資源簡(jiǎn)介

第 09 講 直角三角形全等的判定（1 個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5 大題型+18 道
強(qiáng)化訓(xùn)練）
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.用 HL 判斷三角形全等； 1.掌握用 HL 證三角形全等；
2.全等的性質(zhì)與 HL 的綜合； 2.掌握全等的性質(zhì)與 HL 的綜合；
知識(shí)點(diǎn) 01：HL 證明三角形全等
定理：在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“HL”）.
要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形
狀和大小就確定了.
（2）判定兩個(gè)直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.
（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩
個(gè)三角形前加上“Rt”.
【即學(xué)即練 1】
1．如圖，在 VABC 中， C = 90°，D 是 AC 上一點(diǎn)， DE ^ AB于點(diǎn) E， BE = BC ，連接 BD，若 AC = 8cm ，
則 AD + DE 等于（ ）
A．6cm B． 7cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【分析】證明 Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出 CD=DE，則可得出答案．
【詳解】解：∵ DE ⊥ AB ，
\ DEB = 90° ，
在RtVBCD和Rt△BED 中，
ìBD = BD
í
BE
，
= BC
\Rt△BCD @ Rt△BED(HL)，
\CD = DE ，
\ AD + DE = AD + CD = AC ，
Q AC = 8 cm，
\ AD + DE = AC = 8 cm．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練 2】
2．如圖所示，已知在△ABC 中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB 交 BC 于點(diǎn) E，若∠B=28°，則∠AEC=（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
【答案】B
【分析】根據(jù)∠C=90°AD=AC，求證△CAE≌△DAE，∠CAE=∠DAE= 12 ∠CAB，再由∠C=90°，∠B=28°，
求出∠CAB 的度數(shù)，然后即可求出∠AEC 的度數(shù)．
【詳解】解：∵在△ABC 中，∠C=90°，
AD=AC，DE⊥AB 交 BC 于點(diǎn) E，
∴△CAE≌△DAE，
∴∠CAE=∠DAE= 12 ∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=28°，
∴∠CAB=90°﹣28°=62°，
∵∠AEC=90° 1﹣ 2 ∠CAB=90°﹣31°=59°．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)直角三角形全等的判定和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵
是求證△CAE≌△DAE，此題稍微有點(diǎn)難度，屬于中檔題．
題型 01 用 HL 證明三角形全等
1．如圖，O 是 BAC 內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn) O 到 AB ， AC 的距離OE = OF ，則△AEO≌△AFO的依據(jù)是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】A
【分析】本題考查對(duì)直角三角形全等的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是利用題目中給出的已知條件
判定△AEO 和VAFO 是直角三角形．利用點(diǎn) O 到 AB ， AC 的距離OE = OF ，可知△AEO 和VAFO 是直角
三角形，然后可直接利用HL 求證△AEO≌△AFO，即可得出答案．
【詳解】解：Q OE ^ AB，OF ^ AC ，
\ AEO = AFO = 90°，
又Q OE = OF ， AO 為公共邊，
\ VAEO≌VAFO HL ．
故選：A．
2．如圖， AB ^ BC ， AD ^ DC ，要根據(jù)“ HL ”證明Rt△ABC≌Rt△ADC ，還應(yīng)添加一個(gè)條件是（ ）
A． 1 = 2 B． 2 = 4 C． AB = AD D． AB = AC
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據(jù)垂直定義求出 D = B = 90°，再根據(jù)全等三角形的判定
定理推出即可．
【詳解】解：還需要添加的條件是 AB = AD ，
理由是：∵ AB ^ BC ， AD ^ DC ，
\ D = B = 90°，
在Rt△ABC 和RtVADC 中，
ìAC = AC
íAB ， = AD
∴Rt△ABC≌Rt△ADC HL ，
故選：C．
3．如圖，點(diǎn) B 、 F 、C 、 E 在一條直線上， A = D = 90°， AB = DE ，若用“ HL ”判定△ABC ≌△DEF ，
則添加的一個(gè)條件是 ．
【答案】BC = EF
【分析】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確全等三角形的判定方法．根據(jù)題目中的條件
和各個(gè)選項(xiàng)中的條件，可以寫出用“ HL ”判斷△ABC ≌△DEF 的依據(jù)
【詳解】解：Q A = D = 90°， AB = DE ，
當(dāng)添加條件BC = EF 時(shí)，Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) ，
故答案為：BC = EF ．
4．如圖， AC ^ AB， AC ^ CD ，要使得△ABC ≌△CDA，若以“ HL ”為依據(jù)，需添加條件 ．
【答案】 AD = BC
【分析】本題考查直角三角形全等的判定內(nèi)容．“ HL ”的內(nèi)容是：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三
角形全等，根據(jù)題目中的已知條件只需添加兩條斜邊相等即可．
【詳解】解：Q AC ^ AB ， AC ^ CD ，
\ BAC = ACD = 90°，
\VABC 和VCDA是直角三角形，
QVABC 和VCDA有公共直角邊 AC ，
\以“ HL ”為依據(jù)判定△ABC ≌△CDA需要添加斜邊相等，即 AD = BC ，
故答案為： AD = BC ．
5．已知：如圖， ABC = 45°， AD 為VABC 的高，E 為 AC 上一點(diǎn)， BE 交 AD 于 F 且有 BF = AC ．求證：
Rt△BFD≌Rt△ACD ．
【答案】證明見(jiàn)解析．
【分析】本題主要考查直角三角形全等的判定，由 AD 為VABC 的高得到 ADB = ADC = 90°，根據(jù)等腰
三角形的判定得出 AD = BD ，再根據(jù)HL即可證明Rt△BFD≌Rt△ACD
【詳解】證明：∵ AD 為VABC 的高，
∴ ADB = ADC = 90°，
∵ ABC = 45°，
∴ BAD = 45°，
∴ AD = BD ，
又∵BF = AC ，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)．
題型 02 利用直角三角形全等的判定求角度
1．如圖，已知DB ^ AN 于點(diǎn) B ，交 AE 于點(diǎn)O，OC ^ AM 于點(diǎn)C ，且OB = OC ．若 ADB = 54°，則 OAB
的大小為（　　）
A．15° B．18° C． 22° D．30°
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的內(nèi)角和定理，先由DB ^ AN 、OC ^ AM 得到
DBA = OCA = 90°，然后結(jié)合OB = OC ，OA = OA得證VOAB≌VOAC ，進(jìn)而得到 OAB = OAC ，再利用
ADB = 54°求得 DAB 的大小，最后求得 OAB的大小．
【詳解】解：QDB ^ AN ，OC ^ AM ，
\ DBA = OCA = 90°，
QOB = OC ，OA = OA，
\VOAB≌VOAC(HL)，
\ OAB = OAC ，
Q ADB = 54° ， DBA = 90°，
\ DAB = 90° - 54° = 36° ，
\ OAB = 18°．
故選：B．
2．如圖，VABC 中， ABC 的平分線與 AC 邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE ^ BC 于點(diǎn)E ，連接
CD，若 BAC = 35°， ACD = 30°，則 DCE 的度數(shù)為（ ）
A． 45° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF ^ AB ，連接 AD ，如圖所示，由中垂線的性質(zhì)得到DA = DC ，結(jié)合等腰三角形的判
定與性質(zhì)得到 DAC = ACD = 30°，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)及三角形全等的判定與性質(zhì)得到
DCE = DAF = BAC + DAC ．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DF ^ AB ，連接 AD ，如圖所示：
Q點(diǎn)D在線段 AC 的垂直平分線上，
\ DA = DC ，
\ DAC = ACD = 30°，
Q點(diǎn)D在 ABC 的角平分線上，
\DF = DE ，
Q DFA = 90° = DEC ，
\VDFA≌VDEC HL ，
\ DCE = DAF = BAC + DAC = 35° + 30° = 65°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查求角度，涉及中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等
的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合表示角度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3．如圖，已知 PA ^ ON 于點(diǎn) A，PB ^ OM 于點(diǎn) B，且PA = PB ， MON = 50°， OPC = 20°，則 PCA = ．
【答案】 45° /45 度
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明Rt△OAP≌Rt△OBP 是本題的關(guān)鍵．由“ HL ”可證
1
Rt△OAP≌Rt△OBP ，可得 AOP = BOP = AOB = 25°，由外角可求解．
2
【詳解】解：QPA ^ ON 于A ，PB ^ OM 于 B ，
\ PAO = PBO = 90°，
QPA = PB，OP = OP ，
\RtVOAP≌RtVOBP(HL)，
\ AOP = BOP 1= AOB = 25°
2 ，
\ PCA = AOP + OPC = 45° ，
故答案為： 45°
4．如圖，VABC 中， AC = BC ，且點(diǎn)D在VABC 外，D在 AC 的垂直平分線上，連接BD，若
DBC = 30°， ACD =12°，則 A = °．
【答案】 72
【分析】過(guò)C 作CM ^ BD，交 BD的延長(zhǎng)線于M ，過(guò) D作 DN ^ AC 于 N ，證明RtVDNC≌RtVDMC HL ，
得 DCM = ACD =12°，求出 ACB 的度數(shù)，則根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和，可求出 A的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，過(guò)C 作CM ^ BD，交BD的延長(zhǎng)線于M ，過(guò)D作DN ^ AC 于 N ，
∵點(diǎn)D在 AC 的垂直平分線上，
∴DN 垂直平分 AC ，
1
∴ NC = AC ，
2
∵ AC = BC ，
∴ NC
1
= BC ，
2
在Rt△ BMC 中， DBC = 30°，
∴CM
1
= BC ，
2
∴CM = CN ，
在Rt△DNC 和RtVDMC 中，
ì CD = CD
∵ í
CN
，
= CM
∴RtVDNC≌RtVDMC HL ，
∴ DCM = ACD =12°，
∵ DBC = 30°，
∴ MCB = 60°，
∴ ACB = 60° -12° 2 = 36°，
又∵ AC = BC ，
A 1∴ = 180° - 36° = 72°，
2
故答案為： 72．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),含30°角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟
知等腰三角形的兩個(gè)底角相等，需要作輔助線，構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．
5．如圖， AC 平分 BAD ，CE ^ AB ，CF ^ AD 交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，在 AB 上有一點(diǎn) M，且
CM = CD，
(1)若 AF =12， DF = 4，求 AM 的長(zhǎng)．
(2)試說(shuō)明 CDA與 CMA的關(guān)系．
【答案】(1) AM = 8或 AM =16
(2) CDA + CMA = 180° 或 CAD = CMA
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩
邊距離相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CE = CF ，通過(guò)證明RtVACF≌RtVACE HL ，得出 AF = AE =12 ，通過(guò)證明
RtVCFD≌RtVCEM HL ，得出DF = ME = 4 ，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) E 左邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) E 右
邊時(shí)；
（2）根據(jù)全等的性質(zhì)得出 CDF = CME ，ME = DF ，再進(jìn)行分類討論即可：當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) E 右邊時(shí)，當(dāng)點(diǎn)
M 在點(diǎn) E 左邊時(shí)，即可解答．
【詳解】（1）解：∵ AC 平分 BAD ，CE ^ AB ，CF ^ AD ，
∴CE = CF ，
在Rt△ACF 和RtVACE 中，
ìCE = CF
íAC ， = AC
∴RtVACF≌RtVACE HL ，
∴ AF = AE =12 ，
∵在RtVCFD和Rt△CEM 中，
ìCM = CD
í
CE = CF
，
∴RtVCFD≌RtVCEM HL ，
∴DF = ME = 4 ，
當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) E 左邊時(shí)， AM1 = AE - ME =12 - 4 = 8，
當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) E 右邊時(shí)， AM1 = AE + ME =12 + 4 =16，
綜上： AM = 8或 AM =16 ．
（2）解：由（1）可得RtVCFD≌RtVCEM HL ，
∴ CDF = CME ，ME = DF ，
當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) E 右邊時(shí)，∵ CDA + CDF =180°，
∴ CDA + CME = 180°，即 CDA + CMA = 180° ；
當(dāng)點(diǎn) M 在點(diǎn) E 左邊時(shí)，∵ CDF = CME ， CDF + CDA = CME + CMA =180°，
∴ CDA = CMA，
綜上： CDA + CMA = 180° 或 CDA = CMA．
題型 03 利用直角三角形全等的判定求長(zhǎng)度
1．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°, BAC 的平分線 AE 交BC 于點(diǎn)E, ED ^ AB于點(diǎn) D，若VABC 的周長(zhǎng)為
12,VBDE 的周長(zhǎng)為 6，則 AC =（ ）
A．4 B．3 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩
邊距離相等，全等三角形的判定方法與性質(zhì)，以及線段之間的等量關(guān)系．
根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CE = DE ，進(jìn)而求證RtVADE≌RtVACE HL 推出 AD = AC ，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)，
得出BE + BD + DE = 6， AB + AC + BC = 12，結(jié)合線段之間的和差關(guān)系，即可解答．
【詳解】解：∵ AE 平分 BAC ， C = 90°，ED ^ AB ，
∴CE = DE ，
在RtVADE 和RtVACE 中，
ìCE = DE
í ，
AE = AE
∴RtVADE≌RtVACE HL ，
∴ AD = AC ，
∵VBDE 的周長(zhǎng)為 6，
∴BE + BD + DE = 6
∵VABC 的周長(zhǎng)為12，
∴ AB + AC + BC = AD + AC + BD + CE + BE = 2AC + BD + DE + BE =12，
∴ 2AC + 6 =12，
解得： AC = 3，
故選：B．
2．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°， AC = 6 ， BC = 8，以點(diǎn) A 為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交 AC ，
1
AB 于點(diǎn)M ，N ，再分別以M ，N 為圓心，大于 MN 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) P ，射線 AP 與BC 交
2
于點(diǎn)D，DE ^ AB，垂足為E ，則BE為（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】本題考查勾股定理，角平分線的尺規(guī)作圖，三角形全等的判定及性質(zhì)．
由勾股定理可求得 AB =10，由作圖可得 AD 是 CAB 的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DC = DE ，從
而證得RtVADC≌RtVADE HL ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵在Rt△ABC 中， AC = 6 ，BC = 8，
∴ AB = AC 2 + BC 2 =10，
由作圖可得 AD 是 CAB 的角平分線，
∵ C = 90°，DE ^ AB，
∴DC = DE ，
∴在RtVADC 和RtVADE 中，
ìAD = AD
íCD ED ， =
∴RtVADC≌RtVADE HL ，
∴ AE = AC = 6，
∴BE = AB - AE = 4．
故選：B
3．如圖，VABC 的外角 DAC 的平分線交BC 邊的垂直平分線于 P 點(diǎn)，PD ^ AB 于 D，PE ^ AC 于 E．若
AB = 6cm ， AC = 10cm ，則 AD 的長(zhǎng)是 ．
【答案】 2cm /2 厘米
【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，連接PB, PC ，角平分線的
性質(zhì)，得到PD = PE ，證明VPDA≌VPEA，得到 AD = AE ，證明VPDB≌VPEC ，得到BD = CE ，再利用線
段的和差關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵ AP 平分 DAC ，PD ^ AB 于 D，PE ^ AC 于 E，
∴PD = PE ， PDA = PEA = PEC = 90°，
∵ AP = AP ，
∴VPDA≌VPEA，
∴ AD = AE ，
連接PB, PC ，
∵ PQ垂直BC ，
∴PB = PC ，
∵PD = PE ， PDA = PEC = 90° ，
∴VPDB≌VPEC ，
∴BD = CE ，
∴ AB + AD = AC - AE = AC - AD，即： 6 + AD =10- AD ，
∴ AD = 2cm ；
故答案為： 2cm
4．如圖，在VABC 中，DE ^ AC 于點(diǎn)D，且 AD = CD ， ABE + CBE = 180°，EF ^ BC 于點(diǎn)F ，若
AB = 7 ，BF =1，則BC = ．
【答案】9
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)造全等三角形．
由線段垂直平分線的性質(zhì)得到 AE = CE ，由補(bǔ)角的性質(zhì)推出 EBF = EBH ，由 AAS證明VEBH≌VEBF ，
得到EH = EF ，BH = BF = 1，又CE = AE ，推出RtVCEF≌RtVAEH (HL) ，得到FC = AH ，求出 AH = 8，即可
得到 BC = CF + BF = 8 +1 = 9．
【詳解】解：過(guò)E 作EH ^ AB 交 AB 延長(zhǎng)線于 H ，連接EA，
QDE ^ AC 于點(diǎn)D，且 AD = CD ，
\ AE = CE ，
Q ABE + CBE = 180° ， ABE + EBH = 180°，
\ EBF = EBH ，
QEF ^ BC 于點(diǎn)F ，
\ EFB = EHB = 90° ，
QEB = EB，
\VEBH≌VEBF (AAS)，
\EH = EF ， BH = BF = 1，
QCE = AE ，
\RtVCEF≌RtVAEH (HL)，
\ FC = AH ，
Q AH = AB + BH = 7 +1 = 8，
\FC = 8，
\ BC = CF + BF = 8 +1 = 9 ．
故答案為：9．
5．已知：如圖， BAC 角平分線與BC 的垂直平分線DG 交于點(diǎn) D，DE ^ AB，DF ^ AC ，垂足分別為
E、F．
(1)求證：BE = CF ；
(2)若 AB = 8， AC = 6 ，求 BE 的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2) BE =1．
【分析】（1）連接CD，先由垂直平分線的性質(zhì)得出BD = CD，再由角平分線的性質(zhì)得出DE = DF ，然后
由HL證得Rt△BDE≌Rt△CDF ，即可得出結(jié)論；
（2）由HL證得RtVADE≌RtVADF ，得出 AE = AF ，則 AB - BE = AC + CF ，推出
BE + CF = AB - AC = 2，即可得出結(jié)果．
本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是
解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）證明：連接CD，
∵D 在BC 的垂直平分線上，
∴BD = CD，
∵DE ^ AB，DF ^ AC ， AD 平分 BAC，，
∴DE = DF ，
BED = DFC = 90°，
在Rt△BDE 和Rt△CDF 中，
ìBD = CD
íDE DF ， =
∴RtVBDE≌RtVCDF(HL)，
∴BE = CF ；
（2）解：在RtVADE 和RtVADF 中，
ìAD = AD
í
DE = DF
，
∴RtVADE≌RtVADF(HL)，
∴ AE = AF ，
∴ AB - BE = AC + CF ，
∴BE + CF = AB - AC = 8 - 6 = 2 ，
∵BE = CF ，
1
∴BE = 2 =1．
2
題型 04 直角三角形全等證明的常見(jiàn)輔助線添加
1．如圖， AD 是VABC 的角平分線，DF ^ AB 于點(diǎn) F，且DE = DG ， S△ADG = 26 ， S△AED = 18，則VDEF
的面積為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性，過(guò)點(diǎn) D 作DH ^ AC 于 H，根據(jù)角平分
線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF = DH ，然后利用“ HL ”證明Rt△DEF 和Rt△DGH 全等，根據(jù)全等三
角形的面積相等可得 SVEDF = SVGDH ，然后根據(jù) SV ADF = SV ADH 列出方程求解即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn) D 作DH ^ AC 于 H，
∵ AD 是VABC 的角平分線，DF ^ AB ，DH ^ AC
∴DF = DH ，
在Rt△DEF 和Rt△DGH 中，
ì DE = DG
íDF DH ， =
∴RtVDEF≌RtVDGH HL ，
∴ SVEDF = SVGDH ，
同理RtVADF ≌RtVADH ，
∴ SV ADF = SV ADH ，
∴18 + S△DEF = 26 - S△DGH ，
解得SVDEF = 4．
故選：C．
2．如圖，在四邊形 ABCD中，DE ^ BC ，BD平分 ABC ，AD = CD ，BE = 4，DE = 3，CE = 1，則△ABD
的面積是（ ）
A． 4.5 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義和三角形的面積，利用全等三角形的性質(zhì)
求出 AB 是解此題的關(guān)鍵．可以過(guò) D 作DF ^ AB ，交BA的延長(zhǎng)線于 F，證明VDBE≌VDBF 得出
DF = DE = 3，BF = BE = 4，再證明RtVCDE≌RtVADF ，得出 AF = CE =1，求出 AB ，求出△ABD 的面積
即可．
【詳解】解：過(guò) D 作DF ^ AB ，交BA的延長(zhǎng)線于 F，
∵BD平分 ABC ，
∴ DBF = DBE ，
在VDBE和VDBF 中，
ì DFB = DEB = 90°

í DBF = DBE ，

DB = DB
∴VDBE≌VDBF
∴DF = DE = 3，BF = BE = 4，
ìAD = CD
在Rt△CDE 和RtVADF 中 íDF DE ， =
∴RtVCDE≌RtVADF ，
∴ AF = CE =1，
∴ AB = BF - AF = 3
1
∴△ABD 的面積為 3 3 = 4.5，
2
故選：A．
3．如圖， AE 是 CAM 的角平分線，點(diǎn) B 在射線 AM 上，DE 是線段BC 的中垂線交 AE 于 E，
EF ^ AM ．若 ACB = 23°, CBE = 21°，則 BEF = ．
【答案】 46° /46 度
【分析】連接CE，過(guò) E 作ER ^ AC 于 R，交CD于 Q，根據(jù)角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出
CE = BE ，ER = EF ，根據(jù)全等求出 RCE = EBF ，求出 EBF = 44°，即可求出答案．
【詳解】解：連接CE，過(guò) E 作ER ^ AC 于 R，交CD于 Q，
∵DE 是線段BC 的中垂線，
∴ EDC = 90°，CE = BE ，
∴ ECB = CBE ，
∵ CBE = 21°，
∴ ECB = 21°，
∴ DEB = CED = 90°- 21°= 69°，
∵ER ^ AC ，ED ^ BC ，
∴ QRC = QDE = 90°，
∴ ACB + CQR = 90°， EQD + QED = 90°，
∵ CQR = EQD，
∴ ACB = QED ，
∵ ACB = 23° ，
∴ QED = 23°，
∵ AE 平分 CAM ，ER ^ AC ， EF ^ AM ，
∴ER = EF ，
在RtVERC 和Rt△EFB 中，
ìCE = BE
í
ER = EF
，
∴RtVERC≌RtVEFB HL ，
∴ EBF = ACE = ACB + ECD = 23°+ 21°= 44°，
∵ EFB = 90°，
∴ BEF = 90°- EBF = 90°- 44°= 46°，
故答案為： 46°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角
和定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意： ① 線段垂直平分線上的點(diǎn)
到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等， ② 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．
4．如圖，四邊形 ABCD中， AC 平分 BAD ，BC = DC，CE ^ AD于點(diǎn) E， AD =12，AB = 7 ，則DE 的長(zhǎng)
為 ．
5
【答案】
2
【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)點(diǎn) C 作CF ^ AB交 AB 的延長(zhǎng)
線于點(diǎn) F，證明RtVACF≌RtVACE HL ，則 AE = AF = AB + BF ，證明RtVBCF≌RtVDCE HL ，則
DE = BF ，得到 AD = AB + 2DE ，即可得到DE 的長(zhǎng)．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn) C 作CF ^ AB交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，
∵ AC 平分 BAD ，CE ^ AD于點(diǎn) E，CF ^ AB于 F，
∴CE = CF ，
∵ AC = AC，
∴RtVACF≌RtVACE HL ，
∴ AE = AF = AB + BF ，
∵CE = CF ，BC = DC，
∴RtVBCF≌RtVDCE HL
∴ DE = BF ，
∴ AD = AE + DE = AB + BF + DE = AB + 2DE ，
∴12 = 7 + 2DE
∴DE
5
= ，
2
5
故答案為：
2
5．如圖，CB = CD ， D + ABC =180°，CE ^ AD于 E．
(1)求證： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE =10，DE = 4，求 AB 的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2) 6
【分析】本題考查了角平分線的判定定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是
解此題的關(guān)鍵．
（1）作CF ^ AB交 AB 的延長(zhǎng)線于F ，證明VCDE≌VCBF AAS ，得出CE = CF ，再由角平分線的判定定
理即可得證；
（2）由（1）可得：BF = DE = 4，證明RtVACE≌RtVACF HL 得出 AE = AF = 10，即可得解．
【詳解】（1）證明：如圖，作CF ^ AB交 AB 的延長(zhǎng)線于F ，
∵CE ^ AD，
∴ DEC = BFC = 90°，
∵ D + ABC =180°， CBF + ABC =180°，
∴ CBF = D ，
∵CB = CD ，
∴VCDE≌VCBF AAS ，
∴CE = CF ，
∴ AC 平分 DAB ；
（2）解：由（1）可得：BF = DE = 4，
在RtVACE 和Rt△ACF 中，
ìCE = CF
í ，
AC = AC
∴RtVACE≌RtVACF HL ，
∴ AE = AF = 10，
∴ AB = AF - BF = 6．
題型 05 全等的性質(zhì)和 HL 綜合
1．如圖，在VABC 中， P 為 BC 上一點(diǎn)， PR ^ AB，垂足為 R，PS ^ AC ，垂足為 S，AQ = PQ，PR = PS ，
下面結(jié)論：① AS = AR；②QP∥ AR ；③△ARP ≌△ASP，其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】連接 AP ，直接證明VAPS≌VAPR(HL)，即可求證①③，再利用等腰三角形的性質(zhì)導(dǎo)角，可以判
定QP∥ AR ，可判斷②．
【詳解】證明：連接 AP ，
∵PR ^ AB，PS ^ AC ，
∴△APR和△APS 均為直角三角形，
∵ AP = AP ，PR = PS
∴VAPS≌VAPR(HL)，故③符合題意；
∴ AS = AR，故①符合題意；
∵ AQ = PQ ，
∴ 1 = 2，
∵VAPS≌VAPR ，
∴ 1 = 3
∴ 3 = 2，
∴QP∥ AR ， 故②符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解
本題的關(guān)鍵．
1
2．如圖，在等邊VABC 中， AD ^ BC 于 D，延長(zhǎng)BC 到 E，使CE = BC ，F(xiàn) 是 AC 的中點(diǎn)，連接EF 并延
2
長(zhǎng)EF 交 AB 于 G，BG 的垂直平分線分別交BG，AD于點(diǎn) M，點(diǎn) N，連接GN，CN ，下列結(jié)論：①
ACN = BCN 1；②GF = EF ；③ GNC =120°；④GM = CN ；⑤EG ^ AB ，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
2
A．2 個(gè) B．3 個(gè) C．4 個(gè) D．5 個(gè)
【答案】B
【分析】①根據(jù)角的和與差及等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確；
②設(shè) AG = x，則 AF = FC = CE = 2x，表示EF 和 FG 的長(zhǎng)，可判斷②正確；
③作輔助線，構(gòu)建三角形全等，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得 NH = NM ，由線段垂直平分線的性質(zhì)得
BN = CN = NG ，證明RtVNGM ≌RtVNCH（HL），可判斷③正確；
④分別表示 NG 和 FG 的長(zhǎng)，可判斷④不正確；
⑤根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得 E = 30°，由 B=60°，可得EG ^ AB ，可判斷⑤錯(cuò)誤．
【詳解】解：QVABC 是等邊三角形，
\ BAC = ACB = 60°，AC = BC ，
QCE 1= BC，F(xiàn) 是 AC 的中點(diǎn)，
2
\CF = CE ，
\ E = CFE ，
Q ACB = E + CFE = 60°，
\ E = 30°，
\ BGE = 90°，
\EG ^ AB，故⑤正確；
設(shè) AG = x，則 AF = FC = CE = 2x，
\FG = 3x ，BE = 6x ，
Rt△ BGE 中，BG = 3x，EG = 3 3x，
\EF = EG - FG - 3 3x - 3x = 2 3x ，
GF 1\ = EF ，故②正確；
2
③如圖，過(guò) N 作 NH ^ AC 于 H，連接BN ，
在等邊三角形 ABC 中，
Q AD ^ BC ，
\ AD 平分 BAC，BN = CN ，
QMN ^ AB，
\ NH = NM ，
QMN 是BG 的垂直平分線，
\ BN = NG ，
\BN = CN = NG，
在Rt△NGM 和Rt△NCH 中，
ìMN = NH
í
GN = NC
\RtVNGM≌RtVNCH HL ，
\ GNM = CNH ，
\ MNH = CNG ，
Q ANM = ANH = 60°，
\ CNG =120°，故③正確；
QMN 是BG 的垂直平分線，
\BN = GN ，
等邊VABC 中， AD ^ BC ，
\BN = CN ，
\GN = CN ，故④錯(cuò)誤；
QBN = CN = NG，
\ DCN = DBN， NBM = NGM ，
Q ACN = ACB - DCN = 60° - DBN = ABN = NGM ，
Q ABC = ACB ，
\ ACN = BGN BCN ，故①錯(cuò)誤；，
綜上所述，正確的②③⑤，共 3 個(gè)，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含30°角的直角三角形的性
質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
3．如圖所示，在VABC 中， P，Q分別是 BC，AC 上的點(diǎn)，作 PR ^ AB， PS ^ AC ，垂足分別為點(diǎn) R，S ，
若 AQ = PQ ， PR = PS ，QD ^ AP．現(xiàn)有下列結(jié)論：① AS = AR；② AP 平分 BAC ；③△BRP≌△CSP；
④PQ∥ AR ．其中正確的是 （把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）
【答案】①②④
【分析】本題考查了角平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三
角形的外角性質(zhì)，證明RtVASP≌RtVARP HL 即可判斷①；由角平分線的判定定理即可判斷②；由全等三
角形的判定定理即可判斷③；由角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)得到 BAC = CQP ，即可判斷④；掌
握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵PR ^ AB，PS ^ AC ，
∴ ASP = ARP = 90°，
在Rt△ASP 和Rt△ARP 中，
ìPS = PR
í ，
AP = AP
∴RtVASP≌RtVARP HL ，
∴ AS = AR，故①正確；
∵PR ^ AB，PS ^ AC ，PR = PS ，
∴點(diǎn) P 在 BAC 的平分線上，
即 AP 平分 BAC ，故②正確；
在△BRP 和△CSP中， BRP = CSP = 90° ，PR = PS ，無(wú)法找到滿足全等的第三個(gè)條件，所以無(wú)法判斷
△BRP≌△CSP，故③錯(cuò)誤；
∵ AP 平分 BAC ，
∴ BAC = 2 QAP ，
∵ AQ = PQ ，
∴ QAP = QPA，
∴ CQP = QAP + QPA = 2 QAP，
∴ BAC = CQP ，
∴PQ∥ AR ，故④正確；
綜上，正確的是①②④，
故答案為：①②④．
4．如圖，VABC 的兩條外角平分線 AP，CP 相交于點(diǎn) P，PH ^ AC 于點(diǎn) H．若 ABC = 60°，則下面的結(jié)
論：① ABP = 30°；② APC = 60°；③PB = 2PH ；④ APH = BPC ．其中正確的結(jié)論是 ．（填序號(hào)）
【答案】①②③④
【分析】本題考查角平分線的判定定理和性質(zhì)定理．全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，如圖，作PM ^ BC
于 M， PN ^ BA于 N．利用角平分線的判定定理和性質(zhì)定理可得 PB是 ABC 的平分線，由VPAN≌VPAH ，
VPCM≌VPCH ，推出 APN = APH ， CPM = CPH ，由 MPN =180° - ABC =120°，推出
1
APC = MPN = 60°，由 BPN = CPA = 60°，推出 CPB = APN = APH 即可一一判斷．
2
【詳解】解：如圖，作PM ^ BC 于 M， PN ^ BA于 N．
∵ PAH = PAN，PN ^ AD，PH ^ AC ，
∴PN = PH ，
同理，PM = PH，
∴PN = PM ，
∴ PB平分 ABC ，
∴ ABP 1= ABC = 30° ，故①正確，
2
∵在Rt△PAH 和Rt△PAN 中，
ìPA = PA
í ，
PN = PH
∴VPAN≌VPAH ，
同理可證，VPCM≌VPCH ，
∴ APN = APH， CPM = CPH ，
∵ MPN =180° - ABC =120°，
∴ APC
1
= MPN = 60°，故②正確，
2
在RtVPBN 中，∵ PBN = 30°，
∴PB = 2PN = 2PH ，故③正確，
∵ BPN = CPA = 60°，
∴ CPB = APN = APH ，故④正確，
故答案為：①②③④．
3
5．如圖，已知在Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 4， BC = 8，D 是 AC 上的一點(diǎn)，CD = ．點(diǎn) P 從 B 點(diǎn)
2
出發(fā)沿射線BC 方向以每秒 1 個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，連接 AP ．
(1)當(dāng) t = 3秒時(shí)，求 AP 的長(zhǎng)度；
(2)當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 的垂直平分線上時(shí)，求 t 的值；
(3)過(guò)點(diǎn) D 作DE ^ AP于點(diǎn) E．在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng) t 為何值時(shí)，能使DE = CD？請(qǐng)直接寫出 t 的值．
【答案】(1) 41
(2) t = 5
(3) t = 5或11
【分析】本題考查勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，注意分情況討論是解題的關(guān)
鍵．
（1）求出PC ，再用勾股定理解RtVACP即可；
（2）由垂直平分線的性質(zhì)得BP = AP，設(shè) AP = BP = x，則PC = 8 - x，用勾股定理解RtVACP即可；
（3）分 P 在線段 BC 上、在線段 BC 的延長(zhǎng)線上兩種情況，先證RtVPED ≌RtVPCD HL ，推出 PE = PC ，
再利用勾股定理求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng) t = 3時(shí)，PC = BC - BP = 8 -1 3 = 5，
在RtVACP中， ACP = 90°，
∵ AC = 4， PC = 5，
∴ AP = AC 2 + PC 2 = 42 + 52 = 41；
（2）∵點(diǎn) P 在線段 AB 垂直平分線上，
∴BP = AP，
設(shè) AP = BP = x，
∵ BC = 8，
∴PC = 8 - x，
在Rt△APC 中， ACP = 90°，
∴ AC 2 + PC 2 = AP2 ，
∴ 42 + (8 - x)2 = x2 ，
解得 x = 5，
∴ BP = 5
∴ t = 5 1 = 5；
（3）解：5 或 11
①當(dāng) P 在線段BC 上時(shí)，連接PD，
∵ DE ^ AP，DC ^ PC ，DE = DC ，
∴ 在RtVPED和Rt△PCD中，
ìDE = DC
í
PD = PD
，
∴RtVPED ≌RtVPCD HL ，
∴PE = PC ，
AD 5 3∵在Rt△AED 中， = ，DE = DC = ，
2 2
AE 5
2 3 2
= ∴ 2 ÷
- ÷ = 2，
è è 2
∵BP = t ，PC = PE = 8 - t，
∴PA = PE + AE = 8 - t + 2 =10 - t ，
∵在RtVACP中， AC 2 + PC 2 = AP2 ，
∴ 42 + (8 - t)2 = (10 - t)2
解得 t = 5；
②當(dāng) P 在線段BC 延長(zhǎng)線上，連PD，
同①可證PE = PC ， AE = 2，
則PC = PE = t -8， AP = PE + AE = t -8 + 2 = t - 6 ，
∵在RtVACP中，PC 2 + AC 2 = AP2
∴ (t -8)2 + 42 = (t - 6)2 ，
解得 t = 11，
綜上： t = 5或 11．
1．如圖，在VABC 中， AC = BC ， C = 90°， AD 是VABC 的角平分線，DE ^ AB于點(diǎn)E ．若CD =1，則
AB 的長(zhǎng)為（ ）
A． 2 B．1+ 2 C． 2 + 2 D． 2 2 + 2
【答案】C
【分析】利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到 B = BAC = 45° ，利用角平分線性質(zhì)得到
DE = CD =1，利用三角形內(nèi)角和定理得到 BDE = 45° = B，進(jìn)而得到BE = DE = 1，利用勾股定理得到BD，
進(jìn)而得到 AC ，再證明VACD≌VAED HL ，利用全等三角形性質(zhì)得到 AE ，即可求得 AB 的長(zhǎng)．
【詳解】解：Q AC = BC ， C = 90°，
\ B = BAC = 45° ，
Q AD 是VABC 的角平分線，DE ^ AB于點(diǎn)E ，CD =1，
\DE = CD =1， BED = 90°，
\ BDE = 45° = B ，
\ BE = DE = 1，
\ BD = BE2 + DE2 = 2 ，
\ AC = BC = CD + BD =1+ 2 ，
Q AD = AD， AED = 90° = C ，
\VACD≌VAED HL ，
\ AE = AC =1+ 2 ，
\ AB = AE + BE = 2 + 2 ．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)，勾股定理，全等三角形性質(zhì)和判
定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在VABC 中， C = 90°， AC = BC ， AD 平分 CAB ，交BC 于點(diǎn)D，DE ^ AB于點(diǎn)E ，且
AB = 6cm ，則VDEB的周長(zhǎng)為（　　）
A． 4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】B
【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)
并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CD = DE ，利用“ HL ”證明VACD
和△AED 全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得 AC = AE ，然后求出VDEB的周長(zhǎng)．
【詳解】解：Q AD 平分 CAB ， C = 90°，DE ^ AB，
\CD = DE ，
在VACD和△AED 中，
ìAD = AD
í
CD = DE
，
\VACD≌VAED(HL)，
\ AC = AE ，
\VDEB的周長(zhǎng)= BD + DE + BE ，
= BD + CD + BE ，
= BC + BE ，
= AC + BE ，
= AE + BE ，
= ，
Q AB = 6cm ，
\VDEB的周長(zhǎng)為6cm．
故選：B
3．如圖， 在RtVABC 中， C = 90°， BAC 的平分線 AE 交BC 于點(diǎn) E，ED ^ AB 于點(diǎn) D， 若 VABC
的周長(zhǎng)為 12，則 VBDE 的周長(zhǎng)為 4 ，則 AC 為 （　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE = EC ，
ADE = ACE = 90°，證得 RtVADE≌RtVACE HL ，可得 AD = AC ，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)可得 4 + 2AC = 12，
即可求解．
【詳解】解：∵ AE 平分 BAC ，ED ^ AB ，EC ^ AC ，
∴DE = EC ， ADE = ACE = 90°，
又∵ AE = AE ，
∴RtVADE≌RtVACE HL ，
∴ AD = AC ，
∵VBDE 的周長(zhǎng)為 4 ，VABC 的周長(zhǎng)為 12，
∴BD + DE + BE = BD + EC + BE = BD + BC = 4，AB + AC + BC = AD + BD + AC + BC = BD + BC + 2AC = 12，
∴ 4 + 2AC = 12，
∴ AC = 4，
故選：B．
4．如圖，VABC 中， ABC 的平分線與 AC 邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE ^ BC 于點(diǎn)E ，連接
CD，若 BAC = 35°， ACD = 30°，則 DCE 的度數(shù)為（ ）
A． 45° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF ^ AB ，連接 AD ，如圖所示，由中垂線的性質(zhì)得到DA = DC ，結(jié)合等腰三角形的判
定與性質(zhì)得到 DAC = ACD = 30°，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)及三角形全等的判定與性質(zhì)得到
DCE = DAF = BAC + DAC ．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DF ^ AB ，連接 AD ，如圖所示：
Q點(diǎn)D在線段 AC 的垂直平分線上，
\ DA = DC ，
\ DAC = ACD = 30°，
Q點(diǎn)D在 ABC 的角平分線上，
\DF = DE ，
Q DFA = 90° = DEC ，
\VDFA≌VDEC HL ，
\ DCE = DAF = BAC + DAC = 35° + 30° = 65°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查求角度，涉及中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等
的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟記相關(guān)幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合表示角度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．如圖，在VABC 中，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E ，延長(zhǎng)BC 到點(diǎn)F ． ABC, EAC 的角平分線BP,AP 交于點(diǎn) P ，過(guò)點(diǎn)
P 分別作PM ^ BE,PN ^ BF ，垂足為M ,N ，則下列結(jié)論正確的有（ ）
①CP平分 ACF ；② ABC + 2 APC =180°；③∠ACB = 2∠APB；④ S△PAC = S△MAP + S△NCP ．
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
【答案】D
【分析】①過(guò)點(diǎn) P 作PD ^ AC 于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)推出PD = PN 即可進(jìn)行判斷；②證
RtVPAM≌RtVPAD ，RtVPCD≌RtVPCN 即可進(jìn)行判斷；③根據(jù)“ PA平分 CAE ，BP平分 ABC ” 即可
進(jìn)行判斷；④由②中全等三角形的性質(zhì)即可進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①如圖，過(guò)點(diǎn) P 作PD ^ AC 于點(diǎn)D，
∵ ABC， EAC 的平分線BP，AP 交于點(diǎn) P， PM ^ BE ， PN ^ BF ，PD ^ AC ，
\PM = PN ，PD = PM ，
\PD = PN ，
∴ PN ^ BF ，PD ^ AC ，
∴CP平分 ACF ，故①正確；
②QPM ^ AB，PN ^ BC ，
\ ABC + 90° + MPN + 90° = 360°，
\ ABC + MPN = 180°，
在RtVPAM 和Rt△PAD 中，
ìPM = PD
í
PA = PA
\RtVPAM≌RtVPAD HL ，
\ APM = APD，
同理：RtVPCD≌RtVPCN HL ，
\ CPD = CPN ，
\ MPN = 2 APC ，
\ ABC + 2 APC = 180° ，故②正確；
③QPA平分 CAE ，BP平分 ABC ，
1
\ CAE = ABC + ACB = 2 PAM ， PAM =∠ABP +∠APB = ABC + APB2 ，
\ CAE = ABC + ACB = ABC + 2 APB
\ ACB = 2 APB ，③正確；
④由②可知RtVPAM≌RtVPAD HL ，RtVPCD≌RtVPCN HL ，
\SVAPD = SVMAP ， SVCPD = SVNCP ，
\SVPAC = SVAPD + SVCPD = SVMAP + SVNCP，故④正確．
綜上分析可知，正確的有 4 個(gè)，故 D 正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義及性質(zhì)、全等三角形的判斷及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角
和定理等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，CA ^ AB ，垂足為點(diǎn) A， AB = 8， AC = 4，射線BM ^ AB ，垂足為點(diǎn) B，一動(dòng)點(diǎn) E 從 A 點(diǎn)出發(fā)
以 2/秒的速度沿射線 AN 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) D 為射線 BM 上一動(dòng)點(diǎn)，隨著 E 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED = CB ，當(dāng)
點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng) t 秒時(shí)，VDEB與VBCA全等．則符合條件的 t 值有（ ）個(gè)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用．利用分類討論的思想，結(jié)合三角形全
等的判定和性質(zhì)列出方程求解即可；分類討論：①當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 上，且 AC = BE 時(shí)，②當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB
延長(zhǎng)線上，且 AC = BE 時(shí)，③當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 上，且 AB = BE時(shí)和④當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 延長(zhǎng)線上，且 AB = BE
時(shí)，再分別列出一元一次方程求解即可．
【詳解】解：分類討論：①當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 上，且 AC = BE 時(shí)，VBCA≌VDEB HL ，
∵動(dòng)點(diǎn) E 的速度為 2/秒，
∴BE = AB - AE = 8 - 2t ，
∴ 4 = 8 - 2t ，
解得： t = 2；
②當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 延長(zhǎng)線上，且 AC = BE 時(shí)，VBCA≌VDEB HL ，
∵動(dòng)點(diǎn) E 的速度為 2/秒，
∴BE = AE - AB = 2t -8，
∴ 4 = 2t -8，
解得： t = 6；
③當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 上，且 AB = BE時(shí)，VBCA≌VEDB HL ，
∵動(dòng)點(diǎn) E 的速度為 2/秒，
∴BE = AB - AE = 8 - 2t ，
∴8 = 8 - 2t ，
解得： t = 0；
④當(dāng)點(diǎn) E 在線段 AB 延長(zhǎng)線上，且 AB = BE時(shí)，VBCA≌VEDB HL ，
∵動(dòng)點(diǎn) E 的速度為 2/秒，
∴BE = AE - AB = 2t -8，
∴8 = 2t -8，
解得： t = 8．
綜上可知符合條件的 t 值有 4 個(gè)．
故選 C．
7．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC =1, AD 是 BAC 的平分線且交BC 于點(diǎn) D，DE ^ AB于點(diǎn)
E，則VBDE 的周長(zhǎng)為 ．
【答案】 2
【分析】本題考查勾股定理，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求出 AB 的長(zhǎng)，角平分
線的性質(zhì)得到CD = DE ，證明△ADC ≌△ADE ，得到 AE = AC ，進(jìn)而得到VBDE 的周長(zhǎng)
= AB - AC + BC = AB ，即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵ ACB = 90°， AC = BC =1，
∴ AB = 12 +12 = 2 ，
∵ AD 是 BAC 的平分線且交BC 于點(diǎn) D，DE ^ AB于點(diǎn) E，
∴DC = DE ，∠DEA =∠C = 90°，
∵ AD = AD，
∴△ADC ≌△ADE ，
∴ AE = AC ，
∴BE = AB - AE = AB - AC ，
∴VBDE 的周長(zhǎng)BD + DE + BE = BD + CD + AB - AC = AB - AC + BC = AB = 2 ，
故答案為： 2．
8．如圖，在四邊形 ABCD中， BD平分 ABC ， AD = CD ， DE ^ BC ，垂足為點(diǎn) E，△ABD 的面積為 38，
△BCD的面積為 50，則VCDE的面積為 ．
【答案】6
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等的判定與性質(zhì)．
過(guò)點(diǎn)D作DF ^ AB 交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)得出 DF = DE ，利用“ HL ”證明RtVADF≌RtVCDE
和RtVBDF ≌RtVBDE ，再根據(jù)題意得出方程，解方程即可得出VCDE的面積．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn) D 作DF ^ AB 交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，
∵BD平分 ABC ，DF ^ AB ，
∴DE = DF ，
在RtVADF 和Rt△CDE 中，
ìDA = DC
íDF DE ， =
∴RtVADF≌RtVCDE HL ，
∴ SV ADF = SVCDE ，
在Rt△BDF 和Rt△BDE 中，
ìBD = BD
íDF DE ， =
∴RtVBDF≌RtVBDE HL ，
∴ S△BDF = S△BDE ，
∴ SVABD + SVADF = SVBCD - SVCDE
設(shè) SVCDE = SVADF = x ，
∴38 + x = 50 - x，
解得： x = 6，
∴VCDE的面積為 6．
故答案為：6
9．如圖，VABC 中， ACB = 90°， AC 2 + BC 2 = AB2 ，點(diǎn) D，E 分別在邊BC ， AC 上，DE = DB，
DEC = B，若CE = 3， AB =15，則四邊形 ABDE 的面積是 ．
【答案】48
【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，準(zhǔn)確分析證明是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn) D 作
DF ^ AB ，證明VDCE≌VDFB得出DC = DF ，BF = CE = 3，證明RtVADC≌RtVADF HL ，得出
AC = AF =12，根據(jù)勾股定理求出BC = 9，設(shè)DC = DF = m，則DE = DB = 9 - m，根據(jù)勾股定理得出
9 - m 2 = m2 + 9，求出m = 4 ，得出答案即可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn) D 作DF ^ AB ，如圖所示：
∴ DFB = 90°，
∵ ACB = 90°，
∴ DFB = ACB，DC ^ AC ，
在△DCE 和△DFB 中，
ì DCE = DFB

í DEC = B ，

DE = DB
∴VDCE≌VDFB，
∴DC = DF ，BF = CE = 3，
∵ AB =15，
∴ AF = AB - BF =15 - 3 =12，
∵CD = DF ， AD = AD，
∴RtVADC≌RtVADF HL ，
∴ AC = AF =12，
∵ AC 2 + BC 2 = AB2 ，
∴122 + BC 2 =152，
解得：BC = 9，負(fù)值舍去，
設(shè)DC = DF = m，則DE = DB = 9 - m，
在RtVDCE 中， DE2 = EC 2 +CD2，
9 - m 2即 = m2 + 9，
解得：m = 4 ，
∴ S S
1 1
=
四邊形ABDE VABC - SVCDE = 12 9 - 3 4 = 48．2 2
故答案為：48．
10．如圖，在VABC 中，D 為 AB 中點(diǎn)， DE ^ AB， ACE + BCE =180°， EF ^ BC 交 BC 于 F， AC = 8，
BC =12，那么BF = ．
【答案】10
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判定及性質(zhì)，連接 AE ，
過(guò)點(diǎn)E作EG ^ AC 交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由角平分線的性質(zhì)得EG = EF ，由HL可判定RtVEFC ≌RtVEGC ，
由全等三角形的性質(zhì)得CF = CG ，同理可證BF = AG，即可求解；掌握相關(guān)的性質(zhì)，構(gòu)建三角形全等是解
題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，連接 AE ，過(guò)點(diǎn) E 作EG ^ AC 交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G，
QD為 AB 中點(diǎn)，DE ^ AB，
\EA = EB，
Q ACE + BCE =180°，
ACE + ECG =180°，
\ ECG = BCE ，
QEF ^ BC ，EG ^ AC ，
\EG = EF ，
在Rt△EFC 和RtVEGC 中，
ìCE = CE
í ，
EF = EG
\RtVEFC ≌RtVEGC （HL），
\CF = CG，
同理可證：RtVEFB≌RtVEGA，
\ BF = AG，
\12 - CF = 8 + CF ，
解得：CF = 2 ，
\BF =12 - 2 =10，
故答案：10．
11．如圖，在VABC 中， AB = AC ，過(guò)點(diǎn) A 作 AD∥BC ，連接DC ，點(diǎn) E 是 AB 邊上一點(diǎn)，DE = DC ，過(guò)
點(diǎn) D 作DF ^ AC 于 F，若BE = 6，則 AF = ．
【答案】3
【分析】如圖，過(guò)D作 DG ^ BA于G ，證明VADG≌VADF ，RtVDCF≌RtVDEG ，可得CF = EG ，再進(jìn)一
步解答可得 2AF = BE = 6，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，過(guò)D作 DG ^ BA于G ，
∵ AD∥BC ，
∴ DAG = B ， DAF = ACB，
∵ AB = AC ，
∴∠ABC = ACB ，
∴ DAG = DAF ，
∵DF ^ AC ，
∴ G = AFD = 90°，
∵ AD = AD，
∴VADG≌VADF ，
∴DF = DG ，
∵DC = DE ，
∴RtVDCF≌RtVDEG ，
∴CF = EG ，
∴ AF = AC - CF = AB - EG = AB - AE + AG
= AB - AB - BE + AF = BE - AF ，
∴ 2AF = BE = 6，
∴ AF = 3，
故答案為：3
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線
是解本題的關(guān)鍵．
12．如圖，VABC 中， AC = BC ，且點(diǎn)D在VABC 外，D在 AC 的垂直平分線上，連接BD，若
DBC = 30°， ACD =12°，則 A = °．
【答案】 72
【分析】過(guò)C 作CM ^ BD，交 BD的延長(zhǎng)線于M ，過(guò) D作 DN ^ AC 于 N ，證明RtVDNC≌RtVDMC HL ，
得 DCM = ACD =12°，求出 ACB 的度數(shù)，則根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和，可求出 A的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，過(guò)C 作CM ^ BD，交BD的延長(zhǎng)線于M ，過(guò)D作DN ^ AC 于 N ，
∵點(diǎn)D在 AC 的垂直平分線上，
∴DN 垂直平分 AC ，
1
∴ NC = AC ，
2
∵ AC = BC ，
1
∴ NC = BC ，
2
在Rt△ BMC 中， DBC = 30°，
CM 1∴ = BC ，
2
∴CM = CN ，
在Rt△DNC 和RtVDMC 中，
ì CD = CD
∵ í
CN
，
= CM
∴RtVDNC≌RtVDMC HL ，
∴ DCM = ACD =12°，
∵ DBC = 30°，
∴ MCB = 60°，
∴ ACB = 60° -12° 2 = 36°，
又∵ AC = BC ，
1
∴ A = 180° - 36° = 72°，
2
故答案為： 72．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),含30°角直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要熟
知等腰三角形的兩個(gè)底角相等，需要作輔助線，構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．
13．如圖，CB = CD ， D + ABC =180°，CE ^ AD于 E．
(1)求證： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE =10，DE = 4，求 AB 的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2) 6
【分析】本題考查了角平分線的判定定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是
解此題的關(guān)鍵．
（1）作CF ^ AB交 AB 的延長(zhǎng)線于F ，證明VCDE≌VCBF AAS ，得出CE = CF ，再由角平分線的判定定
理即可得證；
（2）由（1）可得：BF = DE = 4，證明RtVACE≌RtVACF HL 得出 AE = AF = 10，即可得解．
【詳解】（1）證明：如圖，作CF ^ AB交 AB 的延長(zhǎng)線于F ，
∵CE ^ AD，
∴ DEC = BFC = 90°，
∵ D + ABC =180°， CBF + ABC =180°，
∴ CBF = D ，
∵CB = CD ，
∴VCDE≌VCBF AAS ，
∴CE = CF ，
∴ AC 平分 DAB ；
（2）解：由（1）可得：BF = DE = 4，
在RtVACE 和Rt△ACF 中，
ìCE = CF
í
AC = AC
，
∴RtVACE≌RtVACF HL ，
∴ AE = AF = 10，
∴ AB = AF - BF = 6．
14．如圖，CB = CD， D + ABC =180°，CE ^ AD 于 E，CF ^ AB交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F．
(1)求證： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE = 8，DE = 2，求 AB 的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)6
【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定定理，證明VCDE≌VCBF AAS 是解題的
關(guān)鍵．
（1）VCDE≌VCBF AAS ，則CE = CF ，根據(jù)角平分線的判定即可得到結(jié)論；
（2）由（1）可得BF = DE = 2 ，證明RtVACE≌RtVACF HL ，則 AE = AF = 8，即可得到 AB 的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵CE ^ AD，CF ^ AB，
∴ DEC = CFB = 90°，
∵ D + ABC =180°， CBF + ABC =180°，
∴ D = CBF ，
在VCDE與VCBF 中，
ì D = CBF

í DEC = CFB ，

CD = CB
∴VCDE≌VCBF AAS ，
∴CE = CF ，
又CE ^ AD,CF ^ AB ，
∴ AC 平分 DAB ；
（2）解：由（1）可得BF = DE = 2 ，
在RtVACE 和Rt△ACF 中，
ìCE = CF
í
AC = AC
，
∴RtVACE≌RtVACF HL ，
∴ AE = AF = 8，
∴ AB = AF - BF = 6．
15．如圖，四邊形 ABDC 中， D = ABD = 90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且OA平分 BAC ．
(1)求證：OC 平分 ACD；
(2)求證：OA ^ OC ；
(3)猜想 AB 、CD與 AC 的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)詳見(jiàn)解析
(2)詳見(jiàn)解析
(3) AB + CD = AC ，理由見(jiàn)解析
【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義，熟記性質(zhì)并作輔助
線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．
（1）過(guò)點(diǎn)O作OE ^ AC 于E ，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，可得OB = OE ，從而求出OE = OD，
然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可；
（2）利用HL ，證明RtVABO≌RtVAEO，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得 AOB = AOE ，同理可得
COD = COE ，然后求出∠AOC=90°，再根據(jù)垂直的定義即可證明；
（3）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，可得 AB = AE ，CD = CE ，然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)
論．
【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE ^ AC 于E ，
又∵ ABD = 90°，OA平分 BAC ，
∴OB = OE ，
∵點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，
∴OB = OD ，
∴OE = OD，
又∵ D = 90°，
∴OC 平分 ACD；
（2）證明：在Rt△ABO和Rt△AEO 中，
ìAO = AO
íOB OE ， =
∴RtVABO≌RtVAEO HL ，
AOE 1∴ AOB = AOE ， = BOE ，
2
在Rt△CEO 和Rt△CDO 中，
ìCO = CO
í ，
OE = OD
∴RtVCEO≌RtVCDO HL ，
1
∴ COD = COE ， COE = DOE ，
2
1
∴ AOC = AOE + COE = 1 BOE + DOE = 180° = 90°，
2 2
∴OA ^ OC ；
（3）解： AB + CD = AC ，理由如下：
∵RtVABO≌RtVAEO，
∴ AB = AE ，
∵RtVCEO≌RtVCDO，
∴CD = CE ，
∵ AE + CE = AC ，
∴ AB + CD = AC ．
16．如圖，四邊形 ABCD中， B = 90°，連接對(duì)角線 AC ，且 AC = AD，點(diǎn)E 在邊BC 上，連接DE ，過(guò)點(diǎn)A
作 AF ^DE，垂足為F ，若 AB = AF ．
(1)求證：① DAC = FAB；
②DF = CE + EF ；
(2)若 AB = BC ， CDE = 20°，求 CAF 的度數(shù)．
【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析
(2)5°
【分析】（1）①根據(jù)條件可證得Rt△ADF≌Rt△ACB，然后根據(jù)角的關(guān)系即可得證；②連接 AE ，根據(jù)條件
可證得Rt△AFE≌△Rt△ABE ，然后根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系等量代換即可得解；
（2）由三角形全等的性質(zhì)可得到 DAF = CAB = 45° ，根據(jù)等邊對(duì)等角性質(zhì)得到 CDA = DCA = 65°，
由三角形內(nèi)角和計(jì)算出 DAC =180° - 65° - 65° = 50°，然后由 CAF = DAC - DAF 即可得解．
【詳解】（1）證明：①Q(mào) B = 90°， AF ^DE，
\ AFD = ABC = 90°，
在RtVADF 和Rt△ACB 中，
ìAD = AC
í
AF = AB
，
\ RtVADF≌RtVACB HL ，
\ DAF = CAB，
\ DAF + FAC = CAB + FAC ，
即 DAC = FAB；
②連接 AE ，
Q B = 90°， AF ^DE，
\ AFE = ABC = 90°，
在RtVAFE 和Rt△ABE 中，
ìAE = AE
íAF AB ， =
\ RtVAFE≌VRtVABE HL ，
\EF = EB ，
由①知Rt△ADF≌Rt△ACB，
\ DF = CB ，
\DF = CE + BE = CE + EF ；
（2）解：Q AB = BC ，
\ BAC = BCA = 45°，
由①知Rt△ADF≌Rt△ACB，
\ DAF = CAB = 45°，
\ ADF = 90° - 45° = 45°，
Q CDE = 20°，
\ CDA = 20° + 45° = 65° ，
又Q AC = AD ，
\ CDA = DCA = 65°，
\ DAC =180° - 65° - 65° = 50°，
\ CAF = DAC - DAF = 50° - 45° = 5°．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知
識(shí)并采用等量代換的方法是解題關(guān)鍵．
17．圖，已知CD = BE ，DG ^ BC 于點(diǎn) G，EF ^ BC 于點(diǎn) F，且DG = EF ．
(1)求證：△DGC ≌△EFB ；
(2)OB = OC 嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若 B = 30°，△ADO 是什么三角形？
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)OB = OC ，見(jiàn)解析
(3)△ADO 是等邊三角形
【分析】（1）由CD = BE ，DG ^ BC ，EF ^ BC ，DG = EF ，即可證明，
（2）由RtVEFB≌RtVDGC HL ，即可證明，
（3）根據(jù)題意由余角的性質(zhì)可得 D = DAO = 60°，即可得到△ADO 是等邊三角形．
本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，熟練掌握并證明三角形全
等是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：證明：∵DG ^ BC ，EF ^ BC ，
∴ DGC = EFB = 90°，
ìCD = BE
在Rt△EFB 和Rt△DGC 中， í
DG = EF
，
∴RtVEFB≌RtVDGC HL ，
（2）解：∵RtVEFB≌RtVDGC HL ，
B = C ，
∴OB = OC ；
（3）解：∵RtVEFB≌RtVDGC HL ，
∴ B = C = 30° ，DG ^ BC ，
∴ D = 60°= BAG ，
∴ D = DAO = 60°，
∴△ADO 是等邊三角形．
18．已知：點(diǎn) P 為 EAF 平分線上一點(diǎn)，PB ^ AE 于 B，PC ^ AF 于 C，點(diǎn) M、N 分別是射線 AE 、 AF 上
的點(diǎn)，且PM = PN ．
(1)當(dāng)點(diǎn) M 在線段 AB 上，點(diǎn) N 在線段 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖 1）．求證：BM = CN ；
(2)在（1）的條件下，求證： AM + AN = 2AC ；
(3)當(dāng)點(diǎn) M 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖 2），若 AC : PC = 2 :1， PC = 4，則四邊形 ANPM 的面積為
_______．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)四邊形 ANPM 的面積為 32．
【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積問(wèn)題．注意掌握數(shù)形結(jié)
合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
（1）由點(diǎn) P 為 EAF 平分線上一點(diǎn)，PB ^ AE 于B，PC ^ AF 于C ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得
PB = PC ，又由PM = PN ，利用HL，即可判定RtVPBM≌RtVPCN ，則可證得結(jié)論；
（2）由角平分線的性質(zhì)易證得 AB = AC ，又由 AM + AN = AM + CN + AC = AM + BM + AC = AB + AC ，即
可證得結(jié)論；
（3）由 AC：PC = 2：1，PC = 4，即可求得 AC 的長(zhǎng)，又由
S ANPM = SVAPN + SV APB + SVPBM = SVAPN + SVAPB + SVPCN = S + S四邊形 VAPC VAPB ，即可求得四邊形 ANPM 的面積．
【詳解】（1）證明：Q點(diǎn) P 為 EAF 平分線上一點(diǎn)，PB ^ AE，PC ^ AF ，
\PB = PC， PBM = PCN = 90°，
在Rt△PBM 和Rt△PCN 中，
ìPM = PN
í
PB
，
= PC
\RtVPBM≌RtVPCN HL ，
\BM = CN ；
（2）證明：根據(jù)解析（1）可知：PB = PC ，BM = CN ，
∵PA = PA，
∴RtVPAB≌RtVPAC HL ，
∴ AB = AC ，
\ AM + AN = AM + CN + AC = AM + BM + AC = AB + AC = 2AC ；
（3）解：Q AC：PC = 2：1，PC = 4，
\ AC = 8，
\ AB = AC = 8，PB = PC = 4，
\S ANPM = SVAPN + S四邊形 V APB + SVPBM
= SVAPN + SVAPB + SVPCN
= SVAPC + SVAPB
1 AC 1= × PC + AB × PB
2 2
1 1
= 8 4 + 8 4
2 2
= 32．第 09 講 直角三角形全等的判定（1 個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5 大題型+18 道
強(qiáng)化訓(xùn)練）
課程標(biāo)準(zhǔn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.用 HL 判斷三角形全等； 1.掌握用 HL 證三角形全等；
2.全等的性質(zhì)與 HL 的綜合； 2.掌握全等的性質(zhì)與 HL 的綜合；
知識(shí)點(diǎn) 01：HL 證明三角形全等
定理：在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“HL”）.
要點(diǎn)詮釋：（1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形
狀和大小就確定了.
（2）判定兩個(gè)直角三角形全等首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.
（3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過(guò)程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩
個(gè)三角形前加上“Rt”.
【即學(xué)即練 1】
1．如圖，在 VABC 中， C = 90°，D 是 AC 上一點(diǎn)， DE ^ AB于點(diǎn) E， BE = BC ，連接 BD，若 AC = 8cm ，
則 AD + DE 等于（ ）
A．6cm B． 7cm C．8cm D．10cm
【即學(xué)即練 2】
2．如圖所示，已知在△ABC 中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB 交 BC 于點(diǎn) E，若∠B=28°，則∠AEC=（ ）
A．28° B．59° C．60° D．62°
題型 01 用 HL 證明三角形全等
1．如圖，O 是 BAC 內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn) O 到 AB ， AC 的距離OE = OF ，則△AEO≌△AFO的依據(jù)是（ ）
A．HL B．AAS C．SSS D．ASA
2．如圖， AB ^ BC ， AD ^ DC ，要根據(jù)“ HL ”證明Rt△ABC≌Rt△ADC ，還應(yīng)添加一個(gè)條件是（ ）
A． 1 = 2 B． 2 = 4 C． AB = AD D． AB = AC
3．如圖，點(diǎn) B 、 F 、C 、 E 在一條直線上， A = D = 90°， AB = DE ，若用“ HL ”判定△ABC ≌△DEF ，
則添加的一個(gè)條件是 ．
4．如圖， AC ^ AB， AC ^ CD ，要使得△ABC ≌△CDA，若以“ HL ”為依據(jù)，需添加條件 ．
5．已知：如圖， ABC = 45°， AD 為VABC 的高，E 為 AC 上一點(diǎn)， BE 交 AD 于 F 且有 BF = AC ．求證：
Rt△BFD≌Rt△ACD ．
題型 02 利用直角三角形全等的判定求角度
1．如圖，已知DB ^ AN 于點(diǎn) B ，交 AE 于點(diǎn)O，OC ^ AM 于點(diǎn)C ，且OB = OC ．若 ADB = 54°，則 OAB
的大小為（　　）
A．15° B．18° C． 22° D．30°
2．如圖，VABC 中， ABC 的平分線與 AC 邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE ^ BC 于點(diǎn)E ，連接
CD，若 BAC = 35°， ACD = 30°，則 DCE 的度數(shù)為（ ）
A． 45° B．60° C．65° D．70°
3．如圖，已知 PA ^ ON 于點(diǎn) A，PB ^ OM 于點(diǎn) B，且PA = PB ， MON = 50°， OPC = 20°，則 PCA = ．
4．如圖，VABC 中， AC = BC ，且點(diǎn)D在VABC 外，D在 AC 的垂直平分線上，連接BD，若
DBC = 30°， ACD =12°，則 A = °．
5．如圖， AC 平分 BAD ，CE ^ AB ，CF ^ AD 交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，在 AB 上有一點(diǎn) M，且
CM = CD，
(1)若 AF =12， DF = 4，求 AM 的長(zhǎng)．
(2)試說(shuō)明 CDA與 CMA的關(guān)系．
題型 03 利用直角三角形全等的判定求長(zhǎng)度
1．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°, BAC 的平分線 AE 交BC 于點(diǎn)E, ED ^ AB于點(diǎn) D，若VABC 的周長(zhǎng)為
12,VBDE 的周長(zhǎng)為 6，則 AC =（ ）
A．4 B．3 C．6 D．8
2．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°， AC = 6 ， BC = 8，以點(diǎn) A 為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交 AC ，
1
AB 于點(diǎn)M ，N ，再分別以M ，N 為圓心，大于 MN 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn) P ，射線 AP 與BC 交
2
于點(diǎn)D，DE ^ AB，垂足為E ，則BE為（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
3．如圖，VABC 的外角 DAC 的平分線交BC 邊的垂直平分線于 P 點(diǎn)，PD ^ AB 于 D，PE ^ AC 于 E．若
AB = 6cm ， AC = 10cm ，則 AD 的長(zhǎng)是 ．
4．如圖，在VABC 中，DE ^ AC 于點(diǎn)D，且 AD = CD ， ABE + CBE = 180°，EF ^ BC 于點(diǎn)F ，若
AB = 7 ，BF =1，則BC = ．
5．已知：如圖， BAC 角平分線與BC 的垂直平分線DG 交于點(diǎn) D，DE ^ AB，DF ^ AC ，垂足分別為
E、F．
(1)求證：BE = CF ；
(2)若 AB = 8， AC = 6 ，求 BE 的長(zhǎng)．
題型 04 直角三角形全等證明的常見(jiàn)輔助線添加
1．如圖， AD 是VABC 的角平分線，DF ^ AB 于點(diǎn) F，且DE = DG ， S△ADG = 26 ， S△AED = 18，則VDEF
的面積為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．如圖，在四邊形 ABCD中，DE ^ BC ，BD平分 ABC ，AD = CD ，BE = 4，DE = 3，CE = 1，則△ABD
的面積是（ ）
A． 4.5 B．6 C．9 D．12
3．如圖， AE 是 CAM 的角平分線，點(diǎn) B 在射線 AM 上，DE 是線段BC 的中垂線交 AE 于 E，
EF ^ AM ．若 ACB = 23°, CBE = 21°，則 BEF = ．
4．如圖，四邊形 ABCD中， AC 平分 BAD ，BC = DC，CE ^ AD于點(diǎn) E， AD =12，AB = 7 ，則DE 的長(zhǎng)
為 ．
5．如圖，CB = CD ， D + ABC =180°，CE ^ AD于 E．
(1)求證： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE =10，DE = 4，求 AB 的長(zhǎng)．
題型 05 全等的性質(zhì)和 HL 綜合
1．如圖，在VABC 中， P 為 BC 上一點(diǎn)， PR ^ AB，垂足為 R，PS ^ AC ，垂足為 S，AQ = PQ，PR = PS ，
下面結(jié)論：① AS = AR；②QP∥ AR ；③△ARP ≌△ASP，其中正確的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
1
2．如圖，在等邊VABC 中， AD ^ BC 于 D，延長(zhǎng)BC 到 E，使CE = BC ，F(xiàn) 是 AC 的中點(diǎn)，連接EF 并延
2
長(zhǎng)EF 交 AB 于 G，BG 的垂直平分線分別交BG，AD于點(diǎn) M，點(diǎn) N，連接GN，CN ，下列結(jié)論：①
ACN 1= BCN ；②GF = EF ；③ GNC =120°；④GM = CN ；⑤EG ^ AB ，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
2
A．2 個(gè) B．3 個(gè) C．4 個(gè) D．5 個(gè)
3．如圖所示，在VABC 中， P，Q分別是 BC，AC 上的點(diǎn)，作 PR ^ AB， PS ^ AC ，垂足分別為點(diǎn) R，S ，
若 AQ = PQ ， PR = PS ，QD ^ AP．現(xiàn)有下列結(jié)論：① AS = AR；② AP 平分 BAC ；③△BRP≌△CSP；
④PQ∥ AR ．其中正確的是 （把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）
4．如圖，VABC 的兩條外角平分線 AP，CP 相交于點(diǎn) P，PH ^ AC 于點(diǎn) H．若 ABC = 60°，則下面的結(jié)
論：① ABP = 30°；② APC = 60°；③PB = 2PH ；④ APH = BPC ．其中正確的結(jié)論是 ．（填序號(hào)）
3
5．如圖，已知在Rt△ABC 中， ACB = 90°， AC = 4， BC = 8，D 是 AC 上的一點(diǎn)，CD = ．點(diǎn) P 從 B 點(diǎn)
2
出發(fā)沿射線BC 方向以每秒 1 個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，連接 AP ．
(1)當(dāng) t = 3秒時(shí)，求 AP 的長(zhǎng)度；
(2)當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 的垂直平分線上時(shí)，求 t 的值；
(3)過(guò)點(diǎn) D 作DE ^ AP于點(diǎn) E．在點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng) t 為何值時(shí)，能使DE = CD？請(qǐng)直接寫出 t 的值．
1．如圖，在VABC 中， AC = BC ， C = 90°， AD 是VABC 的角平分線，DE ^ AB于點(diǎn)E ．若CD =1，則
AB 的長(zhǎng)為（ ）
A． 2 B．1+ 2 C． 2 + 2 D． 2 2 + 2
2．如圖，在VABC 中， C = 90°， AC = BC ， AD 平分 CAB ，交BC 于點(diǎn)D，DE ^ AB于點(diǎn)E ，且
AB = 6cm ，則VDEB的周長(zhǎng)為（　　）
A． 4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．如圖， 在RtVABC 中， C = 90°， BAC 的平分線 AE 交BC 于點(diǎn) E，ED ^ AB 于點(diǎn) D， 若 VABC
的周長(zhǎng)為 12，則 VBDE 的周長(zhǎng)為 4 ，則 AC 為 （　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．如圖，VABC 中， ABC 的平分線與 AC 邊的垂直平分線交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE ^ BC 于點(diǎn)E ，連接
CD，若 BAC = 35°， ACD = 30°，則 DCE 的度數(shù)為（ ）
A． 45° B．60° C．65° D．70°
5．如圖，在VABC 中，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E ，延長(zhǎng)BC 到點(diǎn)F ． ABC, EAC 的角平分線BP,AP 交于點(diǎn) P ，過(guò)點(diǎn)
P 分別作PM ^ BE,PN ^ BF ，垂足為M ,N ，則下列結(jié)論正確的有（ ）
①CP平分 ACF ；② ABC + 2 APC =180°；③∠ACB = 2∠APB；④ S△PAC = S△MAP + S△NCP ．
A．1 個(gè) B．2 個(gè) C．3 個(gè) D．4 個(gè)
6．如圖，CA ^ AB ，垂足為點(diǎn) A， AB = 8， AC = 4，射線BM ^ AB ，垂足為點(diǎn) B，一動(dòng)點(diǎn) E 從 A 點(diǎn)出發(fā)
以 2/秒的速度沿射線 AN 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) D 為射線 BM 上一動(dòng)點(diǎn)，隨著 E 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED = CB ，當(dāng)
點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng) t 秒時(shí)，VDEB與VBCA全等．則符合條件的 t 值有（ ）個(gè)
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， AC = BC =1, AD 是 BAC 的平分線且交BC 于點(diǎn) D，DE ^ AB于點(diǎn)
E，則VBDE 的周長(zhǎng)為 ．
8．如圖，在四邊形 ABCD中， BD平分 ABC ， AD = CD ， DE ^ BC ，垂足為點(diǎn) E，△ABD 的面積為 38，
△BCD的面積為 50，則VCDE的面積為 ．
9．如圖，VABC 中， ACB = 90°， AC 2 + BC 2 = AB2 ，點(diǎn) D，E 分別在邊BC ， AC 上，DE = DB，
DEC = B，若CE = 3， AB =15，則四邊形 ABDE 的面積是 ．
10．如圖，在VABC 中，D 為 AB 中點(diǎn)， DE ^ AB， ACE + BCE =180°， EF ^ BC 交 BC 于 F， AC = 8，
BC =12，那么BF = ．
11．如圖，在VABC 中， AB = AC ，過(guò)點(diǎn) A 作 AD∥BC ，連接DC ，點(diǎn) E 是 AB 邊上一點(diǎn)，DE = DC ，過(guò)
點(diǎn) D 作DF ^ AC 于 F，若BE = 6，則 AF = ．
12．如圖，VABC 中， AC = BC ，且點(diǎn)D在VABC 外，D在 AC 的垂直平分線上，連接BD，若
DBC = 30°， ACD =12°，則 A = °．
13．如圖，CB = CD ， D + ABC =180°，CE ^ AD于 E．
(1)求證： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE =10，DE = 4，求 AB 的長(zhǎng)．
14．如圖，CB = CD， D + ABC =180°，CE ^ AD 于 E，CF ^ AB交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F．
(1)求證： AC 平分 DAB ；
(2)若 AE = 8，DE = 2，求 AB 的長(zhǎng)．
15．如圖，四邊形 ABDC 中， D = ABD = 90°，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，且OA平分 BAC ．
(1)求證：OC 平分 ACD；
(2)求證：OA ^ OC ；
(3)猜想 AB 、CD與 AC 的關(guān)系，并說(shuō)明理由．
16．如圖，四邊形 ABCD中， B = 90°，連接對(duì)角線 AC ，且 AC = AD，點(diǎn)E 在邊BC 上，連接DE ，過(guò)點(diǎn)A
作 AF ^DE，垂足為F ，若 AB = AF ．
(1)求證：① DAC = FAB；
②DF = CE + EF ；
(2)若 AB = BC ， CDE = 20°，求 CAF 的度數(shù)．
17．圖，已知CD = BE ，DG ^ BC 于點(diǎn) G，EF ^ BC 于點(diǎn) F，且DG = EF ．
(1)求證：△DGC ≌△EFB ；
(2)OB = OC 嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)若 B = 30°，△ADO 是什么三角形？
18．已知：點(diǎn) P 為 EAF 平分線上一點(diǎn)，PB ^ AE 于 B，PC ^ AF 于 C，點(diǎn) M、N 分別是射線 AE 、 AF 上
的點(diǎn)，且PM = PN ．
(1)當(dāng)點(diǎn) M 在線段 AB 上，點(diǎn) N 在線段 AC 的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖 1）．求證：BM = CN ；
(2)在（1）的條件下，求證： AM + AN = 2AC ；
(3)當(dāng)點(diǎn) M 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖 2），若 AC : PC = 2 :1， PC = 4，則四邊形 ANPM 的面積為
_______．

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