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專題 27.2.1 相似三角形的判定（4 個考點）
【考點 1 三邊對應成比例，兩三角形相似】
【考點 2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似】
【考點 3 兩角對應相等，兩三角形相似】
【考點 4 選擇或填充條件使兩個三角形相似】
【考點 1 三邊對應成比例，兩三角形相似】
1．如圖，在邊長為 1 的正方形網(wǎng)格中， △ 和 △ 都是格點三角形．求證： △ ∽△ ．

2．已知：在 △ 和 △ ′ ′ ′中， = = ．求證： △ ∽ △ ′ ′ ′． ′ ′ ′ ′ ′ ′
3．判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．
【考點 2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似】
4．如圖，在正方形 中，E 為邊 的中點，點 F 在邊 上，且 = 3 ，求證：
△ ∽△ ．
5．如圖， = ，且∠ = ∠ ，求證： △ ∽△ ．
6．如圖， = ，作 △ ，D 在 異側(cè)，且 = ，∠ = ∠ ，E 是 延長線上一點，連接
交 于點 F．求證： △ ∽△ ．
7．在 △ 和 △ 中， = ，∠ = ∠ ，求證： △ ∽△ ．
8．如圖，四邊形 的對角線 與 相交于點 ， = 2， = 3， = 6， = 4．求證：△ 與
△ 是相似三角形．
【考點 3 兩角對應相等，兩三角形相似】
9．如圖，∠ = ∠ ， ∥ ，求證： △ ∽△ ．
10．如圖，在平行四邊形 中，過點 作 ⊥ , 垂足為 ．連接 , 為線段 上一點，且
∠ = ∠ ．求證： △ ∽△ ．
11．如圖，在 △ 中，∠ = 2∠ ．
(1)在圖中作出∠ 的平分線 ，交 于點 D．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，求證： △ ∽△ ．
12．如圖，四邊形 是菱形，點 G 是 延長線上一點，連接 ，分別交 、 于點 E、F，連接 ．
(1)求證：∠ = ∠ ；
(2)求證： △ ∽ △ ．
13．如圖，在Rt △ 中，∠ = 90°， = ，點 D，E 分別是 ， 上的點，且∠3 = 45°，求證：
△ ∽△ .
14．如圖，在 △ 中， = ，D，E 分別是 ， 上的點，且∠ = ∠ ，求證： △ ∽△ ．
15．如圖，四邊形 為菱形，點 在 的延長線上，∠ = ∠ ．求證： △ ∽△ ．
16．如圖，在 △ 中，點 D 在 邊上，點 E 在 邊上，∠ = ∠ ．求證： △ ∽△ ．
17．如圖，在 △ 和 △ 中， ⊥ 于 A， ⊥ 于 D， 相交于點 O， = ，求證：
△ ∽ △ ．
18．如圖，在 △ 中和 △ ′ ′ ′中，∠ = 50°，∠ = ∠ ′ = 60°，∠ ′ = 70°，△ 和 △ ′ ′ ′相似嗎？
為什么？
19．如圖，平行四邊形 ， ⊥ 交點 E，連接 ，F(xiàn) 為 上一點，且∠ = ∠ = 60°．求證：
△ ∽ △ ．
20．如圖，在 △ 中，∠ = 80°，∠ = 60°，請用尺規(guī)作圖法在 邊上求作一點 D，使得
△ ∽△ ．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【考點 4 選擇或填充條件使兩個三角形相似】
21．如圖，在 △ 中，點 D，E 分別在邊 ， 上，則不一定能判斷 △ ∽△ 的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠

C． =
= D．
22．如圖，點 P 在 △ 的邊 上，要判斷 △ ∽△ ，添加一個條件，下列不正確的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C． = D． =
23．如圖， 與 相交于點 O，要使 △ 與 △ 相似，可添加的一個條件是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C．∠ = ∠ D．∠ = ∠
24．如圖，點 P 在 △ 的邊 上，要判斷 △ ∽△ ，添加一個條件，不正確的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠
= C． D． =
25．如圖，點 D 在 △ 的邊 上，添加下列條件后不能判定 △ 與 △ 相似的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C． =

D． =
26．如圖，在 △ 和 △ 中，∠ = ∠ ，要使 △ 與 △ 相似，還需要滿足下列條件中的
（ ）
= = A． B． C． = D． =
27．直線 與 △ 的邊 相交于點 ，與 邊相交于點 ，下列各條件：
①∠ = ∠ ∥ = ，② ，③ ，④ = ，⑤ = ，能夠判斷 △ ∽△
的是 ．
28．已知∠1 = ∠2，添加一個條件使得 △ ∽△ ，則添加的條件是 ．
29．如圖，在 △ 與 △ ′ ′ ′中，點 、 ′分別在邊 、 ′ ′上，且 △ ∽△ ′ ′ ′，若___________，
則 △ ∽△
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ．請從① ′ = ；② = ；③∠ = ∠ ′ ′這三個選項中選擇一個作為 ′ ′ ′ ′
條件（寫序號），并加以證明．
30．已知：△ 中，∠ = 36°， = ，用尺規(guī)求作一條過點 B 的直線，使得截出的一個三角形與 △
相似并證明．（保留作圖痕跡，不寫作法）
31．如圖， △ 中，點 D 是邊 AB 上一點，點 E 為 △ 外一點， ∥ ，連接 BE．從下列條件中：
①∠ = ∠ ；② = ．選擇一個作為添加的條件，求證： △ ∽△ ．
32．如圖，點 D、E 為 △ 外兩點，給出下列信息：①∠ = ∠ ；②∠ = ∠ ；
③∠ = ∠ ．
請從上述三條信息中選擇兩條作為補充條件，余下的一條作為結(jié)論組成一個真命題，并說明理由．你
選擇的補充條件是______，結(jié)論是______．（填寫序號）
33．如圖，在 △ 中， > ，點 D 在 邊上（點 D 不與 A，C 重合）．若再增加一個條件能使
△ ∽△ ，則這個條件是______；結(jié)合你所添加的條件，證明 △ ∽△ ．專題 27.2.1 相似三角形的判定（4 個考點）
【考點 1 三邊對應成比例，兩三角形相似】
【考點 2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似】
【考點 3 兩角對應相等，兩三角形相似】
【考點 4 選擇或填充條件使兩個三角形相似】
【考點 1 三邊對應成比例，兩三角形相似】
1．如圖，在邊長為 1 的正方形網(wǎng)格中， △ 和 △ 都是格點三角形．求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，三角形相似的判定，先根據(jù)勾股定理求出 、 、 、
，得出 =

= ，即可證明 △ ∽△ ．
【詳解】解：∵ = 2， = 12 + 12 = 2， = 12 + 32 = 10，
= 2， = 22 + 22 = 2 2， = 22 + 42 = 2 5，
2
∴ 2 10 = = ， = =
2 ， = 2，
2 2 2 2 5 2 2
∴ = = ，
∴ △ ∽△ ．

2．已知：在 △ 和 △ ′ ′ ′中， = = ．求證： △ ∽ △ ′ ′ ′． ′ ′ ′ ′ ′ ′
【答案】見解析
【分析】直接在線段 （或它的延長線）上截取 = ′ ′，得出 △ ∽△ ，再證明 △ ≌ △ ′
′ ′（SSS），進而得出答案．
此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定，正確得出 △ ≌ △ ′ ′ ′（SSS）是
解題關(guān)鍵．
【詳解】證明：在線段 （或它的延長線）上截取 = ′ ′，過點 D 作 ∥ ，交 于點 E，
∵ ∥ ，∴ △ ∽△ ，
∴ =

= ，

又 = = ， = ′ ′， ′ ′ ′ ′ ′ ′
∴

= ， = ， ′ ′ ′ ′
∴ = ′ ′， = ′ ′，
在 △ 和 △ ′ ′ ′中
= ′ ′
= ′ ′ ，
= ′ ′
∴ △ ≌ △ ′ ′ ′（SSS），
∴ △ ∽ △ ′ ′ ′．
3．判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．
【答案】 △ ∽△ ．理由見解析
5
【分析】根據(jù) = = = 3，進行判斷作答即可．
【詳解】解： △ ∽△ ．理由如下：
由題意知， = 3， = 3.5， = 4， = 1.8， = 2.1， = 2.4，
∴ =

=
5
= 3，
∴ △ ∽△ ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
【考點 2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似】
4．如圖，在正方形 中，E 為邊 的中點，點 F 在邊 上，且 = 3 ，求證：
△ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)：熟練掌握正方形的性質(zhì)，熟記兩邊成比
例且夾角相等的兩個三角形相似是解題的關(guān)鍵；由正方形的性質(zhì)得出∠ = ∠ = 90°, = = ，設(shè)
= = = 4 ，得出 = = 2 , = ，證出 =

，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵四邊形 是正方形
∴ ∠ = ∠ = 90°, = =
設(shè) = = = 4
∵E 為邊 的中點， = 3
∴ = = 2 , =
4 2
∴ = 2 = 2, = = 2

∴ =
∵ ∠ = ∠
∴ △ ∽△
5．如圖， = ，且∠ = ∠ ，求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法“兩邊成比例且夾
角相等的兩個三角形相似”；先根據(jù)∠ = ∠ ，得出∠ = ∠ ，再根據(jù)對應邊成比例，即可解
答．
【詳解】證明： ∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
即 ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ = ，
∴△ ∽△ ．
6．如圖， = ，作 △ ，D 在 異側(cè)，且 = ，∠ = ∠ ，E 是 延長線上一點，連接
交 于點 F．求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等即可證明 △ ∽△ ．本題考查了相似三角形的判定，熟
練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：∵AB＝AC，AD＝CD，
∴ = ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
7．在 △ 和 △ 中， = ，∠ = ∠ ，求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定．熟練掌握“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”是解題的
關(guān)鍵．
由∠ = ∠ ，可得∠ = ∠ ，由 = ，可得 = ，進而結(jié)論得證．
【詳解】證明：∵∠ = ∠ ，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，即∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ = ，
∵ =

，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
8．如圖，四邊形 的對角線 與 相交于點 ， = 2， = 3， = 6， = 4．求證：△ 與
△ 是相似三角形．
【答案】見解析
【分析】對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形，由此證明即可．
【詳解】證明： ∵ = 2， = 3， = 6， = 4，
∴ = 2 = 4 2 3 ， 6 = 3，
∴ = ．
∵ ∠ = ∠ ，
∴ △ 與 △ 是相似三角形．
【點睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形判定定理：對應邊成比例且夾角相
等的兩個三角形是相似三角形．
【考點 3 兩角對應相等，兩三角形相似】
9．如圖，∠ = ∠ ， ∥ ，求證： △ ∽△ ．
【答案】見詳解
【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)兩個角分別相等的三角形為相似三角形，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：∵ ∥
∴∠ = ∠
∵∠ = ∠
∴ △ ∽△
10．如圖，在平行四邊形 中，過點 作 ⊥ , 垂足為 ．連接 , 為線段 上一點，且
∠ = ∠ ．求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得
∠ + ∠ = 180°，∠ = ∠ ，結(jié)合∠ + ∠ = 180°， ∠ = ∠ ，即可得出∠ = ∠ ，
進而可證出 △ ∽△ ．
【詳解】解： ∵ 四邊形 是平行四邊形，
∴ ∥ ， ∥ ，
∴ ∠ + ∠ = 180°，∠ = ∠ ，
∵ ∠ + ∠ = 180°,∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ．
∴ △ ∽△ ．
11．如圖，在 △ 中，∠ = 2∠ ．
(1)在圖中作出∠ 的平分線 ，交 于點 D．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)在（1）的條件下，求證： △ ∽△ ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了角的平分線尺規(guī)作圖，三角形相似的判定．
（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖的基本要求畫圖即可．
（2）根據(jù)三角形相似的判定解答即可．
【詳解】（1）根據(jù)基本步驟作圖如下：
則 即為所求．
（2）∵ ∠ 的平分線 ，
∴∠ = 2∠ = 2∠ ，
∵∠ = 2∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
12．如圖，四邊形 是菱形，點 G 是 延長線上一點，連接 ，分別交 、 于點 E、F，連接 ．
(1)求證：∠ = ∠ ；
(2)求證： △ ∽ △ ．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得 = ，∠ = ∠ ，然后證明 △ ≌ △ (SAS)即可得
出結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ = ∠ ，結(jié)合（1）中結(jié)論可得∠ = ∠ ，然后根據(jù)相似三角形的
判定定理得出結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵四邊形 是菱形，
∴ = ，∠ = ∠ ，
又∵ = ，
∴ △ ≌ △ (SAS)，
∴∠ = ∠ ；
（2）∵四邊形 是菱形，
∴ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
由（1）得∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽ △ ．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟
練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在Rt △ 中，∠ = 90°， = ，點 D，E 分別是 ， 上的點，且∠3 = 45°，求證：
△ ∽△ .
【答案】見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定，根據(jù)∠ = ∠ = ∠3 = 45°，結(jié)合外角定理可得∠1 = ∠2，即可證
明 △ ∽△ ；
【詳解】證明：∵∠ = 90°， = ，
∴∠ = ∠ = 45°，
∵∠ 是 △ 的一個外角，
∴∠2 + ∠3 = ∠1 + ∠ ，
又∵∠3 = 45°，∠ = 45°，
∴∠1 = ∠2，
在 △ 和 △ 中，
∠ = ∠
∠1 = ∠2 ，
∴ △ ∽△
14．如圖，在 △ 中， = ，D，E 分別是 ， 上的點，且∠ = ∠ ，求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定．等邊對等角，得到∠ = ∠ ，利用外角的性質(zhì)，推出
∠ = ∠ ，即可得證．熟練掌握相似三角形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】證明：∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
15．如圖，四邊形 為菱形，點 在 的延長線上，∠ = ∠ ．求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠ = ∠ ，根據(jù)題意∠ = ∠ ，等量代換得出∠ = ∠ ，
進而根據(jù)公共角∠ = ∠ ，即可得證．
【詳解】證明： ∵ 四邊形 為菱形， 為對角線，
∴ ∠ = ∠ ．
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ．
又∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，在 △ 中，點 D 在 邊上，點 E 在 邊上，∠ = ∠ ．求證： △ ∽△ ．
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)兩個角分別對應相等的兩個三角形相似證明即可．
【詳解】證明：∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ；
【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．
17．如圖，在 △ 和 △ 中， ⊥ 于 A， ⊥ 于 D， 相交于點 O， = ，求證：
△ ∽ △ ．
【答案】見解析
【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得∠ = ∠ ，再根據(jù)相似三角形的判定即可．
【詳解】證明：∵ ⊥ 于 A， ⊥ 于 D，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ ，∠ = 90° ∠ ,∠ = 90° ∠
∴∠ = ∠ ，
又∵ = ，
∴∠ = ∠ ，
∠ = ∠ + ∠ ,∠ = ∠ + ∠ ,
∴∠ = ∠ ，
∴ △ ∽ △ ．
【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定是本題的關(guān)
鍵．
18．如圖，在 △ 中和 △ ′ ′ ′中，∠ = 50°，∠ = ∠ ′ = 60°，∠ ′ = 70°，△ 和 △ ′ ′ ′相似嗎？
為什么？
【答案】 △ 和 △ ′ ′ ′相似，理由見解析
【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ = 70°，則∠ = ∠ ′，再由∠ = ∠ ′ = 60°即可證明 △ 和
△ ′ ′ ′相似．
【詳解】解： △ 和 △ ′ ′ ′相似，理由如下：
∵∠ = 50°，∠ = 60°，
∴∠ = 180° ∠ ∠ = 70°，
∴∠ = ∠ ′，
又∵∠ = ∠ ′ = 60°，
∴ △ 和 △ ′ ′ ′相似．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知兩組角對應相等的三角形相似
是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，平行四邊形 ， ⊥ 交點 E，連接 ，F(xiàn) 為 上一點，且∠ = ∠ = 60°．求證：
△ ∽ △ ．
【答案】見解析
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合等角的補角相等，可得出∠ = ∠ = 120°、 ∥ ，利用平行線
的性質(zhì)可得出∠ = ∠ ，進而即可證出 △ ∽ △ ．
【詳解】證明：∵四邊形 為平行四邊形，
∴ ∥ ， ∥ ，
∴∠ + ∠ = 180°,∠ = ∠ ,
∵∠ = 60°,
∴∠ = 120°；
∵∠ = 60°，
∴∠ = 120°，
∴∠ =∠ ，
∴ △ ∽ △ ．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)
合等角的補角相等，找出∠ = ∠ = 120°、∠ = ∠ ．
20．如圖，在 △ 中，∠ = 80°，∠ = 60°，請用尺規(guī)作圖法在 邊上求作一點 D，使得
△ ∽△ ．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】
作∠ 的平分線交 于點 ，點 即為所求，
【詳解】解：如圖所示，作∠ 的平分線交 于點 ，點 即為所求，
理由如下，
∵在 △ 中，∠ = 80°，∠ = 60°，
∴∠ = 180° 80° 60° = 40°
∵ 是∠ 的平分線，
∴∠ = 12∠ = 40°，
∴∠ = ∠ ，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
【點睛】本題考查了作角平分線，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是
解題的關(guān)鍵．
【考點 4 選擇或填充條件使兩個三角形相似】
21．如圖，在 △ 中，點 D，E 分別在邊 ， 上，則不一定能判斷 △ ∽△ 的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠
= C． D． =
【答案】D
【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握其判定方法是解題的關(guān)鍵．可利用有兩組角對應相
等的兩個三角形相似判斷 A、B 選項，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似判斷 C 選項，
從而解題．
【詳解】解：A、 ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，不符合題意；
B、 ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，不符合題意；
∵ C、 = ，
∴ =

，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，不符合題意；
∵ D、 = ，∠ = ∠ ，
無法證明 △ ∽△ ，符合題意；
故選：D．
22．如圖，點 P 在 △ 的邊 上，要判斷 △ ∽△ ，添加一個條件，下列不正確的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ = C． D． =
【答案】D
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．
【詳解】解：A、當∠ = ∠ 時，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項不符合題意；
B、當∠ = ∠ 時，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項不符合題意；

C、當 = 時，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項不符合題意；
= D、當 時，無法得到 △ ∽△ ，故此選項符合題意．
故選：D．
23．如圖， 與 相交于點 O，要使 △ 與 △ 相似，可添加的一個條件是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ C．∠ = ∠ D．∠ = ∠
【答案】A
【分析】本題考查相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定方法，進行判斷即可．
【詳解】解：∠ = ∠ （對頂角相等），
A、當∠ = ∠ 時，則 △ 與 △ 相似，符合題意；
B、當∠ = ∠ 時，無法證明 △ 與 △ 相似，不符合題意；
C、當∠ = ∠ 時，無法證明 △ 與 △ 相似，不符合題意；
D、∠ = ∠ ，無法證明 △ 與 △ 相似，不符合題意；
故選：A．
24．如圖，點 P 在 △ 的邊 上，要判斷 △ ∽△ ，添加一個條件，不正確的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠

C． =

D． =
【答案】D
【分析】本題考查的是相似三角形的判定，分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．
【詳解】解：A、當∠ = ∠ 時，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項不符合題意；
B、當∠ = ∠ 時，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項不符合題意；
= C、當 時，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項不符合題意；

D、當 = 時，無法得到 △ ∽△ ，故此選項符合題意．
故選：D．
25．如圖，點 D 在 △ 的邊 上，添加下列條件后不能判定 △ 與 △ 相似的是（ ）
A．∠ = ∠ B．∠ = ∠ = = C． D．
【答案】D
【分析】本題考查相似三角形的判定，由∠ 是公共角，利用有兩角對應相等的三角形相似，即可得 A
與 B 正確；又由兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可得 C 正確，繼而求得答
案，掌握三角形相似的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵∠ 是公共角，
∴當∠ = ∠ 或∠ = ∠ 時， △ ∽△ （有兩角對應相等的三角形相似），故 A 與 B 正
確，不符合題意；

當 = 時， △ ∽△ （兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似），故 C 正確，
不符合題意；

當 = 時，∠ 不是夾角，故不能判定 △ 與 △ 相似，故 D 錯誤，符合題意．
故選：D．
26．如圖，在 △ 和 △ 中，∠ = ∠ ，要使 △ 與 △ 相似，還需要滿足下列條件中的
（ ）

A． =
= B． C． = D． =
【答案】A
【分析】本題考查了三角形相似的判定，根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似解答即可．
【詳解】∵∠ = ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ，
△ ∽△ ，
故選 A．
27．直線 與 △ 的邊 相交于點 ，與 邊相交于點 ，下列各條件：
∠ = ∠ ∥ ① ，② ，③ =

，④ = ，⑤ = ，能夠判斷 △ ∽△
的是 ．
【答案】②⑤
【分析】此題主要考查了相似三角形的判定，關(guān)鍵是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平
行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應
邊的比相等的兩個三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三
角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
根據(jù)相似三角形的判定方法，分別進行判定即可得出答案．
【詳解】解：①∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項錯誤；
② ∥ ，可以根據(jù)相似三角形的判定方法中的平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相
交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，判斷出 △ ∽△ ，故此選項正確；

③ =

，缺少夾角相等，故不能判定 △ ∽△ ，故此選項錯誤；

④ =

，又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項錯誤；
⑤ = 可以變形為： = ，
又∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ，故此選項正確；
故正確的有 2 個．
故答案為：②⑤．
28．已知∠1 = ∠2，添加一個條件使得 △ ∽△ ，則添加的條件是 ．

【答案】∠ = ∠ 或∠ = ∠ 或 =
【分析】本題考查相似三角形的判定，由∠1 = ∠2可得∠ = ∠ ．只需還有一對角對應相等或夾
邊對應成比例即可得證．掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠ = ∠2 + ∠ ，即∠ = ∠ ，
當∠ = ∠ 或∠ = ∠ 或 = 時， △ ∽△ ．
故答案為：∠ = ∠ 或∠ = ∠ = 或 ．
29．如圖，在 △ 與 △ ′ ′ ′中，點 、 ′分別在邊 、 ′ ′上，且 △ ∽△ ′ ′ ′，若___________，
則 △ ∽△ =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ① ② =
′
．請從 ； ；③∠ = ∠ ′ ′ ′這三個選項中選擇一個作為 ′ ′ ′ ′
條件（寫序號），并加以證明．
【答案】見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．
根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．
′ ′
【詳解】解：若選① = ， ′ ′
證明：∵ △ ∽△ ′ ′ ′，

∴∠ = ∠ ′ ′ ′， = ， ′ ′ ′ ′
∴∠ = ∠ ′ ′ ′，
∵ =
′ ′
，
′ ′

∴ = ，
′ ′ ′ ′

∴ = ，
′ ′ ′ ′
又∠ = ∠ ′ ′ ′，
∴ △ ∽△ ′ ′ ′．
= ′②
′
選擇 ，不能證明 △ ∽△ ′ ′ ′． ′ ′
若選③∠ = ∠ ′ ′ ′，
證明：∵ △ ∽△ ′ ′ ′，
∴∠ = ∠ ′ ′ ′，
∴∠ = ∠ ′ ′ ′，
又∵∠ = ∠ ′ ′ ′，
∴ △ ∽△ ′ ′ ′．
30．已知：△ 中，∠ = 36°， = ，用尺規(guī)求作一條過點 B 的直線，使得截出的一個三角形與 △
相似并證明．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見詳解
【分析】作∠ABC 的角平分線，交 AC 于點 D，再根據(jù)兩角對應相等即可．
【詳解】解：如圖，直線 BD 即為所求．
證明：∵∠ = 36°， = ，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠BCD=36°，
∴∠BCD=∠A，
∵∠C=∠A，
∴ △ △
【點睛】本題主要考查了角平分線的作法，以及三角形相似的判定，解題的關(guān)鍵是三角形相似的判定．
31．如圖， △ 中，點 D 是邊 AB 上一點，點 E 為 △ 外一點， ∥ ，連接 BE．從下列條件中：
∠ = ∠ ① ；② = ．選擇一個作為添加的條件，求證： △ ∽△ ．
【答案】見解析
【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．可添加∠ = ∠ 根據(jù)有

兩組角對應相等的兩個三角形相似來判定；或添加 = 利用兩組對應邊的比相等且相應的夾角相等
的兩個三角形相似來判定其相似．
【詳解】證明：選擇①
∵ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴ △ ∽△ ．
或選擇②
∵ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ △ ∽△ ．
32．如圖，點 D、E 為 △ 外兩點，給出下列信息：①∠ = ∠ ；②∠ = ∠ ；
③∠ = ∠ ．
請從上述三條信息中選擇兩條作為補充條件，余下的一條作為結(jié)論組成一個真命題，并說明理由．你
選擇的補充條件是______，結(jié)論是______．（填寫序號）
【答案】見詳解
【分析】分別將條件進行組合，判斷是否為真命題，再根據(jù)三角形相似的判定方法證明即可．
【詳解】（1）條件：①②，結(jié)論③；
（2）條件：①③，結(jié)論②；
（3）條件：②③，結(jié)論①；
以上三個命題均是真命題．
選擇（1）進行證明，
證明： ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽ △ ，
∴ =

，
∴ = ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽ △ ，
∴ ∠ = ∠ ．
【點睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相似的判定方法是解題的關(guān)鍵．
33．如圖，在 △ 中， > ，點 D 在 邊上（點 D 不與 A，C 重合）．若再增加一個條件能使
△ ∽△ ，則這個條件是______；結(jié)合你所添加的條件，證明 △ ∽△ ．
【答案】∠ = ∠ （答案不唯一），見解析
【分析】本題考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解．
【詳解】解：∠ = ∠ （答案不唯一）
證明：在 △ 和 △ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠
∴ △ ∽△ ．（有兩角對應相等的兩個三角形相似）

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