資源簡介

第 10 講 特殊三角形 72 道壓軸題型專項訓練（12 大題型）
【題型目錄】
壓軸題型一 圖形的軸對稱、折疊等壓軸問題
壓軸題型二 等腰三角形的性質與判定壓軸問題
壓軸題型三 等邊三角形的性質與判定壓軸問題
壓軸題型四 等腰三角形中的動點問題
壓軸題型五 等邊三角形中的動點問題
壓軸題型六 直角三角形壓軸問題（30 度角、斜邊中線）
壓軸題型七 直角三角形中的動點問題
壓軸題型八 直角三角形全等的判定壓軸問題
壓軸題型九 用勾股定理解三角形
壓軸題型十 勾股定理與折疊問題
壓軸題型十一 勾股定理的應用
壓軸題型十二 勾股定理中的最短路徑問題
【壓軸題型一 圖形的軸對稱、折疊等壓軸問題】
1．在三角形紙片 ABC 中， A = 90°， C = 22°，點 D 為 AC 邊上靠近點 C 處一定點，點 E 為BC 邊上一動點，
沿DE 折疊三角形紙片，點 C 落在點C 處．有以下四個結論：
①如圖 1，當點C 落在 BC 邊上時， ADC = 44°；
②如圖 2，當點C 落在△ABC 內部時， ADC + BEC = 44°；
③如圖 3，當點C 落在△ABC 上方時， BEC - ADC = 44°；
④當C E∥AB時， CDE = 34°或 CDE =124°，其中正確結論的個數是（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】D
【分析】本題考查了折疊的性質，三角形外角的性質，三角形內角和及平行線的性質，掌握折疊的性質是
解題的關鍵．由折疊的性質及三角形外角的性質、三角形內角和可判斷①②③；分點C 落在△ABC 上方與
下方兩種情況，由平行線的性質、折疊的性質、三角形外角的性質與三角形內角和即可判斷④．
【詳解】解：當點C 落在 BC 邊上時，
由折疊性質得：CD = C D ，
則 DC C = C = 22°，
\ ADC = DC C + C = 44°，
故①正確；
當點C 落在△ABC 內部時，
由折疊性質得： CDE = C DE， CED = C ED ，
又 CDE + CED =180° - C ，
Q ADC =180°- C DE - CDE =180°- 2 CDE ，
BEC =180°- C ED - CED =180°- 2 CED，
\ ADC + BEC =180°- 2 CDE +180°- 2 CED
= 360° - 2( CDE + CED)
= 360°- 2(180°- C)
= 2 C
= 44°；
故②正確；
當點C 落在△ABC 上方時，
由折疊性質得： CDE = C DE， CED = C ED ，
又 CDE + CED =180° - C ，
Q ADC = C DE + CDE -180°= 2 CDE -180°，
BEC =180°- C ED - CED =180°- 2 CED，
\ BEC - ADC =180°- 2 CED +180°- 2 CDE
= 360°- 2( CED + CDE)
= 360°- 2(180°- C)
= 2 C
= 44°；
即 BEC - ADC = 44°；
故③正確；
當C E∥AB時，
若點C 在 AC 下方，如圖，
QC E P AB ，
\ C EB = B = 90°- C = 68°；
由折疊性質得： C ED = CED，
即 C EB + DEB =180°- C - CDE ；
而 DEB = C + CDE ，
\ C EB + C + CDE =180°- C - CDE ，
\ C EB =180°- 2 C - 2 CDE ，
即 CDE = 34°；
若點C 在 AC 上方，如圖，
QC E P AB ，
\ C EC = B = 90°- C = 68°；
由折疊性質得： C ED = CED，
\ CED = 1 C ED = 34°
2 ，
\ CDE =180°- C - CED =124°
綜上， CDE = 34°或 CDE =124°；
故④正確．
故選：D．
2．如圖，在VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于點D，點M ，N 分別是線段BD、BC 上一動點，AB > BD
且 S△ABC =10， AB = 5，則CM + MN 的最小值為 ．
【答案】4
【分析】本題考查軸對稱-最短問題，坐標有圖形性質，正方形的性質等知識，作點 N 關于BD的對稱點
N ，連接MN ，過點C 作CH ^ ABy 于點 H ．證明MN = MN ，再根據MN + MC = MN + MC CH ，求出CH ，
可得結論．解題的關鍵是掌握利用軸對稱解決最短問題．
【詳解】解：作點 N 關于BD的對稱點 N ，連接MN ，過點C 作CH ^ AB于點 H ．
Q BD平分 ABC ，
\點 N 關于BD的對稱點在BA上，
\MN = MN ，
QMN + MC = MN + MC CH ，
QSVABC =10， AB = 5，
\ 1 5 CH = 10
2 ，
\CH = 4，
\MN + MC 4 ，
\ MN + MC 的最小值為 4．
故答案為：4．
3．綜合與實踐課上，同學們動手折疊一張正方形紙片 ABCD，如圖 1，點E 在邊 AD 上，點F ，G 分別在
邊 AB ，CD上，分別沿EF ，EG 把 A， D向內折疊并壓平，點A ，D分別落在點 A 和點 D 處．
小明同學的操作如圖 2，點 D 在線段 EA 上；
小紅同學的操作如圖 3，點 A 在EG 上，點 D 在EF 上．
(1)在圖 1 中，若 FEG = 110°，求 A ED 的度數；
(2)直接寫出圖 2 和圖 3 中 FEG 的度數；
(3)若折疊后 A ED = n°(n 0)， 求 FEG 的度數(用含 n 的代數式表示)．
【答案】(1) 40°
(2)圖 2 中， FEG = 90°；圖 3 中， FEG = 60°
180° + n° 180° - n°
(3) 或
2 2
【分析】本題考查了折疊的性質，角度的和差，利用分類討論的思想，找出角度之間的數量關系是解題關
鍵．
（1）根據折疊的性質可得 AEF + DEG = A EF + D EG ，即可求解．
（2）圖 2 根據折疊的性質得 AEF = A EF ， DEG = D EG ，從而可得 2( A EF + D EG) =180°，即
可求解；圖 3 根據折疊的性質可得 AEF = A ED = DEG ，再由 AEF + A ED + DEG =180° ，即可
求解；
（3）分兩種情況：先表示出 AEF + DEG 的度數，再根據 AEF + DEG + A EF + D EG + A ED =180°
和 FEG = A EF + D EG + A ED 進行求解即可．
【詳解】（1）解：Q FEG =110°，
\ AEF + DEG =180° - FEG =180° -110° = 70°，
由折疊的性質得： AEF = A EF ， DEG = D EG
\ AEF + DEG = A EF + D EG = 70°，
\ A ED = FEG - ( A EF + D EG) =110° - 70° = 40°；
（2）解：圖 2 中，由折疊的性質得： AEF = A EF ， DEG = D EG ，
\ AEF + DEG = A EF + D EG ，
Q AEF + DEG + A EF + D EG =180°，
\2 A EF + D EG =180°，
即 A EF + D EG = 90°，
\ FEG = A EF + D EG = 90°；
圖 3 中，由折疊的性質得： AEF = A ED ， DEG = A ED ，
\ AEF = A ED = DEG ，
Q AEF + A ED + DEG =180°，
\ A ED = 60°，
即 FEG = 60°；
（3）解：分兩種情況進行討論：
①當△A EF 與VD EG 不重疊時，如圖 1 所示：
由折疊的性質得： AEF = A EF ， DEG = D EG ，
\ AEF + DEG = A EF + D EG ，
Q AEF + DEG + A EF + D EG + A ED =180°，
即 2( A EF + D EG) + n° =180°，
A EF + D EG 180° - n°= ，
2
FEG A EF D EG A ED 180° - n° n 180° + n°\ = + + = + ° = ；
2 2
②當△A EF 與VD EG 重疊時，如圖 4 所示：
由折疊的性質得： AEF = A EF ， DEG = D EG ，
\ AEF + DEG = A EF + D EG = FEG + A ED ，
又Q AEF + DEG + FEG =180°，
\ FEG + A ED + FEG =180° ，
即 2 FEG =180° - A ED =180° - n°，
FEG 180° - n°\ = ．
2
180° + n° 180° - n°
綜上所述： FEG 的度數為 或 ．
2 2
4．如圖，將長方形紙片 ABCD沿EF 折疊后，點C 、D分別落在點C 、D 的位置，C D 交BC 于點G ，再
將△C FG沿 FG 折疊，點C 落在C 的位置（C 在折痕EF 的左側）．
(1)如果 FED = 65°，求 EFC 的度數；
(2)如果 AED = 40°，則 EFC = ________ ° ；
(3)探究 EFC 與 AED 的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)115°
(2)30
EFC 3(3) + AED = 90°，見解析
2
【分析】（1）根據折疊的性質求出 DEF ，然后根據平行線的性質求解即可；
（2）先求出 DEF 的度數，然后利用平行線的性質求出 CFE 的度數，進而求出EFG 的度數，根據折疊
可求出 EFC 的度數，由角的和差關系求出 C FG 的度數，再根據折疊求出 C FG的度數，最后根據角
的和差關系求解即可；
（3）設 AED = a ，然后類似（2）的方法求解即可．
【詳解】（1）解∶根據題意，得 AD∥BC ，
∴ DEF + EFC =180°，
∵折疊， FED = 65o，
∴ DEF = D EF = 65°，
∴ EFC =180° - DEF =115°；
（2）解：∵ AED = 40°，
∴∠DED = 180° - AED = 140°，
由（1）知： DEF = D EF ，
1
∴ DEF = D EF = DED = 70°，
2
∵ AD∥BC ，
∴ EFC =180° - DEF =110°，
∵折疊，
∴ EFC = EFC =110°，
∵ EFC =110° ，
∴ EFG =180° - EFC = 70°，
∴ C FG = EFC - EFG = 40°，
∵折疊，
∴ C FG = C FG = 40°，
∴ EFC = EFG - GFC = 30°，
故答案為：30；
3
（3）解： EFC + AED = 90°
2
理由：設 AED = a ，
∴ DED =180° - AED =180° - α ，
由（1）知： DEF = D EF ，
DEF D EF 1 DED 180° - α∴ = = = ，
2 2
∵ AD∥BC ，
EFC 180 DEF 90 1∴ = ° - = ° + α ，
2
∵折疊，
∴ EFC = EFC
1
= 90° + α，
2
∵ EFC = 90
1
° + α ，
2
∴ EFG
1
=180° - EFC = 90° - α ，
2
∴ C FG = EFC - EFG = α ，
∵折疊，
∴ C FG = C FG = α，
∴ EFC = EFG - GFC = 90
3
° - α，
2
∴ EFC = 90
3
° - AED ，
2
∴ EFC
3
+ AED = 90°．
2
【點睛】本題考查了折疊的性質，平行線的性質等知識，明確題意，利用平行線的性質探究出角之間的關
系是解題的關鍵．
5．東東發現折紙中蘊含著豐富的數學問題，他將長方形紙片按如圖 1 所示折疊，點 F 在邊BC 上，點 E，G
在其它三邊上，FE和FG 為兩條折痕，且折疊后重疊的紙片最多不超過三層．東東在探究的過程中，發現
B FC 隨著點 E，G 的位置變化而變化，為了研究方便，把 BFE記為a ， CFG記為 b ．
(1)如圖 1，當a = 30°, b = 40°時，求 B FC 的度數．
(2)如圖 2，當點 F，B ，C 在同一直線上（即 B FC = 0°）時，探究a 和 b 的數量關系，并說明理由．
(3)在 EFG和 B FC 中，當其中一個角是另一個角的 3 倍時，求a + b 的度數．
【答案】(1) 40°
(2)a + b = 90°
720
(3)72°或 ÷°7 或144°è
【分析】本題考查折疊的性質，角的和差，一元一次方程的應用，掌握分類討論是解題的關鍵．
（1）根據折疊的性質解題即可；
（2）根據折疊的性質計算即可解題；
（3）分三種情況分別畫圖，列方程進行計算解題．
【詳解】（1）解：由折疊可得： B FB = 2 BFE = 2a = 60o ， C FC = 2 CFG = 2b = 80o，
∴ B FC =180o - B FB - CFC =180o - 60o -80o = 40o；
（2）解：a + b = 90°，理由為：
由折疊可得： B FB = 2 BFE = 2a ， C FC = 2 CFG = 2b ，
∴ B FC =180o - B FB - CFC =180o - 2a - 2b = 0o ，
∴a + b = 90°；
（3）如圖 1 所示，由折疊可得： B FB = 2 BFE = 2a ， C FC = 2 CFG = 2b ，
∴ B FC =180o - B FB - CFC =180o - 2a - 2b
EFG =180° - BFE - CFG =180° -a - b ，
當 EFG = 3 B FC 時，180° -a - b = 3 180° - 2a - 2b ，
解得a + b = 72°；
如圖 3， B FC = B FB + CFC -180o = 2a + 2b -180o ，
當 EFG = 3 B FC 時，180° -a - b = 3 2a + 2b -180° ，
a b 720 解得： + = ÷°；
è 7
如圖 4 所示， B FC = B FB + CFC -180o = 2a + 2b -180o ，
當 B FC = 3 EFG 時，3 180° -a - b = 2a + 2b -180°，
解得：a + b =144°；
綜上所述，a b
720+ 的度數為72°或 ÷°7 或144°時，
EFG和 B FC 中，當其中一個角是另一個角的 3 倍時．
è
6．數學興趣小組利用直角三角形紙片開展了如下的連續探究活動，請幫助他們完成相關的計算和證明．
【探究一】如圖 1，在Rt△ABC 中， C = 90°，沿過點 B 的直線折疊這個三角形，使點 C 落在 AB 邊上的
點 E 處，折痕為 BD．同學們發現，若CD = 3cm， AB + BC = 16cm，借助 S△ABC = S△ABD + S△BCD ，可以計算
出VABC 的面積．請你完成填空： SVABC = __________ cm2 ；
【探究二】在“圖 1”的基礎上，過點 E 作 BED的平分線交 BD 于點 P，連接 AP，如圖 2．同學們發現，沿
直線 AP 折疊這個三角形， BAP與 CAP 重合，即 AP 是 CAB 的角平分線．請你證明：AP 平分 CAB ；
【探究三】在“圖 2”的基礎上，過點 P 作PH ^ AB 于點 H，如圖 3．同學們通過測量發現，AH 與 BH 的積
1
是 AC 與 BC 的積的一半．請你證明： AH × BH = AC × BC ．
2
【答案】[探究一] 24；[探究二]見解析；[探究三]見解析
【分析】[探究一]根據已知條件可得 S△ABC = S△ABD + S△BCD ，從而可以計算得解；
[探究二]過點 P 分別作 AB 、ED、 AC 邊的垂線，垂足分別為點F 、 H 、M ，利用全等性質，通過等量代
換即可得到PF = PM ，通過角平分線性質即可得證；
[探究三]過點 P 分別作BC 、 AC 邊的垂線，垂足分別為點G 、M ，連接PC ，通過條件可證得
1 S 1 1VABC = SVBGP + SVAHP + SVMCP ，然后將 SV ABC = AC × BC = (BG + GC) × (AM + MC)2 2 整理化簡，最后等量代換即可2
得證．
【詳解】[探究一]解：由題可知，△BED≌△BCD， BED = C = 90°，CD = ED = 3cm，
\S 1VABC = SVABD + SVBCD = AB × DE
1
+ BC ×CD 1= AB + BC ×CD 1= 16 3 = 24cm2，
2 2 2 2
故答案為：24；
[探究二]證明：如圖，過點 P 分別作 AB 、ED、 AC 邊的垂線垂足分別為點F 、 H 、M ，
由題可知，△BED≌△BCD，∠BDC =∠BDE，
\PH = PM ，
QEP 平分 BED，
\ PF = PH ，
\PF = PM ，
\ PAC = PAB，
則 AP 平分 CAB ；
[探究三]證明：如圖，過點 P 分別作BC 、 AC 邊的垂線，垂足分別為點G 、M ，連接PC ，
由（2）可知，PH = PM = PG，
QPH ^ AB，PG ^ BC ，PM ^ AC ，
\RtVAHP≌RtVAMP(HL) ，RtVBHP≌RtVBGP(HL)，RtVCGP≌RtVCMP(HL)，四邊形CGPM 是正方形，
1
\ AH = AM ， BH = BG ，CG = CM ，PH = PM = PG = CM = CG ， SVABC = S2 VBGP
+ SVAHP + SVMCP ，
QS 1 1DABC = AC × BC = (BG + GC) × (AM + MC)2 2
1
= BG × AM 1+ BG × MC 1+ GC 1× AM + GC × MC
2 2 2 2
1 AH BH 1 BG 1 1= × + ×GP + PH × AH + MP × MC
2 2 2 2
1
= AH × BH + SVBGP + S2 VAHP
+ SVMCP
1
= AH 1× BH + S
2 2 VABC
\ 1 S 1VABC = AH × BH ，2 2
\SVABC = AH × BH ，
AH 1即 × BH = AC × BC ，
2
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了圖形折疊、全等三角形、角平分線性質，適當添加輔助線，采
用等量代換的方法是解題關鍵．
【壓軸題型二 等腰三角形的性質與判定壓軸問題】
1．如圖，在VABC 中， AB = AC ， AD ， BE 是VABC 的兩條中線， AD = 5，BE = 6， P 是 AD 上的一個動
點，連接PE，PC ，則PC + PE 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】如圖連接 PB，只要證明 PB=PC，即可推出 PC+PE=PB+PE，由 PE+PB≥BE，可得 P、B、E 共線
時，PB+PE 的值最小，最小值為 BE 的長度．
【詳解】解：如下圖，連接 PB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
∵PE+PB≥BE，
∴P、B、E 共線時，PB+PE 的值最小，最小值為 BE 的長度，
∵BE=6，
∴CP+EP 的最小值是 6，
故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題、等腰三角形的性質、線段的垂直平分線的性質、三角形兩邊
之和大于第三邊，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．
2．VABC 中，若過頂點 B 的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為
直角三角形，則稱這條直線為VABC 的關于點 B 的二分割線．例如：如圖 1，VABC 中， A = 90°，
C = 20°，若過頂點 B 的一條直線BD交 AC 于點 D，且 DBC = 20°，則直線BD是VABC 的關于點 B 的
二分割線．如圖 2，VABC 中， C =18°，鈍角VABC 同時滿足：① C 為最小角；②存在關于點 B 的二分
割線，則 BAC 的度數為 ．
【答案】36°或 45°或54°
【分析】本題考查了直角三角形，等腰三角形的性質，正確地理解“VABC 的關于點 B 的二分割線”是解題
的關鍵．
根據關于點 B 的二分割線的定義即可得到結論．
【詳解】解：如圖 2 所示：Q AD = BD，
\ A = ABD, ADB = C + 90° =108°
\ BAC = 36°，
如圖 3 所示：Q AD = BD，
\ A = ABD, ADB = 90°，
\ BAC = 45°，
如圖 4 所示，QCD = BD ，
\ C = CBD =18°, ABD = 90°, ADB = C + CBD = 36°，
\ A = 54°
故答案為：36°或 45°或54°．
3．如圖，在VABC 中，AD = BC， B = 40°，D、E 為邊 AB 上的兩點，且CD = CE ， BCD = 60°，△ADF
是等邊三角形．
(1)求證：CE = BE ；
(2)求 CAD的度數．
【答案】(1)證明見解析；
(2)30°
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，三角
形內角和定理：
（1）先由三角形內角和定理得到 BDC = 80°，由等邊對等角得到 BDC = CED = 80° ，進而利用三角形
內角和定理得到 DCE = 20°，則可證明 BCE = 40° = B ，據此可得CE = BE ；
（2）由等邊三角形的性質得到 AB = AD = DF， ADF = AFD = FAD = 60°，證明VECB≌VCDF SAS 得
1
到CF = BE = CE = CD ，再證明VACF≌VACD SSS ，可得 CAF = CAD = FAD = 30°．
2
【詳解】（1）證明：∵ B = 40°， BCD = 60° ，
∴ BDC = 180° - B - BCD = 80°，
∵CD = CE ，
∴ BDC = CED = 80° ，
∴ DCE = 180° - 80° - 80° = 20°，
∴ BCE = BCD - DCE = 40° = B，
∴CE = BE ；
（2）解：∵△ADF 是等邊三角形，
∴ AB = AD = DF， ADF = AFD = FAD = 60°，
∴ CDF = 180° - ADF - BDC = 40° = BCE ，
∵ AD = BC，AD = DF ，
∴ BC = DF ，
在VECB 和VCDF 中，
ì CE = DC

í BCE = CDF ，

BC = DF
∴VECB≌VCDF SAS ，
∴CF = BE = CE = CD ，
在△ACF 和VACD中，
ìAF = AD

íAC = AC ，

CF = CD
∴VACF≌VACD SSS ，
∴ CAF
1
= CAD = FAD = 30°．
2
4．我們知道：如果兩個三角形全等，則它們的面積相等，而兩個不全等的三角形，在某些情況下，可通過
證明等底等高來說明它們的面積相等．已知VABC與VDEC 是等腰直角三角形， ACB = DCE = 90°，連
接 AD 、 BE ．
(1)如圖 1，當 BCE = 90°時，求證： SVACD = SVBCE ．
(2)如圖 2，當0° < BCE < 90°時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請
說明理由．
(3)如圖 3，在（2）的基礎上，作CF ^ BE ，延長 FC 交 AD 于點G ，求證：點G 為 AD 的中點．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，三角形的面積公式，正確的作出
輔助線是解題的關鍵．
（1）根據VABC 與VDEC 是等腰直角三角形，得到 AC = BC ， DC = EC ， ACB = DCE 由 BCE = 90°，
證得 ACD = BCE ，推出VACD≌VBCE ，從而證得結論 SVACD = SVBCE ；
（2）作 AG 垂直DC 的延長線于點 G，作BH ^ CE ，垂足為 H，由于 ACB = GCE = 90°，得到
ACG = BCH ，推出VACG≌VBCH ，得出 AG = BH ，由于CD = CE ，于是得到結果即 S△ACE = S△BCE ；
（3）作 AM 垂直CG 的延長線于點 M，作DN ^ CG，垂足為 N，證得VACM≌VCBF ，得到 AM = CF ，同
理可證VDCN≌VCEF ，得到DN = CF ， AM = DN ，推出VAMG≌VDNG ，得到 AG = DG，即 G 為 AD 中
點．
【詳解】（1）證明：∵VABC 與VDEC 是等腰直角三角形，
∴ AC = BC ，DC = EC ， ACB = DCE = 90°．
又∵ BCE = 90°，
∴ ACD = 90°．
∴ ACD = BCE ．
在VACD與VBCE 中，
ìAC = BC

∵ í ACD = BCE ，

DC = EC
∴VACD≌ VBCE ．
∴ SVACD = SVBCE ．
（2）解：如圖 2，過點 A 作 AG 垂直DC 的延長線于點G ，作BH ^ CE ，垂足為 H ．
∵ ACB = GCE = 90°，
∴ ACG = BCH ．
在VACG 與VBCH中，
ì AC = BC

∵ í ACG = BCH ，

AGC = BHC = 90°
∴VACG ≌VBCH ．
∴ AG = BH ．
∵CD = CE ，
1 AG CD 1∴ × = BH ×CE ．
2 2
即 SVACD = SVBCE ．
（3）解：如圖 3，過點 A 作 AM 垂直CG 的延長線于點M ，過點D作DN ^ CG，垂足為
N ．
∵ ACB = BFC = 90° ，
∴ ACM + BCF = 90°， CBF + BCF = 90°．
∴ ACM = CBF ．
在△ACM 與VCBF 中，
ì AC = BC

∵ í ACM = CBF ，

AMC = BFC = 90°
∴△ACM ≌VCBF ．
∴ AM = CF
同理可證VDCN≌△CEF ．
∴ DN = CF ．
∴ DN = AM ．
在VAGM 與△ DGN 中，
ì AM = DN

∵ í AGM = DGN ，

AMG = DNG = 90°
∴VAGM≌△ DGN ．
∴ AG = DG．即G 為 AD 的中點．
5．如圖， AD 是VABC 的角平分線，DE ^ AC ，垂足為E, BF∥AC 交ED的延長線于點F ，若BC 恰好平
分 ABF ．
(1)求證：△CDE ≌△BDF ；
(2)若VABC 的面積是 18，DF = 3，求 AB 長．
【答案】(1)見解析
(2)6
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質定理，證明三角形全
等是解題的關鍵．
（1）根據角平分線的性質，平行線的性質，可判斷VABC是等腰三角形，再根據等腰三角形的“三線合一”
可得 是中線，由“ ASA ”可證△CDE ≌△BDF ；
（2）過點D作DG ^ AB于點G ，根據角平分線的性質可得DE = DG = DF = 3，根據中線的性質可得
S 1VABD = SVABC ，由三角形的面積公式可求解．2
【詳解】（1）解：QBC 平分 ABF ,
\ ABC = FBC ，
QBF∥AC,，
\ ACB = FBC
\ ABC = ACB,
\ AB = AC ．
Q AD 是VABC 角平分線，
\DB = DC, AD ^ BC ．
在VCDE和VBDF 中，
ì C = DBF

í DC = DB ，

CDE = BDF
\VCDE≌VBDF ASA ．
（2）解：過點D作DG ^ AB 于點G ，
Q△CDE≌△BDF ，
\DE = DF = 3,CD = BD ，
Q AD 平分 CAB, DE ^ AC, DG ^ AB ，
\ DG = DE = 3，
QCD = BD ，
\S 1△ABD = S2 △ABC
= 9，
1
即 AB × DG = 9，
2
\ AB = 6．
6．△ABC 和△DBE 都是以點 B 為頂點的等腰直角三角形， ABC = DBE = 90°．
(1)如圖 1，當VABC 和VDBE如圖擺放，連接CD, AD,CE ，其中 與 相交于點 F．那么 與 之間存在
著怎樣的位置關系，請說明理由；
(2)如圖 2，當VABC 和VDBE如圖擺放，F 為 AC 的中點，連接 AD,CE, FD，并在 FD的延長線上取一點 C，
連接CG ，使CG = CE ．求證： FDA = CGF ．
【答案】(1) AD ^ CE ，理由見解析；
(2)證明見解析．
【分析】（1）本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質、三角形內角和定理和，解題
的關鍵是證明VABD≌VCBE ；
（2）本題考查全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明△DAB≌△CBE ．
【詳解】（1）解：如下圖 1 中，
Q ABC = DBE = 90°，
\ ABD = CBE ，
在△ABD 和△CBE 中，
ìBA = BC

í ABD = CBE ，

BD = BE
\VABD≌VCBE，
\ BAD = BCE ，
Q AOB = COF ，
\ ABO = CFO = 90°，
\ AD ^ CE ；
（2）如下圖 2 中，延長DF 到 H，使得FH = DF ，
在△AFD和△CFH 中，
ìFA = FC

í AFD = CFH

FD = FH
\ VAFD≌VCFH ，
\ ADF = H ， AD = CH ，
Q△DAB≌△CBE ，
\ AD = CE ，
QCE = CG ，
\ AD = CG = CH ，
\ DGC = H ，
\ CGF = ADF ．
【壓軸題型三 等邊三角形的性質與判定壓軸問題】
1．如圖，點 A，B，C 在同一條直線上，△ABD ，VBCE 均為等邊三角形，連接 AE 和CD， AE 分別交
CD、BD于點 M，P，CD交 BE 于點 Q，連接 PQ，BM ，下面結論：①VABE≌VDBC ；② DMA = 60°；③
VPBQ為等邊三角形；④MB平分 AMC ；⑤ PEQ = 30°．其中結論正確的有（　?。?br/>A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】D
【分析】根據等邊三角形的性質即可證得VABE≌VDBC 故①正確；根據VABE≌VDBC 結合三角形外角性質
即可得出 DMA = BAE + BCD = BDC + BCD = 60°，故②正確；根據等邊三角形的性質易證
△ABP≌△DBQ，得到BP = BQ 結合 PBQ = 60°即可得到VPBQ為等邊三角形，故③正確；根據全等三角
形性質，得到點 B 到 AE ，CD的距離相等，，從而可得點 B 在 AMC 的角平分線上，故④正確；已有的條
件無法求 PEQ的度數，故⑤錯誤；從而解題．
【詳解】解：QVABD、VBCE 為等邊三角形，
\ AB = DB， ABD = CBE = 60°，BE = BC ，
\ ABE = DBC ， PBQ = 60°，
在VABE 和△DBC 中，
ìAB = DB

í ABE = DBC ，

BE = BC
\VABE≌VDBC SAS ，故①正確；
QVABE≌VDBC ，
\ BAE = BDC ，
Q BDC + BCD =180° - 60° - 60° = 60°，
\ DMA = BAE + BCD = BDC + BCD = 60°，故②正確；
在VABP和VDBQ中，
ì BAP = BDQ

íAB = DB ，

ABP = DBQ
\VABP≌VDBQ ASA ，
\BP = BQ，
\VBPQ為等邊三角形，故③正確；
QVABE≌VDBC ，
\ AE = CD，SVABE =SVDBC
\點 B 到 AE ，CD的距離相等，即 AE、CD 邊上的高相等，
\點 B 在 AMC 的角平分線上，
即MB平分 AMC ；故④正確；
已有的條件無法求 PEQ的度數，故⑤錯誤；
綜上所述：正確的結論有 4 個；
故選：D．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，四點共圓的性質，三角形外角
性質，角度的運算，解題的關鍵是熟練掌握并運用相關知識．
2．如圖，點C 在線段 AB 上（不與點A 、B 重合），在 AB 的上方分別作△ADC 和VBCE ，且 AC = DC ，BC = EC，
ACD = BCE = a 連接 AE ，BD交于點 P ，下列結論正確的是（填序號） ．
AE = BD ；② AD = BE ；③ APB =180o -a ；④PC 平分 DCE ；
【答案】①③/③①
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定和性質，角的平分
線定理及其逆定理，本題的關鍵是借助三角形的面積相等求得對應高相等．根據SAS證明VACE≌VDCB 即
可求解①； AC = DC ，BC = EC， ACD = BCE = a ，VACD和VBCE 是頂角相等的等腰三角形，故②錯
誤；由①得VACE≌VDCB 從而得到 CAE = CDB ，從而求解③；借助三角形面積相等即可證明④．
【詳解】解：①Q ACD = BCE ，
\ ACD + DCE = BCE + DCE ，
\ ACE = DCB，
在△ACE和△DCB中，
ì CA = CD

í ACE = DCB

CE = CB
\VACE≌VDCB SAS ，
\ AE = BD，故①正確；
②Q AC = DC ，BC = EC， ACD = BCE = a ，
\VACD 和VBCE 是頂角相等的等腰三角形，
因為 AC 不一定等于BC ，
所以 AD 不一定等于 BE ，故②錯誤；
③由①得VACE≌VDCB ，
\ CAE = CDB，
Q CAD + CDA =180° -a ，
\ PAD + PDA =180° -a ，
\ APD = a ，
\ APB =180o -a ，故③正確；
④如圖，過C 作CG ^ AE 于G ，CH ^ BD 于 H ，
QVACE≌VDCB ，
\SVACE = SVDCB， AE = BD ，
1 1
\ AE ×CG = BD ×CH ，
2 2
\CG = CH ，
\PC 平分 APB，
\ APC = BPC ，
Q DPA = EPB ，
\ DPC = EPC ，
因為 CDP不一定等于 CEP ，
所以 DCP不一定等于 ECP ，
所以PC 不一定平分 DCE ，故④錯誤；
故答案為：①③．
3．如圖，在等邊三角形 ABC 中，點E 在 AB 上，點D在CB 的延長線上，且ED = EC ．
(1)如圖 1，當E 為 AB 的中點時，則 AE ______ DB（填“ > ”“ < ”或“ = ”）．
(2)如圖 2，當E 為 AB 邊上任意一點時，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由．
(3)如圖 3，當點E 在 AB 的延長線上時，若VABC 的邊長為 2， AE = 3，求CD的長．
【答案】(1) =
(2)當E 為 AB 邊上任意一點時，（1）中的結論仍然成立，理由見解析
(3)5
【分析】本題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角
形的性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
（1
1
）由等腰三角形的性質得 D = ECD，再由等邊三角形的性質得 ECD = ACB = 30°2 ，然后證
DEB = D，得DB = BE ，即可得出結論；
（2）過點E 作EF ∥ BC ，交 AC 于點F ，證△AEF 為等邊三角形，得 AE = EF ，再證VDBE≌VEFC
（AAS），得DB = EF ，即可得出結論；
（3）過點E 作EF ∥ BC ，交 AC 的延長線于點F ，可證得△AEF 是等邊三角形，VDEB≌VECF AAS ，
由DB = EF = 3，BC = 2，即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖1，
∵VABC 是等邊三角形，點E 是 AB 的中點，
∴ 平分 ACB ，CE ^ AB ， ACB = 60°， AE = BE ，
∴ BEC = 90°， BCE = 30°，
又∵ED = EC ，
∴ D = ECB = 30°，
∴ DEC = 120°，
∴ DEB =120° - 90° = 30°，
∴ D = DEB = 30°，
∴BD = BE = AE，
即 AE = DB ，
故答案為：=．
（2）解：當點E 為 AB 上任意一點時，（1）中的結論仍然成立，如圖 2， AE = DB ．理由如下：
如圖 2，過E 作EF ∥ BC 交 AC 于F ，
∵VABC 是等邊三角形，
∴∠ABC =∠ACB =∠A = 60°， AB = AC = BC ，
∵EF ∥ BC ，
∴ AEF = ABC = 60°， AFE = ACB = 60 ，即 AEF = AFE = A = 60°，
∴△AEF 是等邊三角形，
∴ AE = EF = AF ，
∵ ABC = ACB = AFE = 60°，
∴ DBE = EFC = 120°， D + BED = FCE + ECD = 60° ，
∵DE = EC ，
∴ D = ECD，
∴ BED = ECF ，
在VDEB和△ECF 中，
ì DEB = ECF

í DBE = EFC ，

DE = CE
∴VDEB≌VECF AAS ，
∴BD = EF = AE ，即 AE = BD ，
（3）解：過點E 作EF ∥ BC ，交 AC 的延長線于點F ，如圖3所示：
∵VABC 是等邊三角形，
∴∠ABC =∠ACB =∠A = 60°， AB = AC = BC ，
∴ AEF = ABC = 60°， AFE = ACB = 60 ，
即 AEF = AFE = A = 60°，
∴△AEF 是等邊三角形，
∴ AE = EF = AF = 3，
∵ ABC = ACB = EFC = 60°，
∴ DBE = ABC = EFC = 60° ，
∵DE = EC ，
∴ D = ECD，
∵EF ∥ BC ，
∴ ECD = CEF ，
∴ D = CEF ，
在VDEB和△ECF 中，
ì D = CEF

í DBE = EFC ，

DE = CE
∴VDEB≌VECF AAS ，
∴DB = EF = 3，
∵BC = 2，
∴CD = BC + DB = 5．
4．如圖 1，在VABC 中， AB = AC , D 為線段BC 上一動點（不與點 B、C 重合）．連接 AD ，作
DAE = BAC ，且 AD = AE ，連接CE．
(1)求證：△ABD≌△ACE ．
(2)當CE平分 ACF 時，若 BAD = 32°，求 DEC 的度數．
(3)如圖 2，設 BAC = a 90° < a <180° ，在點 D 運動過程中，當DE ^ BC 時， DEC = __________°．（用
含a 的式子表示）
【答案】(1)見詳解
(2) 28°
(3)a - 90°
【分析】（1）先證 BAD = CAE ，再由SAS證△ABD≌△ACE 即可；
（2）證VABC 是等邊三角形，得 BAC = DAE = 60°，再證VDAE是等邊三角形，得 AED = 60°，然后
由三角形內角和定理即可得出結論
（3）由等腰三角形的性質得到 ABC = ACB 180° -a 1= = 90° - a ，再由全等三角形的性質得到
2 2
ACE = ABC = 90 1 1° - a ，求出 DCE = (90° - a ) 2 =180° -a ，然后由直角三角形的性質即可得到結論．
2 2
【詳解】（1）證明Q DAE = BAC ，
∴ BAC - DAC = DAE - DAC
\ BAD = CAE
在△ABD 和△ACE中
ìAB = AC

í BAD = CAE

DA = EA
\VABD≌VACE SAS ；
（2）由(1)可知， BAD = CAE = 32°， △ABD≌△ACE ，
∴ B = ACE ，
∵CE平分 ACF ，
∴ ACE = FCE ，
∵ AB = AC ，
∴ B = ACB，
∴ B = ACB = ACE = FCE ，
∵ ACB + ACE + FCE =180°，
∴ ACB = 60°，
∴VABC 是等邊三角形，
∴ BAC = DAE = 60°，
∴VDAE是等邊三角形，
∴ AED = 60°，
∴在△ACE中， DEC =180° - 32° - 60° - 60° = 28°；
3 Q BAC a ABC ACB 180° -a 1（ ） = ， = = = 90° - a ，
2 2
Q DAE = BAC ，
\ BAD = CAE
在△ABD 和△ACE中
ìAB = AC

í BAD = CAE

DA = EA
\VABD≌VACE SAS ，
\ ACE = ABC 1= 90° - a ，
2
\ DCE = (90 1° - a ) 2 =180° -a ，
2
QDE ^ BC ，
\ EDC = 90°，
\ DEC =180° - 90° - ECD =180° - 90° - (180° -a ) = a - 90°，
故答案為：a - 90°．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質，等邊三角形的判定
與性質以及直角三角形的性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質以及全等三角形判定以
及性質是解題的關鍵．
5．如圖，點O是等邊VABC 內一點， D是VABC 外的一點， AOB =110°， BOC = a ，VBOC≌VADC ，
OCD = 60°，連接OD ．
(1)求證：VOCD是等邊三角形；
(2)當a =150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)當a = _________時，△AOD是等腰三角形．
【答案】(1)見解析
(2)△ADO 是直角三角形，理由見解析
(3)110°或140°或125°
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的定義，熟練掌握
以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．
（1）由全等三角形的性質可得OC = DC ，結合 OCD = 60°，即可得證；
（2）由等邊三角形的性質可得 CDO = 60°，由全等三角形的性質得出 BOC = ADC =150°，即可得出
ADO = 90°，從而得解；
（3）根據題意以及全等三角形的性質，分別計算出 ADO 、 OAD 、 AOD ，再分三種情況討論即可．
【詳解】（1）證明：∵VBOC≌VADC ，
∴OC = DC ，
∵ OCD = 60°，
∴VOCD是等邊三角形；
（2）解：△ADO 是直角三角形，理由如下：
∵VOCD是等邊三角形，
∴ CDO = 60°，
當a =150°時，
∵VBOC≌VADC ，
∴ BOC = ADC =150°，
∴ ADO = ADC - ODC = 90°，
∴△ADO 是直角三角形；
（3）解：∵VOCD是等邊三角形，
∴ COD = ODC = 60°，
∵VBOC≌VADC ，
∴ ADC = BOC = a ，
∵ AOB =110°，
∴ AOD = 360° - AOB - BOC - COD = 360° -110° -a - 60° = 190° -a ， ADO = ADC - ODC = a - 60°，
∴ OAD = 180° - AOD - ADO = 180° - 190° -a - a - 60° = 50° ，
當 AOD = ADO 時，190° -a = a - 60°，
解得：a =125°；
當 AOD = OAD 時，190° -a = 50°，
解得：a =140°；
當 ADO = OAD 時，a - 60° = 50°，
解得：a =110°；
綜上所述，當a =110°或140°或125°時，△AOD是等腰三角形．
6．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°，VCDE是等邊三角形，點 D 在邊 AB 上．
(1)如圖 1，當點 E 在邊BC 上時，求證DE = EB；
(2)如圖 2，當點 E 在VABC 內部時，猜想ED和EB數量關系，并加以證明；
(3)如圖 1，當點 E 在VABC 外部時，EH ^ AB 于點 H，過點 E 作GE P AB，交線段 AC 的延長線于點 G，
AG = 5CG ，BH =1．求CG 的長．
【答案】(1)證明見解析；
(2) ED = EB ，證明見解析；
2
(3)CG =
3
【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質，熟
練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）根據等邊三角形的性質得出 CED = 60°，從而得出 EDB = 30°，從而得出DE = BE ；
（2）取 AB 的中點O，連接CO、EO，根據△ACO 和VCDE為等邊三角形，從而得出VACD和△OCE 全
等，然后得出VCOE和△ BOE 全等，從而得出答案；
（3）取 AB 的中點O，連接CO、EO、EB，根據題意得出VCOE和△ BOE 全等，然后得出VCEG和VDCO
全等，設CG = a ，則 AG = 5a，OD = a ，根據題意列出一元一次方程求出 a的值得出答案．
【詳解】（1）∵VCDE是等邊三角形，
∴ CED = 60°，
∴ EDB = 60° - B = 30°，
∴ EDB = B，
∴DE = EB；
（2）ED = EB ，理由如下：
取 AB 的中點O，連接CO、EO，
∵ ACB = 90°， ABC = 30°，
∴ A = 60°，OC = OA，
∴△ACO 為等邊三角形，
∴CA = CO，
∵VCDE是等邊三角形，
∴ ACD = OCE ，
∴△ACD≌△OCE ，
∴ COE = A = 60°，
∴ BOE = 60°，
∴△COE≌△BOE，
∴EC = EB ，
∴ED = EB ；
（3）解：如圖：取 AB 的中點O，連接CO、EO、EB，
由（2）得△ACD≌△OCE ，
∴ COE = A = 60°，
∴ BOE = 60°，△COE≌△BOE，
∴EC = EB ，
∴ED = EB ，
∵EH ^ AB ，
∴DH = BH =1，
∵GE P AB，
∴ G =180° - A =120°，
∴△CEG≌△DCO ，
∴CG = OD ，
設CG = a ，則 AG = 5a，OD = a ，
∴ AC = OC = 4a，
∵OC = OB ，
∴ 4a = a +1+1，
2 2
解得： a = ，即CG = ．
3 3
【壓軸題型四 等腰三角形中的動點問題】
1．如圖是樹枝的一部分，一只螞蟻 M 以 2cm / s的速度從樹枝的 A 點處出發沿樹枝 方向向上爬行，另一
只螞蟻N從O點出發，以1cm / s 的速度沿樹枝OC 方向爬行，如果 AB，OC 足夠長，OA =12cm， BOC = 60°，
且兩只螞蟻同時出發，用 t s 表示爬行的時間，當兩只螞蟻與點 O 恰好構成等腰三角形時，t 的值是（ ）
A． 4s B．12s
C． 4s或12s D． 4s或12s或16s
【答案】C
【分析】分點 M 在 O 點下方或點 M 在 O 點上方兩種情況，分別根據等腰三角形的性質解答即可．
【詳解】
解：當點 M 在 O 點下方時，
∵ AOC =180° - BOC =120°，
∴當OM = ON 時，
∴12 - 2t = t ，
解得 t = 4，
當點 M 在點 A 上方時，
∵ BOC = 60°，
∴VOMN 是等邊三角形，
∴OM = ON ，
∴ 2t -12 = t，
解得 t =12，
∴ t = 4或12，
故選：C．
【點睛】
本題考查等腰三角形的性質，一元一次方程，運用分類討論思想是解題的關鍵．
2．如圖，已知：在VABC 中， AC = BC = 8， ACB =120° ，將一塊足夠大的直角三角尺 PMN
（ M = 90°， MPN = 30°）按如圖放置，頂點 P 在線段 AB 上滑動，三角尺的直角邊 PM 始終經過點C ，
并且與CB 的夾角 PCB = a ，斜邊PN 交 AC 于點D．點 P 在滑動時，a = 時，△PCD的形狀是等腰
三角形．
【答案】 45° 或0°或90°
【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，利用分類討論的思想解決問題是關鍵．根據
等腰三角形的定義分三種情況討論，根據等邊對等角的性質和三角形內角和定理分別求解即可．
【詳解】解：Q ACB =120°， PCB = a ，
\ ACP = 120° -a ，
①當PC = PD 時，此時 PCD = PDC = 120° -a ，
Q CPD + PCD + PDC = 180°，
\30° + 120° -a + 120° -a = 180°，
\a = 45°；
②當CD = CP 時，此時 CDP = CPD = 30°，
Q CPD + PCD + PDC = 180°，
\30° + 120° -a + 30° = 180° ，
\a = 0°，此時點 P 與點 B 重合；
③當CD = PD時，此時 PCD = CPD = 30° ，
\120° -a = 30°，
\a = 90°；
綜上可知，點 P 在滑動時，a =45°或0°或90°時，△PCD的形狀是等腰三角形，
故答案為： 45° 或0°或90°
3．如圖，在VABC 中， ACB = 90°，已知 AC = 3, BC = 4, AB = 5，點D為 AB 邊上一點，連結CD且
AD = CD ，動點 P 從A 出發，以每秒 1 個單位長度的速度沿 A - C - B 運動，到點 B 運動停止，當點 P 不與
VABC 的頂點重合時，設點 P 的運動時間是 t秒．
(1)用含有 t的代數式表示CP的長；
(2)求CD的長；
(3)當△CDP是以CD為腰的等腰三角形時，求 t的值；
(4)在點 P 的運動過程中，如果點 P 到VABC 的兩條邊距離相等，直接寫出 t的值．
【答案】(1)CP = t - 3 ( 0 < t < 7且 t 3 )
(2) 2.5
(3) t的值是 0.5 或 5.5
5 9
(4) t的值為 或
3 2
【分析】本題考查列代數式，等腰三角形的判定和性質，直角三角形兩銳角互余，等角的余角相等，一元
一次方程的應用等知識，運用數形結合與分類討論思想解題是解題的關鍵．
（1）分①當點 P 在 A、C 之間，即0 < t < 3時，②當點 P 在 B、C 之間，即3 < t < 7時兩種情況討論即可得
解；
（2）運用等腰三角形的性質，直角三角形兩銳角互余以及等角的余角相等推出 B = BCD ，繼而得到
1 5
BD = CD，BD = AD = AB = ，從而得解；
2 2
（3）分當CD = DP時和當CD = CP 時兩種情況討論，前者點 P 與點 A 或點 B 重合排除，后者列方程求解
即可；
（4）分①當點 P 在 A、C 之間，即0 < t < 3時， ②當點 P 在 B、C 之間，即3 < t < 7時兩種情況討論，運
用等面積法列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：①當點 P 在 A、C 之間，即0 < t < 3時， AP = t ，
∴CP = AC - AP = 3 - t ，
②當點 P 在 B、C 之間，即3 < t < 7時， AC + CP = t ，
∴CP = t - AC = t - 3，
綜上所述：CP = t - 3 ( 0 < t < 7且 t 3 )
（2）∵ AD = CD ，
∴ A = ACD，
又∵ ACB = 90°，
∴ A + B = ACD + BCD = 90°，
∴ B = BCD ，
∴BD = CD，
∴BD
1
= AD = AB = 2.5；
2
∴CD = 2.5；
（3）∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，
∴CD = DP或CD = CP ，
當CD = DP時，由（2）可知此時點 P 與點 A 或點 B 重合，不合題意，舍去；
當CD = CP 時，由（1）（2）可知CP = t - 3 = 2.5 ( 0 < t < 7且 t 3 )，
解得： t = 0.5或 5.5，
即 t的值是 0.5 或 5.5；
（4）①當點 P 在 A、C 之間，即0 < t < 3時，
作圖如下，過點 P 作PQ ^ AB 于 Q，連接BP：
則CP = PQ = 3 - t ，
1 1 1
∵ SVABC = SVABP + SVBCP，即 AC × BC = AB × PQ + BC ×CP，且 AC = 3, BC = 4, AB = 52 2 2
1
∴ 3
1
4 = 5 3 1- t + 4 3 - t ，
2 2 2
5
解得： t = ；
3
②當點 P 在 B、C 之間，即3 < t < 7時，
作圖如下，過點 P 作PQ ^ AB 于 Q，連接 AP ：
則CP = PQ = t - 3，
S 1 1 1∵ △ABC = S△ABP + S△ACP ，即 AC × BC = AB × PQ + AC ×CP ，且 AC = 3, BC = 4, AB = 52 2 2
1
∴ 3 4
1 1
= 5 t - 3 + 3 t - 3 ，
2 2 2
9
解得： t = ；
2
5 9
綜上所述： t的值為 或 ．
3 2
4．如圖，等邊VABC 的邊長為 4cm ，點 M 從點 B 出發沿 BC 運動，同時，點 N 從點 A 出發沿線段CA的延
長線運動，點 M，N 的速度均為1cm /秒，點 M 到達點 C 時，兩點停止運動．作MD ^ AB于點 D，連接MN
交 AB 于點 E．設點 M，N 的運動時間為 t 秒．
(1)當△AEN 為等腰三角形時，求 t 的值；
(2)線段DE 的長度是否為定值？若是，請求出其長度；若不是，請說明理由．
4
【答案】(1) t =
3
(2)是，線段 DE 的長度為 2cm
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質：
（1）由題意，得 AN = BM = t ，CM = 4 - t，CN = 4 + t ，根據△AEN 為等腰三角形可得CN = 2CM ，進而
列方程求解即可；
（2）線段DE 的長度是定值，過點M作MF∥ AC 交 AB 于點F，證明△EFM ≌△EAN ，得到EF = EA
1
= AF ，
2
從而求出 DE = 2cm
【詳解】（1）解：由題意，得 AN = BM = t ．
Q等邊VABC 的邊長為 4，
\ C = BAC = 60°，CM = 4 - t，CN = 4 + t ．
當△AEN 為等腰三角形時，Q EAN =180° - 60° =120°，
\ AN = AE = t， ENA = 30°．
\ CMN =180° - 30° - 60° = 90°．
\CN = 2CM ．
即 2(4 - t) = 4 + t ．
解得 t 4= ．
3
（2）解：線段DE 的長度為定值．如圖，過點 M 作MF∥ AC 交 AB 于點 F．
\ ANE = FME， BFM = BAC = 60°．
Q B = 60°，
\VBFM 為等邊三角形．
\FM = BM = AN ．
QMD ^ AB ，
\BD = DF 1= BF ．
2
在△EFM 和VEAN 中， ANE = FME, FEM = AEN , FM = AN ，
\VEFM≌VEAN AAS ．
1
\EF = EA = AF ．
2
\DE = DF + EF 1= (BF AF ) 1+ = AB 1= 4 = 2．即線段DE 的長度為 2cm ．
2 2 2
5．已知VABC 是等腰三角形，且 AB = AC ，點 D 是射線BC 上的一動點，連接 AD ，以 AD 為腰在 AD 右側
作等腰VADE ，使 AD = AE ， DAE = BAC ．
(1)如圖 1，當點 D 在線段BC 上時，求證：BD = CE ；
(2)如圖 2，當點 D 在射線BC 上運動時，取 AC 中點 M，連接ME ，且 DAE = BAC = 40°．當VMEC 為等
腰三角形時， CME 的度數為______；
(3)如圖 3，當點 D 在線段BC 的延長線上， DAE = BAC = 60°時，在線段CA上截取CF ，使
CF = CD + AF ，并連接EF ．求證：EF ^ AC ．
【答案】(1)證明見解析
(2) 40°或55°或70°
(3)證明見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確作出
輔助線和進行分類討論是解題的關鍵．
（1）證明△ABD≌△ACE 即可解答；
（2）根據（1）可得 B = ACE = 70°，分類討論即可解答；
（3）延長BD點G ，使得DG = AF ，證明VABC,VADE 為等邊三角形，可得 ECG = 60°，再證明
VEFC≌VEGC SAS ，得到EF = EG, EFC = G ，最后證明VAEF≌VDEG SSS ，即可得到
AFE = EFC = 90°．
【詳解】（1）證明：Q DAE = BAC ，
\ DAE - DAC = BAC - DAC ，
即 BAD = CAE ，
Q AB = AC, AD = AE ，
\VABD≌VACE SAS ，
\BD = CE ；
（2）解：根據（1）中可得VABD≌VACE SAS ，
B ACE 180° - BAC\ = = = 70°，
2
當ME = MC 時， MCE = MEC ，
\ CME =180° - 2 MCE = 40°；
當 EM = EC 時， MCE = CME = 70°；
當CM = CE 時， CME = CEM ，
CME CEM 180° - MCE = = = 55°，
2
綜上， CME 的度數為 40°或55°或70°，
故答案為： 40°或55°或70°；
（3）證明：如圖，延長BD點G ，使得DG = AF ，
Q DAE = BAC =60°，
\VABC,VADE 為等邊三角形，
\ B = ACE = ACB = 60°，
\ ECG = 60° ，
Q CF = CD + AF ， AF = DG ，
\CF = CD + AF = CD + DG = CG，
QEC = EC ，
\VEFC≌VEGC SAS ，
\EF = EG, EFC = G，
Q AF = DG, AE = DE ，
\VAEF≌VDEG SSS ，
\ AFE = G = EFC ，
\ AFE = EFC = 90°，即EF ^ AC ．
6．如圖，在VABC BC > AB 中， AB = AC = 5， B = 35°，點 D 在線段 BC 上運動（點 D 不與點 B，C 重
合），連接 AD，作 ADE = 35°，DE 交線段 AC 于點 E．
(1)當 BDA = 125°時， DEC = ______ °， DAE = ______ °．
(2)當線段 DC 的長度為何值時，△ABD≌△DCE ？請說明理由．
(3)在點 D 的運動過程中，△ADE 的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠BDA 的度數；若不可以，
請說明理由．
【答案】(1)125，90；
(2)當DC = 5時，△ABD≌△DCE ，理由見解析；
(3)107.5°或70°，理由見解析．
【分析】本題考查的是等腰三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形外角的性質，掌握全
等三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．
（1）根據三角形內角和定理和等腰三角形的性質，得到答案；
（2）當DC = 5時，利用 DEC + EDC =145°， ADB + EDC =145°，得到 ADB = DEC ，即可求證；
（3）分DA = DE、AE = AD、EA = ED三種情況，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算．
【詳解】（1）解：∵ AB = AC ，
∴ C = B = 35° ，
∴ BAC =180° - B - C =180° - 35° - 35° =110°，
∵ ADE = 35°， BDA = 125°，
∴ BAD =180° - B - BDA =180° - 35° -125° = 20°，
∴ DAE = BAC - BAD =110° - 20° = 90°，
∵ ADE = 35°，
∴ DEC = ADE + DAC = 35° + 90° =125°．
（2）解：當DC = 5時， △ABD≌△DCE，理由如下：
∵ AB = 5, DC = 5，
∴ AB = DC ，
∵ C = 35°，
∴ DEC + EDC =180° - C =145°，
∵ ADE = 35°，
∴ ADB + EDC =180° - ADE =145°，
∴ ADB = DEC ，
在△ABD 和△DCE 中，
ì ADB = DEC

í B = C ,

AB = DC
∴VABD≌VDCE AAS ．
（3）解：當 BDA的度數為107.5°或70°時，VADE 的形狀是等腰三角形，
①當DA = DE 時， DAE = DEA = 72.5°,
\ BDA = DAE + C = 72.5° + 35° =107.5°；
②當 AD = AE 時， AED = ADE = 35°,
∴ DAE =180° - AED - ADE =110°,
此時，點D與點 B 重合，不合題意；
③當EA = ED時， EAD = ADE = 35°,
∴ BDA = EAD + C = 35° + 35° = 70°
綜上所述，當 BDA的度數為 107.5°或70°時，VADE 的形狀是等腰三角形．
【壓軸題型五 等邊三角形中的動點問題】
1．在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°，VCDE是等邊三角形．點 D在 AB 邊上，點 E 在VABC 外部，
EH ^ AB 于點 H ，過點E 作GE∥ AB，交線段 AC 的延長線于點G ， AG = 5CG ，BH = 3，則CG 的長為
（ ）
A．1 B． 2 C． 2 D． 3
【答案】B
【分析】取 AB 的中點O，連接CO、EO、EB，根據題意得出VCOE和△ BOE 全等，然后得出VCEG和VDCO
全等，設CG = a ，則 AG = 5a，OD = a ，根據題意列出一元一次方程求出 a的值得出答案．
【詳解】取 AB 的中點O，連接CO、EO、EB，
Q ACB = 90°， ABC = 30°，
\ A = 60°，OC = OA，
\VACO 為等邊三角形，
\CA = CO ，
QVCDE 是等邊三角形，
\ ACD = OCE，
\VACD≌VOCE ，
\ COE = A = 60°，
\ BOE = 60°，
∵OC = OD，DE = DE， BOE = COE = 60°
\△COE ≌△BOE ，
\EC = EB，
\ED = EB，
Q EH ^ AB ，
\ DH = BH = 3，
Q GE P AB，
\ G =180° - A =120°，
∵△ACO 為等邊三角形，
∴ AOC = 60°，
∴ G = COD =180° - 60° =120°，
∵VCDE是等邊三角形，
∴CD = CE ，
設 OCD = a ，則 GCE =180° - ACO - OCD - DCE = 60° -a ，
CDO = AOC - OCD = 60° -a ，
∴ CDO = GCE
在VCEG和VDCO中，
ì G = COD

í CDO = GCE

CD = CE
\VCEG≌VDCO，
\CG = OD，
設CG = a ，則 AG = 5a，OD = a ，
\ AC = OC = 4a，
Q OC = OB，
\4a = a + 3 + 3，
解得， a = 2，
即CG = 2 ．
故選：B．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，平行線的性質，熟練掌握是解
題的關鍵．
2．已知正方形 ABCD，點E 是邊 AD 上的動點，以 EC 為邊作等邊三角形ECF ，連接 BF ，交邊DC 于點
G ，當 BF 最小時， CGF = ．
【答案】120° /120 度
【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．以CD為邊作等邊三角形CDH ，
證明VECD≌VFCH SAS ，得到 CHF = CDE = 90°，則點F 在垂直于線段CH 的直線HF 上，當BF ^ HF
時， BF 取得最小值，據此求解即可．
【詳解】解：以CD為邊作等邊三角形CDH ，如圖，連接HF ，
∵等邊三角形ECF ，
∴ ECD = 60° - HCF = FDH ，CE = CF ，CD = CH ，
∴VECD≌VFCH SAS ，
∴ CHF = CDE = 90°，
∴點F 在垂直于線段CH 的直線HF 上，
當BF ^ HF 時， BF 取得最小值，此時BF∥CH ，
∴ CGF =180° - DCH =120°，
故答案為：120°．
3．如圖，在等邊VABC 中， AB = AC = BC = 8cm，點M , N 分別從點 A, B同時出發，沿三角形的邊運動，
當點 N 第一次返回到達點 B 時，M , N 同時停止運動．已知點M 的速度是1cm/s，點 N 的速度是 2cm/s．設
點 N 的運動時間為 ts ．
(1)當 t為何值時，M , N 兩點重合？
(2)當 t為何值時，VAMN 為等邊三角形？
(3)當點M , N 在BC 邊上運動時，是否存在時間 t，使得VAMN 是以MN 為底邊的等腰三角形，若存在，直
接寫出 t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)當 t 的值為 8 時，M , N 兩點重合
8
(2)點 N 運動 s后，VAMN 為等邊三角形
3
32
(3)存在， t =
3
【分析】（1）設點M , N 運動 ts 后，M , N 兩點重合.由題意可得 t + 8 = 2t ，解方程即可．
（2）設運動 ts 時，VAMN 為等邊三角形，根據題意，得 AM = t, BN = 2t ，結合等邊 BAC = 60°，
AB = AC = BC = 8cm，得 AN = AB - BN = 8 - 2t cm ，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，得
AN = AM 即 t = 8 - 2t ，解答即可．
（3）當CM = BN 時，可證明VACM≌VABN SAS ，繼而得到 AM = AN ,設運動 ts 時，CM = BN ，故
t -8 = 24 - 2t ，解答即可．本題考查了等邊的判定和性質，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性質，
熟練掌握三角形全等的判定和性質，等邊三角形的坡度和性質是解題的關鍵.
【詳解】（1）設點M , N 運動 ts 后，M , N 兩點重合.
由題意得 t + 8 = 2t ，
解得 t = 8 s ，
答：當 t 的值為8s 時，M , N 兩點重合.
（2）設運動 ts 時，VAMN 為等邊三角形，
根據題意，得 AM = t, BN = 2t ，
∵ BAC = 60°， AB = AC = BC = 8cm，
∴ AN = AB - BN = 8 - 2t cm ，
根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，
∴ AN = AM 即 t = 8 - 2t ，
解得 t
8
= s ．
3
（3）存在，當 t
32
= s時，點M , N 在BC 邊上運動時，VAMN 是以MN 為底邊的等腰三角形，理由如下：
3
∵VABC 等邊三角形， AB = AC = BC = 8cm，
∴ BAC = ACN = ABN = 60°，
當CM = BN 時，
ìAC = AB

∵ í ACM = ABN ，

CM = BN
∴VACM≌VABN SAS ，
∴ AM = AN ,
故VAMN 是以MN 為底邊的等腰三角形，
設運動 ts 時，CM = BN ，
故 t -8 = 24 - 2t ，
t 32解得 = s ，
3
∴當點M , N 在BC
32
邊上運動時，存在VAMN 是以MN 為底邊的等腰三角形，此時點 N 運動的時間為 s .
3
4．如圖，VABC 中， AB = BC = AC =12cm ，M 、N 分別從點A 、點 B 同時出發，按順時針方向沿三角形
的邊運動．已知點M 的運動速度為1cm/s，點 N 的運動速度為 2cm/s．當點 N 第一次到達 B 點時，M 、 N
同時停止運動．設運動時間為 t(t > 0)．
(1)當 M、N 兩點重合時，求 t 的值．
(2)當VAMN 為等邊三角形時，求 t 的值．
(3)點 M、N 運動過程中，點 M、N 能否與VABC 中的某一頂點構成等腰三角形，若能直接寫出對應的時間
t，若不能請說明理由．
【答案】(1) t =12s
(2)t 為 4 秒
(3)能，M、N 運動的時間為 4 秒或 8 秒或 16 秒
【分析】此題考查等邊三角形性質與全等三角形的判定和性質，以及通過題目所給信息，合理設置未知數
建立方程，并求出對應的解．
（1）寫出點M 與點 N 的運動距離公式，并寫出兩點重合的表達式，解出方程即可；
（2）因為VABC 為等邊三角形，則 MAN 為60°，結合VAMN 為等邊三角形的性質、列式計算，即可作答．
（3）結合等腰三角形的性質，進行分類討論，即點M 、N 運動 4 秒后，可得到等邊三角形 AMN ，即DAMN
是以MN 為底邊的等腰三角形；當點M 、 N 在 AC 邊上運動時，可以得到以MN 為底的等腰三角形；當點
M 、 N 在BC 邊上運動時，也可以得到以MN 為底的等腰三角形，進行列式計算，即可作答．
【詳解】（1）解：Q當點 N 第一次到達 B 點時，M 、 N 同時停止運動，且點 N 第一次到達 B 點需要運動
12 +12 +12 = 36 cm
\運動時間 t 36 2 =18 s ．
點M 的運動距離設為m ，
則m = t ；
設點 N 的運動距離為 n ，
則 n = 2t ．
M 、 N 兩點重合，
可表示為：m +12 = n，即 t +12 = 2t
解得： t = 12 s ；
（2）解：設經過 t秒后，VAMN 為等邊三角形
∵ MAN = 60°
∴當 AM = AN 時，VAMN 為等邊三角形
Q AM = t ， AN = AB - BN =12 - 2t
\t =12 - 2t ，
解得： t = 4
即VAMN 為等邊三角形時， t為 4 秒．
（3）解：由（2）得，點M 、 N 運動 4 秒后，可得到等邊三角形 AMN ，即VAMN 是以MN 為底邊的等腰
三角形；
當點M 、 N 在 AC 邊上運動時，可以得到以MN 為底的等腰三角形．
假設VBMN 是等腰三角形，則BN = BM ， BMN = BNM
\ BMC = ANB ，
又QAB = BC = AC ，
\VACB是等邊三角形， C = B = 60°，
在VBCM 和VABN 中，
Q C = A， BMC = ANB ，BC = AB
\VBCM≌VABN (AAS)
\CM = AN
QCM = 12 - t ， AN = 2t -12
\12 - t = 2t -12，
解得： t = 8，
即當 t為 8 秒，VBMN 為以MN 為底邊的等腰三角形；
同理可得，當點M 、 N 在BC 邊上運動時，也可以得到以MN 為底的等腰三角形，
此時 AN = AM ，△ABN≌△ACM ，可得：CM = BN
設當點M 、 N 在BC 邊上運動時，M 、 N 運動的時間 y 秒時，VAMN 是等腰三角形，
QCM = y -12， NB = 36- 2y，
由題意得， y -12 = 36- 2y，
解得： y =16
綜上所述，點M 、 N 能否與DABC中的某一頂點構成等腰三角形，M 、 N 運動的時間為 4 秒或 8 秒或 16
秒．
5．如圖 1，以VABC 的兩邊 AB ，BC 為邊向外作等邊三角形 ABD，BCE ，連接CD， AE ．
(1)求證： AE = CD ；
(2)如圖 2，CD與 AE 交于點M ，連接 BM ，探究 AMB 的大小；
(3)如圖 3，若 AB = c， AC = b， BC = a，CD = d ，射線 BM 上是否存在一點 P ，使△ACP也是等邊三角形，
若存在，試探究BP滿足的條件；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2) AMB = 60°
(3)存在，BP = d
【分析】本題考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質與判定，三角形的外角的性質；
（1）根據等邊三角形的性質，證明VDBC≌VABE ，即可得證；
（2）根據VDBC≌VABE 得出 BDC = BAE ，進而可得 DMA = ABD = 60° ，在MD 上截取MN = MA，
則VANM 是等邊三角形，證明VADB≌VABM ，即可得出結論；
（3）假設△ACP是等邊三角形，證明VACE≌VPCB 得出PC = AE ，根據 AE = CD ，得出BP = CD = d ，即
可求解．
【詳解】（1）證明：∵VABC,VBCE 是等邊三角形，
∴ ABD = CBE = 60°, BD = AB, BC = BE ，
∴ ABD + ABC = CBE + ABC ，
即 DBC = ABE ，
∴VDBC≌VABE ，
∴ AE = CD ，
（2）解： AMB = 60°
如圖所示，設CD, AB 交于點F ，
∵VDBC≌VABE
∴ BDC = BAE
∵ AFD = BDC + ABD = BAE + DMA
∴ DMA = ABD = 60°
在MD 上截取MN = MA，則VANM 是等邊三角形，
∴ AN = AM ， ANM = 60°，則 ADN =120°，
∵ AD = AB, DAB = NAM = 60°
∴ DAN + NAB = BAM + NAB
∴ DAN = BAM
∴VADB≌VABM
∴ AMB = AND =120°
（3）解：射線 BM 上存在一點 P ，使△ACP也是等邊三角形，
∵△ACP是等邊三角形，
∴ PC = AC ， ACP = 60°
∵VBCE 是等邊三角形，
∴CB = CE ， BCE = 60°，
∴ ACP = BCE ，
∴ ACP + ACB = BCE + ACB 即 PCB = ACE ，
∴VACE≌VPCB ，
∴PC = AE ，
又∵ AE = CD ，
∴BP = CD = d ．
6．【初步感知】
(1)如圖 1，已知DABC為等邊三角形，點 D 為邊BC 上一動點（點 D 不與點 B，點 C 重合）．以 AD 為邊向
右側作等邊DADE，連接CE．求證：DABD≌DACE ；
【類比探究】
(2)如圖 2，若點 D 在邊BC 的延長線上，隨著動點 D 的運動位置不同，猜想并證明：
① AB 與CE的位置關系為： ；
②線段 EC 、 AC 、CD之間的數量關系為： ；
【拓展應用】
(3)如圖 3，在等邊DABC中，AB = 3，點 P 是邊 AC 上一定點且 AP =1，若點 D 為射線BC 上動點，以DP為
邊向右側作等邊DDPE ，連接CE、BE ．請問：PE + BE 是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒
有，請說明理由．
【答案】(1)見解析
(2) 平行 EC = AC + CD
(3)有最小值，5
【分析】（1）由DABC和DADE是等邊三角形，推出 AB = AC ， AD = AE ， BAC = DAE = 60°，又因為
BAC = DAE ，則 BAC - DAC = DAE - DAC ，即 BAD = CAE ，從而利用“SAS ”證明
DABD≌DACE ；
（2）①由（1）得DABD≌DACE（SAS），得出 B = ACE = 60°，CE＝BD，∠BAC =∠ACE ，則
AB∥CE ；
②因為CE = BD， AC = BC ，所以CE = BD = BC + CD = AC + CD；
（3）在BC 上取一點M ，使得DM = PC ，連接EM ，可證DEPC ≌DEDM（SAS），EC = EM ，求得 CEM = 60°，
得出 DCEM 是等邊三角形，則 ECD＝60°，即點 E 在 ACD角平分線上運動，在射線CD上截取CP = CP，
當點 E 與點 C 重合時，BE + PE = BE + P E BP ＝5，進而解答此題．
【詳解】（1）證明：∵DABC和DADE是等邊三角形，
∴ AB = AC ， AD = AE ，
BAC = DAE = 60°，
∵ BAC = DAE ，
∴ BAC - DAC = DAE - DAC
即 BAD = CAE
在DABD 和DACE中，
ìAB = AC

í BAD = CAE ，

AD = AE
∴DABD≌DACE（SAS）；
（2）平行，EC = AC + CD ，理由如下：
由（1）得DABD≌DACE（SAS），
∴ B = ACE = 60°，CE＝BD，
∴∠BAC =∠ACE ，
∴ AB∥CE ，
∵CE = BD， AC = BC ，
∴CE = BD = BC + CD = AC + CD；
（3）有最小值，理由如下：
如圖，在射線BC 上取一點M ，使得DM = PC ，連接EM ，
∵DABC和DDPE 是等邊三角形，
∴PE = ED， DEP = ACB = 60°，
∴ ACD = 180° - ACB = 180° - 60° = 120°，
∴ ACD + DEP =120° + 60° =180°，
由三角形內角和為180°，可知： PCE + CEP + EPC =180°， ECD + CDE + CED =180°，
∴ PCE + CEP + EPC + ECD + CDE + CED = 360°，
又∵ PCE + ECD + CEP + CED = ACD + DEP =180°，
∴ EPC + CDE = 360° -180° =180°，
∵ EDM + CDE =180°，
∴ EPC = EDM ，
在DEPC 和DEDM 中，
ìPE = ED

í EPC = EDM ，

PC = DM
DEPC ≌DEDM（SAS），
∴EC = EM ， PEC = DEM ，
∵ PEC + CED＝ DEP = 60°，
∴ CEM = DEM + CED = 60°，
∴DCEM 是等邊三角形，
∴ ECD = 60°， ACE =180° - ECD - ACB = 180° - 60° - 60° = 60°，
即點 E 在 ACD的角平分線上運動，
在射線CD上截取CP = CP，連接EP ，
在DCEP和DCEP 中，
ìPC = P C

í PCE = P CE = 60° ，

CE = CE
DCEP≌DCEP（ SAS），
∴PE = P E ，
則BE + PE = BE + P E ，
由三角形三邊關系可知，BE + P E BP ，
即當點 E 與點 C 重合，BE + P E = BP 時，PE + BE 有最小值BP ，
∵ BP = BE + CP = BC + CP = 3 + 2 = 5，
∴BE + PE = BE + P E BP = 5，
∴BE + PE 最小值為 5．
【點睛】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，正確添加輔助線、掌握相關圖形的性質定理是解題的
關鍵．
【壓軸題型六 直角三角形壓軸問題（30 度角、斜邊中線）】
1．如圖，在VABC 中， AC = BC ， ACB = 90°， AE 平分 BAC 交BC 于點E ，BD ^ AE 交 AE 延長線于
1
點D，DM ^ AC 交 AC 的延長線于點M ，連接CD．則下列結論：① ADC=45°；②BD = AE ；③
2
BC + CE = AB ；④ AC + AB = 2AM ；⑤BD = CD其中不正確的結論有（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【分析】作 ACN = BCD ，EF ^ AB，DH ^ AB，垂足為F 、 H ，證明VACN≌VBCD ASA ，由全等
三角形的性質得出CN = CD， AN = BD，證明VDCN 為等腰直角三角形，可判斷①正確；求出 AN = CN ，
可得CN 為RtVACE 的中線，進而可判斷②；證明 AC = AF ， EC = BF ，進而可判斷③；證明
VAMD≌VAHD AAS ，得出 AM = AH ，DM = DH ，求出DB = DC ，證明VCMD≌VBHD HL ，可判斷④
⑤．
【詳解】解：作 ACN = BCD ，EF ^ AB，DH ^ AB，垂足為F 、 H ，
根據等腰直角三角形的性質有： ABC = BAC = 45°，
∵ ACN = BCD ，
∴ ACN + NCE = BCD + NCE ，即 DCN = ECA = 90°，
∵ AE 平分 BAC ，
∴ CAE = BAD
1
= BAC = 22.5°，
2
Q ACE = ADB = 90°， AEC = BED ，
\ CAN = CBD ，
又Q ACN = BCD ， AC = BC ，
\ VACN≌VBCD ASA ，
\ CN = CD， AN = BD，
又Q DCN = ECA = 90°，
\ VDCN 為等腰直角三角形，
\ ADC=45°，①正確；
Q CND = 45° ， CAE = 22.5°，
\ ACN = 22.5°，
\ AN = CN ，
\ CN 為RtVACE 的中線，
\ BD = AN 1= AE ，②正確；
2
Q AE 平分 BAC ，EF ^ AB，EC ^ AC ，
\ EC = EF ， AC = AF ，
∵EF ^ AB， CBA = 45°，
∴△BEF 為等腰直角三角形，
\ BF = EF ，
\ EC = BF ，
\ AB = AF + FB = AC + CE = BC + CE ，③正確；
Q CAE = BAE ， AMD = AHD ， AD = AD，
\ VAMD≌VAHD AAS ，
\ AM = AH ，DM = DH ，
Q BD = AN ， AN = CN = CD，
\ DB = DC ，
Q M = DHB = 90°，
\在RtVCMD 和RtVBHD 中，
\ VCMD≌VBHD HL ，
\ CM = BH ，BD = CD，⑤正確；
\ AC + AB = AC + BH + AH = AC + CM + AM = 2AM ，④正確；
即不正確的為 0 個，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線的性質，
全等三角形的性質和判定，角平分線的性質，等腰直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，能綜合運用
這些性質進行推理是解此題的關鍵．
2．如圖，點 A 是線段 BC 的垂直平分線上任意一點，連接 AB ， AC ，作 AB 的垂直平分線 EF 分別交 AB 、
1 25
BC 于點 G、H，若 S△BGH = S△ABC ，HC = ，則GH 的長為 ．6 6
25
【答案】
24
25 25
【分析】如圖，連接 AH ，證明BH : CH =1: 2，而HC = ，可得BH = ，取 H 關于 AF 的對稱點K ，連
6 12
接 AK ，則 AH = AK ，證明VAHK 是等邊三角形，可得 B = BAH = 30°，而 BGH = 90°，可得
GH 1= BH 25= .
2 24
【詳解】解：如圖，連接 AH ，
∵GH 是 AB 的垂直平分線，
S 1∴ AG = BG ，BH = AH ，而 △BGH = S6 △ABC
，
S 1∴ △BGH = SVAGH = S ，6 △ABC
S 1∴ VAHB = S2 VACH
，
25
∴BH : CH =1: 2，而HC = ，
6
BH 25∴ = ，
12
取 H 關于 AF 的對稱點K ，連接 AK ，則 AH = AK ，
∵ AB = AC ， AF 是BC 的垂直平分線，
1
∴由軸對稱的性質可得： SVABH = SVACK = SVABC ，3
∴ SVAHK = SVABH = SVACK ，
∴BH = HK = CK ，
∴ AH = HK = AK ，
∴VAHK 是等邊三角形，
∴ AHK = 60° ，
∵ AH = BH ，
∴ B = BAH = 30°，而 BGH = 90°，
1 25
∴GH = BH = ，
2 24
25
故答案為：
24
【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，三
角形的外角的性質，含 30 度角的直角三角形的性質等知識，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.
3．如圖，VABC 為等邊三角形， AE = CD ， AD 、 BE 相交于點 P ， BQ ^ AD 于Q．
(1)求證：VADC≌VBEA；
(2)若 PQ = 4，PE =1，求 AD 的長．
【答案】(1)見詳解
(2) AD = 9
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、含 30 度角的直角三角形．
（1）根據等邊三角形的性質，通過全等三角形的判定定理 SAS 證得結論；
（2）利用（1）中的全等三角形的對應角相等和三角形外角的性質求得 BPQ = 60°；可得 PBQ = 30° ，所
以由“30 度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到 2PQ = BP = 8，則易求BE = BP + PE = 9．
【詳解】（1）證明：QVABC 為等邊三角形，
\ AB = CA， BAE = C = 60°，
在△ADC 與△BEA中，
ìCA = AB

í C = BAE，

CD = AE
\VADC≌VBEA SAS ；
（2）解：由（1）知，VAEB≌VCDA，則 ABE = CAD ，
\ BAD + ABE = BAD + CAD = BAC = 60°，
\ BPQ = BAD + ABE = 60°；
QBQ ^ AD ，
\ PBQ=30°，
1
\ PQ = BP = 4
2 ，
\BP = 8，
又∵PE =1，
\BE = BP + PE = 9，即 AD = 9 ．
4．在VABC 中， BO ^ AC 于點O， AO = BO = 3，OC =1．
(1)如圖①，過點 A 作 AH ^ BC 于點 H，交BO于點 P，連接OH ．
①求線段OP 的長度；
②求證： OHP = 45°；
(2)如圖②，若 D 為 AB 的中點，點 M 為線段BO延長線上一動點，連接MD ，過點 D 作DN ^ DM 交線段CA
的延長線于點 N，則 S△ BDM - S△ ADN 的值是否發生改變？若改變，求該式子的值的變化范圍；若不改變，求該
式子的值．
【答案】(1)①1；②見解析
9
(2) S△ BDM - S△ ADN 的值不發生改變，等于 4
【分析】（1）①證 VOAP≌OBC(ASA)，即可得出OP = OC =1；
②過O分別作OM ^ CB 于M 點，作ON ^ HA于 N 點，證VCOM≌VPON (AAS) ，得出OM = ON ．得出HO
平分 CHA，即可得出結論；
（2）連接OD ，由等腰直角三角形的性質得出OD ^ AB， BOD = AOD = 45°，OD = DA = BD ，則
OAD = 45°，證出 DAN = MOD ．證 VODM≌VADN (ASA)，得 SVODM = SVADN ，進而得出答案．
【詳解】（1）解：①QBO ^ AC ， AH ^ BC ，
\ AOP = BOC = AHC = 90°，
\ OAP + C = OBC + C = 90°，
\ OAP = OBC ，
ì AOP = BOC
在VOAP

和△OBC 中， íAO = BO ，

OAP = OBC
\VOAP≌VOBC(ASA)，
\OP = OC =1；
②過O分別作OM ^ CB 于M 點，作ON ^ HA于 N 點，如圖 1 所示：
在四邊形OMHN 中， MON = 360° - 3 90° = 90°，
\ COM = PON = 90° - MOP．
ì COM = PON
PON 在△COM 與△ 中， í OMC = ONP = 90°，

OC = OP
\VCOM≌VPON (AAS) ，
\OM = ON ．
QOM ^ CB ，ON ^ HA，
\HO平分 CHA，
1
\ OHP = AHC = 45°；
2
9
（2）解： S△ BDM - S△ ADN 的值不發生改變，等于 ．理由如下：4
連接OD ，如圖 2 所示：
Q AOB = 90°，OA = OB，D為 AB 的中點，
\OD ^ AB ， BOD = AOD = 45°，OD = DA = BD
\ OAD = 45°， MOD = 90° + 45° = 135° ，
\ DAN =135° = DOM ．
QMD ^ ND ，
即 MDN = 90°，
\ MDO = NDA = 90° - MDA．
ì MDO = NDA
在△ODM

和△ADN 中， íOD = AD ，

DOM = DAN
\VODM ≌VADN (ASA)，
\SVODM = SVADN ，
\S△BDM - S△ADN = S△BDM - S
1 1 1 1 1 9
△ODM = S△BOD = S△AOB = AO × BO = 3 3 = ．2 2 2 2 2 4
【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、角平分線的
判定定理、直角三角形的性質、余角的性質以及三角形面積等知識；本題綜合性強，證明三角形全等是解
題的關鍵．
5．已知 AD 為等邊VABC 的角平分線，動點E 在直線 AD 上（不與點A 重合），連接 BE ．以 BE 為一邊在 BE
的下方作等邊△BEF ，連接CF ．
(1)如圖 1，若點E 在線段 AD 上，且DE = BD，則∠CBF = ______度．
(2)如圖 2，若點E 在 AD 的反向延長線上，且直線 AE ，CF 交于點M ．
①求 AMC 的度數；
②若VABC 的邊長為 4，P ，Q為直線CF 上的兩個動點，且 PQ = 5．連接BP，BQ，判斷VBPQ的面積是
否為定值，若是，請直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．
【答案】(1)15；
(2)①∠AMC = 60°；②是，5
【分析】此題考查手拉手全等模型，和等邊三角形的性質，解題關鍵是通過全等證明角度相等，推出特殊
角度的三角形，將面積用公式用底和高表示出來，直接求高然后代值判斷即可．
（1）已知等邊三角形，推論出等腰直角三角形，直接計算即可．
（2）①通過手拉手模型證明全等推出等角即可；②已知底邊求面積，推出高的值即可，聯系第①問中的角
度，直接推理出30°的直角三角形，代值計算即可．
【詳解】（1）解：Q AD 為等邊VABC 的角平分線
\ AD ^ BC
Q DE = BD ，
\ EBD = 45°，
QVBEF 是等邊三角形，
\ EBF = 60°，
\ CBF = 60° - 45° =15°
（2）解：①QVABC 和△BEF 均為等邊三角形，
\ AB = CB，EB = FB， EBF = ABC = 60°，
\ EBA = FBC ．
在VABE 和VCBF 中，
ì AB = CB

í ABE = CBF ，

EB = FB
\VABE≌VCBF SAS ，
\ AEB = CFB ，
又Q AEB + EBF = CFB + AMC
\ AMC = EBF = 60°
②過 B 作BN ^ CM 于點 N ，
由①可知，∠AMC = 60°，
\ DCM = 30°，
QBC = 4，
1
在Rt△BNC 中，BN = BC = 2 ，
2
QPQ = 5，
1
\SVBPQ = 2 5 = 5，2
\VBPQ的面積為定值，5
6．綜合與實踐：
(1)【問題情境】在綜合與實踐課上，何老師對各學習小組出示了一個問題：如圖 1， ACB = 90o，
AC = BC ， AD ^ CD ，BE ^ CD，垂足分別為點D，E ．請證明： AD = CE ．
(2)【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發，將題目改編如下：如圖 2， CDF = 90o ，CD = FD，點A 是DF
上一動點，連接 AC ，作 ACB = 90o且BC = AC ，連接 BF 交CD于點G ．若DG = 1，CG = 3，請證明：點
A 為DF 的中點．
(3)【拓展提升】“創新”小組在“希望”小組的基礎上繼續提出問題：如圖 3， CDF = 90o ，CD = FD，點A
是射線DF 上一動點，連接 AC ，作 ACB = 90o且BC = AC ，連接 BF 交射線CD于點G ．若FD = 4AF ，請
CG
直接寫出 的值．
DG
【答案】(1)證明見詳解
(2)證明見詳解
(3)9
【分析】本題考查了全等三角形的綜合問題，有關中點的相關計算，熟練掌握全等三角形的判定及性質，
添加適當的輔助線是解題的關鍵．
（1）利用AAS證得VACD≌VCBE ，即可求證結論；
（2）過 B 作BH ^ CD 于 H ，由（1）得△ACD≌△CBH ，進而可得 AD = CH ,CD = BH ，再利用AAS可證
VDFG≌VHBG，則可證DG = GH ，根據數量關系可得 AD = 2， DF = 4，進而可求證結論；
（3）過點 B 作BH ^ CD 于 H ，由（2）得 AD = CH ，CD = BH = FD，HG = DG ，再根據數量關系即可求
解；
【詳解】（1）證明：Q ACB = 90°，
\ ACD + BCD = 90°，
QBE ^ CD，
\ B + BCD = 90°，
\ B = ACD，
在VACD和△CBE 中，
ì ACD = B

í ADC = CEB = 90°，

AC = BC
\VACD≌VCBE AAS ，
\ AD = CE ；
（2）證明：過 B 作BH ^ CD 于 H ，如圖：
由（1）得：△ACD≌△CBH ，
\ AD = CH ,CD = BH ，
QDF = CD ，
\ DF = BH ，
在VDFG 和VHBG 中，
ì DGF = BGH

í ADH = DHB = 90°，

AD = BH
\VDFG≌VHBG AAS ，
QDG = 1，
\DG = GH =1，
QCG = 3，
\CH = CG = GH = 3 -1 = 2，CD = CH + DG = 4，
\ AD = 2 ， DF = 4，
\ A是DF 的中點；
（3）解：CG = 9DG ，理由如下：
過點 B 作BH ^ CD 于 H ，如圖：
由（2）得： AD = CH ，CD = BH = FD，HG = DG ，
QFD = 4AF ，
\ AD = CH = 5AF ，CD = DF = 4AF ，
\DH = CH - CD = AF ，
DG 1 DH 1\ = = AF ，
2 2
\CG = CD + DG 9= AF ，
2
\CG = 9DG ．
CG
即 = 9．
DG
【壓軸題型七 直角三角形中的動點問題】
1．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°，AB = 8cm， B = 30°，若點 P 從點 B 出發以 2cm/s的速度向點A 運動，
點Q從點A 出發以1cm/s的速度向點C 運動，設 P 、Q分別從點 B 、A 同時出發，運動的時間為s時，△APQ
是直角三角形（ ）
A． 2或 2.3 B．3或 2.3 C． 2或3.2 D．3或3.2
【答案】C
【分析】本題考查了含30度角的直角三角形，分兩種情況討論是解題的關鍵．先利用含30度角的直角三角
形性質可得 A = 60°，AC = 4cm，然后設運動時間為 t秒，根據題意可得：BP = 2t cm ，AQ = t cm ，從
而可得 AP = 8 - 2t cm ，最后分兩種情況：當 AQP = 90°時；當 APQ = 90°時；分別進行計算即可解答．
【詳解】解：Q C = 90° ， B = 30°， AB = 8cm，
1
\ A = 90° - B = 60°， AC = AB = 4 cm ，
2
設運動時間為 t秒，
由題意得：BP = 2t cm ， AQ = t cm ，
\ AP = AB - BP = 8 - 2t cm，
分兩種情況：
當 AQP = 90°時，如圖：
\ APQ = 90° - A = 30°，
\ AP = 2AQ ，
\8 - 2t = 2t ，
解得： t = 2；
當 APQ = 90°時，如圖：
\ AQP = 90° - A = 30°，
\ AQ = 2AP ，
\t = 2 8 - 2t
解得： t = 3.2；
綜上所述：運動的時間為 2或3.2s時，△APQ 是直角三角形，
故選：C．
19．如圖，在VABC 中， ABC = 60°, AB = 6，D 是邊 AB 上的動點，過點 D 作DE∥BC 交 AC 于點 E，將
VADE 沿DE 折疊，點 A 的對應點為點 F，當VBDF 是直角三角形時， AD 的長為 ．
【答案】4 或 2/2 或 4
【分析】當VBDF 為直角三角形時，分兩種情況 BFD = 90°和 DBF = 90°，然后根據 30 度角的直角三角
形的性質結合BD + AD = 6求解即可．本題考查了折疊的性質，平行線的性質，含 30 度角的直角三角形的
性質，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．
【詳解】解：∵DE∥BC ， ABC = 60°，
∴ ADE = ABC = 60°．
∵將VADE 沿DE 翻折，點 A 的對應點為 F，
∴ EDF = ADE = 60°， AD = AF ，
∴ BDF = 60°，
∴當VBDF 為直角三角形時，分兩種情況：
①當 BFD = 90°時，
∴ DBF = 30°，
∴BD = 2DF = 2AD ．
∵BD + AD = 6，
∴ 2AD + AD = 6，
∴ AD = 2．
②當 DBF = 90°時，如圖，
則： DFB = 30°，
1
∴BD = DF
1
= AD，
2 2
∴ AD + BD = AD
1
+ AD = AB = 6 ，
2
∴ AD = 4；
綜上： AD = 4或 2；
故答案為：4 或 2．
3．如圖，VABC 是邊長為 6cm 的等邊三角形，動點 P、Q 同時從 A、B 兩點出發，分別沿 AB、BC 方向勻
速移動．
(1)當點 P 的運動速度是1cm / s ，點 Q 的運動速度是2cm / s，當 Q 到達點 C 時，P、Q 兩點都停止運動，設
運動時間為 t（s），當 t = 2時，判斷VBPQ的形狀，并說明理由；
(2)當它們的速度都是1cm / s ，當點 P 到達點 B 時，P、Q 兩點停止運動，設點 P 的運動時間為 t（s），則當 t
為何值時，VPBQ是直角三角形？
【答案】(1)VBPQ是等邊三角形，理由見解析
(2)當點 P 的運動時間為 2s 或 4s 時，VBQP是直角三角形
【分析】（1）分別求出BP、BQ的長可知BP = BQ ，再由等邊三角形的性質得到 B=60°，即可證明VBPQ
是等邊三角形；
（2）分當 PQB = 90° 時和當 BPQ = 90°時兩種情況利用含 30 度角的直角三角形的性質求解即可，
本題主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質和判定，幾何動點問題，熟練掌握直角三角形含 30
度角的性質是關鍵．
【詳解】（1）解：VBPQ是等邊三角形，理由如下；
由題意得，當 t = 2時， AP = 2cm，BQ = 4cm，
∴BP = AB - AP = 4cm ，
∴BP = BQ ，
∵VABC 是等邊三角形，
∴ B=60°，
∴VBPQ是等邊三角形；
（2）解；∵運動時間為 ts ，
∴ AP = tcm，BQ = tcm ，
∴BP = AB - AP = 6 - t cm ，
如圖 1 所示，當 PQB = 90° 時，
∵ B=60°，
∴∠BPQ = 90° -∠B = 30°，
∴BP = 2BQ ，
∴6 - t = 2t ，
解得 t = 2；
如圖 2 所示，當 BPQ = 90°時，
同理可得 BQP = 30°，
∴BQ = 2BP ，
∴ 2 6 - t = t ，
解得 t = 4；
綜上所述，當點 P 的運動時間為 2s 或 4s 時，VBQP是直角三角形．
4．如圖1，點P、Q分別是邊長為 4cm 的等邊VABC 邊 AB、BC 上的動點，點 P 從頂點A ，點Q從頂點 B 同
時出發，且它們的速度都為1cm/s．
(1)連接 AQ、CP交于點M ，則在P、Q運動的過程中， CMQ 變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則
求出它的度數；
(2)試求何時VPBQ是直角三角形？
(3)如圖 2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線 AB、BC 上運動，直線 AQ、CP交點為M ，則 CMQ 變
化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數．
【答案】(1) 60°
4 8
(2)當 t為 s 或 s時；
3 3
(3)不變， CMQ =120°．
【分析】（1）根據VABC 是等邊三角形得 AB = AC ， B = CAP = 60°，由題意得 AP = BQ ，從而證明
△ABQ≌△CAP SAS ，再用全等三角形的性質定理及三角形的角間關系、三角形的外角定理，可求得
CMQ 的度數；
（ 2）設時間為 t，則 AP = BQ = t ，PB = 4 - t ，分別就①當 PQB = 90° 時；②當 BPQ = 90°時，利用直
角三角形的性質定理求得 t的值；
（3）首先利用邊角邊定理證得VPBC≌VQCA，再利用全等三角形的性質定理得到 BPC = MQC ，再運
用三角形角間的關系求得 CMQ 的度數；
本題考查了等邊三角形的性質，30°所對直角邊是斜邊的一半，全等三角形的判定和性質，熟練掌握知識點
的應用及學會用分類討論的思想是解題的關鍵．
【詳解】（1） CMQ = 60°不變，理由：
∵VABC 是等邊三角形，
∴ AB = AC ， B = CAP = 60°，
由題意得： AP = BQ ，
在VABQ 和VCAP 中，
ìAB = AC

í B = CAP

AP = BQ
∴△ABQ≌△CAP SAS ，
∴ BAQ = ACP，
∴ CMQ = ACP + CAM = BAQ + CAM = BAC = 60°；
（2）設時間為 t，則 AP = BQ = t ，PB = 4 - t ，
①當 PQB = 90° 時，
∵ B=60°，
∴ BPQ = 30°，
∴PB = 2BQ ，得4 ― = 2
4
，解得： t = ；
3
②當 BPQ = 90°時，
∵ B=60°，
∴ BQP = 30°，
∴BQ = 2BP ，得 t = 2 4 - t 8，解得： t = ,
3
4 8
當第 或 秒或第一秒時，VPBQ為直角三角形；
3 3
（3） CMQ =120°不變，理由：
∵VABC 是等邊三角形，
∴BC = AC ， ABC = ACB = 60°，
∴ PBC = ACQ =120°，
由題意得BP = CQ ，
在△PBC 和VQCA中，
ìBC = AC

í PBC = ACQ ，

BP = CQ
∴△PBC≌△QCA SAS ，
∴ BPC = MQC ，又 PCB = MCQ ，
∴ CMQ = PBC =180° - 60° =120°．
5．如圖 1，VABC 是邊長為 5 厘米的等邊三角形，點 P、Q 分別從頂點 A、B 同時出發，沿線段 AB 、BC
運動，且它們的速度都為 1 厘米/秒，當點 P 到達點 B 時，P、Q 兩點停止運動．設點 P 的運動時間為 t(s)．
(1)當運動時間為 t 秒時，BQ的長為______厘米，BP的長為______厘米；（用含 t 的式子表示）
(2)當VBPQ是直角三角形時，求 t 的值；
(3)如圖 2，連接 AQ 、CP，相交于點 M，則點 P、Q 在運動的過程中， CMQ 會變化嗎？若變化，則說明
理由；若不變，請求出它的度數．
【答案】(1) t， 5 - t ；
5 10
(2)t 的值為 或 ；
3 3
(3) CMQ 不會變化， CMQ = 60°
【分析】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的特征，
三角形內角和定理及外角的性質，利用數形結合和分類討論的思想解決問題是關鍵．
（1）由等邊三角形的性質可得 AB = BC = 5厘米，設點 P 的運動時間為 t(s)，則 AP = t 厘米， BQ = t 厘米，
再表示出BP的長度即可；
（2）由題意可知， AP = t 厘米，BQ = t 厘米，BP = 5 - t 厘米，當VBPQ是直角三角形時，分兩種情況討
論： BQP = 90°和 BPQ = 90°，根據 30 度角所對的直角邊等于斜邊一半列方程，求出 t 的值即可；
（3）根據等邊三角形的性質，證明VABQ≌VCAP SAS ，得到 BAQ = ACP，推出 ACP + CAQ = 60°，
再根據三角形外角的性質，即可得出 CMQ 的度數．
【詳解】（1）解：QVABC 是邊長為 5 厘米的等邊三角形，
\ AB = BC = 5厘米，
設點 P 的運動時間為 t(s)，
由題意可知， AP = t 厘米，BQ = t 厘米，
\BP = AB - AP = 5 - t 厘米，
故答案為： t， 5 - t ；
（2）解：QVABC 是邊長為 5 厘米的等邊三角形，
\ AB = BC = 5厘米， B=60°，
設點 P 的運動時間為 t(s)，
則 AP = t 厘米，BQ = t 厘米，BP = 5 - t 厘米，
當VBPQ是直角三角形時，
若 BQP = 90°，則 BPQ = 30°，
\BP = 2BQ ，
\5 - t = 2t ，
解得： t
5
= ；
3
若 BPQ = 90°，則 BQP = 30°，
\BQ = 2BP ，
\t = 2 5 - t ，
t 10解得： = ，
3
5 10
綜上可知，當VBPQ是直角三角形時，t 的值為 或 ；
3 3
（3）解： CMQ 不會變化，理由如下：
QVABC 是等邊三角形，
\ AB = AC ， B = BAC = 60°，
Q點 P、Q 分別從頂點 A、B 以相同速度同時出發，沿線段 AB 、BC 運動，
\ AP = BQ，
在VABQ 和VCAP 中，
ìAB = AC

í B = CAP ，

BQ = AP
\VABQ≌VCAP SAS ，
\ BAQ = ACP ，
Q BAC = BAQ + CAQ = 60°，
\ ACP + CAQ = 60°，
Q CMQ是△ACM 的外角，
\ CMQ = ACM + CAM = 60°，
即 CMQ 不會變化，度數為60°．
6．如圖：等邊三角形 ABC 中，D、E 分別是BC 、 AC 邊上的點，BD = CE ， AD 與 BE 相交于點 P ，
AP = 6，Q是射線PE上的動點．
(1)求證：VABD≌VBCE ；
(2)求 APE的度數；
(3)若△APQ 為直角三角形，求 PQ的值．
【答案】(1)證明見解析；
(2) 60°；
(3)3或12．
【分析】（1）由等邊三角形可得 AB = BC ， ABD = C = 60°，即可由SAS證明VABD≌VBCE ；
（ 2）由全等三角形的性質可得 BAD = CBE ，再利用三角形外角性質即可求解；
（3）分 AQP = 90°和 PAQ = 90°兩種情況，利用直角三角形的性質即可求解；
本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的外角性質，直角三角形的性質，運用
分類討論思想解答是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵VABC 為等邊三角形，
∴ AB = BC ， ABD = C = 60°，
∵BD = CE ，
∴VABD≌VBCE SAS ，
（2）解：∵VABD≌VBCE ，
∴ BAD = CBE ，
∴ APE = ABP + BAD = ABP + CBE = ABC = 60°；
（3）解：如圖，
①當 AQP = 90°時，
∵ APE = 60°，
∴ PAQ = 90°-60° = 30°，
∵ AP = 6，
PQ 1 AP 1∴ = = 6 = 3；
2 2
②當 PAQ = 90°時，
∵ APE = 60°，
∴ AQP = 90° - 60° = 30°，
∴PQ = 2AP = 2 6 =12；
綜上， PQ = 3或12．
【壓軸題型八 直角三角形全等的判定壓軸問題】
AP
1．如圖，VABC 的角平分線 AF , BE 相交于點 P，若 AB = AC = 13, BC = 10 ，則 的值為（ ）
PF
13 12 5
A． B． C． D．2
5 5 2
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理．根據 AB = AC 第 10 講 特殊三角形 72 道壓軸題型專項訓練（12 大題型）
【題型目錄】
壓軸題型一 圖形的軸對稱、折疊等壓軸問題
壓軸題型二 等腰三角形的性質與判定壓軸問題
壓軸題型三 等邊三角形的性質與判定壓軸問題
壓軸題型四 等腰三角形中的動點問題
壓軸題型五 等邊三角形中的動點問題
壓軸題型六 直角三角形壓軸問題（30 度角、斜邊中線）
壓軸題型七 直角三角形中的動點問題
壓軸題型八 直角三角形全等的判定壓軸問題
壓軸題型九 用勾股定理解三角形
壓軸題型十 勾股定理與折疊問題
壓軸題型十一 勾股定理的應用
壓軸題型十二 勾股定理中的最短路徑問題
【壓軸題型一 圖形的軸對稱、折疊等壓軸問題】
1．在三角形紙片 ABC 中， A = 90°， C = 22°，點 D 為 AC 邊上靠近點 C 處一定點，點 E 為BC 邊上一動點，
沿DE 折疊三角形紙片，點 C 落在點C 處．有以下四個結論：
①如圖 1，當點C 落在 BC 邊上時， ADC = 44°；
②如圖 2，當點C 落在△ABC 內部時， ADC + BEC = 44°；
③如圖 3，當點C 落在△ABC 上方時， BEC - ADC = 44°；
④當C E∥AB時， CDE = 34°或 CDE =124°，其中正確結論的個數是（ ）
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
2．如圖，在VABC 中，BD平分 ABC 交 AC 于點D，點M ，N 分別是線段BD、BC 上一動點，AB > BD
且 S△ABC =10， AB = 5，則CM + MN 的最小值為 ．
3．綜合與實踐課上，同學們動手折疊一張正方形紙片 ABCD，如圖 1，點E 在邊 AD 上，點F ，G 分別在
邊 AB ，CD上，分別沿EF ，EG 把 A， D向內折疊并壓平，點A ，D分別落在點 A 和點 D 處．
小明同學的操作如圖 2，點 D 在線段 EA 上；
小紅同學的操作如圖 3，點 A 在EG 上，點 D 在EF 上．
(1)在圖 1 中，若 FEG = 110°，求 A ED 的度數；
(2)直接寫出圖 2 和圖 3 中 FEG 的度數；
(3)若折疊后 A ED = n°(n 0)， 求 FEG 的度數(用含 n 的代數式表示)．
4．如圖，將長方形紙片 ABCD沿EF 折疊后，點C 、D分別落在點C 、D 的位置，C D 交BC 于點G ，再
將△C FG沿 FG 折疊，點C 落在C 的位置（C 在折痕EF 的左側）．
(1)如果 FED = 65°，求 EFC 的度數；
(2)如果 AED = 40°，則 EFC = ________ ° ；
(3)探究 EFC 與 AED 的數量關系，并說明理由．
5．東東發現折紙中蘊含著豐富的數學問題，他將長方形紙片按如圖 1 所示折疊，點 F 在邊BC 上，點 E，G
在其它三邊上，FE和FG 為兩條折痕，且折疊后重疊的紙片最多不超過三層．東東在探究的過程中，發現
B FC 隨著點 E，G 的位置變化而變化，為了研究方便，把 BFE記為a ， CFG記為 b ．
(1)如圖 1，當a = 30°, b = 40°時，求 B FC 的度數．
(2)如圖 2，當點 F，B ，C 在同一直線上（即 B FC = 0°）時，探究a 和 b 的數量關系，并說明理由．
(3)在 EFG和 B FC 中，當其中一個角是另一個角的 3 倍時，求a + b 的度數．
6．數學興趣小組利用直角三角形紙片開展了如下的連續探究活動，請幫助他們完成相關的計算和證明．
【探究一】如圖 1，在Rt△ABC 中， C = 90°，沿過點 B 的直線折疊這個三角形，使點 C 落在 AB 邊上的
點 E 處，折痕為 BD．同學們發現，若CD = 3cm， AB + BC = 16cm，借助 S△ABC = S△ABD + S△BCD ，可以計算
出VABC 的面積．請你完成填空： S 2VABC = __________ cm ；
【探究二】在“圖 1”的基礎上，過點 E 作 BED的平分線交 BD 于點 P，連接 AP，如圖 2．同學們發現，沿
直線 AP 折疊這個三角形， BAP與 CAP 重合，即 AP 是 CAB 的角平分線．請你證明：AP 平分 CAB ；
【探究三】在“圖 2”的基礎上，過點 P 作PH ^ AB 于點 H，如圖 3．同學們通過測量發現，AH 與 BH 的積
1
是 AC 與 BC 的積的一半．請你證明： AH × BH = AC × BC ．
2
【壓軸題型二 等腰三角形的性質與判定壓軸問題】
1．如圖，在VABC 中， AB = AC ， AD ， BE 是VABC 的兩條中線， AD = 5，BE = 6， P 是 AD 上的一個動
點，連接PE，PC ，則PC + PE 的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．VABC 中，若過頂點 B 的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為
直角三角形，則稱這條直線為VABC 的關于點 B 的二分割線．例如：如圖 1，VABC 中， A = 90°，
C = 20°，若過頂點 B 的一條直線BD交 AC 于點 D，且 DBC = 20°，則直線BD是VABC 的關于點 B 的
二分割線．如圖 2，VABC 中， C =18°，鈍角VABC 同時滿足：① C 為最小角；②存在關于點 B 的二分
割線，則 BAC 的度數為 ．
3．如圖，在VABC 中，AD = BC， B = 40°，D、E 為邊 AB 上的兩點，且CD = CE ， BCD = 60°，△ADF
是等邊三角形．
(1)求證：CE = BE ；
(2)求 CAD的度數．
4．我們知道：如果兩個三角形全等，則它們的面積相等，而兩個不全等的三角形，在某些情況下，可通過
證明等底等高來說明它們的面積相等．已知VABC與VDEC 是等腰直角三角形， ACB = DCE = 90°，連
接 AD 、 BE ．
(1)如圖 1，當 BCE = 90°時，求證： SVACD = SVBCE ．
(2)如圖 2，當0° < BCE < 90°時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請
說明理由．
(3)如圖 3，在（2）的基礎上，作CF ^ BE ，延長 FC 交 AD 于點G ，求證：點G 為 AD 的中點．
5．如圖， AD 是VABC 的角平分線，DE ^ AC ，垂足為E, BF∥AC 交ED的延長線于點F ，若BC 恰好平
分 ABF ．
(1)求證：△CDE ≌△BDF ；
(2)若VABC 的面積是 18，DF = 3，求 AB 長．
6．△ABC 和△DBE 都是以點 B 為頂點的等腰直角三角形， ABC = DBE = 90°．
(1)如圖 1，當VABC 和VDBE如圖擺放，連接CD, AD,CE ，其中 與 相交于點 F．那么 與 之間存在
著怎樣的位置關系，請說明理由；
(2)如圖 2，當VABC 和VDBE如圖擺放，F 為 AC 的中點，連接 AD,CE, FD，并在 FD的延長線上取一點 C，
連接CG ，使CG = CE ．求證： FDA = CGF ．
【壓軸題型三 等邊三角形的性質與判定壓軸問題】
1．如圖，點 A，B，C 在同一條直線上，△ABD ，VBCE 均為等邊三角形，連接 AE 和CD， AE 分別交
CD、BD于點 M，P，CD交 BE 于點 Q，連接 PQ，BM ，下面結論：①VABE≌VDBC ；② DMA = 60°；③
VPBQ為等邊三角形；④MB平分 AMC ；⑤ PEQ = 30°．其中結論正確的有（　?。?br/>A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
2．如圖，點C 在線段 AB 上（不與點A 、B 重合），在 AB 的上方分別作△ADC 和VBCE ，且 AC = DC ，BC = EC，
ACD = BCE = a 連接 AE ，BD交于點 P ，下列結論正確的是（填序號） ．
AE = BD ；② AD = BE ；③ APB =180o -a ；④PC 平分 DCE ；
3．如圖，在等邊三角形 ABC 中，點E 在 AB 上，點D在CB 的延長線上，且ED = EC ．
(1)如圖 1，當E 為 AB 的中點時，則 AE ______ DB（填“ > ”“ < ”或“ = ”）．
(2)如圖 2，當E 為 AB 邊上任意一點時，（1）中的結論是否仍然成立，請說明理由．
(3)如圖 3，當點E 在 AB 的延長線上時，若VABC 的邊長為 2， AE = 3，求CD的長．
4．如圖 1，在VABC 中， AB = AC , D 為線段BC 上一動點（不與點 B、C 重合）．連接 AD ，作
DAE = BAC ，且 AD = AE ，連接CE．
(1)求證：△ABD≌△ACE ．
(2)當CE平分 ACF 時，若 BAD = 32°，求 DEC 的度數．
(3)如圖 2，設 BAC = a 90° < a <180° ，在點 D 運動過程中，當DE ^ BC 時， DEC = __________°．（用
含a 的式子表示）
5．如圖，點O是等邊VABC 內一點， D是VABC 外的一點， AOB =110°， BOC = a ，VBOC≌VADC ，
OCD = 60°，連接OD ．
(1)求證：VOCD是等邊三角形；
(2)當a =150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
(3)當a = _________時，△AOD是等腰三角形．
6．如圖，在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°，VCDE是等邊三角形，點 D 在邊 AB 上．
(1)如圖 1，當點 E 在邊BC 上時，求證DE = EB；
(2)如圖 2，當點 E 在VABC 內部時，猜想ED和EB數量關系，并加以證明；
(3)如圖 1，當點 E 在VABC 外部時，EH ^ AB 于點 H，過點 E 作GE P AB，交線段 AC 的延長線于點 G，
AG = 5CG ，BH =1．求CG 的長．
【壓軸題型四 等腰三角形中的動點問題】
1．如圖是樹枝的一部分，一只螞蟻 M 以 2cm / s的速度從樹枝的 A 點處出發沿樹枝 方向向上爬行，另一
只螞蟻N從O點出發，以1cm / s 的速度沿樹枝OC 方向爬行，如果 AB，OC 足夠長，OA =12cm， BOC = 60°，
且兩只螞蟻同時出發，用 t s 表示爬行的時間，當兩只螞蟻與點 O 恰好構成等腰三角形時，t 的值是（ ）
A． 4s B．12s
C． 4s或12s D． 4s或12s或16s
2．如圖，已知：在VABC 中， AC = BC = 8， ACB =120° ，將一塊足夠大的直角三角尺 PMN
（ M = 90°， MPN = 30°）按如圖放置，頂點 P 在線段 AB 上滑動，三角尺的直角邊 PM 始終經過點C ，
并且與CB 的夾角 PCB = a ，斜邊PN 交 AC 于點D．點 P 在滑動時，a = 時，△PCD的形狀是等腰
三角形．
3．如圖，在VABC 中， ACB = 90°，已知 AC = 3, BC = 4, AB = 5，點D為 AB 邊上一點，連結CD且
AD = CD ，動點 P 從A 出發，以每秒 1 個單位長度的速度沿 A - C - B 運動，到點 B 運動停止，當點 P 不與
VABC 的頂點重合時，設點 P 的運動時間是 t秒．
(1)用含有 t的代數式表示CP的長；
(2)求CD的長；
(3)當△CDP是以CD為腰的等腰三角形時，求 t的值；
(4)在點 P 的運動過程中，如果點 P 到VABC 的兩條邊距離相等，直接寫出 t的值．
4．如圖，等邊VABC 的邊長為 4cm ，點 M 從點 B 出發沿 BC 運動，同時，點 N 從點 A 出發沿線段CA的延
長線運動，點 M，N 的速度均為1cm /秒，點 M 到達點 C 時，兩點停止運動．作MD ^ AB于點 D，連接MN
交 AB 于點 E．設點 M，N 的運動時間為 t 秒．
(1)當△AEN 為等腰三角形時，求 t 的值；
(2)線段DE 的長度是否為定值？若是，請求出其長度；若不是，請說明理由．
5．已知VABC 是等腰三角形，且 AB = AC ，點 D 是射線BC 上的一動點，連接 AD ，以 AD 為腰在 AD 右側
作等腰VADE ，使 AD = AE ， DAE = BAC ．
(1)如圖 1，當點 D 在線段BC 上時，求證：BD = CE ；
(2)如圖 2，當點 D 在射線BC 上運動時，取 AC 中點 M，連接ME ，且 DAE = BAC = 40°．當VMEC 為等
腰三角形時， CME 的度數為______；
(3)如圖 3，當點 D 在線段BC 的延長線上， DAE = BAC = 60°時，在線段CA上截取CF ，使
CF = CD + AF ，并連接EF ．求證：EF ^ AC ．
6．如圖，在VABC BC > AB 中， AB = AC = 5， B = 35°，點 D 在線段 BC 上運動（點 D 不與點 B，C 重
合），連接 AD，作 ADE = 35°，DE 交線段 AC 于點 E．
(1)當 BDA = 125°時， DEC = ______ °， DAE = ______ °．
(2)當線段 DC 的長度為何值時，△ABD≌△DCE ？請說明理由．
(3)在點 D 的運動過程中，△ADE 的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出∠BDA 的度數；若不可以，
請說明理由．
【壓軸題型五 等邊三角形中的動點問題】
1．在VABC 中， ACB = 90°， ABC = 30°，VCDE是等邊三角形．點 D在 AB 邊上，點 E 在VABC 外部，
EH ^ AB 于點 H ，過點E 作GE∥ AB，交線段 AC 的延長線于點G ， AG = 5CG ，BH = 3，則CG 的長為
（ ）
A．1 B． 2 C． 2 D． 3
2．已知正方形 ABCD，點E 是邊 AD 上的動點，以 EC 為邊作等邊三角形ECF ，連接 BF ，交邊DC 于點
G ，當 BF 最小時， CGF = ．
3．如圖，在等邊VABC 中， AB = AC = BC = 8cm，點M , N 分別從點 A, B同時出發，沿三角形的邊運動，
當點 N 第一次返回到達點 B 時，M , N 同時停止運動．已知點M 的速度是1cm/s，點 N 的速度是 2cm/s．設
點 N 的運動時間為 ts ．
(1)當 t為何值時，M , N 兩點重合？
(2)當 t為何值時，VAMN 為等邊三角形？
(3)當點M , N 在BC 邊上運動時，是否存在時間 t，使得VAMN 是以MN 為底邊的等腰三角形，若存在，直
接寫出 t的值；若不存在，請說明理由．
4．如圖，VABC 中， AB = BC = AC =12cm ，M 、N 分別從點A 、點 B 同時出發，按順時針方向沿三角形
的邊運動．已知點M 的運動速度為1cm/s，點 N 的運動速度為 2cm/s．當點 N 第一次到達 B 點時，M 、 N
同時停止運動．設運動時間為 t(t > 0)．
(1)當 M、N 兩點重合時，求 t 的值．
(2)當VAMN 為等邊三角形時，求 t 的值．
(3)點 M、N 運動過程中，點 M、N 能否與VABC 中的某一頂點構成等腰三角形，若能直接寫出對應的時間
t，若不能請說明理由．
5．如圖 1，以VABC 的兩邊 AB ，BC 為邊向外作等邊三角形 ABD，BCE ，連接CD， AE ．
(1)求證： AE = CD ；
(2)如圖 2，CD與 AE 交于點M ，連接 BM ，探究 AMB 的大??；
(3)如圖 3，若 AB = c， AC = b， BC = a，CD = d ，射線 BM 上是否存在一點 P ，使△ACP也是等邊三角形，
若存在，試探究BP滿足的條件；若不存在，請說明理由．
6．【初步感知】
(1)如圖 1，已知DABC為等邊三角形，點 D 為邊BC 上一動點（點 D 不與點 B，點 C 重合）．以 AD 為邊向
右側作等邊DADE，連接CE．求證：DABD≌DACE ；
【類比探究】
(2)如圖 2，若點 D 在邊BC 的延長線上，隨著動點 D 的運動位置不同，猜想并證明：
① AB 與CE的位置關系為： ；
②線段 EC 、 AC 、CD之間的數量關系為： ；
【拓展應用】
(3)如圖 3，在等邊DABC中，AB = 3，點 P 是邊 AC 上一定點且 AP =1，若點 D 為射線BC 上動點，以DP為
邊向右側作等邊DDPE ，連接CE、 BE ．請問：PE + BE 是否有最小值？若有，請直接寫出其最小值；若沒
有，請說明理由．
【壓軸題型六 直角三角形壓軸問題（30 度角、斜邊中線）】
1．如圖，在VABC 中， AC = BC ， ACB = 90°， AE 平分 BAC 交BC 于點E ，BD ^ AE 交 AE 延長線于
1
點D，DM ^ AC 交 AC 的延長線于點M ，連接CD．則下列結論：① ADC=45°；②BD = AE ；③
2
BC + CE = AB ；④ AC + AB = 2AM ；⑤BD = CD其中不正確的結論有（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．如圖，點 A 是線段 BC 的垂直平分線上任意一點，連接 AB ， AC ，作 AB 的垂直平分線 EF 分別交 AB 、
1 25
BC 于點 G、H，若 S△BGH = S△ABC ，HC = ，則GH 的長為 ．6 6
3．如圖，VABC 為等邊三角形， AE = CD ， AD 、 BE 相交于點 P ， BQ ^ AD 于Q．
(1)求證：VADC≌VBEA；
(2)若 PQ = 4，PE =1，求 AD 的長．
4．在VABC 中， BO ^ AC 于點O， AO = BO = 3，OC =1．
(1)如圖①，過點 A 作 AH ^ BC 于點 H，交BO于點 P，連接OH ．
①求線段OP 的長度；
②求證： OHP = 45°；
(2)如圖②，若 D 為 AB 的中點，點 M 為線段BO延長線上一動點，連接MD ，過點 D 作DN ^ DM 交線段CA
的延長線于點 N，則 S△ BDM - S△ ADN 的值是否發生改變？若改變，求該式子的值的變化范圍；若不改變，求該
式子的值．
5．已知 AD 為等邊VABC 的角平分線，動點E 在直線 AD 上（不與點A 重合），連接 BE ．以 BE 為一邊在 BE
的下方作等邊△BEF ，連接CF ．
(1)如圖 1，若點E 在線段 AD 上，且DE = BD，則∠CBF = ______度．
(2)如圖 2，若點E 在 AD 的反向延長線上，且直線 AE ，CF 交于點M ．
①求 AMC 的度數；
②若VABC 的邊長為 4，P ，Q為直線CF 上的兩個動點，且 PQ = 5．連接BP，BQ，判斷VBPQ的面積是
否為定值，若是，請直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．
6．綜合與實踐：
(1)【問題情境】在綜合與實踐課上，何老師對各學習小組出示了一個問題：如圖 1， ACB = 90o，
AC = BC ， AD ^ CD ，BE ^ CD，垂足分別為點D，E ．請證明： AD = CE ．
(2)【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發，將題目改編如下：如圖 2， CDF = 90o ，CD = FD，點A 是DF
上一動點，連接 AC ，作 ACB = 90o且BC = AC ，連接 BF 交CD于點G ．若DG = 1，CG = 3，請證明：點
A 為DF 的中點．
(3)【拓展提升】“創新”小組在“希望”小組的基礎上繼續提出問題：如圖 3， CDF = 90o ，CD = FD，點A
是射線DF 上一動點，連接 AC ，作 ACB = 90o且BC = AC ，連接 BF 交射線CD于點G ．若FD = 4AF ，請
CG
直接寫出 的值．
DG
【壓軸題型七 直角三角形中的動點問題】
1．如圖，在Rt△ABC 中， C = 90°，AB = 8cm， B = 30°，若點 P 從點 B 出發以 2cm/s的速度向點A 運動，
點Q從點A 出發以1cm/s的速度向點C 運動，設 P 、Q分別從點 B 、A 同時出發，運動的時間為s時，△APQ
是直角三角形（ ）
A． 2或 2.3 B．3或 2.3 C． 2或3.2 D．3或3.2
2．如圖，在VABC 中， ABC = 60°, AB = 6，D 是邊 AB 上的動點，過點 D 作DE∥BC 交 AC 于點 E，將VADE
沿DE 折疊，點 A 的對應點為點 F，當VBDF 是直角三角形時， AD 的長為 ．
3．如圖，VABC 是邊長為 6cm 的等邊三角形，動點 P、Q 同時從 A、B 兩點出發，分別沿 AB、BC 方向勻
速移動．
(1)當點 P 的運動速度是1cm / s ，點 Q 的運動速度是2cm / s，當 Q 到達點 C 時，P、Q 兩點都停止運動，設
運動時間為 t（s），當 t = 2時，判斷VBPQ的形狀，并說明理由；
(2)當它們的速度都是1cm / s ，當點 P 到達點 B 時，P、Q 兩點停止運動，設點 P 的運動時間為 t（s），則當 t
為何值時，VPBQ是直角三角形？
4．如圖1，點P、Q分別是邊長為 4cm 的等邊VABC 邊 AB、BC 上的動點，點 P 從頂點A ，點Q從頂點 B 同
時出發，且它們的速度都為1cm/s．
(1)連接 AQ、CP交于點M ，則在P、Q運動的過程中， CMQ 變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則
求出它的度數；
(2)試求何時VPBQ是直角三角形？
(3)如圖 2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線 AB、BC 上運動，直線 AQ、CP交點為M ，則 CMQ 變
化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數．
5．如圖 1，VABC 是邊長為 5 厘米的等邊三角形，點 P、Q 分別從頂點 A、B 同時出發，沿線段 AB 、BC
運動，且它們的速度都為 1 厘米/秒，當點 P 到達點 B 時，P、Q 兩點停止運動．設點 P 的運動時間為 t(s)．
(1)當運動時間為 t 秒時，BQ的長為______厘米，BP的長為______厘米；（用含 t 的式子表示）
(2)當VBPQ是直角三角形時，求 t 的值；
(3)如圖 2，連接 AQ 、CP，相交于點 M，則點 P、Q 在運動的過程中， CMQ 會變化嗎？若變化，則說明
理由；若不變，請求出它的度數．
6．如圖：等邊三角形 ABC 中，D、E 分別是BC 、 AC 邊上的點，BD = CE ， AD 與 BE 相交于點 P ，
AP = 6，Q是射線PE上的動點．
(1)求證：VABD≌VBCE ；
(2)求 APE的度數；
(3)若△APQ 為直角三角形，求 PQ的值．
【壓軸題型八 直角三角形全等的判定壓軸問題】
AP
1．如圖，VABC 的角平分線 AF , BE 相交于點 P，若 AB = AC = 13, BC = 10 ，則 的值為（ ）
PF
13 12 5
A． B． C． D．2
5 5 2
2．如圖，已知：四邊形 ABCD中，對角線BD平分 ABC ， ACB = 72°， ABC = 50°，并且
BAD + CAD =180°，那么 BDC 的度數為
3．夯實基礎：
（1）如圖 1，點 P 是 ABC 的角平分線上BD的一點，PE ^ AB于點 E，PF ^ BC 與點 F，有以下結論：①
PE = PF ；②BE = BF ；③ BPE = BPF ，其中正確的是____________．
理解應用：
（2）圖 2，點 D 是 EOF 的平分線OC 上一點，點 A，點 B 分別在邊OE、OF 上，且
AOB + ADB = 180°，探究 AD 與DB之間有怎樣的數量關系？并證明；
拓展延伸：
（3）如圖 3，點 D 是 EOF 的平分線OC 上一點，點 A，點 B 分別在邊OE、OF 上，DA = DB ，且
EOF =120°，探究OA，OB，OD之間有怎樣的數量關系？并說明理由．
4．如圖，在VABC 中，BD是 AC 邊上的高線，已知 A = 2 CBD．
(1)如圖 1，證明： AB = AC ；
(2)點E 是 AD 上一點， ABE = CBD ．
①若BD = DE, BD =1，如圖 2，求CD的長；
②延長 AB 至點F ，使得CF = BE ，如圖 3，證明： F = 3 CBD ．
5．如圖1，已知VABC ， ACB = 90°， ABC = 45°，分別以 AB 、BC 為邊向外作△ABD 與VBCE ，且DA = DB ，
EB = EC ， ADB = BEC = 90°，連接DE 交 AB 于點F ．
(1)探究： AF 與 BF 的數量關系，請寫出你的猜想，并加以證明．
(2)如圖 2，若 ABC = 30°， ADB = BEC = 60°，題目中的其他條件不變，（1）中得到的結論是否發生變化？
請寫出你的猜想并加以證明；
(3)如圖 3，若 ADB = BEC = m ABC ，題目中的其他條件不變，使得（1）中得到的結論仍然成立，請直接
寫出m 的值．
6．如圖，在銳角三角形 ABC 中，AB < AC ， 是角平分線，DM，DN 分別是△ABD ，VACD的高，點 E
在DC 上，且DE = DB，動點 F 在邊 AC 上（不包括兩端點），連接FE，FD．
【問題感知】
(1)填空：DM DN （填“ > ”，“ = ”或“ < ”）；
【探究發現】
(2)若 FEB = B ，小杰經過探究，得到結論： AFD = EFD．請你幫小杰證明此結論；
【類比探究】
(3)若 FEB + B =180°，請判斷上述結論是否成立．若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
【拓展提升】
(4)已知 AB = 5，BM =1，DM = 3，若點 E 關于 DF 的對稱點E 落在邊 AC 上，連接 DE ，請直接寫出VAE D
的面積．
【壓軸題型九 用勾股定理解三角形】
1．如圖， AOB = 30°，點 M，N 分別是射線OA，OB 上的動點，OP 平分 AOB，且OP = 6，當VPMN 的
周長取最小值時，MN 的長為（　?。?br/>A．6 B．12 3 -18 C．18 3 -18 D．12
2．如圖，VABC 中， AB = 4， BC = 26 ， AC = 5 2 ，點 P 為 AC 邊上的動點，當VABP是等腰三解形時，
AP 的長為 ．
3．在Rt△ABC 中，已知 BAC = 90°， AB > AC ，點D在射線BC 上，連接 AD ， ADB = 2 B．
(1)如圖 1，若 AD 的垂直平分線經過點 B ，求 C 的度數；
(2)如圖 2，當點D在邊BC 上時，求證：BC = 2AD ；
(3)若 AC = 2， BD = 5CD ，請直接寫出CD的長．
4．如圖， Rt△ABC 中， ACB = 90°，D 為 AB 中點，點 E 在直線BC 上（點 E 不與點 B，C 重合），連接
DE ，過點 D 作DF ^ DE 交直線 AC 于點 F，連接EF ．
(1)如圖 1，當點 F 與點 A 重合時，請直接寫出線段EF 與 BE 的數量關系；
(2)如圖 2，當點 F 不與點 A 重合時，請寫山線段 AF ，EF ， BE 之間的數量關系，并說明理由；
(3)若 AC =10，BC = 6，EC = 2，請直接寫出線段 AF 的長．
5．在VABC 中， ACB = 90°，AC = BC ，過點C 作 AB 的平行線 l，點 P 是直線 l上異于點C 的動點，連接
AP ，過點 P 作 AP 的垂線交直線BC 于點D．
(1)如圖 1，當點 P 在點C 的右側時，
①求證：PA = PD；
②試判定線段CA，CD，CP之間有何數量關系？寫出你的結論，并證明；
(2)若 AC = 3 2, AP = 5，求線段BD的長．
6．綜合與實踐．
數形結合思想可以借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀來闡明數之間某種關系．
(1) 2002年世界數學家大會（ ICM 2002）在北京召開，這屆大會會標（如圖1）的中央圖案是經過藝術處理
的“弦圖”（如圖 2），它由 4個全等的直角三角形拼成，請觀察“弦圖”，直接寫出 a，b，c 滿足的等量關系為
______，并利用圖形的“等面積思想”加以證明．
(2)某數學興趣小組，采用數形結合思想解決了如下問題．
已知線段 AB = 8，點C 在線段 AB 上， AC = x，BC = y ，求 x2 + 4 + y2 +16 的最小值，他們解決問題的
思路是，如圖3，在線段 AB 的同側構造了兩個Rt△ACD 和RtVBCE， CAD = CBE = 90°，令
AD = 2，BE = 4，利用勾股定理，得出CD = x2 + 4，CE = y2 +16 ，從而將問題轉化成求“CD + CE 最小
值”問題，再利用“將軍飲馬”模型，就完成了解答，請你寫出解答過程．
(3)如圖 4，在VABC 中， CAB = 30o，點D、E 分別為 AB、BC 上的動點，且
BD = CE，AC = 2 3，BC = 2，求 AE + CD的最小值．
【壓軸題型十 勾股定理與折疊問題】
1．如圖，已知在Rt△ABC 中， ABC = 90°， A = 30°，BC = 2，點 M，N 在 AC 邊上，將△BCN 沿著BN
折疊，使點 C 的對應點C 恰好落在 AC 邊上，將VABM 沿著 BM 折疊，使點 A 的對應點 A 恰好落在BC 的
BM
延長線上，則 的值為 （ ）A M
A． 3 B + 2 C 6 + 2． 3 ． D 6 + 3．
2 3
2．如圖，在VABC 中， AB = 6 5 ， AC =12，BC = 6，將VABC 折疊，得到折痕DE ，且頂點 B 恰好與點
A 重合，點 C 落在點 F 處，則CE的長為 ．
3．在四邊形 ABCD中， DAB = B = C = D = 90°, AB = CD =10, BC = AD = 8．
(1)若 P 為邊BC 上一點，如圖①將VABP沿直線 AP 翻折至△AEP 的位置，當點 B 落在CD邊上點 E 處時，
求 PB的長；
(2)如圖②，點 Q 為射線DC 上的一個動點，將△ADQ沿 AQ 翻折，點 D 恰好落在直線BQ上的點 D 處，求DQ
的長．
4．在數學實驗課上，李同學剪了兩張直角三角形紙片，進行了如下的操作：
操作一：如圖 1，將Rt△ABC 紙片沿某條直線折疊，使斜邊兩個端點 A 與 B 重合，折痕為DE ．
（1）如果 AC = 5.5cm，BC = 6.5cm ，可得VACD的周長為______；
（2）如果 CAD : BAD =1: 2，可得 B 的度數為______；
操作二：如圖 2，李同學拿出另一張Rt△ABC 紙片，將直角邊 AC 沿直線CD折疊，使點 A 與點 E 重合，若
AB =10cm，BC = 8cm ，請求出 BE 的長．
5．如圖、VABC 為一塊直角三角形紙片，∠C = 90o ．
【問題初探】：直角三角形紙片的對折問題，可以通過全等變換把所求線段轉化成直角三角形的邊，進而通
過勾股定理來解決，體現數學中的轉化思想．
（1）如圖 1，現將紙片沿直線 AD 折疊，使直角邊 AC 落在斜邊 AB 上，C 的對應點為E ，若
AC = 6cm, BC = 8cm ，求CD的長．
【學以致用】
（2）如圖 2，若將直角 C 沿MN 折疊，點C 與 AB 中點 H 重合，點M , N 分別在 AC ，BC 上，則 AM , BN , MN
之間有怎樣的數量關系？并證明你的結論．
6．探究式學習是新課程提倡的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究．（注：長方形的對邊平行且相等，
四個角都是直角）
【初步感知】
（1）如圖 1，在三角形紙片 ABC 中， C = 90°， AC =18，BC =12，將其沿DE 折疊，使點 A 與點 B 重
合，折痕與 AC 交于點 E，求CE的長；
【深入探究】
（2）如圖 2，將長方形紙片 ABCD沿著對角線BD折疊，使點 C 落在C 處，BC 交 AD 于 E，若 AB = 4，
BC = 6，求 AE 的長；
【拓展延伸】
（3）如圖 3，在長方形紙片 ABCD中， AB =10， BC = 16，點 E 從點 A 出發以每秒 2 個單位長度的速度沿
射線 AD 運動，把VABE 沿直線 BE 折疊，當點 A 的對應點 F 剛好落在線段BC 的垂直平分線上時，直接寫
出運動時間 t（秒）的值．
【壓軸題型十一 勾股定理的應用】
1．如圖，鐵路MN 和公路 PQ在點O處交匯， QON = 30°．公路 PQ上A 處距O點 240 米，如果火車行駛
時，周圍 200 米以內會受到噪音的影響．那么火車在鐵路MN 上沿ON 方向以 20 米/秒的速度行駛時，A 處
受噪音影響的時間為（ ）
A．12 秒 B．16 秒 C．20 秒 D．30 秒
2．某漁船上的漁民在 A 處觀測到燈塔M 在北偏東60°方向處，這艘漁船以每小時 40 海里的速度向正東方
向航行，1 小時后到達 B 處，在 B 處觀測到燈塔M 在北偏東30°方向處．則 B 處與燈塔的距離 BM 是
海里．
3．如圖，四邊形 ABCD為某街心公園的平面圖，經測量 AB = BC = AD = 100米，CD = 100 3 米，且
B = 90°．
（1）求 DAB 的度數；
（2）若BA為公園的車輛進出口道路（道路的寬度忽略不計），工作人員想要在點D處安裝一個監控裝置來
監控道路BA的車輛通行情況，已知攝像頭能監控的最大范圍為周圍的 100 米（包含 100 米），求被監控到
的道路長度為多少？
4．《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊，問水
深、葭長各幾何．大意是：如圖，水池底面的寬 AB =1丈，蘆葦OC 生長在 AB 的中點 O 處，高出水面的部
分CD =1尺．將蘆葦向池岸牽引，尖端達到岸邊時恰好與水面平齊，即OC = OE ， 求水池的深度和蘆葦的
長度(1 丈等于 10 尺)．
(1)求水池的深度OD ；
(2)中國古代數學家劉徽在為《九章算術》作注解時，更進一步給出了這類問題的一般解法．他的解法用現
代符號語言可以表示為：若已知水池寬 AB = 2a， 蘆葦高出水面的部分CD = n n < a ，則水池的深度OD
OD = b b a
2 - n2
可以通過公式 = 計算得到．請證明劉徽解法的正確性．
2n
5．（1）【閱讀理解】勾股定理是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，是用代數思想解決幾何問題的
最重要的工具之一，它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因為應用廣泛而使人著迷．下面四幅圖中，
不能證明勾股定理的是 ；
A． B． C． D．
（2）【實踐操作】如圖 1，在數軸上找出表示 2的點A ，過點A 作直線 l垂直于OA，在 l上取點 B ，使
AB =1，以原點O為圓心，OB 長為半徑作弧，則弧與數軸負半軸的交點C 表示的數是 ；
（3）【延伸應用】如圖 2，有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出
2尺，斜放就恰好等于門的對角線（BD），已知門寬6 尺，求竹竿長．
6．如圖，某區有 A，B，C，D 四個景點，景點 A，D，C 依次在東西方向的一條直線上，現有公路
AB，AD，BD，DC ，已知 AB = 20km ， AD =12km，BD = 16km，CD = 30km．
(1)通過計算說明公路BD是否與 AD 垂直；
(2)市政府準備在景點 B，C 之間修一條互通大道（即線段BC ），并在大道BC 上的 E 處修建一座涼亭方便游
客休息，同時 D，E 之間也修建一條互通大道（即線段DE ），且DE ^ BC ．若修建互通大道BC，DE的費
用均是每千米 17 萬元，請求出修建互通大道BC，DE的總費用．
【壓軸題型十二 勾股定理中的最短路徑問題】
1．如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中 AB = 9，BC = 6，BF = 5，點 M 在棱 AB 上，且 AM = 3，
點 N 是 FG 的中點，一只螞蟻沿著長方體盒子的表面從點 M 爬行到點 N，它需要爬行的最短路程為（ ）
A．10 B． 106 C． 34 D．9
2．如圖，透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為 18 cm，底面周長為 12 cm，在容器內壁離容器底
部 7 cm的 A 處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁且距離容器上沿 1 cm的點 B 處，則螞蟻吃到飯粒需
爬行的最短路徑長度是 cm．
3．背景介紹：勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對它的證明門庭若市，其中有著
名的數學家，也有業余數學愛好者．向常春在 1994 年構造發現了一個新的證法．
小試牛刀：把兩個全等的直角三角形如圖 1 放置，其三邊長分別為 a、b、c．顯然， DAB = B = 90°，
AC ^ DE ．請用 a、b、c 分別表示出梯形 ABCD、四邊形 AECD、VEBC 的面積，再探究這三個圖形面積
之間的關系，可得到勾股定理：
S ABCD =梯形 ______，
S△EBC = ______，
S
四邊形AECD = ______，
則它們滿足的關系式為______，經化簡，可得到勾股定理 a2 + b2 = c2．
知識運用：
（1）如圖 2，鐵路上 A、B 兩點（看作直線上的兩點）相距 40 千米，C、D 為兩個村莊（看作兩個點），
AD ^ AB，BC ^ AB，垂足分別為 A、B， AD = 25千米， BC = 16千米，則兩個村莊的距離為______千米
（直接填空）；
（2）在（1）的背景下，若 AB = 40 千米， AD = 24千米， BC = 16千米，要在 AB 上建造一個供應站 P，使
得PC = PD ，求出 AP 的距離．
2
知識遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數式 x2 + 9 + 16 - x + 81的最小值 0 < x <16 ．
4．[提出問題]
如圖 1，A，B 是直線 l 同側的兩個點，如何在 l 上找到一個點 C，使得這個點到點 A，B 的距離的和最短？
[分析問題]
如圖 2，若 A，D 兩點在直線 l 的異側，則連接 AD，與直線 l 交于一點，根據“兩點之間線段最短”，可知該
點即為點 C，因此，要解決上面提出的問題，只需要將點 B（或點 A）移到直線 l 的另一側的點 D 處，且保
證DC = BC （或DC = AC ）即可．
[解決問題]：
(1)在圖 1 中確定點 C 的位置（要求尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)如圖 3，在菱形 ABCD中， AB = 4， ABC = 60°，E 是 BC 邊的中點，P 是對角線 AC 上的一個動點，則
PB + PE 的最小值為_____．
5．問題背景：
在VABC 中， AB 、BC 、 AC 三邊的長分別為 5 、 10 、 13 ，求這個三角形的面積．
小輝同學在解答這道題時，先建立一個正方形網格（每個小正方形的邊長為 1），然后在網格中畫出格點
VABC （即VABC 三個頂點都在小正方形的頂點處， AB = 22 +12 = 5 ，BC = 10 ， AC = 13 ），如圖①
所示．這樣不需求VABC 的高，而借用網格就能計算出它的面積．這種求VABC 面積的方法叫做構圖法．
(1)請你將VABC 的面積直接填寫在橫線上：______．
(2)思維拓展：若VABC 三邊的長分別為 5a 、 2 2a 、 17a a > 0 ，請利用圖②的正方形網格（每個小正
方形的邊長為 a）畫出相應的VABC ，并求出它的面積．
(3)探索創新：若VABC 三邊的長分別為 m2 +16n2 、 9m2 + 4n2 、 2 m2 + n2 （m > 0， n > 0，且m n），
求這個三角形的面積．
(4) 2直接寫出當 x 為何值時，函數 y = x2 + 9 + 12 - x + 4 有最小值，最小值是多少？
6．如圖，C 為線段 BD 上一動點，分別過點 B，D 作 AB⊥BD，ED⊥BD，連接 AC，EC．已知 AB＝2，DE
＝1，BD＝4，設 CD＝x．
(1)用含 x 的代數式表示 AC＋CE 的值；
(2)探究：當點 C 滿足什么條件時，AC＋CE 的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？
(3) 2根據（2）中的結論，請構造圖形求代數式 x 2 + 4 + 12 - x + 9的最小值．

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