資源簡介

第 04 講 等腰三角形的判定定理（2 個知識點+12 大題型+18 道
強化訓練）
課程標準 學習目標
1.掌握等腰三角形的判定定理；
1.等腰三角形的判定定理；
2.學會用等腰三角形的判定定理證明等腰三角形；
3、掌握等腰三角形的判定定理并靈活運用；
知識點 01：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。
②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）
總結：
【即學即練 1】已知等腰三角形的一邊長為5cm，另一邊長為11cm，則它的周長為（　　）
A．16cm B． 27cm C．21cm D．21cm 或 27cm
【即學即練 2】如圖，在DABC中， AB = AC ， AD = BD ，DE ^ AB于點 E，若BC = 4，DBDC 的周長為
10，則 AE 的長為（　　）
A． 2.5 B．3 C．3.5 D．4
知識點 02：等邊三角形的判定
1、判定：
①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形
②三個角都相等的三角形是等邊三角形
③有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形。
2、等腰三角形和等邊三角形的判定
圖形 等腰三角形 等邊三角形
三條邊都相等的三角形是等邊三角
從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形
形
判
定
三個角都相等的三角形是等邊三角
從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形
形
等邊三角形的判定方法：有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形
【即學即練 3】下列四個說法中，正確的有（ ）
①三個角都相等的三角形是等邊三角形；
②有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形；
③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；
④有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形．
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【即學即練 4】若一個三角形有兩條邊相等，且有一內角為 60°，那么這個三角形一定為（　　）
A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
題型 01 格點中畫等腰三角形
1．如圖，在3 3的網格中，以 AB 為一邊，點 P 在格點處，使VABP為等腰三角形的點 P 有（ ）個
A．2 個 B．5 個 C．3 個 D．1 個
2．在正方形網格中，網格線的交點成為格點，如圖，A、B 分別在格點處，若 C 也是圖中的格點，且使得VABC
是以 AB 為腰的等腰三角形，則符合條件的點 C 有（ ）
A．7 個 B．6 個 C．5 個 D．4 個
3．如圖，在正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知 A、B 是網格中的兩個格點，如果 C 也是網格中
的格點，且使VABC 為等腰三角形，那么符合條件的點 C 有 個．
4．如圖，在 4×5 的點陣圖中，每兩個橫向和縱向相鄰陣點的距離均為 1，該點陣圖中已有兩個陣點分別標
為 A，B，請在此點陣中找一個陣點 C，使得以點 A，B，C 為頂點的三角形是等腰三角形，則符合條件的點
C 有 個．
5．如圖，在方格紙中，每一個小正方形的邊長為 1，按要求畫一個三角形，使它的頂點都在小方格的頂點
上．
(1)在圖 1 中畫一個以 AB 為直角邊且面積為 3 的直角三角形．
(2)在圖 2 中畫一個以 AC 為腰的等腰三角形．
題型 02 找出圖中的等腰三角形
1．如圖，在VABC 中， AB = AC ， B = 72°，CD平分 ACB 交 AB 于點D，DE∥ AC 交BC 于點E ，則
圖中共有等腰三角形（　　）
A．3個 B． 4個 C．5個 D．6 個
2．如圖，已知線段 AB 的端點 B 在直線 l上（ AB 與 l不垂直）請在直線 l上另找一點C ，使VABC 是等腰三
角形，這樣的點能找（ ）
A． 2個 B．3個 C． 4個 D．5個
3．如圖，在VABC 中，已知邊 AB 的垂直平分線與邊BC 的垂直平分線交于點 P ，連接PA、PB、PC ，則圖
中有 個等腰三角形．
4．如圖，已知VABC 中， AB = 3，BC = 7 ，在VABC 所在平面內一條直線，使其中有一個邊長為 3 的等腰
三角形，則這樣的直線最多可畫 條．
5．如圖，在四邊形 ABCD 中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．
（1）求證：AB+BE=CD．
（2）若 AD=BC，在不添加任何補助線的條件下，直接寫出圖中所有的等腰三角形．
題型 03 根據等角對等邊證明等腰三角形
1．一個三角形兩個內角的度數分別如下，這個三角形是等腰三角形的是（ ）
A． 40°，70° B．30°，90°
C．60°，50° D． 40°， 20°
2．在VABC 中， A = 36°， B = 72°，則VABC 是（ ）
A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
3．在VABC 中，若 B = 50°，∠C = 65°，則VABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
4．在VABC 中， A = 90°，當 B = 度時，VABC 是等腰三角形．
5．如圖，在VABC 中， BAC = 60°, C = 40°, ABC 的平分線 交 AC 于點D．判斷△BCD是否為等腰三
角形 請說明理由．
題型 04 根據等角對等邊證明邊相等
1．如圖，在VABC 中，BC = 6，邊 AB 的垂直平分線交BC 于M ，點 N 在MC 上，連接 AM ， AN ，
C = NAC ，則△MAN 的周長為（ ）
A．6 B．4 C．3 D．12
2．在VABC 中， AD 平分 BAC， B = 2 ADB，AB = 3，CD = 5，則 AC 的長為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如圖，在VABC 中， ABC 和 ACB 的平分線交于點E ，過點E 作MN ∥BC 交 AB 于M ，交 AC 于
N ，若BM + CN = 8，則線段MN 的長為 ．
4．如圖，在VABC 中， AB = 4， AC = 6 ， ABC 和 ACB 的平分線交于 O 點，過點 O 作BC 的平行線交
AB 于 M 點，交 AC 于 N 點，則VAMN 的周長為 ．
5．如圖，VABC 中，CA = CB ，點 D 在BC 的延長線上，連接 AD，AE 平分 CAD交 于點 E，過點 E 作
EF ^ AB，垂足為點 F，與 AC 相交于點 G．．
(1)求證：CG = CE ；
(2)若 B = 30°， CAD = 40°，求 AEF 和 D的度數；
(3)求證： D = 2 AEF ．
題型 05 根據等角對等邊求邊長
1．如圖，在VABC 中， B = C ， AB = 4，則 AC 的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如圖，在VABC 中， ABC 的平分線交 AC 于點 D，AD = 6，過點 D 作DE∥BC 交 AB 于點 E，若△AED
的周長為 16，則邊 AB 的長為（　　）
A．10 B．8 C．6 D．16
3．如圖，在VABC 中， AB =12， AC = 9，沿過點 A 的直線折疊這個三角形，使點 C 落在 AB 邊上的點 E
1
處，折痕為 AD ，若 ADE = C ，則BD的長是 ．
2
4．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°， AC =10， BC =12，點 D 是 AC 邊的中點，點 E 是 BC 邊上一動點，
將VCDE沿DE 折疊得到VC DE，連接BC ，當△BEC 是直角三角形時， BE 的長為 ．
5．如圖， BAC = 100°, B = 40°， D = 20°，AB = 3，求CD的長．
題型 06 直線上與已知兩點組成等腰三角形的點
1．點 A，B 在直線 l 同側，若點 C 是直線 l 上的點，且VABC 是等腰三角形，則這樣的點 C 最多有（ ）
A．5 個 B．4 個 C．3 個 D．2 個
2．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A 的坐標為 (3, 4) ，點 P 是坐標軸上的一點，使VOAP為等腰三
角形的點 P 的個數有（　　）
A．5 個 B．6 個 C．7 個 D．8 個
3．如圖，點O在直線 l上，點A 在直線 l外.若直線 l上有一點 P 使得△APO為等腰三角形，則滿足條件的點
P 位置有 個.
4．如圖，已知Rt△ABC 中， C = 90°, A = 30° .在直線BC 或 AC 上取一點 P，使得VPAB 是等腰三角形，
則符合條件的 P 點有 個.
5．如圖，在直線EF 上有一點A ，直線外有一點 B ，點C 在直線EF 上， 是以 AB 、 AC 為腰的等腰三
角形．
（1）在圖中畫出
（2）已知 BAF = 40°，求 BCA
題型 07 求與圖形中任意兩點構成等腰三角形的點
1．已知VABC 中， AB = AC ． A =108°，在平面內找一點 P ，使得VPAB ，VPAC ，VPBC 都是等腰三角
形，則這樣的 P 點有（ ）個
A．4 B．6 C．8 D．10
2．已知：如圖VABC 中， B=60°， C = 80°，在直線 BA 上找一點 D，使VACD或△BCD為等腰三角形，
則符合條件的點 D 的個數有（　　）
A．7 個 B．6 個 C．5 個 D．4 個
3．如圖，在VABC 中， B = 25°, A = 100°，點 P 在VABC 的三邊上運動，當VPAC 成為等腰三角形時，
其頂角的度數是 ．
4．如圖， AOB = 60°，C 是OB 延長線上一點，若OC = 18cm，動點 P 從點C 出發沿CB 以 2cm/ s的速度
移動，動點Q從點O沿OA以1cm/ s 的速度移動，如果點 P 、Q同時出發，用 t(s)表示移動的時間，當 t = s
時，△POQ 是等腰三角形？
5．如圖，在VABC 中， AB = AC = BC ，VABC 所在的平面上有一點 P （如圖中所畫的點P1），使VPAB ，
△PBC ， VPAC 都是等腰三角形，問：具有這樣性質的點 P 有幾個（包括點P1）？在圖中畫出來．
題型 08 作等腰三角形（尺規作圖）
1．如圖，已知直線m P n，線段 AC 分別與直線 m，n 相交于點 B 、點C ，以點A 為圓心， 的長為半徑畫
弧交直線m 于點 B 、點D．若 A = 70°，則a 的度數為（ ）
A． 45° B．50° C．55° D．60°
2．如圖，已知直線 l 及直線 l 外一點 P，過點 P 作直線 l 的平行線，下面四種作法中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如圖，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點 B 為圓心，BC 長為半徑畫弧，交 AB 于點 D，
連接 CD，則∠ACD 的度數是 ．
4．如圖，直線 a，b 相交于點O， 1＝50°，點A 是直線上的一個定點，點 B 在直線b 上運動，若以點O，
A ， B 為頂點的三角形是等腰三角形，則 OAB的度數是 ．
5．已知：線段 a，h，求作等腰VABC ，使底邊 BC = a，高 AD = h，（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，
不必寫作法和證明）．
題型 09 等腰三角形的性質和判定
1．如圖，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于點F ，交BC 于點E ，若VABC
周長為16，AC = 6，則DC 為（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
2．如圖，在VABC中， AB = AC =16，點E 是BC 邊上任意一點，過點E 分別作 AB，AC 的平行線，交 AC
于點F ，交 于點D，則四邊形 ADEF 的周長是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
3．如圖，在VABC 中，BD和CD分別是 ABC 和 ACB 的平分線，EF 過點 D，且EF∥BC ，若
BE = 3，CF = 4，則EF 的長為 ．
4．如圖，在Rt△ABC 中， A = 90°， C = 30°，作邊BC 的垂直平分線，交 AC 于點D，交BC 于點E ．若
AD = 3，則 的長為 ．
5．如圖，在VABC 中，點 E 在 AB 上，點 D 在BC 上，BD = BE ， BAD = BCE ， AD 與CE相交于點 F．
(1)證明：BA = BC ；
(2)求證：VAFC 為等腰三角形．
題型 10 三角形邊角的不等關系
1．若等腰三角形的一邊長等于 2，另一邊長等于 3，則它的周長等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7 或 8
2．如圖，VABC 中， AB = 5, AC = 9, BC = 10, EF 垂直平分BC ，點 P 為直線EF 上的任一點，則VABP周長
的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
3．等腰三角形周長為 20，一邊長為 4，則另兩邊長為 ．
4．等腰三角形的一邊是 7，另一邊是 4，其周長等于 .
5．已知 a、b 、 c為VABC 的三邊長， a、b 滿足 (a - 2)2 + | b - 3 |= 0 ，且 c為方程 | x - 6 |= 3的解，求VABC
的周長并判斷VABC 的形狀.
題型 11 等邊三角形的判定
1．在下列命題中：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等
邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊
三角形．正確的命題有（ ）
A．4 個 B．3 個 C．2 個 D．1 個
2．在VABC 中， A = 60°，添加下列一個條件后，仍不能判定VABC 為等邊三角形的是（ ）
A． AB = AC B． AD ^ BC C． B = C D． A = C
3．在VABC 中， B = C ，若添加一個條件使VABC 是等邊三角形，則添加的條件可以是 ．（寫出一
個即可）
4．已知 a，b ， c為VABC 三邊的長，當 a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc 時，則VABC 的形狀是 ．
5．如圖，在四邊形 ABCD中， AD∥BC ， B = D，點 E 在BA的延長線上，連接CE．
(1)求證： E = ECD；
(2)若 E = 60°，CE平分 BCD，請判斷VBCE 的形狀并說明理由．
題型 12 等邊三角形的判定和性質
1．如圖， AOB = 30°，點 P 在 AOB的內部，點 C，D 分別是點 P 關于OA、OB的對稱點，連接CD交OA、OB
分別于點 E，F；若!PEF 的周長的為 9，則線段OP =（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．若一個等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，則這個等腰三角形的底角為（ ）
A．75° B．15° C．30°或150° D．15°或75°
3．如圖，已知 AOB = 30°， P 是 AOB內部的一個定點，且OP =1，點 E 、 F 分別是OA、OB 上的動點，
則!PEF 周長的最小值等于 ．
4．如圖，等邊VABC 的邊長為 4cm ，點 Q 是 AC 的中點，若動點 P 以 2cm /秒的速度從點 A 出發沿 A B A
方向運動設運動時間為 t 秒，連接 PQ，當△APQ 是等腰三角形時，則 t 的值為 秒．
5．如圖，D是等邊VABC 外的一點，BC = 3，DB = DC ， BDC =120°，點E 、F 分別在 AB 和 AC 上．
(1)求證： AD 是BC 的垂直平分線
(2)若ED平分 BEF ，
①證明：FD 平分 EFC ；
②求△AEF 的周長．
1．如圖，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC ，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于點 F，交BC 于點 E，若VABC
周長為 16， AC = 6 ，則DC 為（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
2．如圖，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 45°， AD ^ BC 于點D，BE ^ AC 于點E ，交 AD 于點F ，若
AF =10 ，則BD的長為（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
3．如圖，在VABC 中， AB = AC ， A =120°， BC = 6cm ， AB 的垂直平分線交 BC 于點M ，交 AB 于點 E ，
AC 的垂直平分線交BC 于點 N ，交 AC 于點F ，則MN 的長為（ ）
A． 4cm B．3cm C． 2cm D．1cm
4．如圖，D為VABC 內一點，CD平分 ACB ，BD ^ CD， A = ABD，若 AC = 5，BC = 3，則BD的
長為（　　）
A．1 B．1.5 C． 2 D． 2.5
5．如圖，在VAOB 和△COD 中，OA = OB，OC = OD，OA < OC ， AOB = COD = 36°．連接 AC、BD
交于點 M，連接OM ．下列結論：① BOM = COM ；② AC = BD；③OM 平分∠AMD；④
AOD =144°，⑤VMOC≌VMOD其中正確的結論個數有（ ）個．
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如圖，在四邊形OAPB中， AOB =120°，OP 平分 AOB，且OP = 2 ，若點 M、N 分別在直線OA、OB
上，且VPMN 為等邊三角形，則滿足上述條件的VPMN 有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．3 個以上
7．如圖，VABC 中，BO、CO分別平分 ABC 和 ACB ，過點O平行于BC 的直線分別交 AB 、 AC 于點
D、E ，已知 AB = 9cm， AC = 8cm ，VADE 的周長為 ．
8．如圖， AOB = 60°，C 是BO延長線上一點，OC = 12cm ，動點 M 從點 C 出發沿射線CB 以2cm / s的速
度移動，動點 N 從點 O 出發沿射線OA以1cm / s 的速度移動，如果點 M、N 同時出發，設運動的時間為 ts ，
那么當 t = s 時，△MON 是等腰三角形．
9．已知，在VABC 中， AB = AC ，BD ^ AC 于點 D， AE ^ BC 于點 E，若 BAC = 50°，則 DCO =
°．
10．如圖，在VABC 中， AB = AC ， AD 是VABC 的中線，點 E 在 AC 上，且 AE = AD，連接DE ，若
CDE = 20°，則 B 的度數為 °．
11．定義：如果一個三角形能被過頂點的一條線段分割成兩個等腰三角形，則稱這個三角形為特異三角形，
如圖，VABC中， A = 36°, B為鈍角，則使得VABC是特異三角形所有可能的 B的度數為 ．
12．已知在VABC 中， A = 40° ，D 為邊 AC 上一點，△ABD 和△BCD都是等腰三角形，則 C 的度數可
能是 ．
13．如圖，在VABC 中， AB = AC，D是BC 邊上一點，以 AD 為邊在 AD 右側作VADE ，使 AE = AD，連
接CE， BAC = DAE =108°
(1)求證：VBAD≌VCAE ；
(2)若DE = DC ，求 CDE的度數．
14．如圖，點 D、E 在VABC 的邊BC 上， AD = AE ，BD = CE ．
(1)求證： AB = AC ．
(2)若 BAC =108°, 2 DAE + BAC =180° ，直接寫出圖中除VABC 與VADE 外所有等腰三角形．
15．如圖，在等邊VABC 中，點 D 在邊BC 上，過點 D 作DE∥ AB 交 AC 于點 E，過點 E 作EF ^ DE，交BC
的延長線于點 F．
(1)求 F 的度數；
(2)求證：DC = CF ．
16．如圖，已知VABC 中，D 為BC 上一點， AB = AD ，E 為VABC 外部一點，滿足 AC = AE ，連結 ，
與 AC 交于點 O，且 CAE = BAD ．
(1)求證：△ABC ≌△ADE；
(2)若 BAD = 25°，求 EDC 的度數．
17．如圖，已知在VABC 中， AB = AC =10厘米， BC = 8厘米，點 D 為 AB 的中點，點 P 在線段BC 上以 3
厘米/秒如果點 P 在線段BC 上以 3 厘米每秒的速度由 B 點向 C 點運動，同時，點 Q 在線段CA上由 C 點向 A
點運動．
(1)若點 Q 的運動速度與點 p 的運動速度相等，經一秒后，三角形BPD 與三角形CQP 是否全等，請說明理
由；
(2)若點 Q 的運動速度與點 P 的運動速度不相等，當點 Q 的運動速度是多少時，能夠使三角形BPD 與三角
形CQP 全等？
18．（1）【問題提出】如圖 1，在 Rt△ABC 和 Rt△CDE ，已知 ACE = B = D = 90°， AC = CE ，B、C、
D 三點在一條直線上， AB = 5， DE = 6.5，則BD的長度為______．
（2）【問題提出】如圖 2，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BC = 4，過點 C 作CD ^ AC ，且CD = AC ，求△BCD
的面積．
（3）【問題解決】某市打造國家級宜居城市，優化美化人居生態環境．如圖 3 所示，在河流BD的周邊規劃
一個四邊形 ABCD巨無霸森林公園，按設計要求，在四邊形 ABCD中， ABC = CAB = ADC = 45°，
AC = BC ，VACD面積為12km2 ，且CD的長為6km，則河流另一邊森林公園△BCD的面積為______ km2．第 04 講 等腰三角形的判定定理（2 個知識點+12 大題型+18 道
強化訓練）
課程標準 學習目標
1.掌握等腰三角形的判定定理；
1.等腰三角形的判定定理；
2.學會用等腰三角形的判定定理證明等腰三角形；
3、掌握等腰三角形的判定定理并靈活運用；
知識點 01：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定
①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。
②有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱“等角對等邊”）
總結：
【即學即練 1】已知等腰三角形的一邊長為5cm，另一邊長為11cm，則它的周長為（　　）
A．16cm B． 27cm C．21cm D．21cm 或 27cm
【答案】B
【分析】分別討論腰，結合三角形三邊關系即可得到答案；
【詳解】解：①當5cm為腰時，三邊分別是：5cm，5cm，11cm，
∵5+5 <11，
∴不存在此類情況，
②當11cm為腰時，三邊分別是：5cm，11cm，11cm，
∵11-11 < 5 <11+11，
此時周長為：5+11+11=27，
故選 B；
【點睛】本題考查等腰三角形的性質，三角形三邊關系，解題的關鍵是分類討論．
【即學即練 2】如圖，在DABC中， AB = AC ， AD = BD ，DE ^ AB于點 E，若BC = 4，DBDC 的周長為
10，則 AE 的長為（　　）
A． 2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【分析】根據已知可得BD + CD = 6 ，從而可得 AB = AC = 6 ，然后利用等腰三角形三線合一性質計算解答．
【詳解】解：QBC = 4，且DBDC 的周長為 10，
\BD + CD =10 - 4 = 6，
Q AB = BD，
\ AD + DC = 6，
\ AC = 6，
QAB = AC，
\ AB = 6，
Q AD = DB，DE ^ AB，
AE 1\ = AB = 3
2 ．
故選 B．
【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形三線合一是解題的關鍵
知識點 02：等邊三角形的判定
1、判定：
①三條邊都相等的三角形是做等邊三角形
②三個角都相等的三角形是等邊三角形
③有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形。
2、等腰三角形和等邊三角形的判定
圖形 等腰三角形 等邊三角形
三條邊都相等的三角形是等邊三角
從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形
形
判
定
三個角都相等的三角形是等邊三角
從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形
形
等邊三角形的判定方法：有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形
【即學即練 3】下列四個說法中，正確的有（ ）
①三個角都相等的三角形是等邊三角形；
②有兩個角等于60°的三角形是等邊三角形；
③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形；
④有兩個角相等的等腰三角形是等邊三角形．
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】C
【分析】根據等邊三角形的判定、等腰三角形的性質以及三角形內角和定理即可判斷．
【詳解】解：①三個角都相等，則三個角都是60°，三邊都相等，即該三角形是等邊三角形，此說法正確．
②有兩個角等于60°，則剩余的一個角為60°，三個角都是60°，三邊都相等，即該三角形是等邊三角形，
此說法正確．
③若頂角為60°，則兩個底角相等，均為 180 - 60° 2 = 60°，三個角都是60°，三邊都相等，即該三角形是
等邊三角形；若底角為60°，則頂角為180° - 60° 2 = 60°，三個角都是60°，三邊都相等，即該三角形是等
邊三角形，此說法正確．
④若相等的兩個角是底角，則這個等腰三角形不一定是等邊三角形，此說法錯誤．
說法正確的是：①②③，共有 3 個，
故選：C．
【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌
握基本知識．
【即學即練 4】若一個三角形有兩條邊相等，且有一內角為 60°，那么這個三角形一定為（　　）
A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．正三角形
【答案】D
【分析】根據有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形求解．
【詳解】解：根據有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形可得到該三角形一定為正三角形．
故選：D．
【點睛】此題考查學生對有一個角是 60°的等腰三角形是等邊三角形的運用．
題型 01 格點中畫等腰三角形
1．如圖，在3 3的網格中，以 AB 為一邊，點 P 在格點處，使VABP為等腰三角形的點 P 有（ ）個
A．2 個 B．5 個 C．3 個 D．1 個
【答案】B
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，分兩種情況：當 AB 為底邊時，當 AB 為腰時，分別畫出圖形，即
可得出答案．
【詳解】解：如圖，當 AB 為底邊時，以 AB 為底邊的等腰三角形有 3 個，
；
如圖，當 AB 為腰時，以 AB 為腰的等腰三角形有 2 個，
；
綜上所述，使VABP為等腰三角形的點 P 有3 + 2 = 5個，
故選：B．
2．在正方形網格中，網格線的交點成為格點，如圖，A、B 分別在格點處，若 C 也是圖中的格點，且使得VABC
是以 AB 為腰的等腰三角形，則符合條件的點 C 有（ ）
A．7 個 B．6 個 C．5 個 D．4 個
【答案】D
【分析】此題主要考查了等腰三角形的判定，根據等腰三角形的定義，分別以A ，B 為頂點， AB 為腰，分
別作出圖形可得出答案．解答本題的關鍵是根據題意畫出符合實際條件的圖形，再利用數形結合的思想來
求解．
【詳解】解：當 AB 為等腰VABC 其中的一條腰時，符合條件的點C 有 4 個，與點A 、點 B 構成等腰直角三
角形，
即符合條件的點C 的個數為 4，
故選：D．
3．如圖，在正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知 A、B 是網格中的兩個格點，如果 C 也是網格中
的格點，且使VABC 為等腰三角形，那么符合條件的點 C 有 個．
【答案】8
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分情況討論是解題的關鍵．結合圖形，利用格點，分別討論 AB 為
等腰三角形 ABC 的底邊時和 AB 為等腰三角形 ABC 其中的一條腰時的情況，即可解決．
【詳解】解：如圖，（1） AB 為等腰三角形 ABC 的底邊時，符合條件的 C 點有 4 個；
（2） AB 為等腰三角形 ABC 其中的一條腰時，符合條件的 C 點有 4 個；
故答案為 8．
4．如圖，在 4×5 的點陣圖中，每兩個橫向和縱向相鄰陣點的距離均為 1，該點陣圖中已有兩個陣點分別標
為 A，B，請在此點陣中找一個陣點 C，使得以點 A，B，C 為頂點的三角形是等腰三角形，則符合條件的點
C 有 個．
【答案】5
【分析】此題考查等腰三角形的判定．由已知條件，分別 AB 為腰找等腰三角形和 AB 為底找等腰三角形，
即可．
【詳解】解：如圖，分別 AB 為腰畫出等腰三角形和 AB 為底畫出等腰三角形，
符合條件的點 C 有 5 個，
故答案為：5．
5．如圖，在方格紙中，每一個小正方形的邊長為 1，按要求畫一個三角形，使它的頂點都在小方格的頂點
上．
(1)在圖 1 中畫一個以 AB 為直角邊且面積為 3 的直角三角形．
(2)在圖 2 中畫一個以 AC 為腰的等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖，等腰三角形的判定和性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是
學會利用數形結合的思想解決問題，屬于中考常考題型；
（1）根據要求利用數形結合的思想解決問題即可；
（2）根據等腰三角形的定義作出圖形(答案不唯一)．
【詳解】（1）解：如圖即為所求；
（2）解：如圖即為所求．
題型 02 找出圖中的等腰三角形
1．如圖，在VABC 中， AB = AC ， B = 72°，CD平分 ACB 交 AB 于點D，DE∥ AC 交BC 于點E ，則
圖中共有等腰三角形（　　）
A．3個 B． 4個 C．5個 D．6 個
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形判定和性質、角平分線的性質、平行線的性質，由已知條件利用相關的性
質求得各個角相等是本題的關鍵．根據等腰三角形的判定和性質定理以及平行線的性質即可得到結論．
【詳解】解：∵ AB = AC ， B = 72°，
∴VABC 為等腰三角形， B = ACB = 72°， A = 36°
∵DE∥ AC
∴ DEB = ACB = B = 72°，
∴BD = DE，VBDE 為等腰三角形，
∵ 平分 ACB ，
∴ ACD = DCB = 36° = A，
∴ AD = CD ，VACD為等腰三角形，
BDC = A + DCA = 72o = B ，
∴BC = CD ，△BCD為等腰三角形，
∵ ACD = DCB = 36° = A，DE∥ AC ，
∴ EDC = ACD = DCB = 36°
∴DE = EC ，VDEC 為等腰三角形．
綜上所述：共有 5 個等腰三角形．
故選 C．
2．如圖，已知線段 AB 的端點 B 在直線 l上（ AB 與 l不垂直）請在直線 l上另找一點C ，使VABC 是等腰三
角形，這樣的點能找（ ）
A． 2個 B．3個 C． 4個 D．5個
【答案】C
【分析】直線 AB 可為等腰三角形的底邊，也可為腰長，所以應分開來討論．
【詳解】解：當為腰長時，存在3個角等腰三角形；
如圖
同理當為底邊時，有1個．
如圖
所以題中共有 4個點使其為等腰三角形．
故選：C．
【點睛】此題考查等腰三角形的判定，關鍵是直線 AB 可為等腰三角形的底邊，也可為腰長解答．
3．如圖，在VABC 中，已知邊 AB 的垂直平分線與邊BC 的垂直平分線交于點 P ，連接PA、PB、PC ，則圖
中有 個等腰三角形．
【答案】3
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題
的關鍵．
根據線段垂直平分線的性質和等腰三角形的判定可解答．
【詳解】解：∵邊 AB 的垂直平分線與邊BC 的垂直平分線交于點 P ，
\ AP = PB, PB = PC ，
\ AP = PC ，
∴VABP,VBPC,VAPC 都是等腰三角形；
故答案為：3．
4．如圖，已知VABC 中， AB = 3，BC = 7 ，在VABC 所在平面內一條直線，使其中有一個邊長為 3 的等腰
三角形，則這樣的直線最多可畫 條．
【答案】4
【分析】
此題主要考查了等腰三角形的判定等知識，
根據等腰三角形的性質分別利用 AB 為底以及 AB 為腰得出符合題意的圖形即可．
【詳解】
如圖所示，當 AB = AF = 3，BA = BD = 3，AB = AE = 3，BG = AG 時，都能得到符合題意的等腰三角形．
∴這樣的直線最多可畫 4 條．
故答案為：4．
5．如圖，在四邊形 ABCD 中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．
（1）求證：AB+BE=CD．
（2）若 AD=BC，在不添加任何補助線的條件下，直接寫出圖中所有的等腰三角形．
【答案】（1）見解析；（2）△BCD，△BCE
【分析】（1）由“ASA”可證△ABD≌△EDC，可得 AB=DE，BD=CD，可得結論；
（2）由全等三角形的性質可得 BD=CD，AD=EC=BC，可求解．
【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠EDC．
在△ABD 和△EDC 中，
ì ABD = EDC

í DB = DC ，

1 = 2
∴△ABD≌△EDC（ASA），
∴AB=DE，
∴DE+BE=BD，
∵BD=CD，
∴AB+BE=CD；
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AD=EC，
∵AD=BC，BD=CD，
∴AD=BC=EC，
∴△BCD 是等腰三角形，△BCE 是等腰三角形．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本題的
關鍵．
題型 03 根據等角對等邊證明等腰三角形
1．一個三角形兩個內角的度數分別如下，這個三角形是等腰三角形的是（ ）
A． 40°，70° B．30°，90°
C．60°，50° D． 40°， 20°
【答案】A
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，等腰三角形的判定，根據三角形內角和定理求出另外一個內
角的度數，再根據有兩個內角相等的三角形是等腰三角形進行判斷即可．
【詳解】解：A、另外一個內角的度數為180° - 40° - 70° = 70°，則該三角形是等腰三角形，符合題意；
B、另外一個內角的度數為180° - 30° - 90° = 60°，則該三角形不是等腰三角形，不符合題意；
C、另外一個內角的度數為180° - 60° - 50° = 70°，則該三角形不是等腰三角形，不符合題意；
D、另外一個內角的度數為180° - 40° - 20° = 120°，則該三角形不是等腰三角形，不符合題意；
故選：A．
2．在VABC 中， A = 36°， B = 72°，則VABC 是（ ）
A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】本題考查三角形的內角和，等腰三角形的判定，根據三角形的內角和求出 C = B = 72° 即可判斷．
【詳解】在VABC 中， A = 36°， B = 72°，
∴ C = 180° - A - B = 72° = B，
∴VABC 是等腰三角形，
故選：B．
3．在VABC 中，若 B = 50°，∠C = 65°，則VABC 等腰三角形．（填“是”或“不是”）
【答案】是
【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內角和定理．根據三角形內角和定理可得 A的度數，
從而得到 A = C ，進而得到BC = AB，即可求解．
【詳解】解：∵ B = 50°，∠C = 65°，
∴ A =180° - B - C = 65°，
∴ A = C ，
∴BC = AB，
∴VABC 是等腰三角形．
故答案為：是
4．在VABC 中， A = 90°，當 B = 度時，VABC 是等腰三角形．
【答案】45
【分析】本題主要考查了等角對等邊，三角形內角和定理，熟知等角對等邊是解題的關鍵．
【詳解】解：∵在VABC 中， A = 90°，
180° -∠A
∴當∠C =∠B = = 45°，VABC 是等腰三角形
2
∴當∠B = 45度時，VABC 是等腰三角形，
故答案為： 45．
5．如圖，在VABC 中， BAC = 60°, C = 40°, ABC 的平分線 交 AC 于點D．判斷△BCD是否為等腰三
角形 請說明理由．
【答案】△BCD是等腰三角形，理由見解析
1
【分析】本題考查了等腰三角形的判定，根據題意求得 CBD = ABC = 40°即可求證．
2
【詳解】解：△BCD是等腰三角形，理由如下：
∵ BAC = 60°, C = 40°,
∴ ABC =180° - BAC - C = 80°
∵BD平分 ABC
1
∴ CBD = ABC = 40°
2
∴ CBD = C
∴DB = DC
∴△BCD是等腰三角形
題型 04 根據等角對等邊證明邊相等
1．如圖，在VABC 中，BC = 6，邊 AB 的垂直平分線交BC 于M ，點 N 在MC 上，連接 AM ， AN ，
C = NAC ，則△MAN 的周長為（ ）
A．6 B．4 C．3 D．12
【答案】A
【分析】本題考查了垂直平分線的性質、等角對等邊，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．先根據
C = NAC ，得出 AN = NC ，結合垂直平分線的性質，得出 AM = BM ，即可作答．
【詳解】解：∵ C = NAC
∴ AN = NC
∵邊 AB 的垂直平分線交BC 于M
∴ AM = BM
∵△MAN 的周長= AM + MN + AN
∴△MAN 的周長= BM + MN + NC = BC = 6
故選：A
2．在VABC 中， AD 平分 BAC， B = 2 ADB，AB = 3，CD = 5，則 AC 的長為（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本題考查的知識點是全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質，解題關鍵
是熟練掌握全等三角形的判定與性質．
在 AC 上截取 AE = AB ，連接DE ，證明VABD≌VAED，得到 B = AED，再證明CD = EC ，進而代入數值
解答即可．
【詳解】解：在 AC 上截取 AE = AB ，連接DE ，
Q AD 平分 BAC ，
\ BAD = EAD ，
在△ABD 和△AED 中，
ìAB = AE

í BAD = EAD，

AD = AD
\VABD≌VAED SAS ，
\ B = AED ， ADB = ADE ，BD = DE，
又 B = 2 ADB，
\ AED = 2 ADB ，
而 BDE = ADB + ADE = 2 ADB ，
\ BDE = AED ，
\ CED = EDC ，
\CD = CE ，
\ AC = AE +CE = AB +CD = 3+5 = 8 ．
故選：C ．
3．如圖，在VABC 中， ABC 和 ACB 的平分線交于點E ，過點E 作MN ∥BC 交 AB 于M ，交 AC 于
N ，若BM + CN = 8，則線段MN 的長為 ．
【答案】8
【分析】本題考查學生對等腰三角形的判定和平行線性質．由角平分線的定義得∠MBE =∠EBC ，
ECN = ECB ，利用兩直線平行，內錯角相等，利用等量代換可得∠MBE =∠MEB ， NEC = ECN ，
然后即可求得結論．解題的關鍵是證明 BM = M E ，EN = CN ．
【詳解】解：∵ ABC 和 ACB 的平分線交于點E ，BM + CN = 8，
∴∠MBE =∠EBC ， ECN = ECB ，
∵MN ∥BC ，
∴ EBC = MEB， NEC = ECB ，
∴∠MBE =∠MEB ， NEC = ECN ，
∴ BM = M E ，EN = CN ，
∴MN = ME + EN = BM + CN = 8，
∴線段MN 的長為8．
故答案為：8．
4．如圖，在VABC 中， AB = 4， AC = 6 ， ABC 和 ACB 的平分線交于 O 點，過點 O 作BC 的平行線交
AB 于 M 點，交 AC 于 N 點，則VAMN 的周長為 ．
【答案】10
【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質，熟練掌握它們的性質將
周長轉換為 AB + AC 是解本題的關鍵．利用角平分線及平行線性質，結合等腰三角形的判定得到MB = MO ，
NC = NO ，將三角形周長轉化為 AB + AC ，求出即可．
【詳解】解：QBO 為 ABC 的平分線，CO為 ACB 的平分線，
\ ABO = CBO， ACO = BCO，
Q MN ∥BC ，
\ MOB = OBC ， NOC = BCO ，
\ ABO = MOB ， NOC = ACO ，
\ MB = MO ， NC = NO ，
\ MN = MO + NO = MB + NC ，
Q AB = 4， AC = 6 ，
\ VAMN 周長為 AM + MN + AN = AM + MB + AN + NC = AB + AC =10，
故答案為：10
5．如圖，VABC 中，CA = CB ，點 D 在BC 的延長線上，連接 AD，AE 平分 CAD交 于點 E，過點 E 作
EF ^ AB，垂足為點 F，與 AC 相交于點 G．．
(1)求證：CG = CE ；
(2)若 B = 30°， CAD = 40°，求 AEF 和 D的度數；
(3)求證： D = 2 AEF ．
【答案】(1)見解析
(2) AEF = 40°， D = 80°
(3)見解析
【分析】題目主要考查角平分線的計算及三角形內角和定理，等角對等邊，理解題意，找準各角之間的關
系是解題關鍵．
（1）根據等邊對等角得出 B = CAB，再由等角的余角相等得出 BEF = AGF ，利用等角對等邊即可證
明；
（2）根據角平分析及等邊對等角得出 CAB = B = 30°，再由三角形內角和定理即可求解；
（3）根據三角形內角和定理得出 AEF = 90° - CAB + EAC ， D =180° - 2 CAB + EAC ，即可證
明．
【詳解】（1）證明：∵CA = CB ，
∴ B = CAB ．
∵EF ^ AB，
∴ AFE = EFB = 90°．
∴ B + BEF = 90°， CAB + AGF = 90°，
∴ BEF = AGF ．
∵ AGF = EGC ，
∴ CEG = EGC ．
∴CG = CE ．
（2）解：∵ AE 平分 CAD，
∴ EAD EAC
1 CAD 1= = = 40° = 20°．
2 2
∵CA = CB ，
∴ CAB = B = 30°．
在△AEF 中， AEF =180° - AFE - CAB - EAC = 40°．
在△ABD 中， D =180° - B - CAB - CAD = 80°．
（3）證明：在△AEF 中，
AEF =180° - AFE - CAB - EAC = 90° - CAB + EAC ．
在△ABD 中，
D =180° - B - CAB - CAD =180° - 2 CAB + EAC ．
∴ D = 2 AEF ．
題型 05 根據等角對等邊求邊長
1．如圖，在VABC 中， B = C ， AB = 4，則 AC 的長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】此題考查等腰三角形的性質．根據等腰三角形的等角對等邊解答即可．
【詳解】解：Q B = C ，
\VABC 是等腰三角形，
\ AB = AC = 4，
故選：C．
2．如圖，在VABC 中， ABC 的平分線交 AC 于點 D，AD = 6，過點 D 作DE∥BC 交 AB 于點 E，若△AED
的周長為 16，則邊 AB 的長為（　　）
A．10 B．8 C．6 D．16
【答案】A
【分析】由題意可知 ABD = DBC ， EDB = DBC ，有 ABD = EDB ，可知BE = DE ，由三角形的周
長可求 AE + ED的值，由 AB = AE + BE = AE + DE可求 AB 的值．
【詳解】解：Q BD是 ABC 的平分線
\ ABD = DBC
∵DE∥BC
∴ EDB = DBC
∴ ABD = EDB
∴BE = DE
∵△AED 的周長為 16，
∴ AE + ED + AD =16
∵ AD = 6，
∴ AE + ED =10
∴ AB = AE + BE = AE + DE =10
故選 A．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定，解題的關鍵在于推導出BE = DE ．
3．如圖，在VABC 中， AB =12， AC = 9，沿過點 A 的直線折疊這個三角形，使點 C 落在 AB 邊上的點 E
1
處，折痕為 AD ，若 ADE = C ，則BD的長是 ．
2
【答案】3
【分析】本題考查了折疊的性質，等邊對等角．由折疊的性質可得： BAD = CAD ， AE = AC = 9，
C = AED，進而證得 BDE = BED，得到BD = BE = 3．
【詳解】解：由折疊的性質可得： BAD = CAD ， AE = AC = 9， C = AED， ADE = ADC ，
QAB =12，
\BE = AB - AE = 3，
Q ADE 1= C ，即 C = 2 ADE2 ，
\ EDC = AED ，
\ BDE = BED ，
\BD = BE = 3，
故答案為：3．
4．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°， AC =10， BC =12，點 D 是 AC 邊的中點，點 E 是 BC 邊上一動點，
將VCDE沿DE 折疊得到VC DE，連接BC ，當△BEC 是直角三角形時， BE 的長為 ．
26
【答案】 或 7
3
【分析】本題考查翻折變換，直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，
屬于中考常考題型．分兩種情形：如圖 1 中，當 EC B = 90°時，如圖 2 中，當 BEC = 90°時，分別求解
即可．
【詳解】解：如圖 1 中，當∠EC B = 90°時，
Q C = DC E = 90°，
\ DC E + EC A = 180°，
\ D ，C ， B 共線，
QCD = DB = 5，BC =12，
\AD = CD2 + BC2 = 52 +122 =13，
設CE = EC = x ，則BE =12 - x ，
在Rt△BEC 中，則有 (12 - x)2 = x2 + (13- 5)2
x 10解得 = ，
3
BE 12 10 26\ = - =
3 3 ；
如圖 2 中，當 BEC = 90°時， CED = DEC = 45° ，
Q C = 90° ，
\ CDE = CED = 45°，
\CD = CE = 5 ，
\ BE = 15 - 2 = 7 ，
26
綜上所述，滿足條件的CE的值為 或 7．
3
26
故答案為： 或 7．
3
5．如圖， BAC = 100°, B = 40°， D = 20°，AB = 3，求CD的長．
【答案】3
【分析】本題主要考查了等角對等邊，三角形內角和定理，三角形外角的性質，先根據三角形內角和定理
求出 B = ACB = 40°，得到 AC = AB = 3，再由三角形外角的性質得到∠CAD = 20° = D ，則
CD = AC = 3．
【詳解】解：∵ BAC = 100°, B = 40°，
∴ ACB =180° - BAC - B = 40°，
∴ B = ACB，
∴ AC = AB = 3，
∵ ACB = D + CAD = 40° ， D = 20°，
∴∠CAD = 20° = D ，
∴CD = AC = 3．
題型 06 直線上與已知兩點組成等腰三角形的點
1．點 A，B 在直線 l 同側，若點 C 是直線 l 上的點，且VABC 是等腰三角形，則這樣的點 C 最多有（ ）
A．5 個 B．4 個 C．3 個 D．2 個
【答案】A
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，先以 A 點為圓心，AB 為半徑作弧交直線 l 于點C1、C2 ，再
先以 B 點為圓心，BA為半徑作弧交直線 l 于點C3，C4，最后作 AB 的垂直平分線交直線 l 于點C5 ．
【詳解】解：如圖，點C1、C2、C3、C4、C5 為所作，
故答案為：A．
2．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A 的坐標為 (3, 4) ，點 P 是坐標軸上的一點，使VOAP為等腰三
角形的點 P 的個數有（　　）
A．5 個 B．6 個 C．7 個 D．8 個
【答案】D
【分析】本題考查了坐標與圖形的性質及等腰三角形的判定．分別以O、A 為圓心，以OA長為半徑作圓，
與坐標軸交點即為所求點 P ，再作線段OA的垂直平分線，與坐標軸的交點也是所求的點 P ，作出圖形，利
用數形結合求解即可．
【詳解】解：如圖，滿足條件的點 P 的個數為 8 個．
故選：D．
3．如圖，點O在直線 l上，點A 在直線 l外.若直線 l上有一點 P 使得△APO為等腰三角形，則滿足條件的點
P 位置有 個.
【答案】4
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，垂直平分線的性質，根據題意，分三種情況求解，即可得到答案，
利用分類討論的思想解決問題是關鍵．
【詳解】解：如圖，
①以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與直線 l交于點P1、P2，
此時OA = OP1 = OP2 ，△AP1O 和VAP2O為等腰三角形，
②以A 為圓心，OA長為半徑畫弧，與直線 l交于點P3 ，
此時OA = OP2，VAP3O為等腰三角形，
③作OA的垂直平分線，與與直線 l交于點P4，
此時OP4 = AP4 ，VAP4O為等腰三角形，
即滿足條件的點 P 位置有 4 個，
故答案為：4．
4．如圖，已知Rt△ABC 中， C = 90°, A = 30° .在直線BC 或 AC 上取一點 P，使得VPAB 是等腰三角形，
則符合條件的 P 點有 個.
【答案】6
【分析】本題考查了等腰三角形的判定來解決實際問題。根據題意，畫出圖形結合求解．
【詳解】如圖，第 1 個點在 AC 上，作線段 AB 的垂直平分線，交 AC 于點 P，則有PA = PB ；
第 2 個點是以 A 為圓心，以 AB 長為半徑截取 AP = AB ，交 AC 延長線上于點 P；
第 3 個點是以 A 為圓心，以 AB 長為半徑截取 AP = AB ，在上邊于CA延長線上交于點 P；
第 4 個點是以 B 為圓心，以BA長為半徑截取BP = BA，與 AC 的延長線交于點 P；
第 5 個點是以 B 為圓心，以BA長為半徑截取BP = BA，與BC 在左邊交于點 P；
第 6 個點是以 A 為圓心，以 AB 長為半徑截取 AP = AB ，與BC 在右邊交于點 P；
故符合條件的點 P 有 6 個點．
故答案為：6．
5．如圖，在直線EF 上有一點A ，直線外有一點 B ，點C 在直線EF 上， 是以 AB 、 AC 為腰的等腰三
角形．
（1）在圖中畫出
（2）已知 BAF = 40°，求 BCA
【答案】（1）見解析；（2）70°或 20°
【分析】（1）根據等腰三角形的定義畫出圖形（注意有兩種情形）．
（2）分兩種情形，利用三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：（1）如圖，△ABC，△ABC′即可所求．
（2）在△ABC 中，∵∠CAB=40°，AB=AC，
1
∴∠ACB=∠ABC= （180°-40°）=70°．
2
在△ABC′中，∠BAC′=180°-40°=140°，AB=AC′，
1
∴∠AC′B=∠ABC′= （180°-140°）=20°．
2
綜上所述，∠ACB=70°或 20°．
【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問
題，屬于中考常考題型．
題型 07 求與圖形中任意兩點構成等腰三角形的點
1．已知VABC 中， AB = AC ． A =108°，在平面內找一點 P ，使得VPAB ，VPAC ，VPBC 都是等腰三角
形，則這樣的 P 點有（ ）個
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根據等腰三角形定義，畫出圖形即可解決問題．
【詳解】解：如圖，以點 A 為圓心， AB 為半徑畫圓，
以點 B 為圓心， AB 為半徑畫圓，以點 B 為圓心，BC 為半徑畫圓，
以點 C 為圓心， AC 為半徑畫圓，以點 C 為圓心，BC 為半徑畫圓，
再作 AB ， AC ，BC 的垂直平分線，分別得到 8 個點 P，
則滿足條件的所有點 P 的個數為 8，
故選：C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，熟練掌握等腰三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．
2．已知：如圖VABC 中， B=60°， C = 80°，在直線 BA 上找一點 D，使VACD或△BCD為等腰三角形，
則符合條件的點 D 的個數有（　　）
A．7 個 B．6 個 C．5 個 D．4 個
【答案】B
【分析】分VACD或△BCD為等腰三角形兩種情況畫出圖形即可判斷．
【詳解】解：如圖：當BC = BD 時，△BCD是等腰三角形；
∵ CBA=60°，∴△BCD是等邊三角形，∴BC = BD = CD ；
當BC = BD1 時，△BCD是等腰三角形；
當 AC = AD2 = AD3 ，CA = CD4 ，當CD5 = D5 A時，VACD都是等腰三角形；
綜上，符合條件的點 D 的個數有 6 個．
故選：B．
【點睛】本題考查等腰三角形存在問題，如果題中沒有說明等腰三角形的腰或者底分別是哪條線段，都要
進行分類討論，讓三條線段分別兩兩相等，得出三種情況，再根據題意看有沒有需要排除的情況，然后再
一一分析符合條件的圖形．
3．如圖，在VABC 中， B = 25°, A = 100°，點 P 在VABC 的三邊上運動，當VPAC 成為等腰三角形時，
其頂角的度數是 ．
【答案】100°或 55°或 70°
【分析】作出圖形，然后分點 P 在 AB 上與 BC 上兩種情況討論求解．
【詳解】解：①如圖 1，點 P 在 AB 上時，AP=AC，頂角為∠A=100°，
②∵∠ABC=25°，∠BAC=100°，
∴∠ACB=180°-25°-100°=55°，
如圖 2，點 P 在 BC 上時，若 AC=PC，頂角為∠ACB=55°，
如圖 3，若 AC=AP，則頂角為∠CAP=180°-2∠ACB=180°-2×55°=70°，
綜上所述，頂角為 105°或 55°或 70°．
故答案為：100°或 55°或 70°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，難點在于要分情況討論求解，作出圖形更形象直觀．
4．如圖， AOB = 60°，C 是OB 延長線上一點，若OC = 18cm，動點 P 從點C 出發沿CB 以 2cm/ s的速度
移動，動點Q從點O沿OA以1cm/ s 的速度移動，如果點 P 、Q同時出發，用 t(s)表示移動的時間，當 t = s
時，△POQ 是等腰三角形？
【答案】6 或 18
【分析】分點 P 在線段 OC 上和點 P 在線段 OB 上兩種情況，分別根據等腰三角形的定義列出等式，求解即
可得．
【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：
（1）點 P 在線段 OC 上時，若 ΔPOQ 是等腰三角形，則只有 OP=OQ 才滿足
因此有 18 2t=t
解得 t=6(s)
（2）點 P 在線段 OB 上時，若 ΔPOQ 是等腰三角形，
∵ AOB = 60°
∴ΔPOQ 也是等邊三角形
因此有 2t 18=t
解得 t=18(s)
綜上，當 t 等于 6s 或 18s 時，ΔPOQ 是等腰三角形
故答案為：6 或 18．
【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，依據題意，正確分兩種情況討論是解題關鍵．
5．如圖，在VABC 中， AB = AC = BC ，VABC 所在的平面上有一點 P （如圖中所畫的點P1），使VPAB ，
△PBC ， VPAC 都是等腰三角形，問：具有這樣性質的點 P 有幾個（包括點P1）？在圖中畫出來．
【答案】圖見解析，10
【分析】根據等腰三角形的兩邊相等，可通過作線段的垂直平分線得出滿足條件的點；
【詳解】解：如圖，在VABC 的邊BC 的中垂線上有P1，P3 ，P6 和P8 四個點滿足條件，而這樣的對稱軸有
三條，且三條對稱軸都經過點P1，
，
所以滿足條件的點 P 共有 4 3- 2 =10 個．
【點睛】本題考查等腰三角形的判定（有兩條邊相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三線和一
性質是解答關鍵．
題型 08 作等腰三角形（尺規作圖）
1．如圖，已知直線m P n，線段 AC 分別與直線 m，n 相交于點 B 、點C ，以點A 為圓心， 的長為半徑畫
弧交直線m 于點 B 、點D．若 A = 70°，則a 的度數為（ ）
A． 45° B．50° C．55° D．60°
【答案】C
【分析】本題主要考查了尺規作圖，等腰三角形的性質，平行線的性質等知識點，先由尺規作圖得出 AB = AD ，
由等邊對等角得出 ABD = ADB = 55°，進而即可得解，熟練掌握等邊對等角及平行線的性質是解決此題
的關鍵．
【詳解】∵以點 A 為圓心， AB 的長為半徑畫弧交直線 m 于點 B、點 D，
∴ AB = AD ,
∴ ABD = ADB ，
∵ A = 70° ,
∴ ABD = ADB
180° - 70°
= = 55° ，
2
∵m∥n，
∴ ABD = a = 55°，
故選：C．
2．如圖，已知直線 l 及直線 l 外一點 P，過點 P 作直線 l 的平行線，下面四種作法中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查尺規作圖規范和平行線的判定，解題的關鍵在于明白尺規作圖的原理．根據題意逐一對
選項進行分析即可得到本題答案．
【詳解】解：A 選項利用等腰三角形性質等邊對等角，角平分線的定義及內錯角相等證明兩直線平行，
B 選項利用同位角相等判定兩直線平行，
C 選項無法判斷兩直線平行，
D 選項利用內錯角相等即可證明兩直線平行，
故選：C．
3．如圖，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以點 B 為圓心，BC 長為半徑畫弧，交 AB 于點 D，
連接 CD，則∠ACD 的度數是 ．
【答案】20°
【分析】根據三角形的內角和定理和等腰三角形的性質即可求解．
【詳解】解：Q在RtDABC中， ACB = 90°， A = 50°，
\ B = 40°，
QBC = BD，
\ BCD = BDC 1= (180° - 40°) = 70°
2 ，
\ ACD = 90° - 70° = 20°．
故答案為：20°
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，正確的理解題意是解題的關鍵．
4．如圖，直線 a，b 相交于點O， 1＝50°，點A 是直線上的一個定點，點 B 在直線b 上運動，若以點O，
A ， B 為頂點的三角形是等腰三角形，則 OAB的度數是 ．
【答案】 25o ， 65o ，80o或50o
【分析】根據△OAB 為等腰三角形，所以需要分三種情況討論：①OB=AB，作線段 OA 的垂直平分線，與
直線 b 的交點為 B，即可得到等腰三角形 OAB；②當 OA=AB 時，③當 OA=OB 時，以點 A 為圓心，OA 為
半徑作圓，即可得到符合的點 B，即可得解．
【詳解】要使△OAB 為等腰三角形分三種情況討論：
①當 OB=AB 時，作線段 OA 的垂直平分線，與直線 b 的交點為 B，此時有 1 個；
OAB = 1 = 50o.
②當 OA=AB 時，以點 A 為圓心，OA 為半徑作圓，與直線 b 的交點為 B，此時有 1 個；
OBA = 1 = 50o.
\ OAB =180o - 50o - 50o = 80o.
③當 OA=OB 時，以點 O 為圓心，OA 為半徑作圓，與直線 b 的交點為 B，此時有 2 個，
OAB 1= 1 = 25o.
2
OAB 1 = 180o - 50o = 65o．
2
故答案為 25o ， 65o ，80o或50o
【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定，掌握分類討論思想是解決本題的關鍵．
5．已知：線段 a，h，求作等腰VABC ，使底邊 BC = a，高 AD = h，（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，
不必寫作法和證明）．
【答案】見解析
【分析】根據線段的基本作圖，線段的垂直平分線的基本作圖，解答即可．
本題考查了線段的基本作圖，線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握作圖的基本技能是解題的關鍵．
【詳解】解：根據基本作圖的步驟，作圖如下：
（1）作射線BG ；
（2）在射線BG 上截取 BC = a；
（3）作BC 的中垂線 AD ，交BC 于點 D；
（4）截取DA = h，
則等腰VABC 就是所求的三角形．
題型 09 等腰三角形的性質和判定
1．如圖，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于點F ，交BC 于點E ，若VABC
周長為16，AC = 6，則DC 為（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本題主要考查垂直平分線的性質，等腰三角形的三線合一的運用，
根據VABC 周長為16， AC = 6 ，可得 AB + BC =10 ，根據垂直平分線的性質可得EA = EC ，根據
AB = AE 1，AD ^ BC ，可得BD = DE，所以 AB + BD = AE + DE = AB + BC = 5，由此即可求解．
2
【詳解】解：∵VABC 周長為16，
∴ AB + BC + AC =16，
∵ AC = 6 ，
∴ AB + BC =10 ，
∵EF 垂直平分 AC ，
∴EA = EC ，
∵ AB = AE，AD ^ BC ，
∴BD = DE，
∴ AB + BD = AE + DE
1
= AB + BC = 5，
2
∴DC = DE + EC = AE + DE = 5，
故選：A．
2．如圖，在VABC中， AB = AC =16，點E 是BC 邊上任意一點，過點E 分別作 AB，AC 的平行線，交 AC
于點F ，交 于點D，則四邊形 ADEF 的周長是（ ）
A．32 B．24 C．16 D．8
【答案】A
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質，平行線的性質，根據題意可得VABC，VBDE，VEFC 都是等腰
三角形，由此可得 AD + DE = AD + BD，AF + EF = AF + FC ，由此即可求解．
【詳解】解：∵ AB = AC ，
∴VABC是等腰三角形，則 B = C ，
∵DE P AC，EF P AB ，
∴ DEB = C， FEC = B ，
∴ B = DEB = FEC = C ，
∴DB = DE，FE = FC ，
∵四邊形 ADEF 的周長= AD + DE + EF + AF ，
= AD + DB + FC + AF
= AB + AC
= 32，
故選：A ．
3．如圖，在VABC 中，BD和CD分別是 ABC 和 ACB 的平分線，EF 過點 D，且EF∥BC ，若
BE = 3，CF = 4，則EF 的長為 ．
【答案】7
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質．根據角平分線與平行兩個條件，可證出等
腰三角形即可解答．
【詳解】解：∵BD和CD分別是 ABC 和 ACB 的平分線，
∴ ABD = DBC， ACD = DCB，
∵EF∥BC ，
∴ EDB = DBC， FDC = DCB ，
∴ ABD = EDB， ACD = FDC ，
∴EB = ED = 3，FD = FC = 4，
∴EF = ED + DF = 3+ 4 = 7，
故答案為：7．
4．如圖，在Rt△ABC 中， A = 90°， C = 30°，作邊BC 的垂直平分線，交 AC 于點D，交BC 于點E ．若
AD = 3，則 的長為 ．
【答案】3
【分析】本題考查了垂直平分線的性質，等腰三角形的性質與判定，角平分線的性質；根據題意得出
ABD = DBE ，進而根據角平分線的性質，即可求解．
【詳解】解：Q A = 90°， C = 30°，
\ ABC = 90° - C = 60°，
QDE 是BC 的垂直平分線，
\DB = DC ，
\ DBC = C = 30°，
\ ABD = ABC - DBC = 30°，
\ ABD = DBC = 30°，
\BD平分 ABC ，
QDA ^ AB ，DE ^ BC ，
\DA = DE = 3，
故答案為：3．
5．如圖，在VABC 中，點 E 在 AB 上，點 D 在BC 上，BD = BE ， BAD = BCE ， AD 與CE相交于點 F．
(1)證明：BA = BC ；
(2)求證：VAFC 為等腰三角形．
【答案】(1)證明過程見解答
(2)證明過程見解答
【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質與判定．
（1）利用 AAS 證明VABD≌VCBE 可證得答案；
（2）由（1）易得 BAC = BCA，進而可求得 FAC = FCA，即可證明結論．
【詳解】（1）證明：在△ABD 和△CBE 中，
ì BAD = BCE

í B = B ，

BD = BE
∴VABD≌VCBE AAS ，
∴BA = BC ；
（2）證明：∵BA = BC ，
∴ BAC = BCA，
∵ BAD = BCE ，
∴ FAC = FCA，
∴FA = FC ，
∴VAFC 為等腰三角形．
題型 10 三角形邊角的不等關系
1．若等腰三角形的一邊長等于 2，另一邊長等于 3，則它的周長等于（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．7 或 8
【答案】D
【分析】分邊長 2 為腰和邊長 3 為腰兩種情況解答，并運用三角形的三邊關系驗證解答即可．
【詳解】解：①當邊長 2 為腰時，三邊為 2、2、3，由 2+2＞3，則可組成三角形，即周長為 2+2+3=7；
②當邊長 3 為腰時，三邊為 3、3、2，由 2+3＞3，則可組成三角形，即周長為 2+3+3=8；
所以該等腰三角形的周長為 7 或 8．
故答案為 D．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的定義以及三角形的三邊關系，正確應用三角形的三邊關系是解答本
題的關鍵、也是解答本題的易錯點．
2．如圖，VABC 中， AB = 5, AC = 9, BC = 10, EF 垂直平分BC ，點 P 為直線EF 上的任一點，則VABP周長
的最小值是（ ）
A．10 B．14 C．15 D．19
【答案】B
【分析】連接 PC，由題意易得BP = PC ，進而可得要使VABP周長為最小，則需滿足BP + AP 為最小，即
PC + AP 為最小，然后根據三角形邊角不等關系可得當點 A、P、C 三點共線時滿足題意，最后問題可求解．
【詳解】解：連接 PC，如圖所示：
∵EF 垂直平分BC ，
∴BP = PC ，
∵ AB = 5, AC = 9, BC =10 ，
∴VABP的周長為 AB + BP + AP = 5 + BP + AP，
若使VABP周長為最小，則需滿足BP + AP 為最小，即PC + AP 為最小，
∵PC + AP AC ，
∴當點 A、P、C 三點共線時，PC + AP 為最小，即為 AC 的長，
∴VABP的周長最小值為5 + BP + AP = 5 + 9 =14；
故選 B．
【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質定理及三角形邊角不等關系，熟練掌握線段垂直平分線的性
質定理及三角形邊角不等關系是解題的關鍵．
3．等腰三角形周長為 20，一邊長為 4，則另兩邊長為 ．
【答案】8，8
【分析】從等腰三角形的腰為長為 4 與等腰三角形的底邊為 4 兩種情況去分析求解即可求得答案．
【詳解】解：若等腰三角形的腰為長為 4，設底邊長為 x，
則有 x+4×2=20，
解得：x=12，
此時，三角形的三邊長為 4，4，12，
∵4+4＜12，
∴不可以組成三角形；
若等腰三角形的底邊為 4，設腰長為 x，
則有 2x+4=20，
解得：x=8，
∵4+8＞8，
∴可以組成三角形；
∴三角形的另兩邊的長分別為 8，8．
故答案為：8，8．
【點睛】本題考查等腰三角形的定義和性質，利用分類討論思想解題是關鍵．
4．等腰三角形的一邊是 7，另一邊是 4，其周長等于 .
【答案】15 或 18
【詳解】當 7 為底時，其它兩邊都為 4，7、4、4 可以構成三角形，周長為 15；
當 7 為腰時，其它兩邊為 4 和 7，4、7、7 可以構成三角形，周長為 18，
故答案是：18 或 15．
5．已知 a、b 、 c為VABC 的三邊長， a、b 滿足 (a - 2)2 + | b - 3 |= 0 ，且 c為方程 | x - 6 |= 3的解，求VABC
的周長并判斷VABC 的形狀.
【答案】VABC 的周長為 8，VABC 為等腰三角形
【分析】利用絕對值的性質以及偶次方的性質得出 a，b 的值，再解方程 | x - 6 |= 3得到 c 可能的取值，進而
利用三角形三邊關系確定 c 的值，求出△ABC 的周長和判斷出其形狀．
【詳解】解：∵ (a - 2)2 + | b - 3 |= 0 ，
∴a - 2 = 0，b - 3 = 0，
∴ a = 2，b = 3，
解方程 | x - 6 |= 3，
解得 x = 3或 x = 9 ，
∴c 可能為 3 或 9，
但是 c = 9時，不滿足三角形三邊關系定理，故舍去.
∴ a = 2，b = 3， c = 3，
∵ a + b + c = 2 + 3 + 3 = 8，b = c，
∴VABC 的周長為 8，VABC 為等腰三角形.
【點睛】此題主要考查了三角形三邊關系以及絕對值的性質和偶次方的性質，得出 a 的值是解題關鍵．
題型 11 等邊三角形的判定
1．在下列命題中：①有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形；②有兩個外角相等的等腰三角形是等
邊三角形；③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等邊三角形；④三個外角都相等的三角形是等邊
三角形．正確的命題有（ ）
A．4 個 B．3 個 C．2 個 D．1 個
【答案】C
【分析】此題主要考查了命題與定理，關鍵是掌握等邊三角形的判定方法．根據有一個角等于60°的等腰三
角形是等邊三角形，三個角相等的三角形是等邊三角形進行分析即可．
【詳解】解：①有一個外角是120°等腰三角形，即有一個內角是60°，故此三角形是一個內角為60°的等腰
三角形，是等邊三角形，故正確；
②有兩個外角相等的等腰三角形不一定是等邊三角形，命題錯誤；
③有一邊上的高也是這邊上的中線的三角形不一定是等邊三角形，命題錯誤；
④三個外角都相等的三角形是等邊三角形，命題正確，
正確的命題有 2 個，
故選：C．
2．在VABC 中， A = 60°，添加下列一個條件后，仍不能判定VABC 為等邊三角形的是（ ）
A． AB = AC B． AD ^ BC C． B = C D． A = C
【答案】B
【分析】本題考查了等邊三角形的判定，三角形內角和定理，等邊對等角，掌握等邊三角形的定義是解題
關鍵．根據選項所給條件逐一判斷即可．
【詳解】解：A、 AB = AC
1
，則 B = C = 180° - A = 60° ，VABC2 為等邊三角形，不符合題意；
B、 AD ^ BC ，若D不是BC 的中點時，則VABC 不是等邊三角形，符合題意；
C、 B = C
1
= 180° - A = 60° ，VABC2 為等邊三角形，不符合題意；
D、 A = C = 60°，則 B=60°，VABC 為等邊三角形，不符合題意；
故選：B．
3．在VABC 中， B = C ，若添加一個條件使VABC 是等邊三角形，則添加的條件可以是 ．（寫出一
個即可）
【答案】 B = A（答案不唯一）
【分析】本題考查了等角對等邊，等邊三角形的判定，解題的關鍵是掌“等角對等邊”，以及三條邊相等的三
角形是等邊三角形；三個角相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于 60 度的等腰三角形是等邊三角形．
根據 B = C 得出 AC = AB ，結合等邊三角形的判定定理即可解答．
【詳解】解：①當 AC = BC 時，
∵ B = C ，
∴ AC = AB ，
∴ AC = AB = BC ，即VABC 是等邊三角形；
②當 B = A時，
∵ B = C ，
∴ A = B = C ，即VABC 是等邊三角形；
③當 A = 60°時，
∵ B = C ，
∴ AC = AB ，
∵ A = 60°，
∴VABC 是等邊三角形；
故答案為： B = A（答案不唯一）
4．已知 a，b ， c為VABC 三邊的長，當 a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc 時，則VABC 的形狀是 ．
【答案】等邊三角形
【分析】本題考查了因式分解的應用、非負數的性質、等邊三角形的判斷．解題的關鍵是將已知等式利用
完全平方公式變形，利用非負數的性質得出 a，b，c 之間的關系．
【詳解】解：VABC 為等邊三角形，理由如下：
∵ a2 + 2b2 + c2 = 2ab + 2bc ，
∴ a2 - 2ab + b2 + b2 - 2bc + c2 = 0，
∴ a - b 2 + b - c 2 = 0，
a - b 2 0, b - c 2∵ 0，
∴ a - b = 0，b - c = 0，
∴ a = b，b = c，
∴ a = b = c，
∴VABC 為等邊三角形．
5．如圖，在四邊形 ABCD中， AD∥BC ， B = D，點 E 在BA的延長線上，連接CE．
(1)求證： E = ECD；
(2)若 E = 60°，CE平分 BCD，請判斷VBCE 的形狀并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)VBCE 是等邊三角形
【分析】（1）由平行線的性質得到 EAD = B，已知 B = D，則 EAD = D，可判定BE P CD ，即可
得到 E = ECD；
（2）由 E = ECD， E = 60°，得到 ECD = E = 60°，由CE平分 BCD，得到 BCE = ECD ，進一
步可得 B = BCE = E ，即可證明VBCE 是等邊三角形．
【詳解】（1）證明：Q AD P BC
\ EAD = B
Q B = D
\ EAD = D
∴BE P CD
∴ E = ECD
（2）VBCE 是等邊三角形
∵CE平分 BCD，
\ BCE = ECD
∵BE P CD
\ ECD = E = 60°
\ B =180° - E - BCE = 60°
\ B = BCE = E
∴VBCE 是等邊三角形
【點睛】此題考查了平行線的判定和性質、等邊三角形的判定、三角形內角和定理、角平分線的定義等知
識，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．
題型 12 等邊三角形的判定和性質
1．如圖， AOB = 30°，點 P 在 AOB的內部，點 C，D 分別是點 P 關于OA、OB的對稱點，連接CD交OA、OB
分別于點 E，F；若!PEF 的周長的為 9，則線段OP =（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本題考查軸對稱的性質，等邊三角形的判定和性質．連接OD ，OC ．證明△COD 是等邊三角形，
進而可得結論．
【詳解】解：連接OD ，OC ．
Q點C ，D分別是點 P 關于OA，OB 的對稱點，
\OP = OC = OD， BOP = BOD， POA = AOC ， FD = FP，EP = EC ，
\ COD = 2 AOB = 60°，
\VCOD 是等邊三角形，
\CD = OD，
QPF + EF + EP = DF + EF + EC = CD = 9，
\OP = 9．
故選：B．
2．若一個等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，則這個等腰三角形的底角為（ ）
A．75° B．15° C．30°或150° D．15°或75°
【答案】D
【分析】此題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，三角形內角和定理等知識，解
題的關鍵是注意數形結合思想與分類討論思想的應用．
當VABC 是銳角三角形時，然后證明出VADE≌VADC SAS ，得到 AE = AC ，證明出△AEC 是等邊三角形，
得到 ACD = 60°，然后利用三角形內角和定理和等邊對等角求解即可，當VABC 鈍角三角形時，同理求解即
可．
【詳解】解：如圖①：VABC 是等腰三角形， AB = AC ，CD ^ AB ，延長CD使DE = CD，
∵CD ^ AB ，
∴ ADE = ADC = 90° ，
又∵DE = CD， AD = AD
∴VADE≌VADC SAS
∴ AE = AC
∵ AC = 2CD ，CE = 2CD
∴ AE = AC = EC
∴△AEC 是等邊三角形
∴ ACD = 60°
∵CD ^ AB
∴ CAD =180° - ADC - ACD = 30°
∵ AB = AC
1
∴ B = C = 180° - BAC = 75°；
2
如圖②：VABC 是等腰三角形， AB = AC ，CD ^ AB ，延長 AD 使DE = AD，
同理可得，△ACE是等邊三角形
∴ CAD = 30°
∴ BAC =180° - CAD =150°
∵ AB = AC
∴ B = ACB
1
= 180° - BAC =15°
2
綜上所述，這個三角形的底角為15°或75°．
故選：D．
3．如圖，已知 AOB = 30°， P 是 AOB內部的一個定點，且OP =1，點 E 、 F 分別是OA、OB 上的動點，
則!PEF 周長的最小值等于 ．
【答案】1
【分析】本題考查軸對稱求最短距離．作 P 點關于OA的對稱點P ，作 P 點關于OB 的對稱點P ，連接P P
交OA于點E 、交BO于點F ，連接OP 、OP ，此時!PEF 周長最小為P P ，由對稱性可求VOP P 是等邊
三角形，則可求P P 的長為 1．
【詳解】解：作 P 點關于OA的對稱點P ，作 P 點關于OB 的對稱點P ，連接P P 交OA于點E 、交BO于
點F ，連接OP 、OP ，
由對稱性可知，PE = P E ，PF = P F ，
\VPEF 周長 = PE + PF + EF = P E + P F + EF = P P ，
此時!PEF 周長最小，
QPO = OP ，OP = OP ，
\OP = OP ，
Q AOB = 30°，
\ P OP = 60°，
\ VOP P 是等邊三角形，
QOP =1，
\ P P = 1，
故答案為：1．
4．如圖，等邊VABC 的邊長為 4cm ，點 Q 是 AC 的中點，若動點 P 以 2cm /秒的速度從點 A 出發沿 A B A
方向運動設運動時間為 t 秒，連接 PQ，當△APQ 是等腰三角形時，則 t 的值為 秒．
【答案】1 或 3/3 或 1
【分析】此題考查了等邊三角形的性質和判定．此題屬于動點問題，難度適中，注意掌握分類討論思想與
數形結合思想的應用．
由等邊VABC 的邊長為 4cm ，點Q是 AC 的中點，可求得 AQ 的長，然后 A = 60°，可得△APQ 為等邊三角
形，分析△APQ 為等邊三角形即可求得答案．
【詳解】解：∵等邊VABC 的邊長為 4cm ，點Q是 AC 的中點，
1
∴ AQ = AC = 2cm， A = 60°，
2
∴當△APQ 是等腰三角形時，可得三角形 APQ為等邊三角形，
∴ AP = AQ = PQ ，
∵ AQ = 2 ，
∴ AP = 2 ，
∵動點 P 的速度為 2cm /秒，
∴當 P 從 A B 時， t = 2 2 =1，當 P 從B A時， t = 4 + 2 2 = 3．
故答案為：1 或 3．
5．如圖，D是等邊VABC 外的一點，BC = 3，DB = DC ， BDC =120°，點E 、F 分別在 AB 和 AC 上．
(1)求證： AD 是BC 的垂直平分線
(2)若ED平分 BEF ，
①證明：FD 平分 EFC ；
②求△AEF 的周長．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②△AEF 的周長為 6
【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質、垂直平分線的性質、角平分線的性質、等邊三角形的性
質，正確作出輔助線是解決此題的關鍵．
（1）根據等邊三角形的性質可得 AB = AC ，再結合DB = DC ，根據線段垂直平分線的判定定理可完成證明；
（2）①過點D作DM ^ EF 于點M ，結合（1）的結論，根據等邊三角形的性質可得 AD 平分 BAC ，再
結合等邊三角形的性質可證得DB ^ AB ，DC ^ AC ；然后利用角平分線的性質可得BD = DM ，進而可得
DM = DC ，再結合角平分線的判定定理可完成證明；
②證明VEBD≌VEMD，則BE = ME ，同理可得FC = FM ，進而可得△AEF 的周長= 2BC ，據此可完成解答．
【詳解】（1）解：∵VABC 是等邊三角形，
∴ AB = AC ，
∴點A 在BC 的垂直平分線上，
∵DB = DC ，
∴點D在BC 的垂直平分線上，
∴ AD 是BC 的垂直平分線．
（2）解：①：過點D作DM ^ EF ，
∵DB = DC ， BDC =120°，
∴ DBC = DCB = 30°，
又∵VABC 是等邊三角形，
∴ ABC = ACB = 60°，
∴ ABD = ACD = 90°，
∴DB ^ AB ，DC ^ AC ，
∵ED平分 BEF ，
∴DB = DM ，
又∵DB = DC ，
∴DM = DC ，
∴FD 平分 EFC ．
②解：由①知，VBDE 、VMDE 、△MDF 、VCDF 都為直角三角形，且DB = DM = DC ，
在Rt△BDE 和Rt△MDE中，
∵DB = DM ，DE = DE ，
∴△BDE≌△MDE ，
∴BE = ME ，
同理：
CF = MF ，
∴ AE + AF + EF = AE + BE + AF + CF = AB + AC = 2BC = 6，
即△AEF 的周長為 6．
1．如圖，VABC 中， AB = AE ，且 AD ^ BC ，EF 垂直平分 AC ，交 AC 于點 F，交BC 于點 E，若VABC
周長為 16， AC = 6 ，則DC 為（　　）
A．5 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本題主要考查線段的垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握垂直平分線的性質是解題
的關鍵．根據三角形的周長公式求出 AB + BC ，再根據題意得到EA = EC ，根據等腰三角形的性質得到
BD = DE，即可得到答案．
【詳解】解：QVABC 周長為 16，
\ AB + BC + AC = 16，
Q AC = 6，
\ AB + BC =10，
QEF 垂直平分 AC ，
\ EA = EC ，
Q AB = AE, AD ^ BC ，
\BD = DE，
\ AB + BD = AE + DE 1= (AB + BC) = 5，
2
\DC = DE + EC = AE + DE = 5，
故選：A．
2．如圖，在VABC 中， AB = AC ， BAC = 45°， AD ^ BC 于點D，BE ^ AC 于點E ，交 AD 于點F ，若
AF =10 ，則BD的長為（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
1
【分析】由題意得 DAC = BAC = 22.5
1
°， ABC = 180° - 45° = 67.5°，根據角度關系可得
2 2
1
EBC = 67.5 - 45° = 22.5°，進一步判定VAEF≌VBEC ，得出BC = AF =10，進一步得出BD = BC = 5即可．
2
本題考查了等腰三角形的性質及全等三角形的判定和性質，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【詳解】：∵ AB = AC ， BAC = 45°， AD ^ BC ，
1 1
∴ DAC = BAC = 22.5°， ABC = 180° - 45° = 67.5°，
2 2
∵ BAC = 45°，
∴ EBA = 45°，
∴ AE = BE ， EBC = 67.5 - 45° = 22.5°，
∴ EBC = DAE ，
又∵ BEC = AEB = 90°，
∴VAEF≌VBEC ASA ，
∴BC = AF =10，
∴BD
1
= BC = 5，
2
故選：B．
3．如圖，在VABC 中， AB = AC ， A =120°， BC = 6cm ， AB 的垂直平分線交 BC 于點M ，交 AB 于點 E ，
AC 的垂直平分線交BC 于點 N ，交 AC 于點F ，則MN 的長為（ ）
A． 4cm B．3cm C． 2cm D．1cm
【答案】C
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質、線段的垂直平分線性質以及等腰三角形的性質；正確作出
輔助線是解答本題的關鍵．
此類題要通過作輔助線來溝通各角之間的關系，首先求出△BMA與VCNA是等腰三角形，再證明VAMN 為
等邊三角形即可．
【詳解】解：連接 AM，AN ．
∵ AB 的垂直平分線交BC 于 M，交 AB 于 E， AC 的垂直平分線交BC 于 N，交 AC 于 F，
∴BM = AM，CN = AN ，
∴ MAB = B， CAN = C ．
∵ AB = AC ， A =120°，
∴ B = C = 30° ，
∴ BAM + CAN = 60°， AMN = ANM = 60°，
∴VAMN 是等邊三角形，
∴ AM = AN = MN ，
∴BM = MN = NC ．
∵ BC = 6cm ，
∴MN = 2cm．
故選：C．
4．如圖，D為VABC 內一點，CD平分 ACB ，BD ^ CD， A = ABD，若 AC = 5，BC = 3，則BD的
長為（　　）
A．1 B．1.5 C． 2 D． 2.5
【答案】A
【分析】延長BD與 AC 交于點E ，由題意可推出 BE = AE ，依據垂線的定義，角平分線的定義和三角形的
1
內角和定理，可證得VBCE 為等腰三角形，于是可得BC = CE ，BD = BE ，根據 AC = 5，BC = 3即可推
2
出BD的長度．
【詳解】解：如圖，延長BD與 AC 交于點E ，
Q A = ABD，
\BE = AE ，
QBD ^ CD ，
\BE ^ CD，
\ CDB = CDE = 90°，
QCD 平分 ACB ，
\ BCD = ECD，
又Q CDB + BCD + CBD = CDE + ECD + CED =180°，
\ CBD = CED，
\△BCE 為等腰三角形，
\BC = CE ，
QBE ^ CD，
\BD 1= DE = BE ，
2
Q AC = 5，BC = 3，
\CE = BC = 3，
\ AE = AC -CE = 5- 3 = 2，
\BE = AE = 2，
\BD 1 BE 1= = 2 =1，
2 2
故選：A ．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，垂線的定義，角平分線的定義，三角形的內角和定理
等知識點，正確作出輔助線，構建等腰三角形是解題的關鍵．
5．如圖，在VAOB 和△COD 中，OA = OB，OC = OD，OA < OC ， AOB = COD = 36°．連接 AC、BD
交于點 M，連接OM ．下列結論：① BOM = COM ；② AC = BD；③OM 平分∠AMD；④
AOD =144°，⑤VMOC≌VMOD其中正確的結論個數有（ ）個．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角
相等的重要工具．證明VOAC 與VOBD 全等是解決問題的關鍵．先證明△OAC≌△OBD ，所以
OAC = OBD，AC = BD ，則可對②進行判斷；由 AOC = BOD的大小不定，可對④進行判斷；過 O 點
作OE ^ AC 于 E，OF ^ BD 于 F，如圖，根據全等三角形的性質得到OE = OF ，則根據角平分線的性質定
理的逆定理得到MO 平分∠AMD，可對③進行判斷；然后根據三角形內角和可對①進行判斷；由SSA不能
判斷VMOC≌VMOD，所以⑤錯誤．
【詳解】解：∵ AOB = COD = 36°，
∴ AOB + BOC = BOC + COD ，
即 AOC = BOD，
在VOAC 和VOBD 中，
ì OA = OB

í AOC = BOD ，

OC = OD
∴VOAC≌VOBD SAS ，
∴ OAC = OBD， AC = BD，所以②正確；
∵ AOC = BOD的大小不定，
∴ AOD 不一定是144°，所以④錯誤；
過 O 點作OE ^ AC 于 E，OF ^ BD 于 F，
∵△OAC≌△OBD ，
∴OE = OF ， OCA = ODB，
∴MO 平分∠AMD，所以③正確；
則 OMA = OMD ，
∵OA < OC ，則 OAM OCA
∴ OAM ODM ，
而 OAM + AOB + BOM + OMA = ODM + COD + COM + OMD =180°，
∴ BOM COM ，所以①錯誤；
∵OC = OD， OCM = ODM ，OM = OM ，由SSA不能判斷VMOC≌VMOD，所以⑤錯誤．
綜上，②③正確；
故選：D．
6．如圖，在四邊形OAPB中， AOB =120°，OP 平分 AOB，且OP = 2 ，若點 M、N 分別在直線OA、OB
上，且VPMN 為等邊三角形，則滿足上述條件的VPMN 有（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．3 個以上
【答案】D
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，角平分線的定義，證明
VPEM ≌VPON 是解題的關鍵．在OA、OB上截取OE = OF = OP ，作 MPN = 60°，證明VPEM ≌VPON ，
得出△PNM 是等邊三角形，則只要 MPN = 60°，VPMN 就是等邊三角形，則這樣的三角形有無數個．
【詳解】解：如圖，在OA、OB上截取OE = OF = OP ，作 MPN = 60°．
∵OP 平分∠ AOB，
∴ EOP = POF = 60°，
∵OP = OE = OF ，
∴VOPE，VOPF 是等邊三角形，
∴EP = OP， EPO = OEP = PON = MPN = 60°，
∴ EPM = OPN ，
在△PEM 和△PON 中，
ì PEM = PON

í PE = PO ，

EPM = OPN
∴VPEM ≌VPON ASA ．
∴PM = PN ，
∵ MPN = 60°，
∴△PNM 是等邊三角形，
∴則只要 MPN = 60°，VPMN 就是等邊三角形，
故這樣的三角形有無數個．
故選：D．
7．如圖，VABC 中，BO、CO分別平分 ABC 和 ACB ，過點O平行于BC 的直線分別交 AB 、 AC 于點
D、E ，已知 AB = 9cm， AC = 8cm ，VADE 的周長為 ．
【答案】17cm
【分析】本題考查等腰三角形的判定，根據已知利用平行線的性質及等角對等邊、角平分線的定義求解即
可．證明三角形是等腰三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：∵BO平分 ABC ，CO平分 ACB ，
∴ DBO = OBC ， ECO = OCB ，
∵DE∥BC ，
∴ DOB = OBC ， EOC = OCB ，
∴ DBO = DOB ， ECO = EOC ，
∴DB = DO，EC = EO ，
∴CVADE = AD + AE + DE
= AD + AE + DO + EO
= AD + AE + DB + EC
= AB + AC
= 9 + 8
=17 cm ，
∴三角形 ADE 的周長為17cm．
故答案為：17cm．
8．如圖， AOB = 60°，C 是BO延長線上一點，OC = 12cm ，動點 M 從點 C 出發沿射線CB 以2cm / s的速
度移動，動點 N 從點 O 出發沿射線OA以1cm / s 的速度移動，如果點 M、N 同時出發，設運動的時間為 ts ，
那么當 t = s 時，△MON 是等腰三角形．
【答案】4 或12
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，一元一次方程的應用．熟練掌握等腰
三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，一元一次方程的應用是解題的關鍵．
由題意知，當0 < t 6時，OM =12 - 2t ；當6 < t 時，OM = 2t -12，ON = t ，由△MON 是等腰三角形，可
知當0 < t 6時，OM = ON ，即12 - 2t = t ，計算求解即可；當6 < t 時，證明△MON 是等邊三角形，則
OM = ON ，即 2t -12 = t ，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，當0 < t 6時，OM =12 - 2t ；
當6 < t 時，OM = 2t -12，
ON = t ，
∵△MON 是等腰三角形，
∴當0 < t 6時，OM = ON ，即12 - 2t = t ，
解得， t = 4，
當6 < t 時，△MON 是等腰三角形，
∴△MON 是等邊三角形，
∴OM = ON ，即 2t -12 = t ，
解得， t =12，
綜上所述， t的值為 4 或12，
故答案為：4 或12．
9．已知，在VABC 中， AB = AC ，BD ^ AC 于點 D， AE ^ BC 于點 E，若 BAC = 50°，則 DCO =
°．
【答案】40
【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質與判定，三角形內角和定理，線段垂直平分線的性質與判
180° - 50°
定，先根據三角形內角和定理及等腰三角形的性質得出 ABC = ACB = = 65°，再由BD ^ AC 于
2
點D可得出 ABD 的度數，進而得出 OBE 的度數，由線段垂直平分線的性質可得出 OBE = OCE，據
此可得出結論．
【詳解】解：在VABC 中，Q AB = AC ， BAC = 50°，
ABC 180° - 50°\ = ACB = = 65°
2 ．
QBD ^ AC ，
\ ADB = 90°，
\ ABD = 90° - BAD = 90° - 50° = 40°，
\ OBE = ABC - ABD = 65° - 40° = 25°．
Q AB = AC ， AE ^ BC ，
\ AE 是線段BC 的垂直平分線，
\OB = OC ，
\ OBE = OCE = 25°，
\ DCO = ACB - OCD = 65° - 25° = 40°．
故答案為：40．
10．如圖，在VABC 中， AB = AC ， AD 是VABC 的中線，點 E 在 AC 上，且 AE = AD，連接DE ，若
CDE = 20°，則 B 的度數為 °．
【答案】50
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形外角的性質等知識．熟練掌握等腰三角形的判定與
性質，三角形外角的性質是解題的關鍵．由 AB = AC ， AD 是VABC 的中線，可得 B = C ， AD ^ BC ，
即 ADC = 90°，則 ADE = 90° - CDE = 70°，由 AE = AD，可得 AED = ADE = 70°，根據
B = C = AED - CDE ，求解作答即可．
【詳解】解：∵ AB = AC ， AD 是VABC 的中線，
∴ B = C ， AD ^ BC ，即 ADC = 90°，
∵ CDE = 20° ，
∴ ADE = 90° - CDE = 70°，
∵ AE = AD，
∴ AED = ADE = 70°，
∴ B = C = AED - CDE = 50°，
故答案為：50．
11．定義：如果一個三角形能被過頂點的一條線段分割成兩個等腰三角形，則稱這個三角形為特異三角形，
如圖，VABC中， A = 36°, B為鈍角，則使得VABC是特異三角形所有可能的 B的度數為 ．
【答案】108°或126°或132°
【詳解】本題考查了等腰三角形的性質：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個底角相等；等腰三角
形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．注意分類討論數學思想的應用．
根據題意三角形得到VABD 和VCBD都是等腰三角形，討論：①當 AB = AD 時，DB = DC ，利用等腰三角
形的性質和三角形外角性質可計算；②當DA = DB ，DB = DC 時，CD = CB 時；③當BA = BD時，
DB = DC ，分別利用等腰三角形的性質和三角形外角性質可計算；④當BA = BD，DA = DC ，設設
BAD = x ，則 ADB = x ，根據題意列方程即可．
【解答】解：∵VABC是特異三角形，
∴VABD 和VCBD都是等腰三角形，
①當 AB = AD 時，則 ABD
1 1
= ADB = 180° - A = 180° - 36° = 72°，
2 2
若DB = DC ，則 C = CBD
1
= ADB = 36°，
2
此時 ABC = 72° + 36° =108°；
由于 CDB =108°，則CD = CB 與BD = BC 不成立；
②當DA = DB ，則 ABD = A = 36°，所以 CDB = 36° + 36° = 72°，
1
若DB = DC ，則 C = CBD = 180° - 72° = 54°，
2
此時 ABC = 54° + 36° = 90°，不合題意舍去；
若CD = CB ，則 CBD = CDB = 72°，此時 ABC = 72° + 36° =108°；
③當BA = BD時，則 ADB = A = 36°， ABD =180°﹣36°﹣36° =108°，
若DB = DC ，則 C = CBD
1
= ADB =18°，此時 ABC =108° +18° =126°；
2
由于 CDB =144°，則CD = CB 與BD = BC 不成立；
④當BA = BD，DA = DC ，
設 BAD = x ，則 ADB = x ，
∵DC = DA，
∴ C = DAC
1
= x，
2
x 1∴ + x = 36°，解得 x = 24°，
2
∴ B =180° - 24° - 24° =132° ；
綜上所述， B的度數為108°或126°或132°．
故答案為108°或126°或132°．
12．已知在VABC 中， A = 40° ，D 為邊 AC 上一點，△ABD 和△BCD都是等腰三角形，則 C 的度數可
能是 ．
【答案】80°或50°或 20°或35°
【分析】此題考查了等腰三角形的判定和性質、三角形內角和定理，分情況畫出圖形進行解答即可．
【詳解】解：如圖 1 所示：
當DA = DB 時，
∵ A = 40° ，
∴ ABD = 40°，
∴ ADB =180° - 40° 2 =100°，
∴ BDC =180° -100° = 80°，
當 BD = BC1 時， BC1D = BDC1 = 80°；
當DB = DC2 時， DBC2 = DC2B =（180° -80°） 2 = 50°；
當BC3 = DC3時， BC3D =180° -80° 2 = 20°；
如圖 2 所示：
當 AB = AD 時，
∵ A = 40° ，
∴ ABD = ADB = 180° - 40° 2 = 70°，
∴∠BDC =180° - 70° =110°，
當DB = DC4 時， DBC4 = DC4B = 180° -110° 2 = 35°；
如圖 3 所示：
當 AB = DB時，
∵ A = 40° ，
∴ ADB = 40°，
∴ BDC =180° - 40° =140°，
當DB = DC5 時， DBC5 = DC5B = 180° -140° 2 = 20°．
綜上所述， C 的度數可能是80°或50°或 20°或35°
故答案為：80°或50°或 20°或35°．
13．如圖，在VABC 中， AB = AC，D是BC 邊上一點，以 AD 為邊在 AD 右側作VADE ，使 AE = AD，連
接CE， BAC = DAE =108°
(1)求證：VBAD≌VCAE ；
(2)若DE = DC ，求 CDE的度數．
【答案】(1)見解析
(2)36°
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識．
（1）根據SAS證明三角形全等即可．
（2）證明 B＝ ACB＝ ACE＝36°，推出 DCE＝72°，利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理解決
問題即可．
【詳解】（1）∵ BAC = DAE =108° ， BAC = BAD + DAC ， DAE = DAC + CAE ，
∴ BAD = CAE ，
在VBAD和VCAE 中
ì AB = AC

í BAD = CAE ，

AD = AE
∴VBAD≌VCAE SAS ；
（2）解：∵ AB = AC ， BAC =108° ，
∴ B = ACB = 36°，
∵VBAD≌VCAE ，
∴ B = ACE = 36°，
∴ DCE = BCA + ACE = 36° + 36° = 72°
∵DE = DC ，
∴ DEC = DCE = 72°，
∴ EDC =180° - 72° - 72° = 36°，
答： CDE的度數為36°．
14．如圖，點 D、E 在VABC 的邊BC 上， AD = AE ，BD = CE ．
(1)求證： AB = AC ．
(2)若 BAC =108°, 2 DAE + BAC =180° ，直接寫出圖中除VABC 與VADE 外所有等腰三角形．
【答案】(1)詳見解析
(2)除VABC 與VADE 外所有的等腰三角形為：VABD、VAEC、VABE、VADC
【分析】此題考查了等腰三角形的判定與性質，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用是
解題的關鍵．
（1）過點 A 作 AF ^ BC 于點 F，根據等腰三角形的性質得到BF = CF ，再根據線段垂直平分線的性質證明
結論即可；
（2）由題意求出 DAE = 36°，再求出其他角的度數，即可得到答案．
【詳解】（1）證明：過點 A 作 AF ^ BC 于點 F，
Q AD = AE ，
\ DE = EF ，
QBD = CE ，
\BF = CF ，
\ AB = AC ；
（2）證明：解：Q BAC =108°, 2 DAE + BAC =180°，
\2 DAE = 72°，
\ DAE = 36°，
Q AD = AE ，
ADE 180° - 36°\ = AED = = 72°，
2
Q AB = AC ，
B C 180° -108°\ = = = 36°，
2
\ B = BAD, C = EAC, BAE = BEA, ADC = DAC ，
\除VABC 與VADE 外所有的等腰三角形為：VABD、VAEC、VABE、VADC ．
15．如圖，在等邊VABC 中，點 D 在邊BC 上，過點 D 作DE∥ AB 交 AC 于點 E，過點 E 作EF ^ DE，交BC
的延長線于點 F．
(1)求 F 的度數；
(2)求證：DC = CF ．
【答案】(1)30°；
(2)見解析
【分析】本題考查等邊三角形的判定和性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關
鍵是熟練掌握基本知識：
（1）由平行線的性質求出 EDC ，再由三角形的內角和定理解決問題即可.
（2）證VDEC 是等邊三角形，得CE = CD，再證 CEF = F = 30° ，得EC = CF ，即可得出結論.
【詳解】（1）解：∵VABC 是等邊三角形，
∴ B=60°，
∵DE∥ AB ，
∴ B = EDC = 60°，
∵DE ^ EF ，
∴ DEF = 90°，
∴ F = 90° - EDF = 90° - 60° = 30°；
（2）證明：∵VABC 是等邊三角形，
∴ B = ACB = 60°，
∵DE∥ AB ，
∴ B = EDC = 60°，
∴ EDC = ECD = DEC = 60°，
∴VDEC 是等邊三角形，
∴CE = CD，
∵ ECD = F + CEF， F = 30° ，
∴ CEF = F = 30° ，
∴EC = CF ，
∴CD = CF ．
16．如圖，已知VABC 中，D 為BC 上一點， AB = AD ，E 為VABC 外部一點，滿足 AC = AE ，連結 ，
與 AC 交于點 O，且 CAE = BAD ．
(1)求證：△ABC ≌△ADE；
(2)若 BAD = 25°，求 EDC 的度數．
【答案】(1)證明見解答；
(2) EDC 的度數是 25°．
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，證明全等是關鍵．
（1）根據“邊角邊”證明VABC≌VADE（SAS）即可；
（2）根據全等三角形的性質和三角形外角即可求解
【詳解】（1）證明：∵∠CAE=∠BAD，
∴ CAE + CAD = BAD + CAD ，
∴ DAE = BAC ，
∵ AB = AD ， AC = AE
∴VABC≌VADE（SAS）．
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴ C = E ，
∴ EDC = COE - C = COE - E = CAE ，
∵ CAE = BAD = 25°，
∴ EDC = 25°，
∴ EDC 的度數是 25°．
17．如圖，已知在VABC 中， AB = AC =10厘米， BC = 8厘米，點 D 為 AB 的中點，點 P 在線段BC 上以 3
厘米/秒如果點 P 在線段BC 上以 3 厘米每秒的速度由 B 點向 C 點運動，同時，點 Q 在線段CA上由 C 點向 A
點運動．
(1)若點 Q 的運動速度與點 p 的運動速度相等，經一秒后，三角形BPD 與三角形CQP 是否全等，請說明理
由；
(2)若點 Q 的運動速度與點 P 的運動速度不相等，當點 Q 的運動速度是多少時，能夠使三角形BPD 與三角
形CQP 全等？
【答案】(1)全等，理由見解析
15
(2)Q 的運動速度是 厘米/秒時，△BPD 與VCQP全等
4
【分析】此題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質，熟練運用全等三角形的判定和性質是關鍵．
（1）根據時間和速度分別求得兩個三角形中的邊的長，根據SAS判定兩個三角形全等；
（2）根據全等三角形應滿足的條件探求邊之間的關系，再根據路程=速度 時間公式，先求得點 P 運動的
時間，再求得點 Q 的運動速度．
【詳解】（1）解：△BPD 與VCQP全等，
理由如下：
依題意得：BP = CQ = 3，PC = 8 - 3 = 5，
Q AB = AC ，
\ B = C ，
Q AB =10，D 為 AB 的中點，
\ BD = PC = 5，
在△BPD 與VCQP中，
ì BP = CQ

í B = C，

BD = PC
\VBPD≌VCQP（SAS）；
（2）QvP vQ ，
\BP CQ ，
又QVBPD≌VCPQ， B = C ，
\BP = PC = 4cm，CQ = BD = 5cm ，
BP 4
∴點 P，點 Q 運動的時間 t = = （秒），
3 3
\v CQ 5 15Q = =t 4
=
4 （厘米/秒）．
3
18．（1）【問題提出】如圖 1，在 Rt△ABC 和 Rt△CDE ，已知 ACE = B = D = 90°， AC = CE ，B、C、
D 三點在一條直線上， AB = 5， DE = 6.5，則BD的長度為______．
（2）【問題提出】如圖 2，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BC = 4，過點 C 作CD ^ AC ，且CD = AC ，求△BCD
的面積．
（3）【問題解決】某市打造國家級宜居城市，優化美化人居生態環境．如圖 3 所示，在河流BD的周邊規劃
一個四邊形 ABCD巨無霸森林公園，按設計要求，在四邊形 ABCD中， ABC = CAB = ADC = 45°，
AC = BC ，VACD面積為12km2 ，且CD的長為6km，則河流另一邊森林公園△BCD的面積為______ km2．
【答案】（1）11.5（2）8（3）6
【分析】（1）易證得VABC≌VCDE AAS ，即可得到CD = AB = 5, ED = BC = 6.5，從而求得
BD = BC + CD = 6.5 + 5 =11.5．
（2）如圖 1，過D作DE ^ BC 的延長線于 E，證明△ABC≌△CED(AAS)，則BC = ED = 4，根據
S 1VBCD = BC × DE ，計算求解即可；2
（3）如圖 2，過A 作 AE ^ CD 于 E ，過 B 作 BF ^ DC 的延長線于 F ， 由VACD面積為12且CD的長為 6，
1
可得 6 × AE =12 ，可求 AE = 4，證明VADE 是等腰直角三角形，則DE = AE = 4，CE = CD - DE = 2，由
2
ABC = CAB = 45°，可得 ACB = 90°， AC = BC ，證明VACE≌VCBF AAS ，則BF = CE = 2，根據
S 1△BCD = CD × BF ，計算求解即可．2
【詳解】（1）解：在Rt△ABC 和Rt△CDE ， ACE = B = D = 90°，
∴ ACB + ECD = 90° = BAC + ACB，
∴ ECD = BAC ，
又∵ AC = CE ，
∴VABC≌VCDE AAS ，
∴CD = AB = 5, ED = BC = 6.5，
∴BD = BC + CD = 6.5 + 5 =11.5．
（2）解：如圖 1，過D作DE ^ BC 的延長線于 E，
∵DE ^ BC ，CD ^ AC ，
∴ E = ACD = 90° ，
∴ ACB = 90° - DCE = CDE ，
∵ ABC = E = 90°， ACB = CDE，AC = CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC = ED = 4，
1
∴ S△BCD = BC × DE = 8，2
∴△BCD的面積為 8；
（3）解：如圖 2，過A 作 AE ^ CD 于E ，過 B 作BF ^ DC 的延長線于F ，
QVACD面積為12且CD的長為 6，
1
∴ 6 × AE =12 ，
2
解得， AE = 4，
Q ADC = 45°， AE ^ CD ，
∴VADE 是等腰直角三角形，
∴DE = AE = 4，CE = CD - DE = 2，
Q ABC = CAB = 45° ，
\ ACB = 90°， AC = BC ，
\ ACE = 90° - BCF = CBF ，
∵ AEC = F = 90°， ACE = CBF，AC = BC ，
∴VACE≌VCBF AAS ，
\BF = CE = 2，
1
∴ S△BCD = CD × BF = 6，2
∴△BCD的面積為6km2．
故答案為：6．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識．熟
練掌握全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理是解題的關鍵．

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