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第一章 勾股定理綜合復習
1．（23-24八年級下·新疆巴音郭楞·期末）下列各組數中，是“勾股數”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5
【答案】．D
【分析】本題考查了勾股數：滿足勾股定理且是正整數的數；利用勾股數的定義進行判斷，逐個計算即可．
【詳解】解：、因為，所以不是勾股數；
、因為，所以不是勾股數；
、因為，所以不是勾股數；
、因為，又3，4，5都是正整數，是勾股數．
故選：D．
2．（23-24八年級下·廣東汕頭·期末）已知直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，則斜邊長為（ ）
A． B．13 C．14 D．13或
【答案】B
【分析】本題主要考查了勾股定理．利用勾股定理，即可求解．
【詳解】解：斜邊長為
故選：B
3．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習）如圖，在中，，，若，，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了勾股定理，等面積法求線段長度，
首先根據勾股定理求出，然后利用等面積法求出，然后利用勾股定理求解即可．
【詳解】∵
∴
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴．
故選：C．
4．（2023八年級上·全國·專題練習）如果正整數滿足等式，那么正整數叫做勾股數．某同學將自探究勾股數的過程列成下表，觀察表中每列數的規律，可知的值為（　　）

A．67 B．34 C．98 D．73
【答案】C
【分析】依據每列數的規律，即可得到，，，進而得出的值．
【詳解】解：由題可得：
，
，
，
∴當時，，
∴，，
∴，
故選：C．
5．（23-24八年級下·天津南開·期末）如圖，在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形，面積分別記為，，．若，．則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．14 B． C．7 D．
【答案】．C
【分析】本題考查了勾股定理，由正方形的面積得，，由勾股定理得，即可求解；能熟練利用勾股定理求解是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
，
，
，
；
故選：C．
6．（23-24八年級上·廣東深圳·期中）華表柱是一種中國傳統建筑形式，天安門前聳立著高大的漢白玉華表，每根華表重約20000公斤，如圖，在底面周長約為3米帶有層層回環不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底向柱頂（從點到點）均勻地盤繞3圈，每根華表刻有雕龍部分的柱身高約9米，則雕刻在石柱上的巨龍至少（ ）米．

A． B． C． D．
【答案】．D
【分析】本題主要考查了勾股定理的實際應用——最短距離問題，根據題意得到把圓柱體的側表面展開后是長方形，如圖，把大長方形均分為3個小長方形，則雕刻在石柱上的巨龍的最短長度為3個小長方形的對角線的和，再根據勾股定理，即可求解．
【詳解】解：根據題意得：把圓柱體的側表面展開后是長方形，如圖，把大長方形均分為3個小長方形，則雕刻在石柱上的巨龍的最短長度為3個小長方形的對角線的和，

∵底面周長約為3米，柱身高約9米，
∴，
∴，
∴雕刻在石柱上的巨龍至少．
故選：D
7．（23-24八年級下·廣西來賓·期末）“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長直角邊是12，小正方形的面積是49，則大正方形的面積是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
【答案】C
【分析】本題考查了勾股定理和正方形的面積，能正確表示大正方形和小正方形的面積及運用數形結合思想是解題的關鍵．設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，斜邊長為，根據小正方形的面積為可解得，則大正方形的面積為，即可求解．
【詳解】解：設直角三角形較長直角邊長為，較短直角邊長為，斜邊長為，如下圖，
則，，
又∵小正方形的面積為，
∴可解得或（舍去），
∴，
∴大正方形的面積．
故選：C．
8．（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，長方形紙片中，，，將此長方形紙片折疊，使點與點重合，點落在點的位置，折痕為，則的長度為( )
A．6 B．10 C．24 D．48
【答案】．B
【分析】本題考查了勾股定理與折疊問題；由折疊可知，設利用勾股定理進行分析計算即可．
【詳解】解：由折疊可知，
設
由勾股定理可得，
即，
解得，
，
故選：B．
9.如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【分析】（1）根據勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根據勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴CH⊥AB，
所以CH是從村莊C到河邊的最近路；
（2）設AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解這個方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
【總結】此題考查勾股定理的應用，關鍵是根據勾股定理的逆定理和定理解答．
一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
　如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.
要點：應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：
（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；
（2）驗證：與是否具有相等關系：
　　 若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；
　　 若時，△ABC是銳角三角形；
　　　若時，△ABC是鈍角三角形．
2.勾股數
滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.
要點：常見的勾股數：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股數，當t為正整數時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.
觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數，它們具有以下特征：
1.較小的直角邊為連續奇數；
2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.
3.假設三個數分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
三、勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.
四、勾股定理的應用
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：
（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；
（3）解決與勾股定理有關的面積計算；
（4）勾股定理在實際生活中的應用．
1．若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8，則斜邊長是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】根據勾股定理計算即可得出答案．
【解析】∵一個直角三角形的兩直角邊長分別是6和8
∴斜邊長是
故選：D．
【總結】本題主要考查勾股定理，掌握勾股定理的內容是解題的關鍵．
2．由下列條件不能判定為直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
【答案】B
【分析】根據三角形內角和及即可判斷A，根據勾股定理逆定理即可判斷B，根據平方差公式及勾股定理逆定理即可判斷C，根據三角形內角和及即可得到答案．
【解析】解：∵，，
∴，
∴為直角三角形，故A不符合題意；
∵，
∴不能判定三角形為直角三角形，故B符合題意；
∵，
∴為直角三角形，故C符合題意；
∵，，
∴，
∴為直角三角形，故D符合題意，
故選B．
【總結】本題考查三角形內角和定理及勾股定理逆定理，解題的關鍵是熟練掌握直角三角形邊角關系．
3．已知a，b，c是中，，的對邊，下列說法正確的有（ ）個
①若，則+；②若，則；③若，則+；④總有+．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據勾股定理逐一判斷即可求解．
【解析】解：，，是中，，的對邊，
若，則；
若，則；
若，則；
故①②③正確；
只有當時才有，
故④錯誤，
故選：C．
【總結】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
4．在中，斜邊，則的值為（ ）
A． B． C． D．無法計算
【答案】C
【分析】根據勾股定理可知，進而可知．
【解析】解：∵在中，斜邊為，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選．
【總結】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
5．如圖，中，，點A向上平移后到，得到．下面說法錯誤的是（ ）
A．的內角和仍為 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據三角形的內角和定理，勾股定理以及平移的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解析】解：A、△A′BC的內角和仍為180°正確，故本選項正確，不合題意；
B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°，
∴∠BA′C＜∠BAC正確，故本選項正確，不合題意；
C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本選項正確，不合題意；
D、應為A′B2+A′C2＞BC2，故本選項錯誤，符合題意．
故選：D．
【總結】本題考查了勾股定理，三角形的內角和定理，以及平移，熟記定理并準確識圖是解題的關鍵．
6．如圖，一木桿在離地某處斷裂，木桿頂部落在離木桿底部8米處，斷落的木桿與地面形成角，則木桿原來的長度是（　）
A．8米 B．米 C．16米 D．24米
【答案】B
【分析】根據題意可知該木桿折斷后與地面形成一個等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出結果 ．
【解析】如圖，根據題意可知為等腰直角三角形，且米，．
∴米．
∴在中，米 ．
故木桿原來的長度為米．
故選：B．
【總結】本題考查勾股定理的實際應用．根據題意判斷出木桿折斷后與地面形成的三角形是等腰直角三角形是解答本題的關鍵．
7．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結論個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根據全等三角形的判定可判斷①正確；再根據全等三角形的性質和平角定義可判斷②正確；根據梯形的面積公式可判斷③正確；根據可判斷④錯誤，⑤正確，綜合即可作出選擇．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，故①正確；
∴，
∵，
∴，則，
∴，故②正確；
∵，，，，
∴四邊形的面積是，故③正確；
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故④錯誤，⑤正確，
綜上，正確的結論有4個，
故選：C．
【總結】本題考查全等三角形的判定與性質的應用、勾股定理的證明、平行線的性質、完全平方公式、梯形和三角形的面積等知識，證明三角形全等以及發現圖形中的邊角關系是解答的關鍵．
8．如圖，的頂點、、在邊長為的正方形網格的格點上，于點，則的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據圖形和三角形的面積公式求出的面積，根據勾股定理求出，根據三角形的面積公式計算即可．
【解析】解：如圖，

的面積，
由勾股定理得，，
則，
解得，
故選：C．
【總結】本題考查的是勾股定理的應用，掌握在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵
9．下列由三條線段a、b、c構成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能構成直角三角形的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】判斷一組數能否成為直角三角形的三邊，就是看是否滿足兩較小邊的平方和等于最大邊的平方，將題目中的各題一一做出判斷即可．
【解析】解：①∵，
∴能成為直角三角形的三邊長；
②∵，
∴能成為直角三角形的三邊長；
③，
∴能成為直角三角形的三邊長；
④∵，即，
∴a，b，c不構成三角形
∴能構成直角三角形的有3組，
故選：C．
【總結】本題考查了勾股定理的逆定理的應用，在應用時注意是兩較短邊的平方和等于最長邊的平方．
10．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、4、1、3，則最大的正方形E的面積是（ ）

A．11 B．47 C．26 D．35
【答案】D
【分析】如圖，根據勾股定理分別求出F、G的面積，再根據勾股定理計算出E的面積即可．
【解析】解：如圖，

由勾股定理得，正方形F的面積正方形A的面積正方形B的面積，
同理，正方形G的面積正方形C的面積正方形D的面積 ，
∴正方形E的面積正方形F的面積正方形G的面積 ，
故選：D．
【總結】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．
11．我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據等面積法證明即可．
【解析】解：A．，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
B．，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
C．，整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
D．根據圖形不能證明勾股定理，故選D．
【總結】本題考查了勾股定理的證明，熟練掌握等面積法證明勾股定理是解題的關鍵．
12．如圖，圖中的三角形為直角三角形，已知正方形A和正方形B的面積分別為和，則正方形C的面積為 ．

【答案】
【分析】根據題意，得出，再根據勾股定理，得出，再結合正方形的面積，得出，進而即可得出正方形C的面積．
【解析】解：如圖，

由題意得，
∴，
∵四邊形都是正方形，
∴，，，
∵正方形A、B的面積分別為和，
∴，，
∴，
∴正方形C的面積為：．
故答案為：．
【總結】本題考查了勾股定理的幾何應用，熟知勾股定理是解題的關鍵．
13．在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發，現有一處需要爆破，已知點與公路上的停靠站的距離為300米，與公路上另一停靠站的距離為400米，且，如圖，為了安全起見，爆破點周圍250米范圍內不得進入，問在進行爆破時，公路段是否有危險？是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．

【答案】有危險，需要暫時封鎖；理由見解析．
【分析】本題需要判斷點C到AB的距離是否小于250米，如果小于則有危險，大于則沒有危險．因此過C作于D，然后根據勾股定理在中即可求出的長度，然后利用三角形的面積公式即可求出，然后和250米比較大小即可判斷需要暫時封鎖．
【解析】解：有危險，需要暫時封鎖．
理由：如圖，過作于，
米，米，，
∴在中，米，
∵，
∴米．
∵，
∴有危險，段公路需要暫時封鎖．
【總結】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用直角三角形的性質求出的長．
14．某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．

(1)求的長；
(2)這輛小汽車超速了嗎？
【答案】(1)
(2)沒有超速．
【分析】（1）中，有斜邊的長，有直角邊的長，那么根據勾股定理即可求出的長；
（2）根據小汽車用行駛的路程為，那么可求出小汽車的速度，然后再判斷是否超速了．
【解析】（1）解：在中，，；
據勾股定理可得：
=
（2）解：小汽車的速度為；
∵；
∴這輛小汽車行駛沒有超速．
答：這輛小汽車沒有超速．
【總結】此題考查了將實際問題轉化為直角三角形中的數學問題，解題的關鍵是把條件和問題放到直角三角形中，進行解決．要注意題目中單位的統一．
15．（1）如圖，在中，，求證：；
（）在中，，，邊上的高，求邊的值．
【答案】（1）見解析；（2）
【分析】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
（1）利用勾股定理證明即可；
（2）利用勾股定理求解即可．
【解析】解：（）在，中，根據勾股定理得：
，，
∴，
∴；
（）在，中，根據勾股定理得：
，
，
∴．
16．如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點，連接，且．

(1)求證：是直角三角形；
(2)求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據勾股定理的逆定理進行判斷即可得到答案；
（2）設，根據等腰三角形的性質可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【解析】（1）證明：，
，，
即
為直角三角形；
（2）解：設，
是等腰三角形，
．
為直角三角形，
為直角三角形，
，
即，
解得：，
故的長為：．
【總結】本題主要考查了等腰三角形的性質、勾股定理以及勾股定理的逆定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理．
1．如圖所示為一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外正方形②和，…，依次類推，若正方形①的面積為64，則正方形⑤的面積為（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】根據題意可知第一個正方形的面積是64，則第二個正方形的面積是32，…，進而可找出規律得出第n個正方形的面積，即可得出結果．
【解析】解：第一個正方形的面積是64；
設第一個等腰直角三角形的直角邊長為 由勾股定理可得：
∴
解得：
∴第二個正方形的面積是；
同理：第三個正方形的面積是；
…
第n個正方形的面積是，
當時，正方形的面積為，
∴正方形⑤的面積是4，故B正確．
故選：B．
【總結】本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理．解題的關鍵是找出第n個正方形的面積．
2．以下四組代數式作為的三邊：①（n為正整數）；②（n為正整數）；③（，n為正整數）；④（，m，n為正整數）．其中能使為直角三角形的有（　　）
A．0組 B．1組 C．2組 D．3組
【答案】D
【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行計算判斷即可．
【解析】解：①中，能構成直角三角形，故符合要求；
②中，，不能構成直角三角形，故不符合要求；
③中，能構成直角三角形，故符合要求；
④中，能構成直角三角形，故符合要求．
∴能使為直角三角形的有3組，
故選：D．
【總結】本題考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．解題的關鍵在于正確的運算．
3．如圖所示，在的正方形網格中，的頂點都在格點上，下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出三邊長，再依據勾股定理逆定理判斷出即可得出答案．
【解析】解：由勾股定理可得：，
，
，
∵，，
∴，
∴，故B、C、D都正確，不符合題意，
∵，，
∴，
∴，
∴，故A錯誤，符合題意．
故選：A．
【總結】本題主要考查了勾股定理和其逆定理，運用勾股定理求出三邊長，是解題的關鍵．
4．如圖，在中，，于H，M為AH上異于A的一點，比較與的大小，則（ ）．
A．大于 B．等于 C．小于 D．大小關系不確定
【答案】C
【分析】由題意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，則AB2 AC2＝BH2 HC2，同理有MB2 MC2＝BH2 HC2，則AB2 AC2＝MB2 MC2．再根據平方差公式即可求解．
【解析】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2 AC2＝BH2 HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2 MC2＝BH2 HC2，
∴AB2 AC2＝MB2 MC2，
即（AB＋AC）（AB AC）＝（MB＋MC）（MB MC），
又∵M點在△ABC內，∵AB＋AC＞MB＋MC，
則AB AC＜MB MC．
故選C．
【總結】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是熟知勾股定理及平方差公式的應用．
5．勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數學家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個圖形，哪一個是趙爽弦圖（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據趙爽弦圖證明勾股定理的方法即可求解．
【解析】解：
趙爽弦圖，是個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大正方形，直角三角形中較長的直角邊為，較短的直角邊為，中間小正方形的邊長為，
∴選項，是趙爽弦圖，符合題意；
選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；
選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；
選項，不是趙爽弦圖，不符合題意；
故選：．
【總結】本題主要考查對趙爽弦圖的理解，掌握勾股定理的證明方法，趙爽弦圖證明勾股定理的方法是解題的關鍵．
6．某會展中心在會展期間準備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要 元．

【答案】1020
【分析】地毯的長是樓梯的豎直部分與水平部分的和，即與的和，在直角中，根據勾股定理即可求得的長，地毯的長與寬和積就是面積，再乘地毯每平方米的單價即可求解．
【解析】解：由勾股定理得：，
則地毯總長為，
則地毯的總面積為，
鋪完這個樓道至少需要（元）．
故填：．
【總結】本題考查了勾股定理的應用，正確理解地毯的長度的計算是解題的關鍵．
7．已知在中，，，，，過點作于點．
(1)求的長；
(2)求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了勾股定理；
（1）中，由勾股定理得，進而根據，即可求解；
（2）根據等面積法，即可求解．
【解析】（1）解：，，，
中，由勾股定理得：，
．
（2），
，
，
．
8．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現將直角邊沿直線折疊，使它恰好落在斜邊上，且與重合．

(1)求的長；
(2)求的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理求得的長，然后由翻折的性質求得，即可求解；
（2）設，則，，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，
，
由折疊的性質可知：，
；
（2）解：設，則，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
【總結】本題主要考查的是翻折變換以及勾股定理的應用；熟練掌握翻折的性質和勾股定理是解題的關鍵．
9．如圖，在中，．

(1)如圖（1），把沿直線折疊，使點A與點B重合，求的長；
(2)如圖（2），把沿直線折疊，使點C落在邊上G點處，請直接寫出的長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設x，則，在中用勾股定理求解即可；
（2）設x，則，先根據勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．
【解析】（1）解：∵直線是對稱軸，
∴，
∵，設，則
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴
（2）解：∵直線是對稱軸，
∴，，
∵，設，則，
∴在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴．
【總結】本題考查了折疊與三角形的問題，勾股定理，掌握折疊性質以及勾股定理是解題的關鍵．
10．如圖，在矩形中，，，點在矩形的邊上由點向點運動.沿直線翻折，形成如下四種情形，設，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.
（1）如圖4，當點運動到與點重合時，求重疊部分的面積；
（2）如圖2，當點運動到何處時，翻折后，點恰好落在邊上？這時重疊部分的面積等于多少？
【答案】（1）；（2）當時，點恰好落在邊上,這時.
【分析】（1）根據折疊或者軸對稱的性質,找到數量關系,運用方程思想設未知數,結合勾股定理解答;
（2）同樣根據軸對稱的性質, 找到數量關系,運用方程思想設未知數,結合勾股定理解答;
【解析】解：（1）由題意可得,
∴
設,則
在中,
∴重疊的面積
（2）由題意可得
∴
在中
∵∴
∴
在中
此時
∴當時，點恰好落在邊上
這時.
【總結】本題綜合考查了多個知識點,包括折疊與軸對稱、方程、勾股定理等,在結合圖形及其變化,充分理解題意的前提下,熟練掌握運用各個知識點方可解答.
11．如圖，在中，，，點D為線段延長線上一點，以為腰作等腰直角，使，連接．
(1)請判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求線段的長；
(3)如圖2，在（2）的條件下，將沿線段翻折，使點A與點E重合，連接，求線段的長．
【答案】(1)，理由見解析
(2)
(3)
【分析】（1）證明，則，如圖1，記的交點為，根據，，可得，進而可得；
（2）如圖2，過作于，則，，由勾股定理得，，計算求解即可；
（3）由翻折的性質可知，，，，如圖3，過作于，過作于，證明，則，，由勾股定理得，，計算求解即可．
【解析】（1）解：，理由如下：
∵等腰直角，，
∴，
又∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
如圖1，記的交點為，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
如圖2，過作于，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴線段的長為；
（3）解：由翻折的性質可知，，，
∴，
如圖3，過作于，過作于，
∴，
同理（2）可知，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴線段的長為．
【總結】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，勾股定理，折疊的性質，等腰三角形的性質．熟練掌握全等三角形的判定與性質，折疊的性質是解題的關鍵．
1．在下列四組數中，屬于勾股數的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．2，8，10 D．1，，
【答案】B
【分析】利用勾股數的定義進行分析即可．
【解析】解：A．0.3，0.4，0.5不是整數，不是勾股數，不符合題意；
B．，
、4、5是勾股數，符合題意；
C．，
，8，10不是勾股數，不符合題意；
D．，，均不是整數，
，，不是勾股數，不符合題意；
故選：B．
【總結】此題主要考查了勾股數，關鍵是掌握滿足的三個正整數，稱為勾股數．
2．下列命題①如果為一組勾股數，那么仍是勾股數；②如果直角三角形的兩邊是3，4，那么斜邊必是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊，（），那么，其中正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【分析】根據勾股數的定義和直角三角形的性質，依次分析①②③④，選出正確的命題的序號，即可得到答案．
【解析】解：①如果為一組勾股數，則設，
則，
仍是勾股數，故①正確，符合題意；
②如果直角三角形的兩邊是3，4，則另一邊的長可能為，且符合三角形的兩邊之和大于第三邊，故②錯誤，不符合題意；
③，
③錯誤，不符合題意；
④一個等腰直角三角形的三邊，（），
，
即，
故④正確，符合題意；
故選：C．
【總結】本題主要考查了勾股數和直角三角形的性質，正確掌握勾股數的定義和直角三角形的性質是解題的關鍵．
3．如圖，五個正方形放在直線MN上，正方形A、C、E的面積依次為3、5、4，則正方形B、D的面積之和為（ ）

A．11 B．14 C．17 D．20
【答案】C
【分析】如圖：由題意可得,,，再根據全等三角形和勾股定理可得，同理可得，最后求正方形B、D的面積之和即可．
【解析】解：如圖：
由題意可得：,,
∴
∴，
∴,
∴,
∵，
∴，
∴,即,
同理：;
∴．

故選C．
【總結】本題主要考查了勾股定理、正方形的性質、全等三角形的判定與性質，發現各正方形之間的面積關系是解答本題的關鍵．
4．在直角中，，，，則的長為（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【答案】B
【分析】根據勾股定理計算即可．
【解析】解：因為，，，
所以，
故選：B．
【總結】本題考查了勾股定理，解題關鍵是熟記勾股定理，準確進行計算．
5．如圖，在以下四個正方形網格中，各有一個三角形，不是直角三角形的是（　　）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可．
【解析】解：A、三邊長分別為，∵，
∴不是直角三角形，故本選項符合題意；
B、三邊長分別為，，
∴是直角三角形，故本選項不符合題意；
C、三邊長分別為，∵，
∴是直角三角形，故本選項不符合題意；
D、三邊長分別為，∵，
∴是直角三角形，故本選項不符合題意．
故選A．
【總結】本題考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解題關鍵．
6．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中．漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現在勾股定理的證明已經有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．在驗證過程中它體現的數學思想是（ ）
A．函數思想 B．數形結合思想
C．分類思想 D．方程思想
【答案】B
【分析】根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法體現的數學思想為數形結合思想．
【解析】解：這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現的數學思想是數形結合思想，
故選：B．
【總結】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法體現的數學思想為數形結合思想．
7．如圖，，一架云梯長為25米，頂端A靠在墻上，此時云梯底端B與墻角C距離為7米，云梯滑動后停在的位置上，測得長為4米，則云梯底端B在水平方向滑動的距離為（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】C
【分析】由題意知，AB=DE=25米，CB=7米，則在直角△ABC中，根據AB，BC可以求AC，在直角△CDE中，可以求CE，則BD=DC-BD即為題目要求的距離．
【解析】解：在直角中，已知米，米，
米，
在直角中，已知米，米，米，
米，
米，
米
故云梯底端在水平方向滑動了8米，
故選：C．
【總結】本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，本題中在直角△ABC中和直角△CDE中分別運用勾股定理是解題的關鍵．
8．如圖所示是一個圓柱形飲料罐底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內部分a的長度（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計）范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意得當吸管與底面圓垂直時，吸管在罐內部分a的長度為最小，即為12，當吸管與底面圓的一端重合時，吸管在罐內部分a的長度為最大，根據勾股定理可進行求解．
【解析】解：由題意得：
當吸管與底面圓垂直時，吸管在罐內部分a的長度為最小，即為12，
當吸管與底面圓的一端重合時，吸管在罐內部分a的長度為最大，如圖所示：
∴，
∴在Rt△ABC中，，
∴吸管在罐內部分a的長度的范圍是，
故選A．
【總結】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．
9．如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【分析】將題中圖案展開后，連接AC，利用勾股定理可得AC長，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長度增加寬度不變，求出新矩形的對角線長即為所求．
【解析】解：展開如圖得新矩形，連接AC，則其長度至少增加2MN，寬度不變，由此可得：
，
根據勾股定理有：
故選D．
【總結】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應用；解題關鍵在于根據題意畫出正確的平面展開圖．
10．如圖，、、分別是以的三邊為直徑所畫半圓的面積，其中，，則 ．

【答案】
【分析】先分別算出、、的面積，然后根據勾股定理即可解答．
【解析】解：∵，，
∴
∵
∴．
∵，，
∴
故答案為．
【總結】本題主要考查了勾股定理的應用，勾股定理的內容是直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．
11．如圖所示，已知中，，，于，為上任一點，則等于 ．
【答案】
【分析】在和中，分別表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；
【解析】解：∵于，
∴，
在和中，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案為：．
【總結】本題主要考查了勾股定理的應用，準確分析計算是解題的關鍵．
12．如圖，已知在中，于點D，，，，
(1)求、的長；
(2)求證：是直角三角形．
【答案】(1)，
(2)見解析
【分析】（1）在中，利用勾股定理求得的長，然后在中，再利用勾股定理求得的長，根據即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判斷．
【解析】（1）解：∵在中，，，
，
在中，，，
．
．
（2）證明：，，，
，，
，
是直角三角形．
【總結】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正確理解定理的內容是關鍵．
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第一章 勾股定理綜合復習
1．（23-24八年級下·新疆巴音郭楞·期末）下列各組數中，是“勾股數”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5
2．（23-24八年級下·廣東汕頭·期末）已知直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，則斜邊長為（ ）
A． B．13 C．14 D．13或
3．（23-24八年級下·安徽六安·階段練習）如圖，在中，，，若，，則（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2023八年級上·全國·專題練習）如果正整數滿足等式，那么正整數叫做勾股數．某同學將自探究勾股數的過程列成下表，觀察表中每列數的規律，可知的值為（　　）

A．67 B．34 C．98 D．73
5．（23-24八年級下·天津南開·期末）如圖，在中，分別以這個三角形的三邊為邊長向外側作正方形，面積分別記為，，．若，．則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．14 B． C．7 D．
6．（23-24八年級上·廣東深圳·期中）華表柱是一種中國傳統建筑形式，天安門前聳立著高大的漢白玉華表，每根華表重約20000公斤，如圖，在底面周長約為3米帶有層層回環不斷的云朵石柱上，有一條雕龍從柱底向柱頂（從點到點）均勻地盤繞3圈，每根華表刻有雕龍部分的柱身高約9米，則雕刻在石柱上的巨龍至少（ ）米．

A． B． C． D．
7．（23-24八年級下·廣西來賓·期末）“趙爽弦圖”巧妙的利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的大正方形，若圖中的直角三角形的長直角邊是12，小正方形的面積是49，則大正方形的面積是（ ）
A．64 B．81 C．169 D．225
8．（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，長方形紙片中，，，將此長方形紙片折疊，使點與點重合，點落在點的位置，折痕為，則的長度為( )
A．6 B．10 C．24 D．48
9.如圖，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
　如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.
要點：應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：
（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；
（2）驗證：與是否具有相等關系：
　　 若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；
　　 若時，△ABC是銳角三角形；
　　　若時，△ABC是鈍角三角形．
2.勾股數
滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.
要點：常見的勾股數：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股數，當t為正整數時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.
觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數，它們具有以下特征：
1.較小的直角邊為連續奇數；
2.較長的直角邊與對應斜邊相差1.
3.假設三個數分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
三、勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.
四、勾股定理的應用
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：
（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；
（3）解決與勾股定理有關的面積計算；
（4）勾股定理在實際生活中的應用．
1．若一個直角三角形的兩條直角邊長分別是6和8，則斜邊長是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
2．由下列條件不能判定為直角三角形的是（　　）
A． B．，，
C． D．
3．已知a，b，c是中，，的對邊，下列說法正確的有（ ）個
①若，則+；②若，則；③若，則+；④總有+．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在中，斜邊，則的值為（ ）
A． B． C． D．無法計算
5．如圖，中，，點A向上平移后到，得到．下面說法錯誤的是（ ）
A．的內角和仍為 B． C． D．
6．如圖，一木桿在離地某處斷裂，木桿頂部落在離木桿底部8米處，斷落的木桿與地面形成角，則木桿原來的長度是（　）
A．8米 B．米 C．16米 D．24米
7．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤．其中正確的結論個數是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如圖，的頂點、、在邊長為的正方形網格的格點上，于點，則的長為（ ）

A． B． C． D．
9．下列由三條線段a、b、c構成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能構成直角三角形的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
10．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、4、1、3，則最大的正方形E的面積是（ ）

A．11 B．47 C．26 D．35
11．我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如圖，圖中的三角形為直角三角形，已知正方形A和正方形B的面積分別為和，則正方形C的面積為 ．

13．在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開發，現有一處需要爆破，已知點與公路上的停靠站的距離為300米，與公路上另一停靠站的距離為400米，且，如圖，為了安全起見，爆破點周圍250米范圍內不得進入，問在進行爆破時，公路段是否有危險？是否需要暫時封鎖？請通過計算進行說明．

14．某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．

(1)求的長；
(2)這輛小汽車超速了嗎？
15．（1）如圖，在中，，求證：；
（）在中，，，邊上的高，求邊的值．
16．如圖，已知等腰的底邊，是腰上一點，連接，且．

(1)求證：是直角三角形；
(2)求的長．
1．如圖所示為一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外正方形②和，…，依次類推，若正方形①的面積為64，則正方形⑤的面積為（ ）

A．2 B．4 C．8 D．16
2．以下四組代數式作為的三邊：①（n為正整數）；②（n為正整數）；③（，n為正整數）；④（，m，n為正整數）．其中能使為直角三角形的有（　　）
A．0組 B．1組 C．2組 D．3組
3．如圖所示，在的正方形網格中，的頂點都在格點上，下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，在中，，于H，M為AH上異于A的一點，比較與的大小，則（ ）．
A．大于 B．等于 C．小于 D．大小關系不確定
5．勾股定理又稱畢達哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人類早期發現并證明的重要數學定理之一，大約有五百多種證明方法，我國古代數學家趙爽和劉徽也分別利用《趙爽弦圖》和《青朱出入圖》證明了勾股定理，以下四個圖形，哪一個是趙爽弦圖（ ）
A． B．
C． D．
6．某會展中心在會展期間準備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，已知地毯每平方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要 元．

7．已知在中，，，，，過點作于點．
(1)求的長；
(2)求的長．
8．如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現將直角邊沿直線折疊，使它恰好落在斜邊上，且與重合．

(1)求的長；
(2)求的長．
9．如圖，在中，．

(1)如圖（1），把沿直線折疊，使點A與點B重合，求的長；
(2)如圖（2），把沿直線折疊，使點C落在邊上G點處，請直接寫出的長．
10．如圖，在矩形中，，，點在矩形的邊上由點向點運動.沿直線翻折，形成如下四種情形，設，和矩形重疊部分（陰影）的面積為.
（1）如圖4，當點運動到與點重合時，求重疊部分的面積；
（2）如圖2，當點運動到何處時，翻折后，點恰好落在邊上？這時重疊部分的面積等于多少？
11．如圖，在中，，，點D為線段延長線上一點，以為腰作等腰直角，使，連接．
(1)請判斷與的位置關系，并說明理由；
(2)若，，求線段的長；
(3)如圖2，在（2）的條件下，將沿線段翻折，使點A與點E重合，連接，求線段的長．
1．在下列四組數中，屬于勾股數的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，4，5
C．2，8，10 D．1，，
2．下列命題①如果為一組勾股數，那么仍是勾股數；②如果直角三角形的兩邊是3，4，那么斜邊必是5；③如果一個三角形的三邊是12、25、7，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊，（），那么，其中正確的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．如圖，五個正方形放在直線MN上，正方形A、C、E的面積依次為3、5、4，則正方形B、D的面積之和為（ ）

A．11 B．14 C．17 D．20
4．在直角中，，，，則的長為（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
5．如圖，在以下四個正方形網格中，各有一個三角形，不是直角三角形的是（　　）
A．B． C． D．
6．我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數學著作《周髀算經》中．漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現在勾股定理的證明已經有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．在驗證過程中它體現的數學思想是（ ）
A．函數思想 B．數形結合思想
C．分類思想 D．方程思想
7．如圖，，一架云梯長為25米，頂端A靠在墻上，此時云梯底端B與墻角C距離為7米，云梯滑動后停在的位置上，測得長為4米，則云梯底端B在水平方向滑動的距離為（ ）
A．4米 B．6米 C．8米 D．10米
8．如圖所示是一個圓柱形飲料罐底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個小圓孔，則一條到達底部的直吸管在罐內部分a的長度（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計）范圍是（ ）
A． B． C． D．
9．如圖所示，是長方形地面，長，寬，中間整有一堵磚墻高，一只螞蟻從A點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
10．如圖，、、分別是以的三邊為直徑所畫半圓的面積，其中，，則 ．

11．如圖所示，已知中，，，于，為上任一點，則等于 ．
12．如圖，已知在中，于點D，，，，
(1)求、的長；
(2)求證：是直角三角形．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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