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習(xí)題課　函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.進(jìn)一步應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理,已知零點(diǎn)(方程的解)的情況求參數(shù)范圍.(重難點(diǎn))2.掌握一元二次方程的根的分布情況.(難點(diǎn))
一、根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)
例1　若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)0,1,x0,且x0∈(1,2),則a的取值范圍是 (　　)
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
答案　D
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)0,1,x0,所以
解得
所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1-a,又x0∈(1,2),
所以1<-1-a<2,解得-3反思感悟　已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決.
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
跟蹤訓(xùn)練1　若方程xlg(x+2)=1的實(shí)數(shù)根在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)上,則k等于 (　　)
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
答案　C
解析　由題意知x≠0,則原方程即為lg(x+2)=,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=lg(x+2)與y=的圖象,如圖所示,
由圖象可知,原方程有兩個(gè)根,一個(gè)在區(qū)間(-2,-1)上,一個(gè)在區(qū)間(1,2)上,
所以k=-2或k=1.
二、一元二次方程的根的分布問題
例2　已知關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)比2大,一個(gè)比2小,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根α,β,且滿足0<α<1<β<4,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若方程至少有一個(gè)正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解　設(shè)f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,
(1)f(x)的大致圖象如圖所示,
∴f(2)<0,即4+4(m-1)+2m+6<0,
得m<-1,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1).
(2)f(x)的大致圖象如圖所示,
∴
解得-∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
(3)方法一　方程至少有一個(gè)正根,則有三種可能的情況,
①有兩個(gè)正根,此時(shí)如圖1,可得
即∴-3②有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根,此時(shí)如圖2,可得f(0)<0,得m<-3.
③有一個(gè)正根,另一根為0,此時(shí)如圖3,
可得
∴m=-3.
綜上所述,當(dāng)方程至少有一個(gè)正根時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1].
方法二　不妨設(shè)方程的兩根分別為x1,x2,且x1>0,
由題知Δ≥0,解得m≤-1或m≥5,
由根與系數(shù)的關(guān)系,
當(dāng)x2≥0時(shí),得-3≤m<1,
∴-3≤m≤-1,
當(dāng)x2<0時(shí),x1x2<0,此時(shí)m<-3.
綜上所述,m≤-1.
反思感悟　一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布問題(只考慮方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根)
根的分布(m,n,p為常數(shù)) 圖象 滿足條件
x1mx1mmx1,x2有且只有一個(gè)在(m,n)之間且f(m)·f(n)≠0 f(m)·f(n)<0
跟蹤訓(xùn)練2　已知方程x2-(2a+1)x+a(a+1)=0的兩根分別在區(qū)間(0,1),(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.
答案　(0,1)
解析　設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+a(a+1),
由題意得
即
解得01.知識(shí)清單:
(1)根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù).
(2)一元二次方程根的分布.
2.方法歸納:判別式法、數(shù)形結(jié)合法.
3.常見誤區(qū):不能把函數(shù)、方程問題相互靈活轉(zhuǎn)化.
1.若函數(shù)f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為 (　　)
A.(0,2) B.(0,1) C.(1,2) D.(-∞,1)
答案　B
解析　函數(shù)f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=1,
可得即
解得0則a的取值范圍為(0,1).
2.已知函數(shù)f(x)=mx+1的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是 (　　)
A.
B.
C.
D.(-∞,-1)∪
答案　B
解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=mx+1的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),且此函數(shù)是連續(xù)函數(shù),
所以f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,
解得-13.(多選)已知函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),則下列說法中正確的是 (　　)
A.當(dāng)a>1時(shí),f(x)有1個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)a>1時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn)
C.當(dāng)0D.當(dāng)0答案　BD
解析　在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ax與y=x+a的圖象,
當(dāng)a>1時(shí),如圖(1),y=ax與y=x+a有2個(gè)交點(diǎn),則f(x)有2個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)04.若函數(shù)f(x)=3x2-5x+a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
答案　(-12,0)
解析　∵f(x)=3x2-5x+a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi),
∴即解得-12故a的取值范圍為(-12,0).
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共40分;多選題每小題6分,共6分
1.當(dāng)|x|≤1時(shí),函數(shù)f(x)=ax+2a+1的值有正也有負(fù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)
A. B.(-∞,-1]
C. D.
答案　C
解析　|x|≤1 -1≤x≤1.
當(dāng)a=0時(shí),f(x)=1,函數(shù)值恒為正,不符合題意;
當(dāng)a≠0時(shí),要想函數(shù)f(x)=ax+2a+1的值有正也有負(fù),
只需f(1)f(-1)<0,
即(a+2a+1)(-a+2a+1)=(3a+1)(a+1)<0,
解得-1綜上所述,-12.已知關(guān)于x的方程x2-kx+k+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都大于2,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (　　)
A.k>6 B.4C.66或k<-2
答案　C
解析　∵關(guān)于x的方程x2-kx+k+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都大于2,設(shè)兩根為x1,x2,
∴
解得63.方程x+log3x=3的解為x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,則n等于 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案　C
解析　設(shè)f(x)=x+log3x-3,
則f(1)=1+log31-3=-2<0,
f(2)=2+log32-3=log32-1<0,
f(3)=3+log33-3=1>0,
又易知f(x)為增函數(shù),
所以方程x+log3x=3的解在(2,3)內(nèi),因此n=2.
4.若方程-x2+ax+4=0的兩實(shí)根中一個(gè)小于-1,另一個(gè)大于2,則a的取值范圍是 (　　)
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
答案　A
解析　因?yàn)榉匠?x2+ax+4=0有兩根,一個(gè)大于2,另一個(gè)小于-1,
所以函數(shù) f(x)=-x2+ax+4有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)大于2,另一個(gè)小于-1,由二次函數(shù)的圖象可知,
即
解得05.若函數(shù)f(x)=(其中a>0,a≠1)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)
A.∪(1,3) B.(1,3]
C.(2,3) D.(2,3]
答案　C
解析　由函數(shù)的解析式可知a>2,
因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax單調(diào)遞增,在區(qū)間(2,a]上無零點(diǎn),
所以函數(shù)y=loga(x-2)在區(qū)間(a,+∞)上存在零點(diǎn),
由于y=loga(x-2)單調(diào)遞增,
故當(dāng)x=a時(shí),有l(wèi)oga(a-2)<0=loga1,
從而a-2<1 a<3,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3).
6.(多選)已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn).下列說法正確的有 (　　)
A.f(0)>0且f(2)>0
B.f(1)<0
C.f(0)·f(2)>1
D.f(0)和f(2)中至少有一個(gè)小于1
答案　AD
解析　不妨設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,2)上的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,且x1所以故A正確;
當(dāng)x1,x2∈(0,1)時(shí),f(1)>0,故B錯(cuò)誤;
若x1=1,x2=,
則f(x)=(x-1)=x2-x+,
此時(shí)f(0)=,f(2)=,
則f(0)·f(2)=<1,故C錯(cuò)誤;
方法一　當(dāng)f(1)=1+b+c<0時(shí),4+2b+2c<2,即f(0)+f(2)<2,
所以f(0)和f(2)中至少有一個(gè)小于1;
當(dāng)f(1)=1+b+c≥0時(shí),-∈(0,1)或(1,2),
若-∈(0,1),則f(0)=c<=<1,
若-∈(1,2),則f(2)=4+2b+c<4+2b+==<1,故D正確.
方法二　若f(0)≥1,f(2)≥1,即c≥1,4+2b+c≥1,
由Δ=b2-4c>0,得b2>4c≥4,
則b<-2或b>2,結(jié)合0<-<2,
得-4則f(2)=4+2b+c<4+2b+=<1,
這與f(2)≥1矛盾,故f(0)和f(2)至少有一個(gè)小于1,故D正確.
7.(5分)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-k有三個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍是　　　　.
答案　(-1,1)
解析　令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,
作出y=f(x)的圖象,如圖,
由圖可知,當(dāng)y=k與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),-1所以k的取值范圍是(-1,1).
8.(5分)已知函數(shù)f(x)=若正實(shí)數(shù)a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a·b·c的取值范圍為　　　　.
答案　(e,e2)
解析　畫出f(x)的圖象如圖所示,
∵正實(shí)數(shù)a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),
不妨設(shè)a則由圖象可得0且-ln a=ln b,則可得a·b=1,
∴a·b·c=c∈(e,e2).
9.(10分)函數(shù)f(x)=x2-2|x|+a-1有四個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解　由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2|x|+a-1有四個(gè)不同的零點(diǎn),
所以函數(shù)y=a-1與y=2|x|-x2的圖象有四個(gè)交點(diǎn),
畫出函數(shù)y=2|x|-x2的圖象,如圖所示,
觀察圖象可知,0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2).
10.(12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-5x+a.
(1)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(4分)
(2)若函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)在(0,1)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(8分)
解　(1)由題意得
則-(2)由f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)在(0,1)內(nèi),另一個(gè)在(2,3)內(nèi),故a≠0,
當(dāng)f(x)的圖象開口向上時(shí),
即解得當(dāng)f(x)的圖象開口向下時(shí),
所以解得a∈ .
綜上,a的取值范圍為.
11.若m∈R,則“函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上單調(diào)遞減”是“函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn)”的 (　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
答案　A
解析　∵函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴0又∵函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn),∴函數(shù)y=1-2x的圖象與直線y=m有交點(diǎn).
∵2x>0,∴y=1-2x<1,∴函數(shù)y=1-2x的值域?yàn)?-∞,1),∴m∈(-∞,1).
∵(0,1) (-∞,1),
∴“函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上單調(diào)遞減”是“函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn)”的充分不必要條件.
12.已知a,b,c,d都是常數(shù),a>b,c>d,若f(x)=2 023-(x-a)(x-b)的零點(diǎn)為c,d,則下列不等式正確的是 (　　)
A.a>c>b>d B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
答案　D
解析　由題意設(shè)g(x)=(x-a)(x-b),則f(x)=2 023-g(x),且g(x)=0的兩個(gè)根是a,b.由題意知f(x)=0的兩個(gè)根是c,d,也就是g(x)=2 023的兩個(gè)根,畫出y=g(x)(開口向上)以及y=2 023的大致圖象(圖略),則y=2 023與y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是c,d,y=g(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是a,b,則c,d在a,b外,又a>b,c>d,則c>a>b>d.
13.對(duì)實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“*”:a*b=設(shè)函數(shù)f(x)=(x2+1)*(x+2),若函數(shù)y=f(x)-c有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是 (　　)
A.(2,4)∪(5,+∞) B.(1,2]∪(4,5]
C.(-∞,1)∪(4,5] D.[1,2]
答案　B
解析　由題意知,
當(dāng)(x2+1)-(x+2)≤1,即-1≤x≤2時(shí),f(x)=x2+1;
當(dāng)(x2+1)-(x+2)>1,即x>2或x<-1時(shí),f(x)=x+2.
∴f(x)=
∵函數(shù)y=f(x)-c有兩個(gè)零點(diǎn),
∴函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖所示.
由圖可知,當(dāng)c∈(1,2]∪(4,5]時(shí),函數(shù)y=f(x)-c有兩個(gè)零點(diǎn).
14.(5分)已知函數(shù)f(x)=若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得f(x1)=f(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
答案　(0,1)
解析　因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),
又y=x+1與y=2x的圖象交于點(diǎn)(0,1)和(1,2),畫出圖象如圖所示,
由圖可知,當(dāng)0即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).
15.(5分)函數(shù)f(x)=則函數(shù)y=f(f(x))-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　　　.
答案　3
解析　設(shè)t=f(x),
令f(f(x))-3=0,
在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作
y=3,y=f(t)的圖象(如圖).
y=3與y=f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1,t2,且t1則t1<-1,t2>-1.
當(dāng)t1<-1時(shí),t1=f(x)有一個(gè)解;
當(dāng)t2>-1時(shí),t2=f(x)有兩個(gè)解.
綜上所述,函數(shù)y=f(f(x))-3有三個(gè)不同的零點(diǎn).
16.(12分)若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,則稱函數(shù)有“漂移點(diǎn)”x0.
(1)判斷函數(shù)f(x)=是否有漂移點(diǎn),并說明理由;(3分)
(2)求證:函數(shù)f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移點(diǎn);(4分)
(3)若函數(shù)f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值集合.(5分)
(1)解　假設(shè)函數(shù)f(x)=有漂移點(diǎn) x0,
則=+2,
即+x0+1=0,由此方程無實(shí)根,與題設(shè)矛盾,所以函數(shù)f(x)=沒有漂移點(diǎn).
(2)證明　令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4
=2×3x+2x-3,
所以h(0)=-1,h(1)=5.所以h(0)h(1)<0,
又h(x)在(0,1)上連續(xù),
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一個(gè)實(shí)根x0,
即函數(shù)f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移點(diǎn).
(3)解　若f(x)=lg在(0,+∞)上有漂移點(diǎn)x0,
所以lg=lg+lg a成立,即=·a,a>0,
整理得a==,
由x0>0,得0<<1,則0則實(shí)數(shù)a的取值集合是{a|0習(xí)題課
第四章
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函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的應(yīng)用
1.進(jìn)一步應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理,已知零點(diǎn)(方程的解)的情況求參數(shù)范圍.
(重難點(diǎn))
2.掌握一元二次方程的根的分布情況.(難點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
一、根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)
二、一元二次方程的根的分布問題
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
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一
根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)
若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)0,1,x0,且x0∈(1,2),則a的取值范圍是
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
例 1
√
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)0,1,x0,
所以
解得
所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x=x(x-1)(x+a+1),所以x0=-1-a,又x0∈(1,2),
所以1<-1-a<2,解得-3已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決.
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
反
思
感
悟
若方程xlg(x+2)=1的實(shí)數(shù)根在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)上,則k等于
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
跟蹤訓(xùn)練 1
√
由題意知x≠0,則原方程即為lg(x+2)=,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=lg(x+2)與y=的圖象,如圖所示,
由圖象可知,原方程有兩個(gè)根,一個(gè)在區(qū)間(-2,-1)上,
一個(gè)在區(qū)間(1,2)上,
所以k=-2或k=1.
二
一元二次方程的根的分布問題
已知關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)比2大,一個(gè)比2小,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
例 2
設(shè)f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,
f(x)的大致圖象如圖所示,
∴f(2)<0,即4+4(m-1)+2m+6<0,
得m<-1,
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1).
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根α,β,且滿足0<α<1<β<4,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
f(x)的大致圖象如圖所示,
∴
解得-∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
(3)若方程至少有一個(gè)正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
方法一　方程至少有一個(gè)正根,則有三種可能的情況,
①有兩個(gè)正根,此時(shí)如圖1,可得
即∴-3②有一個(gè)正根,一個(gè)負(fù)根,此時(shí)如圖2,可得f(0)<0,得m<-3.
③有一個(gè)正根,另一根為0,此時(shí)如圖3,
可得
∴m=-3.
綜上所述,當(dāng)方程至少有一個(gè)正根時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1].
方法二　不妨設(shè)方程的兩根分別為x1,x2,且x1>0,
由題知Δ≥0,解得m≤-1或m≥5,
由根與系數(shù)的關(guān)系,
當(dāng)x2≥0時(shí),得-3≤m<1,
∴-3≤m≤-1,
當(dāng)x2<0時(shí),x1x2<0,此時(shí)m<-3.
綜上所述,m≤-1.
反
思
感
悟
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布問題(只考慮方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根)
根的分布(m,n,p為常數(shù)) 圖象 滿足條件
x1反
思
感
悟
根的分布(m,n,p為常數(shù)) 圖象 滿足條件
mx1反
思
感
悟
mmx1,x2有且只有一個(gè)在(m,n)之間且f(m)·f(n)≠0 f(m)·f(n)<0
已知方程x2-(2a+1)x+a(a+1)=0的兩根分別在區(qū)間(0,1),(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.
跟蹤訓(xùn)練 2
(0,1)
設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(2a+1)x+a(a+1),
由題意得
即
解得01.知識(shí)清單:
(1)根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù).
(2)一元二次方程根的分布.
2.方法歸納:判別式法、數(shù)形結(jié)合法.
3.常見誤區(qū):不能把函數(shù)、方程問題相互靈活轉(zhuǎn)化.
隨堂演練
三
1
2
3
4
1.若函數(shù)f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為
A.(0,2)　　　B.(0,1)　　　C.(1,2)　　　D.(-∞,1)
√
函數(shù)f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱軸為x=1,
可得
解得0則a的取值范圍為(0,1).
2.已知函數(shù)f(x)=mx+1的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是
A. B.
C. D.(-∞,-1)∪
1
2
3
4
√
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=mx+1的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),且此函數(shù)是連續(xù)函數(shù),
所以f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,
解得-13.(多選)已知函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),則下列說法中正確的是
A.當(dāng)a>1時(shí),f(x)有1個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)a>1時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn)
C.當(dāng)0D.當(dāng)01
2
3
4
√
√
1
2
3
4
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ax與y=x+a的圖象,
當(dāng)a>1時(shí),如圖(1),y=ax與y=x+a有2個(gè)交點(diǎn),則f(x)有2個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)04.若函數(shù)f(x)=3x2-5x+a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
∵f(x)=3x2-5x+a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi),
∴解得-12故a的取值范圍為(-12,0).
(-12,0)
1
2
3
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課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
四
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基礎(chǔ)鞏固
1.當(dāng)|x|≤1時(shí),函數(shù)f(x)=ax+2a+1的值有正也有負(fù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A. B.(-∞,-1]
C. D.
√
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|x|≤1 -1≤x≤1.
當(dāng)a=0時(shí),f(x)=1,函數(shù)值恒為正,不符合題意;
當(dāng)a≠0時(shí),要想函數(shù)f(x)=ax+2a+1的值有正也有負(fù),
只需f(1)f(-1)<0,
即(a+2a+1)(-a+2a+1)=(3a+1)(a+1)<0,
解得-1綜上所述,-12.已知關(guān)于x的方程x2-kx+k+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都大于2,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
A.k>6 B.4C.66或k<-2
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∵關(guān)于x的方程x2-kx+k+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根都大于2,
設(shè)兩根為x1,x2,
∴
解得63.方程x+log3x=3的解為x0,若x0∈(n,n+1),n∈N,則n等于
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
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√
設(shè)f(x)=x+log3x-3,
則f(1)=1+log31-3=-2<0,
f(2)=2+log32-3=log32-1<0,
f(3)=3+log33-3=1>0,
又易知f(x)為增函數(shù),
所以方程x+log3x=3的解在(2,3)內(nèi),因此n=2.
4.若方程-x2+ax+4=0的兩實(shí)根中一個(gè)小于-1,另一個(gè)大于2,則a的取值范圍是
A.(0,3) B.[0,3]
C.(-3,0) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
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因?yàn)榉匠?x2+ax+4=0有兩根,一個(gè)大于2,另一個(gè)小于-1,
所以函數(shù) f(x)=-x2+ax+4有兩個(gè)零點(diǎn),一個(gè)大于2,另一個(gè)小于-1,
由二次函數(shù)的圖象可知,
解得01
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5.若函數(shù)f(x)=(其中a>0,a≠1)存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.∪(1,3) B.(1,3]
C.(2,3) D.(2,3]
√
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16
由函數(shù)的解析式可知a>2,
因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax單調(diào)遞增,在區(qū)間(2,a]上無零點(diǎn),
所以函數(shù)y=loga(x-2)在區(qū)間(a,+∞)上存在零點(diǎn),
由于y=loga(x-2)單調(diào)遞增,
故當(dāng)x=a時(shí),有l(wèi)oga(a-2)<0=loga1,
從而a-2<1 a<3,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3).
6.(多選)已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn).下列說法正確的有
A.f(0)>0且f(2)>0
B.f(1)<0
C.f(0)·f(2)>1
D.f(0)和f(2)中至少有一個(gè)小于1
√
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√
不妨設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,2)上的兩個(gè)零點(diǎn)為x1,x2,且x1所以故A正確;
當(dāng)x1,x2∈(0,1)時(shí),f(1)>0,故B錯(cuò)誤;
若x1=1,x2=,則f(x)=(x-1)=x2-x+,
此時(shí)f(0)=,f(2)=,則f(0)·f(2)=<1,故C錯(cuò)誤;
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方法一　當(dāng)f(1)=1+b+c<0時(shí),4+2b+2c<2,即f(0)+f(2)<2,
所以f(0)和f(2)中至少有一個(gè)小于1;
當(dāng)f(1)=1+b+c≥0時(shí),-∈(0,1)或(1,2),
若-∈(0,1),則f(0)=c<=<1,
若-∈(1,2),則f(2)=4+2b+c<4+2b+==<1,故D正確.
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方法二　若f(0)≥1,f(2)≥1,即c≥1,4+2b+c≥1,
由Δ=b2-4c>0,得b2>4c≥4,
則b<-2或b>2,結(jié)合0<-<2,
得-4則f(2)=4+2b+c<4+2b+=<1,
這與f(2)≥1矛盾,故f(0)和f(2)至少有一個(gè)小于1,故D正確.
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7.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-k有三個(gè)零點(diǎn),則k的取值范圍是　　　　.
(-1,1)
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令g(x)=f(x)-k=0,可得f(x)=k,
作出y=f(x)的圖象,如圖,
由圖可知,當(dāng)y=k與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),-1所以k的取值范圍是(-1,1).
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8.已知函數(shù)f(x)=若正實(shí)數(shù)a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a·b·c的取值范圍為　　　　.
(e,e2)
畫出f(x)的圖象如圖所示,
∵正實(shí)數(shù)a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),
不妨設(shè)a則由圖象可得0且-ln a=ln b,則可得a·b=1,
∴a·b·c=c∈(e,e2).
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9.函數(shù)f(x)=x2-2|x|+a-1有四個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
由f(x)=0得a-1=2|x|-x2,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2-2|x|+a-1有四個(gè)不同的零點(diǎn),
所以函數(shù)y=a-1與y=2|x|-x2的圖象有四個(gè)交點(diǎn),
畫出函數(shù)y=2|x|-x2的圖象,如圖所示,
觀察圖象可知,0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2).
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10.已知函數(shù)f(x)=ax2-5x+a.
(1)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
由題意得
則-1
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(2)若函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)在(0,1)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在(2,3)內(nèi),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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由f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)在(0,1)內(nèi),另一個(gè)在(2,3)內(nèi),故a≠0,
當(dāng)f(x)的圖象開口向上時(shí),
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當(dāng)f(x)的圖象開口向下時(shí),
解得a∈ .
綜上,a的取值范圍為.
11.若m∈R,則“函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上單調(diào)遞減”是“函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn)”的
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
綜合運(yùn)用
√
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∵函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴0又∵函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn),∴函數(shù)y=1-2x的圖象與直線y=m有交點(diǎn).
∵2x>0,∴y=1-2x<1,∴函數(shù)y=1-2x的值域?yàn)?-∞,1),∴m∈(-∞,1).
∵(0,1) (-∞,1),
∴“函數(shù)y=logmx在(0,+∞)上單調(diào)遞減”是“函數(shù)y=2x+m-1有零點(diǎn)”的充分不必要條件.
12.已知a,b,c,d都是常數(shù),a>b,c>d,若f(x)=2 023-(x-a)(x-b)的零點(diǎn)為c,d,則下列不等式正確的是
A.a>c>b>d B.a>b>c>d
C.c>d>a>b D.c>a>b>d
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由題意設(shè)g(x)=(x-a)(x-b),則f(x)=2 023-g(x),且g(x)=0的兩個(gè)根是a,b.
由題意知f(x)=0的兩個(gè)根是c,d,也就是g(x)=2 023的兩個(gè)根,畫出y=g(x)(開口向上)以及y=2 023的大致圖象(圖略),則y=2 023與y=g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是c,d,y=g(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是a,b,則c,d在a,b外,又a>b,c>d,則c>a>b>d.
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13.對(duì)實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“*”:a*b=設(shè)函數(shù)f(x)=(x2+1)*(x+2),若函數(shù)y=f(x)-c有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)c的取值范圍是
A.(2,4)∪(5,+∞) B.(1,2]∪(4,5]
C.(-∞,1)∪(4,5] D.[1,2]
√
由題意知,
當(dāng)(x2+1)-(x+2)≤1,即-1≤x≤2時(shí),f(x)=x2+1;
當(dāng)(x2+1)-(x+2)>1,即x>2或x<-1時(shí),f(x)=x+2.
∴f(x)=
∵函數(shù)y=f(x)-c有兩個(gè)零點(diǎn),
∴函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖所示.
由圖可知,當(dāng)c∈(1,2]∪(4,5]時(shí),函數(shù)y=f(x)-c有兩個(gè)零點(diǎn).
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14.已知函數(shù)f(x)=若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得f(x1)=f(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
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因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得f(x1)=f(x2),故函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),
又y=x+1與y=2x的圖象交于點(diǎn)(0,1)和(1,2),畫出圖象如圖所示,
由圖可知,當(dāng)0即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1).
15.函數(shù)f(x)= 則函數(shù)y=f(f(x))-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　　　.
拓廣探究
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設(shè)t=f(x),
令f(f(x))-3=0,
在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作y=3,y=f(t)的圖象(如圖).
y=3與y=f(t)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t1,t2,且t1-1.
當(dāng)t1<-1時(shí),t1=f(x)有一個(gè)解;
當(dāng)t2>-1時(shí),t2=f(x)有兩個(gè)解.
綜上所述,函數(shù)y=f(f(x))-3有三個(gè)不同的零點(diǎn).
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16.若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0使f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,則稱函數(shù)有“漂移點(diǎn)”x0.
(1)判斷函數(shù)f(x)=是否有漂移點(diǎn),并說明理由;
假設(shè)函數(shù)f(x)=有漂移點(diǎn) x0,
則=+2,
即+x0+1=0,由此方程無實(shí)根,與題設(shè)矛盾,所以函數(shù)f(x)=沒有漂移點(diǎn).
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(2)求證:函數(shù)f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移點(diǎn);
令h(x)=f(x+1)-f(x)-f(1)=(x+1)2+3x+1-(x2+3x)-4=2×3x+2x-3,
所以h(0)=-1,h(1)=5.所以h(0)h(1)<0,
又h(x)在(0,1)上連續(xù),
所以h(x)=0在(0,1)上至少有一個(gè)實(shí)根x0,
即函數(shù)f(x)=x2+3x在(0,1)上存在漂移點(diǎn).
若f(x)=lg 在(0,+∞)上有漂移點(diǎn)x0,
所以lg =lg +lg a成立,即=·a,a>0,
整理得a==,
由x0>0,得0<<1,則0則實(shí)數(shù)a的取值集合是{a|0(3)若函數(shù)f(x)=lg 在(0,+∞)上有漂移點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值集合.
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16習(xí)題課　函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.進(jìn)一步應(yīng)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理,已知零點(diǎn)(方程的解)的情況求參數(shù)范圍.(重難點(diǎn))2.掌握一元二次方程的根的分布情況.(難點(diǎn))
一、根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)
例1　若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)0,1,x0,且x0∈(1,2),則a的取值范圍是 (　　)
A.(-2,0) B.(1,2)
C.(2,3) D.(-3,-2)
反思感悟　已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)的常用方法
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決.
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
跟蹤訓(xùn)練1　若方程xlg(x+2)=1的實(shí)數(shù)根在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)上,則k等于 (　　)
A.-2 B.1
C.-2或1 D.0
二、一元二次方程的根的分布問題
例2　已知關(guān)于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.
(1)若方程有兩個(gè)實(shí)根,且一個(gè)比2大,一個(gè)比2小,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)根α,β,且滿足0<α<1<β<4,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若方程至少有一個(gè)正根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
反思感悟　一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布問題(只考慮方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根)
根的分布(m,n,p為常數(shù)) 圖象 滿足條件
x1mx1mmx1,x2有且只有一個(gè)在(m,n)之間且f(m)·f(n)≠0 f(m)·f(n)<0
跟蹤訓(xùn)練2　已知方程x2-(2a+1)x+a(a+1)=0的兩根分別在區(qū)間(0,1),(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　　　　.
1.知識(shí)清單:
(1)根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù).
(2)一元二次方程根的分布.
2.方法歸納:判別式法、數(shù)形結(jié)合法.
3.常見誤區(qū):不能把函數(shù)、方程問題相互靈活轉(zhuǎn)化.
1.若函數(shù)f(x)=x2-2x+a在(0,2)上有兩個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為 (　　)
A.(0,2) B.(0,1)
C.(1,2) D.(-∞,1)
2.已知函數(shù)f(x)=mx+1的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則m的取值范圍是 (　　)
A.
B.
C.
D.(-∞,-1)∪
3.(多選)已知函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,a≠1),則下列說法中正確的是 (　　)
A.當(dāng)a>1時(shí),f(x)有1個(gè)零點(diǎn)
B.當(dāng)a>1時(shí),f(x)有2個(gè)零點(diǎn)
C.當(dāng)0D.當(dāng)04.若函數(shù)f(x)=3x2-5x+a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,3)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
答案精析
例1　D　［因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有三個(gè)零點(diǎn)0，1，x0，
所以
解得
所以f(x)=x3+ax2+(-1-a)x
=x(x-1)(x+a+1)，
所以x0=-1-a，又x0∈(1，2)，
所以1<-1-a<2，
解得-3跟蹤訓(xùn)練1　C
例2　解　設(shè)f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6，
(1)f(x)的大致圖象如圖所示，
∴f(2)<0，即4+4(m-1)+2m+6<0，
得m<-1，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞，-1).
(2)f(x)的大致圖象如圖所示，
∴
解得-∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
(3)方法一　方程至少有一個(gè)正根，
則有三種可能的情況，
①有兩個(gè)正根，此時(shí)如圖1，
可得
即
∴-3②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)如圖2，可得f(0)<0，得m<-3.
③有一個(gè)正根，另一根為0，此時(shí)如圖3，
可得
∴m=-3.
綜上所述，當(dāng)方程至少有一個(gè)正根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞，-1］.
方法二　不妨設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，且x1>0，
由題知Δ≥0，解得m≤-1或m≥5，
由根與系數(shù)的關(guān)系，
當(dāng)x2≥0時(shí)，
得-3≤m<1，
∴-3≤m≤-1，
當(dāng)x2<0時(shí)，x1x2<0，此時(shí)m<-3.
綜上所述，m≤-1.
跟蹤訓(xùn)練2　(0，1)
隨堂演練
1.B　2.B　3.BD　4.(-12，0)

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