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習(xí)題課　反比例函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握反比例函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì).(重難點(diǎn))2.會(huì)利用對(duì)勾函數(shù)解決一些綜合問(wèn)題.(難點(diǎn))
一、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
問(wèn)題1　反比例函數(shù)的一般形式是什么
提示　y=,其中x為自變量且x≠0,k為常數(shù).
問(wèn)題2　反比例函數(shù)的圖象會(huì)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)嗎
提示　不會(huì),因?yàn)閤≠0.
例1　畫(huà)出反比例函數(shù)y=的圖象.
(1)求函數(shù)的定義域和值域;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.
解　
(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠0}.
(2)令y=f(x),當(dāng)k>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間,證明如下:
當(dāng)x>0時(shí), x1,x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=-=,
∵k>0,x1>0,x2>0,x1∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
同理當(dāng)x<0時(shí),f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.
當(dāng)k<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間(證明略).
f(x)為奇函數(shù).
反思感悟　研究反比例函數(shù)的幾個(gè)方面
(1)函數(shù)的定義域和值域可以由圖象直接得到.
(2)由圖象或者單調(diào)性的定義可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,但一定要注意兩個(gè)單調(diào)遞增(減)區(qū)間的連接方法.
(3)由圖象或者奇偶性的定義可以判斷函數(shù)的奇偶性.
(4)函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱(chēng).
跟蹤訓(xùn)練1　作出y=(-2≤x<1且x≠0)的圖象,并指出其值域和單調(diào)區(qū)間.
解　由題意知函數(shù)y=(-2≤x<1且x≠0)的圖象為反比例函數(shù)圖象的一部分,
當(dāng)x=-2時(shí),y==-1;當(dāng)x=1時(shí),y==2;
所以該函數(shù)圖象如圖.
由圖象可知,函數(shù)y=(-2≤x<1且x≠0)的值域?yàn)?-∞,-1]∪(2,+∞).
單調(diào)遞減區(qū)間為[-2,0)和(0,1),沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間.
二、對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)
問(wèn)題3　觀察函數(shù)y=x+解析式的特點(diǎn),你想到了什么
提示　學(xué)習(xí)了冪函數(shù),類(lèi)比實(shí)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算,我們對(duì)冪函數(shù)也進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算,得到了新的函數(shù)y=x+.
問(wèn)題4　大家討論一下,如何作出該函數(shù)的圖象
提示　借助計(jì)算機(jī)軟件,我們繪制出它的圖象.
問(wèn)題5　觀察函數(shù)圖象,你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)嗎
提示　發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象介于y=x和y軸之間,且圖象無(wú)限接近y=x和y軸,函數(shù)圖象像兩個(gè)勾子一樣,故稱(chēng)此類(lèi)函數(shù)為“對(duì)勾函數(shù)”.
問(wèn)題6　結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)圖象,你能得出f(x)=x+的哪些性質(zhì)
提示　(1)定義域:∵x≠0,
∴函數(shù)f(x)=x+的定義域?yàn)閧x|x≠0};
(2)值域:函數(shù)f(x)=x+的值域?yàn)?br/>(-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:∵f(-x)=-x-=-=-f(x),
∴函數(shù)f(x)=x+為奇函數(shù);
(4)單調(diào)性:由函數(shù)f(x)=x+的圖象可知,函數(shù)f(x)=x+在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,0),(0,1)上單調(diào)遞減.
(5)最大值、最小值:由函數(shù)的值域可知,函數(shù)無(wú)最大、最小值,但是當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)有最小值為2,當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)有最大值為-2.
(6)對(duì)稱(chēng)性:由函數(shù)的奇偶性可知,函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)成中心對(duì)稱(chēng).
例2　探究函數(shù)f(x)=x+(a>0)的性質(zhì),并畫(huà)出它的簡(jiǎn)圖(單調(diào)性需證明,其余性質(zhì)列出即可).
解　(1)定義域:{x|x≠0};
(2)值域:(-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:奇函數(shù);
(4)單調(diào)性:函數(shù)f(x)=x+(a>0)在(-∞,-)和(,+∞)上單調(diào)遞增,在[-,0)和(0,]上單調(diào)遞減,證明如下:
任取x1,x2∈(0,],且x1則f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·.
因?yàn)?所以x1-x2<0,0所以>1,所以1-<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0,]上單調(diào)遞減.
任取x1,x2∈(,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=(x1-x2).
因?yàn)閤1-x2<0,x1x2>a,
所以<1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x1)所以f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增.
同理,f(x)在(-∞,-)上單調(diào)遞增,在(-,0)上單調(diào)遞減.
其圖象如圖所示.
延伸探究　當(dāng)a<0時(shí),探究該函數(shù)的性質(zhì),并畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖(單調(diào)性需證明,其余性質(zhì)列出即可).
解　(1)定義域:{x|x≠0};
(2)值域:R;
(3)奇偶性:奇函數(shù);
(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增,證明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=x1+-
=(x1-x2),
因?yàn)?所以x1-x2<0,
又a<0,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;
同理可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.
其簡(jiǎn)圖如圖所示.
反思感悟　函數(shù)f(x)=x+(a≠0)的單調(diào)性
當(dāng)a>0時(shí),在(-∞,-)和(,+∞)上單調(diào)遞增,在[-,0)和(0,]上單調(diào)遞減;
當(dāng)a<0時(shí),在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增.
跟蹤訓(xùn)練2　函數(shù)f(x)=x+.
(1)x∈[1,3],f(x)的最小值是　　　　;
(2)x∈,f(x)的值域?yàn)椤　　　?
(3)x∈∪(0,3],f(x)的值域?yàn)椤　　　?
答案　(1)2　(2)　(3)∪[2,+∞)
解析　(1)∵f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增,
∴f(x)的最小值為f(1)=2.
(2)∵f(x)在上單調(diào)遞減,在[1,3]上單調(diào)遞增,
∴最小值為f(1)=2,
∵f=<=f(3),∴最大值為f(3),
∴f(x)在上的值域?yàn)?
(3)∵x∈∪(0,3],且f(x)在上單調(diào)遞減,
∴f(x)在上的值域是,
又f(x)在(0,3]上先單調(diào)遞減,然后單調(diào)遞增,在f(1)處取得最小值,
∴f(x)在(0,3]上的值域是[2,+∞),
∴f(x)在∪(0,3]上的值域?yàn)椤萚2,+∞).
三、對(duì)勾函數(shù)的綜合運(yùn)用
例3　已知函數(shù)f(x)=.
(1)當(dāng)a=4時(shí),求函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)上的最小值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的最小值.
解　(1)當(dāng)a=4時(shí),f(x)==x+-2,
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x+-2≥2-2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)等號(hào)成立,
∴f(x)的最小值為2.
(2)f(x)=x+-2,設(shè)0f(x1)-f(x2)=x1-x2+-
=(x1-x2)
=,
∵0∴x1x2∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,同理可證f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)0f(x)min=f(2)=;
當(dāng)a>4時(shí),>2,函數(shù)f(x)在[2,)上單調(diào)遞減,
在(,+∞)上單調(diào)遞增,
f(x)min=f()=2-2.
設(shè)f(x)的最小值為g(a),
∴g(a)=
反思感悟　求對(duì)勾函數(shù)的最值問(wèn)題,可以利用函數(shù)的單調(diào)性及其圖象研究,也可以利用基本不等式.
跟蹤訓(xùn)練3　函數(shù)f(x)=的值域是　　　　　.
答案　
解析　由f(x)=
=
==(x-1)++4,
令t=x-1∈,原函數(shù)記為y=t++4,
則函數(shù)y關(guān)于t在上單調(diào)遞減,在[2,3]上單調(diào)遞增,
當(dāng)t=2時(shí),函數(shù)y有最小值為8,
當(dāng)t=時(shí),y=,
當(dāng)t=3時(shí),y=<,
故函數(shù)y的最大值為,
即f(x)的值域?yàn)?
1.知識(shí)清單:
(1)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).
(2)對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì).
2.方法歸納:分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合.
3.常見(jiàn)誤區(qū):研究函數(shù)的性質(zhì)一定先確定函數(shù)的定義域.
1.函數(shù)y=,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,那么m的取值范圍是 (　　)
A.m<3 B.m>3
C.m<-3 D.m>-3
答案　A
解析　在反比例函數(shù)y=中,若k>0,在x>0時(shí),y隨x的增大而減小,若k<0,在x>0時(shí),y隨x的增大而增大,所以由題意得m-3<0,m<3.
2.(多選)已知函數(shù)y=,下列結(jié)論中正確的是 (　　)
A.其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1)
B.其圖象分別位于第一、三象限
C.當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小
D.當(dāng)x>1時(shí),y>3
答案　ABC
解析　反比例函數(shù)y=,當(dāng)x=3時(shí),y=1,故A正確;
因?yàn)閥=分子大于0,所以圖象在第一、三象限,故B正確;
反比例函數(shù)在第一、三象限上都單調(diào)遞減,故C正確;
因?yàn)樵?0,+∞) 上,y=單調(diào)遞減,所以當(dāng)x>1時(shí),03.函數(shù)y=x+(x≥2)的最小值為 (　　)
A.2 B.2 C.3 D.
答案　C
解析　由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知y=x+在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
所以ymin=2+=3.
4.已知對(duì)勾函數(shù)y=x+(a>0)在(-∞,-a)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(-a,0)和(0,a)上單調(diào)遞減.若對(duì)勾函數(shù)f(x)=x+(t>0)在整數(shù)集合Z內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為　　　　.
答案　(0,2)
解析　根據(jù)題意得f(x)在(-∞,-),(,+∞)上單調(diào)遞增,要使f(x)在整數(shù)集合Z內(nèi)單調(diào)遞增,則即
解得0∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(0,2).
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.已知集合A=,B=,C=,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.A=B B.A=C
C.B=C D.A=B=C
答案　A
解析　∵函數(shù)y=的定義域?yàn)锳=={x|x≠0},值域?yàn)锽=={y|y≠0},且集合A,B都是數(shù)集,C是點(diǎn)集,∴A=B.
2.某氣球內(nèi)充滿(mǎn)了一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)溫度不變時(shí),氣球內(nèi)氣體的氣壓p(千帕)是氣球體積V(立方米)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示,則這個(gè)函數(shù)的解析式為 (　　)
A.p=96V B.p=-
C.p= D.p=
答案　D
解析　因?yàn)闅馇騼?nèi)氣體的氣壓是氣球體積的反比例函數(shù),所以可設(shè)p=,由圖象可知,點(diǎn)(1.5,64)在函數(shù)圖象上,所以64=,解得k=96,
故p=.
3.函數(shù)f(x)=x+在區(qū)間[1,3]上的最大值是 (　　)
A.3 B.5
C.4 D.
答案　B
解析　由對(duì)勾函數(shù)的圖象的特點(diǎn)可知,x=2時(shí)函數(shù)有最小值,x=1時(shí),函數(shù)有最大值為5.
4.函數(shù)f(x)=x+(a>0,x∈R,x≠0)的奇偶性為 (　　)
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)
C.非奇非偶函數(shù) D.無(wú)法判斷
答案　A
解析　f(-x)=-x-=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).
5.函數(shù)g(x)=x+的單調(diào)遞減區(qū)間為 (　　)
A.(-3,0)∪(0,3) B.(-3,3)
C.(-3,0)和(0,3) D.(-∞,-3)和(3,+∞)
答案　C
6.(多選)下列函數(shù)中,滿(mǎn)足對(duì)任意x1,x2∈(1,+∞),有<0的是 (　　)
A.f(x)=x+ B.f(x)=
C.f(x)=1+ D.f(x)=-x-
答案　CD
解析　對(duì)任意x1,x2∈(1,+∞),
有<0,
則函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.
對(duì)于A,f(x)=x+,由對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知不滿(mǎn)足題意,故A不滿(mǎn)足題意;
對(duì)于B,f(x)=,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,故B不滿(mǎn)足題意;
對(duì)于C,f(x)=1+,函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,故C滿(mǎn)足題意;
對(duì)于D,f(x)=-x- ,顯然函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,故D滿(mǎn)足題意.
7.(5分)函數(shù)f(x)=x-的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　.
答案　(-∞,0)和(0,+∞)
解析　畫(huà)出函數(shù)圖象如圖,可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞).
8.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=-x+a與函數(shù)y=的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 　　　　　　.
答案　a<-2或a>2
解析　聯(lián)立整理得x2-ax+1=0, ①
函數(shù)y=-x+a與反比例函數(shù)y=的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),
則方程組有兩個(gè)解,即方程①有兩個(gè)不同的解,
Δ=a2-4>0,a<-2或a>2.
9.(10分)作出函數(shù)y=的圖象,并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.
解　y==1+,圖象如圖所示.
函數(shù)在(-∞,2)和(2,+∞)上單調(diào)遞減.
因?yàn)椤?,
所以1+≠1.
故單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2)和(2,+∞),無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.值域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞).
10.(12分)一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物,經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息:每月土地占地費(fèi)y1(單位:萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離x(單位:km)成反比,每月庫(kù)存貨物費(fèi)y2(單位:萬(wàn)元)與(4x+1)成正比;若在距離車(chē)站10 km處建倉(cāng)庫(kù),則y1與y2分別為2萬(wàn)元和8.2萬(wàn)元.記兩項(xiàng)費(fèi)用之和為w.
(1)求w關(guān)于x的解析式;(7分)
(2)這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站多少千米處,才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小 求出最小值.(5分)
解　(1)∵每月土地占地費(fèi)y1(單位:萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離x(單位:km)成反比,
∴可設(shè)y1=,
∵每月庫(kù)存貨物費(fèi)y2(單位:萬(wàn)元)與(4x+1)成正比,
∴可設(shè)y2=(4x+1)k2,
又∵在距離車(chē)站10 km處建倉(cāng)庫(kù),則y1與y2分別為2萬(wàn)元和8.2萬(wàn)元,
∴k1=2×10=20,k2==0.2,
∴y1=,y2=(4x+1)×0.2=0.8x+0.2,
∴w=y1+y2=+0.8x+0.2(x>0).
(2)∵w=+0.8x+0.2≥2+0.2=8.2,當(dāng)且僅當(dāng)=0.8x,即x=5時(shí)等號(hào)成立,
∴這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站5 km處,才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,最小值為8.2萬(wàn)元.
11.函數(shù)f(x)=(x∈R)的值域是 (　　)
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
答案　B
解析　令t=1+x2,則t∈[1,+∞),又y=在t∈[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(x)=(x∈R)的值域?yàn)?0,1].
12.函數(shù)y=x2+-2(-1A.x≥2 B.y≥2
C.{y|y≥3} D.{y|y>3}
答案　D
解析　令t=x2∈(0,1),
所以y=x2+-2=t+-2,
因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=t+在(0,1)上單調(diào)遞減,
所以y=x2+-2>5-2=3.
13.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車(chē)從某市以v km/h的速度送往災(zāi)區(qū),已知運(yùn)送的路線長(zhǎng)400 km,為了安全起見(jiàn),兩輛汽車(chē)的間距不得小于 km,那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)最少需要 (　　)
A.5 h B.10 h C.15 h D.20 h
答案　B
解析　由已知得這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的路程是第一輛車(chē)出發(fā),到最后一輛車(chē)到災(zāi)區(qū),總路程最小為400+25=400+,
設(shè)這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的時(shí)間為t h,
則t==+≥2=10.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即v=80時(shí),等號(hào)成立.
∴這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)最少需要10 h.
14.(5分)函數(shù)y=的對(duì)稱(chēng)中心為　　　　.
答案　(-1,1)
解析　∵y===1-,
∴該函數(shù)是由y=-先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.
再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,
∴對(duì)稱(chēng)中心為(-1,1).
15.(5分)已知函數(shù)f(x)=若存在0答案　(96,100)
解析　∵f(x)=
可得函數(shù)圖象如圖所示.
由圖可知,當(dāng)y∈(4,5)時(shí),存在0不妨令此時(shí)y=a,則對(duì)于x1,x2滿(mǎn)足方程x+=a,即x2-ax+4=0,所以x1x2=4;對(duì)于x3,x4滿(mǎn)足方程-x2+10x-20=a,即-x2+10x-20-a=0,所以x3+x4=10,則有x4=10-x3,
∴x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10-x3)=-4(x3-5)2+100,
其中x3∈(4,5),則-4(x3-5)2+100∈(96,100),
即x1x2x3x4∈(96,100).
16.(12分)已知函數(shù)y=x+有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)在(0,]上單調(diào)遞減,在[,+∞)上單調(diào)遞增.
(1)已知f(x)=2x+-7,x∈[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;(6分)
(2)利用上述函數(shù)性質(zhì),當(dāng)方程t2-(8+a)t+4=0在[2,3]上有解時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(6分)
解　(1)設(shè)t=2x+1,則f(x)=u(t)=t+-8,
因?yàn)閤∈[0,1],則t=2x+1∈[1,3].
由已知性質(zhì)可知u(t)在[1,2]上單調(diào)遞減,在[2,3]上單調(diào)遞增.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
當(dāng)2x+1=2,即x=時(shí),f(x)min=f=-4,
又f(0)=-3,f(1)=-,
所以f(x)max=-3,所以值域?yàn)閇-4,-3].
(2)由題意得at=t2-8t+4,
因?yàn)閠≥2,所以a=t-8+=t+-8=u(t),
由(1)知u(t)=t+-8在[2,3]上單調(diào)遞增,
所以u(píng)(t)min=u(2)=-4,
u(t)max=u(3)=-,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(共74張PPT)
習(xí)題課
第三章
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反比例函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)
1.掌握反比例函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì).(重難點(diǎn))
2.會(huì)利用對(duì)勾函數(shù)解決一些綜合問(wèn)題.(難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
一、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
二、對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、對(duì)勾函數(shù)的綜合運(yùn)用
隨堂演練
內(nèi)容索引
一
反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
反比例函數(shù)的一般形式是什么
問(wèn)題1
提示　y=,其中x為自變量且x≠0,k為常數(shù).
反比例函數(shù)的圖象會(huì)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)嗎
問(wèn)題2
提示　不會(huì),因?yàn)閤≠0.
畫(huà)出反比例函數(shù)y=的圖象.
(1)求函數(shù)的定義域和值域;
例 1
函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠0}.
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.
令y=f(x),當(dāng)k>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間,證明如下:
當(dāng)x>0時(shí), x1,x2∈(0,+∞)且x1f(x1)-f(x2)=-=,
∵k>0,x1>0,x2>0,x1∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
同理當(dāng)x<0時(shí),f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.
當(dāng)k<0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間(證明略).
f(x)為奇函數(shù).
反
思
感
悟
研究反比例函數(shù)的幾個(gè)方面
(1)函數(shù)的定義域和值域可以由圖象直接得到.
(2)由圖象或者單調(diào)性的定義可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,但一定要注意兩個(gè)單調(diào)遞增(減)區(qū)間的連接方法.
(3)由圖象或者奇偶性的定義可以判斷函數(shù)的奇偶性.
(4)函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱(chēng).
作出y=(-2≤x<1且x≠0)的圖象,并指出其值域和單調(diào)區(qū)間.
跟蹤訓(xùn)練 1
由題意知函數(shù)y=(-2≤x<1且x≠0)的圖象為反比例函數(shù)圖象的一部分,
當(dāng)x=-2時(shí),y==-1;當(dāng)x=1時(shí),y==2;
所以該函數(shù)圖象如圖.
由圖象可知,函數(shù)y=(-2≤x<1且x≠0)的值域?yàn)?-∞,-1]∪(2,+∞).
單調(diào)遞減區(qū)間為[-2,0)和(0,1),沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間.
二
對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)
觀察函數(shù)y=x+解析式的特點(diǎn),你想到了什么
問(wèn)題3
提示　學(xué)習(xí)了冪函數(shù),類(lèi)比實(shí)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算,我們對(duì)冪函數(shù)也進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算,得到了新的函數(shù)y=x+.
大家討論一下,如何作出該函數(shù)的圖象
問(wèn)題4
提示　借助計(jì)算機(jī)軟件,我們繪制出它的圖象.
觀察函數(shù)圖象,你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)嗎
問(wèn)題5
提示　發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象介于y=x和y軸之間,且圖象無(wú)限接近y=x和y軸,函數(shù)圖象像兩個(gè)勾子一樣,故稱(chēng)此類(lèi)函數(shù)為“對(duì)勾函數(shù)”.
結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)圖象,你能得出f(x)=x+的哪些性質(zhì)
問(wèn)題6
提示　(1)定義域:∵x≠0,
∴函數(shù)f(x)=x+的定義域?yàn)閧x|x≠0};
(2)值域:函數(shù)f(x)=x+的值域?yàn)?-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:∵f(-x)=-x-=-=-f(x),
∴函數(shù)f(x)=x+為奇函數(shù);
(4)單調(diào)性:由函數(shù)f(x)=x+的圖象可知,函數(shù)f(x)=x+在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,0),(0,1)上單調(diào)遞減.
(5)最大值、最小值:由函數(shù)的值域可知,函數(shù)無(wú)最大、最小值,但是當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)有最小值為2,當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)有最大值為-2.
(6)對(duì)稱(chēng)性:由函數(shù)的奇偶性可知,函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)成中心對(duì)稱(chēng).
探究函數(shù)f(x)=x+(a>0)的性質(zhì),并畫(huà)出它的簡(jiǎn)圖(單調(diào)性需證明,其余性質(zhì)列出即可).
例 2
(1)定義域:{x|x≠0};
(2)值域:(-∞,-2]∪[2,+∞);
(3)奇偶性:奇函數(shù);
(4)單調(diào)性:函數(shù)f(x)=x+(a>0)在(-∞,-)和(,+∞)上單調(diào)遞增,在[-,0)
和(0,]上單調(diào)遞減,證明如下:
任取x1,x2∈(0,],且x1則f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·.
因?yàn)?所以>1,所以1-<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0,]上單調(diào)遞減.
任取x1,x2∈(,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=(x1-x2).
因?yàn)閤1-x2<0,x1x2>a,
所以<1,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
所以f(x1)所以f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增.
同理,f(x)在(-∞,-)上單調(diào)遞增,在(-,0)上單調(diào)遞減.
其圖象如圖所示.
當(dāng)a<0時(shí),探究該函數(shù)的性質(zhì),并畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖(單調(diào)性需證明,其余性質(zhì)列出即可).
延伸探究
(1)定義域:{x|x≠0};
(2)值域:R;
(3)奇偶性:奇函數(shù);
(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增,證明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=x1+-=(x1-x2),
因?yàn)?所以x1-x2<0,
又a<0,所以1->0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;
同理可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.
其簡(jiǎn)圖如圖所示.
函數(shù)f(x)=x+(a≠0)的單調(diào)性
當(dāng)a>0時(shí),在(-∞,-)和(,+∞)上單調(diào)遞增,在[-,0)和(0,]上單調(diào)遞減;
當(dāng)a<0時(shí),在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增.
反
思
感
悟
函數(shù)f(x)=x+.
(1)x∈[1,3],f(x)的最小值是　　　;
跟蹤訓(xùn)練 2
2
∵f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增,
∴f(x)的最小值為f(1)=2.
(2)x∈,f(x)的值域?yàn)椤　　　?
∵f(x)在上單調(diào)遞減,在[1,3]上單調(diào)遞增,
∴最小值為f(1)=2,
∵f=<=f(3),∴最大值為f(3),
∴f(x)在.
(3)x∈∪(0,3],f(x)的值域?yàn)椤　　　　　　　　?
∪[2,+∞)
∵x∈∪(0,3],且f(x)在上單調(diào)遞減,
∴f(x)在,
又f(x)在(0,3]上先單調(diào)遞減,然后單調(diào)遞增,在f(1)處取得最小值,
∴f(x)在(0,3]上的值域是[2,+∞),
∴f(x)在∪(0,3]上的值域?yàn)椤萚2,+∞).
三
對(duì)勾函數(shù)的綜合運(yùn)用
已知函數(shù)f(x)=.
(1)當(dāng)a=4時(shí),求函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)上的最小值;
例 3
當(dāng)a=4時(shí),f(x)==x+-2,
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=x+-2≥2-2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)等號(hào)成立,
∴f(x)的最小值為2.
(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的最小值.
f(x)=x+-2,設(shè)0f(x1)-f(x2)=x1-x2+-
=(x1-x2)=,
∵0∴x1x2∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,同理可證f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)0f(x)min=f(2)=;
當(dāng)a>4時(shí),>2,函數(shù)f(x)在[2,)上單調(diào)遞減,
在(,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)min=f()=2-2.
設(shè)f(x)的最小值為g(a),
∴g(a)=
求對(duì)勾函數(shù)的最值問(wèn)題,可以利用函數(shù)的單調(diào)性及其圖象研究,也可以利用基本不等式.
反
思
感
悟
函數(shù)f(x)=的值域是　　　　.
跟蹤訓(xùn)練 3
由f(x)====(x-1)++4,
令t=x-1∈,原函數(shù)記為y=t++4,
則函數(shù)y關(guān)于t在上單調(diào)遞減,在[2,3]上單調(diào)遞增,
當(dāng)t=2時(shí),函數(shù)y有最小值為8,
當(dāng)t=時(shí),y=,當(dāng)t=3時(shí),y=<,
故函數(shù)y的最大值為,即f(x)的值域?yàn)?
1.知識(shí)清單:
(1)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).
(2)對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì).
2.方法歸納:分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合.
3.常見(jiàn)誤區(qū):研究函數(shù)的性質(zhì)一定先確定函數(shù)的定義域.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.函數(shù)y=,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,那么m的取值范圍是
A.m<3 B.m>3
C.m<-3 D.m>-3
√
在反比例函數(shù)y=中,若k>0,在x>0時(shí),y隨x的增大而減小,若k<0,在x>0時(shí),
y隨x的增大而增大,所以由題意得m-3<0,m<3.
2.(多選)已知函數(shù)y=,下列結(jié)論中正確的是
A.其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1)
B.其圖象分別位于第一、三象限
C.當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小
D.當(dāng)x>1時(shí),y>3
√
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√
√
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2
3
4
反比例函數(shù)y=,當(dāng)x=3時(shí),y=1,故A正確;
因?yàn)閥=分子大于0,所以圖象在第一、三象限,故B正確;
反比例函數(shù)在第一、三象限上都單調(diào)遞減,故C正確;
因?yàn)樵?0,+∞) 上,y=單調(diào)遞減,所以當(dāng)x>1時(shí),03.函數(shù)y=x+(x≥2)的最小值為
A.2　　　B.2　　　C.3　　　D.
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√
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知y=x+在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
所以ymin=2+=3.
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4.已知對(duì)勾函數(shù)y=x+(a>0)在(-∞,-a)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(-a,0)和(0,a)上單調(diào)遞減.若對(duì)勾函數(shù)f(x)=x+(t>0)在整數(shù)集合Z內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為　　　　.
(0,2)
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4
根據(jù)題意得f(x)在(-∞,-),(,+∞)上單調(diào)遞增,要使f(x)在整數(shù)集合Z內(nèi)單調(diào)遞增,
則
解得0∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(0,2).
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
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基礎(chǔ)鞏固
1.已知集合A=,B=,C=,則下列結(jié)論正確的是
A.A=B　　　B.A=C　　　C.B=C　　　D.A=B=C
√
∵函數(shù)y=的定義域?yàn)锳=={x|x≠0},值域?yàn)锽=={y|y≠0},且集合A,B都是數(shù)集,C是點(diǎn)集,∴A=B.
2.某氣球內(nèi)充滿(mǎn)了一定質(zhì)量的氣體,當(dāng)溫度不變時(shí),氣球內(nèi)氣體的氣壓p(千帕)是氣球體積V(立方米)的反比例函數(shù),其圖象如圖所示,則這個(gè)函數(shù)的解析式為
A.p=96V B.p=-
C.p= D.p=
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因?yàn)闅馇騼?nèi)氣體的氣壓是氣球體積的反比例函數(shù),所以可設(shè)p=,由圖象可知,點(diǎn)(1.5,64)在函數(shù)圖象上,所以64=,解得k=96,
故p=.
3.函數(shù)f(x)=x+在區(qū)間[1,3]上的最大值是
A.3　　　B.5　　　C.4　　　D.
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√
由對(duì)勾函數(shù)的圖象的特點(diǎn)可知,x=2時(shí)函數(shù)有最小值,x=1時(shí),函數(shù)有最大值為5.
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4.函數(shù)f(x)=x+(a>0,x∈R,x≠0)的奇偶性為
A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)
C.非奇非偶函數(shù) D.無(wú)法判斷
√
f(-x)=-x-=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).
5.函數(shù)g(x)=x+的單調(diào)遞減區(qū)間為
A.(-3,0)∪(0,3) B.(-3,3)
C.(-3,0)和(0,3) D.(-∞,-3)和(3,+∞)
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√
6.(多選)下列函數(shù)中,滿(mǎn)足對(duì)任意x1,x2∈(1,+∞),有<0的是
A.f(x)=x+ B.f(x)=
C.f(x)=1+ D.f(x)=-x-
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對(duì)任意x1,x2∈(1,+∞),有<0,
則函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.
對(duì)于A,f(x)=x+,由對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知不滿(mǎn)足題意,故A不滿(mǎn)足題意;
對(duì)于B,f(x)=,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,故B不滿(mǎn)足題意;
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對(duì)于C,f(x)=1+,函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,故C滿(mǎn)足題意;
對(duì)于D,f(x)=-x- ,顯然函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減,故D滿(mǎn)足題意.
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7.函數(shù)f(x)=x-的單調(diào)遞增區(qū)間為　　　　　　　　.
(-∞,0)和(0,+∞)
畫(huà)出函數(shù)圖象如圖,可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞).
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8.在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=-x+a與函數(shù)y=的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 　　　　　　.
a<-2或a>2
聯(lián)立整理得x2-ax+1=0, ①
函數(shù)y=-x+a與反比例函數(shù)y=的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),
則方程組有兩個(gè)解,即方程①有兩個(gè)不同的解,
Δ=a2-4>0,a<-2或a>2.
9.作出函數(shù)y=的圖象,并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.
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y==1+,圖象如圖所示.
函數(shù)在(-∞,2)和(2,+∞)上單調(diào)遞減.
因?yàn)椤?,所以1+≠1.
故單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,2)和(2,+∞),無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間.
值域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞).
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10.一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物,經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息:每月土地占地費(fèi)y1(單位:萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離x(單位:km)成反比,每月庫(kù)存貨物費(fèi)y2(單位:萬(wàn)元)與(4x+1)成正比;若在距離車(chē)站10 km處建倉(cāng)庫(kù),則y1與y2分別為2萬(wàn)元和8.2萬(wàn)元.記兩項(xiàng)費(fèi)用之和為w.
(1)求w關(guān)于x的解析式;
∵每月土地占地費(fèi)y1(單位:萬(wàn)元)與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離x(單位:km)成反比,
∴可設(shè)y1=,∵每月庫(kù)存貨物費(fèi)y2(單位:萬(wàn)元)與(4x+1)成正比,
∴可設(shè)y2=(4x+1)k2,
又∵在距離車(chē)站10 km處建倉(cāng)庫(kù),則y1與y2分別為2萬(wàn)元和8.2萬(wàn)元,
∴k1=2×10=20,k2==0.2,
∴y1=,y2=(4x+1)×0.2=0.8x+0.2,
∴w=y1+y2=+0.8x+0.2(x>0).
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(2)這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站多少千米處,才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小 求出最小值.
∵w=+0.8x+0.2≥2+0.2=8.2,當(dāng)且僅當(dāng)=0.8x,即x=5時(shí)等號(hào)成立,
∴這家公司應(yīng)該把倉(cāng)庫(kù)建在距離車(chē)站5 km處,才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,最小值為8.2萬(wàn)元.
11.函數(shù)f(x)=(x∈R)的值域是
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[0,1]
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綜合運(yùn)用
√
令t=1+x2,則t∈[1,+∞),又y=在t∈[1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以f(x)=(x∈R)的值域?yàn)?0,1].
12.函數(shù)y=x2+-2(-1A.x≥2　　　B.y≥2　　　C.{y|y≥3}　　　D.{y|y>3}
√
令t=x2∈(0,1),
所以y=x2+-2=t+-2,
因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)y=t+在(0,1)上單調(diào)遞減,
所以y=x2+-2>5-2=3.
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13.一批救災(zāi)物資隨26輛汽車(chē)從某市以v km/h的速度送往災(zāi)區(qū),已知運(yùn)送的路線長(zhǎng)400 km,為了安全起見(jiàn),兩輛汽車(chē)的間距不得小于 km,那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)最少需要
A.5 h　　　B.10 h　　　C.15 h　　　D.20 h
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由已知得這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的路程是第一輛車(chē)出發(fā),到最后一輛車(chē)到災(zāi)區(qū),總路程最小為400+25=400+,
設(shè)這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的時(shí)間為t h,
則t==+≥2=10.
當(dāng)且僅當(dāng)=,即v=80時(shí),等號(hào)成立.
∴這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)最少需要10 h.
14.函數(shù)y=的對(duì)稱(chēng)中心為　　　　.
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(-1,1)
∵y===1-,
∴該函數(shù)是由y=-先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.
再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,
∴對(duì)稱(chēng)中心為(-1,1).
15.已知函數(shù)f(x)=若存在0拓廣探究
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(96,100)
∵f(x)=
可得函數(shù)圖象如圖所示.
由圖可知,當(dāng)y∈(4,5)時(shí),存在0不妨令此時(shí)y=a,則對(duì)于x1,x2滿(mǎn)足方程x+=a,即x2-ax+4=0,所以x1x2=4;
對(duì)于x3,x4滿(mǎn)足方程-x2+10x-20=a,即-x2+10x-20-a=0,所以x3+x4=10,則有x4=10-x3,
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∴x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10-x3)=-4(x3-5)2+100,
其中x3∈(4,5),則-4(x3-5)2+100∈(96,100),
即x1x2x3x4∈(96,100).
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16.已知函數(shù)y=x+有如下性質(zhì):如果常數(shù)t>0,那么該函數(shù)在(0,]上單調(diào)遞減,在[,+∞)上單調(diào)遞增.
(1)已知f(x)=2x+-7,x∈[0,1],利用上述性質(zhì),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域;
設(shè)t=2x+1,則f(x)=u(t)=t+-8,
因?yàn)閤∈[0,1],則t=2x+1∈[1,3].
由已知性質(zhì)可知u(t)在[1,2]上單調(diào)遞減,在[2,3]上單調(diào)遞增.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
當(dāng)2x+1=2,即x=時(shí),f(x)min=f=-4,
又f(0)=-3,f(1)=-,
所以f(x)max=-3,所以值域?yàn)閇-4,-3].
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(2)利用上述函數(shù)性質(zhì),當(dāng)方程t2-(8+a)t+4=0在[2,3]上有解時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
由題意得at=t2-8t+4,
因?yàn)閠≥2,所以a=t-8+=t+-8=u(t),
由(1)知u(t)=t+-8在[2,3]上單調(diào)遞增,
所以u(píng)(t)min=u(2)=-4,
u(t)max=u(3)=-,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
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16習(xí)題課　反比例函數(shù)、對(duì)勾函數(shù)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.掌握反比例函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì).(重難點(diǎn))2.會(huì)利用對(duì)勾函數(shù)解決一些綜合問(wèn)題.(難點(diǎn))
一、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
問(wèn)題1　反比例函數(shù)的一般形式是什么
問(wèn)題2　反比例函數(shù)的圖象會(huì)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)嗎
例1　畫(huà)出反比例函數(shù)y=的圖象.
(1)求函數(shù)的定義域和值域;
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.
反思感悟　研究反比例函數(shù)的幾個(gè)方面
(1)函數(shù)的定義域和值域可以由圖象直接得到.
(2)由圖象或者單調(diào)性的定義可以判斷函數(shù)的單調(diào)性,但一定要注意兩個(gè)單調(diào)遞增(減)區(qū)間的連接方法.
(3)由圖象或者奇偶性的定義可以判斷函數(shù)的奇偶性.
(4)函數(shù)圖象關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱(chēng).
跟蹤訓(xùn)練1　作出y=(-2≤x<1且x≠0)的圖象,并指出其值域和單調(diào)區(qū)間.
二、對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)
問(wèn)題3　觀察函數(shù)y=x+解析式的特點(diǎn),你想到了什么
問(wèn)題4　大家討論一下,如何作出該函數(shù)的圖象
問(wèn)題5　觀察函數(shù)圖象,你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象有什么特點(diǎn)嗎
問(wèn)題6　結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)圖象,你能得出f(x)=x+的哪些性質(zhì)
例2　探究函數(shù)f(x)=x+(a>0)的性質(zhì),并畫(huà)出它的簡(jiǎn)圖(單調(diào)性需證明,其余性質(zhì)列出即可).
延伸探究　當(dāng)a<0時(shí),探究該函數(shù)的性質(zhì),并畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖(單調(diào)性需證明,其余性質(zhì)列出即可).
反思感悟　函數(shù)f(x)=x+(a≠0)的單調(diào)性
當(dāng)a>0時(shí),在(-∞,-)和(,+∞)上單調(diào)遞增,在[-,0)和(0,]上單調(diào)遞減;
當(dāng)a<0時(shí),在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上單調(diào)遞增.
跟蹤訓(xùn)練2　函數(shù)f(x)=x+.
(1)x∈[1,3],f(x)的最小值是　　　　;
(2)x∈,f(x)的值域?yàn)椤　　　?
(3)x∈∪(0,3],f(x)的值域?yàn)椤　　　?
三、對(duì)勾函數(shù)的綜合運(yùn)用
例3　已知函數(shù)f(x)=.
(1)當(dāng)a=4時(shí),求函數(shù)f(x)在x∈(0,+∞)上的最小值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的最小值.
反思感悟　求對(duì)勾函數(shù)的最值問(wèn)題,可以利用函數(shù)的單調(diào)性及其圖象研究,也可以利用基本不等式.
跟蹤訓(xùn)練3　函數(shù)f(x)=的值域是　　　　　.
1.知識(shí)清單:
(1)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).
(2)對(duì)勾函數(shù)的圖象和性質(zhì).
2.方法歸納:分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合.
3.常見(jiàn)誤區(qū):研究函數(shù)的性質(zhì)一定先確定函數(shù)的定義域.
1.函數(shù)y=,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,那么m的取值范圍是 (　　)
A.m<3 B.m>3
C.m<-3 D.m>-3
2.(多選)已知函數(shù)y=,下列結(jié)論中正確的是 (　　)
A.其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,1)
B.其圖象分別位于第一、三象限
C.當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小
D.當(dāng)x>1時(shí),y>3
3.函數(shù)y=x+(x≥2)的最小值為 (　　)
A.2 B.2
C.3 D.
4.已知對(duì)勾函數(shù)y=x+(a>0)在(-∞,-a)和(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(-a,0)和(0,a)上單調(diào)遞減.若對(duì)勾函數(shù)f(x)=x+(t>0)在整數(shù)集合Z內(nèi)單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為　　　　.
答案精析
問(wèn)題1　y=，其中x為自變量且x≠0，k為常數(shù).
問(wèn)題2　不會(huì)，因?yàn)閤≠0.
例1　解　
(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≠0}.
(2)令y=f(x)，當(dāng)k>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，0)和(0，+∞)，沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間，證明如下：
當(dāng)x>0時(shí)， x1，x2∈(0，+∞)且x1f(x1)-f(x2)=-
=，
∵k>0，x1>0，x2>0，x1∴f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞減；
同理當(dāng)x<0時(shí)，f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減.
當(dāng)k<0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，0)和(0，+∞)，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間(證明略).
f(x)為奇函數(shù).
跟蹤訓(xùn)練1　解　由題意知函數(shù)y=(-2≤x<1且x≠0)的圖象為反比例函數(shù)圖象的一部分，
當(dāng)x=-2時(shí)，y==-1；
當(dāng)x=1時(shí)，y==2；
所以該函數(shù)圖象如圖.
由圖象可知，函數(shù)y=(-2≤x<1且x≠0)的值域?yàn)?-∞，-1］∪(2，+∞).
單調(diào)遞減區(qū)間為［-2，0)和(0，1)，沒(méi)有單調(diào)遞增區(qū)間.
問(wèn)題3　學(xué)習(xí)了冪函數(shù)，類(lèi)比實(shí)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，我們對(duì)冪函數(shù)也進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算，得到了新的函數(shù)
y=x+.
問(wèn)題4　借助計(jì)算機(jī)軟件，我們繪制出它的圖象.
問(wèn)題5　發(fā)現(xiàn)該函數(shù)圖象介于y=x和y軸之間，且圖象無(wú)限接近y=x和y軸，函數(shù)圖象像兩個(gè)勾子一樣，故稱(chēng)此類(lèi)函數(shù)為“對(duì)勾函數(shù)”.
問(wèn)題6　(1)定義域：∵x≠0，
∴函數(shù)f(x)=x+的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
(2)值域：函數(shù)f(x)=x+的值域?yàn)?-∞，-2］∪［2，+∞)；
(3)奇偶性：∵f(-x)=-x-
=-=-f(x)，
∴函數(shù)f(x)=x+為奇函數(shù)；
(4)單調(diào)性：由函數(shù)f(x)=x+的圖象可知，函數(shù)f(x)=x+在(-∞，-1)，(1，+∞)上單調(diào)遞增，在(-1，0)，(0，1)上單調(diào)遞減.
(5)最大值、最小值：由函數(shù)的值域可知，函數(shù)無(wú)最大、最小值，但是當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)有最小值為2，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)有最大值為-2.
(6)對(duì)稱(chēng)性：由函數(shù)的奇偶性可知，函數(shù)圖象關(guān)于(0，0)成中心對(duì)稱(chēng).
例2　解　(1)定義域：{x|x≠0}；
(2)值域：(-∞，-2］∪［2，+∞)；
(3)奇偶性：奇函數(shù)；
(4)單調(diào)性：函數(shù)f(x)=x+(a>0)在(-∞，-)和(，+∞)上單調(diào)遞增，在［-，0)和(0，］上單調(diào)遞減，證明如下：
任取x1，x2∈(0，］，且x1則f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)·.
因?yàn)?所以x1-x2<0，0所以>1，所以1-<0，
所以f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).
所以f(x)在(0，］上單調(diào)遞減.
任取x1，x2∈(，+∞)，且x1則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·.
因?yàn)閤1-x2<0，x1x2>a，
所以<1，所以1->0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
所以f(x1)所以f(x)在(，+∞)上單調(diào)遞增.
同理，f(x)在(-∞，-)上單調(diào)遞增，在(-，0)上單調(diào)遞減.
其圖象如圖所示.
延伸探究　解　(1)定義域：{x|x≠0}；
(2)值域：R；
(3)奇偶性：奇函數(shù)；
(4)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)，(0，+∞)上單調(diào)遞增，證明如下：
任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1則f(x1)-f(x2)
=x1+-
=(x1-x2)，
因?yàn)?又a<0，所以1->0，
所以f(x1)-f(x2)<0，
即f(x1)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+∞)上單調(diào)遞增；
同理可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增.
其簡(jiǎn)圖如圖所示.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)2　(2)　(3)∪［2，+∞)
解析　(1)∵f(x)在［1，3］上單調(diào)遞增，
∴f(x)的最小值為f(1)=2.
(2)∵f(x)在上單調(diào)遞減，在［1，3］上單調(diào)遞增，
∴最小值為f(1)=2，
∵f=<=f(3)，
∴最大值為f(3)，
∴f(x)在上的值域?yàn)?
(3)∵x∈∪(0，3］，
且f(x)在上單調(diào)遞減，
∴f(x)在上的值域是，
又f(x)在(0，3］上先單調(diào)遞減，然后單調(diào)遞增，在f(1)處取得最小值，
∴f(x)在(0，3］上的值域是［2，+∞)，
∴f(x)在∪(0，3］上的值域?yàn)椤龋?，+∞).
例3　解　(1)當(dāng)a=4時(shí)，f(x)==x+-2，
當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，f(x)=x+-2≥2-2=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=2時(shí)等號(hào)成立，
∴f(x)的最小值為2.
(2)f(x)=x+-2，
設(shè)0f(x1)-f(x2)=x1-x2+-
=(x1-x2)
=，
∵0∴f(x1)-f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，同理可證f(x)在(，+∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng)0f(x)min=f(2)=；
當(dāng)a>4時(shí)，>2，函數(shù)f(x)在［2，)上單調(diào)遞減，
在(，+∞)上單調(diào)遞增，
f(x)min=f()=2-2.
設(shè)f(x)的最小值為g(a)，
∴g(a)=
跟蹤訓(xùn)練3　
解析　由f(x)=
=
=
=(x-1)++4，
令t=x-1∈，
原函數(shù)記為y=t++4，
則函數(shù)y關(guān)于t在上單調(diào)遞減，在［2，3］上單調(diào)遞增，
當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)y有最小值為8，
當(dāng)t=時(shí)，y=，
當(dāng)t=3時(shí)，y=<，
故函數(shù)y的最大值為，
即f(x)的值域?yàn)?
隨堂演練
1.A　2.ABC　3.C　4.(0，2)

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