資源簡介

培優課　函數性質的綜合問題
[學習目標]　1.理解和掌握對稱軸和對稱中心滿足的條件.(重難點)2.掌握函數性質的綜合應用問題.(重點)
一、函數圖象的對稱性
問題1　當函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱時,會滿足怎樣的條件呢
提示　如圖所示,在x=a兩邊取對稱的兩個自變量的值,如a-x,a+x,由對稱性知它們的函數值相等,即f(a-x)=f(a+x);反之,若對定義域內任意x都有f(a-x)=f(a+x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
問題2　當函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱時,又會滿足怎樣的條件呢
提示　如圖所示,在x=a兩邊取對稱的兩個自變量的值,如a-x,a+x,由對稱性知它們的函數值互為相反數,即f(a-x)=-f(a+x);反之,若對定義域內任意x都有f(a-x)=-f(a+x),則函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.
知識梳理
1.函數圖象關于直線對稱
y=f(x)在定義域 內恒滿足的條件 y=f(x)的圖 象的對稱軸
f(a+x)=f(a-x) 直線x=a
f(x)=f(a-x) 直線x=
f(a+x)=f(b-x) 直線x=
2.函數圖象關于點對稱
y=f(x)在定義域 內恒滿足的條件 y=f(x)的圖象 的對稱中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x)
f(a+x)=-f(b-x)
f(a+x)+f(b-x)=c
注意點:
(1)若函數f(x+a)是偶函數,則函數f(x)關于x=a對稱.
(2)若函數f(x+a)是奇函數,則函數f(x)關于(a,0)對稱.
例1　已知定義在R上的偶函數y=f(x),其圖象關于點對稱,且當x∈[0,1]時,f(x)=-x+,則f等于 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.
答案　B
解析　∵y=f(x)的圖象關于點對稱,
∴f+f=0,
即f(1+x)+f(-x)=0.
又∵y=f(x)為偶函數,
∴f(-x)=f(x),
∴f(1+x)+f(x)=0,
即f(1+x)=-f(x),
∴f=-f=0.
反思感悟　解決對稱性、單調性和奇偶性綜合問題的方法
(1)圖象法,根據題意,作出符合要求的草圖,便可得出結論.
(2)性質法,根據對稱性、單調性和奇偶性的性質,逐步推導解決求值和比較大小的問題.
注意:使用性質要規范,切不可自創性質!
跟蹤訓練1　若函數f(x)在(0,2)上單調遞增,函數f(x+2)是偶函數,則下列結論正確的是 (　　)
A.f(1)B.fC.fD.f答案　B
解析　∵f(x+2)是偶函數,
∴f(2-x)=f(2+x).
故f(x)的圖象關于直線x=2對稱,
∴f=f,f=f,
又f(x)在(0,2)上單調遞增,<1<,
∴f即f二、函數性質的綜合應用
例2　已知函數f(x)=是定義在(-1,1)上的奇函數,且f=.
(1)確定函數f(x)的解析式;
(2)用定義法證明f(x)在(-1,1)上是增函數;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
(1)解　根據題意得
即
解得經檢驗,當a=1,b=0時符合題意,
∴f(x)=,x∈(-1,1).
(2)證明　任取x1,x2∈(-1,1),且令x1f(x1)-f(x2)=-
=.
∵-1∴x1-x2<0,1+>0,1+>0,1-x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)在(-1,1)上是增函數.
(3)解　f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函數,
∴解得0∴不等式的解集為.
反思感悟　奇偶性、單調性的綜合應用
利用函數的奇偶性將函數式轉化,利用單調性解決常見不等式問題,在綜合性題目中,要熟練掌握奇偶性、單調性的性質及變形,適當應用解題技巧,化簡求值,解題時,一定要特別注意函數的定義域.
跟蹤訓練2　已知函數f(x)的定義域為(-2,2),函數g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函數g(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數,并且在定義域上是減函數,求不等式g(x)≤0的解集.
解　(1)由題意可知
所以解得故函數g(x)的定義域為.
(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因為f(x)為奇函數,
所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2,2)上是減函數,
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集為.
1.知識清單:
(1)函數的對稱軸和對稱中心.
(2)函數性質的綜合應用.
2.方法歸納:數形結合、等價轉化.
3.常見誤區:容易忽視奇函數中的隱含條件f(0)=0.
1.下列各圖中,表示以x為自變量,且有對稱中心的函數是 (　　)
答案　B
2.設f(x)是R上的偶函數,且在(0,+∞)上單調遞減,若x1<0且x1+x2>0,則 (　　)
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)與f(-x2)的大小關系不確定
答案　A
解析　∵x1+x2>0,∴x2>-x1,
∵x1<0,∴-x1>0,
∴0<-x1∵f(x)在(0,+∞)上單調遞減,
∴f(-x1)>f(x2),
∵f(x)是R上的偶函數,
∴f(-x2)=f(x2),即f(-x1)>f(-x2).
3.已知定義在R上的奇函數f(x),且當x∈[0,+∞)時,f(x)單調遞增,則不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是 (　　)
A.(-∞,1) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-∞,1]
答案　C
解析　因為函數f(x)是奇函數,所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等價于f(2x+1)≥f(-1).
又當x≥0時,函數f(x)單調遞增,
所以函數f(x)在R上為增函數,
所以f(2x+1)≥f(-1)等價于2x+1≥-1,
解得x≥-1.
4.設f(x)是定義域為R的奇函數,且f(2+x)=f(-x).若f(-3)=3,則f(-1)=　　　　.
答案　-3
解析　因為f(2+x)=f(-x),
所以f(-1)=f(3),
又因為f(x)是定義域為R的奇函數,
且f(-3)=3,
所以f(-1)=f(3)=-f(-3)=-3.
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共18分
1.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),則f(2)的值是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.4
答案　A
解析　由題意得f(0+2)=f(2)=f(0)=0.
2.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數,則f(x)在區間(2,5)上 (　　)
A.單調遞增 B.單調遞減
C.有增有減 D.增減性不確定
答案　B
解析　由f(x)是偶函數,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,由函數f(x)=-x2+3的圖象(圖略)知,f(x)在區間(2,5)上單調遞減.
3.已知函數f(x)是定義域為R的奇函數,且f(x)=f(4-x),當-2≤x<0時,f(x)=,則f等于 (　　)
A.-2 B.- C. D.2
答案　D
解析　∵f(x)=f(4-x),
∴f(x)的圖象關于直線x=2對稱,
∴f=f.
又∵函數f(x)為奇函數,
∴f=-f=-(-2)=2,即f=2.
4.已知函數f(x)在區間(0,2)上單調遞減,且函數y=f(x+2)是偶函數,那么f(x) (　　)
A.在區間(2,4)上單調遞減
B.在區間(2,4)上單調遞增
C.在區間(-2,0)上單調遞減
D.在區間(-2,0)上單調遞增
答案　B
解析　∵函數y=f(x+2)是偶函數,
∴函數y=f(x+2)的圖象關于y軸對稱,
即函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱,
∵函數f(x)在(0,2)上單調遞減,
∴函數f(x)在(2,4)上單調遞增.
5.已知偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,且圖象經過點(-1,0)和(3,5),則當x∈[-3,-1]時,函數f(x)的值域是 (　　)
A.[0,5] B.[-1,5] C.[1,3] D.[3,5]
答案　A
解析　因為偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,
則函數f(x)在[-3,-1]上單調遞減,且f(-3)=f(3)=5,f(-1)=0,
故當x∈[-3,-1]時,函數f(x)的值域為[0,5].
6.(多選)若函數f(x)是定義域為R的偶函數,且該函數圖象與x軸的交點有3個,則下列說法正確的是 (　　)
A.3個交點的橫坐標之和為0
B.3個交點的橫坐標之和不是定值,與函數解析式有關
C.f(0)=0
D.f(0)的值與函數解析式有關
答案　AC
解析　因為函數f(x)是定義域為R的偶函數,
所以其圖象關于y軸對稱,
所以當函數圖象與x軸的交點有3個時,則必有一個交點是原點,另兩個交點關于y軸對稱,
所以3個交點的橫坐標之和為0,且f(0)=0,故A,C正確,B,D錯誤.
7.(5分)已知偶函數f(x)和奇函數g(x)的定義域都是(-4,4),且在(-4,0]上的圖象如圖所示,則關于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　　.
答案　(-4,-2)∪(0,2)
解析　設h(x)=f(x)g(x),
則h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
所以h(x)是奇函數,
由圖象可知,當-40,g(x)<0,
即h(x)<0,
當00,即h(x)<0,
所以h(x)<0的解集為(-4,-2)∪(0,2).
8.(5分)設f(x)是定義在R上的奇函數,且y=f(x)的圖象關于直線x=對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　　.
答案　0
解析　∵f(x)是定義在R上的奇函數,
∴f(0)=0.
又f(x)關于直線x=對稱,
∴f=f. ①
在①式中,當x=時,f(0)=f(1)=0.
在①式中,以+x代替x,得
f=f,
即f(-x)=f(1+x).
∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0,
f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0,
同理,f(4)=f(5)=0.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
9.(10分)已知函數f(x)是奇函數,定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上單調遞增,若f(1)=0,求不等式f<0的解集.
解　∵f(x)為奇函數,且在(0,+∞)上單調遞增,f(1)=0,
∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上單調遞增,
∴不等式f<0可化為
或
即0解得∴原不等式的解集是.
10.(10分)已知函數f(x)=是定義在(-3,3)上的奇函數,且f(1)=.
(1)求實數a和b的值;(3分)
(2)判斷函數f(x)在(-3,3)上的單調性,并證明你的結論;(4分)
(3)若f(t2-1)+f(1-4t)<0,求t的取值范圍.(3分)
解　(1)因為函數f(x)=是定義在(-3,3)上的奇函數,
所以f(0)==0,解得b=0,
則f(x)=,
又因為f(1)=,則=,解得a=2,
經檢驗a=2,b=0時,f(x)是奇函數,
所以a=2,b=0.
(2)f(x)=,x∈(-3,3),函數f(x)在(-3,3)上單調遞增.
證明:任取x1,x2∈(-3,3),x1所以f(x1)-f(x2)=-
=
=
=,
因為-3所以9->0,9->0,x1x2+9>0,x1-x2<0,
則<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函數f(x)在(-3,3)上單調遞增.
(3)函數f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數,且f(t2-1)+f(1-4t)<0,
則f(t2-1)<-f(1-4t)=f(4t-1),
因為函數f(x)在(-3,3)上單調遞增,
所以則
解得0所以t的取值范圍是011.定義在R上的偶函數f(x)的部分圖象如圖,則下列函數中在(-2,0)上與f(x)的單調性不同的是 (　　)
A.y=x2+1 B.y=|x|+1
C.y= D.y=
答案　D
解析　易知f(x)在(-2,0)上單調遞減,A,B,C選項中函數在(-∞,0)上單調遞減,D選項中,函數在(-∞,0)上單調遞增.
12.若定義在R上的函數f(x)滿足:對任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的是 (　　)
A.f(x)-1為奇函數 B.f(x)-1為偶函數
C.f(x)+1為奇函數 D.f(x)+1為偶函數
答案　C
解析　∵對任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,
令x1=x2=0,得f(0)=-1.
令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1.
∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],
∴f(x)+1為奇函數.
13.(多選)定義在R上的奇函數f(x)為減函數,偶函數g(x)在區間[0,+∞)上的圖象與f(x)的圖象重合,設a>b>0,則下列不等式中成立的是 (　　)
A.f(b)-f(-a)B.f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)
C.f(a)+f(-b)D.f(a)+f(-b)>g(b)-g(-a)
答案　AC
解析　由題意得,函數f(x)為R上的奇函數,且為減函數,
偶函數g(x)在區間[0,+∞)上的圖象與f(x)的圖象重合,
因為a>b>0,所以f(a)對于A,f(b)-f(-a)對于B,由A的分析可知B錯誤;
對于C,f(a)+f(-b)對于D,由C的分析可知D錯誤.
14.(5分)已知函數f(x)=若f(x-1)答案　(-∞,-2)∪(0,+∞)
解析　若x>0,則-x<0,
f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x=f(x),
同理可得,當x<0時,f(-x)=f(x),
且當x=0時,f(0)=f(0),所以f(x)是偶函數.
因為當x>0時,函數f(x)單調遞增,
所以不等式f(x-1)|x-1|<|2x+1|,
整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.
15.(多選)函數f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數,下列函數有對稱中心的是 (　　)
A.f(x)=x B.f(x)=x3-3x2
C.f(x)=x4+x2 D.f(x)=
答案　ABD
解析　∵函數y=f(x+a)-b為奇函數,
∴f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,
即f(x+a)+f(-x+a)=2b.
對于A,由f(x+a)+f(-x+a)=2b得a=b,
∴對于任意的a=b,P(a,b)都是其對稱中心,故A滿足題意;
對于B,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),
∵f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x-2)+(-x+1)2(-x-2)=-4,
∴當a=1,b=-2時,P(1,-2)即為其對稱中心,故B滿足題意;
對于C,∵f(x)=x4+x2是偶函數,圖象關于y軸對稱,且f(x)在(0,+∞)單調遞增,在(-∞,0)單調遞減,其大致圖象如圖1所示.
故不可能找到一個點使它為中心對稱圖形,故C不滿足題意;
對于D,f(x)=的大致圖象如圖2所示.其圖象關于點(1,0)對稱.
16.(12分)定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數f(x)滿足f(xy)=f(x)-f,且函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減.
(1)求f(-1),并證明函數f(x)是偶函數;(6分)
(2)若f(2)=1,解不等式f-f≤1.(6分)
解　(1)令y=≠0,則f=f(x)-f(x),
即f(1)=f(x)-f(x)=0,
再令x=1,y=-1,可得f(-1)=f(1)-f(-1),
得2f(-1)=f(1)=0,
所以f(-1)=0,
令y=-1,可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x),
又該函數的定義域關于原點對稱,
所以f(x)是偶函數.
(2)因為f(2)=1,函數f(x)為偶函數,
所以f(-2)=1.
因為函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減,
所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
又f-f=f=f(2x-4),
所以f(|2x-4|)≤f(2),即
解得1≤x<2或2所以不等式f-f≤1的解集為[1,2)∪(2,3].(共66張PPT)
培優課
第三章
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函數性質的綜合問題
1.理解和掌握對稱軸和對稱中心滿足的條件.(重難點)
2.掌握函數性質的綜合應用問題.(重點)
學習目標
一、函數圖象的對稱性
二、函數性質的綜合應用
課時對點練
隨堂演練
內容索引
一
函數圖象的對稱性
提示　如圖所示,在x=a兩邊取對稱的兩個自變量的值,如a-x,a+x,由對稱性知它們的函數值相等,即f(a-x)=f(a+x);反之,若對定義域內任意x都有f(a-x)=
f(a+x),則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
當函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱時,會滿足怎樣的條件呢
問題1
提示　如圖所示,在x=a兩邊取對稱的兩個自變量的值,如a-x,a+x,由對稱性知它們的函數值互為相反數,即f(a-x)=-f(a+x);反之,若對定義域內任意x都有f(a-x)=-f(a+x),則函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱.
當函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱時,又會滿足怎樣的條件呢
問題2
1.函數圖象關于直線對稱
y=f(x)在定義域內恒滿足的條件 y=f(x)的圖象的對稱軸
f(a+x)=f(a-x) 直線x=a
f(x)=f(a-x) 直線x=
f(a+x)=f(b-x) 直線x=
2.函數圖象關于點對稱
y=f(x)在定義域內恒滿足的條件 y=f(x)的圖象的對稱中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x)
f(a+x)=-f(b-x)
f(a+x)+f(b-x)=c
(1)若函數f(x+a)是偶函數,則函數f(x)關于x=a對稱.
(2)若函數f(x+a)是奇函數,則函數f(x)關于(a,0)對稱.
注 意 點
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已知定義在R上的偶函數y=f(x),其圖象關于點對稱,且當x∈[0,1]時,f(x)=-x+,則f等于
A.-1 B.0
C.1 D.
例 1
√
∵y=f(x)的圖象關于點對稱,
∴f+f=0,
即f(1+x)+f(-x)=0.
又∵y=f(x)為偶函數,
∴f(-x)=f(x),
∴f(1+x)+f(x)=0,
即f(1+x)=-f(x),
∴f=-f=0.
解決對稱性、單調性和奇偶性綜合問題的方法
(1)圖象法,根據題意,作出符合要求的草圖,便可得出結論.
(2)性質法,根據對稱性、單調性和奇偶性的性質,逐步推導解決求值和比較大小的問題.
注意:使用性質要規范,切不可自創性質!
反
思
感
悟
若函數f(x)在(0,2)上單調遞增,函數f(x+2)是偶函數,則下列結論正確的是
A.f(1)C.f跟蹤訓練 1
√
∵f(x+2)是偶函數,
∴f(2-x)=f(2+x).
故f(x)的圖象關于直線x=2對稱,
∴f=f,f=f,
又f(x)在(0,2)上單調遞增,<1<,
∴f即f二
函數性質的綜合應用
已知函數f(x)=是定義在(-1,1)上的奇函數,且f=.
(1)確定函數f(x)的解析式;
例 2
根據題意得即
解得經檢驗,當a=1,b=0時符合題意,
∴f(x)=,x∈(-1,1).
(2)用定義法證明f(x)在(-1,1)上是增函數;
任取x1,x2∈(-1,1),且令x1f(x1)-f(x2)=-=.
∵-1∴x1-x2<0,1+>0,1+>0,1-x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)∴f(x)在(-1,1)上是增函數.
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函數,
∴解得0∴不等式的解集為.
反
思
感
悟
奇偶性、單調性的綜合應用
利用函數的奇偶性將函數式轉化,利用單調性解決常見不等式問題,在綜合性題目中,要熟練掌握奇偶性、單調性的性質及變形,適當應用解題技巧,化簡求值,解題時,一定要特別注意函數的定義域.
已知函數f(x)的定義域為(-2,2),函數g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函數g(x)的定義域;
跟蹤訓練 2
由題意可知
所以故函數g(x)的定義域為.
(2)若f(x)為奇函數,并且在定義域上是減函數,求不等式g(x)≤0的解集.
由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因為f(x)為奇函數,所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2,2)上是減函數,
所以所以不等式g(x)≤0的解集為.
1.知識清單:
(1)函數的對稱軸和對稱中心.
(2)函數性質的綜合應用.
2.方法歸納:數形結合、等價轉化.
3.常見誤區:容易忽視奇函數中的隱含條件f(0)=0.
隨堂演練
三
1
2
3
4
1.下列各圖中,表示以x為自變量,且有對稱中心的函數是
√
2.設f(x)是R上的偶函數,且在(0,+∞)上單調遞減,若x1<0且x1+x2>0,則
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)與f(-x2)的大小關系不確定
√
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∵x1+x2>0,∴x2>-x1,
∵x1<0,∴-x1>0,
∴0<-x1∵f(x)在(0,+∞)上單調遞減,
∴f(-x1)>f(x2),
∵f(x)是R上的偶函數,
∴f(-x2)=f(x2),即f(-x1)>f(-x2).
3.已知定義在R上的奇函數f(x),且當x∈[0,+∞)時,f(x)單調遞增,則不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是
A.(-∞,1) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-∞,1]
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√
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因為函數f(x)是奇函數,所以不等式f(2x+1)+f(1)≥0等價于f(2x+1)≥f(-1).
又當x≥0時,函數f(x)單調遞增,
所以函數f(x)在R上為增函數,
所以f(2x+1)≥f(-1)等價于2x+1≥-1,
解得x≥-1.
4.設f(x)是定義域為R的奇函數,且f(2+x)=f(-x).若f(-3)=3,則f(-1)=　　　.
因為f(2+x)=f(-x),
所以f(-1)=f(3),
又因為f(x)是定義域為R的奇函數,
且f(-3)=3,
所以f(-1)=f(3)=-f(-3)=-3.
-3
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課時對點練
四
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基礎鞏固
1.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),則f(2)的值是
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.4
由題意得f(0+2)=f(2)=f(0)=0.
√
2.已知f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數,則f(x)在區間(2,5)上
A.單調遞增 B.單調遞減
C.有增有減 D.增減性不確定
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由f(x)是偶函數,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,由函數f(x)=-x2+3的圖象(圖略)知,f(x)在區間(2,5)上單調遞減.
3.已知函數f(x)是定義域為R的奇函數,且f(x)=f(4-x),當-2≤x<0時,f(x)=,則f等于
A.-2　　　B.- 　　　C.　　　D.2
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∵f(x)=f(4-x),
∴f(x)的圖象關于直線x=2對稱,
∴f=f.
又∵函數f(x)為奇函數,
∴f=-f=-(-2)=2,即f=2.
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4.已知函數f(x)在區間(0,2)上單調遞減,且函數y=f(x+2)是偶函數,那么f(x)
A.在區間(2,4)上單調遞減
B.在區間(2,4)上單調遞增
C.在區間(-2,0)上單調遞減
D.在區間(-2,0)上單調遞增
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∵函數y=f(x+2)是偶函數,
∴函數y=f(x+2)的圖象關于y軸對稱,
即函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱,
∵函數f(x)在(0,2)上單調遞減,
∴函數f(x)在(2,4)上單調遞增.
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5.已知偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,且圖象經過點(-1,0)和(3,5),則當x∈[-3,-1]時,函數f(x)的值域是
A.[0,5]　　　B.[-1,5]　　　C.[1,3]　　　D.[3,5]
√
因為偶函數f(x)在區間[0,+∞)上單調遞增,
則函數f(x)在[-3,-1]上單調遞減,且f(-3)=f(3)=5,f(-1)=0,
故當x∈[-3,-1]時,函數f(x)的值域為[0,5].
6.(多選)若函數f(x)是定義域為R的偶函數,且該函數圖象與x軸的交點有3個,則下列說法正確的是
A.3個交點的橫坐標之和為0
B.3個交點的橫坐標之和不是定值,與函數解析式有關
C.f(0)=0
D.f(0)的值與函數解析式有關
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因為函數f(x)是定義域為R的偶函數,
所以其圖象關于y軸對稱,
所以當函數圖象與x軸的交點有3個時,則必有一個交點是原點,另兩個交點關于y軸對稱,
所以3個交點的橫坐標之和為0,且f(0)=0,故A,C正確,B,D錯誤.
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7.已知偶函數f(x)和奇函數g(x)的定義域都是(-4,4),且在(-4,0]上的圖象如圖所示,則關于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　　　.
(-4,-2)∪(0,2)
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設h(x)=f(x)g(x),
則h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
所以h(x)是奇函數,
由圖象可知,當-40,g(x)<0,
即h(x)<0,
當00,即h(x)<0,
所以h(x)<0的解集為(-4,-2)∪(0,2).
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8.設f(x)是定義在R上的奇函數,且y=f(x)的圖象關于直線x=對稱,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=　　　.
0
∵f(x)是定義在R上的奇函數,
∴f(0)=0.
又f(x)關于直線x=對稱,
∴f=f. ①
在①式中,當x=時,f(0)=f(1)=0.
在①式中,以+x代替x,得f=f,
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即f(-x)=f(1+x).
∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0,
f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0,
同理,f(4)=f(5)=0.
∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.
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9.已知函數f(x)是奇函數,定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上單調遞增,若f(1)=0,求不等式f<0的解集.
∵f(x)為奇函數,且在(0,+∞)上單調遞增,f(1)=0,
∴f(-1)=-f(1)=0,且f(x)在(-∞,0)上單調遞增,
∴不等式f<0可化為
即0解得∴原不等式的解集是.
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10.已知函數f(x)=是定義在(-3,3)上的奇函數,且f(1)=.
(1)求實數a和b的值;
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因為函數f(x)=是定義在(-3,3)上的奇函數,
所以f(0)==0,解得b=0,
則f(x)=,
又因為f(1)=,則=,解得a=2,
經檢驗a=2,b=0時,f(x)是奇函數,
所以a=2,b=0.
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(2)判斷函數f(x)在(-3,3)上的單調性,并證明你的結論;
f(x)=,x∈(-3,3),函數f(x)在(-3,3)上單調遞增.
證明:任取x1,x2∈(-3,3),x1所以f(x1)-f(x2)=-
=
=
=,
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因為-3所以9->0,9->0,x1x2+9>0,x1-x2<0,
則<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函數f(x)在(-3,3)上單調遞增.
(3)若f(t2-1)+f(1-4t)<0,求t的取值范圍.
函數f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數,且f(t2-1)+f(1-4t)<0,
則f(t2-1)<-f(1-4t)=f(4t-1),
因為函數f(x)在(-3,3)上單調遞增,
所以
解得0所以t的取值范圍是01
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11.定義在R上的偶函數f(x)的部分圖象如圖,則下列函數中在(-2,0)上與f(x)的單調性不同的是
A.y=x2+1
B.y=|x|+1
C.y=
D.y=
綜合運用
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易知f(x)在(-2,0)上單調遞減,A,B,C選項中函數在(-∞,0)上單調遞減,D選項中,函數在(-∞,0)上單調遞增.
12.若定義在R上的函數f(x)滿足:對任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,則下列說法一定正確的是
A.f(x)-1為奇函數 B.f(x)-1為偶函數
C.f(x)+1為奇函數 D.f(x)+1為偶函數
√
∵對任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,得f(0)=-1.
令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1.
∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],
∴f(x)+1為奇函數.
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13.(多選)定義在R上的奇函數f(x)為減函數,偶函數g(x)在區間[0,+∞)上的圖象與f(x)的圖象重合,設a>b>0,則下列不等式中成立的是
A.f(b)-f(-a)B.f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)
C.f(a)+f(-b)D.f(a)+f(-b)>g(b)-g(-a)
√
√
由題意得,函數f(x)為R上的奇函數,且為減函數,
偶函數g(x)在區間[0,+∞)上的圖象與f(x)的圖象重合,
因為a>b>0,所以f(a)對于A,f(b)-f(-a)對于B,由A的分析可知B錯誤;
對于C,f(a)+f(-b)符合,所以C正確;
對于D,由C的分析可知D錯誤.
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14.已知函數f(x)=若f(x-1)　　　　　　　　.
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若x>0,則-x<0,
f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x=f(x),
同理可得,當x<0時,f(-x)=f(x),
且當x=0時,f(0)=f(0),所以f(x)是偶函數.
因為當x>0時,函數f(x)單調遞增,
所以不等式f(x-1)整理得x(x+2)>0,解得x>0或x<-2.
15.(多選)函數f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數,下列函數有對稱中心的是
A.f(x)=x B.f(x)=x3-3x2
C.f(x)=x4+x2 D.f(x)=
拓廣探究
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√
√
∵函數y=f(x+a)-b為奇函數,
∴f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,
即f(x+a)+f(-x+a)=2b.
對于A,由f(x+a)+f(-x+a)=2b得a=b,
∴對于任意的a=b,P(a,b)都是其對稱中心,故A滿足題意;
對于B,f(x)=x3-3x2=x2(x-3),
∵f(x+1)+f(-x+1)=(x+1)2(x-2)+(-x+1)2(-x-2)=-4,
∴當a=1,b=-2時,P(1,-2)即為其對稱中心,故B滿足題意;
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對于C,∵f(x)=x4+x2是偶函數,圖象關于y軸對稱,且f(x)在(0,+∞)單調遞增,在(-∞,0)單調遞減,其大致圖象如圖1所示.
故不可能找到一個點使它為中心對稱圖形,故C不滿足題意;
對于D,f(x)=的大致圖象如圖2所示.其圖象關于點(1,0)對稱.
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16.定義在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函數f(x)滿足f(xy)=f(x)-f,且函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減.
(1)求f(-1),并證明函數f(x)是偶函數;
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令y=≠0,則f=f(x)-f(x),
即f(1)=f(x)-f(x)=0,
再令x=1,y=-1,可得f(-1)=f(1)-f(-1),得2f(-1)=f(1)=0,
所以f(-1)=0,
令y=-1,可得f(-x)=f(x)-f(-1)=f(x),
又該函數的定義域關于原點對稱,
所以f(x)是偶函數.
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(2)若f(2)=1,解不等式f-f≤1.
因為f(2)=1,函數f(x)為偶函數,所以f(-2)=1.
因為函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減,
所以函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
又f-f=f=f(2x-4),
所以f(|2x-4|)≤f(2),即
解得1≤x<2或2所以不等式f-f≤1的解集為[1,2)∪(2,3].
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16培優課　函數性質的綜合問題
[學習目標]　1.理解和掌握對稱軸和對稱中心滿足的條件.(重難點)2.掌握函數性質的綜合應用問題.(重點)
一、函數圖象的對稱性
問題1　當函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱時,會滿足怎樣的條件呢
問題2　當函數y=f(x)的圖象關于點(a,0)對稱時,又會滿足怎樣的條件呢
知識梳理
1.函數圖象關于直線對稱
y=f(x)在定義域 內恒滿足的條件 y=f(x)的圖 象的對稱軸
f(a+x)=f(a-x) 直線x=a
f(x)=f(a-x) 直線x=
f(a+x)=f(b-x) 直線x=
2.函數圖象關于點對稱
y=f(x)在定義域 內恒滿足的條件 y=f(x)的圖象 的對稱中心
f(a-x)=-f(a+x) (a,0)
f(x)=-f(a-x)
f(a+x)=-f(b-x)
f(a+x)+f(b-x)=c
例1　已知定義在R上的偶函數y=f(x),其圖象關于點對稱,且當x∈[0,1]時,f(x)=-x+,則f等于 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.
跟蹤訓練1　若函數f(x)在(0,2)上單調遞增,函數f(x+2)是偶函數,則下列結論正確的是 (　　)
A.f(1)B.fC.fD.f二、函數性質的綜合應用
例2　已知函數f(x)=是定義在(-1,1)上的奇函數,且f=.
(1)確定函數f(x)的解析式;
(2)用定義法證明f(x)在(-1,1)上是增函數;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
跟蹤訓練2　已知函數f(x)的定義域為(-2,2),函數g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函數g(x)的定義域;
(2)若f(x)為奇函數,并且在定義域上是減函數,求不等式g(x)≤0的解集.
1.知識清單:
(1)函數的對稱軸和對稱中心.
(2)函數性質的綜合應用.
2.方法歸納:數形結合、等價轉化.
3.常見誤區:容易忽視奇函數中的隱含條件f(0)=0.
1.下列各圖中,表示以x為自變量,且有對稱中心的函數是 (　　)
2.設f(x)是R上的偶函數,且在(0,+∞)上單調遞減,若x1<0且x1+x2>0,則 (　　)
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)與f(-x2)的大小關系不確定
3.已知定義在R上的奇函數f(x),且當x∈[0,+∞)時,f(x)單調遞增,則不等式f(2x+1)+f(1)≥0的解集是 (　　)
A.(-∞,1) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D.(-∞,1]
4.設f(x)是定義域為R的奇函數,且f(2+x)=f(-x).若f(-3)=3,則f(-1)=　　　　.
答案精析
問題1　如圖所示，在x=a兩邊取對稱的兩個自變量的值，如a-x，a+x，由對稱性知它們的函數值相等，即f(a-x)=f(a+x)；反之，若對定義域內任意x都有f(a-x)=f(a+x)，則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.
問題2　如圖所示，在x=a兩邊取對稱的兩個自變量的值，如a-x，a+x，由對稱性知它們的函數值互為相反數，即f(a-x)=-f(a+x)；反之，若對定義域內任意x都有f(a-x)=-f(a+x)，則函數y=f(x)的圖象關于點(a，0)對稱.
例1　B　［∵y=f(x)的圖象關于點對稱，
∴f+f=0，
即f(1+x)+f(-x)=0.
又∵y=f(x)為偶函數，
∴f(-x)=f(x)，
∴f(1+x)+f(x)=0，
即f(1+x)=-f(x)，
∴f=-f=0.］
跟蹤訓練1　B　［∵f(x+2)是偶函數，
∴f(2-x)=f(2+x).
故f(x)的圖象關于直線x=2對稱，
∴f=f，
f=f，
又f(x)在(0，2)上單調遞增，
<1<，
∴f即f例2　(1)解　根據題意得
即
解得經檢驗，
當a=1，b=0時符合題意，
∴f(x)=，x∈(-1，1).
(2)證明　任取x1，x2∈(-1，1)，
且令x1f(x1)-f(x2)=-
=.
∵-1∴x1-x2<0，1+>0，1+>0，
1-x1x2>0，
∴f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)∴f(x)在(-1，1)上是增函數.
(3)解　f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1，1)上是增函數，
∴解得0∴不等式的解集為.
跟蹤訓練2　解　(1)由題意可知
所以解得故函數g(x)的定義域為.
(2)由g(x)≤0，得f(x-1)+f(3-2x)≤0，
所以f(x-1)≤-f(3-2x).
因為f(x)為奇函數，
所以f(x-1)≤f(2x-3).
而f(x)在(-2，2)上是減函數，
所以解得所以不等式g(x)≤0的解集為.
隨堂演練
1.B　2.A　3.C　4.-3

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