資源簡介

27.1 圖形的相似
【考點 1 比例性質】
【考點 2 比例線段】
【考點 3 成比例線段】
【考點 4 黃金分割比】
【考點 5 由平行線判斷成比例的線段】
【考點 6 由平行截線求相關相關線段的長或比值】
【考點 7 相似圖形】
【考點 8 相似多邊形的性質】
知識點 1 比例線段
1．線段的比：
如果選用同一長度單位量得兩條線段 a、b 長度分別是 m、n，那么就說這兩條線段的比是 a:b=m:n ，或
a m
寫成 = ．
b n
2．成比例線段：對于四條線段 a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如
a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
3．比例的基本性質：
（1）若 a:b=c:d ，則 ad=bc；
2
（2）若 a:b=b:c ，則b =ac（b 稱為 a、c 的比例中項）．
【考點 1 比例性質】
+
【典例 1】若2 = 3 = 4 ≠ 0，則 2 = ．

【變式 1-1】．若4 =

3，則 的值是（ ）
3 4 1
A．4 B．3 C．12 D．12
3 5 3 +2
【變式 1-2】已知 = ，則 的值為（ ）
19 19A． 2 B． 19 C． 2 D．19
3 +2
【變式 1-3】已知 = = =
1
2，則 3 +2 = （ ）
1 1 1 1
A．2 B．3 C．4 D．5
【考點 2 比例線段】

【典例 2】已知線段 a，b 滿足5 = 12，且 + = 34．
(1)求 a，b 的值；
(2)若線段 x 是線段 a，b 的比例中項，求 x 的值．
【變式 2-1】小紅的爸爸是汽車制造廠的工程師．他要將一個長4毫米、寬2毫米的零件畫在一張 3紙
（42cm × 29.7cm）上，適合的比例尺是（　　）
A．1 ∶ 80 B．80 ∶ 1 C．1 ∶ 800 D．800 ∶ 1
【變式 2-2】線段1cm、4cm的比例中項為 cm．
= 3 【變式 2-3】點 在線段 上，若 5 ，則 = ．
【考點 3 成比例線段】
【典例 3】下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6
【變式 3-1】下面四組線段中不能成比例線段的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、5、10
C．1、2、3、6 D．25、20、4、5
【變式 3-2】下列四組線段中，是成比例線段的一組是（ ）
A． = 1, = 2, = 3, = 4 B． = 1, = 2, = 3, = 6
C． = 5, = 6, = 7, = 8 D． = 4, = 6, = 6, = 8
【變式 3-3】下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．3cm，5cm，9cm，15cm D．1cm，3cm，4cm，8cm
知識點 2 黃金分割比
AC BC
1.黃金分割的定義： 點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果 = ,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做
AB AC
線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.
注意： AC 5 -1 5 -1= AB ≈0.618AB( 叫做黃金分割值).
2 2
2.作一條線段的黃金分割點：
如圖，已知線段 AB，按照如下方法作圖：
1
（1）經過點 B 作 BD⊥AB，使 BD= AB.
2
（2）連接 AD，在 DA上截取 DE=DB.
（3）在 AB 上截取 AC=AE.則點 C 為線段 AB 的黃金分割點.
注意：一條線段的黃金分割點有兩個.
【考點 4 黃金分割比】
【典例 4】射影中有一種拍攝手法叫黃金分割構圖法，其原理是：如圖，將正方形 的邊 取中點
，以 為圓心，線段 為半徑作圓，其與邊 的延長線交于點 ，這樣就把正方形 延伸為黃金矩
形 ，若 = 4，則 = ．
【變式 4-1】如圖，點 P 是線段 的黃金分割點，且 > ，若 = 2，則 的長度是（ ）
A． 5 1 B．3 5 C．2 5 4 D．1
【變式 4-2】寬與長的比是黃金分割數 5 1 的矩形叫做黃金矩形，古希臘的巴特農神廟采用的就是黃
2
金矩形的設計．如圖，已知四邊形 是黃金矩形，若長 = 5 +1，則該矩形 的面積
為 ．(結果保留根號)
【變式 4-3】如圖，在 △ 中， = ，∠ = 108°，以 為圓心， 為半徑，兩弧交 于點 ，此
時，點 為線段 的黃金分割點，若 = 2，則 的長為 ．
知識點 3 平行線分線段成比例
類型 1 平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.
幾何語言：
如圖一：直線AB/ / CD/ / EF, 直線AE、BF分別交AB、
CD、EF于A、B、C、D、E、F. 圖一
若AC = EC,則BD = FD
拓展：
1）.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；
如圖一：直線AB/ / CD/ / EF, 直線AE、BF分別交AB、CD、EF
于A、B、C、D、E、F. 且AB、CD、EF距離為d1、d2
若d1=d2 ,則AC=EC, BD = FD
2）.經過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線平分第三邊；
如圖二：在 ABC中，D為AB中點，DE/ / BC交AC于
點F，則AE=CE。
圖二
3）經過梯形一腰中點并平行于底邊的直線必過另一腰中點并等于兩底和的一半。
如圖三：在梯形ABCD中，E為AB中點，EF/ / BC交DC于
1
點F，則AF=CF；EF= （AD+BC）
2
圖三
類型 2 平行線分線段成比例定理
（1）定理 1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對應線段成比例.
圖四 圖五
如圖四，在 ABC中，DE/ / BC.
AD AE
則 =
DB EC
如圖五，在 ABC中，DE/ / BC. 交CA、BA延長線于E、D。
AD AE
則 =
AB AC
（2）定理 2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所截得的三角形的三邊與原三
角形的三邊對應線段成比例
如圖四，在 ABC中，DE/ / BC.
AD AE DE
則 = =
AB AC BC
如圖五，在 ABC中，DE/ / BC. 交CA、BA延長線于E、D。
AD AE DE
則 = =
AB AC BC
知識點 4 相似三角形的相關概念
在 和 中，如果
我們就說 與 相似，記作
∽ .k就是它們的相似比，“∽”讀作“相似于”.
注意：
(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應點的位置要一致，即 ∽ ，則說明點 A 的對應
點是 A′，點 B的對應點是 B′，點 C的對應點是 C′；
(2)對于相似比，要注意順序和對應的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二
個三角形的對應邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當相似比為 1 時，兩個三角形全
等.
【考點 5 由平行線判斷成比例的線段】
【典例 5】在 △ 中，點 、 分別在邊 、 上，下列比例式中能判定 ∥ 的是（ ）

A． =

B． = C． = D． =
【變式 5-1】如圖，已知直線 ∥ ∥ ，下列結論中不成立的是（ ）
= = A． B． C． = D． =
【變式 5-2】如圖，已知 ∥ ∥ ，那么下列結論成立的是（　　）
= A． B． = C． = D． =
【考點 6 由平行截線求相關相關線段的長或比值】
【典例 6】如圖， △ 中， = ， ⊥ 2于點 ， 在 上， = 5， 交 于點 ，
∥ ．若 = 6cm，求 的長．
【變式 6-1】已知直線 1， 2被直線 a，b，c 所截，截得線段的長度如圖所示.若 ∥ ∥ ，則 x 的值為
（ ）
12 11 21 28
A． 7 B． 3 C． 4 D． 3
2
【變式 6-2】如圖， 是 △ 的中線，點 E 在 上， 交 于點 F，若 = 5，則 為（ ）
1 1 2 1
A．6 B．5 C．7 D．11
【變式 6-3】如圖：直線 ∥ ∥ ，若 = 3， = 6， = 2，則 的長是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
知識點 5 相似圖形
在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
注意：
　 (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩 個圖形
是全等；
知識點 6 相似多邊形
1.相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．
注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．
（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．
2.相似多邊形的性質
① 相似三角形對應高的比、對應 角平分線 的比和對應中線的比都等于 相似比。
② 相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方（或相似比等于面積比的 算術平方
根）。
③相似多邊形的 對應角 相等，對應邊的比相等。
【考點 7 相似圖形】
【典例 7】下列網格中各個小正方形的邊長均為 1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相
似形的為（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【變式 7-1】下列圖標中，不是相似圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【變式 7-2】下面幾對圖形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式 7-3】下列說法正確的是（ ）
A．等邊三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似圖形
C．各邊對應成比例的多邊形是相似多邊形 D．邊長相等的菱形都相似
【考點 8 相似多邊形的性質】
【典例 8】如圖，在矩形 中， = 4， = 6，點 E，F 分別在 ， 上，且 ∥ ，矩形
與矩形 相似，則矩形 的面積為（ ）
40 32 16
A．16 B． 3 C． 3 D． 3
【變式 8-1】若兩個相似多邊形的面積之比為1:3，則它們的相似比為（ ）
A．1 ∶ 3 B．1:3 C．1:6 D．1:9
【變式 8-2】如圖，有兩個形狀相同、大小不等的“中國夢”圖片，依據圖中標注的數據，可得 x 的值為
（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
【變式 8-3】如圖，在邊長為 1 的正方形構成的網格中，四邊形 和四邊形 的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
1．若線段 a，b，c，d 是成比例線段，且 = 1， = 4， = 2，則 = （ ）
A．0.5 B．8 C．2 D．3
2．若 : = 3:2， : = 4:3 + ，則 2 的值是（ ）
A．2 B． 2 C．3 D． 3
3．已知 = 0.4， = 3.2， = 8， = 1，下列各式中，一定正確的是（ ）

A． = B． = C． =

D． =
4．如圖， ∥ ∥ ， = 3， = 2， = 2.5，則 的長為（ ）
5 15 25 5A． B． 4 C． 6 D．3
5．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．全等圖形一定是相似圖形 B．兩面大小不等的標準國旗一定相似
C．兩個等腰直角三角形一定相似 D．兩個直角三角形一定相似
6．如圖，C 為線段 的黃金分割點( < )，且 = 4，則 的長為（ ）
A．2 5 2 B．2 5 +2 C． 5 +3 D． 5 3
7．如圖，已知 ∥ ∥ ， : = 3:5， = 12，那么 的長等于（ ）
36 24 15 9
A． 5 B． 5 C． 2 D．2
8．若線段 = 4， = 9，則線段 ， 的比例中項為（ ）
13
A． 2 B． 13 C．6 D． ± 6

9．如圖， 是 △ 的中線，點 E 在 上， 交 于點 F，若 =
2
5，則 為（ ）
1 1 2 1
A．6 B．5 C．7 D．11

= 3 + 10．若 4，則 的值為 ．
11．如圖，四邊形 ≌四邊形 ′ ′ ′ ′，則∠ 的大小是 ．
12．若兩個相似圖形的周長比為2:1，則它們的面積比為 ．
13．數學中，把 5 1這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，
2
是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P 是 的黃金分割點（ > ），若線段 的長為8cm，則 的
長為 cm．
14．如圖，點 是矩形 的對角線 的中點， ∥ 交 于點 ，若 = 3， = 10，則 的長
為 ．
2 +
15．若 : = 1:3,2 = 3 ，則 的值是 ．
16．如圖，取一張長為 a，寬為 b 的矩形紙片，將它對折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形紙片與
原矩形紙片相似，則 : = ．
17．如圖，若直線 ∥ ∥ ，它們依次交直線 、 于點 , , 和點 , , ．
(1)如果 = 5, = 8, = 7，求 的長；
(2)如果 : = 3:4, = 21，求 的長．
18．閱讀材料：
角平分線分線段成比例定理：如圖 1，在 △ 中， 平分∠ ，則 = ．
下面是這個定理的部分證明過程：
證明：如圖 2，過點 C 作 ∥ ，交 的延長線于點 E．……
解決問題：
(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余過程；
(2)如圖 3，在 △ 中， 是角平分線， = 5， = 4， = 7，求 的長．
19．兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發現了黃金分割，即將整體一分為二，較小部分與較大部分之

比等于較大部分與整體之比．如圖， 是線段 上一點，若 > ，且滿足 =

，則稱 是線段
的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節目時，站在黃金分割
點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺 長20米，主持人從舞臺 側進入，他至少走多少米，恰好站在
舞臺的黃金分割點 上？
20．【背景知識】
寬與長的比等于 5 1的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．世界上很多著名建筑，
2
為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，如希臘帕特農神廟等．
（1）經測量帕特農神廟的長約為 30 米，求它的寬度是多少米 （結果保留根號）
【實驗操作】
折一個黃金矩形
第一步：在矩形紙片的一端利用圖 1 的方法折出一個正方形 ，然后把紙片展平；
第二步：如圖 2，將正方形折成兩個相等的矩形，再將其展平；
第三步：折出內側矩形的對角線 ，并將 折到圖 3 所示的 處；
第四步：展平紙片，按照所得的點 D 折出 ，得到矩形 （如圖 4）．
【問題思考】
（2）若 的長為 2，請證明：矩形 是黃金矩形；
（3）在（2）的條件下，以圖 3 中的折痕 為邊，構造黃金矩形，直接寫出這個矩形的面積．27.1 圖形的相似
【考點 1 比例性質】
【考點 2 比例線段】
【考點 3 成比例線段】
【考點 4 黃金分割比】
【考點 5 由平行線判斷成比例的線段】
【考點 6 由平行截線求相關相關線段的長或比值】
【考點 7 相似圖形】
【考點 8 相似多邊形的性質】
知識點 1 比例線段
1．線段的比：
如果選用同一長度單位量得兩條線段 a、b 長度分別是 m、n，那么就說這兩條線段的比是 a:b=m:n ，或
a m
寫成 = ．
b n
2．成比例線段：對于四條線段 a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如
a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．
3．比例的基本性質：
（1）若 a:b=c:d ，則 ad=bc；
（2）若 a:b=b:c ，則b2 =ac（b 稱為 a、c 的比例中項）．
【考點 1 比例性質】
+
【典例 1】若2 = 3 = 4 ≠ 0，則 2 = ．
1
【答案】2/0.5

【分析】本題考查了比例的性質，設2 = 3 = 4 = ，代入代數式進行計算，即可解答．

【詳解】解：設2 = 3 = 4 =
∴ = 2 ， = 3 ， = 4 ，
+
∴ = 2 3 +4 = 3 12 6 6 = 2
1
故答案為：2．

【變式 1-1】．若4 = 3，則 的值是（ ）
3 4 1
A．4 B．3 C．12 D．12
【答案】B
【分析】本題主要考查了比例的性質，直接根據比例的性質求解即可．

【詳解】解：∵ = 4 3，

∴ 4 = 3，
故選：B．
3 5 3 +2
【變式 1-2】已知 = ，則 的值為（ ）
A． 192 B． 19
19
C． 2 D．19
【答案】A
【分析】本題考查了比例的性質：常用的性質有內項之積等于外項之積；合比性質；分比性質；合分比
3 5
性質；等比性質．根據比例的性質，由 = ，得3 = 5，則設3 = 5 = ，得到 = 3 ， = 5 ，然后把
= 3 = 5 3 +2 ， ，代入 中進行分式的運算即可．
【詳解】解：∵3 = 5 ，

∴ = 3 5，

= 設3 5 = ，得到 = 3 ， = 5 ，
∴3 +2 = 3×3 +2×5 = 19 3 5 2 ，
故選：A．
1 3 +2
【變式 1-3】已知 = = = 2，則 3 +2 = （ ）
1 1 1 1
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查了比例的性質，熟練掌握等比性質是解題的關鍵．利用等比性質，進行計算即可解答．

【詳解】解： ∵ = = =
1
2，( 3 + 2 ≠ 0)，

∴ = 3
2 1
3 = 2 = 2，
3 +2
∴ 1 3 +2 = 2，
故選：A．
【考點 2 比例線段】

【典例 2】已知線段 a，b 滿足5 = 12，且 + = 34．
(1)求 a，b 的值；
(2)若線段 x 是線段 a，b 的比例中項，求 x 的值．
【答案】(1) = 10， = 24
(2) = 4 15
5
【分析】（1）根據5 = 12可得 = 12 ，再代入 + = 34計算即可得；
（2）根據比例中項的定義求解即可得．

【詳解】（1）解：∵5 =

12，
∴ = 512 ，
∵ + = 34，
∴ 512 + = 34，
【變式 2-1】小紅的爸爸是汽車制造廠的工程師．他要將一個長4毫米、寬2毫米的零件畫在一張 3紙
（42cm × 29.7cm）上，適合的比例尺是（　　）
A．1 ∶ 80 B．80 ∶ 1 C．1 ∶ 800 D．800 ∶ 1
【答案】B
【分析】此題考查了比例尺的計算方法，圖上距離和實際距離已知，依據“比例尺=圖上距離:實際距離”
即可求得適合的比例尺.，解題的關鍵要掌握比例尺的計算方法．
【詳解】解：∵零件的實際長度為4mm，零件的圖上長度為42cm，即420mm，
∴適合的比例尺 = 420 ∶ 4 = 105 ∶ 1 ≈ 80 ∶ 1，
故選：B．
【變式 2-2】線段1cm、4cm的比例中項為 cm．
【答案】2
【分析】本題考查了比例中項的定義，根據比例中項的定義列出方程，解方程即可求解，理解比例中項
的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：設它們的比例中項是 ，
則 2 = 1 × 4，
∴ =± 2,
∵線段的長度是正數，
∴ = 2，
∴比例中項為2cm，
故答案為：2．
3
【變式 2-3】點 在線段 上，若 = 5 ，則 = ．
8
【答案】5
【分析】本題考查了線段的比；根據題意，設 = 3 , = 5 ，根據題意可得 = + ，進而即可
求解．
∵ = 3【詳解】解： 5
設 = 3 , = 5
∴ = + = 8
∴ = 8 5 =
8
5
8
故答案為：5．
【考點 3 成比例線段】
【典例 3】下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．1、2、3、4 B．2、3、4、5 C．3、4、6、9 D．2、3、4、6
【答案】D
【分析】本題考查比例線段，理解比例線段的概念，注意在線段相乘時，要讓最小的和最大的相乘，另
外兩個相乘，看它們的積是否相等進行判斷．
根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
【詳解】解：A、1 × 4 ≠ 2 × 3，故此選項中四條線段不成比例，故本選項不符合題意；
B、2 × 5 ≠ 4 × 3，故此選項中四條線段不成比例，故本選項不符合題意；
、3 × 9 ≠ 4 × 6，故此選項中四條線段不成比例，故本選項不符合題意；
、2 × 6 = 3 × 4，故此選項中四條線段成比例，故本選項符合題意，
故選：D．
【變式 3-1】下面四組線段中不能成比例線段的是（ ）
A．3、6、2、4 B．4、6、5、10
C．1、2、3、6 D．25、20、4、5
【答案】B
【分析】本題考查了成立比例的線段，在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，
那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．根據兩內項之積等于兩外項之積逐項分析即可．
【詳解】解：A、2 × 6 = 3 × 4，能成比例，不符合題意；
B、4 × 10 ≠ 5 × 6，不能成比例，符合題意；
C、1 × 6 = 2 × 3，能成比例，不符合題意；
D、25 × 4 = 20 × 5，能成比例，不符合題意；
故選：B．
【變式 3-2】下列四組線段中，是成比例線段的一組是（ ）
A． = 1, = 2, = 3, = 4 B． = 1, = 2, = 3, = 6
C． = 5, = 6, = 7, = 8 D． = 4, = 6, = 6, = 8
【答案】B
【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的概念，注意在線段兩兩相乘的時候，要讓最小的和最
大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等進行判斷．
根據比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
【詳解】解：A、 ∵ 1 × 4 ≠ 2 × 3，
∴ ≠ ，
∴ 四條線段不成比例，故本選項不符合題意；
B、 ∵ 1 × 6 = 2 × 6，
∴ = ，
∴ 四條線段成比例，故本選項符合題意；
C、 ∵ 5 × 8 ≠ 6 × 7，
∴ ≠ ，
∴ 四條線段不成比例，故本選項不符合題意；
D、 ∵ 4 × 4 ≠ 6 × 6，
∴ ≠ ，
∴ 四條線段不成比例，故本選項不符合題意；
故選：B．
【變式 3-3】下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（ ）
A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm
C．3cm，5cm，9cm，15cm D．1cm，3cm，4cm，8cm
【答案】C
【分析】此題考查了比例線段，理解成比例線段的定義是解題的關鍵．如果其中兩條線段的比（即它們
的長度比）與另兩條線段的比相等，則四條線段叫成比例線段．根據比例性質對選項一一分析，排除錯
誤答案即可．
【詳解】解：A、4 × 7 ≠ 5 × 6，故選項不符合題意；
B、3 × 8 ≠ 4 × 5，故選項不符合題意；
C、5 × 9 = 15 × 3，故選項符合題意；
D、1 × 8 ≠ 4 × 3，故選項不符合題意．
故選：C．
知識點 2 黃金分割比
AC BC
1.黃金分割的定義： 點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果 = ,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做
AB AC
線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.
AC 5 -1注意： = AB 5 -1≈0.618AB( 叫做黃金分割值).
2 2
2.作一條線段的黃金分割點：
如圖，已知線段 AB，按照如下方法作圖：
1
（1）經過點 B 作 BD⊥AB，使 BD= AB.
2
（2）連接 AD，在 DA 上截取 DE=DB.
（3）在 AB 上截取 AC=AE.則點 C 為線段 AB 的黃金分割點.
注意：一條線段的黃金分割點有兩個.
【考點 4 黃金分割比】
【典例 4】射影中有一種拍攝手法叫黃金分割構圖法，其原理是：如圖，將正方形 的邊 取中點
，以 為圓心，線段 為半徑作圓，其與邊 的延長線交于點 ，這樣就把正方形 延伸為黃金矩
形 ，若 = 4，則 = ．
【答案】2 + 2 5/2 5 +2
【分析】
本題考查了黃金分割，矩形的性質，正方形的性質，設 = ，根據正方形的性質可得 = = ，

則 = + 4 ，然后根據黃金矩形的定義可得 5 1 = ，從而可得 =
5 1
+4 ，最后進行計算即可解答，2 2
熟練掌握黃金分割的定義是解題的關鍵.
【詳解】解：設 = ，
∵四邊形 是正方形，
∴ = = ，
∵ = 4，
∴ = + = + 4，
∵四邊形 是黃金矩形，
∴ =
5 1，
2

∴ = 5 1 +4 ，2
解得： = 2 5 +2，
經檢驗： = 2 5 +2是原方程的解，
∴ = 2 5 +2，
故答案為：2 5 +2．
【變式 4-1】如圖，點 P 是線段 的黃金分割點，且 > ，若 = 2，則 的長度是（ ）
A． 5 1 B．3 5 C．2 5 4 D．1
【答案】A

【分析】本題考查黃金分割，根據黃金分割的定義可得 = 5 1 ，由此可解．2
【詳解】解： ∵ 點 P 是線段 的黃金分割點，且 > ，
∴ = 5 1，即 = 5 1 2 ，2 2
∴ = 5 1，
故選 A．
【變式 4-2】寬與長的比是黃金分割數 5 1 的矩形叫做黃金矩形，古希臘的巴特農神廟采用的就是黃
2
金矩形的設計．如圖，已知四邊形 是黃金矩形，若長 = 5 +1，則該矩形 的面積
為 ．(結果保留根號)
【答案】2 5 +2
【分析】本題考查了黃金分割，解題的關鍵是掌握黃金矩形的定義．根據黃金矩形的定義，長 = 5 +1，
求出寬 ，再求出面積即可．
【詳解】解：∵四邊形 是黃金矩形，
∴ = 5 1 ，2
∵長 = 5 +1，
∴寬 = 5 1 = 5 1 × ( 5 + 1) = 2，2 2
∴矩形的面積為2( 5 + 1) = 2 5 +2．
故答案為：2 5 +2．
【變式 4-3】如圖，在 △ 中， = ，∠ = 108°，以 為圓心， 為半徑，兩弧交 于點 ，此
時，點 為線段 的黃金分割點，若 = 2，則 的長為 ．
【答案】 5 1
【分析】本題考查的是黃金分割的概念，本題中經分析，因為點 為線段 的黃金分割點，所以把線段
分成兩條線段 和 ( > ) = ，且使 是 和 的比例中項，即 5 1 = ，把 = 2代入2
計算，即可作答．
【詳解】解： ∵ AB = AC，∠ = 108°，以 為圓心， 為半徑，兩弧交 于點 ，
∴ >
∵點 為線段 的黃金分割點，
∴ 是 和 的比例中項，
∴ 5 1 = = ，2
∵ = 2
∴ = 5 1
故答案為： 5 1
知識點 3 平行線分線段成比例
類型 1 平行線等分線段定理
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.
幾何語言：
如圖一：直線AB/ / CD/ / EF, 直線AE、BF分別交AB、
CD、EF于A、B、C、D、E、F. 圖一
若AC = EC,則BD = FD
拓展：
1）.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等；
如圖一：直線AB/ / CD/ / EF, 直線AE、BF分別交AB、CD、EF
于A、B、C、D、E、F. 且AB、CD、EF距離為d1、d2
若d1=d2 ,則AC=EC, BD = FD
2）.經過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線平分第三邊；
如圖二：在 ABC中，D為AB中點，DE/ / BC交AC于
點F，則AE=CE。
圖二
3）經過梯形一腰中點并平行于底邊的直線必過另一腰中點并等于兩底和的一半。
如圖三：在梯形ABCD中，E為AB中點，EF/ / BC交DC于
1
點F，則AF=CF；EF= （AD+BC）
2
圖三
類型 2 平行線分線段成比例定理
（1）定理 1：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,截得的對應線段成比例.
圖四 圖五
如圖四，在 ABC中，DE/ / BC.
AD AE
則 =
DB EC
如圖五，在 ABC中，DE/ / BC. 交CA、BA延長線于E、D。
AD AE
則 =
AB AC
（2）定理 2：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所截得的三角形的三邊與原三
角形的三邊對應線段成比例
如圖四，在 ABC中，DE/ / BC.
AD AE DE
則 = =
AB AC BC
如圖五，在 ABC中，DE/ / BC. 交CA、BA延長線于E、D。
AD AE DE
則 = =
AB AC BC
知識點 4 相似三角形的相關概念
在 和 中 ， 如 果
我們就說 與 相似，記
作
∽ .k 就是它們的相似比，“∽”讀作“相似 于”.
注意：
(1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應點的位置要一致，即 ∽ ，則說明點 A 的對應
點是 A′，點 B的對應點是 B′，點 C的對應點是 C′；
(2)對于相似比，要注意順序和對應的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二
個三角形的對應邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當相似比為 1 時，兩個三角形全
等.
【考點 5 由平行線判斷成比例的線段】
【典例 5】在 △ 中，點 、 分別在邊 、 上，下列比例式中能判定 ∥ 的是（ ）
= = A． B． C． = D． =
【答案】B
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理逐項判斷即可．
【詳解】解：如圖：

A、當 = 時，不能判定 ∥ ，故不符合題意；

B、當 = 時，能判定 ∥ ，故符合題意；

C、當 = 時，不能判定 ∥ ，故不符合題意；

D、當 =

時，不能判定 ∥ ，故不符合題意；
故選：B．
【變式 5-1】如圖，已知直線 ∥ ∥ ，下列結論中不成立的是（ ）
= = A． B． C． =

D． =
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟練掌握兩直線被一組平行線所截，所得的對應線段成
比例是解題的關鍵．根據平行線分線段成比例即可進行解答．
【詳解】解： ∵ ∥ ∥ ，
∴ = ， = ，
∴ = ，
∴ 選項 A、B、C 正確，不符合題意，
故選：D．
【變式 5-2】如圖，已知 ∥ ∥ ，那么下列結論成立的是（　　）
= = A． B． C． = D． =
【答案】B
【分析】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例是解題關鍵．根據平行線分線段
成比例即可解答．
【詳解】解： ∵ ∥ ∥ ，
∴ =

，
故 A，C，D 不正確，
故選：B．
【考點 6 由平行截線求相關相關線段的長或比值】
【典例 6】如圖， △ 中， = ， ⊥ 于點 ， 2在 上， = 5， 交 于點 ，
∥ ．若 = 6cm，求 的長．
【答案】 = 94(cm)
【分析】本題主要考查了三線合一定理，平行線分線段成比例定理，先由三線合一定理得到 = ，
= 2 2 2再由平行線分線段成比例定理得到 = 1， = ，同理得到 = = 5，則 = 3 ，則3
+ + = 6 (cm)，據此可得答案．
【詳解】解： ∵ = ， ⊥ ，
∴ = ，
又 ∵ ∥ ，
∴ = = 1，
∴ = ，
∵ 2 = 5， ∥ ，
∴ = 2 = 5，
2
∴ = 3
∵ = 6cm，
∴ + + = 6 2，即3 + + = 6 (cm)．
9
解得， = 4(cm)．
【變式 6-1】已知直線 1， 2被直線 a，b，c 所截，截得線段的長度如圖所示.若 ∥ ∥ ，則 x 的值為
（ ）
12 11 21 28
A． 7 B． 3 C． 4 D． 3
【答案】C
【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理：由平行截線求相關線段的長或比值，先根據 ∥ ∥ ，得
3
出 =
4
7，再計算即可作答．
【詳解】解：∵ ∥ ∥
∴3 4 = 7
∴ = 214
故選：C
2
【變式 6-2】如圖， 是 △ 的中線，點 E 在 上， 交 于點 F，若 = 5，則 為（ ）
1 1 2 1
A．6 B．5 C．7 D．11
【答案】A
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的
關鍵．過點 作 ∥ ，交 于點 ，根據平行線分線段成比例可得點 是 的中點，從而可得
= = 1 2 12 ，然后再利用平行線分線段成比例可得 = = 5，從而可得 = 5，即可解答．
【詳解】解：過點 作 ∥ ，交 于點 ，
∵ ∥ ，點 是 的中點，
∴ =

= 1，
∴ = ，
∴ 點 是 的中點，
∴ = = 12 ，
∵ ∥ ，
∴ = 2 = 5，
∴ = 2 = 1 10 5，
∴ =
1
6，
故選：A
【變式 6-3】如圖：直線 ∥ ∥ ，若 = 3， = 6， = 2，則 的長是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】此題考查了平行線分線段成比例：一組平行線截兩條直線，所截對應線段成比例．根據
∥ ∥ = ，得到 ，代入數值求出 = 4，即可求出 的長．
【詳解】解：∵ ∥ ∥ ，
∴ = ，而 = 3， = 6， = 2，
∴36 =
2
，
解得 = 4，
∴ = + = 2 + 4 = 6，
故選：C．
知識點 5 相似圖形
在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similar figures).
注意：
　 (1) 相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；
(2) “全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩 個圖形
是全等；
知識點 6 相似多邊形
1.相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．
注意：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．
（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．
2.相似多邊形的性質
① 相似三角形對應高的比、對應 角平分線 的比和對應中線的比都等于 相似比。
② 相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方（或相似比等于面積比的 算術平方
根）。
③相似多邊形的 對應角 相等，對應邊的比相等。
【考點 7 相似圖形】
【典例 7】下列網格中各個小正方形的邊長均為 1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相
似形的為（ ）
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【答案】D
【分析】本題考查相似圖形，根據對應角相等，對應邊對應成比例的圖形是相似圖形結合正方形的性質，
進行判斷即可．
【詳解】解：由圖可知，只有選項甲和丁中的對應角相等，且對應邊對應成比例，它們的形狀相同，大
小不同，是相似形．
故選 D．
【變式 7-1】下列圖標中，不是相似圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查相似圖形，解題的關鍵是理解相似圖形的定義．根據相似圖形的定義判斷即可．
【詳解】解：選項 A，B，D 是相似圖形，選項 C 不是相似圖形．
故選：C．
【變式 7-2】下面幾對圖形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據相似圖形的形狀相同，進行判斷即可．
【詳解】解：A，B，D 三個選項中的圖形形狀不同，不相似，C 選項中的兩個圖形形狀相同，相似；
故選：C．
【變式 7-3】下列說法正確的是（ ）
A．等邊三角形都是相似三角形 B．矩形都是相似圖形
C．各邊對應成比例的多邊形是相似多邊形 D．邊長相等的菱形都相似
【答案】A
【分析】本題主要考查了相似圖形的判定，掌握相似多邊形的各邊對應成比例、各角對應相等是解題的
關鍵．
根據各邊對應成比例、各角對應相等的多邊形是相似多邊形逐項判斷即可解答．
【詳解】解：A、等邊三角形的三邊對應成比例，等邊三角形都是相似三角形，故A符合題意；
B、矩形的長和寬不一定對應成比例，矩形不一定都相似，故B不符合題意；
C、多邊形各邊對應成比例，但多邊形的各角不一定對應相等，各邊對應成比例的多邊形不一定是相似
多邊形，故C不符合題意；
D、菱形的各角不一定對應相等，邊長相等的菱形不一定都相似，故D不符合題意．
故選：A．
【考點 8 相似多邊形的性質】
【典例 8】如圖，在矩形 中， = 4， = 6，點 E，F 分別在 ， 上，且 ∥ ，矩形
與矩形 相似，則矩形 的面積為（ ）
40 32 16
A．16 B． 3 C． 3 D． 3
【答案】C
【分析】本題主要考查相似圖形的性質，相似圖形的對應邊成比例，面積比等于相似比的平方．證明
矩形
=
2
= 4
2 4
6 = 9，從而可得答案．矩形
【詳解】解：∵矩形 ∽ 矩形 ， = 4， = 6，
矩形 2 2∴ = 4 4 = 6 = 9， = 4 × 6 = 24矩形 ，矩形
∴ 32 矩形 = 3 ，
故選：C．
【變式 8-1】若兩個相似多邊形的面積之比為1:3，則它們的相似比為（ ）
A．1 ∶ 3 B．1:3 C．1:6 D．1:9
【答案】A
【分析】本題考查了多邊形相似的性質．熟練掌握兩個相似多邊形的面積之比等于相似比的平方是解題
的關鍵．
根據兩個相似多邊形的面積之比等于相似比的平方求解作答即可．
【詳解】解：由題意知，若兩個相似多邊形的面積之比為1:3，則它們的相似比為1 ∶ 3，
故選：A．
【變式 8-2】如圖，有兩個形狀相同、大小不等的“中國夢”圖片，依據圖中標注的數據，可得 x 的值為
（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
【答案】D
【分析】本題主要考查了相似圖形的性質，相似圖形的對應線段的比相等．利用相似多邊形的對應邊的
比相等，對應角相等分析．
【詳解】解：這兩個圖形兩個形狀相同，
即兩個圖形相似，
則對應線段的比相等，
15
因而20 =
6
，
= 8．
的值是8cm．
故選：D
【變式 8-3】如圖，在邊長為 1 的正方形構成的網格中，四邊形 和四邊形 的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【答案】C
【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質與判定，利用勾股定理求出兩個四邊形對應邊的邊長，可得
= = =

= 2，據此可得答案．
【詳解】解：由題意得， = 22 + 22 = 2 2， = 42 + 22 = 2 5， = 42 + 22 = 2 5，
= 8， = 12 + 12 = 2， = 12 + 22 = 5， = 12 + 22 = 5， = 4，
∴ = = = = 2，
∴四邊形 和四邊形 的相似比是2：1，
故選；C．
1．若線段 a，b，c，d 是成比例線段，且 = 1， = 4， = 2，則 = （ ）
A．0.5 B．8 C．2 D．3
【答案】B
【分析】此題考查了比例線段，掌握比例線段的性質是本題的關鍵．根據四條線段成比例，列出比例式，
再把 = 1， = 4， = 2代入計算即可．
【詳解】解： ∵ 線段 a，b，c，d 是成比例線段，

∴ = ，
∵ = 1， = 4， = 2，
∴ 1 = 24 ，
∴ = 8，
故選：B．
2．若 : = 3:2， : = 4:3 + ，則 2 的值是（ ）
A．2 B． 2 C．3 D． 3
【答案】B
【分析】本題考查了比例的性質．根據比例的性質，可用 表示 ， ，根據分式的性質，可得答案．
【詳解】解：由 : = 3:2， : = 4:3，得
= 32 ， =
3
4 ．
3 5
+ +
2 =
2 = 23 5 = 2，
4 2 4
故選：B．
3．已知 = 0.4， = 3.2， = 8， = 1，下列各式中，一定正確的是（ ）

A． = B． =

C． =

D． =
【答案】C
【分析】本題考查了比例的性質，根據比例的性質，最小項與最大項的積等于其余兩項的積，根據題意
要求，將4個數化為一個等積式，再化為比例式即可，熟練掌握比例的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵ = 0.4， = 3.2， = 8， = 1，
∴ = = 3.2，

∴ = ，
故選：C．
4．如圖， ∥ ∥ ， = 3， = 2， = 2.5，則 的長為（ ）
5 15 25 5A． B． 4 C． 6 D．3
【答案】D

【分析】本題考查了平行線等分線段定理，由 ∥ ∥ 可得 = ，代入已知條件計算即可求解，掌
握平行線等分線段定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵ ∥ ∥ ，
∴ = ，
3 2.5
即2 = ，
解得 = 53，
故選：D．
5．下列說法中，錯誤的是（ ）
A．全等圖形一定是相似圖形 B．兩面大小不等的標準國旗一定相似
C．兩個等腰直角三角形一定相似 D．兩個直角三角形一定相似
【答案】D
【分析】本題考查的是相似圖形的定義，“相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同”．根據相似圖形的
定義，結合選項中提到的圖形，對選項一一分析，選出正確答案．
【詳解】解：A、全等圖形一定是相似圖形，故本選項不符合題意；
B、兩面大小不等的標準國旗一定相似，故本選項不符合題意；
C、等腰直角三角形形狀相同，只是大小不同，一定相似，故本選項不符合題意；
D、兩個直角三角形的銳角不一定相等，則兩個直角三角形不一定相似，故本選項符合題意；
故選：D．
6．如圖，C 為線段 的黃金分割點( < )，且 = 4，則 的長為（ ）
A．2 5 2 B．2 5 +2 C． 5 +3 D． 5 3
【答案】A
【分析】本題主要考查了黃金分割的定義，先根據黃金分割的定義得出 = 5 1 ，即可解答．
2
【詳解】解：∵點 C 為線段 的黃金分割點， < ， = 4，
∴ = 5 1 ，
2
∴ = 5 1 × 4 = 2 5 2，2
故選：A．
7．如圖，已知 ∥ ∥ ， : = 3:5， = 12，那么 的長等于（ ）
36 24 15 9
A． 5 B． 5 C． 2 D．2
【答案】B
【分析】本題主要考查平行線分得的線段成比例的相關知識，熟練掌握這個定理是解答本題的關鍵．
由平行關系得到線段對應成比例，再根據比例關系求出 的長．
【詳解】∵ ∥ ∥
∴ = 3 = ，即5 12，
∴ = 365 ，
∴ = = 12 36 = 245 5 ．
故選 B．
8．若線段 = 4， = 9，則線段 ， 的比例中項為（ ）
13
A． 2 B． 13 C．6 D． ± 6
【答案】C
【分析】本題主要考查比例線段的定義，根據成比例線段的定義解得即可．
【詳解】設線段 ， 的比例中項為 ，
則 2 = = 4 × 9 = 36，
解得： =± 6
又因為 為線段，
所以 = 6．
故選：C．
2
9．如圖， 是 △ 的中線，點 E 在 上， 交 于點 F，若 = 5，則 為（ ）
1 1 2 1
A．6 B．5 C．7 D．11
【答案】A
【分析】本題考查了平行線分線段成比例，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的
關鍵．過點 作 ∥ ，交 于點 ，根據平行線分線段成比例可得點 是 的中點，從而可得
= = 12
2 1
，然后再利用平行線分線段成比例可得 = = 5，從而可得 = 5，即可解答．
【詳解】解：過點 作 ∥ ，交 于點 ，
∵ ∥ ，點 是 的中點，
∴ = = 1，
∴ = ，
∴ 點 是 的中點，
∴ = = 12 ，
∵ ∥ ，
∴ = = 2 5，
∴ = 2 1 10 = 5，
∴ =
1
6，
故選：A
3 +
10．若 = 4，則 的值為 ．
7
【答案】4
3
【分析】本題考查了比例的性質，由題意得出 = 4，代入計算即可得出答案，熟練掌握比例的性質是
解此題的關鍵．
3
【詳解】解：∵ = 4，
∴ = 34 ，
∴ +
3 7
= 4 + = 4 = 7 4，
7
故答案為：4．
11．如圖，四邊形 ≌四邊形 ′ ′ ′ ′，則∠ 的大小是 ．
【答案】95°/95 度
【分析】此題主要考查了全等圖形．利用全等圖形的定義可得∠ = ∠ ′ = 130°，然后再利用四邊形內
角和為360°可得答案．
【詳解】解： ∵ 四邊形 ≌四邊形 ′ ′ ′ ′，
∴ ∠ = ∠ ′ = 130°，
∴ ∠ = 360° ∠ ∠ ∠ = 360° 75° 60° 130° = 95°，
故答案為：95°．
12．若兩個相似圖形的周長比為2:1，則它們的面積比為 ．
【答案】4:1
【分析】此題考查了相似圖形的性質，由兩個相似圖形，其周長之比為2:1，根據相似圖形的周長的比
等于相似比，即可求得其相似比，又由相似圖形的面積的比等于相似比的平方，即可求得答案，注意
熟記定理是關鍵．
【詳解】解：∵兩個相似圖形的周長比為2:1，
∴其相似比為2:1，
∴其面積比為4:1，
故答案為：4:1．
13．數學中，把 5 1這個比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，
2
是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P 是 的黃金分割點（ > ），若線段 的長為8cm，則 的
長為 cm．
【答案】12 4 5
【分析】本題考查了黃金分割．根據黃金分割的定義進行計算即可解答．
【詳解】解： ∵ 點 是 的黃金分割點( > )，線段 的長為8cm，
∴ = 5 1 ，2
∴ = 5 1 × 8 = (4 5 4)cm，2
∴ = 8 (4 5 4) = (12 4 5)cm
故答案為：12 4 5．
14．如圖，點 是矩形 的對角線 的中點， ∥ 交 于點 ，若 = 3， = 10，則 的長
為 ．
【答案】 34
【分析】本題考查矩形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理．先求出 ，
后求 ，然后用勾股定理求 即可．
【詳解】解： ∵ 四邊形 是矩形，
∴ ∥ ，
∵ ∥ ，
∴ ∥ ，
∴ = ，
∵ 為 的中點，
∴ = ，
∴ 是 的中點，
∴ 是 △ 的中位線，
∴ = 2 ，
∵ = 3，
∴ = 6，
∴ = = 6，
∵ = 10,∠ = 90°，
∴ = 62 + 102 = 2 34，
∵ ∠ = 90°, 為 的中點，
∴ = 12 = 34．
故答案為： 34．
2 +
15．若 : = 1:3,2 = 3 ，則 的值是 ．
【答案】 5
1 2
【分析】此題考查了比例的性質，根據已知得到 = 3 , = 3 ，代入分式化簡即可．
【詳解】解：∵ : = 1:3,2 = 3
∴ = 13 , =
2
3 ，
2 5
2 +
∴ = 3
+
= 3

2 1
= 5
3 3
故答案為： 5
16．如圖，取一張長為 a，寬為 b 的矩形紙片，將它對折兩次后得到一張小矩形紙片，若要使小矩形紙片與
原矩形紙片相似，則 : = ．
【答案】2：1
【分析】本題考查了矩形的性質和相似多邊形的性質，能根據相似得出比例式是解此題的關鍵．根據
相似四邊形的性質得出比例式，再求出答案即可．
1
【詳解】解：對折兩次后得到的小矩形紙片的長為 b，寬為4 ，
∵小矩形紙片與原矩形紙片相似，

∴ =1
4
，
又∵ > 0， > 0，

∴ = 2，即 : = 2：1．
故答案為：2：1
17．如圖，若直線 ∥ ∥ ，它們依次交直線 、 于點 , , 和點 , , ．
(1)如果 = 5, = 8, = 7，求 的長；
(2)如果 : = 3:4, = 21，求 的長．
35
【答案】(1) = 8
(2)12
【分析】本題考查平行線分線段成比例定理；
（1）由平行線分線段成比例定理得到 ： = ： ，代入有關數據，即可；
（2）由平行線分線段成比例定理推出 ： = ： = 3：4，得到 ： = 3：7，即可求出
長，得到 的長．
【詳解】（1）解： ∵ ∥ ∥ ，
∴ ： = ： ，
∵ = 5， = 8， = 7，
∴ 5：8 = ：7，
∴ = 358 ；
（2）∵ ∥ ∥ ，
∴ ： = ： ，
∵ ： = 3：4，
∴ ： = 3：7，
∵ = 21，
∴ = 9，
∴ = = 12．
18．閱讀材料：

角平分線分線段成比例定理：如圖 1，在 △ 中， 平分∠ ，則 = ．
下面是這個定理的部分證明過程：
證明：如圖 2，過點 C 作 ∥ ，交 的延長線于點 E．……
解決問題：
(1)請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余過程；
(2)如圖 3，在 △ 中， 是角平分線， = 5， = 4， = 7，求 的長．
【答案】(1)見解析
35
(2) 9
【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，角平分線的定義，熟練掌握平行線分線段成比例
定理是解決問題的關鍵．
（1）過點 作 ∥ ，交 的延長線于點 ，由 ∥ ，可求證 =

，∠ = ∠ ，
∠ = ∠ ，可得 = ，即可求解；
（2）根據（1）中的結論即可求解．
【詳解】（1）證明：∵ ∥ ，
∴ =

，∠ = ∠ ，∠ = ∠ ．
∵ 平分∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴ = ．
（2）解：∵ 是角平分線，
∴ = ．
∵ = 5， = 4， = 7，
∴54 =
= 357 ，解得 9 ，經檢驗符合題意．
故 35的長為 9 ．
19．兩千多年前，古希臘數學家歐多克索斯發現了黃金分割，即將整體一分為二，較小部分與較大部分之

比等于較大部分與整體之比．如圖， 是線段 上一點，若 > ，且滿足 = ，則稱 是線段
的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節目時，站在黃金分割
點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺 長20米，主持人從舞臺 側進入，他至少走多少米，恰好站在
舞臺的黃金分割點 上？
【答案】(30 10 5)米

【分析】本題考查了黃金分割，分式方程的應用，設 = 米，則 = (20 )米，把數據代入 =

，得到關于 的分式方程，解方程即可求解，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線
段是解題的關鍵．
【詳解】解：設 = 米，則 = (20 )米，
∵ = ，

∴ = 20 20 20 ，
整理得， 2 60 + 400 = 0，
解得 1 = 30 + 10 5， 2 = 30 10 5，
經檢驗， 1 = 30 + 10 5， 2 = 30 10 5為分式方程的解，
∵ > ，
∴ = 30 10 5，
答：他至少走(30 10 5)米，恰好站在舞臺的黃金分割點 上．
20．【背景知識】
寬與長的比等于 5 1的矩形稱為黃金矩形．黃金矩形給我們以協調、勻稱的美感．世界上很多著名建筑，
2
為了取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計，如希臘帕特農神廟等．
（1）經測量帕特農神廟的長約為 30 米，求它的寬度是多少米 （結果保留根號）
【實驗操作】
折一個黃金矩形
第一步：在矩形紙片的一端利用圖 1 的方法折出一個正方形 ，然后把紙片展平；
第二步：如圖 2，將正方形折成兩個相等的矩形，再將其展平；
第三步：折出內側矩形的對角線 ，并將 折到圖 3 所示的 處；
第四步：展平紙片，按照所得的點 D 折出 ，得到矩形 （如圖 4）．
【問題思考】
（2）若 的長為 2，請證明：矩形 是黃金矩形；
（3）在（2）的條件下，以圖 3 中的折痕 為邊，構造黃金矩形，直接寫出這個矩形的面積．
【答案】（1）15 5 15（米）；（2）見詳解；（3）4 5或6 5 +10．
【分析】（1）由題意得帕特農神廟寬的與長的比等于 5 1，已知長為 30，則可以求出寬．
2
1
（2）若 的長為 2，由折紙的過程可知 = 2， = = 2， = 2 = 1．求得 = 5，則
= 5，則可得 = 5 1

，進而可求得 = 5 1 ，即可得證．2
（3）分 為黃金矩形的長和黃金矩形的寬，兩種情況，進行討論求解即可．
本題考查黃金分割，掌握黃金矩形的定義，是解題的關鍵．
【詳解】（1）由題意得帕特農神廟寬與長的比等于 5 1，
2
∴它的寬為： 30 × 5 1 = 15 5 15（米）．2
（2）證明： ∵ = 2，
由題意得 = 2， = = 2 1， = 2 = 1，
∴ = 2 + 2 = 12 + 22 = 5，
∵ = = 5，
∴ = = 5 1，
∴ =
5 1，
2
∴矩形 是黃金矩形．
（3）由折疊的性質可得∠ = ∠ ，
又 ∵ ∥ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠
∴ = = 5，
又 ∵ = = 1，
∴ = 5 +1，
∴ = 2
2
+ 2 = 22 + ( 5 + 1) = 10 + 2 5．
當 為黃金矩形的長時，則寬為 5 1 ，
2
則面積為 5 1 = 5 1 2 = 5 1 ×2 2 2 (10 + 2 5) = 4 5．

當 為黃金矩形的寬時，則長為 5+15 1 = ，
2 2
則面積為 5+1 = 5+1 2 = 5+1 ×2 2 2 (10 + 2 5) = 6 5 +10．
綜上，矩形的面積為：4 5或6 5 +10．

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