同位角相等兩直線平行即可證明．
r r
【詳解】解：已知： a ^ b， a ^ c ，
求證：b∥c，
證明：Q a ^ b，
\ 1 = 90° ．
Qa ^ c ，
\ 2 = 90°，
\ 1= 2，
\b∥c．
2．命題：直角三角形的兩銳角互余．
(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：______；
(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明
過程．
【答案】(1)如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余
(2)該命題是真命題，詳見解析
【分析】本題考查的是直角三角形的性質，逆命題的概念：
（1）根據逆命題的概念寫出原命題的逆命題；
（2）根據三角形內角和定理計算，即可證明．
【詳解】（1）解：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；
故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余
（2）解：該命題是真命題
已知：如圖，在VABC 中， B = 90°
求證： A + C = 90°
證明：Q A + B + C = 180°
\ A + C = 180° - B
Q B = 90°
\ A + C =180° - 90° = 90°．
3．如圖，VABC中，點D，F 在邊 上，點G ，E 分別在邊 AC ，BC 上，連接DG ，DC ，EF ．①
EF ^ AB，CD ^ AB ；② DGA = BCA；③DG 平分 ADC ；④ B = BEF ，請你從上面四個選項中任
選出三個作為條件，另一個作為結論，組成一個真命題，并加以證明．
你選擇的條件；________，結論：_____(填序號)．
【答案】①②③；④，證明見解析
【分析】本題考查了命題，平行線的性質與判定，角平分線的定義，垂線的定義；
選擇①②③為條件，④為結論組成一個命題．先由①得到DG ∥ BC ，則根據平行線的性質得到
ADG = B ， GDC = BCD，再有②得到 ADG = GDC ，所以 B = DCB ，接著由③得到 EF ∥ ，
然后根據平行線的性質得到 BCD = BEF ，然后利用等量代換得到 B = BEF ．
【詳解】解：選擇的條件：①②③，結論：④．
證明如下：Q DGA = BCA，
\DG ∥ BC ，
\ ADG = B， GDC = BCD，
QDG平分 ADC ，
\ ADG = GDC ，
\ B = DCB，
QEF ^ AB ，CD ^ AB ，
\EF ∥ ，
\ BCD = BEF ，
\ B = BEF ．
故答案為：①②③；④．
4．如圖，已知點A 、D、C 、F 在同直線上，有下列關系式：① AB = DE ，②BC = EF ，③ AD = CF ，④
BC∥EF
(1)請從中選擇三個作為已知條件，余下一個作為結論，寫出一個真命題：如果_______________，那么
_______________．（填寫序號）
(2)證明（1）中命題的正確性．
【答案】(1)①②③，④
(2)見解析
【分析】本題考查全等三角形判定及性質，平行線判定．
（1）根據題意利用①②③即可判定出△ABC ≌△EDF ，再利用全等性質及平行線性質即可得到④結論．
（2）利用（1）中條件證明即可．
【詳解】（1）解：真命題：如果 AB = DE ，BC = EF ， AD = CF ，那么BC∥EF ；
∴①②③，④；
（2）解：∵ AD = CF ，
∴ AD + DC = CF + CD，
∴ AC = FD，
在VABC 和VEDF 中，
ì AB = DE

íBC = EF ，

AC = FD
∴△ABC ≌△EDF （SSS），
∴ BCA = F ，
∴BC∥EF ．
5．求證：等腰三角形兩腰上的高相等．
(1)畫出適合題意的圖形，并結合圖形寫出已知和求證．
(2)給出證明．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據題意畫出圖形，寫出已知和求證即可；
（2）通過角角邊證明兩個含高的三角形全等，從而得出對應邊（高）相等．
【詳解】（1）解：已知：如圖，VABC 中，AB = AC，BD ^ AC于點 D，CE ^ AB 于點 E．
求證：BD = CE ．
（2）證明：QBD ^ AC 于點 D，CE ^ AB 于點 E，
\ ADB = AEC = 90°，
Q A = A，AB = AC ，
∴△ABD≌△ACE AAS ，
∴BD = CE ．
【點睛】本題考查全等三角形在證明三角形兩腰上的高相等的應用，掌握角角邊的證明方法是本題關鍵．
題型 02 根據給出的論斷組命題并證明
6．如圖，現有以下 3 個論斷：① AB∥CD ；② B＝ C ；③ E＝ F ．請以其中 2 個論斷為條件，另一
個論斷為結論構造命題．
(1)請寫出所有的真命題；
(2)請選擇其中一個命題加以證明．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】（1）分別以其中 2 個論斷為條件，第 3 個論斷為結論可寫出 3 個命題；
（2）根據平行線的判定與性質對命題進行證明即可．
【詳解】（1）解：命題 1：由①②得到③；
命題 2：由①③得到②；
命題 3：由②③得到①；
（2）命題 1 證明如下：
∵ AB∥CD ，
∴ B＝ CDF ，
∵ B＝ C ，
∴ C＝ CDF ，
∴CE∥BF ，
∴ E＝ F ；
命題 2 證明如下：
∵ AB∥CD ，
∴ B＝ CDF ，
∵ E＝ F ，
∴CE∥BF ，
∴ C＝ CDF ，
∴ B＝ C ；
命題 3 證明如下：
∵ E＝ F ，
∴CE∥BF ，
∴ C＝ CDF ，
∵ B＝ C ，
∴ B＝ CDF ，
∴ AB∥CD ．
【點睛】本題主要考查命題與定理知識，平行線的判定與性質，熟練運用平行線的判定與性質是解答此題
的關鍵．
7．如圖，在三角形 ABC 中，點D在邊BC 的延長線上，射線CE在 DCA的內部．給出下列信息：①
AB∥CE ；②CE平分 DCA；③ A = B ．請選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結論
組成一個真命題，并說明理由．
【答案】答案見詳解
【分析】根據平行線性質及判定，角平分線定義及等量代換即可得到證明；
【詳解】解：選擇①②作為條件，③作為結論．理由如下：
∵ AB∥CE ，
∴ A = ECA， B = ECD ，
∵ A = B ，
∴ ECA = ECD ，
∴CE平分 DCA；
選擇①③作為條件，②作為結論．理由如下：
∵ AB∥CE ，
∴ A = ECA， B = ECD ，
∵CE平分 DCA，
∴ ECA = ECD ，
∴ A = B ；
選擇②③作為條件，①作為結論．理由如下：
∵CE平分 DCA，
∴ ECA = ECD ，
∵ A = B ， A + B = ACD = ECD + ECA，
∴ A = ECA = B = ECD，
∴ AB∥CE ；
【點睛】本題考查書寫命題，平行線的性質與判定及角平分線的定義，解題的關鍵是正確書寫命題．
8．數學證明是一個嚴謹的過程，例如在證明命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”時，我們
進行了分類討論，使證明過程完整且正確．下面是小明同學根據題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知
和求證．
已知：如圖，直線 l 為線段 AB 的垂直平分線，點 P 為 l 上一點．
求證：______________________．
請你補全求證，并寫出證明過程．
【答案】PA = PB ，證明過程見解析
【分析】根據垂直的定義和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【詳解】求證：PA = PB ，
證明：如圖，設直線 l與 AB 的交點為D，
Q直線 l為線段 AB 的垂直平分線，
\PD ^ AB， AD = BD ，
\ ADP = BDP = 90°，
在DAPD 與DBPD 中，
ìAD = BD

í ADP = BDP，

PD = PD
∴VAPD @VBDP （SAS），
\PA = PB．
故答案為：PA = PB ．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性
質定理是解題的關鍵．
9．如圖，有下列三個條件：①DE//BC；② 1 = 2；③ B = C ．
(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都
寫出來；
(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的
假命題舉出一個反例（溫馨提示： B + C + BAC =180°）
【答案】(1)一共能組成三個命題，見解析
(2)都是真命題，推理見解析
【分析】（1）（1）根據兩條件一結論組成命題，可得答案；
（2）根據平行線的性質，可判定①②，根據平行線的判定，可判定③，即可
【詳解】（1）解：一共能組成三個命題：
①如果 DE//BC， 1 = 2，那么 B = C ；
②如果 DE//BC， B = C ，那么 1 = 2；
③如果 1 = 2， B = C ，那么 DE//BC ；
（2）解：都是真命題，
如果 DE//BC， 1 = 2，那么 B = C ，
理由如下：∵DE//BC，
∴ 1 = B， 2 = C
∵ 1 = 2，
∴ B = C ．
如果 DE//BC， B = C ，那么 1 = 2；
理由如下：∵DE//BC，
∴ 1 = B， 2 = C ，
∵ B = C ，
∴ 1 = 2；
如果 1 = 2， B = C ，那么 DE//BC ；
理由如下：∵ B + C + BAC =180°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵ 1 = 2， B = C ，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，判斷命題的真假，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．
10．如圖，已知直線EF∥GH ，給出下列信息：
① AC ^ BC ；②BC 平分 DCH ；③ ACD = DAC ．
(1)請在上述 3 條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個真命題，你選擇的條件
是 ，結論是 (只要填寫序號)，并說明理由．
(2)在（1）的條件下，若 ACG比 BCH 的 2倍少3度，求 DAC 的度數．
【答案】(1)①②；③；理由見解析
(2)59°
【分析】（1）由角平分線的定義可得 BCD = BCH ，再根據等角的余角相等可得出 ACD = ACG ，再
由平行線的性質可得 ACG = DAC ，從而結論得證；
（2）由（1）得： ACG + BCH = 90°，根據 ACG比 BCH 的 2倍少3度，可得關系式
ACG = 2 BCH - 3°，求得 BCH = 31°， ACG = 59°，再根據 DAC = ACG 即可得到 DAC 的度數．
【詳解】（1）解：條件：①②，結論：③．理由如下：
∵BC 平分 DCH ，
∴ BCD = BCH ，
∵ AC ^ BC ，
∴ ACD + BCD = 90°， ACG + BCH = 90°，
∴ ACD = ACG ，
∵EF∥GH ，
∴ ACG = DAC ，
∴ ACD = DAC ．
故答案為：①②；③．
（2）由（1）得： ACG + BCH = 90°，
∵ ACG比 BCH 的 2倍少3度，
∴ ACG = 2 BCH - 3°，
∴ 2 BCH - 3° + BCH = 90°，
解得： BCH = 31°，
∴ ACG = 90° - BCH = 59°，
∴ DAC = ACG = 59°．
∴ DAC 的度數59°．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，等角的余角相等，平行線的性質，解方程組等知識．理解和掌握平
行線的性質，等角的余角相等是解題的關鍵．
題型 03 寫出命題的逆命題
11．寫出下列命題的逆命題，并在后面的括號里判斷逆命題是否正確．
(1)同旁內角互補，兩直線平行；
________（_________）
(2)全等三角形的對應角相等．
_______（_______）
【答案】(1)兩直線平行，同旁內角互補；正確
(2)對應角相等的三角形全等；不正確
【分析】本題考查了原命題與逆命題，以及判斷命題的真假，將原命題的題設與結論互換，即可得到原命
題的逆命題，繼而利用定理判斷命題的真假即可．
【詳解】（1）解：逆命題為：兩直線平行，同旁內角互補，
根據平行線的性質定理即可判斷這是真命題；
故答案為：兩直線平行，同旁內角互補，正確；
（2）逆命題為：對應角相等的三角形全等，
根據全等三角形的判定定理可知這是假命題，
故答案為：對應角相等的三角形全等，不正確；
12．如圖．
(1)在四邊形 ABCD中，VABC 與△ADC 的面積相等，求證：直線 AC 必平分BD
(2)寫出（1）的逆命題，并判斷這個命題是否正確，為什么
【答案】(1)見解析
(2)逆命題為：若四邊形 ABCD的對角線 AC 平分對角線BD，則 AC 必將四邊形分成面積相等的兩個三角
形．通過證明，判定是真命題
【分析】（1）過點B作BE ^ AC 于點E，過點D作DF ^ AC 于點F ，設 AC 與BD的交點為點G，證明BE = DF ，
再證明VEGB≌VFGD AAS ，得到GB = GD ，即可證明直線 AC 平分BD．
（2）根據題意，其逆命題為：若四邊形 ABCD的對角線 AC 平分對角線BD，則 AC 必將四邊形分成面積相
等的兩個三角形．通過證明，判定是真命題．
本題考查了三角形全等的判定和性質，逆命題的書寫與真假判定，熟練掌握三角形全等的判定和性質是解
題的關鍵．
【詳解】（1）證明：過點 B 作BE ^ AC 于點 E，過點 D 作DF ^ AC 于點 F ，設 AC 與BD的交點為點 G，
∵VABC 與△ADC 的面積相等，
1
∴ ACgBE
1
= ACgDF ，
2 2
∴BE = DF ，
ì BGE = DGF

∵ í BEG = DFG = 90°

BE = DF
∴VEGB≌VFGD AAS ．
∴GB = GD ，
∴直線 AC 平分BD．
（2）解：根據題意，其逆命題為：若四邊形 ABCD的對角線 AC 平分對角線BD，則 AC 必將四邊形分成面
積相等的兩個三角形．
證明：過點 B 作BE ^ AC 于點 E，過點 D 作DF ^ AC 于點 F ，設 AC 與BD的交點為點 G，
∵直線 AC 平分BD，
∴GB = GD ，
ì BGE = DGF

∵ í BEG = DFG = 90°

BG = DG
∴VEGB≌VFGD AAS ，
∴BE = DF ，
1
∴ ACgBE
1
= ACgDF ，
2 2
∴VABC 與△ADC 的面積相等．
故逆命題是真命題．
13．（1）已知：如圖①， BPC = B + C ，求證： AB∥CD ．
（2）小明在探究時發現，該命題的逆命題也成立，直接寫出逆命題為　　　　　
（3）小明發現當 AB∥CD 時，改變點 P 的位置（點 P 不在 AB、CD上）， BPC、 B、 C 三個角的數量
關系隨之而變化，請利用下面的備用圖進行探究，畫出示意圖，直接寫出對應的三個角的數量關系（寫兩
個即可）．
【答案】（1）見解析；（2）如果 AB∥CD ，那么 BPC = B + C ；（3） BPC + B + C = 360°或
BPC = C－ B或 BPC = B－ C ，示意圖見解析
【分析】本題考查了平行線的判定與性質，逆命題，準確作出輔助線是解答本題的關鍵．
（1）根據平行線性質可證得 C = CPE ，從而得出結論；
（2）寫出命題的逆命題即可；
（3）分三種情況，分別作出示意圖根據平行線的性質得出結論．
【詳解】（1）證明：如圖，過點 P 作PE∥ AB ，
\ BPE = B，
又Q BPC = B + C = BPE + CPE ，
\ C = CPE ，
\PE∥CD ，
\ AB∥CD；
（2）如果 BPC = B + C ，那么 AB∥CD ，的逆命題為：如果 AB∥CD ，那么 BPC = B + C ，
故答案為：如果 AB∥CD ，那么 BPC = B + C ；
（3）①如圖， BPC + B + C = 360°，理由如下：過點 P 作PE∥ AB ，
\ B + BPE = 180°，
Q AB∥CD，PE P AB ，
\PE∥CD ，
\ C + CPE =180°，
Q BPC = BPE + CPE =180° - B +180° - C ，
\ BPC + B + C = 360°；
②如圖， BPC = C－ B，理由如下：過點 P 作PE∥ AB ，
\ BPE = B，
Q AB∥CD，
\PE∥CD ，
\ CPE = C ，
Q BPC = CPE - BPE ，
\ BPC = C－ B ；
③如圖， BPC = B - C ，理由如下：過點 P 作PE∥ AB ，
\ B + EPB =180°，
Q AB∥CD，PE P AB ，
\PE∥CD ，
\ C + EPC = 180°，
Q BPC = EPC - EPB ，
\ BPC = 180° - C - 180° - B = B - C ．
14．（1）已知，如圖在VABC 中，點E 在 AC 上，點F 在BC 上，點D、G 在 AB 上，FG∥CD ，
BFG = CDE ．求證： AED = ACB；
（2）你在（1）的證明過程中應用了哪兩個互逆的真命題？
【答案】（1）見解析；（2）兩直線平行，同位角相等和同位角相等，兩直線平行
【分析】本題考查的是平行線的判定和性質，掌握平行線的判定定理和性質定理是解題的關鍵．
（1）根據平行線的性質得到 BFG = BCD，等量代換得到 BCD = CDE ，證明DE∥BC ，根據兩直線平
行，同位角相等證明即可；
（2）根據平行線的判定和性質、互逆命題的概念解答．
【詳解】（1）證明：QFG ∥CD，
\ BFG = BCD ，
Q BFG = CDE ，
\ BCD = CDE ，
\DE∥BC ，
\ AED = ACB ；
（2）在（1）的證明過程中應用的兩個互逆的真命題是兩直線平行，同位角相等和同位角相等，兩直線平
行．
15．【閱讀理解】
如果把一個命題（記作 p ）的題設和結論交換位置，得到另一個命題（記作 q），那么這兩個命題叫做互逆
命題，其中命題 p 稱為原命題，命題 q稱為原命題的逆命題．
例如：原命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”．
【解決問題】
給出命題 p :“如果 a = b，那么 a = b ．”
(1)寫出命題 p 的題設和結論，及逆命題 q．
(2)判斷命題 q是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出一個反例進行說明．
【答案】(1) a = b是題設， a = b 是結論；逆命題 q是：如果 a = b ，那么 a = b
(2)假命題，見解析．
【分析】本題考查了命題：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，
只需舉出一個反例即可．
（1）命題的題設為 a = b，“那么”后面為結論，再交換題設和結論得到原命題的逆命題；
（2）命題 q是假命題，舉出一個反例進行說明即可．
【詳解】（1）解：∵命題 p :“如果 a = b，那么 a = b ．
∴ a = b是題設， a = b 是結論；
逆命題 q是：如果 a = b ，那么 a = b．
（2）解：命題 q是假命題，
反倒： a = 3，b = -3，3 = -3 ，但是 3 不等于-3．
題型 04 定理與證明
16．現實生活中的交流、游戲等活動，也得選定一些大家認可的結論、規則作為出發點，這不正是《原本》
的思想嗎！試找出幾個這樣的生活實例，與同伴進行交流．
【答案】見解析．
【分析】根據生活實例，言之有理即可．
【詳解】具體例子很多，如象棋比賽中，有關游戲規則就相當于其公理．
【點睛】此題主要考查公理的定義、特點，解題的關鍵是根據實際生活找到例子．設計這一習題的目的在
于，讓學生更好地體會公理化思想．
17．（1）已知：如圖，直線 AB、CD、EF 被直線 BF 所截， B + 1 =180°， 2 = 3．求證：
B + F = 180°；
（2）你在（1）的證明過程中應用了哪兩個互逆的真命題．
【答案】（1）見解析；（2）同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．
【分析】（1）利用同旁內角互補，兩直線平行和內錯角相等；兩直線平行判斷 AB∥CD，CD∥EF，則利用
平行線的傳遞性得到 AB∥EF，然后根據平行線的性質得到結論；
（2）利用了平行線的判定與性質定理求解．
【詳解】（1）證明：∵∠B＋∠1＝180°，
∴AB∥CD，
∵∠2＝∠3，
∴CD∥EF，
∴AB∥EF，
∴∠B＋∠F＝180°；
（2）解：在（1）的證明過程中應用的兩個互逆的真命題為：同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，
同旁內角互補．
【點睛】本題考查了命題與定理：命題的“真”“假”是就命題的內容而言．任何一個命題非真即假．要說明一
個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．
18．如圖， AB = CB，BE = BF ， 1 = 2，求證： AE = CF ．
【答案】見解析
【分析】由 1 = 2得到 ABE = CBF ，然后根據 SAS，得到DABE≌DCBF ，然后得到結論成立.
【詳解】證明：∵ 1 = 2（已知），
∴ 1+ FBE = 2 + FBE （等式的性質），
即 ABE = CBF ．
在DABE 和DCBF 中，
ìAB = CB(已知)，

í ABE = CBF (已證)，

BE = BF (已知)，
∴DABE≌DCBF (SAS)．
∴ AE = CF （全等三角形的對應邊相等）．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，解題的關鍵是得到 ABE = CBF .
19．說出定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題并證明這個逆命題是真命題.
【答案】見解析.
【分析】把原命題的題設與結論交換得到逆命題，然后寫出已知、求證，利用三角形全等的方法證明逆命
題為真命題即可.
【詳解】解：“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題為“到線段兩端的距離相等的點在線
段的垂直平分線上”.此逆命題為真命題；
已知:如圖，CA=CB.
求證:點 C 在線段 AB 的垂直平分線上.
證明:作 CD⊥AB.∵∠ADC=∠BDC=90°，
ìCD = CD，
在 Rt△ADC 和 Rt△BDC 中， í
AC = BC，
∴RtVADC≌RtVBDC ，∴AD=BD，
∴CD 垂直平分 AB，即點 C 在線段 AB 的垂直平分線上.
【點睛】本題考查了命題與定理、逆命題，有些命題的正確性是用推理證實的，熟練掌握文字證明題的解
題步驟是關鍵.
20．請寫出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題，并進行證明：
【答案】見解析.
【分析】先寫出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題，再根據等腰三角形的性質得出
A = ACD ， BCD = B，根據三角形的內角和定理得出 BCD + B + A + ACD =180o，代入即
可求出 BCD + ACD = 90o ，即 ACB = 90o ，即可推出答案．
【詳解】逆命題是：如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．
1
已知，如圖，VABC中，D 是 AB 邊的中點，且CD = AB，
2
求證：VABC是直角三角形
1
證明：QD是 AB 邊的中點，且CD = AB，
2
\AD = BD = CD，
QAD = CD，
\ ACD = A，
QBD = CD ，
\ BCD = B，
又Q ACD + BCD + A + B =180o ，
\2 ACD + BCD =180o ，
\ ACD + BCD = 90o，
\ ACB = 90o ，
\VABC 是直角三角形．
【點睛】此題考查的是命題與定理，熟練掌握等腰三角形的性質及三角形的內角和定理的運用是解題的關
鍵．
題型 05 互逆定理
21．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，寫出它的逆定理．
(1)同旁內角互補，兩直線平行．
(2)三角形的兩邊之和大于第三邊．
【答案】(1)有，逆定理是：兩直線平行，同旁內角互補
(2)有，逆定理是：如果三條線段中，任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度，那么這三條線段能圍
成三角形
【分析】（1）先寫出逆命題，再根據平行線的性質判斷逆命題的真假，進而可得出結論；
（2）先寫出逆命題，再根據三角形的三邊關系判斷逆命題的真假，進而可得出結論．
【詳解】（1）解：逆命題是：兩直線平行，同旁內角互補，是真命題，
故原定理有逆定理：兩直線平行，同旁內角互補；
（2）解：逆命題為：如果三條線段中，任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度，那么這三條線段能
圍成三角形，是真命題，
故原定理有逆定理：如果三條線段中，任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度，那么這三條線段能
圍成三角形．
【點睛】本題考查了逆定理的定義、平行線的性質、三角形的三邊關系，解答的關鍵是理解逆定理的定義：
如果一個定理的逆命題被證明是真命題，那么就叫它是原定理的逆定理．
22．下列說法對嗎？請說明理由．
(1)每個定理都有逆定理．
(2)每個命題都有逆命題．
(3)假命題沒有逆命題．
(4)真命題的逆命題是真命題．
【答案】(1)說法錯誤，理由見解析
(2)說法正確，理由見解析
(3)說法錯誤，理由見解析
(4)說法錯誤，理由見解析
【分析】利用逆定理、逆命題的定義進行求解即可．
【詳解】（1）解：說法錯誤，理由如下：
每個定理不一定有逆定理，若一個定理有逆定理，那么它的逆命題是真命題；
（2）解：說法正確，理由如下：
每個命題都有逆命題，只需要將原命題的題設和結論互換即可得到原命題的逆命題；
（3）解：說法錯誤，理由如下：
每個命題都有逆命題，只需要將原命題的題設和結論互換即可得到原命題的逆命題；
（4）解：說法錯誤，理由如下：
每個命題都有逆命題，只需要將原命題的題設和結論互換即可得到原命題的逆命題，原命題為真命題，但
是逆命題不一定是真命題，例如：原命題為“對頂角相等”是真命題，逆命題為“相等的角為對頂角”是假命題．
【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解命題、逆命題、互逆命題的定義，難度不大．
23．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，說出它的逆定理．
(1)等腰三角形的兩個底角相等．
(2)內錯角相等，兩直線平行．
(3)對頂角相等．
【答案】(1)有逆定理，逆定理為：兩個底角相等的三角形是等腰三角形
(2)有逆定理，逆定理為：兩直線平行，內錯角相等
(3)沒有逆定理
【分析】先寫出對應命題的逆命題，然后判斷真假即可得到答案．
【詳解】（1）解：命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題為“兩個角相等的三角形是等腰三角形”，是真
命題，故定理“等腰三角形的兩個底角相等”有逆定理；
（2）解：命題“內錯角相等，兩直線平行”的逆命題為“兩直線平行，內錯角相等”，是真命題，故定理“內錯
角相等，兩直線平行”有逆定理；
（3）解：命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”，是假命題，
故定理“對頂角相等”沒有逆定理．
【點睛】本題主要考查了互逆命題和互逆定理，正確寫出每個命題的逆命題并判斷真假是解題的關鍵．
24．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，請寫出逆定理．
(1)同旁內角互補，兩直線平行．
(2)三邊對應相等的兩個三角形全等．
【答案】(1)有，逆定理見解析；
(2)有，逆定理見解析．
【分析】（1）先寫出各命題的逆命題，在判斷真假即可解答；
（2）先寫出各命題的逆命題，在判斷真假即可解答．
【詳解】（1）定理“同旁內角互補，兩直線平行”有逆定理，逆定理是“兩直線平行，同旁內角互補”．
（2）定理“三邊對應相等的兩個三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形
的三邊對應相等．”
【點睛】本題考查平行線的性質與判定兩直線平行的方法，熟記平行線的性質與判定方法是關鍵．
25．寫出“相等的角是內錯角”這個命題的逆命題，并判斷原命題和逆命題是不是互逆定理．
【答案】“相等的角是內錯角”的逆命題為“內錯角相等”．原命題與逆命題都是假命題，所以不是互逆定理．
【分析】根據逆命題的定義：把原命題的結論作為條件，把原命題的條件作為結論，所組成的命題是原命
題的逆命題；如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題也是一個定理，這兩個定理稱為互逆定
理，進行求解即可．
【詳解】解：“相等的角是內錯角”這個命題的逆命題是：“內錯角相等”．原命題：相等的角不一定是內錯角，
是假命題；內錯角也不一定是相等的，也是假命題；原命題與逆命題都是假命題，所以不是互逆定理．
【點睛】本題主要考查了逆命題與互逆定理，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．
1．下列命題的逆命題是真命題的命題有（ ）
①全等三角形的對應角相等；②對頂角相等；③等角對等邊；④兩直線平行，同位角相等；⑤全等三角形
面積相等
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】B
【分析】本題主要考查了逆命題的定義及真假性，首先寫出各個命題的逆命題，再進一步判斷真假．
【詳解】①逆命題是：三個角對應相等的兩個三角形全等，假命題；
②逆命題是：相等的角是對頂角，假命題；
③逆命題是等邊對等角，真命題；
④逆命題是同位角相等，兩條直線平行，真命題；
⑤逆命題是面積相等兩三角形全等，假命題．
故選：B．
2．已知下列命題：①若 a2 < b2 ，則 a < b ；②若a + b = 0，則 a = b ；③三個內角相等的三角形是等邊三角
形；④底角相等的兩個等腰三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（ ）
A．4 個 B．3 個 C．2 個 D．1 個
【答案】D
【分析】本題考查了判斷命題的真假和逆命題，熟練掌握等邊三角形的判定及性質、等腰三角形的判定及
性質、全等三角形的性質是解題的關鍵．
根據不等式的性質、有理數的加法、等邊三角形的判定及性質、全等三角形的性質逐一判斷即可得出答案．
【詳解】解：①若 a2 < b2 ，則 a < b ，為假命題；
逆命題為：若 a < b ，則 a2 < b2 ，為假命題；
故不符合題意；
②若a + b = 0，則 a = b ，為真命題；
逆命題為：若 a = b ，則a + b = 0，為假命題；
故不符合題意；
③三個內角相等的三角形是等邊三角形，為真命題
逆命題為：等邊三角形的三個內角相等，為真命題
故符合題意；
④底角相等的兩個等腰三角形全等，為假命題
逆命題為：如果兩個等腰三角形全等，那么他們的底角相等，為真命題
故不符合題意；
故選 D．
3．命題“如果 a = b，那么 a = b ”的逆命題是假命題，可取下面哪組值反例說明（ ）
A． a =1,b =1 B． a = -1,b =1 C． a = -1,b = -1 D．a = 1,b = 2
【答案】B
【分析】本題考查逆命題，假命題，反例等，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
先寫出逆命題，再舉反例說明即可.
【詳解】解：命題“如果 a = b，那么 a = b ”的逆命題為“如果 a = b ，那么 a = b ”是假命題，
可以取 a = -1，b =1說明．
故選：B．
4．下列命題：①等邊三角形的三個內角都相等；②若 a = b ，則 a = b；③正方形的四條邊都相等．它們的
逆命題中，正確的個數是（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
【答案】C
【分析】本題考查了命題的真假判斷、逆命題，判斷一件事情的語句叫做命題，正確的命題叫真命題，錯
誤的命題的叫假命題，熟知性質定理是解題的關鍵；
先交換原命題的題設與結論即可得出原命題的逆命題，再根據等邊三角形的判定、絕對值的性質，正方形、
菱形的判定進行判斷即可．
【詳解】①等邊三角形的三個內角都相等的逆命題為三個內角相等的三角形是等邊三角形，是真命題；
②若 a = b ，則 a = b的逆命題為若 a = b，則 a = b ，是真命題；
③正方形的四條邊都相等的逆命題為四條邊都相等的四邊形是正方形，是假命題，因為四條邊都相等的四
邊形是菱形，但不一定是正方形；
所以，真命題有 2 個，
故選：C．
5．有下列命題：①同位角相等，兩直線平行；②如果兩個角是直角，那么它們相等；③如果 ab 0，那么
a < 0，b < 0；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等．它們的逆命題成立的個數有__________________
個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題主要考查了判斷一個命題逆命題的真假，先把原命題的結論和條件互換寫出對應命題的逆命
題，再判斷真假即可．
【詳解】解：①原命題的逆命題為兩直線平行，同位角相等，是真命題；
②原命題的逆命題為如果兩個角相等，那么它們都是直角，是假命題；
③原命題的逆命題為如果 a < 0，b < 0，那么 ab 0，是真命題；
④原命題的逆命題為如果兩個實數的平方相等，那么這兩個實數相等，是假命題，
故選：B．
6．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．三角形的三條內角平分線必定交于一點，且這一點到三邊的距離相等 B．三
角形三邊的垂直平分線交于一點，且這一點到三個頂點的距離相等
C．有一個角為60°的等腰三角形必定是等邊三角形 D．每一個命題一定有逆命題，
每一個定理一定有逆定理
【答案】D
【分析】根據三角形的外心、內心的概念、等邊三角形的判定、逆命題的概念判斷即可．本題考查的是命
題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性
質定理．
【詳解】解：A、三角形的三條內角平分線必定交于一點，且這一點到三邊的距離相等，說法正確，不符合
題意；
B、三角形三邊的垂直平分線交于一點，且這一點到三個頂點的距離相等，說法正確，不符合題意；
C、有一個角為60°的等腰三角形必定是等邊三角形，說法正確，不符合題意；
D、每一個命題一定有逆命題，每一個定理不一定有逆定理，故本選項說法錯誤，符合題意；
故選：D．
7．在命題“同位角相等，兩直線平行”中，條件是 ，結論是 ;如果把條件作為結論，結論作
為條件，我們就可以得到它的逆命題： ．
【答案】 同位角相等 兩直線平行 兩直線平行， 同位角相等
【分析】本題考查命題的基本概念與組成、逆命題，命題是由題設和結論構成．判斷命題的真假關鍵是要
熟悉課本中的性質和定理．
【詳解】解：∵題設是條件，結論是結果，
∴在命題“同位角相等，兩直線平行”中，條件是同位角相等，結論是兩直線平行，
∴如果把條件作為結論，結論作為條件，我們就可以得到它的逆命題：兩直線平行，同位角相等．
故答案為：兩直線平行，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等．
8．命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是 （“如果……那么……”的形
式表示）．
【答案】如果一個三角形是等邊三角形，那么這個三角形的三個角都相等
【分析】本題考查了把命題改成“如果…，那么…”形式及逆命題的定義，關鍵是要找到什么是條件什么是結
論．本命題是判斷一個三角形是等邊三角形，所以“如果”后面的是三角形具備的條件，那么后面的是“等邊
三角形”這一結論
【詳解】解：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果…，那么…”的形式為：如果一個三
角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形，
則逆命題是：如果一個三角形是等邊三角形，那么這個三角形的三個角都相等．
故答案為：如果一個三角形是等邊三角形，那么這個三角形的三個角都相等
9．命題“如果ab =1，那么 a 與 b 互為倒數”的逆命題為 命題（填“真”或“假”）．
【答案】真
【分析】本題考查了命題與定理∶判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命
題；經過推理論證的真命題稱為定理．熟練掌握真命題的定義是解題的關鍵；
根據逆命題的概念，交換原命題的題設與結論即可的出原命題的逆命題，然后根據真命題的定義進行判斷
作答即可．
【詳解】解：命題“如果ab =1，那么 a，b 互為倒數”的逆命題為：
如果 a，b 互為倒數，那么ab =1，正確，為真命題，
故答案為：真．
10．命題“在同一三角形中，等邊對等角”的逆命題是 ．（填“真命題”或“假命題”）
【答案】真命題
【分析】本題主要考查逆命題及真假命題，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關鍵；因此此題可根據逆
命題及等腰三角形的判定進行求解．
【詳解】解：命題“在同一三角形中，等邊對等角”的逆命題為“在同一三角形中，等角對等邊”，該逆命題是
真命題；
故答案為真命題．
11．命題“如果兩個有理數都是正數，那么它們的積是正數”的逆命題是 ，它是 命
題．（填“真”或“假”）
【答案】 如果兩個有理數的積是正數，那么這兩個有理數（它們）都是正數 假
【分析】本題考查寫出命題的逆命題，判斷真假命題，熟練掌握命題的逆命題是解題的關鍵．逆命題就是
將命題的題設和結論顛倒順序，即可寫出逆命題．再根據逆命題判斷真假即可．
【詳解】解：命題“如果兩個有理數都是正數，那么它們的積是正數”的逆命題是：
“如果兩個有理數的積是正數，那么這兩個有理（它們）都是正數”，
根據兩個負數的乘積也是正數可以判斷該命題為假命題，
故答案為：如果兩個有理數的積是正數，那么這兩個有理數（它們）都是正數，假．
12．如圖所示， AB、CD相交于點O，命題“若VAOC≌VBOD ，則CO = DO, AO = BO ”的逆命題是
命題．（填“真”或“假”）．
【答案】真
【分析】本題考查的是真假命題的判定，全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定與性質是解本
題的關鍵．
【詳解】解：“若VAOC≌VBOD ，則CO = DO, AO = BO ”的逆命題是：
若CO = DO, AO = BO ，則VAOC≌VBOD ；
ìCO = DO

∵ í AOC = BOD ，

AO = BO
∴VAOC≌VBOD ，
∴該逆命題是真命題；
故答案為：真．
13．寫出符合下列條件的一個原命題：
(1)原命題和逆命題都是真命題；
(2)原命題是假命題，但逆命題是真命題；
(3)原命題是真命題，但逆命題是假命題：
(4)原命題和逆命題都是假命題．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
(4)見解析
【分析】本題主要考查了命題的真假，熟練掌握命題的有關概念是解題的關鍵．
（1）根據命題及逆命題的定義符合條件的命題即可；
（2）根據命題及逆命題的定義符合條件的命題即可；
（3）根據命題及逆命題的定義符合條件的命題即可；
（4）根據命題及逆命題的定義符合條件的命題即可．
【詳解】（1）解：兩直線平行，內錯角相等（答案不唯一）；
（2）解：相等的角是對頂角（答案不唯一）；
（3）解：所有直角都相等（答案不唯一）；
（4）解∶內錯角不相等，兩直線平行（答案不唯一）．
14．寫出下列各命題的逆命題，并判斷逆命題的真假：
(1)對頂角相等；
(2)如果 a = b ，那么 a = b．
【答案】(1)相等的角是對頂角；假命題
(2)如果 a = b，那么 a = b ；真命題
【分析】本題考查了逆命題、判斷命題的真假：
（1）根據逆命題的定義寫出逆命題，再根據判斷命題的真假即可求解；
（2）根據逆命題的定義寫出逆命題，再根據判斷命題的真假即可求解；
熟練掌握根據原命題寫出逆命題是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：對頂角相等的逆命題：相等的角是對頂角，是假命題．
（2）如果 a = b ，那么 a = b的逆命題：如果 a = b，那么 a = b ，是真命題．
15．如圖，已知點 A 、 D、C 、 F 在同直線上，有下列關系式：① AB = DE ，② BC = EF ，③ AD = CF ，
④BC∥EF
(1)請從中選擇三個作為已知條件，余下一個作為結論，寫出一個真命題：如果_______________，那么
_______________．（填寫序號）
(2)證明（1）中命題的正確性．
【答案】(1)①②③，④
(2)見解析
【分析】本題考查全等三角形判定及性質，平行線判定．
（1）根據題意利用①②③即可判定出△ABC ≌△EDF ，再利用全等性質及平行線性質即可得到④結論．
（2）利用（1）中條件證明即可．
【詳解】（1）解：真命題：如果 AB = DE ，BC = EF ， AD = CF ，那么BC∥EF ；
∴①②③，④；
（2）解：∵ AD = CF ，
∴ AD + DC = CF + CD，
∴ AC = FD，
在VABC 和VEDF 中，
ì AB = DE

íBC = EF ，

AC = FD
∴△ABC ≌△EDF （SSS），
∴ BCA = F ，
∴BC∥EF ．
16．已知命題“如果 a = b，那么 a2 = b2 ．”
(1)寫出此命題的條件和結論；
(2)寫出此命題的逆命題；
(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題．如果是真命題，請給以證明；如果是假命題，請舉出一個反
例．
【答案】(1)條件為： a = b，結論為： a2 = b2
(2)如果 a2 = b2 ，那么 a = b
(3)假命題，反例不唯一，見解析
【分析】本題考查的是命題與定理、逆命題、命題真假的判斷；
（1）“如果”后面的部分為條件，“那么”后面的部分為結論；
（2）交換題目中命題的結論和題設的位置即可；
（3）舉出反例即可．
【詳解】（1）解：此命題的條件為： a = b，結論為： a2 = b2 ；
（2）此命題的逆命題為：如果 a2 = b2 ，那么 a = b；
（3）此命題的逆命題是假命題，
當 a，b 為相反數時，它們的平方相等，但本身不相等，
如 = 2，b = -2時， 22 = -2 2 ，而 2 -2．
17．數學證明是一個嚴謹的過程，例如在證明命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”時，我們
進行了分類討論，使證明過程完整且正確．下面是小明同學根據題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知
和求證．
已知：如圖，直線 l 為線段 AB 的垂直平分線，點 P 為 l 上一點．
求證：______________________．
請你補全求證，并寫出證明過程．
【答案】PA = PB ，證明過程見解析
【分析】根據垂直的定義和全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【詳解】求證：PA = PB ，
證明：如圖，設直線 l與 AB 的交點為D，
Q直線 l為線段 AB 的垂直平分線，
\PD ^ AB， AD = BD ，
\ ADP = BDP = 90°，
在DAPD 與DBPD 中，
ìAD = BD

í ADP = BDP，

PD = PD
∴VAPD @VBDP （SAS），
\PA = PB．
故答案為：PA = PB ．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性
質定理是解題的關鍵．
18．如圖，有下列三個條件：①DE//BC；② 1 = 2；③ B = C ．
(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都
寫出來；
(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的
假命題舉出一個反例（溫馨提示： B + C + BAC =180°）
【答案】(1)一共能組成三個命題，見解析
(2)都是真命題，推理見解析
【分析】（1）（1）根據兩條件一結論組成命題，可得答案；
（2）根據平行線的性質，可判定①②，根據平行線的判定，可判定③，即可
【詳解】（1）解：一共能組成三個命題：
①如果 DE//BC， 1 = 2，那么 B = C ；
②如果 DE//BC， B = C ，那么 1 = 2；
③如果 1 = 2， B = C ，那么 DE//BC ；
（2）解：都是真命題，
如果 DE//BC， 1 = 2，那么 B = C ，
理由如下：∵DE//BC，
∴ 1 = B， 2 = C
∵ 1 = 2，
∴ B = C ．
如果 DE//BC， B = C ，那么 1 = 2；
理由如下：∵DE//BC，
∴ 1 = B， 2 = C ，
∵ B = C ，
∴ 1 = 2；
如果 1 = 2， B = C ，那么 DE//BC ；
理由如下：∵ B + C + BAC =180°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵ 1 = 2， B = C ，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，判斷命題的真假，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．第 05 講 逆命題和逆定理（1 個知識點+5 大題型+18 道強化訓
練）
課程標準 學習目標
1.逆命題逆定理的概念；
1.掌握逆定理與逆命題的概念；
2.證明的過程；
2.學會正確書寫證明過程；
3.互逆命題的概念；
知識點 01：定義、命題與證明
1.定義：能清楚地規定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義。
2.命題：定義：判斷某一件事情的句子
結構：由條件和結論兩部分組成。
句式改寫：如果……那么……
分類：真命題 通過推理的方式來判斷、人們經過長期實踐公認為正確的
假命題 通過舉反例(具備命題的條件但不具備命題的結論的實例)
3.互逆命題 原命題、逆命題 互逆定理 原定理、逆定理
每個命題都有它的逆命題，但每個真命題的逆命題不一定是真命題。
4.證明：從命題的條件出發，根據已知的定義、基本事實、定理(包括推論)、一步一步推得
結論成立的推理過程。
證明幾何命題的格式：(1)按題意畫出圖形(2)分清命題的條件和結論，結合圖形，在已知中
寫出條件，在求證中寫出結論(3)在證明中寫出推理過程。
在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫
成虛線。
【即學即練 1】可取下面哪組值說明“如果 a = b，那么 a = b ”的逆命題是假命題（ ）
A． a = -1，b =1 B． a = -1，b = -1 C． a =1，b = 2 D． a =1，b =1
【即學即練 2】（下列命題中，逆命題是真命題的是（　?。?br/>A．對頂角相等 B．全等三角形的面積相等
C．平行四邊形的對角線互相平分 D．如果 a = b，那么 a2 = b2
題型 01 寫出一個命題的已知、求證及證明過程
1．命題：在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線互相平行，畫出圖形，寫出該命題的已知、求證，并
證明．
2．命題：直角三角形的兩銳角互余．
(1)將此命題寫成“如果…，那么…”：______；
(2)請判斷此命題的真假．若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據所給圖形寫出已知、求證和證明
過程．
3．如圖，VABC中，點D，F 在邊 上，點G ，E 分別在邊 AC ，BC 上，連接DG ，DC ，EF ．①
EF ^ AB，CD ^ AB ；② DGA = BCA；③DG 平分 ADC ；④ B = BEF ，請你從上面四個選項中任
選出三個作為條件，另一個作為結論，組成一個真命題，并加以證明．
你選擇的條件；________，結論：_____(填序號)．
4．如圖，已知點A 、D、C 、F 在同直線上，有下列關系式：① AB = DE ，②BC = EF ，③ AD = CF ，④
BC∥EF
(1)請從中選擇三個作為已知條件，余下一個作為結論，寫出一個真命題：如果_______________，那么
_______________．（填寫序號）
(2)證明（1）中命題的正確性．
5．求證：等腰三角形兩腰上的高相等．
(1)畫出適合題意的圖形，并結合圖形寫出已知和求證．
(2)給出證明．
題型 02 根據給出的論斷組命題并證明
6．如圖，現有以下 3 個論斷：① AB∥CD ；② B＝ C ；③ E＝ F ．請以其中 2 個論斷為條件，另一
個論斷為結論構造命題．
(1)請寫出所有的真命題；
(2)請選擇其中一個命題加以證明．
7．如圖，在三角形 ABC 中，點D在邊BC 的延長線上，射線CE在 DCA的內部．給出下列信息：①
AB∥CE ；②CE平分 DCA；③ A = B ．請選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結論
組成一個真命題，并說明理由．
8．數學證明是一個嚴謹的過程，例如在證明命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”時，我們
進行了分類討論，使證明過程完整且正確．下面是小明同學根據題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知
和求證．
已知：如圖，直線 l 為線段 AB 的垂直平分線，點 P 為 l 上一點．
求證：______________________．
請你補全求證，并寫出證明過程．
9．如圖，有下列三個條件：①DE//BC；② 1 = 2；③ B = C ．
(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都
寫出來；
(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的
假命題舉出一個反例（溫馨提示： B + C + BAC =180°）
10．如圖，已知直線EF∥GH ，給出下列信息：
① AC ^ BC ；②BC 平分 DCH ；③ ACD = DAC ．
(1)請在上述 3 條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個真命題，你選擇的條件
是 ，結論是 (只要填寫序號)，并說明理由．
(2)在（1）的條件下，若 ACG比 BCH 的 2倍少3度，求 DAC 的度數．
題型 03 寫出命題的逆命題
11．寫出下列命題的逆命題，并在后面的括號里判斷逆命題是否正確．
(1)同旁內角互補，兩直線平行；
________（_________）
(2)全等三角形的對應角相等．
_______（_______）
12．如圖．
(1)在四邊形 ABCD中，VABC 與△ADC 的面積相等，求證：直線 AC 必平分BD
(2)寫出（1）的逆命題，并判斷這個命題是否正確，為什么
13．（1）已知：如圖①， BPC = B + C ，求證： AB∥CD ．
（2）小明在探究時發現，該命題的逆命題也成立，直接寫出逆命題為　　　　　
（3）小明發現當 AB∥CD 時，改變點 P 的位置（點 P 不在 AB、CD上）， BPC、 B、 C 三個角的數量
關系隨之而變化，請利用下面的備用圖進行探究，畫出示意圖，直接寫出對應的三個角的數量關系（寫兩
個即可）．
14．（1）已知，如圖在VABC 中，點E 在 AC 上，點F 在BC 上，點D、G 在 AB 上，FG∥CD ，
BFG = CDE ．求證： AED = ACB；
（2）你在（1）的證明過程中應用了哪兩個互逆的真命題？
15．【閱讀理解】
如果把一個命題（記作 p ）的題設和結論交換位置，得到另一個命題（記作 q），那么這兩個命題叫做互逆
命題，其中命題 p 稱為原命題，命題 q稱為原命題的逆命題．
例如：原命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”．
【解決問題】
給出命題 p :“如果 a = b，那么 a = b ．”
(1)寫出命題 p 的題設和結論，及逆命題 q．
(2)判斷命題 q是真命題還是假命題，若是假命題，請舉出一個反例進行說明．
題型 04 定理與證明
16．現實生活中的交流、游戲等活動，也得選定一些大家認可的結論、規則作為出發點，這不正是《原本》
的思想嗎！試找出幾個這樣的生活實例，與同伴進行交流．
17．（1）已知：如圖，直線 AB、CD、EF 被直線 BF 所截， B + 1 =180°， 2 = 3．求證：
B + F = 180°；
（2）你在（1）的證明過程中應用了哪兩個互逆的真命題．
18．如圖， AB = CB，BE = BF ， 1 = 2，求證： AE = CF ．
19．說出定理“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”的逆命題并證明這個逆命題是真命題.
20．請寫出“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題，并進行證明：
題型 05 互逆定理
21．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，寫出它的逆定理．
(1)同旁內角互補，兩直線平行．
(2)三角形的兩邊之和大于第三邊．
22．下列說法對嗎？請說明理由．
(1)每個定理都有逆定理．
(2)每個命題都有逆命題．
(3)假命題沒有逆命題．
(4)真命題的逆命題是真命題．
23．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，說出它的逆定理．
(1)等腰三角形的兩個底角相等．
(2)內錯角相等，兩直線平行．
(3)對頂角相等．
24．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，請寫出逆定理．
(1)同旁內角互補，兩直線平行．
(2)三邊對應相等的兩個三角形全等．
25．寫出“相等的角是內錯角”這個命題的逆命題，并判斷原命題和逆命題是不是互逆定理．
1．下列命題的逆命題是真命題的命題有（ ）
①全等三角形的對應角相等；②對頂角相等；③等角對等邊；④兩直線平行，同位角相等；⑤全等三角形
面積相等
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
2．已知下列命題：①若 a2 < b2 ，則 a < b ；②若a + b = 0，則 a = b ；③三個內角相等的三角形是等邊三角
形；④底角相等的兩個等腰三角形全等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數是（ ）
A．4 個 B．3 個 C．2 個 D．1 個
3．命題“如果 a = b，那么 a = b ”的逆命題是假命題，可取下面哪組值反例說明（ ）
A． a =1,b =1 B． a = -1,b =1 C． a = -1,b = -1 D．a = 1,b = 2
4．下列命題：①等邊三角形的三個內角都相等；②若 a = b ，則 a = b；③正方形的四條邊都相等．它們的
逆命題中，正確的個數是（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．3 個
5．有下列命題：①同位角相等，兩直線平行；②如果兩個角是直角，那么它們相等；③如果 ab 0，那么
a < 0，b < 0；④如果兩個實數相等，那么它們的平方相等．它們的逆命題成立的個數有__________________
個
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．三角形的三條內角平分線必定交于一點，且這一點到三邊的距離相等 B．三
角形三邊的垂直平分線交于一點，且這一點到三個頂點的距離相等
C．有一個角為60°的等腰三角形必定是等邊三角形 D．每一個命題一定有逆命題，
每一個定理一定有逆定理
7．在命題“同位角相等，兩直線平行”中，條件是 ，結論是 ;如果把條件作為結論，結論作
為條件，我們就可以得到它的逆命題： ．
8．命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”的逆命題是 （“如果……那么……”的形
式表示）．
9．命題“如果ab =1，那么 a 與 b 互為倒數”的逆命題為 命題（填“真”或“假”）．
10．命題“在同一三角形中，等邊對等角”的逆命題是 ．（填“真命題”或“假命題”）
11．命題“如果兩個有理數都是正數，那么它們的積是正數”的逆命題是 ，它是 命
題．（填“真”或“假”）
12．如圖所示， AB、CD相交于點O，命題“若VAOC≌VBOD ，則CO = DO, AO = BO ”的逆命題是
命題．（填“真”或“假”）．
13．寫出符合下列條件的一個原命題：
(1)原命題和逆命題都是真命題；
(2)原命題是假命題，但逆命題是真命題；
(3)原命題是真命題，但逆命題是假命題：
(4)原命題和逆命題都是假命題．
14．寫出下列各命題的逆命題，并判斷逆命題的真假：
(1)對頂角相等；
(2)如果 a = b ，那么 a = b．
15．如圖，已知點 A 、 D、C 、 F 在同直線上，有下列關系式：① AB = DE ，② BC = EF ，③ AD = CF ，
④BC∥EF
(1)請從中選擇三個作為已知條件，余下一個作為結論，寫出一個真命題：如果_______________，那么
_______________．（填寫序號）
(2)證明（1）中命題的正確性．
16．已知命題“如果 a = b，那么 a2 = b2 ．”
(1)寫出此命題的條件和結論；
(2)寫出此命題的逆命題；
(3)判斷此命題的逆命題是真命題還是假命題．如果是真命題，請給以證明；如果是假命題，請舉出一個反
例．
17．數學證明是一個嚴謹的過程，例如在證明命題“線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等”時，我們
進行了分類討論，使證明過程完整且正確．下面是小明同學根據題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知
和求證．
已知：如圖，直線 l 為線段 AB 的垂直平分線，點 P 為 l 上一點．
求證：______________________．
請你補全求證，并寫出證明過程．
18．如圖，有下列三個條件：①DE//BC；② 1 = 2；③ B = C ．
(1)若從這三個條件中任選兩個作為題設，另一個作為結論，組成一個命題，一共能組成幾個命題？請你都
寫出來；
(2)你所寫出的命題都是真命題嗎？若是，請你就其中的一個真命題給出推理過程；若不是，請你對其中的
假命題舉出一個反例（溫馨提示： B + C + BAC =180°）

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