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專題3.3.立方根
1、了解立方根的含義；
2、會用開立方運算求一個數的立方根，與立方互為逆運算，
3、了解立方根的性質；
4、區分立方根與平方根的不同。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 2
考點1.立方根的概念理解 2
考點2.求一個數的立方根 3
考點3.利用開立方解方程 4
考點4.立方根的性質 5
考點5.立方根小數點位數移動規律 6
考點6.立方根的實際應用 7
考點7.算術平方根與立方根的綜合運用 8
考點8.閱讀材料與新定義問題考法 10
模塊3：能力培優 11
1）立方根的定義:如果一個數的立方等于（即），那么這個數叫做的立方根或三次方根，記作，其中是被開方數，3是根指數。
2）求一個數的立方根的運算，叫做開立方。開立方是立方運算的逆運算。
3）一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。
4）立方根的性質
注意：第一個公式可以將求負數的立方根的問題轉化為求正數的立方根的問題.
5）立方根小數點位數移動規律
被開方數的小數點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.
例如，，，，.
考點1.立方根的概念理解
例1．（24-25八年級上·內蒙古通遼·開學考試）下列說法正確的是（ ）
A．如果一個數的立方根是這個數本身，那么這個數一定是0 B．一個數的立方根不是正數就是負數
C．負數沒有立方根 D．一個不為0的數的立方根和這個數同號
【答案】D
【分析】本題考查了立方根，解決本題的關鍵是熟記立方根的定義．根據立方根的定義及性質即可解答．
【詳解】解：A、如果一個數的立方根是這個數本身，那么這個數一定是0或1或，故錯誤；
B、一個數的立方根不是正數就是負數，錯誤；還有0；
C、負數有立方根，故錯誤；D、一個不為0的數的立方根和這個數同號，正確；故選：D．
變式1．（23-24七年級下·湖北襄陽·期末）下列結論正確的是（ ）
A．的立方根是 B．沒有立方根 C．立方根等于本身的數是 D．
【答案】D
【分析】本題考查了立方根，利用立方根的定義及求法逐項判斷即可確定正確的選項，解題的關鍵是掌握立方根的定義的運用，理解：一個正數有一個正的立方根、的立方根是，一個負數有一個負的立方根．
【詳解】、的立方根是，原選項錯誤，不符合題意；
、有立方根為，原選項錯誤，不符合題意；
、立方根等于本身的數是和，原選項錯誤，不符合題意；
、，原選項正確，符合題意；故選：．
變式2．（23-24八年級上·河南鄭州·階段練習）下列說法正確的是（ ）．
A．一個正數的立方根有兩個，它們互為相反數 B．負數沒有立方根
C．任何數的立方根都是非負數 D．正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，0的立方根是0
【答案】D
【分析】本題主要考查了立方根的概念，解決本題的關鍵是熟練掌握正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，零的立方根是零．根據立方根的概念逐一判斷即可．
【詳解】解：A、一個正數的立方根只有一個，選項錯誤，不符合題意；
B、負數有立方根，選項錯誤，不符合題意；C、負數的立方根是負數，選項錯誤，不符合題意；
D、正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，0的立方根是0，正確，符合題意；故選：D．
考點2.求一個數的立方根
例1．（23-24七年級上·浙江·期中）的立方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了立方根的求解能力，關鍵是能準確理解并運用該知識進行正確地求解．運用立方根的定義進行求解．
【詳解】解：，的立方根是，故選：A
變式1．（24-25七年級上·浙江·專項訓練）的立方根是 ．
【答案】
【分析】本題考查了立方根的求解，先將帶分數化為假分數，再根據立方根的定義求解即可．
【詳解】解：，，故答案為：．
變式2．（23-24七年級下·重慶江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了平方根和立方根的概念，熟練掌握相關定義是解題的關鍵．
本題根據立方根和平方根的定義可知，的平方根是，的立方根是，由此就求出．
【詳解】解：，的平方根是；的立方根是；故答案為：；
考點3.利用開立方解方程
例1．（24-25七年級上·浙江·專項訓練）求下列各式中未知數的值：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查了利用平方根，立方根求解方程，熟練掌握相關運算方法是解題關鍵．
（1）利用開平方的方法求解方程即可；（2）利用開立方的方法求解方程即可．
【詳解】（1）解：，
，
；
（2），
，
．
變式1．（23-24七年級下·貴州黔東南·期中）解方程：(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)
【分析】本題根據平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定義是解題的關鍵，
（1）根據平方根的定義求解即可；
（2）利用立方根的定義構造一元一次方程求解即可．
【詳解】（1）解：
，
或，
或．
（2）解：
，
，
．
變式2．（23-24七年級上·浙江·期中）求x的值：．
【答案】
【分析】本題考查利用立方根解方程，先將方程化簡為，根據立方根的定義求解即可．
【詳解】解：
．
考點4.立方根的性質
例1．（23-24七年級下·山東德州·期中）若與互為相反數，用含x的式子表示y，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了相反數的概念，立方根等知識，根據題意可得等式，兩邊立方，即可求解．
【詳解】根據題意有：，
，故答案為：．
變式1．（23-24七年級下·內蒙古赤峰·期中）若和互為相反數，則的值 ．
【答案】1
【分析】此題主要考查立方根的性質，代數式求值，根據相反數及立方根的性質列出方程即可求解．解題的關鍵是熟知立方根的性質與相反數的定義．
【詳解】解：∵和互為相反數，∴
∴，∴．故答案為：1．
變式2．（23-24七年級下·北京·期中）若和互為相反數，則 ．
【答案】1
【分析】此題主要考查立方根的性質，代數式求值，根據相反數及立方根的性質列出方程即可求解．解題的關鍵是熟知立方根的性質與相反數的定義．
【詳解】解：∵和互為相反數，∴
∴，∴．故答案為：1．
考點5.立方根小數點位數移動規律
例1．（23-24七年級上·浙江·期中）（1）觀察并填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
________ ________ 1 ________ ________
（2）根據你發現的規律填空：
①已知 ，則________；②已知，則________．
【答案】（1）0.01,0.1,10,100；（2）①14.42　②7.697
【分析】本題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解答本題的關鍵．
（1）根據立方根的定義，求解即可；（2）①根據被開方數中的小數點每移動3位，立方根的小數點相應的移動1位，計算即可；②同理①即可求解．
【詳解】解：（1）
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01 0.1 1 10 100
（2）①，；
②，．
變式1．（2023·福建·莆田七年級期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,則的值是( )
A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6
【答案】B
【分析】根據被開方數每擴大1000位，它的立方根就擴大10位來計算即可．
【詳解】解：=154.2故選：B．
【點睛】本題考查立方根的規律，掌握“被開方數每擴大1000位，它的立方根就擴大10位”是解題的關鍵．
變式2．（2023·重慶梁平·七年級期末）已知，，，則______．
【答案】10.38
【分析】根據立方根的性質即可求解．
【詳解】解：∵，∴10.38．故答案為：10.38．
【點睛】此題主要考查了立方根，解題的關鍵是掌握小數點的移動的規律．
考點6.立方根的實際應用
例1．（23-24七年級下·云南昆明·期末）地球儀的主體結構是球體，根據球體體積公式（R為球體半徑），計算得到下表數據：
地球儀的體積V（單位：） 地球儀的半徑R（單位：）
地球儀A
地球儀B
已知地球儀C的體積為，則它的半徑約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據立方根的定義及性質即可求得答案．本題考查立方根，熟練掌握其定義及性質是解題的關鍵．
【詳解】解：設地球儀的半徑為，
則，那么，，
由表格數據可得，則，
即它的半徑約為，故選：B．
變式1．（23-24七年級下·山西呂梁·期末）2024年的母親節來臨之際，小康和小明分別制作了一個如圖所示的正方體禮盒，準備用禮盒裝好禮物送給媽媽．已知小康制作的正方體禮盒的表面積為，而小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正方體禮盒小，則小明制作的正方體禮盒的表面積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查立方根的實際應用；
設小康制作的正方體禮盒的邊長為a，根據表面積公式先求出，從而求出小康制作的正方體禮盒的體積，再根據小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正方體禮盒小即可求解．
【詳解】設小康制作的正方體禮盒的邊長為a，則，解得：
∴小康制作的正方體禮盒的體積為：
∵小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正方體禮盒小
∴小明制作的正方體禮盒的體積為
∴小明制作的正方體禮盒的邊長為
∴小明制作的正方體禮盒的表面積為故選：C．
變式2．（23-24七年級上·浙江·期中）如圖，一個正方體鐵塊放入圓柱形玻璃容器后，完全沒入容器內水中，使容器中的水面升高，如果容器的底面半徑是，求正方體鐵塊的棱長取，精確到．
【答案】
【分析】本題考查求一個數的立方根、圓柱體、正方體的體積的計算方法，掌握體積計算公式是正確解答的前提．
根據題意可得底面半徑，高為 的圓柱體的體積等于正方體的體積，可利用方程求出棱長．
【詳解】解：設正方體的棱長為，由題意得，，解得，，
答：正方體的棱長約為．
考點7.算術平方根與立方根的綜合運用
例1．（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整數部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)，，(2)
【分析】此題考查了平方根、立方根、無理數的估算，
（1）分別根據的平方根是，的立方根是2，c是的整數部分，依次求出a，b，c的值；（2）根據（1）中的結果和平方根定義進行解答即可．
【詳解】（1）解：∵的平方根是，∴解得
∵的立方根是2，∴即解得，
∵∴∴
∵c是的整數部分∴∴，，
（2）由題意得：，，∴
變式1．（23-24七年級下·吉林·期中）已知的算術平方根是3，的立方根是2，與互為相反數(1)求、、的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)，，(2)
【分析】本題主要考查了算術平方根，平方根，立方根和相反數：（1）根據算術平方根和立方根的定義得到，，據此可求出a、b，再根據只有符號不同的兩個數互為相反數求出c即可；（2）根據（1）所求求出的值，進而求出的平方根即可．
【詳解】（1）解：∵的算術平方根是3，∴，∴；
∵的立方根是2，∴，∴；
∵與互為相反數，∴；
（2）解：∵，，，∴，∴的平方根為．
變式2．（23-24七年級下·湖北咸寧·階段練習）已知表示9的算術平方根，的立方根是2，d是的小數部分．(1)求a、b、c、d的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)，，；(2)．
【分析】本題考查平方根，立方根，無理數的估算．熟練掌握平方根，立方根的定義，以及無理數的估算方法，是解題的關鍵．
（1）根據平方根，立方根的定義，求出的值，無理數的估算求出c的值；
（2）將的值代入代數式，進行計算即可．
【詳解】（1）解：∵表示9的算術平方根，
∴，∴，
∵的立方根是2，∴，∴，
∵，∴∴的整數部分為3，∴；
（2）解：由（1）∴，∴的平方根是．
考點8.閱讀材料與新定義問題考法
例1．（2024·北京·七年級期中）一般地，如果（n為正整數，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列結論中正確的是（　　）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小 D．當n為偶數時，2的n次方根有n個
【答案】C
【分析】根據新定義的意義計算判斷即可．
【詳解】解：∵16的4次方根是±2，∴A選項的結論不正確；
∵32的5次方根是2，∴B選項的結論不正確；
∵當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小，∴C選項的結論正確；
∵當n為偶數時，2的n次方根有2個，∴D選項的結論不正確．故選：C．
【點睛】本題考查了實數的新定義問題，正確理解新定義的意義是解題的關鍵．
變式1．（2021·江蘇南京·中考真題）一般地，如果（n為正整數，且），那么x叫做a的n次方根，下列結論中正確的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小D．當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而增大
【答案】C
【分析】根據題意n次方根，列舉出選項中的n次方根，然后逐項分析即可得出答案．
【詳解】A. ，16的4次方根是，故不符合題意；
B.，，32的5次方根是2，故不符合題意；
C.設則 且
當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小，故符合題意；
D.由的判斷可得：錯誤，故不符合題意．故選．
【點睛】本題考查了新概念問題，n次方根根據題意逐項分析，得出正確的結論，在分析的過程中注意x是否為負數,通過簡單舉例驗證選項是解題關鍵．
變式2.（2024·山東七年級期中）我國著名的數學家華羅庚曾巧解開立方的智力題：一個數是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是兩位整數；
∵整數59319的末位上的數字是9，而整數0至9的立方中，只有＝729的末位數字是9，
∴的末位數字是9；
又∵劃去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位數字是3；
∴＝39；
【應用】＋59049＝0，其中x是整數則x的值為______．
【答案】-13
【分析】先運用學到的方法，進行估算，再解一元一次方程即可．
【詳解】∵＋59049＝0，
∴，
∵＜19683＜，
∴是兩位整數；
∵整數19683的末位上的數字是3，而整數0至9的立方中，只有的末位數字是3，
∴的末位數字是7；
又∵劃去19683的后面三位683得到19，
而2＜＜3，
∴的十位數字是2；
∴＝27；
∴，
解得x=-13，
故答案為：-13．
【點睛】本題考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟練掌握估算方法，靈活解方程是解題的關鍵．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）64的立方根為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了求一個數的立方根，根據立方根的定義求解即可．
【詳解】解：64的立方根為4．故選：A．
2．（23-24七年級上·浙江·期中）下列各式：
，0.1，，，，．
其中正確的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了求一個數的立方根以及算術平方根，注意計算的準確性即可．
【詳解】解：，，無意義；
，，；∴正確的個數有3個，故選：C．
3．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期中），則的值是（ ）
A．8 B．2 C．9 D．
【答案】C
【分析】本題考查了立方根，先根據立方根的定義得出關于a的方程，然后解方程即可．
【詳解】解∶∵，，∴，∴，故選∶C．
4．（23-24九年級下·山東聊城·開學考試）如果一個實數的平方根與它的立方根相等，則這個數是（ ）．
A． B．正整數 C．和 D．
【答案】A
【分析】本題考查了平方根和立方根，根據平方根和立方根的定義即可求解，掌握平方根和立方根的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：的立方根和它的平方根相等都是；正數的平方根有兩個，立方根有一個；
∴一個實數的平方根與它的立方根相等只有，故選：．
5．（23-24八年級上·吉林長春·期末）關于立方根，下列說法正確的是（　　）
A．正數有兩個立方根 B．立方根等于它本身的數只有
C．負數的立方根是負數 D．負數沒有立方根
【答案】C
【分析】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關鍵．
各項利用立方根定義判斷即可．
【詳解】解：A、正數有一個立方根，錯誤；B、立方根等于本身的數有，，，錯誤；
C、負數的立方根是負數，正確；D、負數有立方根，錯誤，故選：C．
6．（2024九年級下·江蘇徐州·學業考試）已知，，則（ ）
A．0.133 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不對
【答案】C
【分析】本題考查了立方根，利用立方根的性質求解即可，熟練掌握立方根的性質是解此題的關鍵．
【詳解】解：由題意得：，故選：C．
7．（23-24七年級下·山西朔州·期末）讀了《曹沖稱象》的故事后，亮亮深受啟發，他利用排水法測出了正方體物塊的體積（即物塊的體積等于排出的水的體積）．如圖，他將一個正方體物塊懸掛后完全浸入盛滿水的圓柱形小桶中（繩子的體積忽略不計），水溢出至一個量筒中，測得溢出的水的體積為．由此，可估計該正方體物塊的棱長位于哪兩個相鄰的整數之間（ ）
A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
【答案】C
【分析】本題考查無理數估算的實際應用，根據題意，得到正方體的棱長為，夾逼法求出范圍即可．
【詳解】解：由題意，得：正方體的棱長為，
∵，∴；故選C．
8．（23-24七年級下·湖北荊州·階段練習）我們知道魔方可以看作是一個正方體，如圖，有一個體積為的魔方，則這個魔方的棱長為（ ）cm．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題主要考查求一個數的立方根，掌握立方根的概念和求一個數的立方根是解題的關鍵．正方體的體積是棱長的三次冪，已知體積求棱長，則是求體積的三次方根，由此即可求解．
【詳解】解：根據題意得，設正方體的棱長為，∴，則，∴正方體的棱長為，故選 C．
9．（2023·浙江·七年級階段練習）若與互為相反數，則的值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據相反數與立方根的性質計算即可得答案．
【詳解】解：∵ 與 是相反數，∴==
∴3x－1=2y－１，整理得：3x=2y，即 ，故選A．
【點睛】本題主要考查立方根的性質，正數的立方根是正數，負數的立方根還是負數，一個數只有一個立方根，熟練掌握立方根的性質是解題關鍵．
10．（2023·山東·八年級期中）已知x為實數，且﹣＝0，則x2＋x﹣3的算術平方根為（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
【答案】A
【分析】根據立方根的性質，可得x﹣3＝2x+1，解出 ，再由算術平方根的性質，即可求解．
【詳解】解：∵﹣＝0，∴．
∴x﹣3＝2x+1．∴x＝﹣4．∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．∴x2+x﹣3的算術平方根為．故選：A．
【點睛】本題主要考查了立方根和算術平方根的性質，熟練掌握立方根和算術平方根的性質是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024七年級上·浙江·專題練習）填空：
（1）64的立方根是 ；（2）的立方根是 ；（3）的立方根是 ；
【答案】 4 / 4
【分析】本題考查了立方根：一個數的立方根只有一個，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0．根據立方根的定義求解即可．
【詳解】解：（1）64的立方根是4；（2）的立方根是；
（3）的立方根是4；故答案為：（1）4；（2）；（3）4．
12．（23-24七年級上·浙江溫州·期末）計算：的值是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查的是求解一個數的立方根，掌握立方根的定義是解本題的關鍵．
根據立方根的定義求解即可．
【詳解】解：∵，∴．故答案為：．
13．（23-24七年級上·山東青島·期末）x是的平方根，y是的立方根，則的值為 ．
【答案】2或8或8或2
【分析】本題考查了平方根，立方根，代數式求值．熟練掌握平方根，立方根，代數式求值是解題的關鍵．
由題意知，，，然后計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，，
當時，；當時，；
綜上所述，的值為2或8，故答案為：2或8．
14．（23-24七年級下·重慶渝北·階段練習）立方根等于本身的非負數是 ．
【答案】0和1
【分析】此題考查了立方根，根據立方根的意義進行解答即可．
【詳解】解：立方根等于本身的非負數是0和1，故答案為：0和1
15．（23-24七年級下·河北唐山·期中）方程的解為 ．
【答案】
【分析】本題考查利用立方根解方程，根據立方根的定義，解方程即可．
【詳解】解：，
，
∴；
故答案為：．
16．（23-24七年級下·上海徐匯·期末）計算： ．
【答案】0
【分析】本題考查立方根，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．根據立方根的定義進行解題即可．
【詳解】解：．故答案為：0
17．（23-24七年級下·天津河西·期中）若制作一個體積為的正方體形狀的包裝箱，則這個包裝箱的棱長應為 ．
【答案】/0.5
【分析】本題考查了求一個數的立方根，解題關鍵是明確正方體體積是棱長的立方，會求立方根．
根據正方體體積是棱長的立方，求的立方根即可．
【詳解】∵正方體體積是棱長的立方，∴體積為的正方體的棱長是．故答案為：．
18．（23-24七年級下·北京·期中）比較大小： 6； ； ．
【答案】
【分析】本題考查了實數的大小比較，根據算術平方根與立方根進行計算，無理數的估算，即可求解．
【詳解】解：∵∴，∵∴
∵∴∴∴∵∴∴∴．故答案為：，，．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各數的立方根．(1)；(2)；(3)
【答案】(1)5(2)(3)
【分析】本題考查了立方根，關鍵是熟記定義求解．
（1）根據立方根的定義可求解．（2）根據立方根的定義可求解．（3）根據立方根的定義可求解．
【詳解】（1）解：∵，
∴
（2）解：∵，
∴；
（3）解：∵，
∴的立方根是．
20．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）求下列各式中的．(1)；(2)．
【答案】(1)或(2)
【分析】本題主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程：
（1）根據求平方根的方法解方程即可；（2）根據求立方根的方法解方程即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（23-24七年級下·貴州安順·期中）若既是的一個平方根，又是的立方根，求的立方根．
【答案】1
【分析】本題主要考查了立方根，平方根的定義， 先根據立方根，平方根的定義，求出a，b的值，然后代入求出，然后再根據立方根的定義求解即可．
【詳解】解：既是的一個平方根，又是的立方根，
∴，，∴，，
∴，∴的立方根還是1．
22．（23-24七年級上·浙江·期中）先閱讀材料，再解答問題．
，，．
，，．
，，．，
， ， ．
(1)完成上面的填空，并猜測互為相反數的兩個數的立方根的關系為 ．
(2)計算的值．
【答案】(1)；；； ，相反數(2)
【分析】（1）觀察各式，填寫即可；猜測得到互為相反數的兩個數的立方根互為相反數；
（2）利用得出的結論化簡，計算即可得到結果．
此題考查了立方根，相反數，熟練掌握立方根的定義是解本題的關鍵．
【詳解】（1）解：，，；
∴互為相反數的兩個數的立方根互為相反數；
故答案為：；；； ，相反數
（2）解：．
23．（23-24七年級下·河南商丘·階段練習）如圖，是一塊體積為的立方體鐵塊．
(1)求這個鐵塊的棱長；(2)現在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成兩個小立方體鐵塊，其中一個的體積為，求另一個小立方體鐵塊的棱長．
【答案】(1)這個鐵塊的棱長為(2)另一個小立方體鐵塊的棱長為
【分析】本題考查立方根的應用，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．
（1）根據正方體的體積公式和立方根的定義進行解答；
（2）根據題意列出式子再進行計算即可．
【詳解】（1）根據題意，得鐵塊的棱長為，
答：這個鐵塊的棱長為．
（2）設另一個小立方體鐵塊的棱長為，則．
∵，∴．答：另一個小立方體鐵塊的棱長為．
24．（23-24七年級下·廣西欽州·期中）數學探究活動．
自主探究：完成表格內容．
… …
… ______ ______ ______ ______ …
發現規律：由上表你發現了什么規律？請用語言敘述這個規律：______；
應用遷移：根據你發現的規律填空：已知，則______，______；
拓展延伸：，則______，______．
【答案】自主探究：，，，，被開方數的小數點（向左或者右）每移動兩位，其算術平方根的小數點相應的向相同方向移動一位；應用遷移：，；拓展延伸：，
【分析】（）自主探究：根據表格規律即可求解；
（）應用遷移：根據表格規律即可求解；
（）拓展延伸：被開方數的小數點（向左或者右）每移動三位，其立方根的小數點相應的向相同方向移動一位即可；本題考查了算術平方根，立方根和被開方數間關系，根據表格得到規律，再根據規律確定結果是解題的關鍵．
【詳解】解：自主探究：根據表格規律可知，，，，，
由表格可以發現：被開方數的小數點（向左或者右）每移動兩位，其算術平方根的小數點相應的向相同方向移動一位，
故答案為：，，，，被開方數的小數點（向左或者右）每移動兩位，其算術平方根的小數點相應的向相同方向移動一位；
應用遷移：，，故答案為：，；
拓展延伸：，，故答案為：，．
25.（23-24七年級下·福建福州·期末）數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙．你知道華羅庚怎樣迅速地求出計算結果嗎？請你按下面的步驟試一試．
第一步：∵，，且，
∴，即59319的立方根是一個兩位數；
第二步：∵59319的個位數字是9，而，
∴能確定的個位數字是9；
第三步：如果劃除59319后面的三位數，得到數59，而，
∴，∴，
∴59319的立方根的十位數字是3，∴59319的立方根是39．
根據上面的材料解答下面的問題：
(1)填空：1331的立方根是一個　　　位數，其個位數字是　　　；
(2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并驗證a是238328的立方根．
【答案】(1)兩；1(2)的立方根是62，驗證見解析
【分析】本題看考查了立方根的推導技巧，讀懂題意是解題的關鍵．
（1）根據范例推測立方根的位數，根據個位數推出立方根的個位數字．
（2）按照題目提供的步驟，先確定238328的立方根是幾位數，再根據238328的個位數推斷立方根的個位數，最后通過范圍界定確定立方根的十位數．
【詳解】（1）解：∵，∴是個兩位數，
∵，∴個位數是1，故答案為：兩；1．
（2）∵，且，
∴∴的立方根是兩位數；
∵的個位數字是8，而．∴能確定的個位數字是2．
如果劃除后面的三位數，得到數238，而．
∴，∴，
∴，∴的立方根的十位數字是6，
∴的立方根是62，驗證：．
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專題3.3.立方根
1、了解立方根的含義；
2、會用開立方運算求一個數的立方根，與立方互為逆運算，
3、了解立方根的性質；
4、區分立方根與平方根的不同。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 2
考點1.立方根的概念理解 2
考點2.求一個數的立方根 3
考點3.利用開立方解方程 4
考點4.立方根的性質 5
考點5.立方根小數點位數移動規律 6
考點6.立方根的實際應用 7
考點7.算術平方根與立方根的綜合運用 8
考點8.閱讀材料與新定義問題考法 10
模塊3：能力培優 11
1）立方根的定義:如果一個數的立方等于（即），那么這個數叫做的立方根或三次方根，記作，其中是被開方數，3是根指數。
2）求一個數的立方根的運算，叫做開立方。開立方是立方運算的逆運算。
3）一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。
4）立方根的性質
注意：第一個公式可以將求負數的立方根的問題轉化為求正數的立方根的問題.
5）立方根小數點位數移動規律
被開方數的小數點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數點就相應地向右或者向左移動1位.
例如，，，，.
考點1.立方根的概念理解
例1．（24-25八年級上·內蒙古通遼·開學考試）下列說法正確的是（ ）
A．如果一個數的立方根是這個數本身，那么這個數一定是0 B．一個數的立方根不是正數就是負數
C．負數沒有立方根 D．一個不為0的數的立方根和這個數同號
變式1．（23-24七年級下·湖北襄陽·期末）下列結論正確的是（ ）
A．的立方根是 B．沒有立方根 C．立方根等于本身的數是 D．
變式2．（23-24八年級上·河南鄭州·階段練習）下列說法正確的是（ ）．
A．一個正數的立方根有兩個，它們互為相反數 B．負數沒有立方根
C．任何數的立方根都是非負數 D．正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，0的立方根是0
考點2.求一個數的立方根
例1．（23-24七年級上·浙江·期中）的立方根是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（24-25七年級上·浙江·專項訓練）的立方根是 ．
變式2．（23-24七年級下·重慶江津·期末）的平方根是 ，的立方根是 ．
考點3.利用開立方解方程
例1．（24-25七年級上·浙江·專項訓練）求下列各式中未知數的值：(1)；(2)．
變式1．（23-24七年級下·貴州黔東南·期中）解方程：(1)；(2)．
變式2．（23-24七年級上·浙江·期中）求x的值：．
考點4.立方根的性質
例1．（23-24七年級下·山東德州·期中）若與互為相反數，用含x的式子表示y，則 ．
變式1．（23-24七年級下·內蒙古赤峰·期中）若和互為相反數，則的值 ．
變式2．（23-24七年級下·北京·期中）若和互為相反數，則 ．
考點5.立方根小數點位數移動規律
例1．（23-24七年級上·浙江·期中）（1）觀察并填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
________ ________ 1 ________ ________
（2）根據你發現的規律填空：
①已知 ，則________；②已知，則________．
變式1．（2023·福建·莆田七年級期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,則的值是( )
A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6
變式2．（2023·重慶梁平·七年級期末）已知，，，則______．
考點6.立方根的實際應用
例1．（23-24七年級下·云南昆明·期末）地球儀的主體結構是球體，根據球體體積公式（R為球體半徑），計算得到下表數據：
地球儀的體積V（單位：） 地球儀的半徑R（單位：）
地球儀A
地球儀B
已知地球儀C的體積為，則它的半徑約為（ ）
A． B． C． D．
變式1．（23-24七年級下·山西呂梁·期末）2024年的母親節來臨之際，小康和小明分別制作了一個如圖所示的正方體禮盒，準備用禮盒裝好禮物送給媽媽．已知小康制作的正方體禮盒的表面積為，而小明制作的正方體禮盒的體積比小康制作的正方體禮盒小，則小明制作的正方體禮盒的表面積為（　　）
A． B． C． D．
變式2．（23-24七年級上·浙江·期中）如圖，一個正方體鐵塊放入圓柱形玻璃容器后，完全沒入容器內水中，使容器中的水面升高，如果容器的底面半徑是，求正方體鐵塊的棱長取，精確到．
考點7.算術平方根與立方根的綜合運用
例1．（23-24七年級下·江蘇南通·階段練習）已知的平方根是，的立方根是2，c是的整數部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．
變式1．（23-24七年級下·吉林·期中）已知的算術平方根是3，的立方根是2，與互為相反數(1)求、、的值；(2)求的平方根．
變式2．（23-24七年級下·湖北咸寧·階段練習）已知表示9的算術平方根，的立方根是2，d是的小數部分．(1)求a、b、c、d的值；(2)求的平方根．
考點8.閱讀材料與新定義問題考法
例1．（2024·北京·七年級期中）一般地，如果（n為正整數，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列結論中正確的是（　　）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小 D．當n為偶數時，2的n次方根有n個
變式1．（2021·江蘇南京·中考真題）一般地，如果（n為正整數，且），那么x叫做a的n次方根，下列結論中正確的是（ ）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是
C．當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而減小D．當n為奇數時，2的n次方根隨n的增大而增大
變式2.（2024·山東七年級期中）我國著名的數學家華羅庚曾巧解開立方的智力題：一個數是59319，希望求它的立方根．
解答：∵＜59319＜，∴是兩位整數；
∵整數59319的末位上的數字是9，而整數0至9的立方中，只有＝729的末位數字是9，
∴的末位數字是9；
又∵劃去59319的后面三位319得到59，而3＜＜4，
∴的十位數字是3；
∴＝39；
【應用】＋59049＝0，其中x是整數則x的值為______．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級下·安徽六安·階段練習）64的立方根為（ ）
A．4 B． C． D．
2．（23-24七年級上·浙江·期中）下列各式：
，0.1，，，，．
其中正確的個數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·期中），則的值是（ ）
A．8 B．2 C．9 D．
4．（23-24九年級下·山東聊城·開學考試）如果一個實數的平方根與它的立方根相等，則這個數是（ ）．
A． B．正整數 C．和 D．
5．（23-24八年級上·吉林長春·期末）關于立方根，下列說法正確的是（　　）
A．正數有兩個立方根 B．立方根等于它本身的數只有
C．負數的立方根是負數 D．負數沒有立方根
6．（2024九年級下·江蘇徐州·學業考試）已知，，則（ ）
A．0.133 B．0.02872 C．0.2872 D．以上答案都不對
7．（23-24七年級下·山西朔州·期末）讀了《曹沖稱象》的故事后，亮亮深受啟發，他利用排水法測出了正方體物塊的體積（即物塊的體積等于排出的水的體積）．如圖，他將一個正方體物塊懸掛后完全浸入盛滿水的圓柱形小桶中（繩子的體積忽略不計），水溢出至一個量筒中，測得溢出的水的體積為．由此，可估計該正方體物塊的棱長位于哪兩個相鄰的整數之間（ ）
A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間
8．（23-24七年級下·湖北荊州·階段練習）我們知道魔方可以看作是一個正方體，如圖，有一個體積為的魔方，則這個魔方的棱長為（ ）cm．
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2023·浙江·七年級階段練習）若與互為相反數，則的值為（ ）．
A． B． C． D．
10．（2023·山東·八年級期中）已知x為實數，且﹣＝0，則x2＋x﹣3的算術平方根為（ ）
A．3 B．2 C．3和﹣3 D．2和﹣2
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（2024七年級上·浙江·專題練習）填空：
（1）64的立方根是 ；（2）的立方根是 ；（3）的立方根是 ；
12．（23-24七年級上·浙江溫州·期末）計算：的值是 ．
13．（23-24七年級上·山東青島·期末）x是的平方根，y是的立方根，則的值為 ．
14．（23-24七年級下·重慶渝北·階段練習）立方根等于本身的非負數是 ．
15．（23-24七年級下·河北唐山·期中）方程的解為 ．
16．（23-24七年級下·上海徐匯·期末）計算： ．
17．（23-24七年級下·天津河西·期中）若制作一個體積為的正方體形狀的包裝箱，則這個包裝箱的棱長應為 ．
18．（23-24七年級下·北京·期中）比較大小： 6； ； ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（2024七年級上·浙江·專題練習）求下列各數的立方根．(1)；(2)；(3)
20．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習）求下列各式中的．(1)；(2)．
21．（23-24七年級下·貴州安順·期中）若既是的一個平方根，又是的立方根，求的立方根．
22．（23-24七年級上·浙江·期中）先閱讀材料，再解答問題．
，，．
，，．
，，．，
， ， ．
(1)完成上面的填空，并猜測互為相反數的兩個數的立方根的關系為 ．
(2)計算的值．
23．（23-24七年級下·河南商丘·階段練習）如圖，是一塊體積為的立方體鐵塊．
(1)求這個鐵塊的棱長；(2)現在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成兩個小立方體鐵塊，其中一個的體積為，求另一個小立方體鐵塊的棱長．
24．（23-24七年級下·廣西欽州·期中）數學探究活動．
自主探究：完成表格內容．
… …
… ______ ______ ______ ______ …
發現規律：由上表你發現了什么規律？請用語言敘述這個規律：______；
應用遷移：根據你發現的規律填空：已知，則______，______；
拓展延伸：，則______，______．
25.（23-24七年級下·福建福州·期末）數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙．你知道華羅庚怎樣迅速地求出計算結果嗎？請你按下面的步驟試一試．
第一步：∵，，且，
∴，即59319的立方根是一個兩位數；
第二步：∵59319的個位數字是9，而，
∴能確定的個位數字是9；
第三步：如果劃除59319后面的三位數，得到數59，而，
∴，∴，
∴59319的立方根的十位數字是3，∴59319的立方根是39．
根據上面的材料解答下面的問題：
(1)填空：1331的立方根是一個　　　位數，其個位數字是　　　；
(2)仿照上面的方法求238328的立方根a，并驗證a是238328的立方根．
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