資源簡介

第 06 講 直角三角形（2 個知識點+8 大題型+18 道強化訓練）
課程標準 學習目標
1. 掌握直角三角形的概念、性質；
1.直角三角形的概念、性質；
2. 掌握直角三角形的斜邊中線定理；
2.斜邊的中線定理；
3. 掌握含 30°的直角三角形，30°所對的直角邊等于斜
3.30°角所對的直角邊等于斜邊一半；
邊的一半；
知識點 01：直角三角形
角——直角三角形兩銳角互余；
邊——直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
邊——直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2
30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。
【即學即練 1】如圖，在VABC 中， C = 50°， B = 30°，AE 平分 BAC ，點F 為 AE 上一點，FD ^ BC
于點D，則 EFD 的度數為（ ）
A．5° B．10° C．12° D． 20°
【即學即練 2】Rt△ABC 中， C = 90°， A : B = 2 : 3，則 A =（ ）
A．66° B．36° C．56° D．46°
知識點 02：直角三角形的判定
角——有一個角是直角的三角形是直角三角形；
角——有兩個角互余的三角形是直角三角形；
邊——較小兩邊的平方和等于最長邊的平方的三角形是直角三角形。
邊——一條邊上的中線等于該邊長度的一半，那么該三角形是直角三角形，(但不能直接拿來
判斷某三角形是直角三角形，但有助于解題。)
【即學即練 3 已知：如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°，BE 平分 ABC ，ED垂直平分 AB ，D為垂足，若
AC =12，則CE的長度為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【即學即練 4】如圖，在VABC 中， C = 90°， AB = 8cm，點 D 為 AB 的中點，則CD =（ ）
A．3cm B． 4cm C．5cm D． 6cm
題型 01 直角三角形的兩個銳角互余
1．已知 AB∥CD，點E 在直線 AB 上，點F ,G 在直線CD上，EG ^ EF 于點E, AEF = 40°，則 EGF 的
度數是（ ）
A． 40° B． 45° C．50° D．60°
2．如圖，在VABC 中， AE 是角平分線， AD ^ BC ，垂足為 D，點 D 在點 E 的左側， B=60°，
C = 40°，則 DAE 的度數為（ ）
A．10° B．15° C．30° D． 40°
3．如圖，在Rt△ABC 中， A = 90°，點E ，F 分別為 AB ， AC 上一點，將VABC 沿直線EF 翻折至同一
平面內，點A 落在點 A 處， EA ，FA 分別交BC 邊于點M ， N ．若 BEA = 80°，則 CFA 的度數為 ．
4．在VABC 中，∠ABC = ACB ，BD是高， ABD = 20°，則 ACB 的度數為 ．
5．如圖， AD 是VABC 邊BC 上的高， BE 平分 ABC 交 AD 于點 E，若 C = 65°, BED = 68°，求 ABC
和 BAC 的度數．
題型 02 根據 30 度角的直角三角形求角度
1．如圖，在VABC 中， ACB = 45°，點M 為邊BC 上的動點，當 2AM + CM 最小時，則 CAM 的度數為
（ ）
A．60° B． 45° C．30° D．15°
2．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，CE、CD分別是△ACB的角平分線和高線，交 于點
E、D，則 DCE 的值為（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．30°
1
3．在Rt△ABC 中， C = 90°, B = 2 A，點 P 是直線 AB 上一點，且BP = AB，連接CP，則 BPC 的大
2
小是 ．
4．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， B = 30°，D 為線段 AB 的中點，則 ADC 的度數為 ．
5．如圖，在等腰VABC 中， AC = BC ，∠ACB = 4∠B ，點 D是 AC 邊的中點， DE ^ AC ，交 AB 于點 E ，
連接CE．
(1)求 BCE 的度數；
(2)求證： AB = 3CE ．
題型 03 根據 30 度角的直角三角形求長度
1
1．如圖，在VABC 中， C = 90°， B = 15°， AC = 2，分別以點 A，B 為圓心，大 AB長為半徑畫弧，
2
兩弧相交于點 M，N，作直線MN 交BC 于點D，連接 AD ，則BD的長為（ ）
A． 2 5 B． 2 3 C．4 D．0.5
2．如圖，在VABC 中， ABC = 60°，以 AC 為邊在VABC 外作等邊VACD，過點 D 作DE ^ BC ，垂足為
E，若 AB=5,CE =3，則BC 的長為（　　）
9
A．4 B． C．5 D．
2 3 2
3．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°，點 D 在線段BC 上，且 B = 30°， ADC = 60°，CD = 3，則BC 的
長度為 ．
4．如圖①，設計一張折疊型方桌，其示意圖如圖②，若 AO = BO = 50cm，CO = DO = 30cm ．現將桌子放
平，兩條桌腿需要叉開的角度 AOB應為120°，則 AB 距離地面CD的高為 cm．
5．如圖，在VABC 中， AC = BC ， ACB = 120o ，CD是邊 AB 上的中線，BD的垂直平分線EF 交BC 于點
E ，交 AB 于點F ，點G 是 AC 上一點，且 CDG =15o．
(1)求證： AG = BD ；
(2)若EF =1，求 AC 的長．
題型 04 含 30 度角的直角三角形的相關題型
1．如圖，VABC 中， B=60°，BA = 3， BC = 5 ，點E 在BA的延長線上，點D在BC 邊上，且
ED = EC ．若 AE = 4，則BD的邊長為（ ）
A．2.5 B．3.5 C．2 D． 3 +1
2．如圖， AOB = 60°，OC 平分 AOB，點 P 是射線OC 上一點，OP = 10，PM ^ OB 于點M ，點 N 是射
線OA上的一個動點，則PN 的長度的最小值是（　　　）
A．5 B．6 C．7 D．4
1
3．如圖，在VABC 中， B = 90°， C = 30°，分別以點A ，C 為圓心，大于 AC 為半徑作弧，兩弧相交
2
于點M ， N ，作直線MN 分別交 AC ，BC 于點D，E ，若BE = 4，則CE = ．
4．如圖所示，已知VABC ≌VEBD, ACB = EDB = 90°，點 D 在 AB 上，連接CD并延長交 AE 于點 F．且
過點 E 作EG ^ CB，垂足為點 G．當 ABC 的大小發生變化，其它條件不變時，若
EBG = BAE, BC =12，則 AB = ．
5．如圖，在VABC 中， C = 90°， B = 30°．請解答下列問題：
作圖一：作 CAB 的角平分線 AD 交BC 于點 D；
作圖二：作邊 AB 的垂直平分線DE ，分別交BC ， AB 于點 D，E．
(1)選擇其中一種作圖用尺規完成．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，△ABD 與VACD的面積有什么關系？試說明理由．
題型 05 利用斜邊的中線等于斜邊的一半求角度
1．如圖，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D 是斜邊 AB 的中點，若∠B = 32°，則 ADC 的度數為（ ）
A．32° B．64° C．58° D．54°
2．如圖，一塊直角三角板的 60° 角的頂點 A 與直角頂點 C 分別在兩平行線FD、GH 上，若斜邊 AB 與
直線GH 交于 AB 的中點 E ，則 EAD 的大小為（ ）
A．60° B．55° C． 45° D．30°
3．如圖，在Rt△ABC 中， CAB = 90o，AD ^ BC ，點 E 是 BC 的中點， EAB = 35o，則 CAD的度數
為 ．
4．如圖，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， 是BC 邊上的中線，若 B = 25°，則 ADB的度數為 °．
5．在VABC 中， AD 是BC
1
邊上的高，E 、F 分別為 AC 、 BE 邊上的中點，且 BD = AC ．
2
(1)求證：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度數．
題型 06 利用斜邊的中線等于斜邊的一半求長度
1．如圖，三位同學分別站在一個直角三角形 ABC 的三個頂點處做投圈游戲，目標物放在斜邊 AC 的中點O
處，已知 AC = 8m ，則點 B 到目標物的距離是（ ）
A．3m B． 4m C．5m D． 6m
2．如圖，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中點M 與點C 被湖隔開，若測得 AB 的長為5.6km，則M、C
兩點間的距離為（ ）
A． 2.8km B．3.6km C． 4.6km D．5.6km
3．如圖，在VABC 中， ABC = 90°，D是 AC 的中點，若 AC = 4，則BD的長為 ．
4．如圖，VABC 中， AD 是高，E、F 分別是 AB、AC 的中點．若 AB =11，AC =10，則四邊形 AEDF 的周
長為 ．
1
5．如圖，DE 是VABC 的中位線，延長CB 至點 F，使BF = BC ，連接 BE 和DF ．
2
(1)求證：四邊形BEDF 是平行四邊形．
(2)若 ABC = 90°，DF = 3，求 AC 的長．
題型 07 斜邊的中線等于斜邊的一半綜合應用
1．如圖，在等腰直角三角形 ABC 中， ABC = 90°， D為 AC 邊上中點，過 D點作DE ^ DF ，交 AB 于 E ，
交BC 于F ，若 AE = 4，FC = 3，則BF 的長度為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如圖，在Rt△ABC 中，BC 的中垂線與BC 交于點D，與 AC 交于點E ，連接 BE ，F 為 BE 的中點，若
DF = 2，則 AE 的長為（ ）
A．8 B．5 C． 4 D．3
3．如圖，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BC 的中垂線與BC 交于點 D，與 AC 交于點 E，連接 BE ，F 為 BE
的中點，若DF = 2，則 AE 的長為 ．
4．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 60°，BD平分 ABC ，點 P 是BD的中點，若CP = 4，則 AD
的長為 ．
5．如圖，在VABC 中，CF ^ AB于點F ，BE ^ AC 于點E ，M 為BC 的中點，若EF = 4，BC =10，求△EFM
的周長．
題型 08 銳角互余的三角形是直角三角形
1．如圖，在VABC 中， A + B = 90o , D 為 AB 邊的中點，若 AB = 8，則CD =（　　）
24
A．3 B．4 C．5 D．
5
2．在下列條件中不能判定VABC 為直角三角形的是（ ）
A． A = 90° - C B． A = B - C
C． A = 2 B = 3 C D． A
1
= B = C
2
3．在一個支架的橫桿點O處用一根繩懸掛一個小球A ，小球A 可以擺動，如圖，OA表示小球靜止時的位
置，當小球從OA擺到OB 位置時，過點 B 作BD ^ OA于點D，當小球擺到OC 位置時，OB 與OC 恰好垂直，
過點C 作CE ^ OA于點E ，測得CE = 24cm,OA = 30cm，則 AD 的長為 cm．
4．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， A = 28° ，點D在邊 AB 上，將VABC 沿CD折疊，使得點 B 落在 AC
邊上的點B 處，則 ADB 的度數為 ．
5．如圖，點 O 是等邊VABC 內一點， AOB =110°， BOC = a ．以OC 為一邊作等邊三角形OCD，連接
AC 、 AD ．
(1)當a =150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(2)探究：當a 為多少度時，△AOD是等腰三角形？
1．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°， B = 30°， 平分 BAC ，若BC =12，則點D到 的距離是（ ）
A． 2 B．3 C．3.5 D． 4
2．如圖，在VABC 中， C = 90°, B = 30°，邊 AB 的垂直平分線DE 交 AB 于點 E，交BC 于點 D，
CD = 3，則BC 的長為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
3．如圖，在VABC中， ACB = 90°，以點C 為圓心， 長為半徑作弧交 于點D，分別以 B 、D為圓心，
1
大于 DB ，兩弧相交于點E ，作射線 交 于點F ， CAB = 39°，則 BCF = （
2 ）
A．38° B．39° C． 40° D．51°
4．如圖，在VABC 中， C = 90°， B = 30°，以 A 為圓心，任意長為半徑畫弧分別交 AB，AC 于點 M 和
1
N，再分別以M，N為圓心，大于 MN 的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接 AP 并延長交BC 于點D，若BD = 4，
2
則CD的長為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．Rt△ABC 中， C = 90°，AC =12，BC = 6，線段PQ = AB，P、Q兩點分別在線段 AC 和射線 AX 上移動，
且PQ ^ AB ．若VABC 與△QPA全等，則 AP 的長度為（ ）
A．6 B．12 C．6 或 12 D．以上答案都不對
6．如圖，在DABC中， AB = BC ， ABC =120° ，過點 B 作 BD ^ BC ，交 AC 于點D，若 AD =1，則CD的
長度為（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
7．如圖， AOB = 15°，點 P 是OA上一點，點Q與點 P 關于OB 對稱，QM ^ OA于點M ，若OP = 6，則QM
的長為 ．
8．如圖，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中點 M 與點 C 被湖隔開．若測得 AM 的長為1km，則 M，C
兩點間的距離為 km．
9．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°， AB 的垂直平分線交 AB 和 AC 于點 D，E．若CE = 3，則
線段 AE 的長度等于 ．
10．一把直尺和一塊直角三角尺（含30°、60°角）如圖所示擺放，直尺的一邊與三角尺的兩直角邊BC、AC
分別交于點 D、點 E，直尺的另一邊過 A 點且與三角尺的直角邊BC 交于點 F，若 CAF = 42°，則 CDE
度數為 ．
11．如圖，在等邊VABC中， AB = 8， E 是 BA延長線上一點，且 EA = 3， D是 BC 上一點，且 DE = EC ，
則BD的長為 ．
12．如圖，在四邊形 ABCD中 ABC = ADC = 90°，E 為對角線 AC 的中點，連接 BE 、ED、BD，若
BAD = 56°，則 BED的度數為 ．
13．如圖，在VABC中， ABC = 60°．BE平分 ABC ． 為BC 邊上的高．若 BEC = 75°，求 DAC
的度數．
14．如圖，AD 是VABC 邊BC 上的高，BE 平分 ABC 交 AD 于點 E，若 C = 65°, BED = 68°，求 ABC
和 BAC 的度數．
15．如圖，Rt△ABC 中， BAC = 90°，點E 是BC 上一點，AB = BE，連接 AE ，BD是 ABC 的角平分線，
交 AE 于點F ，交 AC 于點D，連接DE ．
(1)若 C = 50°，求 CAE 的度數；
(2)求證：DE = AD．
16 1．在VABC 中， AD 是BC 邊上的高，E 、F 分別為 AC 、 BE 邊上的中點，且 BD = AC ．
2
(1)求證：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度數．
17．如圖， AD ^ BC ，EF ^ BC ， CEF = ADG ．
(1)說明 AC∥GD的理由；
(2)若 BDG = 40° ，求 AEF 的度數．
18．已知，VABC 中， A + 2 B = 180°．
(1)如圖①，求證： AB = AC ；
(2)如圖②，D是VABC 外一點，連接 AD 、BD，且 AB = AD ，作 CAD的平分線交BD于點E ，若
BAC = 60°，則∠AED = ________；
(3)如圖③，在（2）的條件下，連接CD交 AE 于點F ，若 AF = 2 ，BE = 3，求DE 的長．第 06 講 直角三角形（2 個知識點+8 大題型+18 道強化訓練）
課程標準 學習目標
1. 掌握直角三角形的概念、性質；
1.直角三角形的概念、性質；
2. 掌握直角三角形的斜邊中線定理；
2.斜邊的中線定理；
3. 掌握含 30°的直角三角形，30°所對的直角邊等于斜
3.30°角所對的直角邊等于斜邊一半；
邊的一半；
知識點 01：直角三角形
角——直角三角形兩銳角互余；
邊——直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
邊——直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（即勾股定理）。a2+b2=c2
30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。
【即學即練 1】如圖，在VABC 中， C = 50°， B = 30°，AE 平分 BAC ，點F 為 AE 上一點，FD ^ BC
于點D，則 EFD 的度數為（ ）
A．5° B．10° C．12° D． 20°
【答案】B
【分析】先求出 BAE = 50°，由外角的性質求出 FED = 80°，然后根據直角三角形兩銳角互余即可求出
EFD 的度數．
【詳解】∵ C = 50°， B = 30°，
∴ BAC =180° - C - A =180° - 50° - 30° =100°，
∵ AE 是 BAC 的平分線，
∴ BAE = 50°，
∴ FED = 50° + 30° = 80°，
又∵DF ^ BC ，
∴ FED + EFD = 90°，
∴ EFD = 90° -80° =10°，
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形內角和等于180°，直角三角形中兩個銳角互余，三角形外角的性質，角平分線
的定義，以及垂直的定義，正確識圖是解答本題的關鍵．
【即學即練 2】Rt△ABC 中， C = 90°， A : B = 2 : 3，則 A =（ ）
A．66° B．36° C．56° D．46°
【答案】B
【分析】設 A = 2x°，利用直角三角形的兩銳角互余列方程解題即可．
【詳解】解：設 A = 2x°，則 B = 3x° ，根據直角三角形的兩銳角互余可得：
2x + 3x = 90，
解得 x =18，
∴ A = 2x° = 36°，
故選 B．
【點睛】本題考查直角三角形的兩銳角互余，掌握運用方程解比例式的題目是解題的關鍵．
知識點 02：直角三角形的判定
角——有一個角是直角的三角形是直角三角形；
角——有兩個角互余的三角形是直角三角形；
邊——較小兩邊的平方和等于最長邊的平方的三角形是直角三角形。
邊——一條邊上的中線等于該邊長度的一半，那么該三角形是直角三角形，(但不能直接拿來
判斷某三角形是直角三角形，但有助于解題。)
【即學即練 3 已知：如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°，BE 平分 ABC ，ED垂直平分 AB ，D為垂足，若
AC =12，則CE的長度為（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】A
【分析】先根據角平分線的定義、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質可得
AE = BE, ABE = CBE = A，再根據三角形的內角和定理可得 CBE = 30°，設 AE = BE = x，則CE =12 - x ，
在RtVBCE 中，根據含 30 度角的直角三角形的性質即可得．
【詳解】解：QBE 平分 ABC ，
\ ABE = CBE，
QED 垂直平分 AB ，
\ AE = BE ，
\ ABE = A，
\ ABE = CBE = A，
又Q C = 90° ，
\ ABE + CBE + A = 90°，
解得 CBE = 30°，
設 AE = BE = x，則CE = AC - AE =12 - x ，
Q在RtVBCE 中， C = 90°， CBE = 30°，
\BE = 2CE ，即 x = 2 12 - x ，
解得 x = 8，即 AE = 8，
\CE = AC - AE = 4．
故選：A．
【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、含 30 度角的直角三角形的性質等知識點，
熟練掌握含 30 度角的直角三角形的性質是解題關鍵．
【即學即練 4】如圖，在VABC 中， C = 90°， AB = 8cm，點 D 為 AB 的中點，則CD =（ ）
A．3cm B． 4cm C．5cm D． 6cm
【答案】B
1
【分析】根據直角三角形斜邊上的中線性質得出CD = AB ，再代入求出答案即可．
2
【詳解】解：Q C = 90° ， AB = 8cm，點D是 AB 的中點，
1
\CD = AB 1= 8 = 4(cm)
2 2 ，
故選：B．
【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線性質，能熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解
此題的關鍵．
題型 01 直角三角形的兩個銳角互余
1．已知 AB∥CD，點E 在直線 AB 上，點F ,G 在直線CD上，EG ^ EF 于點E, AEF = 40°，則 EGF 的
度數是（ ）
A． 40° B． 45° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】本題考查平行線的性質和直角三角形兩銳角互余，掌握兩直線平行，內錯角相等以及直角三角形
兩銳角互余是解題關鍵．根據平行線的性質得 AEF = EFG = 40°，然后由直角三角形兩銳角互余計算即
可．
【詳解】解：∵ AB∥CD，
∴ AEF = EFG = 40°，
∵EG ^ EF ，
∴ EGF = 90° - EFG = 50°，
故選：C．
2．如圖，在VABC 中， AE 是角平分線， AD ^ BC ，垂足為 D，點 D 在點 E 的左側， B=60°，
C = 40°，則 DAE 的度數為（ ）
A．10° B．15° C．30° D． 40°
【答案】A
【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握三角形內
角和定理是解題的關鍵．利用三角形內角和定理可得 BAC = 80°，結合 AE 是角平分線，可得
BAE = CAE 1= BAC = 40°，再利用直角三角形的兩銳角互余，可求得 BAD = 30°，由此可求 DAE
2
的度數．
【詳解】解：Q B=60°， C = 40°，
\ BAC =180° - 60° - 40° = 80°，
Q AE 是角平分線，
\ BAE = CAE
1
= BAC = 40°，
2
又Q AD ^ BC ，
\ BAD = 90° - B = 30°，
\ DAE = BAE - BAD = 40° - 30° =10° ．
故選：A．
3．如圖，在Rt△ABC 中， A = 90°，點E ，F 分別為 AB ， AC 上一點，將VABC 沿直線EF 翻折至同一
平面內，點A 落在點 A 處， EA ，FA 分別交BC 邊于點M ， N ．若 BEA = 80°，則 CFA 的度數為 ．
【答案】100° /100 度
【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題）．先根據平角定義可得 AEA = 100°，然后利用折疊的性質可得：
1
AFA = 2 AFE ， AEF = A EF = AEA = 50°2 ，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得
AFE = 90° = 40° ，
進而可得 AFA = 80°，最后利用平角定義進行計算，即可解答．
【詳解】解：Q BEA = 80°，
\ AEA = 180° - BEA = 100°，
1
由折疊得： AFA = 2 AFE ， AEF = A EF = AEA = 50°2 ，
Q A = 90°，
\ AFE = 90° - AEF = 40°，
\ AFA = 2 AFE = 80°，
\ CFA = 180° - AFA = 100°，
故答案為：100°．
4．在VABC 中，∠ABC = ACB ，BD是高， ABD = 20°，則 ACB 的度數為 ．
【答案】55°或35°
【分析】本題考查三角形內角和定理，三角形外角的性質，直角三角形兩銳角互余．分兩種情況：當點 D
在CA的延長線上時；當點 D 在CA邊上時，結合三角形內角和定理，即可求解．
【詳解】解：∵如圖，當點 D 在CA的延長線上時， ADB = 90°，
∵ ABD = 20°，
∴ BAD = 90° - ABD = 70°，
∵∠ABC = ACB ， BAD = ABC + ACB，
ACB 1∴ = BAD = 35°；
2
如圖，當點 D 在CA邊上時， ADB = 90°，
∵ ABD = 20°，
∴ BAD = 90° - ABD = 70°，
∵∠ABC = ACB ， BAD + ABC + ACB =180°，
1
∴ ACB = 180° - BAD = 55°；
2
綜上所述， ACB 的度數為55°或35°．
故答案為：55°或35°
5．如圖， AD 是VABC 邊BC 上的高， BE 平分 ABC 交 AD 于點 E，若 C = 65°, BED = 68°，求 ABC
和 BAC 的度數．
【答案】 ABC = 44°， BAC = 71°
【分析】此題考查了三角形內角和定理，利用角平分線和直角三角形的性質．根據 AD 是VABC 邊BC 上的
高，可得 EBD = 22°，再由角平分線的定義，可得 ABC = 2 EBD = 44°，然后根據三角形內角和定理，
即可求解．
【詳解】解：∵ AD 是VABC 邊BC 上的高，
∴ ADB = ADC = 90°，
∴ BED + EBD = 90°，
∵ BED = 68°，
∴ EBD = 22°，
∵ BE 平分 ABC ，
∴ ABC = 2 EBD = 44°，
∵ ABC + BAC + C =180°，
∵∠C = 65°，
∴ BAC = 71°．
題型 02 根據 30 度角的直角三角形求角度
1．如圖，在VABC 中， ACB = 45°，點M 為邊BC 上的動點，當 2AM + CM 最小時，則 CAM 的度數為
（ ）
A．60° B． 45° C．30° D．15°
【答案】D
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，垂線段最短，三角形內角和定理的應用，解題的關鍵是作出
輔助線，熟練掌握相關的性質．在BC 下方作 BCN = 30°，過點 A 作 AF ^ CN 于點 F，過點 M 作ME ^ CN
1
于點 E，根據含 30 度角的直角三角形的性質得出ME = CM2 ，根據
2AM + CM = 2 AM
1
+ CM ÷ = 2 AM + ME ，兩點之間線段最短，且垂線段最短，得出當A 、M、E 三點
è 2
共線，且 AE ^ CN 時， AM + ME 最小，即 2AM + CM 最小，求出此時 CAM 的度數即可．
【詳解】解：在BC 下方作 BCN = 30°，過點 A 作 AF ^ CN 于點 F，過點 M 作ME ^ CN 于點 E，如圖所
示：
則ME
1
= CM
2 ，
2AM CM 2 AM 1∴ + = + CM

÷ = 2 AM + ME ，
è 2
∵兩點之間線段最短，且垂線段最短，
∴當A 、M、E 三點共線，且 AE ^ CN 時， AM + ME 最小，即 2AM + CM 最小，
∴當點 E 在點 F 時， 2AM + CM 最小，
∵ AFC = 90°， ACE = ACB + BCE = 45° + 30° = 75° ，
∴ CAF = 90° - 75° = 15°，
即此時 CAM =15°．
故選：D．
2．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，CE、CD分別是△ACB的角平分線和高線，交 于點
E、D，則 DCE 的值為（ ）
A．15° B． 20° C． 25° D．30°
【答案】A
【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線的性質，高的性質，根據三角形內角和定理可得
B = 60°，根據高的性質可得 BCD = 30°，根據角平分線的性質可得 BCE = 45°，根據
DCE = BCE - BCD 即可求解．
【詳解】解：∵VABC中， ACB = 90°， A = 30°，
∴ B = 60°，
∵ E是 ACB 的角平分線， 是高，
∴ BCE
1
= ACB = 45°， BCD = 30°，
2
∵ DCE = BCE - BCD = 45° - 30° =15°，
∴ DCE的值為15°，
故選：A ．
3．在Rt△ABC 中， C = 90°, B = 2 A，點 P 是直線 AB 上一點，且BP
1
= AB，連接CP，則 BPC 的大
2
小是 ．
【答案】60°或30°/30°或60°
【分析】本題考查了含 30 度直角三角形的性質，直角三角形斜邊上的中線性質，利用了分類討論的思想，
分兩種情況考慮：當點 P 在線段 AB 上時，如圖 1 所示，當點 P 在 AB 延長線上時，如圖 2 所示，求出所求
角度數即可，熟練掌握直角三角形的性質是解本題的關鍵．
【詳解】∵ C = 90°, B = 2 A，
A 180° - 90°∴ = = 30°，
1+ 2
當點 P 在線段 AB 上時，如圖 1 所示：
1
在Rt△ABC 中， A = 30°，BP = AB
2
∴BC
1
= AB,CP 1= AB ，即BC = BP = CP ，
2 2
∴VBCP 為等邊三角形，此時 BPC = 60°；
當點 P 在 AB 延長線上時，如圖 2 所示，
同理可得BC = BP ，
∵ ABC = 60°，
∴ BCP = BPC = 30° ，
綜上， BPC = 30°或60°，
故答案為：30°或60°．
4．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， B = 30°，D 為線段 AB 的中點，則 ADC 的度數為 ．
【答案】60°/60 度
【分析】先根據三角形內角和定理得出 A = 60°，根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半得出 AC
1
= AB，
2
1
根據中點得出 AD = AB，推出 AD = AC ，得出VACD是等邊三角形，即可得出答案．
2
【詳解】解：∵ ACB = 90°， B = 30°，
1
∴ A = 60°， AC = AB，
2
∵D 為線段 AB 的中點，
∴ AD
1
= AB，
2
∴ AD = AC ，
∴VACD是等邊三角形，
∴ ADC = 60°，
故答案為：60°．
【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質，30 度角所對的直角邊等于斜邊的一半，正確理解題意是解題
的關鍵．
5．如圖，在等腰VABC 中， AC = BC ，∠ACB = 4∠B ，點 D是 AC 邊的中點， DE ^ AC ，交 AB 于點 E ，
連接CE．
(1)求 BCE 的度數；
(2)求證： AB = 3CE ．
【答案】(1) BCE = 90° ；
(2)證明見解析．
【分析】（1）證明VECD≌VEAD ，可得 A = ECD，設 B = x ，可得 BEC = 2x ，得出 x + 2x + 3x =180°，
解得 x = 30°，則 BCE 可求出；
（2）由直角三角形的性質可得 BE = 2CE ， AE = CE ，則結論可得出．
【詳解】（1）解： Q點D是 AC 邊的中點，DE ^ AC ，
\ EDC = EDA = 90°，DC = DA，
QED = ED ，
\VECD≌VEAD SAS ，
\ A = ECD ，
設 B = x ，
∵ AC = BC ，
\ B = A = x，
\ BEC = A + ECA = 2x，
Q ACB = 4 B，
\ BCE = 3x，
Q B + BEC + BCE = 180°，
\ x + 2x + 3x = 180°，解得 x = 30°，
\ BCE = 90°；
（2）解：Q B = 30°， BCE = 90°，
\BE = 2CE ，
QCE = AE ，
\ AB = BE + AE = 3CE ．
【點睛】考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，直角三角形的性質，三角形內角和
定理等知識．熟練掌握運用基礎知識是解題的關鍵．
題型 03 根據 30 度角的直角三角形求長度
1
1．如圖，在VABC 中， C = 90°， B = 15°， AC = 2，分別以點 A，B 為圓心，大 AB長為半徑畫弧，
2
兩弧相交于點 M，N，作直線MN 交BC 于點D，連接 AD ，則BD的長為（ ）
A． 2 5 B． 2 3 C．4 D．0.5
【答案】C
【分析】直接利用線段垂直平分線的性質與作法得出 AD = BD ，再利用等腰三角形的性質以及直角三角形
的性質得出 AD 的長．
1
【詳解】解：Q分別以點A 、B 為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M 、N ，作直線MN 交
2
BC 于點D，
\MN 垂直平分 AB ，
\ AD = BD ，
\ DAB = B =15°，
\ ADC = 30°，
Q C = 90° ， AC = 2，
\ AD = 2AC = 4，
∴BD = 4．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了基本作圖，三角形的外角定理，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，正確掌
握線段垂直平分線的性質是解題關鍵．
2．如圖，在VABC 中， ABC = 60°，以 AC 為邊在VABC 外作等邊VACD，過點 D 作DE ^ BC ，垂足為
E，若 AB=5,CE =3，則BC 的長為（　　）
9
A．4 B． C．5 D．
2 3 2
【答案】A
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質．根據
ABC = 60°以及VACD是等邊三角形，可證得 CAB = DCE ，過點 C 作CP ^ AB于點 P，再證明
VDCE≌VCAP，可得CE=AP=3，從而得到BP = AB - AP = 2．在Rt△BPC 中，再由直角三角形的性質，即
可求解．
【詳解】解：∵ ABC = 60°，
∴ CAB + ACB=120°．
∵VACD是等邊三角形，
∴ AC = CD, ACD = 60°．
∴ ACB + DCE =120°．
∴ CAB = DCE ．
過點 C 作CP ^ AB于點 P，
∴ APC = BPC = 90° ．
∴ BCP = 30°，
∵DE ^ BC ，
∴ DEC = 90°．
在△DCE 和VCAP 中，
∵ DEC = CPA, CAP = DCE, DC = AC ，
∴VDCE≌VCAP AAS ．
∴CE=AP=3．
∵ AB = 5，
∴BP = AB - AP = 2．
在Rt△BPC 中， BCP = 30°，
∴BC=2BP=4 ．
故選：A．
3．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°，點 D 在線段BC 上，且 B = 30°， ADC = 60°，CD = 3，則BC 的
長度為 ．
【答案】9
【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，含30°角直角三角形的性質，等腰三角形的判定，根據三角形
外角的性質可得∠BAD =∠B，從而得到BD = AD ，再求出 CAD = 30°，然后根據直角三角形的性質可得
BD = AD = 2CD = 6，進而求解即可．
【詳解】解：∵ B = 30°， ADC = 60°，
∴ BAD = ADC - B = 30°，
∴∠BAD =∠B，
∴BD = AD ，
在RtVADC 中， C = 90°， ADC = 60°，
∴ CAD = 30°，
∴BD = AD = 2CD = 6，
∴BC = BD + CD = 9．
故答案為：9．
4．如圖①，設計一張折疊型方桌，其示意圖如圖②，若 AO = BO = 50cm，CO = DO = 30cm ．現將桌子放
平，兩條桌腿需要叉開的角度 AOB應為120°，則 AB 距離地面CD的高為 cm．
【答案】40
【分析】本題考查含 30 度角直角三角形的性質，30 度角所對的直角邊長度等于斜邊的一半，也考查了等腰
三角形的性質和三角形內角和定理，連接CD，過點 D 作DE ^ AB于點 E．先求出 AD ，根據三角形內角和
定理和等邊對等角求出∠A =∠B = 30° ，由含 30 度角直角三角形的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，連接CD，過點 D 作DE ^ AB于點 E．
∵ AO = BO = 50cm，CO = DO = 30cm ，
∴ AD = OA + OD = 50 + 30 = 80 cm ．
∵ AO = BO ， AOB =120°，
A B 180° -120°∴ = = = 30°．
2
1 1
∴在RtVADE 中，DE = AD = 80 = 40 cm ．
2 2
故答案為：40．
5．如圖，在VABC 中， AC = BC ， ACB = 120o ，CD是邊 AB 上的中線，BD的垂直平分線EF 交BC 于點
E ，交 AB 于點F ，點G 是 AC 上一點，且 CDG =15o．
(1)求證： AG = BD ；
(2)若EF =1，求 AC 的長．
【答案】(1)詳見解析
(2) 4
【分析】（1）根據等腰三角形性質得 A = B = 30°,CD ^ AB, AD = BD， ACD = BCD = 60°，由此可得
ADG = AGD = 75°，進而得 AG = AD，據此可得出結論；
（2）根據線段垂直平分線性質得DE = BE, EF ^ BD，則 EDB = B = 30°，進而得 CED = 60°，從而得
VCDE為等邊三角形，則CE = DE = BE ，在RtVBEF 中根據EF =1, B = 30°得BE = 2，由此得BC = 4，進
而可得 AC 的長．
【詳解】（1）證明：在VABC中， AC = BC， ACB =120°
A B 1\ = = 180° - ACB = 30°
2
QCD 是邊 上的中線
1
\CD ^ AB， AD = BD ， ACD = BCD = ACB = 60°
2
\ ADC = 90°
Q CDG =15°
\ ADG = ADC - CDG = 75°
\ AGD =180° - A + ADG =180° - 30° + 75° = 75°
\ ADG = AGD = 75°
\ AG = AD
\ AG = BD
（2）QEF 是線段 的垂直平分線
\DE = BE, EF ^ BD
\ EDB = B = 30°
\ CED = EDB + B = 60°
Q BCD = 60°
\VCDE 為等邊三角形
\CE = DE
\CE = BE
在RtVBEF 中，EF =1， B = 30°
\BE = 2EF = 2
\CE = BE = 2
\BC = CE + BE = 4
\ AC = BC = 4
【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質、線段垂直平分線的性質以及含30度角的直角三角形，
熟練掌握等腰三角形的判定和性質、線段垂直平分線的性質、含30度角的直角三角形是解決問題的關鍵．
題型 04 含 30 度角的直角三角形的相關題型
1．如圖，VABC 中， B=60°，BA = 3， BC = 5 ，點E 在BA的延長線上，點D在BC 邊上，且
ED = EC ．若 AE = 4，則BD的邊長為（ ）
A．2.5 B．3.5 C．2 D． 3 +1
【答案】C
【分析】本題考查了含 30 度角的直角三角形的性質，等腰三角形的性質．過點E 作EF ^ BC 于F ．先在
Rt△BEF 中利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出BF
1
= BE = 3.5，于是CF = BC - BF =1.5，再根
2
據等腰三角形三線合一的性質得出DC = 2CF = 3，然后根據BD = BC - DC 即可求解．
【詳解】解：過點E 作EF ^ BC 于F ．
在Rt△BEF 中，Q BFE = 90°， B=60°，
\ BEF = 30°，
∵ AE = 4，AB = 3，BE = AE + AB，
BF 1\ = BE = 3.5，
2
\CF = BC - BF = 5 - 3.5 =1.5．
QED = EC ，EF ^ BC 于F ，
\DC = 2CF = 3，
\ BD = BC - DC = 5 - 3 = 2．
故選：C．
2．如圖， AOB = 60°，OC 平分 AOB，點 P 是射線OC 上一點，OP = 10，PM ^ OB 于點M ，點 N 是射
線OA上的一個動點，則PN 的長度的最小值是（　　　）
A．5 B．6 C．7 D．4
【答案】A
【分析】本題考查了垂線段最短和角平分線性質，含 30 度直角三角形性質；根據垂線段最短得出當PN ^ OA
時，PN 的值最小，求出 MOP = 30° ，再求出PN = PM 的值即可．
【詳解】當PN ^ OA時，PN 的值最小，根據垂線段最短，
∵ AOB = 60°，OC 平分 AOB，PM ^ OB
∴ MOP = 30° ，PN = PM ，
∵OP = 10，
∴PM
1
= OP = 5，
2
∴PN 的最小值是 5，
故選：A．
1
3．如圖，在VABC 中， B = 90°， C = 30°，分別以點A ，C 為圓心，大于 AC 為半徑作弧，兩弧相交
2
于點M ， N ，作直線MN 分別交 AC ，BC 于點D，E ，若BE = 4，則CE = ．
【答案】8
【分析】直接利用基本作圖方法結合線段垂直平分線的性質得出 AD = DC ，即可得出答案．
此題主要考查了基本作圖，含 30 度角直角三角形的性質，垂直平分線的性質，等邊對等角，正確得出DC
的長是解題關鍵．
【詳解】解：如圖，連接 AE ，
由基本作圖方法得出：MN 垂直平分線段 AC ，
∴ AE = CE ，
\ C = CAE = 30° ，
在Rt△ABC 中，
Q B = 90°， C = 30°，
\ BAC = 60°，
\ BAE = 30°，
\CE = AE = 2BE = 8，
故答案為：8．
4．如圖所示，已知VABC ≌VEBD, ACB = EDB = 90°，點 D 在 AB 上，連接CD并延長交 AE 于點 F．且
過點 E 作EG ^ CB，垂足為點 G．當 ABC 的大小發生變化，其它條件不變時，若
EBG = BAE, BC =12，則 AB = ．
【答案】24
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質等．根據全等
三角形的性質，可得 AB = BE, BD = BC =12, ABC = EBD ，從而得到 BAE = AEB ，再由
EBG = BAE ，可得 EBG = BEA，從而得到 AE∥BC ，繼而得到 ABC = 60°，可得到 BAC = 30°，
再由直角三角形的性質，即可求解．
【詳解】解：∵△ABC ≌△EBD，
∴ AB = BE, BD = BC =12, ABC = EBD ，
∴ BAE = AEB ，
∵ EBG = BAE ，
∴ EBG = BEA，
∴ AE∥BC ，
∴ BAE = ABC ，
∵ EBG + ABC + ABE =180°，
∴ ABC = 60°，
∴ BAC = 30°，
∴ AB = 2BC = 24．
故答案為：24
5．如圖，在VABC 中， C = 90°， B = 30°．請解答下列問題：
作圖一：作 CAB 的角平分線 AD 交BC 于點 D；
作圖二：作邊 AB 的垂直平分線DE ，分別交BC ， AB 于點 D，E．
(1)選擇其中一種作圖用尺規完成．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，△ABD 與VACD的面積有什么關系？試說明理由．
【答案】(1)見解析
S 1(2) VACD = S2 VABD
；理由見解析
【分析】（1）根據尺規作一個內角平分線和垂直平分線的方法進行作圖即可；
（2）根據垂直平分線的性質，角平分線的性質，結合三角形面積公式進行解答即可．
【詳解】（1）解：作圖一： AD 即為所求作的 CAB 的角平分線，如圖所示：
作圖二：DE 即為所求作的線段 AB 的垂直平分線，如圖所示：
（2）解：∵在VABC 中， C = 90°， B = 30°，
∴ AB = 2AC ， BAC = 90° - 30° = 60°，
作圖一：過點 D 作DE ^ AB與點 E，如圖所示：
∵ AD 平分 BAC ， C = 90°，DE ^ AB，
∴CD = DE ，
S 1∵ VACD = AC ×CD ， S
1
VABD = AB × DE ，2 2
1
S AC ×CDVACD 2 AC 1∴ = 1 = = ，SVABD AB × DE AB 2
2
S 1∴ VACD = S ；2 VABD
作圖二：連接 AD ，如圖所示：
∵DE 垂直平分 AB ，
∴ AD = BD ，
∴ BAD = B = 30°，
∴ CAD = 60° - 30° = 30°，
∴ CAD = BAD ，
∴ AD 平分 BAC ，
∵ C = 90°，DE ^ AB，
∴CD = DE ，
∵ S
1 1
VACD = AC ×CD ， SVABD = AB × DE ，2 2
1
S AC ×CDVACD 2 AC 1∴ = = = ，
S 1VABD AB × DE AB 2
2
∴ S
1
VACD = S2 VABD
．
【點睛】本題主要考查了尺規作角平分線和垂直平分線，角平分線的性質，垂直平分線的性質，角平分線
的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握垂直平分線性質和角平分線的性質．
題型 05 利用斜邊的中線等于斜邊的一半求角度
1．如圖，在Rt△ABC 中， ACB = 90°，D 是斜邊 AB 的中點，若∠B = 32°，則 ADC 的度數為（ ）
A．32° B．64° C．58° D．54°
【答案】B
【分析】此題考查了直角三角的性質及三角形的外角性質，根據直角三角形的性質得CD = AD = BD，由等
腰三角形性質結合三角形外角性質可得答案．掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質是解題的關鍵 ．
【詳解】解：∵ ACB = 90°，D 是 AB 的中點，
∴CD = AD = BD，
∴ DCB = B = 32°，
∴ ADC = 2 B = 64°．
故選：B．
2．如圖，一塊直角三角板的 60° 角的頂點 A 與直角頂點 C 分別在兩平行線FD、GH 上，若斜邊 AB 與
直線GH 交于 AB 的中點 E ，則 EAD 的大小為（ ）
A．60° B．55° C． 45° D．30°
【答案】A
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，直角三角形的性質，平行線的性質，先由直角三角形
1
斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CE = AE = AB，進而證明VCAE 是等邊三角形，得到 CEA = 60°，則
2
由平行線的性質可得∠EAD =∠AEC = 60°．
【詳解】解：∵斜邊 AB 與直線GH 交于 AB 的中點 E ，
CE AE 1∴ = = AB，
2
∵ CAE = 60°，
∴VCAE 是等邊三角形，
∴ CEA = 60°，
∵ AD CE ，
∴∠EAD =∠AEC = 60°，
故選：A．
3．如圖，在Rt△ABC 中， CAB = 90o，AD ^ BC ，點 E 是 BC 的中點， EAB = 35o，則 CAD的度數
為 ．
【答案】35° /35 度
【分析】本題主要考查了直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半， 三角形內角和定理，由直角三角形斜邊
的中線等于斜邊的一半可得出 AE = BE ， 根據等邊對等角可得出 B = EAB = 35°， 根據三角形內角和可
得出 C =180° - CAB - B = 55°，最后再利用三角形內角和即可得出答案．
【詳解】解：∵在Rt△ABC 中， CAB = 90o，E 是 BC 的中點，
∴ AE = BE ，
∴ B = EAB = 35°，
∴ C =180° - CAB - B = 55°，
∵ AD ^ BC，
∴ ADC = 90°，
∴ CAD =180° - C - ADC = 35°，
故答案為：35°
4．如圖，在Rt△ABC 中， BAC = 90°， 是BC 邊上的中線，若 B = 25°，則 ADB的度數為 °．
【答案】130
【分析】根據直角三角形的性質得到DA = DB ，根據三角形內角和定理計算即可．本題考查的是直角三角
形的性質，三角形內角和定理的應用，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．
【詳解】解：在Rt△ABC 中， BAC = 90°， AD 是BC 邊上的中線，
1
\ DA = DB = BC
2 ，
\ B = BAD ，
Q B = 25°，
\ BAD = B = 25°，
\ ADB = 180° - 25° - 25° = 130°．
故答案為：130．
5．在VABC 中， AD 是BC
1
邊上的高，E 、F 分別為 AC 、 BE 邊上的中點，且 BD = AC ．
2
(1)求證：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度數．
【答案】(1)詳見解析
(2) 71°
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線
（1）連接DE ，根據垂直定義可得 ADC = 90°，再利用直角三角形斜邊上的中線性質可得
DE = CE 1= AC ，從而可得BD = DE，然后利用等腰三角形的三線合一性質，即可解答；
2
（2）先利用直角三角形的兩個銳角互余可得 C = 38°，然后利用等腰三角形的性質可得 C = EDC = 38°，
從而利用平角定義可得 BDE = 142°，再利用等腰三角形的三線合一性質進行計算，即可解答．
【詳解】（1）證明：連接DE ，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90°，
QDE 是 AC 的中線，
\ DE = CE 1= AC
2 ，
QBD 1= AC ，
2
\BD = DE，
Q點F 是 BE 的中點，
\DF ^ BE ；
（2）解：Q ADC = 90°， DAC = 52°，
\ C = 90° - DAC = 90° - 52° = 38°，
QDE = EC ，
\ C = EDC = 38°，
\ BDE = 180° - EDC = 142°，
QBD = DE ，點F 是 BE 的中點，
\ BDF 1= BDE = 71°
2 ，
\ BDF 的度數為 71°．
題型 06 利用斜邊的中線等于斜邊的一半求長度
1．如圖，三位同學分別站在一個直角三角形 ABC 的三個頂點處做投圈游戲，目標物放在斜邊 AC 的中點O
處，已知 AC = 8m ，則點 B 到目標物的距離是（ ）
A．3m B． 4m C．5m D． 6m
【答案】B
【分析】本題考查了直角三角形的性質，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案．
【詳解】解：由題意得： ABC = 90°，點O為 AC 中點，
OB 1\ = AC = 4m，
2
故選：B．
2．如圖，公路 AC、BC 互相垂直，公路 AB 的中點M 與點C 被湖隔開，若測得 AB 的長為5.6km，則M、C
兩點間的距離為（ ）
A． 2.8km B．3.6km C． 4.6km D．5.6km
【答案】A
【分析】本題考查了直角三角形的性質，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案．
【詳解】解：由題意得： ACB = 90°，點M 為 AB 的中點，
1
\CM = AB = 2.8km ，
2
故選：A．
3．如圖，在VABC 中， ABC = 90°，D是 AC 的中點，若 AC = 4，則BD的長為 ．
【答案】 2
【分析】本題考查了直角三角形的性質．根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”進而可得答案．
【詳解】解：∵ ABC = 90°，D是 AC 的中點，
∴ AC = 2BD ，
∵ AC = 4，
∴ BD = 2，
故答案為： 2．
4．如圖，VABC 中， AD 是高，E、F 分別是 AB、AC 的中點．若 AB =11，AC =10，則四邊形 AEDF 的周
長為 ．
【答案】21
【分析】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質，熟記直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一
半是解題的關鍵．
根據直角三角形斜邊上的中線的性質分別求出DE 、DF ，根據線段中點的概念分別求出 AE 、AF ，進而求
出四邊形 AEDF 的周長．
【詳解】解：∵ AD 是VABC 的高，
∴ ADB = ADC = 90°，
∵E 、F 分別是 AB 、 AC 的中點，
DE 1 AB 11∴ = = , DF
1 1
= AC = 5, AE = AB 11 1= ， AF = AC = 5，
2 2 2 2 2 2
∴四邊形 AEDF 的周長= AE + DE + DF + AF = 21，
故答案為：21．
1
5．如圖，DE 是VABC 的中位線，延長CB 至點 F，使BF = BC ，連接 BE 和DF ．
2
(1)求證：四邊形BEDF 是平行四邊形．
(2)若 ABC = 90°，DF = 3，求 AC 的長．
【答案】(1)見解析
(2)6
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質和判定，三角形中位線的性質，直角三角形的性質等
AC=2BE=6．
1 1
（1）根據三角形中位線的性質得DE∥BC ，DE = BC ，再結合BF = BC ，可得 DE = BF ，然后根據“一
2 2
組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”得出答案；
（2）先根據平行四邊形的性質得DF = BE = 3，再根據直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半可得答案．
【詳解】（1）證明：∵DE 是VABC 的中位線，
1
∴DE∥BC ，DE = BC .
2
∵BF
1
= BC ，
2
∴ DE = BF .
∵DE∥ BF ，
∴四邊形BEDF 是平行四邊形；
（2）∵四邊形BEDF 是平行四邊形，
∴DF = BE = 3 .
∵ ABC = 90°，點 E 是 AC 的中點，
∴ AC = 2BE = 6 ．
題型 07 斜邊的中線等于斜邊的一半綜合應用
1．如圖，在等腰直角三角形 ABC 中， ABC = 90°， D為 AC 邊上中點，過 D點作DE ^ DF ，交 AB 于 E ，
交BC 于F ，若 AE = 4，FC = 3，則BF 的長度為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線．熟練
掌握等腰三角形三線合一，直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，證明三角形全等，是解題的關鍵．
利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰三角形三線合一，證明VEDB≌VFDC ，求出
BE = FC ，從而求出 AB, AC ，即可得出結果．
【詳解】解：連接 ，如圖所示：
等腰直角三角形VABC 中，D為 AC 邊上中點，
∴BD ^ AC ，BD = CD = AD， ABD = 45°，
∴ C = 45°，
∴ ABD = C ，
又∵DE ^ DF ，
∴ FDC + BDF = EDB + BDF = 90°，
∴ FDC = EDB，
在△EDB 和△FDC 中，
ì EBD = C

í BD = CD ，

EDB = FDC
∴VEDB≌VFDC ASA ，
∴BE = FC = 3，
∴ AB = AE + BE = 7，則BC = 7，
∴BF = BC - CF = 4，
故選：B．
2．如圖，在Rt△ABC 中，BC 的中垂線與BC 交于點D，與 AC 交于點E ，連接 BE ，F 為 BE 的中點，若
DF = 2，則 AE 的長為（ ）
A．8 B．5 C． 4 D．3
【答案】C
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，余角性質，等腰三角形的判定和性質，
由線段垂直平分線的性質得BE = CE ， BDE = 90°，進而得 EBC = C ，由直角三角形斜邊上的中線長等
于斜邊的一半可得BE = 2DF = 4，再利用余角性質可得 ABE = A，即可得到 AE = BE = 4，掌握線段垂
直平分線的性質和直角三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵DE 是BC 的中垂線，
∴BE = CE ， BDE = 90°，
∴ EBC = C ，
在Rt△BDE 中，F 為 BE 的中點，
∴BE = 2DF = 4，
∵ ABC = 90°，
∴ ABE + EBC = 90°， A + C = 90°，
∵ EBC = C ，
∴ ABE = A，
∴ AE = BE = 4，
故選：C ．
3．如圖，在Rt△ABC 中， ABC = 90°，BC 的中垂線與BC 交于點 D，與 AC 交于點 E，連接 BE ，F 為 BE
的中點，若DF = 2，則 AE 的長為 ．
【答案】4
【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的判定和性質．根據線
段垂直平分線的性質可得BE = CE, DE ^ BC ，再由直角三角形的性質，可得BE = 2DF = 4，然后根據
BE = CE ，可得 C = CBE ，結合 ABC = 90°，可得 A = ABE ，即可求解．
【詳解】解：∵DE 垂直平分BC ，
∴BE = CE, DE ^ BC ，
∵F 為 BE 的中點，DF = 2，
∴BE = 2DF = 4，
∵BE = CE ，
∴ C = CBE ，
∵ ABC = 90°，
∴ A + C = 90°, CBE + ABE = 90°，
∴ A = ABE ，
∴ AE = BE = 4．
故答案為：4
4．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 60°，BD平分 ABC ，點 P 是BD的中點，若CP = 4，則 AD
的長為 ．
【答案】8
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，等腰三角形的判定．根據題意可得 ABD = A，從而得到
AD = BD ，再由直角三角形的性質，即可求解．
【詳解】解：∵ ACB = 90°， ABC = 60°，
∴ A = 30°，
∵BD平分 ABC ，
ABD 1∴ = ABC = 30°，
2
∴ ABD = A，
∴ AD = BD ，
∵點 P 是BD的中點，CP = 4，
∴ AD = BD = 2PC = 8．
故答案為：8
5．如圖，在VABC 中，CF ^ AB于點F ，BE ^ AC 于點E ，M 為BC 的中點，若EF = 4，BC =10，求△EFM
的周長．
【答案】14
EM FM 1【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 = = BC ，然后根據三角形的周長的定
2
義解答；本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形兩底角相等的質，熟記
性質是解題的關鍵．
【詳解】解：QCF ^ AB，BE ^ AC ，M 為BC 的中點，
1
\EM = FM = BC ，
2
QEF = 4 ，BC =10，
∴EM = FM = 5，
∴△EFM 的周長= EF + EM + FM = 4 + 5 + 5 =14．
題型 08 銳角互余的三角形是直角三角形
1．如圖，在VABC 中， A + B = 90o , D 為 AB 邊的中點，若 AB = 8，則CD =（　　）
24
A．3 B．4 C．5 D．
5
【答案】B
【分析】首先可得VABC 是直角三角形，由直角三角形斜邊上中線的性質即可求得結果．
【詳解】解：∵ A + B = 90o ，
∴ ACB = 90°，即VABC 是直角三角形，
∵D 為 AB 邊的中點，且 AB = 8，
∴CD
1
= AB = 4；
2
故選：B．
【點睛】本題考查了直角三角形的判定，直角三角形斜邊中線的性質，掌握這兩個知識點是關鍵．
2．在下列條件中不能判定VABC 為直角三角形的是（ ）
A． A = 90° - C B． A = B - C
C． A
1
= 2 B = 3 C D． A = B = C
2
【答案】C
【分析】判定三角形是否為直角三角形，即計算各個角的度數，有一角為直角就是直角三角形，若無直角
就不是直角三角形．
【詳解】解：A、 A = 90° - C ， A + C = 90°，所以 B =180° - ( A + C) = 90°，即 B 是直角，能判
定三角形是直角三角形，不符合題意；
B、 A = B - C ，∠B =∠A +∠C , A + B + C = B + B =180°，所以 B 是直角，能判定三角形是
直角三角形，不符合題意；
3
C、 A = 2 B = 3 C ，可得 A = 3
3
C ， B = C ，所以 A + B + C = 3 C + C + C =180°，解得
2 2
360° 540° 1080°
C = ， B = ， A = ，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合題意；
11 11 11
1 1 1
D、 A = B = C ，可得 A = C ， B = C ，所以 A
1 1
+ B + C = C + C + C =180°，解
2 2 2 2 2
得 C = 90°，即 C 是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合題意
故答案為：C
【點睛】本題考查了直角三角形的定義及判定，根據三個角的數量關系進行細致的計算是解題的關鍵．
3．在一個支架的橫桿點O處用一根繩懸掛一個小球A ，小球A 可以擺動，如圖，OA表示小球靜止時的位
置，當小球從OA擺到OB 位置時，過點 B 作BD ^ OA于點D，當小球擺到OC 位置時，OB 與OC 恰好垂直，
過點C 作CE ^ OA于點E ，測得CE = 24cm,OA = 30cm，則 AD 的長為 cm．
【答案】6
【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質、直角三角形的特征，根據直角三角形的特征及AAS可得
VOBD≌VCOE ，進而可得OD = CE ，再根據 AD = OA - OD即可求解，熟練掌握全等三角形的判定及性質是
解題的關鍵．
【詳解】解：Q OB 和OC 是由OA擺動得到，
\OB = CO ，
Q OB ^ OC ，
\ BOC = 90° ，
QBD ^ OA，CE ^ OA，
\ BDO = OEC = 90°，
\ BOD + OBD = 90°， BOD + EOC = 90°，
\ OBD = COE ，
在VOBD 和VCOE中，
ì BDO = OEC

í OBD = COE ，

OB = CO
\VOBD≌VCOE AAS ，
\OD = CE ，
QCE = 24cm,OA = 30cm，
\ AD = OA - OD = OA - CE = 6cm，
故答案為：6．
4．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， A = 28° ，點D在邊 AB 上，將VABC 沿CD折疊，使得點 B 落在 AC
邊上的點B 處，則 ADB 的度數為 ．
【答案】34° /34度
【分析】本題考查了折疊的性質、直角三角形的特征及三角形外角的性質，根據直角三角形的特征得
B = 62°，再根據折疊的性質得 DB C = 62°，再根據三角形的外角的性質即可求解，熟練掌握基礎知識是
解題的關鍵．
【詳解】解：Q ACB = 90°， A = 28° ，
\ B = 90° - A = 62°，
Q △CDB 沿CD折疊得到VCDB ，
\ DB C = B = 62°，
Q DB C 是VADB 的一個外角，
\ ADB = DB C - A = 62° - 28° = 34° ，
故答案為：34°．
5．如圖，點 O 是等邊VABC 內一點， AOB =110°， BOC = a ．以OC 為一邊作等邊三角形OCD，連接
AC 、 AD ．
(1)當a =150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(2)探究：當a 為多少度時，△AOD是等腰三角形？
【答案】(1)△AOD是直角三角形，理由見解析
(2)當a 為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形
【分析】（1）證VBOC≌VADC ，求出 ADO = 90o即可判斷；
（2）首先根據題意表示出 AOD =190° -a ， ADO = a - 60°， OAD = 50°，然后分三種情況討論，由等腰
三角形的性質即可求解．
【詳解】（1）解：∵VOCD是等邊三角形，
∴OC = CD， OCD = ODC = COD = 60°
而VABC 是等邊三角形，
∴BC = AC ． ACB = OCD = 60°，
∴ BCO = ACD．
在VBOC 與△ADC 中，
ì OC = CD

∵ í BCO = ACD

BC = AC
∴VBOC≌VADC SAS ，
∴ BOC = ADC ，
而 BOC = a =150°， ODC = 60°，
∴ ADO =150° - 60° = 90°，
∴△AOD是直角三角形；
（2）解：由題意可得： COB = CDA = a ， AOD =190° -a ， ADO = a - 60°， OAD = 50°，
當OA = AD時，
∴ AOD = ADO ，即190° -a = a - 60°，
解得a =125°；
當OA = OD時，
∴ OAD = ODA，即a - 60° = 50°，
∴a =110°，
當OD = AD時，
∵ DOA = DAO，即190° -a = 50°，
∴解得a =140°
綜上所述，當a 為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質以及等腰三角形的性
質和全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握等邊三角形的性質是解決問題的關鍵．
1．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°， B = 30°， 平分 BAC ，若BC =12，則點D到 的距離是（ ）
A． 2 B．3 C．3.5 D． 4
【答案】D
【分析】根據直角三角形的性質，可得 BAC 的度數， BD = 2ED，根據角平分線的性質，可得CD = DE ，
再根據 BC =12可求得答案．本題考查了含30°角的直角三角形，角平分線的性質，掌握直角三角形的性質，
角平分線的性質是解本題的關鍵．
【詳解】解：如圖，作DE ^ AB于E ，
Q C = 90° ， B = 30°，
\ BAC = 90° - B = 90° - 30° = 60°，BD = 2ED，
Q AD 平分 BAC ，
\CD = ED ，
QBC = CD + BD = 3ED =12 ，
\ED = 4，
即點D到 的距離是 4．
故選：D．
2．如圖，在VABC 中， C = 90°, B = 30°，邊 AB 的垂直平分線DE 交 AB 于點 E，交BC 于點 D，
CD = 3，則BC 的長為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】本題主要考查了直角三角形的性質，線段垂直平分線的性質，角平分線的性質，等腰三角形的性
質．根據直角三角形的性質，可得 AB = 2AC, BAC = 60°，再由線段垂直平分線的性質，可得 AD = BD ，
AE = BE ，BD = 2DE ，根據等腰三角形的性質可得 BAD = B = 30°，從而得到 CAD = BAD ，然后根據
角平分線的性質可得DE = CD = 3，即可求解．
【詳解】解：∵ C = 90°, B = 30°，
∴ AB = 2AC, BAC = 60°，
∵DE 垂直平分 AB ，
∴ AD = BD ， AE = BE ，BD = 2DE ，
∴ BAD = B = 30°，
∴ CAD = BAC - BAD = 30°，
∴ CAD = BAD ，
∵ C = 90°, DE ^ AB，
∴DE = CD = 3，
∴BD = 2DE = 6，
∴BC = BD + CD = 9．
故選：B
3．如圖，在VABC中， ACB = 90°，以點C 為圓心， 長為半徑作弧交 于點D，分別以 B 、D為圓心，
1
大于 DB ，兩弧相交于點E ，作射線 交 于點F ， CAB = 39°，則 BCF = （ ）2
A．38° B．39° C． 40° D．51°
【答案】B
【分析】本題考查基本作圖以及直角三角形的兩銳角互余，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解
決問題．由作圖可知，CF ^ AB，根據同角的余角相等即可求得 BCF ．
【詳解】解：由作圖可知，CF ^ AB，
∴ AFC = BFC = 90°，
∵ ACB = 90°，
∴ BCF = CAB = 90° ACF ，
∵ CAB = 39°，
∴ BCF = 39°．
故選：B．
4．如圖，在VABC 中， C = 90°， B = 30°，以 A 為圓心，任意長為半徑畫弧分別交 AB，AC 于點 M 和
1
N，再分別以M，N為圓心，大于 MN 的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接 AP 并延長交BC 于點D，若BD = 4，
2
則CD的長為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】作DE ^ AB于點E ，根據角平分線的性質得DE = CD，由 B = 30°知BD = 2DE = 4 ．本題主要考
查作圖-基本作圖，解題的關鍵是熟練掌握角平分線的尺規作圖和角平分線的性質．
【詳解】解：如圖，作DE ^ AB于點E ，
Q AD 為 CAB 的平分線，
\DE = CD，
Q B = 30°，
則BD = 2DE = 4 ，
∴DE = CD = 2
故選：C．
5．Rt△ABC 中， C = 90°，AC =12，BC = 6，線段PQ = AB，P、Q兩點分別在線段 AC 和射線 AX 上移動，
且PQ ^ AB ．若VABC 與△QPA全等，則 AP 的長度為（ ）
A．6 B．12 C．6 或 12 D．以上答案都不對
【答案】A
【分析】本題考查直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題
的關鍵．
由全等三角形對應邊相等，即可解決問題．
【詳解】解：如圖，
∵ C = 90°，PQ ^ AB ，
∴ 2 + B = 2 + 1 = 90°，
∴ 1 = B，
∵PQ ^ AB ，
∴ Q 90°，
而 AB = PQ
∴ PAQ = C = 90°時，VACB≌VQAP，
∴AP = BC = 6，
故選：A．
6．如圖，在DABC中， AB = BC ， ABC =120° ，過點 B 作 BD ^ BC ，交 AC 于點D，若 AD =1，則CD的
長度為（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】B
【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質、含30°角的直角三角形的性質．掌握含30°角的直角三角形中，
30°角所對的邊等于斜邊的一半是解答本題的關鍵．根據題意可求出 A = ABD = 30°，即推出
AD = BD =1．在Rt△BCD 中，利用含30°角的直角三角形的性質即可求出 長．
【詳解】解：∵ ABC =120° ， DBC = 90°，
∴ ABD = ABC - DBC =120° - 90° = 30° ．
∵ AB = BC ， ABC =120° ，
∴ A = C = 30°，
∴ A = ABD = 30°，
∴ AD = BD =1，
在Rt△BCD 中， DBC = 90°， C = 30°，BD =1．
∴CD = 2BD = 2 1 = 2．
故選：B．
7．如圖， AOB = 15°，點 P 是OA上一點，點Q與點 P 關于OB 對稱，QM ^ OA于點M ，若OP = 6，則QM
的長為 ．
【答案】3
【分析】本題考查軸對稱的性質，直角三角形 30 度角的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，
構造特殊三角形解決問題．如圖，連接OQ ．構造特殊直角三角形解決問題即可．
【詳解】解：如圖，連接OQ ．
QP與Q關于OB 對稱，
\ AOB = QOB = 15°，OQ = OP = 6，
\ AOQ = 30°，
QQM ^ OA，
\ OMQ = 90°，
\QM 1= OQ = 3
2 ．
故答案為：3．
8．如圖，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中點 M 與點 C 被湖隔開．若測得 AM 的長為1km，則 M，C
兩點間的距離為 km．
【答案】1
【分析】本題考查直角三角形斜邊上的中線．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出結
論．
【詳解】解：∵公路 AC, BC 互相垂直，
∴ ACB = 90°，
∵點 M 是 AB 的中點，
1
∴CM = AB = AM =1km；
2
故答案為：1．
9．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°， AB 的垂直平分線交 AB 和 AC 于點 D，E．若CE = 3，則
線段 AE 的長度等于 ．
【答案】6
【詳解】此題主要考查了線段垂直平分線的性質，含有30°角的直角三角形的性質，熟練掌握線段垂直平分
線的性質，含有30°角的直角三角形的性質是解決問題的關鍵．
連接 BE ，先求出 ABC = 60°，根據線段垂直平分線性質得 AE = BE ，則 A = ABE = 30°，進而得
CBE = 30°，由此得BE = 2CE = 6，據此可求出 AE 的長．
【解答】解：連接 BE ，如下圖所示：
在VABC 中， ACB = 90°， A = 30°，
\ ABC = 60° ，
QDE 是線段 AB 的垂直平分線，
\ AE = BE ，
\ A = ABE = 30° ，
\ CBE = ABC - ABE = 30°，
在Rt△CBE 中，CE = 3， CBE = 30°，
\ BE = 2CE = 6，
\ AE = BE = 6．
故答案為：6．
10．一把直尺和一塊直角三角尺（含30°、60°角）如圖所示擺放，直尺的一邊與三角尺的兩直角邊BC、AC
分別交于點 D、點 E，直尺的另一邊過 A 點且與三角尺的直角邊BC 交于點 F，若 CAF = 42°，則 CDE
度數為 ．
【答案】 48° /48 度
【分析】本題主要考查了平行線的性質，直角三角形的性質．根據題意可得 C = 90°, DE∥ AF ，從而得到
CED = 42°，即可求解．
【詳解】解：根據題意得： C = 90°, DE∥ AF ，
∴ CED = CAF ，
∵ CAF = 42°，
∴ CED = 42°，
∴ CDE = 90° - CED = 48°．
故答案為： 48°
11．如圖，在等邊VABC中， AB = 8， E 是 BA延長線上一點，且 EA = 3， D是 BC 上一點，且 DE = EC ，
則BD的長為 ．
【答案】3
【分析】過點E 作EF ^ BC 于F ，先根據含30°的直角三角形的性質求出 BF ，再根據等腰三角形的三線合
一性質求出DF ，即可得出BD．本題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的性質以及含30°的直角三角
形的性質等知識；熟練掌握等邊三角形的性質和直角三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：過點E 作EF ^ BC 于F ；如圖所示：
則 BFE = 90°，
QVABC 是等邊三角形，
\ B = 60°，BC = AB = 8，
\ FEB = 90° - 60° = 30° ，
QBE = AB + AE = 8 + 3 = 11，
1
\ BF = BE = 5.5
2 ，
\CF = BC - BF = 2.5，
QED = EC ，EF ^ BC ，
\ DF = CF = 2.5，
\ BD = BF - DF = 3；
故答案為：3．
12．如圖，在四邊形 ABCD中 ABC = ADC = 90°，E 為對角線 AC 的中點，連接 BE 、ED、BD，若
BAD = 56°，則 BED的度數為 ．
【答案】112° /112度
【分析】本題考查直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，由直角三角形斜邊中
線的性質得到DE = BE = AE ，推出 DAE = ADE， BAE = ABE ，得到 ADE + ABE = BAD = 56°，由
三角形外角的性質得到 DEC = DAE + ADE ， BEC = BAE + ABE ，即可推出
BED = BAD + ADE + ABE = 56° + 56° =112°．
【詳解】解：Q ABC = ADC = 90° ，E 是 AC 的中點，
\DE 1= AC BE 1， = AC，
2 2
\ DE = BE = AE ，
\ DAE = ADE ， BAE = ABE ，
\ ADE + ABE = DAE + BAE = BAD = 56°，
Q DEC = DAE + ADE ， BEC = BAE + ABE ，
\ DEC + BEC = DAE + ADE + BAE + ABE ，
\ BED = BAD + ADE + ABE = 56° + 56° =112°．
故答案為：112°．
13．如圖，在VABC中， ABC = 60°．BE平分 ABC ． 為BC 邊上的高．若 BEC = 75°，求 DAC
的度數．
【答案】15°
【分析】本題主要考查了角平分線定義、三角形的內角和定理以及直角三角形的兩銳角互余，掌握三角形
的內角和定理是解題的關鍵，由角平分線得 ABE = EBC = 30°，再根據三角形的內角和可得
C =180° - EBC - BEC =180° - 30° - 75° = 75°，從而利用直角三角形的兩銳角互余即可求解。
【詳解】解：∵BE平分 ABC ， ABC = 60°，
∴ ABE = EBC = 30°，
∵ BEC = 75°，
∴ C =180° - EBC - BEC =180° - 30° - 75° = 75°，
∵ 為BC 邊上的高，
∴ C + DAC = 90°，
∴ DAC = 90° - C = 90° - 75° =15°．
14．如圖，AD 是VABC 邊BC 上的高，BE 平分 ABC 交 AD 于點 E，若 C = 65°, BED = 68°，求 ABC
和 BAC 的度數．
【答案】 ABC = 44°， BAC = 71°
【分析】此題考查了三角形內角和定理，利用角平分線和直角三角形的性質．根據 AD 是VABC 邊BC 上的
高，可得 EBD = 22°，再由角平分線的定義，可得 ABC = 2 EBD = 44°，然后根據三角形內角和定理，
即可求解．
【詳解】解：∵ AD 是VABC 邊BC 上的高，
∴ ADB = ADC = 90°，
∴ BED + EBD = 90°，
∵ BED = 68°，
∴ EBD = 22°，
∵ BE 平分 ABC ，
∴ ABC = 2 EBD = 44°，
∵ ABC + BAC + C =180°，
∵∠C = 65°，
∴ BAC = 71°．
15．如圖，Rt△ABC 中， BAC = 90°，點E 是BC 上一點，AB = BE，連接 AE ，BD是 ABC 的角平分線，
交 AE 于點F ，交 AC 于點D，連接DE ．
(1)若 C = 50°，求 CAE 的度數；
(2)求證：DE = AD．
【答案】(1) 20°
(2)證明見解析
【分析】（1）根據角平分線定義和直角三角形兩銳角互余即可解決問題；
（2）證明 VABD≌VEBD(SAS) ，即可解決問題．
【詳解】（1）解：在Rt△ABC 中， BAC = 90°，
Q C = 50°，
\ ABC = 40°，
Q AB = BE ，BD是 ABC 的角平分線，
1
\BD ^ AE ， ABD = CBD = ABE = 20°2 ，
\ AFD = 90°， ADB = 90° - 20° = 70°，
\ CAE = 90° - 70° = 20°；
（2）證明：在△ABD 和△EBD中，
ìAB = EB

í ABD = EBD，

BD = BD
\VABD≌VEBD(SAS) ，
\ AD = ED．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質等知識，解題的關鍵
是正確尋找全等三角形．
16．在VABC 1中， AD 是BC 邊上的高，E 、F 分別為 AC 、 BE 邊上的中點，且 BD = AC ．
2
(1)求證：DF ^ BE；
(2)若 DAC = 52°，求 BDF 的度數．
【答案】(1)詳見解析
(2) 71°
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線
（1）連接DE ，根據垂直定義可得 ADC = 90°，再利用直角三角形斜邊上的中線性質可得
DE CE 1= = AC ，從而可得BD = DE，然后利用等腰三角形的三線合一性質，即可解答；
2
（2）先利用直角三角形的兩個銳角互余可得 C = 38°，然后利用等腰三角形的性質可得 C = EDC = 38°，
從而利用平角定義可得 BDE = 142°，再利用等腰三角形的三線合一性質進行計算，即可解答．
【詳解】（1）證明：連接DE ，
Q AD ^ BC ，
\ ADC = 90°，
QDE 是 AC 的中線，
\ DE = CE 1= AC
2 ，
QBD 1= AC ，
2
\BD = DE，
Q點F 是 BE 的中點，
\DF ^ BE ；
（2）解：Q ADC = 90°， DAC = 52°，
\ C = 90° - DAC = 90° - 52° = 38°，
QDE = EC ，
\ C = EDC = 38°，
\ BDE = 180° - EDC = 142°，
QBD = DE ，點F 是 BE 的中點，
\ BDF 1= BDE = 71°
2 ，
\ BDF 的度數為 71°．
17．如圖， AD ^ BC ，EF ^ BC ， CEF = ADG ．
(1)說明 AC∥GD的理由；
(2)若 BDG = 40° ，求 AEF 的度數．
【答案】(1)見解析
(2) AEF =130°
【分析】本題考查了平行線的判定和性質，垂直的定義，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握平行線的判定
和性質是解題的關鍵．
（1）根據垂直的定義，由 AD ^ BC ，EF ^ BC 可得 EFC = ADC = 90°，根據同位角相等，兩直線平行
可得EF∥ AD ，進而得到 CEF = CAD，結合已知 CEF = ADG ，可得 CAD = ADG，根據內錯角
相等，兩直線平行即可得證．
（2）根據 AC∥GD，可得 C = BDG = 40°，由EF ^ BC ，根據直角三角形兩銳角互余，可得
CEF = 50°，由此可得 AEF 的度數．
【詳解】（1）解：Q AD ^ BC ，EF ^ BC ，
\ EFC = ADC = 90°，
\ EF∥ AD ，
\ CEF = CAD，
Q CEF = ADG ，
\ CAD = ADG，
\ AC∥GD．
（2）解：Q AC∥GD，
\ C = BDG = 40°，
Q EF ^ BC ，
\ CEF = 50°，
\ AEF =180° - CEF =130°．
18．已知，VABC 中， A + 2 B = 180°．
(1)如圖①，求證： AB = AC ；
(2)如圖②，D是VABC 外一點，連接 AD 、BD，且 AB = AD ，作 CAD的平分線交BD于點E ，若
BAC = 60°，則∠AED = ________；
(3)如圖③，在（2）的條件下，連接CD交 AE 于點F ，若 AF = 2 ，BE = 3，求DE 的長．
【答案】(1)見解析
(2) 60°
(3)10
【分析】（1）已知條件結合三角形內角和定理證明 B = C 即可；
（2）先說明VABC 為等邊三角形，即 BAC = ABC = C = 60°，設 ABD = x ，則 D = ABD = x ，然后
根據四邊形的內角和用 x 表示出 CAD，進而表示出 EAD ，最后根據三角形內角和即可解答；
（3）如圖：作 AM ^ BD ，根據題意說明MD = MB ，進而說明 AE ^ CD ，根據 AED = 60°，得到
EDF = 30°， EAM = 30°，利用直角三角形30°的特征，設ME = y ，則MD = y + 3，然后根據線段的和
差列方程解答即可．
【詳解】（1）證明：在VABC 中有 A + B + C =180°，
∵ A + 2 B = 180°，
\ A + B + C = A + 2 B ，
\ B = C ，
∴ AB = AC ；
（2）∵ BAC = 60°， AB = AD ，
∴VABC 是等邊三角形，
\ BAC = ABC = C = 60°，
設 ABD = x ，則 D = ABD = x ，
在四邊形 ACBD中有： C + DBC + D + DAC = 360°，
\ 60° + 60° + x + x + DAC = 360°，
\ DAC = 240° - 2x ，
∵ CAD的平分線交BD于點 E，
EAD 1\ = DAC =120° - x，
2
Q D + AED + EAD =180°，即 x + AED +120° - x =180°，
\ AED = 60°，
故答案為：60°；
（3）如圖，作 AM ^ BD ，
Q AB = AD，
\MD = MB，
Q AC = AD ， AE 平分 CAD，
\ AE ^ CD ，
\ DFE = 90°，
由（2）得 AED = 60°，
\ EDF = 90° - AED = 30°，
\EF 1= DE ，
2
Q AM ^ BD ，
\ AME = 90°，
\ MAE = 90° - AED = 30°，
\ AE = 2ME ，
設ME = y ，
Q BE = 3，
∴MD = MB = y + 3， AE = 2y ，DE = 2EF = MD + ME = 2 y + 3，
\EF 2 y + 3= ，
2
Q AF = 2 ，
\ AE = EF + AF 2 y + 3= + 2 ，
2
2 y + 3
\ + 2 = 2 y ，
2
解得： 2y = 7 ，
\DE = 2 y + 3 = 10．
【點睛】本題主要考查了三角形內角和、四邊形內角和、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，
含30°的直角三角形的性質等知識點，靈活應用相關知識點成為解答本題的關鍵．

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