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數軸與動點的常見問題
1.在下列數中：，，0，，8，，，，負數的個數有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
2.的相反數是（　　）
A． B． C． D．2
3.下列各圖中，數軸畫得正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4.的結果是（ ）．
A． B． C． D．
5.規定一種新運算為：，則 ．
6.已知，則 .
7.（2023秋·七年級課時練習）快遞員騎車從轉運站出發，先向西騎行2km到達A村，繼續向西騎行3km到達B村，然后向東騎行9km到達C村，最后回到轉運站．
（1）以轉運站為原點，以向東方向為正方向，用1cm表示1km畫出數軸，并在數軸上表示出A，B，C三個村莊的位置；
（2）求快遞員一共騎行了多少千米？
1.數軸上的動點問題，正確理解點運動的方向，點的運動符合“左減右加”
2.速度與路程、時間的關系是解題的關鍵．
1.（2023秋·江蘇宿遷·七年級統考期末）如圖，在數軸上，、兩點同時從原點出發，分別以每秒個單位和個單位的速度向右運動，運動的時間為，若線段上（含線段端點）恰好有個整數點，則時間的最小值是 ．
2．（2023秋·廣東深圳·七年級深圳市光明區公明中學校考期中）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)探究：
①數軸上表示7和3的兩點之間的距離是 ；
②數軸上表示和的兩點之間的距離是 ；
③數軸上表示和5的兩點之間的距離是 ．
(2)歸納：一般的，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于 ．
(3)應用：
①如果表示數a和3的兩點之間的距離是6，則可記為：，那么a＝ ．

②若數軸上表示數a的點位于與2之間，求的值．
③當a何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．

3.（2022秋·遼寧撫順·七年級校考期中）閱讀材料：小蘭在學習數軸時發現：若點M，N表示的數分別為，3，則線段的長度可以這樣計算或，那么當點M，N表示的數分別為m，n時，線段的長度可以表示為或．
請你參考小蘭的發現，解決下面的問題．
在數軸上，點A，B，C分別表示數a，b，c
給出如下定義：若，則稱點B為點A，C的雙倍絕對點．
(1)如圖1， ，，點D，E，F在數軸上分別表示數，5，6，在這三個點中，點　 是點A，C的雙倍絕對點；
(2)點B為點A，C的雙倍絕對點
①，，求b的值；
②，，求c的值．
4.如圖，，是數軸上的兩點，點表示的數是，點表示的數是，點表示的數是，且．
(1)直接寫出：___________，___________，線段中點對應的數為__________；
(2)點、分別從、出發同時向左勻速運動，的速度為1個單位長度每秒，的速度為3個單位長度每秒，設運動時間為秒，當時，求的值；
(3)在（2）的條件下，為線段的中點，為線段的中點，、在運動的過程中，當為何值時有最小值，最小值是多少？
5．（2023秋·廣東汕頭·七年級汕頭市龍湖實驗中學校考期中）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)數軸上表示6和2的兩點之間的距離為＝　 　；表示和2兩點之間的距離為＝　 　；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于，如果表示數a和的兩點之間的距離是3，那么a＝　 　．
(2)若數軸上表示數a的點位于與3之間(包括與3兩點)，求
的值；
(3)當　 　時，的值最小，最小值為　 　．
(4)當x，y滿足時，的最大值為 　 　．
6．（2023秋·江蘇·七年級期末）對于數軸上的點M，線段AB，給出如下定義：P為線段AB上任意一點，如果M，P兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為點M，線段AB的“近距”，記作d1（點M，線段AB）；如果M，P兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為點M，線段AB的“遠距”，記作d2（點M，線段AB），特別的，若點M與點P重合，則M，P兩點間距離為0，已知點A表示的數為﹣2，點B表示的數為3．如圖，若點C表示的數為5，則d1（點C，線段AB）＝2，d2（點C，線段AB）＝7．
(1)若點D表示的數為﹣3，則d1（點D，線段AB）＝　 　，d2（點D，線段AB）＝　 　；
(2)若點E表示數為x，點F表示數為x+1．d2（點F，線段AB）是d1（點E，線段AB）的3倍．求x的值．
7．（2023秋·陜西西安·七年級西安市第三中學校考期中）如圖，在數軸上點A表示的數為﹣6，點B表示的數為10，點M、N分別從原點O、點B同時出發，都向左運動，點M的速度是每秒1個單位長度，點N的速度是每秒3個單位長度，運動時間為t秒．
（1）求點M、點N分別所對應的數（用含t的式子表示）；
（2）若點M、點N均位于點A右側，且AN＝2AM，求運動時間t；
（3）若點P為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，點M、N在整個運動過程中，當PQ+AM＝17時，求運動時間t．
8．（2023秋·山東煙臺·六年級校考期末）如圖，A，B兩點在數軸上對應的數分別為a，b，且點A在點B的左側，，．
(1)直接寫出a= ___________，b= ___________；
(2)現有一只螞蟻P從點A出發，以每秒5個單位長度的速度向右運動，同時另一只螞蟻Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度向右運動．
①兩只螞蟻經過多長時間相遇？
②設兩只螞蟻在數軸上的點C處相遇，求點C對應的數；
③經過多長時間，兩只螞蟻在數軸上相距個單位長度？
9．（2023秋·廣東廣州·七年級廣州市第十六中學校考期中）定義：若線段上的一個點把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．如圖1，點C在線段AB上，且AC：CB＝1：2，則點C是線段AB的一個三等分點，顯然，一條線段的三等分點有兩個．
（1）已知：如圖2，DE＝15cm，點P是DE的三等分點，求DP的長．
（2）已知，線段AB＝15cm，如圖3，點P從點A出發以每秒1cm的速度在射線AB上向點B方向運動；點Q從點B出發，先向點A方向運動，當與點P重合后立馬改變方向與點P同向而行且速度始終為每秒2cm，設運動時間為t秒．
①若點P點Q同時出發，且當點P與點Q重合時，求t的值．
②若點P點Q同時出發，且當點P是線段AQ的三等分點時，求t的值．
10．（2023秋·福建泉州·七年級泉州七中校考期中）閱讀理解：已知Q、K、R為數軸上三點，若點K到點Q的距離是點K到點R的距離的2倍，我們就稱點K是有序點對[Q，R]的好點．
根據下列題意解答問題：
（1）如圖1，數軸上點Q表示的數為 1，點P表示的數為0，點K表示的數為1，點R
表示的數為2．因為點K到點Q的距離是2，點K到點R的距離是1，所以點K是
有序點對的好點，但點K不是有序點對的好點．同理可以判斷：
點P__________有序點對的好點，點R______________有序點對的好點（填“是”或“不是”）；
（2）如圖2，數軸上點M表示的數為-1，點N表示的數為5，若點X是有序點對的好點，求點X所表示的數，并說明理由？
（3）如圖3，數軸上點A表示的數為 20，點B表示的數為10．現有一只電子螞蟻C從
點B出發，以每秒2個單位的速度向左運動t秒．當點A、B、C中恰有一個點為其余兩有序點對的好點，求t的所有可能的值．
1．（2023秋·廣東汕頭·七年級統考期末）如圖，數軸上三點A、B、C表示的數分別為、5、15，點P為數軸上一動點，其對應的數為．
(1)點A到點C的距離為 ；
(2)數軸上是否存在點P，使得點到點A、點B的距離之和為25個單位長度？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
(3)設點P到A、B、C三點的距離之和為S．在動點P從點A開始沿數軸的正方向運動到達點C這一運動過程中，求出S的最大值與最小值．
2．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖1，、兩點在數軸上對應的數分別為和6．
(1)直接寫出、兩點之間的距離___；
(2)若在數軸上存在一點，使得，求點表示的數；
(3)如圖2，現有動點、，若點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點從點出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左運動，當點到達原點后立即以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，求：當時的運動時間的值．
3．（2023秋·陜西西安·七年級校考期中）如圖：在數軸上A點表示數a，B點表示數b，C點表示數c，且a，b滿足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）點P為數軸上一動點，其對應的數為x，則當x　 　時，代數式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值為 　 　；
（3）點P從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時點Q從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，在點Q到達點C后，以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為t（t≤8）秒，求第幾秒時，點P、Q之間的距離是點B、Q之間距離的2倍？
4．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統考期末）已知數軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數，4，6．
(1)畫出數軸，并用數軸上的點表示點A，點B，點C；
(2)動點P從點C出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向數軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數軸返回到點C，到達點C后停止運動，設運動時間為t秒．
①當時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；
②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________
5．（2023秋·全國·七年級期中）數軸體現了數形結合的數學思想，若數軸上點A，B表示的數分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數為2，點B表示的數為3，則．
問題提出：
(1)填空：如圖，數軸上點A表示的數為 2，點B表示的數為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數為______．
(2)拓展探究：若點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點Q從點B出發．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設運動時間為t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數為______；點Q表示的數為______；
②求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數．
(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續運動，當各自到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復運動，那么再經過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數．
6．（2023秋·河北唐山·七年級統考期末）如圖，已知在數軸上有、兩點，點表示的數是，點表示的數是．點在數軸上從點出發，以每秒個單位的速度沿數軸正方向運動，同時，點在數軸上從點出發，以每秒個單位的速度在沿數軸負方向運動，當點到達點時，兩點同時停止運動．設運動時間為秒．
（1）_______；時，點表示的數是_______；當_______時，、兩點相遇；
（2）如圖，若點為線段的中點，點為線段中點，點在運動過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長；
（3）如圖，若點為線段的中點．點為線段中點，則直接寫出用含的代數式表示的線段的長．
7．（2023秋·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學校考期中）已知數軸上，一動點Q從原點O出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度來回移動，其移動的方式是：先向右移動1個單位，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度…，
（1）求出3秒鐘時，動點Q所在的位置；
（2）若5秒時，動點Q激活所在位置P點，P點立即以0.1個單位長度/秒的速度沿數軸運動，試求點P激活后第一次與繼續運動的點Q相遇時所在的位置；
（3）如圖，在數軸上的A1、A2、A3、A4，這4個點所表示的數分別為a1、a2、a3、a4，若A1A2＝A2A3＝A3A4，且a1＝20，|a1﹣a4|＝12，|a1﹣x|＝a2+a4
①求x值；
②在（2）的條件下，若P點激活后仍以0.1個單位長度/秒向右運動，當Q點到達數x的點處，則P點所對應的數是　 　．
8．（2023秋·廣東湛江·七年級統考期中）如圖，射線上有三點，滿足cm，cm，cm.點從點出發，沿方向以2cm/秒的速度勻速運動，點從點出發在線段上向點勻速運動，兩點同時出發，當點運動到點時，點停止運動.
(1)若點運動速度為3cm/秒，經過多長時間兩點相遇
(2)當時，點運動到的位置恰好是線段的中點，求點的運動速度;
(3)自點運動到線段上時，分別取和的中點，求的值.
9．（2023秋·江蘇·七年級期末）定義：若A，B，C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的美好點．
例如：如圖1，點A表示的數為－1，點B表示的數為2.表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是【A，B】的美好點，但點D是【B，A】的美好點．
如圖2，M，N為數軸上兩點，點M所表示的數為－7，點N所表示的數為2
(1)點E，F，G表示的數分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點的是 　 　；寫出【N，M】美好點H所表示的數是 　 　．
(2)現有一只電子螞蟻P從點N開始出發，以2個單位每秒的速度向左運動．當t為何值時，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點？
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數軸與動點的常見問題
1.在下列數中：，，0，，8，，，，負數的個數有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】根據負數的概念即可解答．
【詳解】解：，，8，是正數，
0既不是正數，也不是負數，
，，是負數，
∴負數的個數有3個，
故選B．
【總結】本題考查了負數，解題的關鍵是理解負數的概念，即小于0的數．
2.的相反數是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數，可得答案．
【詳解】解：的相反數是，
故選：B．
【總結】本題考查了相反數，在一個數的前面加上負號就是這個數的相反數．
3.下列各圖中，數軸畫得正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據數軸的三要素逐一判斷即可．
【詳解】解：A、正確，故A選項符合題意；
B、單位長度不統一，則B選項錯誤，故B選項不符合題意；
C、沒有正方向，則C選項錯誤，故C選項不符合題意；
D、正方向應該向右，則D選項錯誤，故D選項不符合題意，
故選A．
【總結】本題考查了數軸的三要素，熟練掌握其三要素是解題的關鍵．
4.的結果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把原式變形為，再根據乘法分配律進行求解即可．
【詳解】解：
，
故選B．
【總結】本題主要考查了有理數乘法分配律，正確把原式變形是解題的關鍵．
5.規定一種新運算為：，則( )．
【答案】
【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．
【詳解】解：，
，
故答案為：．
【總結】本題考查了有理數的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．
6.已知，則 .
【答案】
【分析】根據非負數的性質列式求出、的值，然后相加即可得解．
【詳解】解：根據題意得，，，
解得，，
所以，．
故答案為：．
【總結】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．
7.（2023秋·七年級課時練習）快遞員騎車從轉運站出發，先向西騎行2km到達A村，繼續向西騎行3km到達B村，然后向東騎行9km到達C村，最后回到轉運站．
（1）以轉運站為原點，以向東方向為正方向，用1cm表示1km畫出數軸，并在數軸上表示出A，B，C三個村莊的位置；
（2）求快遞員一共騎行了多少千米？
【答案】（1）見祥解；（2）18千米．
【分析】（1）根據數軸的三要素畫出數軸，根據題意，畫出A、B、C三個村莊的位置；
（2）根據快遞員一共騎行走四段OA，AB，AC，CO距離的和OA+AB+BC+CO即可．
【詳解】解：（1）如圖所示：
（2）OA=0-(-2)=2，AB=-2-(-5)=-2+5=3，BC=4-(-5)=4+5=9，CO=4-0=4，
快遞員一共騎行OA+AB+BC+CO=2+3+9+4=18千米．
【總結】考查數軸的畫法及有理數在數軸上的表示，會求兩點間距離，會用數軸解決實際問題，掌握數軸的三要素并來作圖是解題的關鍵．
1.數軸上的動點問題，正確理解點運動的方向，點的運動符合“左減右加”
2.速度與路程、時間的關系是解題的關鍵．
1.（2023秋·江蘇宿遷·七年級統考期末）如圖，在數軸上，、兩點同時從原點出發，分別以每秒個單位和個單位的速度向右運動，運動的時間為，若線段上（含線段端點）恰好有個整數點，則時間的最小值是 ．
【答案】
【分析】根據題意，分別表示出兩點，秒后對應的數，進而求得的長度，結合題意即可求解．
【詳解】解：依題意，秒后對應的數分別為，
∴，
∵線段上（含線段端點）恰好有個整數點，
∴，
解得：
故答案為：．
【總結】本題考查了數軸上的動點問題，一元一次方程的應用，根據題意表示出的長是解題的關鍵．
2．（2023秋·廣東深圳·七年級深圳市光明區公明中學校考期中）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)探究：
①數軸上表示7和3的兩點之間的距離是 ；
②數軸上表示和的兩點之間的距離是 ；
③數軸上表示和5的兩點之間的距離是 ．
(2)歸納：一般的，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于 ．
(3)應用：
①如果表示數a和3的兩點之間的距離是6，則可記為：，那么a＝ ．

②若數軸上表示數a的點位于與2之間，求的值．
③當a何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8
(2)
(3)①或；②7；③當時，的值最小，最小值是7
【分析】（1）根據兩點之間的距離較大的數較小的數可得結論；
（2）因為不確定和的大小關系，所以數軸上表示數和數的兩點之間的距離等于；
（3）①根據絕對值的意義可得：，解方程即可；②根據a的范圍，化簡絕對值，再合并即可；③分析得出表示一點到，1，2三點的距離的和，據此可解．
【詳解】（1）解：①數軸上表示7和3的兩點之間的距離是；
②數軸上表示和的兩點之間的距離是；
③數軸上表示和5的兩點之間的距離是；
（2）一般的，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于；
（3）①，
∴或，
解得：或；
②∵數軸上表示數a的點位于與2之間，
∴，
∴；
③表示一點到，1，2三點的距離的和，
∴當時，該式的值最小，最小值為．
∴當時，的值最小，最小值是7．
【總結】本題考查了數軸在兩點間的距離及絕對值化簡中的應用，明確數軸上兩點間的距離及絕對值之間的關系，是解題的關鍵．
3.（2022秋·遼寧撫順·七年級校考期中）閱讀材料：小蘭在學習數軸時發現：若點M，N表示的數分別為，3，則線段的長度可以這樣計算或，那么當點M，N表示的數分別為m，n時，線段的長度可以表示為或．
請你參考小蘭的發現，解決下面的問題．
在數軸上，點A，B，C分別表示數a，b，c
給出如下定義：若，則稱點B為點A，C的雙倍絕對點．
(1)如圖1， ，，點D，E，F在數軸上分別表示數，5，6，在這三個點中，點　 是點A，C的雙倍絕對點；
(2)點B為點A，C的雙倍絕對點
①，，求b的值；
②，，求c的值．
【答案】(1)E
(2)①或3；②或
【分析】（1）根據雙倍絕對點的定義可列式計算即可求解；
（2）①根據雙倍絕對點的定義可列式計算即可求解；
②由已知條件結合新定義可得，再分兩種情況：①當時，②當時，列算式計算即可求解．
【詳解】（1）
解得或，
∴點E是點的雙倍絕對點，
故答案為：E；
（2）①因為，點B為點A，C的雙倍絕對點
所以
因為，
所以，
解得或3；
②因為點B為點A，C的雙倍絕對點
所以
又因為，所以
因為，
所以，或，
當時，，
解得；
所以，或
當時，，
解得；
當時，
解得：
綜上，c的值為或
【總結】本題主要考查絕對值，數軸，有理數的減法，屬于新定義題型，注意分類討論解問題．
4.如圖，，是數軸上的兩點，點表示的數是，點表示的數是，點表示的數是，且．
(1)直接寫出：___________，___________，線段中點對應的數為__________；
(2)點、分別從、出發同時向左勻速運動，的速度為1個單位長度每秒，的速度為3個單位長度每秒，設運動時間為秒，當時，求的值；
(3)在（2）的條件下，為線段的中點，為線段的中點，、在運動的過程中，當為何值時有最小值，最小值是多少？
【答案】(1)，，
(2)t的值為1或者11
(3)當時，有最小值，最小值是10
【分析】（1）根據絕對值和平方的值非負可求出，，則問題隨之得解；
（2）先求出，，根據題意有：，，即有，分當點P在點Q的左側時和當點Q在點P的左側時兩種情況討論，即可作答；
（3）根據題意可知點表示的數是，點表示的數是，點表示的數是，點表示的數是，再根據為線段的中點，為線段的中點，可得點表示的數是，點表示的數是，即有，，則有，再分類討論去絕對值即可作答．
【詳解】（1）∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴線段中點對應的數，
故答案為：，，；
（2）∵點表示的數是，點表示的數是，點表示的數是，且，，
∴，，
根據題意有：，，
∴，
分情況討論：
當點P在點Q的左側時，，
∵，
∴，
解得：；
當點Q在點P的左側時，，
∵，
∴，
解得：，
綜上：t的值為1或者11；
（3）根據題意可知點表示的數是，點表示的數是，點表示的數是，點表示的數是，
∵為線段的中點，為線段的中點，
∴點表示的數是，點表示的數是，
∴，，
∴，
當時，，
∴，
∴；
當時，，
∴為定值10；
當時，，
∴，
∴；
綜上：的最小值為10．
即：當時，有最小值，最小值是10．
【總結】本題主要考查了數軸的相關知識，涉及絕對值的定義、根據數軸上的點求解距離以及數軸上中點的求解方法等知識，根據數軸上的點表示出點與點之間的距離是解答本題的關鍵．解答本題時，要注意分類討論的思想．
5．（2023秋·廣東汕頭·七年級汕頭市龍湖實驗中學校考期中）結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)數軸上表示6和2的兩點之間的距離為＝　 　；表示和2兩點之間的距離為＝　 　；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于，如果表示數a和的兩點之間的距離是3，那么a＝　 　．
(2)若數軸上表示數a的點位于與3之間(包括與3兩點)，求
的值；
(3)當　 　時，的值最小，最小值為　 　．
(4)當x，y滿足時，的最大值為 　 　．
【答案】(1)4，3，2或
(2)8
(3)，8
(4)11
【分析】（1）根據數軸上兩點間距離公式進行計算即可；
（2）表示數a到和3兩點的距離之和，然后根據表示數a的點的位置求解即可；
（3）表示x到，，3三個點的距離之和，結合數軸可知，
當時，有最小值，由此可求解；
（4）先根據已知式子可得，求出x、y的范圍，再求出的最大值即可．
【詳解】（1）數軸上表示6和2的兩點之間的距離為；
表示和2兩點之間的距離為；
∵表示數a和的兩點之間的距離是3，
∴，
∴或，
∴或，
故答案為：4；3；2或；
（2）表示數a到和3兩點的距離之和，
∵表示數a的點位于與3之間，
；
（3）表示x到，，3三個點的距離之和，
∵當時，有最小值，且當時，有最小值，
∴當時，有最小值，
最小值為，
故答案為：，8；
（4），
∴，
∵，
，
，
∴當時有最大值，
最大值為，
故答案為：11．
【總結】本題主要考查了絕對值與數軸的綜合運用，解題的關鍵是理解絕對值的幾何意義．
6．（2023秋·江蘇·七年級期末）對于數軸上的點M，線段AB，給出如下定義：P為線段AB上任意一點，如果M，P兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為點M，線段AB的“近距”，記作d1（點M，線段AB）；如果M，P兩點間的距離有最大值，那么稱這個最大值為點M，線段AB的“遠距”，記作d2（點M，線段AB），特別的，若點M與點P重合，則M，P兩點間距離為0，已知點A表示的數為﹣2，點B表示的數為3．如圖，若點C表示的數為5，則d1（點C，線段AB）＝2，d2（點C，線段AB）＝7．
(1)若點D表示的數為﹣3，則d1（點D，線段AB）＝　 　，d2（點D，線段AB）＝　 　；
(2)若點E表示數為x，點F表示數為x+1．d2（點F，線段AB）是d1（點E，線段AB）的3倍．求x的值．
【答案】(1)1，6
(2)﹣4或6
【分析】（1）根據已知給出的定義，進行計算即可解答；
（2）分兩種情況，點E在點A的左側，點E在點B的右側．
【詳解】（1）解：∵點D表示的數為﹣3，
∴d1（點D，線段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
d2（點D，線段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，
故答案為：1，6；
（2）分兩種情況：
當點E在點A的左側，
d2（點F，線段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，
d1（點E，線段AB）＝AE＝﹣2﹣x，
∵d2（點F，線段AB）是d1（點E，線段AB）的3倍，
∴2﹣x＝3（﹣2﹣x），
∴x＝﹣4，
當點E在點B的右側，
d2（點F，線段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3，
d1（點E，線段AB）＝EB＝x﹣3，
∵d2（點F，線段AB）是d1（點E，線段AB）的3倍，
∴3+x＝3（x﹣3），
∴x＝6，
綜上所述：x的值為﹣4或6．
【總結】本題考查了數軸，理解題目已知給出的定義是解題的關鍵．
7．（2023秋·陜西西安·七年級西安市第三中學校考期中）如圖，在數軸上點A表示的數為﹣6，點B表示的數為10，點M、N分別從原點O、點B同時出發，都向左運動，點M的速度是每秒1個單位長度，點N的速度是每秒3個單位長度，運動時間為t秒．
（1）求點M、點N分別所對應的數（用含t的式子表示）；
（2）若點M、點N均位于點A右側，且AN＝2AM，求運動時間t；
（3）若點P為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，點M、N在整個運動過程中，當PQ+AM＝17時，求運動時間t．
【答案】（1）點M、點N分別所對應的數分別為，；（2）；（3）t=1或18
【分析】（1）根據題意進行求解即可；
（2）由（1）所求，根據數軸上兩點距離公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案；
（3）分當M、N均在A點右側時，當N在A點左側，M在A點右側時，當M、N都在A點左側時，三種情況討論求解即可．
【詳解】解：（1）由題意得：點M、點N分別所對應的數分別為，；
（2）∵點A表示的數為-6，點M、點N分別所對應的數分別為，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）如圖1所示，當M、N均在A點右側時，
由（1）（2）得點M、點N分別所對應的數分別為，，
∵點P為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，
∴點P和點Q表示的數分別為，，
∴
∵，
∴，
∴；
如圖2所示，當N在A點左側，M在A點右側時，
同圖1可知點P和點Q表示的數分別為，，
∴
∵，
∴，
∴，不符合題意；
如圖3所示，當M、N都在A點左側時，
同圖1可得點P和點Q表示的數分別為，，
∴，，
∵，
∴，此時方程無解；
如圖4所示，當M、N都在A點左側時，
同理可得點P和點Q表示的數分別為，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴綜上所述，當，t=1或18．
【總結】本題主要考查了用數軸表示有理數，數軸上兩點的距離，數軸上的動點問題，熟知數軸的相關知識是解題的關鍵．
8．（2023秋·山東煙臺·六年級校考期末）如圖，A，B兩點在數軸上對應的數分別為a，b，且點A在點B的左側，，．
(1)直接寫出a= ___________，b= ___________；
(2)現有一只螞蟻P從點A出發，以每秒5個單位長度的速度向右運動，同時另一只螞蟻Q從點B出發，以每秒3個單位長度的速度向右運動．
①兩只螞蟻經過多長時間相遇？
②設兩只螞蟻在數軸上的點C處相遇，求點C對應的數；
③經過多長時間，兩只螞蟻在數軸上相距個單位長度？
【答案】(1)
(2)①兩只螞蟻經過秒相遇；
②點C對應的數是，
③經過秒或秒，兩只螞蟻在數軸上相距個單位長度
【分析】（1）根據兩個數乘積大于0說明兩數同號即可求解；
（2）①根據相遇問題列一元一次方程即可求解；
②根據路程、速度、時間關系，列出算式計算即可求解；
③分兩種情況討論：相遇前相距和相遇后相距個單位長度列一元一次方程即可求解．
【詳解】（1）解：
故答案為：；
（2）①設螞蟻運動時間為x秒，依題意得，
解得
故兩只螞蟻經過秒相遇；
②，
，
故：點C對應的數是，
③當P在Q左側（相遇前）時：
解得
當P在Q右側（相遇后）時：
解得
故經過秒或秒，兩只螞蟻在數軸上相距個單位長度
【總結】本題考查了一元一次方程的應用、數軸以及絕對值的非負性；解題的關鍵是：（1）利用絕對值的非負性，求出a，b的值；（2）找準等量關系，分情況討論相遇前后的距離變化正確列出一元一次方程．
9．（2023秋·廣東廣州·七年級廣州市第十六中學校考期中）定義：若線段上的一個點把這條線段分成1：2的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．如圖1，點C在線段AB上，且AC：CB＝1：2，則點C是線段AB的一個三等分點，顯然，一條線段的三等分點有兩個．
（1）已知：如圖2，DE＝15cm，點P是DE的三等分點，求DP的長．
（2）已知，線段AB＝15cm，如圖3，點P從點A出發以每秒1cm的速度在射線AB上向點B方向運動；點Q從點B出發，先向點A方向運動，當與點P重合后立馬改變方向與點P同向而行且速度始終為每秒2cm，設運動時間為t秒．
①若點P點Q同時出發，且當點P與點Q重合時，求t的值．
②若點P點Q同時出發，且當點P是線段AQ的三等分點時，求t的值．
【答案】（1）DP的長為5cm或10cm；（2）①5秒；②3秒、秒或10秒.
【分析】（1）直接由題目討論DP為哪一個三等分點即可.
(2) ①由題意列出t+2t=15，解得即可.
②分別討論P，Q重合之前與之后的三等分點即可.
【詳解】（1）當DP為短的部分時，DP：PE=1：2，可得DP=5
當DP為長的部分時，DP：PE=2：1，可得DP=10
（2）①當點P與點Q重合時，t+2t=15，即t=5.
②當點P是線段AQ的三等分點時,AQ=15-2t
或或或
解得t=3或t=或t=10.
【總結】本題考查的知識點是線段的計算，解題的關鍵是熟練的掌握線段的計算.
10．（2023秋·福建泉州·七年級泉州七中校考期中）閱讀理解：已知Q、K、R為數軸上三點，若點K到點Q的距離是點K到點R的距離的2倍，我們就稱點K是有序點對[Q，R]的好點．
根據下列題意解答問題：
（1）如圖1，數軸上點Q表示的數為 1，點P表示的數為0，點K表示的數為1，點R
表示的數為2．因為點K到點Q的距離是2，點K到點R的距離是1，所以點K是
有序點對的好點，但點K不是有序點對的好點．同理可以判斷：
點P__________有序點對的好點，點R______________有序點對的好點（填“是”或“不是”）；
（2）如圖2，數軸上點M表示的數為-1，點N表示的數為5，若點X是有序點對的好點，求點X所表示的數，并說明理由？
（3）如圖3，數軸上點A表示的數為 20，點B表示的數為10．現有一只電子螞蟻C從
點B出發，以每秒2個單位的速度向左運動t秒．當點A、B、C中恰有一個點為其余兩有序點對的好點，求t的所有可能的值．
【答案】（1）不是；是；（2）3；（3）5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒；
【分析】可以根據好點的定義判斷好點，這種新定義問題通常的解法是照貓畫虎.
【詳解】（1）PQ =PR，RP=2RK
所以答案為：不是；是
（2） 當點X在點M、N之間，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN,
所以XM=4，XN=2，即點X距離點M為4個單位，距離點N為2個單位，
即點X所表示的數為3，
當點X在點N的右邊，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN，所以XM=12，XN=6，
即點X距離點M為12個單位，距離點N為6個單位，
即點X所表示的數為11；
（3）AB=10-（-20）=30，
當點C在點A、B之間，
若點C為有序點對的好點，則CA=2CB，CB=10，t=5(秒)
②若點C為有序點對的好點，即CB=2CA，CB=20, t=10(秒)
③若點B為有序點對的好點或點A為有序點對的好點，
即BA=2BC或AB=2AC，CB=15, t=7.5(秒)
當點A在點C、B之間，
④點A為有序點對的好點，即AB=2AC，CB=45，t=22.5(秒)
②點C為有序點對的好點或點B為有序點對的好點，
即CB=2CA或BC=2BA，CB=60，t=30(秒)；
③點A為有序點對的好點，即AC=2AB，CB=90, t=45
∴當經過5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒時，A、B、C中
恰有一個點為其余兩有序點對的好點.
1．（2023秋·廣東汕頭·七年級統考期末）如圖，數軸上三點A、B、C表示的數分別為、5、15，點P為數軸上一動點，其對應的數為．
(1)點A到點C的距離為 ；
(2)數軸上是否存在點P，使得點到點A、點B的距離之和為25個單位長度？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；
(3)設點P到A、B、C三點的距離之和為S．在動點P從點A開始沿數軸的正方向運動到達點C這一運動過程中，求出S的最大值與最小值．
【答案】(1)25
(2)存在，或10
(3)最大值為40，最小值為25
【分析】（1）利用兩點間距離公式即可求解；
（2）當點在點的左側（含點）時：得方程；當點在點和點的之間（含點）時：；當點在點的右側時：，解方程即可；
（3）設點表示的數為，則點到、、的距離和等于，得，分析出的最值即可．
【詳解】（1）解：，
∴點A到點C的距離為25；
（2）設點表示的數為，
當點在點的左側（含點）時：
，
解得：，
當點在點和點的之間（含點）時：
，
解得：無解；
當點在點的右側時：
，
解得：，
數軸上存在點，使得點到點、點的距離之和為25個單位長度，當或10，使得點到點、點的距離之和為25單位長度；
（3）設點表示的數為，
則點到、、的距離和等于，
點在點、之間，
，
當點與點重合時，最大，此時，
的最大值為，
當點與點重合時，最小，此時，
的最小值為25，
的最大值為40，最小值為25．
【總結】此題主要考查了一元一次方程的應用，與數軸有關計算問題，能夠正確表示數軸上兩點間的距離：兩點所對應的數的差的絕對值．
2．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖1，、兩點在數軸上對應的數分別為和6．
(1)直接寫出、兩點之間的距離___；
(2)若在數軸上存在一點，使得，求點表示的數；
(3)如圖2，現有動點、，若點從點出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點從點出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左運動，當點到達原點后立即以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，求：當時的運動時間的值．
【答案】(1)22
(2)或
(3)當時的運動時間的值為2或秒
【分析】（1）根據兩點間的距離公式即可求出、兩點之間的距離；
（2）設點表示的數為．分兩種情況：①點在線段上；②點在線段的延長線上．根據列出關于的方程，求解即可；
（3）根據點的運動方向分兩種情況：①當時，點從點出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左運動；②當時，點從原點開始以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，根據列出關于的方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：、兩點之間的距離是：；
（2）解：設點表示的數為．分兩種情況：
①當點在線段上時，
，
，
解得；
②當點在線段的延長線上時，
，
，
解得．
綜上所述，點表示的數為或；
（3）解：分兩種情況：
①當時，點從點出發，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左運動，
此時點表示的數為，點表示的數為，
，
，
解得，符合題意；
②當時，點從原點開始以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，
此時點表示的數為，點表示的數為，
，
，
當時，，
解得；
當時，，
解得，不符合題意，舍去；
綜上所述，當時的運動時間的值為2或秒．
【總結】本題考查了一元一次方程的應用，數軸，結合動點考查了兩點間的距離，以及路程、速度與時間關系的應用，理解題意，找到相等關系進行正確分類是解題的關鍵．
3．（2023秋·陜西西安·七年級校考期中）如圖：在數軸上A點表示數a，B點表示數b，C點表示數c，且a，b滿足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）點P為數軸上一動點，其對應的數為x，則當x　 　時，代數式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值為 　 　；
（3）點P從點A處以1個單位/秒的速度向左運動；同時點Q從點B處以2個單位/秒的速度也向左運動，在點Q到達點C后，以原來的速度向相反的方向運動，設運動的時間為t（t≤8）秒，求第幾秒時，點P、Q之間的距離是點B、Q之間距離的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根據非負數的性質得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，則代數式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代數式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分類討論，分別求出相應的代數式的值或范圍，再確定代數式的最大值；
（3）先由點C表示的數是1，點B表示的數是9，計算出B、C兩點之間的距離，確定t的取值范圍，再按t的不同取值范圍分別求出相應的t的值即可．
【詳解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，
∴a＝﹣3，b＝9，
故答案為：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，
∴代數式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代數式|x+3|﹣|x﹣9|，
當x＜﹣3時，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
當﹣3≤x＜9時，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，
∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
當x≥9時，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
綜上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值為12，
故答案為：≥9，12．
（3）∵點C表示的數是1，點B表示的數是9，
∴B、C兩點之間的距離是9﹣1＝8，
當點Q與點C重合時，則2t＝8，
解得t＝4，
當0＜t≤4時，如圖1，點P表示的數是﹣3﹣t，點Q表示的數是9﹣2t，
根據題意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，
解得t＝；
當4＜t≤8時，如圖2，點P表示的數仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，
∴點Q表示的數是2t﹣7，
根據題意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），
解得t＝，
綜上所述，第秒或第秒，點P、Q之間的距離是點B、Q之間距離的2倍．
【總結】本題考查數軸、數軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用、絕對值的幾何意義等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關知識是解題關鍵．
4．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統考期末）已知數軸上有A，B，C三個點，分別表示有理數，4，6．
(1)畫出數軸，并用數軸上的點表示點A，點B，點C；
(2)動點P從點C出發，以每秒4個單位長度的速度沿數軸向數軸負方向運動，到達點A后立即以每秒2個單位長度的速度沿數軸返回到點C，到達點C后停止運動，設運動時間為t秒．
①當時，的長為__________個單位長度，的長為__________個單位長度，的長為____________個單位長度；
②在點P的運動過程中，若個單位長度，則請直接寫出t的值為___________
【答案】(1)見解析；
(2)①4 ，2 ，4；②或或或
【分析】（1）根據題意畫出數軸即可；
（2）①先求出當時，P點表示的數為6-4=2，然后根據數軸上兩點距離公式求解即可；②分當P從C向A運動和當P從A向C運動兩種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：①當時，P點表示的數為6-4=2，
∴，，，
故答案為：4、2、4；
②當P從C向A運動，時，
，，，
∵，
∴，
解得；
當P從C向A運動，時，
，，，
∵，
∴，
解得；
當P從A向C運動時，當時，
，，，
∵，
∴，
解得；
當P從A向C運動時，當時，
，，，
∵，
∴，
解得；
綜上所述，t的值為或或或．
【總結】本題主要考查了用數軸表示有理數，數軸上兩點的距離，數軸上的動點問題，解題的關鍵在于能夠正確理解題意，利用分類討論的思想求解．
5．（2023秋·全國·七年級期中）數軸體現了數形結合的數學思想，若數軸上點A，B表示的數分別為a，b，則A、B兩點之間的距離表示為．如：點A表示的數為2，點B表示的數為3，則．
問題提出：
(1)填空：如圖，數軸上點A表示的數為 2，點B表示的數為13，A、B兩點之間的距離______，線段AB的中點表示的數為______．
(2)拓展探究：若點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點Q從點B出發．以每秒2個單位長度的速度向左運動．設運動時間為t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，點Р表示的數為______；點Q表示的數為______；
②求當t為何值時，P、Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數．
(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點相遇后按照原來的速度繼續運動，當各自到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段AB上做往復運動，那么再經過多長時間P、Q兩點第二次相遇．請直接寫出所需要的時間和此時相遇點所表示的數．
【答案】(1)；
(2)①；；②當t為3時，P、Q兩點相遇；相遇點所表示的數是7
(3)所需要的時間為9秒；相遇點所表示的數是1
【分析】（1）由A表示的數為 2，點B表示的數為13，即得AB＝15，線段AB的中點表示的數為；
（2）①t秒后，點P表示的數為 2＋3t，點Q表示的數為 13 2t；
②根據題意得： 2＋3t＝13 2t，即可解得t＝3，相遇點所表示的數為 2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的數是13 3（t 5），Q表示的數是 2＋2（t ），即得：13 3（t 5）＝ 2＋2（t ），可解得t＝9，第二次相遇點所表示的數為：13 3×（9 5）＝1．
【詳解】（1）∵A表示的數為 2，點B表示的數為13，
∴AB＝|13 （ 2）|＝15，線段AB的中點表示的數為；
故答案為：15；．
（2）①t秒后，點P表示的數為 2＋3t，點Q表示的數為13 2t；
故答案為： 2＋3t；13 2t．
②根據題意得： 2＋3t＝13 2t，
解得t＝3，
相遇點所表示的數為 2＋3×3＝7；
答：當t為3時，P，Q兩點相遇，相遇點所表示的數是7．
（3）由已知得：P運動5秒到B，Q運動秒到A，
返回途中，P表示的數是13 3（t 5），Q表示的數是 2＋2（t ），
根據題意得：13 3（t 5）＝ 2＋2（t ），
解得t＝9，
第二次相遇點所表示的數為：13 3×（9 5）＝1，
答：所需要的時間為9秒，相遇點所表示的數是1．
【總結】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，用含t的代數式表示運動后的點所表示的數．
6．（2023秋·河北唐山·七年級統考期末）如圖，已知在數軸上有、兩點，點表示的數是，點表示的數是．點在數軸上從點出發，以每秒個單位的速度沿數軸正方向運動，同時，點在數軸上從點出發，以每秒個單位的速度在沿數軸負方向運動，當點到達點時，兩點同時停止運動．設運動時間為秒．
（1）_______；時，點表示的數是_______；當_______時，、兩點相遇；
（2）如圖，若點為線段的中點，點為線段中點，點在運動過程中，線段的長度是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長；
（3）如圖，若點為線段的中點．點為線段中點，則直接寫出用含的代數式表示的線段的長．
【答案】（1）15；；3；（2）不變化，=7.5；（3）．
【分析】（1）根據兩點間距離的定義，線段的和差定義計算即可；
（2）根據線段的中點定義，可得MN=MP+NP= （AP+BP）= AB；
（3）由題意根據線段的中點定義，線段和差定義計算即可.
【詳解】解：（1）AB=9-（-6）=15，
t=1時，BQ=3，OQ=6，
設t秒后相遇，由題意（2+3）t=15，t=3，
故答案為：15，6，3.
（2）答：MN長度不變，理由如下：
∵M為AP中點，N為BP中點
∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7.5．
（3）根據題意分別得到點M表示的數為t-6；點T表示的數為9-1.5t；
根據兩點間距離的定義可得MT= 9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.
故答案為：.
【總結】本題考查實數與數軸，線段中點定義，線段的和差定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握相關基本知識．
7．（2023秋·湖北武漢·七年級武漢市武珞路中學校考期中）已知數軸上，一動點Q從原點O出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度來回移動，其移動的方式是：先向右移動1個單位，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向左移動4個單位長度…，
（1）求出3秒鐘時，動點Q所在的位置；
（2）若5秒時，動點Q激活所在位置P點，P點立即以0.1個單位長度/秒的速度沿數軸運動，試求點P激活后第一次與繼續運動的點Q相遇時所在的位置；
（3）如圖，在數軸上的A1、A2、A3、A4，這4個點所表示的數分別為a1、a2、a3、a4，若A1A2＝A2A3＝A3A4，且a1＝20，|a1﹣a4|＝12，|a1﹣x|＝a2+a4
①求x值；
②在（2）的條件下，若P點激活后仍以0.1個單位長度/秒向右運動，當Q點到達數x的點處，則P點所對應的數是　 　．
【答案】（1）3秒動點Q所在的位置為2；（2）﹣或﹣；（3）① x＝﹣36或76，②128.9或571.3
【分析】（1）先找到0.5秒時的位置，根據每秒2個單位和移動方向，即可得到3秒時的位置.
（2）先找到5秒時Q點所在的位置，然后分為①P點向左運動，②P點向右運動進行討論得出答案；
（3）①由數軸可得，a4與a1相距3格，則每格長度為4，然后即可得a1、a2、a3、a4表示的數，最后解絕對值方程即可；②計算出Q點到達數x處走過的路程，除以速度得到運動時間，再求P點的運動路程即可得到P點對應的數.
【詳解】解：（1）∵數軸上，一動點Q從原點O出發，沿數軸以每秒2個單位長度的速度來回移動，其移動的方式是：先向右移動1個單位，再向左移動2個單位長度，又向右移動3個單位長度，再向右移動4個單位長度…，
∴0.5秒動點Q所在的位置為1，
1.5秒動點Q所在的位置為﹣1，
3秒動點Q所在的位置為2；
（2）∵3秒動點Q所在的位置為2，
∴5秒時，動點Q所在位置為﹣2，
①若P點向左運動，動點Q先向右運動5個單位長度到數軸3的位置，再向左運動6個單位長度，
Q在數軸3位置向左運動時，PQ＝5+×0.1＝，
設點P激活后第一次與繼續運動的點Q相遇時用的時間為t，則（2﹣0.1）t＝，
解得：t＝，
∴點P激活后第一次與繼續運動的點Q相遇時所在的位置為：
﹣（2+×0.1+×0.1）＝﹣；
②若P點向右運動，動點Q先向右運動5個單位長度到數軸3的位置，再向左運動6個單位長度，
Q在數軸3位置向左運動時，PQ＝5﹣×0.1＝，
設點P激活后第一次與繼續運動的點Q相遇時用的時間為t，則（2+0.1）t＝，
解得：t＝，
∴點P激活后第一次與繼續運動的點Q相遇時所在的位置為：
﹣（2﹣×0.1﹣×0.1）＝﹣；
（3）①∵|a1﹣a4|＝12，
∴a4﹣a1＝12，
∴a4＝12+a1＝12+20＝32，
∵A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴a2＝24，a3＝28，
∵|a1﹣x|＝a2+a4，
∴|a1﹣x|＝24+32＝56，
∴x＝﹣36或76
②若5秒時，動點Q激活所在位置P點，當Q點到達數﹣36的點處時所走的路程為：5+6+7+…+71+72＝﹣＝2628﹣10＝2618（單位長度），
∴用的時間為：＝1309（s），
此時P點所對應的數是：1309×0.1﹣2＝128.9；
當Q點到達數76的點處時所走的路程為：5+6+7+…+150+151＝﹣＝11476﹣10＝11466（單位長度），
∴用的時間為：＝5733（s），
此時P點所對應的數是：5733×0.1﹣2＝571.3；
故答案為128.9或571.3
【總結】本題考查數軸上的動點問題，關鍵是正確理解Q點的運動方式，找到Q點運動路程是解決本題的關鍵.
8．（2023秋·廣東湛江·七年級統考期中）如圖，射線上有三點，滿足cm，cm，cm.點從點出發，沿方向以2cm/秒的速度勻速運動，點從點出發在線段上向點勻速運動，兩點同時出發，當點運動到點時，點停止運動.
(1)若點運動速度為3cm/秒，經過多長時間兩點相遇
(2)當時，點運動到的位置恰好是線段的中點，求點的運動速度;
(3)自點運動到線段上時，分別取和的中點，求的值.
【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的運動速度為11cm/s或者cm/s；(3)2.
【分析】（1）設運動時間為t秒，先求出OC=90，根據速度乘以時間得到OP=2t，CQ=3t，再根據相遇公式路程和等于距離列方程解答即可；
（2）先求出線段OB的長度得到中點Q所表示的數，再根據只存在兩種情況，求出點P的運動時間即點Q的運動時間即可得到速度；
（3）分別求出OB、AP及EF的長，即可代入計算得到答案.
【詳解】（1）設運動時間為t秒，此時OP=2t，OQ=3t，
∵cm，cm，cm，
∴OC=OA+AB+BC=90cm，
∴2t+3t=90，
t=18，
∴經過18秒兩點相遇；
（2）∵點運動到的位置恰好是線段的中點，OB=40+30=70，
∴點Q表示的數是35，此時CQ=90-35=55，
由，可分兩種情況：
①當點P在OA上時，得PA=AB=30，此時OP=OA-PA=10，
點P運動的時間為s，
∴點Q的運動速度=cm/s；
②當點P在AB上時，AB=3PA，∴PA=10，此時OP=OA+PA=50，
點P的運動時間是s，
∴點Q的運動速度=cm/s，
綜上，點的運動速度是11cm/s或者cm/s；
（3）設運動時間是a秒，此時OP=2a，AP=2a-40，
∵點E是OP的中點，
∴OE=a，
∵點F是AB的中點，AB=30，
∴BF=15，
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，
∴=.
【總結】此題考查數軸上的點的運動問題，數軸上兩點之間的距離公式，兩點的中點公式，在點運動過程中注意分情況解決問題的方法.
9．（2023秋·江蘇·七年級期末）定義：若A，B，C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離2倍，我們就稱點C是【A，B】的美好點．
例如：如圖1，點A表示的數為－1，點B表示的數為2.表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點C是【A，B】的美好點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是【A，B】的美好點，但點D是【B，A】的美好點．
如圖2，M，N為數軸上兩點，點M所表示的數為－7，點N所表示的數為2
(1)點E，F，G表示的數分別是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好點的是 　 　；寫出【N，M】美好點H所表示的數是 　 　．
(2)現有一只電子螞蟻P從點N開始出發，以2個單位每秒的速度向左運動．當t為何值時，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點？
【答案】(1)G；－4或－16
(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【分析】（1）根據美好點的定義，結合圖2，直觀考察點E，F，G到點M，N的距離，只有點G符合條件．結合圖2，根據美好點的定義，在數軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，在點的移動過程中注意到兩個點的距離的變化．
（2）根據沒好點的定義，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點分6種情況，須區分各種情況分別確定P點的位置，進而可確定t的值．
【詳解】（1）解：根據美好點的定義，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有點G符合條件，
故答案是：G．
結合圖2，根據美好點的定義，在數軸上尋找到點N的距離是到點M的距離2倍的點，點N的右側不存在滿足條件的點，點M和N之間靠近點M一側應該有滿足條件的點，進而可以確定－4符合條件．點M的左側距離點M的距離等于點M和點N的距離的點符合條件，進而可得符合條件的點是－16．
故答案為：－4或－16；
（2）解：根據美好點的定義，P，M和N中恰有一個點為其余兩點的美好點分6種情況，
第一情況：當P為【M，N】的美好點，點P在M，N之間，如圖1，
當MP＝2PN時，PN＝3，點P對應的數為2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二種情況，當P為【N，M】的美好點，點P在M，N之間，如圖2，
當2PM＝PN時，NP＝6，點P對應的數為2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三種情況，P為【N，M】的美好點，點P在M左側，如圖3，
當PN＝2MN時，NP＝18，點P對應的數為2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四種情況，M為【P，N】的美好點，點P在M左側，如圖4，
當MP＝2MN時，NP＝27，點P對應的數為2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五種情況，M為【N，P】的美好點，點P在M左側，如圖5，
當MN＝2MP時，NP＝13.5，點P對應的數為2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六種情況，M為【N，P】的美好點，點P在M，N左側，如圖6，
當MN＝2MP時，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七種情況，N為【P，M】的美好點，點P在M左側，
當PN＝2MN時，NP＝18，因此t＝9秒，
第八種情況，
N為【M，P】的美好點，點P在M右側，
當MN＝2PN時，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
綜上所述，t的值為：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【總結】本題考查實數與數軸、點是【M，N】的美好點的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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