資源簡介

27.3 位似
【考點 1 位似圖形的識別】
【考點 2 求兩個位似圖形的相似比】
【考點 3 在坐標系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比】
【考點 4 位似圖形的點坐標】
【考點 5 判定位似中心】
【考點 6 畫已知圖形放大或縮小 n 倍后的位似圖形】
知識點 1 位似圖形的概念
如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形
叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．
【考點 1 位似圖形的識別】
【典例 1】下圖所示的四種畫法中，能使得 △ 與 △ 是位似圖形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【變式 1-1】下列各選項的兩個圖形中，是位似圖形的有幾個（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【變式 1-2】下列圖形中，不是位似圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【變式 1-3】下列每組的兩個圖形中，不是位似圖形的是（ ）
A． B． C． D．
知識點 2 位似圖形的性質
（1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；　
（2) 位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；
（3）位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.
注意：
（1）位似圖形與相似圖形的區別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未
必能構成位似圖形.
（2）位似變換中對應點的坐標變化規律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相
似比為 k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于 k或-k.
【考點 2 求兩個位似圖形的相似比】
【典例 2】如圖， △ 與 △ 位似，點 O 為位似中心，已知 : = 1:2，則 : = ．
【變式 2-1】如圖，將 △ 以點 O 為位似中心放大后得到 △ ′ ′，若 ′ = 2 ，則 △ 與 △ ′ ′
的相似比為（ ）
A．1:2 B．1:3 C．2:1 D．2:3
【變式 2-2】如圖，△ 與 △ 是以點O為位似中心的位似圖形， : = 2:3，若 = 8，則 的
長為（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【變式 2-3】如圖， △ 與 △ 位似，點 O 為位似中心，若 : = 1:3，則 : = ．
【考點 3 在坐標系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比】
【典例3】如圖，△ 和 △ 1 1 1是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段 1上，若 : 1 = 1:2，
則 △ 和 △ 1 1 1的面積之比為（ ）
A．1:4 B．4:1 C．1:9 D．9:1
【變式 3-1】如圖，在平面直角坐標系中， △ 和 △ 是以原點 O 為位似中心的位似圖形．若
= 2 ， △ 的周長為 3，則 △ 的周長為 ．
【變式 3-2】如圖，△ 和 △ 是以點 為位似中心的位似圖形．若 : = 2:3，則 △ 與 △
的面積比是 ．
【變式 3-3】如圖，以點 O 為位似中心，將 △ 放大后得到 △ ，若 = 3， = 5，則 △ 與 △
的面積比為（ ）
A．3:5 B．3:8 C．9:64 D．9:25
【考點 4 位似圖形的點坐標】
【典例 3】如圖，在平面直角坐標系中，△ 與 △ 的位似比是2:1，若點 ( 3,2)， ( 2, 2)，則
點 的對應點 的坐標為（ ）
A．( 1, 1) B．( 4, 4)
C．( 1, 1)或(1,1) D．( 4, 4)或( 1, 1)
【變式 3-1】如圖，在平面直角坐標系中， △ 與 △ 是以點 為位似中心的位似圖形，若
: = 1:2，點 的坐標是(5,4)，則點 的橫坐標是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式 3-2】如圖，△ 中， 、 兩個頂點在 軸的上方，點 的坐標是(1,0)，以點 為位似中心，在
軸的下方作 △ 的位似圖形 △ ′ ′ ，若 △ 與 △ ′ ′ 的位似比是1:2，設點 的橫坐標是3，則
點 的對應點 ′的橫坐標是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【變式 3-3】如圖，在平面直角坐標系中，△ 與 △ 是以原點 O 為位似中心的位似圖形，位似比
是1:3，若點 B 的坐標為(3,1)，則點 E 的坐標是 ．
知識點 3 作位似圖形的步驟
　第一步：在原圖上找若干個關鍵點，并任取一點作為位似中心；
　第二步：作位似中心與各關鍵點連線；
　第三步：在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；
　第四步：順次連接各對應點.
注意：
位似中心可以取在多邊形外、多邊形內，或多邊形的一邊上、或頂點，下面是位似中心不同的畫法.
【考點 5 判定位似中心】
【典例 4】如圖，在正方形網格圖中， △ 與 △ ′ ′ ′是位似圖形，則位似中心是（ ）
A．點 R B．點 P C．點 Q D．點 O
【變式 4-1】如圖，正方形網格圖中的 △ 與 △ ′ ′ ′位似，則位似中心是（ ）
A．點 D B．點 E C．點 F D．點 G
【變式 4-2】如圖，點 是等邊三角形 的中心， ′、 ′、 ′分別是 、 、 的中點，則 △ ′ ′ ′
與 △ 是位似三角形，此時 △ ′ ′ ′與 △ 的位似比、位似中心分別是（ ）
1 1
A．2、點 B．2、點 C．2、點 D．2、點
【變式 4-3】如圖，在平面直角坐標系中， △ 的頂點坐標分別為 (0,1)， (3,0)， (2,2)，（每個方
格的邊長均為 1 個單位長度）．
(1)作 △ 關于 y 軸的軸對稱圖形 △ 2 2，請在平面直角坐標系中畫出 △ 2 2，并填寫 2， 2的
坐標．點 2的坐標為（______，______）；點 2的坐標為（______，______）．
(2) △ 1 1 1的頂點坐標分別為 1(0,3)， 1(6,1)， 1(4,5)，若 △ 與 △ 1 1 1是位似圖形，則位似
中心的坐標為（______，______）
【考點 6 畫已知圖形放大或縮小 n 倍后的位似圖形】
【典例 5】如圖，在平面直角坐標系中，已知 △ 三個頂點的坐標分別為 (0,2)， ( 2,4)， ( 1,6)．
(1)畫出 △ 繞點 順時針旋轉90°后得到的 △ 1 1 1；
(2)在網格內以點 1為位似中心，畫 △ 2 1 2使它與 △ 1 1 1的位似比為2:1．
【變式 5-1】如圖，在6 × 8網格圖中，每個小正方形邊長均為 1，點 O 和 △ 的頂點均在小正方形的
頂點．
(1)以 O 為位似中心，在網格圖中作 △ ′ ′ ′和 △ 位似，且位似比為1:2；
(2)連接（1）中的 ′，求四邊形 ′ ′ 的周長．（結果保留根號）
【變式 5-2】在如圖所示的平面直角坐標系中，△ 的頂點都在格點上，以原點 O 為位似中心，將 △
放大到 2 倍得到 △ ．
(1)在現有網格圖中畫出 △ ；
(2)記線段 的中點為 M，求放大后點 的對應點的坐標．
【變式 5-3】如圖，已知 △ ，以點 O 為位似中心畫一個 △ ，使它和 △ 位似，且位似比為
2．
1．如圖， △ 與 △ 1 1是以原點為位似中心的位似圖形，且位似比為1:3，點 B 的坐標為( 1,2)，則
點 1的坐標為（ ）
A．(2, 4) B．( 2,4) C．(3, 6) D．( 3,6)
1
2．如圖，在平面直角坐標系中，已知點 ( 3,6)、 ( 9, 3)，以原點 O 為位似中心，相似比為3，把 △
縮小，則點 A 的對應點 ′的坐標為（ ）
A．( 9,18) B．( 9,18)或(9, 18)
C．(1, 2) D．( 1,2)或(1, 2)
3．如圖，在平面直角坐標中，正方形 與正方形 是以原點 O 為位似中心的位似圖形，且相似比為
1
3，點 A， B ， E 在 x 軸上，若正方形 的邊長為 12， 則 C 點坐標為（ ）
A．(4，4) B．(5，4) C．(6，4) D．(8，4)
4．如圖所示，矩形 與矩形 ′ ′ ′是位似圖形，點 是位似中心，矩形 的周長是24， ′ = 4，
′ = 2，則 和 的長分別是（ ）
A．4，2 B．8，4 C．6，6 D．10，2
5．如圖，在直角坐標系中，矩形 的頂點 在坐標原點，邊 在 軸上， 在 軸上，如果矩形 ′ ′ ′
與矩形 1關于點 位似，且相似比為2，那么點 ′的坐標是（ ）
A．( 2,3)或(3, 2)B．(2, 3) C．( 2,3) D．( 2,3)或(2, 3)
6．如圖， △ 和 △ 是以點 O 為位似中心的位似圖形．若 △ 和 △ 的周長之比為1:3，則
: = ．
7．如圖，將 △ 以坐標原點 O 為位似中心放大，得到 △ ，已知 (1,2)、 (3,0)、 (4,0)，則點 C 的
坐標為 ．
8．如圖，已知 △ 和 △ ′ ′ 是以點 ( 1,0)為位似中心，位似比為1:2的位似圖形，若點 的對應點 ′的
橫坐標為 ，則點 的橫坐標為 ．
9．如圖， △ 和 △ ′ ′ 是以點 為位似中心的位似圖形，且 △ ′ ′ 和 △ 的面積之比為1:4，點 的
坐標為(1,0)，若點 的對應點 ′的橫坐標為 2，則點 的橫坐標為 ．
10．在平面直角坐標系中， △ 的頂點坐標分別為 (0,2)、 (1,3)、 (2,1)．
(1)畫出與 △ 關于 x 軸對稱的 △ 1 1 1；
(2)以原點 O 為位似中心，在第三象限內畫一個 △ 2 2 2，使它與 △ 的相似比為2:1，并寫出點 2
的坐標．27.3 位似
【考點 1 位似圖形的識別】
【考點 2 求兩個位似圖形的相似比】
【考點 3 在坐標系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比】
【考點 4 位似圖形的點坐標】
【考點 5 判定位似中心】
【考點 6 畫已知圖形放大或縮小 n 倍后的位似圖形】
知識點 1 位似圖形的概念
如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形
叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．
【考點 1 位似圖形的識別】
【典例 1】下圖所示的四種畫法中，能使得 △ 與 △ 是位似圖形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】本題考查位似圖形，根據“兩個相似圖形的對應點的連線相交于一點，而且對應邊互相平行或位
于同一條直線上，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，”進行判斷即可．
【詳解】解：圖①對應點的連線相交于點 A，對應邊 ∥ ，對應邊 與 在同一條直線上， 與
在同一條直線上，是位似圖形；
圖②，對應邊 ∥ ， ∥ ，對應邊 和 在同一條直線上，對應點的連線交于一點（ 的延長線
于 的交點），是位似圖形；
圖③，對應點的連線交于點 O，對應邊 ∥ ， ∥ ， ∥ ，是位似圖形；
圖④，對應點法連線交于點 O，對應邊 ∥ ， ∥ ， ∥ ，是位似圖形，
故選：A．
【變式 1-1】下列各選項的兩個圖形中，是位似圖形的有幾個（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【分析】根據位似圖形的定義判斷即可.
【詳解】因為兩個位似圖形的對應點的連線所在的直線經過同一點，所以 A，B，D 中的兩個圖形是位似
圖形，C 中的兩個圖形不是位似圖形.
故選 B.
【點睛】本題考查了位似圖形的的定義，對應邊互相平行（或共線）且每對對應頂點所在的直線都經過
同一點的兩個相似多邊形叫做位似圖形.
【變式 1-2】下列圖形中，不是位似圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對應頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形．
【詳解】解：根據位似圖形的概念，A、B、C 三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形；
D 中的兩個圖形不符合位似圖形的概念，兩個三角形不相似，故不是位似圖形．
故選 D．
【點睛】此題主要考查了位似圖形，注意位似與相似既有聯系又有區別，相似僅要求兩個圖形形狀完全
相同；而位似是在相似的基礎上要求對應點的連線相交于一點．
【變式 1-3】下列每組的兩個圖形中，不是位似圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據位似圖形的概念對各選項逐一判斷，即可得出答案．
【詳解】對應頂點的連線相交于一點的兩個相似多邊形叫位似圖形．
據此可得 A、C、D 三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形；
而 B 的對應頂點的連線不能相交于一點，故不是位似圖形．
故選 B．
【點睛】此題考查位似變換，解題關鍵在于掌握位似與相似既有聯系又有區別，相似僅要求兩個圖形形
狀完全相同；而位似是在相似的基礎上要求對應點的連線相交于一點．
知識點 2 位似圖形的性質
（1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；　
（2) 位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；
（3）位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.
注意：
（1）位似圖形與相似圖形的區別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未
必能構成位似圖形.
（2）位似變換中對應點的坐標變化規律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相
似比為 k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于 k或-k.
【考點 2 求兩個位似圖形的相似比】
【典例 2】如圖， △ 與 △ 位似，點 O 為位似中心，已知 : = 1:2，則 : = ．
【答案】1:3 1/3
【分析】本題考查位似圖形的性質，根據相似比等于位似比，即可得出結果．
【詳解】解：∵ : = 1:2，
∴ : = 1:3，
∵ △ 與 △ 位似，點 O 為位似中心，
∴ : = : = 1:3；
故答案為：1:3．
【變式 2-1】如圖，將 △ 以點 O 為位似中心放大后得到 △ ′ ′，若 ′ = 2 ，則 △ 與 △ ′
′的相似比為（ ）
A．1:2 B．1:3 C．2:1 D．2:3
【答案】B
【分析】本題主要考查了位似圖形的性質，熟練掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．
根據位似圖形的性質，即可求解．
【詳解】解：∵ △ 以點 O 為位似中心放大后得到 △ ′ ′，
∴ △ ∽△ ′ ′，
∴ △ 與 △ ′ ′的相似比為 : ′ = :( + ′) = :3 = 1:3．
故選：B．
【變式 2-2】如圖，△ 與 △ 是以點O為位似中心的位似圖形， : = 2:3，若 = 8，則 的
長為（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【分析】本題考查了位似圖形的知識，掌握位似比等于相似比是解題的關鍵，根據 : = 2:3可知相似
2
比，根據 = 3，可求出 ，由此即可求解 的值．
【詳解】解：∵ △ 與 △ 關于點 成位似圖形，
∴ △ ∽△ ，
∴ =
2 2
3，即位似比為3，
∴ 2 = 3，且 = 8，
∴ = 3 3×82 = 2 = 12，
∴ = = 12 8 = 4，
故選：D ．
【變式 2-3】如圖， △ 與 △ 位似，點 O 為位似中心，若 : = 1:3，則 : = ．
1
【答案】1:3/3
【分析】本題考查了位似的相關知識，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，位似圖形的對應頂
點的連線平行或共線． △ 與 △ 位似，則 ∥ ， ∥ ，先證明 △ ∽△ ，
: = : ，進一步可求 : = : = 1:3，據此可得答案．
【詳解】解：∵ △ 與 △ 位似，
∴ ∥ ， ∥
∴ △ ∽△ ， : = :
∴ : = :
∵ : = 1:3
∴ : = : = 1:3，
故答案為：1:3
【考點 3 在坐標系中求兩個位似圖形的相似比、周長比或面積比】
【典例3】如圖，△ 和 △ 1 1 1是以點O為位似中心的位似圖形，點A在線段 1上，若 : 1 = 1:2，
則 △ 和 △ 1 1 1的面積之比為（ ）
A．1:4 B．4:1 C．1:9 D．9:1
【答案】C
【分析】本題考查位似圖形的性質，位似圖形肯定是相似圖形，位似比等于相似比，相似圖形的面積比
等于相似比的平方，由此可解．
【詳解】解： ∵ : 1 = 1:2，
∴ : 1 = 1:3，
∴ △ 和 △ 1 1 1的相似比為1:3，
∴ △ 和 △ 1 1 1的面積之比為1
2:32 = 1:9，
故選 C．
【變式 3-1】如圖，在平面直角坐標系中， △ 和 △ 是以原點 O 為位似中心的位似圖形．若
= 2 ， △ 的周長為 3，則 △ 的周長為 ．
【答案】6
【分析】本題考查坐標與位似．根據位似比等于相似比，周長比等于相似比，即可得出結果．
【詳解】解：∵ △ 和 △ 是以原點 O 為位似中心的位似圖形， = 2 ，
∴ △ 和 △ 的相似比為：2:1，
∴ △ 和 △ 的周長比為：2:1，
∵ △ 的周長為 3，
∴ △ 的周長為 6；
故答案為：6．
【變式 3-2】如圖，△ 和 △ 是以點 為位似中心的位似圖形．若 : = 2:3，則 △ 與 △
的面積比是 ．
4
【答案】25
【分析】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解
題的關鍵．根據位似圖形的概念得到 △ ∽△ ， ∥ ，證明 △ ∽△ ，根據相似三角

形的性質求出 ，再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．
【詳解】解： ∵ : = 2:3，
∴ : = 2:5，
∵△ 和 △ 是以點 為位似中心的位似圖形，
∴△ ∽△ ， ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = =
2
5，
2
∴△ 與 △ 2 4的面積比為：( 5 ) = 25，
4
故答案為：25
【變式 3-3】如圖，以點 O 為位似中心，將 △ 放大后得到 △ ，若 = 3， = 5，則 △
與 △ 的面積比為（ ）
A．3:5 B．3:8 C．9:64 D．9:25
【答案】C
【分析】本題考查了位似變換：位似的兩圖形兩個圖形必須是相似形；對應點的連線都經過同一點；對
應邊平行（或共線）．
利用位似性質得到 △ ∽△ ，然后根據相似三角形的性質求解．
【詳解】解： ∵ 以點 為位似中心，將 △ 放大后得到 △ ，
∴△ ∽△ ，

∴ Δ
2
= = 3
2 9
( ) ( ) =Δ 3+5 64．
即 △ 與 △ 的面積比為9:64．
故選：C．
【考點 4 位似圖形的點坐標】
【典例 3】如圖，在平面直角坐標系中，△ 與 △ 的位似比是2:1，若點 ( 3,2)， ( 2, 2)，則
點 的對應點 的坐標為（ ）
A．( 1, 1) B．( 4, 4)
C．( 1, 1)或(1,1) D．( 4, 4)或( 1, 1)
【答案】C
【分析】本題考查了位似變換，坐標與圖形性質，解題的關鍵是掌握相關知識的靈活運用，需要分類進
行討論．
【詳解】解： ∵△ 與 △ 的位似比是2:1，
當點 在第三象限時， ( 1, 1)，
當點 在第一象限時， (1,1)，
故點 的坐標為( 1, 1)或(1,1)，
故選：C．
【變式 3-1】如圖，在平面直角坐標系中， △ 與 △ 是以點 為位似中心的位似圖形，若
: = 1:2，點 的坐標是(5,4)，則點 的橫坐標是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本題主要考查了位似變換的性質，正確理解位似與相似的關系，記憶關于原點位似的兩個圖形
對應點坐標之間的關系是解題的關鍵．根據 △ 與 △ 以原點為位似中心，相似比是 ，△ 上
一點的坐標是( , )，則在 △ 中，它的對應點的坐標是( , )或( , )，進而求出點 的橫坐標
即可．
【詳解】解： ∵ △ 與 △ 是以原點 O 為位似中心的位似圖形，
∴△ ∽△ ，
∵ =
1
2，
∴ △ 與 △ 位似比為1:2，
∵ 點 的坐標是(5,4)，點 E 在第一象限，
∴ 點 E 的坐標是(2 × 5,2 × 4)，即 (10,8)，
∴點 的橫坐標是 10．
故選：D．
【變式 3-2】如圖，△ 中， 、 兩個頂點在 軸的上方，點 的坐標是(1,0)，以點 為位似中心，在
軸的下方作 △ 的位似圖形 △ ′ ′ ，若 △ 與 △ ′ ′ 的位似比是1:2，設點 的橫坐標是3，則
點 的對應點 ′的橫坐標是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】B
【分析】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質，過點 作 ⊥ 軸于點 ， ′ ⊥ 軸于點


，根據相似三角形的性質得到 = = =
1
，利用相似比即可求解，
′ ′ 2
正確作出輔助線，靈活運用相似三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】過點 作 ⊥ 軸于點 ， ′ ⊥ 軸于點 ，
則 ∥ ′ ，
∴ △ ∽△ ′ ，
∴
1
= = = ， ′ ′ 2
∵點 的坐標是(1,0)，
∴ = 1，
∵點 的橫坐標是3，
∴ = 3 1 = 2，
∴ = 2 = 2 × 2 = 4，
∴ = 4 1 = 3，
∴點 ′的橫坐標是 3，
故選：B．
【變式 3-3】如圖，在平面直角坐標系中，△ 與 △ 是以原點 O 為位似中心的位似圖形，位似比
是1:3，若點 B 的坐標為(3,1)，則點 E 的坐標是 ．
【答案】(9,3)
【分析】本題主要考查了位似變換的性質，正確理解位似與相似的關系，記憶關于原點位似的兩個圖形
對應點坐標之間的關系是解題的關鍵．根據 △ 與 △ 以原點為位似中心，相似比是 ，△ 上
一點的坐標是( , )，則在 △ 中，它的對應點的坐標是( , )或( , )，進而求出坐標即可．
【詳解】解： ∵ △ 與 △ 是以原點 O 為位似中心的位似圖形，位似比是1:3，
∴ ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = 3 = 1 = 3，
∵ 點 B 的坐標為(3,1)，點 E 在第一象限，
∴ 點 E 的坐標是(9,3)，
故答案為：(9,3)．
知識點 3 作位似圖形的步驟
　第一步：在原圖上找若干個關鍵點，并任取一點作為位似中心；
　第二步：作位似中心與各關鍵點連線；
　第三步：在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；
　第四步：順次連接各對應點.
注意：
位似中心可以取在多邊形外、多邊形內，或多邊形的一邊上、或頂點，下面是位似中心不同的畫法.
【考點 5 判定位似中心】
【典例 4】如圖，在正方形網格圖中， △ 與 △ ′ ′ ′是位似圖形，則位似中心是（ ）
A．點 R B．點 P C．點 Q D．點 O
【答案】D
【分析】本題考查確定位似中心，理解位似圖形的概念是解題的關鍵．
根據位似圖形的概念，連接對應點，交點即是位似中心．
【詳解】連接 ′， ′，交于點 ，
∴點 是位似中心，
故答案為：D．
【變式 4-1】如圖，正方形網格圖中的 △ 與 △ ′ ′ ′位似，則位似中心是（ ）
A．點 D B．點 E C．點 F D．點 G
【答案】A
【分析】本題考查了位似中心的確定，位似對應點連線的交點即為位似中心即可．
【詳解】根據題意，得位似中心為點 D，
故選 A．
【變式 4-2】如圖，點 是等邊三角形 的中心， ′、 ′、 ′分別是 、 、 的中點，則 △ ′ ′ ′
與 △ 是位似三角形，此時 △ ′ ′ ′與 △ 的位似比、位似中心分別是（ ）
1 1
A．2、點 B．2、點 C．2、點 D．2、點
【答案】D
1
【分析】根據三角形中位線定理得到 ′ ′ = 2 ，根據位似三角形的定義、位似中心的定義解答．
【詳解】 ∵ 點 是等邊三角形 的中心， ′、 ′、 ′分別是 、 、 的中點，
∴ 1各對應點的連線交于點 ， ′ ′ = 2
∴ 位似中心是點 ，
∵ △ ′ ′ ′與 △ 是位似三角形，位似中心到兩個對應點的距離之比叫做位似比，
∴ △
′ ′ 1
′ ′ ′與 △ 位似比是 = 2
故選：D．
【點睛】本題考查的是位似變換，掌握位似中心的定義、相似三角形的性質是解題的關鍵．
【變式 4-3】如圖，在平面直角坐標系中， △ 的頂點坐標分別為 (0,1)， (3,0)， (2,2)，（每個方
格的邊長均為 1 個單位長度）．
(1)作 △ 關于 y 軸的軸對稱圖形 △ 2 2，請在平面直角坐標系中畫出 △ 2 2，并填寫 2， 2的
坐標．點 2的坐標為（______，______）；點 2的坐標為（______，______）．
(2) △ 1 1 1的頂點坐標分別為 1(0,3)， 1(6,1)， 1(4,5)，若 △ 與 △ 1 1 1是位似圖形，則位似
中心的坐標為（______，______）
【答案】(1) 3；0； 2；2
(2)0； 1
【分析】本題考查作圖 軸對稱變換、位似變換；
（1）根據軸對稱的性質作圖，即可得出答案．
（2）連接 1， 1， 1，相交于點 ，則點 即為位似中心，即可得出答案．
【詳解】（1）如圖， △ 2 2即為所求．
點 2的坐標為( 3,0)，點 2的坐標為( 2,2)．
故答案為： 3；0； 2；2．
（2）如圖，作射線 1 ， 1 ， 1 ，相交于點 ，
則點 為 △ 與 △ 1 1 1的位似中心，
∴ 點 的坐標為(0, 1)．
故答案為：0； 1．
【考點 6 畫已知圖形放大或縮小 n 倍后的位似圖形】
【典例 5】如圖，在平面直角坐標系中，已知 △ 三個頂點的坐標分別為 (0,2)， ( 2,4)， ( 1,6)．
(1)畫出 △ 繞點 順時針旋轉90°后得到的 △ 1 1 1；
(2)在網格內以點 1為位似中心，畫 △ 2 1 2使它與 △ 1 1 1的位似比為2:1．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】
本題考查了作圖-位似變換和旋轉變換．
（1）利用網格特點和旋轉的旋轉畫出點 A、B、C 的對應點 1, 1, 1，從而得到 △ 1 1 1；
（2）延長 1 1到 2使 1 2 = 2 1 1，則點 2為點 1的對應點，同樣方法作出 1的對應點 2，從而得到
△ 2 1 2．
【詳解】（1）解： △ 1 1 1，如圖所示，
（2）解： △ 2 1 2如圖所示，
．
【變式 5-1】如圖，在6 × 8網格圖中，每個小正方形邊長均為 1，點 O 和 △ 的頂點均在小正方形的
頂點．
(1)以 O 為位似中心，在網格圖中作 △ ′ ′ ′和 △ 位似，且位似比為1:2；
(2)連接（1）中的 ′，求四邊形 ′ ′ 的周長．（結果保留根號）
【答案】(1)見解析
(2)6 2 +4
【分析】本題考查作圖-位似變換、勾股定理，
（1）根據位似的性質作圖即可．
（2）利用勾股定理求出 ′ ′和 的長，進而可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖， △ ′ ′ ′即為所求．
（2）解：∵ ′ = 2， ′ ′ = 22 + 22 = 2 2， ′ = 2， = 42 + 42 = 4 2，
∴四邊形 ′ ′ 的周長為2 + 2 2 +2 + 4 2 = 6 2 +4．
【變式 5-2】在如圖所示的平面直角坐標系中，△ 的頂點都在格點上，以原點 O 為位似中心，將 △
放大到 2 倍得到 △ ．
(1)在現有網格圖中畫出 △ ；
(2)記線段 的中點為 M，求放大后點 的對應點的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)點 M 在 △ 上對應點的坐標為(4,3)
【分析】本題主要考查作圖-位似變換、坐標與圖形等知識點，熟練掌握位似的性質是解答本題的關鍵．
（1）先根據位似的性質找到對應點 D、E、F，然后順次連接即可；
（2）由題意可知，先求出 的中點坐標，再求出對應邊 的中點坐標即可．
【詳解】（1）解：如圖： △ 即為所求．
（2）解：由題意得， = ， = ，
∴BC 中點 M 的坐標為(2,1.5)，
∵ △ 放大到 2 倍得到 △ ，
∴點 M 在 △ 上對應點的坐標為(4,3)．
【變式 5-3】如圖，已知 △ ，以點 O 為位似中心畫一個 △ ，使它和 △ 位似，且位似比為
2．
【答案】作圖見解析
【分析】本題主要考查了利用位似作圖，可以根據位似的定義，結合圖形的做法即可解答
【詳解】解：連接 延長到 D，使 = ，連接 延長到 E，使 = ，連接 延長到 F，使
= ， △ 如圖所示：
1．如
圖，△ 與 △ 1 1是以原點為位似中心的位似圖形，且位似比為1:3，點 B 的坐標為( 1,2)，則點 1
的坐標為（ ）
A．(2, 4) B．( 2,4) C．(3, 6) D．( 3,6)
【答案】C
【分析】本題考查了位似的性質和位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，
相似比為 ，那么位似圖形對應點的坐標的比等于 或者 ．根據位似變換的性質，即可解題．
【詳解】解： ∵△ 與 △ 1 1是以原點為位似中心的位似圖形，且位似比為1:3，點 B 的坐標為
( 1,2)，
∵ 點 1在第四象限，
∴ 點 1的坐標為(1 × 3, 2 × 3)即(3, 6)，
故選：C．
1
2．如圖，在平面直角坐標系中，已知點 ( 3,6)、 ( 9, 3)，以原點 O 為位似中心，相似比為3，把 △
縮小，則點 A 的對應點 ′的坐標為（ ）
A．( 9,18) B．( 9,18)或(9, 18)
C．(1, 2) D．( 1,2)或(1, 2)
【答案】D
【分析】本題考查位似變換，利用位似變換是以原點為位似中心，相似比為 k，那么位似圖形對應點的
坐標的比等于 k 或 進行求解．
1
【詳解】解：∵點 ( 3,6)，以原點 O 為位似中心，相似比為3，把 △ 縮小，
∴點 A 的對應點 ′的坐標為( 1,2)或(1, 2)，
故選 D．
3．如圖，在平面直角坐標中，正方形 與正方形 是以原點 O 為位似中心的位似圖形，且相似比為
1
3，點 A， B ， E 在 x 軸上，若正方形 的邊長為 12， 則 C 點坐標為（ ）
A．(4，4) B．(5，4) C．(6，4) D．(8，4)
【答案】C
【分析】本題主要考查了位似變換以及相似三角形的判定與性質，正確得出 的長是解題關鍵．直接利
用位似圖形的性質結合相似比得出 的長，進而得出 △ ∽△ ，進而得出 的長，即可得出答
案．
1
【詳解】解： ∵ 正方形 與正方形 是以原點 為位似中心的位似圖形，且相似比為3，
∴ 1 = 3， ∥ ，
∵ = 12，
∴ = = 4，
∵ ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ 1 = 3，
∴ = 1 4+ 3，
解得： = 2，
∴ = 6，
∴ 點坐標為：(6，4)，
故選：C．
4．如圖所示，矩形 與矩形 ′ ′ ′是位似圖形，點 是位似中心，矩形 的周長是24， ′ = 4，
′ = 2，則 和 的長分別是（ ）
A．4，2 B．8，4 C．6，6 D．10，2
【答案】B
【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據矩形的性質得到 = 12 ，根據位似變換的性質得到
∥ ′ ′, ∥ ′ ′，根據平行線分線段成比例定理列出比例式，代入計算得到答案．熟練掌握位似圖形的
任意一對對應點與位似中心在同一直線上，它們到位似中心的距離之比等于相似比是解答本題的關
鍵．也考查了平行線分線段成比例定理．
【詳解】解：∵矩形 的周長是 24，
∴ + = 12，
∴ = 12 ，
∵ ′ = 4， ′ = 2，
∴ ′ = + 4, ′ = 12 + 2 = 14 ，
∵矩形 與矩形 ′ ′ ′是位似圖形，
∴ ∥ ′ ′, ∥ ′ ′，

∴ = ， = ，
′ ′ ′ ′

∴ = 12 ，即
′ ′ 14
= +4，
解得， = 8，
則 = 12 = 4，
故選：B．
5．如圖，在直角坐標系中，矩形 的頂點 在坐標原點，邊 在 軸上， 在 軸上，如果矩形 ′ ′ ′
1
與矩形 關于點 位似，且相似比為2，那么點 ′的坐標是（ ）
A．( 2,3)或(3, 2)B．(2, 3) C．( 2,3) D．( 2,3)或(2, 3)
【答案】D
【分析】此題考查了位似圖形的性質，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意數形結合思想的應用；
由矩形 ′ ′ ′與矩形
1
關于點 位似，矩形 ′ ′ ′與矩形 的位似比為2，又由點 的坐標為
( 4,6)，即可求得答案．
【詳解】解：矩形 1 ′ ′ ′與矩形 關于點 位似，位似比為2，
∵ 點 的坐標為( 4,6)，
∴ 點 ′的坐標為：( 2,3)或(2, 3)
故選：D．
6．如圖， △ 和 △ 是以點 O 為位似中心的位似圖形．若 △ 和 △ 的周長之比為1:3，則
: = ．
【答案】1:3
【分析】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質．根據位似圖形的概念得到 △ ∽ △ ， ∥ ，
得到 △ ∽ △ ，根據相似三角形的性質得到 =

，根據相似三角形的周長比等于相似比求出
1
= 3，即可求解．
【詳解】解：∵ △ 和 △ 是以點 O 為位似中心的位似圖形，
∴ △ ∽ △ ， ∥ ，
∴ △ ∽ △ ，
∴ = ，
∵ △ 和 △ 的周長之比為1:3，
∴ 1 = 3，
∴ : = 1:3，
故答案為：1:3．
7．如圖，將 △ 以坐標原點 O 為位似中心放大，得到 △ ，已知 (1,2)、 (3,0)、 (4,0)，則點 C 的
坐標為 ．
4 8
【答案】
3 , 3
【分析】此題考查了求位似圖形的對應坐標．注意根據題意求得其位似比是關鍵．
由將 △ 以坐標原點 O 為位似中心擴大到 △ ， (3,0)、 (4,0)，即可求得其位似比，繼而求得答
案．
【詳解】解：∵ (3,0)、 (4,0)，
∴ : = 3:4，
∵將 △ 以坐標原點 O 為位似中心擴大到 △ ，
∴位似比為：3:4，
∵ (1,2)，
∴ 4 8點 C 的坐標為： ，
3 , 3
4 8
故答案為：
3 , ．3
8．如圖，已知 △ 和 △ ′ ′ 是以點 ( 1,0)為位似中心，位似比為1:2的位似圖形，若點 的對應點 ′的
橫坐標為 ，則點 的橫坐標為 ．
+3
【答案】 2
1 1
【分析】本題考查了位似變換的性質、相似三角形的性質，根據相似三角形的性質求出 +1 = 2是解題
的關鍵．
設 點橫坐標為 ，過 作 ⊥ 軸于點 ，過 ′作 ′ ⊥ 軸于點 N，根據平行線分線段成比例定理得到
1 1
= ，根據相似三角形的性質求出 +1 = 2，計算即可． ′
【詳解】設 點橫坐標為 ，如圖，過 作 ⊥ 軸于點 ，過 ′作 ′ ⊥ 軸于點 N
∴ ∥ ′ ，
∴△ ∽△ ′ ，
∴

= ， ′
∵ △ 和 △ ′ ′ 是位似比為1:2的位似圖形，
1 1
即 +1 = 2，
+3
解得 = 2 ，
∴ +3點橫坐標為 2 ．
9．如圖， △ 和 △ ′ ′ 是以點 為位似中心的位似圖形，且 △ ′ ′ 和 △ 的面積之比為1:4，點 的
坐標為(1,0)，若點 的對應點 ′的橫坐標為 2，則點 的橫坐標為 ．
【答案】7

【分析】過點 作 ⊥ 軸于點 ，過點 ′作 ′ ⊥ 軸于點 ，，根據 △ ′ ∽△ 得到 = ，根據 ′

相似三角形的性質求出 = 2，計算即可．
′
【詳解】解：過點 作 ⊥ 軸于點 ，過點 ′作 ′ ⊥ 軸于點 ，
則 ∥ ′ ，
∴ △ ′ ∽△ ，
∴ = ， ′
∵ △ ′ ′ 和 △ 的面積之比為1：4，

∴ = 2，
′
由題意得： = 1 + 2 = 3，
∴ 3 = 2，
解得： = 6，
∴ = 7，即點 的橫坐標為7，
故答案為：7．
10．在平面直角坐標系中， △ 的頂點坐標分別為 (0,2)、 (1,3)、 (2,1)．
(1)畫出與 △ 關于 x 軸對稱的 △ 1 1 1；
(2)以原點 O 為位似中心，在第三象限內畫一個 △ 2 2 2，使它與 △ 的相似比為2:1，并寫出點 2
的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)見解析， 2( 2, 6)
【分析】本題主要考查了位似變換、軸對稱變換，解題的關鍵是注意位似中心及相似比、對稱軸．
（1）根據關于 x 軸對稱的點的坐標得到的坐標 1(0, 2)， 1(1, 3)， 1(2, 1)，然后描點，連接即可；
（2）把 、 、 的坐標都乘以 2得到的坐標 2(0, 4)， 2( 2, 6)， 2( 4, 2)，然后描點，連接即
可；
【詳解】（1）解：如圖， (0,2)、 (1,3)、 (2,1)關于 x 軸對稱的點的坐標得到的坐標 1(0, 2)， 1
(1, 3)， 1(2, 1)，然后描點，連接
∴ △ 1 1 1即為所求；
（2）解： (0,2)、 (1,3)、 (2,1)的坐標都乘以 2得到的坐標 2(0, 4)， 2( 2, 6)， 2( 4, 2)，然
后描點，連接，
∴如圖所示， △ 2 2 2即為所求， 2( 2, 6)．

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