資源簡介

27.2.1 探索三角形相似的條件
【考點 1 三邊對應成比例，兩三角形相似】
【考點 2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似】
【考點 3 兩角對應相等，兩三角形相似】
【考點 4 選擇或填充條件使兩個三角形相似】
知識點 相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（2）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.　
3．判定方法（3）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相
似.
注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必需是兩
邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.
判定方法（4）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.
注意：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而
言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.
【考點 1 三邊對應成比例，兩三角形相似】
【典例 1】如圖，在 △ 中， = ，2 = 3 ，2 = 3 ，求證： △ ∽△ ．
【變式 1-1】判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．
【考點 2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似】
【典例 2】如圖，點 ， 分別在正方形 的邊 ， 上， = 3， = 6， = 2．求證：
△ ∽ △ ．
【變式 2-1】如圖， 、 分別是 △ 的邊 、 上的點， = 8， = 5， = 6， = 2，求證：
△ ∽△ ．
【變式 2-2】如圖， 是 △ 的邊 上的一點， = 2， = 1， = 3，求證： △ ∽△ ．
【變式 2-3】如圖，∠ = ∠ = 90°，且 = 253 ， = 5， = 3，求證： △ ∽△ ．
【考點 3 兩角對應相等，兩三角形相似】
【典例 3】如圖，在 中，點 E 為 邊上一點，連結 ：點 F 為線段 上一點，且
∠ = ∠ ．求證： △ ∽△ ．
【變式 3-1】如圖，在 中， 為 邊上一點，連接 , 為 上一點，連接 ，且∠ = ∠ ．求
證： △ ∽△ ．
【變式 3-2】如圖，已知∠1 = ∠2，∠ = ∠ ，求證： △ ∽ △ ．
【變式 3-3】如圖，四邊形 是正方形，點 G 為邊 上一點，連接 并延長，交 的延長線于點
F，連接 交 于點 E，連接 ．求證：
(1)∠ = ∠ ；
(2) △ ∽△ ．
【考點 4 選擇或填充條件使兩個三角形相似】
【典例 4】如圖， △ 中，點 D 是邊 上一點， ∥ ，連接 ．從下列條件中，選擇一個作為附

加條件①∠ ＝∠ ；② = ；③ = ，求證： △ ∽△ ．
【變式 4-1】如圖，點 P 在 △ 的邊 AC 上，要使 △ ∽△ ，還少一個條件，補充一個條件并說
明理由．
【變式 4-2】在① = ，②∠ = ∠ ，③ = 這三個條件中選擇其中一
個，補充在下面的問題中，使命題正確，并證明．
問題：如圖，四邊形 的兩條對角線交于 點，若 （填序號）
求證： △ △ ．
【變式 4-3】如圖，在△ABC 和△ACD 中，AD⊥CD 于點 D，AC⊥BC 于點 C．請再添加一個條件，使Δ
Δ ，并加以證明．
一、單選題
1．如圖小正方形的邊長均為 1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與 △ 相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，已知∠1 = ∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定 △ ∽ △ 的是（ ）

A． = B．∠ = ∠ C．∠ = ∠ D． =
3．如圖，已知 △ 與 △ 都是等邊三角形，點 在邊 上（不與點 、 重合）， 與 相交于點 ，
那么與 △ 相似的三角形是（ ）
A． △ B． △ C． △ D． △
4．下列一定相似的兩個圖形是（ ）
A．有一個角是45°的等腰三角形 B．有一個角是60°的三角形
C．等腰三角形 D．有一個角是120°的等腰三角形
5．下列各條件中，能判斷 △ ∽△ ′ ′ ′的是（　　）
A． = 3 ′ ′，∠ = ∠ ′

B． = ，∠ = ∠ ′
′ ′ ′ ′
′ ′
C = ． ，∠ + ∠ = ∠ ′ +∠ ′ ′ ′
D．∠ = 40°，∠ = 80°，∠ ′ = 80°，∠ ′ = 70°
6．下列說法正確的是（　　）
A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
B．有一個角是直角的平行四邊形是正方形
C．兩條邊對應成比例且有一個內角相等的兩個三角形相似
D．對角線相等的四邊形是矩形
7．如圖，D 是 △ 邊 上一點，能使 △ ∽△ 的條件是（ ）
A． : = : B． : = :
C． 2 = D． 2 =
8．如圖， 為 ⊙ 的直徑，C 為 延長線上一點，過點 C 作 ⊙ 的切線 ，切點為 E，作 ⊥ 于點
D，連結 ，下列結論正確的是（ ）
A．B 是 中點 B． =
C． 2 = D． 平分∠
9．如圖，∠1 = ∠2，添加一個條件：① ∠ = ∠ ；② ∠ = ∠ = ；③ ；④ = ．其中能判定
△ ∽△ 的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空題
10．如圖， △ ABC中，D、E 分別是 、 的點，要使 △ ∽△ ，需添加一個條件是 ．（只要
寫一個條件）
11．如圖，直線 ∥ ∥ ，分別交直線 m，n 于點 A，B，C，D，E，F，若 =
2
3， = 6，則 DF 的值為 ．
12．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為 1， ， ， ， 為小正方形的頂點，則圖中所形成
的三角形中，相似的三角形是 ．
13．如圖，在正方形 中，E 是邊 的中點，要依據“兩邊成比例且夾角相等”判定 △ ∽△ ，還
需添加的一個條件是 ．
三、解答題
14．如圖，在 △ 中， 是角平分線，點 E 是邊 上一點，且滿足∠ = ∠ ．求證：
△ ∽△ ．
15．已知 是 △ 中∠ 的角平分線， 是 上的一點，且 2 = · ， = 6， = 2．求證：
(1) △ ∽△ ；
(2) △ ∽△ ．
16．如圖， ∥ ，且 = ，若 = 5， = 10．
(1)求 的長；

(2)求 的值．
17．在矩形 中，E 為 邊上一點，把 △ 沿 翻折，使點 D 恰好落在 邊上的點 F．
(1)求證：
△ ∽△ ；
(2)若 = 8 3， = 16，求 的長；27.2.1 探索三角形相似的條件
【考點 1 三邊對應成比例，兩三角形相似】
【考點 2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似】
【考點 3 兩角對應相等，兩三角形相似】
【考點 4 選擇或填充條件使兩個三角形相似】
知識點 相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（2）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.　
3．判定方法（3）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相
似.
注意：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必需是兩
邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.
判定方法（4）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.
注意：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而
言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.
【考點 1 三邊對應成比例，兩三角形相似】
【典例 1】如圖，在 △ 中， = ，2 = 3 ，2 = 3 ，求證： △ ∽△ ．
【答案】證明見詳解；
【分析】本題考查三角形相似的判定，根據 = 得到∠ = ∠ ，從而得到∠ = ∠ ，結合
2 = 3 2 = 3 = = ， 得到 =
3
2，即可得到證明；
【詳解】證明：∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∵2 = 3 ，2 = 3 ，
∴ = = 3 = 2，
∴ △ ∽△ ．
【變式 1-1】判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．
【答案】 △ ∽△ ．理由見解析
5
【分析】根據 = = = 3，進行判斷作答即可．
【詳解】解： △ ∽△ ．理由如下：
由題意知， = 3， = 3.5， = 4， = 1.8， = 2.1， = 2.4，
∴ = 5 = = 3，
∴ △ ∽△ ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
【考點 2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似】
【典例 2】如圖，點 ， 分別在正方形 的邊 ， 上， = 3， = 6， = 2．求證：
△ ∽ △ ．
【答案】見解析
【分析】本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．根據
∠ = ∠ = 90° = = 9 = 正方形的性質，得出 ， ，進而得出 ，根據兩邊成比例且夾角相等的兩
個三角形相似即可證明．
【詳解】解： ∵ = 3， = 6，
∴ = 9，
∵ 四邊形 是正方形，
∴ = = 9，∠ = ∠ = 90°，
∵ = 9 = 3 3 6 2， = 2，

∴ =
又 ∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴△ ∽ △ ．
【變式 2-1】如圖， 、 分別是 △ 的邊 、 上的點， = 8， = 5， = 6， = 2，求證：
△ ∽△ ．
【答案】見解析

【分析】首先求出 、 的長，再求出 = ，根據∠ = ∠ 即可證明 △ ∽△ ．
【詳解】解： ∵ = 8， = 5， = 6， = 2，
∴ = = 8 5 = 3， = = 6 2 = 4，
∵ = 3 = 1 = 4 = 1 6 2， 8 2，
∴ = ，
又 ∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．
【變式 2-2】如圖， 是 △ 的邊 上的一點， = 2， = 1， = 3，求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了相似三角形的證明，根據相似三角形的判定方法，兩邊對應成比例和夾角相等
即可得出結論．
【詳解】證明： ∵ = 1， = 3，
∴ = + = 1 + 3 = 4，
∵ 1 22 = 4，
∴ =

，
∵ ∠ 為公共角，
∴△ ∽△ ．
25
【變式 2-3】如圖，∠ = ∠ = 90°，且 = 3 ， = 5， = 3，求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
20
【分析】本題考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定，先求出 = 3 ，
= 4，
再證明 △ ∽△ 即可．
【詳解】證明： ∵ ∠ = 90° = 25，且 3 ， = 5，
∴ = 25
2
52 =
20
3 3
，
∵ ∠ = 90°，且 = 5， = 3，
∴ = 52 32 = 4，
20∵ = 53 = 3,
5
4
= 3，
∴ = ，
又∵∠ = ∠ = 90°，
∴△ ∽△
【考點 3 兩角對應相等，兩三角形相似】
【典例 3】如圖，在 中，點 E 為 邊上一點，連結 ：點 F 為線段 上一點，且
∠ = ∠ ．求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題考查平行四邊形的性質、平行線的性質、相似三角形的判定，根據平行四邊形的性質可得
∥ ，再根據平行線的性質可得∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 180°，利用等量代換可得∠ = ∠ ，
再根據相似三角形的判定即可得證．
【詳解】證明：在 中， ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
∵ ∥ ，
∴∠ + ∠ = 180°，
∵∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
【變式 3-1】如圖，在 中， 為 邊上一點，連接 , 為 上一點，連接 ，且∠ = ∠ ．求
證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定和平行四邊形的性質，由平行四邊形的性質得 ∥ ，
∠ + ∠ = 180°，得到∠ = ∠ ，然后由∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 180°得到∠ = ∠ ，然
后根據相似三角形的判定可得結論．
【詳解】證明：∵四邊形 是平行四邊形，
∴ ∥ ，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 180°，
∴∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
【變式 3-2】如圖，已知∠1 = ∠2，∠ = ∠ ，求證： △ ∽ △ ．
【答案】證明見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解題的關鍵，已經有一角相等，
只需再證一角相等即可；由等式的性質得出∠ = ∠ ，即可得出結論．
【詳解】證明：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠ = ∠2 + ∠ ，
即∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽ △ ．
【變式 3-3】如圖，四邊形 是正方形，點 G 為邊 上一點，連接 并延長，交 的延長線于點
F，連接 交 于點 E，連接 ．求證：
(1)∠ = ∠ ；
(2) △ ∽△ ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定．
（1）證明 △ ≌ △ ，即可；
（2）根據平行得到∠ = ∠ = ∠ ，再根據∠ = ∠ ，即可得證．
掌握正方形的性質，證明三角形全等和相似，是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵正方形 ，
∴ = ,∠ = ∠ = 45°，
又 = ，
∴ △ ≌ △ ，
∴∠ = ∠ ；
（2）∵正方形 ，
∴ ∥ ，
∴∠ = ∠ = ∠ ，
又∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
【考點 4 選擇或填充條件使兩個三角形相似】
【典例 4】如圖， △ 中，點 D 是邊 上一點， ∥ ，連接 ．從下列條件中，選擇一個作為附
∠ ∠ = 加條件① ＝ ；② ；③ =

，求證： △ ∽△ ．
【答案】②，見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．可添加根據有兩組角對
應相等的兩個三角形相似來判定；或添加利用兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等的兩個三角形相似
來判定其相似．
【詳解】證明：選擇①
∵ ∥ ，
∴∠ ＝∠ ，
∵ = ，
∴ △ ∽△ ．
【變式 4-1】如圖，點 P 在 △ 的邊 AC 上，要使 △ ∽△ ，還少一個條件，補充一個條件并
說明理由．
【答案】補充一個條件∠ = ∠ （答案不唯一）理由見解析
【分析】由兩個角分別對應相等的兩個三角形相似，可補充∠ = ∠ ，再證明即可．
【詳解】解：補充∠ = ∠ ，理由如下：
∵∠ = ∠ ,∠ = ∠ ,
∴ △ ∽△ ．
【點睛】本題考查的是相似三角形的判定，掌握“兩個角分別對應相等的兩個三角形相似”是解本題的關
鍵．
【變式 4-2】在① = ，②∠ = ∠ ，③ = 這三個條件中選擇其中一
個，補充在下面的問題中，使命題正確，并證明．
問題：如圖，四邊形 的兩條對角線交于 點，若 （填序號）
求證： △ △ ．
【答案】①，證明見解析或②，證明見解析．
【分析】若選擇條件①，可利用兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；
若選擇條件②，可利用兩角相等的兩個三角形相似．
【詳解】解：選擇條件①的證明為：
∵ = ，
∴ = ，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ；
選擇條件②的證明為：
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠
∴ △ ∽△ ．
【點睛】本題考查相似三角形的判定定理，能熟記相似三角形的判定定理，并正確識圖是解題關鍵．
【變式 4-3】如圖，在△ABC 和△ACD 中，AD⊥CD 于點 D，AC⊥BC 于點 C．請再添加一個條件，使Δ
Δ ，并加以證明．
【答案】添加條件：AB//CD，證明見解析（答案不唯一）
【分析】要證Δ Δ ，通過觀察發現兩個三角形已經具備一組角相等，即∠ = ∠ = 90°，
此時，可添加一組角相等即可．
【詳解】添加條件： ∥ ．
證明：∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴∠ = ∠ = 90°，
∵ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理及正確找到對應角是解題的關
鍵，此題是開放題，答案不唯一．
一、單
選題
1．如圖小正方形的邊長均為 1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與 △ 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了相似三角形的判定以及勾股定理．根據網格中的數據求出鈍角等于135°，鈍角的夾
邊比為 2，再利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似判斷即可．
2
2 2
【詳解】解：觀察題圖，鈍角等于135°，鈍角的夾邊比為 1 +1 = 2，
2 2
選項 A、C 和 D 中，鈍角都小于135°，故排除選項 A、C 和 B；
1 1
選項 B 中，鈍角等于135°，鈍角的夾邊比為 = = 2
12+12
，
2 2
故選：B．
2．如圖，已知∠1 = ∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定 △ ∽ △ 的是（ ）

A． = B．∠ = ∠ C．∠ = ∠

D． =
【答案】A
【分析】本題考查了相似三角形的判定，先根據∠1 = ∠2求出∠ = ∠ ，再根據相似三角形的判定
方法解答．
【詳解】解：∵∠1 = ∠2，
∴∠ = ∠ ，

A．添加 = ，不能判定 △ ∽ △ ，故本選項符合題意；
B．添加∠ = ∠ ，可用兩角法判定 △ ∽ △ ，故本選項不符合題意；
C．添加∠ = ∠ ，可用兩角法判定 △ ∽ △ ，故本選項不符合題意；

D．添加 = ，可用兩邊及其夾角法判定 △ ∽ △ ，故本選項不符合題意；
故選：A．
3．如圖，已知 △ 與 △ 都是等邊三角形，點 在邊 上（不與點 、 重合）， 與 相交于點 ，
那么與 △ 相似的三角形是（ ）
A． △ B． △ C． △ D． △
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的
關鍵．根據等邊三角形的性質和相似三角形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解： ∵△ 與 △ 都是等邊三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
又 ∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ 與 △ 相似的三角形是 △ ，
故選：D．
4．下列一定相似的兩個圖形是（ ）
A．有一個角是45°的等腰三角形 B．有一個角是60°的三角形
C．等腰三角形 D．有一個角是120°的等腰三角形
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定．解題的關鍵是掌握相似三角形的判定定理．本題根據相似
三角形的判定定理進行求解即可．
【詳解】解：A、45°的角可能是頂角，也可能是底角，沒有交代清楚，不能判定兩個圖形相似，不符合
題意；
B、有一個角是60°的三角形沒指明是等腰三角形，不能判定兩個圖形相似，不符合題意；
C、等腰三角形沒有交代頂角相等或底邊比等于腰的比，不能判定兩個圖形相似，不符合題意；
D、有一個角是120°的等腰三角形可根據兩角對應相等可判定兩個圖形相似，符合題意．
故選 D．
5．下列各條件中，能判斷 △ ∽△ ′ ′ ′的是（　　）
A． = 3 ′ ′，∠ = ∠ ′

B． = ，∠ = ∠ ′
′ ′ ′ ′
′ ′C． = ，∠ + ∠ = ∠ ′ +∠ ′ ′ ′
D．∠ = 40°，∠ = 80°，∠ ′ = 80°，∠ ′ = 70°
【答案】C
【分析】本題主要考查相似三角形的判定，解答的關鍵是熟記相似三角形的判定條件：兩角對應相等的
兩個三角形相似：兩組對應邊成比例且其夾角相等的兩個三角形相似；根據相似三角形的判定條件對各
選項進行分析即可．
【詳解】A、 = 3 ′ ′，∠ = ∠ ′，只有一角一邊，不能判斷兩個三角形相似，故 A 不符合題意；

B、 = ，∠ = ∠
′，∠ ′不是 ′ ′與 ′ ′的夾角，不能判斷兩個三角形相似，故 B 不符合題意；′ ′ ′ ′

C、由∠ + ∠ = ∠ ′ +∠ ′ ∠ = ∠

′ =
′ ′
可得 ，再由 得 = ，利用兩組對應邊成比例且其夾角相 ′ ′ ′ ′ ′ ′
等的兩個三角形相似，可判斷 △ ∽△ ′ ′ ′，故 C 符合題意；
D、由∠ = 40°，∠ = 80°得∠ = 70°，則∠ = ∠ ′ = 80°,∠ = ∠ ′ = 70°得 △ ∽△ ′ ′ ′，故 D 不
符合題意；
故選：C．
6．下列說法正確的是（　　）
A．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
B．有一個角是直角的平行四邊形是正方形
C．兩條邊對應成比例且有一個內角相等的兩個三角形相似
D．對角線相等的四邊形是矩形
【答案】A
【分析】本題考查矩形、菱形、相似三角形的判定定理，根據菱形的判定定理、相似三角形的判定定理、
矩形的判定定理依次對選項進行判斷即可．掌握各判定定理是解題的關鍵．
【詳解】解：A、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故此選項符合題意；
B、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故此選項不符合題意；
C、兩條邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故此選項不符合題意；
D、對角線相等且平分的四邊形是矩形，故此選項不符合題意；
故選：A．
7．如圖，D 是 △ 邊 上一點，能使 △ ∽△ 的條件是（ ）
A． : = : B． : = :
C． 2 = D． 2 =
【答案】C
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解題的關鍵．根據相似三角
形的判定方法“兩邊對應成比例，其兩邊夾角相等，兩三角形相似”逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得∠ = ∠ ，
當 : = : 時，不能證明 △ ∽△ ，故 A 選項不符合題意；
當 : = : 時，不能證明 △ ∽△ ，故 B 選項不符合題意；
當 2 =

時，則 = ，能證明 △ ∽△ ，故 C 選項符合題意；

當 2 = ，即 = 時，不能證明 △ ∽△ ，故 D 選項不符合題意；
故選 C．
8．如圖， 為 ⊙ 的直徑，C 為 延長線上一點，過點 C 作 ⊙ 的切線 ，切點為 E，作 ⊥ 于點
D，連結 ，下列結論正確的是（ ）
A．B 是 中點 B． =
C． 2 = D． 平分∠
【答案】D
【分析】證明 △ 是等腰三角形，可判斷 A；運用反證法可證明 ≠ 可判斷 B；無法證明 △
和 △ 相似，故可判斷 C；證明∠ = ∠ 即可判斷 D．
【詳解】解：連接 , 如圖，
∴ ⊥
∴∠ = 90°
∵ = ，
∴ △ 是等腰三角形，
∴ ∠ = ∠ ，不一定等于60°，
∴ = 不一定成立，即點 不一定是 中點，故選項 A 錯誤，不符合題意；
假設 = ，則有∠ = ∠
∵ =
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ + ∠ = 2∠ = 2∠
∵∠ = 90°
∴∠ + ∠ = 90°，即∠ + 2∠ = 90°
∴∠ = 30°
而∠ ≠ 30°
∴ ≠ ，故選項 B 錯誤，不符合題意；
在 △ 和 △ 中，
∵△ 是直角三角形， △ 是鈍角三角形，
故 △ 和 △ 不相似，則 ≠ ，
∴ 2 ≠ ，故選項 C 錯誤，不符合題意；
∵ ⊥ ， ⊥
∴ ∥
∴∠ = ∠
∵ =
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ 平分∠ ，故選項 D 正確，
故選：D．
【點睛】本題主要考查切線的性質，直角三角形的性質，平行線的判定與性質相似三角形的判定定理等
知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．
9．如圖，∠1 = ∠2，添加一個條件：① ∠ = ∠ ；② ∠ = ∠ ；③ = ；④ = ．其中能判定
△ ∽△ 的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理“兩角分別對應
相等，兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似”，
先根據∠1 = ∠2，得出∠ = ∠ ，再由相似三角形的判定定理對各項逐一判斷即可．
【詳解】解： ∵ ∠1 = ∠2， ∴ ∠ = ∠ ，
①添加∠ = ∠ ，則 △ △ ，本項符合題意；
②添加∠ = ∠ ，則 △ △ ，本項符合題意；

③添加 = ；無法判斷 △ △ ，本項不合題意；

④添加 = ；則 △ △ ，本項符合題意；
故選：B．
二、填空題
10．如圖， △ ABC中，D、E 分別是 、 的點，要使 △ ∽△ ，需添加一個條件是 ．（只要
寫一個條件）

【答案】∠ = ∠ 或∠ = ∠ 或 =
【分析】
由∠ 是公共角，根據相似三角形的判定方法，即可得要使 △ ∽△ ，可添加：∠ = ∠ 或
∠ = ∠ 或 =

等．
此題考查了相似三角形的判定．此題屬于開放題，答案不唯一．注意掌握兩組對應邊的比相等且夾角
對應相等的兩個三角形相似與有兩組角對應相等的兩個三角形相似是解此題的關鍵．
【詳解】
解： ∵ ∠ 是公共角，
∴ 要使 △ ∽△ ，可添加：∠ = ∠ 或∠ = ∠ 或 = 等．
故答案為：如∠ = ∠ 或∠ = ∠ 或 = 等（此題答案不唯一）．
11．如圖，直線 ∥ ∥ ，分別交直線 m，n 于點 A，B C 2， ，D，E，F，若 = 3， = 6，則 DF 的值為 ．
【答案】10
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，正確理解平行線分線段成比例定理是解答本題的關
= 2 = 3 = 鍵．由 3得 5，再根據平行線分線段成比例定理，得到 ，得到方程并求解，即得答案．
2
【詳解】 ∵ = 3，
∴ = 3 5，
∵ ∥ ∥ ，
∴ = ，
∴ 3 65 = ，
解得 = 10．
故答案為：10．
12．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為 1， ， ， ， 為小正方形的頂點，則圖中所形成
的三角形中，相似的三角形是 ．
【答案】 △ ∽△
【分析】本題主要考查勾股定理和相似三角形的判定，可利用正方形的邊把對應的線段表示出來，利
用兩邊比值以及夾角相等的兩個三角形相似即可證明．
【詳解】解： △ ∽ △ ，
由題意可知： = 12 + 22 = 5， = 1， = 5，
∴
1
=
5 ， 5
5
= = ，
5 5
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，
故答案為： △ ∽△ ．
13．如圖，在正方形 中，E 是邊 的中點，要依據“兩邊成比例且夾角相等”判定 △ ∽△ ，還
需添加的一個條件是 ．
【答案】 = 2
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定定理和正方形的性質。
由于 △ 與 △ 都是直角三角形，根據如果兩個三角形有兩組對應邊的比相等，并且它們的夾角
也相等，則當 : = : 時能得到 △ ∽△ ，即可得到 = 2 ．
【詳解】∵四邊形 是正方形，
∴∠ = ∠ = 90°，
∴ △ 與 △ 都是直角三角形，
∴當 : = : 時能得到 △ ∽△ ，
∵E 是 的中點，
∴ = 12 ，
∵在正方形 中， = ，
∴ = 12 ，即 : = 2，
∴ : = 2，即 = 2 ．
故答案為： = 2
三、解答題
14．如圖，在 △ 中， 是角平分線，點 E 是邊 上一點，且滿足∠ = ∠ ．求證：
△ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，角平分線的定義，由角平分線的定義得出
△ ∽△ ，根據相似三角形的判定方法可得出結論．
【詳解】證明：∵ 是∠ 的角平分線，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
15．已知 是 △ 中∠ 的角平分線， 是 上的一點，且 2 = · ， = 6， = 2．求證：
(1) △ ∽△ ；
(2) △ ∽△ ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定、三角形的外角性質，兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角
形相似，兩角對應相等的兩個三角形相似．
（1）根據兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案；
（2）根據兩個角對應相等的兩個三角形相似，可得答案．
【詳解】（1）證明： 是 △ 中∠ 的角平分線，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ 2 = · ，
∴ = ，
∴△ ∽△ ；
（2）證明： ∵△ ∽△ ，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，
∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，又∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ．
16．如圖， ∥ ，且 = ，若 = 5， = 10．
(1)求 的長；

(2)求 的值．
10
【答案】(1) = 3
1
(2)3
【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，證明 △ ∽△ 是解此題的關鍵．

（1）由 ∥ 得出 △ ∽△ ，由相似三角形的性質可得 = ，設 的長為 ，則 = 5 ，
代入計算即可得出答案；

（2）由相似三角形的性質可得 = ，即可得出答案．
【詳解】（1）解： ∵ ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ．
設 的長為 ．
∵ = ， = 5，
∴ = 5 ，
∴ 5

5 = 10，
∴ = 103 ，
∴ = 103 ；
（2）解： ∵△ ∽△ ，
∴
10
3
= = =
1
10 3
．
17．在矩形 中，E 為 邊上一點，把 △ 沿 翻折，使點 D 恰好落在 邊上的點 F．
(1)求證：
△ ∽△ ；
(2)若 = 8 3， = 16，求 的長；
【答案】(1)見解析
(2)8 3
3
【分析】（1）根據同角的余角相等判斷出∠ = ∠ ，即可得出結論；
（2）由折疊知， = = 16，根據勾股定理求出 = 8，進而得出 = 8，設 = ，則 = 8 3
，最后根據勾股定理即可得出答案．
【詳解】（1）∵四邊形 是矩形，
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∴∠ + ∠ = 90°，
由折疊知，∠ = ∠ = 90°，
∴∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ；
（2）∵四邊形 是矩形，
∴∠ = ∠ = 90°， = = 16， = = 8 3，
由折疊知， = = 16， = ，
在Rt △ 中， = 8 3，
根據勾股定理得， = 2 2 = 8，
∴ = = 8，
設 = ，則 = = 8 3 ，
∴ = 8 3 ，
在Rt △ 中，根據勾股定理得， 2 + 2 = 2，
∴82 + 2 = （8 3 2） ，
∴ = 8 3，
3
即 的長為8 3；
3
【點睛】此題考查了矩形的性質，折疊的性質，相似三角形的判定，勾股定理，熟練掌握相似三角形
的判定方法和勾股定理是解本題的關鍵．

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