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6.3 向心加速度
第六章 圓周運動
人教版（2019）必修 第二冊
1. 知道勻速圓周運動中向心加速度大小的表達式，理解向心加速度與半徑的關系，并會用來簡單的計算。
2. 了解分析勻速圓周運動速度變化量時用到的極限思想。
3. 能根據問題情景選擇合適的向心加速度的表達式。
學習目標
天宮二號空間實驗室在軌飛行時，可認為它繞地球做勻速圓周運動。盡管線速度大小不變，但方向卻時刻變化，因此，它運動的加速度一定不為 0。那么，該如何確定它在軌飛行時加速度的方向和大小呢？
導入新課
v
v
v
O
Fn
Fn
Fn
an
an
an
物體做勻速圓周運動時，合力提供向心力，合力方向指向圓心。由牛頓第二定律知，知道了合外力就可以推出加速度，那么物體的加速度應該也指向圓心。
做勻速圓周運動的物體加速度指向圓心，這個加速度稱為向心加速度。
新課入
一、勻速圓周運動的加速度方向
討論
做勻速圓周運動的物體，其加速度方向是怎樣的？說出你的看法與依據。
1.定義：
4.物理意義：
3.方向：
5.勻速圓周運動的性質：
2.產生：
符號：an
小結
加速度大小不變，方向時刻改變，是變加速運動。
描述速度變化的快慢。
與速度垂直，始終指向圓心（方向不斷變化）。
由向心力產生
做勻速圓周運動的物體加速度指向圓心，這個加速度稱為向心加速度。
由向心力的表達式，你能推導出向心加速度表達式嗎？
適用范圍：
依據：
根據牛頓第二定律 F ＝ ma，得
由向心力公式： 或
或
二、勻速圓周運動的加速度大小
討論
牛頓第二定律
向心加速度的公式適用于任何圓周運動。
從公式 看，an與r 成反比;從公式 看，an與r 成正比,那么，an與半徑r究竟成正比還是成反比
討論
分析歸納：
an= ω2 r
角速度一定時，向心加速度與半徑成正比。
線速度一定時，向心加速度與半徑成反比。
例題　在長為L的細繩下端拴一個質量為m的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內做圓周運動，細繩就繞圓錐面旋轉，這樣就成了一個圓錐擺。
細繩與豎直方向成θ角，求小球做勻速圓周運動的向心加速度大小為多少？
通過計算說明：要增大夾角θ，應該增大小球運動的角速度ω。
O′
O
mg
FT
F
θ
L
R
O′
O
mg
FT
F
θ
L
小球做圓周運動的半徑
R = Lsin θ ②
R
解：小球的向心力由 FT 和 G 的合力提供
Fn = F = mgtan θ
m
an
Fn
①
把向心加速度公式的半徑 an Rω2和②代入①式，可得
θ
lω2
小結：處理勻速圓周運動的思路和步驟
1.思路：與牛頓運動定律在直線運動中的應用相同
man
受力情況
運動情況
G
FN
Ff
…
v
ω
T
n
…
F合
橋梁
2.解題步驟
⑴ 明確研究對象
⑵ 運動分析——確定軌道面、圓心、半徑
⑶ 受力分析——明確向心力的來源
⑷ 利用牛頓第二定律列方程。
1、關于向心加速度的說法正確的是 ( )
A.向心加速度越大，物體速率變化越快
B.向心加速度的大小與軌道半徑成反比
C.向心加速度的方向始終與速度方向垂直
D.在勻速圓周運動中向心加速度是恒量
C
課堂評價
2.(多選)如圖所示，皮帶傳動裝置中，右邊兩輪連在一起共軸轉動，圖中三輪半徑分別為r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點為三個輪邊緣上的點，向心加速度大小分別為a1、a2、a3，皮帶不打滑，則下列比例關系正確的是 ( )
BD
思考：a1:a2:a3=？
3.（多選）一小球質量為m，用長為L的懸繩（不可伸長，質量不計）固定于O點，在O點正下方0.5L處釘有一顆釘子，如圖所示，將懸線沿水平方向拉直無初速度釋放后，當懸線碰到釘子后的瞬間 ( )
A.小球的線速度沒有變化
B.小球的角速度沒有變化
C.小球的向心加速度突然增大到原來的2倍
D.以上都不對
【解析】 當懸線碰到釘子后的瞬間，小球水平方向不受力，則由于慣性，小球的線速度沒有變化；
根據ω =v/L小球的轉動半徑減小，則角速度變大；
根據a=v2/r小球的轉動半徑變為原來的一半，則向心加速度突然增大到原來的2倍。
AC
1. v、r
2. ω、r
3. v、ω
4. T、r
5. n、r
特別地，針對勻速圓周運動。
請分別用下列各量表示向心加速度。
【鞏固提升】
討論
小結
變速圓周運動
O
Fn
Ft
F合
v
結論: 做勻速圓周運動物體的加速度時刻指向圓心。
做變速圓周運動的物體除了有向心加速度外，還有切向加速度。
三、一般圓周運動的加速度
同一個圓周運動，
an 描述速度方向變化快慢;
at 描述速度大小變化快慢。
處理方法：
O
A
B
vA
vB
Δv
Δv
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
Δt趨于0時，Δv指向圓心，此時加速度a也指向圓心
設質點沿半徑為 r 的圓做勻速圓周運動，某時刻位于 A 點，速度為 vA ，經過時間 Δt 后位于 B 點，速度為 vB ，畫出Δv的方向。
Δv逐漸趨向于平行OA
拓展學習：推導向心加速度公式
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
vA、vB、Δv 組成的三角形與 ΔABO 相似
當Δt 很小時，AB = AB = Δl
Δθ
Δθ
推導：
1.定義：勻速圓周運動的加速度
2.意義：描述速度方向變化的快慢
3.大小：
4.方向：始終指向圓心(時刻改變)
勻速圓周運動是變加速運動
向心加速度
an
v2
r
或者 an rω2
新課入
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