資源簡介

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一次函數十六大必考點
【考點1 （一次)函數的概念】 1
【考點2 判斷一次函數的圖像】 2
【考點3 根據一次函數的性質求參數】 3
【考點4 一次函數圖像上點的坐標特征】 4
【考點5 確定一次函數經過的象限】 4
【考點6 根據一次函數的性質判斷結論正誤】 5
【考點7 根據一次函數的性質比較函數值大小】 6
【考點8 根據一次函數的性質比較自變量大小】 6
【考點9 根據一次函數性質確定參數取值范圍】 7
【考點10 一次函數與坐標軸的交點與面積綜合】 7
【考點11 一次函數的平移】 8
【考點12 確定一次函數解析式】 9
【考點13 一次函數性質的實際應用】 9
【考點14 一次函數圖像的實際運用】 11
【考點15 一次函數的新定義問題】 13
【考點16 一次函數的規律探究】 14
【考點1 （一次)函數的概念】
【例1】（上海市奉賢區聯考2022-2023學年八年級上學期期末考試數學試卷）下列所述不屬于函數關系的是（ ）
A．長方形的面積一定，它的長和寬的關系 B．與x的關系
C．勻速運動的火車，時間與路程的關系 D．某人的身高和體重的關系
【變式1-1】（2022·湖南·長沙市華益中學八年級期末）下列曲線中，能表示y是x的函數的是（ ）
A．B．C． D．
【變式1-2】（2021·陜西安康·八年級期末）在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-3】（2022·湖南·武岡市教育科學研究所八年級期末）已知函數 是正比例函數，則=_____________．
【考點2 判斷一次函數的圖像】
【例2】（2022·安徽·金寨縣天堂寨初級中學八年級階段練習）一次函數 與正比例函數 （m，n為常數、且 ）在同一平面直角坐標系中的圖可能是（　?。?br/>A．B．C．D．
【變式3-1】（2022·黑龍江·哈爾濱順邁學校八年級期末）如圖，同一直角坐標系中，能表示一次函數y=x+kb和y=kx+b（k、b為常數，且 k≠0）的圖象是（ ）
A．B．C．D．
【變式3-2】（2022·陜西·西工大附中分校八年級期末）若直線經過第一、二、四象限，則函數的大致圖像是( )
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）直線和的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考點3 根據一次函數的性質求參數】
【例3】（2022·河北·晉州市第七中學八年級期末）已知正比例函數的圖像上一點，且，則m的值可能是（ ）
A．-0.5 B．0 C．1 D．1.5
【變式3-1】（2022·江蘇南通·八年級期末）已知一次函數，當時，；當時，．則________．
【變式3-2】（2022·湖北·嘉魚縣教學研究室八年級期末）已知函數（m為常數）．
(1)當m滿足條件__________時，變量y是變量x的一次函數；
(2)當m滿足條件__________時，函數圖象經過點；
(3)當m滿足條件__________時，y隨x的增大而減?。?br/>(4)當m滿足條件__________時，函數圖象與y軸的交點在x軸的上方；
【變式3-3】（2022·安徽·八年級期末）在平面直角坐標系中，點O（0，0），A（5，3），B（4，0），直線y＝mx﹣5m+3將△OAB分成面積相等的兩部分，則m的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
【考點4 一次函數圖像上點的坐標特征】
【例4】（2022·廣東湛江·八年級期末）已知正比例函數，當時，，則下列各點在該函數圖像上的是（　?。?br/>A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（3，1） D．（﹣3，1）
【變式4-1】（2022·重慶市璧山中學校八年級期末）直線經過點（1，a），則a=_________．
【變式4-2】（2022·天津市紅橋區教師發展中心八年級期末）已知一次函數（，為常數，）的圖象經過點，．
(1)求該一次函數的解析式；
(2)判斷點，是否在該一次函數的圖象上，并說明理由．
【變式4-3】（2022·浙江·杭州江南實驗學校三模）一次函數（a為常數，且a≠0）．
(1)若點（﹣1，3）在一次函數的圖像上，求a的值；
(2)若，當時，函數有最大值5，求出此時一次函數的表達式；
(3)對于一次函數（），若對任意實數x，都成立，求k的取值范圍．
【考點5 確定一次函數經過的象限】
【例5】（2022·山東菏澤·八年級期末）一次函數（k，b為常數）的圖像經過點P（－2，－1）且y隨著x的增大而減小，則該圖像不經過的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式5-1】（2022·上海市梅隴中學九年級期末）已知直線ykxb經過第一、三、四象限，那么直線ybxk一定不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式5-2】（2022·湖北·武漢外國語學校美加分校八年級階段練習）若一次函數y=kx+b(k、b是常數)的圖象不經過第二象限，則一次函數的圖象（ ）
A．過二、三、四象限 B．過二、四象限 C．不過第一象限 D．不過第三象限
【變式5-3】（2022·河南·商水縣希望初級中學八年級期末）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為，關于軸對稱的點的坐標為，則一次函數的圖象不經過的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考點6 根據一次函數的性質判斷結論正誤】
【例6】（2022·黑龍江·林口縣教師進修學校八年級期末）將直線向上平移2個單位長度后得到直線y＝kx＋b，則下列關于直線y＝kx＋b的說法正確的是（ ）
A．直線經過一、三、四象限 B．y隨x的增大而減小
C．與y軸交于（2，0） D．與x軸交于（－4，0）
【變式6-1】（2022·河南·長葛市教學研究室八年級期末）下列說法正確的是（ ）
A．一次函數的圖像不經過第三象限
B．一次函數的圖象與x軸的交點坐標是
C．一個正比例函數的圖像經過，則它的表達式為
D．若，在直線上，且，則；
【變式6-2】（2022·江蘇淮安·八年級期末）關于一次函數的圖像如圖所示，圖像與軸、軸的交點分別為、，以下說法：
①點坐標是；②隨的增大而增大；③的面積為；④直線可以看作由直線向下平移1個單位得到．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式6-3】（2022·河北·易縣易州九年一貫制學校八年級期末）關于自變量x的函數y＝（k－3）x＋2k，下列結論：
①當k≠3時，此函數是一次函數；
②無論k取什么值，函數圖象必經過點（－2，6）；
③若函數經過二、三、四象限，則k的取值范圍是k＜0；
④若函數圖象與x軸的交點始終在正半軸，則k的取值范圍是k＜3
其中結論正確的序號是__________．
【考點7 根據一次函數的性質比較函數值大小】
【例7】（2022·陜西·西安高新一中實驗中學八年級期末）設一次函數y＝kx+3k﹣5（k≠0），對任意兩個k的值，分別對應兩個一次函數．若＜0，當x＝m時，取相應中較小值p，則p的最大值是（　　）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣2 D．0
【變式7-1】（2022·四川成都·八年級期末）一次函數的圖像交x軸于點A．交y軸于點B，在的圖像上有兩點、，若，則下列式子中正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【變式7-2】（2022·遼寧鞍山·九年級階段練習）定義，當時，，當時，；已知函數，則該函數的最小值是______．
【變式7-3】（2022·福建廈門·八年級期末）已知一次函數．
(1)在平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；
(2)若，點，都在一次函數的圖象上，試比較與的大小，并說明理由．
【考點8 根據一次函數的性質比較自變量大小】
【例8】（2022·四川成都·三模）一次函數和的圖像交于點（a，n），直線y＝n﹣1與和的圖像分別交于點（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，則a、b、c從大到小排列應為________．
【變式8-1】（2022·福建·廈門市翔安區教師進修學校（廈門市翔安區教育研究中心）八年級期末）點是一次函數圖像上兩點，則a_____b（填“>”、“=”或”<”）．
【變式8-2】（2022·廣東梅州·八年級期末）若點A（，－1），B（，－3），C（，4）在一次函數y＝－2x＋m（m是常數）的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
【變式8-3】（2022·吉林·敦化市第三中學校八年級階段練習）已知一次函數的圖象不經過第三象限，且m為正整數．
(1)求m的值；
(2)當時，求x的取值范圍．
【考點9 根據一次函數性質確定參數取值范圍】
【例9】（2022·福建廈門·八年級期末）已知一次函數y＝kx＋b－x的圖像與x軸的負半軸相交，且函數值y隨自變量x的增大而減少，則k，b的取值情況為（ ）
A．k＜1，b＜0 B．k＜1，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【變式9-1】（2022·河南安陽·八年級期末）函數（k是常數，）的圖象上有兩個點，，且，則k的取值范圍為______．
【變式9-2】（2022·湖南永州·八年級期末）如圖，直線y=kx+b，與y軸交于點（0，3）與x軸交于點（a，0）當-2 ≤ a < 0時，k的取值范圍是（　?。?br/>A．-1≤k<0 B．1≤k≤3 C．k≥3 D．k≥
【變式9-3】（2022·福建泉州·八年級期末）已知過點（1，2）的直線y＝mx+n（m≠0）不經過第四象限，設t＝m+3n，則t的取值范圍為（ ）
A．2＜t＜6 B．2≤t＜6 C．2＜t≤6 D．2≤t≤6
【考點10 一次函數與坐標軸的交點與面積綜合】
【例10】（2022·山東·昌樂縣教學研究室八年級期末）已知直線（b為常數）與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，則直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【變式10-1】（2022·重慶市育才中學八年級期末）將直線y＝﹣x+6向下平移2個單位，平移后的直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，點O為坐標原點，則S△ABO＝_____．
【變式10-2】（2022·廣東·佛山市南海區獅山鎮大圃初級中學八年級階段練習）如圖，直線：＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P（m，3）為直線上一點，另一直線：=x+b過點P，與x軸交于點C．
(1)直接寫出m和b的值及點A、點C的坐標；
(2)若動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動．設點Q的運動時間為t秒．
①當點Q在運動過程中，請直接寫出△APQ的面積S與t的函數關系式；
②求出當t為多少時，△APQ的面積等于3．
【變式10-3】（2022··八年級期末）已知直線，的函數表達式分別為，．
(1)若直線經過點，求函數的表達式
(2)若直線經過第一、二、四象限，求k的取值范圍．
(3)設直線與x軸交于點A，直線與x軸交于點B，與交于點C，當△ABC的面積等于1.5時，求k的值．
【考點11 一次函數的平移】
【例11】（2022·陜西師大附中八年級期末）已知一次函數的圖象過第一、二、四象限，且與軸交于點，則關于的不等式的解集為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式11-1】（2022·黑龍江鶴崗·八年級期末）已知把一次函數的圖象向右平移個單位長度，則平移后圖象的函數解析式為______．
【變式11-2】（2022·江蘇無錫·八年級期末）若一次函數y＝2x+b的圖像向上平移5個單位恰好經過點（﹣1，4），則b的值為 _____．
【變式11-3】（2022·江蘇·八年級專題練習）已知直線，記為．
(1)填空：直線可以看做是由直線向______平移______個單位得到；
(2)將直線沿x軸向右平移4個單位得到直線，解答下列問題：
①求直線的函數解析式；
②若x取任意實數時，函數的值恒大于直線的函數值，結合 圖象求出m的取值范圍．
【考點12 確定一次函數解析式】
【例12】（2022·廣西貴港·八年級期末）若一次函數的圖象與直線平行，且過點，則該直線的表達式為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-1】（2022·吉林·敦化市第三中學校八年級階段練習）已知與成正比例，且當時，．
(1)寫出y與x之間的函數關系式；
(2)求當時，y的值．
【變式12-2】（2022·湖北荊州·八年級期末）已知一次函數．
(1)若該函數是正比例函數，求這個一次函數的解析式；
(2)若該函數的圖象經過一、二、四象限，且為整數，求這個一次函數的解析式．
【變式12-3】（2022·吉林·長春市赫行實驗學校九年級階段練習）如圖，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，當直線y＝x＋b與△ABC有交點時，b的取值范圍是________．
【考點13 一次函數性質的實際應用】
【例13】（2022·福建省福州第四十中學九年級開學考試）某校準備防疫物資時需購買A、B兩種抑菌免洗洗手液，若購買A種免洗液2瓶和B種免洗液3瓶，共需90元；若購買A種免洗液3瓶和B種免洗液5瓶，共需145元．
(1)求A、B兩種免洗液每瓶各是多少元？
(2)學校計劃購買A、B兩種免洗液共1000瓶，購買費用不超過17000元，且A種免洗液的數量不大于620瓶．設購買A種免洗液m瓶，購買費用為w元，求出w（元）與m（瓶）之間的函數關系式，求出自變量m的取值范圍，并確定最少費用w的值．
【變式13-1】（2022·吉林·測試·編輯教研五九年級階段練習）小穎家今年種植的草莓喜獲豐收，采摘上市16天全部銷售完．小穎對銷售情況進行統計后發現，在該草莓上市第x天（x取整數）時，日銷售量y（單位：千克）與x之間的函數關系式為y，草莓價格m（單位：元/千克）與x之間的函數關系如圖所示．
(1)求第15天小顆家草莓的日銷售量．
(2)求當4≤x≤12時，草莓價格m與x之間的函數關系式．
(3)試比較第7天與第11天的銷售金額哪天多？
【變式13-2】（2022·貴州省三穗中學八年級期末）A校和B校分別有庫存電腦12臺和6臺，現決定支援給C校10臺和D校8臺，從A校運一臺電腦到C校的運費是40元，到D校是80元；從B校運一臺電腦到C校的運費是30元，到D校是50元．設A校運往C校的電腦為臺，總運費為W元．
(1)寫出W關于的函數關系式；
(2)從A、B兩校調運電腦到C、D兩校有多少種調運方案？
(3)求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少？
【變式13-3】（2022·浙江·金華市第五中學八年級期末）為了爭創全國文明衛生城市，優化城市環境，某市公交公司決定購買一批共10臺全新的混合動力公交車，現有A、B兩種型號，其中每臺的價格，年省油量如下表：
A B
價格（萬元/臺） a b
節省的油量（萬升/年） 2.4 2
經調查，購買一臺A型車比買一臺B型車多20萬元，購買2臺A型車比買3臺B型車少60萬元．
(1)請求出a和b；
(2)若購買這批混合動力公交車（兩種車型都要有）每年能節省的汽油最大為22.4升，請問有哪幾種購車方案？
(3)求（2）中最省線的購買方案所需的購車款．
【考點14 一次函數圖像的實際運用】
【例14】（2022·黑龍江·肇源縣第四中學七年級期末）甲乙兩人同時登山，甲、乙兩人距地面的高度（米）與登山時間（分）之間的函數圖象如圖所示，根據圖象所提供的信息解答下列問題：
(1)甲登山的速度是每分鐘______米，乙在地提速時距地面的高度為______米．
(2)請分別求出乙提速前、甲登山全過程中，登山時距地面的高度（米）與登山時間（分）之間的函數關系式．
(3)若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，則乙從出發到到達山頂需要多長時間？
【變式14-1】（2022·全國·八年級單元測試）快車從甲地駛向乙地，慢車從乙地駛向甲地，兩車同時出發行駛在同一條公路上．途中快車休息1小時后加速行駛，比慢車提前0.5小時到達目的地；慢車沒有休息，保持勻速行駛．設慢車行駛的時間為（單位：小時），快車行駛的路程為（單位：千米），慢車行駛的路程為（單位：千米）．圖中折線表示與之間的函數關系，線段表示與之間的函數關系．請結合圖象信息，解答下列問題：
(1)甲、乙兩地相距 千米，快車休息前的速度是 千米時，慢車的速度是 千米時；
(2)求圖中線段所表示的與之間的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；
(3)直接寫出兩人相距30千米時的值．
【變式14-2】（2022·安徽·無為縣實驗中學八年級階段練習）甲、乙兩人在筆直的公路上同起點、同終點、同方向勻速步行1200米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發3分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人之間的距離y（米）與甲出發的時間t（分）之間的關系如圖所示，下列結論：①乙用6分鐘追上甲；②乙步行的速度為60米/分；③乙到達終點時，甲離終點還有400米；④整個過程中，甲乙兩人相距180米有2個時刻，分別是t=18和t=24．其中正確的結論有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式14-3】（2022·浙江寧波·八年級期末）甲、乙兩人勻速從同一地點到1500米處的圖書館看書，甲出發5分鐘后，乙以50米/分的速度沿同一路線行走. 設甲、乙兩人相距（米），甲行走的時間為（分），關于的函數圖象的一部分如圖所示.
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐標系中，補畫關于函數圖象的其余部分，并寫出已畫圖象另一個端點的坐標；
（3）問甲、乙兩人何時相距390米？
【考點15 一次函數的新定義問題】
【例15】（2022·湖北湖北·八年級期末）把、、三個數中最大那個數記為，如，，，在平面直角坐標系中，若直線與函數的圖像有且只有2個交點，則的取值范圍是______．
【變式15-1】（2022·安徽合肥·八年級階段練習）我們規定：如果兩個一次函數的圖象都經過坐標軸上的同一個點，那么就稱這兩個一次函數互為“交軸一次函數”，如：一次函數y =2x-3與y=-x-3的圖象都經過y軸上的同一個點（0，-3），所以這兩個函數為“交軸一次函數”，又如一次函數y=-x-2與y =3x+6的圖象都經過x軸上的同一個點（-2，0），所以這兩個函數為“交軸一次函數”．
(1)一次函數y=3x+1與y=3x-1是否是“交軸一次函數”？若是，請說明理由；若不是，也請說明理由，并寫出其中一個函數的一個“交軸一次函數”．
(2)已知一次函數=-3x+3，=4x+b，若與-互為“交軸一次函數”，求b的值．
【變式15-2】（2022·江蘇·景山中學八年級階段練習）定義：圖像與x軸有兩個交點的函數y＝叫做關于直線x=m的對稱函數，它與x軸負半軸交點記為A，與x軸正半軸交點記為B，
（1）如圖:直線l:x＝1,關于直線l的對稱函數y＝與該直線交于點C
①直接寫出點的坐標：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 ?。?；
②P為關于直線l的對稱函數圖像上一點（點P不與點C重合），當S△ABP=S△ABC時，求點P的坐標；
（2）當直線y＝x與關于直線x=m的對稱函數有兩個交點時，求m的取值范圍．
【變式15-3】（2022·吉林·東北師大附中明珠學校八年級期末）定義：對于給定的一次函數y=ax+b（a≠0），把形如的函數稱為一次函數y=ax+b（a≠0）的衍生函數.已知矩形ABCD的頂點坐標分別為A（1，0），B（1，2），C（-3，2），D（-3，0）.
（1）已知函數y=2x+l.
①若點P（-1，m）在這個一次函數的衍生函數圖像上，則m= .
②這個一次函數的衍生函數圖像與矩形ABCD的邊的交點坐標分別為 .
（2）當函數y=kx-3（k>0）的衍生函數的圖象與矩形ABCD有2個交點時，k的取值范圍是 .
【考點16 一次函數的規律探究】
【例16】（2022·江西·崇仁縣第二中學八年級階段練習）已知一次函數y=x+1，分別交x軸，y軸于點A，B．已知點是點A關于y軸的對稱點，作直線B，過點作x軸的垂線l交直線AB于點B，點是點A關于直線l的對稱點，作直線B，過點作x軸的垂線，交直線AB于點，點是點A關于的對稱點，作直線……繼續這樣操作下去，可作直線（n為正整數，且n≥1）
(1)①直接寫出點A，B的坐標：A ，B ．
②求出點B，的坐標，并求出直線的函數關系式；
(2)根據操作規律，可知點的坐標為 ．可得直線的函數關系式為 ．
(3)求的面積．
【變式16-1】（2022·山東濟南·八年級期末）如圖，已知直線a：y＝x，直線b：y＝﹣x和點P（1，0），過點P作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，過點作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，…，按此作法進行下去，則點的橫坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式16-2】（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學校八年級期末）如圖，過點A1（1，0）作x軸的垂線，交直線y＝2x于點B1；點A2與點O關于直線A1B1對稱；過點A2（2，0）作x軸的垂線，交直線y＝2x于點B2；點A3與點O關于直線A2B2對稱；過點A3（4，0）作x軸的垂線，交直線y＝2x于點B3；…，按此規律作下去，則的坐標為________．
【變式16-3】（2022·遼寧·本溪市實驗中學九年級階段練習）如圖，點O是坐標原點，直線l：y＝x+1與y軸交于點，以為邊向右構造正方形，使點落在x軸上，延長交直線l于點，再以為邊向右構造正方形，使點落在x軸上，…，按此規律依次作正方形，則所在直線的解析式為 _____．
試題答案
【考點1 （一次)函數的概念】 1
【考點2 判斷一次函數的圖像】 3
【考點3 根據一次函數的性質求參數】 6
【考點4 一次函數圖像上點的坐標特征】 10
【考點5 確定一次函數經過的象限】 12
【考點6 根據一次函數的性質判斷結論正誤】 14
【考點6 根據一次函數的性質比較函數值大小】 17
【考點7 根據一次函數的性質比較自變量大小】 20
【考點8 根據一次函數性質確定參數取值范圍】 22
【考點9 一次函數與坐標軸的交點與面積綜合】 25
【考點10 一次函數的平移】 30
【考點11 確定一次函數解析式】 32
【考點12 一次函數性質的實際應用】 35
【考點13 一次函數圖像的實際運用】 41
【考點14 一次函數的新定義問題】 46
【考點15 一次函數的規律探究】 52
【考點1 （一次)函數的概念】
【例1】（上海市奉賢區聯考2022-2023學年八年級上學期期末考試數學試卷）下列所述不屬于函數關系的是（ ）
A．長方形的面積一定，它的長和寬的關系 B．與x的關系
C．勻速運動的火車，時間與路程的關系 D．某人的身高和體重的關系
【答案】D
【分析】根據函數的定義：設在一個變化過程中有兩個變量x與y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應，那么就說y是x的函數，x是自變量，對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A、長方形的面積一定，它的長和寬成反比例，是函數關系，故本選項正確，不符合題意；
B、隨x的變化而變化，是函數關系，故本選項正確，不符合題意；
C、勻速運動的火車，時間與路程成正比例，是函數關系，故本選項正確，不符合題意；
D、某人的身高和體重不是函數關系，故本選項錯誤，符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查函數的定義，理解函數定義是解答的關鍵．
【變式1-1】（2022·湖南·長沙市華益中學八年級期末）下列曲線中，能表示y是x的函數的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根據函數的定義：一個變化的過程中，有兩個變量，因變量隨著自變量的變化而變化，對于每一個確定的自變量，都有唯一確定的因變量與之對應，進行判斷即可．
【詳解】A、部分自變量對應多個因變量，不是函數，不符合題意；
B、是函數，符合題意；
C、當時，對應3個值，不是函數，不符合題意；
D、部分自變量對應2個因變量，不是函數，不符合題意；
故選B．
【點睛】本題考查函數的定義．熟練掌握函數的定義是解題的關鍵．
【變式1-2】（2021·陜西安康·八年級期末）在①y＝﹣8x：②y＝﹣：③y＝+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函數有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】根據一次函數的定義，正比例函數屬于一次函數；一次函數是形如 的形式，結合題中所給表達式，比照定義形式即可解答．
【詳解】解：①y＝﹣8x是正比例函數，屬于一次函數，符合題意；
②不是一次函數，不符合題意；
③不是一次函數，不符合題意；
④中未知數次數是二次，不是一次函數，不符合題意；
⑤y＝0.5x﹣3是一次函數，符合題意；
一次函數有①y＝﹣8x和⑤y＝0.5x﹣3，
故選：B．
【點睛】本題考查一次函數的定義，解題的關鍵是掌握一次函數的定義：一般地，形如（k≠0，k、b是常數）的函數，叫做一次函數．
【變式1-3】（2022·湖南·武岡市教育科學研究所八年級期末）已知函數 是正比例函數，則=_____________．
【答案】1
【分析】根據函數是正比例函數，可知且，綜合條件即可得到m的值．
【詳解】解：∵是正比例函數
∴且
∴且
∴m=1
故答案為：1．
【點睛】本題考查了正比例函數的定義，形如y=kx（）的函數叫正比例函數．易錯點：容易不考慮．
【考點2 判斷一次函數的圖像】
【例2】（2022·安徽·金寨縣天堂寨初級中學八年級階段練習）一次函數 與正比例函數 （m，n為常數、且 ）在同一平面直角坐標系中的圖可能是（　?。?br/>A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據“兩數相乘，同號得正，異號得負”分兩種情況討論mn的符號，然后根據m、n同正時，同負時，一正一負或一負一正時，利用一次函數的性質進行判斷．
【詳解】解：A、一次函數m＞0，n＞0；正比例函數mn＜0，矛盾；
B、一次函數m＞0，n＜0；正比例函數mn＞0，矛盾；
C、一次函數m＞0，n＜0，正比例函數mn＜0，成立；
D、一次函數m＜0，n＞0，正比例函數mn＞0，矛盾，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了一次函數和正比例函數的圖象性質，要掌握它的性質才能靈活解題．一次函數y＝kx＋b的圖象有四種情況：
①當k＞0，b＞0，經過第一、二、三象限；
②當k＞0，b＜0，經過第一、三、四象限；
③當k＜0，b＞0時，經過第一、二、四象限；
④當k＜0，b＜0時，經過第二、三、四象限．
【變式2-1】（2022·黑龍江·哈爾濱順邁學校八年級期末）如圖，同一直角坐標系中，能表示一次函數y=x+kb和y=kx+b（k、b為常數，且 k≠0）的圖象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由于無法直接辨識一次函數y=x+kb和y=kx+b的圖象各是哪條直線，因此要根據選項先得到，再根據k，b的正負分類討論得出答案．
【詳解】解：A、一次函數y=kx+b經過第一、二、三象限，則k＞0，b＞0，則kb＞0；而一次函數y=x+kb與y軸交于負半軸，則kb＜0．kb＞0與kb＜0相矛盾，不符合題意；
B、一次函數y=kx+b經過第二、三、四象限，則k＜0，b＜0，則kb＞0；而一次函數y=x+kb與y軸交于負半軸，則kb＜0．kb＞0與kb＜0相矛盾，不符合題意；
C、一次函數y=kx+b經過第一、二、四象限，則k＜0，b＞0，則kb＜0；而一次函數y=x+kb與y軸交于負半軸，則kb＜0．kb＜0與kb＜0相一致，符合題意；
D、一次函數y=kx+b經過第二、三、四象限，則k＜0，b＜0，則kb＞0；而一次函數y=x+kb與y軸交于負半軸，則kb＜0．kb＞0與kb＜0相矛盾，不符合題意；故選：C．
【點睛】本題主要考查了一次函數圖象，解題的關鍵是掌握一次函數的圖象有四種情況：①當，，函數的圖象經過第一、二、三象限；②當，，函數的圖象經過第一、三、四象限；③當，時，函數的圖象經過第一、二、四象限；④當，時，函數的圖象經過第二、三、四象．
【變式2-2】（2022·陜西·西工大附中分校八年級期末）若直線經過第一、二、四象限，則函數的大致圖像是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據一次函數的圖像經過第一、二、四象限，可以得到和的正負，然后根據一次函數的性質，即可得到一次函數圖像經過哪幾個象限，從而可以解答本題．
【詳解】一次函數的圖像經過第一、二、四象限，
，，
，，
一次函數圖像第一、二、三象限，
故選：．
【點睛】本題考查一次函數的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數的性質解答．
【變式2-3】（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）直線和的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先設定一個為一次函數的圖象，再考慮另一條的m，n的值，看看是否矛盾即可．
【詳解】解：
的圖像與y軸的交點坐標在x軸上方，故排除A、B選項
C、如果過第一、二、四象限的圖象是y1，由y1的圖象可知，m＜0；由y2的圖象可知，m＜0，兩結論不互相矛盾，故正確；
D、如果過第一、二、三象限的圖象是y1，由y1的圖象可知，m＞0；由y2的圖象可知，m ＜0，兩結論相矛盾，故錯誤．
故選C．
【點睛】此題主要考查了一次函數的圖象性質，要掌握它的性質才能靈活解題．一次函數y=kx+b的圖象有四種情況：
①當k＞0，b＞0，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限；
②當k＞0，b＜0，函數y=kx+b的圖象經過第一、三、四象限；
③當k＜0，b＞0時，函數y=kx+b的圖象經過第一、二、四象限；
④當k＜0，b＜0時，函數y=kx+b的圖象經過第二、三、四象限．
【考點3 根據一次函數的性質求參數】
【例3】（2022·河北·晉州市第七中學八年級期末）已知正比例函數的圖像上一點，且，則m的值可能是（ ）
A．-0.5 B．0 C．1 D．1.5
【答案】D
【分析】根據可知，異號，點應該在第二象限或第四象限，所以正比例函數應該過二四象限，即可推出的取值范圍．
【詳解】解：由得：
異號，點應該在第二象限或第四象限
∵點在正比例函數的圖像上
∴圖像過二四象限
∴，
故選D．
【點睛】本題考查正比例函數的圖像和性質，根據點所在的象限，判斷出圖像所過象限是解題的關鍵．
【變式3-1】（2022·江蘇南通·八年級期末）已知一次函數，當時，；當時，．則________．
【答案】2
【分析】當時，；時，，可得隨的增大而增大，再利用待定系數法求解函數解析式即可．
【詳解】解：當時，；時，，
所以隨的增大而增大，
所以當
解得：
故答案為：2
【點睛】本題考查的是一次函數的圖象，一次函數的增減性，利用待定系數法求解一次函數的解析式，掌握“一次函數的增減性的判斷方法”是解本題的關鍵．
【變式3-2】（2022·湖北·嘉魚縣教學研究室八年級期末）已知函數（m為常數）．
(1)當m滿足條件__________時，變量y是變量x的一次函數；
(2)當m滿足條件__________時，函數圖象經過點；
(3)當m滿足條件__________時，y隨x的增大而減?。?br/>(4)當m滿足條件__________時，函數圖象與y軸的交點在x軸的上方；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據一次函數的定義即可求解；
（2）將代入即可；
（3）根據一次函數的增減性，當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減?。?br/>（4）將x=0代入函數表達式，即可求出該函數與y軸的交點坐標，由于函數圖象與y軸的交點在x軸的上方，只需要縱坐標大于0即可．
（1）
∵變量y是變量x的一次函數；
∴2m+1≠0，
解得：
故答案為：；
（2）
將代入得：4=（2m+1）×1+m-3
解得：m=2，
故答案為：m=2；
（3）
∵y隨x的增大而減小，
∴2m+1<0，
解得：，
故答案為：；
（4）
當x=0時，y=m-3，
∴該函數與y軸的交點為（0，m-3），
∵函數圖象與y軸的交點在x軸的上方，
∴m-3>0，
解得：m>3；
故答案為：m>3．
【點睛】本題主要考查了一次函數的性質，熟練地掌握一次函數的增減性以及一次函數與坐標軸的交點坐標是解題的關鍵．
【變式3-3】（2022·安徽·八年級期末）在平面直角坐標系中，點O（0，0），A（5，3），B（4，0），直線y＝mx﹣5m+3將△OAB分成面積相等的兩部分，則m的值為（　?。?br/>A．1 B．2 C．3 D．﹣1
【答案】A
【分析】設點C為線段OB的中點，則點C的坐標為（2，0），利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出直線y=mx-5m+3過三角形的頂點A（5，3），結合直線y=mx-5m+3過點C（2，0），再利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出m的值．
【詳解】解：設點C為線段OB的中點，則點C的坐標為（2，0），如圖所示．
∵y＝mx﹣5m+3＝（x﹣5）m+3，
∴當x＝5時，y＝（5﹣5）m+3＝3，
∴直線y＝mx﹣5m+3過三角形的頂點A（5，3）．
∵直線y＝mx﹣5m+3將△OAB分成面積相等的的兩部分，
∴直線y＝mx﹣5m+3過點C（2，0），
∴0＝2m﹣5m+3，
∴m＝1．
故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，利用一次函數上點的坐標特征，找出關于m的一元一次方程是解題的關鍵．
【考點4 一次函數圖像上點的坐標特征】
【例4】（2022·廣東湛江·八年級期末）已知正比例函數，當時，，則下列各點在該函數圖像上的是（　?。?br/>A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（3，1） D．（﹣3，1）
【答案】A
【分析】先求出正比例函數，再將點坐標逐個代入，即可得答案．
【詳解】解：∵正比例函數，當時，，
∴，解得，
∴正比例函數為，
在正比例函數中，
若，則，（﹣1，﹣3）在函數圖像上，故選項A符合題意，選項B不符合題意；
若，則，（3，1）不在函數圖像上，故選項C不符合題意；
若，則，（﹣3，1）不在函數圖像上，故選項D不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了待定系數法求函數解析式及函數圖像上點的坐標的特征，理解函數圖像上的點，其坐標需滿足解析式是解本題的關鍵．
【變式4-1】（2022·重慶市璧山中學校八年級期末）直線經過點（1，a），則a=_________．
【答案】1
【分析】直接將點（1，a）代入直線，即可得出a＝1．
【詳解】解：∵直線經過點（1，a），將其代入解析式
∴a＝1，
故答案為1．
【點睛】此題主要考查一次函數解析式的性質，熟練掌握一次函數上點的特征是解題的關鍵．
【變式4-2】（2022·天津市紅橋區教師發展中心八年級期末）已知一次函數（，為常數，）的圖象經過點，．
(1)求該一次函數的解析式；
(2)判斷點，是否在該一次函數的圖象上，并說明理由．
【答案】(1)一次函數的解析式為
(2)點在該函數圖象上；點不在該函數圖象上．理由見解析
【分析】（1）用待定系數法可得解析式；
（2）結合（1），設x=5，算出y值，即可判斷P是否在圖象上，同理可判斷Q．
（1）
∵ 點，在一次函數的圖象上，
∴ 解得
∴ 一次函數的解析式為．
（2）
把代入到中，得，
∴ 點在該函數圖象上；
把代入到中，得，
∴ 點不在該函數圖象上．
【點睛】本題考查待定系數法求一次函數解析式和一次函數圖象上點坐標的特征，解題的關鍵是掌握待定系數法．
【變式4-3】（2022·浙江·杭州江南實驗學校三模）一次函數（a為常數，且a≠0）．
(1)若點（﹣1，3）在一次函數的圖像上，求a的值；
(2)若，當時，函數有最大值5，求出此時一次函數的表達式；
(3)對于一次函數（），若對任意實數x，都成立，求k的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)且
【分析】（1）將點（﹣1，3）代入一次函數解析式，轉化為關于a的一元一次方程并求解即可；
（2）由時，y隨x的增大而增大，可確定當時，函數有最大值，然后代入函數解析式求解即可；
（3）由題意可知，兩直線應該平行，即有，再根據列出不等式并求解即可．
（1）
解：將點（﹣1，3）代入一次函數，
可得，解得；
（2）
∵時，y隨x的增大而增大，
∴當時，函數有最大值，即，
解得，
∴此時一次函數的表達式為；
（3）
由題意可知，，
∴，
∵對任意實數x，都成立，
∴，
解得，
∴k的取值范圍為且．
【點睛】本題主要考查了一次函數解析式與點的關系、一次函數的圖像與性質、一次函數與不等式的綜合應用等知識，熟練掌握一次函數的性質，靈活運用數形結合的思想分析問題是解題的關鍵．
【考點5 確定一次函數經過的象限】
【例4】（2022·山東菏澤·八年級期末）一次函數（k，b為常數）的圖像經過點P（－2，－1）且y隨著x的增大而減小，則該圖像不經過的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據題意分別求得和，再進行判斷即可．
【詳解】∵一次函數的圖象經過點，
∴，
∴，
∵一次函數中y隨著x的增大而減小，
∴，
∴，
∵，，
∴該圖像不經過的象限是第一象限，
故答案為：A．
【點睛】本題考查了一次函數的問題，掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
【變式4-1】（2022·上海市梅隴中學九年級期末）已知直線ykxb經過第一、三、四象限，那么直線ybxk一定不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據直線y=kx+b經過第一，三，四象限，可以判斷k、b的正負，根據一次函數圖象的性質，從而可以判斷直線y=bx+k經過哪幾個象限，不經過哪個象限．
【詳解】解：∵直線y=kx+b經過第一，三，四象限，
∴k>0，b<0，
∴直線y=bx+k經過第一、二、四象限，不經過第三象限，
故選：C．
【點睛】本題考查一次函數的性質，明確題意，熟練掌握并靈活運用一次函數的性質是解題的關鍵．
【變式4-2】（2022·湖北·武漢外國語學校美加分校八年級階段練習）若一次函數y=kx+b(k、b是常數)的圖象不經過第二象限，則一次函數的圖象（ ）
A．過二、三、四象限 B．過二、四象限 C．不過第一象限 D．不過第三象限
【答案】C
【分析】根據圖象不經過第二象限，確定k>0，b≤0，從而確定函數為或且kb＜0求解即可
【詳解】∵函數的圖象不經過第二象限，
∴k>0，b≤0，
∴為或且kb＜0，
∴函數圖像分布在二、四象限或二、三、四象限，
即函數圖像不經過第一象限，
故選C．
【點睛】本題考查了一次函數圖像的分布，熟練掌握圖像分布與的關系是解題的關鍵．
【變式4-3】（2022·河南·商水縣希望初級中學八年級期末）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標為，關于軸對稱的點的坐標為，則一次函數的圖象不經過的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據已知條件分別求出a，b，c，d，再根據一次函數的圖像性質判斷即可．
【詳解】∵，
∴關于原點對稱的點的坐標為，關于軸對稱的點的坐標為，
∴，，，，
∴，，
∴一次函數為，
∴一次函數圖像經過一、三、四象限，
∴不經過第二象限；
故選B．
【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系中，對稱點的坐標特征和一次函數的圖像性質，熟練掌握一次函數的性質是解題的關鍵．
【考點6 根據一次函數的性質判斷結論正誤】
【例6】（2022·黑龍江·林口縣教師進修學校八年級期末）將直線向上平移2個單位長度后得到直線y＝kx＋b，則下列關于直線y＝kx＋b的說法正確的是（ ）
A．直線經過一、三、四象限 B．y隨x的增大而減小
C．與y軸交于（2，0） D．與x軸交于（－4，0）
【答案】D
【分析】直線向上平移2個單位長度后得到的解析式為，再根據一次函數的圖象性質逐一判斷即可選出正確答案．
【詳解】解：直線向上平移2個單位長度后得到的解析式為，
A．∵，b=2＞0，故經過第一、二、三象限，故A錯誤；
B．∵，故y隨x的增大而增大，故B錯誤；
C．令y=0，則，所以與x軸交點為，故C錯誤；
D．令x=0，y=2，則與y軸的交點為，故D正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數的性質，掌握函數圖象平移規律“上加下減”以及一次函數的性質是解題關鍵．
【變式5-1】（2022·河南·長葛市教學研究室八年級期末）下列說法正確的是（ ）
A．一次函數的圖像不經過第三象限
B．一次函數的圖象與x軸的交點坐標是
C．一個正比例函數的圖像經過，則它的表達式為
D．若，在直線上，且，則；
【答案】A
【分析】根據一次函數中的k、b的值判斷函數圖象經過的象限；根據坐標軸上的點的特征可求出與x軸的交點坐標；利用待定系數法可求出一次函數的表達式；根據一次函數的圖象的增減性，可以判斷出、的大小．
【詳解】解：A、一次函數的圖像經過一、二、四象限，不經過第三象限，故選項符合題意；
B、一次函數的圖象與x軸的交點坐標是，與y軸的交點坐標是，故選項不符合題意；
C、正比例函數的圖像經過，則它的表達式為，故選項不符合題意；
D、若，在直線上，且，當時，；當時，，故選項不符合題意，
故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象及其性質，熟練掌握一次函數的圖象及其性質是解答本題的關鍵．
【變式5-2】（2022·江蘇淮安·八年級期末）關于一次函數的圖像如圖所示，圖像與軸、軸的交點分別為、，以下說法：
①點坐標是；②隨的增大而增大；③的面積為；④直線可以看作由直線向下平移1個單位得到．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據一次函數的性質對每個選項分別進行判斷，即可得到答案．
【詳解】解：根據題意，
∵，
令，則，
∴點A的坐標為，故①正確；
由圖像可知，隨的增大而增大；故②正確；
令，則，故點B為，
∴，，
∴，故③正確；
直線可以看作由直線向下平移1個單位得到，故④正確；
故選：D
【點睛】本題考查了一次函數的性質、一次函數圖像與系數的關系以及一次函數圖像與幾何變換，逐一分析四條結論是否符合題意是解題的關鍵．
【變式5-3】（2022·河北·易縣易州九年一貫制學校八年級期末）關于自變量x的函數y＝（k－3）x＋2k，下列結論：
①當k≠3時，此函數是一次函數；
②無論k取什么值，函數圖象必經過點（－2，6）；
③若函數經過二、三、四象限，則k的取值范圍是k＜0；
④若函數圖象與x軸的交點始終在正半軸，則k的取值范圍是k＜3
其中結論正確的序號是__________．
【答案】①②③
【分析】根據一次函數的定義，函數圖像和系數的關系逐一判斷選項即可.
【詳解】解：①當k≠3時，函數是一次函數；故①符合題意；
②y＝（k﹣3）x+2k＝k（x+2）﹣3x，當x＝﹣2時，y＝6，過函數過點（﹣2，6），故②符合題意；
③函數y＝（k﹣3）x+2k經過二，三，四象限，則，解得：k＜0，故③符合題意；
④當k﹣3＝0時，y＝6，與x軸無交點；當k≠3時，函數圖象與x軸的交點始終在正半軸，即﹣，解得：0＜k＜3，故④不符合題；
故答案為：①②③．
【點睛】本題考查根據一次函數的定義，一次函數圖象的性質，一次函數與軸交點問題，交點坐標確定解析式字母系數的取值及分類討論思想的運用，掌握一次函數圖象的性質是解題的關鍵．
【考點6 根據一次函數的性質比較函數值大小】
【例6】（2022·陜西·西安高新一中實驗中學八年級期末）設一次函數y＝kx+3k﹣5（k≠0），對任意兩個k的值，分別對應兩個一次函數．若＜0，當x＝m時，取相應中較小值p，則p的最大值是（　?。?br/>A．﹣3 B．﹣5 C．﹣2 D．0
【答案】B
【分析】整理一次函數解析式求出不論k取任何值時一次函數經過的定點，再根據＜0，可知兩直線一條經過第一、三象限，一條經過第二、四象限，所以當m為交點橫坐標時，所對應中的較小值p最大，然后即可得解．
【詳解】解：∵y=kx+3k-5=k（x+3）-5，
∴不論k取何值，當x=-3時，y=-5，
∴一次函數y=kx+3k-5經過定點（-3，-5），
又∵對于任意兩個k的值，＜0，
∴兩個一次函數，一個函數圖象經過第一、三象限，一個經過第二、四象限，
∴當m=-3，相應的中的較大值p，取得最大值，最大值為-5．
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，整理函數解析式，然后求出一次函數y=kx+3k-5經過的定點坐標是解題的關鍵．
【變式6-1】（2022·四川成都·八年級期末）一次函數的圖像交x軸于點A．交y軸于點B，在的圖像上有兩點、，若，則下列式子中正確的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據一次函數y=x1，可得圖像與y軸交點B的坐標以及增減性，再結合圖像即可得出結論．
【詳解】解：∵一次函數，函數值y隨x的增大而增大，
且∵一次函數與y軸交于點B，
∴點B的坐標為，
∴當時，，
當時，，
∵，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了一次函數圖像上點的坐標特征：一次函數y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數）的圖像是一條直線，直線上任意一點的坐標都滿足函數關系式y=kx+b．也考查了一次函數的增減性．
【變式6-2】（2022·遼寧鞍山·九年級階段練習）定義，當時，，當時，；已知函數，則該函數的最小值是______．
【答案】6
【分析】根據新定義內容分情況討論，然后結合一次函數的增減性求得函數最小值．
【詳解】解：當x+3≥-x+9時，
解得x≥3，
此時y=x+3，
∵1＞0，
∴y隨x的增大而增大，
當x=3時，y最小值為6；
當x+3＜-x+9時，
解得x＜3，
此時y=-x+9，
∵-1＜0，
∴y隨x的增大而減小，
綜上，當x=3時，y最小值為6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查一次函數的性質，理解新定義內容，分情況列出函數解析式并掌握一次函數的性質是解題關鍵．
【變式6-3】（2022·福建廈門·八年級期末）已知一次函數．
(1)在平面直角坐標系中畫出該函數的圖象；
(2)若，點，都在一次函數的圖象上，試比較與的大小，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）求出一次函數圖象與坐標軸的交點坐標，過這兩點的直線即為該函數的圖象；
（2）由函數解析式可判斷該函數y隨x的增大而減小，又可判斷，即可確定．
（1）
對于，
當時，即，
∴；
當時，即．
∴函數的圖象經過點(2，0)、(0，4)；
∴函數的圖象如圖所示．
（2）
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴y隨x的增大而減?。?br/>∵點，都在一次函數的圖象上，
∴．
【點睛】本題考查畫一次函數的圖象，一次函數的增減性．熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．
【考點7 根據一次函數的性質比較自變量大小】
【例7】（2022·四川成都·三模）一次函數和的圖像交于點（a，n），直線y＝n﹣1與和的圖像分別交于點（b，n﹣1）和（c，n﹣1）．若＞0，＜0，則a、b、c從大到小排列應為________．
【答案】c＞a＞b
【分析】依據條件畫出一次函數圖像可直觀判斷．
【詳解】解：∵＞0，＜0，
點（b，n﹣1）和（c，n﹣1）縱坐標相等
∴ y＝n﹣1是一條水平線
畫出滿足題意位置關系的函數圖像如下，
由圖像易得：c＞a＞b，
故答案為：c＞a＞b．
【點睛】本題考查一次函數的圖像及性質，依據性質去畫出圖像是解題關鍵．
【變式7-1】（2022·福建·廈門市翔安區教師進修學校（廈門市翔安區教育研究中心）八年級期末）點是一次函數圖像上兩點，則a_____b（填“>”、“=”或”<”）．
【答案】<
【分析】由k=20結合一次函數的性質即可得出該函數為增函數，再結合2＜3即可得出結論．
【詳解】解：∵k=，
∴一次函數y隨x增大而增大，
同理當y越大時x也越大，
∵2＜3，
∴ab．
故答案為．
【點睛】本題考查了一次函數的性質，解題的關鍵確定一次函數的增減性．
【變式7-2】（2022·廣東梅州·八年級期末）若點A（，－1），B（，－3），C（，4）在一次函數y＝－2x＋m（m是常數）的圖象上，則，，的大小關系是（ ）
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
【答案】B
【分析】利用一次函數的增減性判定即可．
【詳解】解：由y=-2x+m知，函數值y隨x的增大而減小，
∵4＞-1＞-3，A（x1，-1），B（x2，-3），C（x3，4），
∴x2＞x1＞x3．
故選：B．
【點睛】本題考查了一次函數的增減性，解題的關鍵是通過a=-2＜0得知函數值y隨x的增大而減小，反之x隨y的增大也減小．
【變式7-3】（2022·吉林·敦化市第三中學校八年級階段練習）已知一次函數的圖象不經過第三象限，且m為正整數．
(1)求m的值；
(2)當時，求x的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由一次函數的圖象不經過第三象限，可得 再建立不等式組，結合m為正整數即可得到答案；
（2）由（1）先得到函數解析式，再分別求解當時的自變量的值，再結合一次函數的增減性可得答案．
（1）
解：∵一次函數的圖象不經過第三象限，
∴
解得：
∵m為正整數，
∴
（2）
當時，函數為：
當時，
解得：
當時，
解得：
∵且y隨x的增大而減小，
∴
【點睛】本題考查的是一次函數的性質，掌握“一次函數的圖象不經過第三象限，則”是解本題的關鍵．
【考點8 根據一次函數性質確定參數取值范圍】
【例8】（2022·福建廈門·八年級期末）已知一次函數y＝kx＋b－x的圖像與x軸的負半軸相交，且函數值y隨自變量x的增大而減少，則k，b的取值情況為（ ）
A．k＜1，b＜0 B．k＜1，b＞0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【答案】A
【分析】由題意根據一次函數圖像與系數的關系結合一次函數的性質，即可得出關于k、b的一元一次不等式，解之即可得出結論．
【詳解】解：∵一次函數y=kx+b-x=（k-1）x+b的圖像與x軸的負半軸相交，且函數值y隨自變量x的增大而減小，
∴一次函數經過第二、三、四象限，
∴k-1＜0，b＜0，
∴k＜1，b＜0．
故選：A．
【點睛】本題考查一次函數圖像與系數的關系以及一次函數的性質，根據一次函數圖像與系數的關系結合一次函數的性質，找出關于k、b的一元一次不等式是解題的關鍵．
【變式8-1】（2022·河南安陽·八年級期末）函數（k是常數，）的圖象上有兩個點，，且，則k的取值范圍為______．
【答案】
【分析】先根據可得出或兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：∵點，在函數（k是常數，）的圖象上，且，
∴或
∴函數值y隨x的增大而減小，
∴
解得，
故答案為：
【點睛】本題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，熟知函數圖象上各點坐標一定適應此函數解析式是解答本題的關鍵．
【變式8-2】（2022·湖南永州·八年級期末）如圖，直線y=kx+b，與y軸交于點（0，3）與x軸交于點（a，0）當-2 ≤ a < 0時，k的取值范圍是（　?。?br/>A．-1≤k<0 B．1≤k≤3 C．k≥3 D．k≥
【答案】D
【分析】由題意可得：b=3，所以y=kx+3過定點（0，3），再求解一次函數過時，k的值，再根據-2 ≤ a < 0，確定一次函數的圖象的位置，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，直線y=kx+b，與y軸交于點（0，3），
∴y=kx+3過定點（0，3），
當y=kx+3過時，
∴
解得：
所以當-2 ≤ a < 0時，k的取值范圍是
故選D
【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解一次函數的解析式，一次函數的性質，掌握“一次函數的圖象與性質”是解本題的關鍵．
【變式8-3】（2022·福建泉州·八年級期末）已知過點（1，2）的直線y＝mx+n（m≠0）不經過第四象限，設t＝m+3n，則t的取值范圍為（ ）
A．2＜t＜6 B．2≤t＜6 C．2＜t≤6 D．2≤t≤6
【答案】B
【分析】根據一次函數圖象與系數的關系可得m＞0，n≥0，將點（1，2）代入y＝mx+n，得到m+n＝2，即m＝2﹣n，由m＞0，n≥0得出不等式組解不等式組求出n的范圍，再根據不等式的性質即可求出t的取值范圍．
【詳解】解：∵過點（1，2）的直線y＝mx+n（m≠0）不經過第四象限，
∴m＞0，n≥0，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴，
解得：0≤n＜2，
所以t＝m+3n＝2﹣n+3n＝2+2n，
∴2≤2n+2＜6，
即t的取值范圍為：2≤t＜6．
故選：B．
【點睛】本題考查的是一次函數的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，解一元一次不等式組，以及不等式的性質．掌握一次函數y＝kx+b（k≠0）中，當k＞0，b≥0時函數的圖象不經過第四象限是解題的關鍵．
【考點9 一次函數與坐標軸的交點與面積綜合】
【例9】（2022·山東·昌樂縣教學研究室八年級期末）已知直線（b為常數）與兩坐標軸圍成的三角形面積為2，則直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為（ ）
A．1 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出直線y=x+b與兩坐標軸的交點坐標，結合直線y=x+b與兩條坐標軸圍成的三角形面積為2，即可求出b2=4，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出直線y=x+2b與兩坐標軸的交點坐標，再利用三角形的面積計算公式，即可求出結論．
【詳解】解：當x=0時，y=0+b=b，
∴直線y=x+b與y軸交于點（0，b）；
當y=0時，x+b=0，
解得：x=-b，
∴直線y=x+b與x軸交于點（-b，0）．
∴直線y=x+b與兩條坐標軸圍成的三角形面積=×|b|×|-b|=2，
∴b2=4．
同理，直線y=x+2b與y軸交于點（0，2b），與x軸交于點（-2b，0），
∴直線y=x+2b與兩條坐標軸圍成的三角形面積=×|2b|×|-2b|=2b2=2×4=8．
故選：D．
【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，利用一次函數圖象上點的坐標特征及三角形的面積計算公式，求出b2的值是解題的關鍵．
【變式9-1】（2022·重慶市育才中學八年級期末）將直線y＝﹣x+6向下平移2個單位，平移后的直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，點O為坐標原點，則S△ABO＝_____．
【答案】16
【分析】直接根據“左加右減”的平移規律求解平移后的函數的解析式，然后求出OA、OB的值，根據三角形面積公式求出即可．
【詳解】解：直線y＝﹣x+6向下平移2個單位，所得平移后的直線為y＝﹣x+6﹣2＝﹣x+4，
把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，
把y＝0代入y＝﹣x+4得：x＝8，
即OA＝8，OB＝4，
∴S△AOB＝OA×OB＝×8×4＝16，
故答案為：16．
【點睛】本題考查了一次函數圖象的平移，一次函數圖象與坐標軸的交點，一次函數圖象與坐標軸圍成的三角形的面積，解題關鍵是求出OA、OB的值．
【變式9-2】（2022·廣東·佛山市南海區獅山鎮大圃初級中學八年級階段練習）如圖，直線：＝﹣x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P（m，3）為直線上一點，另一直線：=x+b過點P，與x軸交于點C．
(1)直接寫出m和b的值及點A、點C的坐標；
(2)若動點Q從點C開始以每秒1個單位的速度向x軸正方向移動．設點Q的運動時間為t秒．
①當點Q在運動過程中，請直接寫出△APQ的面積S與t的函數關系式；
②求出當t為多少時，△APQ的面積等于3．
【答案】(1)m=-1，b=，A點坐標為（2，0）；點C坐標為（﹣7，0）
(2)①當Q在A、C之間時，S=-t+；當Q在A的右邊時，S=t-；
②當t的值為7秒或11秒時△APQ的面積等于3
【分析】（1）把點P坐標代入直線解析式可求得m，可求得P點坐標，代入直線可求得b，可求得直線的解析式，在=0可求得A點坐標，令=0可求得相應x的值，可求得C點坐標；
（2）①分點Q在A、C之間和點Q在A的右邊兩種情況，分別用t可表示出AQ，則可表示出S；
②令S=3可求得t的值．
（1）
解：∵點P（m，3）在直線上，
∴3=-m+2，解得m=-1，
∴P（-1，3），
∵=x+b過點P，
∴3=×（-1）+b，解得b=，
∴直線=x+，
令=0可得0=x+，
解得x=-7，
∴點C坐標為（-7，0），
在=-x+2中，
令=0可得-x+2=0，
解得x=2，
∴A點坐標為（2，0）；
（2）
解：①由題意可知CQ=t，P到x軸的距離為3，
∵A（2，0），C（-7，0），
∴AC=2-（-7）=9，
當Q在A、C之間時，則AQ=AC-CQ=9-t，
∴S=×3×（9-t）=-t+；
當Q在A的右邊時，則AQ=CQ-AC=t-9，
∴S=×3×（t-9）=t-；
②令S=3可得-t+=3或t-=3，
解得t=7或t=11，
即當t的值為7秒或11秒時△APQ的面積等于3．
【點睛】本題考查利用一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的性質、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意函數圖象的交點坐標滿足每個函數解析式是解題的關鍵，在（2）中用t表示出AQ的長是解題的關鍵．
【變式9-3】（2022··八年級期末）已知直線，的函數表達式分別為，．
(1)若直線經過點，求函數的表達式
(2)若直線經過第一、二、四象限，求k的取值范圍．
(3)設直線與x軸交于點A，直線與x軸交于點B，與交于點C，當△ABC的面積等于1.5時，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）將代入的解析式中求解即可；
（2）根據經過第一、二、四象限，可得， ，求解即可；
（3） 解：將y=0代入，中，得，，故B點坐標為：，聯立，可得，將代入中，，故C點坐標為（2，1），則，解得：，如圖所示B點可能在A點的左側，也可能在A點的右側，故B坐標為（4，0），或（﹣2，0），把x=4或x=﹣2代入中，求解可得到答案．
（1）
解:將代入得，，
解得，
∴；
（2）
解：∵經過第一、二、四象限，
∴， ，
解得：，，
∴；
（3）
解：將y=0代入，中，得
，，，
故A點坐標為（1，0），
，，解得，
故B點坐標為：，
聯立，，
，
，
，
，
將代入中，
，
故C點坐標為（2，1），
則
，
如圖所示B點可能在A點的左側，也可能在A點的右側，
∴B坐標為（4，0），或（﹣2，0），
把x=4或x=﹣2代入中，
，，，
，，，
故或．
【點睛】本題考查一次函數的解析式，一次函數圖象經過的象限與參數之間的關系，一次函數的綜合題，能夠熟練掌握一次函數解析式與圖象之間的關系是解決本題的關鍵．
【考點10 一次函數的平移】
【例10】（2022·陜西師大附中八年級期末）已知一次函數的圖象過第一、二、四象限，且與軸交于點，則關于的不等式的解集為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根據一次函數圖象的平移規律畫出的圖象，并且求出一次函數圖象與軸交于點，再結合函數圖象即可得．
【詳解】解：一次函數的圖象過第一、二、四象限，且與軸交于點，
一次函數的圖象過第一、二、四象限，且與軸交于點，
畫出函數的大致圖象如下：
由函數圖象可知，關于的不等式的解集為，
故選：A．
【點睛】本題考查了一次函數圖象的平移、一次函數與一元一次不等式，熟練掌握函數圖象法是解題關鍵．
【變式10-1】（2022·黑龍江鶴崗·八年級期末）已知把一次函數的圖象向右平移個單位長度，則平移后圖象的函數解析式為______．
【答案】
【分析】根據一次函數圖象左加右減，上加下減的平移規律進行求解．把一次函數的圖象向右平移個單位長度，即可解得.
【詳解】，
故答案為：．
【點睛】考查一次函數圖象的平移規律，掌握左加右減，上加下減的平移規律是解題的關鍵．
【變式10-2】（2022·江蘇無錫·八年級期末）若一次函數y＝2x+b的圖像向上平移5個單位恰好經過點（﹣1，4），則b的值為 _____．
【答案】1
【分析】直接利用一次函數平移規律得出平移后解析式，進而將（﹣1，4）代入求出答案．
【詳解】解：∵一次函數y＝2x+b的圖像向上平移5個單位，
∴y＝2x+b+5，
把（﹣1，4）代入得：4＝2×（﹣1）+b+5，
解得：b＝1．
故答案為：1．
【點睛】此題主要考查了一次函數與幾何變換，正確掌握一次函數平移規律是解題關鍵．
【變式10-3】（2022·江蘇·八年級專題練習）已知直線，記為．
(1)填空：直線可以看做是由直線向______平移______個單位得到；
(2)將直線沿x軸向右平移4個單位得到直線，解答下列問題：
①求直線的函數解析式；
②若x取任意實數時，函數的值恒大于直線的函數值，結合 圖象求出m的取值范圍．
【答案】(1)上；1或左；2
(2)①直線的函數解析式為；②
【分析】（1）根據解析式的圖象得出結論即可；
（2）①根據直線沿x軸向右平移4個單位得到直線，得出直線過點(4，0)，進而得出解析式即可；②根據題意畫出函數的圖象，結合圖象得出結論即可．
（1）如下圖所示，是由向上平移1個單位得到的，或向左平移2個單位得到的；故答案為：上，1或左，2；
（2）①∵當沿x軸向右平移4個單位后經過點(4，0)，∴平移得到的直線的函數解析式為；②如下圖所示，畫出的圖象，的函數圖象可以看作是沿x軸水平移動m個單位，當時，向右平移m個單位，當時，向左平移m個單位，要是函數的值恒大于直線的函數值，則函數的圖象位于直線的上方，由函數圖像可知當m<4時函數的圖象位于直線的上方，∴m的取值范圍為m<4．
【點睛】本題主要考查一次函數的圖象和性質，熟練掌握一次函數的圖象和性質，圖形的平移等知識是解題的關鍵．
【考點11 確定一次函數解析式】
【例11】（2022·廣西貴港·八年級期末）若一次函數的圖象與直線平行，且過點，則該直線的表達式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設一次函數的表達式為，根據兩直線平行斜率相等得出該函數的斜率，再將點代入可得值，進而得出結論．
【詳解】解：設該直線的表達式為，
一次函數的圖象與直線平行，
．
點在直線上，
，解得．
該直線的表達式為．
故選：C．
【點睛】本題考查一次函數圖象平行與相交的理解、運用能力．同一平面內，不重合的兩直線：：，：，當時，兩直線平行；當時，兩直線相交．明確一次函數的圖象與直線平行，它們的斜率相等，掌握待定系數法得出值是解本題的關鍵．
【變式11-1】（2022·吉林·敦化市第三中學校八年級階段練習）已知與成正比例，且當時，．
(1)寫出y與x之間的函數關系式；
(2)求當時，y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與成正比例，設 再利用待定系數法求解函數解析式即可；
（2）把代入求解函數值即可．
（1）
解：∵與成正比例，
∴設
當時，．
∴
解得：
∴函數關系式為： 即．
（2）
當時，
∴
【點睛】本題考查的是正比例的含義，利用待定系數法求解函數解析式，求解函數值，掌握“待定系數法求解函數解析式”是解本題的關鍵．
【變式11-2】（2022·湖北荊州·八年級期末）已知一次函數．
(1)若該函數是正比例函數，求這個一次函數的解析式；
(2)若該函數的圖象經過一、二、四象限，且為整數，求這個一次函數的解析式．
【答案】(1)這個一次函數的解析式為
(2)這個一次函數的解析式為y=-x+1
【分析】（1）先根據正比例函數的定義列出關于m的方程組，求出m的值，即可求得解析式；
（2）根據一次函數的定義及圖象經過一、二、四象限求出m的取值范圍，進而得出m的整數值即可．
（1）
解：函數是正比例函數，
，
解得，
這個一次函數的解析式為；
（2）
解：這個函數是一次函數，且圖象經過一、二、四象限，
，
解得，
∵為整數，
．
這個一次函數的解析式為y=-x+1．
【點睛】本題考查的是待定系數法求一次函數的解析式，熟知正比例函數、一次函數的性質是解答此題的關鍵．
【變式11-3】（2022·吉林·長春市赫行實驗學校九年級階段練習）如圖，平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，當直線y＝x＋b與△ABC有交點時，b的取值范圍是________．
【答案】
【分析】將A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐標分別代入直線y＝x＋b中求得b的值，再根據一次函數的增減性即可得到b的取值范圍．
【詳解】解：直線y＝x＋b經過點B，將B(3，1)代入直線y＝x＋b中，可得，解得；
直線y＝x＋b經過點A，將A(1，1)代入直線y＝x＋b中，可得，解得；
直線y＝x＋b經過點C，C(2，2)代入直線y＝x＋b中，可得，解得；
故b的取值范圍是．
故答案為：
【點睛】本題考查一次函數圖象上的點的特征，待定系數法等知識，解題的關鍵是應用數形結合思想，屬于中考?？碱}型．
【考點12 一次函數性質的實際應用】
【例12】（2022·福建省福州第四十中學九年級開學考試）某校準備防疫物資時需購買A、B兩種抑菌免洗洗手液，若購買A種免洗液2瓶和B種免洗液3瓶，共需90元；若購買A種免洗液3瓶和B種免洗液5瓶，共需145元．
(1)求A、B兩種免洗液每瓶各是多少元？
(2)學校計劃購買A、B兩種免洗液共1000瓶，購買費用不超過17000元，且A種免洗液的數量不大于620瓶．設購買A種免洗液m瓶，購買費用為w元，求出w（元）與m（瓶）之間的函數關系式，求出自變量m的取值范圍，并確定最少費用w的值．
【答案】(1)15元，20元；
(2)，且m為整數；w＝16900
【分析】（1）根據購買A種免洗液2瓶和B種免洗液3瓶，共需90元；若購買A種免洗液3瓶和B種免洗液5瓶，共需145元，可列出相應的二元一次方程組，即可解答．
（2）依據題意，可得w與m之間的函數關系式，再根據學校計劃購買A、B兩種免洗液共1000瓶，購買費用不超過17000元，且A種免洗液的數量不大于620瓶，可求出m的取值范圍，再根據一次函數的性質，即可求出少費用w的值．
（1）
解：設A種免洗液每瓶為x元，B種免洗液每瓶為y元，
，
解得，，
所以A、B兩種免洗液每瓶各是15元，20元．
（2）
解：由題意可得，
解得，，
又，
∴，且m為整數，
由題意可知，
∵﹣5＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當m＝620時，w取得最小值16900，
1000－620＝380，
∴當購買A種免洗液620瓶，B種免洗液380瓶時，最少費用w為16900元．
【點睛】此題主要考查了一次函數的應用，二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，解題關鍵是明確題意，正確列出方程組，掌握一次函數的性質和不等式性質．
【變式12-1】（2022·吉林·測試·編輯教研五九年級階段練習）小穎家今年種植的草莓喜獲豐收，采摘上市16天全部銷售完．小穎對銷售情況進行統計后發現，在該草莓上市第x天（x取整數）時，日銷售量y（單位：千克）與x之間的函數關系式為y，草莓價格m（單位：元/千克）與x之間的函數關系如圖所示．
(1)求第15天小顆家草莓的日銷售量．
(2)求當4≤x≤12時，草莓價格m與x之間的函數關系式．
(3)試比較第7天與第11天的銷售金額哪天多？
【答案】(1)20千克
(2)
(3)第7天銷售金額多
【分析】（1）將x=15代入求解即可；
（2）利用待定系數法求解函數解析式即可；
（3）利用銷售金額=銷售量×草莓價格，求出第7天和第11天的銷售金額，比較即可得出答案．
（1）
解：∵當10＜x≤16時，，
∴當x=15時，y=-20×15+320=20，
答：第15天小顆家草莓的日銷售量是20千克；
（2）
解：當4≤x≤12時，設草莓價格m與x之間的函數關系式，
將點（4，24）、（12，16）代入中，
得，
解得：，
∴當4≤x≤12時，草莓價格m與x之間的函數關系式為；
（3）
解：∵當0≤x≤10時，，當10＜x≤16時，，
∴當x=7時，y=12×7=84，
當x=11時，y=-20×11+320=100，
又∵當4≤x≤12時， ，
∴當x=7時，m=-7+28=21，
當x=11時，m=-11+28=17，
∴第7天銷售金額為84×21=1764（元），
第11天銷售金額為100×17=1700（元），
∵1764＞1700，
∴第7天的銷售金額多．
【點睛】本題考查一次函數的應用，解題關鍵是理解題意，找準等量關系，利用待定系數法求得函數關系式，注意數形結合思想、分類討論思想與函數思想的運用．
【變式12-2】（2022·貴州省三穗中學八年級期末）A校和B校分別有庫存電腦12臺和6臺，現決定支援給C校10臺和D校8臺，從A校運一臺電腦到C校的運費是40元，到D校是80元；從B校運一臺電腦到C校的運費是30元，到D校是50元．設A校運往C校的電腦為臺，總運費為W元．
(1)寫出W關于的函數關系式；
(2)從A、B兩校調運電腦到C、D兩校有多少種調運方案？
(3)求出總運費最低的調運方案，最低運費是多少？
【答案】(1)
(2)共有7種調運方案，即B到D的可以是0，1，2，3，4，5，6這種情況
(3)總運費最低方案：A校給C校10臺，給D校2臺，B校給C校0臺，給D校6臺，最低運費是860元
【分析】（1）表示出從A校運往D校，從B校運往C校和D校的電腦臺數，然后根據列出費用表達式整理即可，再根據運往各校的電腦臺數不小于0列式求解即可得到x的取值范圍；
（2）根據（1）可進行求解；
（3）根據一次函數的增減性求出x的值，然后解答即可．
（1）
解：設A校運往C校的電腦為x臺，則A校運往D校的電腦為臺，
從B校運往C校的電腦為臺，運往D校的電腦為臺，
由題意得，
W，
，
由
解得，
所以，；
（2）
∵
∴
共有7種調運方案，即B到D的可以是0，1，2，3，4，5，6這7種情況．
（3）
∵＜0，
∴W隨x的增大而減小，
∴當x=10時，W最小，最小值為：元．
答：總運費最低方案：A校給C校10臺，給D校2臺，B校給C校0臺，給D校6臺，最低運費是860元．
【點睛】本題考查了一次函數的應用，一元一次不等式不等式組的應用，主要利用了一次函數的增減性求最值問題，難點在于表示出運往各校的電腦臺數．
【變式12-3】（2022·浙江·金華市第五中學八年級期末）為了爭創全國文明衛生城市，優化城市環境，某市公交公司決定購買一批共10臺全新的混合動力公交車，現有A、B兩種型號，其中每臺的價格，年省油量如下表：
A B
價格（萬元/臺） a b
節省的油量（萬升/年） 2.4 2
經調查，購買一臺A型車比買一臺B型車多20萬元，購買2臺A型車比買3臺B型車少60萬元．
(1)請求出a和b；
(2)若購買這批混合動力公交車（兩種車型都要有）每年能節省的汽油最大為22.4升，請問有哪幾種購車方案？
(3)求（2）中最省線的購買方案所需的購車款．
【答案】(1)a，b的值分別是120，100
(2)有六種購車方案，
方案一：購買A型公交車1輛，購買B型公交車9輛；
方案二：購買A型公交車2輛，購買B型公交車8輛；
方案三：購買A型公交車3輛，購買B型公交車7輛；
方案四：購買A型公交車4輛，購買B型公交車6輛；
方案五：購買A型公交車5輛，購買B型公交車5輛；
方案六：購買A型公交車6輛，購買B型公交車4輛；
(3)最省錢的購買方案所需的購車款是1020萬元
【分析】（1）根據數量與總價的關系列二元一次方程組解題即可．
（2）根據兩種車型都要有及能節省的汽油最大為22.4升，列不等式解題即可．
（3）先求出費用與A型公交車數量之間的關系式，再根據關系式得出結論即可．
（1）
解：根據題意得：，
解得，
∴a，b的值分別是120，100
（2）
解：設購買A型公交車x輛，則購買B型公交車(10-x)輛，
由題意，得：2.4x+2(10-x)≤22.4，
解得x≤6，
∵兩種車型都要有，
∴0＜x＜10，
∴0＜x≤6，
∵x為整數，
∴x=1，2，3，4，5，6
∴有六種購車方案，
方案一：購買A型公交車1輛，購買B型公交車9輛；
方案二：購買A型公交車2輛，購買B型公交車8輛；
方案三：購買A型公交車3輛，購買B型公交車7輛；
方案四：購買A型公交車4輛，購買B型公交車6輛；
方案五：購買A型公交車5輛，購買B型公交車5輛；
方案六：購買A型公交車6輛，購買B型公交車4輛；
（3）
設購車款為w萬元，
w=120x+100(10-x)=20x+1000，
∴當x=1時，w取得最小值，此時w=1020，
∴（2）中最省錢的購買方案所需的購車款是1020萬元．
【點睛】本題主要考查一次函數的應用，一次函數的圖象和性質的題目，能夠根據題意寫出等量關系以及不等式是解題關鍵．
【考點13 一次函數圖像的實際運用】
【例13】（2022·黑龍江·肇源縣第四中學七年級期末）甲乙兩人同時登山，甲、乙兩人距地面的高度（米）與登山時間（分）之間的函數圖象如圖所示，根據圖象所提供的信息解答下列問題：
(1)甲登山的速度是每分鐘______米，乙在地提速時距地面的高度為______米．
(2)請分別求出乙提速前、甲登山全過程中，登山時距地面的高度（米）與登山時間（分）之間的函數關系式．
(3)若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，則乙從出發到到達山頂需要多長時間？
【答案】(1)10，30
(2)y=15x（0≤x≤2），y=10x+100（0≤x≤20）
(3)11分鐘
【分析】（1）甲的速度=（300-100）÷20=10，根據圖象知道乙一分鐘的時間，走了15米，然后即可求出A地提速時距地面的高度；
（2）設AO的解析式為：，CD的解析式為，由題意得方程（組），代入點的坐標即可得到結論；
（3）根據甲登山的速度是每分鐘10米，求得乙提速后的速度是每分鐘30米，即可得到結論．
（1）
解：甲的速度為：（300-100）÷20=10（米/分），
根據圖中信息知道乙一分鐘的時間，走了15米，
那么2分鐘時，將走30米．
故答案為：10；30；
（2）
解：設AO的解析式為：，由題意，得，
解得：．
故線段AO的解析式為：y=15x（0≤x≤2），
設CD的解析式為，把點C、D的坐標分別代入得：，
解得：．
故線段CD的解析式為：y=10x+100（0≤x≤20）；
（3）
解：∵甲登山的速度是每分鐘10米，
∴乙提速后的速度是每分鐘30米，
∴（300-30）÷30=9（分鐘），
乙從出發到到達山頂需要9+2=11（分鐘）．
【點睛】本題主要考查一次函數的應用，用待定系數法求一次函數關系式，并會用一次函數研究實際問題，關鍵是正確理解題意，充分利用圖象提供的信息．
【變式13-1】（2022·全國·八年級單元測試）快車從甲地駛向乙地，慢車從乙地駛向甲地，兩車同時出發行駛在同一條公路上．途中快車休息1小時后加速行駛，比慢車提前0.5小時到達目的地；慢車沒有休息，保持勻速行駛．設慢車行駛的時間為（單位：小時），快車行駛的路程為（單位：千米），慢車行駛的路程為（單位：千米）．圖中折線表示與之間的函數關系，線段表示與之間的函數關系．請結合圖象信息，解答下列問題：
(1)甲、乙兩地相距 千米，快車休息前的速度是 千米時，慢車的速度是 千米時；
(2)求圖中線段所表示的與之間的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍；
(3)直接寫出兩人相距30千米時的值．
【答案】(1)300，75，60
(2)
(3)2，3或者4.5
【分析】（1）根據函數圖象中的數據可以求得快車和慢車的速度；
（2）根據函數圖象中的數據可以求得點和點的坐標，從而可以求得與之間的函數表達式；
（3）根據快車休息前的速度列出一元一次方程，解方程即可；再根據快車休息1小時，慢車行駛60千米，此時兩車也相距30千米；快車到達目的時兩車也相距30千米，共計分三中情況討論求解即可．
（1）
由圖可知：甲、乙兩地相距300千米，
即快車休息前的速度為：（千米小時），
慢車的速度為：（千米小時）；
（2）
由題意可得，點的橫坐標為：，
則點的坐標為，
快車從開始到點用的時間為：（小時），
則點的坐標為，
設線段所表示的與之間的函數表達式是，
則，
解得，
即線段所表示的與之間的函數表達式是，；
（3）
第一種情況：在快車休息前，快車速度為75千米小時，慢車速度為60千米小時，
根據題意有：，
解得：；
第二種情況：快車原地休息時，根據題意有：，
∴．
第三種情況：快車再次出發后，
根據題意可知，快車比慢車早0.5小時，
即快車到達目的地時，兩車相距：60×0.5=30千米，
在（2）中已求得C點坐標為，
結合圖象可知，此時x=4.5時，兩車相距30千米，
∴當，3或者4.5時，兩車相距30千米，
即當，3或者4.5時，兩車相距30千米．
【點睛】本題是一次函數的應用問題，主要考查了待定系數法求一次函數的解析式、一次函數圖象上點的坐標特征和兩個函數的交點等知識，屬于常考題型，正確讀懂圖象信息、熟練掌握一次函數的相關知識是解題的關鍵．
【變式13-2】（2022·安徽·無為縣實驗中學八年級階段練習）甲、乙兩人在筆直的公路上同起點、同終點、同方向勻速步行1200米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發3分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人之間的距離y（米）與甲出發的時間t（分）之間的關系如圖所示，下列結論：①乙用6分鐘追上甲；②乙步行的速度為60米/分；③乙到達終點時，甲離終點還有400米；④整個過程中，甲乙兩人相距180米有2個時刻，分別是t=18和t=24．其中正確的結論有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據題意和函數圖象中的數據可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：由圖可得，甲出發9分鐘時，乙追上甲，故乙用6分鐘追上甲，故①結論正確；
由題意可得：甲步行的速度為=40（米/分）；
設乙的速度為x米/分，
由題意可得：9×40=（9-3）x，
解得x=60，
∴乙的速度為60米/分；故②正確；
∴乙走完全程的時間==20（分），
乙到達終點時，甲離終點距離是：1200-（3+20）×40=280（米），故③結論錯誤；
由圖可知，整個過程中，甲乙兩人相距180米有2個時刻，當t=18時，甲距起點40×18=720（米），乙距起點60×（18-3）=900（米），此時二人相距180米；當t=24時，乙已到終點，即乙距起點1200米，甲距起點24×40=960米，此時二人相距240米，故④錯誤；
∴正確的結論有①②，共2個，
故選：B．
【點睛】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．
【變式13-3】（2022·浙江寧波·八年級期末）甲、乙兩人勻速從同一地點到1500米處的圖書館看書，甲出發5分鐘后，乙以50米/分的速度沿同一路線行走. 設甲、乙兩人相距（米），甲行走的時間為（分），關于的函數圖象的一部分如圖所示.
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐標系中，補畫關于函數圖象的其余部分，并寫出已畫圖象另一個端點的坐標；
（3）問甲、乙兩人何時相距390米？
【答案】（1）30米；（2）見解析；（3）甲行走32分鐘或37分鐘時.
【詳解】試題分析：（1）由圖象可知t=5時，s=150米，根據速度=路程÷時間，即可解答；
（2）根據圖象提供的信息，可知當t=35時，乙已經到達圖書館，甲距圖書館的路程還有（1500-1050）=450米，甲到達圖書館還需時間；450÷30=15（分），所以35+15=50（分），所以當s=0時，橫軸上對應的時間為50．
（3）分別求出當12.5≤t≤35時和當35＜t≤50時的函數解析式，根據甲、乙兩人相距390米，即s=390，分別求出t的值即可．
試題解析：（1）甲行走的速度為：150÷5=30（米/分）.
（2）補畫s關于t函數圖象如圖所示，已畫圖象另一個端點的坐標（50，0）；
（3）150÷（50-30）=7.5（分），7.5+5=12.5分，在x軸上拐點坐標為（12.5，0）
當t=12.5和t=50時，s=0；當t=35時，s=450，
當12.5≤t≤35時，由待定系數法可求：s=20t-250，
令s=390，即20t-250=390，解得t=32.
當35令，即-30t+1500=390，解得t=37.
∴甲行走32分鐘或37分鐘時，甲、乙兩人相距390米.
【考點14 一次函數的新定義問題】
【例14】（2022·湖北湖北·八年級期末）把、、三個數中最大那個數記為，如，，，在平面直角坐標系中，若直線與函數的圖像有且只有2個交點，則的取值范圍是______．
【答案】或
【分析】根據題意得出，當時，，，，當時，，，，當時，，，，再利用數形結合進行求解．
【詳解】解：當時，，，，
當時，，，，
當時，，，，
如圖：
當直線經過點時，，
當直線與直線平行時，，
時，有兩個交點；
當直線經過點時，，
當直線與直線平行時，，
時，有兩個交點；
綜上所述：或時，滿足題意，
故答案為：或．
【點睛】本題考查一次函數的圖象及性質，解題的關鍵是能夠根據定義，畫出分段函數的圖象，利用數形結合求解即可．
【變式14-1】（2022·安徽合肥·八年級階段練習）我們規定：如果兩個一次函數的圖象都經過坐標軸上的同一個點，那么就稱這兩個一次函數互為“交軸一次函數”，如：一次函數y =2x-3與y=-x-3的圖象都經過y軸上的同一個點（0，-3），所以這兩個函數為“交軸一次函數”，又如一次函數y=-x-2與y =3x+6的圖象都經過x軸上的同一個點（-2，0），所以這兩個函數為“交軸一次函數”．
(1)一次函數y=3x+1與y=3x-1是否是“交軸一次函數”？若是，請說明理由；若不是，也請說明理由，并寫出其中一個函數的一個“交軸一次函數”．
(2)已知一次函數=-3x+3，=4x+b，若與-互為“交軸一次函數”，求b的值．
【答案】(1)不是，理由見解析；答案不唯一，見解析
(2)b=-4或b=0
【分析】（1）求得兩函數圖象與坐標軸的交點，即可判斷；
（2）表示出-=-7x+3-b，根據題意得出=1或3-b=3，解得即可．
（1）
解：一次函數y=3x+1與y=3x-1不是“交軸一次函數”，
理由：因為一次函數y=3x+1的圖象與x軸交于點（-，0）．與y軸交于點（0，1），
∵一次函數y=3x-1的圖象與x軸交于點（，0）．與y軸交于點（0，-1），
∴一次函數y=3x+1與y=3x-1不是“交軸一次函數”，
一次函數y=3x+1的“交軸一次函數”如y=2x+1或y=6x+2等，答案不唯一；
（2）
解：∵=-3x+3，=4x+b，
∴=-3x+3與x軸的交點坐標為（1，0），與y軸的交點坐標為（0，3），
∵-=（-3x+3）-（4x+b）=-7x+3-b，
∴-=-7x+3-b，與x軸的交點坐標為（，0）．與y軸的交點坐標為（0，3-b），
∵與-互為“交軸一次函數”，
∴=1或3-b=3，
解得b=-4或b=0．
【點睛】本題考查了兩條直線相交或平行問題，一次函數的性質，明確新定義是解題的關鍵．
【變式14-2】（2022·江蘇·景山中學八年級階段練習）定義：圖像與x軸有兩個交點的函數y＝叫做關于直線x=m的對稱函數，它與x軸負半軸交點記為A，與x軸正半軸交點記為B，
（1）如圖:直線l:x＝1,關于直線l的對稱函數y＝與該直線交于點C
①直接寫出點的坐標：A（ 　 　，0）；B（ 　 　，0）；C（1，　 　）；
②P為關于直線l的對稱函數圖像上一點（點P不與點C重合），當S△ABP=S△ABC時，求點P的坐標；
（2）當直線y＝x與關于直線x=m的對稱函數有兩個交點時，求m的取值范圍．
【答案】（1）①﹣2，2，2；②（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）；（2）﹣2＜m≤．
【分析】（1）①令±2x+4=0，解得x=2或-1，從而求得A、B的坐標分，根據圖像點C（1，3）；
②當點P在x軸上方時，根據題意得出點P、C所在的直線與x軸平行，進而求解；當點P在x軸下方時，同理可得：-3=±2x+4，即可求解；
（2）分兩種情況討論；列出關于m的方程，求得m的值，結合圖像即可求得m的取值范圍．
【詳解】解：令±2x+4=0，解得x=2或-1，
故點A、B的坐標分別為（-2，0）、（2，0），
∵函數與x軸負半軸交點為A，與x軸正半軸交點記B，則-2＜m≤2；
（1）①從圖像看，x=1時，y=-2x+4=2，故點C（1，2）；
故答案為-2，2，2；
②當點P在x軸上方時，
∵S△ABC=S△ABP，C（1，2），
故點P的縱坐標為3，
當y=2x+4=3時，x=-，故點P（-，3）；
當點P在x軸下方時，
同理可得：-3=±2x+4，解得x=±，
故點P的坐標為（-，-3）或（﹣，3）或（，﹣3）；
（2）當直線y＝x與關于m的對稱函數有兩個交點時，
當m≥0時，點C（m，4﹣2m），
將點C的坐標代入y＝x得：4﹣2m＝m，解得m＝；
∴0≤m≤，
當m＜0時，m＝2m+4，
解得m＝﹣4，
∴-4＜m＜0
又∵﹣2＜m≤2，
∴﹣2＜m≤．
【點睛】本題考查了一次函數圖像與幾何變換，一次函數的性質、一次函數圖像上點的坐標特征，分類討論是解題的關鍵．
【變式14-3】（2022·吉林·東北師大附中明珠學校八年級期末）定義：對于給定的一次函數y=ax+b（a≠0），把形如的函數稱為一次函數y=ax+b（a≠0）的衍生函數.已知矩形ABCD的頂點坐標分別為A（1，0），B（1，2），C（-3，2），D（-3，0）.
（1）已知函數y=2x+l.
①若點P（-1，m）在這個一次函數的衍生函數圖像上，則m= .
②這個一次函數的衍生函數圖像與矩形ABCD的邊的交點坐標分別為 .
（2）當函數y=kx-3（k>0）的衍生函數的圖象與矩形ABCD有2個交點時，k的取值范圍是 .
【答案】（1）①3，②（，2）或（，，0）；（2）1＜k＜3；
【分析】（1）①x=-1＜0，則m=-2×（-1）+1=3，即可求解；②一次函數的衍生函數圖象與矩形ABCD的邊的交點位置在BC和AD上，即可求解；
（2）當直線在位置①時，函數和矩形有1個交點，當直線在位置②時，函數和圖象有3個交點，在圖①②之間的位置，直線與矩形有2個交點，即可求解．
【詳解】解：（1）①x=-1＜0，則m=-2×（-1）+1=3，
故答案為3；
②一次函數的衍生函數圖象與矩形ABCD的邊的交點位置在BC和AD上，
當y=2時，2x+1=2，解得：x=，
當y=0時，2x+1=0，解得：x=，
故答案為（，2）或（，，0）；
（2）函數可以表示為：y=|k|x-3，
如圖所示當直線在位置①時，函數和矩形有1個交點，
當x=3時，y=|k|x-3=3|k|-3=0，k=±1，
k＞0，取k=1
當直線在位置②時，函數和圖象有3個交點，
同理k=3，
故在圖①②之間的位置，直線與矩形有2個交點，
即：1＜k＜3．
【點睛】本題為一次函數綜合題，涉及到新定義、直線與圖象的交點等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．
【考點15 一次函數的規律探究】
【例15】（2022·江西·崇仁縣第二中學八年級階段練習）已知一次函數y=x+1，分別交x軸，y軸于點A，B．已知點是點A關于y軸的對稱點，作直線B，過點作x軸的垂線l交直線AB于點B，點是點A關于直線l的對稱點，作直線B，過點作x軸的垂線，交直線AB于點，點是點A關于的對稱點，作直線……繼續這樣操作下去，可作直線（n為正整數，且n≥1）
(1)①直接寫出點A，B的坐標：A ，B ．
②求出點B，的坐標，并求出直線的函數關系式；
(2)根據操作規律，可知點的坐標為 ．可得直線的函數關系式為 ．
(3)求的面積．
【答案】(1)①A(-1，0)，B(0，1)②B(1，2)，(3，0)，y=-x+3
(2)，
(3)
【分析】（1）①由一次函數y=x+1即可求得A、B的坐標；
②先求出A(-1，0)關于y軸的對稱點的坐標(1，0)．將x=1代入y=2x+2，求出y=4，得到．再求出點A關于直線的對稱點的坐標(3，0)．設直線的函數關系式是y=kx+b(k≠0)，把的坐標代入，利用待定系數法即可求出直線的函數關系式；
（2）先求出點A關于的對稱點的坐標(7，0)．由的坐標規律可得點的橫坐標為．再求出的坐標，然后利用待定系數法即可求出直線的函數關系式；
（3）由，可得，再利用三角形面積公式求出即可．
（1）
①∵一次函數y=x+1，分別交x軸，y軸于點A，B，
∴，
故答案為：(-1，0)，(0，1)；
②∵A(-1，0)，B(0，1)，
∴點A關于y軸的對稱點是(1，0)．
當x=1時，y=2，
∴B(1，2)．
點A關于直線的對稱點是(3，0)．
設直線的函數關系式是y=kx+b(k≠0)，
∴，解得，
∴直線的函數關系式是y=-x+3；
（2）
∵A(﹣1，0)，(3，0)．
由題意過點作x軸的垂線，點是點A關于的對稱點得，
∴(7，0)．
由(1，0)，(3，0)，(7，0)，
可得點的坐標為(，0)，
直線的

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