資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2.1圖形的軸對稱七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：圖形的軸對稱的識別
【經典例題1】下列四幅圖是奧林匹克運動會會徽，其圖案為對稱軸圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-1】下面是科學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．C． D．
【變式訓練1-2】2024年金華“5·18國際博物館日”系列活動開幕式在金華市博物館舉辦，下面四幅圖是我市一些博物館的標志，其中不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-3】202年月日，第屆世界杯在卡塔爾盧塞爾足球場落下帷幕，梅西領銜的阿根廷隊最終捧得大力神杯．以下歷屆世界杯中，圖案部分是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-4】漢字是世界上最美的文字，形美如畫，有的漢字是軸對稱圖形，下面四個漢字中是軸對稱圖形的是（ ）
A．愛 B．我 C．中 D．華
【變式訓練1-5】京劇臉譜深受廣大戲曲愛好者的喜愛，在下面的四個京劇臉譜中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
題型二：根據成軸對稱圖形的特征進行判斷
【經典例題2】如圖，和關于直線對稱，連接，，，其中與直線交于點，點為直線上一點，且不與點重合，連接．下列說法錯誤的是（　?。?br/>A．
B．線段，，被直線垂直平分
C．為等腰三角形
D．線段所在直線的交點不一定在直線上
【變式訓練2-1】如圖，與關于直線對稱，交于點，則下列結論不一定正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練2-2】下列說法中正確的是（　　）
A．兩個全等的三角形是關于某直線對稱的軸對稱圖形
B．兩個全等的等腰三角形是關于某直線對稱的軸對稱圖形
C．關于某直線對稱的兩個三角形是全等形
D．關于某直線對稱的兩個三角形，不一定是全等形
【變式訓練2-3】下列圖形中，與成軸對稱的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練2-4】如圖，與關于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點D，，下列結論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點不一定在直線l上．其中正確的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【變式訓練2-5】如圖是一款運輸機的平面示意圖，它是一個軸對稱圖形，直線是其對稱軸．下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C．平分 D．垂直平分
題型三：根據成軸對稱圖形的特征進行作圖
【經典例題3】圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作格點圖形．
(1)在圖①中，作，使其面積為；
(2)在圖②中，作，使其面積為2；
(3)在圖③中，作四邊形，使其是軸對稱圖形且面積為3．
【變式訓練3-1】如圖，已知四邊形和直線l．
(1)作出四邊形以直線l為對稱軸的對稱圖形；
(2)分別延長4條線段，使它們相交，你發現什么？
(3)你能提出更多的問題嗎？
【變式訓練3-2】如圖，在中，點分別是邊上的中點，請你在邊上確定一點P，使的周長最?。趫D中作出點P．
（保留作圖痕跡，不寫作法．）
【變式訓練3-3】如圖，在河流的同岸有，兩個村莊，要在河岸上確定相距米的兩點，（點在點的右邊），使得的和最?。米鲌D的方式來確定點，并說明確定點的步驟．

【變式訓練3-4】如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A，點B，點O都在格點上．
(1)畫出關于直線的對稱圖形；
(2)在直線上是否存在一點P，使得的值最??？若存在，請在圖中畫出點P；若不存在，請說明理由；
(3)求出四邊形的面積．
【變式訓練3-5】如圖所示，在正方形網格上有一個 ．
(1)作 關于直線 的對稱圖形（不寫作法）；
(2)在 上找一點 ，使得 最??；
(3)若網格上每個小正方形邊長為1，求 的面積．
題型四：根據成軸對稱圖形的特征求解
【經典例題4】如圖，在內，點、分別是點關于、的對稱點，如果的周長為15，則的長為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，和關于直線l對稱，l交于點D，若，則五邊形的周長為（　　）
A．14 B．13 C．12 D．11
【變式訓練4-2】如圖，四邊形中，，點B關于的對稱點B’恰好落在上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-3】如圖，在的內部有一點，點、分別是點關于，的對稱點，分別交，于，點，若的周長為，則線段的長為 ．
【變式訓練4-4】如圖，在四邊形中，，在上分別找一點M，N，使周長最小，此時，則的度數為 ．
題型五：根據成軸對稱圖形的特征求最值
【經典例題5】如圖，在銳角三角形中，，的面積為10，平分，若M、N分別是、上的動點，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
【變式訓練5-1】如圖，在中，，，，，平分交于點，點，分別是，上的動點，連接，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】如圖，在中，平分交于點，點，分別是線段、上一動點，且，，則的最小值為 ．
【變式訓練5-3】如圖，已知，點P為內部一點，點M為射線、點N為射線上的兩個動點，當的周長最小時，則 ．
【變式訓練5-4】點D是銳角內一點，于點E，點F是線段的一個動點，點G是射線的一個動點，連接，當的周長最小時，與的數量關系式是
題型六：臺球桌面上的軸對稱問題
【經典例題6】如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（　?。?br/>A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋
【變式訓練6-1】如圖，桌球的桌面上有M，N兩個球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中N球，則A，B，C，D，4個點中，可以反彈擊中N球的是 點．
【變式訓練6-2】數學在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數學問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證為 ．

【變式訓練6-3】如圖所示，長方形是臺球臺面，有白、黑兩球分別位于點M，N處，試問：怎樣撞擊白球M，才能使白球M碰撞臺邊反彈后擊中黑球N？
【變式訓練6-4】如圖是由相同的小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．長方臺球桌的頂點都是格點，臺球桌上有兩個小球，分別位于格點處．

(1)在圖1中，先在邊上畫點，使，再在邊上畫點，使；
(2)在圖2中，先在邊上畫點，連接，使，再畫一條路徑，使球兩次撞擊臺球桌邊，經過兩次反彈（反射角等于入射角）后，正好撞到球．
【變式訓練6-5】如圖，長方形臺球桌上有兩個球P，Q．

(1)請畫出一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊反彈后，正好撞到球Q；
(2)請畫出一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊，經過兩次反彈后，正好撞到球Q．
題型七：光線反射的軸對稱問題
【經典例題7】如圖是光的反射示意圖，其中是入射光線，是反射光線，法線．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-1】如圖，兩條平行直線a，b，從點光源M射出的光線射到直線a上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線b上的B點，當這束光線繼續從B點反射出去后，反射光線與直線b所夾銳角的度數為（　　）
A． B． C． D．
【變式訓練7-2】如圖所示，兩個平面鏡平行放置，光線經過平面鏡反射時，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練7-3】如圖，在空心圓柱口放置一面平面鏡，與水平線的夾角，入射光線經平面鏡反射后反射光線為（點，，，，，，在同一豎直平面內），已知．若要使反射光線恰好垂直于圓柱底面射出，則需要把入射光線與水平線的夾角的度數調整為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式訓練7-4】光的反射定律為：入射光線、反射光線和法線(垂直于反射面的直線)都在同一平面內，且入射光線和反射光線分別位于法線的兩側，入射光線與法線的夾角入射角等于反射光線與法線的夾角反射角，興趣小組想讓太陽光垂直射入水井，運用此原理，如圖，在井口放置一面平面鏡以改變光的路線，當太陽光線與水平線的夾角時，要使太陽光線經反射后剛好豎直射入井底即，則調整后平面鏡與水平線的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-5】如圖，、是平面鏡前同一發光點S發出的經平面鏡反射后的反射光線，請通過畫圖確定發光點S的位置，并將光路圖補充完整．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2.1圖形的軸對稱七大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：圖形的軸對稱的識別
【經典例題1】下列四幅圖是奧林匹克運動會會徽，其圖案為對稱軸圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念，根據概念即可，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，我們也可以說這個圖形關于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
【詳解】解：、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：．
【變式訓練1-1】下面是科學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解． 此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，故不合題意；
B、該圖形是軸對稱圖形，故合題意；
C、該圖形不是軸對稱圖形，故不合題意；
D、該圖形不是軸對稱圖形，故不合題意；
故選：B
【變式訓練1-2】2024年金華“5·18國際博物館日”系列活動開幕式在金華市博物館舉辦，下面四幅圖是我市一些博物館的標志，其中不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義，掌握把一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形是軸對稱圖形成為解題的關鍵．
根據軸對稱圖形的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；
B、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
C、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；
D、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
【變式訓練1-3】202年月日，第屆世界杯在卡塔爾盧塞爾足球場落下帷幕，梅西領銜的阿根廷隊最終捧得大力神杯．以下歷屆世界杯中，圖案部分是軸對稱圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了軸對稱圖形，熟練掌握掌握軸對稱圖形的概念是解題的關鍵，根據軸對稱圖形的概念求解即可．
【詳解】解：，，選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，
選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：．
【變式訓練1-4】漢字是世界上最美的文字，形美如畫，有的漢字是軸對稱圖形，下面四個漢字中是軸對稱圖形的是（ ）
A．愛 B．我 C．中 D．華
【答案】C
【分析】此題考查了軸對稱圖形，熟練掌握軸對稱圖形的定義是解本題的關鍵．軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合．直接利用軸對稱圖形的定義分析得出答案．
【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，不合題意；
B、不是軸對稱圖形，不合題意；
C、是軸對稱圖形，符合題意；
D、不是軸對稱圖形，不合題意；
故選：C．
【變式訓練1-5】京劇臉譜深受廣大戲曲愛好者的喜愛，在下面的四個京劇臉譜中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據軸對稱圖形的概念求解． 此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
【詳解】解：第一個圖形是軸對稱圖形，故不合題意；
第二個圖形不是軸對稱圖形，故合題意；
第三個圖形是軸對稱稱圖形，故不合題意；
第四個圖形是軸對稱圖形，故不合題意；
故選：B．
題型二：根據成軸對稱圖形的特征進行判斷
【經典例題2】如圖，和關于直線對稱，連接，，，其中與直線交于點，點為直線上一點，且不與點重合，連接．下列說法錯誤的是（　?。?br/>A．
B．線段，，被直線垂直平分
C．為等腰三角形
D．線段所在直線的交點不一定在直線上
【答案】D
【分析】此題考查軸對稱的性質，根據軸對稱的性質依次分析判斷，正確掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：A、和關于直線對稱，
，
，正確，不符合題意；
B、和關于直線對稱，
線段，，被直線垂直平分，正確，不符合題意；
C、和關于直線對稱，
是線段的垂直平分線，
為等腰三角形，正確，不符合題意；
D、和關于直線對稱，
線段所在直線的交點一定在直線上，原說法錯誤，符合題意．
故選：D．
【變式訓練2-1】如圖，與關于直線對稱，交于點，則下列結論不一定正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了成軸對稱圖形的性質，根據成軸對稱圖形的性質逐項判斷即可．
【詳解】解：因為與關于直線對稱，
所以，，，與不一定平行，故A，B，C項一定正確，D項不一定正確．
故選：D．
【變式訓練2-2】下列說法中正確的是（　?。?br/>A．兩個全等的三角形是關于某直線對稱的軸對稱圖形
B．兩個全等的等腰三角形是關于某直線對稱的軸對稱圖形
C．關于某直線對稱的兩個三角形是全等形
D．關于某直線對稱的兩個三角形，不一定是全等形
【答案】C
【分析】此題主要考查了軸對稱圖形的應用．根據軸對稱的定義：兩個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能完全重合，那么這兩個圖形成軸對稱進行判斷即可．
【詳解】解：A、兩個全等的三角形不一定是關于某直線對稱的軸對稱圖形，本選項不符合題意；
B、兩個全等的等腰三角形不一定是關于某直線對稱的軸對稱圖形，本選項不符合題意；
C、關于某直線對稱的兩個三角形是全等形，本選項符合題意；
D、關于某直線對稱的兩個三角形，一定是全等形，本選項不符合題意；
故選：C．
【變式訓練2-3】下列圖形中，與成軸對稱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查軸對稱的性質，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．
根據成軸對稱的性質對各選項分析判斷即可得解．
【詳解】解：A、不成軸對稱，故本選項錯誤；
B、成軸對稱，故本選項正確；
C、不成軸對稱，故本選項錯誤；
D、不成軸對稱，故本選項錯誤．
故選：B．
【變式訓練2-4】如圖，與關于直線l對稱，連接，，，其中分別交，于點D，，下列結論：①；②；③直線l垂直平分；④直線與的交點不一定在直線l上．其中正確的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【分析】本題考查的是軸對稱的性質，熟知如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線是解題的關鍵．
根據軸對稱的性質對各結論進行逐一分析即可．
【詳解】解：和關于直線對稱，
∴，故①正確，
和關于直線對稱，點D與點關于直線對稱的對稱點，
∴，故②正確；
和關于直線對稱，
線段、、被直線垂直平分，
直線垂直平分，故③正確；
和關于直線對稱，
線段、所在直線的交點一定在直線上，故④錯誤，
∴正確的有①②③，
故選：A．
【變式訓練2-5】如圖是一款運輸機的平面示意圖，它是一個軸對稱圖形，直線是其對稱軸．下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C．平分 D．垂直平分
【答案】D
【分析】本題考查軸對稱的性質，解題的關鍵是掌握軸對稱的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；②如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或對應線段的延長線相交，那么交點在對稱軸上．據此分析即可．
【詳解】解：如圖是一個軸對稱圖形，直線是其對稱軸，
A． ∵與是一組對應邊，
∴，故此選項不符合題意；
B．∵與是一組對應角，
∴，故此選項不符合題意；
C．∵與是一組對應角，
∴平分，故此選項不符合題意；
D．∵直線是對稱軸，
∴垂直平分，故此選項符合題意．
故選：D．
題型三：根據成軸對稱圖形的特征進行作圖
【經典例題3】圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點均在格點上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作格點圖形．
(1)在圖①中，作，使其面積為；
(2)在圖②中，作，使其面積為2；
(3)在圖③中，作四邊形，使其是軸對稱圖形且面積為3．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查格點作圖，軸對稱圖形，熟練掌握利用網格特征作圖，軸對稱圖形的性質是解答本題的關鍵．
（1）畫高與底分別為2與3或3與2，或底與高為與的三角形即可；
（2）畫高與底分別為與的三角形即可；
（3）結合軸對稱圖形的性質，使四邊形的對角線相互垂直平分，且對角線的長分別為2和3即可．
【詳解】（1）解：如圖1-1所示，或或即為所求；
，
如圖1-2，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如圖2所示，或即為所求；
∵，，
．
（3）解：如圖3所示，四邊形或四邊形即為所求；
．
【變式訓練3-1】如圖，已知四邊形和直線l．
(1)作出四邊形以直線l為對稱軸的對稱圖形；
(2)分別延長4條線段，使它們相交，你發現什么？
(3)你能提出更多的問題嗎？
【答案】(1)見解析
(2)交點在對稱軸上
(3)與相等的線段是哪一條？（答案不唯一）
【分析】本題考查了畫軸對稱圖形，
（1）從四點向l引垂線并延長，分別找到四點的對稱點，然后順次連接即可；
（2）分別延長4條線段，使它們相交，交點在對稱軸上；
（3）可根據軸對稱圖形提問，如與相等的線段是哪一條等．此題答案不唯一．
【詳解】（1）解：所求圖形，如圖所示；
（2）
交點在對稱軸上；
（3）與相等的線段是哪一條？
【變式訓練3-2】如圖，在中，點分別是邊上的中點，請你在邊上確定一點P，使的周長最?。趫D中作出點P．
（保留作圖痕跡，不寫作法．）
【答案】見詳解
【分析】此題主要是考查利用軸對稱解決最短路徑問題，利用軸對稱作出D點對稱點，連接交于點P，當點，點P和點E在一條直線上時，的周長為最小值．
【詳解】解：作D點對稱點，連接，與交于點P，
P點即為所求：
【變式訓練3-3】如圖，在河流的同岸有，兩個村莊，要在河岸上確定相距米的兩點，（點在點的右邊），使得的和最?。米鲌D的方式來確定點，并說明確定點的步驟．

【答案】見解析
【分析】本題主要考查了軸對稱最短路徑問題，平移的性質，如圖所示，作且，
作點關于的對稱點，連接交于D，在上截取，則點C即為所求．
【詳解】解：如圖所示，作且，
作點關于的對稱點，連接交于D，在上截取，則點C即為所求．
由軸對稱的性質可得，由平移的性質可得，
則可知此時，即此時即為所求．

【變式訓練3-4】如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1，點A，點B，點O都在格點上．
(1)畫出關于直線的對稱圖形；
(2)在直線上是否存在一點P，使得的值最??？若存在，請在圖中畫出點P；若不存在，請說明理由；
(3)求出四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)存在，理由見解析
(3)12
【分析】本題考查了軸對稱性質，兩點之間線段最短，梯形面積公式，解題的關鍵是熟練掌握并運用相關知識．
（1）根據軸對稱的性質作圖即可．
（2）連接，交直線于點P，則點P即為所求．
（3）利用梯形的面積公式計算即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）解：存在．
如圖，連接，交直線于點P，連接，
此時為最小值，
則點P即為所求．
（3）解：由圖可知：四邊形的面積為．
【變式訓練3-5】如圖所示，在正方形網格上有一個 ．
(1)作 關于直線 的對稱圖形（不寫作法）；
(2)在 上找一點 ，使得 最??；
(3)若網格上每個小正方形邊長為1，求 的面積．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】本題考查作圖軸對稱變換，三角形的面積，軸對稱最短路徑問題等知識，解題關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
（1）作出、、關于直線的對稱點、、即可；
（2）連接交于，點即為所求；
（3）利用割補法求面積即可；
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：連接交于，點即為所求；
（3）解：．
題型四：根據成軸對稱圖形的特征求解
【經典例題4】如圖，在內，點、分別是點關于、的對稱點，如果的周長為15，則的長為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題關鍵．根據軸對稱的性質可得，，結合的周長為15，即，即可獲得答案．
【詳解】解：∵點、分別是點關于、的對稱點，
∴，，
∵的周長為15，即，
∴．
故選：A．
【變式訓練4-1】如圖，和關于直線l對稱，l交于點D，若，則五邊形的周長為（　?。?br/>A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【分析】本題主要考查了軸對稱圖形的性質．根據軸對稱圖形的性質，得到每邊的長度即可求出周長．
【詳解】解：∵和關于直線l對稱，l交于點D，
∴，
∵，
∴，
∴五邊形的周長為：．
故選：A．
【變式訓練4-2】如圖，四邊形中，，點B關于的對稱點B’恰好落在上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，等腰三角形的性質以及直角三角形的性質，解題時注意：如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．連接，過A作于F，得到，依據，，即可得出，再根據直角三角形兩銳角互余，即可得到．
【詳解】解：如圖，連接，過A作于F，
∵點B關于的對稱點E恰好落在上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故選：B．
【變式訓練4-3】如圖，在的內部有一點，點、分別是點關于，的對稱點，分別交，于，點，若的周長為，則線段的長為 ．
【答案】30
【分析】本題考查軸對稱的性質，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等．利用對稱性得到，，把求的長轉化成的周長，問題得解．
【詳解】解：∵點關于、的對稱點分別為、，
∴，，
∴．
故答案為：．
【變式訓練4-4】如圖，在四邊形中，，在上分別找一點M，N，使周長最小，此時，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題主要考查軸對稱的性質，三角形內角和定理，作A點關于的對稱點F，作A點關于的對稱點E，連接交于N，交于M，連接，則此時的周長有最小值，由軸對稱的性質得到，，再根據三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：作A點關于C的對稱點F，作A點關于的對稱點E，連接交于N，交于M，連接，
，
，
的周長
，即此時的周長有最小值，
由軸對稱的性質可得，，
，
，
，
，
故答案為：．
題型五：根據成軸對稱圖形的特征求最值
【經典例題5】如圖，在銳角三角形中，，的面積為10，平分，若M、N分別是、上的動點，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
【答案】B
【分析】本題主要考查了利用軸對稱解決線段最短問題， 垂線段最短．
作N關于的對稱點，連結，與交于點O，過點C作于點E，根據角平分線的性質可得，則，根據兩點之間線段最短可得的最小值為，再根據垂線段最短，的最小值為C點到的垂線段的長度，最后由的面積求出，即可求解．
【詳解】解：如圖，作N關于的對稱點，連結，與交于點O，過C作于E，
∵平分
∴在上，且
∴，
∴根據兩點之間線段最短可得 的最小值為，即C點到線段某點的連線，
∴根據垂線段最短，的最小值為C點到的垂線段的長度，
∵ 的面積為 10
∴
∴
故選B．
【變式訓練5-1】如圖，在中，，，，，平分交于點，點，分別是，上的動點，連接，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了軸對稱——最短路線問題、角平分線的性質，解此題的關鍵是根據軸對稱的性質找出點．如圖，作點關于直線的對稱點，作于由，推出根據垂線段最短可知，當，，共線，且與重合時，的值最小，最小值線段的長，根據三角形的面積即可求得線段的長．
【詳解】解：如圖中，
作點關于直線的對稱點，作于，
，
根據垂線段最短可知，當，，共線，且與重合時，的值最小，最小值線段的長．
中，，，，，
．
故選：C．
【變式訓練5-2】如圖，在中，平分交于點，點，分別是線段、上一動點，且，，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】本題考查軸對稱最短問題，坐標有圖形性質，正方形的性質等知識，作點關于的對稱點，連接，過點作于點．證明，再根據，求出，可得結論．解題的關鍵是掌握利用軸對稱解決最短問題．
【詳解】解：作點關于的對稱點，連接，過點作于點．
平分，
點關于的對稱點在上，
，
，
，，
，
，
，
的最小值為4．
故答案為：4．
【變式訓練5-3】如圖，已知，點P為內部一點，點M為射線、點N為射線上的兩個動點，當的周長最小時，則 ．
【答案】/84度
【分析】本題考查了軸對稱的性質，三角形內角和定理，熟練掌握知識點，正確構造對稱點是解題的關鍵．
作點P關于的對稱點E,連接作點P關于的對稱點F，連接由軸對稱的性質可知，故當E，M，N，F四點共線時，的周長最小，再根據三角形的內角和定理和軸對稱的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，作點P關于的對稱點E,連接
，
作點P關于的對稱點F，連接
，
，當E，M，N，F四點共線時，的周長最小．
，
，
又
，
∴在中，，
，
，
，
．
故答案為：．
【變式訓練5-4】點D是銳角內一點，于點E，點F是線段的一個動點，點G是射線的一個動點，連接，當的周長最小時，與的數量關系式是
【答案】
【分析】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．
作關于的對稱點，作關于的對稱得，連接，交、于，此時的周長最小，最小值為，連、、，根據軸對稱的性質得出，即可得出，，由根據三角形內角和定理即可得出．
【詳解】解：作關于的對稱點，作關于的對稱得，連接，交、于、，
此時四點共線，此時的周長最小，最小值為，連、、，
由軸對稱的性質可知，
，
，
，
，
故答案為：．
題型六：臺球桌面上的軸對稱問題
【經典例題6】如圖是一個臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔．若一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射），則該球最后將落入的球袋是（　　）
A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋
【答案】B
【分析】本題考查了生活中的軸對稱現象，利用軸對稱的性質是解題的關鍵. 根據網格結構利用軸對稱的性質作出球的運動路線，即可進行判斷．
【詳解】解：如圖所示，根據軸對稱的性質可知，臺球走過的路徑為：
該球最后落入2號袋．
故選：B．
【變式訓練6-1】如圖，桌球的桌面上有M，N兩個球，若要將M球射向桌面的一邊，反彈一次后擊中N球，則A，B，C，D，4個點中，可以反彈擊中N球的是 點．
【答案】D
【分析】本題考查了軸對稱的知識，注意結合圖形解答，不要憑空想象，實際操作一下．
【詳解】解：如圖，
可以瞄準點擊球．
故答案為：．
【變式訓練6-2】數學在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數學問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證為 ．

【答案】
【分析】本題考查了臺球桌上的軸對稱問題，根據圖形得出的度數，即可求出的度數．利用數形結合的思想解決問題是解題關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：
【變式訓練6-3】如圖所示，長方形是臺球臺面，有白、黑兩球分別位于點M，N處，試問：怎樣撞擊白球M，才能使白球M碰撞臺邊反彈后擊中黑球N？
【答案】見解析
【分析】本題是日常生活中常見的臺球問題，通過感知并描述臺球的運動規律，想象出小球被撞擊后的運動路線，可利用軸對稱的性質作出圖形，培養了空間觀念和應用意識．要使白球M碰撞臺邊反彈后擊中黑球N，可畫點M關于的對稱點，連接交于點O，則沿方向撞擊白球可滿足要求．
【詳解】解：如圖所示，畫點M關于的對稱點；連接交于點O，則白球M沿碰撞臺邊，必沿反彈擊中黑球N．
理由：由軸對稱性質得．
又∵，
∴．
∴白球M沿碰撞臺邊，必沿反彈擊中黑球N．
【變式訓練6-4】如圖是由相同的小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點．長方臺球桌的頂點都是格點，臺球桌上有兩個小球，分別位于格點處．

(1)在圖1中，先在邊上畫點，使，再在邊上畫點，使；
(2)在圖2中，先在邊上畫點，連接，使，再畫一條路徑，使球兩次撞擊臺球桌邊，經過兩次反彈（反射角等于入射角）后，正好撞到球．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖，生活中的軸對稱現象等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）取格點，連接交于點，連接，構造等腰直角三角形，取格點，連接，將平移，使點與點重合，交于，交于點，點，點即為所求；
（2）作點關于的對稱點，連接交一點，連接，點即為所求，作點關于的對稱點，連接分別交于點，連接，路徑即為所求．
【詳解】（1）解：如圖1中，點，點即為所求；
，
由勾股定可得：，，，，，，
，，，
、、是等腰直角三角形，
，，
由平移的性質可得，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：如圖2中，點即為所求，路徑即為所求．
．
【變式訓練6-5】如圖，長方形臺球桌上有兩個球P，Q．

(1)請畫出一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊反彈后，正好撞到球Q；
(2)請畫出一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊，經過兩次反彈后，正好撞到球Q．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）作點P關于是對稱點，連接′交于M，點M即為所求．
（2）作點P關于是對稱點，點Q關于的對稱點，連接交于E，交于F，點E，點F即為所求．
【詳解】（1）解：如圖，運動路徑：，點M即為所求．

（2）解：如圖，運動路徑：，點E，點F即為所求．

【點睛】本題考查軸對稱的應用，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決實際問題．
題型七：光線反射的軸對稱問題
【經典例題7】如圖是光的反射示意圖，其中是入射光線，是反射光線，法線．若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了軸對稱的性質，根據平面鏡反射光線的規律：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等，即可得出答案．
【詳解】解：∵平面鏡反射光線的規律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的角相等，
∴．
故選：B．
【變式訓練7-1】如圖，兩條平行直線a，b，從點光源M射出的光線射到直線a上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線b上的B點，當這束光線繼續從B點反射出去后，反射光線與直線b所夾銳角的度數為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查軸對稱的性質和平行線的性質，根據“入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的夾角相等”得到，由平行線的性質可得，即可得出結論．熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
∵從點光源射出的光線射到直線上的A點，入射角為，然后反射光線射到直線上的點，
∴，
∵，
∴，
∴當這束光線繼續從點反射出去后，反射光線與直線的夾角度數為．
故選：D
【變式訓練7-2】如圖所示，兩個平面鏡平行放置，光線經過平面鏡反射時，，則的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行線的性質和平角的定義，掌握平行線的性質是本題的關鍵．
先根據平角的定義求出的度數，再根據平行線的性質，即要得出結果．
【詳解】解：，
，
∵兩個平面鏡平行放置，
∴經過第二次反射后的反射光線與第一次反射的入射光線平行，
；
故選：A．
【變式訓練7-3】如圖，在空心圓柱口放置一面平面鏡，與水平線的夾角，入射光線經平面鏡反射后反射光線為（點，，，，，，在同一豎直平面內），已知．若要使反射光線恰好垂直于圓柱底面射出，則需要把入射光線與水平線的夾角的度數調整為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了垂線和角的計算，軸對稱的性質；根據已知可得，進而求得，根據對稱可得，進而即可求解．
【詳解】解：由題意，知，
∴．
∴．
∴，
故選：C．
【變式訓練7-4】光的反射定律為：入射光線、反射光線和法線(垂直于反射面的直線)都在同一平面內，且入射光線和反射光線分別位于法線的兩側，入射光線與法線的夾角入射角等于反射光線與法線的夾角反射角，興趣小組想讓太陽光垂直射入水井，運用此原理，如圖，在井口放置一面平面鏡以改變光的路線，當太陽光線與水平線的夾角時，要使太陽光線經反射后剛好豎直射入井底即，則調整后平面鏡與水平線的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查相交線，垂線等知識，作出法線是解題的關鍵．過點F，作，求出，從而得出，繼而得解．
【詳解】解：過點F，作，則，
依題意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【變式訓練7-5】如圖，、是平面鏡前同一發光點S發出的經平面鏡反射后的反射光線，請通過畫圖確定發光點S的位置，并將光路圖補充完整．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了軸對稱作圖，解題的關鍵是熟練掌握光在入射時，入射角等于反射角；兩條入射光線的交點處是點光源所在處．作出和的入射光線，相交處即為點S所在位置．
【詳解】解：如圖所示：
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