資源簡介

第02講 單調(diào)性問題
【課程標準】
1、結合實例，借助圖形直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系.
2、能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【知識梳理】
知識點一：單調(diào)性基礎問題
1、函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題
①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；
②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．
知識點二：討論單調(diào)區(qū)間問題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結論）；
（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；
（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；
（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；
求二階導往往需要構造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導．
（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關系）；
（5）導數(shù)圖像定區(qū)間；
【解題方法總結】
1、求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；
（3）把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；
（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應小區(qū)間內(nèi)的增減性．
注：①使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例如，在上，，當時，；當時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立．因為，即或，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．當時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．
題型一：函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系
1．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函數(shù)（）的圖象如圖，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
3．趙佶所作《瑞鶴圖》中房殿頂?shù)脑O計體現(xiàn)了古人的智慧，如下圖，分別以，為軸、軸正方向建立平面直角坐標系，屋頂剖面的曲線與軸、軸均相切，，兩點間的曲線可近似看成函數(shù)的圖象，有導函數(shù)，為了讓雨水最快排出，需要滿足螺旋線方程，其中，為常數(shù)，則（ ）

A．， B．， C．， D．，
4．笛卡爾是法國著名的數(shù)學家、哲學家、物理學家，他發(fā)明了現(xiàn)代數(shù)學的基礎工具之一——坐標系，將幾何與代數(shù)相結合，創(chuàng)立了解析幾何．相傳，52歲時，窮困潦倒的笛卡爾戀上了18歲的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驅(qū)逐，在寄給公主的最后一封信里，僅有短短的一個方程：，拿信的公主早已淚眼婆娑，原來該方程的圖形是一顆愛心的形狀．這就是著名的“心形線”故事．某同學利用幾何畫板，將函數(shù)，畫在同一坐標系中，得到了如圖曲線．觀察圖形，當時，的導函數(shù)的圖像為( )
A． B．
C． D．
題型二：不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
5．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
6．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
7 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
8 函數(shù)（　　）
A．嚴格增函數(shù)
B．在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)
C．嚴格減函數(shù)
D．在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)
9v函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（ ）
A． B． C． D．
10 函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴格減區(qū)間是（ ）．
A． B．與
C．與 D．
題型三：含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
11．已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
12．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
13．若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
14. 若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
15 . 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
16. 若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
17已知函數(shù).若對任意，，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
18. 已知函數(shù)（）在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
題型四： 單調(diào)性的應用
角度1 比較大小或解不等式
19．已知，，，則它們的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
20．已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
21．設，則（ ）
A． B．
C． D．
角度2 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍
22．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
23．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
24．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
25．已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
1．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
2．設函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，其中的導函數(shù)滿足對于恒成立，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．若函數(shù)存在遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，的導函數(shù)的圖像如圖所示.若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（）
A． B．
C． D．
5．已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
7．設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，在區(qū)間上的導函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上為凸函數(shù)．則下列函數(shù)中，為區(qū)間上的凸函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
8．對于函數(shù)，為的導數(shù)，下列結論正確的是（ ）
A．在上單調(diào)遞減 B．存在極小值
C．存在最大值 D．無最小值
三、填空題
9．寫出一個同時具備下列性質(zhì)①②的函數(shù)： ．
①；② ．
10．函數(shù)在上的單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為 .
11．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 ．
12．設定義在上的函數(shù)滿足任意都有，且時，，則，，的大小關系是 .
四、解答題
13．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
14．已知函數(shù)，．試討論函數(shù)的單調(diào)性.
15．已知函數(shù) 是的一個極值點.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當時，恒成立，求的取值范圍.
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
4．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，證明：當時，恒成立．
5．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．第02講 單調(diào)性問題
【課程標準】
1、結合實例，借助圖形直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系.
2、能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【知識梳理】
知識點一：單調(diào)性基礎問題
1、函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．
2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題
①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；
②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．
知識點二：討論單調(diào)區(qū)間問題
類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數(shù)等于0的根，并能做出導函數(shù)與x軸位置關系圖，則導函數(shù)正負區(qū)間段已知，可直接得出結論）；
（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數(shù)整體的正負）；
（5）正負未知看零點（若導函數(shù)正負難判斷，則觀察導函數(shù)零點）；
（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數(shù)無法觀察出零點，則求二階導）；
求二階導往往需要構造新函數(shù)，令一階導函數(shù)或一階導函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導．
（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷一階導函數(shù)正負區(qū)間段）；
類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論
（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；
（2）變號保留定號去（變號部分：導函數(shù)中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；
（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數(shù)的取值恒正恒負）；然后再求有效根；
（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關系）；
（5）導數(shù)圖像定區(qū)間；
【解題方法總結】
1、求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實數(shù)；
（3）把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；
（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應小區(qū)間內(nèi)的增減性．
注：①使的離散點不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當在某個區(qū)間內(nèi)離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的．例如，在上，，當時，；當時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立．因為，即或，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．當時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件．于是有如下結論：
單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；
單調(diào)遞減；單調(diào)遞減．
題型一：函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系
1．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)導函數(shù)的大小確定函數(shù)變化的快慢，即可得到結論.
【詳解】由導函數(shù)圖象可知原函數(shù)應是先增后減再增的，故在B、C中選擇，隨著的增大，導函數(shù)越來越大，故原函數(shù)增長越來越快，應選C.
故選：C
2．已知函數(shù)（）的圖象如圖，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由的圖象得到的單調(diào)性，從而得到的正負，即可得解.
【詳解】由的圖象可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則當時，，時，，
時，，所以不等式的解集為.
故選：C.
3．趙佶所作《瑞鶴圖》中房殿頂?shù)脑O計體現(xiàn)了古人的智慧，如下圖，分別以，為軸、軸正方向建立平面直角坐標系，屋頂剖面的曲線與軸、軸均相切，，兩點間的曲線可近似看成函數(shù)的圖象，有導函數(shù)，為了讓雨水最快排出，需要滿足螺旋線方程，其中，為常數(shù)，則（ ）

A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】利用函數(shù)圖象的變化關系可得，再結合曲線與y軸相切的特征推理即可得解.
【詳解】觀察圖象知，函數(shù)單調(diào)遞減，即，于是，
而函數(shù)圖象與軸相切，則從大于0的方向趨于0時，趨于負無窮大，
也即趨于0，又，因此，
所以，.
故選：D
4．笛卡爾是法國著名的數(shù)學家、哲學家、物理學家，他發(fā)明了現(xiàn)代數(shù)學的基礎工具之一——坐標系，將幾何與代數(shù)相結合，創(chuàng)立了解析幾何．相傳，52歲時，窮困潦倒的笛卡爾戀上了18歲的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驅(qū)逐，在寄給公主的最后一封信里，僅有短短的一個方程：，拿信的公主早已淚眼婆娑，原來該方程的圖形是一顆愛心的形狀．這就是著名的“心形線”故事．某同學利用幾何畫板，將函數(shù)，畫在同一坐標系中，得到了如圖曲線．觀察圖形，當時，的導函數(shù)的圖像為( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題干已知圖像判斷x>0時g(x)圖像的形狀，根據(jù)g(x)圖像的單調(diào)性和切線斜率變化即可判斷其導數(shù)的圖像．
【詳解】根據(jù)f(x)和g(x)的解析式可知f(x)和g(x)均為偶函數(shù)，圖像關于y軸對稱，
當x>0時，，
設y，則，∴此時f(x)對應的圖像是題干中圖像在第一部分的半圓，
∴x>0時，g(x)對應題干中的圖像在第四象限的部分，
∵該部分圖像單調(diào)遞增，故的值恒為正，即圖像始終在x軸上方，故排除選項BC；且該部分圖像的切線斜率先減小后增大，故的值先減小后增大，由此對應的只有A圖像滿足．
故選：A．
題型二：不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
5．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可.
【詳解】對于A，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；
對于B，函數(shù)在不單調(diào)，故B錯誤；
對于C，函數(shù)，則，
因為，
所以，
所以，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C正確；
對于D，函數(shù)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故D錯誤.
故選：C.
6．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)導函數(shù)的正負,確定函數(shù)的單調(diào)遞增遞減區(qū)間即得.
【詳解】由求導得，，
則當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故選：D.
7 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)的定義域為.
，則.
令，解得.
故選：D
8 函數(shù)（　　）
A．嚴格增函數(shù)
B．在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)
C．嚴格減函數(shù)
D．在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)
【答案】D
【解析】已知，，則，
令，即，解得，
當時，，所以在上是嚴格減函數(shù)，
當時，，所以在上是嚴格增函數(shù)，
故選：D.
9v函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得或，
所以函數(shù)的定義域為.
求導可得，當時，，由函數(shù)定義域可知，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：A.
10 函數(shù)（a、b為正數(shù)）的嚴格減區(qū)間是（ ）．
A． B．與
C．與 D．
【答案】C
【解析】由題得.
由，令解得或．
所以函數(shù)的嚴格減區(qū)間是與.
選項D，本題的兩個單調(diào)區(qū)間之間不能用“”連接，所以該選項錯誤.
故選：C
題型三：含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性
11．已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先討論得出的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)已知列出不等式，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，定義域為，.
若，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，與已知不符，舍去；
當時，由可知，或（舍去）.
當時，有，所以在上單調(diào)遞減；
當時，有，所以在上單調(diào)遞增.
由已知函數(shù)在上不是單調(diào)函數(shù)，
所以應有，所以.
故選：A.
12．若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出導函數(shù)，排除，當時得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的取值范圍，再列不等式組求解即可.
【詳解】因為
所以
若時恒成立，
在上單調(diào)遞增，函數(shù)不可能有兩個不同的零點，不合題意；
所以，只有
時，，函數(shù)遞減，此時
時，，函數(shù)遞增，此時，
因為函數(shù)有兩個不同的零點，
所以
解得
故選：D.
13．若，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把給定恒成立的不等式變形，構造函數(shù)，利用導數(shù)探討的最大值不超過0即可作答.
【詳解】，，
令，則，而成立，
當時，，即在上遞增，當時，
于是有當時，恒有，
當時，由得，有，有，即在上遞減，
當時，，即成立，不符合題意，
綜上：，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
【點睛】關鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉化，構造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關鍵.
14. 若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【解析】函數(shù)的定義域為，
且，
令，得，
因為在區(qū)間上不單調(diào)，
所以，解得：
故選：B.
15 . 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上恒成立，
即在區(qū)間上恒成立，
令，
則，
所以在上遞增，又，
所以.
所以的取值范圍是.
故選：B
16. 若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，則，
當或時，，當時，，
所以在和上遞減，在上遞增，
當時，為增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，解得，
此時在上遞增，則恒成立，
當時，為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，無解，
綜上所述，的取值范圍是.
故選：A.
17已知函數(shù).若對任意，，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意，不妨取，則可轉化為，
即.
令，則對任意，，且，
都有，
所以在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，
即在上恒成立.
令，，則，，
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，
即實數(shù)a的取值范圍是，
故選:A
18. 已知函數(shù)（）在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上存在子區(qū)間使得不等式成立．，設，則或，即或，得，故選B.
考點：導數(shù)的應用.
題型四： 單調(diào)性的應用
角度1 比較大小或解不等式
19．已知，，，則它們的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得到，設，利用導數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)遞增，可得，進而得到，即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)的性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，
由于，故，即，
設，可得，
令，解得，
當時，單調(diào)遞增，可得，
即，即，
兩邊取為底的指數(shù)，可得，即，所以.
故選：A.
20．已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)式子特點，構建函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，則可得結果.
【詳解】根據(jù)的形式轉化可得，
從而構造函數(shù)，
則，
，
當時，，當時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，即，
又，
所以，即.
故選：C.
21．設，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調(diào)性，即可比較，，由，可比較，，從而得到答案
【詳解】構造函數(shù)，所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，即，即，所以，
又因為，所以，則，
故選：B
角度2 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍
22．若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)條件得出存在，使成立，即存在，使成立，構造函數(shù)，，求出的最值即可解決問題.
【詳解】因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，， 變形得，因為，所以，
所以當，即時，，所以，
故選：D．
23．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的關系將問題轉化為恒成立問題，從而得解.
【詳解】因為，所以，
因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因為在上單調(diào)遞減，所以，故.
故選：A.
24．若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【詳解】首先求出的定義域和極值點，由題意得極值點在區(qū)間內(nèi)，且，得出關于的不等式組，求解即可．
【分析】函數(shù)的定義域為，
且，
令，得，
因為在區(qū)間上不單調(diào)，
所以，解得：
故選：B.
25．已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】求得在上單調(diào)遞增的充要條件即可判斷.
【詳解】由題
若在上單調(diào)遞增，則恒成立，即，
故“”是“在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件
故選:.
1．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求定義域，再求導，根據(jù)導函數(shù)大于0，解出單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】的定義域為，
，
令得：，
令得：，
所以的單調(diào)增區(qū)間為.
故選：C
2．設函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，其中的導函數(shù)滿足對于恒成立，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到，，從而出得解；
【詳解】解：設，則，故在上單調(diào)遞減，
，，即，，
，．
故選：C．
3．若函數(shù)存在遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】對求導，由題意知存在使，結合二次函數(shù)的性質(zhì)有，即可求的取值范圍.
【詳解】由題設，，由存在遞減區(qū)間，即存在使，
∴，可得或.
故選：B
4．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且，的導函數(shù)的圖像如圖所示.若正數(shù)滿足，則的取值范圍是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圖可知在上恒增，結合奇偶性可得，從而可得，進而可求出的取值范圍.
【詳解】由圖可知在上恒成立，則在上恒增，得，
則，所以，解得，又，∴，則，
故選:A.
【點睛】本題考查了奇偶性的應用，考查了由導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查了由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.
5．已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求得，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，把方程有三個不同的實數(shù)解，轉化為方程有兩個不同的實數(shù)根和，且或，分類討論，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)，
當時，，且，
畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，
令，要使得有三個不同的實數(shù)解，
則有兩個不同的實數(shù)根和，
且或，
若且時，此時無解；
若且時，令，
只需要，解得.
故選：C.
【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：
1、直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍；
2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；
3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.
結論拓展：與和相關的常見同構模型
①，構造函數(shù)或；
②，構造函數(shù)或；
③，構造函數(shù)或.
6．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由題意可得，構造函數(shù)，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性進而得到，結合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意，，即.
設，則，
令，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，得，
即，解得；
又，
∴，
故選：B．
二、多選題
7．設函數(shù)在區(qū)間上的導函數(shù)為，在區(qū)間上的導函數(shù)為，若在區(qū)間上恒成立，則稱在區(qū)間上為凸函數(shù)．則下列函數(shù)中，為區(qū)間上的凸函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)定義，分別對函數(shù)求二階導數(shù)，并判斷在區(qū)間的正負.
【詳解】對于A選項，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以不為凸函數(shù).
對于B選項， ，，，顯然在區(qū)間恒有，所以為凸函數(shù).
對于C選項，，，，顯然在區(qū)間恒有，所以不為凸函數(shù).
對于D選項， ，，，顯然在區(qū)間恒有，所以為凸函數(shù).
故選: BD..
8．對于函數(shù)，為的導數(shù)，下列結論正確的是（ ）
A．在上單調(diào)遞減 B．存在極小值
C．存在最大值 D．無最小值
【答案】AD
【分析】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性判斷最值.
【詳解】，
令，則，
當時，，所以在上單調(diào)遞減，故A正確，B錯誤；
所以，故函數(shù)時單調(diào)遞減，
所以函數(shù)無最大值，無最小值，故C錯誤，D正確.
故選：AD
三、填空題
9．寫出一個同時具備下列性質(zhì)①②的函數(shù)： ．
①；② ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題目的要求分析函數(shù)的類型，再從中選一個.
【詳解】因為 是加變乘，所以考慮指數(shù)函數(shù)類型，又 是減函數(shù)，
滿足要求；
故答案為： （答案不唯一）.
10．函數(shù)在上的單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可知，在上恒成立，將問題轉化為在上恒成立，求出在的最值即可求出結果.
【詳解】因為，，
所以，
因為函數(shù)在上的單調(diào)遞減，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因為在上單調(diào)遞減，所以
所以，即
故答案為：.
【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查參變分離求最值，考查余弦函數(shù)的取值范圍，屬于基礎題.
11．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】試題分析：恒成立恒成立，因為
所以實數(shù)的取值范圍是
考點：函數(shù)導數(shù)與單調(diào)性
12．設定義在上的函數(shù)滿足任意都有，且時，，則，，的大小關系是 .
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，結合函數(shù)周期，即可容易比較大小.
【詳解】函數(shù)滿足可得，
∴是周期為6的函數(shù).
，，.
令，，
則，
∵時，，
∴，在遞增，
∴，
可得：，即.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用函數(shù)周期性和單調(diào)性比較大小，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，屬綜合基礎題.
四、解答題
13．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為
【分析】先求導數(shù)，由可得減區(qū)間，由可得增區(qū)間.
【詳解】，
當時，，當時，，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
14．已知函數(shù)，．試討論函數(shù)的單調(diào)性.
【答案】答案見解析
【分析】求出函數(shù)的定義域和導函數(shù)，分和兩種情況討論，根據(jù)導函數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【詳解】函數(shù)的定義域為.
，設.
當時，因為函數(shù)圖象的對稱軸為，．
所以當時，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，令．得，，
當時，，，當時，，．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
綜上：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
15．已知函數(shù) 是的一個極值點.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當時，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（1，2）.
（2）0＜a＜1．
【分析】（1）求導函數(shù)，利用，可求b的值，進而利用可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）時，恒成立等價于，由此可求a的取值范圍．
【詳解】（1）求導函數(shù)，可得，
∵是的一個極值點
∴ ，∴，∴，
由得x＞2或x＜1，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，1），（2，+∞）；
由得1＜x＜2，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（1，2）.
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
∴當x＝2時，函數(shù)f（x）取得最小值，，
x∈[1，+∞）時，恒成立等價于，，
即，
∴0＜a＜1．
1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：構造函數(shù)
因為當
故，故，所以；
設，
，所以在單調(diào)遞增，
故，所以，
所以，所以，故選A
[方法二]：不等式放縮
因為當，
取得：，故
，其中，且
當時，，及
此時，
故，故
所以，所以，故選A
[方法三]：泰勒展開
設，則，，
，計算得，故選A.
[方法四]：構造函數(shù)
因為，因為當，所以,即，所以；設，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，
故選：A．
[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮
因為，因為當，所以,即，所以；因為當，取得，故，所以．
故選：A．
【整體點評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點在于構造合適的函數(shù)，屬于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關系，屬于最優(yōu)解．
2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：構造法
設，因為，
當時，，當時，
所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
設，則,
令，，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
又，
所以當時，，
所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，即，所以
故選：C.
方法二：比較法
， ， ，
① ，
令
則 ，
故 在 上單調(diào)遞減，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
則 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，
所以 在 上單調(diào)遞增，可得 ，即 ，所以
故
3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．
【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，
設，所以，所以在上單調(diào)遞增，
，故，即，即a的最小值為．
故選：C．
4．（2024·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，證明：當時，恒成立．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）求導，含參分類討論得出導函數(shù)的符號，從而得出原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先根據(jù)題設條件將問題可轉化成證明當時，即可.
【詳解】（1）定義域為，
當時，，故在上單調(diào)遞減；
當時，時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減.
綜上所述，當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；
時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），且時，，
令，下證即可.
，再令，則，
顯然在上遞增，則，
即在上遞增，
故，即在上單調(diào)遞增，
故，問題得證
5．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程．
(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后由導數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；
（2）原問題即在區(qū)間上恒成立，整理變形可得在區(qū)間上恒成立，然后分類討論三種情況即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）當時，，
則，
據(jù)此可得，
所以函數(shù)在處的切線方程為，即.
（2）由函數(shù)的解析式可得，
滿足題意時在區(qū)間上恒成立.
令，則，
令，原問題等價于在區(qū)間上恒成立，
則，
當時，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，不合題意;
令，則，
當，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.
當時，由可得，
當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，
注意到，故當時，，單調(diào)遞減，
由于，故當時，，不合題意.
綜上可知：實數(shù)得取值范圍是.
【點睛】方法點睛：
（1）求切線方程的核心是利用導函數(shù)求切線的斜率，求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導，合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.
（2）由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法
①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，實際上就是在該區(qū)間上(或)恒成立．
②函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集．

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