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專題3.4 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
1、了解在有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算及運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)等在實(shí)數(shù)內(nèi)仍然成立；
2、能熟練地進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算；在實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，根據(jù)問題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化有理數(shù)計(jì)算；
3、能用計(jì)算器按相關(guān)要求進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算。
模塊1：知識(shí)梳理 2
模塊2：核心考點(diǎn) 3
考點(diǎn)1.實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算 2
考點(diǎn)2.程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算 3
考點(diǎn)3.新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算 4
考點(diǎn)4.實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律問題 5
考點(diǎn)5.實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用 6
考點(diǎn)6.用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算 8
模塊3：能力培優(yōu) 9
1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與有理數(shù)運(yùn)算順序基本相同，先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減。若遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算。同級(jí)運(yùn)算按照從左到右順序進(jìn)行。
2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方及開方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。
3）實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算：有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)仍然適用（交換律、結(jié)合律、分配律）。
4）能用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算，近似計(jì)算時(shí)按題目的要求用計(jì)算器得到結(jié)果近似值。
考點(diǎn)1.實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算
例1．（23-24七年級(jí)下·山東德州·期中）計(jì)算
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，（1）利用平方根的性質(zhì)、算術(shù)平方根、絕對(duì)值進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可；
（2）利用平方根的性質(zhì)、算術(shù)平方根、立方根進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
（2）解：
變式1．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：．
【答案】
【詳解】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的乘方、算術(shù)平方根、立方根的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有理數(shù)的乘方、算術(shù)平方根、立方根分別計(jì)算即可．
【分析】解：
．
變式2．（23-24七年級(jí)下·山西大同·期中）計(jì)算：(1) (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算：（1）先計(jì)算算術(shù)平方根和立方根，再計(jì)算加減法即可；
（2）先計(jì)算算術(shù)平方根和立方根，再去絕對(duì)值，最后計(jì)算加減法即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
．
考點(diǎn)2.程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算
例1．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·期中）如圖，有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下圖所示，當(dāng)輸入x的值為64時(shí)，則輸出y的值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查的是立方根、算術(shù)平方根的定義，有理數(shù)、無理數(shù)的定義，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
依據(jù)運(yùn)算程序進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：根據(jù)步驟，輸入64，先有，是有理數(shù)，是有理數(shù)，返回到第一步，取2的立方根是，是無理數(shù)，最后輸出故答案為：．
變式1．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的x為81時(shí)，輸出的y是（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了算術(shù)平方根的定義，實(shí)數(shù)的分類．解答此類題目的關(guān)鍵是弄清題目中所給的運(yùn)算程序．把64按給出的程序逐步計(jì)算即可．
【詳解】解：由題中所給的程序可知：把81取算術(shù)平方根，結(jié)果為9，
因?yàn)?是有理數(shù)，所以再取算術(shù)平方根，結(jié)果為3，
因?yàn)?是有理數(shù)，所以再取算術(shù)平方根，結(jié)果為，是無理數(shù)，故．故選：A．
變式2．（2024·遼寧·二模）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：

當(dāng)輸入的時(shí)，輸出的y等于 ．
【答案】
【分析】本題考查流程圖計(jì)算，涉及算術(shù)平方根、立方根，有理數(shù)與無理數(shù)的定義．根據(jù)流程圖，結(jié)合算術(shù)平方根運(yùn)算，立方根運(yùn)算，由無理數(shù)與有理數(shù)定義進(jìn)行判斷即可得到答案．
【詳解】解：當(dāng)輸入的時(shí)，則取立方根為：，
4是有理數(shù)，取算術(shù)平方根為：，2取立方根為：，是無理數(shù)，即，故答案為：．
考點(diǎn)3.新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算
例1．（23-24七年級(jí)下·四川德陽·期末）對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)定義兩種運(yùn)算：，并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如，,．那么等于（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】本題主要考查了新定義，以及實(shí)數(shù)運(yùn)算，直接利用已知運(yùn)算公式進(jìn)而分析得出答案．
【詳解】解：．故選：C．
變式1．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）定義新運(yùn)算：我們規(guī)定．則（ ）
A．32 B．36 C．68 D．64
【答案】C
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，理解定義的新運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)定義的新運(yùn)算轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意得： ．故選：C．
變式2．（23-24七年級(jí)下·湖北十堰·期末）對(duì)于有理數(shù)a、b，定義的含義為：當(dāng)時(shí)，，例如：．已知，，且a和b為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則的立方根為 ．
【答案】
【分析】本題考查的是二次根式的應(yīng)用，立方根，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題意理解新定義的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)的含義得到：由a和b為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)求得它們的值，然后代入求值．
【詳解】解：
又a和b為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，
的立方根為．故答案為：．
考點(diǎn)4.實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律問題
例1．（23-24八年級(jí)上·河南洛陽·階段練習(xí)）觀察下列各式：，依次類推請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示第2021個(gè)等式的結(jié)果，正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查實(shí)數(shù)、規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考常考題型．探究規(guī)律．利用規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：∵…
∴用含的等式表示為，
∴第2021個(gè)等式為．故選：C．
變式1．（23-24七年級(jí)下·廣東韶關(guān)·期中）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)，，，，其第8個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，得到第個(gè)數(shù)為，進(jìn)而求出第8個(gè)數(shù)即可．
【詳解】解：，，，，
∴第個(gè)數(shù)為，∴第8個(gè)數(shù)為；故選C．
變式2．（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期中）觀察下面的數(shù)據(jù)：，，，，，，……．尋找規(guī)律，第個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是 ．
【答案】
【分析】本題考查找規(guī)律，正確通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，把根號(hào)外面的數(shù)都平方轉(zhuǎn)化到根號(hào)內(nèi)，便不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后寫出第n個(gè)即可．
【詳解】第1個(gè)數(shù)據(jù)，第2個(gè)數(shù)據(jù)，第3個(gè)數(shù)據(jù)，
第4個(gè)數(shù)據(jù)，第5個(gè)數(shù)據(jù)，
第個(gè)數(shù)據(jù)，故答案為：．
考點(diǎn)5.實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用
例1．（23-24七年級(jí)下·江西上饒·期末）如圖，將長(zhǎng)方形分成四個(gè)區(qū)域，其中A，B兩正方形區(qū)域的面積分別是3和9.
(1)A，B兩正方形的邊長(zhǎng)各是多少？
(2)求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兩位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：）.
【答案】(1)正方形A和正方形B的邊長(zhǎng)各是，3(2)2.20
【分析】（1）根據(jù)正方形面積等于邊長(zhǎng)的平方求解即可；
（2）根據(jù)陰影部分面積=最大的大長(zhǎng)方形面積-正方形A的面積-正方形B的面積進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵正方形A和正方形B的面積分別為3和9，
∴正方形A和正方形B的邊長(zhǎng)各是；
（2）解：由題意得：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查算術(shù)平方根的應(yīng)用，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算的應(yīng)用，正確求出正方形A和正方形B的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
變式1．（23-24九年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長(zhǎng)（單位：m）．假如一臺(tái)座鐘的擺長(zhǎng)為0.2m．（取3，）。(1)求擺針擺動(dòng)的周期．(2)如果座鐘每擺動(dòng)一個(gè)來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？
【答案】(1)(2)該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲
【分析】（1）將數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）用總時(shí)間除以一個(gè)周期的時(shí)間進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，；
（2）（次）．答：該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲．
【點(diǎn)睛】本題考查求實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．
變式2．（23-24七年級(jí)下·湖北宜昌·期中）某農(nóng)場(chǎng)有一塊用鐵柵欄圍墻圍成面積為700平方米的長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為7：4．(1)求該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬各為多少？
(2)農(nóng)場(chǎng)打算把長(zhǎng)方形空地沿邊的方向改造出兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為4：3，面積之和為600平方米，并把原來長(zhǎng)方形空地的鐵柵欄圍墻全部用來圍兩個(gè)小正方形試驗(yàn)田，請(qǐng)問能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田嗎，如果能，原來的鐵柵欄圍墻夠用嗎？
【答案】(1)該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為35米，寬為20米
(2)能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，原來的鐵柵欄圍墻不夠用
【分析】（1）設(shè)該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，則寬為米，再根據(jù)面積為700平方米建立方程，利用平方根解方程即可得；（2）設(shè)較大的小正方形的邊長(zhǎng)為米，則較小的小正方形的邊長(zhǎng)為米，根據(jù)面積之和為600平方米建立方程，解方程可得，再根據(jù)無理數(shù)的估算進(jìn)行分析判斷即可得．
【詳解】（1）解：設(shè)該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米，則寬為米，由題意得：，
解得或（不符題意，舍去），則，
答：該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為35米，寬為20米．
（2）解：設(shè)較大的小正方形的邊長(zhǎng)為米，則較小的小正方形的邊長(zhǎng)為米，
由題意得：，解得或（不符題意，舍去），
則較大的小正方形的邊長(zhǎng)為米，較小的小正方形的邊長(zhǎng)為米，
，，，
能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，
改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田所需鐵柵欄圍墻長(zhǎng)為（米），
原來長(zhǎng)方形空地的鐵柵欄圍墻長(zhǎng)為米，
，，原來的鐵柵欄圍墻不夠用，
答：能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，原來的鐵柵欄圍墻不夠用．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用、利用平方根解方程、無理數(shù)的估算、實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)6.用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算
例1．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）下列有關(guān)使用大雁學(xué)生計(jì)算器的說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．求的按鍵順序是
B．求的按鍵順序是
C．求的值的按鍵順序是
D．求的按鍵順序是
【答案】D
【分析】本題主要考查了利用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)計(jì)算器中各按鍵的功能．根據(jù)計(jì)算器的按鍵對(duì)應(yīng)的功能即可求解．
【詳解】
解：A、求的按鍵順序是是正確的，不符合題意；
B、求的按鍵順序是是正確的，不符合題意；
C、求的值的按鍵順序是是正確的，不符合題意；
D、求的按鍵順序是，原來的說法是錯(cuò)誤的，符合題意．
故選：D．
變式1．（2024·山東臨沂·一模）下列關(guān)于計(jì)算器的按鍵說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．按鍵顯示結(jié)果：2
B．按鍵顯示結(jié)果：64
C．用計(jì)算器求的值時(shí)，按鍵順序是
D．用計(jì)算器求的值時(shí)，按鍵順序是
【答案】D
【分析】本題主要考查了利用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握科學(xué)計(jì)算器中各按鍵的功能．根據(jù)計(jì)算器的按鍵對(duì)應(yīng)的功能即可求解．
【詳解】解：A．按鍵顯示結(jié)果：2，正確，不符合題意；
B．按鍵顯示結(jié)果：64，正確，不符合題意；
C．用計(jì)算器求的值時(shí)，按鍵順序是，正確，不符合題意；
D．用計(jì)算器求的值時(shí)，按鍵順序是，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．
變式2．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在設(shè)計(jì)開放運(yùn)算時(shí)需要使用計(jì)算器．如圖是某型號(hào)學(xué)生用及計(jì)算器，依次按下得到的結(jié)果為： ．
【答案】0
【分析】本題考查的是計(jì)算器的使用，先根據(jù)題意列出算式，得出計(jì)算結(jié)果即可．
【詳解】解：，故答案為：．
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，由算術(shù)平方根的定義，得9的算術(shù)平方根為3，據(jù)此計(jì)算減法即可得答案．
【詳解】解：．故選C．
2．（23-24七年級(jí)上·浙江·期中）計(jì)算：（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．依據(jù)各數(shù)的符號(hào)化去絕對(duì)值，再加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：．故選：D
3．（23-24七年級(jí)下·遼寧大連·期末）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了算術(shù)平方根和立方根，根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的意義進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解：故選：A
4．（23-24八年級(jí)下·山東濰坊·期中）用我們數(shù)學(xué)課本上選用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算下列算式的值，其按鍵順序正確的是（ ）
A．計(jì)算，按鍵：
B．計(jì)算，按鍵：
C．計(jì)算，按鍵：
D．計(jì)算，按鍵：
【答案】B
【分析】根據(jù)計(jì)算器鍵功能鍵列式計(jì)算，即可解答．此題考查了利用計(jì)算器的能力，熟練掌握各鍵功能是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解A．求按鍵： ，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B．求按鍵： ，故選項(xiàng)正確，符合題意；
C．求按鍵： ，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D．求按鍵： ，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．
5．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x的值是64，則輸出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查無理數(shù)，算術(shù)平方根及立方根，根據(jù)題意，利用算術(shù)平方根及立方根的定義計(jì)算，直至結(jié)果為無理數(shù)即可，理解題干中的運(yùn)算程序并進(jìn)行正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：若開始輸入的的值是64，則其立方根為4，它是有理數(shù)；
然后求得4的算術(shù)平方根是2，它是有理數(shù)；
則2的立方根為，它是無理數(shù)，輸出答案；
故選：C．
6．（2024·山東威海·一模）如圖所示，若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序如下：
則按鍵的結(jié)果為（ ）
A．3 B．7 C．15 D．19
【答案】C
【分析】利用科學(xué)計(jì)算器的使用規(guī)則把有理數(shù)混合運(yùn)算，再計(jì)算．根據(jù)科學(xué)計(jì)算器的使用計(jì)算．
【詳解】解：依題意得：，故選：C．
7．（23-24七年級(jí)下·山東德州·期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，陳老師出示了一組題，閱讀下列解題過程，探求規(guī)律：
，，；；
計(jì)算式子 的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了算術(shù)平方根的規(guī)律問題，根據(jù)所給算式總結(jié)規(guī)律計(jì)算即可，熟練掌握算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由，，；；
則原式，，故選：．
8．（23-24七年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）對(duì)實(shí)數(shù)a．b，定義“★”運(yùn)算規(guī)則如下：，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】此題考查新定義實(shí)數(shù)運(yùn)算，據(jù)題意可先求出，再根據(jù)題意求解即可.
【詳解】解：根據(jù)題意可得，，
∴，故選：A
9．（23-24八年級(jí)下·云南大理·期中）有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：，，，，，，，則第2023個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究，觀察數(shù)列中數(shù)的符號(hào)及分子和分母的變化規(guī)律即可解決問題．
【詳解】解：由題知，
數(shù)列中的數(shù)按負(fù)數(shù)、正數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，即奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，
因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以第個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)．
將改寫成可發(fā)現(xiàn)，分母依次擴(kuò)大2倍，且第一個(gè)數(shù)的分母是2，
所以第2023個(gè)數(shù)的分母是；
分子上的被開方數(shù)依次增加1，且第一個(gè)數(shù)分子上的被開方數(shù)是2，
所以第2023個(gè)數(shù)的分子上的被開方數(shù)是2024，
所以第2023個(gè)數(shù)是．故選：A．
10．（23-24七年級(jí)下·山東臨沂·開學(xué)考試）若a，b均為正整數(shù)，且，，則的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本題考查無理數(shù)，根式等知識(shí)．由a，b均為正整數(shù)，且，，推出，，由此即可解決問題．
【詳解】解：∵，，∴，，
∵a，b均為正整數(shù)，且最小正整數(shù)為：，，∴的最小值為7，故選：B．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24七年級(jí)上·浙江·期中）計(jì)算： .
【答案】/
【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及化簡(jiǎn)絕對(duì)值、算術(shù)平方根，正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．先依據(jù)各數(shù)的符號(hào)化去絕對(duì)值、計(jì)算算術(shù)平方根，再加減運(yùn)算即可．
【詳解】解：．故答案為：
12．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算： ．
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根和立方根的定義分別計(jì)算，再合并即可求解，掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：原式，故答案為：．
13．（23-24七年級(jí)下·山東濱州·期末）計(jì)算： ．
【答案】
【分析】本題考查了絕對(duì)值、算術(shù)平方根、立方根、先分別化簡(jiǎn)絕對(duì)值、算術(shù)平方根、立方根，再運(yùn)算加減法，即可作答．
【詳解】解：故答案為：
14．（2024七年級(jí)·浙江·專題練習(xí)）按如圖所示的程序計(jì)算：若開始輸入的值為，輸出的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了算術(shù)平方根和立方根的意義，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的意義是解題關(guān)鍵．
根據(jù)運(yùn)算順序，先求算術(shù)平方根，再求立方根，最后求算術(shù)平方根，可得答案．
【詳解】解：，，2的算術(shù)平方根是，故答案為：．
15．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期末）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，定義一種新的運(yùn)算如下，如:，那么 ．
【答案】/0.4
【分析】本題考查了新定義實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)題意列式計(jì)算即可得出答案，理解題意是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，故答案為：．
16．（23-24七年級(jí)下·湖北咸寧·期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測(cè)量米，，請(qǐng)你通過計(jì)算判斷汽車此時(shí)的行駛速度v 100千米/時(shí)．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用，根據(jù)題意代入計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：千米/時(shí)，∴故答案為：>．
17．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）將一組數(shù)，，3，，，…按如圖所示的方法進(jìn)行排列，若的位置記為，的位置記為，則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為 ．
【答案】
【分析】本題考查規(guī)律型：實(shí)數(shù)運(yùn)算．根據(jù)題意可以得到每行五個(gè)數(shù)，且根號(hào)里面的數(shù)都是3的倍數(shù)，從而可以得出最大的有理數(shù)所在的位置，即可得出答案．
【詳解】解：由題意可得，每五個(gè)數(shù)為一行，且被開方數(shù)是3的倍數(shù)，
的被開方數(shù)是的被開方數(shù)3的30倍，，
所以位于第六行第五個(gè)數(shù)，記為．
故最大的有理數(shù)位于第6行第2個(gè)數(shù)，記為．故答案為：．
18．（2023·江蘇南京·二模）我們把不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作，又把稱為的小數(shù)部分，記作，則有．如：，，；，，，則下列說法正確的是 （填序號(hào)）．
①；②如，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；
③若且，則；④方程的實(shí)數(shù)解有4個(gè)．
【答案】①
【分析】此題是代數(shù)綜合題，主要考查與實(shí)數(shù)有關(guān)的新定義問題，由，推出的范圍，可判斷①；由知，解這個(gè)不等式組，可判斷②；分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分別求出的值，可判斷③；由題意推出，再由不等式的性質(zhì)推出，則的值為或或0或1或2，進(jìn)一步求出的值，可判斷④．
【詳解】解：①，，，，因此①是正確的；
②，，解得，因此②是錯(cuò)誤的；
③，當(dāng)時(shí)，，，
，，當(dāng)時(shí)，，，
，，綜上，的值為或，因此③是錯(cuò)誤的；
④，，，，
，，，，則的值為或或0或1或2，
當(dāng)時(shí)，，，；
當(dāng)時(shí)，，，；
當(dāng)時(shí)，，，；
當(dāng)時(shí)，，，；
當(dāng)時(shí)，，，，
綜上，方程的實(shí)數(shù)解有，，0.4，1.6，2.8，共5個(gè)，
因此④是錯(cuò)誤的．故答案為：①．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）計(jì)算：
(1)；(2)．
【答案】(1)4(2)6
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方的意義、有理數(shù)的加法法則、減法法則、立方根的定義、算術(shù)平方根的定義和絕對(duì)值是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)絕對(duì)值、算術(shù)平方根的定義和乘方運(yùn)算計(jì)算即可．
（2）根據(jù)立方根的定義、算術(shù)平方根的定義和乘方運(yùn)算計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，運(yùn)算流程如下：
(1)在，2，4，16中選擇3個(gè)合適的數(shù)分別輸入，求對(duì)應(yīng)輸出的值．
(2)若輸出的值為，求輸入的值．
【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(2)3或9
【分析】（1）將，4，分別代入，計(jì)算求解即可；
（2）由題意知，分當(dāng)是無理數(shù)的相反數(shù)時(shí)，當(dāng)是有理數(shù)的負(fù)平方根時(shí)，兩種情況求解作答即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，其算術(shù)平方根為，是無理數(shù)，故；
當(dāng)時(shí)，其算術(shù)平方根為2，是有理數(shù)，故；
當(dāng)時(shí)，其算術(shù)平方根為4，是有理數(shù)，故；
（2）解：當(dāng)是無理數(shù)的相反數(shù)時(shí)，則的算術(shù)平方根是，∴，
當(dāng)是有理數(shù)的負(fù)平方根時(shí)，則的算術(shù)平方根的負(fù)平方根是，∴，
綜上所述，的值為3或9．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，算術(shù)平方根，平方根．熟練掌握相反數(shù)，算術(shù)平方根，平方根的概念是解題的關(guān)鍵．
21．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期末）觀察下列各式：
；
；
；
請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式反映的規(guī)律，猜想：
(1)______；(2)______（n為正整數(shù)）；(3)利用上面的規(guī)律計(jì)算：．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算的數(shù)字型規(guī)律探索，探索出運(yùn)算規(guī)律是解題的關(guān)鍵．分別將每個(gè)式子變形為和式子序列號(hào)有關(guān)的形式，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可解答．
【詳解】（1）解：根據(jù)規(guī)律可得：,故答案為：；
（2）解：根據(jù)規(guī)律可得：，故答案為：；
（3）解：．
22．（23-24八年級(jí)上·山東德州·開學(xué)考試）如果，那么x是a的平方根或二次方根，記作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，記作，如果，那么x是a的四次方根，記作，依此還有五次方根…(1)求256的四次方根；(2)計(jì)算；
(3)一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)六次方根分別為和，求這個(gè)正數(shù)a．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題考查新定義．解題的關(guān)鍵是利用類比法，理解四次方根和五次方根的定義．
（1）根據(jù)是四次方根的定義即可求出答案；（2）根據(jù)是四次方根及五次方根的定義即可求出答案；
（3）根據(jù)是六次方根的定義即可求出答案．
【詳解】（1）解：，的四次方根為；
（2），；
（3）∵a的六次方根是和，∴，解得，
∴，∴．
23．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期中）某農(nóng)場(chǎng)有一塊用鐵柵欄圍墻圍成的面積為600平方米的長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為．(1)求該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬各為多少
(2)農(nóng)場(chǎng)打算把長(zhǎng)方形空地沿邊的方向改造出兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為，面積之和為500平方米，請(qǐng)問能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田嗎 并說明理由．
【答案】(1)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)30米，寬20米(2)不能改造出這樣兩塊不相符的實(shí)驗(yàn)田，見解析
【分析】（1）按照設(shè)計(jì)的花壇長(zhǎng)寬之比為設(shè)長(zhǎng)為米，寬為米，以面積為600平方米作等量關(guān)系列方程，解得x的值即可得出答案；
（2）設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為米，則小正方形的邊長(zhǎng)為米，根據(jù)面積之和為500m2，列出方程求出y，得到大正方形的邊長(zhǎng)和小正方形的邊長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】（1）解：長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為，
設(shè)該長(zhǎng)方形花壇長(zhǎng)為米，寬為米，依題意得：，，
∴或（不合題意，舍去），
答：該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)30米，寬20米；
（2）解：不能改造出這樣兩塊不相符的實(shí)驗(yàn)田，理由如下：
兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為，
設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為米，則小正方形的邊長(zhǎng)為米，依題意得：，
，，或（不合題意，舍去），
，所以不能改造出這樣兩塊不相符的實(shí)驗(yàn)田．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的應(yīng)用，運(yùn)用方程解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是找出題目的兩個(gè)相等關(guān)系．
24．（23-24九年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)i 叫做虛數(shù)單位，把形如（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a 叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b 叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．
例如計(jì)算：
；
根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)填空： ___，___；(2)計(jì)算：
(3)試一試：請(qǐng)利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)將，化簡(jiǎn)成的形式
【答案】(1)，1(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)題目中給出的進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得到規(guī)律的結(jié)果是4個(gè)一循環(huán)，且每4個(gè)的結(jié)果和為：，據(jù)此求解即可；（3）仿照分母有理化的方法對(duì)分子分母同時(shí)乘以進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：∵，∴；；故答案為：；1；
（2）解：∵，，，，…，
∴的結(jié)果是4個(gè)一循環(huán)，且每4個(gè)的結(jié)果和為：，
∵，
∴；
（3）解：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的運(yùn)算，數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
25．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）“說不完的”探究活動(dòng)，根據(jù)各探究小組的匯報(bào)，完成下列問題．
(1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
我們知道面積是2的正方形邊長(zhǎng)是，且．設(shè)，畫出如下示意圖．
由面積公式，可得______．
因?yàn)橹岛苄。愿。匀ィ梅匠蘝_____，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎樣畫出？請(qǐng)一起參與小敏探索畫過程．
現(xiàn)有2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖（1），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．
小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有，解得．把圖（1）如圖所示進(jìn)行分割，請(qǐng)?jiān)趫D（2）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．
請(qǐng)參考小敏做法，現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖（3），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程．
【答案】(1)，，，；(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)圖形中大正方形的面積列方程即可；
（2）在網(wǎng)格中分別找到1×1和1×2的長(zhǎng)方形，依次連接頂點(diǎn)即可．
【詳解】（1）由面積公式，可得
∵值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到0.001），即．故答案為：，，，；
（2）小敏同學(xué)的做法，如圖：
排列形式如圖（3），如圖：
畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形，如圖所示
【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，考查數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)正方形的面積求出帶根號(hào)的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
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專題3.4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算
1、了解在有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算及運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)等在實(shí)數(shù)內(nèi)仍然成立；
2、能熟練地進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算；在實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，根據(jù)問題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化有理數(shù)計(jì)算；
3、能用計(jì)算器按相關(guān)要求進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算。
專題3.4 實(shí)數(shù)的運(yùn)算
1、了解在有理數(shù)范圍內(nèi)的運(yùn)算及運(yùn)算法則、運(yùn)算性質(zhì)等在實(shí)數(shù)內(nèi)仍然成立；
2、能熟練地進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算；在實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，根據(jù)問題的要求取其近似值，轉(zhuǎn)化有理數(shù)計(jì)算；
3、能用計(jì)算器按相關(guān)要求進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算。
模塊1：知識(shí)梳理 2
模塊2：核心考點(diǎn) 3
考點(diǎn)1.實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算 2
考點(diǎn)2.程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算 3
考點(diǎn)3.新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算 4
考點(diǎn)4.實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律問題 5
考點(diǎn)5.實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用 6
考點(diǎn)6.用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算 8
模塊3：能力培優(yōu) 9
1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與有理數(shù)運(yùn)算順序基本相同，先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減。若遇到括號(hào)，則先進(jìn)行括號(hào)里的運(yùn)算。同級(jí)運(yùn)算按照從左到右順序進(jìn)行。
2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方及開方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立。
3）實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算：有理數(shù)的運(yùn)算法則與運(yùn)算律對(duì)實(shí)數(shù)仍然適用（交換律、結(jié)合律、分配律）。
4）能用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算，近似計(jì)算時(shí)按題目的要求用計(jì)算器得到結(jié)果近似值。
考點(diǎn)1.實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算
例1．（23-24七年級(jí)下·山東德州·期中）計(jì)算
(1)；(2)．
變式1．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）計(jì)算：．
變式2．（23-24七年級(jí)下·山西大同·期中）計(jì)算：(1) (2)．
考點(diǎn)2.程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算
例1．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·期中）如圖，有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下圖所示，當(dāng)輸入x的值為64時(shí)，則輸出y的值是 ．
變式1．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如圖所示，當(dāng)輸入的x為81時(shí)，輸出的y是（ ）
A． B．9 C． D．
變式2．（2024·遼寧·二模）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下：

當(dāng)輸入的時(shí)，輸出的y等于 ．
考點(diǎn)3.新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算
例1．（23-24七年級(jí)下·四川德陽·期末）對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)定義兩種運(yùn)算：，并且定義運(yùn)算順序仍然是先做括號(hào)內(nèi)的，例如，,．那么等于（ ）
A． B．3 C． D．2
變式1．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）定義新運(yùn)算：我們規(guī)定．則（ ）
A．32 B．36 C．68 D．64
變式2．（23-24七年級(jí)下·湖北十堰·期末）對(duì)于有理數(shù)a、b，定義的含義為：當(dāng)時(shí)，，例如：．已知，，且a和b為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則的立方根為 ．
考點(diǎn)4.實(shí)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律問題
例1．（23-24八年級(jí)上·河南洛陽·階段練習(xí)）觀察下列各式：，依次類推請(qǐng)你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律表示第2021個(gè)等式的結(jié)果，正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級(jí)下·廣東韶關(guān)·期中）按一定規(guī)律排列的一列數(shù)，，，，其第8個(gè)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
變式2．（23-24七年級(jí)下·安徽合肥·期中）觀察下面的數(shù)據(jù)：，，，，，，……．尋找規(guī)律，第個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是 ．
考點(diǎn)5.實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用
例1．（23-24七年級(jí)下·江西上饒·期末）如圖，將長(zhǎng)方形分成四個(gè)區(qū)域，其中A，B兩正方形區(qū)域的面積分別是3和9.
(1)A，B兩正方形的邊長(zhǎng)各是多少？
(2)求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留兩位小數(shù).參考數(shù)據(jù)：）.
變式1．（23-24九年級(jí)上·河南周口·階段練習(xí)）座鐘的擺針擺動(dòng)一個(gè)來回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為，其中T表示周期（單位：s），l表示擺長(zhǎng)（單位：m）．假如一臺(tái)座鐘的擺長(zhǎng)為0.2m．（取3，）。(1)求擺針擺動(dòng)的周期．(2)如果座鐘每擺動(dòng)一個(gè)來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？
變式2．（23-24七年級(jí)下·湖北宜昌·期中）某農(nóng)場(chǎng)有一塊用鐵柵欄圍墻圍成面積為700平方米的長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為7：4．(1)求該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬各為多少？
(2)農(nóng)場(chǎng)打算把長(zhǎng)方形空地沿邊的方向改造出兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為4：3，面積之和為600平方米，并把原來長(zhǎng)方形空地的鐵柵欄圍墻全部用來圍兩個(gè)小正方形試驗(yàn)田，請(qǐng)問能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田嗎，如果能，原來的鐵柵欄圍墻夠用嗎？
考點(diǎn)6.用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算
例1．（2024七年級(jí)上·浙江·專題練習(xí)）下列有關(guān)使用大雁學(xué)生計(jì)算器的說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．求的按鍵順序是
B．求的按鍵順序是
C．求的值的按鍵順序是
D．求的按鍵順序是
變式1．（2024·山東臨沂·一模）下列關(guān)于計(jì)算器的按鍵說法中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．按鍵顯示結(jié)果：2
B．按鍵顯示結(jié)果：64
C．用計(jì)算器求的值時(shí)，按鍵順序是
D．用計(jì)算器求的值時(shí)，按鍵順序是
變式2．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，《新課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在設(shè)計(jì)開放運(yùn)算時(shí)需要使用計(jì)算器．如圖是某型號(hào)學(xué)生用及計(jì)算器，依次按下得到的結(jié)果為： ．
全卷共25題 測(cè)試時(shí)間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：（ ）
A． B．5 C． D．1
2．（23-24七年級(jí)上·浙江·期中）計(jì)算：（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（23-24七年級(jí)下·遼寧大連·期末）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．（23-24八年級(jí)下·山東濰坊·期中）用我們數(shù)學(xué)課本上選用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算下列算式的值，其按鍵順序正確的是（ ）
A．計(jì)算，按鍵：
B．計(jì)算，按鍵：
C．計(jì)算，按鍵：
D．計(jì)算，按鍵：
5．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期中）按如圖所示的程序計(jì)算，若開始輸入的x的值是64，則輸出的y的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山東威海·一模）如圖所示，若用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，其按鍵順序如下：
則按鍵的結(jié)果為（ ）
A．3 B．7 C．15 D．19
7．（23-24七年級(jí)下·山東德州·期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，陳老師出示了一組題，閱讀下列解題過程，探求規(guī)律：
，，；；
計(jì)算式子 的值為（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）對(duì)實(shí)數(shù)a．b，定義“★”運(yùn)算規(guī)則如下：，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
9．（23-24八年級(jí)下·云南大理·期中）有一列數(shù)按如下規(guī)律排列：，，，，，，，則第2023個(gè)數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24七年級(jí)下·山東臨沂·開學(xué)考試）若a，b均為正整數(shù)，且，，則的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24七年級(jí)上·浙江·期中）計(jì)算： .
12．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算： ．
13．（23-24七年級(jí)下·山東濱州·期末）計(jì)算： ．
14．（2024七年級(jí)·浙江·專題練習(xí)）按如圖所示的程序計(jì)算：若開始輸入的值為，輸出的值是 ．
15．（23-24八年級(jí)上·內(nèi)蒙古包頭·期末）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，定義一種新的運(yùn)算如下，如:，那么 ．
16．（23-24七年級(jí)下·湖北咸寧·期中）某高速公路規(guī)定汽車的行駛速度不得超過千米/時(shí)，當(dāng)發(fā)生交通事故時(shí)，交通警察通常根據(jù)剎車后車輪滑過的距離估計(jì)車輛的行駛速度，所用的經(jīng)驗(yàn)公式是，其中v表示車速（單位：千米/時(shí)，d表示剎車后車輪滑過的距離（單位：米），f表示摩擦系數(shù)．在一次交通事故中，經(jīng)測(cè)量米，，請(qǐng)你通過計(jì)算判斷汽車此時(shí)的行駛速度v 100千米/時(shí)．（填“”、“”或“”）
17．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）將一組數(shù)，，3，，，…按如圖所示的方法進(jìn)行排列，若的位置記為，的位置記為，則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為 ．
18．（2023·江蘇南京·二模）我們把不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)稱為的整數(shù)部分，記作，又把稱為的小數(shù)部分，記作，則有．如：，，；，，，則下列說法正確的是 （填序號(hào)）．
①；②如，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；
③若且，則；④方程的實(shí)數(shù)解有4個(gè)．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）計(jì)算：
(1)；(2)．
20．（23-24七年級(jí)上·浙江·期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，運(yùn)算流程如下：
(1)在，2，4，16中選擇3個(gè)合適的數(shù)分別輸入，求對(duì)應(yīng)輸出的值．
(2)若輸出的值為，求輸入的值．
21．（23-24八年級(jí)下·山東聊城·期末）觀察下列各式：
；
；
；
請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式反映的規(guī)律，猜想：
(1)______；(2)______（n為正整數(shù)）；(3)利用上面的規(guī)律計(jì)算：．
22．（23-24八年級(jí)上·山東德州·開學(xué)考試）如果，那么x是a的平方根或二次方根，記作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，記作，如果，那么x是a的四次方根，記作，依此還有五次方根…(1)求256的四次方根；(2)計(jì)算；
(3)一個(gè)正數(shù)a的兩個(gè)六次方根分別為和，求這個(gè)正數(shù)a．
23．（23-24七年級(jí)下·湖北武漢·期中）某農(nóng)場(chǎng)有一塊用鐵柵欄圍墻圍成的面積為600平方米的長(zhǎng)方形空地，長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之比為．(1)求該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬各為多少
(2)農(nóng)場(chǎng)打算把長(zhǎng)方形空地沿邊的方向改造出兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田，兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)比為，面積之和為500平方米，請(qǐng)問能改造出這樣的兩塊不相連的正方形試驗(yàn)田嗎 并說明理由．
24．（23-24九年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)i 叫做虛數(shù)單位，把形如（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a 叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b 叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．
例如計(jì)算：
；
根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)填空： ___，___；(2)計(jì)算：
(3)試一試：請(qǐng)利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)將，化簡(jiǎn)成的形式
25．（23-24七年級(jí)下·北京·期中）“說不完的”探究活動(dòng)，根據(jù)各探究小組的匯報(bào)，完成下列問題．
(1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：
我們知道面積是2的正方形邊長(zhǎng)是，且．設(shè)，畫出如下示意圖．
由面積公式，可得______．
因?yàn)橹岛苄。愿。匀ィ梅匠蘝_____，解得____（保留到0.001），即_____．
(2)怎樣畫出？請(qǐng)一起參與小敏探索畫過程．
現(xiàn)有2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖（1），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．
小敏同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長(zhǎng)為．依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有，解得．把圖（1）如圖所示進(jìn)行分割，請(qǐng)?jiān)趫D（2）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．
請(qǐng)參考小敏做法，現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，排列形式如圖（3），請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（4）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形．說明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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