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2.3等腰三角形的性質(zhì)定理六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：利用等腰三角形的性質(zhì)求角度
【經(jīng)典例題1】如圖，已知等邊三角形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，沿折疊得，連接，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰及等邊三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于．由折疊性質(zhì)可得得到，，再求出，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)，熟記三角形相關(guān)幾何性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：等邊，
，，
，，
，
由折疊性質(zhì)可得，
，，
，
，
，
，
故答案為：A．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于，兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則的度數(shù)為（ ）
A．72 B．68 C．75 D．80
【答案】A
【分析】由作圖法可得MN是AB的垂直平分線；利用等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，可得∠A=∠DBA=36°，進(jìn)而求得∠BDC，最后由三角形內(nèi)角和為180°便可解答．
【詳解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的作法和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理；解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)為 ．
【答案】/度
【分析】本題考查等邊三角形性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，由是等邊三角形，可得，由是邊上的中線，可得，，由，，可求，由三角形外角性質(zhì)可求．
【詳解】解：是等邊三角形，
，，
是邊上的中線，
，，
，
，，
，
是的外角，
．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，在中，，，，與相交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由，，，可證，從而得出；
（2）由，得，則，而，所以，從而求得的度數(shù)．
【詳解】（1）證明：，，
，
在和中，，
，
；
（2），
，
，
，
，
，
的度數(shù)是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，在中，，是邊上的中線，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，連接，．
(1)求證：點(diǎn)在的垂直平分線上；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，證得是的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得，，進(jìn)而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出和的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角的和差即可求出的度數(shù)．
【詳解】（1）∵在中，，是邊上的中線，
∴，，
∴是的垂直平分線．
∵點(diǎn)在上，
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在的垂直平分線上．
（2）∵，是邊上的中線，，
∴，
∴，
∵
∴．
∵，，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，以△ABC的兩邊AC，BC為邊分別向外作△ADC和△BEC，使得∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∠D＝∠E．
(1)求證：△ADC≌△BEC．
(2)若∠CAD＝60°，∠ABE＝110°，求∠ACB的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析；
(2)
【分析】（1）通過(guò)∠BCD＝∠ACE得到，再根據(jù)ASA即可求證；
（2）由（1）可得，，從而求得，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵∠BCD＝∠ACE
∴
在△ADC和△BEC中
∴△ADC≌△BEC（ASA）
（2）解：由（1）可得，
∴
∴
【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．
題型二：利用等腰三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度
【經(jīng)典例題2】如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，則，得到，；根據(jù)等角對(duì)等邊，則，即可．
【詳解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故選：D．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，中，，，垂足為點(diǎn)，平分，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，，，則 .

【答案】
【分析】本題考查全等三角形、等腰三角形，三角形內(nèi)角和等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)交于點(diǎn)；根據(jù)三角形內(nèi)角和，則設(shè)，則；根據(jù)角平分線的性質(zhì)，則，根據(jù)，則，，求出和的角度，則根據(jù)，等角對(duì)等邊，則；根據(jù)，等量代換，則，最后根據(jù)全等三角形的判定，則，則，再根據(jù)，即可．
【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
∵，
∴，
設(shè)，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，且和是對(duì)頂角，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案為：．

【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在中，和的角平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，，則的周長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，等量代換得，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得，同理可得，然后求出的周長(zhǎng)，代入數(shù)據(jù)即可得解．
【詳解】解：∵平分，平分
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周長(zhǎng)為：
∵
∴的周長(zhǎng)為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形、平行線、角平分線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在中，，，平分，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)CD平分∠ACB，BD⊥CD，CD=CD，先證△BCD≌△FCD，得到△BCF為等腰三角形，BF=2BD，再證△BAF≌△CAE，即可得答案．
【詳解】解：如下圖：延長(zhǎng)BD與CA的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，
∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，
∴∠BCD=∠FCD，∠BDC=∠CDF=90°，
又∵CD=CD，
∴△BCD≌△FCD，
∴BC=CF，
∴△BCF為等腰三角形，
∴BF=2BD，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠DEB=∠AEC，
∴∠FBA=∠ECF，
在△BAF和△CAE中，
∴△BAF≌△CAE，
∵BF=CE，
∵BF=2BD，
∴CE=2BD，
∵BD=，
∴CE=2，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是延長(zhǎng)BD與CA的延長(zhǎng)線交于F點(diǎn)，構(gòu)造△BAF≌△CAE．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，△BEF是等邊三角形，作∠BAC的平分線交EF于點(diǎn)D，若BE＝6cm，DE＝2cm，則BC＝ cm．
【答案】8
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)求出DF的值，利用三十度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求出GF，從而求出BG，利用等腰三角形的性質(zhì)求出BC．
【詳解】解：∵△BEF是等邊三角形
∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60°
∵DE＝2cm
∴DF=4cm
∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴AG⊥BC，BG=BC
∴∠GDF=90°-∠EFB=30°
∴GF=DF=2cm
∴BG=BF-GF=4cm
∴BC=8cm
故答案為8
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出BG的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)在同一直線上，連接．若，則的長(zhǎng)是 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，,解答即可．
本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案為：3．
∵，
∴
又∵，
∴，
∴ ．
故選：C．
題型三：等腰三角形的性質(zhì)綜合之解答題
【經(jīng)典例題3】如圖，是的角平分線，，垂足為交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若恰好平分．
(1)求證：；
(2)若的面積是18，，求長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)6
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，可判斷是等腰三角形，再根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得是中線，由“”可證；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)中線的性質(zhì)可得，由三角形的面積公式可求解．
【詳解】（1）解：平分
，
，
．
是角平分線，
．
在和中，
，
．
（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
平分，
，
，
，
即，
．
【變式訓(xùn)練3-1】已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E是邊BC上的兩點(diǎn)，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度數(shù)；
(2)若∠BAC＝120°，直接寫(xiě)出∠DAE的度數(shù)；
(3)設(shè)∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α與β的之間數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
【答案】(1)45°；
(2)30°；
(3)α+2β＝180°．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可；
（2）由∠DAE＝（180°﹣∠BAC）解答；
（3）同（1），根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B＝180°﹣2∠BAE①，∠C＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝180°﹣∠BAC，代入求出即可．
【詳解】（1）解：（1）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝90°，
∴2∠DAE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DAE＝45°；
（2）由（1）知，∠DAE＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°；
（3）∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴∠B＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴∠C＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：∠B+∠C＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴180°﹣∠BAC＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]，
∴﹣∠BAC＝180°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∴2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
∵∠BAC＝α，
∴2β＝180°﹣α，
∴α+2β＝180°．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出2∠DAE＝180°﹣∠BAC．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，△ABC、△ADE中，C、D兩點(diǎn)分別在AE、AB上，BC與DE相交于F點(diǎn)，且BD＝CD＝CE．
（1）若∠B=30°，∠E＝20°，求∠A的度數(shù)；
（2）若∠B=x，∠E＝y(tǒng)，請(qǐng)用含x、y的代數(shù)式表示∠A的度數(shù)．
【答案】（1）80°；（2）∠A=180°-2（x+y）
【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得∠B＝∠DCB=30°，∠E＝∠CDE＝20°；再結(jié)合∠ADC、∠ACD分別是△DBC、△CDE的外角，以及三角形內(nèi)角和定理，即可計(jì)算得到答案；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，通過(guò)計(jì)算即可完成求解．
【詳解】（1）∵BD＝CD＝CE
∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE
∵∠B=30°，∠E＝20°
∴∠DCB=∠B＝30°，∠CDE=∠E＝20°
∴∠ADC=∠B+∠DCB=60°，∠ACD=∠E +∠CDE＝40°
∴∠A=180°-∠ADC- ∠ACD= 80°；
（2）∵∠B=x，∠E＝y(tǒng)
結(jié)合（1）的結(jié)論得：∠DCB=∠B＝x，∠CDE=∠E＝y(tǒng)
∴∠ADC=2x，∠ACD＝2y
∴∠A=180°-2（x+y）．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、三角形外角、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、三角形外角、等腰三角形的性質(zhì)，從而完成求解．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，和分別是以的AB，AC為邊的等邊三角形，CE，BF相交于O.
（1）求的度數(shù)．
（2）若，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）∠EOB=60°；（2）△ABC是等腰三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）首先根據(jù)題意推出△AEC≌△ABF，根據(jù)∠AEO+∠BEO=60°，推出∠BEO+∠ABO=60°，即得∠BEO+∠ABO+∠EBA=120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可推出∠EOB=60°；
（2）先證明△BCE≌△CBF得出BE=CF，再由 △ABE和△ACF是等邊三角形，即可得出AB=AC．
【詳解】解：（1）∵△ABE和△ACF是等邊三角形，
∴∠EAB=∠FAC，AE=AB，AC=AF，
∴∠EAC=∠BAF，
在△AEC和△ABF中，
，
∴△AEC≌△ABF（SAS），
∴∠AEO=∠ABO，
∵∠AEO+∠BEO=60°，
∴∠BEO+∠ABO=60°，
∵∠EBA=60°，
∴∠BEO+∠ABO+∠EBA=120°，
∴∠EOB=180°-120°=60°；
（2）△ABC是等腰三角形．
理由：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵△AEC≌△ABF，
∴BF=CE，
又BC=CB，
∴△BCE≌△CBF，
∴BE=CF，
∵△ABE和△ACF是等邊三角形，
∴AB=BE，AC=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，線段AB⊥直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)D在直線l上，分別以AB、AD為邊在AB、AD的右側(cè)作等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，直線CE交直線l于點(diǎn)F.
(1)求證：BD＝CE；
(2)求證：DF＝CE﹣CF；
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得，從而可得，可證，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得；
（2）由題（1）的結(jié)論，所以要證，也就是要證，即要證.已證可得，故，又因，則，由等腰三角形性質(zhì)得，即所要證的等式成立.
【詳解】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得：
又
在和中，
；
（2）
由題（1）已證
，則
又因是等邊三角形，可得
（等角對(duì)等邊）
再結(jié)合題（1）的結(jié)論：
即.
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定定理和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練靈活運(yùn)用三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵.
題型四：等腰三角形的性質(zhì)綜合之動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【經(jīng)典例題4】如圖，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=50°，點(diǎn)D在BC邊上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE=50°，DE交邊AC于點(diǎn)E.
（1）當(dāng)∠BAD=20°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；
（2）當(dāng)CD等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE？為什么？
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△ADE可能是等腰三角形嗎？若可能，直接寫(xiě)出∠DAE的度數(shù)；若不可能，說(shuō)明理由.
【答案】(1)20°;(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析.
【分析】（1）利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解題；
（2）當(dāng)CD=3時(shí)，利用∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，求出∠BAD=∠CDE，再利用AB=CD=3，∠B=∠C=50°，即可得出△ABD≌△DCE；
（3）△ADE為等腰三角形有三種情況，∠ADE=∠DAC或者∠DAC=∠AED或者∠ADE=∠AED，根據(jù)題意排除∠ADE=∠AED的可能.
【詳解】解：（1）∵∠ADC為三角形ABD的外角.
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE.
∴50°+20°=50°+∠CDE.
∴∠CDE=20°；
（2）CD=3時(shí)，△ABD≌△DCE，求證如下：
AB=CD=3，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
由題意知∠B=∠ADE=50°，
∴∠BAD=∠CDE，
又∵AB=AC，△ABC為等腰三角形，
∴∠B=∠C=50°，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（3）△ADE為等腰三角形有三種情況，∠ADE=∠DAC或者∠DAC=∠AED或者∠ADE=∠AED，根據(jù)題意排除∠ADE=∠AED的可能，
∵∠C=50°，∠AED肯定大于∠C，
當(dāng)∠DAE的度數(shù)為50°時(shí)，
∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，
∠BAD=∠CDE=80°-50°=30°，
∠AED=∠C+∠CDE=50°+30°=80°，
∴△ADE的形狀是等腰三角形；
∠DAE的度數(shù)為65°時(shí)，
∠BAD=∠CDE=80°-65°=15°，
∠AED=∠C+∠CDE=50°+15°=65°，
∴△ADE的形狀是等腰三角形；
∴三角形ADE為等腰三角形，∠DAE的度數(shù)為50°或65°.
【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合？
(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，可得到等邊三角形？
(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，可得到等邊；
(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以為底邊的等腰三角形，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．
【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合，列方程即可求解；
（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊，然后表示出，的長(zhǎng)，由于等于，所以只要，就是等邊三角形；
（3）首先假設(shè)是等腰三角形，可證出，可得，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出、、的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值．
【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合，
得方程，
解得,
答：點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)12秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；
（2）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，可得到等邊，如圖①，
，，
是等邊三角形，
，
解得，
∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，可得到等邊．
（3）解：當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形，
情況一：
設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合，
，
解得：；
即12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，，但不是等腰三角形；
情況2：
如圖②，假設(shè)是等腰三角形，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
在和中，
，
，
，
設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，是等腰三角形，
，，，
即，
解得：．
綜上所述，故假設(shè)成立．
∴當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以為底邊的等腰三角形，
此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在中，點(diǎn)P，Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)M．
(1)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B以相同的速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
(2)若為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，此時(shí)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)、且它們的速度均為．當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
①當(dāng)t為何值時(shí)，；
②點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小會(huì)發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化、請(qǐng)說(shuō)明理由；若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)求出的大小．
【答案】(1)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)證明得，然后證明，可證是等腰三角形；
（2）由得，然后列方程求解即可；
（3）根據(jù)證明得，然后利用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】（1）∵點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B以相同的速度同時(shí)出發(fā)，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）①∵，
∴，
∴，
∴，
∴時(shí)，；
②結(jié)論：不變．
理由：∵是等邊三角
∴，，
又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)速度相同，
∴，
在與中，
，
∴．
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，AP=AQ，∠PAQ=90°，連接CQ．
(1)求證：CQ⊥BC．
(2)△ACQ能否是直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的位置；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P在BC上什么位置時(shí)，△ACQ是等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合時(shí)，△ACQ是直角三角形；（3）當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合或BP=AB時(shí)，△ACQ是等腰三角形.
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△ACQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACQ=∠B，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACB=45°，然后求出∠BCQ=90°，然后根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）分∠APB和∠BAP是直角兩種情況求出點(diǎn)P的位置，再根據(jù)△ABP和△ACQ全等解答；
（3）分BP=AB，AB=AP，AP=BP三種情況討論求出點(diǎn)P的位置，再根據(jù)△ABP和△ACQ全等解答．
【詳解】解：（1）∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°,∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴∠ACQ=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°,
∴CQ⊥BC；
（2）當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合時(shí)，△ACQ是直角三角形；
（3）①當(dāng)BP=AB時(shí)，△ABP是等腰三角形;
②當(dāng)AB=AP時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合;
③當(dāng)AP=BP時(shí),點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)；
∵△ABP≌△ACQ,
∴當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合或BP=AB時(shí)，△ACQ是等腰三角形.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求出△ABP和△ACQ全等是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）（3）要分情況討論．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，過(guò)點(diǎn) A(與 BC 在 AC 同側(cè))作射線 AN⊥AC，若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿射線 AN 勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為 1cm/s，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒．
(1)經(jīng)過(guò) 秒時(shí)，Rt△AMP 是等腰直角三角形？
(2)經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，PM⊥MB？
(3)經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，PM⊥AB？
(4)當(dāng)△BMP 是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出 t 的所有值．
【答案】(1)6；(2)2；(3)8；(4)2或.
【分析】(1)得出腰時(shí)AM=AP，即可得出答案；
(2)根據(jù)垂直的定義和同角的余角相等得到∠CBM＝∠AMP，證明△CBM≌△AMP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AP＝CM＝2，根據(jù)題意得到答案；
(3)證明△APM≌△CAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AP＝CA＝8，根據(jù)題意得到答案；
(4)分 MB＝MP 和 PB＝PM 兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】(1)當(dāng) Rt△AMP 是等腰直角三角形時(shí)，AP＝AM＝6cm，
∴t＝6÷1＝6(s)，
故答案為6；
(2)當(dāng) PM⊥MB 時(shí)，∠BMP＝90°，
∴∠BMC+∠AMP＝90°，又∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM＝∠AMP，
在△CBM 和△AMP 中，
，
∴△CBM≌△AMP(ASA)，
∴AP＝CM＝2，
∴t＝2，即經(jīng)過(guò) 2 秒時(shí)，PM⊥MB；
(3)當(dāng) PM⊥AB 時(shí)，如圖1，∠PHA＝90°，
∴∠HPA+∠HAP＝90°，又∠HAP+∠CAB＝90°，
∴∠APM＝∠CAB，
在△APM 和△CAB 中，
，
∴△APM≌△CAB(ASA)，
∴AP＝CA＝8，
∴t＝8，
∴經(jīng)過(guò) 8 秒時(shí)，PM⊥AB；
(4)根據(jù)勾股定理得，BM＝，BP 的最小值為 8，
∵＜8，
∴BM≠BP，
當(dāng) MB＝MP 時(shí)，
在 Rt△BCM 和 Rt△MAP 中，
，
∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL)，
∴AP＝CM＝2， 則 t＝2，
當(dāng) PB＝PM 時(shí)，如圖2，作BF⊥AN于 F， 則四邊形 BCAF 為矩形，
∴BF＝CA＝8，AF＝BC＝6，
∴PF＝6﹣t，
由勾股定理得，BP2＝PF2+BF2，MP2＝AM2+AP2，
∴PF2+BF2＝AM2+AP2，即(6﹣t)2+82＝62+t2， 解得，t＝，
∴當(dāng)△BMP 是等腰三角形時(shí)，t＝2 或.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．
（1）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：△ADC≌△BEC；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說(shuō)明理由．
【答案】⑴見(jiàn)解析；⑵當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，∠AOB為定值60°．
【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出AC=BC，DC=EC,∠ACB=∠DCE= 60°，由等式的性質(zhì)就可以得出∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS就可以得出△ADC≌△BEC，⑵分情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，如圖1，由⑴可知△ACD≌△BCE，就可以求出結(jié)論；當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出結(jié)論.
【詳解】（1）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
⑵∠AOB是定值，∠AOB=60°，
理由如下：∵AD為等邊三角形的高，
∴∠AMC=∠AMB=90°，∠CAO=∠BAC=30°，∠ACB=60°，
①當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，則
∠ABE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°
②當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠CAD=30°，
又∵∠AMC=∠BMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°．
綜上所述，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，∠AOB為定值60°．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用解答時(shí)證明三角形全等是解決本題的關(guān)鍵.
題型五：等腰三角形的性質(zhì)綜合之探究問(wèn)題
【經(jīng)典例題5】我們知道：如果兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等，而兩個(gè)不全等的三角形，在某些情況下，可通過(guò)證明等底等高來(lái)說(shuō)明它們的面積相等．已知與是等腰直角三角形，，連接、．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：．
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)與是等腰直角三角形，得到，，由，證得，推出，從而證得結(jié)論；
（2）作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作，垂足為H，由于，得到，推出，得出，由于，于是得到結(jié)果即；
（3）作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，作，垂足為N，證得，得到，同理可證，得到，，推出，得到，即G為中點(diǎn)．
【詳解】（1）證明：∵與是等腰直角三角形，
∴，，．
又∵，
∴．
∴．
在與中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，作，垂足為．
∵，
∴．
在與中，
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
（3）解：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作垂直的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．
∵，
∴，．
∴．
在與中，
∵，
∴．
∴
同理可證．
∴ ．
∴ ．
在與中，
∵，
∴．
∴．即為的中點(diǎn)．
【變式訓(xùn)練5-1】綜合與探究：?jiǎn)栴}情景：如圖所示，已知，在中，，，是的中線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且交于點(diǎn)．
(1)（探究一）小虎通過(guò)度量發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；
(2)（探究二）小明在圖中添加了一條線段，且平分交于點(diǎn)，如圖所示，即可得，符合題意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)（探究三）小剛在（2）的基礎(chǔ)上，連接，如圖所示，若，，求的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)符合題意．理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．
（1）根據(jù)同角的余角相等證明即可；
（2）結(jié)論：正確．證明，可得結(jié)論．
（3）延長(zhǎng)交與點(diǎn)，則根據(jù)題意得，證明，根據(jù)全等的性質(zhì)，結(jié)合是的中線，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：如圖1中，
，
，
，
；
（2）結(jié)論：符合題意．
理由：如圖2中，
平分，
，
，
，
，
在和中，
，
，
（3）延長(zhǎng)交與點(diǎn)，則，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
．
是的中線，
，又，
則，
的面積為．
【變式訓(xùn)練5-2】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖①，在中，，D、E分別在上，若，則和是頂角相等的等腰三角形，連接，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是 ，與的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）類比探究
如圖②，和均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接．試求的度數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由
（3）拓展延伸
如圖③，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接．試猜想的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（4）解決問(wèn)題
在（3）的條件下，若，，直接寫(xiě)出四邊形的面積．
【答案】（1），；
（2）的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是：．
（3），．
（4）35．
【分析】此題是三角形綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
（1）由三角形外角的性質(zhì)及等式的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，則可得出結(jié)論；
（3）證明，得出，最后證出即可．
（4）根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：（1），，
，
即，
是的外角，
；
故答案為：，；
（2）和均為等邊三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
，
，
，
綜上可得的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是：．
（3）和均為等腰直角三角形，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
，
，
；
，，，
，
，
．
（4），
故答案為：35．
【變式訓(xùn)練5-3】幾何探究在中，，是直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為一邊在的右側(cè)作，，，連接
(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：．
(2)如圖，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，．則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的理由．
(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，°，，求最大值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)最大值為
【分析】（1）根據(jù)，則，又根據(jù)，，得，即可；
（2）由（1）得，，則，根據(jù)，則，根據(jù)，三角形內(nèi)角和為，則，得，又根據(jù)，根據(jù)等量代換，即可；
（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得；由（1）得，，得，根據(jù)垂線段最短，即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）
理由，如下：
由（1）得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
∵，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴；
∴，
當(dāng)最小時(shí)，最大，
∴當(dāng)，時(shí)最小，，
∴最大為：．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短．
【變式訓(xùn)練5-4】【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到了下面的問(wèn)題：如圖①，是的中線，若，求的取值范圍．
【探究方法】小強(qiáng)所在的小組通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．連接，可以證出，利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長(zhǎng)與轉(zhuǎn)化到到中，進(jìn)而求出的取值范圍．
方法小結(jié)：從上面的思路可以看出，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”．
(1)請(qǐng)你利用上面解答問(wèn)題的思路方法，寫(xiě)出求的取值范圍的過(guò)程；
(2)【問(wèn)題解決】如圖②，是的中線，是的中線，且，下列四個(gè)選項(xiàng)中：
A． B． C． D．
直接寫(xiě)出所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是　 　．
(3)【問(wèn)題拓展】如圖③，在和中， ，與互補(bǔ)，連接、，E是的中點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)
(2)B、C
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）如圖①中，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，證明，得，再利用三角形的三邊關(guān)系，可得結(jié)論；
（2）如圖2中，延長(zhǎng)至F，使，證明，即可判斷；
（3）如圖3中，延長(zhǎng)到J，使得，連接，證明，推出，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：解：如圖①中，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，
在和，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如下圖2中，延長(zhǎng)至F，使，
由（1）得，，，
，
點(diǎn)B為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
又，
，
，，
故B、C正確；
（3）如下圖③中，延長(zhǎng)到J，使得，連接，
同法可證，
，
，
，
與互補(bǔ)，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造三角形全等．
【變式訓(xùn)練5-5】問(wèn)題背景：某數(shù)學(xué)興趣小組把兩個(gè)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，發(fā)現(xiàn)了一些有趣的結(jié)論．
結(jié)論一：
（1）如圖1，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，連接BD，CE，試說(shuō)明△ADB≌△AEC；
結(jié)論二：
（2）如圖2，在（1）的條件下，若點(diǎn)E在BC邊上，試說(shuō)明DB⊥BC；
應(yīng)用：
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠BAD+∠BCD＝180°，連接BD，BD＝7cm，求四邊形ABCD的面積．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）S四邊形ABCD＝24.5（cm2）．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定SAS進(jìn)行證明即可得到答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；
（3）作BE⊥BD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，根據(jù)三角形內(nèi)角和和全等三角形的判定定理（ASA），即可得到答案.
【詳解】（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAE＝∠BAE+∠BAD，
∴∠CAE＝∠BAD，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
（2）由（1）得△ADB≌△AEC，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ABD＝90°，
∴DB⊥BC；
（3）作BE⊥BD，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

∵BE⊥BD，
∴∠CBE+∠DBC＝90°，
又∵∠ABD+∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠EBC，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠BAD＝∠BCE，
又∵BA＝BC，
∴△BAD≌△BCE（ASA），
∴BD＝BE，且S△BAD＝S△BCE，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△DBC
＝S△BCE+S△BCD
＝S△BDE
＝×7×7＝24.5（cm2）．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定（SAS、ASA）和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定（SAS、ASA）和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理.
題型六：等邊三角形的性質(zhì)
【經(jīng)典例題6】如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，掌握等邊三角形三線合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連接，由等邊三角形的性質(zhì)，得出，進(jìn)而得到，即當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，再利用三線合一性質(zhì)，得到，即可得到的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，連接，
是等邊三角形，是邊上的高，
是中點(diǎn)，即垂直平分，
，
，
即當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，
點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，
∵等邊中，，
∴，
∵，
∴此時(shí)，
∴．
故選：C．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，已知等邊，點(diǎn) 是 上任意一點(diǎn)， 分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為 ，則 的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．不確
【答案】B
【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等面積法求高，掌握等邊三角形的性質(zhì)，等面積法的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．
如圖所示，連接，作于點(diǎn)，則，根據(jù)即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
∵，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
故選：B ．
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，在等邊中，邊上的高，E是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在最小值，則這個(gè)最小值是（ ）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
【答案】D
【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)等知識(shí)．連接，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，從而得到，當(dāng)點(diǎn)C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，，
∵在等邊中， 是邊上的高，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，
∵當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小，
∴，
即最小值為9.5．
故選：D
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，△BEF是等邊三角形，作∠BAC的平分線交EF于點(diǎn)D，若BE＝6cm，DE＝2cm，則BC＝ cm．
【答案】8
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)求出DF的值，利用三十度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求出GF，從而求出BG，利用等腰三角形的性質(zhì)求出BC．
【詳解】解：∵△BEF是等邊三角形
∴BE=EF=BF=6cm,∠EFB=60°
∵DE＝2cm
∴DF=4cm
∵AB＝AC，AD平分∠BAC
∴AG⊥BC，BG=BC
∴∠GDF=90°-∠EFB=30°
∴GF=DF=2cm
∴BG=BF-GF=4cm
∴BC=8cm
故答案為8
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，能求出BG的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)在同一直線上，連接．若，則的長(zhǎng)是 ．
【答案】3
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，,解答即可．
本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是等邊三角形，
∴，，
，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
答案為：3．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，在中，，以為邊在外作等邊，過(guò)點(diǎn)作．若，，則 ．
【答案】7.8
【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線，構(gòu)造全等三角形和含有角的直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)得，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得，，則，由此得，據(jù)此可依據(jù)“”判定和全等，從而得，則，進(jìn)而在根據(jù)直角三角形性質(zhì)得，據(jù)此可得的長(zhǎng)．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示：
，
，
為等邊三角形，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案為：
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2.3等腰三角形的性質(zhì)定理六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：利用等腰三角形的性質(zhì)求角度
【經(jīng)典例題1】如圖，已知等邊三角形，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，沿折疊得，連接，若，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，在中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于，兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則的度數(shù)為（ ）
A．72 B．68 C．75 D．80
【變式訓(xùn)練1-2】如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，點(diǎn)在上，且，則的度數(shù)為 ．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，在中，，，，與相交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，在中，，是邊上的中線，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，連接，．
(1)求證：點(diǎn)在的垂直平分線上；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，以△ABC的兩邊AC，BC為邊分別向外作△ADC和△BEC，使得∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∠D＝∠E．
(1)求證：△ADC≌△BEC．
(2)若∠CAD＝60°，∠ABE＝110°，求∠ACB的度數(shù)．
題型二：利用等腰三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度
【經(jīng)典例題2】如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，中，，，垂足為點(diǎn)，平分，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，，，則 .

【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在中，和的角平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，，則的周長(zhǎng)為 ．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在中，，，平分，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則 ．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，△BEF是等邊三角形，作∠BAC的平分線交EF于點(diǎn)D，若BE＝6cm，DE＝2cm，則BC＝ cm．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)在同一直線上，連接．若，則的長(zhǎng)是 ．
題型三：等腰三角形的性質(zhì)綜合之解答題
【經(jīng)典例題3】如圖，是的角平分線，，垂足為交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若恰好平分．
(1)求證：；
(2)若的面積是18，，求長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練3-1】已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E是邊BC上的兩點(diǎn)，且AB＝BE，AC＝CD．
(1)若∠BAC＝90°，求∠DAE的度數(shù)；
(2)若∠BAC＝120°，直接寫(xiě)出∠DAE的度數(shù)；
(3)設(shè)∠BAC＝α，∠DAE＝β，猜想α與β的之間數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，△ABC、△ADE中，C、D兩點(diǎn)分別在AE、AB上，BC與DE相交于F點(diǎn)，且BD＝CD＝CE．
（1）若∠B=30°，∠E＝20°，求∠A的度數(shù)；
（2）若∠B=x，∠E＝y(tǒng)，請(qǐng)用含x、y的代數(shù)式表示∠A的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，和分別是以的AB，AC為邊的等邊三角形，CE，BF相交于O.
（1）求的度數(shù)．
（2）若，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，線段AB⊥直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)D在直線l上，分別以AB、AD為邊在AB、AD的右側(cè)作等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，直線CE交直線l于點(diǎn)F.
(1)求證：BD＝CE；
(2)求證：DF＝CE﹣CF；
題型四：等腰三角形的性質(zhì)綜合之動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【經(jīng)典例題4】如圖，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=50°，點(diǎn)D在BC邊上（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE=50°，DE交邊AC于點(diǎn)E.
（1）當(dāng)∠BAD=20°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；
（2）當(dāng)CD等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE？為什么？
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△ADE可能是等腰三角形嗎？若可能，直接寫(xiě)出∠DAE的度數(shù)；若不可能，說(shuō)明理由.
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，中，，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合？
(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，可得到等邊三角形？
(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在中，點(diǎn)P，Q分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)M．
(1)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B以相同的速度同時(shí)出發(fā)，當(dāng)時(shí)，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
(2)若為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，此時(shí)P，Q分別從頂點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿線段運(yùn)動(dòng)、且它們的速度均為．當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
①當(dāng)t為何值時(shí)，；
②點(diǎn)P，Q在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的大小會(huì)發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化、請(qǐng)說(shuō)明理由；若不會(huì)發(fā)生變化，請(qǐng)求出的大小．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，AP=AQ，∠PAQ=90°，連接CQ．
(1)求證：CQ⊥BC．
(2)△ACQ能否是直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的位置；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P在BC上什么位置時(shí)，△ACQ是等腰三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，過(guò)點(diǎn) A(與 BC 在 AC 同側(cè))作射線 AN⊥AC，若動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 出發(fā)，沿射線 AN 勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為 1cm/s，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒．
(1)經(jīng)過(guò) 秒時(shí)，Rt△AMP 是等腰直角三角形？
(2)經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，PM⊥MB？
(3)經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，PM⊥AB？
(4)當(dāng)△BMP 是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出 t 的所有值．
【變式訓(xùn)練4-5】如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．
（1）若點(diǎn)D在線段AM上時(shí)，求證：△ADC≌△BEC；
（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D在射線AM上時(shí)，設(shè)直線BE與直線AM的交點(diǎn)為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說(shuō)明理由．
題型五：等腰三角形的性質(zhì)綜合之探究問(wèn)題
【經(jīng)典例題5】我們知道：如果兩個(gè)三角形全等，則它們的面積相等，而兩個(gè)不全等的三角形，在某些情況下，可通過(guò)證明等底等高來(lái)說(shuō)明它們的面積相等．已知與是等腰直角三角形，，連接、．
(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：．
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，作，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)為的中點(diǎn)．
【變式訓(xùn)練5-1】綜合與探究：?jiǎn)栴}情景：如圖所示，已知，在中，，，是的中線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，且交于點(diǎn)．
(1)（探究一）小虎通過(guò)度量發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；
(2)（探究二）小明在圖中添加了一條線段，且平分交于點(diǎn)，如圖所示，即可得，符合題意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)（探究三）小剛在（2）的基礎(chǔ)上，連接，如圖所示，若，，求的面積．
【變式訓(xùn)練5-2】（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖①，在中，，D、E分別在上，若，則和是頂角相等的等腰三角形，連接，則、、之間的數(shù)量關(guān)系是 ，與的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）類比探究
如圖②，和均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，連接．試求的度數(shù)及與的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由
（3）拓展延伸
如圖③，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)A、D、E在同一條直線上，為中邊上的高，連接．試猜想的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（4）解決問(wèn)題
在（3）的條件下，若，，直接寫(xiě)出四邊形的面積．
【變式訓(xùn)練5-3】幾何探究在中，，是直線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），以為一邊在的右側(cè)作，，，連接
(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：．
(2)如圖，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，．則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的理由．
(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上，°，，求最大值．
【變式訓(xùn)練5-4】【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】小強(qiáng)在一次學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到了下面的問(wèn)題：如圖①，是的中線，若，求的取值范圍．
【探究方法】小強(qiáng)所在的小組通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使．連接，可以證出，利用全等三角形的性質(zhì)可將已知的邊長(zhǎng)與轉(zhuǎn)化到到中，進(jìn)而求出的取值范圍．
方法小結(jié)：從上面的思路可以看出，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造出全等三角形，我們把這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線法”．
(1)請(qǐng)你利用上面解答問(wèn)題的思路方法，寫(xiě)出求的取值范圍的過(guò)程；
(2)【問(wèn)題解決】如圖②，是的中線，是的中線，且，下列四個(gè)選項(xiàng)中：
A． B． C． D．
直接寫(xiě)出所有正確選項(xiàng)的序號(hào)是　 　．
(3)【問(wèn)題拓展】如圖③，在和中， ，與互補(bǔ)，連接、，E是的中點(diǎn)，求證：．
【變式訓(xùn)練5-5】問(wèn)題背景：某數(shù)學(xué)興趣小組把兩個(gè)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，發(fā)現(xiàn)了一些有趣的結(jié)論．
結(jié)論一：
（1）如圖1，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，連接BD，CE，試說(shuō)明△ADB≌△AEC；
結(jié)論二：
（2）如圖2，在（1）的條件下，若點(diǎn)E在BC邊上，試說(shuō)明DB⊥BC；
應(yīng)用：
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝CB，∠BAD+∠BCD＝180°，連接BD，BD＝7cm，求四邊形ABCD的面積．

題型六：等邊三角形的性質(zhì)
【經(jīng)典例題6】如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)是（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練6-1】如圖，已知等邊，點(diǎn) 是 上任意一點(diǎn)， 分別與兩邊垂直，等邊三角形的高為 ，則 的值為（ ）
A． B．1 C．2 D．不確
【變式訓(xùn)練6-2】如圖，在等邊中，邊上的高，E是高上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，存在最小值，則這個(gè)最小值是（ ）
A．8 B．9 C．8.5 D．9.5
【變式訓(xùn)練6-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，△BEF是等邊三角形，作∠BAC的平分線交EF于點(diǎn)D，若BE＝6cm，DE＝2cm，則BC＝ cm．
【變式訓(xùn)練6-4】如圖，都是等邊三角形，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)在同一直線上，連接．若，則的長(zhǎng)是 ．
【變式訓(xùn)練6-5】如圖，在中，，以為邊在外作等邊，過(guò)點(diǎn)作．若，，則 ．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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