資源簡介

習題課　指數型函數、對數型函數的性質的綜合
[學習目標]　1.會求指數型函數、對數型函數的單調性、值域等問題.(重難點)2.掌握判斷指數型函數、對數型函數單調性的方法.(重點)
一、指數型函數的單調性問題
例1　判斷函數f(x)=的單調性.
解　令u=x2-2x,
易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,
又∵y=在(-∞,+∞)上單調遞減,
∴f(x)=在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.
延伸探究
1.把本例的函數改為“f(x)=”,求其單調區間.
解　方法一　函數f(x)=的定義域是R.
令u=-x2+2x,則y=2u.
當x∈(-∞,1)時,函數u=-x2+2x單調遞增,
當x∈(1,+∞)時,函數u=-x2+2x單調遞減,
又函數y=2u在R上是增函數,
所以函數f(x)=在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,
綜上,函數f(x)=的單調遞減區間是(1,+∞),單調遞增區間是(-∞,1).
方法二　f(x)==,本題轉化為例1的做法.
2.若本例不變,求f(x)的值域.
解　因為u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以y=,u∈[-1,+∞),
所以0<≤=2,
所以函數f(x)的值域為(0,2].
反思感悟　(1)求指數型函數的單調區間,首先求出函數的定義域,然后把函數分解成y=f(u),u=φ(x),通過考察f(u)和φ(x)的單調性,利用同增異減原則,求出y=f(φ(x))的單調性.
(2)關于指數型函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調性由兩點決定,一是底數a>1還是0跟蹤訓練1　函數y=的單調遞減區間是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
答案　D
解析　設u=,則y=3u,
因為u=在(-∞,0)和(0,+∞)上是減函數,
且y=3u在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函數,
所以函數y=的單調遞減區間是(-∞,0)和(0,+∞).
二、對數型函數的單調性問題
例2　(1)求函數y=lo(x2-3x+2)的單調區間.
解　由x2-3x+2>0得x<1或x>2.
令t=x2-3x+2,
則t=x2-3x+2=-,當x∈(2,+∞)時,t=x2-3x+2單調遞增,當x∈(-∞,1)時,t=x2-3x+2單調遞減.
又y=lot為減函數,
∴當x∈(2,+∞)時,原函數單調遞減;當x∈(-∞,1)時,原函數單調遞增.
故函數y=lo(x2-3x+2)的單調遞增區間為(-∞,1),單調遞減區間為(2,+∞).
(2)求函數y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的單調區間.
解　令t=log0.4x,則它在(0,+∞)上單調遞減.
y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1,+∞)上單調遞增,在(-∞,1)上單調遞減.
由t=log0.4x>1得0由t=log0.4x<1得x>0.4,
故所求函數的單調遞增區間為(0.4,+∞),單調遞減區間為(0,0.4).
反思感悟　函數單調性的判定方法與策略
(1)定義法:一般步驟:設元→作差→變形→判斷符號→得出結論.
(2)圖象法:如果函數f(x)是以圖象形式給出或函數f(x)的圖象易作出,結合圖象可求得函數的單調區間.
(3)y=f(g(x))型函數:先將函數y=f(g(x))分解為y=f(t)和t=g(x),再討論這兩個函數的單調性,最后根據復合函數“同增異減”的規則進行判定.
跟蹤訓練2　求函數y=lo(1-x2)的單調區間.
解　由題意知1-x2>0,∴-1令t=1-x2,x∈(-1,1),
則當x∈(-1,0)時,函數t=1-x2單調遞增,
y=lot單調遞減.
∴當x∈(-1,0)時,y=lo(1-x2)單調遞減.
同理,當x∈(0,1)時,y=lo(1-x2)單調遞增.
故y=lo(1-x2)的單調遞增區間為(0,1),單調遞減區間為(-1,0).
三、函數的綜合應用
例3　求函數f(x)=log2(4x)·lo,x∈的值域.
解　f(x)=log2(4x)·lo
=(log2x+2)·
=-[(log2x)2+log2x-2].
設log2x=t.
∵x∈,∴t∈[-1,2],
則有y=-(t2+t-2),t∈[-1,2],
易得二次函數圖象的對稱軸為t=-,
∴函數y=-(t2+t-2)在上單調遞增,在上單調遞減,
∴當t=-時,ymax=.
當t=2時,ymin=-2.
∴f(x)的值域為.
延伸探究　若把本例改為y=4x-2x+1-3.求函數的值域和單調區間.
解　函數y=4x-2x+1-3的定義域為R,設t=2x,則t>0.
因為y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4,
所以函數y=4x-2x+1-3的值域為[-4,+∞).
因為y=t2-2t-3在(-∞,1]上單調遞減,此時由t≤1得x≤0.
又指數函數t=2x在(-∞,0]上單調遞增,
所以函數y=4x-2x+1-3的單調遞減區間為(-∞,0].
同理,因為y=t2-2t-3在[1,+∞)上單調遞增,此時由t≥1得x≥0.
又指數函數t=2x在[0,+∞)上單調遞增,
所以函數y=4x-2x+1-3的單調遞增區間為[0,+∞).
反思感悟　對于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的復合函數，其值域的求解步驟如下：
(1)分解成y=logau,u=f(x)兩個函數；
(2)求f(x)的定義域；
(3)求u的取值范圍；
(4)利用y=logau的單調性求解.
跟蹤訓練3　求下列函數的值域:
(1)f(x)=log2(3x+1);
(2)f(x)=log2·log2(1≤x≤4).
解　(1)f(x)的定義域為R.
∵3x>0,∴3x+1>1.
∵y=log2x在(0,+∞)上單調遞增,
∴log2(3x+1)>log21=0,
∴f(x)的值域為(0,+∞).
(2)∵f(x)=log2·log2
=(log2x-2)(log2x-1)
=-,
又∵1≤x≤4,∴0≤log2x≤2,
∴當log2x=,即x==2時,
f(x)取最小值-;
當log2x=0,即x=1時,f(x)取得最大值2,
∴函數f(x)的值域是.
1.知識清單:
(1)指數型函數的單調性.
(2)對數型函數的單調性.
(3)函數的綜合應用.
2.方法歸納:換元法.
3.常見誤區:求對數型函數的單調性易忽視定義域.
1.函數f(x)=loga|x-1|在(0,1)上單調遞減,那么f(x)在(1,+∞)上 (　　)
A.單調遞增且無最大值
B.單調遞減且無最小值
C.單調遞增且有最大值
D.單調遞減且有最小值
答案　A
解析　設u=|x-1|,
∵u在(0,1)上單調遞減,且函數f(x)=loga|x-1|在(0,1)上單調遞減,
則a>1,
∵u在(1,+∞)上單調遞增,
∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增且無最大值.
2.函數y=lo(-x2-2x+3)的單調遞增區間是 (　　)
A.[-1,1) B.(-∞,1)
C.[1,3) D.(1,+∞)
答案　A
解析　由題意,得要使函數y=lo(-x2-2x+3)有意義,則滿足-x2-2x+3>0,
即x2+2x-3=(x+3)(x-1)<0,
解得-3即函數的定義域為(-3,1),
令g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
所以函數g(x)在區間(-3,-1)上單調遞增,在區間[-1,1)上單調遞減,
又函數y=lox在定義域上是減函數,
所以y=lo(-x2-2x+3)的單調遞增區間為[-1,1).
3.已知函數f(x)=是增函數,那么實數a的取值范圍是 (　　)
A.(1,+∞) B.(3,+∞)
C.(1,3) D.(1,3]
答案　D
解析　∵函數f(x)=是增函數,
∴a>1且a0≥3a-8,
解得14.設函數f(x)=,則f(x)的單調遞增區間為　　　　.
答案　(-∞,1]
解析　設u=|x-1|,則y=.
∵y=是減函數,u=|x-1|在[1,+∞)上單調遞增,在(-∞,1]上單調遞減,
∴y=在(-∞,1]上單調遞增.
因此y=的單調遞增區間是(-∞,1].
課時對點練　[分值:100分]
單選題每小題5分,共35分;多選題每小題6分,共18分
1.函數y=log2(4x-16)的定義域為 (　　)
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
答案　A
解析　由4x-16>0,得x>2,
∴函數的定義域為(2,+∞).
2.函數f(x)=loga[(a-1)x+1]在定義域上 (　　)
A.是增函數 B.是減函數
C.先增后減 D.先減后增
答案　A
解析　當a>1時,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函數,所以f(x)是增函數;
當0綜上,函數f(x)在定義域上是增函數.
3.函數f(x)=的單調遞增區間為 (　　)
A.(-∞,2) B.[1,2]
C.(2,3) D.(2,+∞)
答案　B
解析　由-x2+4x-3≥0得1≤x≤3,
即函數f(x)的定義域為[1,3],
令u=,
因為f(x)=2u在[1,3]上為增函數,
且u==的單調遞增區間為[1,2],
所以f(x)=的單調遞增區間為[1,2].
4.函數f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是 (　　)
A.1 B.
C. D.3
答案　C
解析　由題意,得函數f(x)=-+1=-+1,設t=,因為x∈[-1,2],
所以t=∈,
則函數y=t2-t+1=+,
當t=時,ymin=.
5.設函數f(x)=loga|x+1|在區間(-1,0)上有f(x)>0,則下列關于函數f(x)的說法正確的是 (　　)
A.在區間(-∞,0)上單調遞增
B.在區間(-∞,-1)上單調遞增
C.在區間(-∞,0)上單調遞減
D.在區間(-∞,-1)上單調遞減
答案　B
解析　當-1f(x)=loga|x+1|>0,
∴00,x≠-1,
則u=|x+1|在(-∞,-1)上單調遞減,
在(-1,+∞)上單調遞增,
又函數y=logau為減函數,
∴f(x)在(-∞,-1)上單調遞增,在(-1,+∞)上單調遞減.
6.(多選)關于函數f(x)=lg(x≠0),有下列結論,其中正確的是 (　　)
A.其圖象關于y軸對稱
B.f(x)的最小值是lg 2
C.當x>0時,f(x)是增函數;當x<0時,f(x)是減函數
D.f(x)的單調遞增區間是(-1,0),(1,+∞)
答案　ABD
解析　因為f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),
f(-x)=lg=f(x),
所以f(x)是偶函數,故A正確;
令t==|x|+≥2,y=lg t是增函數,
y=lg t≥lg 2,所以f(x)的最小值為lg 2,故B正確;
當x>0時,t==x+,根據對勾函數可得
t=x+的單調遞減區間是(0,1),單調遞增區間是(1,+∞),
y=lg t是增函數,
所以f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,故C錯誤;
根據偶函數的對稱性,f(x)在(-∞,-1)上單調遞減,在(-1,0)上單調遞增,
所以f(x)的單調遞增區間是(-1,0),(1,+∞),故D正確.
7.(5分)已知函數f(x)=e|x-a|(a為常數),若f(x)在區間(-∞,1]上單調遞減,則a的取值范圍是　　　　.
答案　[1,+∞)
解析　因為函數f(x)=e|x-a|(a為常數),若f(x)在區間(-∞,1]上單調遞減,
則t=|x-a|在區間(-∞,1]上單調遞減,
又函數t=|x-a|在區間(-∞,a]上單調遞減,
所以(-∞,1] (-∞,a],故a≥1.
則a的取值范圍是[1,+∞).
8.(5分)若y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在區間(-1,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍是　　　　.
答案　(1,3]
解析　因為y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在區間(-1,+∞)上單調遞增,知u=ax+3在區間(-1,+∞)上單調遞增,且u>0,故y=logau關于u在(0,+∞)上單調遞增,
所以解得1故實數a的取值范圍是(1,3].
9.(10分)求函數y=lo(-x2+2x+1)的值域和單調區間.
解　由-x2+2x+1>0,知函數的定義域為(1-,1+).
設t=-x2+2x+1=-(x-1)2+2.
∵y=lot為減函數,且0∴y≥-1,故y=lo(-x2+2x+1)的值域為[-1,+∞).
∵t=-x2+2x+1在(1-,1)上單調遞增,
在(1,1+)上單調遞減,
又y=lot為減函數.
∴函數y=lo(-x2+2x+1)的單調遞增區間為(1,1+),單調遞減區間為(1-,1).
10.(10分)已知函數f(x)=(a>0,且a≠1)是定義在R上的奇函數.
(1)求a的值;(4分)
(2)求函數f(x)的值域.(6分)
解　(1)∵f(x)是R上的奇函數,
∴f(0)=0,即=0,
解得a=2,經檢驗a=2符合題意.
(2)由(1)知,f(x)===1-在R上單調遞增,
∵2x+1>1,∴0<<2,
∴-2<-<0,∴-1<1-<1,
∴函數f(x)的值域為(-1,1).
11.若函數f(x)=lo(-x2+4x+5)在區間(3m-2,m+2)上單調遞增,則實數m的取值范圍為 (　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由-x2+4x+5>0,得-1令u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,故u在(2,5)上單調遞減.
且f(u)=lou為減函數,
∴f(x)=lo(-x2+4x+5)的單調遞增區間為(2,5).
由題意得解得≤m<2.
12.(多選)若3a-3b>2b-2a,則下列不等式正確的是 (　　)
A.ln(a-b+1)>0 B.ln(b-a+1)>0
C.ea-b-1>0 D.eb-a-1>0
答案　AC
解析　因為函數f(x)=3x+2x為增函數,3a-3b>2b-2a,即3a+2a>3b+2b,
所以a>b,a-b>0,則a-b+1>1,
所以ln(a-b+1)>0,故A正確;
由b-a<0,得b-a+1<1,所以ln(b-a+1)<0,故B錯誤;
ea-b>e0=1,所以ea-b-1>0,故C正確;
eb-a13.函數f(x)=(log2x)2-log2x3+4,x∈(1,4]的值域為 (　　)
A.[2,4) B.
C. D.
答案　C
解析　令t=log2x,x∈(1,4],
則t∈(0,2],
∴原函數化為y=t2-3t+4,t∈(0,2],
∴當t=時,
y有最小值為-3×+4=;
當t=0時,y有最大值為4,但取不到.
∴f(x)的值域為.
14.(5分)函數f(x)=lo(-x2+ax+2)在(1,2)上單調遞增,則實數a的取值范圍是　　　　.
答案　[1,2]
解析　令t=-x2+ax+2,而y=lot是減函數,
所以f(x)=lo(-x2+ax+2)在(1,2)上單調遞增等價于t=-x2+ax+2在(1,2)上單調遞減且t(x)=-x2+ax+2>0恒成立,
即
解得1≤a≤2.
15.(多選)高斯是德國著名的數學家,近代數學奠基者之一,享有“數學王子”的稱號,他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家,用其名字命名的“高斯函數”為:設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數,則y=[x]稱為高斯函數,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函數f(x)=-,則關于函數g(x)=[f(x)]的敘述中正確的是 (　　)
A.g(x)是偶函數
B.f(x)是奇函數
C.f(x)在R上是增函數
D.g(x)的值域是{-1,0,1}
答案　BC
解析　∵g(1)=[f(1)]===0,
g(-1)=[f(-1)]=
==-1,
∴g(-1)≠g(1),則g(x)不是偶函數,故A錯誤;
∵f(x)=-的定義域為R,
f(-x)+f(x)=+-1
=-1=0,
∴f(x)為奇函數,故B正確;
∵f(x)=-=-=-,
又y=2x在R上單調遞增,
∴f(x)=-在R上是增函數,故C正確;
∵2x>0,∴1+2x>1,則0<<1,
可得-<-<.
即-∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},故D錯誤.
16.(12分)已知函數f(x)=ex-e-x(x∈R且e為自然對數的底數).
(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性;(5分)
(2)是否存在實數t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立 若存在,求出t;若不存在,請說明理由.(7分)
解　(1)因為f(x)=ex-,且y=ex是增函數,y=-是增函數,所以f(x)是增函數.
由于f(x)的定義域為R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函數.
(2)由(1)知f(x)是增函數和奇函數,所以f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈R恒成立,
等價于 f(x2-t2)≥f(t-x)對一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x對一切x∈R恒成立,
所以t2+t≤x2+x對一切x∈R恒成立,即存在實數t使得≤恒成立,
所以存在實數t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立.(共61張PPT)
習題課
第四章
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指數型函數、對數型函數的性質的綜合
1.會求指數型函數、對數型函數的單調性、值域等問題.(重難點)
2.掌握判斷指數型函數、對數型函數單調性的方法.(重點)
學習目標
一、指數型函數的單調性問題
二、對數型函數的單調性問題
課時對點練
三、函數的綜合應用
隨堂演練
內容索引
一
指數型函數的單調性問題
判斷函數f(x)=的單調性.
例 1
令u=x2-2x,
易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,
又∵y=在(-∞,+∞)上單調遞減,
∴f(x)=在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.
1.把本例的函數改為“f(x)=”,求其單調區間.
延伸探究
方法一　函數f(x)=的定義域是R.
令u=-x2+2x,則y=2u.
當x∈(-∞,1)時,函數u=-x2+2x單調遞增,
當x∈(1,+∞)時,函數u=-x2+2x單調遞減,
又函數y=2u在R上是增函數,
所以函數f(x)=在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,
綜上,函數f(x)=的單調遞減區間是(1,+∞),單調遞增區間是(-∞,1).
方法二　f(x)==,本題轉化為例1的做法.
2.若本例不變,求f(x)的值域.
因為u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
所以y=,u∈[-1,+∞),
所以0<≤=2,
所以函數f(x)的值域為(0,2].
(1)求指數型函數的單調區間,首先求出函數的定義域,然后把函數分解成y=f(u),u=φ(x),通過考察f(u)和φ(x)的單調性,利用同增異減原則,求出y=f(φ(x))的單調性.
(2)關于指數型函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調性由兩點決定,一是底數a>1還是0反
思
感
悟
函數y=的單調遞減區間是
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
跟蹤訓練 1
設u=,則y=3u,
因為u=在(-∞,0)和(0,+∞)上是減函數,
且y=3u在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函數,
所以函數y=的單調遞減區間是(-∞,0)和(0,+∞).
√
二
對數型函數的單調性問題
(1)求函數y=lo(x2-3x+2)的單調區間.
例 2
由x2-3x+2>0得x<1或x>2.
令t=x2-3x+2,
則t=x2-3x+2=-,當x∈(2,+∞)時,t=x2-3x+2單調遞增,當x∈(-∞,1)時,t=x2-3x+2單調遞減.
又y=lot為減函數,
∴當x∈(2,+∞)時,原函數單調遞減;當x∈(-∞,1)時,原函數單調遞增.
故函數y=lo(x2-3x+2)的單調遞增區間為(-∞,1),單調遞減區間為(2,+∞).
(2)求函數y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的單調區間.
令t=log0.4x,則它在(0,+∞)上單調遞減.
y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1,+∞)上單調遞增,在(-∞,1)上單調遞減.
由t=log0.4x>1得0由t=log0.4x<1得x>0.4,
故所求函數的單調遞增區間為(0.4,+∞),單調遞減區間為(0,0.4).
反
思
感
悟
函數單調性的判定方法與策略
(1)定義法:一般步驟:設元→作差→變形→判斷符號→得出結論.
(2)圖象法:如果函數f(x)是以圖象形式給出或函數f(x)的圖象易作出,結合圖象可求得函數的單調區間.
(3)y=f(g(x))型函數:先將函數y=f(g(x))分解為y=f(t)和t=g(x),再討論這兩個函數的單調性,最后根據復合函數“同增異減”的規則進行判定.
求函數y=lo(1-x2)的單調區間.
跟蹤訓練 2
由題意知1-x2>0,∴-1令t=1-x2,x∈(-1,1),
則當x∈(-1,0)時,函數t=1-x2單調遞增,y=lot單調遞減.
∴當x∈(-1,0)時,y=lo(1-x2)單調遞減.
同理,當x∈(0,1)時,y=lo(1-x2)單調遞增.
故y=lo(1-x2)的單調遞增區間為(0,1),單調遞減區間為(-1,0).
三
函數的綜合應用
求函數f(x)=log2(4x)·lo,x∈的值域.
例 3
f(x)=log2(4x)·lo
=(log2x+2)·
=-[(log2x)2+log2x-2].
設log2x=t.
∵x∈,∴t∈[-1,2],
則有y=-(t2+t-2),t∈[-1,2],
易得二次函數圖象的對稱軸為t=-,
∴函數y=-(t2+t-2)在上單調遞增,在上單調遞減,
∴當t=-時,ymax=.
當t=2時,ymin=-2.
∴f(x)的值域為.
若把本例改為y=4x-2x+1-3.求函數的值域和單調區間.
延伸探究
函數y=4x-2x+1-3的定義域為R,設t=2x,則t>0.
因為y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4,
所以函數y=4x-2x+1-3的值域為[-4,+∞).
因為y=t2-2t-3在(-∞,1]上單調遞減,此時由t≤1得x≤0.
又指數函數t=2x在(-∞,0]上單調遞增,
所以函數y=4x-2x+1-3的單調遞減區間為(-∞,0].
同理,因為y=t2-2t-3在[1,+∞)上單調遞增,此時由t≥1得x≥0.
又指數函數t=2x在[0,+∞)上單調遞增,
所以函數y=4x-2x+1-3的單調遞增區間為[0,+∞).
反
思
感
悟
對于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的復合函數，其值域的求解步驟如下：
(1)分解成y=logau,u=f(x)兩個函數；
(2)求f(x)的定義域；
(3)求u的取值范圍；
(4)利用y=logau的單調性求解.
求下列函數的值域:
(1)f(x)=log2(3x+1);
跟蹤訓練 3
f(x)的定義域為R.
∵3x>0,∴3x+1>1.
∵y=log2x在(0,+∞)上單調遞增,
∴log2(3x+1)>log21=0,
∴f(x)的值域為(0,+∞).
(2)f(x)=log2·log2(1≤x≤4).
∵f(x)=log2·log2=(log2x-2)(log2x-1)=-,
又∵1≤x≤4,∴0≤log2x≤2,
∴當log2x=,即x==2時,f(x)取最小值-;
當log2x=0,即x=1時,f(x)取得最大值2,
∴函數f(x)的值域是.
1.知識清單:
(1)指數型函數的單調性.
(2)對數型函數的單調性.
(3)函數的綜合應用.
2.方法歸納:換元法.
3.常見誤區:求對數型函數的單調性易忽視定義域.
隨堂演練
四
1.函數f(x)=loga|x-1|在(0,1)上單調遞減,那么f(x)在(1,+∞)上
A.單調遞增且無最大值 B.單調遞減且無最小值
C.單調遞增且有最大值 D.單調遞減且有最小值
設u=|x-1|,
∵u在(0,1)上單調遞減,且函數f(x)=loga|x-1|在(0,1)上單調遞減,
則a>1,
∵u在(1,+∞)上單調遞增,
∴f(x)在(1,+∞)上單調遞增且無最大值.
√
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2.函數y=lo(-x2-2x+3)的單調遞增區間是
A.[-1,1) B.(-∞,1)
C.[1,3) D.(1,+∞)
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√
由題意,得要使函數y=lo(-x2-2x+3)有意義,則滿足-x2-2x+3>0,
即x2+2x-3=(x+3)(x-1)<0,解得-3即函數的定義域為(-3,1),
令g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
所以函數g(x)在區間(-3,-1)上單調遞增,在區間[-1,1)上單調遞減,
又函數y=lox在定義域上是減函數,
所以y=lo(-x2-2x+3)的單調遞增區間為[-1,1).
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3.已知函數f(x)=是增函數,那么實數a的取值范圍是
A.(1,+∞)　　　B.(3,+∞)　　　C.(1,3)　　　D.(1,3]
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√
∵函數f(x)=是增函數,
∴a>1且a0≥3a-8,
解得14.設函數f(x)=,則f(x)的單調遞增區間為　　　　.
設u=|x-1|,則y=.
∵y=是減函數,u=|x-1|在[1,+∞)上單調遞增,在(-∞,1]上單調遞減,
∴y=在(-∞,1]上單調遞增.
因此y=的單調遞增區間是(-∞,1].
(-∞,1]
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課時對點練
五
基礎鞏固
1.函數y=log2(4x-16)的定義域為
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C.(-∞,2) D.(-∞,2]
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由4x-16>0,得x>2,
∴函數的定義域為(2,+∞).
2.函數f(x)=loga[(a-1)x+1]在定義域上
A.是增函數 B.是減函數
C.先增后減 D.先減后增
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當a>1時,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函數,所以f(x)是增函數;
當0綜上,函數f(x)在定義域上是增函數.
3.函數f(x)=的單調遞增區間為
A.(-∞,2)　　　B.[1,2]　　　C.(2,3)　　　D.(2,+∞)
由-x2+4x-3≥0得1≤x≤3,
即函數f(x)的定義域為[1,3],
令u=,
因為f(x)=2u在[1,3]上為增函數,
且u==的單調遞增區間為[1,2],
所以f(x)=的單調遞增區間為[1,2].
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4.函數f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是
A.1　　　B.　　　C.　　　D.3
√
由題意,得函數f(x)=-+1=-+1,設t=,因為x∈[-1,2],
所以t=,
則函數y=t2-t+1=+,
當t=時,ymin=.
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5.設函數f(x)=loga|x+1|在區間(-1,0)上有f(x)>0,則下列關于函數f(x)的說法正確的是
A.在區間(-∞,0)上單調遞增
B.在區間(-∞,-1)上單調遞增
C.在區間(-∞,0)上單調遞減
D.在區間(-∞,-1)上單調遞減
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當-1f(x)=loga|x+1|>0,
∴00,x≠-1,
則u=|x+1|在(-∞,-1)上單調遞減,
在(-1,+∞)上單調遞增,
又函數y=logau為減函數,
∴f(x)在(-∞,-1)上單調遞增,在(-1,+∞)上單調遞減.
6.(多選)關于函數f(x)=lg (x≠0),有下列結論,其中正確的是
A.其圖象關于y軸對稱
B.f(x)的最小值是lg 2
C.當x>0時,f(x)是增函數;當x<0時,f(x)是減函數
D.f(x)的單調遞增區間是(-1,0),(1,+∞)
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因為f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=lg =f(x),
所以f(x)是偶函數,故A正確;
令t==|x|+≥2,y=lg t是增函數,
y=lg t≥lg 2,所以f(x)的最小值為lg 2,故B正確;
當x>0時,t==x+,根據對勾函數可得t=x+的單調遞減區間是(0,1),單調遞增區間是(1,+∞),
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y=lg t是增函數,
所以f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,故C錯誤;
根據偶函數的對稱性,f(x)在(-∞,-1)上單調遞減,在(-1,0)上單調遞增,
所以f(x)的單調遞增區間是(-1,0),(1,+∞),故D正確.
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7.已知函數f(x)=e|x-a|(a為常數),若f(x)在區間(-∞,1]上單調遞減,則a的取值范圍是　　　　.
[1,+∞)
因為函數f(x)=e|x-a|(a為常數),若f(x)在區間(-∞,1]上單調遞減,
則t=|x-a|在區間(-∞,1]上單調遞減,
又函數t=|x-a|在區間(-∞,a]上單調遞減,
所以(-∞,1] (-∞,a],故a≥1.
則a的取值范圍是[1,+∞).
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8.若y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在區間(-1,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍是　　　　.
(1,3]
因為y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在區間(-1,+∞)上單調遞增,知u=ax+3在區間(-1,+∞)上單調遞增,且u>0,故y=logau關于u在(0,+∞)上單調遞增,
所以解得1故實數a的取值范圍是(1,3].
9.求函數y=lo(-x2+2x+1)的值域和單調區間.
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由-x2+2x+1>0,知函數的定義域為(1-,1+).
設t=-x2+2x+1=-(x-1)2+2.
∵y=lot為減函數,且0∴y≥-1,故y=lo(-x2+2x+1)的值域為[-1,+∞).
∵t=-x2+2x+1在(1-,1)上單調遞增,
在(1,1+)上單調遞減,又y=lot為減函數.
∴函數y=lo(-x2+2x+1)的單調遞增區間為(1,1+),單調遞減區間為(1-,1).
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10.已知函數f(x)=(a>0,且a≠1)是定義在R上的奇函數.
(1)求a的值;
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∵f(x)是R上的奇函數,
∴f(0)=0,即=0,
解得a=2,經檢驗a=2符合題意.
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(2)求函數f(x)的值域.
由(1)知,f(x)===1-在R上單調遞增,
∵2x+1>1,∴0<<2,
∴-2<-<0,∴-1<1-<1,
∴函數f(x)的值域為(-1,1).
11.若函數f(x)=lo(-x2+4x+5)在區間(3m-2,m+2)上單調遞增,則實數m的取值范圍為
A. B.
C. D.
綜合運用
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由-x2+4x+5>0,得-1令u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,故u在(2,5)上單調遞減.
且f(u)=lou為減函數,
∴f(x)=lo(-x2+4x+5)的單調遞增區間為(2,5).
由題意得≤m<2.
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12.(多選)若3a-3b>2b-2a,則下列不等式正確的是
A.ln(a-b+1)>0 B.ln(b-a+1)>0
C.ea-b-1>0 D.eb-a-1>0
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因為函數f(x)=3x+2x為增函數,3a-3b>2b-2a,即3a+2a>3b+2b,
所以a>b,a-b>0,則a-b+1>1,
所以ln(a-b+1)>0,故A正確;
由b-a<0,得b-a+1<1,所以ln(b-a+1)<0,故B錯誤;
ea-b>e0=1,所以ea-b-1>0,故C正確;
eb-a13.函數f(x)=(log2x)2-log2x3+4,x∈(1,4]的值域為
A.[2,4) B.
C. D.
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令t=log2x,x∈(1,4],
則t∈(0,2],
∴原函數化為y=t2-3t+4,t∈(0,2],
∴當t=時,y有最小值為-3×+4=;
當t=0時,y有最大值為4,但取不到.
∴f(x)的值域為.
14.函數f(x)=lo(-x2+ax+2)在(1,2)上單調遞增,則實數a的取值范圍是　　　.
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[1,2]
令t=-x2+ax+2,而y=lot是減函數,
所以f(x)=lo(-x2+ax+2)在(1,2)上單調遞增等價于t=-x2+ax+2在(1,2)上單調遞減且t(x)=-x2+ax+2>0恒成立,
即解得1≤a≤2.
15.(多選)高斯是德國著名的數學家,近代數學奠基者之一,享有“數學王子”的稱號,他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家,用其名字命名的“高斯函數”為:設x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數,則y=[x]稱為高斯函數,例如:[-3.5]=-4,[2.1]=2.已知函數f(x)=-,則關于函數g(x)=[f(x)]的敘述中正確的是
A.g(x)是偶函數 B.f(x)是奇函數
C.f(x)在R上是增函數 D.g(x)的值域是{-1,0,1}
拓廣探究
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∵g(1)=[f(1)]===0,
g(-1)=[f(-1)]===-1,
∴g(-1)≠g(1),則g(x)不是偶函數,故A錯誤;
∵f(x)=-的定義域為R,
f(-x)+f(x)=+-1=-1=0,
∴f(x)為奇函數,故B正確;
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∵f(x)=-=-=-,
又y=2x在R上單調遞增,
∴f(x)=-在R上是增函數,故C正確;
∵2x>0,∴1+2x>1,則0<<1,可得-<-<.
即-∴g(x)=[f(x)]∈{-1,0},故D錯誤.
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16.已知函數f(x)=ex-e-x(x∈R且e為自然對數的底數).
(1)判斷函數f(x)的奇偶性與單調性;
因為f(x)=ex-,且y=ex是增函數,y=-是增函數,所以f(x)是增函數.
由于f(x)的定義域為R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函數.
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(2)是否存在實數t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立 若存在,求出t;若不存在,請說明理由.
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由(1)知f(x)是增函數和奇函數,所以f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x∈R恒成立,
等價于 f(x2-t2)≥f(t-x)對一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x對一切x∈R恒成立,
所以t2+t≤x2+x對一切x∈R恒成立,
即存在實數t使得≤恒成立,
所以存在實數t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0對一切x都成立.
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16習題課　指數型函數、對數型函數的性質的綜合
[學習目標]　1.會求指數型函數、對數型函數的單調性、值域等問題.(重難點)2.掌握判斷指數型函數、對數型函數單調性的方法.(重點)
一、指數型函數的單調性問題
例1　判斷函數f(x)=的單調性.
延伸探究
1.把本例的函數改為“f(x)=”,求其單調區間.
2.若本例不變,求f(x)的值域.
反思感悟　(1)求指數型函數的單調區間,首先求出函數的定義域,然后把函數分解成y=f(u),u=φ(x),通過考察f(u)和φ(x)的單調性,利用同增異減原則,求出y=f(φ(x))的單調性.
(2)關于指數型函數y=af(x)(a>0,且a≠1)的單調性由兩點決定,一是底數a>1還是0跟蹤訓練1　函數y=的單調遞減區間是 (　　)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)
C.(0,+∞) D.(-∞,0)和(0,+∞)
二、對數型函數的單調性問題
例2　(1)求函數y=lo(x2-3x+2)的單調區間.
(2)求函數y=(log0.4x)2-2log0.4x+2的單調區間.
反思感悟　函數單調性的判定方法與策略
(1)定義法:一般步驟:設元→作差→變形→判斷符號→得出結論.
(2)圖象法:如果函數f(x)是以圖象形式給出或函數f(x)的圖象易作出,結合圖象可求得函數的單調區間.
(3)y=f(g(x))型函數:先將函數y=f(g(x))分解為y=f(t)和t=g(x),再討論這兩個函數的單調性,最后根據復合函數“同增異減”的規則進行判定.
跟蹤訓練2　求函數y=lo(1-x2)的單調區間.
三、函數的綜合應用
例3　求函數f(x)=log2(4x)·lo,x∈的值域.
延伸探究　若把本例改為y=4x-2x+1-3.求函數的值域和單調區間.
反思感悟　對于形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的復合函數，其值域的求解步驟如下：
(1)分解成y=logau,u=f(x)兩個函數；
(2)求f(x)的定義域；
(3)求u的取值范圍；
(4)利用y=logau的單調性求解.
跟蹤訓練3　求下列函數的值域:
(1)f(x)=log2(3x+1);
(2)f(x)=log2·log2(1≤x≤4).
1.知識清單:
(1)指數型函數的單調性.
(2)對數型函數的單調性.
(3)函數的綜合應用.
2.方法歸納:換元法.
3.常見誤區:求對數型函數的單調性易忽視定義域.
1.函數f(x)=loga|x-1|在(0,1)上單調遞減,那么f(x)在(1,+∞)上 (　　)
A.單調遞增且無最大值
B.單調遞減且無最小值
C.單調遞增且有最大值
D.單調遞減且有最小值
2.函數y=lo(-x2-2x+3)的單調遞增區間是 (　　)
A.[-1,1) B.(-∞,1)
C.[1,3) D.(1,+∞)
3.已知函數f(x)=是增函數,那么實數a的取值范圍是 (　　)
A.(1,+∞) B.(3,+∞)
C.(1,3) D.(1,3]
4.設函數f(x)=,則f(x)的單調遞增區間為　　　　.
答案精析
例1　解　令u=x2-2x，
易知u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞，1)上單調遞減，在(1，+∞)上單調遞增，
又∵y=在(-∞，+∞)上單調遞減，
∴f(x)=在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減.
延伸探究
1.解　方法一　函數f(x)=的定義域是R.
令u=-x2+2x，則y=2u.
當x∈(-∞，1)時，
函數u=-x2+2x單調遞增，
當x∈(1，+∞)時，
函數u=-x2+2x單調遞減，
又函數y=2u在R上是增函數，
所以函數f(x)=在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減，
綜上，函數f(x)=的單調遞減區間是(1，+∞)，單調遞增區間是(-∞，1).
方法二　f(x)==，本題轉化為例1的做法.
2.解　因為u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，
所以y=，u∈［-1，+∞)，
所以0<≤=2，
所以函數f(x)的值域為(0，2］.
跟蹤訓練1　D
例2　(1)解　由x2-3x+2>0得x<1或x>2.
令t=x2-3x+2，
則t=x2-3x+2=-，當x∈(2，+∞)時，t=x2-3x+2單調遞增，當x∈(-∞，1)時，t=x2-3x+2單調遞減.
又y=lot為減函數，
∴當x∈(2，+∞)時，原函數單調遞減；當x∈(-∞，1)時，原函數單調遞增.
故函數y=lo(x2-3x+2)的單調遞增區間為(-∞，1)，單調遞減區間為(2，+∞).
(2)解　令t=log0.4x，則它在(0，+∞)上單調遞減.
y=t2-2t+2=(t-1)2+1在(1，+∞)上單調遞增，在(-∞，1)上單調遞減.
由t=log0.4x>1得0由t=log0.4x<1得x>0.4，
故所求函數的單調遞增區間為(0.4，+∞)，單調遞減區間為(0，0.4).
跟蹤訓練2　解　由題意知1-x2>0，∴-1令t=1-x2，x∈(-1，1)，
則當x∈(-1，0)時，函數t=1-x2單調遞增，
y=lot單調遞減.
∴當x∈(-1，0)時，y=lo(1-x2)單調遞減.
同理，當x∈(0，1)時，
y=lo(1-x2)單調遞增.
故y=lo(1-x2)的單調遞增區間為(0，1)，單調遞減區間為(-1，0).
例3　解　f(x)=log2(4x)·lo
=(log2x+2)·
=-［(log2x)2+log2x-2］.
設log2x=t.
∵x∈，∴t∈［-1，2］，
則有y=-(t2+t-2)，t∈［-1，2］，
易得二次函數圖象的對稱軸為t=-，
∴函數y=-(t2+t-2)在上單調遞增，在上單調遞減，
∴當t=-時，ymax=.
當t=2時，ymin=-2.
∴f(x)的值域為.
延伸探究　解　函數y=4x-2x+1-3的定義域為R，設t=2x，則t>0.
因為y=4x-2x+1-3=(2x)2-2×2x-3=t2-2t-3=(t-1)2-4≥-4，
所以函數y=4x-2x+1-3的值域為［-4，+∞).
因為y=t2-2t-3在(-∞，1］上單調遞減，此時由t≤1得x≤0.
又指數函數t=2x在(-∞，0］上單調遞增，
所以函數y=4x-2x+1-3的單調遞減區間為(-∞，0］.
同理，因為y=t2-2t-3在［1，+∞)上單調遞增，此時由t≥1得x≥0.
又指數函數t=2x在［0，+∞)上單調遞增，
所以函數y=4x-2x+1-3的單調遞增區間為［0，+∞).
跟蹤訓練3　解　(1)f(x)的定義域為R.
∵3x>0，∴3x+1>1.
∵y=log2x在(0，+∞)上單調遞增，
∴log2(3x+1)>log21=0，
∴f(x)的值域為(0，+∞).
(2)∵f(x)=log2·log2
=(log2x-2)(log2x-1)
=-，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴當log2x=，即x==2時，
f(x)取最小值-；
當log2x=0，即x=1時，f(x)取得最大值2，
∴函數f(x)的值域是.
隨堂演練
1.A　2.A　3.D　4.(-∞，1］

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