資源簡介

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專題34 等比數列及其前n項和（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 6
【考點1】等比數列基本量的運算 6
【考點2】等比數列的判定與證明 9
【考點3】等比數列的性質及應用 14
【分層檢測】 18
【基礎篇】 18
【能力篇】 24
【培優篇】 27
考試要求：
1.理解等比數列的概念.
2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.
3.了解等比數列與指數函數的關系．
1.等比數列的概念
(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).
數學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數).
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.此時G2＝ab.
2.等比數列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3.等比數列的性質
已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm.
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn.
1.若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則數列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比數列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.
3.在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤.
4.三個數成等比數列，通常設為，x，xq；四個符號相同的數成等比數列，通常設為，，xq，xq3.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
3．（2022·全國·高考真題）已知等比數列的前3項和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
二、填空題
4．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前項和．若，則的公比為 ．
5．（2023·全國·高考真題）已知為等比數列，，，則 .
三、解答題
6．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
參考答案：
題號 1 2 3
答案 C C D
1．C
【分析】根據題意列出關于的方程,計算出,即可求出.
【詳解】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
2．C
【分析】方法一：根據等比數列的前n項和公式求出公比，再根據的關系即可解出；
方法二：根據等比數列的前n項和的性質求解．
【詳解】方法一：設等比數列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設等比數列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數列，
所以有，，解得：或，
當時，，即為，
易知，，即；
當時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點睛】本題主要考查等比數列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．
3．D
【分析】設等比數列的公比為，易得，根據題意求出首項與公比，再根據等比數列的通項即可得解.
【詳解】解：設等比數列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
4．
【分析】先分析，再由等比數列的前項和公式和平方差公式化簡即可求出公比.
【詳解】若，
則由得，則，不合題意.
所以.
當時，因為，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案為：
5．
【分析】根據等比數列公式對化簡得，聯立求出，最后得.
【詳解】設的公比為，則，顯然，
則，即，則，因為，則，
則，則，則，
故答案為：.
6．(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項后可求通項；
（2）利用分組求和法即可求.
【詳解】（1）因為,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
所以數列的前n項和
.
【考點1】等比數列基本量的運算
一、單選題
1．（2024·河南·三模）設為數列的前項和，若，則（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三個數成等比數列，則（ ）
A．5 B．1 C． D．或1
二、多選題
3．（2024·江西新余·模擬預測）若，成等差數列，成等比數列，則題中等比數列的公比可以是：（ ）.
A． B． C． D．
4．（2024·云南·模擬預測）設是首項為，公差為的等差數列；是首項為，公比為的等比數列．已知數列的前項和，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·廣東茂名·一模）有一座六層高的商場，若每層所開燈的數量都是下面一層的兩倍，一共開了1890盞，則底層所開燈的數量為 盞.
6．（2024·上海·三模）數列滿足（為正整數），且與的等差中項是5，則首項
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B D BCD BC
1．B
【分析】根據的關系可得遞推公式，利用遞推公式可得.
【詳解】當時，，所以，
整理得，所以.
故選：B．
2．D
【分析】根據三個數成等比數列，列式計算，即可得答案.
【詳解】由題意知，，a，b，c三個數成等比數列，
則，故，
故選：D
3．BCD
【分析】設公比為，根據等差數列和等比數列可得，運算求解即可.
【詳解】因為成等比數列，設其公比為，則，
又因為成等差數列，則，
可得，則，
整理可得，解得或或，
結合選項可知：A錯誤，BCD正確，
故選：BCD.
4．BC
【分析】根據分組求和，利用等差數列、等比數列求和公式用、、、表示出，再結合，由系數對應相等分別求出、、、，選出答案.
【詳解】當時，，不合題意；
當時，，
，，，，，，
所以，
故選：BC．
5．30
【分析】根據給定條件，構造等比數列，再利用等比數列列n項和公式計算即得.
【詳解】依題意，從下往上每層燈的數據構成等比數列，公比，，前6項和，
于是，解得，
所以底層所開燈的數量為30盞.
故答案為：30
6．1
【分析】根據已知條件，結合等差數列、等比數列的性質，即可求解．
【詳解】數列滿足為正整數），則數列為等比數列，
不妨設其公比為，則，
因為與的等差中項是5，
所以，即，解得．
故答案為：1．
反思提升：
1.等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.
2.等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.
【考點2】等比數列的判定與證明
一、解答題
1．（2024·四川瀘州·二模）已知數列的前n項和為，．
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求．
2．（2024·內蒙古鄂爾多斯·二模）已知為數列的前項和，若.
(1)求證：數列為等比數列；
(2)令，若，求滿足條件的最大整數.
3．（2024·青海海南·一模）記等差數列的前項和為，是正項等比數列，且．
(1)求和的通項公式；
(2)證明是等比數列．
4．（2024·新疆喀什·三模）已知數列的首項，且滿足（）．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)記，求數列的前項和，并證明．
5．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列為等比數列；
(2)若，求數列的前項和．
6．（2024·遼寧·模擬預測）已知數列的前項和為，且．
(1)證明：是等比數列，并求其通項公式；
(2)設，求數列的前100項和．
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關系式，結合等比數列的定義與通項公式即可得解；
（2）利用等差數列的通項公式即可得解.
【詳解】（1）因為，
當時，，所以，
當時，，
所以，整理得，
所以數列是以3為首項，公比為3的等比數列，
所以數列的通項公式為;
（2）因為，
由題意得：，即，
所以.
2．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用與的關系式可得，即，即可得證.
（2）由（1）可得，則，設，根據等比數列的前項和公式可得，令，結合，即可求解.
【詳解】（1）證明：由可得，
當時，，解得，
當時，，即，
則
，即，
即，即，
又，
所以數列是首項為6，公比為2的等比數列.
（2）由（1）得，則，
設，
則
令，得，
即，即，
又，，，
所以滿足條件的最大整數為為5.
3．(1)；
(2)證明見解析
【分析】（1）先設等差數列的公差為，正項等比數列的公比為，然后根據已知條件列出關于公差和公比的方程組，解出公差和公比的值，即可計算出數列和的通項公式；
（2）利用等比數列定義證明即可.
【詳解】（1）由題意，設等差數列的公差為，
則，解得，
則；
設正項等比數列的公比為，則，，
由題意，可得，解得或（舍去），
故.
（2）令，則，
故是以為首項,公比為的等比數列.
4．(1)證明見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）由等比數列的定義即可求證，
（2）由裂項相消法求和，即可求解,根據單調性，即可求證.
【詳解】（1）由得，
又，所以是首項為2，公比為2的等比數列．
（2）由（1）知，，所以
所以，
當時，單調遞增，故．
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據已知遞推式結合等比數列的定義證明即可；
（2）由（1）得，然后結合遞推式和可求出，再利用錯位相減法可求得結果.
【詳解】（1）因為，
所以
，
則數列是首項為1，公比為2的等比數列；
（2）由（2）可得，即，
，
所以，
前項和，
，
兩式相減可得，
化簡可得．
6．(1)證明見解析，．
(2)100.
【分析】（1）利用給定的遞推公式，結合及等比數列定義推理得證，再求出通項公式.
（2）利用（1）的結論求出，再利用分組求和法計算即得.
【詳解】（1）數列中，，當時，，兩式相減得，
而，解得，所以是首項為2，公比為5的等比數列，
通項公式為.
（2）由（1）知，，
所以
．
反思提升：
1.證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.
2.在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.
【考點3】等比數列的性質及應用
一、單選題
1．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，且，則（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
2．（2023·江西上饒·模擬預測）設為正項等比數列的前n項積，若的公比，則（ ）
A． B．32 C． D．512
二、多選題
3．（23-24高三上·江西·期中）在等比數列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（ ）
A．為單調遞增數列 B．
C．為的最大項 D．無最大項
4．（2021·湖北黃岡·模擬預測）已知，將數列與數列的公共項從小到大排列得到數列，則（ ）
A． B．
C．的前項和 D．的前項和為
三、填空題
5．（2021·河南許昌·一模）已知數列的前項和為對任意都有，且，則的取值集合為 ．
6．（23-24高三上·云南昆明·開學考試）設是等比數列，且，，則 .
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 A D BC BC
1．A
【分析】根據等比數列的性質可知片段和成等比數列，求出片段和等比數列公比即可得解.
【詳解】因為，且，
所以，，故，
所以，即，解得或（舍去），
由等比數列性質可知，成等比數列，公比為
所以，解得，
故選：A
2．D
【分析】運用等比數列下標性質計算即可.
【詳解】正項等比數列，，則，則，
.
故選：D.
3．BC
【分析】由，，可得，，結合分析可得，，，則為單調遞減數列，故選項A錯誤.選項B正確.，根據單調遞減和，可知為的最大項，則選項C正確，選項D錯誤.
【詳解】由，因此.
又因為則.
當時，，則，，則，與題意矛盾.
因此.則為單調遞減數列，故選項A錯誤.
而，故，選項B正確.
又因為為單調遞減數列，則，
由可知，，，
所以當時，，則.
當時，，則.
因此的最大項為，則選項C正確，選項D錯誤.
故答案為：BC.
4．BC
【分析】先分析出數列為數列的子數列，從而判斷出，求出的前項和.
【詳解】令，
所以，
當時，，所以數列為數列的子數列，
所以，所以的前項為.
故選：BC.
【點睛】等差（比）數列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運用性質．
5．
【分析】由題設、的遞推關系可得是首項為3，公比為的等比數列，進而寫出的公式，結合已知不等關系，討論為奇數、偶數分別求n值，即可知取值集合.
【詳解】由題意知：，即，
當時，，即，
∴是首項為3，公比為的等比數列，則，
∴知：，
當為奇數時，，得，
當為偶數時，，得，
∴的取值集合為.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：根據、的遞推關系，等比數列的定義判斷數列為等比數列，進而寫出前n項和公式，由絕對值不等式討論n奇偶性，并求出n值.
6．189
【分析】
由是等比數列，則， ，，成等比數列，再根據新等比數列的性質計算即可.
【詳解】
由是等比數列，設其公比為，
則，，，構成等比數列，且公比為，
，
，
則.
故答案為：189.
反思提升：
(1)等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
(2)涉及等比數列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·山東淄博·二模）已知等比數列則（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
2．（2024·貴州貴陽·二模）記等比數列的前項和為，則（ ）
A．121 B．63 C．40 D．31
3．（2025·安徽·模擬預測）在等比數列中，若，則（ ）．
A．2 B． C．4 D．8
4．（2023·廣東佛山·一模）等比數列公比為，，若（），則“”是“數列為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
5．（23-24高三上·江蘇·期末）已知是等比數列，是其前n項和，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．若是正項數列，則是單調遞增數列
B．，，一定是等比數列
C．若存在，使對都成立，則是等差數列
D．若存在，使對都成立，則是等差數列
6．（2023·湖北武漢·三模）已知實數數列的前n項和為，下列說法正確的是（ ）．
A．若數列為等差數列，則恒成立
B．若數列為等差數列，則，，，…為等差數列
C．若數列為等比數列，且，，則
D．若數列為等比數列，則，，，…為等比數列
7．（2023·浙江溫州·二模）是等比數列的前項和，若存在，使得，則（ ）
A． B．是數列的公比
C． D．可能為常數列
三、填空題
8．（2024·山東青島·三模）已知等差數列的公差，首項 ，是與的等比中項，記 為數列的前項和，則
9．（2024·湖北荊州·三模）若實數成等差數列，成等比數列，則= .
10．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）在等比數列中，，則 .
四、解答題
11．（2024·山東·二模）已知數列，中，，，是公差為1的等差數列，數列是公比為2的等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
12．（2022·河北唐山·一模）已知數列的各項均不為零，為其前n項和，且.
(1)證明：；
(2)若，數列為等比數列，，.求數列的前2022項和.
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A C B AC BD ABC
1．A
【分析】運用等比中項，結合等比數列通項公式即可解決.
【詳解】根據等比中項知道，求得，則.
又，則.
故選：A.
2．A
【分析】利用等比數列的下標和性質求得，進而利用等比數列的通項公式求得，再利用等比數列的求和公式即可得解.
【詳解】根據題意，設等比數列的公比為，
若，則有，得，
又由，則，解得，
故，
則.
故選：A.
3．C
【分析】根據等比數列的下標和性質運算求解即可.
【詳解】因為數列是等比數列，
則，即，
所以.
故選：C.
4．B
【分析】根據等比數列的通項公式，結合等差數列的前項和公式、充分性和必要性的定義進行判斷即可.
【詳解】因為等比數列公比為，
所以，
當時，，，顯然數列為不是遞增數列；
當“數列為遞增數列”時，有，
因為，所以如果，例如，顯然有，，顯然數列為不是遞增數列，
因此有，，
所以由，
當時，顯然對于恒成立，
當時，對于不一定恒成立，例如；
當時，對于不一定恒成立，例如；
當時，對于恒不成立，
因此“”是“數列為遞增數列”的必要不充分條件，
故選：B
5．AC
【分析】A選項，設出公比，得到方程，結合是正項數列，得到公比，得到是單調遞增數列；B選項，舉出反例；C選項，根據對都成立，得到，從而得到為常數列，為公差為0的等差數列；D選項，結合C選項，得到當為偶數時，，為奇數時，，D錯誤.
【詳解】A選項，設公比為，故，解得或，
若是正項數列，則，，故，故是單調遞增數列，A正確；
B選項，當且為偶數時，，，均為0，不合要求，B錯誤：
C選項，若，則單調遞增，此時不存在，使對都成立，
若，此時，故存在，使得對都成立，
此時為常數列，為公差為0的等差數列，C正確；
D選項，由C選項可知，，故當為偶數時，，
當為奇數時，，顯然不是等差數列，D錯誤.
故選：AC.
6．BD
【分析】根據等差數列的性質判定AB選項，根據等比數列的性質判定CD選項.
【詳解】若數列為等差數列，不妨設其公差為d,則,
顯然當才相等，故A錯誤，
而，作差可得成立，故B正確；
若數列為等比數列，且，，設其公比為q，
則，作商可得或所以 或，故C錯誤；
由題意得各項均不為0，而實數范圍內，，
即且，結合選項B的計算可得，故D正確.
故選：BD.
7．ABC
【分析】設等比數列的公比為，當時，，結合題意可判斷D選項；當時，結合等比數列的前項和公式可得，結合題意可得，進而判斷A、B、C選項.
【詳解】設等比數列的公比為.
當，顯然是一次函數性質不是指數函數形式，故不滿足，所以D錯；
當，
所以，
即，，所以ABC對．
故選：ABC.
8．105
【分析】根據等比中項的性質得到方程，即可求出公差，再根據等差數列求和公式計算可得.
【詳解】等差數列中， ，是與的等比中項，設公差為，
所以，即，
解得或（不合題意，舍去）；
所以．
故答案為：．
9．
【分析】根據等差數列的公差計算求出，再根據等比中項求出即可.
【詳解】實數成等差數列，則等差數列的公差為，
成等比數列，則，
由于等比數列奇數項同號，所以，所以，則.
故答案為：.
10．4
【分析】利用等比數列的性質求解.
【詳解】在等比數列中，，
由等比數列的性質，，則，
又，所以.
故答案為：4
11．(1)
(2)
【分析】（1）先根據題意及等差數列的通項公式計算出數列的通項公式，再根據等比數列的通項公式計算出數列的通項公式，即可計算出數列的通項公式；
（2）根據數列的通項公式的特點運用分組求和法，以及等差數列和等比數列的求和公式即可計算出前項和．
【詳解】（1）由題意，可得，
故，，
數列是公比為2的等比數列，且，
，
，．
（2）由題意及（1），可得，
則
．
12．(1)證明見解析；
(2)4044.
【分析】（1）由題設遞推式可得，結合已知條件即可證結論.
（2）由（1）及等比數列定義寫出通項公式，進而有，根據奇偶項的正負性，應用分組求和法及（1）的結論求即可.
【詳解】（1）因為①，則②，
②-①得：，又，
所以.
（2）由得：，于是，
由得：的公比.
所以，.
由得：
由得：，
因此.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·湖南益陽·一模）已知等比數列中，，，則（ ）
A．26 B．32 C．512 D．1024
二、多選題
2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）關于等差數列和等比數列，下列說法不正確的是（ ）
A．若數列為等比數列，且其前項的和，則
B．若數列為等比數列，且，則
C．若數列為等比數列，為前項和，則，，，…成等比數列
D．若數列為等差數列，，則最小
三、填空題
3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，則取最大值時，的值為 ．
四、解答題
4．（2023·江蘇連云港·模擬預測）已知為正項數列的前項的乘積，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，證明：．
參考答案：
題號 1 2
答案 D CD
1．D
【分析】設等比數列的公比為，聯立，，解出，，代入，即可得到答案.
【詳解】設等比數列的公比為，
因為，，
所以，，
由，則，得，
解得，
所以.
故選：D.
2．CD
【分析】求出的值判斷A；利用等比數列的性質計算判斷B；舉例說明判斷C；求出與公差的關系判斷D.
【詳解】對于A，由，得，數列為等比數列，
則，解得，經驗證符合題意，A正確；
對于B，等比數列中，由，得，則，B正確；
對于C，等比數列的公比，為偶數時，，，，，…不成等比數列，C錯誤；
對于D，設等差數列的公差為，由，得，
整理得，當時，沒有最小值，D錯誤.
故選： CD
3．
【分析】根據求出、、，由等比中項有，進而求得，得到等比數列的首項、公比、通項公式，再結合的單調性，即可求出最大時的值.
【詳解】，，，
因為是等比數列，所以，有，，
數列是以為首項，為公比的等比數列，，
數列是遞減數列，，，
所以時，最大.
故答案為：.
4．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據題意可求出，然后兩邊取對數得，從而得出數列是常數列，從而可求解；
（2）根據（1）中結論可求出，從而可得出，再結合放縮法及等比數列的前項和公式即可證明.
【詳解】（1），，
所以，即，
兩邊取常用對數得，
得，所以，
所以數列為常數列，所以，
所以.
（2）證明：由（1）知，所以，
則

又因為，
所以
故.
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·內蒙古赤峰·二模）2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了“雙減”政策，極大緩解了教育的“內卷”現象.數學中的螺旋線可以形象的展示“內卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖所示.它的畫法是這樣的：取第一個正方形各邊的四等分點E，F，G，H，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點M，N，P，Q，作第3個正方形，依此方法一直繼續下去，就可以得到陰影部分的圖案.設正方形邊長為，后續各正方形邊長依次為；如圖陰影部分，設直角三角形AEH面積為，后續各直角三角形面積依次為，若，下列說法中正確的個數是（ ）
是公比為的等比數列.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
2．（2023·河北衡水·模擬預測）已知是等比數列，公比為，若存在無窮多個不同的，滿足，則下列選項之中，可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·河南駐馬店·二模）定義：對于函數和數列，若，則稱數列具有“函數性質”.已知二次函數圖象的最低點為，且，若數列具有“函數性質”，且首項為1的數列滿足，記的前項和為，則數列的最小值為 .
參考答案：
題號 1 2
答案 C ABC
1．C
【分析】由題意知：，，得，再依次結合選項求解即可.
【詳解】由題意知：，
，
因為數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
對于①，，得，故①正確；
對于②，，故②正確；
對于③，，
當時，，所以，故③正確；
對于④，，
此時，所以是公比為的等比數列，故④錯誤，
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于，得到數列是以為首項，為公比的等比數列，進而求得，從而得解.
2．ABC
【分析】分類討論，結合等比數列的通項和性質分析判斷.
【詳解】當時，則有：
①當，則為非零常數列，故，符合題意，A正確；
②當，則為單調數列，故恒不成立，即且不合題意；
當時，可得，則有：
①當，若為偶數時，則；
若為奇數時，則；
故符合題意，B正確；
②當，若為偶數時，則，且，即；
若為奇數時，則，且，即；
故符合題意，C正確；
③當，若，可得，
∵，則，可得，則，這與等比數列相矛盾，
故和均不合題意，D錯誤.
故選：ABC.
3．
【分析】利用二次函數的性質求解析式，再利用數列的遞推思想構造等比數列，即可求和，從而用數列的單調性來求出最小值.
【詳解】由二次函數最低點為可知：，
又，所以，
則.由題意得，
又由，得，
因為，所以，
即，又，
所以，則，即，
故是以1為首項，2為公比的等比數列，所以.
令.，則，
故當時，，當時，，
故.
故答案為：.
【點睛】方法點睛，根據二次遞推，則需要通過構造兩邊對數，來得到等比數列遞推關系.
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專題34 等比數列及其前n項和（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 3
【考點1】等比數列基本量的運算 3
【考點2】等比數列的判定與證明 4
【考點3】等比數列的性質及應用 5
【分層檢測】 6
【基礎篇】 6
【能力篇】 8
【培優篇】 9
考試要求：
1.理解等比數列的概念.
2.掌握等比數列的通項公式與前n項和公式.
3.了解等比數列與指數函數的關系．
1.等比數列的概念
(1)定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).
數學語言表達式：＝q(n≥2，q為非零常數).
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.此時G2＝ab.
2.等比數列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；
通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝＝.
3.等比數列的性質
已知{an}是等比數列，Sn是數列{an}的前n項和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數列，公比為qm.
(3)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數列，其公比為qn.
1.若數列{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則數列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比數列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數列，還要驗證a1≠0.
3.在運用等比數列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導致解題失誤.
4.三個數成等比數列，通常設為，x，xq；四個符號相同的數成等比數列，通常設為，，xq，xq3.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
3．（2022·全國·高考真題）已知等比數列的前3項和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
二、填空題
4．（2023·全國·高考真題）記為等比數列的前項和．若，則的公比為 ．
5．（2023·全國·高考真題）已知為等比數列，，，則 .
三、解答題
6．（2024·全國·高考真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【考點1】等比數列基本量的運算
一、單選題
1．（2024·河南·三模）設為數列的前項和，若，則（ ）
A．4 B．8 C． D．
2．（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三個數成等比數列，則（ ）
A．5 B．1 C． D．或1
二、多選題
3．（2024·江西新余·模擬預測）若，成等差數列，成等比數列，則題中等比數列的公比可以是：（ ）.
A． B． C． D．
4．（2024·云南·模擬預測）設是首項為，公差為的等差數列；是首項為，公比為的等比數列．已知數列的前項和，，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·廣東茂名·一模）有一座六層高的商場，若每層所開燈的數量都是下面一層的兩倍，一共開了1890盞，則底層所開燈的數量為 盞.
6．（2024·上海·三模）數列滿足（為正整數），且與的等差中項是5，則首項
反思提升：
1.等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解.
2.等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.
【考點2】等比數列的判定與證明
一、解答題
1．（2024·四川瀘州·二模）已知數列的前n項和為，．
(1)求數列的通項公式；
(2)在與之間插入n個數，使這個數組成一個公差為的等差數列，求．
2．（2024·內蒙古鄂爾多斯·二模）已知為數列的前項和，若.
(1)求證：數列為等比數列；
(2)令，若，求滿足條件的最大整數.
3．（2024·青海海南·一模）記等差數列的前項和為，是正項等比數列，且．
(1)求和的通項公式；
(2)證明是等比數列．
4．（2024·新疆喀什·三模）已知數列的首項，且滿足（）．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)記，求數列的前項和，并證明．
5．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知數列滿足.
(1)證明：數列為等比數列；
(2)若，求數列的前項和．
6．（2024·遼寧·模擬預測）已知數列的前項和為，且．
(1)證明：是等比數列，并求其通項公式；
(2)設，求數列的前100項和．
反思提升：
1.證明一個數列為等比數列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數列不是等比數列，則只要證明存在連續三項不成等比數列即可.
2.在利用遞推關系判定等比數列時，要注意對n＝1的情形進行驗證.
【考點3】等比數列的性質及應用
一、單選題
1．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，且，則（ ）
A．40 B．-30 C．30 D．-30或40
2．（2023·江西上饒·模擬預測）設為正項等比數列的前n項積，若的公比，則（ ）
A． B．32 C． D．512
二、多選題
3．（23-24高三上·江西·期中）在等比數列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（ ）
A．為單調遞增數列 B．
C．為的最大項 D．無最大項
4．（2021·湖北黃岡·模擬預測）已知，將數列與數列的公共項從小到大排列得到數列，則（ ）
A． B．
C．的前項和 D．的前項和為
三、填空題
5．（2021·河南許昌·一模）已知數列的前項和為對任意都有，且，則的取值集合為 ．
6．（23-24高三上·云南昆明·開學考試）設是等比數列，且，，則 .
反思提升：
(1)等比數列的性質可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項的變形，三是前n項和公式的變形.根據題目條件，認真分析，發現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.
(2)涉及等比數列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·山東淄博·二模）已知等比數列則（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
2．（2024·貴州貴陽·二模）記等比數列的前項和為，則（ ）
A．121 B．63 C．40 D．31
3．（2025·安徽·模擬預測）在等比數列中，若，則（ ）．
A．2 B． C．4 D．8
4．（2023·廣東佛山·一模）等比數列公比為，，若（），則“”是“數列為遞增數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
5．（23-24高三上·江蘇·期末）已知是等比數列，是其前n項和，滿足，則下列說法中正確的有（ ）
A．若是正項數列，則是單調遞增數列
B．，，一定是等比數列
C．若存在，使對都成立，則是等差數列
D．若存在，使對都成立，則是等差數列
6．（2023·湖北武漢·三模）已知實數數列的前n項和為，下列說法正確的是（ ）．
A．若數列為等差數列，則恒成立
B．若數列為等差數列，則，，，…為等差數列
C．若數列為等比數列，且，，則
D．若數列為等比數列，則，，，…為等比數列
7．（2023·浙江溫州·二模）是等比數列的前項和，若存在，使得，則（ ）
A． B．是數列的公比
C． D．可能為常數列
三、填空題
8．（2024·山東青島·三模）已知等差數列的公差，首項 ，是與的等比中項，記 為數列的前項和，則
9．（2024·湖北荊州·三模）若實數成等差數列，成等比數列，則= .
10．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）在等比數列中，，則 .
四、解答題
11．（2024·山東·二模）已知數列，中，，，是公差為1的等差數列，數列是公比為2的等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
12．（2022·河北唐山·一模）已知數列的各項均不為零，為其前n項和，且.
(1)證明：；
(2)若，數列為等比數列，，.求數列的前2022項和.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·湖南益陽·一模）已知等比數列中，，，則（ ）
A．26 B．32 C．512 D．1024
二、多選題
2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）關于等差數列和等比數列，下列說法不正確的是（ ）
A．若數列為等比數列，且其前項的和，則
B．若數列為等比數列，且，則
C．若數列為等比數列，為前項和，則，，，…成等比數列
D．若數列為等差數列，，則最小
三、填空題
3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若，則取最大值時，的值為 ．
四、解答題
4．（2023·江蘇連云港·模擬預測）已知為正項數列的前項的乘積，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前n項和為，證明：．
【培優篇】
一、單選題
1．（2024·內蒙古赤峰·二模）2021年7月24日，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了“雙減”政策，極大緩解了教育的“內卷”現象.數學中的螺旋線可以形象的展示“內卷”這個詞，螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖所示.它的畫法是這樣的：取第一個正方形各邊的四等分點E，F，G，H，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的四等分點M，N，P，Q，作第3個正方形，依此方法一直繼續下去，就可以得到陰影部分的圖案.設正方形邊長為，后續各正方形邊長依次為；如圖陰影部分，設直角三角形AEH面積為，后續各直角三角形面積依次為，若，下列說法中正確的個數是（ ）
是公比為的等比數列.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多選題
2．（2023·河北衡水·模擬預測）已知是等比數列，公比為，若存在無窮多個不同的，滿足，則下列選項之中，可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
3．（2024·河南駐馬店·二模）定義：對于函數和數列，若，則稱數列具有“函數性質”.已知二次函數圖象的最低點為，且，若數列具有“函數性質”，且首項為1的數列滿足，記的前項和為，則數列的最小值為 .
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