資源簡介

課堂導學（變化率及導數(shù)的概念）
【知識點】
1.瞬時速度的概念：物體在 的速度稱為瞬時速度.
2.平均變化率的概念：對于函數(shù)，設自變量從變化到，相應地，函數(shù)值就從變化到 . 這時，的變化量為，的變化量為 ，把比值，即 叫做函數(shù)從到的平均變化率.
3.瞬時變化率（導數(shù)的物理意義）的概念：如果當時，平均變化率無限趨近于一個 的值，即有極限，則稱在處可導，并把這個確定的值叫做在處的 （也稱為瞬時變化率），記作 或，即.
4.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導數(shù) 就是在點的斜率，即.這就是導數(shù)的幾何意義.
【典例】
例1.（課本P59改編）全紅嬋在一次跳水中，身體重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在函數(shù)關系，記為，請回答以下問題：
（1）全紅嬋參加的項目是（ ）
A.女子三米跳板 B.女子十米跳臺 C.男子三米跳板 D.男子十米跳臺
（2）當 時，全紅嬋達到最高，最高時 ；
（3）計算全紅嬋從起跳到達到最高點的這個時段的平均速度為 ；
（4）計算當，全紅嬋的平均速度 ；
（5）當時，
①在之前或之后任意取一個時刻（且）
計算與之間的平均速度 ；
②當無限趨近與0是，無限趨近于定值 ，即為全紅嬋在時的瞬時速度.
例2.已知函數(shù)，回答以下問題
（1）當時候，函數(shù)的平均變化率為 ；
（2）當時候，函數(shù)的平均變化率為 ；
（3）當時，函數(shù)的瞬時變化率為 .
例3.（割線斜率與切線斜率）已知函數(shù)，回答以下問題
（1）函數(shù)在與（且）兩點間的割線斜率為 ；
（2）當無限趨近與0是，割線斜率無限趨近于定值 ，即為在時的切線斜率；
（3）當時，函數(shù)的切線斜率為 .
例4.已知函數(shù)，求在處的切線方程.
【作業(yè)】
一、選擇題
1. 函數(shù)，當自變量由變化到時，函數(shù)的變化率
（A） （B）
（C） （D）
2.若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為4，則m的值為( )
A.-5 B.-3 C.3 D.5
3.曲線在點處的切線方程為( )
A. B.
C. D.
4. 在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點（1，2）及附近一點（1＋Δx，2＋Δy），則為（　　）
A. Δx＋＋2　　　　 B. Δx－－2
C. Δx＋2 D. 2＋Δx－
5.（多選題）若當時，，則下列結論中正確的是( )
A.當時，
B.當時，
C.曲線上點處的切線斜率為-1
D.曲線上點處的切線斜率為-2
二、填空題
6. 汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示。在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，，，其三者的大小關系是________。
三、解答題
7.若一物體運動方程如下（位移：m，時間：s）：
求：（1）物體在t∈[3，5]內的平均速度；
（2）物體在t＝1時的瞬時速度；
（3）物體的初速度v0。
8.求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的切線方程課堂導學
（5.1變化率問題、導數(shù)的概念及其幾何意義）
【知識點】
1.瞬時速度的概念：物體在 某一時刻 的速度稱為瞬時速度.
2.平均變化率的概念：對于函數(shù)，設自變量從變化到，相應地，函數(shù)值就從變化到 . 這時，的變化量為，的變化量為 ，把比值，即 叫做函數(shù)從到的平均變化率.
3.瞬時變化率（導數(shù)的物理意義）的概念：如果當時，平均變化率無限趨近于一個 確定 的值，即有極限，則稱在處可導，并把這個確定的值叫做在處的 導數(shù) （也稱為瞬時變化率），記作
或，即.
4.導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在處的導數(shù) 就是在點的斜率，即.這就是導數(shù)的幾何意義.
【典例】
例1.（課本P59改編）全紅嬋在一次跳水中，身體重心相對于水面的高度（單位：）與起跳后的時間（單位：）存在函數(shù)關系，記為，請回答以下問題：
（1）全紅嬋參加的項目是（ B ）
A.女子三米跳板 B.女子十米跳臺 C.男子三米跳板 D.男子十米跳臺
（2）當 時，全紅嬋達到最高，最高時 ；
（3）計算全紅嬋從起跳到達到最高點的這個時段的平均速度為 ；
（4）計算當，全紅嬋的平均速度 ；
（5）當時，
①在之前或之后任意取一個時刻（且）
計算與之間的平均速度 ；
②當無限趨近于0時，無限趨近于定值 ，即為全紅嬋在時的瞬時速度.
解：（1）當時，，所以身體重心離水面11米，是十米跳臺；
（2）拋物線的對稱軸公式時，；
（3）即當時，（米/秒）
（4）當時，；
（5）①
②當無限趨近于0時，無限趨近于定值，即為全紅嬋在時的瞬時速度.
總結：平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯(lián)系
1.區(qū)別：瞬時速度刻畫物體在某一時刻的運動狀態(tài)，而平均速度則是刻畫物體在某一段時間內的運動狀態(tài)，與該段時間內的某一時刻無關；
2.聯(lián)系：瞬時速度是平均速度的極限值.
例2.已知函數(shù)，回答以下問題
（1）當時候，函數(shù)的平均變化率為 ；
（2）當時候，函數(shù)的平均變化率為 ；
（3）當時，函數(shù)的瞬時變化率為 .
解：（1）；
（2）；
（3）先算
再取極限，當時，
導數(shù)的定義：對于函數(shù)，記，
若當無限趨近于0時，無限趨向于一個確定的值，則記這個值為，即.
例3.（割線斜率與切線斜率）已知函數(shù)，回答以下問題
（1）函數(shù)在與（且）兩點間的割線斜率為 ；
（2）當無限趨近與0是，割線斜率無限趨近于定值 ，即為在時的切線斜率；
（3）當時，函數(shù)的切線斜率為 .
例4.已知函數(shù)，求在處的切線方程.
【作業(yè)】
三、練習檢測
1. 函數(shù)，當自變量由變化到時，函數(shù)的變化率（ D）
（A） （B）
（C） （D）
2.若函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為4，則m的值為( C )
A.-5 B.-3 C.3 D.5
2.答案：C
解析：由題意，得，即，解得.
3.曲線在點處的切線方程為( C )
A. B.
C. D.
3.答案：C
解析：因為，則曲線在點處的切線斜率，則切線方程為，即為.
4. 在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點（1，2）及附近一點（1＋Δx，2＋Δy），則為（　C　）
A. Δx＋＋2　　　　 B. Δx－－2
C. Δx＋2 D. 2＋Δx－
4.【答案】C
【解析】∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝（1＋Δx）2＋1－2＝2Δx＋（Δx）2，∴＝2＋Δx。
5.（多選）若當時，，則下列結論中正確的是( AD )
A.當時，
B.當時，
C.曲線上點處的切線斜率為-1
D.曲線上點處的切線斜率為-2
5.答案：AD
解析：由題意，得曲線上點處的切線斜率為-2，故C錯誤，D正確；當時，，則當時，，故A正確，B錯誤.故選AD.
6. 汽車行駛的路程s和時間t之間的函數(shù)圖象如圖所示。在時間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，，，其三者的大小關系是________。
6.【答案】3>2>1
【解析】∵，，
由圖象可知：kMA2>1。
3、解答題
7.若一物體運動方程如下（位移：m，時間：s）：
求：（1）物體在t∈[3，5]內的平均速度；
（2）物體在t＝1時的瞬時速度；
（3）物體的初速度v0。
【思路分析】（1）求，注意解析式的選擇。
（2）先求，再求瞬時速度s′（1）。
（3）初速度v0為t＝0時的瞬時速度s′（0）。
【解析】（1）∵物體在t∈[3，5]內的時間變化量為Δt＝5－3＝2，
∴物體在t∈[3，5]內的位移變化量為
Δs＝3×52＋2－（3×32＋2）＝3×（52－32）＝48，
∴物體在t∈[3，5]上的平均速度為
＝＝24（m/s）。
（2）物體在t＝1時的瞬時速度即為函數(shù)在t＝1處的瞬時變化率。
∵物體在t＝1附近的平均變化率為
，
∴物體在t＝1處的瞬時變化率為
s′（1）＝ ＝ （3Δt－12）＝－12（m/s），
即物體在t＝1時的瞬時速度為－12 m/s。
（3）求物體的初速度v0即求物體在t＝0時的瞬時速度。
∵物體在t＝0附近的平均變化率為
，
∴物體在t＝0處的瞬時速度為
s′（0）＝ ＝ （3Δt－18）＝－18 （m/s），
即物體的初速度為－18 m/s。
8.求函數(shù)y＝3x2在x＝1處的切線方程.
【思路分析】求函數(shù)f（x）在任意點處的導數(shù)都應先求平均變化率，再求f′（x0）。
【解析】 ∵Δy＝f（1＋Δx）－f（1）＝3（1＋Δx）2－3＝6Δx＋3（Δx）2，
∴＝6＋3Δx，
∴f′（1）＝＝（6＋3Δx）＝6。
所以y＝3x2在x＝1處的切線的斜率，
且當x＝1時，，即切點為，
由直線方程的點斜式得，切線方程為，即.

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