資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題3.1.平方根
1、了解算術平方根與平方根的概念與性質，會用根號表示一個正數的算術平方根與平方根；
2、了解求一個正數的算術平方根與平方是互逆運算，會求一個正數的算術平方根，并解決實際問題；
3、能正確區分平方根與算術平方根的意義。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.平方根的相關概念理解 3
考點2.求一個數的平方根 4
考點3.已知平方根求數 4
考點4.利用平方根解方程 5
考點5.求已知數的算術平方根 7
考點6.算術平方根的非負性 8
考點7.與算術平方根有關的規律問題 9
考點8.算術平方根的實際應用 10
模塊3：能力培優 9
1）平方根的定義
如果一個數的平方等于（即），那么叫做的平方根，也叫做二次方根。
一個正數有正、負兩個平方根，他們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
一個正數的正平方根用表示（讀作：根號）；的負平方根用-表示（讀作：負根號）。
因此一個正數的平方根的就用表示（讀作：負根號），其中叫做被開方數。
求一個數的平方根的運算叫作開平方。開平方是平方運算的逆運算，因此可以平方運算來求一個數的平方根。
2）算術平方根的定義
正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。因此一個數（≥0）的算術平方根記為。
3）平方根和算術平方根的區別：（1）定義不同；（2）結果不同：和。
4）平方根和算術平方根的聯系：（1）平方根包含算術平方根；（2）被開方數都是非負數；（3）0的平方根和算術平方根均為0。
5）平方根的性質：
6）平方根小數點位數移動規律
被開方數的小數點向右或者向左移動2位，它的算術平方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.
例如：，，，.
考點1.平方根的相關概念理解
例1．（23-24七年級下·河南周口·階段練習）下列判斷正確的是（ ）
A．一定沒有平方根 B．只有正數才有平方根
C．正數的平方根仍然是正數 D．的平方根為
變式1.（2024 浙江七年級期中）下列各數中一定有平方根的是（　　）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
變式2.（23-24八年級上·山西晉城·期中）下列各數沒有平方根的是（ ）
A． B．0 C．2 D．6
變式3.（2024·成都市初二課時練習）下列說法正確的是( )
A．任何非負數都有兩個平方根 B．一個正數的平方根仍然是正數
C．只有正數才有平方根 D．負數沒有平方根
考點2.求一個數的平方根
例1．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）16的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．
變式1．（23-24八年級上·四川成都·期中）的平方根是（　　）
A．4 B． C． D．
變式2．（23-24八年級上·海南·期中）的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
變式3．（23-24八年級上·陜西西安·期中）的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
考點3.已知平方根求數
例1．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）一個正數b的兩個平方根分別是與，
(1)求和的值．(2)求平方根．
變式1．（23-24七年級下·云南昆明·期末）已知一個正數的兩個不同的平方根分別是和，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．25 D．
變式2．（23-24八年級上·四川達州·期中）若正數的平方根分別是和，則_____．
變式3．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）一個正數x的兩個不同的平方根分別是和．
(1)求a和x的值；(2)求的算術平方根．
考點4.利用平方根解方程
例1．（23-24七年級下·浙江·假期作業）求下列各式中的值．
(1)；(2)；(3)；(4)．
變式1．（2024七年級上·浙江·專題練習）計算：(1)；(2)．
變式2．（23-24八年級上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．
考點5.求已知數的算術平方根
例1．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各數的算術平方根：(1)0.49；(2)；(3)；(4)．
變式1．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）下列結論正確的是（ ）
A．的平方根是 B．的算術平方根是
C．一個數的算術平方根一定是正數 D．算術平方根等于本身的數是1
變式2．（23-24七年級下·河北保定·階段練習）算術平方根等于它本身的數是（ ）
A．1和0 B．0 C．1 D．和0
變式3．（24-25八年級上·四川綿陽·開學考試）下列各數中，算術平方根為小數的是（　　）
A．1 B．4 C．5 D．9
考點6.算術平方根的非負性
例1．（23-24七年級下·山西大同·階段練習）若a，b為實數，且，則的值為 。
變式1．（23-24七年級下·廣東肇慶·期末）如果和互為相反數，那么的平方根是 ．
變式2．（23-24八年級上·湖南郴州·期末）當 時，有最小值．
考點7.與算術平方根有關的規律問題
例1．（23-24八年級上·四川內江·開學考試）按要求填空：
（1）填表：
0.0004 0.04 4 400
（2）根據你發現規律填空：已知：，則 ， ；
已知：，，則 ．
變式1．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）若，，那么的值為 .
變式2．（23-24七年級下·山東濱州·階段練習）愛學習愛思考的小明，在家利用計算器計算得到下列數據：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)你發現的規律是被開方數擴大100倍，它的算術平方根擴大______；
(2)已知（精確到0.001），并用上述規律直接寫出各式的值______，______；
(3)已，，，則______，______．
考點8.算術平方根的實際應用
例1．（23-24七年級下·福建·期末）依依需要一塊長、寬比為且面積為120平方米的長方形舞臺幕布．現有兩塊閑置的邊長為9米的正方形布料，依依想按下圖所示的方式將兩塊正方形布料裁開后縫合成一塊大正方形布料，再將其大正方形沿邊裁剪出長方形舞臺幕布．（接縫處忽略不計）
(1)縫合后大正方形的邊長為__________米；
(2)依依能否裁剪出符合條件的長方形舞臺幕布，請說明理由．
變式1．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，每個小正方形的邊長為1，剪一剪，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長是 ．
變式2．（23-24七年級下·陜西咸陽·期中）某社區為了方便廣大群眾跳廣場舞，決定在一塊面積為1024平方米的正方形地塊上修建一個長方形廣場舞臺．若要求舞臺的面積為420平方米，長是寬的倍，舞臺四周留出1米寬的通道，請你通過計算說明能否按照要求修建好該廣場舞臺．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級下·廣西崇左·期中）下列各式正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）一個數的平方根與它本身相等，這個數是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
3．（23-24八年級上·河南南陽·期中）的平方根是( )
A．9 B． C．3 D．
4．（23-24八年級上·河北保定·期中）下面各數沒有平方根（ ）
A．55 B． C．0 D．
5．（23-24八年級上·江蘇·周測）下列說法正確的是（　　）
A．的平方根是 B．的算術平方根是
C．平方根等于本身的數是0和1 D．0的平方根與算術平方根都是0
6．（23-24七年級下·新疆烏魯木齊·階段練習）下列語句中，真命題為（ ）
A．的平方根為 B．只有正數才有平方根
C．正數的平方根仍然是正數 D．一定沒有平方根
7．（2023·浙江寧波·模擬預測）已知x，y為實數，且，則的平方根為（　　）
A． B．2 C． D．
8．（23-24七年級下·河北唐山·期中）如果被開方數的小數點向右每移動兩位，那么它的算術平方根的小數點就（ ）
A．向右移動一位 B．向右移動兩位 C．向左移動一位 D．向左移動兩位
9．（23-24八年級下·湖北武漢·期末）正方形的邊長為，它的面積與長為，寬為的矩形的面積相等．則a的值為（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24九年級上·浙江臺州·開學考試）如圖，將一個小正方形放入到一個大正方形中，陰影部分的面積等于小正方形的面積，則大正方形與小正方形的邊長之比（ ）

A． B． C． D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24八年級下·遼寧本溪·開學考試）的平方根是 .
12．（24-25八年級上·廣東深圳·開學考試）閱讀：一般地，如果一個正數的平方等于，即，那么這個正數就叫做的算術平方根，記作，讀作“根號”，規定：0的算術平方根是0，即，如：，所以4是16的算術平方根，即，填空：17的算術平方根是 ，1的算術平方根是 ， ．
13．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）一個數具有以下兩個特點：①它的平方等于7；②它是負數．這個數是 ．
14．（23-24八年級上·四川成都·期末）定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程．如，，都是一元二次方程．根據平方根的特征，可以將形如的一元二次方程轉化為一元一次方程求解．如：解方程的思路是：由，可得．
解決問題：
（1）解 程．
解：，
，或 ．
．
（2）解 程：的根為 ．
15．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）請寫出一個正整數n，使得是整數， ．
16．（23-24七年級上·浙江·期中）當代數式取最大值時，x的值為 ．
17．（23-24七年級下·江蘇南通·期中）已知，，則 ．
18．（23-24七年級下·山東臨沂·期中）一般的，如果，則稱x為a的四次方根，一個正數a的四次方根有兩個，它們互為相反數，記為，若，則m= ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各數的平方根：
(1)121；(2)；(3)；(4)．
20．（2024七年級上·浙江·專題練習）已知與互為相反數，求的值．
21．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各式中x的值．(1)；(2)．
22．（24-25八年級上·全國·課后作業）物體自由下落時，如果不考慮空氣的阻力，那么物體從開始下落到剛好落地的距離與時間可用公式來估計．(1)把這個公式變形成用s表示t的公式；(2)有一只野兔從山崖邊不慎跌入深的峽谷，則它落到峽谷底經過了多長時間？
23．（23-24八年級上·遼寧丹東·期中）已知一個正數的兩個不相等的平方根是與．
（1）求的值及這個正數；（2）求關于的方程的解．
24．（23-24七年級下·河北保定·期末）如圖，用兩個面積為的小正方形紙片拼成一個大正方形．
(1)求拼成的大正方形紙片的邊長；
(2)小麗想：若沿此大正方形紙片的邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長、寬之比為且面積為？她不知能否剪得出來，正在發愁．小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片剪出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說法嗎？你認為小麗能用這塊紙片剪出符合要求的紙片嗎？為什么？
25．（23-24七年級下·重慶梁平·期末）（1）觀察發現：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）歸納總結：
被開方數的小數點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數點就向______移動______位．
（3）規律運用：①已知，則______；
②已知，則m＝______．
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專題3.1.平方根
1、了解算術平方根與平方根的概念與性質，會用根號表示一個正數的算術平方根與平方根；
2、了解求一個正數的算術平方根與平方是互逆運算，會求一個正數的算術平方根，并解決實際問題；
3、能正確區分平方根與算術平方根的意義。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.平方根的相關概念理解 3
考點2.求一個數的平方根 4
考點3.已知平方根求數 4
考點4.利用平方根解方程 5
考點5.求已知數的算術平方根 7
考點6.算術平方根的非負性 8
考點7.與算術平方根有關的規律問題 9
考點8.算術平方根的實際應用 10
模塊3：能力培優 9
1）平方根的定義
如果一個數的平方等于（即），那么叫做的平方根，也叫做二次方根。
一個正數有正、負兩個平方根，他們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
一個正數的正平方根用表示（讀作：根號）；的負平方根用-表示（讀作：負根號）。
因此一個正數的平方根的就用表示（讀作：負根號），其中叫做被開方數。
求一個數的平方根的運算叫作開平方。開平方是平方運算的逆運算，因此可以平方運算來求一個數的平方根。
2）算術平方根的定義
正數的正平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0。因此一個數（≥0）的算術平方根記為。
3）平方根和算術平方根的區別：（1）定義不同；（2）結果不同：和。
4）平方根和算術平方根的聯系：（1）平方根包含算術平方根；（2）被開方數都是非負數；（3）0的平方根和算術平方根均為0。
5）平方根的性質：
6）平方根小數點位數移動規律
被開方數的小數點向右或者向左移動2位，它的算術平方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.
例如：，，，.
考點1.平方根的相關概念理解
例1．（23-24七年級下·河南周口·階段練習）下列判斷正確的是（ ）
A．一定沒有平方根 B．只有正數才有平方根
C．正數的平方根仍然是正數 D．的平方根為
【答案】D
【分析】本題主要考查了平方根的概念，對于兩個實數a、b，若滿足，那么a就叫做b的平方根，據此求解即可．
【詳解】解：A、當時，有平方根，原說法錯誤，不符合題意；
B、只有正數和0才有平方根，原說法錯誤，不符合題意；
C、正數的平方根有兩個，它們互為相反數，原說法錯誤，不符合題意；
D、的平方根為，原說法正確，符合題意；故選：D．
變式1.（2024 浙江七年級期中）下列各數中一定有平方根的是（　　）
A．a2﹣5 B．﹣a C．a+1 D．a2+1
【思路點撥】非負數必定有平方根．
【答案】解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合題意．
B、﹣a有可能小于0，故B不符合題意．
C、a+1有可能小于，故C不符合題意．
D、a2+1≥0，故D符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查平方根，解題的關鍵是正確理解平方根的定義，本題屬于基礎題型．
變式2.（23-24八年級上·山西晉城·期中）下列各數沒有平方根的是（ ）
A． B．0 C．2 D．6
【答案】A
【分析】本題考查平方根的性質，根據負數沒有平方根，進行判斷即可．
【詳解】解：∵負數沒有平方根，
又∵選項中只有A選項為負數，∴A選項沒有平方根．故選：A．
變式3.（2024·成都市初二課時練習）下列說法正確的是( )
A．任何非負數都有兩個平方根 B．一個正數的平方根仍然是正數
C．只有正數才有平方根 D．負數沒有平方根
【答案】D
【解析】解：A. 非負數0的平方根是0，只有一個，故本選項錯誤；
B. 一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，故本選項錯誤；
C. 因0的平方根是0，故本選項錯誤；D. 負數沒有平方根，故本選項正確；故選：D
【點睛】本題考查正數有兩個平方根，0的平方根是0，負數沒有平方根．
考點2.求一個數的平方根
例1．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）16的平方根是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查平方根．根據平方根的定義即可求解．
【詳解】解：16的平方根是，故選：D．
變式1．（23-24八年級上·四川成都·期中）的平方根是（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查算術平方根和平方根的區別，注意先求得的值，再求其平方根．
【詳解】解：．4的平方根為．故選：C．
變式2．（23-24八年級上·海南·期中）的平方根是（ ）
A．3 B． C． D．9
【答案】B
【分析】根據平方根的定義進行求解即可，熟練掌握平方根的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：，故選：B
變式3．（23-24八年級上·陜西西安·期中）的平方根是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平方根，根據正數的平方根有兩個，它們互為相反數，根據平方根定義求解即可．
【詳解】解：的平方根是，故選：A．
考點3.已知平方根求數
例1．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）一個正數b的兩個平方根分別是與，
(1)求和的值．(2)求平方根．
【答案】(1)，(2)
【分析】本題主要考查了平方根的概念和求一個數的平方根：
（1）根據一個正數的兩個平方根互為相反數得到據此求出a的值，再根據平方根的定義求出b的值即可；（2）根據（1）求出的值，再根據平方根的定義求解即可．
【詳解】（1）解：∵一個正數b的兩個平方根分別是與，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：由（1）得，，∴，
∵36的平方根為，∴的平方根為．
變式1．（23-24七年級下·云南昆明·期末）已知一個正數的兩個不同的平方根分別是和，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．25 D．
【答案】C
【分析】本題考查平方根．根據一個正數的兩個平方根互為相反數，求出的值，進而求出的值即可．
【詳解】解：由題意，得：，解得：，∴；故選C．
變式2．（23-24八年級上·四川達州·期中）若正數的平方根分別是和，則_____．
【答案】
【分析】本題考查了平方根，根據平方根互為相反數，可得和的關系，根據解一元一次方程，可得的值，根據平方運算即可求值，解題的關鍵是正確理解平方根的概念．
【詳解】解：∵一個數的平方根有兩個，并且這兩個數互為相反數，
∴， ∴，即，，
∴，故答案為：．
變式3．（23-24八年級上·江蘇揚州·期中）一個正數x的兩個不同的平方根分別是和．
(1)求a和x的值；(2)求的算術平方根．
【答案】(1)，(2)6
【分析】本題考查平方根與算術平方根的定義和性質．解題的關鍵是掌握一個正數的兩個平方根互為相反數．（1）根據正數的兩個平方根互為相反數，列式求解即可；（2）根據算術平方根的定義，進行求解即可．
【詳解】（1）解：由題可知，，解得，則．
（2）將與的值代入，得．則．故的算術平方根是6．
考點4.利用平方根解方程
例1．（23-24七年級下·浙江·假期作業）求下列各式中的值．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)或(3)(4)或
【分析】本題考查了平方根解方程，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
（1）先系數化1，再開平方根，即可作答．（2）開平方根，然后再移項運算，即可作答．
（3）先系數化1，再開平方根，即可作答．（4）先系數化1，再開平方根，移項運算，即可作答．
【詳解】（1）解：
解得
（2）解：
解得或；
（3）解：
解得
（4）解：
解得或．
變式1．（2024七年級上·浙江·專題練習）計算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)或
【分析】本題主要考查了利用平方根解方程，熟練掌握平方根的性質是解題關鍵．
（1）首先將原方程整理為，然后根據平方根的性質求解即可；
（2）首先將原方程整理為，然后根據平方根的性質求解即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
或．
變式2．（23-24八年級上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值：(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)或
【分析】本題主要考查了求平方根的方法解方程：
（1）根據求平方根的方法解方程即可；（2）根據求平方根的方法解方程即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或．
考點5.求已知數的算術平方根
例1．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各數的算術平方根：
(1)0.49；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)0.7(2)3(3)(4)3
【分析】本題考查算術平方根，關鍵是掌握算術平方根的定義．
（1）根據算術平方根的定義計算即可；（2）根據算術平方根的定義計算即可；
（3）根據算術平方根的定義計算即可；（4）根據算術平方根的定義計算即可；
【詳解】（1）解：∵，
∴0.49的算術平方根是0.7；
（2）解：，
∵，
∴的算術平方根是3；
（3）解：，
∵，
∴的算術平方根是；
（4）解：∵，
∴的算術平方根是3．
變式1．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）下列結論正確的是（ ）
A．的平方根是 B．的算術平方根是
C．一個數的算術平方根一定是正數 D．算術平方根等于本身的數是1
【答案】B
【分析】本題主要考查平方根，算術平方根，熟知平方根，算術平方根的定義是解題的關鍵，注意一個正數的平方根有兩個，其中正的平方根叫做算術平方根．根據平方根，算術平方根的定義進行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、的平方根為，說法錯誤，不符合題意；
B、的的算術平方根是，說法正確，符合題意；
C、一個數的算術平方根一定是正數或零，說法錯誤，不符合題意；
D、算術平方根等于本身的數為1，0，說法錯誤，不符合題意．故選：B．
變式2．（23-24七年級下·河北保定·階段練習）算術平方根等于它本身的數是（ ）
A．1和0 B．0 C．1 D．和0
【答案】A
【分析】根據算術平方根的定義即可確定．
本題考查了算術平方根，關鍵是根據算術平方根的定義解答．
【詳解】解：算術平方根等于本身的數有：0，1．故選：A．
變式3．（24-25八年級上·四川綿陽·開學考試）下列各數中，算術平方根為小數的是（　　）
A．1 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【分析】本題考查了算術平方根，熟練掌握算術平方根的計算是解題的關鍵；分別求出每個選項的算術平方根即可；
【詳解】、1的算術平方根是1，故本選項不符合題意；
、4的算術平方根是2，故本選項不符合題意；
、5的算術平方根是，而是小數，故本選項符合題意；
、9的算術平方根是3，故本選項不符合題意；故選：．
考點6.算術平方根的非負性
例1．（23-24七年級下·山西大同·階段練習）若a，b為實數，且，則的值為
【答案】1
【分析】本題考查了絕對值的非負性，算術平方根的非負性，乘方運算，先得出，再代入進行計算，即可作答．
【詳解】解：∵，∴，∴，
∴，故答案為：1．
變式1．（23-24七年級下·廣東肇慶·期末）如果和互為相反數，那么的平方根是 ．
【答案】；
【分析】本題考查了二次根式的非負性，根據非負式子和為0，它們分別等于0直接求解即可得到答案；
【詳解】解：∵，，且和互為相反數，
∴，，解得：，，
∴，∴的平方根是：，故答案為：．
變式2．（23-24八年級上·湖南郴州·期末）當 時，有最小值．
【答案】8
【分析】本題主要考查了算術平方根的非負性，根據，當且僅當時取得等號可得答案．
【詳解】解：∵，當且僅當時取得等號，
∴當，有最小值，故答案為：8．
考點7.與算術平方根有關的規律問題
例1．（23-24八年級上·四川內江·開學考試）按要求填空：
（1）填表：
0.0004 0.04 4 400
（2）根據你發現規律填空：已知：，則 ， ；
已知：，，則 ．
【答案】 0.02 0.2 2 20 26.83 0.02683 3800
【分析】本題考查了數字類規律探究，算術平方根，根據解題過程找出一般規律是解題關鍵．
（1）先求出每個數的算術平方根，再填表即可；（2）根據計算找出規律即可得到答案．
【詳解】（1），，，，填表如下：
a
（2）由以上解答過程發現：求一個數的算術平方根時，被開方數擴大或縮小100倍，則它的算術平方根擴大或縮小10倍，
，；
，，∵，．
故答案為0.02、0.2、2、20；26.38，0.02683，3800．
變式1．（23-24七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）若，，那么的值為 .
【答案】
【分析】本題考查了算術平方根，準確熟練利用題意計算是解題的關鍵．
根據被開方數的小數點向左移動兩位，它的算術平方根的小數點只向左移動一位，即可解答．
【詳解】∵，
∴，故答案為：．
變式2．（23-24七年級下·山東濱州·階段練習）愛學習愛思考的小明，在家利用計算器計算得到下列數據：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
(1)你發現的規律是被開方數擴大100倍，它的算術平方根擴大______；
(2)已知（精確到0.001），并用上述規律直接寫出各式的值______，______；
(3)已，，，則______，______．
【答案】(1)倍(2)；(3)；
【分析】本題考查了算術平方根的應用，掌握小數點的移動規律是解題的關鍵．
（1）根據根號內的小數點移動規律即可求解，算術平方根的規律為，根號內的小數點移動2位，對應的結果小數移動1位，小數點的移動方向保持一致；
（2）根據規律進行計算即可求解；（3）根據規律進行計算即可求解；
【詳解】（1）解：被開方數擴大倍，它的算術平方根擴大倍；
（2）解：∵（精確到），∴；；
（3）解：∵∴；；
考點8.算術平方根的實際應用
例1．（23-24七年級下·福建·期末）依依需要一塊長、寬比為且面積為120平方米的長方形舞臺幕布．現有兩塊閑置的邊長為9米的正方形布料，依依想按下圖所示的方式將兩塊正方形布料裁開后縫合成一塊大正方形布料，再將其大正方形沿邊裁剪出長方形舞臺幕布．（接縫處忽略不計）
(1)縫合后大正方形的邊長為__________米；
(2)依依能否裁剪出符合條件的長方形舞臺幕布，請說明理由．
【答案】(1)(2)依依能裁剪出符合條件的長方形舞臺幕布，理由見解析
【分析】本題考查了算術平方根的應用，理解算術平方根的意義是解此題的關鍵．
（1）設大正方形的邊長是米．由題意得出，求解即可得出答案；（2）設長方形的長為米，寬為米，由題意得出，計算即可得出長方形邊長，再比較即可得出答案．
【詳解】（1）解：設大正方形的邊長是米．
由題意得：解得：（舍去），
∴縫合后大正方形的邊長為米；
（2）解：設長方形的長為米，寬為米
（舍去）∴
∵∴
答：依依能裁剪出符合條件的長方形舞臺幕布．
變式1．（24-25八年級上·全國·單元測試）如圖，每個小正方形的邊長為1，剪一剪，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長是 ．
【答案】
【分析】本題考查了平方根的概念，圖形的剪拼，剪拼圖形是解題的關鍵．將圖形剪拼成正方形，根據正方形的面積求出其邊長即可．
【詳解】解：分割圖形如下：
這個正方形的面積為5，故這個正方形的邊長是．故答案為：．
變式2．（23-24七年級下·陜西咸陽·期中）某社區為了方便廣大群眾跳廣場舞，決定在一塊面積為1024平方米的正方形地塊上修建一個長方形廣場舞臺．若要求舞臺的面積為420平方米，長是寬的倍，舞臺四周留出1米寬的通道，請你通過計算說明能否按照要求修建好該廣場舞臺．
【答案】能按要求在這塊空地上建一個籃球場
【分析】本題考查了算術平方根的應用，先設籃球場的寬為x米，列出方程求得籃球場的長和寬，再結合題即可判斷能否按規定在這塊空地上建籃球場了．
【詳解】設籃球場的寬為x 米，則長為米，根據題意，得
，即，
∵x為正數，∴，∴（米）∴籃球場的長為28米，
∵，∴能按要求在這塊空地上建一個籃球場．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級下·廣西崇左·期中）下列各式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了算術平方根的計算，掌握運算法則是解答此題的關鍵．利用算術平方根的定義運算即可．
【詳解】解：A．，所以此選項正確；B．，所以此選項錯誤；
C．，所以此選項錯誤；D．，所以此選項錯誤；故選：A．
2．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）一個數的平方根與它本身相等，這個數是（ ）
A．0 B．2 C．1 D．3
【答案】A
【分析】本題考查了平方根．利用了開方運算，注意一個正數的平方根有兩個．
【詳解】解：若一個數的平方根等于它的本身，則這個數是0，故選：A．
3．（23-24八年級上·河南南陽·期中）的平方根是( )
A．9 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本題考查了求算術平方根，求平方根，先化簡，再求其平方根即可，理解算術平方根和平方根的定義是解題的關鍵．
【詳解】解： ，9的平方根是．故選：D．
4．（23-24八年級上·河北保定·期中）下面各數沒有平方根（ ）
A．55 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】本題考查了平方根的性質，理解并掌握“負數沒有平方根”是解決問題的關鍵．
【詳解】解：，，∵負數沒有平方根，∴沒有平方根．故選：D．
5．（23-24八年級上·江蘇·周測）下列說法正確的是（　　）
A．的平方根是 B．的算術平方根是
C．平方根等于本身的數是0和1 D．0的平方根與算術平方根都是0
【答案】D
【分析】根據平方根及算術平方根的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：負數沒有平方根，故A、B均不符合題意；
平方根等于本身的數是0，1的平方根是，故C不符合題意；
0的平方根與算術平方根都是0，故D符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查平方根與算術平方根，熟練掌握其定義是解題的關鍵．
6．（23-24七年級下·新疆烏魯木齊·階段練習）下列語句中，真命題為（ ）
A．的平方根為 B．只有正數才有平方根
C．正數的平方根仍然是正數 D．一定沒有平方根
【答案】A
【分析】此題考查了平方根的意義，根據平方根的意義進行解答即可．
【詳解】解：A．的平方根為，故選項正確，符合題意；
B．正數和0都有平方根，故選項錯誤，不符合題意；
C．正數的平方根有兩個，一個正根和一個負根，且互為相反數，故選項錯誤，不符合題意；
D．當時，，此時有平方根是0，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．
7．（2023·浙江寧波·模擬預測）已知x，y為實數，且，則的平方根為（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查非負性，求一個數的平方根，根據非負性，求出x，y的值，進而求出的值，再根據平方根的定義，進行求解即可．
【詳解】解：∵x，y滿足，∴，解得，
∴，∴的平方根為．故選：D．
8．（23-24七年級下·河北唐山·期中）如果被開方數的小數點向右每移動兩位，那么它的算術平方根的小數點就（ ）
A．向右移動一位 B．向右移動兩位 C．向左移動一位 D．向左移動兩位
【答案】A
【分析】本題考查算術平方根的性質，根據被開方數的小數點向右每移動兩位，算術平方根的小數點向右平移1位，作答即可．
【詳解】解：如果被開方數的小數點向右每移動兩位，那么它的算術平方根的小數點就向右移動一位；
故選：A．
9．（23-24八年級下·湖北武漢·期末）正方形的邊長為，它的面積與長為，寬為的矩形的面積相等．則a的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了算術平方根的應用．根據面積公式和算術平方根的定義求解．
【詳解】解：根據題意得：，∴．故選：C
10．（23-24九年級上·浙江臺州·開學考試）如圖，將一個小正方形放入到一個大正方形中，陰影部分的面積等于小正方形的面積，則大正方形與小正方形的邊長之比（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查二次根式的性質與化簡，根據題意得，，即，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，即，∴大正方形與小正方形的邊長之比，故選：B．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24八年級下·遼寧本溪·開學考試）的平方根是 .
【答案】
【分析】本題考查了求一個數的平方與平方根；先計算出平方，再求平方根即可．
【詳解】解：，而，
故答案為：．
12．（24-25八年級上·廣東深圳·開學考試）閱讀：一般地，如果一個正數的平方等于，即，那么這個正數就叫做的算術平方根，記作，讀作“根號”，規定：0的算術平方根是0，即，如：，所以4是16的算術平方根，即，填空：17的算術平方根是 ，1的算術平方根是 ， ．
【答案】
【分析】本題考查了算術平方根的定義，會利用算術平方根的定義求一個數的算術平方根是解題的關鍵．
【詳解】解：17的算術平方根是，1的算術平方根是，；故答案：，，．
13．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）一個數具有以下兩個特點：①它的平方等于7；②它是負數．這個數是 ．
【答案】
【分析】本題考查平方根，根據平方根的定義即可求得答案，熟練掌握其定義是解題的關鍵．
【詳解】解：一個數具有以下兩個特點：①它的平方等于7；②它是負數，
這個數是，故答案為：．
14．（23-24八年級上·四川成都·期末）定義：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的方程，叫做一元二次方程．如，，都是一元二次方程．根據平方根的特征，可以將形如的一元二次方程轉化為一元一次方程求解．如：解方程的思路是：由，可得．
解決問題：
（1）解 程．
解：，
，或 ．
．
（2）解 程：的根為 ．
【答案】 0 2，
【分析】本題考查了利用平方根性質進行求解方程，熟練掌握平方根性質是解題關鍵．
（1）利用開平方的方法解方程即可；
（2）利用開平方的方法解方程即可．
【詳解】解：（1）解：，
，或．
0．
（2），
，
，
，或．
．
故答案為：；0；，．
15．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）請寫出一個正整數n，使得是整數， ．
【答案】6（答案不唯一）
【分析】本題考查算術平方根，掌握算術平方根的定義是解題的關鍵．根據算術平方根的定義進行解題即可．
【詳解】解：．．故答案為：6（答案不唯一）．
16．（23-24七年級上·浙江·期中）當代數式取最大值時，x的值為 ．
【答案】0
【分析】本題考查算術平方根的性質，根據算術平方根為非負數，進行求解即可．
【詳解】解：∵，∴代數式取最大值時，取得最小值，
即當時原式有最大值，故答案為：0．
17．（23-24七年級下·江蘇南通·期中）已知，，則 ．
【答案】31.9
【分析】本題考查算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關鍵．根據算術平方根的定義進行解題即可．
【詳解】解：，，
．故答案為：31.9．
18．（23-24七年級下·山東臨沂·期中）一般的，如果，則稱x為a的四次方根，一個正數a的四次方根有兩個，它們互為相反數，記為，若，則m= ．
【答案】±2
【分析】利用題中四次方根的定義求解．
【詳解】解：∵，∴m4＝24，∴m＝±2．故答案為：±2．
【點睛】本題考查了方根的定義．關鍵是求四次方根時，注意正數的四次方根有2個．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各數的平方根：
(1)121；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】本題考查了平方根，開方運算是解題關鍵，注意正數的平方根有兩個，它們互為相反數．
（1）根據開平方，可得答案；（2）根據開平方，可得答案；（3）根據開平方，可得答案；
（4）先求出，再根據開平方，可得答案；
【詳解】（1）解：；
（2）；
（3）；
（4）∵，
∴的平方根是；
20．（2024七年級上·浙江·專題練習）已知與互為相反數，求的值．
【答案】
【分析】本題考查了一個非負數的算術平方根的非負性的性質，本題主要運用了算術平方根、平方、絕對值的非負性，求出a，b，c的值，再帶入求解即可．
【詳解】解：∵與互為相反數，，
，，
，，．
．
21．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各式中x的值．(1)；(2)．
【答案】(1)；(2)或．
【分析】本題考查了平方根的定義，正確理解平方根的定義是解題的關鍵．
（1）利用平方根的定義解方程即可；（2）利用平方根的定義解方程即可；
【詳解】（1）移項，得，
開平方，得；
（2）開平方，得，
解得：或．
22．（24-25八年級上·全國·課后作業）物體自由下落時，如果不考慮空氣的阻力，那么物體從開始下落到剛好落地的距離與時間可用公式來估計．
(1)把這個公式變形成用s表示t的公式；
(2)有一只野兔從山崖邊不慎跌入深的峽谷，則它落到峽谷底經過了多長時間？
【答案】(1)(2)
【分析】本題主要考查算術平方根，解題的關鍵是掌握算術平方根的定義．
（1）先將的系數化為1，再根據算術平方根的定義可得；（2）將代入計算可得．
【詳解】（1）解：，，；
（2）當時，，
答：它落到峽谷底經過了6秒時間．
23．（23-24八年級上·遼寧丹東·期中）已知一個正數的兩個不相等的平方根是與．
（1）求的值及這個正數；（2）求關于的方程的解．
【答案】（1）a=1，這個正數是49；（2）
【分析】（1）由正數的兩個平方根互為相反數得到+=0，求解即可得到答案；
（2）將a=1代入方程，根據平方根的意義得到答案即可．
【詳解】解：（1）由題意得+=0，解得a=1，
∴這個正數是；
（2）將a=1代入方程，得-64=0，解得．
【點睛】此題考查正數平方根的性質，根據平方根的定義解方程，正確理解平方根的性質是解題的關鍵．
24．（23-24七年級下·河北保定·期末）如圖，用兩個面積為的小正方形紙片拼成一個大正方形．
(1)求拼成的大正方形紙片的邊長；
(2)小麗想：若沿此大正方形紙片的邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長、寬之比為且面積為？她不知能否剪得出來，正在發愁．小明見了說：“別發愁，一定能用一塊面積大的紙片剪出一塊面積小的紙片．”你同意小明的說法嗎？你認為小麗能用這塊紙片剪出符合要求的紙片嗎？為什么？
【答案】(1)(2)不同意小明的說法，我認為小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片，理由見解析
【分析】本題考查平方根的實際應用，讀懂題意，由算術平方根及平方根定義列式求解即可得到答案，讀懂題意，由平方根定義列式求解是解決問題的關鍵．
（1）根據題意，利用算術平方根列式求解即可得到答案；
（2）設長方形紙片的長為，寬為，由題意得到求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：用兩個面積為的小正方形紙片拼成一個大正方形，
大正方形的邊長為；
（2）解：不同意小明的說法；我認為小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片．
理由如下：設長方形紙片的長為，寬為，根據題意得，解得或（負值，舍去），即長方形的長為，寬為，
∵，不符合題意，∴小麗不能用這塊紙片剪出符合要求的紙片．
25．（23-24七年級下·重慶梁平·期末）（1）觀察發現：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）歸納總結：
被開方數的小數點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數點就向______移動______位．
（3）規律運用：①已知，則______；
②已知，則m＝______．
【答案】（1）0.1；10 （2）右；1 （3）① ②25
【分析】本題考查算術平方根中的規律探索題：（1）直接計算即可；
（2）觀察（1）中表格數據，找出規律；（3）利用（2）中找出的規律求解．
【詳解】解：（1），，故答案為：，10；
（2）由表格中的數據可知被開方數的小數點每向右移動2位，相應的算術平方根的小數點就向右移動1位．故答案為：右，1；
（3）①已知，則，②已知，，則，∴
故答案為：①22.4；②25．
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