資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2.2等腰三角形六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：等邊對(duì)等角
【經(jīng)典例題1】如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，的周長(zhǎng)為10，求的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，在中，分別垂直平分邊和邊，交邊于兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．
(1)若，則的周長(zhǎng)為 　　；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練1-2】 如圖，在中，，于點(diǎn)D，為上一點(diǎn)，連接，使，，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若周長(zhǎng)，，求長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，，此時(shí)點(diǎn)A恰好在線段上，則的度數(shù)為 ．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，，，則 ．
題型二：利用“三線合一”求角度
【經(jīng)典例題2】如圖，、分別是的中線和角平分線，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，中，，，是邊上的中線，且，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，且，那么的度數(shù)為 ．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，在中，，，，且．求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，在中，，是上的中線，，交于點(diǎn)，如果，那么 °．
題型三：利用“三線合一”求線段和的最小值
【經(jīng)典例題3】如圖，的面積為16，且，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)，，作直線．已知為的中點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，則的長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，在中，，、是的兩條中線，P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，在等腰三角形中，，，點(diǎn)D為垂足，E、F分別是、上的動(dòng)點(diǎn)．若，的面積為12，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，點(diǎn)分別為上的動(dòng)點(diǎn)，若，的面積為，則的最小值為 ．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，中，，，是邊上的中線且，F(xiàn)是上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，在中，，面積是14，的垂直平分線分別交邊于E、F點(diǎn).若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
【變式訓(xùn)練3-6】如圖，在中，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ．
題型四：利用“三線合一”求周長(zhǎng)的最小值
【經(jīng)典例題4】如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．16
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，面積是16，，，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，若為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)M、N，點(diǎn)D是邊的點(diǎn)，點(diǎn)P是上任意一點(diǎn)，連接、，若，則當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，（　　）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是12，腰的垂直平分線分別交，邊于F，E點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為 ．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，等腰的底邊長(zhǎng)為6，面積為12，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值是 ．
【變式訓(xùn)練4-5】于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的周長(zhǎng)存在最小值為 ．
題型五：利用“三線合一”證明
【經(jīng)典例題5】在 中，，是邊上的高，的平分線與相交于點(diǎn) ，求證：點(diǎn)在的平分線上．

【變式訓(xùn)練5-1】如圖，四邊形．
(1)尺規(guī)作圖：作的平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
(2)若，證明：點(diǎn)C 在的平分線上．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在中，，平分 ，點(diǎn)是延長(zhǎng)線一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在中，點(diǎn)E在邊上，，連接，G為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．求證：平分．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，在中，，過的中點(diǎn)作，，垂足分別為、．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練5-5】在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，．
(1)如圖1，求證：平分；
(2)如圖2，過點(diǎn)作，，在不添加其他輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)的全等的直角三角形．
【變式訓(xùn)練5-6】如圖，在中，交于點(diǎn)D．
(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)若，求證：．
題型六：等腰三角形的定義
【經(jīng)典例題6】等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為 ．
【變式訓(xùn)練6-1】若關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組與有相同的解．
(1)求這個(gè)相同的解；
(2)若m，n是一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練6-2】等腰三角形中，，中線把的周長(zhǎng)分成和兩部分，求各邊的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練6-3】（1）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為4，求它的腰長(zhǎng)；
（2）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為10，腰長(zhǎng)為4，求它的底邊長(zhǎng)；
（3）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為12，一邊長(zhǎng)為5，求它的另外兩邊的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練6-4】（1）一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，求其他兩邊的長(zhǎng)．
（2）一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，求其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練6-5】在中，．
(1)求長(zhǎng)度的取值范圍；
(2)若的周長(zhǎng)為偶數(shù)，求的周長(zhǎng)，并判斷此時(shí)的形狀．
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2.2等腰三角形六大題型（一課一講）
【浙教版】
題型一：等邊對(duì)等角
【經(jīng)典例題1】如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若，的周長(zhǎng)為10，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查了線段垂直平分線和等腰三角形的性質(zhì)，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．
（1）由在中，，，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得的度數(shù)，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可求得，繼而求得的度數(shù)，則可求得的度數(shù)；
（2）根據(jù)，，由的周長(zhǎng)為10，代入即可求出答案．
【詳解】（1）解：在中，
，，
，
是的垂直平分線，
，，
；
（2）解：是的垂直平分線，，
，，
，
．
【變式訓(xùn)練1-1】如圖，在中，分別垂直平分邊和邊，交邊于兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．
(1)若，則的周長(zhǎng)為 　　；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等的知識(shí)的運(yùn)用，
（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)，由此即可求解；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，由三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)即可求解．
【詳解】（1）解：∵分別垂直平分邊和邊，
∴，
∴的周長(zhǎng)，
∵，
∴的周長(zhǎng)，
故答案為：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練1-2】 如圖，在中，，于點(diǎn)D，為上一點(diǎn)，連接，使，，求的度數(shù)．
【答案】
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用．根據(jù)等邊對(duì)等角得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，再根據(jù)等邊對(duì)等角得出，最后求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練1-3】如圖，中，，垂直平分，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且．
(1)若，求的度數(shù)；
(2)若周長(zhǎng)，，求長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得出，求出和，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知能推出，即可得出答案．
【詳解】（1）∵，垂直平分，
，
，，
，
，
∵，
；
（2）周長(zhǎng)，，
，
，
，，
，
，
即，
．
【變式訓(xùn)練1-4】如圖，，此時(shí)點(diǎn)A恰好在線段上，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，先利用三角形的內(nèi)角和得到，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到，然后利用等邊對(duì)等角得到，進(jìn)而求出結(jié)果即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練1-5】如圖，，，則 ．
【答案】/75度
【分析】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)．三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；利用等腰三角形的兩個(gè)底角相等結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)逐一求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
同理可求：，
∴，
∴．
故答案為：．
題型二：利用“三線合一”求角度
【經(jīng)典例題2】如圖，、分別是的中線和角平分線，若，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)， 三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義， 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，可得出， 結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出， 最后再根據(jù)角平分線的定義即可得出答案．
【詳解】解：∵是的中線，，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
故選：B．
【變式訓(xùn)練2-1】如圖，中，，，是邊上的中線，且，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【詳解】解：，，
，
，是邊上的中線，
，
，
，
，
，
故選：A
【變式訓(xùn)練2-2】如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，且，那么的度數(shù)為 ．
【答案】/度
【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義得，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵平分，
∴，
∵，是中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
解得：，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練2-3】如圖，在中，，，，且．求的度數(shù)．
【答案】
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的平分線相互重合是解題的關(guān)鍵．由條件可先求得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得．
【詳解】解：，
為等腰三角形，且為底邊上的高，
為的平分線（三線合一），
，
，
，
；
故答案為：.
【變式訓(xùn)練2-4】如圖，在中，，是上的中線，，交于點(diǎn)，如果，那么 °．
【答案】10
【分析】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】解：∵，是上的中線，，
∴，
∵，
∴，
故答案為：10．
題型三：利用“三線合一”求線段和的最小值
【經(jīng)典例題3】如圖，的面積為16，且，，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)，，作直線．已知為的中點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，則的長(zhǎng)度的最小值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三線合一定理，線段垂直平分線的性質(zhì)和尺規(guī)作圖，連接，由三線合一定理得到，再由三角形面積計(jì)算公式得到，由作圖方法可知，垂直平分，則，故當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：如圖所示，連接，
∵在中，，為的中點(diǎn)，
∴，
∵的面積為16，
∴，
∵，
∴；
由作圖方法可知，垂直平分，
∴，
∴，
∴當(dāng)A、D、M三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)有最小值，最小值為的長(zhǎng)，
∴的最小值為8，
故選：C．
【變式訓(xùn)練3-1】如圖，在中，，、是的兩條中線，P是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間線段最短，掌握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是關(guān)鍵．由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得到垂直平分，則，從而得出，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
，是的中線，
，，
垂直平分，
，
，
即的最小值是線段的長(zhǎng)，
故選：C．
【變式訓(xùn)練3-2】如圖，在等腰三角形中，，，點(diǎn)D為垂足，E、F分別是、上的動(dòng)點(diǎn)．若，的面積為12，則的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱—最短路線問題，垂線段最短．解此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N，從而可確定，即最小時(shí)，最小．再根據(jù)垂線段最短可知的長(zhǎng)即為最小時(shí)，最后根據(jù)三角形面積公式求出的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N，
∴，
∴，
∴最小時(shí)，最小．
當(dāng)時(shí)最小，即為的長(zhǎng)，
∵，，
∴，
∴的最小值是4．
故選B．
【變式訓(xùn)練3-3】如圖，在中，，平分，交于點(diǎn)，點(diǎn)分別為上的動(dòng)點(diǎn)，若，的面積為，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，垂線段最短，根據(jù)等腰三角形的軸對(duì)稱性可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，由此可得，又由“兩點(diǎn)之間線段最短”和“垂線段最短”可得當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)最短，根據(jù)三角形的面積公式可求出的長(zhǎng)，即的最小值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】如圖，連接，
∵在中，，平分，
∴，，
∴線段所在直線是等腰三角形的對(duì)稱軸，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
∴，
∴，
如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)， ，此時(shí)最小，即的值最小，
∵，
∴，解得，
∴的最小值為，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練3-4】如圖，中，，，是邊上的中線且，F(xiàn)是上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短，作E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于F，連接，過C作于N，根據(jù)三線合一定理求出的長(zhǎng)和，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)對(duì)稱性求出，根據(jù)垂線段最短得出，即可得出答案．
【詳解】解：作E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于F，連接，過C作于N，
，
∵，，是邊上的中線，
∴，，平分，
∴M在AB上，
在中，，
∴，
∴，
∵E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，
∴，
∴，
根據(jù)垂線段最短得出：，
即，
即的最小值是，
故答案為：．
【變式訓(xùn)練3-5】如圖，在中，，面積是14，的垂直平分線分別交邊于E、F點(diǎn).若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
【答案】7
【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問題、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
如圖：連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，故；再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長(zhǎng)為的最小值，然后運(yùn)用等面積求的的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：如圖：連接，
∵是等腰三角形，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，
∴，
∴，解得，
∵是線段的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴的長(zhǎng)為的最小值，
∴的最小值為7．
故答案為7．
【變式訓(xùn)練3-6】如圖，在中，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是 ．
【答案】9.6
【分析】本題考查了軸對(duì)稱——最短路線問題、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，線段垂直平分線的性質(zhì)．連接，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到當(dāng)點(diǎn)B，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，且當(dāng)時(shí)，最小，再由，求出的長(zhǎng)，即可．
【詳解】解：如圖，連接，，
∵，是的平分線，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)B，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為的長(zhǎng)，且當(dāng)時(shí)，最小，
∵，
∴，
∴．
故答案為：9.6
題型四：利用“三線合一”求周長(zhǎng)的最小值
【經(jīng)典例題4】如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是16，腰的垂直平分線分別交邊于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（　　）
A．6 B．8 C．10 D．16
【答案】C
【分析】本題考查的是軸對(duì)稱——最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
連接，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接，，
∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
解得，
∵是線段的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
則，
，
∴的長(zhǎng)為的最小值，
∴周長(zhǎng)的最小值為．
故選：C．
【變式訓(xùn)練4-1】如圖，面積是16，，，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，若為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
連接，，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得，，，則有，要使的周長(zhǎng)為最小值，只需、、三點(diǎn)共線，進(jìn)而問題可求解．
【詳解】解：連接，，如圖所示：
，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，，
面積是16，
，
，
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱，
，
，
要使的周長(zhǎng)為最小值，只需、、三點(diǎn)共線，即，
的周長(zhǎng)為最小值為．
故選：B．
【變式訓(xùn)練4-2】如圖，在中，，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)M、N，點(diǎn)D是邊的點(diǎn)，點(diǎn)P是上任意一點(diǎn)，連接、，若，則當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查軸對(duì)稱的最短路線問題，線段垂直垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．熟練運(yùn)用垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
連接，根據(jù)線段垂直垂直平分線的性質(zhì)可知，．所以，由此可知當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)，最小．再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知為的平分線，即．最后根據(jù)三角形外角性質(zhì)即得出答案．
【詳解】解：如圖，連接．
∵垂直平分，
∴，，
∴，
當(dāng)A、P、D在同一直線上時(shí)，最小，最小值為．
∴周長(zhǎng)最小值．
∵，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，
∴為的平分線，
∴，
∵，
∴．
故選：D．
【變式訓(xùn)練4-3】如圖，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，面積是12，腰的垂直平分線分別交，邊于F，E點(diǎn)．若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為 ．
【答案】8
【分析】本題考查的是軸對(duì)稱—最短路線問題．連接，，由于是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線，可知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接，，
是等腰三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
，
解得：，
是線段的垂直平分線，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，
∴，
周長(zhǎng)的最小值．
故答案為：8．
【變式訓(xùn)練4-4】如圖，等腰的底邊長(zhǎng)為6，面積為12，邊的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小值是 ．
【答案】7
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱解決線段和最小問題．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．連接，的周長(zhǎng)為，為定值，要使的周長(zhǎng)最小，則的值最小，的垂直平分線為，得到，說明，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，最小，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵的周長(zhǎng)為，為定值，
∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的周長(zhǎng)最小，
連接，
∵的垂直平分線為，
∴，
∴，
∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，
∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周長(zhǎng)的最小值為：
．
故答案為：7．
【變式訓(xùn)練4-5】于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的周長(zhǎng)存在最小值為 ．
【答案】11
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．連接，，由于是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，故，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線段的垂直平分線可知，得出 ，推出，故的長(zhǎng)為的最小值，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：連接，，
∵是等腰三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
解得，
∵是線段的垂直平分線，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)為的最小值，
∴的周長(zhǎng)最短為：，
故答案為：11．
題型五：利用“三線合一”證明
【經(jīng)典例題5】在 中，，是邊上的高，的平分線與相交于點(diǎn) ，求證：點(diǎn)在的平分線上．

【答案】證明見解析
【分析】本題主要考查了三線合一定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，連接，先由三線合一定理得到，證明得到，則，再由角平分線的定義得到，則，據(jù)此可證明結(jié)論．
【詳解】證明：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵是邊上的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵的平分線與相交于點(diǎn)，
∴，
∴，
∴點(diǎn)在的平分線上．
【變式訓(xùn)練5-1】如圖，四邊形．
(1)尺規(guī)作圖：作的平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
(2)若，證明：點(diǎn)C 在的平分線上．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的判定，三線合一定理：
（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；
（2）可證明垂直平分，由三線合一定理可知平分，即點(diǎn)C 在的平分線上．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）證明：如圖所示，連接，
∵，
∴垂直平分，
∴由三線合一定理可知平分，
∴點(diǎn)C 在的平分線上．
【變式訓(xùn)練5-2】如圖，在中，，平分 ，點(diǎn)是延長(zhǎng)線一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查三線合一，三角形的內(nèi)角和定理，三線合一得到，平角結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定義，得到，得到，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，平分 ，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練5-3】如圖，在中，點(diǎn)E在邊上，，連接，G為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．求證：平分．
【答案】見解析
【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得是的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得是的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，等邊對(duì)等角得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，等量代換即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵，G為的中點(diǎn)，
∴，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
【變式訓(xùn)練5-4】如圖，在中，，過的中點(diǎn)作，，垂足分別為、．
(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)110度
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形“三線合一”，“等邊對(duì)等角”，角平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等，以及三角形的內(nèi)角和是180度，是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，根據(jù)“三線合一”得出平分，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求證；
（2）先根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余得出，再根據(jù)“等邊對(duì)等角”得出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
，D是的中點(diǎn)，
平分，
，，
．
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
【變式訓(xùn)練5-5】在中，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接，，．
(1)如圖1，求證：平分；
(2)如圖2，過點(diǎn)作，，在不添加其他輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)的全等的直角三角形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）利用證明得出，即可得證；
（2）由角平分線的性質(zhì)定理得出，即可證明，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，即可證明，．
【詳解】（1）證明：在和中，
，
∴，
∴，即，
∴平分；
（2）解：由（1）可得：平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴；
∵，平分，
∴，
在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴．
【變式訓(xùn)練5-6】如圖，在中，交于點(diǎn)D．
(1)尺規(guī)作圖：作的垂直平分線，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)若，求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】此題主要考查了基本作圖—線段垂直平分線的作法與等腰三角形的性質(zhì)．
（1）直接利用線段的垂直平分線的作法得出答案；
（2）結(jié)合作圖與已知可得再由等腰三角形的“三線合一”可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖所示：直線即為所求；
（2）解：垂直平分，
，
又，
．
題型六：等腰三角形的定義
【經(jīng)典例題6】等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則該等腰三角形的頂角的度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問題要全面，必要的時(shí)候可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中．本題要分情況討論．當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角或者等腰三角形的頂角是銳角兩種情況．
【詳解】解：當(dāng)為鈍角三角形時(shí)．
①當(dāng)為銳角三角形時(shí)，如圖1，
，，
，
三角形的頂角為；
②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，如圖2，
，，
，
，
三角形的頂角為，
該等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．
故答案為：或．
【變式訓(xùn)練6-1】若關(guān)于x，y的兩個(gè)方程組與有相同的解．
(1)求這個(gè)相同的解；
(2)若m，n是一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)等腰三角形的周長(zhǎng)為
【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值.
（1）聯(lián)立兩方程組中不含，的方程組成方程組，求出方程組的解即可；
（2）把與的值代入含, 的方程求出, 的值，利用等腰三角形的性質(zhì)分類討論，結(jié)合構(gòu)成三角形的條件，即可求出周長(zhǎng).
【詳解】（1）解：根據(jù)題意聯(lián)立：，
解得： ；
（2）解：把 代入得：，
解得：，
若為腰，為底，則三角形三邊長(zhǎng)為，
，不能構(gòu)成三角形；
若為底，為腰，則三角形三邊長(zhǎng)為，
，能構(gòu)成三角形，則周長(zhǎng)為；
綜上，等腰三角形的周長(zhǎng)為.
【變式訓(xùn)練6-2】等腰三角形中，，中線把的周長(zhǎng)分成和兩部分，求各邊的長(zhǎng)．
【答案】
【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，
根據(jù)題意，是中線，則，分類討論：當(dāng)，則，分別求出，根據(jù)三角形三邊數(shù)量關(guān)系即可求解；當(dāng)，則，分別求出，根據(jù)三角形三邊數(shù)量關(guān)系即可求解；
【詳解】解：如圖，是中線，則，
∵，
∴，
當(dāng)，則，
∴，則底邊，
三角形的三邊分別為，
∵，
∴能組成三角形；
當(dāng)，則，
∴，則底邊，
三角形的三邊分別為，
∵，
∴不能組成三角形，
綜上所述，各邊的長(zhǎng)分別為．
【變式訓(xùn)練6-3】（1）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為10，底邊長(zhǎng)為4，求它的腰長(zhǎng)；
（2）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為10，腰長(zhǎng)為4，求它的底邊長(zhǎng)；
（3）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為12，一邊長(zhǎng)為5，求它的另外兩邊的長(zhǎng)．
【答案】（1）3；（2）2；（3）、或5、2
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，分類討論是解題關(guān)鍵．
（1）由等腰三角形的周長(zhǎng)是10，則底邊長(zhǎng)4，根據(jù)等腰三角形的兩腰相等，即可求得其腰長(zhǎng)的值；
（2）由已知條件，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及周長(zhǎng)公式即可求得其底邊長(zhǎng)；
（3）已知給出的等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5，但沒有明確指明是底邊還是腰，因此要分兩種情況，分類討論解答．
【詳解】解：（1）∵等腰三角形的底邊長(zhǎng)為4，周長(zhǎng)為10，
∴腰長(zhǎng)為；
（2）∵等腰三角形的周長(zhǎng)為10，其腰長(zhǎng)為4，
∴它的底邊長(zhǎng)為．
（3）∵等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5，周長(zhǎng)為12，
∴當(dāng)5為底時(shí)，其它兩邊都為3.5、3.5，
∵，
∴、、5可以構(gòu)成三角形；
當(dāng)5為腰時(shí)，其它兩邊為5和2，
∵，
∴5、5、2可以構(gòu)成三角形．
故另兩邊是、或5、2．
【變式訓(xùn)練6-4】（1）一個(gè)等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，求其他兩邊的長(zhǎng)．
（2）一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，求其他兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．
【答案】（1），或，；（2），
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，構(gòu)成三角形的條件，三角形的內(nèi)角和定理；
（1）分底邊或者腰長(zhǎng)為，結(jié)合構(gòu)成三角形的條件，分類討論，即可求解；
（2）根據(jù)等腰三角形的定義，三角形內(nèi)角和定理，即可求解．
【詳解】解：（1）當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為 時(shí)，
腰長(zhǎng)為．
所以另兩邊的長(zhǎng)為， ，能構(gòu)成三角形；
當(dāng)腰長(zhǎng)為 ，底邊長(zhǎng)為．
所以另兩邊的長(zhǎng)為 ， ，能構(gòu)成三角形．
綜上，其他兩邊的長(zhǎng)是，或，．
（2）由題意，知只能頂角為，則底角度數(shù)為．
故其他兩個(gè)內(nèi)角度數(shù)是，．
【變式訓(xùn)練6-5】在中，．
(1)求長(zhǎng)度的取值范圍；
(2)若的周長(zhǎng)為偶數(shù)，求的周長(zhǎng)，并判斷此時(shí)的形狀．
【答案】(1)
(2)的周長(zhǎng)為16，是等腰三角形
【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，三角形的分類：
（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)（1）中的范圍，結(jié)合的周長(zhǎng)為偶數(shù)，得到，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵在中，
∴，
∴；
（2）∵的周長(zhǎng)為偶數(shù)，為奇數(shù)，
∴的長(zhǎng)為奇數(shù)，
∵，
∴，
∴的周長(zhǎng)為，是等腰三角形．
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